Mecánica de Fluidos CAP. 3 - 3ra Edición - Merle C. Potter & David C. Wiggert

http://libreria-universitaria.blogspot.com3 lntroducci6n al movimiento de los flu.idos

Esquema 3.1 Introducci6n 3.2 Descripci6n del movimiento de un fluido

3.2.1 Descripciones Lagranguiana y Euleriana del movimicnto 3.2.2 Lfneas de trayectoria, lineas fugaces y lfneas de corriente 3.2.3 Aceleraci6n 3.2.4 Velocidad angular y vorticidad

3.3 CJasificaci6n de los Oujos de fluidos 3.3.1 Flujos uni, bi y tridimensionales 3.3.2 Flujos viscosos e inviscidos 3.3.3 Flujos laminar y turbulento 3.3.4 Flujos incompresibles y compresibles

3.4 Ecuaci6n de Bernoulli 3.5 Resumen

Objetivos del capftulo Los objetivos de este capitulo son: .A Describir matematicamente el movimiento de un Ouido . .A Expresar Ia aceleraci6n de una partfcula de un fluido dadas las componentes

de su velocidad . .A Describir Ia deformaci6n de una partfcula de un fluido . .A Clasificar varios Oujos de fluido.L,Es un flujo viscoso?, i,CS turbulento?,

L,es incompresible?, i,CS uniforme? .A Derivar Ia ecuaci6n de Bernoulu e identificar sus restricciones . .A Presentar varios ejemplos y multiples problemas que demuestren c6mo

se describen los flujos de fluidos, c6mo se clasifican y c6mo se utiliza Ia ecuaci6n de Bernoulli para calcular las variables de flujo.

n

http://libreria-universitaria.blogspot.com78 Capitulo 3 I lntroducci6n al movimiento de los fluidos

CONCEPTO CLAVE En ciertas condiciones, los efectos viscosos pueden ser ignorados.

3.1 INTRODUCCI6N

Este capitulo sirve de introducci6n a todos los capftulos siguientes que se ocupan de movimientos de fluidos. Los movimientos de fluidos se manifiestan de diferentes maneras. Algunos pueden ser descritos con facilidad, en tanto que otros requieren de un conocimiento completo de las leyes de ffsica. En aplicaciones de ingenieria, es importante describir los movimientos de fluidos tan simplemente como puedan ser justificados. Esto en general depende de la precision requerida. Con frecuencia, precisiones de :!: 10% son aceptables, aunque en algunas aplicaciones se tienen que lograr precisiones mas altas. Las ecuaciones generales de movimiento son muy diffciles de resolver; por consiguiente, es responsabilidad del ingeniero saber que suposiciones simplificadoras pueden hacerse. Esto, desde luego demand a experiencia y, aun mas importante, el conocimiento de Ia ffsica implicada.

Algunas suposiciones comunes utilizadas para sirnplificar una situaci6n de flujo tienen que ver con las propiedades de fluido. Par ejemplo, en ciertas condiciones, Ia viscosidad puede afectar a! flujo de una manera significativa; en otras, los efectos viscosos pueden ser omitidos con lo que se simplifican en gran medida las ecuaciones sin que se alteren significativamente las predicciones. Es bien sabido que Ia compresibilidad de un gas en movimiento debera ser tomada en cuenta si las velocidades son muy altas. Mas los efectos de compresibilidad no tienen que ser tornados en cuenta para predecir las fuerzas del viento que actuan en edificios o para predecir cualquier otra cantidad ffsica que sea un efecto directo del viento. Las velocidades del viento simplemente no son suficientemente altas. Se podrfan citar numerosos ejemplos. Despues de estudiar los movirnientos de fluidos, las suposiciones apropiadas utilizadas deberan ser mas que obvias.

Este capitulo se compone de tres secciones. En Ia primera se introduce al lector a algunos procedimientos generales importantes, utilizados para analizar problemas de mecanica de fluidos. En la segunda se da un repaso breve de los diferentes tipos de flujo, tales como flujos compresibles e incompresibles, y flujos viscosos e inviscidos. En capitulos posteriores se analiza detaUadamente cada uno de estos tipos de flujo. La tercera secci6n introduce allector a Ia ecuaci6n de Bernoulli comtinmente utilizada, Ia cual establece c6mo varfan las presiones y velocidades en un campo de flujo. El uso de esta ecuaci6n, no obstante, requiere muchas suposiciones simplificadoras, y su aplicaci6n es, par consiguiente, lirnitada.

3.2 DESCRIPCI6N DEL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO

El analisis de problemas de flujo de fluidos complejo a menudo se simplifica mediante la visualizaci6n de patrones de flujo, los que permiten desarrollar un mejor entendimiento intuitivo y ayudan a formular el problema matematico. El flujo en una maquina lavadora es un buen ejemplo. Un problema facil, y a Ja vez diffcil, es el flujo cercano a un ala que se une al fuselaje, o donde Ja cimentaci6n de un puente interactua con el agua en el fonda de un rfo. En la secci6n 3.2.2 se analiza Ia descripci6n de cantidades ffsicas en funci6n de coordenadas de espacio y tiempo. El segundo tema en esta secci6n introduce las diferentes lfneas de flujo que son utiles en el objetivo de describir un flujo de fluido. Finalmente, se presenta la descripci6n matematica del movirniento.

3.2.1 Descripciones lagranguiana y Euleriana del movimiento

En la descripci6n de un campo de flujo conviene pensar en partfculas individuates, cada una de las cuales se considera como una pequefia masa de fluido, compuesta de un gran numero de moleculas, que ocupan un volumen pequefio A:V que se mueve junto con el flujo. Si el fluido es incompresible, el volumen no cambia

http://libreria-universitaria.blogspot.com Sec. 3.2 I Descripci6n del movimiento de un fluido 79

de magnitud pero puede deformarse. Si el fluido es compresible, o si el volumen se "deform a, tambien cambia de magnitud. En ambos casos se considera que las partfculas se desplazan a traves de un campo de flujo como una entidad.

En cJ estudio de Ia mecanica de partfculas, donde se presta atenci6n a partfculas individuales, el movimiento es considerado como una funci6n del tiempo. La posicion, velocidad y aceleraci6n de cada partfcula se expresan como s(xo,y0, z0, t), V(x0 , y0 , z0 , r), y a(x0, y0 , z0 , t) y las cantidades de in teres pueden ser calculadas. El pun to (x0 , y0• z0 ) localiza el pun to de inicio -el nombre- de cada partfcula. Esta es Ia descripci6n Lagranguiana del movimiento, nombrada en honor de Joseph L. Lagrange (1736-1813), utilizada en los cursos de dinamica. En Ia descripci6n Lagranguiana muchas partfculas pueden ser seguidas y su influencia en otras observada. Esto, sin embargo, llega a ser una tarea diffcil conforme el numero de partfculas es cada vez mas grande, como en el flujo de un fluido.

Una alternativa del seguimiento de cada partfcula por separado es identificar puntas en el espacio y luego observar Ia velocidad de Ia partfculas que pasan por cada pun to; se puede observar el cambia de velocidad conforme las partfculas pasan por cada punta, esto es, aV/ax, aV/ay y aV/iJz, y observar si Ia velocidad cambia con el tiempo en cada punto determinado, es decir, aV/at. En esta descripci6n Euleriana del movimiento, nombrada en honor de Leonhard Euler (1707-1783), las propiedades de fluj o tal como Ia velocidad son funciones tanto del espacio como del tiempo. En coordenadas cartesianas Ia velocidad se expresa como V = V(x, y, z, t). La regi6n del Oujo considerada se llama campo de Oujo.

Un ejemplo servira para aclarar estas dos formas de describir el movimiento. Se contrata a una firma de ingenierfa para mejorar el flujo de trat'ico en una gran ciudad. La firma de ingenierfa cuenta con dos alternativas. Contratar estudiantcs universitarios para que recorran Ia ciudad en autom6viles y anoten las observaciones apropiadas ( el metoda Lagranguiano) o contra ta r estudiantes universitarios para que se paren en las intersccciones y registren Ia informacion req uerida ( el metoda Euleriano ). Una interpretaci6n correcta de cad a serie de datos conducira a Ia misma serie de recomendaciones, es decir, Ia misma soluci6n. En este ejemplo, puede no ser obvio que metoda se preferira; en un curso introductorio de fluidos, sin embargo, se utiliza la descripci6n Euleriana exclusivamente puesto que las !eyes ffsicas que la utilizan son mas faciles de aplicar a situaciones reales. No obstante, existen ejemplos en los que se requiere una descripci6n Lagranguiana, como por ejemplo las boyas a Ia deriva utilizadas para estudiar las corrientes oceanicas.

Si las cantidades de inte res no dependcn de l tiempo, esto es, V = V(x, y, z) se dice que el Oujo es un Oujo estacionario. La mayorfa de los flujos de interes en este libro de texto introductorio son flujos estacionarios. Par a un flujo estacionario todas sus cantidades en un punto particular dependen del tiempo,

av = 0 ar

ap -=0 ar

ap -=0 ar

(3.2.1)

por nombrar algunas. E n las ecuaciones anteriores esta implicado que x, y y z se mantienen fijas. Observe que las propiedades de una partfcula de fluido, en general. cambian con el tiempo; Ia velocidad y Ia presi6n varfan con el tiempo conforme Ia particula avanza a lo largo de su trayectoria en un flujo, incluso en uno estacionario. En un flujo cstacionario, sin embargo, las propiedades no se modifican con el tiempo en un punto fijo.

3.2.2 Lineas de trayectoria, Hneas fugaces y lineas de corriente

Tres lfneas diferentes se utilizan para describir un campo de flujo. Una linea de trayectoria es el Iugar geometrico de los puntas recorridos por una partfcula a

Lagranguiana: Descripci6n del movimiento donde partlculas individuates son observadas como una funci6n del tiempo.

Euleriana: Descripci6n del movimiento donde las propiedades del jlujo son ftmciones tanto del espacio como del tiempo.

Campo de Oujo: La region del jlujo de imeres.

Flujo contjnuo: Don de las canridades no dependen del tiempo.

Linea de trayectoria: Historia de las ubicaciones de una partfcula.


Linea fugaz: Una lfnea instanuinea.

Linea de corriente: El vector de velocidad es tangente a Ia Unea de corriente.

FIGURA 3.1 Lfneas de trayectoria bajo una ala en un tanque de agua. (Fotograffa de Wallet y RueUan, cortesfa de M. C. Vasseur).

medida que se desplaza en un campo de flujo; Ia linea de trayectoria proporciona Ia "historia" de las ubicaciones de Ia partfcula. Una fotograffa de una linea de trayectoria requerirfa una exposici6n de tiempo de una partfcula iluminada. En Ia figura 3.1 se da una fotografia que muestra las llnea de trayectoria de partfculas bajo una superficie de agua con oleaje.

Una linea fugaz se define como una linea instantanea cuyos puntos son ocupados por todas las partfculas que se originan en algun campo especil'ico en el campo de flujo. Las lineas fugaces indican d6nde estan las particulas "ahora rnismo". Una fotografia de una linea fugaz serfa una foto instantanea del conjunto de partfculas iluminadas que pasan por un cierto punto. La figura 3.2 muestra lfneas fugaces producidas por Ia ernisi6n continua de una corriente de humo de diametro pequefio a medida que se mueve alrededor de un cilindro.

Una linea de corriente es una linea eo el flujo que posee Ia siguiente propiedad: el vector de velocidad de cada partfcula que ocupa un punto en Ia lfnea de corriente es tangente a esta. Esto se muestra graficamente en la figura 3.3. Una ecuaci6n que expresa que el vector de velocidad es tangente a una linea de corrieote es

V X dr = 0 (3.2.2)

como V y dr estan en Ia misma direcci6n, como se muestra en Ia figura; recuerdese que el producto cruzado de dos vectores en Ia misma dirccci6n es cero. Esta ecuaci6n sera utilizada en los capftulos siguientes como Ia expresi6n matematica

FIGURA 3.2 Lineas fugaces en el flujo discontinue alrededor de un cilindro. (Fotograffa de Sadatashi Taneda).


FIGURA 3.3 Linea de corriente en un campo de flujo.

de una lfnea de corriente. La fotograffa de una linea de corriente no puede ser tomada directarnente. Para un flujo general discontinue las lfneas de corriente pueden ser inferidas de fotograffas de lineas de trayectoria cortas de un gran nurnero de partfculas.

Un tubo de corriente es un tubo cuyas paredes son lfneas de corriente. Como Ia \·elocidad es tangente a una Hnea de corriente, nada de fluido atraviesa las paredes del canal. Con frecuencia se dibuja un tubo de corriente con una pequeiia secci6n transversal en el interior de un flujo con el prop6sito de demostraci6n.

