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Mecánica de Sólidos
Dr. Antonio Balvantín
Repaso...
Repaso...
Repaso...
• The structure is designed to support a 30 kN load
• Perform a static analysis to determine the internal force in each structural member and the reaction forces at the supports
• The structure consists of a boom and rod joined by pins (zero moment connections) at the junctions and supports
Repaso...
• Structure is detached from supports and
the loads and reaction forces are
indicated
• Ay and Cy can not be determined from
these equations
30kN
30kN 00
40kN
0
40kN
30kN 0.8m0.6m0
Ax
yy
yy
xx
xx
x
xC
A C
Ay CF
AC
CF
A
AM
• Conditions for static equilibrium:
Repaso...
• In addition to the complete structure, each
component must satisfy the conditions for
static equilibrium
• Results:
A 40kN Cx 40kN Cy 30kN
Reaction forces are directed along boom
and rod
0
0.8m0
Ay
yB AM
• Consider a free-body diagram for the boom:
Cy 30kN
substitute into the structure equilibrium
equation
Introducción a la Mécanica de Materiales
La mecánica de materiales es una rama de la mecánica aplicada que trata del
comportamiento de los cuerpos solidos sometidos a diversas cargas.
El objetivo principal de la mecánica de materiales es
determinar los esfuerzos, las deformaciones unitarias, los
desplazamientos en estructuras y sus componentes debidas
a las cargas que actúan sobre ellas.
Otros nombres para este campo de estudio son
resistencia de materiales y mecánica de los cuerpos
deformables.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Los conceptos fundamentales en mecánica de materiales
son el esfuerzo y la deformación unitaria.
Una barra prismática es un elemento estructural recto que
tiene la misma sección transversal en toda su longitud
una fuerza axial es una carga dirigida a lo largo del eje del
elemento, lo que resulta en esfuerzos de tensión o de
compresión en la barra.
El esfuerzo tiene unidades de fuerza por unidad de área y
se denota por la letra griega (sigma).
Esfuerzo Normal
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Los esfuerzos () que actúan sobre una superficie
plana pueden ser uniformes en toda el área o
bien variar en intensidad de un punto a otro.
Supongamos que los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal de la figura
mostrada están distribuidos uniformemente sobre el área. Entonces la resultante de estos
esfuerzos debe ser igual a la magnitud del esfuerzo (P) por el área de la sección
transversal (A) de la barra.
Esta ecuación expresa la intensidad de un esfuerzo
uniforme en una barra prismática con sección
transversal arbitraria cargada axialmente.
(Ecuación 1.1)
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Ejemplo N° 1:
La barra mostrada tiene un diametro d = 2.0 pulg.,
y la carga P tiene una magitud de 6 Kips.
Determine el esfuerzo en la barra.
Aplicando la ecación 1.1
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Ejemplo N° 1:
La barra mostrada tiene un diametro d = 2.0 pulg.,
y la carga P tiene una magitud de 6 Kips.
Determine el esfuerzo en la barra.
Aplicando la ecación 1.1
1.91
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Cuando la barra es estirada por las fuerzas P, los
esfuerzos son esfuerzos de tensión o tracción.
Si se invierte la dirección de las fuerzas, la barra se
comprime y tenemos esfuerzos de compresión.
Puesto que los esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la superficie cortada,
se denominan esfuerzos normales. Y, por tanto, los esfuerzos normales pueden ser de
tension o de compresion.
Otro tipo de esfuerzo, denominado esfuerzo cortante, es
aquel que actúa paralelo a la superficie.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Deformación Unitaria NormalUna barra recta cambiará su longitud al cargarla
axialmente, haciéndose mas larga en tensión y mas
corta en compresión.
El alargamiento δ de esta barra es el resultado acumulativo del alargamiento de todos los
elementos del material en todo el volumen de la barra.
El alargamiento de un
segmento es igual a su
longitud dividida entre la
longitud total L y multiplicada
por el alargamiento δ.
Esta cantidad se denomina alargamiento por unidad
de longitud, o deformación unitaria y se denota con la
letra griega (epsilon).Cantidad
Adimensional.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Ejemplo N° 2:
Un poste corto, construido con un tubo circular hueco de aluminio, soporta
una carga de compresión de 26 kips. Los diámetros interior y exterior del
tubo son d1 = 4.0 in y d2 = 4.5 in, respectivamente, y su longitud es 16 in. El
acortamiento del poste debido a la carga es de 0.012 in.
