16 de jul. de 2010Velocidades

Dado que el movimiento es inhereiite a las mquiras, las velocidades y aceleraciones son muy importantes tanto en el disefo como er el arlisis de los comporertes de las mquinas.Velocidad es la relacin entre el cambio de posicin de un punto y el tiempo invertido en tal cambio. bado su carcter de magnitud dirigida, resulta tener las propiedades inherentes a un vector.

La velocidad de un punto puede ser absoluta o relativa, segn que se refiera a un punto o sistema fijo, en el primer caso; o a un punto o sistema mvil, en el segundo. No es necesario que los sistemas de referencia estn completamente en reposo, ya que esto ocurrir muy pocas veces para determinar una velocidad absoluta. Si los puntos que se suponen fijos de un mecanismo, generalmente unidos a una estructura o armazn, se mueve porque la estructura lo hace, pueden considerarse absolutas las velocidades de los puntos mviles del mecanismo con relacin a sus puntos fijos. Las velocidades, como ha quedado dicho, son magnitudes vectoriales, y por ello, sometidas a sus conocidas reglas de adicin y sustraccin.

El desplazamiento efectuado por el punto A se mide por el vectorr, que como se ve, esr = r - r y se admitir que se trata de un desplazamiento elemental, lo que equivale a considerar que el nguloes muy pequeo. A la vista dela Figurase observa que:

a +b =r

Donde los vectoresa eb estn indicados en el dibujo de la figura

Cuando O, el nguloque forman los vectoreseb tiende a /2

dondet = t2 - t1. Ahora puede ponerse que

Ya que el lmite la cuerda AB y el arco AB, cuandotiende a cero, son ambos iguales. A la relacin (d/dt) se denomina velocidad angular y su unidad en todos los sistemas es el rad/s y se suele utilizar la letra griegapara su designacin. Por su parte, Ut es un vector unitario perpendicular ar.

Analisis de la Velocidad

En esta seccin se realizar un anlisis del vector velocidad observando las propiedades de sus componentes.Sea un cuadriltero articulado ABCD, mostrado en la figura B, tal que la manivela de entrada o impulsora AB (eslabn 1) gira con velocidad angular1. El punto B tendr una velocidad tangencial dad por:

VB=1r1

y que ser perpendicular al eslabn AB. Esta velocidad puede descomponerse enVBCy V``BC,de modo que tales componentes sean respectivamente de la direccin delacoplador BC (eslabn 2) y normal a ste. Es decir:

VB=VBC +V``BC

Fig. BComo el punto B pertenece tambir al eslabn 2, que al igual que los restartes es rgido, todos los puntos del segmento BC de esta barra terdrr la misma componente de la velocidad segn la direccin BC. En particular, el punto C gozar de tal propiedad. Ahora bien, el purto C tambir perterece al eslabn 3 y ha de girar en torro al purto D, con velocidad absoluta normal a CD. Por tanto, llevandoVCB=VBCy trazando por el extremo deVCBuna perpendicular a BC, se obtieneVC.

La determinacin de la velocidad del punto E del acoplador puede hallarse de forma parecida. DescompngaseVBen dos componentes: una de la direccin BE y la otra normal a ella. La componente VBE se traslada a E, ya queVEB=VBE, por ser BE indeformable (el mismo eslabn 2).

De igual manera, de la velocidad VC se encuentra la componente VCE paralela a la direccin CE y se traslada al punto E. La velocidad absoluta del punto, VE, se encontrar en la interseccin de las dos perpendiculares por los extremos de los vectores VEC y VEB, respectivamente a EC y EB. Como prctica podemos intentar averiguar la a velocidad del punto E (Fig. B).

Segn las construcciones realizadas en los diversos eslabones, se llegar a la conclusin que en una misma barra la velocidad de un punto cualquiera (por ejemplo, el C) relativa a otro punto de su propio eslabones (por ejemplo, el B) es siempre perpendicular al segmento que une dichos puntos (en este caso, normal a BC).

