Mecánica de Sólidos (UPM 2015)

7/25/2019 Mecnica de Slidos (UPM 2015)

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Mecanica de solidos

Ignacio Romero Olleros

Dpto. Ingeniera Mecanica

E.T.S.I. Industriales

Universidad Politecnica de Madrid

[email protected]

19 de diciembre de 2015


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Indice general

1. Fundamentos matematicos 1

1.1. Vectores en el espacio Eucldeo . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Componentes de un vector y cambio de base . . . . . 2

1.1.2. Operaciones algebraicas basicas . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Tensores de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Componentes y cambio de base . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2. Operaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3. Tensores con propiedades especiales . . . . . . . . . . 8

1.3.4. Descomposiciones de tensores . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.5. Autovectores y autovalores . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Tensores de cuarto orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Calculo vectorial y tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6. Coordenadas cilndricas y esfericas . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7. La transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Calculo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9. Notacion indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Estudio del equilibrio 23

2.1. El modelo del solido deformable. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Fuerzas que actuan sobre los solidos deformables . . . . . . . 24

2.2.1. Fuerzas volumetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2. Fuerzas de superficie o de contacto . . . . . . . . . . . 25

2.3. Fuerzas internas en un cuerpo deformable . . . . . . . . . . . 26

2.4. El tensor de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.1. Interpretacion fsica de las componentes del tensor detensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.1. Principio fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.2. Equilibrio de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.3. Equilibrio de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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4 Mecanica de solidos, I. Romero

2.6. Tensiones principales y direcciones principales de tension. . . 35

2.7. Representacion grafica de un tensor de tensiones . . . . . . . 36

3. Cinematica 51

3.1. Cinematica de un cuerpo deformable . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2. Calculo de deformaciones. El tensor de deformacion infinite-simal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.1. El tensor de deformaciones infinitesimales . . . . . . . 54

3.2.2. Calculo de deformaciones longitudinales . . . . . . . . 553.2.3. Calculo de deformaciones angulares. . . . . . . . . . . 58

3.2.4. Interpretacion geometrica de las componentes del ten-sor de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3. La deformacion volumetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4. Deformaciones principales y direcciones principales de defor-

macion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5. Galgas extensometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6. Las ecuaciones de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4. Elasticidad lineal 73

4.1. Los modelos elasticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2. Elasticidad lineal isotropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.1. El ensayo uniaxial de traccion. . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.2. Respuesta general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2.3. Las ecuaciones de Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.4. Deformaciones y tensiones proporcionales . . . . . . . 79

4.2.5. Restricciones en las constantes elasticas . . . . . . . . 804.3. Hiperelasticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4. Simetras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4.1. Simetras menores y mayores . . . . . . . . . . . . . . 824.4.2. El concepto de simetra material . . . . . . . . . . . . 82

4.4.3. Materiales monoclnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4.4. Materiales ortotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.4.5. Materiales transversalmente isotropos . . . . . . . . . 84

4.4.6. Materiales isotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.5. Enunciado completo del problema elastico . . . . . . . . . . . 854.5.1. El principio de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . 86

4.5.2. Las ecuaciones de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.6. Estados planos de tension y deformacion . . . . . . . . . . . . 884.6.1. Estados de tension plana . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.6.2. Estados de deformacion plana. . . . . . . . . . . . . . 88

4.6.3. El diagrama de Mohr en estados planos . . . . . . . . 894.7. Aplicacion: torsion de ejes no circulares . . . . . . . . . . . . 91

4.7.1. Teora de Prandtl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.7.2. Ejemplo: torsion de secciones elpticas . . . . . . . . . 96


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Indice general 5

4.8. Aplicacion: Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.9. Limitaciones de la teora lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.9.1. Limitaciones en la estatica. . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.9.2. Limitaciones en la cinematica . . . . . . . . . . . . . . 102

4.9.3. Limitaciones del modelo constitutivo elastico . . . . . 104

5. Termoelasticidad lineal 111

5.1. Leyes constitutivas termoelasticas. . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2. El problema termoelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6. Principios variacionales y termodinamica 117

6.1. El trabajo de las fuerzas exteriores sobre un cuerpo deformable117

6.2. El principio de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . 1196.3. El principio de la mnima energa potential . . . . . . . . . . 120

6.4. El teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti . . . . . . . . . 123

6.5. Los teoremas de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 24

6.6. Termodinamica de los modelos constitutivos . . . . . . . . . . 125

6.7. Metodos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.7.1. El metodo de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.7.2. El metodo de los elementos finitos . . . . . . . . . . . 129

7. Viscoelasticidad 135

7.1. Modelos reologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.1.1. Fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.1.2. Relajacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.1.3. El solido lineal estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.1.4. El modelo de Maxwell generalizado . . . . . . . . . . . 141

7.1.5. La integral de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.2. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.2.1. Caracterizacion en frecuencia de los modelos reologi-cos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.2.2. Series de Prony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.3. Solidos deformables viscoelasticos . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.4. Efectos de la temperatura en la respuesta viscoelastica . . . . 1 5 0

8. Plasticidad 155

8.1. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.2. Fenomenologa de la plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.2.1. El ensayo de traccion uniaxial. . . . . . . . . . . . . . 156

8.2.2. Efecto de la velocidad de deformacion . . . . . . . . . 158

8.2.3. Efecto de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . 1 58

8.3. Modelos simplificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.4. Plasticidad unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.5. Criterios de fallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162


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8.5.1. Criterios de fluencia para materiales ductiles . . . . . 164

8.5.2. Criterios de rotura para materiales fragiles . . . . . . 1678.5.3. Otros criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.6. Las ecuaciones de Prandtl-Reuss . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.7. Endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.8. Consideraciones termodinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.9. Viscoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9. Mecanica de la fractura 179

9.1. Modos de fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809.2. Enfoque energetico de la mecanica de la fractura . . . . . . . 181

9.2.1. Aplicacion: placa con grieta . . . . . . . . . . . . . . . 186

9.3. Enfoque local de la mecanica de la fractura . . . . . . . . . . 1879.3.1. Equivalencia entre el enfoque global y el local . . . . . 189

10.Fatiga en metales 193

10.1. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19310.2. Descripcion micromecanica de la rotura por fatiga . . . . . . 19410.3. Calculo de la resistencia a fatiga bajo carga uniaxial . . . . . 196

10.3.1. Calculo de resistencia a fatiga a partir del estado ten-sional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.3.2. Calculo de resistencia a fatiga a partir de las deforma-ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

10.3.3. Calculo de resistencia a partir de la teora de la fractura 20410.4. Fatiga en cargas multiaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

11.Dinamica de solidos 211

11.1. Ecuaciones de la dinamica de solidos . . . . . . . . . . . . . . 21111.2. Energa cinetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21211.3. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

A. Propiedades mecanicas de algunos materiales comunes 215


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Prologo

La Mecanica de Solidos es la disciplina que estudia el comportamientode los solidos deformables cuando estos se someten a cargas mecanicas y/o

termicas. Esta rama de la ciencia tiene su origen en los traba jos de Cauchyen la decada de 1820, aunque anteriormente haba sido sujeto de estudio porparte de Leonardo da Vinci, Galileo, y otros cientficos pues su conocimientoes clave para el calculo de estructuras.

A da de hoy, la Mecanica de Solidos forma la base teorica del calculoestructural antes mencionado, pero tambien del diseno mecanico de piezas,de la mecanica de suelos, de los metodos de fabricacion por conformadoplastico, de parte de la biomecanica, etc. Como disciplina basica que es,proporciona el formalismo para expresar de manera precisa el estado en loscuerpos deformables y para el desarrollo de nuevos modelos que aproximenel comportamiento de materiales novedosos.

Desde el punto de vista pedagogico, estos apuntes estan redactados pen-sando en asignaturas de los ultimos anos de grados de ingeniera de la ramamecanica, o de master. Si bien tradicionalmente cursos como este se hancentrado en el estudio de la elasticidad y en la resolucion analtica de pro-blemas sencillos de solidos deformables, este curso se distancia de este enfo-que. En estas paginas se pretende sentar las bases teoricas para comprendery describir matematicamente los problemas mas importantes de los solidosdeformables, con la limitacion de pequenas deformaciones. Este ambiciosoobjetivo lleva al planteamiento de modelos y ecuaciones bastante complejos,y que casi nunca se pueden resolver de forma analtica.

Madrid, marzo 2015

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Captulo 1

Fundamentos matematicos

La mecanica de solidos, como de hecho toda la mecanica de medios con-tinuos, tiene una historia de varios siglos que ha ido en paralelo con muchosde los avances en matematicas. Como es una teora de campos, el calculodiferencial e integral forman la base de la mecanica de solidos. Ademas, hayotros conceptos matematicos que simplifican enormemente la presentacionde la teora, pues proporcionan un lenguaje con el que la misma se expresade forma mas natural, y por tanto sencilla. Entre otros, destacan el calculo yalgebra tensorial y el calculo variacional. Existen muchos otras herramientasnecesarias para una descripcion mas avanzada pero en estas notas nos limi-taremos a los elementos mas basicos e imprescindibles. Se pueden encontrarexposiciones mas detalladas de algebra y calculo tensorial, por ejemplo, en,[4,6,7,10,9,3].

1.1. Vectores en el espacio Eucldeo

La definicion completa de un vector y un campo vectorial se puede con-

sultar en libros basicos de algebra. En lo que sigue, llamaremos vector sim-plemente a un elemento cualquiera deV= Rd, siendo d = 3 en estas notas,aunque la gran parte de los conceptos que se presentan son validos tambienpara otras dimensiones. Un campo vectorial definido en R3 es unafuncion que para todo punto en devuelve un vector enV. Supondremostambien que todos los campos vectores son infinitamente diferenciables.

