UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA1

FACULTAD DE INGENIERA E. A. P. DE ING. CIVIL

EQUILIBRIO DE UN CUERPO FLOTANTE

1. INTRODUCCIN El poder comprender de manera ms amplia los fenmenos nos ayuda a entender mejor cmo se comportan algunas fuerzas que entran en accin bajo ciertas circunstancias. Lo que se pretende en este trabajo es analizar el comportamiento de las fuerzas que ejercen los lquidos sobre algunos slidos que manipularemos de manera experimental. En el proceso de esta prctica se han aplicado y aprendido las condiciones bsicas del principio de flotacin de Arqumedes. El principio de Arqumedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza hacia arriba igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo. Esto explica por qu flota un barco muy cargado; su peso total es exactamente igual al peso del agua que desplaza, y esa agua desplazada ejerce la fuerza hacia arriba que mantiene el barco a flote.Si el objeto se pesa primero en aire y luego en agua, la diferencia de peso ser igual al peso del volumen de agua desplazado, y este volumen es igual al volumen del objeto, si ste est totalmente sumergido. As puede determinarse fcilmente la densidad del objeto (masa dividida por volumen). Si se requiere una precisin muy elevada, tambin hay que tener en cuenta el peso del aire desplazado para obtener el volumen y la densidad correctos.

2. OBJETIVOS 2.1 OBJETIVOS DE COMPRENSION Determinar en forma prctica las fuerzas de empuje generadas por el fluido sobre un cuerpo. Encontrar el principio de Arqumedes en forma experimental de manera rpida y sencillamente.

2.2 OBJETIVOS DE COMPRENSION Aplicar experimentalmente el principio de Arqumedes basado en problemas de flotacin. Verificar las fuerzas de empuje del objeto sumergido dado la prctica (W=E). Estudiar el principio de Arqumedes y las condiciones de estabilidad rotacional. Verificar que la altura del metacentro experimental del cuerpo flotante es aproximadamente constante e igual al valor terico.

3. MARCO TEORICO Empuje hidrosttico: principio de Arqumedes

Los cuerpos slidos sumergidos en un lquido experimentan un empuje hacia arriba. Este fenmeno, que es el fundamento de la flotacin de los barcos, era conocido desde la ms remota antigedad, pero fue el griego Arqumedes (287-212 a. de C.) quien indic cul es la magnitud de dicho empuje. De acuerdo con el principio que lleva su nombre, todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un lquido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de lquido desalojado.

Aun cuando para llegar a esta conclusin Arqumedes se apoy en la medida y experimentacin, su famoso principio puede ser obtenido como una consecuencia de la ecuacin fundamental de la hidrosttica. Considrese un cuerpo en forma de paraleleppedo, las longitudes de cuyas aristas valen a, b y c metros, siendo c la correspondiente a la arista vertical. Dado que las fuerzas laterales se compensan mutuamente, slo se considerarn las fuerzas sobre las caras horizontales.

La fuerza F1 sobre la cara superior estar dirigida hacia abajo y de acuerdo con la ecuacin fundamental de la hidrosttica su magnitud se podr escribir como: siendo S1 la superficie de la cara superior y h1 su altura respecto de la superficie libre del lquido.

La fuerza F2 sobre la cara inferior estar dirigida hacia arriba y, como en el caso anterior, su magnitud vendr dada por La resultante de ambas representar la fuerza de empuje hidrosttico E.

Pero, dado que S1 = S2 = S y h2 = h1 + c, resulta: Que es precisamente el valor del empuje predicho por Arqumedes en su principio, ya que V = c S es el volumen del cuerpo, la densidad del lquido, m = V la masa del lquido desalojado y finalmente m g es el peso de un volumen de lquido igual al del cuerpo sumergido.

