Mecánica II Temas 6 y 7 Estática y Dinámica Anal´ıtica · • igual nu´mero de ecuaciones...

Mecanica II

Temas 6 y 7

Estatica y Dinamica Analıtica

Manuel Ruiz Delgado

9 de marzo de 2011

Principio de los trabajos virtuales: Formulacion generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Principio de los trabajos virtuales: Formulacion detallada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Principio de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Equilibrio y sistemas reonomos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Ecuacion general de la Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Ecuacion general de la Dinamica: Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ecuacion general de la dinamica en qj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Ecuaciones de equilibrio (S. Holonomos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Ecuaciones del movimiento (S. Holonomos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Terminos cineticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Ecuaciones de Lagrange (S. Holonomos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Sistemas holonomos potenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Sistemas holonomos potenciales: equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Sistemas holonomos/no holonomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Sistemas no holonomos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Sistemas no holonomos: δqj independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Movimiento: no holonomos, δqj independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Equilibrio: no holonomos, δqj independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Movimiento: Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Equilibrio: Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Calculo de las fuerzas de ligadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Ecuacion de la energıa para sistemas holonomos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Integral de la energıa para sistemas holonomos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Ecuacion de la energıa, sistemas no holonomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1

Principio de los trabajos virtuales: Formulacion generica

Condicion de equilibrio de un sistema por estatica newtoniana:

FDi (rei ,0, t) + FLi (r

ei ,0, t) = 0, i = 1, . . . , N

Son 3N condiciones independientes, mas las de ligadura.

Si damos un desplazamiento virtual arbitrario al sistema:

δW =

N∑

i=1

(FDi +FLi

)· δri = 0 ∀ δri PTV

Por ser una combinacion lineal de vectores nulos.

Como los δri forman un espacio vectorial de dimension 3N , al exigir ∀ δri, tenemos 3Ncondiciones independientes entre sı, pero combinacion lineal de las 3N ecuaciones newtonianas

La formulacion generica del PTV no aporta nada nuevo:

• igual numero de ecuaciones que la Estatica newtoniana

• siguen estando las fuerzas de ligadura, y las ecuaciones de ligadura

Pero alguna ecuacion puede ser mas simple que otra newtoniana.

Manuel Ruiz - Mecanica II 2 / 54

Principio de los trabajos virtuales: Formulacion detallada

El PTV es util cuando hay g ligaduras ideales: sus fuerzas no trabajan en los DVCL (espaciovectorial de dimension n= GDL)

Sistema en equilibrio: FDi + FLi = 0, i = 1, . . . , N

Damos un desplazamiento virtual arbitrario:

δW =∑N

i=1

(FDi + FLi

)· δri = 0 ∀ δri

Si el δri es un DVCL,∑N

i=1FLi · δri = 0,

δW =

N∑

i=1

FDi · δri = 0 ∀ DVCL

Ecuacion general de la estatica

No aparecen las fuerzas de ligadura

∀ DVCL ⇔ n= GDL ecuaciones independientes

Es condicion necesaria: se deduce de las newtonianas


2

Principio de los trabajos virtuales

Es condicion suficiente: demostracion por reduccion al absurdo

Supongamos que se cumple el PTV, pero el sistema no esta en equilibrio: empezara a moversecon aceleraciones ri distintas de cero: FDi + FLi = miri

En un tiempo infinitesimal dt, partiendo del reposo, cada partıcula se desplaza dri = ri dt2/2

(∈ Desp. Posibles)

Tomando como DVCL los DP δri = ǫ ri,

dW =

N∑

i=1

(FDi + FLi

)· δri =

N∑

i=1

miri · riǫ =

N∑

i=1

miri2 ǫ ≥ 0

En contra de la hipotesis

Luego no puede cumplirse el PTV y no haber equilibrio: es suficiente.

Queda por demostrar que los dri = ǫ ri son DVCL



Se derivan las ecuaciones de las ligaduras; inicialmente ri = 0,

��N∑

i=1

∂∇if

∂t· ri +

N∑

i=1

∇if · ri + ftt = 0

��N∑

i=1

∂Ai

∂t· ri +

N∑

i=1

Ai · ri +Bt = 0

Para ser DVCL, los ri deben cumplirlas congeladas,N∑

i=1

∇if · ri = 0;

N∑

i=1

Ai · ri = 0

Los ri solo son DVCL en los sitemas escleronomos, ft ≡ B ≡ 0

En los reonomos, solo en los puntos fijos: ft ≡ ftt ≡ B ≡ Bt ≡ 0

El PTV es condicion suficiente solo en los sistemas escleronomos, y en los puntos fijos de losreonomos.


3


δW =

N∑

i=1

FDi · δri = 0 ∀ DVCL

PTV: La condicion necesaria y suficiente para que un sistema material sometido a ligadurasideales tenga una configuracion de equilibrio es que en dicha configuracion se anule eltrabajo virtual de las fuerzas directamente aplicadas para cualquier desplazamiento virtualcompatible con las ligaduras.

