1 UNIVERSIDAD AUTNOMA CHAPINGO DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA AGRCOLA Ramn Lobato Silva Ramn Lobato Silva Chapingo, Mxico, julio de 2011 ESTTICA 2 PRESENTACIN Enelmarcodelprocesodocenteeducativoorientadohacialaformacindeprofesionalesen mecanizacinagrcola,laEstticarepresentaunaasignaturabsicadelplandeestudiosdela carrera de Ingeniera Mecnica Agrcola. Esto, entre otras razones, porque durante su explotacin todaslasmquinas,yestructurasengeneral,invariablementesevensometidasalaaccinde sistemas de fuerzas. La Esttica, como la rama de la Mecnica, estudia un aspecto de los efectos externos de la fuerzas sobre los cuerpos o sistemas: las condiciones de equilibrio mecnico; la Dinmica, por su parte, estudiaotroaspectodelosefectosexternos:larelacinentrelasfuerzasyelmovimiento; mientrasqueenlaMecnicadeMateriales,seestudianlosefectosinternosdelasfuerzas:lo relativoalaresistenciamecnica,larigidezylaestabilidaddeelementosdemquinasy estructuras. Como parte de las asignaturas del primer semestre de la carrera de Ingeniera Mecnica Agrcola, el contenido del curso de Esttica supone que el estudiante est familiarizado con conocimientos y habilidades para la solucin de problemas correspondientes a las asignaturas de Fsica General y Clculo Diferencial e Integral. Portratarsedeunaasignaturabsicaparaelestudiodelaingeniera,elcontenidodelcursode Esttica contribuye a la adquisicin de los conocimientos imprescindibles para la comprensin de losfundamentosdelobjetodelacarrerayparalaformacincientficageneraldelfuturo profesionaleningeniera.Enparticular,losconocimientosyhabilidadesqueseadquieranen Estticaresultarnesencialesparalaasimilacindeasignaturassubsecuentesdelplande estudios, a saber: Dinmica, Mecnica de Materiales,Mecnica de Fluidos, Diseo de Elementos de Mquinas y Mquinas Agrcolas, entre otras. Como sucede con cualquier asignatura bsica de ingeniera, todos los conceptos que se estudian enEstticatienenunsignificadofsicobiendefinidoyofrecenposibilidadesdeaplicaciones bsicas o fundamentales, que permiten comprender los fenmenos fsicos, as como predecir el funcionamiento y la respuestade los sistemasde ingenieraen relacin con los efectos externosdelasfuerzasqueactansobreellos;aplicacionesprcticasodeingeniera,paraelanlisisy diseodeelementosdemquinasyestructuras;yaplicacionesacadmicas,paraelestudiode otras disciplinasde la ingeniera y asignaturas del plan de estudios de la carrera. La Mecnica es la rama de la Fsica que estudia las leyes generales del movimiento mecnico de los cuerpos y establece los mtodos generales para la solucin de los problemas relacionados con estetipodemovimiento.Elmovimientomecnico(osimplementemovimiento)serefiereal cambiodeposicindeloscuerpos,unosconrespectoaotros,quesucedeeneltranscursode tiempo, as como a la variacin de la posicin relativa de las partculas de un mismo cuerpo,es decir,ladeformacindeesteltimo.Elestadodereposodeloscuerposesuncasoespecialde movimiento, de cuyo estudio se encarga la rama de la Mecnica denominada Esttica. 3 NoobstantequeloscuerposconquetratalaMecnicapuedenserslidos,lquidosogases,su movimientoposeepropiedadesquenodependendelestadodeagregacindelosmismos.Los problemas relacionados con la estructura interna de los cuerpos, con sus propiedades fsicas y con las leyes de sus interacciones, quedan fuera de los lmites de la Mecnica, y constituyen el objeto deestudiodeotrasramasdelaFsica.Sinembargo,sinelconocimientodelasleyesdela MecnicaesprcticamenteimposibleestudiarlasdemsdisciplinasdelaFsica,yaqueencasi todos los fenmenos fsicos y procesos se presenta el movimiento mecnico.

Como fundamento cientfico de las disciplinas de ingeniera, la Mecnica es todo un conjunto de asignaturas tcnicas, generales y especiales, - Esttica, Dinmica, Mecnica del Medio Continuo, Mecnica de Materiales, Teora de Mquinas y Mecanismos, Mecnica de los Fluidos, Mecnica de Suelos, entre otras- dedicadas a la investigacin del movimiento de los cuerpos sueltosyde sus sistemas, as como al diseo y anlisis de mecanismos, mquinas y estructuras. Conmayorprecisin,elobjetivodelaEsttica,comociencia,eselestudiodelaspropiedades generales de las fuerzas y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a la accin de fuerzas. En correspondencia con las consideraciones anteriores, el contenido del presente curso incluye la exposicin de la teora conceptos, definiciones, leyes o principios y teoremas- de la Esttica y sus aplicacionesa la solucin de problemas. Se procura hacer una presentacin lo ms unificada yconcisaposible,esdecir,hacerladeduccindelasecuacionesparalascategorasms generalesdesistemasdefuerzasy,apartirdeellas,obtenerlascorrespondientesalossistemas mssimples.Sehaceusointensivodelformalismomatemticocorrespondienteallgebra Vectorial. Finalmente, a pesar de que la asignaturade Esttica es de naturaleza bsicay de tipo tericoy, no obstante, que sus leyes y teoremas son muy pocos, la asimilacin de su contenido, as como la habilidadparasuaplicacinasituacionesreales,requiereunaltoniveldeentrenamientoenla solucindeproblemas.Porestarazn,laparteprcticadelcursosedesarrollamediantela formulacinysolucindenumerososproblemas;unosdevaloracinacadmica,conel propsito de comprender los conceptos y teora bsica de la asignatura; otros relacionados con el ejerciciodelaprofesin,paramotivarlaaplicacinasituacionesdelavidaprofesional;y algunos orientados hacia la investigacin, a fin de inducir actitudes hacia la bsqueda de nuevos conocimientos para fomentar la creatividady el trabajo independiente del futuro profesional. En todos los casos es imprescindible la participacin activa del estudiante, tanto en las clases como fuera de ellas. 4 As, en este contexto,el curso de esttica tiene los siguientes objetivos generales, a saber: -Valorarlaimportanciadelconocimientoycomprensindelosconceptosdelasciencias bsicasdelaingeniera,paralograrsuaplicacinaproblemasdeanlisisydiseode sistemas. -Analizarlosconceptosyleyescorrespondientesa:lacomposicinydescomposicinde fuerzas;lareduccindelossistemasdefuerzasasuexpresinmssimple;yla determinacin de las condiciones de equilibrio de los sistemas de fuerzas que actan sobre uncuerporgido.Todoatravsdesusaplicacionesalanlisisydiseodesistemasen equilibrio. 5 CONTENIDO: UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTTICA UNIDAD 2. EQUILIBRIO UNIDAD 3. FRICCIN UNIDAD4.CARACTERSTICASGEOMTRICASDELASSECCIONES TRANSVERSALES DE LAS BARRAS UNIDAD 5. FUERZAS INTERNAS EN ESTRUCTURAS ISOSTTICAS METODOLOGA DIDCTICA: Con el propsito de facilitar la adquisicin de conocimientos, el profesor, al inicio de cada tema, realizar clases tericas, donde se har el anlisis de los conceptos y leyes principales. Paradesarrollarhabilidadesenlaaplicacindelateora,elprofesorrealizarclasesprcticas, dondeseresolvernproblemasrepresentativosdecadatema.Estetipodeclasesrepresentarn ms del 50% del curso. Durante las clases prcticas se har nfasis en los aspectos metodolgicos para la solucin de los problemas y se promover la participacin activa del estudiante. Conelfindefomentareltrabajoindependienteporpartedelosestudiantes,paracadatemael profesorindicarlalecturadematerialbibliogrfico,quepermitacomplementarlasclasesdel curso; asimismo, se asignarn problemas para que sean resueltos por los estudiantes como tareas. EVALUACIN DE LA ASIGNATURA Evaluaciones frecuentes10% Cinco exmenes parciales 60% Tareas y trabajos 30% 6 BIBLIOGRAFA: Texto: Meriam, J. L. and Kraige, L. G. 2007. Engineering Mechanics, Vol. 1, Statics, 6th. ed., John Wiley and Sons, Inc., New York, U.S.A. Consulta: -Boresi, A.P. and Richard J. Schmidt. 2001.Engineering Mechanics, Vol. 1,Statics. BROOKS/COLE, U.S.A. -Beer, F.P.; Johnston, E.R. and Eisenberg R.E. 2010 Vector Mechanics for Engineers, Vol. 1, Statics 9th ed. SI, McGraw-Hill Book Co. Singapore. -Hibbeler, R.C. 2010. Engineering Mechanics Statics, 12th ed. Prentice-Hall. U.S.A. -Soutas-Little, R.W.; Inman, D.J. and Balint, D. S. 2008. Engineering Mechanics, Vol. 1. Statics, THOMSON. 7 ndice UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTTICA ................................................................... 9 1.1 CARACTERIZACIN DE LA ESTTICA ...................................................................................... 9 1.2EL PAPEL DE LA ESTTICA EN LA INGENIERA .................................................................. 13 1.3 DIMENSIONES Y UNIDADES DE LAS MAGNITUDES FSICAS ............................................. 14 1.4VECTORES ..................................................................................................................................... 30 1.5 LEYES DE LA MECNICA CLSICA.......................................................................................... 46 1.6 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA ESTTICA ............................................................... 53 1.7 AXIOMAS DE LA ESTTICA ....................................................................................................... 55 1.8 FUERZAS Y SISTEMAS DE FUERZAS ........................................................................................ 57 1.9 COMPOSICIN Y DESCOMPOSICIN DE FUERZAS............................................................... 58 1.10MOMENTO DE UNA FUERZA ................................................................................................... 62 1.11 TEOREMA DE VARIGNON O PRINCIPIO DE LOS MOMENTOS .......................................... 64 1.12PAR DE FUERZAS ....................................................................................................................... 69 1.13TEOREMA SOBRE EL TRASLADO PARALELO DE UNA FUERZA: REDUCCIN FUERZA - PAR ...................................................................................................................................... 71 1.14 FUERZAS DISTRIBUIDAS .......................................................................................................... 73 1.15REDUCCIN DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS: RESULTANTES ...................................... 76 UNIDAD 2. EQUILIBRIO .......................................................................................................... 82 2.1 DEFINICIN DE EQUILIBRIO ...................................................................................................... 82 2.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO .................................................................................................. 82 2.3 APOYOS Y SUS REACCIONES ..................................................................................................... 83 2.4 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE ................................................................................................. 86 2.6 SISTEMAS ISOSTTICOS E HIPERESTTICOS ........................................................................ 89 2.7 SOLUCIN DE PROBLEMAS DE EQUILIBRIO ......................................................................... 89 2.8 EQUILIBRIO DE PARTCULAS .................................................................................................... 90 2.9 EQUILIBRIO DE CUERPOS RGIDOS .......................................................................................... 94 2.10 APLICACIONES A ESTRUCTURAS Y MQUINAS .............................................................. 104 UNIDAD 3. FRICCIN ............................................................................................................. 109 3.1 NATURALEZA Y TIPOS DE FRICCIN .................................................................................... 109 3.2 LEYES DE LA FRICCIN SECA ................................................................................................. 110 3.3 TIPOS DE PROBLEMAS DE FRICCIN ..................................................................................... 111 8 UNIDAD 4. CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES DE LAS BARRAS .................................................................................. 116 4.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASAS Y CENTROIDES. ...................................... 116 4.3 MOMENTO ESTTICO ................................................................................................................ 120 4.4 MOMENTO DE INERCIA ............................................................................................................. 121 4.5 PRODUCTO DE INERCIA ............................................................................................................ 123 4.6 MOMENTO POLAR DE INERCIA ............................................................................................... 125 4.7 EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA ......................................... 126 4.8 CRCULO DE MOHR .................................................................................................................... 129 UNIDAD 5. FUERZAS INTERNAS EN ESTRUCTURAS ISOSTTICAS ....................... 130 5.1 MTODO DE SECCIONES ........................................................................................................... 130 5.2 COMPONENTES DE FUERZAS INTERNAS. ............................................................................. 135 5.3 CLCULO DE FUERZAS INTERNAS. ....................................................................................... 137 5.4 ARMADURAS. .............................................................................................................................. 140 5.5 DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERNAS. ANLISIS DE VIGAS ........................................... 143 5.6 MARCOS. ....................................................................................................................................... 156 9 UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTTICA Objetivo Desarrollar los mtodos y procedimientos para la composicin y descomposicin de fuerzas, y la reduccindelossistemasdefuerzasaplicadasauncuerpoasuexpresinmssimple,afinde facilitar la prediccin de los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas. Temas: 1.1 Caracterizacin de la Esttica. 1.2 El papel de la Esttica en la ingeniera. 1.3 Dimensiones y unidades de las magnitudes fsicas. 1.4 Vectores. 1.5 Leyes de la Mecnica Clsica. 1.6 Conceptos fundamentales de la Esttica. 1.7 Axiomas de la Esttica. 1.8 Fuerzas y sistemas de fuerzas. 1.9 Composicin y descomposicin de fuerzas.1.10 Momento de una fuerza. 1.11Teorema de Varignon. 1.12 Par de fuerzas. 1.13 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza. 1.14 Fuerzas distribuidas. 1.15 Reduccin de los sistemas de fuerzas (resultantes). 1.1 CARACTERIZACIN DE LA ESTTICA Cul es el objeto de la Mecnica? La Esttica es parte de la Mecnica, y staes una rama de la Fsica. LaFsicaeslacienciaqueestudialosdiferentestiposdemovimientosdelamateriaysus transformacionesmutuas,ascomolaestructuraypropiedadesdelasformasconcretasdela materia(slidos,lquidos,gasesycampos).LapalabraFsicaesdeorigengriegoysignifica naturaleza; como ciencia se inicia con Galileo (1564-1642). 10 La Mecnica es la rama de la Fsica que estudia las leyes generales del movimiento mecnico (o simplemente el movimiento) de los cuerpos y establece los mtodos generales para la solucin de losproblemasrelacionadosconestetipodemovimiento.LapalabraMecnicaesdeorigen griegoysignificaconstruccin,mquinaoinvento;apareceporprimeravezenlasobrasde Aristteles (384-322 a.C.). El movimiento mecnicose refiere a los cambios de posicin (desplazamientos) de los cuerpos, unos con respecto a otros, que suceden en el transcurso del tiempo, as como la variacin de la posicin relativa de las partculas de un mismo cuerpo, es decir, la deformacin de este ltimo. El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de movimiento, de cuyo estudio se encarga la parte de la Mecnica denominada ESTTICA. Problemas fundamentales de la Mecnica. 1.Elestudiodediferentesmovimientosylageneralizacindelosresultadosobtenidosen forma de leyes, con ayuda de las cuales pueda predecirse el carcterdel movimiento en cada caso concreto. Assehanestablecido,porejemplo,lasleyesyteoremasdelaDinmicay,enparticular,dela Esttica. 2.Labsquedadepropiedadesgenerales,propiasdecualquiersistema, independientemente de la especie concreta de interaccin entre los cuerpos de ste. As se han descubierto las leyes de conservacin de la energa, de la cantidad de movimiento y del momento de la cantidad de movimiento. Cules son las divisiones o campos de la Mecnica? Como ocurre en toda la Fsica, la clasificacin ms general de la Mecnica es como sigue: Velocidad Mecnica Clsica Relativista Mecnica Cuntica Relativista Cosmologa Relativista Mecnica CunticaMECNICA CLSICA Cosmologa 10-15 10-10 1020 c c Dimensiones (m) ? ? 11 SellamaMecnicaClsica,laMecnicabasadaenlastresleyesdeNewton.Actualmentela Mecnica Clsica es todo un conjunto de asignaturas tcnicas, generales y especiales, dedicadas a la investigacin del movimiento de los cuerpos sueltos y de sus sistemas, al anlisis y diseo de distintas obras de ingeniera, especialmente estructuras, mquinas y procesos. Dependiendo de la naturaleza de los problemas que se examinan, la Mecnica Clsica se divide en: 1.Esttica. Estudia la descomposicin y composicin de fuerzas, la reduccin(resultante) de los sistemas de fuerza y las condiciones de equilibrio de los cuerpos. 2.Cinemtica. Estudia el movimiento de los cuerpos desde el punto de vista geomtrico, es decir, independientemente de las fuerzas que actan sobre estos cuerpos. 3.Cintica. Estudia las dependencias entre el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que actan sobre ellos. Qu estudia la Esttica? El objetivo de la Esttica, como ciencia, es el estudio de las propiedades generales de las fuerzas (como magnitudes fsicas vectoriales) y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a la accin de fuerzas. Problemas generales de la Esttica. 1.Establecer los mtodos para la composicin y descomposicin de fuerzas y la reduccin de los sistemas de fuerzas, aplicadas a un cuerpo, a su expresin ms simple. Esto con el propsito de predecir los efectos externos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas. ESTTICA DINMICA MECNICA CLSICA DE CUERPOS RGIDOS DE CUERPOS DEFORMABLES DE FLUIDOS CINTICA CINEMTICA MECNICA DE MATERIALES TEORA DE LA ELASTICIDAD INCOMPRESIBLES(Hidrulica) COMPRESIBLES (Neumtica) 12 2.Determinarlascondicionesdeequilibriodeloscuerpos,sometidosalaaccinde sistemasdefuerzas,ysuaplicacinalanlisisydiseodesistemasdeingeniera, principalmente mquinas y estructuras en general. Problema 1. En la posicin representada, el cigeal de un motor de dos cilindros est sometidoa las fuerzas de 400 y 800 N, ejercidas por las bielas y al par de 200 N m. Para este sistema formule dos problemas tpicos de Esttica. AB