Notacion: Para diferenciar los vectores de los escalares se empleanen la literatura distintas notaciones. As, dependiendo del libro u autor quese consulte, un mismo vector se puede ver escrito como u,u, u, u, . . . Entretodas estas, todas ellas validas, utilizaremos la primera.

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1.1.1. Componentes de un vector y cambio de base

SeaB={e1, e2, e3} una base cartesiana deV. Cualquier vector v Vse puede expresar de la forma

v= v1e1+ v2e2+ v3e3=3i=1

viei , (1.1)

yv1, v2, v3 se llaman las componentesde v en la base B. Las componentesde un vector cambian segun la base a la cual se refieran, por lo tanto no sedebe confundir el vector mismo con su representacion.

Para expresar que una terna v1, v2, v3 son las componentes del vector ven la base

Bescribiremos:

v1v2v3

B

. (1.2)

A menudo, cuando no hay posibilidad de confusion porque solo se ha definidouna base se emplea la notacion

{v} =

v1v2v3

B

, o simplemente v=

v1v2v3

. (1.3)

La relacion entre las componentes de un vector, referidas a dos bases

distintas se obtiene de la siguiente manera. SeaBla base anteriormente de-finida y B una nueva base cartesiana formada por los vectores ortonormales{e1, e2, e3}. Un vector ei cualquiera de la baseB se puede expresar comosuma de vectores de la baseB de la forma:

ei = ai1e1+ ai2e

2+ ai3e

3 , siendo aij =ei ej . (1.4)

Otro vector cualquiera vse puede escribir indistintamente como combinacionlineal de los elementos deBo de los deB:

v=3

i=1viei =

3

j=1vje

j . (1.5)

Sustituyendo la expresion (1.4) e identificando las componentes se obtiene

vj =3i=1

aijvi . (1.6)

Esta ultima relacion se puede expresar matricialmente como

v1v2v3

B

=

a11 a21 a31a12 a22 a32

a13 a23 a33

v1v2v3

B

, (1.7)


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Captulo 1. Fundamentos matematicos 3

o de forma compacta

{v}B = [A]T{v}B . (1.8)Si las basesB yB son ortonormales, la matriz de cambio de base [A], esuna matriz ortogonal, es decir, que verifica [A]1 = [A]T. Mas aun, si las dosbases tienen la misma orientacion, entonces el determinante de [A] es iguala 1 y por tanto esta matriz es una rotaci on.

Es habitual referirse a los vectores de la base cartesiana de V= R3 como{i,j, k} y las componentes de un vector v en dicha base como vx, vy, vz.

1.1.2. Operaciones algebraicas basicas

Los vectores de Rd

poseen las operaciones vectoriales basicas de sumay multiplicacion por un escalar. Para realizar operaciones vectoriales nosvemos obligados a menudo a emplear las componentes de un vector, pero esimportante recalcar que el resultado es independiente de la base escogida,siempre que todos los vectores que intervengan se expresen en la misma base.Por ejemplo, para calcular el vector c= a + b, utilizamos las componentesde todos ellos en la baseBy podemos emplear la expresion:

c1c2c3

B=

a1a2a3

B+

b1b2b3

B. (1.9)

Ademas, en el espacio eucldeo se define el producto escalar(Eucldeo) dedos vectores mediante la expresion

a b= a1b1+ a2b2+ a3b3 . (1.10)

El producto escalar, como el resto de operaciones de las que tratamos, esuna operacion intrnsica que no depende de la base escogida. La norma(Eucldea) de un vector se indicara como|a| y se define de la siguienteforma

|a| = a a . (1.11)

El angulo formado por dos vectores a y b es por tanto

cos = a b|a| |b| . (1.12)

Cualquier vector no nulo se puede normalizar, multiplicandose por elinverso de su norma, y obteniendose un vector unitario. Dado un vectorcualquieraa y otro vector cualquiera unitario u, se definen la proyeccion de

a sobre u y la proyeccion de a sobre el plano normal a u como

au= (a u)u , au =a au . (1.13)


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au

au

u

Figura 1.1: Descomposicion de un vector segun una direccion u y su planoperpendicular.

a

b

c

Figura 1.2: Paraleleppedo generado a partir de 3 vectors cuyo volumenpuede ser calculado a partir del triple producto.

Esta descomposicion es unica y se puede escribir a = au+ a

u

. Vease lailustracion en la figura1.1.

El producto vectorial de dos vectores se indica como a b y, paracualquier base cartesiana B= {e1, e2, e3}, este se calcula mediante la regla

a b=e1 e2 e3a1 a2 a3

b1 b2 b3

, (1.14)

y da lugar a un vector perpendicular a a y b, orientado segun la regla de lamano derecha y con modulo|a b| = |a| |b| sin(), siendo el angulo desdea hasta b. Por tanto, el area de un triangulo con lados a, b, b a es

area(a, b, b a) =12|a b|. (1.15)

El producto mixto o triple producto de tres vectors a, b, c se definecomo

[a b c] =a b c . (1.16)


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El triple producto es invariante frente a permutaciones pares de sus argu-

mentos, pero cambia de signo cuando la permutacion es impar. Ademas, severifica:

[a b c] =a b c=

a

b

c

. (1.17)En esta ultima expresion, el primer determinante es el que se obtiene alcolocar los tres vectores en las columnas de una matriz, y el segundo en susfilas. El product mixto de tres vectores a, b, ces igual al volumen orientadode un paraleleppedo con lados paralelos a estos tres vectores.

1.2. Tensores

Los tensores son objetos son objetos del algebra tan utiles como losvectores, y su uso en varias ramas de la mec anica es muy habitual. Porejemplo, el tensor de inercia aparece en la descripcion de la dinamica delsolido rgido. En la mecanica de solidos y fluidos este tipo de objetos aparececonstantemente y permite, como se explicara en esta seccion, expresar deforma compacta las relaciones lineales entre vectores.

1.3. Tensores de segundo orden

Los tensores de segundo orden son los mas comunes y a veces nos re-feriremos a ellos simplemente como tensores, sobreentendiendose que elorden al que se hace referencia es dos. En algebra estos objetos se estudiana menudo y reciben el nombre de endomorfismos lineales y llamaremosal conjunto de tensores de segundo ordenV2. Son simplemente aplicacioneslineales deV enV, es decir, funciones lineales que transforman un vectoren otro. Para cualquier vectorV, un tensor T es una operacion lineal talqueT(a) es otro vector. Por sencillez, los parentesis se eliminan y se escribesimplementeb= T a. La propiedad fundamental, por tanto de los tensoreses

T(a + b) =T a + T b , (1.18)

siendo, dos numeros reales y a, bdos vectores.

Notacion:Igual que en el caso de los vectores, existe una notacion espe-cial que permite distinguir los tensores de segundo orden del resto de objetos(escalares, vectores, . . . ). Tambien esta notacion depende del autor o del li-

bro que se consulte y un mismo tensor se puede escribir como A, A,A , A , . . .

En estas notas se empleara la primera de ellas y se evitara la confusion entrevectores y tensores de segundo orden empleando siempre que no se indiquelo contrario letras minusculas en el primer caso y mayusculas en el segundo.


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Dado un tensor T se define su transpuesto TT como el unico tensor

que satisfacea (T b) = (TTa) b , (1.19)

para cualquier pareja de vectores a, b V.

1.3.1. Componentes y cambio de base

Recordamos que un tensor es simplemente una operacion que transformavectores en vectores, y que es lineal. Pues bien, en particular se pueden usartensores y operarlos sobre los vectores de una baseB. Con ello se puedendefinir las componentes de un tensor Tcomo los nueve escalares

Tij =ei (T ej), i= 1, 2, 3 j= 1, 2, 3 . (1.20)

Las componentes de un tensor referidas a una baseB se muestran enforma de matriz, y se escribe

[T]B =

T11 T12 T13T21 T22 T23

T31 T32 T33

B

(1.21)

de forma analoga a la expresion en un vector columna de un vector (1.2).Ademas, es facil verificar que la matriz asociada a TT es simplemente [T]T.

Como en el caso de los vectores, la matriz de un tensor en una basecualquiera no debe de confundirse con el tensor propiamente dicho.

La propiedad de linealidad de los tensores implica que las componentesdel vector b que resulta de la aplicacion de un tensor T sobre un vector ase pueden obtener multiplicando la matriz [T]B y el vector columna{a}B.Es decir, si b = T a, entonces

{b}B = [T]B{a}B , (1.22)

o mas explcitamente

b1b2b3

B

=

T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

B

a1a2a3

B

(1.23)

Observando la definicion de las componentes de un tensor deducimosque estas dependen de la base en la que se exprese el tensor. Para hallarla relacion entre componentes de un mismo tensor en dos bases cartesianasdistintasB yB escribimos la relacion b = T a en componentes de las dosbases.

{b}B = [T]B{a}B , y {b}B = [T]B{a}B . (1.24)


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La expresion (1.8) relaciona las componentes de los vectores a y b en las dos

bases as que la segunda ecuacion de (1.24) se puede escribir como

[A]T{b}B= [T]B [A]T{a}B . (1.25)Despejando{b}B y comparando el resultado con la primera ecuacion de(1.24) se deduce que la expresion que relaciona las componentes deTen lasdos bases consideradas es

[T]B = [A][T]B [A]T . (1.26)

1.3.2. Operaciones algebraicas

Los tensores poseen las operaciones de suma, multiplicacion y multipli-cacion por un escalar y estas se definen a partir de los conceptos corres-pondientes para vectores y la propiedad de linealidad. Por ejemplo, dadosdos tensores A, B, el tensor suma C = A+ B se define como aquel queaplicado a un vector cualquiera v resulta Cv = Av + Bv. El producto dedos tensores C=BA es el unico tensor que satisface

Cv = B(Av) (1.27)

para cualquier vector v V.La expresion matricial del resultado de todas estas operaciones es la

correspondiente operacion matricial operada sobre las matrices de compo-

nentes de los tensores. Insistimos, como en el caso de los vectores, que elresultado es independiente de la base escogida.