Determine el esfuerzo de compresión y la deformación unitaria en el poste.(No tenga en cuenta el peso del poste y suponga que este no se pandeacon la carga.)
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Solución:
Suponiendo que la carga de compresión actúa en el centro del tubo
hueco, podemos emplear la ecuación 1.1 para calcular esfuerzo normal. La
fuerza P = 26 k o 26,000 lb y el área A de la sección transversal es:
4 4 4.5 4.0 3.338
El esfuerzo de compresión en el poste es:
La deformacion unitaria de compresion es:
26,0003.338 7790
0.01216 0.00075
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Propiedad Mecánica de los Materiales
En general, la única forma para determinar como se comportan los materiales cuando se
someten a cargas es realizar experimentos en el laboratorio.
El procedimiento usual es colocar muestras
pequeñas del material en maquinas de ensayo,
aplicar las cargas y luego medir las
deformaciones resultantes (como cambios de
longitud y diámetro).
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Diagrama de esfuerzo-deformación unitariaLos diagramas de esfuerzo-deformación unitaria fueron creados por Jacob Bernoulli
(1654-1705) y J. V. Poncelet (1788-1867).
El diagrama esfuerzo-deformación
unitaria muestra la característica del
material particular que se ensaya y
contiene información importante sobre
sus propiedades mecánicas y el tipo
de comportamiento.
Acero Común en Tensión
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Materiales DuctilesSon aquellos materiales que sufren deformaciones unitarias permanentes.
La ductilidad es la propiedad que permite que una barra de acero se doble para formar un
arco circular o se trefile para formar un alambre sin romperse.
Una característica importante de los materiales dúctiles es que
presentan una distorsión visible si las cargas son demasiado
grandes, proporcionando así una oportunidad para tomar una
acción correctiva antes de que ocurra la fractura.
Diagrama de esfuerzo-deformación unataria típico para una aleación
de auminio.
Los materiales que presentan comportamiento dúctil son
capaces de absorber grandes cantidades de energía de
deformación antes de la fractura.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Método de DesplazamientoCuando un material, no tiene un punto de fluencia bien determinado y, sin embargo,
sufre grandes deformaciones unitarias después de rebasar el límite de proporcionalidad,
se puede determinar un esfuerzo de fluencia arbitrario mediante el método de
desplazamiento. 1. Se traza una línea recta en el diagrama esfuerzo-deformación unitaria
paralela a la parte inicial lineal de la curva pero desplazada en cierta
deformación unitaria estándar, como 0.002 (o 0.2 por ciento).
2. La intersección de la línea desplazada y la curva esfuerzo-deformación
unitaria (punto A en la fi gura) define el esfuerzo de fluencia.
Como este esfuerzo se determina mediante una regla arbitraria y no es una
propiedad física inherente del material, se debe distinguir de un esfuerzo
verdadero de fluencia y referirse a el como esfuerzo de fluencia desplazado.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Compresión
Las curvas esfuerzo-deformación unitaria para materiales en compresión difieren de las
curvas de tensión.
En un ensayo de tensión, la muestra se estira, puede
ocurrir estricción y finalmente sucede la fractura.
Cuando el material se comprime, se abulta hacia fuera
en los lados y adopta una forma como de barril, debido
a que la fricción entre la muestra y las placas extremas
evita la expansión lateral.
Diagrama de esfuerzo-deformación unataria para el cobre en
compresión
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Elásticidad, Plasticidad y Termofluencia
Propiedad de un material, mediante
la cual regresa a sus dimensiones
originales durante la descarga, se
denomina elasticidad y se dice que el
propio material es elástico.
Cuando la carga se ha removido
por completo, pero en el material
permanece una deformación
unitaria residual o deformación
unitaria permanente,
representada por la línea OC.
De la deformación total OD desarrollada durante la carga
de O a B, la deformación unitaria CD se ha recuperado
elásticamente y la deformación unitaria OC permanece
como una deformación unitaria permanente.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Cuando suceden deformaciones unitarias grandes en un material dúctil cargado en la
región plástica, se dice que el material experimenta flujo plástico.
La característica de un material por la cual
experimenta deformaciones unitarias inelásticas,
mas allá de la deformación unitaria en el limite
elástico, se conoce como plasticidad. Por tanto,
en la curva esfuerzo-deformción unitaria
tenemos una región elástica seguida de una
región plástica.Diagrama de esfuerzo-deformación
unataria que ilustra un comportamiento elástico
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Carga Repetida de un Material
Si el material permanece dentro del rango elástico, se puede cargar, descargar y cargar de
nuevo sin cambiar significativamente su comportamiento.