Condiciones bsicas de equilibrio

La primera condicin bsica es que "el peso del cuerpo y el empuje que recibe sean fuerzas iguales y opuestas, nicas fuerzas que actan sobre el cuerpo en tales condiciones". Por lo tanto deber ser:

PESO = EMPUJE CONFORME AL PRINCIPIO DE ARQUMEDES: PESO = DESPLAZAMIENTO

El peso del buque es la suma de varios y distintos pesos (el del propio buque vaco, el de su combustible, agua, provisiones, carga, etc.). El nico invariable es el primero, los dems varan segn la carga. Es as que en todo momento, el peso total del buque ser igual a la suma de sus pesos componentes y de acuerdo con la primera condicin bsica de equilibrio, el peso total debe ser igual al desplazamiento. Es una fuerza vertical, hacia abajo, aplicada en un punto llamado centro de gravedad (G).

El empuje que recibe el buque es una fuerza vertical, hacia arriba, que pasa siempre por el baricentro (o centro de volumen) de la carena. Este punto se llama centro de empuje o centro de carena (B) y tambin podra ser definido como el centro de gravedad del volumen del lquido desplazado por el buque.

Para que exista equilibrio, ambas fuerzas (peso y empuje) deben ser iguales y encontrarse sobre la misma vertical a fin de anularse. Esto nos permite expresar la segunda condicin bsica de equilibrio: "el centro de gravedad (G) y el centro de carena (B) del buque deben estar sobre la misma vertical".

Equilibrio de un cuerpo flotanteAl hacer referencia a las condiciones bsicas de equilibrio expresamos que eran las dos siguientes: 1. Peso = empuje 2. Centro de gravedad (G) y centro de carena (B) ubicados en la misma recta de accin. Por el Principio de Arqumedes, empuje = desplazamiento. Por lo tanto, la condicin 1. Equivale a que peso y empuje sean iguales al desplazamiento. Segn la 2., estas dos fuerzas deben ser opuestas. El caso se representa en la figura siguiente, ejemplo (a), donde G es centro de gravedad y B centro de carena.

Conforme la fsica, el equilibrio de un cuerpo puede ser de tres clases:

1. Estable: al ser apartado el cuerpo ligeramente de su posicin de equilibrio tiende a volver a l;

2. Inestable: al ser apartado el cuerpo ligeramente de su posicin de equilibrio, tiende a seguir apartndose;

3. Indiferente: al ser apartado el cuerpo ligeramente de su posicin de equilibrio, permanece en equilibrio en la nueva posicin.

Para investigar la clase de equilibrio en que se encuentra un buque podemos tratarlo como si fuera un cuerpo cualquiera. Apartndolo ligeramente de su posicin e imprimindole una pequea escora 8, presentada en la figura anterior como (b), el peso D o A seguir aplicado en G, ya que este punto inherente al buque como masa, no habr cambiado. El empuje D o A pasar por el nuevo centro de carena B. Peso y empuje debern seguir siendo iguales, ya que contina cumplindose la primera condicin bsica de equilibrio, pero ya no sern fuerzas opuestas, sino que formarn una cupla. Resulta evidente que esta cupla tiende a adrizar nuevamente al buque. Esta es una condicin de equilibrio estable. Si al escorar el buque, un pequeo ngulo quedara como se muestra en la figura (c), la cupla tendera a seguir escorndolo y se estara frente a un equilibrio inestable.

Si se presentara la posicin (d), en que el peso y el empuje siguen siendo fuerzas opuestas, el buque se encontrara en equilibrio en esa nueva posicin, siendo el equilibrio indiferente. En los tres casos, prolongando la recta de accin del empuje del buque escorado hasta que corte a la del empuje primitivo, se obtendra el punto al que se le ha dado el nombre de metacentro transversal. Siguiendo las figuras anteriores se pueden obtener conclusiones. En el caso (b) M est por encima de G; en el (c) M est por debajo de G; en el (d), M coincide con G, (donde la recta que une ambos puntos corta a la lnea de construccin, determina el punto K).