PTV ↔ Ecuacion general de la estatica

En sistemas reonomos solo se puede aplicar en los puntos en que

ft = B = 0

En los demas no puede haber equilibrio, porque las ligaduras se mueven.


Equilibrio y sistemas reonomos

Equilibrio: un sistema material tiene una configuracion de equilibrio cuando abandonado el

sistema en reposo en dicha configuracion, permanece indefinidamente en reposo:

ri(t) = rei ; vi(t) = 0 ∀t

Ligaduras finitas no estacionarias: f(ri, t) = 0

f(rei , t) = 0 ;N∑

i=1

��∇if · 0+ ft(rei , t) = 0 ∀t

Cinematicas no estacionarias:

N∑

i=1

Ai (rj, t) · vi +B (rj, t) = 0

0+B(rej , t

)= 0 ∀ t

Solo puede haber equilibrio en los puntos que cumplan estas condiciones: en los que las ligadurasno se mueven.


4

Principio de D’Alembert

2a ley de Newton para un sistema de N partıculas:

FDi +FLi = miri = pi, i = 1 . . . N

Se pueden poner en la forma

FDi + FLi − pi = FDi + FLi + FIi = 0 , i = 1 . . . N

Equivale a plantear el equilibrio de cada partıcula relativo a unos ejes con origen en la propiapartıcula.

Principio de D’Alembert: Las ecuaciones del movimiento de un sistema material se obtienenplanteando, en cada instante, el equilibrio entre las fuerzas dadas, las de ligadura, y las de inercia.

Se reduce a un problema de estatica: Aplicar el PTV

Pero las ecuaciones siguen siendo diferenciales, no algebraicas

No se plantea el problema del equilibrio de sistemas reonomos: se mueven.


Ecuacion general de la Dinamica

Aplicamos a un sistema el principio de D’Alembert y damos DV:

Fi − pi = 0 ⇒ δW =∑N

i=1 (Fi − pi) · δri = 0, ∀ δri

Aplicamos ahora el PTV: si los δri son DVCL, las fuerzas de ligadura no trabajan, y queda

N∑

i=1

(FDi − pi

)· δri = 0 ∀ DVCL

Esta es la Ecuacion general de la Dinamica


∀ DVCL: Hay n ecuaciones independientes (no GDL)


5

Ecuacion general de la Dinamica: Ejemplo

Aplicaremos la ecuacion general de la dinamica al pendulo simple:

FD = mg (cos θ ur − sin θuθ)FL = λurr = (x, z) = R (sin θ,− cos θ) = Rur

δr = ∂r∂θδθ = R ∂ur

∂θδθ = Ruθ δθ

r = −Rθ2 ur +Rθuθ

θ

z

x

µ

Aplicamos la EGD

δW =(µ∇f + FD −mr

)· δr = 0, ∀ δr

δW =(

−mg sin θ −mRθ)

δθ = 0 ∀ δθ ⇒ θ +g

Rsin θ = 0

y se llega a la ecuacion del pendulo que ya conocemos


Ecuacion general de la dinamica: Ejemplo

Para un solido, δri = δrG + δΘ ∧GMi , donde δΘ = k1 δψ + uN δθ + k0 δϕ . Se introduce en laecuacion general de la dinamica:

N∑

i=1

(FDi − pi

)·(

δrG + δΘ ∧GMi

)

=

= δrG ·

N∑

i=1

(FDi − pi

)+ δΘ ·

N∑

i=1

GMi ∧(FDi − pi

)=

= δrG ·

N∑

i=1

(RD − pG

)+ δΘ ·

(

MDG − HG

)

= 0 ∀ DVCL

Como en un solido libre δrG y δΘ son arbitrarios, queda

RD = pG = m rG MDG = HG

Que son las ecuaciones de Newton-Euler para el solido.


6

Ecuacion general de la dinamica en qj

Si se introducen las qj, δri =∑n

j=1

∂ri∂qj

δqj (δqj arbitrarios para sist. holonomos)

Sustituyendo en la ecuacion general de la dinamica,

N∑

i=1

(FDi − pi

)· δri =

N∑

i=1

(FDi − pi

)·

n∑

j=1

∂ri∂qj

δqj

=

=

n∑

j=1

[N∑

i=1

(FDi − pi

)·∂ri∂qj

]

δqj =

n∑

j=1

(Qj − Pj) δqj = 0 ∀ DVCL

Fuerzas generalizadas: Qj =∑N

i=1 FDi ·∂ri∂qj

= f(qj, qj , t)

Terminos cineticos: Pj =∑N

i=1 pi ·∂ri∂qj

= f(qj, qj, qj , t)


Ecuaciones de equilibrio (S. Holonomos)

La ecuacion general de la estatica queda,

δW =

n∑

j=1

Qj δqj = 0 ∀δqj

Como los δqj son independientes y arbitrarios (sist. holonomo), solo se cumple si los coeficientesson todos cero,

Qj = 0 j = 1, . . . , n

Queda un sistema de n ecuaciones algebraicas, en general no lineales, con n incognitas. Seresuelven para obtener las posiciones de equilibrio qej (t).