Aislando el eslabn BC con las velocidades obtenidas anteriormenteVByVC(Fig. C) se transporta a C el vectorVB. Como la proyeccin sobre BC de ambas velocidades ha de ser la misma, se llega al resultado que la diferencia de estos dos vectores ha de ser normal a la recta que une los dos puntos. Si se denomina velocidad de B respecto a C mediante la notacinVCB, se tiene:

VBC=VB-VC

Esta velocidad relativa, como se ve en la Fig. C es normal a BC. El giro de la barra BC est originado por la existencia de velocidad relativa no nula de un punto con relacin a otro del mismo eslabn. Si se hubiese hallado la velocidad relativaVCB, sta sera de sentido opuesto a la encontradaVBC.La velocidad angular2, con que el eslabn 2 est girando con relacin al fijo 4, se obtiene siempre dividiendo el mdulo de la velocidad relativa de un punto extremo de la barra con relacin al del otro extremo, por las distancia entre ambos puntos.

Tal como se observa en la Fig. C,2es del sentido de la agujas del reloj tal como se desprende de los sentidos de las velocidades relativasVBCVCBy, por lo dicho, su mdulo es:

Si, de forma arloga, se desea determinar la velocidad angular del eslabn 3, al serVCla velocidad absoluta de C y siendoVD= O,VCes tambir la velocidad relativa de C con respecto a D; esto es,VC =VCD. En consecuencia, la velocidad angular3(Fig. B) resulta ser:

De igual modo se puede deducir la velocidad angular de cualquier eslabn del mecanismo.

CENTRO INSTANTNEO DE ROTACIN

Tal como sugiri Reuleaux a mediados del siglo XIX, los eslabones se pueden considerar que en cada instante realizan un giro alrededor de un centro. Dicho centro se llama centro instantreo de rotaci o polo de velocidades. Cuando un eslabn est efectuardo una traslacin en un momento dado, su centro instantneo de rotacin se encuentra en el infinito y en una direccin perpendicular al movimiento del eslabn. Esto se denota fcilmente porque las velocidades de todos sus puntos son iguales y sus vectores paralelos.Imagnese un cuadriltero articulado ABCb (Fig. D), donde se han determinado las velocidades VBy VC, tal como se describi en la seccin anterior.

El eslabn 1 tiene un punto A fijo, luego el centro instantneo de rotacin del eslabn 1, con relacin al eslabn fijo 4 se indicar por la notacin P14y se confunde con el punto A. Anlogamente ocurre con el eslabn 3, y ser P3D.Por su parte, el punto B es la articulacin de los eslabones 2 y 1; luego P12= B. Por la misma razn P23coincide con el punto C.

Debe observarse que, cuando se determina el centro instantneo de rotacin con relacin al eslabn fijo 4, las velocidades de sus puntos son normales a los radios considerados. As VBes normal a BA y VClo es a CD.

Para hallar el centro instantneo de rotacin del eslabn 2 con relacin al eslabn fijo 4, bastar trazar por B y C sendas rectas perpendiculares a las velocidades en tales puntos y su interseccin proporcionar el punto P24. El eslabn 2 es como si en la posicin mostrada en la Fig. D estuviera girando alrededor del punto P24.Fig. D

Si por el punto C se llevan las velocidades VCy VB se tiene un trirgulo CFE que es semejante al P24BC (por terer sus lados homlogos ortogonales) y, por lo tanto, se puede escribir que:

de donde resulta que las velocidades (de los puntos B y C, en este caso) son proporcionales a sus distancias respectivas al centro instantreo de rotacin (polo P24). be aqu se deduce que el eslabn 2 est rotando alrededor de P24con velocidad angular.