. 13 1.2EL PAPEL DE LA ESTTICA EN LA INGENIERA QuactitudsedebeasumiralemprenderelestudiodelaEstticaenunacarrerade ingeniera? El estudio de cualquier ciencia bsica de ingeniera incluye dos aspectos fundamentales, a saber: 1. El entendimiento de los conceptos y leyes de la asignatura o disciplina. Esto se logra mediante el estudio y anlisis de las deducciones tericas correspondientes. 2.Laaplicacindeestosconceptosyprincipiosasituacionesfsicasconcretas.Estoselogra mediante la solucin de problemas. CuleselpapeldelaasignaturadeEstticaenlacarreradeIngenieraMecnica Agrcola? Todos los conceptos, principios y leyes que se estudian en Mecnica tienen un significado fsico bien definido y ofrecen las siguientes posibilidades de aplicaciones: 1.Aplicacionesbsicasofundamentales:tilesparacomprenderypredecirlarespuesta de los fenmenos fsicos y el funcionamiento o comportamiento de sistemas de ingeniera (mquinas, estructura y procesos). 2.Aplicaciones prcticas o de ingeniera: Importantes para el anlisis y diseo de sistemas de ingeniera. 3.Aplicacionesacadmicas:Necesariasparalaasimilacinycomprensindeotras asignaturas y disciplinas de ingeniera. Aqu es oportuno precisar la misin de la ingeniera. De acuerdo con la ABET (the Accreditation Board for Engineering and Technology): LaIngenieraeslaprofesinenlacualelconocimientodelascienciasmatemticasy naturales obteniendo a travs del estudio, la experiencia y la prctica se aplica con criterio paradesarrollarmodosparalautilizacineconmicadelosmaterialesyfuerzasdela naturaleza para el beneficio de la humanidad. Esto incluye, en particular, el anlisis y diseo de estructuras, mquinas y procesos. En otras palabras la ingeniera es la aplicacin de la ciencia a los propsitos de la sociedad. En conclusin, la ingeniera (principalmente en sus reas civil, mecnica, industrial y agrcola) se fundamenta en las siguientes ciencias bsicas de ingeniera: 14 1.3 DIMENSIONES Y UNIDADES DE LAS MAGNITUDES FSICAS Ladensidaddeunsuelo;laviscosidaddinmicadeunlquido;lavelocidadangulardeun elementodemquina;laconductividadtrmicadeunmaterialdeconstruccin;lapresinde un sistema hidrulico; la energa cintica de un cuerpo en rotacin; la fuerza de traccin de un vehculo; la potencia de un motor; la temperatura de un proceso termodinmico; la resistencia elctricadeunconductor;elmomentodeinerciadelaseccintransversaldeunaviga;el mdulo de elasticidad del acero; son algunos ejemplos de magnitudes o cantidades fsicas. Qu son o qu representan las magnitudes fsicas? Lasmagnitudesfsicassonlosconceptosquedefinenlaspropiedadesdeloscuerposolas caractersticas de un proceso, cuyas variaciones siempre han de determinarse cuantitativamente pormediodemediciones,esdecir,comparandolamagnitudfsicaencuestinconotra magnitud determinada de la misma especie que se toma como unidad. A las magnitudes fsicas tambin se les llama cantidades fsicas o variables fsicas. A qu se llama unidad de una magnitud fsica? Sellamaunidadde medicin,osimplementeunidad,delamagnitudfsicaA,aunamagnitud fsica elegida convencionalmente que tiene el mismo sentido fsico que dicha magnitud A. Cmo se dividen, para facilitar su manejo, las unidades de las magnitudes fsicas? Convencionalmentesedividenenunidadesbsicasofundamentalesyenunidadesderivadaso secundarias. a)Lasunidadesbsicasseestablecendeformaarbitrariaeindependientesunasdeotras.Se definen por medio de procesos fsicos invariables o mediante prototipos normalizados. Ejemplos de unidades bsicas, segn el Sistema Internacional de Unidades, son el metro, el segundo y el kilogramo, para la longitud, el tiempo y la masa, respectivamente. CIENCIAS BSICAS DE INGENIERA - Mecnica de Cuerpos Rgidos - Mecnica de Materiales - Mecnica de Fluidos - Termodinmica - Electricidad 15 b)Lasunidadesderivadasseexpresanatravsdelasfundamentalesconayudadelasleyes fsicas o definiciones correspondientes. Ejemplos de unidadesderivadas son el newton, el joule y el metro por segundo, para la fuerza, la energa y la velocidad, respectivamente. Qu representa la dimensin de una magnitud fsica? Sedenominadimensinofrmuladimensional,deunamagnitudfsicaBcualquiera,ala expresinmatemticaquedefinelarelacinexistenteentrelaunidaddemedicindeesta magnitud, y las unidades fundamentalesdel sistema dado. Ejemplo. De acuerdo con la segunda ley de Newton,F = ma , las dimensiones de la fuerza son: [F] = [m] [a] = [M][LT -2] = MLT -2 Esta es la frmula dimensional de la fuerza. Ejemplo.Ladimensindelaenergacinticadeunapartcula,determinadaapartirdela ecuacin

es igual a [T] = [m] [v2] = [M] [L2T -2] = L2 M T -2 Deestaltimafrmula,enparticular,sededucequesialmedirlongitudessepasademetrosa centmetros y al medir la masa se pasa de kilogramos a gramos, mientras se conserva el segundo comounidaddetiempo,resultarserquelaunidaddeenergacinticaaumentaen (100)2(1000)=107 veces. Por consiguiente, la dimensin se puede interpretar como una unidad generalizada de medida, esdecir,comouncdigoquenosdicecmocambiaelvalornumricodeunamagnitudfsica cuando se cambian las unidades fundamentales de medida. Es importante observarque lafrmula dimensionalo dimensin de unamisma magnitud fsica puedetenerdiferenteaspecto,segnsealaeleccindelascorrelacionesdeterminantes.Por consiguiente, la dimensin no es una propiedad invariable o intrnseca de la magnitud fsica dada,sinoquedependedelprocedimientodeconstruccindelsistemadeunidades,comose demuestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo.Dimensionesdelafuerza.Comosesabe,ademsdelasegundaleydeNewtonexiste la ley de gravitacin universal de Newton,

. Deestemodo,sisetomalasegundaleydeNewtoncomocorrelacindeterminanteparala fuerza, resulta: [F]= MLT-2 16 y,porello,laconstantegravitacionalGenlaleydegravitacindeNewtonnopuedeser adimensional:

Por lo tanto: [] [][]

[

][

]

[

][]

[][]

[G]= M-1L3T-2. La existencia de dimensiones en la constante gravitacional significa que el valor numrico de sta depende de la eleccin de las unidades fundamentales. En efecto, G = 6.67 x 10-11 N m2 / kg2 = 6.67 x 10-11 m3 kg-l s-2 Por otro lado si, en lugar de la segunda ley de Newton, se tomara la ley de gravitacin universal de Newton como correlacin determinante para la fuerza, resultara: [F] = L-2M2 Con ello, la constante gravitacionalG resultara ser adimensional, es decir, independiente de las unidades fundamentales e igual a cualquier nmero constante, por ejemplo, a la unidad. En estas condiciones, la segunda ley de Newton adquirira la forma:

donde la constante de inercia K tendra las dimensiones [K] = ML-3T2 y su valor numrico no necesariamente sera igual a la unidad. Problema2.Establecer,medianteejemplos,larelacinqueexisteentremagnitudfsica, dimensin y unidad. Solucin MAGNITUD FSICA DIMENSINUNIDAD Magnitud fsicaDimensionesUnidades LongitudLm MasaMkg TiempoTs Densidad (volumtrica)ML -3kg m-3 VelocidadLT -1 m s-1 Calor especficoL2T-2-1J/kg K 17 Cmo se clasifican, desde el punto de vista de las dimensiones, las magnitudes fsicas? a)Homogneas:Cuandotienenlasmismasdimensionesyelmismosignificadofsico.Por ejemplo, el trabajo y el calor. b)Homnimas:Cuandotienenigualdimensin,perodiferentesignificadofsico.Por ejemplo, el momento de una fuerza y el trabajo. c)Adimensionales: Cuando sus valores numricos no dependen del sistema de unidades de medicin. Por ejemplo, el coeficiente de friccin. Si una magnitud fsica A es adimensional, se escribe [A]= [1]. Qu es un sistema de unidades? Elconjuntodeunidadesfundamentalesyderivadas,pertenecientesaalgnsistemade magnitudes,construidoenconcordanciaconciertosprincipiosadoptados,formaunsistemade unidades. Histricamente, en la Mecnica, los sistemas de unidades se dividieron en sistemas absolutos y sistemas gravitacionales. a)Sistemasabsolutos:Cuandoseconsiderancomomagnitudesfundamentalesalamasa (M), la longitud (L) y el tiempo (T). Lafuerza pasa a ser una magnitud fsica derivada, [F]=MLT -2. b)Sistemasgravitacionales:Cuandoseconsiderancomomagnitudesfundamentalesala fuerza(F),lalongitud(L)yeltiempo(T).Lamasapasaaserunamagnitudfsica derivada, [M]=FL -1T 2. Sistema Internacional de Unidades (SI) Cul es la estructura y caractersticas del Sistema Internacional de Unidades? a)Es un sistema absoluto ampliado. b)Considera siete magnitudes fsicas fundamentales. c)Incluye dos magnitudes suplementarias. d)Lasdimensionesdelasmagnitudesderivadasseestablecendemaneralgicay coherente, a partir de las correlaciones determinantes. e)Utilizaunconjuntodeprefijosparaabreviarlaescrituradecantidadesmuygrandeso muy pequeas. f)Estableceunconjuntodereglasortogrficasparalaescrituradelossmbolosy valores numricos de las magnitudes fsicas. 18 Por qu el SI es un sistema absoluto ampliado? Porquenosolamenteconsideralasmagnitudesmecnicas(longitud,masaytiempo);sino tambin incluye las magnitudes elctricas, termodinmicas,pticas y qumicas. Cules son las siete magnitudes fundamentales del SI? ElSistemaInternacionaldeUnidades,abreviadoSIporsussiglasenfrancs(LeSystme International d'Units), fue adoptado en 1960 por los delegados de la 11a Conferencia General de Pesas y Medidas, y popularmente se conoce como sistema mtrico. Hoy da en el mundo predomina el uso del SI en los mbitos cientficos, ingenieriles, comerciales y educativos. A partir de 1971, durante la 14a Conferencia General de Pesas y Medidas, se establecieron siete magnitudesfsicasfundamentales,comobaseparalaestructuracindelSIydeaplicacinen toda la ciencia y la tcnica. 19 Magnitudes bsicas o fundamentales SI: MAGNITUD FSICA DIMENSIN NOMBRE DE LA UNIDAD SMBOLO DE LA UNIDAD DEFINICIN DE LA UNIDAD LongitudLmetrom La longitud de la trayectoria recorrida porlaluzenelvacoduranteun intervalo de tiempo de 1/299 792 458 s. Adoptado en 1983. MasaMkilogramokg Masaigualaladelprototipo internacionalguardadoenSevres (Francia). Establecido en 1901. TiempoTsegundos Tiempoigualaldeladuracinde9 192631770periodosderadiacin correspondientealatransicinentre dosnivelessuperfinosdelestado fundamentaldeltomodecesio-133. Adoptado en 1967.Intensidaddela corriente elctrica IampereA Lacorrienteconstanteque,pasando pordosconductoresparalelos rectilneos, de longitud infinita y rea deseccincirculardespreciable, situadosa1mdedistanciaunode otro en el vaco, produce entre ambos unafuerzaiguala2x10-7Nporcada metro de longitud. Adoptado en 1946. Temperatura termodinmica kelvinK Lafraccin1/273.16dela temperaturatermodinmica del punto triple del agua. Adoptado en 1967. Intensidad luminosa Jcandelacd Laintensidadluminosaenuna direccindadadeunafuenteque emiteradiacinmonocromticade frecuencia540x1012Hzyquetiene unaintensidadradianteenesa direccinde1/683Wpor estereorradin. Adoptado en 1979. Cantidadde sustancia Nmolmol La cantidad de sustancia que contiene tantasunidadeselementalescomo tomoshayen0.012kgdecarbono 12. Adoptado en 1971. Cules son las dos magnitudes suplementarias del SI? Desdesuorigen,elSIconsidersepararenungrupoespecialdemagnitudessuplementarias, correspondientes a las magnitudes para el ngulo plano y el ngulo slido. Esto debido, quizs, a lacaractersticaadimensionaldelngulo,locualsignifica,simplemente,quesuunidadno depende de las magnitudes fundamentales. 20 Magnitudes suplementarias SI: MAGNITUD FSICA DIMENSIN NOMBRE DE LA UNIDAD SMBOLO DE LA UNIDAD DEFINICIN DE LA UNIDAD ngulo planoAdimensionalradinrad Elnguloplanoentredos radiosdela circunferencia,lalongitud del arco entre los cuales es igual al radio. ngulo slidoAdimensionalestereorradinsr Elnguloslidocon vrtice en el centro de una esferaqueintercepta, sobrelasuperficiedela esfera, un rea equivalente aladeuncuadradode ladoigualalradiodeesta esfera. Ejemplos de magnitudes derivadas del SI y procedimiento para obtener sus dimensiones y unidades. Lasmagnitudesderivadassonaquellascuyasdimensionesserelacionanconlasmagnitudes fundamentales,mediantecorrelacionesdeterminantes(ecuaciones)queexpresanleyesfsicaso definiciones de las magnitudes correspondientes. Ejemplos de magnitudes derivadas SI: MAGNITUD FSICAUNIDAD NombreDimensionesNombre de la unidadSmboloObservaciones SuperficieL2metro cuadradom2 VolumenL3metro cbicom3 VelocidadLT -1metro por segundom/s AceleracinLT -2 metro por segundo al cuadrado m/s2 FrecuenciaT -1hertzHz Velocidad angular T -1radin por segundorad/s rad/s = s-1 Aceleracin angular T -2 radin por segundo al cuadrado rad/s2rad/s2 = s-2 DensidadL -3M kilogramo por metro cbico kg/m3 Cantidad de movimiento LMT -1 kilogramo metro por segundo kg m/s Momento de la cantidad de movimiento L2MT -1 kilogramo metro cuadrado por segundo kg m2/s FuerzaLMT -2newtonN1N = 1 kg m/s2 Momento de una fuerza L2MT -2newton metroN m Impulso de una fuerza LMT -1newton segundoN s 21 Ejemplos de magnitudes derivadas SI (continuacin): MAGNITUD FSICAUNIDAD NombreDimensionesNombre de la unidadSmboloObservaciones Presin, Esfuerzo, Mdulo de elasticidad L-1MT -2 pascal Pa 1 Pa = 1 N/m2 Tensin superficial MT -2newton por metroN/m Trabajo, Energa L2MT -2jouleJ1 J = 1 N m PotenciaL2MT -3wattW1 W = 1 J/s Viscosidad dinmica L-1MT -1pascal segundos PaViscosidad cinemtica L2T -1 metro cuadrado por segundo m2/s Calor especfico L2T -2 -1 joule por kilogramo kelvinK kgJ Cantidad de calor, Energa interna L2MT -2jouleJm N J = 1 1Capacidad calorfica, Entropa L2MT -2 -1joule por kelvinJ/K Flujo luminosoJlumenlm IluminacinL-2Jluxlx1 lx = 1 lm/m2 Carga elctricaT IcoulombC Potencial elctrico L2MT -3I -1voltV CapacitanciaM-1L-2T4I2faradayF ResistenciaML2T-3I-2ohm Elanlisisdelasdimensiones,lasunidadescorrespondientesy,ensucaso,ladefinicindela unidad de las magnitudes fsicas derivadas se realiza como en los siguientes problemas. Problema 3. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la fuerza. Problema 4. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la presin. Problema 5. Obtener de las dimensiones y unidades SI del trabajo, calor y energa. Problema 6. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la potencia. 22 Cules son los prefijos adoptados en el SI? Los mltiplos y submltiplos de las unidades SI son creados aadiendo prefijos a las unidades. El uso de estos prefijos evita el empleo de nmeros muy grandes o muy pequeos. Prefijos SI: FactorPrefijoSmboloEjemplo 1024 yottaY 1021 zettaZ 1018exaE 1015petaP 1012teraT 109gigaG120 GPa 106megaM85 MN 103kilok10 kW 102 hectoh 101 decada 10-1decid 10-2centic 10-3milim100 mA 10-6micro25 mol 10-9nanon12 ns 10-12picop 10-15femtof 10-18attoa 10-21zeptoz 10-24yoctoy Problema 7. Demostrar que

