Mecanica Fluido

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Mecnica de Fluidos Tema N 1. Introduccin y Definiciones.

Por C. Morales, S. Valentino y A. De Almeida

TEMA N1. Introduccin y Definiciones

1. Mecnica de Fluidos Es el rea de la ingeniera que estudia los fluidos tanto en movimiento (el

fenmeno del flujo de fluidos), como en reposo.

2. Fluido Es una sustancia que se deforma continuamente bajo la aplicacin de un esfuerzo

de corte (tangencial), sin importar lo pequeo que pueda ser este esfuerzo

(enfoque mecnico). De este modo, los fluidos abarcan las fases lquidas y

gaseosas (o de vapor) de las formas fsicas en las cuales existe la materia

(enfoque clsico).

Si el fluido se deforma se genera el fenmeno de flujo (movimiento de un fluido a

travs de un conducto abierto o cerrado), se dice que el fluido fluye.

3. Sistema Es una cantidad de masa fija e indetectable, cuyas fronteras lo separan de sus

alrededores, y con las cuales no hay transferencia de masa.

4. Volumen de Control Es un volumen arbitrario, en el espacio, a travs del cual circula fluido. La frontera

geomtrica del volumen del control se llama superficie de control. Esta puede ser

real o imaginaria, y puede encontrarse en reposo o en movimiento.

5. Flujo Estacionario Cuando las propiedades en cualquier punto en un campo de flujo no cambian con

el tiempo, el flujo se denomina estacionario. En flujo estacionario, cualquier

propiedad puede variar de un punto a otro en el campo, pero todas las

propiedades permanecen constantes en el tiempo en todo punto.

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6. Esfuerzo Es el efecto que genera una fuerza de magnitud dada (F), sobre un rea de

seccin (A).

seccinderea aplicada FuerzaEsfuerzo

El esfuerzo es una magnitud tensorial (una matriz de 3x3) y puede ser de dos tipos

segn la direccin relativa de la fuerza respecto al rea sobre la cual acta:

6.1. Esfuerzo Tangencial o de Corte (o de Cizalla)

Es aquel generado por la accin de una fuerza tangencial a un rea de seccin.

El esfuerzo tangencial o de corte viene a ser:

AFt= : Esfuerzo tangencial o de corte

Un ejemplo de esfuerzo tangencial es el asociado al efecto de deslizamiento de un

esquiador sobre el hielo. Otro ejemplo es el asociado al efecto de esparcir

mantequilla sobre una rebanada de pan.

Los esfuerzos tangenciales actan sobre un cuerpo de fluido generando la

posibilidad de movimiento (deformacin) de ste.

6.2. Esfuerzo Normal

Es aquel generado por la accin de una fuerza normal (perpendicular), ya sea por

tensin o compresin, a un rea de seccin.

Ft A

Fuerza tangencial (Ft) rea de seccin o de corte (A)

Fn

A

Fuerza normal (Fn) rea de seccin (A)

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El esfuerzo normal viene dado por:

AFn= : Esfuerzo normal

Un ejemplo de esfuerzo normal es el de la presin hidrosttica, el cual es de

compresin.

7. Clasificacin de los Fluidos Para clasificar a los diversos tipos de fluidos existentes, se puede recurrir a

diferentes criterios o puntos de vista. Los fluidos pueden clasificarse segn tres

enfoques diferentes de acuerdo a: su viscosidad, su densidad y segn su

reologa.

7.1. Segn su Viscosidad

Debido A la relacin existente entre la viscosidad y el movimiento o flujo del fluido,

se hablar de tipo d flujo de acuerdo a la viscosidad de la siguiente manera:

7.1.1. No Viscosos (Ideal)

Los flujos en donde los efectos de la viscosidad se desprecian se denominan no

viscosos. En un flujo no viscoso, la viscosidad del fluido se supone igual a cero.

Los fluidos con viscosidad cero no existen; sin embargo hay muchos problemas

donde el despreciar las fuerzas viscosas simplifica el anlisis, y al mismo tiempo,

conduce a resultados significativos.