Sin embargo, cuando esta cargado en el rango plástico, la
estructura interna del material se altera y cambian sus propiedades.
La nueva carga inicia en el punto C en el diagrama y continua hacia
arriba hasta el punto B, el punto en el cual comenzó la descarga
durante el primer ciclo de carga. Entonces el material sigue la curva
original de esfuerzo-deformación unitaria hacia el punto F.
Durante la segunda carga el material se comporta de una manera linealmente elástica de C a B,
donde la pendiente de la recta CB es igual que la pendiente de la tangente a la curva original de
carga, en el origen O.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Termofluencia
Cuando los materiales se cargan durante periodos largos, algunos de ellos desarrollan
deformaciones unitarias adicionales y se dice que presentan termofluencia.
Termofluencia en una barra sometida a una cara constante
Relajación del esfuerzo en un alambre sometido a una
deformación unitaria constante
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Un poste circular hueco ABC (consulte la fi gura) soporta una carga P1 = 1700
lb que actúa en su parte superior. Una segunda carga P2 esta distribuida
uniformemente alrededor de la placa de cubierta del poste en B. El diametro
y el espesor de las partes superior e inferior del poste son dAB = 1.25 in, tAB = 0.5
in, dBC = 2.25 in y tBC = 0.375 in, respectivamente.
(a) Calcule el esfuerzo normal AB en la parte superior del poste.
(b) Si se desea que la parte inferior del poste tenga el mismo esfuerzo de
compresión que la parte superior, cual será la magnitud de la carga P2?
(c) Si P1 permanece en 1700 lb y P2 ahora se fi ja en 2260 lb, que
espesor nuevo de BC resultara en el mismo esfuerzo de compresión en las dos
partes?
Ejemplo N° 3:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
A)
B)
C)
Solución:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Un carro que pesa 130 kN, cuando esta
completamente cargado, se jala
lentamente hacia arriba por una pista
inclinada mediante un cable de acero
(consulte la fi gura). El cable tiene un área
de sección transversal efectiva de 490 mm2
y el ángulo a de la inclinación es 30°.
Calcule el esfuerzo de tensión t en el cable.
Ejemplo N° 4:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
D.C.L.
Las ruedas no tienen fricción
R1 =R2 = 0
Tensión en el cable:
Sustitución de datos en la ecuación de esfuerzo:
Solución:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Ley de Hooke
Nombrada en honor del famoso científico ingles Robert Hooke (1635-1703), quien fue la
primera persona que investigo científicamente las propiedades elásticas de los
materiales y probo varios de ellos como metal, madera, piedra, hueso y tendones.
Hooke midió el alargamiento de alambres largos que soportaban pesos y observo que
los estiramientos “siempre mantienen las mismas proporciones entre si de acuerdo con
los pesos que los causaron”.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Cuando un material se comporta elásticamente y también presenta una relaciónlineal
entre el esfuerzo y la deformación unitaria se dice que es linealmente elástico.
Este tipo de comportamiento es muy importante en ingeniería por una razón obvia: al
diseñar estructuras y maquinas para que trabajen en esta región, evitamos
deformaciones permanentes debidas a la fluencia plástica.
Ecuación 1.2En donde es el esfuerzo axial, es la deformación
unitaria axial y E es una constante de
proporcionalidad conocida como módulo de
elasticidad del material.
Ley de Hooke:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Relación de PoissonCuando una barra prismática se somete a tensión, la elongación axial va acompañada de una
contracción lateral, es decir, contracción normal en la dirección de la carga aplicada.
La deformación unitaria lateral en cualquier punto en una
barra es proporcional a la deformación unitaria axial en el
mismo punto si el material es linealmente elástico. La relación
de esas deformaciones unitarias es una propiedad del
material conocida como relación de Poisson. Esta relación
adimensional, que en general se denota por la letra griega ν
(nu), se puede expresar mediante la ecuación:Nota: Siempre debemos tener en cuenta que solose aplican a una barra sometida a esfuerzo axial,es decir, una barra para la cual el único esfuerzoes el esfuerzo normal en la dirección axial.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Un tubo de acero con longitud L = 4.0 ft, diámetro exterior d2 = 6.0 in
y diámetro interior d1 = 4.5 in se comprime mediante una fuerza axial
P = 140 k.