Problema 8.Demostrar que

23 Algunas reglas ortogrficas para la escritura de las unidades SI: REGLAEJEMPLO NoDescripcinCorrectoIncorrecto 1 Lossmbolosdelasunidadesdebenescribirseencaracteres romanos rectos, no en caracteres oblicuos ni con letras cursivas. En lostextos,lasunidadesseescribirnconpalabrasamenosquese estnreportandovaloresnumricos,encuyocasopuedenusarse palabras o smbolos. Pa J kilogramos 12 m 12 metros Pa J 2 Elsignodemultiplicacinparaindicarelproductodedosoms unidadesdebeserunpuntoelevado.Cuandolaunidadseescribe en palabras, no se requiere del punto.N m kg m newton metro mN Pas 3 La divisin semuestra en una unidad compuesta por una diagonal opormultiplicacinusandounexponentenegativo.Cuandola unidad se escribe en palabras, la diagonal se reemplaza siempre por por. m/s m s-1 metro por segundo metro entre segundo 4 Siempredebeusarseunespacioentreunnmeroysusunidades, conlaexcepcindelsmbolodegrado(yaseaangularode temperatura),endondenoseusaunespacioentreelnmeroyel smbolo. 130 Pa 130 pascales 45 20C 130Pa 45 20 C 5 Lossmbolosdelasunidadesnuncatendrnpuntosfinalescomo parte del smbolo, y no deben pluralizarse para no utilizar la letra s queporotraparterepresentaalsegundo.Porsupuesto,unpunto puede seguir a una unidad al final de una oracin.km kg km. kgs 6 Cuandoseescribencomopalabras,lasunidadesseusarnen singularopluralsegnelcontexto.Cuandoseescribencomo smbolos, las unidades se usan siempre en singular. Los plurales de otras unidades se forman de la manera acostumbrada. 1 kilmetro, 20 kilmetros, 7 segundos 5 km, 25 km, 15 s, newtons, watts 56 kms 7 Cuandoseescribencomosmbolo,lasunidadesseanotarncon maysculascuandosederivandelnombredeunapersona.Una excepcin es elsmbolo paralitro, que es L, para evitar confusin conelnmero1.Cuandoseescribencomopalabras,lasunidades no llevan maysculas (excepto al principio de una oracin o en un ttulo con slo maysculas).W N MPa megapascal newton 8 Deben usarse espacios, y no comas para separar los nmeros largos engruposdetresdgitos,contandodesdeelpuntodecimaltanto hacia la derecha como hacia la izquierda. La dificultad en el uso de los espacios puede minimizarse usando prefijos y potencias de 10. 23 345 765.90623,345,765.906 9 Cuandosetratadelsmbolodeunamagnitudqueseaelcociente dedosunidades,solamentesedebeutilizarunprefijoystedebe sercolocadoenelnumerador.Espreferiblenousarmltiploso submltiploseneldenominador.Unaexcepcineselkilogramo queesunaunidadbsica(laletraknoseconsideracomo prefijo). kN/m J/kg N/mm mJ/g 10 En laescrituradelosmltiplosysubmltiplos delasunidades,el nombre del prefijo no debe estar separado del nombre de la unidad. microsegundomicro segundo 11 Los smbolos para la hora, la hectrea, la tonelada y el gramo son: h, ha, t y g, respectivamente. 24 Aplicaciones de la teora de las dimensiones de las magnitudes fsicas Cules son las principales aplicaciones de la teora de las dimensiones y unidades de las magnitudes fsicas? La teora de las dimensiones y unidades de las magnitudes fsicas tiene, entre otras, las siguientes aplicaciones: 1.Obtencin de las dimensiones y unidades de las magnitudes fsicas. 2.Anlisisde la homogeneidad dimensional de las ecuaciones. 3.Conversin de unidades y ecuaciones. 4.Anlisisdimensional.Engeneral,siseconocendeantemanolasmagnitudesfsicasque participan en un proceso bajo estudio, se puede establecer el carcter de la dependencia funcionalquerelacionalasmagnitudesdadas,conbasealacomparacindelas dimensionesqueparticipan.Parallevaracaboesteanlisisserecurrealllamado teorema o de Buckingham. 5.Diseo de experimentos que involucran el estudio del comportamiento de un prototipo a travsdeunmodeloylainterpretacindelosresultadosobtenidosdurantedichos experimentos.Aqusondegranayudalosnmerosoparmetrosadimensionales,a saber:losnmerosdeReynolds,Froude,Strouhal,Mach,Nusselt,Prandtl,Grashof, entre otros. Obtencin de las dimensiones y unidades de las magnitudes fsicas. Cul es el procedimiento para obtener las dimensiones y unidades de una magnitud fsica? Se presentan dos casos: a)Cuando se trata de magnitudes fsicas fundamentales Comosehaestablecido,stassedefinenporsmismas.EnelcasodelSIsetienensiete magnitudes fsicas fundamentales. b)Cuando se trata de magnitudes fsicas derivadas Enestecasoserecurreacorrelacionesdeterminantes,esdecir,afrmulasqueexpresan definiciones o leyes fsicas. Problema 9. Obtener las dimensiones y unidades SI del calor especfico. Problema 10. Obtener las dimensiones y unidades SI de la viscosidad dinmica. 25 Anlisisde la homogeneidad dimensional de las ecuaciones. En qu principio se basa el anlisisde la homogeneidad dimensional de las ecuaciones? Aqu desempea un papel fundamental el principio de homogeneidad dimensional: Todaslasecuaciones,yaseaqueseexpresenenformanumricaosimblica,deben*ser dimensionalmentehomogneas,estoes,lasdimensionesdetodoslostrminosenlaecuacin deben ser iguales. Elprincipiodehomogeneidaddimensionalgarantizaqueladefinicinmatemticadeun fenmeno fsico cualquiera, que indique la dependencia funcional entre los valores numricos de unasmagnitudesfsicas,seaindependientedelasunidadesqueseelijanparamedirdichas magnitudes. * El cumplimiento del principio de homogeneidad dimensional no siempre es evidente, ya que en muchoscasos(sobretodocuandosetratadeecuacionesempricas)loscoeficientesdelos trminos de las ecuaciones tienen dimensiones (y por lo tanto unidades) implcitas. De este modo, se tienen dos tipos de ecuaciones: a)Ecuacionesdimensionalmentehomogneas:Todossustrminostienenlasmismas dimensiones de manera directa y sus coeficientes no tienen dimensiones. b)Ecuaciones"nodimensionalmentehomogneas:Todossustrminosnotienenlas mismas dimensiones de manera directa y sus coeficientes tienen dimensiones. Lahomogeneidaddimensionalesunacondicinnecesaria,peronosuficiente,paraqueuna ecuacindescribacorrectamenteunfenmenofsico.Unaecuacinpuedetenerlasmismas dimensionesencadaunodesustrminosynotenersignificadofsicoalguno,obienser incorrecta. Alanalizarlahomogeneidaddimensionaldelasecuaciones,debeobservarsequelaestructura matemticadeunaecuacinpuedeseralgebraica,trascendente,enderivadas(ecuaciones diferenciales)y con integrales. En todos los casos debe cumplirse el principio de homogeneidad dimensional. a) Ecuaciones algebraicas. Enestecaso,elanlisisdelahomogeneidaddimensionalsellevaacaboconbaseenlasreglas del lgebra de los nmeros reales. 26 Problema 11. Analizar la homogeneidad dimensional de la ecuacin de Bernoulli para una vena de lquido ideal incompresible:

dondezrepresentalaalturageomtrica,plapresin,elpesoespecfico,Vlavelocidaddel lquido y g la aceleracin de la gravedad. Problema 12. Determinar si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea o no.

dondeFeslafuerza,eslaviscosidaddinmica,eslavelocidad,deseldimetro,esla densidad, yes la descarga o gasto volumtrico. Problema13.Unaecuacincomnmenteutilizadaparaelclculodelavelocidaddeunflujo uniforme en canales abiertos es la ecuacin de Manning:

donde vrepresenta la velocidad delagua (m/s),n es elcoeficiente de rugosidad de la superficie delcanal(adimensional),Relradiohidrulicodelaseccintransversaldelcanal(m)ySla pendientetopogrficadelcanal(adimensional).Analizarlahomogeneidaddimensionaldela ecuacin de Manning. Problema14.Enlaecuacindimensionalmentehomognea()

,Qesun volumen por unidad de tiempo (gasto), W y h son longitudes. Hallar las dimensiones de a y B. Problema 15.La ecuacin de estado de losgases reales, segnVan derWaals, tiene el aspecto (

) ( )

Sabiendo que p es la presin del gas, V es el volumen que ste ocupa, m es la masa, T es la temperatura absoluta, M es la masa molaryR es la constante universal de los gases, determinar las dimensiones y unidades de las magnitudes a y b. b) Ecuaciones trascendentes. Unaecuacinesdetipotrascendentecuandoincluyefuncionesexponenciales,logartmicas, trigonomtricas,trigonomtricasinversasosuscombinaciones.Desdeelpuntodevistadel anlisisdelasdimensiones,esnecesarioconsiderarquelosargumentosdelasfunciones trascendentes deben ser adimensionales. 27 Problema16.Hallarlasdimensionesfundamentalesdey,a,b,ycenlasiguienteecuacin dimensionalmentehomognea,

(

),enlaqueAesunalongitudyt es el tiempo. Problema17.EnReologa,laecuacin( (

)) (

)describeladeformacindeun materialviscoelstico,deacuerdoconelmodelodeVoigt-Kelvin.Enestemodelo,esla deformacin lineal (adimensional), E es el mdulo de elasticidad del material (fuerza por unidad derea),teseltiempoy0esunesfuerzo.Culessonlasdimensionesyunidades fundamentales de ? E y 0 tienen las mismas dimensiones. c) Ecuaciones diferenciales. Estas son las ecuaciones donde participan derivadas ordinarias o parciales. Al momento de llevar acaboelanlisisdelasdimensionesenestetipodeecuaciones,esimportanterecordarel significadofsicodeladerivadacomounarazndecambio.Porejemplo,si

,entonces [] [][]; si

, entonces [] [][]

. En general, si

,entonces [] [][]

Problema 18. En la ecuacin diferencial

[( )](

)

qesunamasaporunidaddelongitud,aesunamasayteseltiempo.Hallarlasdimensiones fundamentales de x, g y v. Problema19.DeterminarlasdimensionesdeloscoeficientesAyBenlasiguienteecuacin diferencial:

dondex es la longitudy t es el tiempo. Problema20.Uncircuitoelctricosimpleconinductancia,capacitanciayresistenciaest descritoporlaecuacindiferencial

,dondetdenotaeltiempo(s),v denotaelpotencialelctrico(Nms-1A-1).Paraqueestaecuacinseadimensionalmente homognea, cules deben ser las unidades de los coeficientes a y b? Problema21.Enlatransferenciadecalorseestablecelasiguienteecuacindiferencialde conduccindelcalor:

(

) dondeTeslatemperatura,teltiempo,kla conductividad trmica,c el calorespecfico, ladensidad,y xyz soncoordenadas.Determine las dimensiones y unidades fundamentales de la conductividad trmica k. 28 d) Ecuaciones con integrales. Cuandoseanalizanlasdimensionesdelasecuacionesquecontienenintegrales,esimportante considerar que la integracin es un proceso de suma. Problema 22. El momento de inercia de una seccin de rea A, con respecto a un eje x, se define de la siguiente manera:

donde y es una distancia. Cules son las dimensiones del momento de inercia, Ix, de un rea? yOxyAdA x Problema 23. Durante el anlisis del principio de conservacin de la masa, aparece la siguiente igualdad:

() Enestaexpresinesladensidad(volumtrica),tesel tiempo, V es el volumen, es el vector velocidad, es el vector unitario normal (adimensional) y S es el rea. Comprobar la homogeneidad dimensional de esta ecuacin. Conversin de unidades y ecuaciones La conversin de unidades y ecuaciones es una necesidad prctica que se puede presentar dentro de un mismo sistema de unidades o al pasar de un sistema de unidades a otro. En ambos casos, el procedimiento se fundamenta en lo siguiente: 29 a) El empleo de los factores de conversin, como los siguientes: Longitud 1 pulgada = 2.54 cm 1 pie = 0.304 8 m 1 yarda = 0.9144 m 1 milla = 1.609 km = 1 760 yd 1 angstrn = 1 = 10-10 mPresin 1 bar = 105 Pa 1 atm = 760 mm de Hg = 1.013 bar = 1.033 kgf/cm2 =14.7lbf/pulg2=101325Pa=10.332mde H2O Fuerza 1 kgf = 9.81N 1 lbf = 0.4536 kgf Aceleracin g = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s2

Energa 1 cal = 3.969 x 10-3 Btu = 4.1860 J 1 Btu = 252 cal = 1.054 x 103 J 1 kilowatt-hora = 1 kW h = (103 W )(3600 s) = 3.60 x 106 J = 3.60 MJ Volumen 1 L = 1 000 cm3

1 galn = 3.786 L ngulo plano 1 rad = |.|

\|t180= 57.296 Potencia 1 hp = 550 ft lb/s = 746 W 1 cv = 736 W 1 W = 1 J/s = 0.738 ft lb/s = 3.413 Btu/h 1 Btu/h = 0.293 W Tiempo 1 h = 3600 s Masa 1 000 kg = 1 t (tonelada mtrica) 1 slug =14.59 kg 1 lbm = 0.453 6 kg rea 1 ha = 104 m2 1 acre = 404 6.9 m2 Temperatura T(F) = 1.8(C)+32 T(C) = [T(F)-32]/1.8 T(K) = T(C)+273.15 T(R) = T(F)+459.67 T(R) = 1.8T(K) T(K) = T(C) T(R) = T(F) Cantidad de sustancia 1 mol = 6.02 x 1023 unidades elementales 30 La propiedad de los nmeros reales de que a x 1 = a = 1 x a, donde el 1 debe interpretarse de la siguiente manera: Comosesabe,porejemplo,1pie=0.3048m.Deaquresulta:

obien

Generalizando:

Problema 24. Convertir una velocidad de 100 km/h am/s Problema25.Unaatmsferadepresinequivalea14.7lbf/pulg2.Convertirestevalora pascales. Problema26.Duranteeldiseodeuninvernadero,setieneelvalornumricodela conductividadtrmicadeunmaterialdeconstruccin,k=0.72

.Convertirestevalora unidades correspondientes al sistema ingls, es decir, a

Problema27.Lasiguienteecuacinpermiteestimarlapresinqueejerceelvientosobreuna estructura:p=0.00256v2,dondeveslavelocidaddelvientoenmillas/hypeslapresin correspondiente en lbf/pie2. Convertir esta ecuacin de tal modo que p resulte en kPa cuando v se exprese en km/h. Problema28.Eningenieradeconservacindesuelosseutilizalasiguienteecuacinpara estimar la energa cintica de una lluvia: E = 210 + 89 log I, donde E es la energa cintica de la lluviaentoneladas-metro/hectrea-centmetro,Ieslaintensidaddelalluviaencm/h.Convertir esta ecuacin de tal modo que E resulte en J/m2mm cuando I se exprese en mm/h. 1.4VECTORES Vectores y escalares. Cul es la diferencia entre escalares y vectores? La investigacin de los fenmenos en las ciencias naturales e ingeniera implica el tratamiento de cantidadesdediversanaturalezamatemtica:escalares,vectoresytensores.Ladiferenciaentre estascantidadesradicaensusexpresionesanalticasyenlasleyesdetransformacindetales expresionescuando se pasa de un sistema de coordenadas a otro. 31 Unamagnitudescalar(porejemplo,lamasa,eltiempo,latemperaturaylaenerga)queda definidasolamenteporsuvalornumrico(mdulo),elcualexpresalarelacinentreesta magnitudrespectoalaunidaddemedidaelegida.Losescalaressonmagnitudesfsicasquese caracterizandemaneraplenamedianteunslonmero,acompaadodelasunidades correspondientes. Una magnitud vectorial (por ejemplo, la fuerza, la velocidad, la aceleracin, el momento de una fuerza, la cantidad de movimiento y el impulso de una fuerza), adems de su valor numrico est definidatambinporsudireccinysentidoenelespacio.Lasmagnitudesvectorialesse caracterizan mediante el uso de un conjunto de ordenado de nmeros. Los vectores se representan con smbolos como: Tratamiento geomtrico de vectores. La base del tratamiento geomtrico de las magnitudes vectoriales es la posibilidad de representar un vector mediante un segmento dirigido, as como en la ley del paralelogramo. 1) Representacin de un vector mediante un segmento dirigido. PAFFQPunto de aplicacinLnea de accin (direccin)SentidoMagnitud o mdulo 32 2) Ley del paralelogramo. Dos vectores aplicados en un mismo punto tienen un vector resultante aplicado y en ese mismo punto, y representado por la diagonal del paralelogramo construido sobre estos vectores como lados. El vector

, equivalente a la diagonal del paralelogramo formado por los vectores y , se llama suma vectorial de los vectores y :

Es muy importante observar que la ecuacin anterior se refiere a una suma vectorial. Por ejemplo si el vector tiene una magnitud de 100 y el vector de 200, el mdulo del vector no necesariamente es igual a 300. En los problemas aplicados, para relacionar los mdulos o magnitudes, la ley del paralelogramo se complementa con relaciones trigonomtricas basadas en la ley de los cosenosy en la ley de los senos, principalmente. a)Ley de los cosenos:

b)Ley de senos:

BSAMN Qu tipo de problemas se pueden resolver con ayuda de la ley del paralelogramo? 33 Problema 29. Sean

y

dos fuerzas aplicadas a un punto de un cuerpoy la resultante de stas, es decir,

a)Portrigonometra,deduzcafrmulasparalamagnitudRdeyparaelngulo,en trminos de F1 , F2y . b)Verifique el resultado de R, para los casos particulares = 0, 90 y 180. F1RF2 Problema 30. La fuerza horizontalF= 500 N acta sobre la estructura triarticulada. Determinar las magnitudes de las dos componentes de dirigidas a lo largo de las barras AB y AC. 3045F ABC Problema31.Enelmecanismodebielaymanivela,determinarlafuerzacircunferencialenel puntoBylapresinsobreelejeOdelamanivela,provocadasporlaaccindelafuerzaP aplicada al pistn A, si los ngulos y son conocidos; el peso de la biela AB y de la manivela OB se desprecia. En otras palabras, primero descomponer la fuerza P en dos componentes, una en ladireccinAByotraenladireccinperpendicularalalneaOA;luegolacomponenteenla direccinABdescomponerlaenotrasdoscomponentes,unaperpendicularaladireccinOB (fuerza circunferencial) y la otra en la direccin OB. OBA P 34 Problema 32. Estn dados los vectores de tal modo que || || | | Hallar| | Problema 33. Al colocar, con ajuste apretado, la pequea pieza cilndrica en el orificio circular, el brazo del robot ejerce una fuerza P = 90 N, tal como se indica en la figura. Encontrar, mediante la ley del paralelogramo: a)Lascomponentes,paralelayperpendicularalbrazoAB,delafuerzaquelapieza cilndrica ejerce sobre el robot. b)Lascomponentes,paralelayperpendicularalbrazoBC,delafuerzaquelapieza cilndrica ejerce sobre el robot.

Problema 34. La fuerza de contacto entre el seguidor de leva y la leva circular lisa es normal a la superficie de la leva y est limitada en magnitud a F para = / 2. Para estaposicinescribirlaexpresinmatemticaparala componenteF1delafuerzaenladireccindelalnea correspondientealejedelseguidor.Estacomponentese requiere para el diseo del resorte K. erOK35 Problema 35. Las fuerzas y actan a lo largo de las lneas OA y OB, respectivamente, y su resultante es una fuerza de magnitud P; si la fuerza , a lo largo de OA, es remplazada por una fuerza 2a lo largo de OA, la resultante de 2 y es otra vez una fuerza de magnitud P. Encontrar:a) La magnitud de en trminos de la magnitud de . b)El ngulo entre OA y OB. c)Los ngulos entre cada una de las resultantes y la lnea OA. Tratamiento analtico de vectores. Eltratamientoanalticodevectoressebasaen:a)ladescomposicindeunvectorenlas direcciones de los ejes x, y, z de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares; b) la propia ley de paralelogramo. El antecedente del tratamiento analtico es la proyeccin de un vector sobre un eje. Se llama ejea una lnea recta, sobre la cual se ha elegido un sentido de referencia positivo. La proyeccin Ax del vector sobre el eje x es una magnitud escalar igual al producto del mdulo del vector por el coseno del ngulo formado por el sentido del vector y el sentido del eje, es decir:

0BDEAABb a Ax'x1AxD1x'd eAx Es claro que Ax es una proyeccin ortogonal de sobre el eje x. Problema36.Desarrollarelprocedimientoparaladescripcinanalticadevectores.En particular,establecerlosiguiente:1)losngulosdirectoresdeunvector;2)loscosenos directores; 3) las componentes y las proyecciones de un vector segn los ejes de coordenadas; 4) lamagnituddeunvectorenfuncindesusproyeccionescartesianas;5)ladefinicindevector unitarioylaformadeobtenerlo;6)elpapelylaestructuradelvectorunitario;7)losvectores unitariosdelabase,esdecir,losvectoresqueindicanladireccinyelsentidodelosejesde coordenadas; y 8) la relacin entre vector fsico y vector geomtrico. 36 Procedimiento para la descripcin analtica de un vector: 1.Un vector, por ejemplo , puede ser construido a partir del mdulo de ste, A, y los ngulos directores o , | y formados por la lnea de accin del vector y los ejes de coordenadas. Estos ngulos definen la direccin de . AzAyAxxyzOAxzOyijk 2.Con base a la ley del paralelogramo y en la trigonometra, las proyecciones Ax , AyyAz , sobre los ejes de coordenadas, de resultan ser:

...(1)

3.Conociendo las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas, y aplicando el teorema de Pitgoras, se obtiene el mdulo del vector :

y como

resulta

...(2) 4.A partir de las ecuaciones (1) se determinan los llamados cosenos directores de .

....(3)

37 5.Elevando las igualdades (3) al cuadrado por miembros y sumndolas, se obtiene el teorema:

.(4) 6.El empleo de vectores unitarios facilita la representacin analticade un vector. El vector, cuya direccin y sentido coincide con los del vector , y cuyo mdulo es igual a 1, se llama vector unitario del vector . Este vector se designa, por ejemplo, por el smbolo . Teorema: El vector

es un vector unitario en la misma direccin y sentido de . Resulta claro que el vector unitario es adimensional. Corolario: Todo vector puede representarse como el producto de su mdulo por su vector unitario, es decir, en la forma:

(5) 7.En particular, los vectores unitarios de la base indican la direccin y sentido de los ejes de coordenadas x, y, z, respectivamente: .i = (1, 0, 0),.j = (0, 1, 0), .k = (0, 0, 1). Los vectores

se llaman componentes ortogonales del vector en las direcciones de los ejes x, y, z; mientras que los valores numricos

, se llamanproyecciones cartesianas de . Con base en todas estas consideraciones, la expresin (definicin) analtica de un vector , es:

(

) ..(6) 8.Vector fsico y vector geomtrico. Considrese el caso de una fuerza (vector fsico) no aplicada en el origen de coordenadas. Sean, adems,

y

dos vectores geomtricosque se extienden desde el origen de coordenadas a los puntos A=(xA , yA, zA) y B= (xB , yB , zB) que pertenecen a la lnea de accin de . Sea, tambin, el vector definido porlos puntos A y B, desdeA hacia B. De acuerdo con la ley del tringulo:

Como los vectores , vector fsico, y , vector geomtrico, tienen la misma direccin y sentido, comparten el mismo vector unitario :

|

|.(7) 38 donde:

(

)y |

|(

)

(

)

(

)

En estas condiciones:

|

|..(8) 39 Problema 37. En la figura se muestran cuatro fuerzas

, aplicadas al nudo de una armadura utilizada en una estructura y contenidas en el mismo plano. Se sabe queF1=40 kN, F2=60 kN,F3= 50 kN y F4= 30 kN.a)Hallar la magnitud de la resultante de las cuatro fuerzas coplanares

. Tambin exprese esta fuerza resultante como un vector y determine sus ngulos directores. b)En el caso de que F3 y F4 no se conocieran. Determinar el mdulo de estas fuerzas que han de aplicarse para que el cuerpo est en equilibrio, es decir, para que se cumpla la condicin

. 402020F2F3F4F1xy Problema38.Elcomponentedeunagraindustrialquesemuevealolargodeunaviga horizontal se encuentra bajo la accin de dos fuerzas como se muestra en la figura. Determine la magnitudydireccindelafuerzatalquelaresultanteseaunafuerzaverticalde2500N. Resuelva por ambos mtodos: geomtrico y usando los vectores unitarios y . 40 Problema 39. La magnitud de la fuerza de tensin en el cable AB es T = 2 kN. Determinar, para los ejes xyz: a)El vector unitario en la misma direccin y sentido de T; b)La expresin vectorial de T; c)Los cosenos directos de T; d)Los ngulos directores de T. e)Las proyecciones de T; f)Las componentes de T. Operaciones con vectores. 1) Multiplicacin de un vector por un escalar. Problema40.Enunciarladefinicinydarlaexpresinanalticadelaoperacinde multiplicacindeunvectorporunescalar.Darunejemplofsicodondeseapliqueesta operacin. Definicin.Almultiplicarelvectorporunamagnitudescalarrseobtieneunnuevovector

, cuyo mdulo es || y cuyo sentido coincide con el sentido del vector cuando r > 0, y es de sentido contrario al vector si r < 0. En particular, al multiplicar el vector por -1, se obtiene el vector. 41 Problema 41. Establezca, de forma analtica, las siguientes definiciones: a) igualdad de vectores y b) vector nulo o cero. 2) Adicin de vectores Problema 42. Cmo se realiza la adicin de vectores por el mtodo analtico, y en qu principio se basa la definicin de esta operacin? Definicin. Si (

)y (

)son vectores, entonces

(

) Si se conocen las proyecciones de los vectores

estos vectores pueden expresarse en la forma:

.