La traza es una operacion lineal sobre tensores definida mediante larelacion

tr(a b) =a b , (1.28)sobre diadicas. Como todo tensor es la suma de 9 parejas diadicas se verifica

tr(T) = tr(3i,j=1

Tijei ej) =3i,j=1

Tijtr(ei ej) =3i,j=1

Tijei ej =3i=1

Tii .

(1.29)

La traza de un tensor no depende tampoco de la base en la que se exprese sumatriz de componentes y se dice que es por tanto un invariante del tensor.La operacion traza es lineal as que, dado un escalar y dos tensoresT, S,

tr(T) = tr(T) , tr(T+ S) = tr(T) + tr(S) . (1.30)

Elproducto escalarentre tensores de orden dos se escribe con el smbo-lo : y se define como la operacion que a toda pareja de tensoresT, Sasociael escalar T :Sdefinido por

T :S= tr(STT). (1.31)


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En componentes, la operacion de la doble contraccion, como tambien se

conoce a este producto escalar, es simplemente

T :S=3i=1

3j=1

TijSij . (1.32)

Como esta operacion define un producto escalar, tambien se puede definiruna normaasociada de tensores:

T =

T :T . (1.33)

Dos vectores a y b pueden operarse mediante el llamado productodiadico, resultando en un tensor de segundo orden a

b definido por

(a b)c= a(b c) , (1.34)para cualquier vectorc.

El determinante de un tensor Tes el escalar det(T) que verifica

[T a T b T c] = det(T)[a b c] . (1.35)

Ademas, se puede demostrar, que el determinante se puede obtener calcu-lando el determinante de la matriz de componentes del tensor, en cualquierbase. El determinante es, por tanto, otro invariante del tensor. Cuando untensor tiene determinante nulo, se dice que este es singulary en caso con-

trario, regular.Por ultimo, dado un tensor regular T V2 cualquiera, existe un ten-

sor T1, denominadoel tensor inverso de T tal que

T T1 =T1T =I . (1.36)

El tensor inverso ademas, cuando existe, es unico.

1.3.3. Tensores con propiedades especiales

Dependiendo de sus propiedades, los tensores se clasifican empleandounos calificativos identicos a los de la clasificacion de las matrices. En pri-

mer lugar, el tensor identidad I es el unico que verifica Ia = a paratodo vector a. La matriz de componentes de I, en cualquier base, es lamatriz identidad. El tensor nulo es el unico tensor tal que T +0 = T,para cualquier tensorT. Se dice que un tensor es simetrico si es igual a sutraspuesto, y antisimetrico (o hemisimetrico) si es el opuesto de su tras-puesto. Se comprueba inmediatamente que la matriz asociada a un tensorsimetrico es simetrica, en cualquier base, y la matriz asociada a un tensorantisimetrico es a su vez antisimetrica, tambien en cualquier base.

Los tensores antisimetricos tienen una propiedad que emplearemos masadelante y es que el efecto de aplicar un tensor antisimetrico W sobre un


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vector cualquiera a es el mismo que el de multiplicar vectorialmente un

vector w, llamado el vector axial de W, sobre a. Es decir, que para todovector a,

W a= w a , (1.37)e indicamos w = axial[W]. Ademas esta relacion es recproca, y por ellomultiplicar vectorialmente un vectorw por otro vector cualquieraa es equi-valente a multiplicar un tensor antisimetrico W, que es unico, y que se llamael tensor antisimetrico asociado al vector w.

Finalmente, decimos que un tensor es desviador si tiene traza nula yesferico si es de la forma T =pI, siendo p un escalar.

1.3.4. Descomposiciones de tensoresTodo tensor T se puede descomponer de forma unica en una parte

simetrica Ts y otra antisimetrica Ta de forma que T = Ts + Ta. Se com-prueba facilmente que cada una de estas partes son:

Ts =1

2(T+ TT) , Ta =

1

2(T TT) . (1.38)

Ademas, todo tensor T se puede descomponer de forma unica en unaparte esferica y otra desviadora. La parte esferica, que denominaremos Tvol

tiene la misma traza queTy la parte desviadoraTdes no tiene traza. Ambasse calculan as:

Tvol = tr(T)

3 I , Tdes =T Tvol . (1.39)

1.3.5. Autovectores y autovalores

Dado un tensor T cualquiera, se dice que el vector v es un autovectory su autovalor asociado si v es unitario y

T v= v . (1.40)

Para calcular los autovalores buscamos las soluciones no triviales de la iden-tidad (1.40) y para ello hay que resolver la ecuaci on

det(T I) = 0 . (1.41)Esta ecuacion es un polinomio de tercer grado que tiene por expresion

3 + I1(T)2 I2(T) + I3(T) = 0 . (1.42)Las funciones I1, I2, I3 son los llamados invariantes principales del ten-sor T, porque no dependen de la base, y su expresion explcita es

I1(T) = tr(T), I2(T) =1

2(tr(T)2 tr(T2)), I3(T) = det(T). (1.43)


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Como en algebra de matrices, una vez calculados los tres autovalores

1, 2 y 3, se calculan sus autovectores asociados buscando las bases de losespacios nulos de los tensores

T I , (1.44)

que no son vacos por definicion. Cuando el tensor es simetrico, el siguienteteorema espectral garantiza que los autovalores y autovectores cumplen unapropiedades especiales que se emplearan muy a menudo en la mecanica desolidos deformables. Por su importancia incluimos una demostracion delteorema.

Teorema 1.3.1. Los tres autovalores de un tensor simetrico S son realesy sus tres autovectores asociados forman una base ortonormal, llamada labase principaldel tensor, que denominamosB. En esta base, la expresionmatricial del tensor es:

[S]B =

1 0 00 2 0

0 0 3

B

. (1.45)

Demostracion. Demostramos primero que los tres autovalores son reales.Como el polinomio caracterstico de Ses de tercer orden existen tres auto-valores1, 2, 3que en principio pueden ser complejos. Siv es el autovectorasociado a un autovalorde los tres yves el autovector conjugado entonces

v Sv = v v= |v|2 . (1.46)Conjugando ambos lados de la ecuacion anterior, se obtiene

v Sv= |v|2 . (1.47)

Igualando las identidades de (1.46) y (1.47) concluimos que = , es decirque es real.

La demostracion de la segunda parte es inmediata si los autovales son dis-

tintos, pero consideramos el caso mas general. Como antes, sean (1, 2, 3)los tres autovalores de S(ordenados de cualquier manera) y (v1, v2, v3) susautovectores correspondientes. Si w es un vector ortogonal a v1, entoncesSw es tambien ortogonal a v1, porque v1 Sw =S v1 w = 1v1 w= 0.As pues S, cuando se restringe al subespacio de vectores ortogonales a v1es tambien un tensor de ese conjunto a s mismo. Por lo tanto tendra dosautovalores y autovectores, que forzosamente deberan ser ortogonales a v1.Tomando uno cualquiera que llamamos 2 y v2 al autovector, repetimos elmismo argumento para el subespacio de vectores ortogonales av1 y v2 paraconcluir que los tres autovectores son ortonormales.


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En la base principal tenemos

{v1}B =

100

B

, {v2}B =

010

B

, {v3}B =

001

B

. (1.48)

por lo que la expresion matricial deSha de ser como se indica en (1.45).

Un tensor simetrico con dos autovalores iguales se llama cilndrico, ycuando los tres son iguales,esferico. En este ultimo caso el tensor ha de serproporcional al tensor identidad.

1.4. Tensores de cuarto orden

Aunque existen tensores de cualquier orden, solo utilizaremos en estecurso lo de orden dos y cuatro. Estos ultimos se definen como aplicacioneslineales en el espacio de tensores de segundo orden y llamamos V4 al conjuntode todos los tensores de cuarto orden.

Notacion: Igual que en el caso de los vectores y tensores , existe unanotacion especial para los tensores de cuarto orden. Esta notacion, como las

anteriores, cambia segun el autor y libro siendo algunas de ellas A, A. En

estas notas los tensores de cuarto orden se distinguiran for el tipo de letray escribiremos simplemente A,B, etc.

La propiedad fundamental de un tensor de cuarto orden C es su lineali-dad, es decir, que siendo A, B dos tensores de segundo orden cualesquiera,

C(A + B) =CA + CB , (1.49)

cuandoyson numeros reales. Ademas, de manera analoga a la operacion definida entre vectores, se define el producto diadico de tensoresde segundo ordencomo la operacion :V2 V2 V4 que sirve paraconstruir tensores de cuarto orden que satisfacen

(A B)C= A(B: C) , (1.50)

siendo A, B, C tres tensores cualesquiera.El tensor identidad de cuarto orden, indicado como I, verifica IA= A,

para cualquier tensor A V2. Ademas, el tensor Is es tal que IsA= As.

1.5. Calculo vectorial y tensorial

En Teora de Campos se estudian los principales operadores diferencia-les que actuan sobre los campos escalares y vectoriales que son el gradiente,la divergencia y el rotacional. Estos tres operadores tienen una definicion


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intrnseca, independiente del sistema de referencia empleado, que presenta-

remos de la forma mas directa posible. En la practica, siempre utilizaremosestos operadores sobre campos cartesianos, donde su calculo es muy senci-llo. Como las operaciones intrnsecas son validas en todos los sistemas decoordenadas, los resultados que se obtengan en sistemas cartesianos, si sepueden expresar en funcion de operaciones intrnsecas, seran validos paracualquier sistema de referencia. Muchos mas detalles pueden encontrarse enel texto [5].

