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8/7/2019 mecanica_strelkov_archivo3

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Tercera parte

O s cilac io n es yo n das.E lementos cteacUstica.F u n d a m e n t o sd e la teor ia especia lde la re la tiv id ad


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Capitulo XIVOSCILACIONES

fl.3. Fen6menos peri6dlco$Entre los fen6menos naturales con frecuancia ohservamos fen6menosperl6dicos: la sucosion del dia y de In neche, la rotaci6n de In Luna alradedorde la Tierra, el movimiento de los planetas, etc, Lo mismo ocurre en la vidacotldtana y In tecntca: las oscilaetoees del pandulo de los reloies, 18 rotnoi60y el movimiento de las piezas de las dlversas maqutnas - todos estos sonfen6menos peri6dlcos.En un fen6meno periOdico In variaci6n de cierta magnitud se rsprte dellUismo modo 81 cabo de un tiempo perfectamente determinado: el psrfudo.La definicion matemattca de una magnttud periMica es ~a siguiente; 5if It) as una i:unci6n parl6dica de t con perlodo T ,antoMas, para cnslquier t,Ill. fUllei6n f (t + T) = f (t). La gr;)Jica de una magnitud que varia peri6di.camente se repite exactamenta al calm de un periodo(fig. 344>.. Con b(liltalltefrecuencla nos tropesamos can fan6menos aperiOdieos que guardan semejansaeon los m ovimi ent OIl Peri6d icos; par ejem pJ 0, Ill.s osctlac tones pen dularesde una pequsfia pesa suspendida de un hila, las oscilaclonss de Ill. rams. deun "rbol despues que ha stdo halada hacia abajo, ate. Tcdos estes fen6menosson apsnodicos: las oectlaciones decrecen gradualmanta en magnitud. Todosestos fonomono!) y sus slmilares so les danominan COil. lUI termin~ com un:oscilactone; y las cscilaciones periedicas formao parte particular de lasoscilaclenes en general.Si las cscilaciouss 56 transmrten de una particula 0 3 . otra, como, por ejem-plo, las osctlaciones del nivel del agua, que surgon al caer sobre ella una

Flg.3U.

[(J)


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428 Cap. XIV. O.. U.


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114. 0..,110


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430 Cop. XIV, O.dlul .....Hemos escrito ,,1signa menos delante de F. puesto que In fuerza F est:l dirl-gida en sentfdo contrarlo a 13 dlrecclen positive de la ccordenada del des-plazamtantc z. Si en la (124.4) sustitu lm os C G po r zll, la ecuacion (.124.5)puede escriblrse asi:

(124.6)Y divid lendo In

(t24.7)

xmx= -llIgT,iguuld ad entre m , obtondrem os Iinalrnente:

~+fx=O.EI movimtento de la pasa se produce dahido a Is aecidn de Ia fuerza

F =mg T (vsase la (i24 .6 )) cuya m agnitud 'V aria p roporcionalm ente a Indesviacien (x) de la pesn respecto de Is posicion de equihhrio (x =0) yest6dirlgida dtcha fuerza siempre hacia la pusicien de equilibria. Por eso, lafuerza F sa dennmina [uerza reeupemdora.La solucien de In scuacidn (124.7) as flieil de hallar y as la siguiente:

(J24.8) x=Ason(vtt+ql),donde A y q ' son por ahora magnitudes erbltrarias constantes. Demostramoequa la (124.8) satisfece 18 ecuacidn (1N.7). Ell etecto, diferenciando dosveces x, obtansmos

(124.9) ~= -fA sen(yfl+'I')= -fx.La lgualdad (124.9) coincide por complatu con la ecuacion (12q.?). Desig-nemcs

(124.10)y exp resem os el m evim rento de In P('5" (12


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.14. 0.


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432 Cap. XIV. o.


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ill. Oe:lIaclon .. arm


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434 ClIp. XIV . OO" ",El periodo de las oscilaciones us

(124.2!l)Y In Irecucncra circular

(124.25)

T 2 1 ~=niT'propia '~=V~La frecuencie Circular es igual a In raiz euadrada do In razoo entre el coaticlento de rigidet del resorte k )' la masa de la pesa m. Al anmentar la rigidedel resorto so incrementa la frecuencia, 91 aumanto de la rnasa disminuyiIn frecuenciapropia. Selialcmos que el valor de la luena de gravadad mejorce Iulluencia alguna sohre el cardctar de 1M oscflaciones de In pesa suspendida del resorts, el periodo de las csotlacionea de dicha pesa sor" el misrn:si S0 coloen horisoutnhnente 0)1resorte, Y si se garantlz unas coudlclonepara las cuales III pesa se mueva sin rosamiento.

Por conslguiente, In pesa suspendtda del resorte, o..


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I2S. OHilacio",,, prop;', V yarlo


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436 Cap . X I V . O lc ila cio 1to s

(12~.l)equihlirro. Eo e.,ta instante In enezgia tota I es igual In energia clnetlca.es decir, E _ n u ; - 2 : _ mID-:A~to' 2 - ~ Al cab" do uu cuarto de perindo, cIHJUdo el cuerpo !lege. a su poaiclon extremat o : =A Y III velocldad ;, =0 ), la enorgia total sera igual 3 In energia potsn-cial , Siendo hortzoutaies las oscilactones del PQSO suspondldo de un resorte launergru potencial s~ra 19aal a ') ~: . por conaiguienta,

(125.2)Com parando In (12.').1) con la (t25.2), ohtsnem os In formula (12/ .. 25) paradetormiuar In Irecuencia propia: (fl' =< ._ . . .La anterior dC(inici6n de la frecllencia de Ius oscilaciones medianta lacompnracton de las ensrgias cin~tic.a y potoncinl os el rmitodo rna. sancillo.Dernostramos 10 d lcho con los ejemplos sigu ielltes.

EJ}~l\lPLO 1 . H u llar Ie Jrecu cn cta flo las 05{:i . la.c[QO~Sd o ttl) Hq u.itlo e n va~ ~ com nu ican-I"" d. lonna. irregular (fig. 35Z , a). Es muy f,;dl determlnar In I"ouo"ci. pr"pi~ d. lasOMi\..acioneB el' l:~JoslIaS(lSCOmUIi.!cant~ de forme clrindrioe 3 ' s(' ..( .&ittn ccustante (rig, . 952, b).A l d e sv .io .J ' 1 0 5 : nivelas del liquido ruspecto d e su p o.sieio n do equ .ilib rio en una Illagnitud . . z : : ,,.,hra .1 Hquldc ao((, a I. fuersa d. grav.dad d. Ia part. no eduilibrada 2pgSx; prcoisa-""'".t.e esta Inerza rocuperadpra p o n e ( . ' 1 1 mcvtmiento toda 1 a masa delli.",.urdc p.~'l, doudsI .. 101on,,nitud d. toda Ia oolurnna d. redo "I liqu id" no .1 VMn. p , 1. densldad d el H q uld o,') \'"". I. l1 .~pros lOll p ." 1. OnBrgla potencial d. un ro.arL~ dcfoernado '0 01 31.

fi;. 352.

a)

_ lr6)


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IlS. O"n lo propl.,y ...... ,60 deI. e.orgl.437y S, J. "'~d 'ln transversal ,dol " 0 . . 0 . Cam . todas !ns ,P0rthrul ae dol liquido tionon Igualdesp lasam ionto e, la l ~ < : : u _ l l C . 1 0 L Jdo m o v t m i e n t o dtiJ Ilqutdo es do la f o r m a

pSI~'=-2~tSz;D lvidiendo esta ;g Il.H ad entre pS , ehtenemos:" 2~(125.3) z+Tz=D.De aqui se deduce que la f recUf\nein cireular do lee oecilaeionee es

(i25.4)Perc Ai10. v aso com un ican tes Licrl~ll Jorm a irregu lar; cl desp lazam iento do 'las par-rlculas dol 1l{I\Jido du rante los (Iscihc:-ioo~ s. i S l e - r a rliicrl)nll', p er eee J I : O p u ed e p la nt..e arseIon l"oilnlNllo I. oouaci6n (125,3),E stud iund o I.~ osoilaclones f'OPi8S on s os cem unicantes de form a irregular (v~as~

Ia (le. 352, a) E ' : ! I Dwjor ap}[,csr fprinc:i.pio de 18 ton5('!fV'ncjol.1 de In en erg la, E !-u po nleu doquo to


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438 c.p. XIV. O.ea.clone.s"gU" I. (1~5.5) I > =ia, por , 'SO

(125,7) E = ps,,'s (1+~)pot 2 S,, 'lg ualaudo las 1125.11) ) " (125.7 ), oblon.m os:,!" ,,'.'Sf ~ . ! ! ! _ =pS,~'g (1 + .' I )Z ~ S 2 .~ , '

(125.8) K(I+~)w'&~ l ~:l;\' d,5, 7i;,

,jS - coast estu cxpr.,i6n .. cauviertu en In lO,m.l, ordmarta (125.4) d. Is Irecuenciacircular de . las esetlacienes e~ un vaso de. saeci.on cons'lante,EJ1 t, eatoncesE O ~1..~(j]~.al-CIa 2 3 '

m ientl"M que tode la ono!!J'gb. ciuetfca, Ja euerg ia de la pesa y Ia del resorte, 5 4 . H ' ni i m r " " . , 1 ( m .r c - )EOIJl=2ma~'-i)~+1"sa:a.ID:;;;;O:'T m+-3- a'~'Z.

La. elH~il'gi;1. p oten cial p ara e l tn sta nte d ~ d i:5 .te lls t6 n n i!:tim a flo!iw,.=Bpot-=TI

dornlu k ea .1 coeliei.nle a. rigid .. dol r .. orte, D. la lg uald ad ~Dt =EOlD obtenemeslta.' =( m + r n ~ r o l ! l ) .::,1()}"a,


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126. 011 ae 1""... prop I omorllgu .o : t . . . 4890, W,=__k__.m + - ~ ;. ~(12S.10)

A,! puss, para de/in;, m a , exact.monlo."J pericdo do 10' oscllactonas quo ..i~i.1 0 p osa su.pondjd. dol >a,orto, as poeo"rlo lIiladir a la mas. da Ia pesa 1/3 d. la mo." dolresort e , Eo .v id"nt~ quo si ! " . ",.,a d6 1 '.'O"t9 "~ "'til' p ilq1J"ua on ccrnp . rA 9 16 .n co n Iamaen d~ Ia pesa, dtcha 1>",",. . 60 nQ prcpcrcronara un nuevo resultadc, S, ~1 numcrc det U ' li l lo - 5 [ 1 . e , 1 : r : M o . r~ . " . n o ._ e s ,g r .e .n d F 3 . , . a 1 d e ' t e r . tl :l ll l. f ! l' 1 8 . f r e e u . e n c . i a d p , . ' : o s e il a c l" O l l e .s .( ! S m e n e s te rW n lill" en e Q r . l w d C = J . : ' ~ e - : i : 6 n l.n 1 6 r m U ]Q ; ( J 2 : 5 _ 9 )Empleando 01 mdtodc do ccmpnracton de energ[as siampre es mas filcHh~1J~r10 irecuencia,si durante Ins osctlaciones las 'atnplltndas de los 9h'er$05pun tos del sistema son diierentes, poro guardan Nlael6n entre sI medianteclerra condlclcn coaocida, en virtud do la cud, ssbiendo Ia alD~1itildd". unpunto, sa puede deteeminar unlvoeamente la amphtud de- todes los demaspuntos.ComQ veramos 1 , contlnuncicn e J . valor de la frecuencia pro pia da UlJsistema. qua malin osoilaciones armonicas propias tione gran importanclapara mu chos fan6mel!os; por 10 tanto, su dotormmad6n correcta CQ!15t]tt' yeun a t area in dis pensa blo.

1 2 6 . o s e n aeienes p ropJas am orfig uadasComo evicieJ.ltemente se obssrva an los experimentos mas ssnclllos deoscilactones nrm6n leas: las oscilaciones de 110 pendulo, Ins oscilaeiones deun aroometro que flota en W1 liquido, etc., las osollaclones que surgen des-pues !l~ c;erto impulse, debilitao gradualmente, es declr, atemian. Al finy al cabo el CUOl'PO oscilante Ilega a 1 estsdo de eaposo, Estosuceds siempredurante el movimiento de todo cuerpo pussto que se sngendran f"erMs dero"amiento y la energia macfin lea que Ie hemos comuuieado in telalmente alsxcitar Ias oscileciones, convierte gradualmento. a la forma tcrmtca.Lns Iusrzas ci.. ro~amiellto rlepcnden de manera baslante compleja de Involocidad, sin embargo, durante las oscilaciones cuando al valor absolutede In vslocldad es psquefiu, se puede conslderar con suficlente grade decxactltnd que las Iuerzas de ro.amiento ,SI)n proporcionales a 10 velocirl ad

del movim [ento (vease el 39). Por eso, la ecuaci6n de movimiento para lasosr ilactones de una pes. suspondlda do un rosorta descrltas en el 124 ten-d " , I . J B forma sigulen teo(12f.\,1) n i X . =-kx - h X ,

dcnde ~ es la Iner'll!. de rozatniento y h,el coefleiente de la Iuerzn de roza-micnto, canttdad constanto, La soluoien de In (126.1) so puerle escribir asl:(126.2)

,Ion de A y '" son magnitudes constantes que dependen do las condicionesInlctalos,(126.3)

y(U6A) V~- ---_1- m. 4m!.'