Entonces, sumando miembro a miembro estas igualdades, se encuentra:

(

)(

) (

) Esto es:

donde

y, finalmente,

42 Problema 43. En el puntoA del siguiente sistema concurren tres fuerzas: el pesoP del cilindro de masa m, la tensin TAB en el cable AB y la tensin TAC en el cable AC. Dado que este sistema seencuentraenequilibrio,secumpleque

.Apartirdeestacondicin determine las magnitudes de las fuerzas de tensin en ambos cables. Problema 44. Una torre de transmisin OD se mantiene en equilibrio con la ayuda de tres cables. SilafuerzaresultanteejercidaporestoscablessobrelatorreenDes=-30kN,determinela magnitud de la fuerza de tensin en cada cable. yxzODBA C84 m48 m84 m48 m42 m28 m21 m 43 3) Producto escalar. Problema45.Definirelproductoescalaroproductopuntodedosvectores,yestablecersus propiedades bsicas. Qu problema fundamental se resuelve con ayuda de esta operacin? Definicin.Sellamaproductoescalardedosvectoresy,denotadopor ,auna magnitud escalar igual al producto de los mdulos de estos vectores por el coseno del ngulo formado por ellos: ABA ABBOOO(a) (b)(c)A B = A(B cos )B A = B(A cos )B cos A cos A B = AB cos Problema 46. Demostrar el siguiente teorema: Si los vectores y estn dados mediante sus proyecciones segn los ejes de coordenadas, es decir, si = (Ax, Ay, Az) y =( Bx , By , Bz ), su producto escalar se determina por la ecuacin = AxBx + AyBy + AzBz . BACOyxz(A, A, A)y x z(B, B, B)y x z Problema 47. Demostrar el siguiente teorema acerca de las propiedades fundamentales del producto escalar: a) ;b) () ( ) ;c) (

)

;d)

44 Problema48.Laprincipalaplicacindelproductoescalareselclculodelaproyeccin ortogonaldeunvectorsobreladireccinysentidodeotrovector,lacualesunescalar definidoporlaecuacin

||

.Deducirestafrmulaydarsu interpretacin geomtrica y fsica. Cmo se expresa la proyeccin como una cantidad vectorial? Problema49.Paraa=3m,b=6m,c=2m,F=10kN,determinelaproyeccinyla componente de a lo largo de DC. Tambin determineel ngulo entre las direcciones AB y CD. zyxFDACBbac Problema 50. Determinar la proyeccin sobre la lnea BC de la fuerza ejercida sobre la placa rectangular ABCD por el cable AE. El punto E es un punto medio. Problema 51. Mediante el producto escalar, derivar una frmula para el ngulo entre dos lneas con cosenos directores dados. Problema52.Describirelprocedimientoparadeterminar,medianteelproductoescalar,la proyeccin de un vector sobre una lnea u otro vector con cosenos directores dados. 45 Problema 53. Tres puntos tienen coordenadas x-y-z, expresadas en metros, como sigue: A (4, 4, 5), B (-2,-4,3) y C (3,-6,-2). Una fuerza F = 100 kN est aplicada en A y dirigida hacia B. Determinar la expresin vectorial de la componente normal a la direccin AC,

, de la fuerza F. Problema 54. Demostrar el siguiente teorema: Dos vectores y son ortogonales (perpendiculares) si y slo si 4) Producto vectorial Problema55.Definirelproductovectorialoproductocruzdedosvectores.Culesla magnitud, direcciny sentido del resultado de este producto? Seale laspropiedades bsicas de esta operacin. Qu problema fundamental se resuelve con la ayuda de esta operacin?Laoperacinproductovectorialdedosvectoresy,denotada ,tuvosuorigenenel siguienteproblemafundamental:Dadosdosvectoresy,determinaruntercervectorque stedirigidoperpendicularmentealplanodeterminadopordichosvectores,esdecir,quesea perpendicular al vector y al vector ,simultneamente.A x BB x ABA Definicin. El producto vectorial de dos vectores =(Ax , Ay , Az) y =(Bx , By , Bz), es el vector definido por:

(

)|

| Problema 56. Si []y []calcular y . Problema57.Demostrarelsiguienteteoremaacercadelaspropiedadesfundamentalesdel producto vectorial: a) ; b) () ( ) ;c) (

)

; d) 46 Problema 58. Demostrar el siguiente teorema: | |, donde es el ngulo entre y . Dar una interpretacin geomtrica a este resultado. Problema59.Demuestreelsiguienteteorema:dosvectoresy,tridimensionales,son paralelossi y slo si Problema60.Uncuerpotienelaformadetetraedroydimensionesmostradas,determinarun vectorunitarionormalalacaraABCyconsentidohaciaelexteriordedichacara.Tambin encontrar el rea de la cara ABC, y exprese esta rea en forma vectorial.XZYC (0,0,6)A (4,0,0)B (0,3,0) Problema 61. La operacin ( ) se llama triple producto escalar de

Demostrar que:

( )|

| 1.5 LEYES DE LA MECNICA CLSICA ElestudiodelasleyesdeNewton,quesonlasleyesfundamentalesdelaMecnicaClsica, implica analizar y comprender lo siguiente: -El problema que abordan o el problema a que se refieren.-Su enunciado formal, y expresin matemtica, si la hay. -Sus consecuencias. -Sus limitaciones. -Sus aplicaciones. 47 Primera ley de Newton (ley de la inercia): un punto material libre de toda influencia exterior conservasuestadodereposoodemovimientorectilneoyuniformehastaquelasfuerzas aplicadas a l lo obliguen a cambiar de estado. Observaciones: a)EnlaprimeraleydeNewton,inicialmente,seafirmaqueelreposoyelmovimiento uniforme y rectilneo de un cuerpo son un mismo estado mecnico del cuerpo. b)La primera ley de Newton establece la condicin necesaria y suficiente para el equilibrio de una partcula: un sistema de fuerzas aplicado a un punto material (partcula) est en equilibriosibajosuaccinelpuntoseencuentraenestadodereposorelativooen movimiento rectilneo uniforme c)Elmovimientoquerealizauncuerpoenausenciadefuerzassellamamovimientopor inercia. d)LaprimeraleydeNewtonreflejaunadelaspropiedadesesencialesdelamateria,su inercia: la de encontrarse siempre en movimiento. e)A veces se dice que un cuerpo dotado de movimiento uniforme y rectilneo se mueve por inercia. Esto no debe entenderse como que el cuerpo se mueve a causa de la inercia; pues para que el cuerpo conserve su estado de movimiento rectilneo y uniforme no se requiere causa alguna. El movimiento rectilneo uniforme de un cuerpo (movimiento por inercia) y elreposo,sonlosestadosdetodocuerpoqueestlibredeinfluenciasexternasose encuentre sometido a la accin de fuerzas externas tales que la suma delas mismas sea igual a cero. f)LaprimeraleydeNewtonsepuedeenunciartambinas:elmovimientoporinerciaes una propiedad de todos los cuerpos materiales. La inercia de un cuerpo no es la causa de su movimiento, sino una de sus propiedades. Lainerciacaracterizalapropiedaddeloscuerposmaterialesdecambiarmsrpidooms lentamente la velocidad de su movimiento bajo la accin de las fuerzas aplicadas. La medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo dado es una magnitud fsica que se llama masa del cuerpo. En el caso general, el movimiento de un cuerpo no solamente depende de su masa total y de las fuerzasqueactansobrel;elcarcterdelmovimientopuededepender,adems,delas dimensiones geomtricas del cuerpo y de la disposicin mutua de las partculas que lo forman, es decir, de la distribucin de su masa. g)ElsistemadereferenciarespectodelcuallaprimeraleydeNewtonesvlidasellama sistema inercial o newtoniano. Con mayor precisin la primera ley de Newton se formula as:48 Existen tales sistemas de referencia, con relacin a los cuales todos los cuerpos que no estn en interaccin con otros cuerpos se encuentran en movimiento rectilneo y uniforme. Problema 62. Cada de una esfera en un medio viscoso: ley de Stokes. Examinemos la cada de un cuerpo en un medio que opone resistencia, es decir, un lquido o un gas. Sobre tal cuerpo que caeen un lquido o en un gas estnaplicadas tres fuerzas: la fuerza degravedad, la fuerza de empuje de Arqumedes,

, y la fuerza de resistencia,

. Es natural que, con el tiempo, a medida que crece la velocidad, la aceleracin disminuye y llega un momento en que sta se hace igual a cero.Apartirdeestemomento,elcuerposemoveruniformemente.As,pues,lacadadeun cuerpo por un lquido o gas, slo en la etapa inicial es acelerada; desde cierto momento el cuerpo caeaunavelocidadconstante,quesedenominaestacionaria.Conbaseenlaprimeraleyde Newton, determinar tal velocidad estacionaria,

. Suponer que el cuerpo tiene forma esfrica. Problema 63. Un cuerpo, en forma de bloque, de masa m se encuentra sobre un plano inclinado liso que forma con el horizonte un nguloo. Determinar: a) La magnitud de la fuerza paralela al plano, que debe ser aplicada al cuerpo para mantenerlo en reposo. b) La magnitud de la fuerza paralela al plano, que debe ser aplicada al cuerpo para que ste se mueva uniformemente hacia arriba con una rapidez de 2 m/s. c) Por qu el plano inclinado representa en s una mquina simple? Segunda ley de Newton (ley fundamental de la Dinmica): la aceleracin de un punto material esdirectamenteproporcionalalaresultantedetodaslasfuerzasaplicadasadichopuntoe inversamenteproporcionalalamasadelpuntoydirigidaalolargodelaresultantedelas fuerzas. Analticamente este enunciado se puede expresar con la siguiente frmula:

(1) Observaciones: a)Enrealidad,lafuerzanoesconsecuenciadelaaceleracin,sino,alcontrario,la aceleracin es un resultado de la fuerza: () b)El factor de proporcionalidad, k, depende de las unidades en que se miden las magnitudes ,ym.Porejemplo,si[][][]

,entoncesy[][]adimensional. 49 En estas condiciones, la ecuacin (1) se puede escribir:

(2) c)Por comodidad, al resolver los problemas, la segunda ley de Newton (2) se escribe: . (3) La fuerza es igual al producto de la masa del punto por su aceleracin d)ComoseindicaenelenunciadogeneraldelasegundaleydeNewton,elpuntopuede estar sometido a la accin de varias fuerzas, es decir:

Por lo que la ecuacin (3) tendr la forma siguiente:

(4) e)LasegundaleydeNewtonestablecelarelacinentrelafuerzaylaaceleracin;perola fuerzaylaaceleracinsonmagnitudesfsicasvectorialesquesecaracterizanno solamente por su valor numrico, sino tambin por su direccin y sentido. PorellomatemticamentelasegundaleydeNewtonexpresaunaigualdadvectorial.Esto conlleva dos detalles: i.Losvectoresyestndirigidosporunamismarectayconelmismosentido. Esto es una consecuencia de la definicin de igualdad entre vectores. RavMTrayectoria 50 ii.Dependiendo del problema a resolver, la ecuacin vectorial (4) se puede proyectar sobrealgnsistemadeejesdecoordenadas,paradarunsistemadeecuaciones escalares. Por ejemplo, en el sistema de coordenadas rectangulares cartesianas: {

{

f)La segunda ley de Newton establece cmo vara la velocidad del punto bajo la accin de unafuerzacualquiera.Enefecto,sellamaaceleracindelpuntoalamagnitudfsica vectorialquecaracterizaelcambioconeltiempodelmduloyladireccindela velocidad del punto. Esto es:

Asuvez,elvectorvelocidaddelpuntoenuninstantedetiempodadoesigualalaprimera derivada del radio-vector o vector de posicin del punto con relacin al tiempo:

, de donde

Con estas consideraciones, la expresin matemtica de la segunda ley de Newton representa una ecuacin diferencial vectorial:

, lacual, en dependencia de los problemas a resolver, puede dar origen a un sistema de ecuaciones diferenciales escalares. Por ejemplo, en coordenadas cartesianas:

{

51 g)Sedebesubrayarqueladireccinysentidodelaaceleracinsiemprecoincideconla direccinysentidodelafuerza,lacualnonecesariamenteesladireccinysentidodel movimiento mismo del punto (la direccin y sentido de la velocidad). h)EnelenunciadodelasegundaleydeNewtonserefiereauncuerpoconsideradouna partcula o un punto material. Para sistema de partculas y cuerpos rgidosla formulacin de la segunda ley de newton requiere ciertas consideraciones. i)Forma general de la segunda ley de Newton: la derivada de la cantidad de movimiento delpuntoconrelacinaltiempoesigualalasumavectorialdelasfuerzasqueactan sobre ste. ()

, donde se llama cantidad de movimiento del punto. As, en forma general, la segunda ley de Newton se formula as:

()

Cuando vara la masa del cuerpo durante el movimiento es necesario emplear la segunda leyen suformageneral(conlacantidaddemovimiento)quereflejacorrectamentelospreceptosdela Dinmica para todos los casos de movimiento de un punto material. j) La segunda ley de Newton, como la primera, se refiere solamente a un sistema inercial de referenciaCmoseformulalasegundaleydeNewtonparasistemasnoinercialesde referencia? k)De la segunda ley de Newton se ve que la medida de la inercia de un punto material es su masa, porque bajo la accin de una misma fuerza dos puntos materiales diferentes reciben unamismaaceleracinsolamentecuandosusmasassoniguales;silasmasasson diferentes, el punto de mayor masa (es decir, de mayor inercia) recibe menor aceleracin y viceversa. l)ProblemasdelaDinmicaparaelpuntomaterial.Conayudadelaecuacindela segunda ley de Newton se pueden resolver los dos problemas siguientes: i.Conociendo la ley de movimiento del punto, determinar la fuerza que acta sobre ste (primer problema de la Dinmica). ii.Conociendolasfuerzasqueactansobreelpunto,determinarlaleydel movimientodelpunto(segundoproblemadelaDinmicaoproblema fundamental). 52 m)Finalmente, dela segunda ley de Newton se deducen unos corolarios llamados teoremas generales de la Dinmica del punto. stos son: i.El teorema de la variacin de la cantidad de movimiento del punto. ii.El teorema de la variacin de la energa cintica del punto. iii.El teorema de la variacin del momento de la cantidad de movimiento del punto. Problema64.Movimientodeunpuntolanzadobajounnguloconelhorizonte.Estudiarel movimientodeuncuerpolanzadoconunavelocidadinicial0v bajounnguloconel horizonte. TerceraleydeNewton(leydelaigualdaddelaaccinydelareaccin):dospuntos materialesactanunosobreelotroconfuerzasigualesenmduloydirigidasalolargodela recta que une estos puntos, en sentidos opuestos.Observaciones: a)LaterceraleydeNewtonestableceelcarcterdelainteraccinmecnicaentrelos cuerpos materiales. b)SilafuerzaqueactasobreciertocuerpoAesaplicadaporpartedeunsegundo cuerpoB,designaremosestafuerzapor

.LaterceraleydeNewtonafirma:siun cuerpoB acta sobre un cuerpo A con una fuerza

, entonces el cuerpo A acta a suvezsobreelcuerpoBconunafuerza

,devalorigualysignocontrarioala fuerza

;ambasfuerzasestndirigidasalolargodeunamismarecta.Latercera ley de Newton refleja el hecho de que una fuerza es el resultado de la interaccin de dos cuerpos diferentes. c)En las dos primeras leyes de Newton para el anlisis de un fenmenoy al determinarel movimiento de un cuerpo se examina nicamente un aspecto de esta interaccin. En realidad siempre existe interacciny no existe ninguna fuerza sin fuerza de reaccin. Porsupuesto,lostrminosaccinyreaccinsonpuramenteconvencionales,cada uno de ellos puede considerarse indistintamente, lo uno o lo otro. d)Formalmente siempre se cumple la siguiente igualdad, independientemente de que los cuerpos A y B estn en reposoo en movimiento:

e)La tercera ley de Newton no dice nada acercadel valor de las fuerzas,y slo afirma quesonigualesenmdulo.Esmuyimportantesubrayarqueenlaterceraleyde Newton se habla de fuerzas aplicadas a diferentes cuerpos. Por ello, fsicamente,

y

no se anulan.53 Problema65.Dosbloquesestnencontactosobreunasuperficiehorizontalsinfriccin.Una fuerzahorizontalseaplicaalbloquemayorcomosemuestra.(a)Sim1=2.3kg,m2=1.2kg,y F= 3.2 N, encuentre la magnitud de la fuerza entre los dos bloques. (b) Mostrar que si una fuerza de la misma magnitud F se aplicaal bloque mspequeo, pero en sentido opuesto, la magnitud de la fuerza entre los bloques, es 2.1 N, la cual no es el mismo valor calculado en (a). 1.6 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA ESTTICA Conceptos fundamentales o bsicos: La estructura de cualquier disciplina cientfica incluye conceptos y leyes. Los conceptos son una parte esencial para el desarrolloy la exposicin de cualquier ciencia. Representan las ideasy el leguaje comnmente utilizado para expresarla. 1.El espacio yel tiempo son conceptos primitivos de la Mecnica, en el sentido de que no se les puede dar una definicin rigurosa que indique de qu modo dichos conceptos estn ligados con las nociones ms generales. Endiversosfenmenosfsicosseencuentrandiferentesmagnitudesfsicas.Peroencasi todos los fenmenos se encuentran, adems de otras, dos magnitudes: longitud y tiempo. Porlotanto,lalongitudyeltiemposepuedenconsiderarcomomagnitudesfsicas especiales. Lalongitudeslamedidadelaextensindeloscuerposyeltiempo,lamedidadela duracin de los procesosyfenmenos.La definicin deestas magnitudes est vinculada estrechamente en sentido filosficocon los conceptos del espacio y el tiempo. El espacio y el tiempo son las formas de existencia de la materia. Fuera del tiempo y del espacio no hay materia, no hay fenmenos. 2.Elcuerpodecuyasdimensionessepuedeprescindirenlascondicionesdeunproblema dado se llama partcula o punto material. 3.Sellamacuerporgidoaaquelcuerpoenelcualladistanciaentredosdesuspuntos cualesquiera permanece invariable, es decir, se supone que no se deforma. Ahora bien, el estado de equilibrio o de movimiento de un cuerpo depende del carcter de sus interacciones mecnicas con otros cuerpos, es decir, de aquellas presiones, atracciones o repulsiones que experimenta dicho cuerpo como resultado de estas interacciones. 4.Lamagnitudfsicaqueeslamedidacuantitativadelainteraccinmecnicaentrelos cuerpos materiales se llama, en Mecnica, fuerza. 54 5.A un conjunto de fuerzasque actan sobre un cuerpo cualquiera se denomina sistema de fuerzas. 6.A todo cuerpo, no enlazado con otros cuerpos, que a partir de la posicin dada se le puede imprimir o comunicarcualquier desplazamiento en el espacio, se llama cuerpo libre. 7.Siunsistemadefuerzasqueactansobreuncuerpolibrepuedesersustituidoporotro, sinqueporestocambie elestadodereposoodemovimientodelcuerpo,entoncesestos dos sistemas son equivalentes. 8.Todo sistema de fuerzas, bajo cuya accin un cuerpo libre puede encontrarse en reposo, se llama sistema equilibrado o equivalente a cero. 9.Si un sistema de fuerzas es equivalente a una sola fuerza, sta se llama fuerza resultante del sistema de fuerzas en cuestin. Deestemodo,laresultanteesunafuerzaqueporssolareemplazalaaccinqueel sistema de fuerzas ejerce sobre el cuerpo rgido. 10. Toda fuerza igual a la resultante en mdulo, de sentido opuesto a la de la resultante y que acta a lo largo de la misma lnea de accin se llamafuerza equilibrante. 11. Lasfuerzasqueactansobreuncuerporgidopuedendividirseendoscategoras: externas e internas. Las fuerzas que actan sobre las partculas de un cuerpo por parte de otroscuerposmaterialessellamanexternas.Lasfuerzasconlascuales las partculas de un mismo cuerpo actan entre s se llaman internas. 12. Lafuerzaaplicadaauncuerpoencualquierpuntosellamafuerzaconcentrada.Las fuerzasqueactansobretodoslospuntosdelvolumenodeciertapartedelasuperficie del cuerpo se llaman fuerzas distribuidas. 13. Uncuerpocuyosdesplazamientosenelespaciosevenrestringidos,seaporencontrarse enlazado con otros cuerpos, sea por encontrarse en contacto con ellos, se llama no libre. 14. Todoloquerestringelosdesplazamientosdeuncuerpodadoenelespaciosellama apoyo o ligadura. 15.Lafuerzaconlacualelapoyodadoactasobreuncuerpo,restringiendounouotrode susdesplazamientos,sellamafuerzadereaccindelaligadurao,simplemente, reaccin de apoyo. 16. Alasfuerzasquenoseanreaccionesdeligadura(talescomolafuerzadegravedad)sellaman fuerzas activas. 17. Lareaccinestdirigidaensentidoopuestoaladireccinenquelaconexinoapoyo impide el desplazamiento del cuerpo. 55 1.7 AXIOMAS DE LA ESTTICA Todos los teoremas y las ecuaciones de la Estticase deducen de algunas afirmaciones iniciales, que se aceptan sin demostraciones matemticas, llamadas axiomas o principios de la Esttica. El primer axioma define el sistema de fuerzas en equilibrio. Axioma 1. Un sistema de fuerzas aplicado a unpunto material (partcula)est enequilibrio si bajosuaccinelpuntoseencuentraenestadodereposorelativooenmovimientorectilneo uniforme. Este axioma es parte del contenido de la primera ley de Newton. Elsegundoaxiomadefineelsistemadefuerzasenequilibriomssimple, yaquelaexperiencia muestra que un cuerpo libre sobre el cual acta una sola fuerza no puede estar en equilibrio. Axioma2.Sidosfuerzasactansobreuncuerporgidolibre,stepuedepermaneceren equilibriosolamentecuandolosmdulosdeestasfuerzassoniguales(F1=F2)yellasestn dirigidas en sentidos opuestos ( =2 1F F ) a lo largo de una misma recta. El tercer axioma sirve de base para transformar las fuerzas. Axioma 3. La accin de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rgido no se modificar si se le agrega o se le quita un sistemade fuerzas en equilibrio. Corolario de los axiomas 2 y 3 (Principio de transmisibilidad). La accin de una fuerza sobre uncuerporgido,enloqueaefectosexternosserefiere,nosemodificarsielpuntode aplicacindelafuerzasetrasladaalolargodesulneadeaccinacualquierotropuntodel cuerpo. El cuarto axioma define la regla de composicin (suma) de dos fuerzas. 56 Axioma4(Principiooleydelparalelogramo).Dosfuerzasaplicadasauncuerpoenunpunto tienenunaresultanteaplicadaenelmismopuntoyrepresentadaporladiagonaldel paralelogramo construido sobre estas fuerzas como lados. RF1F2A