Las ecuaciones han quedado reducidas al no mınimo: n = GDL



7

Ecuaciones de equilibrio (S. Holonomos)

Ej: dos partıculas, varilla, corredera; (x1, 0); (x1 + L cos θ, L sin θ)

δr1 = [1, 0] δx1

δr2 = [1, 0] δx1 + [−L sin θ, L cos θ] δθx

z

1

2

θ

x1

Qx1 = −m1g k · [1, 0] −m2g k · [1, 0] = 0Qθ = −m1g k · [0, 0] −m2g k · [−L sin θ, L cos θ] = −m2gL cos θ

Las ecuaciones de equilibrio son

0 = 0 −m2gL cos θ = 0 ⇒ θ = ±π

2∀ x1

Hay infinitas soluciones: en cualquier x1, vertical hacia arriba (π/2) o hacia abajo (−π/2).


Ecuaciones del movimiento (S. Holonomos)

La ecuacion general de la dinamica queda,

δW =

n∑

j=1

(Qj − Pj) δqj = 0 ∀δqj

Como los δqj son independientes y arbitrarios (sist. holonomo), solo se cumple si los coeficientesson todos cero,

Pj = Qj j = 1, . . . , n

Queda un sistema de n ecuaciones diferenciales de 2o orden, con n incognitas. Se integran conlas condiciones iniciales de cada caso para obtener las qj(t).

Las ecuaciones han quedado reducidas al no mınimo: n = GDL



8

Terminos cineticos

Los Pj se pueden obtener directamente de la energıa cinetica:

N∑

i=1

pi · δri =

N∑

i=1

miri ·

n∑

j=1

∂ri∂qj

δqj

=

n∑

j=1

(N∑

i=1

miri ·∂ri∂qj

)

δqj

ri ·∂ri∂qj

=d

dt

(

ri ·∂ri∂qj

)

︸︷︷︸

a)

− ri ·d

dt

(∂ri∂qj

)

︸︷︷︸

b)

a) ri =n∑

j=1

∂ri∂qj

qj +∂ri∂t

⇒∂ri

∂qj=

∂ri∂qj

⇒ ri ·∂ri∂qj

=∂

∂qj

(1

2r2i

)

b)d

dt

∂ri

∂qj

=∂

∂qj

(

dri

dt

)

=∂ri∂qj

⇒ ri ·∂ri∂qj

=∂

∂qj

(1

2r2i

)


Terminos cineticos

Sustituyendo en la ecuacion general de la dinamica,

Pj =

n∑

i=1

mi

[d

dt

(

ri ·∂ri∂qj

)

− ri ·d

dt

(∂ri∂qj

)]

=

=d

dt

[

∂

∂qj

(N∑

i=1

1

2mir

2i

)]

−∂

∂qj

(N∑

i=1

1

2mir

2i

)

=d

dt

(∂T

∂qj

)

−∂T

∂qj

Donde la T (qj , qj, t) es la energıa cinetica.

Doble personalidad de la T en este calculo:

• En las derivadas parciales ∂∂, las qj y qj se consideran parametros independientes

• En la derivada total ddt, se consideran funciones del tiempo


9

Ecuaciones de Lagrange (S. Holonomos)

GdL

n

3N

g

Sustituyendo estas Pj en la ecuacion general de la dinamica,

−δW =

n∑

j=1

(d

dt

(∂T

∂qj

)

−∂T

∂qj−Qj

)

δqj = 0 ∀δqj

Se llega a las Ecuaciones de Lagrange:

d

dt

(∂T

∂qj

)

−∂T

∂qj= Qj j = 1 . . . n

Son n ecuaciones diferenciales con n incognitas: qj(t)

Se calculan las Qj y se pone T en funcion de las qj y las qj.

Las ecuaciones salen automaticamente: solo hay que derivar.


Ecuaciones de Lagrange (S. Holonomos)

ej.: Punto sobre cilindro: r = Rur + z uz, δr = Rδθ uθ + δz uz

FD = −mg k → Qθ = 0 ; Qz = −mg

T =1

2m(

z2 +R2θ2)

y

z

Rδθ

δz

xθ

Ecuacion general de la dinamica, directamente:

δW =[

−mg uz −m(

−Rθ2 ur +Rθuθ + z uz

)]

· (Rδθ uθ + δz uz) =

= R2θ δθ + (−mg −mz) δz = 0 ∀ δθ, δz →

{θ = 0z = −g

Mediante las ecuaciones de Lagrange:

Tz = mz Tz = mz Tz = 0 → mz − 0 = −mg

Tθ= mR2θ T

θ= mR2θ Tθ = 0 → mR2θ − 0 = 0


10

Sistemas holonomos potenciales

Si todas las fuerzas dadas derivan de un potencial ordinario:

FDi = −∇iV (r1, . . . , rN , t)

Las fuerzas generalizadas valen:

Qj =N∑

i=1

FDi ·∂ri∂qj

= −

N∑

i=1

∇iV ·∂ri∂qj

= −∂V (qj , t)

∂qj

Puesto que

∂V

∂qj=∂V

∂x1·∂x1∂qj

+∂V

∂y1·∂y1∂qj

+ · · ·+∂V

∂zN·∂zN∂qj

=

= ∇1V ·∂r1∂qj

+ · · ·+∇NV ·∂rN∂qj


Sistemas holonomos potenciales: equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio se pueden escribir como:

Qj = −∂V

∂qj= 0 ;

∂V

∂qj= 0 j = 1 . . . n

Ej.: dos varillas pesadas unidas por un muelle

V = mgzABG +mgzBCG +1

2kAC2 =

= mga

2cos θ +mg

a

2cos θ +

1

2k4a2 sin2 θ =

= V (θ) = mga cos θ + 2ka2 sin2 θ

A C

By

x

θ

dV

dθ= −mga sin θ + 4ka2 sin θ cos θ ⇒

{θ = 0, πθ = cos−1 mg

4ka


11

Sistemas holonomos potenciales: movimiento

Ecuaciones de Lagrange para sistemas potenciales (pot. ordinario):

d

dt

(∂T

∂qj

)

−∂T

∂qj= 0 +Qj = 0 −

∂V

∂qj=

d

dt

(∂V

∂qj

)

−∂V

∂qj

Si se define la funcion lagrangiana L = T − V ,

L = T − Vd

dt

(∂L

∂qj

)

−∂L

∂qj= 0 j = 1 . . . n

Tambien hay potenciales generalizados, Qj = −∂V

∂qj+d

dt

(∂V

∂qj

)

Si hay fuerzas potenciales y no potenciales, las potenciales se incluyen en L y las no potenciales en Qj

d

dt

(∂L

∂qj

)

−∂L

∂qj= Qj j = 1 . . . n



Ej.: punto sobre cilindro, el potencial es el del peso, V = mgz , que ya esta en funcion de unacoordenada generalizada. Podemos escribir la lagrangiana:

L =1

2m(

z2 +R2θ2)

−mgz

Con esto se pueden ya escribir las ecuaciones de Lagrange,

Lz = mz Lz = mz Lz = −mg → mz +mg = 0

Lθ= mR2θ L

θ= mR2θ Lθ = 0 → mR2θ − 0 = 0

La generacion de las ecuaciones es bastante mas directa, pues en muchos casos el potencial esconocido. En vez de calcular las fuerzas generalizadas punto por punto, se hallan las derivadasparciales del potencial.


12


Ej.: Fuerzas no potenciales: oscilador armonico amortiguado.El potencial del muelle se incluye en la lagrangiana:

L = T − V =1

2mx2 −

1

2kx2

d

dt

∂L

∂x−∂L

∂x= Qx

Se calcula la Qx de la fuerza no potencial, disipativa:

F = −c x i, δr = δx i, δW = −c x δx = Qx δx ⇒ Qx = −c x

Ecuacion de Lagrange, unica porque solo hay un grado de libertad:

Lx = mx Lx = mx Lx = −kx → mx+ kx = −c x

Por Mecanica Newtoniana: mx+ c x+ k x = 0.



Ej.: Movimiento kepleriano: La fuerza gravitatoria es potencial:

F = −µm

r3r → V (r) = −

µm

r→ L =

1

2m(

r2 + r2θ2)

+µm

r

Lr = mrθ2 −µm

r2; Lr = mr ; Lr = mr →

→ mr −mrθ2 +µm

r2= 0

Lθ = 0 ; Lθ= mr2θ ; L

θ= mr2θ + 2mrrθ →

→ mr2θ + 2mrrθ = 0 → r2θ = C

Se llega a las mismas ecuaciones de Mecanica Newtoniana.

θ /∈ L Coordenada cıclica o ignorable → Integral primera


13

Sistemas holonomos/no holonomos

Sistemas holonomos:

N partıculas, g ligaduras finitas, GDL = n = 3N − g

n = GDL coordenadas generalizadas independientes qj

DVCL espacio vectorial de dimension n = GDL

DVCL: δri =∑n

j=1

∂ri∂qj

δqj Todos los δqj arbitrarios

δqj arbitrarios, los coeficientes tienen que ser todos nulos

Estatica Dinamica indepte.n∑

j=1

Qj · δqj = 0n∑

j=1

(Qj − Pj) · δqj = 0 ∀ δqj

Qj = 0 Pj = Qj j = 1 . . . n


Sistemas holonomos/no holonomos

Sistemas no holonomos:

g ligaduras finitas, h cinematicas n.i., GDL = m = 3N − g − h

3N − g = n > GDL → qj no independientes

DVCL espacio vectorial de dimension m = GDL< n

DVCL: δri =∑n

j=1

∂ri∂qj

δqj los δqj no son arbitrarios

δqj no arbitrarios, los coeficientes no tienen que ser nulos

Estatica Dinamica DVCLn∑

j=1

Qj · δqj = 0

n∑

j=1

(Qj − Pj) · δqj = 0 ��∀ δqj

? = 0 ? = ? j = 1 . . . ?


