Mecánica de Materiales II: Análisis de Esfuerzos · PDF fileVeamos el caso...

Universidad Simón Bolívar

Mecánica de Materiales II:Análisis de Esfuerzos

Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar


• Introducción• Introducción

• Vector esfuerzo• Fuerzas de volumen• Convención de signos

• Vector esfuerzo• Fuerzas de volumen• Convención de signos

• Matriz de esfuerzos• Matriz de esfuerzos

• Teorema de cauchy• Teorema de cauchy

• Esfuerzos principales – Estado Triaxial• Circulo de Mohr – Método gráfico

• Esfuerzos principales – Estado Triaxial• Circulo de Mohr – Método gráfico

• Estado plano de esfuerzos• Circulo de Mohr - Reglas de correspondencia• Circulo de Mohr - Método gráfico

• Estado plano de esfuerzos• Circulo de Mohr - Reglas de correspondencia• Circulo de Mohr - Método gráfico

ContenidoContenido


Supongamos una barra sometida a carga axial únicamente

y

x z

Introducción Vector esfuerzo

Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy

Esfuerzos principales

Estado plano de esfuerzos


Con los planos utilizados y analizando solo un pequeño fragmentode la viga, podemos concluir que todos los puntos están sometidosa tracción

y

x z

σz

σz

Al hacer Zoom en el círculo señalado se tiene:


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




Supongamos ahora una barra apoyada en sus extremos y sometidaa una carga cortante.

y

x z


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




τyz

τzy

τ

τ

En este caso, para esos planos de corte aparecen esfuerzoscortantes

y

x z

σ

σ

ττ

Al hacer Zoom en el círculo señalado se tiene:

σz

σz

Los esfuerzos normales se identifican según la orientacióndel ejesobre el cual se producen

τyz

τzy

Los esfuerzos tangenciales se identifican según:• Orientación de la normal del plano sobre el cual actúan• Orientación del propio esfuerzo


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




Γ

M

Q2

Q1

Q3

Ω−

Ω+

q

Ω

Σ

Veamos el caso general:Hipótesis: El material es homogéneo y ocupa todo el volumen

• Fuerzas de superficie• Fuerzas de volumen

IntroducciónVector

esfuerzoMatriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




Ω+

ΓΩ−

M

Q2

Q1

Q3

q

∆F1

∆Fi

∆F2

ΣΣ

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




Ω+

M

Q2

Q1

∆F

z x

y

o

n

r

∆F1

∆Fi

∆F2

( )nrfT ˆ,=

El vector esfuerzo en unpunto va a depender:• De la posición y• Del plano que pasa pordicho punto

dA

Fd

A

FLimT

A=

∆∆=

→∆ 0

T

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




Σ

n

T

σn

τ

Augustine-Louis Cauchy (1789-1857)

Barré de Saint-Venant (1797-1886)

nTn ˆ⋅=σ

22ˆ nn TnT σστ −=⋅−=

El vector esfuerzo surge de la generalización delconcepto de presión en Mecánica de los fluidos (Cauchy,1822). Tal y como se presenta acá se debe al IngenieroSaint-Venant

El vector esfuerzo no esperpendicular al plano,por lo que se puededescomponer en:• Esfuerzo normal• Esfuerzo tangencial

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




Volvamos al caso de la barra sometida a carga axial únicamente yutilicemos un plano inclinado para seccionar la viga

y

x z

T

σn

τ

n

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




Γ

M

Q2

Q1

Q3

q

Ω

z x

y

o

r

P

∆V

∆F

dV

Fd

V

FLimV

=

∆∆=

→∆ 0f

( )dV

dmggm

dV

d

dV

Fd ⋅=⋅==f

g⋅= ρf

Son aquellas cuya magnitud es proporcional a la masacontenida en el volumen ocupado por el sólido

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy



Fuerzas de volumen


Planos:se consideran positivos, si su normal (saliente delelemento de volumen) apunta a la dirección positiva de uneje coordenado.

Esfuerzos normales: se considera positivo si es detracción y negativo si es de compresión.

Esfuerzos tangenciales:son positivos si, actuando en unplano positivo (o negativo), apunta en la dirección positiva(o negativa) de un eje coordenado. El caso contrario, sonnegativos

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy



Convención de signos


Γ

M

Q2

Q1

Q3

Ω−

q

Ω

Σ

Veamos de nuevo el caso general:

Ω+T(r,j)

z

x

y

T(r,k)

T(r,i)

Al aislar el cubo y definir un sistema de coordenadas en el origen, seobtiene el vector esfuerzo para cada cara


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




T(r,k)

T(r,j)T(r,i)

z

x

y

σy

τyz

τyx

σx

τxz

τxy

τzyτzx

σz

[ ]

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

στττστττσ

σyxxy ττ =

zxxz ττ =

yzzy ττ =

( )irT ˆ,

( )jrT ˆ,

( )krT ˆ,


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




γ

βαP

T(r,-k)

T(r,-j)

T(r,-i)

z

x

y

n T(r,n)

A

B

C( ) ( ) ( ) kCosjCosiCosn ˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅= γβα

( )( )( )

=γβα

Cos

Cos

Cos

n

( ) ( ) ( ) 1222 =++ γβα CosCosCos


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




z

x

y

nT(r,n)

B

C

A

σn

τ

θ

nTn ˆ⋅=σ

22nT στ −=

=

nστθ arctg


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




Una vez conocidos los esfuerzos en un punto através de la matriz de esfuerzos, es necesariocompararlo con unaTeoría de falla (comoveremos más adelante en el curso)

La mayoría de dichas teorías basan suformulación en el conocimiento de los valoresextremos del esfuerzo normal, es decir valoresmáximos y mínimos.


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




y

x z

T

n

Generalmente, el vector esfuerzo no es perpendicular al plano o paralelo ala normaln. Sin embargo, existe la posibilidad en que el vector esfuerzotenga la dirección de la normal.Recordemos la viga a tracción:


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




y

x z

Tn

Cuando el vector esfuerzo es perpendicular al plano, la componentetangencial desaparece, en ese momento, el vector esfuerzo se convierte enun esfuerzo principal


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




z

x

y

σy

τyz

τyxσx

τxz

τxy

τzyτzx

σz

( ) [ ] nInrT ˆˆ, ⋅⋅= λ( ) [ ] nnrT ˆˆ, ⋅= σ

0=τ

Por definición:

[ ]

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

στττστττσ

σ

( )( )( )

=γβα

Cos

Cos

Cos

n

0322

13 =−⋅+⋅− III λλλ

( ) , ,n 11111 γβασλ f=⇒=

3

2

1

σσσ

λ =donde:

( ) , ,n 22222 γβασλ f=⇒= ( ) , ,n 33333 γβασλ f=⇒=

I1, I2, I3 son los invariantes dela matriz de esfuerzos

α1β1

γ1

α2

β2

γ2

α3

γ3

β3

( )( )( )

0

1

1

1

1

1

1

=

⋅

−−

−

γβα

σστττσστττσσ

Cos

Cos

Cos

zzyzx

yzyyx

xzxyx ( )( )( )

0

2

2

2

2

2

2

=

⋅

−−

−

γβα


Cos

Cos

Cos

zzyzx

yzyyx

xzxyx ( )( )( )

0

3

3

3

3

3

3

=

⋅

−−

−

γβα


Cos

Cos

Cos

zzyzx

yzyyx

xzxyx


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy




γ

βαP

σ1

3

1

2

n

T(r,n)

A

B

C

σ2

σ3

Christian Otto Mohr (1835-1918)

Dado un estado principal de esfuerzos, vamos a calcular el vectoresfuerzo y sus componentes:


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy



Circulo de Mohr


τ

σσ1 σ2 σ3

r1

r2

r3

c3 c2 c1

τmax

2

23

2

322

22

−≥

+−+ σσσσστ n

2

13

2

312

22

−≥


2

12

2

212

22

−≥


( ) 222 rcxy ≥−+

232

1

σσ +=c2

231

σσ −=r

231

2

σσ +=c2

132

σσ −=r

221

3

σσ +=c2

123

σσ −=r


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy



Circulo de Mohr


τ

σP1 P2 P3

r1

r2

r3 c3 c2 c1

τ

σ1

σ2

σ3

α γ

σn

A

B

C

D

P

• Se calculan ycolocan los esfuerzosprincipales, asociadosa los puntos P1, P2 yP3:

321 σσσ <<

• Se dibujan loscírculos cuyos centrosy radios se calculancon:

232

1

σσ +=c

223

1

σσ −=r

231

2

σσ +=c

213

2

σσ −=r

221

3

σσ +=c

212

3

σσ −=r

• Por el punto P1trazamos una rectainclinada formandoun ángulo α conrespecto a la vertical

• Esta recta seintersecta con elcírculo P1P2 en elpunto A y con P1P3 enel punto B

• Con centro en c1, setraza el arco decircunferencia queune los puntos A y B

• Por el punto P3 setraza una rectainclinada formandoun ángulo γ, que seintersecta con loscírculos P2P3 en C yP1P3 en D. Con centroen c3 se traza el arcoque une los puntos Cy D

• Los arcos AB y CDse intersectan en elpunto P cuyascoordenadas nos danlas componentestangencial y normaldel Vector esfuerzodel plano estudiado

1222 =++ γβα CosCosCos

γ

βα

3

1

2

n

σn

τ

T(r,n)


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy



Mohr – Método gráfico


τ

σP1 P2 P3

r1

r2

r3 c3 c2 c1

τ

σ1

σ2

σ3

α γ

σn

A

B

C

D

P

• Para resolver elproblema inverso, elcual consiste endeterminar el planodonde actúan losesfuerzos tangencialesy normales

• Una vez conocidoslos esfuerzosprincipales, centros yradios, se ubica elpunto P decoordenadasσ y τ

• Con centro en c1 yradio c1P, se traza elarco que intersecta elcirculo P1P2 en elpunto A y con elcirculo P1P3 en elpunto B