7.1.2. Viscosos

Cuando los efectos de la viscosidad no pueden ser ignorados en el anlisis de

flujo, este se denomina rgimen de flujo viscoso y puede ser de dos tipos: flujo

viscoso en rgimen laminar y flujo viscoso en rgimen turbulento. Puede

distinguirse una zona de transicin entre ambos regmenes, al igual que pueden

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observarse dos zonas de rgimen turbulento conocidas como de turbulencia

completa y de turbulencia no completamente desarrollada.

7.1.2.1. Rgimen Laminar

En el rgimen laminar, la estructura de flujo se caracteriza por un movimiento

continuo en lminas o capaz. En el flujo laminar no hay mezcla macroscpica de

capaz de fluido adyacentes. Un delgado filamento de tinta inyectado en un flujo

laminar aparece en una sola lnea; no hay dispersin de la tinta por todo el flujo,

excepto la dispersin lenta debida al movimiento molecular.

7.1.2.2. Rgimen Turbulento

La estructura de flujo en el rgimen turbulento se caracteriza por movimientos

tridimensionales al azar de partculas de fluido que se suman al movimiento

promedio. Un filamento de tinta inyectado en un flujo turbulento se dispersa con

rapidez por todo el campo de flujo, esto es, la lnea de tinta se descompone en

innumerables hilos enmaraados.

7.2. Segn su Densidad

Todo fluido tiene una densidad, la cual permite clasificarlo de la siguiente forma:

7.2.1. Fluido Incompresible

Es aquel para el que la densidad no cambia de manera significativa con los

cambios de presin y temperatura. Ejemplo: los lquidos.

7.2.2. Fluido Compresible

Es aquel para el que la densidad si cambia de manera apreciable con los cambios

de presin y temperatura. Ejemplo: los gases.

En este mismo orden de ideas, el fenmeno de flujo se puede clasificar en:

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Flujo incompresible: Es aquel en el que la densidad del fluido no cambia con la variacin de temperatura y/o de presin de una seccin a otra del

conducto en el cual circula.

Flujo compresible: Es aquel en el que la densidad del fluido cambia con la variacin de temperatura y/o de presin de una seccin a otra del conducto

en el cual circula.

7.3. Segn su Reologa

La reologa se define como la ciencia que estudia el flujo de los fluidos, a travs

del anlisis de su deformacin. La reologa clasifica a los fluidos en dos grandes

grupos: los newtonianos y los no newtonianos.

7.3.1. Newtonianos

A travs de ellos se define la propiedad de viscosidad, y todos cumplen o siguen

una ley de transferencia fundamental, que es la Ley de Newton de la Viscosidad.

Ejemplos de fluidos newtonianos son el agua, aire, benceno, crudos livianos y

medios, etc. La mayora de los gases y lquidos pueden catalogarse tambin como

fluidos newtonianos.

7.3.1.1. Ley de Newton de la Viscosidad

Imaginemos dos placas planas y paralelas con un rea superficial A separadas

por una distancia d (por lo general, esta distancia es muy pequea).

Supongamos que entre ellas existe un fluido contenido (por ejemplo, el aire que

se encuentra entre dos hojas de papel); adicionalmente en un instante inicial el

fluido est quieto entre las dos placas.

dFluido contenido

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Supongamos que las dos placas son lo suficientemente anchas y largas; esta

condicin hace que se eliminen efectos de borde o entrada sobre el movimiento

del fluido contenido; de esta manera, se garantiza que cuando el fluido se mueva,

lo har de manera continua y uniforme, sin perturbaciones (esto permite adems,

establecer que el fluido se mueve en una sola direccin).

Supongamos tambin que el fluido contenido es un fluido viscoso laminar, de

manera que cuando se mueva lo haga en forma de capas consecutivas.

Esta condicin de movimiento del fluido por capas, permite establecer que cada

una de ellas se mover con una velocidad diferente. La diferencia entre las

velocidades ser originada por el efecto de roce o friccin entre cada una de las

capas. Este roce se produce debido a que si el fluido es viscoso, entonces posee

una viscosidad. Si cada capa de fluido se mueve con una velocidad particular,

entonces en toda la distancia d se genera un perfil de velocidades.