El punto P24centro instantneo de rotacin del eslabn 2 con relacin al eslabn 4, tiene la misma velocidad por ambos eslabones y por lo tanto, por ser fijo el eslabn 4, resulta que el punto P24no se mueve. Lo mismo ocurre respecto a coincidencia de velocidades con los restantes centros encontrados y siempre estos puntos representan la superposicin de otros dos, uno de cada eslabn. Tales puntos tienen gran utilidad para la localizacin de velocidades de otros puntos, pero ha de tenerse en cuenta que tales polos de velocidades solo pueden emplearse en una concreta posicin del mecanismo, ya que un instante despus estos puntos pueden ser sustituidos por otros distintos, y de hecho generalmente lo son.Por ltimo, resta encontrar el centro de rotacin del eslabn 3 con relacin al eslabn 1. Para determinarlo se supondr realizada una inversin del mecanismo de la Fig. D admitindose que el eslabn 1 es fijo; esto es, los puntos A y B son las articulaciones unidas al bastidor del mecanismo.Si B y A fuesen fijos, los puntos C y D tendran velocidades normales, respectivamente, a BC y AD, y sus rectas perpendiculares CB y AD se cortaran en el punto P31que es el centro instantneo de rotacin buscado.

El rmero de centros instantaneos existentes en un mecanismo con n barras o eslabores veiidr dado por la expresin:que representara las combinaciones binarias posibles entre eslabones.

Hay una regla prctica para la localizacin de centros instantneos. Obsrvese en la Fig. D que estn alineados los cuatro grupos siguientes de puntos para un cuadriltero articulado:

Conocidos 2 de los tres puntos de una alineacin es posible encontrar al tercero, ya que ha de estar alineado con los dos anteriores. Esta propiedad se denominaregla de los tres centros o Teorema de Aronhold-Kennedyque dice:Cuando tres cuerpos cualesquiera tienen movimiento relativos plano sus tres centros instantneos (o centros de rotacin relativa), estn en lnea rectaDe otra forma podemos decir que en todo mecanismo cada grupo de tres eslabones con tres centros con parentesco entre s estn situados sobre una misma recta.

Figura E

Para demostrarlo, fijmonos en la figura E en la que representamos tres cuerpos designados con los nmeros 1,2 y 3, cada uno de ellos con movimiento plano. Si suponemos que el cuerpo 1 es estacionarlo y el 2 y 3 estn articulados a este, las articulaciones 12 y 13 sern centros puesto que en ambos casos. La velocidad lineal absoluta es la misma, en este caso cero. Supongamos que el tercer centro el 23 estuviese en la posicin del punto A. Es evidente que en esta posicin coinciden dos puntos, uno de cada eslabn y cada uno de ellos tiene una velocidad lineal absoluta. Pero veamos como son dichas velocidades. Hemos supuesto que el eslabn 2 gire al rededor del punto 1, luego la velocidad del punto A como perteneciente a 2 ser perpendicular al radio 12-A. As mismo la velocidad lineal de A como perteneciente al eslabn 3 ser perpendicular al radio 13-A, puesto que dicho eslabn gira alrededor de 13. Independientemente de cual sea su magnitud -que podra ser igual- est claro que las direcciones de ambas velocidades no coinciden, luego el punto A no puede ser centro de 23. Prescindiendo de magnitud, lo que queda claro es que para que las direcciones de la velocidad del punto A con perteneciente al eslabn 2 y al 3 coincidan, dicho punto A tiene que estar situado en la recta 12- 13 como queramos demostrar.