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440 Cap. XIV. o,,11 ;.. .. ..El movimtento 10 repreeenta el pruducto ,10 In funci6n cxpOflllIlcial (cit, amor-tiguaeionl 8-~1 pOT In Iuncicn porhid lca cos (w,1 + 'fl, cuyc periodo es

T,= ~:t.O l ,A veCUS osta magnitud sa llama peritulo convencional de La Qscilari6n aniortt-guad(L (126.2),EI movtmiento esta constttuido por oscilaciones sinusohlnles smorti-!rHoda,. como se muestra el l 19 fig. 353. Al transcurir 01 t icmpo las oscila-clo nes atanuan gradunlmentc y I" envnlvente nm la g riifica de las oscilac Lonesno so SRJO de los lirnites do las curves Ae-ol . El coeficiente ~ =;. que~Ujca.racteri.n la rapldez de la uruortiguacien de las oscilaciones on el tiempose dencmina coe{iciel!te de at.enuar.1.6n (flICtor de Q.rrwrUguarniento). EI mismoesta determinado por Ill. relacion entre el coeftcrente (11la ruerzn d.e rOZ8-miento y Is magnitud d" Ia masa oscrlante duplicada.Tomemes unos p6ndulus cuyss asferas (pe.~a,) son de igual tarnafio y dedifsn'.lltQ masa (por ejemplu, de '[)]0010 y da eorcho), Y obscrvemos el ttem podurante 01 cua I III amplitud r i l l las escilaciones disminuye un nurnero deter-minarlo do vecas. Como Ia masa de In ~sfeta de plomo es apeoximadamenta50 veces mayor que la de corcho, sntonees tambidn eJ coeficicnte de atsnua-cion del pdndulo con In osfera de coreno sera aproximadamentc SO vecesmayor. Por dicha razon, 01 uempo durante el cual las oscilactones dismi-nuysn, vorbigracia, dos veces, sor~ para el p6ndulo con esfera de plomo 50 '118-ces mayor que para 8 1 pendulo Con eS[~I'a da corcho.l'odo.s los Ienomenos dsl Lipn de In (126.2) comienzan en un instanto detsr-minado y posoen te6xicumente una duracidn infimtu. Pur 10 tanto, pRI'R svn-

fig. ln,

w~ f J ,2 b ' ,_ 'a '


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126. Osdladon.. "rep;'" amortig da. 441lIuar Ia duraoidn de tales fen6menoa S6 introdujo couvencionalmsnte Ia mag-nitud ~ =t, quo Liena Ill. dimension del tiem po Y S8 l lama tiempo de relaja-ets. Durante el tisrapo de ralaiaci6n 1 Ia desvlacion respscto II 18 pOllic!6n.de equflibrlc en &1sistema disminuye e ~ 2,73 veces, El tiempo (16relaju-ci6n se dcnomlna couvencionalmente duraei6na de dicho fon6rneno.Por 51 mi.smo &1eoericieate de atenuacion Ii (al igual que el Uampo derelajaci6n) no caractsrfza 01 sistema oscilatorio, En funct an del periododurante un mismo tiempo r dLferentes sistemas efeetuHll un mimero dlstlnto-da oseilaciones. Pot !lSO, para evaluar el amortjguamisnto del sistema en.Iuncicn del niimero de oscuactones no sa utiliza el ccaftciento de atenuacten,sino 01 decremenla (0 decrsmento Iognrltmico), una magnitud adimensiooalquo vole

Aqlli T as el perfodo convencional de 1a oscilac.(oD amortiguada,La magnltud inversa al tlecremento:

indica cuantas osctlaciones "fectua el sistema antes de quo Ia amplltud de-las oscilaciones dismlnuya e veces, 0, como se acostumbra a conslderar con-voncioualmente, antes de que el prcceso se .tenus y el sistema Ilegua a laposicion de equilfhrio. Supongamcs quo el dscromento OS Igual a 1.110, esto~ignifica que at cabo de 10 oscilactones In amplitu d de las zmsmas disminn j r{~cast tres VDCCS.E! decremeuto tT 56 halln expertmentalmente de Ia manera que se expone-a conl.inuacicn.5i para cierto instante Ia desviaci6n ha side x., al cabo de nn tiempo T.,ignal al periodo convencional, In dcsviacien lendr:!. el valor

En o!oc~".

ya quo


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442 Cop. XIV, Oscnodone.del tiempo 1'1' Por 10 tanto el decrement es tgual. ,.1 logarttmo nalurald e la raz6n entre los valDres de dos desv illciones ex trem a: sucesivos d eUII mismo seniido.Sea x" Ia desviaeJ6n que tiene [ugar al cabo dol tiempo NT" es dod r,0] cabo de N oscllacionoe despues de la desviacien x~.Hazonando de IIIm ismamanera que antes, obtenemos

y(126,6)

La curva experimental del registrc do las oscilacicues de un pend ulo queCODSla de WIR esfera suspendida de un hilo 10 muestra In fig. 353. A basede este registro S9 puede caleular el dacremento de amortigoncion del pen-dulo: el misrno es Igual a 0,1. El decremento de amorttguacion para unpendu 10 do In misma Iongitud con una esfera del mismo dlamatro, poro conuna masa cuatro veces mecor, tiene un valor de 0,4; In curva del registrodo sus oscilacioncs se muestra en 10 fig. 354. Los valores lie los coefit.ieotesde ntenuacton sa indican en las figs. 353 y 354,Por 01reglstro de las asci lac; ones amortiguadas podemos cerclocamos deIa validez de nuestras suposiciones hschas al dsducir Ia formula (126.2).La manera mas sencilla de hacerlo os Ja slgutente: sobre la grdfica del registrode las oscflaciones a 10 largo del eje de ordenadas marcamos segmentos prop or-cionales a los Iogsritmos de las valoras de Jas amplitudes para Gada peri OdD,y traaamos una linea par los extremes de dichos segmeutos. Por ejemplo,

!F Ig , JSI.

b~O,4, ., w=6,28,-'1l=O,4

10 15 s


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444 Cop. XIV. OII.,ioo.'117. O,cilaciones f o rzadas y resonancia

A difereneia (Ie las osctlnciones propias, las o sctla clo ne s to rsa da s son pro-due \0 do Ill. accj6n de una fuerza periodica ex rerna, Por ejompio, sl a ce re amo sa una lumina de acerc, apretada on un tornillo de mordazas (fjg. (56), unelectroiman cuyo davanado 59 alimnnta con eorriente alterna Jde detsrmlnadaIrocuencla, m edian te obscrvacion d irecta (por el scnido 0 per 1M Iluctuacionessobre una pantalla de un rayo Iuminuso rcflejado por un eapejo sujato 3 Ialamina) descubriram os In ex istsncia de oscilacicnes de la lam ina, EsLasoscllncionss seran Iorzadas.Las oscllaciones forzadm' siempre ocurren con let ",isma jrecuencto: con quevaria lo : [uerza eztema. Si vartamos la Irecueneia de In co rrieu te que ali-menta at clcctrotman. varia.ra tumblen la frecuencia de las oscilaciones de lah\m ina. COli ayuda de un estroboscop io es !Rei! com probar que la ITocueucia deosctlactnuas d e In corriente es lgual a Ia frecuancla de osctlaciones de la Iam ma.

Para Iorm ar un estrobosccp tc es necesaric tamar una Iam para ne611(11 otra lam para de descargs de gases), cuya m tensrdad Iumm osa fluctunjunto con las oscilaciones de In corriente eh\ctrica . T que In altmenta v exami-uar I as osciluciones de la la mtna a la luz de dicha lilm para (fig . ::157 ). Com oIa ];,minn so llnminara s610 una vez pur periodo y cada Vet en una mismposicion. del.Jldo ala inarcra do la percepcion visual veremos la Limtna comosi sstuviera OIl repose Y no oscllando. Si I r I S oaeiiactones de la lamina y lasde In corrtente \10 lueran sincronicas, as deeir , ocurriamn con dilerontss Ire-~ ueJ lc in s. v erlam cs un cuadro borroso de Ia ldm ina osctlante, ap rox im ada-mente igual al que vemos con Ia iluminacion habitual.

Las oscilactones Iorzadas S6 encuentran a menudo en aquellos lugaresdoude existen piezas de maquin3s que giran 0 se muevon pel"iodic"ruente,flg. l56. Fig. Jf7.

FIg 158.


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1'01' eiemplo, un volante dotado de -rotaci6n uniforms (fig. 358). siampraprovoca oscilaciones Ioraadas del arb,,! y de los cojinstes sabre los oualesg"ir~. Ell ofecto, siemprs hay un pequafio desequilibrlo, 95 deere, 01 centro de!rr-svedad del volanre O' no se hnlln exuctamente sobre el oje '1'lQ pass porlos centres de los cojlnetas. Po~e80, duranta Ia rotacicn sa angendra 180Iuerzaceo trHuga') F =m poo", cuya proyecci6n. pot ejemplo, sabre Is horizontalda una illerza armonlca que actiia sabre el ;\rbol con una , fNlCU0ncia. iguala Ill. Irecuencia de las revoluctonss (a qui p es la distancln 00' entre "I centrodo gravedad del volante i'elaje dsl -coj,nete, In, la masa del vnlante, C tl Invslocidad angular de rotaclcn).La tropidaa,i6n del clmiento y de las ed-ifieacioneacontigual; al mlsmodurante el funclonamiento de un motor ellict!ico son oscilacrones lorzQdasprcporclonadas per el desequilihrio del rotor de motor. Las sacudldas cau-sadas por el funciunumiant.u de lin m otor de combustton tntama, 0 de unamaquma do vapor" tamhi0Jl. son oscilacioues forzades. EI movimisnto peri6-dico do avarice y retroceso, por ejemplu, el movlmiento de un . embolo onliD motor de combusti6n interna, coustitnye siempre una fuente de fusrsapel'i6dica que prOVOCB oscflactones.L.1 nmpl itun de las oscilnctoues fonadas doponde no s610 (y no tanto)del v~ lor de Ia fuorza aplfcada, sino de Sci Jrecuancia. L3 amplitud do lasoscf Dcl 00"" Iorza das sa incre w ente brusca men to. siIs heeuonci a de 1a me rzaax tern a es cei"cano. a. Ia frocu oucla de J as oscila ciones prop las.Vanaremoaescaloaadamente Ia Jrecuencia de Ia fU6rtn extcrna, manto-niendo invariable la amplitud d81D~ osciLacioJlW!do dicha [uorza y cada vezmarcaremos 1 0 . amplitud da las oscilaciones forzadas. Luego reprasentomosgrificameute losresultados de tales mediuionas: scbra el eje de absclscs mar-carem os In r.az6n en tra In trecuenera de la aoci6n p y Ia frecuencla de las

osctlaoiones prop ias ruy sobrs el aje deordenadas una magnitud adimensio-nul propornlonal a la arnpl (tud B de lasosctlactones Iorxadas (v"~ge at 128).Esta grafica lleva el nomhre de CUTuade ~esonan:cla; su aspecto aprnximadoso cxpone en Ia fig. 359.EI fen 6meno del in C ' ' ' 'men to bru s-co de la amplitud jle las oscilactoneseua ndo In frecueneia de la fuerza exter-na se aproxima a la frecuencia propiase llama 1"fsollancia. Coloquomos unpeqnefio elsceromotor sobre una tabla[ijada por un extreme a una pared(fig. 360) y aumentemos graduaimentela fl"l)clIencia de las rsvcluclones dol mo-tor COn ayu-da de un re6atato. A bajasrevl}l~,ci.on8S ohservamos oscllacloneswny pequetias de Ia tabla, lIotiindolaBs61t>al tacto, al tocar Iigeramon la conu n dado 180t~bla, Despues, D un numero

fl~. JJ9.