El material tiene un modulo de elasticidad E = 30,000 ksi y una
relación de Poisson n = 0.30.
Determine las siguientes cantidades para el tubo: (a) su
acortamiento d, (b) la deformación unitaria lateral, (c) el aumento
Δd2 del diámetro exterior y el aumento Δd1 del diámetro interior y (d)
el aumento Δt en el espesor de la pared.
Ejemplo:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
El área A de la sección transversal y el esfuerzo
longitudinal s se determinan como sigue:
Como el esfuerzo es mucho menor que el esfuerzo
de fluencia, el material se comporta en forma
linealmente elástica y la deformación unitaria axial
se puede determinar a partir de la ley de Hooke:
Solución:
4 4 6 4.5 12.37
140 12.37 11.32 ó
11.3230,000 377.3 10
El signo de menos para la deformación unitaria indica que el tubo se acorta.
a) Conociendo la deformación unitaria axial,
ahora podemos determinar el cambio de
longitud del tubo.
ϵ 377.3 10 4.0 12 0.018
De nuevo el signo negativo indica un acortamiento del tubo.
b) La deformación unitaria lateral se obtiene de
la relación de Poisson.
vϵ 0.30 377.3 10 113.2 10
El signo positivo de indica un aumento de lasdimensiones laterales, como se esperaba para unesfuerzo de compresión.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
c) El aumento del diámetro exterior es igual a la deformación unitaria lateral por el diámetro:
∆ 113.2 10 6.0 0.000679
De manera similar, el aumento del diámetro interior es:
∆ 113.2 10 4.5 0.000509
d) El aumento del espesor de la pared se determina de la misma manera que el aumento de los
diámetros:
∆ 113.2 10 0.75 0.000085
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Una barra de acero de alta resistencia que se usa en una grua grande tiene un diametro d = 2.00 in.
El acero tiene un modulo de elasticidad E = 29 × 10^6 psi y una relación de Poisson ν = 0.29. Debido
a requisitos de holgura, el diámetro de la barra esta limitado a 2.001 in, cuando se comprime por
fuerzas axiales.
¿Cual es la carga máxima de compresión Pmax permitida?
Ejemplo:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteSolución:
Datos:
Deformación Unitaria Axial:
Deformación Unitaria Lateral:
Esfuerzo Axial:
Carga Máxima de compresión:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Esfuerzo Cortante
Es el esfuerzo que actúa de manera tangencial a la superficie del material.
La barra y la horquilla tienden
a cortar el perno, es decir,
pasar a través de el, y esta
tendencia es resistida por los
esfuerzos cortantes en el
perno.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Los pernos, pasadores y remaches crean esfuerzos en la superficie de apoyo o
superficie de contacto de los elementos que conectan.
Esfuerzos de Apoyo en conectores
La fuerza P representa la resultante de las fuerzas elementales
distribuidas en la superficie interior de un medio cilindro de
diámetro d y longitud t igual al espesor de la placa.
Como la distribución de estas fuerzas, y de los esfuerzos
correspondientes, es muy complicada, en la práctica se utiliza
un valor nominal promedio b para el esfuerzo, llamado
esfuerzo de apoyo.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
La barra de sujeción de acero que se muestra ha de
diseñarse para soportar una fuerza de tensión de
magnitud P = 120 kN cuando se asegure con pasadores
entre ménsulas dobles en A y B. La barra se fabricará de
placa de 20 mm de espesor. Para el grado de acero
que se usa, los esfuerzos máximos permisibles son:
, , . Diseñe la
barra de sujeción determinando los valores requeridos
para a) el diámetro d del pasador, b) la dimensión b en
cada extremo de la barra, c) la dimensión h de la barra.
Ejemplo:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteSolución
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Consideraciones de Diseño:
Un elemento importante que debe considerar un diseñador es cómo se comportará el
material que ha seleccionado cuando esté sometido a una carga.
El conocimiento de los esfuerzos lo emplean los
ingenieros como un apoyo a su tarea más
importante: el diseño de estructuras y máquinas que
puedan desempeñar una tarea específica en forma
segura y económica.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Determinación de la resistencia última del material:
Se le conoce como carga última del material, a la carga que hace que el material falle
y se denota como Pu.Debido a que la carga aplicada es centrada, puede
dividirse la carga última por el área transversal original de
la varilla para obtener el esfuerzo último normal o
resistencia última a la tensión del material usado.