As las tres posibilidades de equilibrio del buque corresponden obligadamente a la tres posiciones relativas de M con respecto a G antes mencionadas. Por ello, y con respecto a las figuras siguientes se puede expresar:

1. El equilibrio del buque ha de ser establo si M est por encima de G, lo que equivale matemticamente a que KM > KG o tambin GM - KM - KG > 0; 2.2. El equilibrio del buque ha de ser inestable si M est por debajo de G, lo que equivale matemticamente a que KM < KG o tambin GM = KM - KG < o; y 3. El equilibrio del buque ha de ser indiferente si M coincide con G, lo que equivale matemticamente a que KM = KG o tambin GM = KM - KG = 0.

En definitiva, el equilibrio del buque puede estudiarse con slo analizar la posicin relativa de dos puntos independientes entre s; M (metacentro transversal) y G (centro de gravedad).

ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS FLOTANTESEstabilidad Vertical: Un objeto tiene estabilidad vertical cuando una desviacin pequea respecto al equilibrio da lugar a una fuerza de restauracin.

Estabilidad Rotacional: Un objeto tiene estabilidad rotacional cuando una desviacin pequea respecto al equilibrio da lugar a un momento restaurador.

Estabilidad de un cuerpo flotante: (a) Posicin de equilibrio. (b) Posicin girada.ANLISIS DE ESTABILIDAD DE UN CUERPO FLOTANTEAl aplicrsele una desviacin angular

C': Nuevo centro de presiones de objeto flotante M: Metacentro X: Desplazamiento de centro de presin

ALTURA METACNTRICA La posicin del metacentro inicial la obtenemos de las tablas hidrostticas, o bien, al tener el radio metacntrico transversal le sumaremos a la altura del centro de carena de esta manera:

Aplicar esta frmula: GM = KM KG Es importante recordar que la frmula anterior puede tener la siguiente variacin debida a la subida virtual del centro de gravedad por efecto de las superficies libres. KM = KG C + GM C Solamente tiene utilidad prctica el GM inicial (GM0) pues a partir de una determinada escora, el metacentro cambia drsticamente de posicin y deja de ser una referencia adecuada. Podemos considerar entre 0 y 10 el rango de la estabilidad inicial, pues entre estos valores la posicin del metacentro es prcticamente invariante.

4. MATERIALES Y EQUIPO

balanza regla graduada termmetro. tina grande plstica. pipeta. calibrador elemento flotante (solido de madera)

5. PROCEDIMIENTO

Medimos las dimensiones del slido y calculamos su peso rea y volumen:

Llenamos nuestra tina con agua y procedemos a sumergir el slido primero en una posicin esttica, luego al soltarlo este flotara con cierto ngulo de inclinacin:

Medimos el Angulo de inclinacin y la altura de calado

Posicin inicial

Nuevos ejes

Altura del calado

Angulo medido: 2.86

Altura del calado calculado en forma terica:

1. volumen de la carena:V=10*10*Z1+48

2. peso del solido:Ps=10*10*2*0.48+20*0.8+24*2*0.56 gr

Sumatoria de fuerzas en Y=0Empuje=peso del solidoE=P

Sabemos que: E=Peso especfico del fluido*volumen desplazado

Reemplazando tenemos:1gr/cm (3*10*10*Z1cm3+48cm3) = 154.88 cm3

Luego la altura del calado ser: Z= Z1+4 = 5.26 cm

Hallamos el volumen del solido:Vt = Vparelepipedo + Vpiramide + V pirmide trunca Vt = 200 cm3 + 40 cm3 + 48 cm3Vt = 288 cm3

Hallamos los pesos:Como sabemos: Densidad = masa / volumen Masa = densidad * volumen

Paraleleppedo = 96 gr. (cedro = 0.48) piramide = 32 gr. (eucalipto = 0.8) Pirmide trunca = 26.88 gr. (pino = 0.56)

PESO = 154.88 gr.