Bk

T o32

U1. Oscil.,lone. 1o"ld y re,on!n


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determ incde do revoluctones, Ia am plitud d@ las oscilaclcnea verticales dein tn bin U1IIUen ta brusca m ente y se 110m bi el l a 81illP If. vi sta, A l aum enta rall!) m k! las revoluclonas del m oto r, observam os una dism lnucton de l~aurp litud de las oscllacionee; estas delen de VO>IM en abso lute y so lo so slen ts1111 dolbil tem blor al tocae Ia tabla COil 01 dade. M arcam os 01 m im ero de rcvo-Iuciones 0 1 cual se observe la rasonano ja, A continuacion detanem os el m otory I~ go lpeam os de arriba a nbaje, despues del golpe surgen las oscilacionasprop ias de la tabla con al m otor, cuya freeuencia es p rox im a a la fL"CCUeJl"bde rasona n ol a.B s ueeesarlo se,i'ia lar quo en 01 C!l.>O descrito la am plitud de Ia Iuerza ex tar-na no permanece constante, sino aumenta proporcionalmente al cuadradodel m im ero de revclucicnes, ya que Ill. f uente de Ia fUer"u ouerna as Ia fuenucen trifuga cuyo valor aum entn p roporercnalm ente a] DU adrado dol m im erode revo luclones .. S in em bargo, la am p litud de Ins oscflacieues de la tablad lsm inuye bruscam snte al aum eutar Ia fre.cuencia de las revo luclones porencim a de la Ire cusn cia pr op i 0 de I a de reso 0an ci a .

us. Re l a d o S n enlre Ia a m plitudde Ias oscH aclones forxadas" la Irecu en cia

iCualils pues Ia causa del Increm ento de Is am p litlld durants Ia );S501l3.0-cia? ~Para la resonaneia at sistem a pnrece como si realisara oscilaciones p ro-pias, wient,as que la m erza ex terior solamente im pulsa al cuerpo a oscilar.La fuersa recuperadora duran te la resonancia, al igual que durante las osci-

lsctones prop ias, Ie impa[te a Ia m asa, la aceleraclon necasaria, mientrasque la fuena ex terior unicam.ento equllihra la iuel'-"a de rozam ieuto . Lejosfig. 360.


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U8. A.. pll''''' de 0 .


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448 C.p. X Iv. O&


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128 . Ampl l l l ld cia D sdl.clo"", 10 '21 .... y lrecuencia 4 4 9Examinsmos m as detalladamente com o varia eon la froeusncla p Iarelaci6n entre. las cfistintas fueraaa durante 1as oscllaeronea .forzadM; aslonos permite aelarar las causes de 1&variaci6n de 1&amplltud de las oscila-clones &1 calilbiJl.r Ja frecueneia. .La scuacten (128.1) express que el prnduet _ass X Ilcel,\rIl


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460 Clp. X l V. 0 se 1 1 0 ,1 0 . . .durante la resonaneia siempra tiencn un rstardo de 90' respecto BIas oscila-clones de la iuena. En case de resonancla Is fuerza de rnzamiento juega ..Ipapel principal. Por tanto, si no 10 suphiramos y hubiesemos despreciadoIa fucrsa de rozamisnto, supouiondo que 1 1 =0, hubieramcs Ilegsdo a I aconclusion siguiente: la 3J;1lplitud de las oscilaciones B, stendo p =w dobesor igual a lnftnitc, 10 eual as Ilsicamente imposi.ble. (Esto so desprendetanto de la formula (128.11), como tamhien de 18 igualdad (128.13) cuandoh =6 =0 y p = e.) No obstante, si sl rozamientc es 10 suficteruementepsquertc, In am plrtud do las oseilaciones durante In resonancia serli muygrande. Segun In (128.13) cuando p =w

(128.16) B. _ P, _ F,r.. - 25m") -'ii'(;j'".Por esta razon, cuando el valor de 1 1 no as grande, la amplitud de resonanclade las osctlecloccs puede ser mtty grande. Las oscilaclones de resonanclade gran amplitud puaden ser sumarnente peligrcses para los piezas oscilantesde las m:\quinas, obras e instalacionss, pudiendo a vsces ocasionar incluso5U destruccien.SOlconocen cases on que maquinas ccstosas S destruyeroll debido a o'~i-laci ones de rasonancia, por aso los ingeniaeos calculnn las frecuencias pro-pias de los divarsos elementos de las maquinas do tal forma que sa svlte Isresonancia, Asirnismc, por ejemplo, a causa de la posibilidad de resonancialas e s L a prchihido a las unidadss militates en formaet()J\ pasar por los puantesmarcando el paso; pues hllbo cases en que Ia freouencia del paso coincidiocan Ia Irecuencia propia del puente y este se d!'Strlly6.El trabajo de la Iuerza exterior durante el psriodo de las oscilaetonesIorzadas lO S slempre igu~l III trahajc de las fnersas de rozamiento dura liteeSB nnamo tiaIilpo; el trahajo de las demas fuerses el l nulo. EI trabajo do lailleua sxtama cuan do hay oseilaelones p srm anentas fO l'1 .aolasse emplaa paraIa production de calor.La amphtud de las oscilaciones a bajas frecuenclas segun In (128.12) es

(128.17)l a o misma est~ deteruunada pDf Ia B .m p litu d de la fuerz8 oxtern. F o y 01 coetl-cisnte de In .fuerza reeuperadora ko =-l1 y no depauds de la Iuerza de roza-miento. En 01 C!lSOde las oscilaciones Im:z.ad!lSde una !lese suspendida de unresorte, la r lg id& z de ests ult imo k = I) 110 depende de Ia masa m, y porconslgutente, II bajas Irecuancias, Is amplitud B tampoco depende de m.A. altas fracuenctas la amplitud de las oscilacicnes de acuerdo con la(128.14) es

B F.(12B.1B) ~ mp' ,o sea, inversamente proporctonal a p'; ~aamplitud de las cscllaciones depsndede.Ia Irscuencia de las mistnas y de 18 masa, y cast no depende de J. fuenarecuperadora ni de 1& fuerza de~02amiento.Durante Is resonancia, como ya S9 dijo ("ease 1. (128.16), III amplituddepends del eoeficiente de Ia fuerza de tozamiento h y do la Irecuencia propia!il, siendo inversamente proporeional a hw. .11Ve",o I. Dota a 1. ecU'OiOD (128.1)

, ,


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tn. Osc lfeeteees dll ~n ~rbol cO" un dl,co 461Es precise haee nHmdon una ves Ulas II que 1 4 ampltuui de 1118scocwne3siempre es proporctonal a ta amplttud de la fiJ.er.a que nelUd.Per Ia f6rmnla (128.7) se ve quael dasfasajo vartaeon HI Jrecuencia apro-ximadamente eomoss muestra en III fig. 361. Para lag Irecueneias l)ajaa las

oscifaclones del desplaaamiento ocurren en lase eon Ia fuerze,du:rante 1&rescnancia las csctlecs ones del dasplazamiento tieTIBu un ratardo lie Jaserespeeto a In Iuerza de gO", y a frecuencins" muy "Has las oscilacloues deldesplaeamtento y la fuersa " I> encuentran 'en antifaae. Todo -esto ooncuerdacon Io que sa infiere del anal iBis -del pnpel de las disttntas fuersas durante I~sosetleetcnes. Seualemos que todos los rasouamtentca acsrea de las Irecuen-etas bnjw; son vaHdoa cuando p 0>, es decir, cuand 0 Ia freeuaneia de Ifillosellaclones es mucho menor 'quo la propia: 10 mismo sa verifica. pl!l;D Insfrecuencias altos, cuando J ! ; ; . w; 1)"U otras patabrae, todas .las leyes de Iaresonancia estan detezmlnades pOI la relaoi6n entre p y "'.,AI disminule In merze de rozamiento :o el ooe.!i.oiente" d e . ateilUaci6n 510 cresta de resonancla (vease In fig. 559) sa 'vnelv-a muchoruds aguda,' esdeck Ia 8mplltud aument.a, nruscamente cerea de ,I... res on anoia : Iii Y'adaci6nde In fnsa de Ins oseflactones siendo pequefia Ia amortiguacion tamhiiinocurre muy bruscamente junto II In frecuencia de resonencia (vhse lafig. 361).Todas las leyes de Ias oectlactcnes forzadss las hemos examtea do conel ejemplo de las oscilaciones de nn pendllJo. Es evident .. que eat"S seranviiHdas para cualquteretstema, cuyaaecuaclones del movtmtento puedanreducirse a la forma (128.2). Las o~eilacionea de una pesa suspsndtda de unresorte, do un are6metro sumergtdo en un Hquidc, de un cuerpo pandlentede un rssorte {qua realfsa O!loilaciones torslonales a semejanzu del balanclnde un relo] de bolsillo), etc., son ejemplos de osci lacinnes Ioraadnssi sobradich os sist ema B ob fa una fuerza or-

Fig. )61. monica. 129.0$~il,,~iones de un arbol (onun disco

En divel'sas mriqurnue (por cjernplo, Inl.urhifl!l de v~po~.,el volantc, el ventilador,eto.) sohre un ',bal gira un < 1 1 ' 0 0 ; un modelesanctllo do un dieco qua _gir.psilbro un ~rbolse mu es tra en la lill 362. En un eJ" ("gllja)colocado vertiM:lmenta nsta sncajado UJl discodo: poquctio radio; el dtsco stempt.e tlene clor-to desequltlbrto, e. decn-, .1 centro do masse11D 9Q ll"'1Cu~ntr.n el[.octQllumtc' sobre cl eje delEirho l. En nuestros exp (\rim e.n tos. para m ayorolarldad 01 d ... qum~rjQ h ldo aumantadecon a:yuda do, una ~queiitl p ilS fl. : r u . ' . 8i go l ....peamcs 01 .j6 (aguJ') perpenthcularmonte~urgirnn os.ci!aclon'Cs proptas cy.y~ irucW!ilcia(I) depende do lR rf.;Sl~lc-nela II Ia fl.c::c:i6 n d o la


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4-52 Cop. X IV . O.cfledoneoLes eecilactcues propias otUTNl! l en to d.8 .8 d ireecio i..lee co n h i. m ism l frec.u9 ueiE II. 5i11 ,." ",o 1 d e'! d is co y 10 empu jl ll Ilo, I\i.un i& do, ~ 'l" r e e .1 i . . r~ cscilaeion ... "n6 nloas d.11"O


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129. o,cn.clones e,.1 muvimisnto d. I. aguja $era ctreular, . " " ' 0 so mu ~r. eo I. fig. 365, b sin e'llbargo,o n O l!to case al despJa>.mienl-O de !a aguja siempl' .. r. m "yor quo 01 d~& pi"zam!.Dto deleenteo del disco, La diet.neia entre .1 " " U ~ ' "d. gravod.d y .1 centro 8eometrlco del discoR. es per 1 0 goo.rA! suraameute pequei!a;por eeo I. amplilud d. la. oscllaclenes de Jaoguja .~d pet[u.lla; al aumentar In r,~-cuencia do las re,yoh..d-OHC:5 el centro de fI11-sas e s tLUa cad a Ve , m Ol cerca del orlgen y Iaam plitud do lao oscilacion"" d. I.. aguja sea p .ro :x Jm a r a a R,. A t se r rn u y g ra n d e favelocidad d. ro~.ci6", las """Uaoioll(ljl d. Iaaguja son m u Y peq ueflas, 10 que "." Io icil deoh.. r~ ..r durant" I. ,utaei6u r,,-pid~ deldispcsltlvo mostrado en I. lig. 062. 011".,-vando .1 disco con .yuca de Iluminackme ,ll obo sc li piCfL s inc r6 n ic a resul L. I."j[ cercio-rarSe de I. "ali de. do nuessras canol U 5i on.D es.p uesd o hacer R,lll.yoryde aum eraar ''',verem os claram ~llh:1 ' que Ie ngnja , r . e pasca.I .. dedor del centro de gravedad del dieou.Cu,,"1 obloto do ocl"'81' Ios experirnen-ios tam hi ~D sa p ue (1. obra.r i. Se qui t a 01disco do la "guja y sa ,ujot. a ella por un lu-do una pequena P'" (fig, 356,.). Si 10 velo-cldad d . ro taci6n ee beja, antee d. 10 r eSODIU l -cla , I. pesa tim,s do la aguja y 1 . . eneorvn-t . (Jig. 36o, 0). Si Jicha ,'.Jocidd:"d. rota-0(60 e. alto I. aguja sc eucorva de tal maneraque 18 p... "" eocuentra m u . eerca dol eje d.rotacioR (fig. 866. 0). CUQDW m ayor sea I.velocidnd d. rotacion tanto mo.. eerca se ha-I l " , a In pasa dol oj. d e rot.don, que pasa pOI 'los e"J1~rOEi de h~j cojill~t.cs.

F ig. 36 4.


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454 C, p. XIV. 0"n. W It01HO ya hOlno, di.bo.