El operador gradiente determina la parte lineal en una expansion enserie de Taylor de un campo escalar, o vectorial, o de mayor orden. El elcaso escalar, siendo : R un campo diferenciable en x se tieneque

(x + u) =(x) + (x) u + O(u2) (1.51)donde la notacion O(u2) indica que los terminos que siguen son del ordendeu2. El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial cuyascomponentes en un sistema cartesiano de coordenadas son:

{(x,y ,z)} =

,x,y,z

=

xyz

. (1.52)

De manera analoga, si v : V es un campo vectorial diferenciable,tambien este se puede expandir en serie de Taylor y la parte lineal se co-

rresponde con el gradiente. En coordenadas cartesianas, este operador tienepor expresion:

[v(x,y ,z)] = v,xx v,xy v,xzv,yx v,yy v,yz

v,zx v,zy v,zz

. (1.53)

El operador divergenciade un campo vectorial v : V se definecomo

v= tr(v), (1.54)que en coordenadas cartesianas se puede calcular como

v(x,y ,z) =vx,x+ vy,y + vz,z . (1.55)

Ademas, si T : V2 es un campo tensorial diferenciable su divergenciaes el campo vectorial unvocamente definido por la propiedad:

( T)a= (TTa), (1.56)siendo a un vector cualquiera en R3. En coordinadas cartesianas, la diver-gencia de un tensor tiene por componentes:

T(x,y ,z)=

Txx,x+ Txy,y+ Txz,zTyx,x+ Tyy,y+ Tyz,zTzx,x+ Tzy,y+ Tzz,z

. (1.57)


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Por ultimo, siguiendo con el campo vectorial u, su rotacional

u es el

campo vectorial definido por

1

2( u) a= (u)aa , (1.58)

para todo vectora, siendo (u)a la parte hemisimetrica del gradiente de u.En coordenadas cartesianas se verifica que:

v(x,y ,z) =

i j kx

y

z

vx vy vz

. (1.59)

Existen numerosas relaciones entre los operadores diferenciales y teore-mas integrales que los emplean. En este curso utilizaremos dos unicamente:el teorema de la divergencia y la formula de la integral por partes.

Teorema 1.5.1 (Teorema de Gauss o de la divergencia). Sea un subcon-junto de R3 y su contorno. Si v es un campo vectorial definido en severifica:

v d =

v n d , (1.60)

siendo n la normal saliente a . Si T es un campo tensorial sobre, en-

tonces

Td =

T n d , (1.61)

El teorema de la divergencia se aplicara en numerosas ocasiones. Uncorolario del mismo es la expresion para la integral por partes: si es uncampo escalar, entonces

v d =

v n d

v d . (1.62)

En el caso tensorial, si T es un campo tensorial como anterioremente, en-tonces

( T) v d =

(T n) v d

T : v d . (1.63)

1.6. Coordenadas cilndricas y esfericas

Por su interes para la resolucion analtica de algunos problemas, se ob-tienen a continuacion las matrices de cambio de coordenadas cartesianas acilndricas y esfericas.


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1.6.1. Coordenadas cilndricas

Las coordenadas de cualquier punto en R3 se puede expresar en un sis-tema cilndrico, donde las coordenadas (r,,z) sinR+ [, ) Restanrelacionadas con las cartesianas (x1, x2, x3) mediante la relacion

r=

x21+ x22, = arctan

x2x1

, z= x3 , (1.64)

y su relacion inversa

x1= r cos , x2= r sin , x3 = z . (1.65)

Como no es un cambio de coordenadas biyectivo pueden aparecer proble-

mas cuandor = 0. A diferencia de los sistemas cartesianos, las coordenadascartesianas definen vectores de una base que cambian punto a punto. Estosvectores son tangentes a las curvas coordenadas en las que dos de las coor-denadas se mantienen constantes y la tercera vara. Si se define una curva enR3 como x = x(r,,z), se pueden calcular los vectores unitarios tangentesa estas curvas como:

er =x

r

xr1 = cos e1+ sin e2,

e =x

x

1

= sin e1+ cos e2,

ez =x

z

xz1 =e3 .

(1.66)

Usando la notacion de la seccion 1.3.1, la matriz de cambio de base y suinversa son, respectivamente,

[Acil] =

cos sin 0 sin cos 0

0 0 1

, [A1cil ] =

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

. (1.67)

Se observa que cuando r = 0, la matriz [A] es singular.

1.6.2. Coordenadas esfericas

Las coordenadas esfericas de un punto en el espacio Eucldeo son (r,,) R+ [0, ) [, ) cuya relacion con las coordenadas cartesianas es:

r=

x21+ x22+ x

23, = arctan

x21+ x

22

x3, = arctan

x2x1

. (1.68)

La relacion inversa es por tanto

x1= r sin cos , x2= r sin sin , x3= r cos . (1.69)


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Los vectores tangentes a las curvas coordenadas en un punto (r,,) son

er =x

r

xr1 = sin cos e1+ sin sin e2+ cos e3,

e =x

x1

= cos cos e1+ cos sin e2 sin e3,

e=x

x1 = sin e1+ cos e2 ,

(1.70)

y por lo tanto la matriz de transformacion de coordenadas y su inversa son:

[Aesf] = sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin

sin cos 0 ,

[A1esf] =

sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin 0

.

(1.71)

1.7. La transformada de Legendre

La transformada de Legendre es una operacion muy utilizada en mecani-ca para cambiar la expresion funcional de una relacion constitutiva. Como

en termodinamica, esto se debe a que a menudo es conveniente cambiarlas variables independientes que describen la respuesta de un material, o elequilibrio [2,1].

En primer lugar recordamos que una funcion convexadefinida sobreun conjunto Rd es aquella que satisface, para todo x, y

f((1 )x + y) (1 )f(x) + f(y) , [0, 1] . (1.72)

Si la desigualdad es estricta cuando (0, 1) entonces se dice que la funcionf es estrictamente convexa. Las funciones convexas gozan de numerosaspropiedades, muchas de ellas relacionadas con problemas de optimizacion

([8]), por lo que se emplean muy a menudo en la formulacion de modelosmecanicos. Dada una funcion no necesariamente convexa su transformadade Legendre f como

f(y) = maxx

(xy f(x)) . (1.73)

La transformadafse puede calcular de forma explcita en muchas ocasionesy cuando fes convexa, f tambien lo es.

Ejemplo 1.7.1. Calcular la transformada de Legendre de f(x) =x2.


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Sea g(x, y) = xy

x2, el maximo de esta funcion para un y dado se

obtiene resolviendo g(x,y)x = 0, que resulta x = y/2. Por ello,

f(y) = maxx

g(x, y) =g(y/2, y) =y2

4. (1.74)

La transformada de Legendre cuenta con numerosas propiedades que ha-cen de ella una herramienta muy util en matematica, fsica, termodinamica,etc. Por ejemplo, sif : R Res una funcion convexa y f su transformadade Legendre entonces se verifica que

y=f

x (x) x=f

y (y). (1.75)

1.8. Calculo variacional

Ademas del calculo integral y diferencial, el calculo de variaciones ocalculo variacionalresulta de gran utilidad para el desarrollo de la mec ani-ca de solidos deformables. Creado por Leonhard Euler para resolver el pro-blema de la curva braquistocrona, este tipo de calculo sirve para identificarcondiciones de estacionariedad (mnimos, maximos o puntos de ensilladura)en funcionales diferenciables.

SiF es un espacio vectorial de funciones, un funcional es una funci onI :F R. Por ejemplo, siF es el espacio de funciones reales de variablereal definidas en [0, 1], el funcionalI[v] =

10 v dxcalcula el area (con signo)

bajo la funcion v F. Otros funcionales calculan distancias, areas, inercias,etc.

Si I :F R es un funcional que posee un mnimo en v, entoncesI[v] I[v] para cualquier v F. Ademas, si este funcional es diferenciable,entonces

d

d

=0

I[v+ u] = 0 , (1.76)

para cualquier u F 1. Esta condicion, que debe de evaluarse para cadafuncional I, da lugar a una ecuacion diferencial llamada la ecuacion deEuler-Lagrange del funcional, que caracteriza su punto estacionario.

Ejemplo 1.8.1. SiFes el espacio (afn) de todas la funciones v diferen-ciables en [0, 1] tales que v(0) = 0, v(1) = 1, encontrar la que minimiza elfuncional

I[v] =

10

1

2(v)2 v

dx

1Si Fes un espacio afn sobre el espacio vectorial G, entonces I: F R es mnimo sila ecuacion(1.76) se cumple para todo u G.


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Si u es una funcion tal que u(0) =u(1) = 0 entonces

0 = d

d

=0

I[v+ u] =

10

vu u dx .

Integrando por partes se obtiene

0 =

10

v 1 u dx ,identidad que solo se cumple para todo u si el integrando es nulo, es decir,

v = 1 .

Resolviendo esta ecuacion diferencial, y utilizando las condiciones de con-torno, se concluye que

v(x) = x2

2 +

3

2x .

1.9. Notacion indicial

La notacion empleada hasta ahora para indicar los vectores y tensores

evita, en la major parte de las ocasiones, conocer y operar con las compo-nentes individuales de cada uno de ellos. A veces, sin embargo, resulta utilhacer referencia de forma explcita a estas componentes y para ello existeuna notacion que, aunque aparentemente algo mas compleja que la utilizadahasta el momento, facilita la demostracion de algunas propiedades tensoria-les y de ciertos teoremas. Esta notacion, que ahora describimos, se conocecomo notacion indicial.