14

Sistemas no holonomos

Dos caminos para obtener las ecuaciones:

Desplazamientos independientes:

• Se escogen m = 3N − g − h δqj independientes

• se sustituyen los dependientes

• se pone δW solo en funcion de los independientes

• los nuevos coeficientes sı tienen que ser cero.

Multiplicadores de Lagrange:

• Se sustituyen las ligaduras no integrables por sus fuerzas

• esas fuerzas de ligadura se cuentan entre las directamente aplicadas

• desaparecen las ligaduras no integrables: sus fuerzas hacen que se cumplan

• se aplican las ecuaciones de sistemas holonomos


Sistemas no holonomos: δqj independientes

Se toman n > GDL coordenadas generalizadas no independientes:

ri = ri(qj, t) → vi =∑n

j=1∂ri∂qj

qj +∂ri∂t

Las vi tienen que cumplir tambien las ligaduras no integrables

gk ≡

N∑

i=1

Aki · vi +Bk =

N∑

i=1

Aki ·

n∑

j=1

∂ri∂qj

qj +∂ri∂t

+Bk =

=n∑

j=1

(N∑

i=1

Aki∂ri∂qj

︸︷︷︸

)

Ckj

qj +

(N∑

i=1

Aki ·∂ri∂t

+Bk

︸︷︷︸

Bk

)

=

=

n∑

j=1

Ckj qj + Bk = 0 k = 1 . . . h


15


Las qj cumplen las ligaduras no integrablesn∑

j=1

Ckj qj + Bk = 0 , k = 1 . . . h

Los desplazamientos posibles cumplenn∑

j=1

Ckj dqj + Bk dt = 0 , k = 1 . . . h

Los DVCL cumplen las ligaduras congeladasn∑

j=1

Ckj δqj +��Bk δt = 0 , k = 1 . . . h

h condiciones: solo n− h seran independientes.



Despejar h δqj dependientes en funcion de n− h independientes:

∑nj=1C1j δqj = 0

...∑n

j=1Chj δqj = 0

→ h

n︷︸︸︷

Ckj1 h n

δq1...δqh

−−−δqh+1

...δqn

=

0...0

h ⇒

⇒ h

h︷︸︸︷

Ckj

δq1...δqh

= h

n− h︷︸︸︷

−Ckj

δqh+1

...

δqn


16


La matriz h× h de coeficientes de los dependientes se puede invertir,

δq1...δqh

= h

h︷︸︸︷

Ckj

−1

n− h︷︸︸︷

−Ckj

δqh+1

...

δqn

=

n− h︷︸︸︷

Dkj

δqh+1

...

δqn

De este modo podemos despejar h δqj dependientes:

δqk =n∑

j=h+1

Dkjδqj , k = 1 . . . h

en funcion de los n− h independientes



Ej.: patın. Escogemos δx como independiente, despejamos δy

g1 ≡ A1 · δr = − sin θ δx + cos θ δy = 0 → δy = tan θ δx

Ej.: rodadura sin deslizamiento. Las ligaduras no integrables eran:

g1 ≡ δx− a cosψδϕ = 0 → δx = a cosψ δϕg2 ≡ δy − a sinψδϕ = 0 → δy = a sinψ δϕ

En este caso es obvio que el desplazamiento independiente va a ser δϕ. Cuando se proyectan en ejes1, la cosa ya no esta tan clara:

g1 ≡ cosψδx + sinψδy + aδϕ = 0g2 ≡ − sinψδx + cosψδy = 0

}

→

→

{δϕ = − 1

a

(

cosψ + sinψcosψ

)

δx

δy = tanψ δx


17

Sistemas no holonomos, δqj independientes

Se sustituyen los dependientes en δW , llamando Lj = Qj − Pj

δW =

h dep.︷︸︸︷

L1δq1 + · · · + Lhδqh +

n−h indep.︷︸︸︷

Lh+1δqh+1 + · · ·+ Lnδqn =

h dep.︷︸︸︷

L1

n∑

j=h+1

D1jδqj + · · ·+ Lh

n∑

j=h+1

Dhjδqj +

n−h indep.︷︸︸︷

Lh+1δqh+1 + · · ·+ Lnδqn =

=

(

Lh+1+

h∑

k=1

LkDk,h+1

)

δqh+1 + · · ·+

(

Ln+

h∑

k=1

LkDk,n

)

δqn = 0 ∀ δqj

Ahora todos los δqj son arbitrarios, porque son independientes: Los coeficientes tienen que ser todosnulos.