No es dilloil calcular I. amplilud d. Iae ololl.clon". del disco, supouiendo quo lam taci6n ocurre antes 0 d."l'U6s de Ia reao"ane! .Hcpresenternonos ~I movi miemo d el d isc o en un sistema d e. coordsnadus que gira ' " 1. I.e.uano;. proplu d. 1 oscllsclones deldisco on 1. "gu j a.fill. )65.

rrapt~Q~i(jhi " 1 ' ; 1 tTO J .t ma,J .d1 '

T'ftJ}ldori a di 1 4 l l g t t j . aoj

TrllJutfJrid tltl ~"',I"IH9t i t . 7n.a.s4f

b)


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119. O.cllaclo.e. d o un ',bol con un di,co 455Al ser grande la veloctdsd de roto.iou pare' p > .. (co. a,reglo n I noteeldnea delafig. 305). J. 1"0"0 oontriiuga ""

F~,=Mp' (R-R,l,rmentras que I. luer,a .lasU"" se represaata d. Ja miBma forma que cuando p < .,.D. 10:ign.ldad de I Iuerzas cbtendrernoe quo

R=~=-....&......l __ k_ 1.....M IiMp' p'

Durante 10 ,"senancla (p ~ w) tencmos una .mpli~ud lniinilll.; sj' al hac I", OIIloulo.10m. on conoider.olD ... I. lu erza d. rczamfcnto, se Obti.110 una atnplitud fin,it.. ,L.." o""llacJone, de ua d*(I on una, aguJ.., que hemoe d.. crito aq'ui con:slil'I1ycron I.solucien do un problema t,kni~o baslallte eomplicado para su epoca, A Ilnes del'siglopasad o sc jniCi6 I. con.lrucci,6n d. las turbinas da vapor las cu.le~ ej;qu.m~ti mente pue-den representarse c o m o u n di500 oolocadc o n u ' n 6 . r O O L A I aumentar l a - potencia y ln y~lo..cidad d e ro ta cio n comenzamn a producirse destrucclonae r .ata:st.~6fic.ae . . So orjgin~an " O B C ; i -Iacloncs t a n grandes q11:~destrulan l a mdqufua, Entonces, c o m o 0 .5 natugal, e m R , e z . . o . r o n. a (~brk ..rse arboles J ; l ! o , ri~jdo, )I.mAsresisLenl ..... in "?bo.rgo,csto. no , di6 raeultadoe: I . cscllaciones y las destruoelon es sucedtan, ,,6J~ que a mas alta, r&VOiUClOne, del flrhoI. E.absoluternonta "~id"nte quo 0.1 rntsmo d"bj~ sueeder: .1 aumeatar L a 'igid~z,dol "rbol,sa eumeutaba la frocuenci .& (U y h i . resonanctn comeneaba B . une velccidad de ro tac l6n m iselevada. Entonces Iue propussta Ia .o!"cJ611 corrects: fabrloar el Arhol JUIi, delgado. mencsrigido y trabajar con 1Jn. valocidad d. rotaei6" tal que p > to. Bsto es mucho rna. I"oild e. hacer y lIuis berate, per CS01 Sf: em p ez6 a proceder precisamente asi.L~ Iecidad d. r?taci6n de un arbol, cQrr"J'oJ~di""t& a au Irecuencia propla, Bedenomina velccidad ","ea. Acrualmente nada mequma ee calcula d. tal manera quedurante BU Iunclonamlento .1 lirbol nunca tanga I. v.loo;d,.d d. rOI iOIl cr\ti .. l'en lasIustruecton de ."plotad"'n so recomienda que durunte el acde'amionlo d. 1. m~qc~in.5. pa"on 10 ma. rapldo posihle las ' . Q I I a . de Ia s vel nol d. de. d. rc laola" "r!llea" dond ep 11 ",Ilin oeurrir p.ligrosn. oscilecloaes de peso nancia

Fig. )66.

a) b) c }


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456 c a p . XIV. o.dla~I i : 130. F"nomllnos !ranatorlo! y osdlaciones,ompuesflls.An i1isls arm6nlco

Hemos estudiadc detall. damenta las oecilaciones fO!Mdas, estacionariea,At variar la amplitud de Ia fuana externa o a] varlar su frecuencia, en elsiBte1ll.a sobts arcual actua le fuena externa stempresutgeu oscflaclonesprcplas amortiguadas. Por ello, solamente a] cabo de cierto tiempo despue;de eualquier variacion da la fue.[za ermontcaexterna, las osctlaotcnes 0[1 elsistems sobrs 01 e T I al oblo dicha fuerzasa r~n 8.rm.onicas: al prin eipi 0 Iall osci-laciones propias, sumandose a las Iorzadas, clara.n un movimiento compues-to que sa danom tna t6MmenQ transttorio . .La fig. 367, b muest.ra el registro de las oscilaciones de un pilndu]o alintroducirse una Iuerza arw6nica externa (fig. 367, ..), cuya frecuoocia 65igual a fa Irecuaneia propia del pendulo. S610 al tU1l5CUU[r cisrto tiempo unaVB, que actue la Iuerza, el p6ndulo realizara J 1 I $ oseilaelenes forzadas a 'm6~II i cas estacionarias, las cuales sa tratsron constentemente en los parrafosanteriores, La fig. 367, b expcna e l registro del fellomel!o transitorlo en este caso.Ell el Instante intcial snrgeacectlaclcaes prcpias tales que disminu yeoIa amphtud de las Iorzadas: cuando las oscHsciooes proptas sa amomguaa,(II p"uduio sclamsnte Gfectulmi oscflaciones foreadas. EI !en6meno tn.osJ-torio durara tanto was cuanto mellor sea la atenu.a(lloll de las osctlacloneepropias,Si sobre un sistema oscilatotic, supongamos, sobre uu peodulo, acluauno una suio varlas fu"r~as m'm6niMs de distinta fracuencla, com o demuestraIa sxperlencia, "ada una de estas fueuM proporcioua oscilaciones forsadas desu Irseueneia. A s! puss, In . oscilaci6n .re1luH ante sera com puesta e inarm onica,el jl!lndulo realiznra stmul taneameu:oo varlas csctlaciones de dlfarentes Ire-cuencias, de las frecuenclas de las tuer-zas arm6nicas extemns, Ademss, cadaluana peovooa r a la misma oscllaclenforeada que originarln en ausencia deIa s fu e reas resta n tee.En Ill"tem;\ liens sa demuestra quetoda funci6 n per i6dia de part 0doT

'> pusde ser rapressntade pot unasumu de/' Iancienes arm.6nicas, cuyos periodosson iguales sf, donda n, hahlanrlo en

\el"lllioos generales, tema tcdos losvalores de la serie de los nfuuaroo no-tnralcs, II. =1, 2, 3, .. A s " per ejem-plo, In fuetza perhidiea expuasta ~II l a ofig. 368, a, puede ser rep resen ta da pOIla Burna ds las des fuerzas arm.oniC-!lllm ostra das eo In fig. 368, b '! c:

Fig. J61.

l 6 A I I I I J \ II\ A J \ J \. V V V V \[\(\j\(1JV\~ 'J

(iSO.i)2!t !< tf=bsen Tt+asen T.

~nI,IIS Iusrzus t,=b stinT t y f o ==.a ,eu ~ t se Ilam a n I!rm6nlcas del!>


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{uena f. La arm611(~a f " cuyo periodo coincide con el pertcdo de Ia fuerza f.se danomtne arm6niu f"ntk;.menla!. Dshideu Ia acci6n de cada una de 18.'larm6nicas surgen osci lacioDOO' Iorzadas arm6nica$: bejo Ia sodo!! do Isfuerza ,,, cscilaciones aefraCIIQOcia Pt =?; , hajo la acc!60 de Ia f!ier~a I.,osctlactones de frecuancia P. =6 ; .

Si In frecueocia de una de las nmooica.s ooindiee con Ia frecuelloia people,supongamos, CoDI", frecuencia de la armdntea P. =0; las oscflsclones provo-cadas por Ia fuerza f. .predomlnardn sobre las osctlacfcnes 'cau$adas PO! 13armonica IUlldamBn,tal. EI sistema, sohrs el cual actus-Iii fU Ill'Z a 1; en el cas"dado es 1 1 . 1 1 resonador, un dtspositivo que sspaca de La osoilacton compuesta flag oecilaciones, correspondtentes a f. de una frecuencia Il.prOl!'Jmad&mentBigual a (.i). _Cuanto m a s aguda es i l l . curva, de reaonan~ia.-CJlanto meaor s . Ia 4tllnuaelan de las, oscilaciones propias del rssonador, tanto . m a s cercarras ~et!-n a las-armcnlcas las oscilaciones de resonanefa y tanto IDsjor el rasonadcr seIlaxarAlas osoilacjones de aqualla freeuencia que es cercana a la suya ..Sin. duda, Iaaosetlactones proporcloaadas per Ins demas armcntcas, slemp.e estariin pte-santes, pero, slendo paqueiia le, amortiguaci6n, lasosctlactones saran muypaquefias.Dicha p"opiedad se[ect;va del resonador S9 utfltea ampbamente en t.odauna ser il l de d isposi tiv


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'58 Cop. XIV. o.


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no. F.n6m~" '" I,.. ilo,io. y o.ci I.


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460 tap. XI". 0 " " " " 0 . " .Si el g iroscup io que prev iam ente ~e ha puestc en rotacinn se detiellB gradual.mente, puede observarse com o, paulattnam ants, uua teas otra, cscilan hastealcanzar una gran amplitud las lengiietas. De esta misma manera se puedaobservar com o dism inuye con 61 tiem po la velocidad de rctacion de nnmotor .Los fen6m enos de resonaneia son el Iundam ento de la construeclon de todauna serie de aparatos para m edir la Irecuencla de Ius oscilecioues. Por ejem-p lo , la fig. 372 m uestra el esquem a de un Irecuencim etro de leog iieta, cuyoelem ento fundam ental constituve una ieng iieta, Ia p laca B con una man m.en UP ext reme y ujade POt el otro ex tram 0 al cuarpo del apara to C ; a ciertad istunciu del lugar de fijaci6 n dlcha p laca estaapretada entre 10$ topes AY A'. T ocando con a! cuerpo dol aparato el cuarpo cscilan te cuya IracusnciaDOS p ropenem os m edir, p rovccam os las oscilaciones Io readas de la leng iieta.Luego ccm eneam os a m over los topes AA' a 10 largo de la p laca hasta encon-trar Ia posic.i6 n para la cual Ia 1eng iieta tendrli 18 am plitud de oscilacionesmaxima . La fracueucla p rop ia de las oseilaciones 911 esta posicion de los to-pes AA ( a s e en oc id e y S0 indfea en la escala del frecusncim etro de Ieng iletas.Por 10 tanto . ~St8 es precisam euto igual a la freeuancia m adida de las osci-lactcnes medias.Si Ia oscilacion es compuasta, es decir, cousta de o sc ila cio n es armOUic.'5do dllerente Irecuencte, el aparato descubre todas Ins freouenelll!l, sl estllS Iii.sa hallan m uy corea una de o tra.Para todcs los sparatos de tal genero el p rincipal elem ento sensible as uneresonadors, cuya Ireeuaucla prop ia sa pucde varlar con facilidad .En acnstica, optica, radiotecn ia y 61 1 una serie de otrae esieras, lo srasonadores desem petian un gran papal en virtud de sus p rop iadadesanali ticas.

fig. 111.

Fig. In. . ,cI_ . 1 ' _ BftJ __~-----C)f J ' A . " " . : : : : ~ - . - ~ m, 'II _ -.'


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131. AutooscllaclonesUt. Aul"",dI8Clone. 461

A datermlnadas condiciones observamos oscllactonas peri6dieas coastan-tell OD un sistema que 110 esta sometido a una acci6n peri4dica extema, Porejempio, sobre una' cusrda sopla un viento de Iuerza c-onatanto. al eual, si Iacuerda B e t a inm6vil, s6lo provoc.e.una de.s*iaci6n constanta de Ia milima haciaun lado, Sin embargo, bajo 18acclon de un viauto permanents, frecuentemsa-to observamos oscilaciones peri6dicas estacionartas de Is cuerda, cuya Ere.-ecancia as cast iguaJ a su frecuencia propia.Sobre Ia cusrda de un violilWSa pasa unlformementa-un arco, 18.fueua derosamiento del II[CO' con la cuerda debiera tlrer de &ta, sin .embargo, todos.sabemos que COil esto surgen osctlaclonee peeiedlcaa de Ja cusrda. '81'lin: ausen-cia del vicuto y del areo desplasemos una cuerda de 30 posicion de .equQibrioy Ia soltamos, aparaceran las osctlaeiones propias 'que pesado un cterto l'iem-po sa agotan. Pero en presencia del vrenro 0 cuando stl_mueve 01 arco, lasfuerzas que aetw.n sobre la euerda oscilante varian de tal -manera que mFig. )7].