Empecemos recordando que dada una base de vectores ortonormalesB= {e1, e2, e3}, todo vector se puede expresar como una combinacion lineal

v= v1e1+ v2e2+ v3e3 , (1.77)

expresion que se puede escribir de forma mas compacta usando un sumatorio:

v=3p=1

vpep . (1.78)

Como es tedioso tener que escribir constantemente el smbolo de sumato-rio e indicar sus lmites (siempre son los mismos) se adopta la siguienteconvencion: en vez de las ecuaciones (1.77) o (1.78) se escribe

v= vpep . (1.79)


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En esta expresion, y en toda aquella en la que dos objetos que se multiplican

tengan un mismo ndice repetido, se entendera que vpep significa v1 e1 +v2 e2 + v3 e3. En vez del subndice p se podra haber empleado cualquierotro, y as

vp ep= vq eq =vi ei , (1.80)

por lo que el ndice repetido se denomina mudo. Se dice que la expre-sion (1.79) emplea notacion indicial o tambien el convenio de Einstein. Deesta manera, usando el convenio de Einstein, el producto escalar de dosvectores se escribira simplemente como

a b= ai bi . (1.81)

Dos vectoresa y b son iguales si ap ep = bp ep. Esta igualdad se puedereescribir como (ap bp)ep= 0. Como los vectores de la base son linealmen-te independientes, esta ultima expresion requiere que cada componente seanule, es decir, ap bp= 0, o de otra manera

ap= bp . (1.82)

De este simple ejemplo se deduce que cuando en una igualdad aparezca unmismo ndice en varios lugares, pero no multiplicandose, quiere decir que laigualdad es valida cuando el ndice toma el valor 1,2 o 3. Un ndice de estetipo se denomina libre y puede intercambiarse por otra letra cualquiera,

siempre que no se emplee en otra parte de la igualdad. Por ejemplo, laidentidad (1.82) quiere expresar

a1= b1 , a2= b2 , a3= b3 . (1.83)

Cuando se trabaja con tensores de segundo orden tambien se emplea unabase tensorial de nueve tensores:

{e1 e1, e1 e2, e1 e3, e2 e1, e2 e2, e2 e3, e3 e1, e3 e2, e3 e3} ,(1.84)

y todo tensor T se puede escribir como combinacion lineal de estos tensores

mas simples, es decir,

T =T11e1 e1+ T12e1 e2+ T13e1 e3+ T21e2 e1+ . . . (1.85)

En este caso se observa aun mas claramente que resulta muy tedioso escribiry trabajar con las nueve componentes de un tensor. Se podra escribir laexpresion previa como

T =3p=1

3q=1

Tpq ep eq , (1.86)


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pero igual que con los vectores, se adopta la convencion de que esta ultima

expresion se puede escribir simplemente como

T =Tpq ep eq . (1.87)Como en el caso de los vectores, los ndices repetidos cuyos objetos corres-pondientes se multiplican expresan un sumatorio, con dicho ndice tomandovalores 1, 2 y 3.

Tambien como en el caso de los vectores, aquellos ndices libres que apa-recen repetidos en varios lugares de una igualdad, pero cuyas componentescorrespondientes no se multiplican indican que la igualdad es valida cuandolos ndices toman valores 1,2 y 3. As por ejemplo Tij+ Rij = quiere decirque la suma de cualquier componente del tensorTde segundo order mas lamisma componente del tensor de segundo orden Res igual a .

Las consideraciones aqu presentadas son validas tambien para tensoresde mayor orden. Por ejemplo:

Aijkvj =Ai1kv1+ Ai2kv2+ Ai3kv3

SpqrTir = Spq1Ti1+ Spq2Ti2+ Spq3Ti3 .(1.88)

Notacion indicial para los operadores diferenciales. Si : R3 Res un campo escalar, v : R3 V es un campo vectorial, y T : R3 V2es un campo vectorial, podemos expresar sus operadores diferenciales de lasiguiente manera

= ,i ei ,v= vi,jei ej ,

v= vi,i , T =Tij,jei , v= ijkvi,jek ,

(1.89)

siendoijk la funcion de valores

=

1 si (i,j,k) = (1, 2, 3) u otra combinacion par

1 si (i,j,k) = (2, 1, 3) u otra combinacion par

0 si algun ndice esta repetido.

(1.90)

Problemas

1.1. Comprueba que el producto escalar de dos vectores es independientede la base en la que esten expresados.

1.2. Para cualquier tensor T de segundo orden, demuestra las siguientesrelaciones:

a) I :T = tr(T), b) Tvol :Tdes = 0 , c) Ts :Ta = 0 .


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1.3. Comprueba que, para cualquier campo escalar :

R,

= 0.

1.4. Si desv[ ] es la operacion que obtiene la parte desviadora de un tensor,demuestra la identidad:

desv[(I I)A] =0 .

1.5. Demuestra las identidades

a) A: (BC) = (BTA) :C b) tr(ab) =ab c) A: ab= (Ab)a .

siendo A, B, Ctensores de segundo orden y a, b, vectores.

1.6. Si a, b son dos vectores cualesquiera y a = axial[A], b = axial[B]comprueba que

A: B = 2 a b .1.7. Demuestra las identidades

a) (T v) = ( TT) v+ TT : v . b)(a r) =A ,

siendo Tun campo tensorial, v un campo vectorial, aun vector constante,a= axial[A] y r =

3i xi ei.

1.8. Demuestra las identidades el teorema de Gauss para campos tensoria-les (la identidad (1.62)), la expresion vectorial de la formula de la integralpor partes (la identidad (1.62)) y la expresion tensorial de esta ultima (laformula (1.63)).

1.9. SiR R3, demuestra, usando la formula de la integral por partes y elresultado del problema1.6

Rr (An) dA=

R

(r ( A) + 2 axial[Aa]) dV , (1.91)

siendo A un campo tensorial, r =3i xi ei, y n la normal saliente al con-torno R.1.10. Determina el valor de los escalares , que satisfacen

a (b c) =b c ,

para cualquier terna a, b, c V.1.11. Demuestra, a partir de la definicion intrnseca de la funcion determi-nante,

det(AB) = det(A) det(B)


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Bibliografa 21

1.12. Si aes un vector cualquiera y u un vector unitario, demuestra

a= (a u)u (a u) u .

1.13. Si f : R Res una funcion convexa yf su transformada de Legen-dre, demuestra que para cualquier pareja x, y R,

f(x) + f(y) xy .

1.14. Calcula la transformada de Legendre de

a)f(x) = 1

2kx2, b) g(x) =ex.

Bibliografa

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Captulo 2

Estudio del equilibrio

En este captulo comenzamos el estudio de los solidos deformable centrando-nos en las ecuaciones de equilibrio. Estas derivan de la aplicacion a un sis-tema continuo de las ecuaciones de Newton y de Euler y se expresan deforma mas sencilla mediante ecuaciones en derivadas parciales. Ademas, pa-ra poder extender el concepto de fuerza a un medio continuo se definira latension mecanica, idea fundamental que introdujo Cauchy en el siglo XIXy que basica en la mecanica de medios continuos.

2.1. El modelo del solido deformable

La materia no es contiua. Si empleamos un microscopio de suficiente re-solucion podremos apreciar como esta se compone de multitud de atomosseparados entre s, los cuales a su vez estan formados por un nucleo dimi-nuto y nubes de electrones lejanos a estos. Esta observacion es valida paracualquiertipo de cuerpo: solido, lquido o gaseoso. El estudio basado enpri-meros principiosconsiste en estudiar la fsica de estas partculas y permiteconocer todas las propiedades de los cuerpos ... en teora. Sin embargo, estal la complejidad de estas ecuaciones que para obtener resultados, mas omenos precisos, resulta imprescindible emplear modelos.

En mecanica, que es la disciplina que nos concierne, existe el modelo

de partcula que Galileo y Newton, entre otros, introdujeron. Segun es-te modelo, la dinamica de solidos puede estudiarse considerando que estosson puntos dotados de masa. Un modelo de complejidad mayor es el desolido rgido, que incorpora detalles sobre la distribucion de la masa y laorientacion de los cuerpos[2,1].

Los dos modelos indicados no describen ni la deformabilidad de los cuer-pos, ni la posibilidad de rotura/fallo, ni las diferencias entre distintos mate-riales, ni los efectos de la temperatura sobre los cuerpos... Para incorporartodos estos aspectos se formula un modelo mas complejo, llamado el modelode solido deformable, que sigue siendo imperfecto e inexacto, pero cuya

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precision a la hora de reproducir lo que ocurre con los solidos reales es mucho

mayor que la de la partcula o el solido rgido.Dentro de todos los aspectos que se pueden estudiar de los s olidos de-

formables, este captulo se centra en el estudio de los efectos de las fuerzassobre los mismos, y de como se manifiesta el equilibrio, y como se expresamatematicamente.

Para describir por tanto un solido deformable, comenzamos definiendoeste como una region R3, con contorno formados por un conjuntocontinuo de puntos que debido a la accion de fuerzas exteriores y/o tempe-ratura pueden adoptar formas distintas a la original.

2.2. Fuerzas que actuan sobre los solidos deforma-bles

Como la mecanica trata de las fuerzas y su efecto sobre los cuerpos, elprimer paso para describir en que consiste el solido deformable consiste endelimitar que fuerzas vamos a considerar y cuales no.

En el caso de la partcula, las unicas fuerzas que se admiten son lasfuerzas puntuales. En el modelo del solido rgido, ademas de las primeras, seadminten pares de fuerzas. En el modelo de s olido deformableno se admiteninguna de las dos anteriores y sin embargo se permiten dos nuevos tipos

de fuerzas llamadas fuerzas volumetricas y fuerzas de superficie.

2.2.1. Fuerzas volumetricas

Las fuerzas volumetricas son fuerzas que actuan sobre cada diferencial devolumen del cuerpo, o equivalentemente, sobre cada diferencial de masa. Elejemplo clasico es el de la fuerza de la gravedad, que actua sobre cada elemen-to diferencial de volumen tirando de el hacia abajo. Matematicamente,las fuerzas volumetricas se describen con un campo vectorialf : R3 deforma que sobre el diferencial de volumen en el punto P actua una fuerzadiferencial fdV. La resultante, por tanto, de todas las fuerzas volumetricas

que actuan sobre un cuerpo es

Rv =

f(P) dV , (2.1)

o en componentes en una base cartesianaB= {i,j, z},

RvxRvyRvz

=

fx(P)fy(P)

fz(P)

dV . (2.2)


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Captulo 2. Estudio del equilibrio 25

2.2.2. Fuerzas de superficie o de contacto

Las fuerzas de superficie, tambien llamadas fuerzas de contacto, son fuer-zas aplicadas sobre el cuerpo a traves de su contorno . Matematicamentese expresan como un campo vectorial t: R3 definido sobre el contornode fuerzas por unidad de superficie. Sobre un diferencial de area sobre elpuntoP actua una fuerza total de valor t dAy, por tanto, la resultantede todas las fuerzas de superficie actuando sobre un cuerpo es:

Rs =

t(P) dA ,

o en componentes en una base cartesiana

RsxRsyRsz

=

tx(P)

ty(P)tz(P)

dA .

En mecanica, se denomina tensiona la fuerza aplicada sobre la unidad dearea. A diferencia de la presion, la tension tiene direccion y sentido.

Observaciones:

a) Los solidos deformables no admiten fuerzas ni pares puntuales.

b) Las fuerzas volumetricas tienen dimensiones deF/L3 y las de superfice,de F /L2.

c) Las fuerzas de superficie se pueden descomponer en su componentenormal y tangencial a la superficie del cuerpo. Si consideramos unpunto P , y la normal aen dicho punto que indicamos como n,podemos calcular

tn

= (t n)n , tn

=t tn

. (2.3)

Es comun estudiar solidos deformables sujetos en una parte de su con-torno que denominaremosu, de forma que =u

t con u

t=

. En

el contorno u es solido deformable tiene sus desplazamientos impedidos ypara ello la sustentacion ejerce unas fuerzas de superficie de valor desconoci-do a priori que se encargan de satisfacer dicha restriccion. Por el contrario, obient es una superficie libre o bien hay fuerzas de superficie conocidas, detal manera que los desplazamientos de sus puntos son desconocidos cuandose plantea el problema (ver 2.1).

La resultante de la fuerzas de superficie sobre u se llama la reacci onsobre el cuerpo y se diferencia de la resultante de las fuerzas de superficieen que estas ultimas se conocen a prioriy las primeras sin embargo tomanel valor necesario para mantener la restriccion de desplazamientos.


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u

t

fv

fs

Figura 2.1: El modelo de cuerpo deformable

2.3. Fuerzas internas en un cuerpo deformable

El concepto de fuerza interna es central para el estudio de cuerpos defor-mables y es nuevo, en el sentido de que no existe en los modelos de partculascon masa o en el de cuerpos rgidos.

Cuando se estudia un cuerpo deformable sometido a fuerzas externasse deduce que, aunque no se puedan medir, deben de existir fuerzas en el

interior del mismo. Estas no se pueden medir porque para ello habra quepartir el cuerpo, creando una nueva superficie externa y por tanto dejarande ser fuerzas internas. Pero, sin duda deben de existir para mantener lacohesion entre sus partculas y para transmitir las fuerzas aplicadas desdeel exterior, en la superficie o en el interior.

Para comprender este nuevo concepto, consideramos un cuerpo defor-mable y una superficieSen su interior que divide el cuerpo en dos partesdisjuntas denominadas + y . Cuando sometemos a todo el cuerpo a fuer-zas externas (volumetricas o de superficie) tambien aparecen fuerzas entrelas dos partes que se transmiten entre ellas. Estas fuerzas no se controlandesde el exterior, no son fuerzas aplicadas, sino que aparecen en todos los

cuerpos deformables, por su propia naturaleza y son el unico tipo de interac-cion mecanica entre ambas1. Las fuerzas que se transmiten en esta superficie,por unidad de area, reciben el nombre detensiones, y dependen, en general,del punto del solido que se investigue y de la superficieSque se considere.Se definen por tanto:

Definicion 2.3.1. Elvector tensionten un puntoPdel solido , cuandoeste se corta imaginariamente con una superficieS, es el vector de fuerzas

1Esta aproximacion de hecho ignora el efecto de fuerzas volumetricas entre ambaspartes, que en la naturaleza son muy debiles.


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P

t

tu

tu

n

Figura 2.2: El vector tension en un punto del interior de un cuerpo y ladescomposicion en sus componentes normal y tangencial.

por unidad de superficie que el resto del cuerpo realiza sobre este punto ysuperficie.

Como el vector tension esta siempre definido sobre una superficie denormal n, se definen su proyeccion sobre la normal tn y sobre la superficiemisma t de la manera estandar:

tn= (t

n)n , t

n=t

tn . (2.4)

Se definen las componentes intrnsecas de la tension definida sobreuna superficie de normal ncomo

n= t n , || = |tn| =

|t|2 2n . (2.5)Notese que la componente normal n tiene signo, pues es una proyeccion,pero que la componente tangencial || siempre es positiva, o nula porque esla norma de un vector.

En principio, el vector t de tension en un cuerpo depende del punto Psobre el que se evalue y de la superficie que haya cortado (imaginariamente)

dicho cuerpo. Con objeto de simplificar las ecuaciones de la mec anica desolidos deformables Cauchy propuso la siguiente condicion, que ha pasadoha llamarse el principio de Cauchy: el vector t en un punto P quepertenece a una superficie interna solo depende de P y de la normal n adicha superficie en P, matematicamente:

t= t(P, n) . (2.6)

No hace muchos anos se demostro que esta hipotesis no es necesaria, sinoque se puede demostrar que as ocurre siempre, y este resultado se conocecomo el teorema de Noll, su descubridor.


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Figura 2.3: Augustin-Louis Cauchy (17891857)

2.4. El tensor de tensiones

El resultado fundamental del analisis del equilibrio en cuerpos deforma-bles se debe al propio Cauchy y se conoce como el teorema de Cauchy,pues tiene demostracion.

Teorema 2.4.1 (Teorema de Cauchy). En un cuerpo deformable en equili-brio existe un campo de tensores= (P) tal que el campo de tensiones y

el de fuerzas de superficie se pueden expresar como

t(P, n) =(P)Tn , SiP t(P) =(P)Tn , SiP t

(2.7)

El tensor se conoce como el tensor de tensiones.

La razon por la que este resultado es tan importante es que simplifica ladependencia funcional de la tension t en cualquier punto interior del cuerpoy sobre cualquier superficie. De ser una dependencia no lineal t = t(P, n),esta pasa a ser lineal en la normal n y esto tiene unas consecuencias enormes,no solo desde el punto de vista de calculo, sino tambien en la obtencion de

las ecuaciones de equilibrio.En una base cualquiera B= {e1, e2, e3}, y en particular en la base carte-

siana Bc= {i,j, k}, el teorema de Cauchy se puede expresar en componentes

t1t2t3

B

=

11 21 3112 22 32

13 23 33

B

n1n2n3

B

,

txtytz

Bc

=

xx yx zxxy yy zy

xz yz zz

Bc

nxnynz

Bc

.

(2.8)


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Aunque la expresion del tensor de tensiones cambia segun la base, la ex-

presion (2.7) es validaen cualquier sistema de coordenadas. Esta formula esuna expresion intrnseca, ya que el teorema de Cauchy no hace referencia aningun observador ni sistema de coordenadas.

Observaciones:

a) Las dimensiones del tensor de tensiones son de F/L2. Habitualmenteen ingeniera se emplean los MPa.

b) El tensor de tensiones admite la siguiente descomposicion:

=

p1 + s, siendo p =

1

3

tr(), s= +p1 . (2.9)

El escalarp es la presion asociada al tensor y s es la tension desvia-dora.

c) Cuando conocemos el campo de tensores , conocemos todo el estadotensional del cuerpo, incluyendo las tensiones en el contorno.

d) El campo de tensioneses unico.

e) Cuando el campo de tensores no depende del punto, sino que es cons-tante, se dice que el estado tensional es homogeneo.

Demostracion. La demostracion del teorema de Cauchy emplea los argu-mentos propuestos por el mismo Cauchy, usando el llamado tetrahedro deCauchy.

Sea un tetraedro diferencial recto centrado en el punto P , con unode sus vertices coincidente con el centro de un sistema de coordenadas debaseB= {e1, e2, e3}. La cara opuesta al origen del sistema de coordenadastiene area dAy normal n = n1e1+ n2e2+ n3e3. Las otras tres caras tienenareas

dA1= n1dA , dA2= n2dA , dA3= n3dA . (2.10)

Llamando t a la tension sobre el area dA y t1, t2, t3 a las tensiones sobrelas otras tres caras se tiene que

t= t(P, n), t1 = t(P, e1), t2= t(P, e2), t3= t(P, e3), (2.11)

y por tanto el equilibrio de fuerzas se expresa como:

t(P, n) dA + t(P, e1)n1dA + t(P, e2)n2dA + t(P, e3)n3dA+f(P) dV = 0

.(2.12)


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Como las fuerzas volumetricas multiplican a un infinitesimo de orden supe-

rior, estas se pueden despreciar en la suma anterior. Para continuar, toma-mos el lmite en la ecuacion anterior cuando n e1 para obtener

t(P, e1) = t(P, e1) . (2.13)Como este resultado es valido para cualquier base y vector e1 se concluyeque

t(P, n) = t(P, n), (2.14)resultado conocido como el corolario de Cauchy. Utilizando este resul-tado en la ecuacion (2.12) obtenemos

t(P, n) =t(P, e1)n1+ t(P, e2)n2+ t(P, e3)n3 . (2.15)

Esta relacion expresa que la dependencia del vector t en la normal n eslinealy por lo tanto existe un tensor que denominamos T tal que

t(P, n) =T(P)n, (2.16)

y cuya expresion, a partir de la relacion (2.15), ha de ser

T(P) =t(P, e1) e1+ t(P, e2) e2+ t(P, e3) e3 . (2.17)Si la normaln coincide con una normal a la superfice exterior del cuerpo

concluimos quet(P) =T(P)n . (2.18)

x

y

z

x

y

z

Figura 2.4: Paraleleppedo del ejemplo2.4.2

Ejemplo 2.4.2. El paraleleppedo de la figura 2.4 esta sometido a unestado tensional que, en el sistema cartesiano indicado (con unidades demetros), se representa con la matriz

[] =

xy y2 xzy2 xz+ yz 0

xz 0 z2

MPa. (2.19)


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Calcular la tension normal y tangencial sobre el plano de la derecha (que

pasa por los tres vertices del paraleleppedo) en su punto medio (DatosLx = 4 m, Ly = 5 m, Lz = 3 m).

Consideramos tres vertices del paraleleppedo por los que pasa el planode la figura de la derecha. Sus vectores de posicion son rA= 4i, rB = 5j yrC= 3k. El vector unitario normal al plano de la figura es

n= (rB rA) (rC rA)|(rB rA) (rC rA)| =

1769

(15i + 12j+ 20k) . (2.20)

El punto medio de la cara inclinada del tetraedro irregular es es P (43 , 53 , 1)m y la tension en P sobre el plano es:

{t(P, n)} = 209 25/4259 4325

9 3 043 0 1

1

769

151220

= 1769

280/323340

MPa.

(2.21)Las componentes intrnsecas de este vector son:

n= t(P, n) n= 4,07 MPa , || =

|t|2 2n= 2,16 MPa . (2.22)

2.4.1. Interpretacion fsica de las componentes del tensor de

tensiones

Cada una de las componentes de en una base tiene un significado espe-cial y en ingeniera reciben nombres que hacen referencia a su direccion, comoveremos a continuacion. Si escogemos una base cualquieraB= {e1, e2, e3},el vector tension en un punto P que actua sobre una superfice de nor-mal ei que pasa por dicho punto es ti =

Tei. La tension normal a estasuperficie es por tanto

ii = ti ei (2.23)(no hay una suma en los subndices repetidos) y las tensiones tangencia-les o cortantes

a esta superficie son por tanto

ij =ej Tei con i =j . (2.24)

En general, la componente ij es el valor de la tension que actua sobre unasuperficie de normal ei, en direccion ej, y cuando i= j , a veces se empleala notacion ij =ij.

Lo anterior aplica tambien a las componentes de en la base cartesianaBc= {i,j, k}. En esta tenemos las tres tensiones normales

xx= i Ti , yy =j Tj , zz =k Tk , (2.25)


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j

k

i

P

S

N

EO

D

A

t(S,k)

t(N, k)

t(E,j)

t(O,j)

t(D, i)

t(A,i)

P

S

N

EO

D

A

yy(E)

yz(E)

yx(E)

yy(O)

yz(O)

yx(O)

zz(N)

zy(N)

zx(N)

zz(S)

zy(S)

zx(S)

Figura 2.5: Vectores tension y sus componentes sobre un cubo diferencial(se omiten las componentes de los vectores sobre los puntos A y D).


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y las tensiones tangenciales

xy =xy =j Ti, xz =xz =k Ti, yx = yx = j Ti , . . .(2.26)

En la figura2.5se pueden apreciar algunas de las componentes del tensorde tension sobre un cubo diferencial

2.5. Ecuaciones de equilibrio

En esta seccion se obtienen las ecuaciones que expresan que un cuerpodeformable esta en equilibrio.

2.5.1. Principio fundamental

De la misma manera que Newton establecion en su segunda ley las con-diciones necesarias y suficientes para el equilibrio de una partcula, y queluego se extienden al caso de los solidos rgidos anadiendo la condicion delequilibrio de momentos, existen un principio fundamental que generaliza losdos anteriores al caso de los cuerpos deformables. Como tal principio no esdemostrable, pero es fundamental pues en el se basa el estudio del equilibriode solidos, fluidos y estructuras deformables.

Elprincipio fundamental de la estatica de los cuerpos deforma-bles establece que toda regionRcontenida o igual a un cuerpo deformable esta en equilibrio estatico. De forma matematica:

RfdV +

R\

t dA +

R

t dA= 0 , para todaR (2.27)

Mas aun, para que el equilibrio estatico sea completo, el momento resul-tante de todas las fuerzas que actuan sobreR tambien ha de ser nulo, aspues, para un sistema de referencia arbitrario, podemos escribir:R

r fdV +R\

r t dA +R

r t dA= 0 , para todaR (2.28)

siendo r el vector de posicion de los puntos enR.Las expresiones (2.27) y (2.28) tienen forma integral y su forma diferen-

cial es mucho mas util por lo que la obtenemos a continuacion.

2.5.2. Equilibrio de fuerzas

Empleando el principio de Cauchy, las dos integrales de superficie de laexpresion (2.27) se pueden escribir como:

R\t dA +

R

t dA=

R

Tn dA . (2.29)


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Empleando el teorema de la divergencia sobre la region

R, esta integral de

superficie se puede expresar como:R

Tn dA=

R

div T dV . (2.30)

Sustituyendo este resultado en la expresion (2.27), se obtiene

R

div T+f

dV =0 . (2.31)

Pero esta ultima expresion es valida para cualquier region

Rdel cuerpo, y

eso unicamente es posible si el integrando es identicamente cero en todopunto, es decir

div T+f=0 . (2.32)

2.5.3. Equilibrio de momentos

La expresion diferencial correspondiente a la ecuacion (2.28) del equi-librio de momentos se obtiene utilizando el principio de Cauchy para laevaluacion de las fuerzas de superficie:

R

r fdV + R

r (Tn) dA= 0 . (2.33)

Usando la identidad (2.32) en la primera integral y utilizando el resultadodel Problema1.9 en la segunda, se obtiene

R

r ( div T) dV +R

2 axial[(T)a] dV +

R

r (div T) dV =0 ,(2.34)

siendo axial[] el operador que calcula el vector axial asociado al tensor an-tisimetrico (T)a. Cancelando los terminos con las divergencias resulta

R

axial[a] dV =0 , (2.35)

y como este resultado ha de ser valido para cualquier regionR, concluimosque el integrando se anula y por tanto la parte hemisimetrica de ha de sercero, es decir, es un tensor simetrico. Resumiendo, las dos ecuaciones deequilibrio de los cuerpos deformables se pueden escribir de forma diferencialcomo

div +f= 0 , = T . (2.36)


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2.6. Tensiones principales y direcciones principa-

les de tension

A partir del estado tensional de un cuerpo =(P) podemos calcularel vector tension t(P, n) que actua sobre cada unidad de superficie en elpuntoPcon normal n. La direccion del vector tension no se conoce a priori,y dependiendo del estado tensional, puede ser cualquiera.

En particular, surge el interrogante de si, dado la tensi on en un pun-to (P), se puede cortar el cuerpo por una superficie tal que el vector ten-sion t(P, n) resulta tener la misma direccion que la normal n. Para resolveresta cuestion, planteamos matematicamente:

(P)n= n. (2.37)La cuestion planteada es equivalente a encontrar los autovectores del ten-sor , que por ser simetrico, siempre son ortonormales. Los autovaloresasociados seran reales siempre. Los valores propios de se conocen comolas tensiones principales y los autovectores como las direcciones prin-cipales de tension.

Los tres autovectores son ortonormales y forman una base Bp = {vI, vII, vIII}denominada labase principalde tension en el puntoP. Las tensiones prin-cipales se suelen indicar comoI, II, IIIy, por convenio, salvo que se indiquelo contrario se escogeran siempre de forma que

I II III . (2.38)La base principal diagonaliza el tensor de tensiones. En otras palabras, lamatriz asociada a en la baseBp es diagonal de la forma

[]Bp =

I 0 00 II 0

0 0 III

Bp

. (2.39)

Las tensiones principales y las direcciones principales de tension son, engeneral, distintas en cada punto de un cuerpo deformable. Solo si el estadotensional es homogeneo todas ellas seran las mismas en todo el cuerpo.Proporcionan informacion muy util para comprender el estado tensional en

un punto, y no tiene sentido hablar de las tensiones principales de un cuerpoo de sus direcciones principales de tension.

Observaciones:

a) Cuando dos tensiones principales son identicas se dice que el tensorde tensiones es cilndrico. En este caso hay un direccion principal,la asociada a la tension principal distinta, y un plano de direccionesprincipales. Dos vectores unitarios cualesquiera, ortogonales entre s,forman, junto con la primera direccion principal, la base principal detensiones.


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2 4 6 8

n

1

1

2

3

4

5

2 4 6 8

n

1

1

2

3

4

5

2 4 6 8

n

1

1

2

3

4

5

2 4 6 8

n

1

1

2

3

4

5

Figura 2.6: Representacion grafica de puntos sobre el diagrama de Mohrobtenidos por muestreo aleatorio de normales (10, 100, 1000 y 10000 puntos).

b) Si las tres tensiones principales son iguales, se dice que el tensor de

tensiones esesferico

. Cualquier vector es una direccion principal detension y cualquier base es una base principal.

2.7. Representacion grafica de un tensor de ten-

siones

Como un tensor (simetrico) es un objeto difcil de interpretar se hanpropuesto varias representaciones graficas que proporcionan algo de infor-macion sobre el mismo y permite una evaluacion cualitativa sus propiedades.La representacion mas util en mecanica de solidos es el llamado diagrama

de Mohrque representa graficamente en un diagrama cartesiano todos losposibles valores de las componentes intrnsecas de tension asociadas al ten-sor de tensiones en un punto. En realidad, se puede emplear el diagramade Mohr para representar graficamente las propiedades de cualquier tensorsimetrico, por ejemplo, el tensor de inercia.

La forma de construir el diagrama de Mohr sera la siguiente. Dadoun tensor simetrico , escogemos un vector unitario cualquiera n1. El vec-tor tension cuando el cuerpo se corta con una superficie de normal n(1) es

t(1) = n(1), cuyas tensiones intrnsecas son (1)n y||(1). En un diagrama

cartesiano se puede dibujar el punto de coordenadas ((1)n , ||(1)). Si ahora


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n

||

IIIIII

CI

CII

CIII

Figura 2.7: Diagrama de Mohr de un estado tensional.

escogemos un vector unitario distinto n(2) podemos, por el mismo razona-

miento, calcular las tensiones intrnsecas (2)n y||(2) y dibujarlas tambien

en el mismo diagrama cartesiano sobre el punto de coordenadas ((2)n , ||(2)).

Este proceso se puede repetir indefinidamente seleccionando siempre vecto-res unitarios y marcando en el diagrama cartesiano las tensiones intrnsecasresultantes. El resultado de este proceso se puede apreciar en la secuenciade figuras2.6, cuyo lmite es una superficie acotada por tres crculos comolos dibujados en la figura 2.7.

La demostracion de que la superficie de posibles componentes intrnsecases la indicada en la figura 2.7es la siguiente. En primer lugar, como|| esno negativo, la superficie ha de estar siempre en la parte por encima del ejede abcisas. Ademas, como n y|| son funciones continuas de y de n, lasuperficie ha de ser conexa. Mas aun, como hay tres tensiones principalesunicamente, la superficie intersecta el eje de abcisas unicamente en trespuntos, (i, 0), i= I, II, III.

Para continuar, expresamos el tensor en su base principal y escogemosvectores normales n que, tambien expresados en la base principal, son dela forma n = cos vI+ cos vII+ cos vIII. Los angulos , , son losformados por ny cada una de las direcciones principales. El vector tension

expresado en esta base es t= Icos vI+ IIcos vII+IIIcos vIII y portanto sus componentes intrnsecas son de la forma:

n=

Icos IIcos IIIcos

cos cos cos

=Icos2 + IIcos2 + IIIcos2 ,

||2 =I2 cos2 + II2 cos2 + III2 cos2 (Icos2 + IIcos2 + IIIcos2 )2,

(2.40)


46/226


con la restriccion

1 = cos2 + cos2 + cos2 . (2.41)

Si eliminamos cos de la restriccion, podemos interpretar (2.40) como lasecuaciones parametricas de una superficie en el plano, con parametros (, ).

Para continuar definimos [0, /2] el angulo que satisface cos =| cos | y analogamente y , limitandones a partir de ahora a estudiarel diagrama de Mohr para vectores normales unitarios de la forma n =cos vI+ cos vII+ cos vIII. Si estudiamos el caso lmite, por ejemplo,= /2, es decir el lugar geometrico en el plano (n, ||) correspondiente aaquellos planos de normal perpendicular avIII, obtenemos a partir de (2.43)que

cos2

= sin2

y sin2

= cos2

(2.42)y, por tanto,

n= Icos2 + IIsin

2

= I

2(cos2 + 1 sin2 ) + II

2 (sin2 + 1 cos2 )

= I+ II

2 +

I II2

cos2,

||2 =I2 cos2 + IIcos2 (Icos2 + IIcos2 )2=I

2 sin2 cos2 + II2 sin2 cos2 2IIIsin2 cos2

= 1

4 (I II)2 sin2 2.

(2.43)

Interpretamos que una parte del contorno de la superficie que buscamos esun arco de circunferencia centrado en ( I+II2 , 0) y con radio

III2 . Esta

semicircunferencia la denominamos CIII, el lugar geometrico de los compo-nentes intrnsecas de tension en planos cuya normal es perpendicular a vIII.Repitiendo el mismo argumento, pero escogiendo planos cuyas normales seanperpendiculares a vI y avIIobtenemos que el contorno de la region admisi-ble es la union deCIII con otras dos semicircunferencias que llamamosCI yCIIcuyas propiedades son analogas a las de CIII. Estas tres circunferenciasestan indicadas en la figura 2.7.

De esta construccion se sigue que dado el diagrama de Mohr correspon-diente al estado tensional en un punto, y considerando un plano que cortaal solido pasando por dicho punto y con normal n = cos vI+ cosvII+cos vIII, las componentes intrnsecas del vector tension se representan el elplano (n, ||) en un punto que debe de estar dentro de la superficie delimi-tada por CI, CII y CIII.

Mas aun, el diagrama de Mohr permite la construccion inversa, aunqueesta no la demostramos. Dado un punto A dentro de la region comprendi-da entre las tres circunferencias de Mohr, es posible determinar de formagrafica el valor de , , , los angulos que forman la normal al plano cuyas


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IIIIII

t

A

|

|

max

n

||

Figura 2.8: Representacion grafica del estado tensional sobre un plano.

componentes intrnsecas se corresponden con el puntoA. En la figura2.9 seindica la construccion geometrica.

Observaciones:

a) El diagrama de Mohr no permite distinguir las componentes intrnsecasde los vectores tension correspondientes a normales que forman angulosmayores de/2 con los ejes principales. En terminos geometricos, cadapunto del diagrama de Mohr representa las componentes intrnsecas

de tension en ocho planos, cuyas normales son

n= ( cos , cos, cos ). (2.44)

Dado un punto del diagrama, tan solo podemos determinar grafica-mente el valor de los tres angulos ,, , pero no el valor preciso delos signos en la normal.

b) El diagrama de Mohr de un estado tensional cilndrico es simplementeuna semicircunferencia que corta al eje horizontal en I, III. Si el es-tado tensional es esferico, el diagrama de Mohr degenera en un puntosobre el eje horinzontal de coordenada I=II=III.

c) Los estados tensiones de planos cuya normal es perpendicular la direc-cion principalvI se corresponden con los puntos deCI (analogamente,para CII y CIII).

d) La mayor tension cortante||max en un punto se corresponde con elradio de la mayor circunferencia de Mohr rII = (III I)/2. Ver lafigura2.8.

e) El modulo del vectort correspondiente a un plano cuya representacionen el diagrama de Mohr es el punto A, el la distancia del centro de


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n

||

IIIIII

CI

CII

CIII

A

II+III2

n

||

IIIIII

CI

CII

CIII

A

I+III2

n

||

IIIIII

CI

CII

CIII

A

I+II2

Figura 2.9: Obtencion grafica de los angulos , , en el diagrama de Mohr


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coordenadas a dicho punto (ver figura 2.8). Ademas, el angulo que

forma el vector t y la normal al plano es .

Ejemplo 2.7.1. El estado tensional en un punto de un solido deformabletiene una expresion matricial respecto al sistema de coordadas x,y , z que es

[] =

1

3 0

3 1 00 0 1

MPa.

Se pide:

a) Determinar las tensiones principales y dibujar el diagrama de Mohr

del estado tensional.

b) Calcular la tension tangencial maxima en el punto e indicar el anguloque forma la normal del plano correspondiente con los tres ejes prin-cipales de tension.

c) Calcular el angulo que forma el eje x con cada una de las direccionesprincipales de tension.

1) Los autovalores de son las races del polinomio caracterstico

(1 ) ((1 )(1 ) 3) = 0,

es decir I= 2 MPa, II= 1 MPa, III= 2 MPa.2) La tension tangencial maxima es el radio del crculo de Mohr mayor, es

decirmax= 2 MPa. En la figura se calculan graficamente los angulos de lanormal al plano con mayor tension tangencial respecto de los ejes principales(= 45o, = 90o, = 45o).

n (MPa)

||(MPa)

-2 21

max= 2

= 45= 45

= 90

3) El eje x es normal al un plano sobre el cual actua una tension normaln = x =1 MPa y una tension tangencial de modulo|| =|xy| =

3

MPa. Dibujando este punto sobre el diagrama de Mohr encontramos losangulos que forma el eje x con las direcciones principales ( = 60o, =90o, = 30o).


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n (MPa)

|| (MPa)

-2 21

= 60= 30

= 90

Problemas

2.1. Razonar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Las tensiones principales en un punto de un s olido son I= 8 MPa,II = 0 MPa, III =5 MPa. Hay algun plano tal que la tensionnormal y tangencial en el mismo valgan n = 2 MPa y = 3 MPa?y cuando n= 5 MPa y = 1 MPa?

b) Un solido posee un estado tensional esferico con I = II = III = p.Su diagrama de Mohr corresponde a tres crculos identicos de centroen el origen y radio p.

c) Un solido deformable cuyo tensor de tensiones sea el mismo en todopunto no puede estar sometido a ninguna fuerza volumetrica.

d) Si tomamos g = 10 m/s2,

1 MPa = 1kp/cm2

e) La unica fuerza volumetrica que puede actuar sobre un cuerpo es elpeso.

2.2. Un solido deformable en equilibrio se encuentra sometido a un campo de

tensiones cuya expresion matricial, en un sistema cartesiano de coordenadases:

[] =

3x2 2xy

2y2

yx x2 (y2 + x2)

zx zy (z2 + xz)

a) Cuanto valen x, zx y zy?

b) Cuales son las dimensiones de ?

c) Cual es el campo de fuerzas volumetricas que actua sobre el cuerpo?


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F3

F3

F2

F2

F1

F1

ba c

x y

z

Figura 2.10:

d) Cual es la tension que se aplica desde el exterior en un punto dela superficie (x,y ,z) = ( 1, 1, 2) m en el que la normal tiene valorn= 1

13(2i + 3j). Cuales s

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