Problema66.Lascomponentesrectangularesdelafuerza F estndadasporFx=-40Ny Fy= 60 N. Determinar las componentes no rectangulares de Fen las direcciones y y h. xyhF30 Elquintoaxiomaestablecequeenlanaturalezanopuedeexistirlaaccinunilateraldeuna fuerza. Axioma 5 (Tercera ley de Newton). Toda accin de un cuerpo material sobre otro trae consigo, por parte de este ltimo, una reaccin de la misma magnitud, pero en sentido opuesto. Axioma 6 (Principio de rigidez). El equilibrio de un cuerpo deformable que se encuentra bajo la accin de un sistema de fuerzas, se conserva si este cuerpo se considera solidificado (rgido). El axioma seis puede ser expresado de otra forma:en condiciones de equilibrio, las fuerzas que actansobretodocuerpodeformablesatisfacenlasmismascondicionesqueenelcasodeun cuerpo rgido 57 El axioma siete conduce al concepto de diagrama de cuerpo libre (DCL). Axioma 7. (Axioma de las ligaduras). El equilibrio de los cuerpos ligados (no libres), se estudia enlaEstticaconfundamentoenelaxiomasiguiente:todocuerpoligadopuedeconsiderarse como libre si se suprimen las ligaduras o apoyos, y se sustituyen sus acciones por las reacciones correspondientes a estos apoyos. 1.8 FUERZAS Y SISTEMAS DE FUERZAS LasmagnitudesfsicasqueseestudianenMecnicapuedenserdivididasentrescategoras: escalares, vectores y tensores. Lafuerzaesunamagnitudvectorial.Suaccinsobreuncuerposedeterminapor:1)elvalor numricoomdulodelafuerza,2)ladireccindelafuerza,3)elsentidodelafuerza,y4)el punto de aplicacin de la fuerza. Problema 67. En funcin de la disposicin mutuade las lneas de accin de las fuerzas que los forman, cmo se clasifican los sistemas de fuerzas? Problema68.Darunejemplodesistemasdefuerzas:a)coplanarconcurrente;b)coplanar paralelas; c) coplanar general; d) tridimensional paralelas. SISTEMAS DE FUERZAS COLINEALES COPLANARES TRIDIMENSIONALES O ESPACIALES - Concurrentes - Paralelas - Generales - Concurrentes - Paralelas - Generales 58 1.9 COMPOSICIN Y DESCOMPOSICIN DE FUERZAS LasolucindeproblemasdeMecnica,yenparticulardeEsttica,estrelacionadaconlas operaciones vectoriales de composicin (adicin) y descomposicinde fuerzas. Elprocesodecombinar(sumar)dosomsfuerzasparaobtenerunasolafuerzasellama composicin de fuerzas. Ladescomposicindeunafuerzaendosomscomponentessignificahallarunsistemade fuerzas, cuya resultante sea igual a la fuerza dada. Ambasoperacionespuedenrealizarse,bienpormediodeconstruccionesgeomtricas(mtodo geomtrico),bien con ayuda de clculos numricos (mtodo analtico). La base de ambos mtodoses la ley del paralelogramo. Mtodo geomtrico de composicin y descomposicin de fuerzas. Lasumageomtrica Rdedosfuerzas 1F y 2F ,sedeterminasegnlaleydelparalelogramoo construyendo el tringulo de fuerzas (ley del tringulo). La operacin inversa, la descomposicin de una fuerza, se basa en los mismos principios. Problema 69. La tensin en el cabe AC es 8 kN. Determinar la tensin T requerida en el cable AB paraqueelefectonetodelastensionesdeamboscablesseaigualaunafuerzaaplicadaenel punto A con sentido vertical hacia abajo. Determinar, adems, la magnitud de R de esta fuerza. 59 Problema 70. El cable que va de A a B est sometido a una tensin de 30 kN. Descomponer esta tensinqueseejerceenelengancheAencomponentesTnyTt,respectivamentenormalal puntal y dirigida segn l. C DAB 30 10 m10 m10 m Problema71.Unaplacadeaceroestsujetaalasdosfuerzasmostradas.Reemplaceestas fuerzas por dos fuerzas equivalentes, Fx en la direccin xy Fa en la direccin a. Determinar las magnitudes de Fx y Fa. Resolver por dos mtodos: a) Mtodo geomtrico, y b) Mtodo analtico. Generalizando,lasumavectorialdetodosistemadefuerzassedetermina,yaseamediantela composicinsucesivadelasfuerzasdelsistema,segnlaleydelparalelogramo,oformandoel polgono de fuerzas (polgono vectorial). Unamagnitud,,igualalasumavectorialdelasfuerzasdeunsistema,sellamavector principal de este sistema de fuerzas.

60 Problema 72. Determinar la magnitudR de la resultante de las cuatrofuerzas aplicadaal punto O.Calcular,tambin,elnguloquedefineladireccindeRapartirdelejex.Resolvereste problemaporelmtodogeomtricodetresmanerasdiferentes:a)

;

c)

Q:(x,y)300 NR400 N800 NxyO400 NO459090F3=400 NF2=400 NF1=800 NF4=300 N Q:(x,y)300 NR400 N800 NxyO400 NQ:(x,y)300 NR400 N800 NxyO400 N 61 Mtodo analtico de composicin y descomposicin de fuerzas. La definicin (representacin o expresin) analtica de una fuerza se basa en: a) la eleccin de un sistemadecoordenadas;b)laleydelparalelogramo;yc)laproyeccindeunafuerzasobreun eje. Enalgunoscasos,paradeterminarlaproyeccindeunafuerzasobreuneje,primerose determinalaproyeccinsobreelplanoenqueseencuentraesteejey,luego,proyectarsobreel eje dado la proyeccin hallada sobre el plano. zxyOAxAyAzAxyA

62 1.10MOMENTO DE UNA FUERZA La experiencia indica que un cuerpo sometido a la accin de una fuerza, adems de la tendencia a trasladarse,puedegiraralrededordeuncentroopunto.Elefectoderotacindeunafuerzase caracteriza por su momento. El momento de una fuerza puede referirse con respecto a un punto o centroy con respecto a un eje. Momento de una fuerza con respecto a un punto o centro. Sea una fuerza aplicada a un punto A de un cuerpo rgido. Supongamos que esta fuerza trata de hacer girar al cuerpo alrededor del centro O. La perpendicular d, trazada del centro O a la lnea de accin de la fuerza , se llama brazo de la fuerza respecto del centro O.Entonces, como una medida cuantitativa del efecto de rotacin, el momento de la fuerza se define del modo siguiente: se llama momento de la fuerza respecto del centro O, a la magnitud que esigualalproducto,tomadoconelsignocorrespondiente,delmdulodelafuerzaporla longituddelbrazo.ElmomentodelafuerzarespectodelcentroOserdesignadoporel smbolo

(). Por consiguiente:

() AdOF90dOAF90M0(F)=+Fd M0(F)=-Fd 63 Momento de una fuerza respecto de un punto como vector ElmomentodelafuerzarespectodelcentroO,comocaractersticadelefectoderotacinde esta fuerza, se define por tres elementos: 1) el mdulo del momento, que es igual al mdulo de la fuerzaporsubrazo,Fd;2)elplanoderotacinOAB,quepasaporlalneadeaccindela fuerza y por el centro O ; 3) el sentido de rotacin en este plano. BxyzOdArMoF Teorema.ElmomentodelafuerzarespectodelcentroOequivalealproductovectorialdel radio-vector,queuneelcentroOconcualquierpuntoApertenecientealalneade accin de la fuerza, por la propia fuerza.

() |

| Momento de una fuerza con respecto a un eje El momento de una fuerza respecto de un eje caracteriza el efecto de rotacin, producido por esta fuerza, que trata de hacer girar el cuerpo alrededor del eje dado. M0MnFrOA 64 Consideremosuneje,cuyadireccinysentidoestndefinidosporelvectorunitario,el momento de la fuerza aplicada en el punto A, con respecto al eje es el siguiente vector:

[()]|

| (

) Problema73.Demostrarelsiguienteteorema:1)silafuerzaesparalelaaleje,sumomento respectoasteequivaleacero;2)silalneadeaccindelafuerzacortaeleje,sumomento respecto de steequivale tambin a cero. Uniendo ambos casos se concluye que el momento de unafuerzarespectodeunejeequivaleacerosilafuerzayelejeseencuentranenunmismo plano.3)Silafuerzaesperpendicularaleje,sumomentorespectodeesteejeequivaleal producto mdulo de la fuerza por la distancia entre la fuerza y el eje. Qu relacin existe entre el momento de una fuerza respecto de un punto y de un eje? Problema 74. Demostrar el siguiente teorema: el momento de la fuerza respecto de un eje es igual a la proyeccin sobre este eje, del vector que representa el momento de la fuerza respecto de un punto cualquiera dispuesto sobre dicho eje. 1.11 TEOREMA DE VARIGNON O PRINCIPIO DE LOS MOMENTOS Si un sistema de fuerzas posee una resultante, el momento de esta resultante respecto a cualquier punto o eje es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas componentes respecto del mismo punto o eje. F1F2F3rOA As, para un punto O:

()

(

) 65 Problema75.Calcularelmomentodelafuerzade90NconrespectoalpuntoOparala condicin.Determinar,tambin,elvalordeparaelcualelmomentoconrespectoal punto O es: a) cero; b) mximo. Problema 76. La tensin T en el cable AB tiene una magnitud de 24 kN. Calcular el momento de estafuerzaconrespectoacadaunodelosejesdecoordenadasquepasanporlabaseOdela estructura de la gra. 66 Problema77.HallarlosmomentosdelasfuerzasPyQ,aplicadasalaplacahorizontal representada, respecto de los ejes de coordenadas. xzybaOQPABC Problema 78. La fuerza de 120 N es aplicada como se muestra en la figura a uno de los extremos de la llave curveada, calcular:a) El momento de F respecto del centro O del tornillo, si = 30. b) El valor de que maximiza el momento de F respecto de O.

67 Problema79.Enelmecanismodebielaymanivelarepresentado,labielaABdelongitudl soportauna fuerza de compresin variable C. Deducir una expresin del momento de C respecto al eje de la manivela O en funcin de C, r, l y el ngulo variable . rClOBA Problema80.ParalaposicinangulardelamanivelaOA,delmecanismodebielay manivela mostrado, la presin de los gases sobre el pistn induceuna fuerza de compresin P a lo largo de la biela AB. Si esta fuerza produce un momento de 720 Nm con respecto al punto O, calcular la magnitud de P. 68 Problema 81. Al introducir una pieza cilndrica en el orificio cilndrico, el robot ejerce sobre la piezaD la fuerza de 90 N que se indica. Determinar los momentos respecto a los puntos A, B y C de la fuerza ejercida sobre el robot. Problema 82. Si la magnitud de la tensinT1 es igual a 1200 N, y est aplicada en el punto C, es decir, con sentido de C hacia E, determinar el momento de esta fuerza respecto al eje AD. Indicar este momento en forma escalar, y luego expresarlo como un vector.

69 1.12PAR DE FUERZAS Se llama par de fuerzas, o simplemente par, a un sistema de dos fuerzas paralelas, no colineales, de mdulos iguales y de sentidos opuestos, aplicadas a un cuerpo rgido. BAdF-F Elplanoquepasaatravsdelaslneasdeaccindelasfuerzasdeunpar,sellamaplanode accin del par. La distancia dentre las lneas de accin de las fuerzas del par, se denomina brazo del par. Laaccindeunpardefuerzassobreuncuerporgidosereduceaunefectoderotacin,que depende de los factores siguientes: 1)El mdulo F de las fuerzas del par. 2)La magnitud del brazo del par. 3)La orientacin del plano de accin del par. 4)El sentido de giro en este plano. Definicin. Se llama momento de un par a la magnitud igual al producto, tomado con el signo correspondiente, del mdulo de una de las fuerzas del par por su brazo. Teorema. La suma vectorial de los momentos de las fuerzas que constituyen un par, respecto de cualquier centro o punto, no depende de la posicin del centro y es igual al momento del par.

70 Problema83.Lasdosfuerzasqueactansobrelasllavesconstituyenunpar.Calcularel momento de este par. Expresar el resultado en forma escalar y como un vector. 71 Problema 84. Un marco est sujeto a la accin de dos fuerzas de 250 Ncomo se muestra en la figura.Sisedeseareemplazaresasfuerzasporunsistemaquecontienelafuerzade200N aplicada en A y una segunda fuerza aplicada en B. Determinar la coordenada y de B. 1.13TEOREMA SOBRE EL TRASLADO PARALELO DE UNA FUERZA: REDUCCIN FUERZA - PAR La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes se halla directamente con ayuda del axioma del paralelogramo de fuerzas. Para un sistema de fuerzas arbitrario, se aplica el mtodo basado en elsiguienteteorema:unafuerzaaplicadaauncuerporgidopuedeserreemplazada paralelamenteasmisma,sinquecambiesuaccinsobreste,acualquierpuntodelcuerpo, aadiendo al mismo tiempo un par de momento igual al momento de la fuerza que se reemplaza respecto a su nuevo punto de aplicacin. 72 Problema85.Reemplazarlasdosfuerzasyelparqueactansobreelelementoestructura