Recuerde que, en el caso del corte puro, esta área es el área de sección transversal A del espécimen,
mientras que en corte doble es dos veces el área de sección transversal.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Carga Permisible y esfuerzo permisible. Factor de Seguridad:
La máxima carga que puede soportar a un elemento estructural o un componente de
maquinaria en condiciones normales de uso es considerablemente más pequeña que la
carga última. Esta carga más pequeña se conoce como la carga permisible y, en
ocasiones, como la carga de trabajo o carga de diseño.
. .Ú
Una definición alterna del factor de seguridad se basa en el uso de esfuerzos:
. .ú
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Selección de un Factor de Seguridad:
La selección del factor de seguridad que debe usarse en distintas aplicaciones es una
de las tareas más importantes de los ingenieros.
Si el factor de seguridad se elige demasiado pequeño, la posibilidad de falla se torna
inaceptablemente grande; por otra parte, si se elige demasiado grande, el resultado es
un diseño caro o no funcional.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Consideraciones para la selección de un Factor de Seguridad:
1. Variaciones que pueden ocurrir en las propiedades del elemento bajo
consideración. La composición, resistencia y dimensiones del elemento están sujetas a
pequeñas variaciones durante la manufactura. Además, las propiedades del material pueden
alterarse y, con ello, introducir esfuerzos residuales debido al calentamiento o deformación
que puedan ocurrir durante la manufactura, almacenamiento, transporte o construcción del
material.
2. Número de cargas que puedan esperarse durante la vida de la estructura o
máquina. Para la mayoría de los materiales el esfuerzo último disminuye al aumentar el
número de aplicaciones de carga. Este fenómeno se conoce como fatiga y, si se ignora,
puede provocar una falla repentina.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteConsideraciones para la selección de un Factor de Seguridad:
3. Tipo de cargas que se han planeado para el diseño, o que puedan ocurrir en el futuro.Muy pocas situaciones de carga se conocen con certeza. La mayoría de las cargas de diseño son
aproximaciones. Además, las alteraciones futuras o cambios en el uso pueden introducir cambios en la
carga real. Para cargas dinámicas, cíclicas o de impulso, se requieren mayores factores de seguridad.
4. Tipo de falla que pueda ocurrir. Los materiales frágiles comúnmente fallan de manera repentina,
sin indicación previa de que el colapso es inminente. Por otra parte, los materiales dúctiles, como el
acero estructural, con frecuencia sufren una sustancial deformación, llamada cedencia, antes de
fallar, dando así una advertencia de que existe la sobrecarga. Sin embargo, la mayoría de las fallas de
estabilidad o por pandeo son repentinas, sea frágil el material o no. Cuando existe la posibilidad de
falla repentina, debe emplearse un mayor factor de seguridad que cuando la falla es precedida por
señales obvias de advertencia.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteConsideraciones para la selección de un Factor de Seguridad:
5. Incertidumbre debida a los métodos de análisis. Todos los métodos de diseño se basan en
ciertas suposiciones simplificadoras que se traducen en que los esfuerzos calculados sean sólo
aproximaciones de los esfuerzos reales.
6. Deterioro que pueda ocurrir en el futuro por mantenimiento incorrecto o por causas
naturales inevitables. Un factor de seguridad mayor es necesario en localidades donde las
condiciones como la corrosión y la putrefacción son difíciles de controlar o hasta de descubrir.
7. Importancia de un elemento dado a la integridad de la estructura completa. Los refuerzos
y los elementos secundarios pueden diseñarse en muchos casos, con un factor de seguridad menor
que el empleado para los elementos principales.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteEjemplo:
Se aplican dos fuerzas a la ménsula BCD como se muestra
en la figura. a) Sabiendo que la varilla de control AB será
de acero con un esfuerzo normal último de 600 MPa,
determine el diámetro de la varilla utilizando un factor de
seguridad de 3.3. b) El perno en C será de un acero con
un esfuerzo último al corte de 350 MPa. Encuentre el
diámetro del perno C tomando en cuenta que el factor
de seguridad con respecto al corte también será de 3.3.
c) Halle el espesor requerido de los soportes de la ménsula
en C sabiendo que el esfuerzo permisible de apoyo del
acero utilizado es de 300 MPa.
Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteSolución:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteSolución:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteSolución:
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante
Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante