Mecánica Cuántica

I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

• Introducción a la mecánica cuántica. Luis de la Peña

• Gasiorowicz S; Quantum Physics; tercera edicion 0471429457

• Introduction to Quantum Mechanics. D. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051

• Quantum Mechanics. Third edition. Eugen Merzbacher

• Quantum Mechanics. Volume 1. Messiah

• Modern Physics. Third edition. Serway, Moses, Moyer 0534493394

• Quantum Physics. A Fundamental Approach to Modern Physics. J. S Townsend 2010

• Concepts of Modern Physics. Sixth edition. Arthur Beiser 0072448482

• Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Eighth edition. Serway and Jewett ISBN-13 978-1-4390-4844-3

• Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Fourth edition. Douglas C. Giancoli

• Physics for scientists and engineers with modern physics. Third edition. Fishbane et al

• Physics for scientists and engineers. Second edition. Randall D. Knight 0805327363

Ni son todos los que están, ni están todos los que son.

El teorema de Gödel (1931)

1. A cada estado de un sistema

físico le corresponde una función

de onda , .x t

2

2

2. La evolución temporal y

el comportamiento espacial

de la función de onda

están dados por la ecuación de

Schrödinger,

,, ,

2

x ti x t V x t

t m

2

3. (La hipótesis de Born) El cuadrado

de la función de onda,

, , ,

es la densidad de probabilidad del

sistema.

x t x t x t

2

3. El cuadrado de la función de onda,

, , ,

es la densidad de probabilidad del sistema.

x t x t x t

2 Probabilidad de encontrar a la partícula,

entre y , al tiempo x t dx

x x dx t

2

Para una partícula en un estado ,

la probabilidad de que esté entre

y es entonces

Prob( ) ,b

a

a b

a x b t x t dx

2

Es claro, que se tiene que tener

Prob , 1x x t dx

2

Para una partícula en un estado , la probabilidad de que esté

entre y es entonces Prob( ) ,b

a

a b a x b t x t dx

2La cantidad es siempre real, y por

lo tanto, el postulado de Born es consistente.

Pero esto no prueba todavia la validez de

dicho postulado, pues no es la única

función real que se puede obtene

r a partir de .

Sin embargo, se puede dar un argumento de

plausibilidad del modo siguiente:

, , es la densidad de probabilidadx t x t

2 2

2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

La satisface la ecuacion de Schrodinger

2y también su compleja conjugada,

2Restandolas,

2 2

i Vt m x

i Vt m x

i V Vt t m x m x

i

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2

V Vt t m x x

it t m x x

2

, y ,2

J

t

i

t x m x x

iJ x t x t

m x x

x

2 2 2

2 22i

t t m x x

La ecuación de continuidad es

0

donde

,

y

,2

J

t x

x t

iJ x t

m x x

La ecuación de continuidad es

0

donde

,

y

,2

Jt

x t

iJ x t

m

1

2

1 2

, ,

,, lim , , 0

0

xx

x t J x tdx dx

t x

J x tdx t dx dx

d

d

J x t

t

J x tdt x

P

, y , 2

i Jx t J x t

m x x t x

2 2

2

2

2

2

2

2 22

2 2

2

, ,

2

2

2 2

,2

dx t dx x t dx

dt t

t t t t

i iV

t m x

i iV

t m x

i i

t m x x x m x x

d ix t dx

dt m x x

2, 0

dx t dx

dt

0

2

2

Jt

J v

iv

m

iJ

m



, ,


sistema.

x t x t

2

2

2. La evolución temporal y

el comportamiento espacial

de la función de onda

están dados por la ecuación de

Schrödinger,

,, ,

2

x ti x t V x t

t m

22 ,

, , ,2

Si , entonces proponemos

, exp

r tr t V r t r t i

m t

V r t V r

Er t r i t

2/ 2 /

2

/

2

2

2iEt iEt iEtiE

e r e V r r

r V r r E r

i r

m

em

22 ,

, , ,2

, exp

r tr t V r t r t i

m t

Er t r i t

22

2ˆ

, exp

Las funciones de onda , funciones propias del

Hamiltoniano, constituyen un conjunto ortonormal

completo para el problema cuantico corres

n

kk k

k

n

r V r r E rm

r E r

iE tr t a r

r

H

pondiente.

2

2

2r V r r E r

m

1. Escribir como función de

, ,

e insertarla en la ecuación de

Schrödinger.

V

x y z

2

2

2r V r r E r

m

2. Resolver la ecuación de valores propios

resultante para obtener una solución

general para .

En este paso normalmente se introducen

constantes.

2

2

2r V r r E r

m

3. Ajustar para que satisfaga todas las

condiciones de frontera del problema.

Este procedimiento usualmente introduce

enteros y elimina algunas de las constantes.

2

2

2r V r r E r

m

4.Normalizar .

Este procedimiento usualmente

permite terminar de evaluar las

constantes.

5. Usar , que es solución de la ecuación de Schrödinger,

satisface las condiciones de frontera y está normalizada,

para evaluar los estados estacionarios permitidos para

cualquier variable dinámica exa

cta de acuerdo a

ˆ

ˆsi es una función propia de

A A

A

2

2

2r V r r E r

m

6. Si no es función propia de la variable

ˆdinámica , calcular el valor medio

mediante la expresión

ˆ

A

A A A dV

2

2

2r V r r E r

m

2

7. Calcular la densidad de probabilidad

como

2

2

2r V r r E r

m

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

Región I Región II Región III

0x x a

0V

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

202 2

2 2

22 2

2 2

En la región II:

2

En las regiones I y III:

2

m V Ed

dx

d mE

dx


0x x a

0V

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

1 1

En la región I:

exp exp

exp exp

En la región II:

exp exp

En la región III:

exp

I

I

II

III

x A i x B i x

x i x R i x

x A x B x

x T i x


0x x a

0V

0 1

0

1

I

II

x R

x A B

R A B

exp exp

exp exp

exp

I

II

III

x i x R i x

x A x B x

x T i x

exp exp

exp exp

exp

I

II

III

x i i x i R i x

x A x B x

x i T i x

0 1

0

1

I

II

x i R

x A B

i R A B

exp exp

exp

exp exp exp

II

III

x a A a B a

x a T i a

A a B a T i a

exp exp

exp

exp exp exp

II

III

x a A a B a

x a i T i a

A a B a i T i a

exp exp

exp exp

exp

I

II

III

x i x R i x

x A x B x

x T i x

exp exp

exp exp

exp

I

II

III

x i i x i R i x

x A x B x

x i T i x

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

Condiciones en 0 :

1

1

Condiciones en :

exp exp exp

exp exp exp

x

R A B

i R A B

x a

T i a A a B a

i T i a A a B a


0x x a

0V

1

exp exp exp 0

exp exp exp 0

A B R

A B i R i

A a B a T i a

A a B a i T i a

Condiciones en 0 :

1

1

Condiciones en :

exp exp exp

exp exp exp

x

R A B

i R A B

x a

T i a A a B a

i T i a A a B a

1 1 1 0 1

0

0 0

0 0

a a i a

a a i a

A

i B i

e e e R

e e i e T

1

exp exp exp 0

exp exp exp 0

A B R

A B i R i

A a B a T i a

A a B a i T i a

:= C

1 0 0 02 e

( ) a( ) I

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 1 0 02 e

( ) a( ) I

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 0 1 0 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 0 0 14 I e

( ) I a

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

2 2

2exp

sinh 2 cosh

iT i a

a i a

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

2 2 2 2

2 2

22 2 2 2 2 2

2 2

22 2 2 2 2 2

2 2

2 22 22 2 2 2 22

2 2

sinh 2 cosh sinh 2 cosh

4

sinh 4 cosh

4

sinh 4 1 sinh

4 1

sinh 4sinh 1

2

i iTT

a i a a i a

a a

a a

aa

T

2 2

2exp

sinh 2 cosh

iT i a

a i a

02 22 2 22 2

2

21 2

sinh 12

m V E mE

a

T

12 22 20

0 0 0

2

0 0

4 12 4

1

sinh1

4 / 1 /

V E E

E V E V V

a

E V E V

T

:= C

1 0 0 02 e

( ) a( ) I

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 1 0 02 e

( ) a( ) I

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 0 1 0 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

0 0 0 14 I e

( ) I a

2 I e( ) a 2

e( ) a

2 I e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a 2

e( ) a

2 2 2 20 0

2 2 2 2 22 2 2 20 0 0 00

2 2 2 2 20 0

2 2 2 2 20 20 0 0 0

20

2

02

2 sinh 2 sinh

2sinh 8 82sinh 1 8 8

2 sinh 2 sinh sinh42sinh 8 8 2sinh 8

sinh

sinh4

sinh

V a V aRR

V a V E EV VV a E EV V

V a V a aE E VV a E EV V a E E V

aV

aE V

a

2 220

0 0 02 2

202

0 000

sinhsinh

4 4 / 1 /

sinh1sinh 1

4 / 1 /4

V aa

E V E E V E V

E V aa

E V E VE V EV

R

2 V2

cosh 2 m ( ) V E

h2

a

2

1

V2

cosh 2 2 m ( ) V E

h2

a 8 E2

8 E V V2

2

0 0 022 2 2

0 0 0 0

sinh

4 / 1 / 21 ; ;

sinh sinh1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

a

E V E V m V E

a a

E V E V E V E V

T R


0x x a

0V

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

En la región I:

exp exp

En la región II:

exp exp

En la región III:

exp

I

II

III

x i x R i x

x A x B x

x T i x

022

22

2

2

m V E

mE

0

0

2

0

2

Si tenemos que

2=

y por lo tanto es imaginario.

2Escribimos .

Como sinh sin

E V

m V E

m E Vi i

i i x

02 22 2

2 2

m V E mE

2

0 02 2

0 0 0 0

022

sin

4 / 1 /1 ;

sin sin1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

2

a

E V E V

a a

E V E V E V E V

m E V

T R


0x x a

0V

0

0 0 Región I

0 Región II

0 Región III

x

V x V x a

x a

En la región I:

exp exp

En la región II:

exp exp

En la región III:

exp

I

II

III

x i x R i x

x A i x B i x

x T i x

022

22

2

2

m E V

mE

0

0

(a) Puede ocurrir reflexión aun cuando .

Es un efecto enteramente cuántico.

Es claro que si ,

1 y 0

E V

E V

T R

2

0 0 022 2 2

0 0 0 0

sin

4 / 1 / 21 ; ;

sin sin1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

a

E V E V m E V

a a

E V E V E V E V

T R

0

0

(b) Puede ocurrir transmisión aún cuando .

Es un efecto enteramente cuántico.

Es claro que si ,

0 y 1

E V

V E

T R

2

0 0 022 2 2

0 0 0 0

sinh

4 / 1 / 21 ; ;

sinh sinh1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

a

E V E V m V E

a a

E V E V E V E V

T R

0(c) Para , existe un conjunto de energías de

la "partícula" incidente para las cuales =1 y

0; es decir, a esas energías la barrera es

transparente.

E V

T

R

2

0 0 022 2 2

0 0 0 0

sin

4 / 1 / 21 ; ;

sin sin1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

a

E V E V m E V

a a

E V E V E V E V

T R

2

0 0

2

0 0

1Están dadas por 1

sin1

4 / 1 /

sinÓ sea 0; es decir, con 1, 2,3,... ó

4 / 1 /

1

2

Es decir, cuando el ancho de la barrera es múltiplo de la mitad de la

longitud

n

n

a

E V E V

aa n n

E V E V

na n

T

de onda de de Broglie dentro de la barrera.

2

0 0 022 2 2

0 0 0 0

sin

4 / 1 / 21 ; ;

sin sin1 1

4 / 1 / 4 / 1 /

a

E V E V m E V

a a

E V E V E V E V

T R

El electronvoltio, abreviado como eV, es una unidad de energía equivalente a la energía cinética que adquiere un electrón al ser acelerado por una diferencia de potencial en el vacío de 1 voltio. Dicho valor se obtiene experimentalmente por lo que no es una cantidad exacta.1eV = 1,602176462 × 10-19 J

El electronvoltio es una unidad de energía, equivalente a la energía cinética que adquiere un electrón al ser acelerado por una diferencia de potencial en el vacío de 1 voltio.

A single atom is such a small thing that to talk about its energy in joules would be inconvenient. But instead of taking a definite unit in the same system, like 10−20 J, [physicists] have unfortunately chosen, arbitrarily, a funny unit called an electronvolt (eV) ... I am sorry that we do that, but that's the way it is for the physicists.http://home.att.net/~numericana/answer/feynman.htm

http://home.att.net/~numericana/answer/feynman.htm

10

Un electrón con una energía de 10 eV.

Una barrera cuya altura es 20 eV

y cuyo ancho es 10 m:

0.146

0.854

a

T

R

10

Un electrón con una energía de 1 eV.



0.588

0.412

a

T

R

10

18

Un protón con una energía de 1 eV.



0.374 10

0.999999999999

a

T

R

10

Un protón con una energía de 0.18 eV.

Una barrera cuya altura es 0.2 eV


0.0029

0.9971

a

T

R



, ,


sistema.

x t x t

2

Para una partícula en un estado ,

el valor esperado de es

,

x

x x x t dx

2

Para una partícula en un estado , el valor

esperado de es ,x x x x t dx

El valor esperado es el promedio de medidas

repetidas en un ensamble de sistemas

preparados identicamente, no el promedio de

medidas repetidas en un mismo sistema siempre.

2

¿Cómo sacamos el valor esperado del momento

lineal?

, , ,

¿Y luego qué? ¿Qué usamos para ?

p p x t dx p x t x t dx

p

2 2

2

2

La ecuación de continuidad nos dice

ó sea

2

así que

2

d xx x dx x dx

dt t

J

t x

i

t x m x x

d x ix dx x dx

dt t m x x x

Sean : y : dos funciones diferenciables,

tenemos que

Integrando ambos miembros de esta ecuación,

Usando el teorema fundamental

b b b

a a a

f g

df x dg xdf x g x g x f x

dx dx dx

df x dg xdf x g x dx g x dx f x dx

dx dx dx

R R R R

del cálculo, nos queda

y despejando

b bb

aa a

df x dg xf x g x g x dx f x dx

dx dx

b b

b

aa a

dg x df xf x dx f x g x g x dx

dx dx

b bb

aa a

df x dg xf x g x g x dx f x dx

dx dx

2 2

2

2

La ecuación de continuidad nos dice

ó sea

2

así que

2

d xx x dx x dx

dt t

J

t t

i

t x m x x

d x ix dx x dx

dt t m x x x

2

2

d x ix dx x dx

dt t m x x x

Integrando por partes,

2

2 2

02

d x ix dx

dt m x x x

i i xx dx

m x x m x x x

idx

m x x

2

d x idx

dt m x x

Integrando por partes la segunda integral,

0

así que

2

2 2

dx dx dxx x x

d x idx

dt m x x

i idx dx

m x m x

idx

m x

d xv

dt

d xp m i dx

dt x

d x idx

dt m x

ˆ ˆ x x pi x

x x dx p dxi x

ˆ, ,Q x p Q x dxi x

ˆ ˆ

x x dx p dxi x

x x pi x

2 2

2

, ,

2K dx

m x

Q x p Q x dxi x

ˆ ˆ

x x dx p dxi x

x x pi x

2 2

2

22

Reemplazando

y 2

obtenemos

, , ,2

K V E

K V E

K E im x t

x t V x t i x tm t

2 2

22K

m x

p ix

2

2 , , ,2

K V E

x t V x t E x tm

ˆ

ˆ

ˆ

E it

p ix

x x

ˆ ˆ ˆ, ,Q x p Q x p

Mecánica Cuántica

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