Supongamos que la causa del movimiento del fluido es la accin de una fuerza

tangencial (Ft ) aplicada sobre la lmina superior; producto de esta fuerza

constante, la placa se mueve de manera uniforme con una velocidad 0V

(constante); esto origina un movimiento constante y uniforme de las capas de

fluido entre las placas. Supongamos que la placa inferior no se mueve.

Capas de Fluido

x

y

Ft 0VV =

0=V

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Por ltimo, supongamos la existencia de una condicin de adherencia, esto es,

que las capas de fluido que estn en contacto con las lminas, estn adheridas a

ellas, de manera que en el movimiento, estas capas adquieren la velocidad de las

lminas.

Si colocamos un sistema de coordenadas como el mostrado, esto permite

establecer que: 0=y 0=V

dy = 0VV =

Por definicin, la Ley de Newton de la Viscosidad es una Ley de Transferencia, y

toda Ley de Transferencia establece desde el punto de vista fsico que:

Cantidadsistencia

impulsoraFuerzaaTransferidRe

..

En el caso que estamos estudiando:

La Fuerza impulsora dVx es el gradiente de velocidad. Desde un punto de vista global, es decir, tomando en cuenta las capas adheridas, se puede

decir que:

dVx Vx V0 -0

La Cantidad Transferida es el esfuerzo de corte o tangencial (la cual posee unidades de presin).

La Resistencia d/ es el agente que se opone al movimiento del fluido, asociado al roce o friccin entre las capas. Donde se define como la viscosidad dinmica del fluido, la cual depende de la temperatura y

presin del sistema, as como de la estructura de la molcula que compone

al fluido.

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dy y d

En resumen, las consideraciones ms importantes hechas en este anlisis son:

Estado Estacionario: movimiento uniforme, continuo y estable del fluido. Rgimen Laminar: movimiento del fluido por capas. Fluido Newtoniano: el fluido sigue la Ley de Newton de la Viscosidad.

De esta manera:

dV

AFt 0 ==

Por lo tanto, si la viscosidad es grande, se debe aplicar una fuerza mayor para

deformar el fluido.

La ecuacin anterior es la Ley de Newton de la Viscosidad, integrada en toda la

distancia d entre las lminas; a esta ley tambin se le conoce como la Ley de

Transferencia de Cantidad de Movimiento.

En este sentido, la Ley de Newton de la Viscosidad establece en forma general

que la velocidad con la cual se transfiere la cantidad de movimiento depende no

slo de la magnitud de la fuerza aplicada, sino tambin de una propiedad del

fluido, llamada viscosidad ( ), que es una medida de la resistencia a la deformacin y flujo. De hecho, esta ley es la definicin de la viscosidad.

En forma general esta ley expresa lo siguiente:

dydU x =

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Existe una analoga con la transferencia de calor y momento por medio de las

leyes de transferencia; esto es, si comparamos la transferencia de calor por

conduccin (Ley de Fourier) y la Ley de Newton de la Viscosidad, vemos la

siguiente similitud:

Ley de Fourier

dxdTkq

AQ ==*

Si k , entonces q y *Q

Ley de Newton de la Viscosidad

dy

dUxAum

AFt ===

*.

Si , entonces , um.* y Ft En algunos textos (Bird, Stewart y Lightfoot, 1975), incluso se incluye el signo

negativo en la ecuacin de la Ley de Newton en base a su convencin y sistema

de referencia.

7.3.2. No Newtonianos

Son los que no cumplen la Ley de Newton de la Viscosidad, y que se identifican

por medio de otros parmetros reolgicos.

Ejemplo de ellos son la pasta de tomate, pasta dental, pasta de yeso o cemento,

entre otros.