VOLUMEN SUMERGIDO DE LA FORMA PRCTICA: La cantidad de agua derramada del recipiente es semejante al volumen sumergido del slido

Volumen del cuerpo total: 288 cm3

Volumen de agua desplazado por el cuerpo: 155 cm3

Volumen no sumergido: 133 cm3

HALLAMOS EL EMPUJE:

Densidad del agua = 1.000gr/cm3

EMPUJE = DENSIDAD DEL LIQUIDO * Vs EMPUJE = 1.0 gr/cm3 * 155 cm3EMPUJE = 155 gr = PESO

DETERMINACIN DEL CG.

Con respecto a los ejes asumidos x yFIGURAXYAXAYA

paraleleppedo002000

triangulo0+2.2320044.6

Pirmide trunca0-2.3324055.92

Sumatoria0-0.1640-6.4

X = 0/64 = 0

Y = -6.4/64 = -0.1

CENTRO DE GRAVEDAD: (0 , -0.1) CG= 0.1

DETERMINACIN DEL CENTRO DE FLOTACIN: Clculo del centro de flotacin: que vendra a ser el centro de gravedad pero de la parte que est sumergida. Por lo que trabajaremos en funcin a las nuevas medidas resultantes, teniendo en consideracin el calado que en este caso es de 5.3cm (tomando en cuenta desde el centro del paraleleppedo hacia abajo)

Altura del calado = 5.3 cm

FIGURAYAYA

Paraleleppedo-0.510-5

Pirmide trunca-2.2324-53.52

SUMATORIA-2.7334-58.52

Y = -58.52/34 = -1.57 CB= 1.57

La distancia del centro de gravedad al centro de flotacin ser: CG CB = 1.47 cm

De esta manera obtenemos la distancia existente entre el centro de gravedad y el centro de empuje CB. Tambin se sabe que de la manera prctica el centro de empuje de un slido que se encuentre estable viene a ser el centro de gravedad del volumen sumergido.

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL CENTRO DE PRESIONES

FIGURAX Y AIxIyIxy

paraleleppedo0020436616670

triangulo0+2.232017788333126

Pirmide trunca0-2.332434661040130

SUMATORIA0-0.16496113540256

Calculo del centro de presin: = -0.15

=-1.50

DETERMINACIN DEL NGULO DE INCLINACIN DEL SLIDO

De acuerdo al fundamento terico el ngulo se determina de la siguiente manera:

2.8624

Procedemos al clculo del momento restaurador MR:

r= (1*2.86*3.1416/180*3540)/154.88= 0.11 cm

= 2.28 cm

Por los clculos antes realizados vemos claramente que se cumple:

MC > CG2.28 > 0.1

POR LO TANTO EL SOLIDO FLOTA EN EQUILIBRIO ESTABLE

Luego:

Coordenadas del centro de presiones (-0.15;-1.50)

1.40 cm

Remplazando en (1): = 0.8 cmProcedemos a calcular a: a=0.04 cmEntonces calculamos el momento restaurador: Mr = 6.21 gr/cm

6. CONCLUSIONES

Se determin en forma prctica la fuerza de empuje generada por el fluido sobre el cuerpo. Se logr encontrar el principio de Arqumedes de manera rpida. Se logr verificar la fuerza de empuje que es igual al peso. Se determin que la altura del metacentro encontrada experimentalmente es constante e igual al valor terico.

7. RECOMENDACIONES

La universidad debe implementar un laboratorio destinado a las practicad de mecnica de fluidos para entender mejor el funcionamiento de los fenmenos que en este campo se dan. Se debe tener los equipos de laboratorio calibrados correctamente y revisados para evitar posibles errores en tomas de datos Contar con ms equipos de trabajo necesarios para la presente prctica.

8. APORTES

Energa potencial de un cuerpo parcialmente sumergidoUn bloque cilndrico que se sita sobre la superficie de un fluido (por ejemplo agua).Pueden ocurrir dos casos: Que el bloque se sumerja parcialmente si la densidad del cuerpo slido es menor que la densidad del fluido,s