Anlisis dela Velocidadcon el Empleo de los Centros Instantneos de RotacinCuando se conocen los centros instantneos de rotacin de un mecanismo resulta inmediato determinar la velocidad de cualquier punto del mismo, sin necesidad de calcular primero las velocidades de otros puntos. Con el mtodo de los CIR, no es necesario calcular la velocidad de un punto que una fsicamente dos barras, sino que calculando la velocidad del CIR relativo de dos eslabones podemos considerar que conocemos la velocidad de un punto que pertenece indistintamente a cualquiera de los dos eslabones.Es importante resaltar que el CIR se comporta como si perteneciera simultneamente a ambos eslabones, por tanto su velocidad debe ser la misma si la obtenemos en base a uno u otro eslabn.Para calcular las velocidades por CIR seguiremos los pasos siguientes:

1. Identificar los eslabones a los que pertenecen:

a) El punto de velocidad conocida.b) El punto de velocidad desconocida.c) El eslabn de referencia o barra fija.2. Se hallan los tres CIR relativos correspondientes a las barras, que estarn en lnea recta segn nos indica el Teorema de Kennedy.3. Se calcula la velocidad del CIR relativo de los dos eslabones no fijos, considerndolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida.4. Se considera la velocidad hallada como la de un punto del eslabn cuya velocidad queremos hallar. Conociendo la velocidad de un punto del eslabn (CIR) y su centro de giro podemos encontrar la de cualquier otro punto del mismo.

Aplicacin de los CIR a un mecanismo de cuatro barras. Aplicacin de los CIR a un mecanismo de biela - manivela.

Polgono de Velocidades

Uno de los medios ms eficaces y rpidos para el anlisis de las velocidades de un mecanismo lo ofrece el polgono de velocidades. Adems, como se ver en el siguiente captulo, este mtodo proporciona datos fundamentales para el anlisis de la aceleracin, como son las velocidades relativas.La construccin de velocidades de forma grfica realmente se funda en la ecuacin vectorial

VX= VA+ VXAEcuacion 1donde VXes la velocidad, en general desconocida, de un punto X cualquiera del mecanismo; VA, es la velocidad conocida de otro punto del mismo eslabn al que pertenece X y por ltimo, VXAes la velocidad relativa de X con respecto a A. como quiera que la velocidad relativa es normal a la recta XA, el trazado de los polgonos de velocidades se realizar por aplicacin de las propiedades descritas.

En la Fig. F puede verse un mecanismo de 4 barras con un punto E de acoplador y se pretende encontrar las velocidades de los puntos C y E, as como las velocidades relativas de los puntos B, C y E, partiendo de la velocidad VB.

a) Clculo de VC, VCB,2 y3.La ecuacin (1)se escribir para este caso medianteVC= VB+ VCBEcuacion 2Por un punto O cualquiera se lleva el vector VBy por su extremo se traza ura perpendicular a BC (direccin del vector VCB) y por O una recta normal a CD (direccin de VC). Estas rectas se cortan cerrando el tringulo de los vectores implicados en la ecuacin (2), determiandose Vc y VCB.

La velocidad angular2 se obtiene por aplicacin de la expresin:y la velocidad angular3, se hallara directamente por medio de

b) Clculo de VE, VEBy VCE. En esta ocasin la ecuacin (1) se desdobla en las dos siguientesVE= VB+ VEBEncuacion 3

VE= VC+ VECEncuacion 4

de las cuales son vectores conocidos VBy VCy de los vectores VEBy VECson tambin datos sus direcciones (por ser ortogonales respectivamente a las EB y EC). Del vector VEno se conoce ni direccin ni mdulo.

Por el extremo del vector VB se traza una perpendicular a BE (direccin de VEB) y por el extremo del vector VC se construye una recta normal a CE (soporte de la velocidad VEC). Donde ambas rectas se encuentran (punto E) se obtiene el extremo del vector VE buscando. Los restantes vectores, VEB y VEC, formar los tringulos correspondientes en los polgonos de velocidades para que se verifiquen las relaciones (ecuaciones 3 y 4), como puede comprobar el lector.El trirgulo EBC es semejarte al EBC del acoplador, tal como se evidencia de forma inmediata, ya que ambas figuras tienen sus lados respectivos perpendiculares entre s. Esta propiedad general tiene interesantes aplicaciones en el anlisis grfico de velocidades.