As como existe la Ley de Newton de la Viscosidad para definir los esfuerzos de

corte de un fluido newtoniano, tambin existe la Ley de Potencia o Modelo de

Ostwald de Waele que permite conocer no slo los esfuerzos de corte para un

fluido newtoniano sino tambin para un fluido no newtoniano del tipo

pseudoplstico o dilatante mediante la siguiente ecuacin:

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dydU

dydUm x

nx

yx

1=

Donde los parmetros m y n se determinan a travs de estudios reolgicos, y la

diferencia del valor de n respecto a la unidad indica que tanto se aleja o se acerca

el fluido de un comportamiento newtoniano. Por lo tanto, para:

1=n el fluido se considera como newtoniano y m es la viscosidad tal y como ha sido definida.

1n el fluido se considera dilatante.

7.3.2.1. Pseudoplsticos

Es aquel en el que la resistencia a la deformacin disminuye al aumentar el

esfuerzo de corte (la pendiente disminuye). Si este efecto es muy evidente,

entonces el fluido se denomina plstico.

yx

dydUx

Plstico

1>n

1

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7.3.2.2. Dilatantes

Es aquel fluido en el que la resistencia a la deformacin aumenta al aumentar el

esfuerzo de corte (la pendiente aumenta).

7.3.2.3. Plstico de Bingham

Es el caso lmite de una sustancia plstica, ya que requiere de un esfuerzo

mnimo necesario que se debe aplicar para empezar a mover el fluido. Este

tambin se define por parmetros reolgicos y deben considerarse dos

ecuaciones para determinar el perfil de velocidades a partir de los esfuerzos de

corte, estas son:

Si 0 yx , entonces 0=dydUx (Ec. 1)

Si 0 >yx , entonces 00 += dydUxyx (Ec. 2)

Donde

0 : es el esfuerzo de cedencia (esfuerzo infinito) o mnimo necesario para mover el fluido (tambin se le conoce como lmite de frecuencia).

0 : viscosidad plstica.

Un ejemplo de este tipo de fluido es la pasta de dientes, la salsa de tomate y la

pasta de chocolate.

0

yx

dydUx

Newtoniano

Plstico de Bingham

1.Ec

2.Ec

0

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El perfil de velocidad tpico de un plstico de Bingham se muestra de la siguiente

manera:

Ejemplo:

Fluido de plstico de Bingham contenido entre dos placas planas paralelas,

infinitamente anchas y largas.

Para determinar el perfil de velocidades se hace un balance de fuerzas sobre un

cuerpo de fluido:

pyx FF = ppyx AA ** =

pyx =

y

x

2.Ec 1.Ec

2.Ec

Fp Fyx

0V

0=V

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teconsdy

dUp

xyx tan00 ==+=

px

dydU =+ 00

00 = pxdydU

0

0

= px

dydU

Integrando se obtiene que

10

0)( CyyU px +=

Con las condiciones de borde se determina el valor de la constante de integracin

1C . Se conoce que:

0=y 0=xU =y 0VU x =

Se encuentra que para 0=y y 0=xU , 01 =C

yyU px0

0)( =

Para =y y 0VU x = se encuentra que:

0

00

= pV

000

+= Vp Por lo tanto se tiene que el perfil de velocidades viene dado por:

yVyU x 0)( =

En este caso es el mismo que para el caso de fluido newtoniano.

Si se quiere conocer pF , entonces:

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000

+== VAF

p

pp

+= 000 VApp

8. Viscosidad Es una propiedad que tienen los fluidos, que representa la resistencia que stos

ofrecen a fluir. Tambin se conoce como viscosidad dinmica.

8.1. Unidades de Viscosidad

La viscosidad posee dimensiones de masa sobre longitud y tiempo, esto es:

*L

M

Para el Sistema Internacional (S.I. o M.K.S.) de unidades se tiene que:

sPasm

Kg **

=

Mientras que para el sistema de unidades C.G.S. se obtiene:

)(*

pPoisescm

g =

El poise es una de las unidades de viscosidad ms utilizadas as como el

centipoise (cp), donde cpp 1001 =

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La ventaja prctica de usar el centipoise es que se puede comparar la viscosidad

de otros fluidos con la del agua a 20C.

cpcpCOH 10019,1202 = (valor medido experimentalmente) sPacp *10*11 3=

8.2. Viscosidad de Gases y Lquidos

La viscosidad de un fluido depende de la temperatura en gran proporcin, de la

estructura de la molcula y de la presin en muy menor grado.