Movimiento: no holonomos, δqj independientes

n

GdL

3N

g h

Sustituyendo Lj = Qj − Pj , se llega a las Ecuaciones del movimiento para sistemas no holonomos,por desplazamientos independientes

Pj −Qj +h∑

i=1

(Pi −Qi)Dij = 0, j = h+ 1, . . . , n

n∑

j=1

Ckj qj + Bk = 0, k = 1, . . . , h

n ecuaciones diferenciales con n incognitas, las qj(t)

−Lj = Pj −Qj =

ddt∂T∂qj

− ∂T∂qj

−Qj general

ddt∂L∂qj

− ∂L∂qj

solo potenciales

ddt∂L∂qj

− ∂L∂qj

− Qj potenciales y no potenciales


18

Equilibrio: no holonomos, δqj independientes

Para las ecuaciones de equilibrio, se anulan las Pj y las qj,

Qj +h∑

i=1

QiDij = 0, j = h+ 1, . . . , n

Bk = 0, k = 1, . . . , h

Ecuaciones de equilibrio para sistemas no holonomos mediante desplazamientos independientes

Tenemos n− h ecuaciones algebraicas no lineales con n incognitas, las qej : si hay solucion, engeneral seran ∞

En los sistemas reonomos, solo se aplican en los puntos en que se cumple Bk = 0



Ej.: Esquı sobre la nieve horizontal, unido por un muelle al origen.

Solo puede moverse en su propia direccion:

g1 ≡ A1 · v = [− sin θ, cos θ] · [x, y] = 0 =

= − sin θ x+ cos θ y + 0 · θ =

= C1x x+ C1y y +��C1θ θ = 0

FL1θ

x

y

Las fuerzas dadas y de ligadura tendran la forma

Fm = −k [x, y] FL1 = µ1 A1 = µ1 [− sin θ, cos θ]

DVCL del punto de aplicacion de la fuerza, G

δrG =

n∑

j=1

∂rG

∂qjδqj = [1, 0] δx+ [0, 1] δy + [0, 0] δθ

Fuerzas generalizadas

Qx = Fm · ∂rG

∂x= −kx Qy = Fm · ∂r

G

∂y= −ky Qθ = Fm · ∂r

G

∂θ= 0


19


desplazamientos independientes: de la ligadura cinematica

g1 ≡ − sin θ δx+ cos θ δy = C1x δx+ C1y δy +��C1θ δθ = 0

podemos escoger δx como independiente, de modo que δy = tan θ δx. Sustituimos en el trabajovirtual:

δW = Qx δx+Qy δy = (Qx +Qytan θ) δx = 0 ∀ DVCL

Como δx es arbitrario, pues lo hemos tomado como independiente, tendra que ser cero el coeficiente:

(Qx +Qy tan θ) = −k x− k y tan θ = 0 ⇒ tan θ = −x

y

Para que haya equilibrio el muelle tiene que estar perpendicular al esquı, como diceel sentido comun. Si se toma δy como independiente, el resultado es el mismo.


Multiplicadores de Lagrange

Sistema con g ligaduras finitas y h cinematicas no integrables

Con las finitas se introducen n = 3N − g qj no independientes

ri = ri(qj , t) → vi =∑n

j=1∂ri∂qj

qj +∂ri∂t

Las no integrables tienen unas fuerzas de ligadura

N∑

i=1

Aki · vi +Bk = 0 → FLi =

h∑

k=1

µkAki

{i = 1 . . . Nk = 1 . . . h

Podemos incluir estas fuerzas de ligadura entre las fuerzas dadas, y olvidar las ecuaciones de susligaduras.

Ası tenemos un sistema holonomo, con unas “fuerzas dadas” que seran las necesarias para quese cumplan las ligaduras.

Los µk se llaman multiplicadores de Lagrange


20

Multiplicadores de Lagrange

Las fuerzas generalizadas tendran que incluir, ademas de las Qj dadas, las fuerzas de lasligaduras no integrables:

N∑

i=1

(

FDi +h∑

k=1

µkAki

)

· δri =N∑

i=1

(

FDi +h∑

k=1

µkAki

)

·

n∑

j=1

∂ri∂qj

δqj =

=

n∑

j=1

Qjδqj +

n∑

j=1

[h∑

k=1

µk

(N∑

i=1

Aki ·∂ri∂qj

)

︸︷︷︸

Ckj

]

δqj =

=

n∑

j=1

(

Qj +

h∑

k=1

µkCkj

)

δqj = 0 ∀ DVCL

Los Ckj son los mismos que en las ecuaciones de las ligaduras


Movimiento: Multiplicadores de Lagrange

n

GdL

3N

g h

Con esas fuerzas, se plantean las ecuaciones como si fuera holonomo. Ademas, tienen que cumplirselas ligaduras cinematicas,

Pj = Qj +

h∑

k=1

µkCkj, j = 1 . . . n

n∑

j=1

Ckj qj + Bk = 0, k = 1 . . . h

→

{qj(t)µk(t)

Ecuaciones de Lagrange para sistemas no holonomos

n+ h ecuaciones diferenciales con n+ h incognitas

Pj =ddt∂T∂qj

− ∂T∂qj

o, si son potenciales, Pj −Qj =ddt∂L∂qj

− ∂L∂qj

Se calculan tambien las fuerzas de las ligaduras no integrables


21

Equilibrio: Multiplicadores de Lagrange

Las ecuaciones de equilibrio son las mismas, pero anulando las velocidades y los terminos cineticos:

