MECÁNICA DE SÓLIDOS ICIV - 1007

(APUNTES)

Nicolás Fuentes D.

Septiembre, 2013

Mecánica de Sólidos

Escuela de Ingeniería Civil – Universidad San Sebastián

2

Índice

Índice..................................................................................................................................................2

Introducción a la mecánica de los cuerpos deformados ....................................................................3

Relación Tracción – Compresión ........................................................................................................5

Módulo de Elasticidad (Young) ...........................................................................................................5

Análisis de Estructuras Hiperestáticas ................................................................................................8

Estado de Tensiones ...........................................................................................................................9

Estado Plano de Tensiones ...............................................................................................................10

Equilibrio de un Elemento Diferencial ..............................................................................................11

Componentes de Tensión Asociadas a un Plano Arbitrario en un Estado Plano de Tensiones .........12

Circulo de Mohr ...............................................................................................................................14

Referencias y Bibliografía .................................................................................................................17

Mecánica de Sólidos

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Introducción a la mecánica de los cuerpos deformados

En el desarrollo del análisis podemos distinguir tres etapas básicas:

1. Estudio de fuerzas y condiciones de equilibrio

2. Estudio de las deformaciones y compatibilidad geométrica

3. Aplicación de las relaciones Tensión-Deformación

Ejemplo

Solución:

(I) Estudio de las fuerzas – Equilibrio

∑ + – = 0

(1)

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(II) Estudio de deformaciones

(2)

(III) Estudio de la relación Tensión – Deformación

El resorte del presente ejemplo presenta una relación de proporcionalidad directa y lineal,

es decir, la fuerza aplicada es proporcional a la deformación.

(3)

Así tenemos las siguientes incognitas:

Analizando las ecuaciones obtenidas ( (1), (2) y (3) ) y asociandolas, podemos obtener:

De (2) y (3)

Finalmente

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Relación Tracción – Compresión Cuando hablamos sobre los conceptos de Tracción o Compresión se hace referencia a dos

tipos de esfuerzos analizados en análisis mecánico de diferentes materiales. Estos esfuerzos

están directamente relacionados con la forma en que el elemento está siendo sometido, es

decir, si los esfuerzos están dirigidos desde el elemento hacia afuera en la dirección de una

de sus caras o componentes decimos que es un esfuerzo de Tracción.

De forma contraria podemos hablar de un esfuerzo de Compresión, esto ocurre cuando el

esfuerzo está siendo realizado sobre el elemento en alguna de sus caras pero orientado hacia

el centro de este.

Módulo de Elasticidad (Young)

“El módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal es un parámetro que caracteriza

el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una

fuerza.

Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para

una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo

siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor

que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud.

Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos

materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite

elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de tracción del material.

Además de este módulo de elasticidad longitudinal, puede definirse el módulo de

elasticidad transversal de un material.” [1]

( )

( )

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Ejemplo

Calcular el valor de C de modo que la viga permanezca horizontal

Solución:

(I) Estudio de las fuerzas – Equilibrio

∑

∑ ( )

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(II) Estudio de deformaciones

Tenemos además

(III) Estudio de la relación Tensión - Deformación

Aquí nos damos la relación

Introduciendo estos valores en

Y comprobamos si se cumple la relación

Si no es así, volvemos a intentar con otros valores hasta lograr una aproximación aceptable

en la ecuación anterior.

Sean

los valores asociados

Por lo tanto,

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Análisis de Estructuras Hiperestáticas

Sabiendo que

Solución:

(I) Estudio de las fuerzas – Equilibrio

∑ (1)

(II) Estudio de deformaciones

(2)

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(III) Estudio de la relación Tensión – Deformación

Acero:

Bronce:

(3)

Así y con estas relaciones podemos obtener de (2) y (3)

( )

Ahora de (1) y de (4)

Estado de Tensiones

Analizaremos el estado de tensiones en un punto (o) de un cuerpo indeformable, para ello

seguimos el procedimiento de análisis visto en los pasos anteriores

Vector Tensión

(La intensidad de la fuerza o tensión actúa en un punto plano con normal n)

4 características del vector tensión

1. 4 unidades Fuerza/Área

2. Se define en un punto (O) de un plano imaginario, divide al cuerpo en dos partes

3. Acción de una parte del cuerpo sobre la otra

4. Posee dirección libre

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Para la manipulación del vector tensión usaremos la siguiente convención de signos:

(+) Cuando la normal coincida con la dirección del vector

(-) Cuando ocurra el caso contrario

Es decir,

Tensión positiva:

Es la componente de fuerza orientada positivamente, actúa en una cara positiva, (o bien,

componente de la fuerza orientada negativamente, actúa en una cara negativa)

Podemos repetir el análisis para los planos paralelos a los otros planos coordenados, asi

obtenemos para el punto O 9 componentes de tensión:

Estado Plano de Tensiones

Consideremos tensiones actuando solo en un plano, así solo tendremos:

luego,

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Equilibrio de un Elemento Diferencial

[1]

Analizando la figura podemos llegar a las siguientes conclusiones:

En el límite

Luego,

En un estado plano de tensiones las componentes de corte son iguales en magnitud.

Este resultado se puede demostrar que es igualmente valido para cualquier estado de

tensiones en el punto O.

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Luego,

Así también se tiene

Componentes de Tensión Asociadas a un Plano Arbitrario en un

Estado Plano de Tensiones

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Asumamos conocidos el estado de tensiones plano en O asociado a un sistema cartesiano

xy ( ). Buscamos conocer las tensiones asociadas a un plano arbitrario con normal

x’

Equilibrio:

∑ ( )

( )

∑ ( ) – ( ) ( )

∑ ( ) – ( ) ( )

Simplificando

En términos de

∑

( ) ( )

( ) ( )

∑

( ) ( )

( ) ( )

Como

MP = MN

NP = MN

Las últimas ecuaciones nos conducen a:

(*)

( ) (

) (*)

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Teniendo en cuenta de que y

quedan totalmente condicionados por

haciendo en vez de , obtenemos:

(*)

Circulo de Mohr

“El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar

gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de

inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de

una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo

cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta”

Las ultimas ecuaciones (*) pueden escribirse usando las relaciones:

( )

( )

Luego,

(

)

(

)

(

)

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Convenciones para graficar

positivo: Según eje

negativo: Dirección contraria al eje de

positivo: Se dibuja hacia abajo en x, y se dibuja hacia arriba en y

negativo: Lo contrario a lo anterior

Ejemplo:

Grafica de un Circulo de Mohr

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Construcción del Circulo de Mohr

Para poder realizar la construcción de un Círculo de Mohr debemos realizar el cálculo de

sus elementos constitutivos previamente, esto se lleva a cabo obteniendo los valores de:

1. Localización de puntos coordenados ( ) ( )

2. Calculo de abscisa, debemos encontrar el centro del circulo:

3. Calculo del radio del circulo: √[(

)

]

4. Calculamos las tensiones principales:

5. Localizamos el diámetro x’-y’ con respecto al diámetro x-y, rotando este último en

el mismo sentido para llegar al eje x’-y’ en una magnitud de 2

6. Leemos del circulo los valores de

Ejemplo ilustrativo

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Referencias y Bibliografía

[1] Muelas, Santiago. Elasticidad Lineal. En: Ecuaciones de equilibrio [En línea].

[Consultado el 05 Sep. 2013]. Disponible en

http://w3.mecanica.upm.es/~smuelas/elasticidad/node7.html

Timoshenko S, Resistencia de Materiales, Espasa – Calpe S.A, España, 1957