En un flujo continuo. coinciden las lfneas de trayectoria, las lfneas fugaces y las lfneas de corriente. Todas las partfculas que pasan por un pun to dado seguiran Ia misma trayectoria puesto que nada cambia con el tiempo; por consiguiente, las line as de trayectoria y las line as fugaces coinciden. Adem as. el vector de velocidad de una partfcula en un punta dado sera tangente a Ia linea a lo largo de Ia cual se mueve: por tanto esta linea tambien es una lfnea de corriente. Como los flujos que se observan en ellaboratorio invariablemente son flujos continuos, a estas lineas observadas se les da el nombre de lineas de corriente aunque en realidad posiblemente sean lfneas fugaces. y por el tiempo de exposici6n, lineas de trayectoria.

3.2.3 Aceleracion

La aceleraci6n de una particula de fluido se determina considerando una particula especffica como Ia mostrada en Ia figura 3.4. Su velocidad cambia de V(t) en el instante c a V(t + dt) en el instante t + dt. La aceleraci6n es, por definicion,

dV a=-dt

(3.2.3)

donde dV se muestra en Ia figura 3.4. El vector de velocidad V esta dado por sus componentes como

X

V = ui + uj + wk

dV

V (t) r> YV(t+dt) y.c;+d<)

Panfcula de fluido La misma ?anfcuta de tluido

l . en el mstante 1 + dr

en e JOStante r /------------------------------------ )'

FIGURA 3.4 Velocidad de una partfcula de fluido.

(3.2.4)

Tubo de corriente: Un tubo cuyas paredes son lfneas de corrienre.

CONCEPTO CLAVE En un f/ujo continuo, las lfneas de trayectoria, las lineas fugaces y las lineas de corriente coinciden.


Derh'ada sustancial o material: La derivada DDr

don de (u. u, w) son las componentes de velocidad en las direcciones x-, y- y z- respectivamente, y i, j y k son vectores unitarios. La cantidad dV es, segun Ia regla del calculo con V = V(x, y, z, t),

av av av av dV =- dx +- dy + - dz +- dt

ax ay az at (3.2.5)

Esta da la aceleraci6n como

a = av dx + av Ex. + av dz + av ax dt ay dt az dt at (3.2.6)

Como se ha seguido una partfcula como Ia de la figura 3.4, se reconocc que

dx - = Ll cit

Ex= u dt

La aceleraci6n se expresa entonces como

dz -=w dt

iJV i!V c!V i!V a=u-+v-+w-+-ilx ily az iJt

(3.2.7)

(3.2.8)

Las ecuaciones de componentes escalares de Ia ecuaci6n vectorial anterior en coordenadas rectangulares se escriben como

a . = Ull + II Oil + u au + w Oil .t at ax iJ}' ilz

ilu OV UU dV a.=-+u-+u-+w-· J elf ilx ily ilz

(3.2.9)

ow aw ow iJw a.=-+u-+u-+w-~ ar (1x ay az

A menudo se regresa a la ecuaci6n 3.2.3 y Ia ecuaci6n 3.2.8 se escribe en forma simplificada como

DV a = --Dt

donde, en coordenadas rectangulares,

D a a a a -=u-+u-+w-+Dt ax fly az at

(3.2.10)

(3.2.11)

Esta derivada se conoce como derivada sustancial o derivada material. Se le da un nombre y un sfmbolo especiales (D/Dt en Iugar de d/dt) porque se sigui6 una particula de fluido especial, es decir, se sigui6 Ia sustancia ( o material). Representa Ia relaci6n entre una derivaci6n Lagranguiana en Ia que una cantidad depende del tiempo t y una derivaci6n Euleriana en la que una cantidad depende de Ia posici6n (x, y, .::) y del tiempo t. La derivada sustancial puede ser utilizada con otras


variables dependientes; par ejemplo, DT/Dt representani Ia velocidad de cambia de Ia temperatura de una partfcula de fiuido seguida a lo largo de su trayectoria.

La tabla 3.1 de Ia pagina 89 incluye Ia derivada sustancial y las componentes de aceleraci6n en coordenadas cilindricas y esfericas.

La derivada con respecto al tiempo en ellado derecho de las ecuaciones 3.2.8 y 3.2.9 para Ia aceleraci6n se llama aceleraci6n local y los terminos restantes en el !ado derecho de cada ecuaci6n forman Ia aceleraci6n coovectiva. Por consiguiente Ia aceleraci6n de una partfcula de fluido es Ia suma de Ia aceleraci6n local y Ia aceleraci6n convectiva. En un tuba, Ia aceleraci6n local aparece si, por ejemplo, se abre o derra una valvula; y Ia convectiva ocurre cerca de donde cambia la geometrfa del tuba, tal como una contracci6n del tuba o un codo. En ambos casos las parti'culas de fiuido cambian de velocidad, pero por muy diferentes razones.

Se debe observar que las expresiones anteriores para Ia aceleraci6n dan esta s6lo con respecto al marco de referencia de un observador. En ciertas situaciones el marco de referenda del observador se puede ver sometido a una aceleraci6n; luego es posible que se requiera la aceleraci6n de una partfcula con respecto a un marco de referencia fijo. Esta dada por

A= a + d2S + 20XV + fiX (fiX r) + dfi X r (3.2.12) dt 2 dt

aceleraci6n del aceleraci6n aceleraci6n aceleraci6n marco de referencia de Coriolis normal angular

donde a esta dada por Ia ecuaci6n 3.2.8, d 2Sidt2 que es Ia aceleraci6n del marco de referencia del observador, V y r son Ia velocidad y los vectores de posici6n de la partfcula, respectivamente, en el marco de referencia del observador, y n es Ia velocidad angular del marco de referenda del observador (vease Ia Fig. 3.5). Observe que todos los vectores est::'in escritos valiendose de los vectores unitarios del marco de referencia XYZ. En Ia mayorfa de las aplicaciones de ingenierfa, los marcos de referenda fijos en Ia tierra dan A = a, en vista de que los demas terminos de la ecuaci6n 3.12.2 con frecuencia son insignificantes con respecto de a. Se podrfa deddir, sin embargo, fijar el marco de referencia xyz en un dispositivo acelerador (un cohete) o en un dispositivo rotatorio (el brazo de un rociador): en tal caso ciertos terminos de Ia ecuaci6n 3.2.12 deben ser incluidos junto con a de la ecuaci6n 3.2.8.

Si la aceleraci6n de todas las partfculas esta dada como A = a en un marco de referenda seleccionado, entonces se trata de un marco de referenda inercial. Si A * a, es un marco de referencia no inercial. Un marco de referencia que se desplaza con velocidad constante sin rotad6n es un marco de referencia inercial.

\ \

X

FIGURA 3.5 Movimiento con respecto a un marco de referencia no inercial.

Aceleracion local: Eltermino de Ia derivada con respecro al tiempo aV/iJt para aceleraci6n.

Aceleracion convectiva: Todos los terminos distintos deltermino de aceleraci6n local.

CONCEPTO CLAVE Cerca de un cambio de geometrfa se presenta Ia aceleracion convectiva.


Flujos no rotatorios: Flujos en los que las partfculas de fluido no giran.

Velocidad angular: Velocidad promedio de dos segmentos de lfnea perpendiculares de una partfcula de f/ttido.

Cuando se analiza el flujo alrededor, por ejemplo, de una superficie aerodinamica, se fija el marco de refereacia en aquella de modo que se observa un flujo continuo en este.

3.2.4 Velocidad angular y vorticidad

Se puede pensar en un fluido como en el movimiento de un conjunto de partfculas. Conforme una partfcula se desplaza puede girar o deformarse. La rotaci6n y deformaci6n de las partfculas de fluido son de especial interes en el estudio de la rnecanica de fluidos. Ex.isten ciertos flujos, o regiones de un flujo, en los que las particulas de fluido no giran; tales flujos son de especial importancia, sobre todo en flujos alrededor de objetos, y se los conoce como Oujos no rotatorios. El flujo fuera de una delgada capa limite en superficies aerodinamicas, fuera de la regi6n de flujo separada alrededor de autom6vi1es y otros vehfculos m6viles en el flujo alrededor de objetos surnergidos, y muchos otros flujos son ejemplos de flujos no rotatorios. Los flujos no rotatorios son extremadamente importantes.

Considere una pequefia partfcula de fluido que ocupa un volumen infinitesimal cuya cara xy se muestra en Ia figura 3.6. La velocidad angular en torno a! eje z, !l4 , es Ia velocidad angular prornedio de los segmentos de lfnea AB y CD. Las dos velocidades angulares, en sentido contrario al de las manecillas del reloj son positivas, y se escriben como

= [v + au dx - (u- au dx)] /dx = au ax 2 ax 2 I· ax

'"' - uo- uc H CD-- dy

= - [u + au dy - (u - au dy)] ldy = - au ay 2 ay 2 r ay

Por consiguiente, la velocidad angular !l4 de la partfcula de fluido es

y

fi, = i (flAB + fico)

11 +autJl:. a.v 2 0

v- avdx a.\· 2

A

I I'

-----~4--u

c dll d\·1 11--= av 2 dx • ·!

v + avd.r dX 2

B dy

L------------------------------------x FIGURA 3.6 Partfcula de fluido que ocupa un paralelepfpedo en un instante particular.

(3.2.13)

(3.2.14)

(3.2.15)


Si se hubiera considerado Ia cara xz, se habrfa cncontrado que Ia velocidad angular alrededor del eje y es

n .. = .! ( ~u _ aw) 2 az ax

{3.2.16)

y Ia cara yz darla Ia vclocidad angular en torno al eje x:

0 = .! (aw _ au) -' 2 ay az (3.2.17)

Estas son las lres componentes del vector de velocidad angular. Un corcho colocado en agua que nuye por un canal ancho (el plano xy) girara con Ia velocidad angular dada porIa ecuaci6n 3.2.15.

Es comun definir Ia vorticidad w como dos veces Ia velocidad angular; sus tres Vorticidad: Dos veces Ia

componentes son entonces velocidad angular.

aw ilu w =---.\ ay a:::

rlu ilu W- =---

' iJx il\' (3.2.18)

Las componentes de vorticidad en coordenadas cilfndricas y esfericas se incluyen en Ia tabla 3.1.

TABLA 3.1 Derivada sustancial, aceleraci6n y vorlicidad en coordenadas cartesianas. cilfndricas y coordenadas esfcricas.

Derivada sustanciaf Cane-.ianas D ;, a c)il

=u-+u +w-+ Dr ih ay az ilc

Ciliudricas

.Q_ = t, l_ + Uo l_ + u. l_ t- i_ Dr C!r r a IJ • ilz ac ~:_.r.;riob

.Q_~L i_ +~_!!_+~_i!_+i_ Dr ' ar r iiiJ r sen 1J ilc/> iJt

Aceferacion Cart~ianas

= iJU t- II ~I + V iJII + W /111 ar ilx t1r az av ilv iJu ilu = -- + II + U- + W-

1 <h ily az _. ilu· aw ow ._ =--+ u-+ u-+w-

iJ:c il_v i!z

• ilt•, Vo c1U, iJU, ~ = - - ~, M + -; ali + u, iii r

= 2 .,. t' iiL'8 + ~ iluo + u. ilvo + U,Uu

' iir r iJIJ • iJz r

= _: + 11 iiv, + !!.!!. au, i 11- ill!;, i!l ' ifr r iJO • ilz

IEAiric. ilt1, VB au,. Vt~; iiv, vi + ui

+ v, ilr + -; iJIJ + r sen IJ iJcf> - -,-

u8 i!v9 v• au8 u,u, - ul cot () -; ao + r sen IJ iJc/> + r

~ ~ _ 1

• rtt'<~> + ~ au~ + ~ ;w. + u, u• + UuiJ<f> cot IJ ,., r iJIJ r sen () iJc/> r

Vorricidad Cartesianas

aw iJu ilu au w"=- -

ily ilz llJ;::=---

iJx i!y

Cilindricas

w,= ~(~u;) ~~ w. ~ _!_ (il(rv0) _ ~) • r iJr ao

Esrericru.

w, ~ - 1- [..!!.. (u• sen IJ) - i!uuj r sen IJ iliJ ilc/>

I [ iJ i!v,J w• = - - (rv8) - -r ilr iiiJ

I [ I ilu, iJ ] w, ~ ; r 'en IJ ati - ,1; (rv.)


Tensor de velocidad de deformacion: Velocidad a la cual ocurre Ia deformaci6n.

Un flujo no rotatorio no posee vorticidad; el corcho antes mencionado no girarfa en un flujo no rotatorio. Este flujo especial se considera en Ia secci6n 8.5.

La deforrnaci6n de Ia particula de Ia figura 3.6 es Ia velocidad de cambia del angulo que el segmento de lfnea AB forma con el segmento de linea CD. Si AB gira a una velocidad angular diferente de Ia de CD, Ia partfcula se esta deforrnando. La deformaci6n esta representada por el tensor de velocidad de deformaci6n; su componente Exy en el plano xy esta dado por

E.~y = ~ (ilAs - ilcn)

= l (au+ au) 2 ax ay (3.2.19)

Para el plano xz y el plano yz se tiene

(3.2.20)

Observe que Exy = Eyx• Exz = E::x y Eyz = Ezy· El tensor de velocidad de deformaci6n es simetrico.

La partfcula de fluido tambien podrfa ser deformada si se alarga o comprime en una direcci6n particular. Par ejemplo, si el punta B de Ia figura 3.6 se mueve mas nipido que el punta A, Ia particula se alargaria en Ia direcci6n x. Esta velocidad normal de deformaci6n se mide como sigue

dx

= [u + au dx - (u - ilu d.x)]!dx = au ax 2 ax 2 ax (3.2.21)

Asimismo, en las direcciones y y z se tendria que

au € =-yy ay (3.2.22)

El tensor de velocidad de deformaci6n puede ser mostrado como

(3.2.23)

donde los subindices i y j asumen los valores numericos 1, 2 o 3. Entonces € 12 representa Exy en Ia fila 1 columna 2.

En ei capitulo 5 se vera que las componentes de esfuerzo cortante y normal en un flujo estan relacionadas con las componentes de velocidad de deformaci6n anteriores. De hecho, en el flujo unidimensional de Ia figura 1.6, el esfuerzo cortante se relacionaba con iJuJiJy mediante Ia ecuaci6n 1.5.5; observe que au/ay es dos veces el componente de velocidad de deformaci6n dada par Ia ecuaci6n 3.2.19 con u = 0.

El campo de velocidad esla dado por V = 2xi - ytj mls, donde x y y estan en metros y ten segundos. Derive Ia ecuaci6n de la linea de corriente que pasa por (2, -1) y un vector unitario normal a Ia lfnea de corrientc:: que pasa por (2. -1) cuando t = 4 s.


Soluci6n El vector de velucidad es tangente a una lfnea de corriente de tal suerte que V X dr = 0 (el producto cruzado de dos vectores pardlelos es cero). Para el vector de velocidad dado se tiene, euando t . 4 s.

(2xl - 4yJ) X (d.rl + dyj)"" (2x dy + 4y dx)k - 0

para Ia que se utiliz6 i X j ~ k. j X i = - k e I X I -= 0. Por consiguiente,

2xdy =- 4ydx 0 tly "= 2 tb: }' X

AI integrar ambos !ados:

In y = - 2 In x + In C

donde por convcniencia se utiliz6 In C. Esta sc escrihe como

lny = lnx 2 +InC= ln(Cx 2)

Por consiguienle

x 2y =- C

En (2, - I) C - -4, de modo que Ia lfnea de corriente que pasa por (2, -I) tiene Ia ecuaci6n

x2y =- 4

Un vector normal es perpendicular a Ia line'! de corriente, por consiguiente al vector de velocidad, de modo que con it =- nx i + n,. j en (2, I) y t = 4 s se tiene

v . n - (4 i + 4J) • (n, i r rd) - 0

Coni • i = l c i · j = O.la ecuaci6n anterior sc transfom1<1 en

Entonces. como n es un vector unitario,n; + n; = I y se cncuentra 4ue

. - v'2 •. II, - 2

El vector unitario normal a Ia linea de corricnte sc escribc como

~ \12(~ :-) n--•-J 2

Un campo de velocidad en un flujo particular csta dado por V '20/i - 20xyj m/!'. Calcule Ia aceleracion, Ia vclocidad angular, el vector de vorticidad y cualquier componente de velocidad de dcformacion no cero end punto (I. 1. 2).

Soluci6n Se podria utilizar Ia ecuaci6n .l2.9 y encontrar cada componcnte de Ia accleracion. o se podrfa utili1.ar Ia ecuaci6n 3.2.g y eneontrar una exprcsi6n vectorial. Utili7..ando Ia ccuaci6n 3.2.8 se tienc

0 0

av <1V u1; 1 a=u-+v-·+w- +· t1X oy Z I

= 20yl( - 20yj) - 20xy(40yi- 20xj)

:-: - SOOx/i - 400(/ - .~y)j


Flujo tridimensional: £1 \'ector de l'elocidad depende de tres variables •' }paciales.

Punto de estancamiento: Fl pun to donde el fluido se dl'liene.

Flujo bidimensional: £1 \'ector de velocidad d~pende de s6/o dos

fUlbles espaciales.

en Ia que se utiliz6 11 = 20y2 y v = - 20xy. dadas por el vector de velocidad. Todas las particulas en el punto (I, -1. 2) ticncn Ia aceleraci6n

A l? a= - 800a m1s-

La velocidad angular tienc dos componentes cero:

nr = i ~ -i) = O. n)' = t (i-~ = 0

La componente.: no cero es. en el punto (1, -I. 2).

n. = (.!.. i!v _ ilu) • 2 ax ay

= ~ (- 20y- 40y) = 30 rad/s

El vector de vorticidad es dos veccs el vector de vclocidad angular:

w = 2fl,k = 60k rad/s

L1s componentes de Ia velocidad de deformaci6n no ccro son

E = .l/ ilv + £_1!_) "Y 2 \ax ily

= ~ (-20y + 40y) = -10 rad/s

_ clv En.--- iJy

= -20x = -20 rad/~

Todas las demas componentes de Ia velocidad de deformaci6n son ccro.

3.3 CLASIFICACI6N DE LOS FLUJOS DE FLUIDOS

En esta secci6n se repasan algunos aspectos de Ia mecanica de fluidos considerados mas a fondo en capftulos y secciones subsiguientcs. Aunque Ia mayorfa de las nociones aqui presentadas se definen de nuevo y analizan en detalle mas adelante, en estc punta conviene introducir Ia clasificaci6n general de los flujos de fluido,

3.3.1 Flujos uni, bi y tridimensionales

En Ia descripci6n Euleriana del movimiento el vector de velocidad. en general, depen de de tres variables espaciales y del tiempo, es decir, V = V(x. y, z. t). Un flujo como ese es un flujo tridimensional, porque el vector de velocidad depende de tres coordenadas espaciales. Las soluciones de problemas de flujo tridimensional son muy diffciles y quedan fuera del alcance de un curso introductorio. Aun cuando el flujo pudiera ser considerado como continuo [es decir, V = V(x, y, z)], seguira siendo un flujo tridimensional. En Ia figura 3.7 se muestra un flujo particular. Este flujo es normal a una supelficie plana; el fluido se desacelera y se detiene en el punto de estancamiento. Las componentes de velocidad. 11. v y w dependcn de x, y y z: esto es, u = u(x. y, z). v = v(x. y, z) y w = w(x, y. z).

Con frecuencia un flujo tridimensional puede ser representado como un flujo bidimensional. Por ejemplo. el flujo sabre un dique ancho es tridimensional a causa de las condiciones en los extremos, aunque el flujo en la parte central alejada de los extremos puede ser tratado como bidimensional. En general. un flujo bidimensional es un flujo en el que el vector de velocidad depende no solo de dos variables

http://libreria-universitaria.blogspot.com Sec. 3.3 I Clasificaci6n de los flujos de f1uidos 89

Punro de estancamiento

FIGURA 3.7 Flujo por un punto de estancamiento.

espaciales. Un cjemplo es un Oujo plano, en el que el vector de velocidad depende de dos coordenadas espaciales, x y y, pero no de z [es decir. V = V(x, y)].

Un Oujo tmidimensiooal es un flujo en el que el vector de vclocidad depende de s6lo una variable espacial. Flujos como ese ocurren en tubas largos rectos o entre placas paralelas, como se muestra en Ia figura 3.8. La velocidad en el tuba varfa solo con res decir, u = u(r). La velocidad entre las placas paralelas varfa s6lo con !a coordenada yes decir, u = u(y). Incluso si el flujo es discontinue de modo que u = u(y, t), una situaci6n que se presentarfa durante el inicio, el flujo es unidimensional.

Los flujos mostrados en Ja figura 3.8 tambien pueden ser denominados como tlujos desarrollados; es decir, los perfiles de velocidad no varfan con respecto a Ia coordenada espacial en la direcci6n del flujo. Esto dernanda que !a region de interes este a una distancia sustancial de una entrada o que sea un cambia repentino de geometrfa.

Existen muchos problemas de mecanica de fluidos en los que un campo de flujo se simplifica en !a forma de un Oujo uniforme: la velocidad y otras propiedades de fluido, permanecen constantes en toda el area como !a mostrada en Ia figura 3.9. Esta sin1plificaci6n se hace cuando Ia velocidad en esencia se mantiene constante en toda el area, una ocurrencia bastante comun. Ejemplos de flujos de esta fndole son un flujo de relativamente alta velocidad a traves de una seccion de tuba, y un

-f\~ -'L; lD"''' ~ YL t5""' X

a} b)

FIGURA 3.8 Flujo unidimensional; a) flujo en un tubo; b) flujo entre placas paralelas.

FIGURA 3.9 Perfiles de velocidad uniforme.

Flujo plano: £/ vector de velocidad depende de las dos coordenadas x y y.

Flujo unidimensional: El vector de velocidad depende de solo una variable espacial.

Flujos desarrollados: Los perfiles de velocidad no varfan con respecto a las coordenadas espaciales en Ia direcci6n del flujo.

Flujo uniforme: Las propiedades del jluido permanecen constallles en toda el area.


Flujo inviscido: Los efectos viscosos no tienen influencia significativa en el flujo.

Flujo viscoso: Los efectos de viscosidad son significativos.

Flujos extemos: Flujos que existen en el excerior de un cuerpo.

Capa limite: Una capa de/gada unida a/limite don de se concentran los efectos viscosm:

CONCEPTO CLAVE Ef ffujo inviscido es una excefente predicci6n del ffujo afrededor de una superficie aerodim3mica.

flujo en una corriente. La velocidad promedio puede cambiar de una secci6n a otra; las condiciones de flujo dependen solo de Ia variable espacial en la direcci6n del flujo. En el caso de conductos gran des, puede ser necesario considerar Ia variaci6n hidrostatica de Ia presi6n normal a las lfneas de corriente.

3.3.2 Flujos viscosos e inviscidos

Un flujo de fluido puede ser clasificado de una manera general como flujo viscoso o flujo inviscido. Un flujo ioviscido es aquel en el que los efectos viscosos no influyen significativamente en el flujo y por lo tanto son ignorados. En un flujo viscoso los efectos de viscosidad son importantes y no pueden ser ignorados.

Para modelar un flujo inviscido analfticamente, sirnplemente Ia viscosidad se hace cero; esto obviamente haec que todos los efectos viscosos sean cero. Es mas diffcil crear un flujo inviscido experimentalmente, porque todos los fluidos de interes (tales como agua y aire) tienen viscosidad. La pregunta luego es: t.Existen flujos de interes en los que los efectos viscosos son insignificantes? La respuesta es: "sf, si los esfuerzos cortantes en el tlujo son pequefios y actuan en areas tan pequeiias que no afectan significativamente el campo de flujo". Este plantcamiento, desde luego, es muy general, y se requiere un ancilisis considerable para justificar Ia suposici6n de flujo inviscido.

Con base en Ia experiencia, se encontr6 que Ia clase principal de flujos, que pueden ser modelados como flujos inviscidos, son los flujos extemos, es decir, los flujos que existen en el exterior de un cuerpo, tales como el flujo alrededor de una superficie aerodinamica o una superficie hidrodinamica. Cualquier efecto viscoso que pudiera existir esta confinado a una delgada capa, Hamada capa limite, unida all.fmite, como la mostrada en la figura 3.10; Ia velocidad en una capa linUte siempre es cero en una pared fija, resultado de Ia viscosidad. En muchas situaciones de flujos, las capas limite son tan delgadas que simplemente pueden ser omitidas cuando se estudian las caracteristicas generales de un flujo alrededor de un cuerpo aerodincimico. Por ejemplo, Ia soluci6n de flujo inviscido proporciona una excelente predicci6n del flujo alrededor de una superficie aerodincimica, excepto en el interior de Ia capa limite y posiblemente cerca del borde de salida. El flujo inviscido tambien se presenta en contracciones en el interior de sistemas de tuberfas yen regiones cortas de flujos intemos en los que los efectos viscosos son insignificantes.

Los flujos viscosos incluyen Ia amplia clase de flujos internos, tales como flujos en tubas y conductos y en canales abiertos. En flujos como esos los efectos viscosos provocan perdidas sustanciales y respondcn a las inmensas cantidades de energfa que deben ser utilizadas para transportar petr6leo y gas por oleoductos. La condici6n no deslizante que produce una velocidad cero en Ia pared, y losesfuerzos cortantes resultantes. conducen directamente a estas perdidas.

Cap a If mite

\

Borde ~·--§:; de Ia capa • • · limite

.......-------

FIGURA 3.10 rlujo alrededor de una superficie aerodinamica.

http://libreria-universitaria.blogspot.com Sec. 3.3 I Clasificaci6n de los flujos de fluidos 91

V(t) V(t)

a) b)

FIGURA 3.11 Velocidad como una funci6n del tiempo en un flujo laminar: a) flujo discontinue; b) flujo continuo.

3.3.3 Flujos laminar y turbulento

Un flujo viscoso puede ser clasificado como flujo laminar o flujo turbulento. En un tlujo laminar el fluido fluye sin mezclado significativo de sus particulas pr6ximas entre si. Si se inyectara un colorante, el flujo no se mezclarfa con el fluido cercano excepto por actividad molecular; conservara su identidad durante un lapso de tiempo relativamente largo. Los esfuerzos cortantes viscosos siempre influyen en un flujo laminar. El flujo depende en gran medida del tiempo, a causa del movimiento erratico de un piston como lo muestran los resultados de salida de una sonda de velocidad en Ia figura 3.1la, o puede ser continuo, como se muestra en Ia figura figura 3.11 b.

En un tlujo turbuleoto los movimientos del fluido varian irregularmente de tal suerte que las cantidades tales como velocidad y presi6n muestran una variaci6n aleatoria con el tiempo y las coordenadas espaciales. Las cantidades ffsicas con frecuencia se describen mediante promedios estadfsticos. En este sentido un flujo turbulento "continuo" puede ser definido como: un flujo en el que las cantidades fisicas promedio dependen del tiempo y no cambian COD este. La figura 3.12 muestra mediciones de velocidad instantanea en un flujo turbulento discontinuo y continuo. Un colorante inyectado en un flujo turbulento se mezclara de inmediato por Ia acci6n del movimiento aleatorio de sus partfculas; rapidamente perdera su identidad en este proceso de difusi6n.

Un flujo laminar y un flujo turbulento pueden ser observados mediante Ia realizaci6n de un experimento simple con una llave de agua. Abrase Ia llave de modo que el agua fluya lentamente como una corriente silenciosa. Este es un flujo laminar. Abrase Ia llave lentamente y observese c6mo el flujo se vuelve turbulcnto. Note que un flujo turbulento se desarrolla con un gasto relativamente pequefio.

V(t) V(t)

a) b)

FIGURA 3.12 Velocidad como una funci6n del tiempo en flujo turbulento: a) flujo discontinue; b) flujo "continuo''.

F1ujo laminar: Un flujo sin mezc/ado significativo de las particulas pero con esfuerzos cortances viscosos significativos.

F1ujo turbulento: El flujo varia irregularmente de modo que sus cantidades muestran una variaci6n aleatoria.

CONCEPTO CLAVE Un colorsnte inyectsdo


FIGURA 3.13 Flujo laminar entre cilindros rotatorios. Se genera un flujo secundario como v6rtices toroidales regularmente separados. (Fotograffa de Burkhalter y Koschmieder).

Numero de Reynolds: Parametro que combina una longitud de escala, una velocidad de escala y Ia viscosidad cinemarica en

Re = VL v

La raz6n porIa cual un flujo puede ser laminar o turbulento tiene que ver con lo que sucede a una pequefia perturbaci6n del flujo. una perturbaci6n de las componentes de velocidad. Una perturbaci6n del flujo puede incrementar o disminuir su tamafio. Si una perturbaci6n del flujo en un flujo laminar se incrementa (es decir, el flujo es inestable), el flujo puede llegar a ser turbulento: si la perturbaci6n disminuye, el flujo permanece laminar. En ciertas situaciones el flujo puede convertirse en un flujo laminar diferente, como en el caso de flujo entre cilindros concentricamente rotatorios mostrado en Ia figura 3.13. A bajas velocidades de rotaci6n se desarrollara en cfrculos simples. Pero a una vclocidad suficientemente alta el flujo se vuelve inestable y de repente aparecen vortices; es un flujo laminar mucho mas complejo llamado flujo de Taylor-Conette.

El regimen de flujo depende de tres parametros ffsicos que describen las condiciones de flujo. El primero cs una escalade longitud del campo de flujo, tal como el espesor de una capa lfmite o el diametro de un tubo. Si Ia escala de longitud es suficientemente grande, una perturbaci6n del flujo puede incrementarse y el flujo puede llegar a ser turbulento. El segundo es una escala de velocidad tal como un promedio espacial de Ia velocidad; con una velocidad suficientemente grande el flujo puede llegar a ser turbulento. El tercero es la viscosidad cinematica; con una viscosidad suficientemente pequefia el flujo puede llegar a ser turbulento.

Los tres parametros se pueden combinar en uno solo que puede servir como herramienta para predecir un regimen de flujo. Esta cantidad es el numero de Reynolds, nombrada asf en honor de Osborne Reynolds (1842-1912) un parametro sin dimensiones, definido como

Re = VL v

(3.3.1)

donde L y V son una longitud y velocidad caracterfsticas, respectivamente, y v es la viscosidad cinematica; por ejemplo, un flujo por un tubo L es el diametro y V la velocidad promedio. Si el numero de Reynolds es relativamente pequefio, el flujo es laminar como se muestra en las figuras 3.13 y 3.14; si es grande, el flujo

FIGURA 3.14 Lineas de corriente alrededor de un arco semicircular. Con este m1mero de Reynolds de 0.031 los centros del par de remolinos en Ia cavidad se separan una distancia de 0.52 del diametro, en concordancia con una soluci6n de las ecuaciones diferenciales. Polvo de aluminio dispersado en glicerina es iluminado por una hendidura de luz. (Cortesfa de The Parabolic Press, Standford, California. Reimpresa con pem1iso).

http://libreria-universitaria.blogspot.comSec. 3.3 I Clasificaci6n de los flujos de ffuidos 93

V(t)

FIGURA 3.15 Grafica de velocidad contra sefial de tiempo creada por una sonda de velocidad en un flujo intermitente.

es turbulento. Esto se formula con mas precisi6n definiendo un mimero de Reynolds critico, Recr£11 de modo que el flujo es laminar siRe< Recrft· Por ejemplo, en un flujo por el interior de un tubo de pared aspera se encontr6 que Recrlt ::::: 2000. Este es el m1mero de Reynolds crftico mfnimo utilizado en Ia mayorfa de las aplicaciones de ingenierfa. Si la pared del tubo es extremadamente lisa y libre de vibraci6n, el nfunero de Reynolds crftico se incrementa a medida que disminuye el nivel de fluctuaci6n en el flujo; se han medido valores de mas de 40000. El numero de Reynolds es diferente para cada geometrfa, por ejemplo, es de 1500 para flujo entre placas paralelas si se utiliza la velocidad promedio y la distancia entre las placas.

El flujo tambien puede ser intermitentemente turbulento y laminar; en ese caso se llama flujo intermitente. Este fen6meno puede ocurrir cuando el numero de Reynolds sea proxima a Recrlt· La figura 3.15 muestra los datos de salida de una sonda de velocidad para un flujo como cse.

En una capa limite que existe en una placa plana, producida por una corriente de fluido a velocidad constante, como se muestra en Ia figura 3.16, Ia escala de longitud cambia con Ia distancia al borde de aguas arriba. Un numero de Reynolds se calcula utilizando la longitud x como Ia longitud caracterfstica. Con una cierta xT. Re llega a ser Recrrt y el flujo cambia de laminar a turbulento. Para una placa rfgida lisa por la que pasa un flujo uniforme con un bajo nivel de fluctuaci6n de corriente libre, se han observado valores tan altos como Recrlt = 106

. En lamayorfa de las aplicaciones de ingenierfa se supone una pared aspera, o un alto nivel de fluctuaci6n de corriente libre, con un m1mero de Reynolds crftico asociado de aproximadamente 3 X 105.

Noes apropiado referirse a una flujo inviscido como laminar o turbulento. El flujo inviscido de La figura 3.10 a menudo recibe el nombre de corriente libre. La corriente libre puede ser no rotatoria o puede poseer vorticidad; con mas frecuencia es no rotatoria.

Flujo turbulento

Fl~jo Transici6n "-/·')_

x ' lanunar I ......,./·'\. ['\. \ I _:~-.- _\..-r-t I 'j

~ I L---- . XT

FIGURA 3.16 Flujo de capa limite sobre una placa plana.

Numero de Reynolds critico: Nclmero arriba del cual un flujo laminar prima rio deja de existir.

CONCEPTO CLAVE En Ia mayoria de las ap/icaciones, se supone un numero de Reynolds crftico de 3 X 1~ en flujo sabre una placa plana.

Corriente libre: El flujo inviscido afuera de Ia capa /[mite en un flujo externo.


Flujo incompresible: La densidad de cad a particula de un fluido permanece constance.

CONCEPTO CLAVE La densidad constants es mas restrictiva que Ia incompresibilidad.

Numero de Mach: Paramerro en un gas definido como

M = ~. c

El tubo de 2 em de diametro de Ia figura E3.3 se utiliza para transportar agua a 20°C. (,Cual es Ia velocidad promedio maxima que existe en el tuho con Ia cual se garantiza un flujo laminar?

--~I'!-

~ A>~ @2<r'C

FIGURAE3.3

Solucion End apendice B encontramos que Ia viscosidad cinematica cs ,. = 10 6 m2/s. Si se utiliza un m1mero de Reynolds de 2000 para garantizar un flujo laminar. entonces

V = 2000v D

= 2000 x w-6 = 0 1 m/: 0.02 . s

Esta velocidad promedio es muy pequcna. Las velocidades aside pequei'ias en general no se present an en situaciones reales; por lo tanto el flujo laminar rara vez es de in teres en aplicaciones de ingenierfa cxcepto en temas especializados tales como el de lubricaci6n. La mayoria de los flujos internos son flujos turbulentos y por lo tanto el estudio de Ia turbulencia capta mucha atenci6n.

3.3.4 Flujos incompresibles y compresibles

La Ultima clasificaci6n importante a ser considerada en este capitulo divide los flujos en flujos incompresibles y compresibles. Un Oujo incompresible existe si Ia densidad de cada particula del fluido permanece relativamente constante conforme se desplaza a traves del campo de flujo, esto es

Dp -=0 Dt

(3.3.2)

Esta no demanda que la densidad permanezca constante en todas partes. Si Ia densidad es constante, entonces obviamente el flujo es incompresible, pero esa es una condici6n mas restrictiva. El flujo atmosferico, en el que p = p(z), donde z es vertical, los flujos que incluyen placas adyacentes de agua dulce y agua salada, como sucede cuando los rfos entran en el oceano, son ejemplos de flujos incompresibles en los que Ia densidad varfa.

Ademas de flujos de liquido, los flujos de gas a baja velocidad, como el del flujo atmosferico antes citado, tambien se consideran como flujos incompresibles. El nUmero de Mach, nombrado asf en honor de Ernst Mach (1838-1916), se define como

v M=c

(3.3.3)

donde V es la velocidad del gas y la velocidad de onda c = Vkifi. La ecuaci6n 3.3.3 es uti! para decidir si un flujo de gas particul~r puede ser estudiado como

http://libreria-universitaria.blogspot.com Sec. 3.4 I Ecuaci6n de Bernoulli 95

flujo incompresiblc. Si M < 0.3, las variaciones de Ia densidad son cuando mucho de 3% y se supone que el flujo es incompresible; para aire estandar este corresponde a una velocidad por debajo de 100m/so 300 pies/s. Si M > 0.3.la variaci6n de Ia densidad influye en el flujo y se debenin tener en cuenta los efectos de compresibilidad; tales flujos son flujos compresibles y se consideran en el capitulo 9.

Los flujos de gas incompresibles incluyen flujos atmosfericos, como Ia aerodimimica del atcrrizaje y despegue de aviones comercialcs. los flujos de aire de calefacci6n y aire acondicionado, el flujo alrededor de autom6viles y a traves de radiadorcs, y el flujo alrededor de edificios, por mencionar algunos. Los flujos compresiblcs incluyen Ia aerodinamica de aviones de alta velocidad, el flujo de aire a traves de motores de reacci6n, el flujo de vapor a traves de una turbina en una planta elcctrica, el flujo de aire en un compresor, y el flujo de Ia mezcla de airegas en un motor de combusti6n intema.

3.4 ECUACI6N DE BERNOULLI

En esta secci6n se presenta una ecuaci6n que probablemente se utiliza con mas frecuencia en aplicaciones de flujo de fluidos que cualquier otra ecuaci6n. Con frecuencia tambien es mal utilizada: por lo tanto es importante comprender sus limitaciones. Sus limitacioncs son el resultado de varias suposiciones hechas en su derivaci6n. Una de elias es que los efectos viscosos son omitidos. En otras palabras. de acuerdo con Ia ecuaci6n 1.5.5, los csfuerzos cortantes introducidos por gradientcs de vclocidad no son tornados en cuenta. Estos esfuerzos con frecuencia son muy pequeiios comparados con las difercncias de presi6n en el campo de flujo. En el ambito local, estos esfuerzos tienen poco efecto en el campo de flujo y se justifica Ia suposici6n. Sin embargo, a lo Largo de grandes distancias o en regiones de gradientes de alta velocidad, estos csfucrzos pucden afectar las condiciones de flujo por lo que los efectos viscosos deben ser incluidos.

La dcrivaci6n de esta importante ecuaci6n, Ia ecuaci6n de Bernoulli, se inicia con Ia aplicaci6n de Ia segunda ley de Newton a una partfcula de fluido. Se utiliza una particula cillndrica infinitesimal colocada como sc muestra en Ia figura 3.17, con longitud ds y area de secci6n transversal dA. Las fuerzas que actuan en Ia partfcula son las fuerzas de presi6n y el peso. como se muestra. Si se sum an las fuerzas en Ia direcci6n del movimiento. la direcci6n s, se obtiene

p dA - (p + ~ ds) dA - pg ds dA cos () = p ds dA a,

y

' II

p dA

Lfnea de corrienle

:A=----'- dlr = dlr ds ds

pg d.1 dA

L---------------------------------------x

(3.4.1)

FIGURA 3.17 Partfcula desplazandose a lo largo de una linea de corriente.

Flujo compresible: Las variaciones de densidad in flu yen en el flujo.

CONCEPTO CLAVE Los esfuenos cortantes con frecuencia son pequenos comparados con las dlferencias de


CONCEPTO CLAVE La presi6n total es p 1- pV1a.

Presion estatica: La presi6n p. en general expresada como presi6n manometrica.

donde a5 es la ace1eraci6n de Ia particula en la direcci6n s. Esta dada por1

(3.4.2)

donde iJV/iJt = 0 puesto que se supondra flujo continuo. Ademas, seve que

iJh dh = ds cos 0 = - ds (3.4.3)

de modo que iJh cos 0 =as

as

(3.4.4)

Luego, despues de dividir entre ds dA, y utilizando las ecuaciones anteriores para a5 y cos 0 la ecuaci6n 3.4.1 toma la forma

ap ah av -as-- pgas- = pva;- (3.4.5)

Ahora, se supone una densidad constante y se observa que V a VIas = a(V2/2)/as; entonces la ecuaci6n 3.4.5 se escribe como 3.4.5

a (V 2 P ) - -+-+gh = 0

as 2 p

Esta se satisface si, a lo largo de la linea de corriente,

vz p - + - + gh = canst 2 p

(3.4.6)

(3.4.7)

donde Ia constante puede tener un valor diferente en una linea de corriente diferente. Entre dos puntas en la misma linea de corriente,

Vt Pt Vi Jh -+-+ght =-+-+gh2 2 p 2 p

(3.4.8)

Esta es la muy conocida ecuaci6n de Bernoulli, nombrada asf en honor de Daniel Bemoulli (1700-1782). Observe las suposiciones:

Flujo inviscido (ningunos esfuerzos cortantes) Flujo continuo (aV/at = 0) A lo largo de la linea de corriente (as= V a VIas) Densidad constante (ap/as = 0) Marco de referencia inercial (A = a en la ecuaci6n 3.2.15)

Si la ecuaci6n 3.4.8 se divide entre g, esta ecuaci6n se transforma en

V2 Pt V 2 Pz _1 + - + ht = __.£ + - + h~ 2g 'Y 2g 'Y -

(3.4.9)

La suma de los dos terminos (pi'Y + h) se llama altura piezomerrica y Ia suma de los tres terminos altura total. A menudo se hace referencia a.la presion p como presion eshitica y la suma de los dos terrninos

1 Esto puede ser wrificado considerando Ia ccuaci6n 3.2.9a, suponicndo que u = w = 0. Consider.:se que Ia dirccci6n x es 1.angente a Ia linea de corriente en cl instante moslrado. de modo que 11 = I'.

http://libreria-universitaria.blogspot.com Sec. 3.4 I Ecuaci6n de Berno S1

(3.4.10)

se Uama presion total PrO presion de estancamiento, Ia presi6n en un pun to de estancarniento (vease Ia Fig. 3.7) en el Oujo.

La presi6n estatica en un tubo se puede medic simplemente con instalar un piezometro,2 mostrado en Ia figura 3.18a. Un dispositivo, conocido como sonda pitot, ilustrado en la figura 3.18b se utiliza para medic Ia presi6n total en un Oujo de Ouido. El punta 2 justa en el interior del tubo pitot es un pun to de estancamiento; Ia velocidad alli es cero. La diferencia entre las lecturas puede ser utilizada para determinar Ia velocidad en un pun to. Tam bien se utiliza una sonda estatica pitot para medir Ia diferencia entre las presiones total y estatica (Fig. 3.18c). La velocidad en el punta 1 (utilizando las lecturas del piez6metro y las sondas pitot, o Ia lectura de Ia sonda estatica pitot) se determina aplicando Ia ecuaci6n de Bernoulli entre los puntas 1 y 2:

V~ + P1 = P2 2g i' i'

(3.4.11)

donde se supuso que el punta 2 es un punta de estancamiento de modo que V2 = 0. De este modo se obtiene

V1 = j~ (P2 - P1) (3.4.12)

En el estudio de los Ouidos se encontraran mucbos usos para La ecuaci6n de Bernoulli. Hay que tener cuidado, sin embargo, de nunca utilizarla en un Oujo no estacionario o si los efectos viscosos son significativos (las razones principales que hacen inaplicablc Ia ecuaci6n de Bernoulli). Ademas nunca se debe confundir Ia ecuaci6n de Bernoulli con Ia ecuaci6n de energia; son ecuaciones independientes como se ilustra en Ia figura 3.6.

La ecuaci6n de Bernoulli puede ser utilizada para determinar Ia altura que alcanzara el agua de la manguera de un bombero, para determinar la presi6n en Ia superficie de una superficie aerodinamica3 a baja velocidad, y para calcular la fuerza del viento en Ia ventana de una casa. Todos estos ejemplos son Oujos externos, Oujos alrededor de objetos sumergidos en el Ouido.

Otra clase de problemas en los que se puede suponcr flujo inviscido y en los que Ia ecuaci6n de Bernoulli con frecuencia se a plica implican fiujos internos que recorren distancias relativamente cortas, por ejemplo, el flujo a traves de una

P1 (presi6n 1!!.1.itica)

v .. !J

b)

P2 (presi6n total)

flGURA 3.18 Sondas de presi6n: a) piez6metro; b) sonda pi tot; c) sonda pitot estMica.

c-kl se perfora un agujcro en Ia pared para insenar el piez6meuo. a menudo se forman rcbabas co Ia superfia: 1111ema. Es imponaote que se dcsbastco las rebabas porque pucden provocar errores hasta de 30% co las lecluas de presiOn.

Para cnnsidcrar cl Oujo alrededor de un acrona•-e como Oujo estaciona.rio, simplementc hacemos que cl acronave ~ qDede fija y movcmos cl airc, tal como se hace en los cstudios en los que sc utitiza cl tuncl de 'iento. Las prea:81:5 y Ia:. fucrzas permaneccn sin cambios.

Presion de estancaJJUe.to: La presi6n que existe t'l! un pun to de estancamientr.

Pieziimetro: lndicador diseiwdo para medir proWr: estatica.

Sonda pitot: lndicador diseiiado para medir pres1• in total.

Sonda estatica pitot: lndicador diseiiado para medir Ia diferencia entre presiOn total y estatica.

CONCEPTO CLAVE No confundir Ia ecuaci6n de Bernoulli con Ia ecuacion de energia.


a)

b)

FIGURA 3.19 Flujos inviscidos internos: a) flujo a traves de una contracci6n: b) flujo desde un pleno.

CONCEPTO CLAVE Los efectos viscosos requieren areas sustancia/es para que sean significativos.

Region separada: Una region de flujo recirculante porque el fluido se separa del limite.

CONCEPTO CLAVE La presion permanece relativamente baja en Ia parte trasera de una esfera.

contracci6n como se muestra en Ia figura 3.19a. o flujo desde un pleno, como se muestra en Ia figura 3.19b. Para un perfiJ de velocidad dado de entrada a Ia contracci6n corta, Ia cafda de presi6n ( p 1 - p2 ) y el perfil de velocidad en Ia secci6n pueden ser determinados de una manera aproximada si se supone un flujo inviscido. Los efectos viscosos en general son muy pequeiios y requieren distancias y areas considerables en que operar para volverse significativos: asf que en situaciones como las mostradas en Ia figura 3.19, los efectos viscosos casi siempre pueden ser omitidos.

El flujo inviscido no siempre da una buena aproximaci6n del flujo existente alrededor de un cuerpo. Considerese el flujo inviscido alrededor de una esfera, mostrado en Ia figura 3.20. Existe un punta de estancamiento donde V = 0 tanto enfrente como detras de Ia esfera. La ecuaci6n de Bernoulli predice una presi6n maxima en los puntas de estancamiento A y C porque Ia velocidad es cero en dichos puntas. En el punto B existini una velocidad maxima. y por lo tanto una presi6n minima. En el flujo inviscido de la parte a) el fluido que fluye deB a C lo hace desde Ia regi6n de baja presi6n cerca de B hasta Ia regi6n de alta presi6n cerca de C. En el flujo existe una delgada capa lfmite en Ia que Ia velocidad se reduce a cera en Ia superficie de Ia esfera. Este fluido Iento cerca del limite no tiene una suficiente cantidad de movirniento para llegar a al regi6n de alta presi6n cerca de C; el resultado es que el fl.uido se separa del limite -la linea de corriente a bandana el limite- y se crea una region separada. una regi6n de flujo recirculante, como se muestra en el fl.ujo ilustrado en Ia parte b). La presi6n nose incre'menta sino que permanece relativamente baja en Ia parte trasera de la esfera. La alta presion que existe cerca del punta de estancamiento delantero nunca se recupera en Ia parte trasera de Ia esfera, y el resultado es una fuerza de retardo relativamente grande en Ia direcci6n del fl.ujo. Ocurre un situaci6n similar en el flujo alrededor de un autom6vil.

a)

Capa limite delgada

b)

Regi6n separada

FIGURA 3.20 Flujo alrededor de una esfera: a) fiujo inviscido; b) flujo existente.

http://libreria-universitaria.blogspot.com Sec. 3.4 I Ecuaci6n de Bemoue.o "

a) b)

FIGURA 3.21 Cavitaci6n en una tobera venturi. con agua tluyendo a una \'elocidad de 15 m/s: a) lampara incandcscente, tiempo de exposici6n t, s: b) tiempo de exposici6n a luz estrobosc6pica 5 J.LS. (Fotograffa cortesfa de Ia Japan Society of Mechanical Engineers y Pergamon Press).

En el flujo en Ia parte delantera de Ia esfera puede ser considerado como un flujo inviscido; sin embargo es obvio que el flujo en Ia parte trasera de la esfera se aparta radicalmente de un flujo inviscido. Los efectos viscosos en Ia capa limite producen un flujo separado, un fen6meno que con frecuencia es indeseable. Por ejemplo, un flujo separado en una superficie aerodinamica recibe el nombre de stall y nunca debe ocurrir, excepto en las alas de aviones acrobaticos especiales. En las aspas de una Lurbina los flujos separados reduccn considcrablemente la eficiencia. El deflector de aire en cl techo de un tractocami6n reduce la rcgi6n separada. y de ese modo se reduce el retardo y el consumo de gasolina.

Silos efectos viscosos son insignificantes en el flujo de liquido continuo, se utiliza Ia ecuaci6n de Bernoulli para localizar puntas de posible cavitaci6n. Esta condici6n ocurrc cuando Ia presi6n local llega a ser igual a Ia presi6n de vapor del liquido. Debe ser evitada, hasta donde sea posible, par los dafios que provoca en superficies s6lidas, o porque el liquido vaporizado puede hacer que los aparatos no funcioncn con cficiencia. La [igura 3.21 muestra el flujo cavitante exactamente corriente debajo de una contracci6n en un tubo. En el punto donde ocurre Ia cavitaci6n, se generan burbujas de vapor pequefias que se colapsan cuando entran en una regi6n de alta prcsi6n. El colapso ocurre acompafiado de grandes presiones locales que duran s61o una pequefia fracci6n de segundo. Estos picas de presi6n pucden alcanzar una pared, don de, despues de repetidas aplicaciones, pueden producir dafios significativos.

Se tiene que hacer una observaci6n importante con rcspecto a los cambios de presi6n en un fluido que entra en y sale de un tubo o conducto. Considere un flujo desde un dep6sito a traves de un tubo, como se ilustra en Ia figura 3.22. Ala entrada las lineas de corriente se curvan y Ia presion nose mantiene constante a traves de Ia secci6n l,por lo que no sc puede suponer que Ia presion en Ia seccion 1 es uniforme. A Ia salida, sin embargo, las lineas de corriente son rectas, de modo que no

FIGURA 3.22 Salida de llujo a Ia atm6sfera.

CONCEPTO CLAVE El f/ujo en Ia parte delantera de una esfera puede ser considerado como un flujo inviscido.

Flujo perturbado: Flujo separado en una superficie aerodinamica.

CONCEPTO CLAVE Ocurre cavitaclon cuando Ia presion local es igual a Is presion de vapor.

CONCEPTO CLAVE A Is entrada de un tubo, las If ness de corriente se curvsn y Is presion no permsnece constants a trsves del area de entrada.

http://libreria-universitaria.blogspot.com1 00 Capitulo 3 I lntroducci6n al movimiento de los fluidos

CONCEPTO CLAVE La presion disminuye en Ia direcci6n n.

U 0 ILm / 'r. .

h1 :: h{.

\} =0

existe aceleracion normal a las lineas de corriente; por consiguiente Ia fuerzas de presion que acruan en los extremos del pequeiio volumen de control cilindrico deben ser iguales. Esto se escribe como p2 = Pacm o p2 = 0 presi6n manometrica.

En la figura 3.17 se sumaron las fuerzas que actuan en el elemento de fluido a lo largo de la linea de corriente y se deriv6 Ia ecuacion de Bernoulli. Se puede tener una mejor idea del campo de presi6n si se suman las fuer.las normales a la linea de corriente. Considere que la particula de fluido es un paralelepfpedo de longitud ds y espesor dn en Ia direcci6n n y area dA, en las caras laterales. Si se aplica la segunda ley de Newton en la direccion n se obtiene

( iJp ) y2

pdAs - p + an dn dAs = pdAsdn R (3.4.13)

donde se omitio el peso puesto que no se pretende integrar a lo largo de distancias significativas. Se supuso que Ia aceleracion en la direccion normal es V 2/R, donde R es el radio de curvatura en este flujo plano (en un flujo tridimensional habrfa un radio principal de curvatura y un radio de curvatura binormal). La ecuacion (3.4.13) se reduce a

iJp y2 --=p

iJn R (3.4.14)

Con esta ecuaci6n se pueden describir cualitativamente los cambios de Ia pres!6n normal a una lfnea de corriente. (La ecuaci6n de Bernoulli predice los cam bios de presion a lo largo de una linea de corriente). Si se reemplaza ap/iJn con !J.p/!:m, el cambia de presion incremental !lp a lo largo de una corta distancia t:m normal a Ia linea de corriente esta dada por

y2 !lp = -p-!ln

R (3.4.15)

Esta indica que Ia presi6n disminuye en Ia direcci6n n; esta disminucion es directamente proporcional a p y V2 e inversamente proporcional a R. Por consiguiente, un tornado con p = 0 en su exterior, tendra una presi6n muy baja en su centro donde R es relativamente pequefia y V es bastante grande.

En la figura 322 Ia presi6n seria relativamente baja en Ia esquina de Ia seccion 1 y relativamente alta en el centro de Ia seccion. Las descripciones cualititativas como esas son bastante utiles para entender el comportamiento de un flujo de fluido.

El viento alcanza una velocidad de 65 mph en una tormenta. Calculc Ia fuerza que actua en Ia ventana de 3 pies x 6 pies de Ia figura E3.4 de cara a Ia tormcnta. La ventana esta en un rascaciclos. de modo que Ia velocidad del viento no se reduce por los efectos del suelo. Use p = 0.0024 slugtfr3.

FlGURA E3.4

~--~~-----------------2 Vm~

V=65mpb

http://libreria-universitaria.blogspot.com Sec. 3.4 I Ecuaci6n de Bernoulli 101

Solucion La ventana de cara a Ia tormenta se eocuentra en una region de cstancamiento dondc Ia velocidad del viento se reduce a ccro. Si se trabaja con presiones manom~tricas.la presion p corricnte arriba en cl vicnto es cero. La vclocidad V ~cbc tencr unidadcs de ft/seg. Es

V = 65 mi x 1 hr x 5280 _n = 95.3 ft/se

hr 3600 sea 1 ffil g ""

La ecuaci6n de Bernoulli se utiliza en esta situaci6n porque se pueden ignorar los cfectos viscosos. y el flujo es continuo a lo largo de una linea de corricnte a densidad constante (cl airc cs incompresible a velocidadcs por debajo de 300 mph). La presion en Ia ventana se calcula eligiendo cl estado 1 en Ia corrientc libre y el estado 2 en Ia vcntana. como sigue:

pVi ···Pl = -2

= 0.0024 X 95.32

= to q lb/ft2 2 .

donde sc utiliz6 y ~ pg, 112 "= lt1,p1 = 0 y V2 = 0. Si se multiplica por el area seve que Ia fuerta cs

F=pA

= 10.9 X 3 X 6""" 196lb

Se recomienda verificar lac; unidadcs de lb/ft2 en el calculo de Ia prcsi6n anterior. Para • clio. se utiliza F = ma Ia que da slug = lb · seg2/ft. Cuando sc utilit.an unidades inglesas. siempre sc utili7.a Ia masa en slugs, Ia longitud en pies y el tiempo en segundos.

Ejemplo 3.5

La carga de presion cstatica medida con un picz6mctro en un tubo neumatico (fig. E35) resulta ser de 16 mm de agua. Una sonda pilot en cl mismo Iugar indica 24 mm de agua. C..alcule Ia vclocidad del aire a 20°C Tambicn. calcule el numcro de Mach y comente con respecto a Ia compresibilidad del flujo.

V--+ 0

1 .... ;

FIGURA F..J.S

SoluciOn La ecuaci6n de Bernoulli se aplica entre dos puntos de Ia lfnea de corrientc que termioa en el punto de estancamiento de Ia sonda pilot. El punto 1 esta locali7.ado corriente arriba y p2 es Ia presion total en el punto 2: luego. sin cambio de elevaci6n,

Vi Pt Pr -+-=-2g 'Y 'Y

La presi6n mcdida con el piez6metro es Pt = yh = 9810 X 0.016 = 157 Pa. Se utili7.a Ia ley del gas ideal para calcular Ia densidad:

(conrinoo)


p p= RT

= 157 + 101 000 - ~l 3 287 X (273 + 20) - 1.

203 kl:r'm

donde Ia presion atmosferica estandar.la cual es de 101000 Pa (si nose da un dato de clevaci6n. suponga condiciones estandar). se suma puesto que en Ia ecuaci6n anterior se requicre presi6n absoluta. Las unidades se verifican utilizando Pa = N/m2 y J = N • m. La velocidad es entonces

Vl = ~~(pT- pt)

= j 2<o.o24--.:.0lli6)X9810 = 11 42 m/: 1.203 . s

donde las unidades pucden ser verificadas por medio de kg = N • s2/m. Para calcular el mimero de Mach. se calcula Ia velocidad del sonido,la cual es

c = Vkifi = VI.4 x 287 X 293 = 343 m/s

El numero de Mach cs. por to tanto,

M = ~ = ~~~ = 0.0334

Obviamente. se puede suponer que cl flujo es incompresible puesto que M < 0.3. La velocidad tendria que ser mucho mas alta para que Ia compresibilidad llegue a ser significativa.

Ejemplo 3.6

La ecuacion de Bernoulli. en Ia forma de Ia ecuaci6n 3.4.8, se parece mucho a Ia ecuaci6n de cnergia dcsarrollada en termodinamica para un volumen de control. Analice las diferencias entre las dos ecuaciones.

Solucion Segun Ia termodimimica Ia ecuaci6n de energfa de flujo continuo para un volumen de control con una entrada y una salida adopta Ia forma

Q- w. =m (~1 + ;: +ii2 + 8z2)-,;, (~r +: +u1 + gz1)

Oespucs de dividirla entre g se escribe como.

V~ P2 Vi Pt - +- + Z2 = - + - + Z1 2g 'Y 2g 'Y

donde se hicieron las siguicntes suposiciones:

No hay transferencia de calor (Q = 0)

No hay trabajo de flecha CW, = 0)

No hay cambio de temperatura (ii2 = ii., p. ej .• no hay perdidas provocadas por esfuerzos cortantes)

Perfiles de vclocidad uniformes en las dos secciones

Aujo continuo

Densidad constante ( y 2 = yt)

http://libreria-universitaria.blogspot.com

Aun cuando varias de estas suposiciones son las mismas que las hcchas en Ia derivaci6n de Ia ecuaci6n de Bernoulli (flujo continuo, densidad constante y nada de csfuer"lOs cortantes), nose dcben confundir las dos ecuaciones: Ia ccuaci6n de Bernoulli se deriva de Ia segunda ley de Newton y es valida a lo largo de una linea de corriente, mientras que Ia ecuaci6n de cnergia sc deriva de Ia primera ley de Ia termodinamica yes valida entre dos seccioncs en un t1ujo de Ouido. La ccuaci6n de energfa puedc sa utilizada a traves de una bomba para detcrminar cl caballaje requerido para produdr una clevaci6n de presi6n particular; Ia ecuacion de Bernoulli puede ser utilizada a lo largo de una linea de corriente de estancamiento para dcterminar Ia presion en un punto de estancamiento. un punto donde Ia velocidad cs ccro. Las ecuaciones son bastantcs difcrcntcs, y simplemcnte porque Ia ecuaci6n de cncrgfa dcgenera en Ia ecuaci6n de Bernoulli en situaciones particulares, las dos no dcbcr.1n ser utilizadas fuera de contexto.

Ejemplo 3.7

Explique por que una rebaba en cJ lado corriente arriba de Ia abcrtura para cl picz6metro de Ia figura 3.18a producini una baja lectura de Ia presi6n.

FIGURA E3.7

Una rebaba en cl lado corrientc arriba de Ia abertura para el piez6mctro produce un flujo como t:l mostrado en Ia figura E3.7. Se desarrollaria un patr6n de linea de corriente que producirli una presi6n relativamente alta en cllado corricnte arriba de Ia rebaba y una presi6n relativamente baja en el lado corrientc abajo en Ia abertura para el tubo piezomctrico. Por consiguiente, puesto que el centro de curvatura de Ia lfnea de c~>rriente ~ta ccrca de Ia abertura. se registrara una baja lectura de Ia presi6n.

3.5 RESUMEN

Se utiliz6 Ia descripci6n Euleriana del movimiento para exprcsar Ia aceleraci6n como

av av av av a=u-+v-+w-+-ax ay az at

(3.5.1)

El movimiento de un fluido pucde provocar que sus partfculas gircn y/o sc deformen. Para un !lujo en el plano xy una partfcula girarfa con velocidad angular

y se deformarfa como sigue

dll € =-.u ax'

au Eyy =-,

ay

(3.5.2)

(3.5.3)

Sec. 3.5 I Resumen 103


Los flujos de fluido se clasifican como continuos, discontinuos; viscosos o inviscidos; laminares, turbulentos, o de corriente libre; e incompresibles o compresibles. Cualquiera de estos puede ser un flujo uniforme uni, bi y tridimensional. Se requiere experiencia y pnktica para clasificar apropiadamente un flujo particular de in teres. S61o para los flujos simples (p. ej ., flujos continuos, laminares incompresibles, uniformes) se espera obtener una soluci6n relativamente simple.

Por ultimo, Ia famosa ecuaci6n de Bernoulli

vf P1 vi P2 -+-+gh, =-+-+gh2 (3.5.4) 2g 'Y 2g 'Y

fue presentada para flujo continuo, inviscido de densidad constante a lo largo de una Linea de corriente en un marco de referencia inercial. Tambien se obtuvo Ia estimaci6n del cambia de presion normal a una linea de corriente:

v2 !!..p =- pR!J.n (3.5.5)

PROBLEMAS

Campos de flujo

3.1 Se enciende un fuego y el humo que sale de Ia chimenea se eleva recto; no hay viento. Luego de algunos minutos empieza a soplar el viento pero el humo continua elevandose lentarnente. Dibuje Ia linea fugaz del humo, Ia linea de trayectoria de las primeras particuJas que salen de Ia chimenea, y unas cuantas lineas de corriente, suponiendo que el viento sopla paralelo al suelo en una direcci6n constantc.

3.2 Una invcstigadora cuenta con varios dispositivos de flotaci6n equipados con una bateria y un foco. Explique c6mo determinara las lineas de trayectoria y las lineas fugaces cerca de Ia superficie de una corriente con algunas corrientes desconocidas que cambian con el tiempo.

3.3 Un niiio persigue a su papa alrededor del jardfu con la manguera de agua de Ia figura P3.3. Dibuje una linea de trayectoria y una linea fugaz si el nifio corre perpendicular al chorro de chorro de agua.

FIGURA P3.3

3.4 El globo de aire caliente de Ia figura P3.4 viaja con el viento. El vector de velocidad del viento cs V = 6i + 10j m/s durante Ia primera bora y luego

es lOi + 5] mls durante 2 horas. En un sistema de coordenadas xy, dibuje Ia linea de trayecloria del globo y las Hneas de corriente cuando t = 2 horas. Si varios globos de aire caliente partieron del mismo Iugar, dibuje la linea fugaz formada por los globos cuando t = 3 horas. Los globos parten del origen.

FIGURAP3A

3.5 Un campo de velocidad esta dado por V = (2t + 2)i + 2tj rn/s. Dibuje las lfneas de trayectoria de dos partfculas hasta cuando t = 5 s, una surge en cl origen cuando t = 0, y Ia otra en el origen cuando t = 2 s. Ademis, dibuje las lineas de corriente cuando t = 5 s.

3.6 Mediante coordenadas rectangulares, exprese Ia componenle z de la ecuaci6n 3.2.2.

3.7 Se tiene que estudiar la situaci6n del trafico en la isla Mackinac, Michigan, donde no se permiten autom6viles (circuJan bicicletas). Comente sabre c6mo se podria realizar dicho estudio utilizando un


procedimiento Lagranguiano y un procedimieoto EuJeriano.

3.8 Determine Ia velocidad de una partfcula de fluido en el origen yen e( punto (1, - 2, 0) para cada uno de los campos de velocidad, cuando t = 2 s. Todas las distancias estao en metros y t en segundos. (a) V = (x + 2)i + xcj - zk mls (b) V = xyi - 2/-j + tyzk m/s (c) V = xlti - (xz + 2t)j + xytk mls

3.9 Determine el vector unitario normal a Ia linea de corriente eo un punto donde V = 3i- 4j en un flujo plano. A. 0.6i + o.sr B. -0.6i + 0.8j C. 0.8i - 0.6j D. 0.8i + 0.6j

3.10 CalcuJe el angulo que el vector de velocidad forma con el eje x; y un vector unitario normal a Ia linea de corriente en (1, - 2) en los siguientes campos de velocidad cuando t = 2 s. Todas las distancias estan en metros y t en segundos. (a) V = (x + 2)i + xrj mls (b) V = xyi- 2j-j m/s (c) V = (.xl + 4)i- y7j mls

3.11 Encueotre la ecuaci6n de Ia lfnea de corriente que pasa por (1, -2) cuando t = 2 s para el flujo del: (a) Problema 3.10a (b) Problema 3.10b (c) Problema 3.10c

3.12 Un campo de velocidad esta dado por V = 2xyi - j-j m/s. La magnitud de Ia aceleraci6n en ( - 1 m, 2m) es aproximadamente de:

A. 11.21 m!s2 B. 14.69 mls2

C. 17.89 mls2 D. 1.2 mls2

3.13 Halle el vector de aceleraci6n para flujo de fluido que posee el siguiente campo de velocidad donde x,y, z estan eo metros. Evalue Ia aceleraci6n en (2. - 1, 3) cuando 1 = 2 s.

(a) V = 20 (1 - j-)i mls (b) V = 2xi + 2yj m/s (c) V = .x2 ti + 2xytj + 9'ztk mls (d) V =xi - 2xyzj + tzk mls

3.14 Encuentre el vector de velocidad angular para los siguientes campos de llujo. Evalue la velocidad angular en (2, -1, 3) cuando 1 = 2 s.

(a) Problema 3.13a (b) Problema 3.13b (c) Problema 3.13c (d) Problema 3.13d

3.15 Encuentre el vector de vorticidad para los siguientes campos de flujo. Evalue Ia vorticidad en (2, - 1, 3) cuando t = 2 s, en el

(a) Problema 3.13a (b) Problema 3.13b (c) Problema 3.13c (d) Problema 3.13d

3.16 Determine las componentes del tensor de velocidad de deformaci6n para el campo de velocidad en (2, -1, 3) cuando t = 2 s, en el

(a) Problema 3.13a (b) Problema 3.13b (c) Problema 3.13c (d) Problema 3.I3d

Problemas 105

3.17 Las componentes de Ia velocidad en coordenadas cilindricas estan dadas por

Ur = ( 10 - ~) cos (J mls, Us = - ( 10 .j. ~) sen (J mls

(a) CaJcuJe Ia aceleraci6n de una particuJa de fluido que ocupa el punto (4 m, 180°).

(b) CaJcuJe Ia componente de vorticidad en (4 m, 180°).

3.18 Las componentes de velocidad en coordenadas esfericas estan dadas por

Ur = ( 10 - ~)cos (J mls, u0 = - ( 10 + ~~) sen fJ m/s

(a) CalcuJe Ia aceleraci6n de una partfcuJa de lluido que ocupa el punto ( 4 m, 180°).

(b) CaJcuJe Ia componente de vorticidad en (4 m, 180°).

3.19 Ocurre un flujo discontinuo entre placas paralelas de modo que u = u(y, t), v = 0 y w = 0. Escriba una expresi6n para Ia aceleraci6n. j,Cucll es Ia aceleraci6n si el flujo es continuo, esto es, u = u(y), v=Oyw = O?

3.20 Considere un flujo continuo simetrico en un tubo con las componentes de velocidad axial y radial designadas u(r,x) y u(r,x), respectivamente. Escriba las ecuaciones para las dos componentes de aceleraci6n ar y ax. Use ecuaciooes de la tabla 3. Vcase Ia figura P3.20 para las coordenadas.

u(r)

(a)

F1GURA P3.20

3.21 La velocidad en el tubo de 2 em de diametro de Ia figura P3.21 tiene s61o una compooente de velocidad no cero dada por u(r, t) = 2(1 - r2tr5) (1 - e '11~ m!s, donde r0 es el radio del tubo y t esta en seguodos. CaJcuJe Ia velocidad y aceleraci6n maximas: (a) A lo largo del eje del tubo. (b) A lo largo de una linea de corriente con

r = 0.5 em. (c) A lo largo de una lfnea de corriente cerca de

Ia pared del tubo.

[Sugerencia: Sean u~ = u(r, t), Ur = 0 y u6 = 0 en las ecuaciones apropiadas de Ia tabla 3.1].


(a)

FIGURA P3.21

3.22 La temperatura cambia peri6dicamente en un flujo de acuerdo con T(y, t) = 20 (l -/)cos m/l00°C. Si Ia velocidad esta dada por u = 2 ( 1 - y2

) m/s, determine Ia velocidad de cambio de Ia temperatura de una partfcula de fluido localizada en y = 0 si t = 20 s.

3.23 La densidad del aire en Ia atm6sfera varia de acuerdo con p(z) = 1.23e_ ,o-•, kg/m3. El aire que fluye sobre Ia montana de Ia figura~ P3.23 tiene el vector de velocidad V = 20i + lOk m/s en un Iugar de interes donde z = 3000 m. Calcule Ia velocidad con Ia que Ia densidad de una partfcula cambia en ese Iugar.

FIGURA P3.23

3.24 La variaci6n de Ia densidad con Ia elevaci6n esta dada por p(z) = lOOQ (1 - z/4) kg!m3. En un Iugar donde V = lOi + lOk m/s, calcule Dp/Dt.

3.25 Se agrega sallentamente al agua que circula por una tuberia de modo que ap/ax = O.Ql kg/m4

.

Determine Dp!Dc if si Ia velocidad es uniforme de 4 m/s.

3.26 La velocidad mostrada en Ia figura P3.26 esta dada por V(x) = 10/(4 - x)2 m/s. La aceleraci6n en x = 2 m es aproximadamente de: A. 52.5 m/s2 B. 42.5 m/s2

C. 25 m/s2 D. 6.25 m/s2

~--X FIGURA P3.26

3.27 Exprese Ia derivada sustancial en funci6n del gradiente V y el vector de velocidad V. Recuerde que por el calculo y en coordenadas rectangulares

a. a-: a· V=-•+-J +-k ax ay az

3.28 Las ecuaciones 3.2.9 se pueden escribir en forma vectorial sirnplificada. El gradiente es un operador vectorial expresado en coordenadas rectangulares

V a • a ~ a k. Es 'b 1 d como = - 1 + - J + - . en a e pro ucto ax ay az punto del vector de velocidad V y el gradiente V, luego escriba las ecuaciones 3.2.9 como una ecuaci6n vectorial que exprese Ia aceleraci6n a como Ia suma de Ia aceleraci6n local y Ia aceleraci6n convect iva.

3.29 Para el flujo mostrado en Ia figura P3.29, con respecto a una marco de referencia fijo, encuentre Ia aceleraci6n de una partfcula de fluido en el: (a) Punto A (b) Punto 8

El agua en B forma un angulo de 30° con respecto al suelo y el brazo rociador esta en posici6n horizontal.

20 rad/s

fl. Ae --+ 4m/s

I. 8

1.5 m I.Sm

20 m/s

FIGURA P3.29

3.30 Un rfo fluye en direcci6n a! sur a 5 m/s a una latitud de 45°. Calcule Ia aceleraci6n de una partfcula que flota con e l rio con respecto a un marco de referencia fijo. El radio de Ia tierra es de 6000 km.

Clasificaci6n de los flujos de fluido

3.31 Considere cada uno de los flujos siguientes y diga si pueden ser considerados como flujo uni, bi o tridimensional o como un flujo uniforme: (a) Flujo desde un tubo vertical que choca

contra un muro horizontal (b) Flujo en las olas del oceano cerca de Ia playa (c) Flujo cerca de Ia entrada a un tubo (d) Flujo alrededor de un cohete con nariz roma (e) Flujo alrededor de un autom6vil

(f) Flujo en un canal de irrigaci6n (g) Flujo a traves de una arteria (h) Flujo a traves de un vertedero

3.32 (.Cual de los flujos del problema 3.31 podrfa ser considerado como flujo continuo? (.Cu!'il debe ser modelado como flujo discontinuo?

3.33 (.Cual Oujo del problema 3.31 podria ser modelado mejor como flujo plano?


3.34 Seleccione los flujos del problema 3.31 que poseen un pun to de estancamiento. Dibuje cada uno de los flujos y seiiale Ia ubicaci6n del pun to de estancamiento.

3.35 £,Cual de los flujos del problema 3.31 podria ser modelado como flujo desarrollado?

3.36 Diga si cada uno de los flujos del problema 3.31 podrfa ser considerado principalmente como flujo inviscido o flujo viscoso.

3.37 Seleccione los flujos del problema 3.31 que son externos. £,Cada uno de los flujos externos posee un pun to de estancamiento?

3.38 Dibuje el flujo alrededor de una navaja colocada paralela al flujo que muestra las capas lfmite.

3.39 El flujo en Ia secci6n del conducto mostrado en Ia figura P3.26 es un: A. flujo desarroUado B. flujo uniforme C. flujo unidimensional D. flujo bidimensional

3.40 El agua a 32° que sale por Ia Have de 1.5 em de diametro de Ia figura P3.40 lo hace a una velocidad promedio de 2 rn/s. £,Esperarfa que el flujo fuera laminar o turbulento?

3.41

3.42

3.43

FIGURA P3.40

El rfo Red Cedar fluye placidamente a traves del campus de Ia Universidad Estatal de Michigan. En una cierta secci6n Ia profundidad es de 0.8 m y Ia velocidad promedio es de 0.2 m/s. £,El flujo es laminar o turbulento?

Por un ducto de calefacci6n rectangular de 30 em X 6 em circula aire a 40°C a una velocidad promedio de 4 m/s. £,Es el flujo laminar o turbulento?

La esfera de diametro D de Ia figura P3.43 se desplaza a una velocidad V de 1.2 m/s en aire atmosferico a 20°C. Si. Re = VD/v es menor que 4 X 104

,

Ia capa lfmite alrededor de Ia parte frontal de Ia esfcra es completamente laminar. Determine si Ia capa lfmite es completamente laminar en una esfera de diametro:

(a) 1 em (b) 1m

3.44

Problemas 107

FIGURA P3.43

La superficie aerodinamica de un avi6n comercial puede ser considerada como Ia placa plana mostrada en la figura P3.44. i Cuan larga se espera que sea Ia porci6n laminar de Ia capa limite si vuela:

(a) a una altitud de 10 000 my a una velocidad de 900 km/h?

(b) a una altitud de 30 000 pies y a una velocidad de 600 mph?

---+ ---+ --+v ---+

I• xr l -----. I .. .. -

'"'--- .. ---FIGURA P3.44

3.45 Una hoja se mantiene fresca por transpiraci6n, un proceso en el cual el agua fluye desde Ia hoja a Ia atm6sfera. Un iovestigador se pregunta si Ia capa limite en Ia hoja influye en Ia transpiraci6n, por lo que una hoja "experimental" se coloca en el laboratorio y se sopla aire sobre ella a 6 m/s. Comente si espera que Ia capa limite sea laminar o turbulenta.

3.46 En las siguientes situaciones diga si se requiere flujo compresible o si el flujo puede ser representado con mas o menos precisi6n por un flujo incompresible:

3.47

3.48

(a) Un avi6n que vuela a 100 m/s a una altura de 8000 m

(b) Una pelota de golf que viaja a 80 rn/s (c) Flujo alrededor de un objeto estudiado en un

tune! de viento a alta temperatura si Ia temperatura es de l00°C y Ia velocidad del aire es de 100 m/s

Escriba Ia ecuaci6n 3.3.2 utilizando Ia ecuaci6n 3.2.11. En el caso de flujo plano continuo £,que relaci6n debe existir para un flujo incompresible en el que se permite que Ia densidad varfe?

Si p = Po (1 + cz) modela Ia variaci6n de densidad en un canal (en el fondo y en Ia parte superior hay agua salada pesada) en el que u(y, z) es Ia (inica COmponente de velocidad, 1.,es el flujo incompresibJe?


Ecuacion de Bernoulli

3.49 Se mide Ia velocidad de un avi6n con una sonda pitot. Si el tubo pi tot mide 800 mm de agua, calcule Ia velocidad del avi6n. Use Pairc = 1.23 kglm3

.

A. 125 m/s B. 113 m/s C. 80 rnfs D. 36 m/s

3.50 Se utiliza un tubo pitot para medir Ia velocidad de un pequefio avi6n que vuela a 3000 pies. Calcule su velocidad si el tubo pitot mide: (a) 0.3 psi (b) 0.9 psi (c) 0.09 psi

3.51 Calcule Ia fuerza que actua en el faro de 15 em de diametro mostrado en Ia figura P3.51 de un autom6vil que viaja a 120 kpb.

3.52

FIGURA P3.51

Una aspiradora es capaz de crear un vacfo de 2 kPa exactamente en el interior de Ia manguera de Ia figura P3.52. i,Ou6 velocidad maxima promedio es de esperarse en la manguera?

FIGURA P3.52

3.53 Un tubo pitot mide 600 mm de agua en una tuberia que transporta agua. Una sonda de presi6n estatica en el mismo Iugar lee 200 mm de agua. La velocidad del agua en Ia tuberfa es aproximadarnente de: A. 1.10 m/s B. 1.98 m/s C. 2.8 m/s D. 3.43 m/s

3.54 Un man6metro, que utiliza una sonda pitot, lee 10 mm de mercurio. Si se desca conocer Ia velocidad en una tuberla que transporta agua en Ia cual esta montado el man6metro, i,qu6 informaci6n adicional de Ia siguiente lista se requiere?

I. La temperatura del agua fl. La presi6n en Ia tuberia

III. La densidad del mercurio IV El diametro de Ia tuberia

A. ly IT B. IlyiU c. illyiV D. illyiV

3.55 El flujo inviscido incompresible cerca de un punto de estancarniento (P3.55) puede scr representado con mas o menos precisi6n por u = - lOx, u = lOy. Si Ia presi6n en el origen es p 0 encuentre una expresi6n para la presi6n sin considerar los efectos de la gravedad: (a) A lo largo del eje negativo x (b) A lo largo del eje positivo y

y

I

~ --- ·-· --x

~ FIGURA P3.55

3.56 El campo de flujo inviscido incompresible exterior al cilindro mostrado en Ia figura P3.56 esta dado por

ur = u .. ( 1 - ~;)cos 8 y u0 = u .. ( 1 + :~) sen 9. Si Ia presion cuando r = oo es cero (es decir, p,., = 0), encuentre una expresi6n para Ia presi6n sin tomar en cuenta los efectos de Ia gravedad: (a) A lo largo del eje negativo x (b) En el punto de estancamiento (c) En Ia superficie del cilindro (d) En Ia superficie del cilindro con 8 = 90°

FIGURA P3.56

3.57 El campo de flujo inviscido incompresible exterior a una esfera (vease Ia Ftg. P3.56) esta dado por ur =

u .. ( I - :~) cos 9 y u0 = u,.( I + )J sen 8.

Si Ia presion cuando r = oo es cero (es decir, poo = 0), encucntre una expresi6n para Ia presi6n sin tomar en cuenta los efectos de Ia gravedad: (a) A lo largo del eje negativo x (b) En el punto de estancamiento (c) En Ia superficie de la esfera (d) En Ia supcrficie de Ia esfera con 9 = 90°

3.58 La velocidad a lo largo del eje negativo x en el campo de flujo inviscido incompresible exterior al cuerpo mostrado en a figura P3.58 esta dada por


u(x) = U,. + qi2'TTX. Si Ia presi6n cuando x = - oc

es cero, encuentre una expresi6n para Ia presion sin tomar en cuenta los efectos de Ia gravedad: (a) A lo largo del eje negativo x si U,. = 10 m/s y

q = 20?Tm2/s (b) En el punto de estancamiento si U,. = 10 m/s

y q = 20?T m2/s (c) A lo largo del eje negativo x si U,. = 30 f11seg

y q = 60?T tr/seg (d) En el punto de estancamiento si U,. = 30

fUseg y q = 60?T fr/seg

FIGURA P3.58

3.59 Se supone que el flujo incompresible de agua a traves de Ia contracci6n corta de Ia figura 3.19a es inviscido. Si se mide una cafda de presi6n de 20 kPa, calcule Ia velocidad en Ia pared en Ia secci6n 2 exactamente corriente debajo de Ia contracci6n. (En realidad, se desarroUara una capa limite, y Ia velocidad calculada en Ia pared sera Ia vclocidad en el borde Ia capa limite; vease la intercalaci6n en Ia Fig. 3.10).

3.60 Desde un pleno relativamente grande de un homo fluye aire por un ducto rectangular relativamente pequefio. Si Ia presion medida en el pleno es de 60 Pa y en el ducto de 10.2 Pa, calcule Ia velocidad del aire a 40°C en el ducto.

3.61 ;,Cuat es Ia velocidad del agua en el tubo? si el man6metro mostrado en Ia figura P3.61 lee: (a) 4 em (b) 10 em (c) 2 in (d) 4 in

v

FIGURA P3.61

Problemas 1 09

3.62 Un man6metro, colocado en el interior de un cilindro, como se muestra en la figura P3.62, lee 4 em de agua. Calcule U,. suponiendo un flujo inviscido. Remitase al campo de velocidad del problema 356.

u_ ---+

FIGURA P3.62

3.63 Un man6metro, colocado como se muestra en Ia figura P3.62 en el interior de una esfera, lee 4 em de agua. Calcule U., suponiendo un flujo inviscido. Remitase a1 campo de velocidad del problema 3.57.

3.64 La manguera de una aspiradora succiona aire a 20°C a traves de una cabeza que esta relativamente libre de obstrucciones ( el flujo puede ser supuesto como inviscido). Calcule Ia velocidad en Ia manguera si el vacio en ella es de: (a) 2 em de agua (b) 8 em de agua (c) 1 in de agua (d) 4 in de agua

3.65 Un tU.nel de viento esta diseiiado para succionar aire de Ia atm6sfera y produce una velocidad de 100m/sen Ia secci6n de prueba. El ventilador esta localizado corriente abajo de Ia secci6n de prueba. t.Oue presion se espera en Ia secci6n? si Ia temperatura atmosferica y Ia presi6n son: (a) -20°C, 90 kPa (b) ooc.. 95 kPa (c) 20°C.. 92 kPa (d) 40°C, 100 kPa

3.66 Una manguera de agua se presuriza a 800 kPa con una boquilla cerrada. Si Ia boquilJa se abre un poco, como se muestra en Ia figura P3.66, calcule Ia velocidad de salida del agua. Supooga que Ia velocidad en el interior de Ia manguera es insignificante. A. 40 m/s B. 30 m/s C. 20 m/s D. 10 mls

VaJvul?:

c 1 m . . -. FIGURA P3.66

3.67 La bomba mostrada en la figura P3.67 crea un flujo de modo que V = 14 m/s. Pronostique Ia presi6n en el calibrador mostrado suponiendo un flujo inviscido a la entrada y un flujo uniforrne en el calibrador. Use una linea de corriente que sc inicia en el: (a) Pun to A. (b) Pun to B.

http://libreria-universitaria.blogspot.com110 Capftulo 3 I lntroducci6n al movimiento de los fluidos

8

4 m Agua

• A

FIGURA P3.67

3.68 Para el Oujo mostrado en Ia figura P3.68, calcule Ia presion Pt y Ia velocidad VI si v 2 = 20 m/s y: (a) H = 1 em (b) H = 5 em (c) II= 10 em

3.71 l,A que velocidad maxima puede ser acelerada el agua antes de que llegue a las aspas de una hidroturbina si entra con una velocidad relativamente baja a: (a) 600 kPa? (b) 300 kPa? (c) 80 psi? (d) 40 psi?

3.72 En un Iugar particular de Ia red de suministro de agua de una ciudad existe agua a una presi6n de 500 kPa. La tuberfa de agua pasa sobre una colina. l.Que tan alta podrfa ser Ia cotina, sobre ese Iugar, para que el sistema suministre agua al otro lado de Ia colina?

3.73 Entre los discos radiales mostrados eri Ia figura P3.73 fluye un fluido. Calcule Ia presi6n en el tubo de 2 em de diametro si e l fluido sale a Ia atm6sfera. Pase por alto los efectos viscosos. El tluido es: (a) agua (b) benceno (c) gasolina (d) aire

Agua ---=- .. V2 =20 mls

FIGURA P3.68

3.69 Un bombero reduce el area de salida de una boquilla de modo que Ia velocidad en el interior de Ia manguera es bastante pequefia con respecto a Ia velocidad de salida . £,Cual es Ia velocidad de salida maxima y cu::il es Ia altura maxima que el agua puede alcanzar si Ia presi6n en el interior de Ia manguera es de: (a) 700 kPa? (b) 1400 kPa? (c) 100 psi? (d) 200 psi?

3.70 Se supone que Ia velocidad corriente abajo de una compuerta de desague es uniforme (Fig. P3.70). Exprese V en funci6n de H y h para este Oujo inviscido. Use una Unca de corriente: (a) A lo largo del borde superior (b) A lo largo del borde inferior

Agua Compuerta de desagUe

H h

FIGURA P3.70

V1 = lOmls

FIGURA P3.73

3.74 Calcule Ia presi6n en r = 10 em si Ia velocidad alli es de 8 rrils en el problema 3.73d.

3.75 A traves de los discos mostrados en Ia figura P3.75 fluye benceno. Si V2 = 30 ntis, Ia presi6n p 1 es aproximadamente de: A. 150 kPa B. 200 kPa C. 250 kPa D. 300 kPa

FIGURA P3.75

3.76 Se propane que se utilice aire soplado a traves de un tubo unido a una disco de metal para recoger sabres, como se muestra en la figura P3.76. i,Ese montaje realmente recogerfa un sobre? Explfquelo. Suponga un flujo inviscido con el aire reduciendo su velocidad a medida que se mueve radialmente bacia fuera.


v

E I J!tz~:,.~., nvo vente

\ l

FIGURA P3.76

3.77 (,De cucil de los siguientes objetos esperarfa que se separe el flujo y forme una regi6n separada sustancial? (a) Una pelota de golf (b) Un cable telef6nico (c) El aspa de un molino de viento (d) Un cable de 2 mm de diametro en un tU.nel

de viento de baja velocidad (e) Un autom6vil (f) Un avi6n

(Nota: Ocurre separaci6n siempre que el numero de Reynolds excede un valor alrededor de 20 sobre un objeto romo).

3.78 Explique, con el uso de un dibujo, por que una rebaba en ellado corriente debajo de una abertura para un piez6metro en un tubo (vease Ia Fig. 3.18a) producira una lectura de la presi6n demasiado alta.

3.79 Un flujo incompresible, inviscido de agua entre en un codo con una velocidad uniforme de V1 = 10 m/s (Fig. P3.79). Calcule Ia diferencia de presi6n entre los puntos A y B si el radio promedio de curvatura en el codo es de 5 em. Dibuje el perfil de velocidad anticipado a lo largo de AB. Suponga que PA < Pt Y Ps >P I·

Problemas 111

2cm

FIGURA P3.79

3.80 La viscosidad provoca que un fluido se pegue en una superficie. Si el fluido del problema 3.79 se pega a la superficie, explique por que, en un fluido viscoso. el codo crea un flujo secundario. Dibuje el flujo a traves una secci6n transversal circular en Ia secci6n 2.

3.81 En la figura P3.81, suponiendo un flujo inviscido, inserte uno de estos signos entre Ia presi6n: >, <, ==.

PA

Pc PB

8 D

PB Po Po

FIGURA P3.81

Mecánica de Fluidos CAP. 3 - 3ra Edición - Merle C. Potter & David C. Wiggert

Documents

Transcript of Mecánica de Fluidos CAP. 3 - 3ra Edición - Merle C. Potter & David C. Wiggert