• Se traza una rectaque intersecte lospuntos A, B y P1. Elángulo que forme conla vertical α es elmismo que forma lanormal del plano conel eje principal I1

• Análogamente, concentro en c3 y radioc3P se traza el arcoque pase por lospuntos C y D. Luegose traza una recta queintersecte los puntosC, D y P3. El ánguloque forme con lavertical γ es el mismoque forma la normaldel plano con el ejeprincipal I1

• Conocidosα y γ, elánguloβ se calcula dela siguiente manera:



Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy





τ

σP1 P2 P3

r1

r2

r3 c3 c2 c1

τ

σ1

σ2

σ3

α

σn

A

B

P

E

F

ββ

• Se calculan ycolocan los esfuerzosprincipales, asociadosa los puntos P1, P2 yP3:

321 σσσ <<

• Se dibujan loscírculos cuyos centrosy radios se calculancon:

232

1

σσ +=c

223

1

σσ −=r

231

2

σσ +=c

213

2

σσ −=r

221

3

σσ +=c

212

3

σσ −=r

• Por el punto P1trazamos una rectainclinada formandoun ángulo α conrespecto a la vertical

• Esta recta seintersecta con elcírculo P1P2 en elpunto A y con P1P3 enel punto B

• Con centro en c1, setraza el arco decircunferencia queune los punto A y B

• Por el punto P2 setrazan dos rectasinclinadas formandoun ángulo β, que seintersecta con loscírculos P2P3 en F yP1P2 en E. Con centroen c2 se traza el arcoque une los puntos Ey F

• Los arcos AB y EFse intersectan en elpunto P cuyascoordenadas nos danlas componentestangencial y normaldel Vector esfuerzodel plano estudiado

γ

βα

3

1

2

n


σn

τ

T(r,n)


Matriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy





θβ

τxy

σy

σx

τxy

y

z

xα=θ

σnτ

σx

τxyτxz

σz

τzy

τzx

τyxτyz

σy

β

αγ

T(r,-j)

T(r,-i)

T(r,-k)

y

z

x

nnT(r,n)

σn

τ

x1

y1σx1τx1y1

( )( )( )

=γβα

Cos

Cos

Cos

n( )

( )( )

( )( )

=

°°−=

090

90ˆ θθ

θθ

Sen

Cos

Cos

Cos

Cos

n


Matriz de esfuerzos

Teorema de

Cauchy



T(r,n)


τxy

σy

σx

τxy

y

x

x1

y1

σx1

τx1y1

θ

Viste desde el plano XY, se tiene:

[ ]

=000

0

0

yyx

xyx

σττσ

σ

Para el sistema de la figura, lamatriz de esfuerzos es:Pero también pudiera presentar lasiguiente forma dependiendo delsistema:

[ ]

=

zzy

yzy

σττσσ

0

0

000

[ ]

=

zzx

xzx

στ

τσσ

0

000

0


Matriz de esfuerzos

Teorema de

Cauchy




τ

σnP1(σ1)

R

Cθ⋅2

2yx σσ + ( ) 2

2

4 xyyxR τ

σσ+

−=

P2(σ2)

• Se ubican lospuntos Px(σx,τxy) yPy(σy,-τxy) y se trazauna recta queintersecta el eje de lasabscisas en el puntoC.

Py(σy,−τxy)

Px(σx,τxy)

• Con centro en C yradio CPx, se traza lacircunferencia deradio R

• La circunferencia seintersecta con el ejede las abscisas P1 y P2

que corresponden alos esfuerzosprincipalesσ1 y σ2

• El ángulo(dirección principal)que forma el esfuerzoσ1 con el eje x esigual y de sentidocontrario a la mitaddel ángulo entre CP1y CPx

• Si queremosdeterminar losesfuerzosσx1 y τx1y1

en un plano cuyanormal forma unángulo φ en sentidoanti horario con el ejex, medimos un ángulo2φ en sentido horarioen el círculo de Mohr

Px1(σx1,τx1y1)

y

x

x1

y1

φ

2.φ


Matriz de esfuerzos

Teorema de

Cauchy



Circulo de Mohr – Método gráfico


τ

σn(σ1)

C

(σ2)

• Los esfuerzosnormales ytangenciales en unplano perpendicular alplano XY son lascoordenadas en unpunto sobre lacircunferencia deMohr

(σy,−τxy)

(σx,τxy)

Px1(σx1,τx1y1)

y

x

x1

y1

φ

2.φ

• Los ejes X y Y serepresentan en elcírculo de Mohr comoradios

y

x

(σy,−τxy)

(σx,τxy)

• En el plano XY, losangulos son positivoscuando se miden ensentido anti horario.En el diagrama deMohr son positivos sise miden en sentidohorario

• Si un eje x1 formaun ánguloθ con otroeje x2 en el plano XY,entonces el radio CPx1

forma un ángulo -2θcon CPx2 en el circulode Mohr

Px2(σx2,τx2y2)2.θ

x2y2

θ


Matriz de esfuerzos

Teorema de

Cauchy



Circulo de Mohr – Reglas de correspondencia

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