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462 CII'. XIV. O.ell .clDno.de rezamlento del casqutllo del pendulo can e J arbol qua gira actuan sabre alpendulo creando un memento determinado M,'). Conslderemos el ~rabajoque realtsa este momento durante las oscilacicnes peri6dic~s del penduio. Enuna mitad del perlodo 81 trabajo del momcnto de las fuerzas de rozamiento!vI, 9S lgual a Ia energla tomada del p~"dulo al girar sl arbal y el pellduloen sentido contrario (fig. 373, b); en 13 otra mitad del periodo, por el con-trar!c, euando e] pilndulo y el arbol ginn en 91 mismo sentido. el trabajodel momenta de, las fuerzas de rozamiento M, afiade ensrgfa 81 pond\llo(fig. 373, c). Para ciertas condiciones la fuerza de roaamtento seco casi nodepends de la valocidad de desllzamtento: ontonces eJ trabajo de las fuerxasd9 rozamtento transmitido per el p.ndulo sora 01)10 y el rosamiento con I.DIsuspeasion no tntroducira atenuaeion.Pero si 18 fuerza de rozamiento del arbol con el oasquillo del pendulodepends de In valocidad de deslisamiento, entonces el cuadro cambtars.Supongamos que 18 Iuersa de rczamiento crece con la velocidad de desllza-miento; entonces el momento de las fuerzas de rozamiento para el estado ClUB'mnestra 13 fig. 373, b, serB mayor que. para el representado en Ia fig. 373, C ;por consiguiente, la accien de las fuorzns de rozamlento toms energia dslpilndulo durante el periodo y las oscilaeiones del misrno se atenuaran maSfuertemente, La energi3 de las escllacioncs del p e n < 1 u J . o sa gasta en Ia suspen-si6n, y al rnzamlento con el arbol que rota solo incrementa la ate!lunci6n delas osctlaclones.EI cuadro del fen6meno puede variar en princip le 5i In fuerza de roza-miento dism,nllye al aumentar la vel ocidad de dasltzauilento. Tales condicionespuoden Ilevarse a Ia praetica !II lubricar un poco para una gama determinadade variacidn de fa velocidad de desllsamiento. La curva tipka de Ia rclacicnentre el momento de in Iuerza de roM mien to con 6 1 pendulo Inmovil y lavelocidad de rotacidn del arbol se muss-F Ig . 3 74. tra en Ja fig. 374.Supongamos que a Ia velocidad derotacion del bllol Ie correspoude laa osclsa del pun to A ; entoncas III ener-gla de las osctlaclones del penduloaumentara durante un periodo, 10 queM, se demueatra Con fac.iJidad basandoseen razonemientos similares a los be-

chos an le,iormente. E1 pendulo a osci-Jar recibira del uIbol una cantlde d de-terminada de ensrgla all un poriodo, ysi osta cantidad Ill! mayor que la ener-gla gas ta da en 91 ros am Ien to con alaire, Ia amplttud do las oscflacionssdel pcndllJo crecerti con e1 tiempo.w Podsmoa clarno. una idea del CUB-w, dro de las cscilsctones, exammando lasgraiicas de la fig. 375. La gr;ifico amuastra Ius osctlaciones del ",ngulo dedssv Jaci6n del pendulo '" con 91tiom-po; In gFIif ic-a b, 18 variaci6n de la velo-

') So supone qU6 10 veloeldad do r~~aei6Ddel arbol es slemprs mayor en v alo r abso lu teqll. I. velocldad d. ro~.ciou dol p.udulo elosr.il.e_r.


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fig .375.

M~a ,

o~)d ) I

U1. AutDO. ; ~tas.tienen luger alrededor de Is. velecldad'GO IlS tante de to tncioll del lirhol ro;la g r,W eD d mu estra las osotlecion es delmemento de las r\ler~IlS d~ rcsamtento-del arhol CO.n el casqutllo M, sUa f!ler-sa de rosam ten to dtsm inu ye 8 1 au-mentar la velocidad de, deslizamlentc-y ia grliiica e, la vartaeidn del momen-to de las fuerzns de rozam iento con B1aire M3; e.sle memento see.ncU.Cll,tncsiem pra en aotifase ccn las oscllacio-nes


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464 C ap . X IV . O $Cllaclo neomanera que I l l . fuerza que ohra sob!" at resonador se hace peri6dica i f man"tlane las oscllacionea en el resonador. Siempre existe una reacci6n entre Isfu60te de snergfa y 61 rssonador, la cual garantiza las escilaetcnes de laInersa ceeada par dicha fuente de energia. En nuestro ojamplo !all oscilaclonesde 18 velocidad dli deslfzamiento garantizaron una reaccien la cual se realizepor media de las 08cilaclones de Ias fuerzas de rczamlento CODel lirbol quemantlaue las oscllaclcnes de] pendula. Para que surjan autnoscilaaioues esimprescindihle ciarto (annque sea muy pequeno) impulse, pues todo el pro-ceso descrlto empaza'ra cuando el pendujo se desvie de in posici6n de equill-"hrio y comience a osctlar.

tas oscilaoion es d. uu pon"dulo


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, u.AlrIooscl!aclon~. 466elsif6n v""jar. p.rt6d.icameDt. 01 reci1>ient .o , de I. marea B a ,la,mazca C. La velocidad d.vorl.cion de! nivel del ag"~ mues tra an I. t . l 1 I . S17, Por ias gr'afic"" ,a va que par. este easo Ins osetlaclon Ja sen eom}!l.tamcnte i1"r-.m6niCo s, D. manera p.rtieiilarmeu'e brusce varia Is veloeidu d. mcvimiento dol nivelcuaude se eccnectas y .descouocta. 0 1 , " U . s . n . Pero eo .1 pIosen'" caBOI"" oscil ac Iones B o l lpurameute peri,sd;"". y so marrtienen por I. eorrieJlte uniform. d. agua pt"",d6Jlto delgrtfo.EI p.OOMO pueda describirse asl: poru ciarto 'niv.1 d. el"v~ci6o del agua eIl"I)oipiontose vuelvo .perforado. y .1 agua comlensa a sallt del mismo bast. quo a detei'millndo des-eM.O dol nivel .1 gujoro cierra, El guioro~ sa cierra 'y 50 all", par .1 .gwi quoIlona ul.""lp ionte,: on ""'to ,"OU& ;.t~ la "reacci6n . Las uscilaclones dtll nivel !lo l "8US par . ..como si variaran las prcpiedados del recipteuta,

Autooscilaciones del misrno ripe aparecen ,31 desli ... rse uti "UMPO sqbre un resorte:POt una superfieiO sere. Ln. autlloscilaeiones del nlve] del II",,; O J ! U,II t~iDionl


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406 Cop. Xlv. OscU8onllJ Ill. Oscilacio nes p ropi as de un sistema con variesgrados de libertad

En los pirrafos anteelores hemos exammado las oscrluclones de un solocuerpo: bien. de una pesa suspendlda de un hllo, bien de un (:uerpo sujeto aun resorte, bien de un cuerpo sumergido en un llqutdo, etc, Si las osctlactoneslas efectuara un Ifquido contenido en vas es comuntcen tes, las oscilacionesarm6nicns de una particula determinaflall un'lIocamente las osctlactcnes detodas las partleulas dolliquido. Tales movtmientcs poseon U.n grado de liber-lad; OSsuficlente conncer 13 varlacidn de solamente una magnltud para eono-cer por complete Lodo el proceso del mov lrnlento.Pero vanios a suponer que provocamos las oectlaciouas verticales de do.pesas suspendidas do rssortes una dahajo de la otra (Iig. 380). En esta case elresorte inferior se deforma.r3 durante las osctlaciones y el desplazaunento dela mass superior "I y no sora igual al desplazamtentc de la inferior x,. Du-rante las oscjlacfonss varianin aimultaneamente dos magnitudes: "1y zO' Exet-tsmcs, par ejemplo, s610 las nscilaciones do Ia pesa inferior, comunlcandolemediante un impulso brusco cierta velocidad; inmediatamonte sUIgiral>tambien las oseilaelonss de In masa superior, el resorte entre Biles, disten-diendose y ccmprimiendose, tambilinfpolldra en movimtento osctlatorlo lapesn superior, Por 10 tanto, al analtzar las oscrlaciones estamos an la 0bli-gacieu de tenar el l cuenta 01 movimiento simultaneo d .e amhas paSUS: dtchosistema osoilarorlo posee dos grados de lihertad,Exactamente de Ia misma manera tambi6(1 dos pdndulos scoplados me-diante un resorte Iigero a (fig. 381) y ccpacas de efectuar oscflsciones s610 en elplano vertical


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1 1 : 1 . O$dIIClonol PlOp II. de an .I!I.. ",. 467dian te un pequefio resorte (vease la fig, 381). Dssviemos uno de ellos y mente-gnmos en su Ingar el otro. A ecntinuacirin Ilheremos simultaneamenteambospendnlQs y regtstremos Ius cscllaeiones de, ambos pendulos en una hois depa p el. Pod em 08 re p resan ta rn as el cu a dro de Ies oscila c.ion m i P or 18 g rafi enexpuesta en la fig. 38Z. 'AJ comlenzo el prfmerpendulo oscfla aproxtmadamentecomc 51ratuvlera-mos at segundo con Ia mano y el resorte entre lo s miS!;!los$6 comprime y dis-tiende ostensiblementa: la fuarzu del pequefro resorta actuara sobra el segundopendulo yeats eamenzara panlatinamente a csctlar, Como 1&ensrgla comunt-carla al primer pend:ulo se trnnsmitiTa psrctalmente al segundo, Ia amplitudde las osctlactones del primer pe,odulo ilecrecerli poco a poco, mien tras que laampiitud del segundo pendulo crecerli.Todo esto durara eiarto trampo ' 1 : / 2 , hasta que ~l primer pendulo sedeten-ga y 81 segundo (sl las poirdidas por rozamieneoson ]leq:u~ilas) nac!larQ caslcon Ia misma amplitud que el . primcro bnl'a, a1 comieaeo ..Luego los pendulosmtercambianin papeles: el segundo arranca el primsro. y el proceso 89 {Ilpitej I l teg~amllllte,pues lo s pem lulos son iden ticos. Los, pendulos r~aJha.an osei.-Iaciones ora crsoientes. era decracientes y pnsado ;untiemp() '[ 'iutercawbiaraIl.energie , Estas osctlaciones sa denominan pulsaciones y el ticmpo '. period"de pulsoctones. L~ energia mecaolca pasara en todo tiempo easi por completede un penduio a otro, hasta que sa trausforma en energia t,:il'mica y los peD du-los sa datienen.Ahara desvtemos de alguna manera ambos pendulos y soltandclos, tag's-traID05 el proceso de las osctlaetnnss. En Mte case la ampi itud o e las. oscila-ctoues d~ uno de los pendulOll tampoco permaueceni constante: Ia mlsma oracreeeni, ore decrecera: se chservani eJ mismo euadro ccrrespondtente conalotro p"ndulo; WmO ocurri a antes, si In amplitud del prlmee p fndulo crece,

12r I zT 12T 12r


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~8 Cap. XlV. OJcll.cionesL a del segundc necssariamen ~o decrcce. Perc ahora In amplitud de las 080i-Iaciones de Wl penduJo 80 dismin:uye hastn care, sino que varia desde ciert.;imohasta cisrtu minimo, apeoxlmadamente asl como muestra la fig . 383.Mas el tiempo de ebombeos de 10 cnergia, ell declr, el tismpo durante el oualla .mpliLud de 1a.5oscilacionas varia de su m axim o a su oDe im 0 Il8 igual aT./2,0 sea, a la misma maguitud. Cualquiera que sea la forma de cxeitar lasoscilaclones delpsndulo, el periodo de sus pulsacioues siempre sera 6 \ mlsmo;scgun el metodo de excitaeicn rolo vuria Ia diferencia entre 01maXilllO y elm lnirno do Ia am pljtud do las osct lactonea de los pendulos .Las cscllactones de eada Uno do los peo(\ulos, hablnnrlo en t e tmmos gene-ra les, son tnarm 6 .0jcas para to dos los c asos. C a d II p6n du I0 parece com o 5iroo.li?ara escilncioues arm dnicas, p eru su ampntud v aria p eri6 d ic um ente cODun mtsmo periodo de pulsaclonas T. La roagnitud, 0 sen, la proiundtdad, delas vaeiactonas de Is amplitad durante las oscilaelones depende del metodode gsneracidn de las oscilaclones. Evldentemente, se puade intentar halls!"un m etodD de excitacion, despues del coal las pnlsaclonas Sean muy d6bilesy Iu s osctlactoncs S9 encuen tren Ulas prOx.imRS II. les a[mouicas.POl" eOH sidem ciones basadas en In simetria de los p~ndulos, pueden sen.!-larse de tnmedtato d09 peocsdimientos de excltacifin desputlli de los cnales lasoscilactones de Ins p6 ndulos serlin purarnente arm6nicl\S: el ptimero es cuaudoam bos pendulos so desv ian POt igual ell una m ism a direccion Y Sf) sueltaa y 61segundo. cuando ambos pendulo" S6 dosvian por igual en direccionea opusstasy se su alta u. Despues do usar Ia excitaci6u del prlmer tipo ambos penduloselectuar"n oscilaciones tal como 61 no hubtera resorts, IIste no cambtara delongitud durante 18" oscilacicnes. Si 61 resorts tiane un peso lllsignific8Dte,los pendu los ascil"ran con .1 mismn periodo T, con que Iealizaria oscilacio-nss prupias nuo solo de J03 pemhLJos.

Fig. Jll.

, ' J l l l l l l U l l ( l W l l l U l i l I l l l l l l l l l l l 1. m m Y m m n n m m n n m n n m )I


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In, AnaUsb ,11>611


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470 Cap. XIV.O"II~don que 0 1 periodo de las pul .. cion es:

2n(t33.3) ~=~.El segundo lumjno de la oscilacidn resultnnte (133.2) fO.p", .. nta Ias nsoil.cionesarmenleas de Ireeuencta ( 0 , . La c.omposici6n d. IllS .puls.cione. pura col) las oscilact o-

nos tlrm6ni"",,, produce un fen6meno de pulsaclones palO las G U r u . ' I mplitud. d. I...csctlacicues da con .1 periodo d. Ias puls lones ~, 1'"'0 nunca Uega a so, nula; In g T 8 - .!lea d. dich osctlaelcnee s. uxpcne en I. IIg. 383. Cuando se euman do. a.eil.oione. d.igual am plltud A ~ B lao p utsaciouee sera... p uros, y pora A """ B lao puleacloae ... raoordluarias; adem , ,~ Irecnencfa vp = . . ! . . . . g~n 1. (133.3) siemprc .,~

(1))-((12VIlI5II~-"'l-'Y:2i'

doode v, = ~' ,Y "'=~ son Iasteoeuenetas de las oseilacioues arm.6njea. que al sumarse" ' f L & ndan pul$llciane,. La freouencia de las pulaacicnes e [guo] la dilerencia de las ,[rOOU9nC!aJld. las osciluetonca eoruponeates y no depend. d. sus amplitude. ui de sus la'.' inlclales.B I L iompo e lllt'e do" pOIOS p or .. ro consecutivos .0 una u Iiom a dir.""iO n

1=_4_,,_",,+,.,(v' as o In Ilg 382),., puede llamar periodo I,.que!io de I o!Cit.cione. ecmpueetaa

Tsmbien podemos representarnos palpablemente el fen.6meno de laspulsaciones asi. AI sumar dos osedlaciones annonicas proximaa que sa reali-zan en una misma direccttin, !lstas daraa dasviaciones mhi mag lin el insta.lltet" cuando amhas oscilacioues proeedan en fase; ulteriormente, eon sl CUI'!IOdel tiempo, 10 amplltud de las osctlacicnea reanltantes dismi!luys y en alInstante t., cuaado las componentes esten ell oposlcitiu de Iase, las oscilacte-nas alcanzaran un minlmo; lnego las oacilaciones aumentaran nuevamentay en I I I instants t" 1 1 . 1 1 que las ccmponantes de las oscilacioues resulten estarde nuevo ell Iase, Is amplitud de las oscilacioues resuitantes se hara nueva-m ente m axim a y al![ sucesivamente.El periodo de las pulsacienss '" svidentemeute es

(133.4) t. --I.=toSupongamoa quo Ia diferenoia de lases para el instante 11sea Mia, ell decir,

(133.5) WIt.. + cp" - 00, t1 -


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47'2 C8P. XIV. O .< lI.c lo estaIan cem pucstas PQr csoilacionee eo!asic.as de irC lCuencia Wi, ~r aIll-p litud 4"V par oscua-cion on oJlosid6n de fass de Ireeusncta "'I y amplillld b. Tal e. en ra.go,general 01cuadro d. I oactlacion propius d. do. poodulo. iguales,

Si los pendulo~ son diferente.~, asimismo, parI! condiciones inidales cua-lesquiera, IlLS oscilaclones de cada pelldulo estnn compuastas por la sumsde des oseilaciones armonicas de Irecusncias (0), Y ( I ) , . que son las frecuenciespropias del sistema de pE?ndulos dado. Dichas oscilaclones, para las cualesambos p~ndulos oscilan con s610 una do sus Ireeuenciaa proplas. tambienpnsdea generarse, oligisndo las condiciones tntcialas, pero sin hacer on eiil-culo te6rico es cliflcil detstminarlas previamenta parn p.md.llos da dilerentelongitlld.

t35. Oscilacicme.s propias de ires pendu\os acopladosLas osoilaetones proplas ds ttes pendulos acoplados, 0 sea, do UD sistema

de tres grades de libertad , son todavia mas complejas e iguslmente son la sumade tres oscilaciones armonicas. Un Sistema de tres pdndulos go~a de tres Ire-cuencias propias,Las osctlacloncs para una de las t100Ilencias propias de un sistema Iorma-do por tres perodulos acoplados igualos puedan observarse fo\ciJmento en unsxperimento. En este caso, al igual qus an el easo de los dos pend1l1os. sl 10-gramos elegir las condiciones inlcialss datal manera que despuss de estlLStodos los pendulos realicen cscilactones aemontcas eon una misma frecuencia.Ia frecuencia de estas oscilaciones ser~ prectsaments una de las frecuenciaspropias del sistema.En In fig, 384 sa muessran las condiciones iniciales para las cualas seproduce cada una de las tres oscllacloues propias en un sistema de pend ulos

Ag. 384.

4) h I < I


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!iUS. OKUodo"". prop'" do "as pl!n!lulo." acoplados 473,acoplados con frseuenctes proptae W,>w ,. Es evidenta quasi ~B cum-plen las condiciones inicialas repreaenta das all las figs. 384 ~ y b. aparaceranesctlaetcnes arm6nicas de los pendnlosI) con Irecuencies Ws Y ()l~En 01 Nimer caso todos los penduloo cscilan en fase con la mtsma irecuencia con que osolla por separado cada p~ndulo, cuaudo no (lsta acoplado alos dem Its 'i los resortes no participen en las osotlaciones, 1\0 se daforman.Pan el segundo case los poilldulos extremes osetlan enoposlcien de fase,las fuerzas de Ios resortes que actuun sobre e1 poiudulo central se eq-uilihranentre S1y par io tanto 110 producen osctlaclonss. La J;reouencia de Ias oscila-clones para el segundo case as mayor que en el primero, ya que eo eats casea la parte ependulars de la fual'a reouperadora2) sa suma ademas la fnsrza dedeformac i6n del resorte,La aparici6n de nsctlaciones armentcas con posterloridad, a las desviaeio-nes Iniciales en al caso rspresentado en Ia fig. 384, c, de tnmadlato 1)0 se veclara. Sin embargo, puede comprenderse qua Ia fuerza rscuperadora de oadauno deIos pendulos ea-proporcional a su desviaci6n, al.mtsmo tiamp,o el ooefi-ciente de prcporcionaltdad as identioo. Efectivamente, Ia -parw"'Pen,dnlonde In fuerza recuperadora es d es v eces mayor para el pendlllo central, )'a que511 desviaci6n as ex, mientras q\lO 18 desviaclen de los pOlldu]os extremes '005610 i/Zo;; asimismo, 1a parte de In Iuersa recuperadora de Ios resortas queactuan sobre el pendulo central, tambien sera do. ! ! e e e s mayor que Ia de lasque actuaD sobrs los pendulos extremes, ya que un resorte 50 ha d istendidoen una magnit\ld propcrcional a 3/20;, mtentras que el otro SC ha comprimidnen esa misma magnitud. Las masas de los pendulos son 19uol95, as. COUto 10son los coeftcientes de I"" fnsrsas recuperadoras, por constgu ;eot .., los psrio-des de Jas oscilacionss tamhien saran igullies. Es evidente que WI >0 , .pussto que para el tercer caso los resortes sa deforman mucho IDn,S (con Iamisma amplitud del poindulo extreme)quo dnmnts las csctlaclones en el se-gundo easo. Las osoilaciones de lostres pendu los, que surgan debido a lascondiciones Inictales mostradas poe Iafig. 384, Sou osctlaciones armdnicsseoncordnntes de todos los pt!.ndulnsa una de las osetlacionos proptas,Del mismo modo que para el casede los dos penduloo, las csoiiactones

prnpias arbitrarjas de tres pendulos sapnedsn rspresentar POt la suma d0 tresosctlaotones, cada una ds las cualescorresponda a una oscilaeldn arm6n icaconeordante con una mlsma frecuenciapropia, Gada UlUl do est as oscllacionesconcorduntas se llama esci!aci6n nor-mal que curresponde a una frecusnciapropia dotermlnada dGtodo el sistema

FIg. l8J.

1) L mplilud do I csetleedeuea del pon-dulo "'Mral en .J .. gundo 0 0 nula; poreso puode d.eir:&oque"6.'~ osclla con I" 'CU.8-0,. "" pero COD awpli t u d nul a.') La part pend" I.... de I. (u.... recupe-rador ... igual a m8ct. dende ct cs el 8ngulod. dcsviac,oo y ""', .1 ] > 0 del pendol o,


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474 Clp. XIV. O" il.< 1o complejo- Pur 050 Be dice hrevem(!nte que: todas W~ o S ! : i / a d o 1 l e - S prop ias delsis lema s o n la suma de o S ! :iado nes normo.le .! -.UIt Cua dro eoteramen til anil ogo sa 0 bserv ara lam bien en BJ caso de las OI!d-lsciones do UJI sistema compussto por un grail mimero de pendulo,s (I cuerpososeilantes distlntos. UJ) complejo cuadro de las osailacioues proptas posterio-res a condiciones iniciales consta de un ennjuntn de oscilaciones simples,arm6niml-,' 0 norma las. El numerc de osci laciones aormales, asi como el nu-mero dGoscilaci.ones -propias, es igual 31 num ero de grades de Hhertad detodos los cuerpos a oscilar.Eo resumen prestaremosatencnin al hache de que el cuadro de las osci-Iaciones de siste-mas complejos ha sidosxamtnade por nosotrcs supontendoque no exist& rota miento ,. 0 en otros to\rmino5, que las fuersas de rosamiento.son muy pequefias, Las iuerzas de rozamtanto pequllilas oeaslonanin poccscamblos en eieuad[o de las oscflacinnes en ciartc intarvalo de tismpo, noo b s tan te, con I II t ranscu rs 0 del tlamp 0 Las QS Ctlaclones se arnot t tg u adn. La 1 pe!!dulos Ia resonancia SIlobservarii con 11valores de la frecuencia de,la Iuel"'.a sxtertor.La depeudelicia antre la amplitud de las osctlaelenes de UDO de los pendu -los y Is fracuencia cuando la amplitud de Ia fuerzaexterior es constaate 59ex p one en I a- [ig . 387 , donde se van dos erestas de resonancia en las pfOX inti-

dades de las fl'ecuenoias propias 0 1 , y 0 1 , . Tambien e s de gran Importancia elminimo caracterlaticode laamplitudde las oscilaciunes a la frecu&ncia queSIl design a per n , . ; de este minlmo hahlaremos mas adelanto. niche curva dereecnancia oota.dihujads pal's la amplltud de las oscflaciones del pendulolargo, sobre el cual act6.o. una fuerza oxterior P=a cos pt. Durante Ia t&-sonancla cuando p = O l. (0 P = O l , . ) , la aoci6l) de Ia Iuerza exterior Ia equill-bra In acci6n de las fuersas de roeamisnto. Si las !uanas, do rozamlento SO])


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1l6. Osdl.cl_ """,.do. en .I""",u c~"'l'leJo,475,muy pequafias y la fuerza sxtseior es 10 suflclentemante pequafla, las osctla-clones Iorzadas en sl sistema durante Ia resonancla SOil parecidss a una osci-lacion normal, pussto que Ia frecuencia de 18.'1nscflacioues fo...adas es igllnln la Irecueacia propia. .En la primers resonaneia {p = m .J Is correlaclen entre las amplitudas ylas rases sera parecida a Ia que muastra Ia fig. 388, a. Ambos pendulO.'l emar-dian an Iasa, pero el anguln de desviaili6n dBI pliIidulo largo ss mayor; InIrscusneia (II,es carcana sclamento a Ia f~eclleocia propta del pelidllla Iargo,eats oscila COliuna fr-ecllencia proxima a la propia 'J con asta misma frecuan-cia earrastras consign al pandulo carlo, cuya frecuencia propia es muoho m~salta; Is Juersa del re-sorts'-) _actua sobra el pendw" c6rto on Iass con las oscl-Iacicnes de este ultimo; el resorta se distiallde al m,a:dma en .Ia .posici611mostrada en la fig. 388, a, y tendra. sucoinprelli6n -maxima pasado un semi-pedodo.A 13 sagunda resonancia (p =01) las oscilaciones de las pelldulo5" 511ell-contraran pr6idmns II Ia osctlacidn normal de lrecuencia ")1; el aspecto apro-ximado de sstas osotlactones pusde verse en la fig . .388, b. Estas oscilaciob.esestaran ell oposicion de fase y tendran una fracu90cia IDJ' cercans a In fre-cuencla propia del pendllio corte, Ahora el pendulo corte esmpuja sl largoque oscila a una frecuencia mlis alta qua Ia propia; par 10 tanto, la fuerzadel rssurta y el desplazamteuto del pendula largo sa encontraran en oposicidnde fuse. En Ia fig. 388 las amplitudes de resonaneia parseen ser paquell.as,paro slendo pequefl.a la Iuerza F con otras Irecuencias (no de resonancia) laspeodulos practicamente no se moveran.

1) E~1.a Iuerza puede ccnsideraree CIjDlO f . u e f ' 1 : i I I oEll2lxtt!'riQI'1 respecto al p . e n c i u l o corte.Fig. 186. Fig. 3$7.

Fig. )83.

-1 --1


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476 Cop. Xl v . Q,cil lone.Todos Ios fen6meIles, de Ias nscflactones Iorzadas eon des pendulos se puadendemostrar muy fa.eilmente por medic del dlspositivo, cuyo esquema uruestrala fig. 389. EI resorte B debe elagirse 10 suflctentamants Iigaro y suave, yel radio de la manivela R debe sar mucho mayor que el desplazamiento delotro extremo del resorte d uran t6 las oscfl aclones.Presents lin interos especial el C9So en q1l9, 19 frecueocia de las oscilacicnasp = n , . para la cua! la amplitud de las osellaclunes del pCHdulo largo 1 ' < 1 su-mamonte palJ1leiia. Este feu6meno so utiliza pan, amortiguar Jas oscilaclenesIndessables. La experlencia y el calculo demuestran que Ia 1recnenoia n, .es igual B Ia Irscuencia propia de las osoilaciones del pendulo corte sstandcen repose el pendulo large. Cuando la frncu6llcia de las oscilacioues Iorsadas as

P = "I. el pendulo corto osctla con su frecuanela propia II, de tal maneraque Ia fueru delresorte en el pun to C (vaase Is fig. 389) equilfbra la acci6nde la fuerza extertor f y el pendulo largo quads practicamente detanido.Es posihle emplaar oscilacionea aeopladas pare amornguar vfhracionescuando las vrbractones nocivas- tiensn una Irecueueia constanto. As!, pOIejewp!o, pare aliminar las vibracionos horlzontales indeseables del ecttnete Gde una maqll.ina (fig..300) que funciona COD un nomero de revoluefones coos-t!IDte n, sobre el cojiDete sc coloca una placa a con una masa men unaxtre-mo. La frecuaucia propla de las osellacloues de 18 masa en Ia place se eligaigual a n. Durante 61funeionamtsato de In mliquina surgen cscileciones hastan-to glandes, de Ia placa, sin embargo, 01 cojinete de III.maquina S0 eucuentreeast complstamante inm6vil y, de est" modo, sus vfbracionss pahgrosas saellminan. Dlcho disposrtivo S6 llama amart,igu~dGr dinamico.Los amcrtiguadores dinA,mieos smplsados paru sllmtnter las peiigrosasv ihracicues torsionales de los cigiiefial"" de los mctores de comhustlon in-torna sa construyea basandoss en este mismo prlncipio,

Fig . 3 89 , Fia390.


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116..O",ilac:io""s lo,.. d & s on sine ........ pl.)." 47'1e n an d0 una Iuersa peri6 dica exterior a.tu.. sobre un slstema que tienevarios grades de llbertad y posee toda una sl)Tiede frn_cuen~iasprcprae, hahlan-do eo t,j~minoa generales, observliremoa eescnaneiaen cada una de las t o o -cucnclas propias, Por III tanto, para "liwinllt las eonseouencias indesaables

de 1a resonOJ] cia os preclso oviar Ia cclncl doneia de la lucncnei_ll de la fuersaexterior cou cada freeuancia propia, La observancia absoluta de IlSte raquisi-to sa necesarla CU R udo se eoncce de antemano que lo a fuerses de .ronlil.Lentoson muy pequ elias. Mas si las fuersas de amortiguad6n son slliicisutoo, lareson aneia no sera de peligro,


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Cap itulo X VO SC ILA C IO N E S D E U H M ED IO C OH n HU O

137. OndasAhora ya sabsmos ( 120) que toda variaei6n de la presion 0 de la densi-dad de un medlo continuo sa transmite B determinada velooldad a Ias parti-.e ula s v ec rn as y alII o cu rre n variaclones analogas; en el m edio S6 propaga unaonda de variactoues de pr.si6n (densidad, etc.). Las oscilacicnes de las parti-culas de "ire" provocadas per las cuerdas vocales de Una pcrsone 0 las osci-Iaciones dol diafrngwa de un aJtavo~, sa transm iten de una particula de air~a otra y en 81 aire se propaga la onda SOnora.La onda sonora que parte de un altnvoz en un m adio hcm ogeneo se pro-pagn igualmente a todas las direccionss. A dlstancias Io suficient.ementil'

grandes de la fnante sonora los puntos, hasta los que Ilega In perturbncionen Un instants dado , f,stlln dlspuestos de manera aproximadamente wferica,Por eso tales ondas 58 denominan ondas esjericas. So llam a superiicte de ondoaquella superficie sobre Ia quo todas las particu las de un media homogencorealizan m o vtm iento s ioell.tiC()5. Ev identam ente, Is superficia de onda de unaonda e . s E e r i e R es cualquier esiera en cuyo centro se halla una fuentc de ta-mail!) ins!gni(icante que engendra las oscilacicnes,Ua ejempl(.) evidente de la propagaclen de onda hien conocido p(lr todosson las ondas que corren por Ia superficie de un liquldo. Lns ondas que seprepagan per Ia superficie del agua, provocadas 31 ceer una piedra a esta, sedeaominan circulares. Si un cusrpo cualquiera, por ejemplo, un 101,0.001",raalua osctlaclones arm ontcas COD cierta frecuencia, a partir del m ism o ~~propagarsn oudas clrculsres regulates.

Fi~. Hi. Eo. este caso las gib,,;> )' las !ilavida-des. de Ia onda se propagan sobre Insllperficie del agua (fig. 391); In lineade onda en este caso, evidentemente,:;or" \1ll1L circunferencia,El tipo mas sencillo de movi-miento ondulatorio 50.n las ondas que sepropagan en una misma direccinn,POt ejsmpln, Jas ondas en aire que sap ropsgan a 10 largo del eie de un tu-b e a partir d & u n embolo que ( ) S C i . l a(fig. 392). Las ondas de cotnpresldn ydilatati6n viajan a partir del tim bolo onuna misma direecion, tcdas las particu-las d9 ILire que particj pa n en al m ov i-m i en to oscila torte, 56 m u even a 1 0 J ar -go del aje del tubo, Ondas iguale5 deUDa m iam a dlrecclen p ueden ser prov o-cadas 9 1 . 1 . una barra elastica si S 9 golpeauno de sus extremes. Ell este caso lassuperficies de onda seran p ianos norm a-les al aje del tubo 0 al de la barra: ta-las ondas se H am an planas.Las ondas en que las particnlas os-etlan a 10 largo de la diraccien de p ro-


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07.0nd .. 479pagachin de las oscilacl ones sa dsnominan ondas !an IlU ud in(>/es (fig. 392 mues-1 . 1 ' < 1 un ejewplo de ondas !ongit\\dinllles). LOll ondas an las ,cuales las patti-culas se mueven transversalmente a la dlreecion de propsgacicn de la onde seIlsman orul


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480 "'PO xv, O,


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1)1. Ond.. 481Supongarnos que las veloctdades de movimiento de los p~tOl!'d6 Isouerda sean tales como los qua aparscen con Dachas an Ia Hg. 396, a. Entnn-ces Ia fuersa F' que, actua sabra la particula of. le detendra, amtnorando auveloetdad. Es evidente qa:e esta dtstrtbucidn de velocldades correspunda a

una on da que Be dcsplaza hacia i~q1lierdll. ~5i conocemcs las v;elocidades de los dif61"entes puntos de la cuerda parael Instan te t, pod em os cons tru if Ia poski6 n de J os ml smos para el iu a tan tesiguie.nto t + dl~ En la Iig .. 396, c se ha ~raMdo ta.! coasteuccion para In ondnmostrada en Is fig. 39il, u. Aslmtssnc puede determtnarso 10 contrario: cUlil~ss61an Ias velocidados de movtmiento de los diferentes puntos de la cuerda


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482 C.p. xv. O.dl.ci ..... de ea de trazos). Simuluinea-

I)1Cll'W In particula de coordenada x, sa trasla dad. en u On magnitud y (x.' I,) == ('"'' t , _ ) , al igual que ]0 hace la particula de coordenndn x,


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U7. Onda. 483as dacir, Ia onda Be desplazd ala valocidad ~ hacia los valores positivos de x .sl x,>Xl'La expresion general para una onda (137.1) sirve para toda onda planaqua sa propague II 10 largo de In direccnin del eje x, 51las particulas de COOl'-denada z, lgualmen te se dssplazan en y (x, t) respacto da la posicion de aqui-Ilbrio en el instante t, De Iamisma manera es posible cerclorarsa de qUB laexpresiou:

y(x,t) =f (t+-nreprescnta una Oil da que sa propaga con Ia velocidad c ell la direcci6n de losvalores naga tivos de a:La velocldad del movimiento de una onda per una euerda tensa puededeturminarse razonando deJ modo siguienta, Al propagarse la onda por )8cuorda 58 desplaza una giba., cuya forma permanece invari4ble. Imagine.mos que ell 18 cuerda estii colocado U ll tube do vidrio doblado seguliin formadeaada y esta se mueve a 11)largo de In.cnerda a Ja velocldud de propegacionde In onda e; eo (!Ste ease 18 eusrda no va a experimsntar fuerzas algunas queactuen por parte dol tubo. Ahora representemonos 91cuadro siguiente: el tuboesta inm6vil, y la cuerda tensa S9 haes pasar a traves del mismo con voloct-dad constantc e on la direeeion contrarla; en esta oeaslnn, asinnemo, sobre eltubo no obrard [ueraa alguna per parte de la cuerda: en efacto, 13 onda se des-plaza hacla la derocha a 1 0 largo de Ia cuerda en movimiento con la mlsmavalocidad c, pcrmanccieudo inmovil en BIespacio, Si con cuidado sa romplerael tnbo, la ~gib3. de la onda permnnccerla en su Iugar.

A baso de este esquema, hallarsmus cou que volocidad c el tubu doblado[1 0 presionara sobre In cusrda tensa gu'l So haee pasar a tI1lVeS del mism o.Saa 1 I . el radio de curvarnra d~l tubn para el Ingar dado (fig. 399). CortemosFig. 399.


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1)8. Ottd ono 1.....ald.1 plano 4B5mientos de estas particulas se puedan expresar asl:

(138.1) y (x, t) =A cose (t -"I)=A cos ( w t - ~r ).Esta es In notaeion (J.!!alitica de [m a onda sinusoidal. progresiuo. p lalU J,; ellaindica para todo instante t Ia dasviacion respecto a 18 posicion de equilibriode In parttcula de gas quese hll, encontrado an repose a Ia distancia x delorigen de refeIBncia. La desviacten [desplazamtento) y (x, t) as una funciontanto de la coordenada x de Ia particula durante su repose, como tambienuna fund6n del tiempo t. Todas las particu las real izan oscilaciones arm6ni-cas de amplrtud A y Irecuencta ro, pero la fase de, la~ oscilaciones'[de 11lSpar"tlculas que tiensn distlntas coordanadas z es dlfarente. Evidentemente, el

[rente de onda as el plano normal al ejo z; La funcion

Y = A c o S I l l ( t+ ~ )reprssonta una onda sinusoidal quo so desplaza en e1 sentido de I~ val oresnagativos de x.La r:rMica de los desplazamientus para el in$tant& t = . r l . ' de todos lospuntos de la onda sinusoidal progresiva (138.1) asta esxpuesta en la fig. 400,a;Ia dtreccien poaitiva del eje y significa que el punto de coordenada x sa des-plaza II 10 Iargu de la direccion de crecimientc de las e.Es filcil convencerse de que ell el punto a tiene lugar la mayor condeusa-cion. y en 01 pnnto h,ln mayor dilatacton, pussto que las pareiculas de ::ilrasdel punto a se han desplazado hac;" adelants, y las de adelante dol mismo,hac;" utriis; cerca dol punto b todo ocurre al eootrarto (fig. 400, ~). Para los

Flg. 400.(}Toft,,: d. Iespl_mi


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4 B 6 Cop. x v . 0,,\1[00 d. U" ",.dlc ,.,fin".puntos c yrl no varin La densldud, puesto que 1113 paraeures veem as se !I'Ddes ~ I asad 0 CM( ig un l m en te ,Poseen Ia velocidad mhima las I'QI~iclda8 que se encuentran 011 les punto~ It y b, laveloeidad ~e IR S pa:rticuins u? el punto II e.~t,i dirigida a~elaote.m lontras que la valocldad de las part,cuJas ell Q l punto b, hacla ,,-tro is(fig. 400" c). La onda de veloctdades de las panlculllS tiona In forma

(138.2) v(.t, I)=~'" -Aoosol! ( 0 0 1 - " ; ) .La gtM ica da Ins vel ocld a tics de as ta a n do para, el is tan La t se da en Jaiig" 400. ,.La d isL an cia clltrB los dos pun Los m as p r6 l


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1J9. i:ne'!lla < I e U J I I > "od. son"", 487 139. Energia de una ondll sonora

Las particulns de un, medio que oscilaa en una onda sonora POS!)!)D. tantoenergia ciuetica como enargia potencial de deformaci6n. Lilli particulas queS0 encuentran para un instante dado en los Iugares de cccdensacrcn 0, dilata-cion maxlmas, poseen allergin potencial maxima de compresien (0 de enrare-clniiento), 0.1iguul que un valor maximo de 18 enargla cinoltica, ya que tam-bien Ia vslocidad de movimiento para dichos lugares, tiene un valor maximo(veaso In fig. 4.00, c), mlentras que las particulas que se hallan en los lugaresde dansidad invariable, no poseen anergia ni ciuetica ni potencial.La enorgia cim\tica del movimiento de las patticulas que se encuentranen la uulrlad do volumen (Is dsnstdad de In anecgia cinetica) as

(139.1) Eo= (",,+p) 0'2 'o sea(139.2) E p,.'o~-2-nonde Po es la densidad del medio antes de Hagar la onda, p, la densldad adi-clonal quo surge debido a Ia compreaion en In onda Y I), la valocidad de Iasparticulas. Habitualmente en una onda sonora tienen lugar variacienee mul'poquefias de la dansidad y por ello on Ia i6rcoula (139.1) potlemos despreciarla magnitud p en ccmparacion COD Ia Pn - La densidad de Ia energia cinelitapara todo punto de una ouda armnnica Be pueds expresar 3S[:

(139.3) E o " " ' ! p,ru'A'sen~ ( r o t - ~ )2 , 'SI sustituimos prev iamente en la (139.2) Ia exprssion para Ia ond a de velocl-dades por la formula (138.2).Para detetminar la enorgia potencial de Ia compresien por unidad devolumen, hallaremos al valor del incremento de la prssion p, Supongamos queen repose In prcslcn as Po. La varlacion de la presion y del volumen estsnrelaclonados per Ia ley adtabatica (vliase el 105)

(139.t\)dorulo V, as el volurnen de una parricula on repose, y V, el aumento del mlsmoon la onda, Do Ia (139,4) se desprcnds quell

(139.5) p=-x f , ' V,ost despreclamos los termino" de segund 0 orden de paqunfioz respecto a lasVmagnitudos ~ s Y o '

Hallatnos la variacion del vclumen en Ia onda, Constdsramos un volu-m en S dx =V 0. donde 8 es el urea de In scccton transversal de Ull tubo.1 ) Durante 1 . 1 1 1ra.llsformaci6n hay qua tener en cuenta que si _ _ ! _ es rnuy pequefia,v.

(V.+Y)~~V: (1+:' f " " v : (1+>


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488 c.p . xv. O~!I.clones de un .... dlo continuoDebido a 51! desplaeamiento (fig.. 401) lea par-tfcules ocuparan 011 volumen

V . + V = 8 ( a : < : + ! ! d x ) .De dondo

(139.6)

(t39.7)Suatituycndo In (139.6) en In (139.5), obtensmos In variaci6n de In pr.s;()nell Ia onda:

EI incremento de la presion para un lugar dado de la end a es proporctonal aIII derivada del desplazamlento y par la coord enada x. peru de signo contra-rio. Hseordando que 10velocidad del sonido en un mcdic es c =~Y o f ! ! . (,,,,as!!, . V p,el 120), podemos escrlbir la expresion (1311.7)para 10 presion p 95i:

(139.8) 'p = - VrI"fji.Pot consiguiente, la coda de presiones que corresponde a In onda de dospla-zamientos (138.1), tie!).e Ia forms

(139.9) .A " ( w r ) ('J~)(x,1)= -p~c-c sen oot-, = -PoAooc sen 001-, 'as decir, las oscilaciones de presion siemprs coinciden en law con las oscl-Iaciones de Ia velccidad de las particulas (comparense las expresicnes (138.2)y (139.9. En aquellos Iugares donds para el inatante dado Ia densidad de la91lergia cinetica es whim a, I a ene:rglafig. 401. potencial de Ia compreston tambienas maxima.La energla potencial es iguaJ al tra-bajo que se requiere gastar para aumsn-tar (dlsminuir] la presion del gas Couna pequefis magnitud plo para d isml-

DU ir (aumentar) B tl volumen V o en unamagnitnd V. Siendo muy pequena lavariacion de la presinn y del volumsn

r. ( f . 1, ;,


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U9. ~n"'g!a de 'uno ende sonOra 489-dad de vclumen S~ puade exprasar asl:

pV(139.10) E p=-2ii;'Sustituyendo equl la variati6n de vclumen segun (t39.6) y la variacicn de-presion so>gunla (lS9.8), obtensmos In densidad de Is energla putencialc

1 ( 8y )~(ta9.ill Ep=-r P o c o iJz Por conslguiente, In onda de las vaelaclones de In densldad de In enorgiap oten cial es:

(139.12) e,=+ p~


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490 cop. xv , O.


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140. OndllJ pI.... en "'" gu y "n ... cIIo el6stlco 491I puede "or cualquier fund a' continua d. au argumeruo, 6.ta determina Ia, forma do 1.onda que", ptojl.ga sin altararse a una velncldad oonstllut s e. T'odoo los puntos del 'p,l"n~del frOD te que """csp DodOJ) ~ dart. valor d. I. cocrdenada '"' tieneu t.nt


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492 c.p. xv. O.cilacione. do .n medfO conlin."=~+!!!!. .+~. Por lo tantoO:kJ 0%2 a x ,

o f } [ mt, J . l 8 ] _.-[ at" )l ; P S ' 1a . : , ' =2G 0 > < , + 1-211 8"" (30) = 2 1 . 1 ilsl + 1-21-' u z l .Ahora la lgualded (140.8) pued. cBc.ibir Ml,

( J . l ) 8'" 8'.,(:140.7) 2 1 . 1 t+t_2p. o.~~PW';list. eo I.ecuacldn de la propagaetdn d. unn onda longitudinal el tica, 0 senclllamente,la e ~ u > l 'l ,c i C : ; nond-r .darart4 d~ ~.__. ondn . . h m ' fu u d ' ~ a l pl~p1tJ-1 )"a que 4 3 1 cl~;spla:ztuniento d e . laapaTlie.las $ , all la end produce u 10 argo del et'. z" dccir, a. 10 l"rgo del SOPido d.propnpolon d. Iaond a, L. ""uMien (HO.1) tjGn. a lonna dela (100_2),. por "'0, Ia vnlo-eid.nd do propagaciO.u de Ia cnda do d.coplatllIllionlo'" \0 largo del oju "" ..

(140.8) ell la ecueci a n (100.9), ohtanemos I.para " ,:

ecua.c iQ D o n d u latorl n

D o ma n era .a.w llo ga para .5::,~(140.10)

1 / ' " ii'.,G ~=P"""di ' "L~ vclocidad d. prop.gacl6n d. cstas ondas C IS

(140.11) < , = V t = Y / - 2 - ( i - ~ " ' " " - ) - p .Tales ondaa 58 Ilaman tran'""'41~ " 01 d. cI"aUamiento; en hUts 01 a""pla,.amiellto'0 (y ',) ecuorre seglin la normal a Ia direccion do prop.gaclon d .. la oadn "',.

-Seli.l.m"", quo para 1.5 ondas iongitudinalee eo una barra 10 ".Iocidad de pro-]log.cillo es(t40.12) c~vf.

EI""tivo.menle, oi el ej. de 10 barra coinc.ide eon .1 ojel, en .. te case "" =0" =0 yd.1. !gullldad general (~7.1)


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UI. Sup.'peslc16n de ondas IlnferlCIOnela, 493La relaclen en!.re las velocid.de, .de propagaeion d.11l3 qnda" y el valor dol ca.nei -te d. POiS&lDI' la musstra 10 fig. 405. Para todcs estes casos la, oDdas .iDn.oldales d.cualqttior ftecuoneia pro pagan ~o" ig1lal velocidad. Eeto ,lgnin." que para eMS ond e1 medic no posse d"p


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494 Cop. XV. 0 se 1 1 . < 1~ne. d" "" .,.,dlo c~nflnuapara el instants I sora

y, + y. =!I.La segunda onda !I. puede dafi.ll.irse siempre como Ia suma de dos ondas pro-grcsivas, a saber;

(141.1) !/2= ACOSCi l( t +7) + (8 - A) nos ill ( t +7-).Entences la os~ilaciul1 rssultnnte y (x , t) se puede rapresantar as]:(11,1.2) Y=V, +V,=ACOSCi l (t-';) +AcosEI movimiento ondulatorto resultants consta de des partes: de Ia om /a esta-cionarla

(141.3) 2A cos!":.. 005 (dty dele 0 nda 'progres; va(14t.4) (B-A)cosw ( t + " ; ) _

Siendo B=A, ee decir, cuando dos ondas progresivas en "eniWos contra-rlos tianen amplitudes iguales 01 movimiento ondulatorio resultante ~.rituna onda e sta euma rta . Podemos represantarnos claramente el Dlovimiento deIS5 partieulas en una onda estaclonaria.ei componemos grRlicamente al cabode intervalos de tiempo iguales las dssviaciones de las particulas en dos ondasprogresivas iguales, como as ha heche en la fig. 406, donde eon trazos se muos-tra la onda que va haeia Is izquierda, con puntos, la onda que va bacia laderecha y con una linea continua, Ia posicion de las particulas en la onda


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Ut. S~p"po.I


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496 c , p, x v . Oscilac;On de un .. ~dio conhuosivas Iundamentales, A vsces la magnltud

{!4"1..6)es denominada coejtctenie de. progrcsion. m hecho de qua, aste coeflciellte di-fiBra de eN'O signiilca que Ia energia se transmite en la misma dil"ecoi.6n ha-cia doude so desplaza Ia onda de mayor amplitud,

141. Refle1d6n de ondas

~')~ . . . . . . -

Por 10 general las ondas estacionanas sa forman al rellejru:se una ondaprogresiva sobre Lafrontera de un madlo, La onda, al alcanzar una frontora,donde varianbruscaments las propisdades del mcd!o, se relleja y, superpo-u;"nll050 a In onda incldente, forma junto Cxion de la coetclaen eI instante en que se reileja el im-pulso puede hallarse con Iactlldad, sinos repressn tames mentalmen te uncuadro Ml: 01 impuis 0 lnel den te Bedssplaza mh alhi del punto dillijacionsin deformarse, pero simllltlinMlIlcntecon uquel, d icho impulse en sentido

hj


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F i g . . 41.

1=6r

I=8r

32-il797

contrarlo , ecorree un impulse no defer-m ade, adem .as, cada lnstau;te la des-"iadon de IIna partrcula de Ia cuero II.au sl punto cis fljaei6n m l; el im pulsn inclden te es iguaJ y . COD traria al II. das -vtacton l1.n el im pulU reihijado y Iaposicion ye.rda


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498 Cap. xv. 0 . .anIIftuoUn examen atento muestra que la nriaci6n de la velucidad vertical deuna partfcula ocurre en los 1"II01"llent05 ell 10;, quo per esLu pasa I. crests de 18ondacsn este instants fa particula recibc en impulse que IIBee variar su velo-cirlad. Etectivameate solo en estc Instante las Iubrzas de tenslen que actiiansobrc la partlcula de la ouerda desde ambos lad os tendran una eomponentc verti-

cal. La fUQFZ" que aclua sobre la particula de la cuerda es pro porcional n 10variaeion (a Ia derivada) del 6.ngulo d" Inclinacion del (rente de In onda en ellugar cousiderado. Estc examen del refleio de un impulse ondulntorto ell elextrema fijo mueSYI I que durante el r"[Jeio 13 eonHg1l.raciilll del impulse sadsforme, sin embargo, "1 impulso refloja


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142;ReRul6n de 'oneill 499pared inmevil. Segun estas gnificas 58, V a que Ia com p resien (cQ ud ensaci6 n)stem pre sa p roduce en la parte dalantera de Ia onda, y que Ia velocidad yin,presion en la onda progresiva siempre se encuentran en Iase,Un euadro enteram ente diferente sa obsarva cuando 11n~ onda se reliejasobre Ia fronter8 H hre de un m ed io . Par ejem plo , una ond n sonora que S odesplaza a 10 largo de una harra de acero elastica, Ilega hastasu extreme y S9refleja hacia atlr~ s. )'8 que In densidad del aire es m ny paquefia com paradacon la densidad del aearo y el' m ovim tento de las particulns de aira circun-dantes no eJerce influencia alguna sobre el 'movimiento de las particulas deIn barra. Las partlculas de acero junto a Ja superffcie de 18 barra se moverancasi da tal manera eomo 51 la b817" se eacontrara en el vacio. La snergia delmovtm iento de III onda no puede ser tralismitida m as adelante 'I por 10 t81"to, 1 8 onda se reflejilra y partirA hacia atras.

La ,reHexivn de una onde trnnsversal ell e] axtremo libro de una euerda $e puede, exa..minar haciendo .1 experimento .iguien!c (fig . .al). AI extreme de un tuho d" goma',.at" un cordel 10 .nlieientom ""t.o fino y ltgero y cu,yo ro:t romO .,l" fij.!lo, L~.gQ,,'a t9J111a"I tuho y so cbseeven 108 impul60s ondulatorioa eavtadoe ",edi."t. 'golpqs fuert"" pur 01tubo. Es i.dl ver que los lmpulsos r..""jaflln partir del luga,;, d. iljacion del cordel:y sa ditigirin bacia ntrascon 10 mJ.sma fuel ee deeir , &1Impulse que :PT{)voea el dcsplaza-ret en t o de 1as particnl.Q~ b eci a 8 bajo, DI ) "{ Il le je .r&eI proporcfona jJ slmilini 0 e I d esp lase -m.i~nto d. Ias pou:kul us hecln olJajo. En eslo csso .1 .xt,r~mo del tubo atado nl eerdelpuede conald erarse lib,., Y' que la deasldad li nea1 del cordel es mucha mMO' que I.dcnsldad lineal del tebo, mient que I. lon.ion permanece eenstanre p.r a e1 tuba )' elcordel, Per o , ~I oo,'II.J .010 puede r


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500 Cap. xv. Osclladones de un medlo C O l I ll n l l O

FIg. 412.

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