La viscosidad de los gases a temperatura ambiente se halla entre 0,005 y 0,02cp;

y esta aumenta siempre con la temperatura (en forma apreciable) y con la presin

slo cuando la misma se aproxima a la presin crtica del gas, por lo que en la

mayora de los casos prcticos su efecto puede ser despreciable.

Los lquidos poseen valores de viscosidad mucho mayores a la de los gases, y por

lo general, se incrementan con la presin, pero la funcionalidad con la presin es

despreciable si la presin est por debajo de las 40atm. La viscosidad de los

lquidos disminuye con el aumento de la temperatura. El rango para la viscosidad

en los lquidos se encuentra entre 0,1 y 106cp para polmeros fundidos.

Los valores tpicos de densidad y viscosidad para el agua y el aire a algunas

temperaturas son los que se muestran a continuacin:

Agua Temperatura (C) Densidad (Kg/m3) Viscosidad *103 (Kg/m*s)

0,0 999,6 1,786

15,6 998,0 1,131

26,7 996,4 0,860

37,8 994,5 0,682

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Aire Temperatura (C) Densidad (Kg/m3) Viscosidad *105 (Kg/m*s)

0,0 1,293 1,72

10,0 1,246 1,78

37,8 1,137 1,90

65,5 1,043 2,03

9. Viscosidad Cinemtica Es una relacin entre la viscosidad y la densidad del fluido. A veces conviene

manejar esta relacin.

=

9.1. Unidades de Viscosidad Cinemtica

La viscosidad cinemtica posee dimensiones de longitud cuadrada sobre tiempo,

esto es:

[ ] [ ][ ]

=

==

2

3

* L

LM

LM

En el S.I. se tiene que la viscosidad cinemtica se expresa as:

sm2

Donde

sftStsm 242 7639,10101 ==

Mientras que en el sistema de unidades C.G.S. se tiene que:

)(2

StStokes

cm =

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Donde

scmSt

211 =

StescentistockcSt 210*1)(1 =

La ventaja prctica de usar el centistockes es que se puede comparar la

viscosidad cinemtica de otros fluidos con la del agua a 20C.

cStscmStCOH 101,001,02

202 =

El uso de la viscosidad cinemtica es importante en los casos en que las fuerzas

viscosas y las fuerzas gravitacionales coexisten de manera significativa.

La dimensin de viscosidad es idntica a la del coeficiente de difusin en

transferencia de masa y a la de la difusividad trmica en transferencia de calor.

Hay una analoga definida entre las tres variables. De hecho, la viscosidad

cinemtica gobierna la velocidad de difusin de cantidad de movimiento en los

regmenes laminar y turbulento de los fluidos.

10. Ejemplo 1: Problema N7 de la gua Se tienen dos placas planas paralelas de largo L y ancho B, separadas a una

distancia h, entre las que est contenido un fluido con viscosidad . La placa superior se mueve con una velocidad V0 (hacia la izquierda) y la inferior con una

velocidad 3 V0 (hacia la derecha). Determine, en estado estacionario, lo siguiente:

a. El perfil de velocidad para el movimiento del fluido. Explique qu ocurre.

b. La velocidad para la capa de fluido que se encuentra en un punto ubicado

en h/2.

c. La distancia, medida desde la placa inferior, en la que la velocidad se hace

cero.

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d. Para la capa de fluido ubicada a la distancia calculada en (c), determine la

fuerza aplicada y el esfuerzo de corte presente.

e. Explique la relacin entre el perfil de esfuerzos de corte y el perfil de

velocidad para este caso. Tome en cuenta en su anlisis los puntos

caractersticos del perfil de velocidades.