Qj +

h∑

k=1

µkCkj = 0, j = 1 . . . n

Bk = 0, k = 1 . . . h

→

{qejµek

Ecuaciones de equilibrio para sistemas no holonomos

n ecuaciones algebraicas con n+ h incognitas: las soluciones, si existen, seran en general ∞

En sistemas reonomos, solo se plantean donde se cumplan las h condiciones Bk = 0

Se calculan tambien las fuerzas de las ligaduras no integrables


Calculo de las fuerzas de ligadura

En mecanica analıtica desaparecen las fuerzas de ligadura y se reduce el numero de ecuaciones a:

• no GDL, en sistemas holonomos

• no GDL + no ligaduras no integrables, en sistemas no holonomos por el metodo de losdesplazamientos independientes

Aparecen las fuerzas de ligadura en el metodo de los multiplicadores de Lagrange, pero solo lasde las ligaduras cinematicas no integrables.

Si interesa alguna fuerza de ligadura integrable, se puede liberar:

• Se deriva esa ligadura y se trata como si fuera no integrable.

• Se anaden la qj y la µk correspondientes.

• Se trata como no holonomo por multiplicadores de Lagrange.

Si son muchas, serıa mejor hacerlo por newtoniana.


22

Ecuacion de la energıa para sistemas holonomosEj.: Partıcula sobre plano giratorio Oxz: ¿que se conserva?

Movimiento absoluto: No se conserva la energıa: la reaccion del plano movil trabaja. Si se lanzacon x 6= 0, la energıa cinetica del giro 1

2mω2x2 crece con x

T + V = 12m(x2 + y2 + ω2x2

)+mgz 6= Cte.

y1

z1

x1ωt

ω

Pz

x

x

z

ωx

mg

mω2x

mg

P

z

x

x

z

Movimiento relativo: Sı se conserva la energıa. La fuerza centrıfuga es potencial, la de Coriolis notrabaja:

T + V =1

2m(x2 + z2

)-1

2mω2x2 +mgz = Cte.

¡Es el mismo movimiento! ¿conservativo o no?


Ecuacion de la energıa para sistemas holonomos

Estructura de la energıa cinetica en sistemas escleronomos :

ri = ri (q1, . . . , qn) ⇒ ri =

n∑

j=1

∂ri∂qj

qj ⇒

T =1

2

N∑

i=1

mi r2i =

1

2

N∑

i=1

mi

n∑

j=1

n∑

k=1

∂ri∂qj

·∂ri∂qk

qj qk

=

=1

2

n∑

j=1

n∑

k=1

(N∑

i=1

mi∂ri∂qj

·∂ri∂qk

)

qj qk =1

2

n∑

j=1

n∑

k=1

Ajk qj qk = T = T2

Funcion homogenea de segundo orden (cuadratica) de las velocidades generalizadas qj

Ajk (q1, . . . , qn)


23


Sistemas reonomos : ri = ri (q1...qn, t) ; ri =∑n

j=1

∂ri∂qj

qj +∂ri∂t

T =1

2

N∑

i=1

mi

n∑

j=1

n∑

k=1

∂ri∂qj

·∂ri∂qk

qj qk + 2

n∑

j=1

∂ri∂qj

·∂ri∂t

qj +∂ri∂t

·∂ri∂t

=

=1

2

n∑

j=1

n∑

k=1

(N∑

i=1

mi∂ri∂qj

·∂ri∂qk

)

qj qk +

n∑

j=1

(

1

2

N∑

i=1

2mi∂ri∂qj

·∂ri∂t

)

qj+

+1

2

N∑

i=1

mi∂ri∂t

2

=1

2

n∑

j=1

n∑

k=1

Ajk qj qk

︸︷︷︸

T2

+n∑

j=1

Bj qj

︸︷︷︸

T1

+ C︸︷︷︸

T0

=

= T = T2 + T1 + T0

Ajk(q1, . . . , qn, t), Bj(q1, . . . , qn, t), C(q1, . . . , qn, t)


Ecuacion de la energıa para sistemas holonomosVariacion de T (qj , qj, t) con el tiempo:

dT

dt=

n∑

j=1

∂T

∂qjqj

︸︷︷︸

(a)

+n∑

j=1

∂T

∂qjqj +

∂T

∂tDerivada del producto:

d

dt

(∂T

∂qjqj

)

=d

dt

(∂T

∂qj

)

qj +

(a)︷︸︸︷

∂T

∂qjqj

dT

dt=

n∑

j=1

d

dt

(∂T

∂qjqj

)

+n∑

j=1

[∂T

∂qj−d

dt

(∂T

∂qj

)]

︸︷︷︸

(b)

qj +∂T

∂t=

=

n∑

j=1

d

dt

(∂T

∂qjqj

)

︸︷︷︸

(c)

−

n∑

j=1

Qj︸︷︷︸

(b)

qj +∂T

∂t


24


T = T2 + T1 + T0 , homogeneas de grados 2, 1 y 0 en qj :

n∑

j=1

(∂T

∂qjqj

)

= 2 · T2 + 1 · T1 + 0 · T0 = 2T2 + T1

Teorema de Euler de las funciones homogeneas: si F es una funcion homogenea de grado n de las m variablesxj , se cumple que

∑m

j=1

∂F∂xj

xj = nF .