Movimiento no acelerado pf FF = Adicionalmente pfpf AA ==

== xpxp dUdydydU )(1 yUCy x

p =+

Si 0=y y 03VUx = , entonces 01 3VC =

03)( VyyUp

x +=

Luego, para hy = y 0VUx =

hV

p 04=

a) Finalmente el perfil de velocidades es:

= yh

VyUx43)( 0

Ntese que al evaluar el perfil en los extremos se cumplen las condiciones de

borde. Algunas lminas de fluido se movern a la derecha y otras a la izquierda, y

para la posicin hy43= el fluido no se mueve.

x

y h

B

L

y = 0 Ux = 3Vo

y = h Ux = -Vo

Fp Ff

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b) 00 243

2Vh

hVhUx =

=

c) hy43=

d) El esfuerzo de corte es constante:

hV

p 04==

y la fuerza es h

BLVF

hV

LBF 00 44.

==

e) Perfiles

11. Ejemplo 2: Problema N8 de la gua Un tubo hueco de 60cm de largo y 2cm de dimetro interno se debe deslizar sobre

un cable de 1.8cm de dimetro. Entre ambos slidos se encuentra un lquido no

newtoniano que cumple con la ley de potencia Oswald de Waele:

n

dydUm

= ; donde 5.0=n y 2*40 cm

sdinasmn

=

A qu velocidad se deslizar el tubo, si se le aplica una fuerza de 1.5Kgf?

Determine el perfil de velocidades, la distribucin de esfuerzos cortantes y el

esfuerzo de corte en la superficie del cable.

Error!

y=h

y=0

y=3/4

Perfil de velocidades Perfil de esfuerzos de corte

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dinasKgfcmrFrz510*715.145.1)1( ===

?)1( 0 === VcmrUz ?)( =rUz

?=rz ?)9.0( == cmrrz

Condiciones de borde:

1Rr = 0=zU 2Rr = 0VUz =

Aplicando un balance de fuerzas a un cuerpo de fluidos:

rzp FF =

rzrzpp AA ** = LrLR rzp 2*2* 1 =

rR rzp ** 1 =

rzp

rR =1*

Igualando con la ley de Oswald: n

zp

drdU

mr

R

=1*

zn

np dU

rdr

mR =

/1

/11 *

*

R1=0.9cm

L=60cm

R2=1cm

Z

r Fluido No Newtoniano

Fzr Fp

21/22



=

zn

np dUdrrm

R /1/1

1 **

Se resuelve la integral

1

11

1

)1()( Cr

nn

mR

rU nn

npz +

=

Se determina 1C con las condiciones de borde:

Para 1Rr = y 0=zU

= nnnp R

nn

mR

C1

1

1

11 )1(

Entonces:

=

n

nn

nnp

z Rrnn

mR

rU1

1

11

1

)1()(

Como se conoce la fuerza aplicada al tubo de radio 2R se puede conocer p :

AF= , entonces para

1

2

2)(LR

FFRrF rzprzp

====

Sustituyendo esta ltima ecuacin en la ecuacin del perfil de velocidades, se

obtiene un perfil ms general para las velocidades:

=

n

nn

nnp

z Rrnn

LmF

rU1

1

11

)1(2)(

Para prz FdinasKgfcmrF ==== 510*715.145.1)1( cmR 12 = cmL 60=

cmR 9.01 =

5.0=n y 25.0*40

cmsdinasm =

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Se obtiene que la velocidad con la que se desliza el tubo sobre el cable es:

scmVcmrUz 1058)1( 0 ===

Para determinar el perfil de esfuerzos de corte se tiene: n

dydUm

=

y como dr

dUmr

R zn

p =

/11*

= npz

LmrF

drdU

1

2

Sustituyendo esta ltima ecuacin en la ecuacin de la Ley de Oswald se obtiene

el perfil de esfuerzos de corte:

=

LrF

r prz 2)(

El esfuerzo de corte para la superficie del cable, con los datos presentados

anteriormente, sera el siguiente:

24337)9.0( cmdinascmrrz ==

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