F = x2 + y2 + xy, n = 2 , ∂F∂xx+ ∂F

∂yy = (2x+ y) · x+ (2y + x) · y = 2F .

F = x+ 3y, n = 1 , ∂F∂xx+ ∂F

∂yy = 1 · x+ 3 · y = 1 · F

d

dt

(

��T2 +��T1 + T0)=

d

dt

(

�2T2 +��T1)−

n∑

j=1

Qj qj +∂T

∂t

d

dt(T2 − T0) =

n∑

j=1

Qj qj −∂T

∂t



Veamos ahora la derivada del potencial, que suponemos ordinario:

d

dtV (qj, t) =

n∑

j=1

∂V

∂qjqj +

∂V

∂t

Las fuerzas generalizadas podran tener una parte que deriva de un potencial y otra que no,Qj = − ∂V

∂qj+ Qj . Al sumar las derivadas de ambas energıas, quedaran solo las no potenciales:

d

dt(T2 − T0 + V ) =

n∑

j=1

(

−��∂V

∂qj+ Qj

)

qj −∂T

∂t+

n∑

j=1��∂V

∂qjqj +

∂V

∂t

d

dt(T2 − T0 + V ) =

n∑

j=1

Qj qj −∂T

∂t+∂V

∂t


25


d

dt(T2 − T0 + V ) =

n∑

j=1

Qj qj −∂T

∂t+∂V

∂t

Potencial ordinario: V (qj , t) = V0

L = T − V = T2 + T1 + T0 − V0 = L2 + L1 + L0

De este modo la ecuacion de la energıa se puede escribir

d

dt(L2 − L0) =

n∑

j=1

Qj qj −∂L

∂t


Integral de la energıa para sistemas holonomos

d

dt(T2 − T0 + V ) =

n∑

j=1

Qj qj −∂L

∂t

Sistemas conservativos generalizados:

L no depende explıcitamente de t : ∂L∂t

= 0

Fuerzas conservativas/giroscopicas:∑n

j=1 Qj qj = 0

Integral de Painleve / Jacobi:

T2 − T0 + V = h = Cte.

h = valor numerico del hamiltoniano, en otras variables


26

Integral de la energıa para sistemas holonomos

d

dt(T2−T0 + V ) =

n∑

j=1

Qj qj −∂T

∂t+∂V

∂t

Sistemas conservativos:

Sistema escleronomo: T1 = T0 =∂T∂t

= 0, T2 ≡ T

Potencial estacionario: ∂V∂t

= 0

Fuerzas conservativas/giroscopicas:∑n

j=1 Qj qj = 0

Integral de la energıa:T + V = h = E = Cte.

E = Energıa mecanica, h = valor numerico del hamiltoniano


Integral de la energıa para sistemas holonomosEj.: Partıcula sobre plano giratorio Oxz: T = T2 + T0, L 6= f(t) → sistema conservativo generalizado,→ integral de Painleve:

T2 − T0 + V =1

2m(x2 + z2

)− 1

2mω2x2 +mgz = h = Cte.

y1

z1

x1ωt

ω

Pz

x

x

z

ωx

mg

mω2x

mg

P

z

x

x

z

Movimiento relativo: escleronomo, fuerzas potenciales (centrıfufa, peso)/giroscopicas (Coriolis) →conservativo:

T + V =1

2m(x2 + z2

)+mgz −

1

2mω2x2 = E = h = Cte.

− T0(abs) = Vcent(relat) Erelat = habs = hrelat 6= Eabs


27

Ecuacion de la energıa, sistemas no holonomosSistemas no holonomos: multiplicadores de Lagrange → contar las fuerzas de ligaduraQLj =

∑gk=1µk Ckj y tratarlos como holonomos.

d

dt(L2 − L0) =

n∑

j=1

Qj qj +

n∑

j=1

QLj qj −∂L

∂t=

n∑

j=1

Qj qj+

+n∑

j=1

g∑

k=1

µk Ckj qj −∂L

∂t=

n∑

j=1

Qj qj +

g∑

k=1

µk

n∑

j=1

Ckj qj

−∂L

∂t

Estacionarias:∑n

j=1Ckj qj = 0 No estac.:∑n

j=1Ckj qj = −Bk

d

dt(L2 − L0) =

n∑

j=1

Qj qj −

g∑

k=1

µk Bk −∂L

∂t

Conservativo generalizado: fuerzas potenciales/giroscopicas, ligaduras no integrables estacionarias,L no depende de t: → h =Cte.


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Mecánica II Temas 6 y 7 Estática y Dinámica Anal´ıtica · • igual nu´mero de ecuaciones...

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