Mec Cuatro Barras

8/15/2019 Mec Cuatro Barras

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31

2.3 MECANISMO DE CUATRO BARRAS

El eslabonamiento de cuatro barras es uno de los mecanismos más utilizados y más sencillos,ejemplos:

Máquina de pruebas de solidez del color en telas: Se observa las curvas de acopladorsuperpuestas figura 2.9

figura 2.9 Máquina de pruebas de solidez del color en telas

Mecanismo de Watt de cuatro barras en la suspensión trasera de un auto figura 2.10

figura 2.10 Mecanismo de Watt

Eslabonamiento de cuatro barras para controlar la oscilación de la pala de una cargadorafrontal



32

figura 2.11 Pala mecánica

2.3.1 ANA LISIS DE MOVIMIENTO

figura 2.12 Diagrama de cuerpo libre para mecanismo de 4 barras

ESQUEMA CINEMATICO DEL MECANISMO DE CUATRO BARRAS

La ecuación del cierre del circuito de un mecanismo de cuatro barras es:

1 4 3 2r r r r

Transformando a la forma compleja:

34 20

1 4 3 2

ii i ir e r e r e r e

Utilizando la equivalencia de Euler obtenemos:

1 4 4 3 3 2 2

1 4 4 3 3 2 2

) ) )

) )

(0) ( (

)

(

(0) ( ( (

r cos r cos r cos r cos

r sin r sin r sin r sin



33

En este caso tenemos una ecuación no lineal donde las variables dependientes o incógnitas son:

3 y 4 , la variable independiente es 2 y las constantes son: r 1 , r 2, r 3, y r 4 .

3 3 1 4 4 2 2

3 3 4 4 2 2

( ( (

( (

)

) )(

) )

)

r cos r r cos r cos

r sin r sin r sin

Si elevamos al cuadrado y sumamos obtenemos:

2 2 2 2

3 1 2 4 1 2 2 1 4 4 2 4 4 2 2 4 2 ( 2 () ) (2 ) ) ) )( ( )( (r r r r r r cos r r cos r r cos cos sin sin

2 2 2 2

1 2 4 3 1 14 2 2 4

2 4 4 2

cos( ) cos( ) cos( )2

r r r r r r

r r r r

Utilizando las nuevas constantes:

2 2 2 2

1 2 4 3

3

2 42

r r r r k

r r

12

4

11

2

r k

r

r k

r

Obtenemos la ecuación de Freudenstein que se utilizara en síntesis de mecanismos:

4 2 3 2 2 1 4 ( ) ) )( (cos k k cos k cos ó

4 2 2 4 3 2 2 1 4( ( ( () () ) ) ) )(cos cos sen sen k k cos k cos

Para resolver está ecuación utilizamos las siguientes equivalencias conocidas:

4

4

2 4

2(

1

2)

2

tan sen

tan



34

2 4

4

2 4

12

2

1

tan

cos

tan

4

2 tan x

Para simplificar el desarrollo usamos:

4 2

2

4 2

21

1cos

1

x sen x

x

x

Reemplazando se obtiene una ecuación de segundo grado.

2 2 2

2 2 3 2 2 1) ) ( ))( 1 ( 2 ( 1 1cos x sen x k k cos x k x

2 0 A x B x C

Donde:

La solución para x o tan (4 / 2) es:

4 2 2 atanB 2 B 2 2 4 A 2 C 2

2 A 2

Donde el signo – del radical se utiliza para la configuración abierta y el signo + para la configuracióncruzada.

A 2 cos 2 k1 k2 cos 2 k

B 2 2 sin 2

C 2 k1 k2 1( ) cos 2 k



35

Procediendo de igual manera pero eliminando 4 obtenemos la ecuación para 3

3 2 2 atanE 2 E 2 2

4 D 2 F 2

2 D 2

Donde:

k 5

r 4

2r 1

2r 2

2r 3

2

..2 r 2 r

3 k4 = r 1/r 3

Donde el signo – del radical se utiliza para la configuración abierta y el signo + para la configuracióncruzada:

2.3.2 ANALISIS DE LA TRAYECTORIA DE UN PUNTO DEL ACOPLADOR

La ecuación vectorial del acoplador se puede escribir como:

32

5

)(

2 i i Rp r e r e

Siendo las componentes en x y y

Con dos ejercicios de aplicación vamos a ejemplificar la importancia de la curva de acoplador

1. Ejercicio de Aplicación: Diseñar un mecanismo transportador de viga viajera con las siguientesmedidas

En primer lugar necesitamos un mecanismo manivela oscilador de Grashof

. r 2 + r 1 < r 3 + r 4 ; 233+100 < 222+206 ; 333 < 408

D 2 cos 2 k1 k4 cos 2 k

E 2 2 sin 2

F 2 k1 k4 1( ) cos 2 k

Rpx 2 r2 cos 2 r5 cos 3 2 3

180

Rpy 2 r2 sin 2 r5 sin 3 2 3

180

r1 222 r2 100 r3 20 r4 233

k1r1

r2 k2

r1

r4 k3

r12

r22

r42

r32

2 r2 r4 k5

r42

r12

r22

r32

2 r2 r3 k4

r1

r3



36

2 0 0.1 2

4 2 2 atanB 2 B 2 2

4 A 2 C 2

2 A 2

3 2 2 atanE 2 E 2 2

4 D 2 F 2

2 D 2

Para trazar la curva de acoplador escogeremos las siguientes medidas del vector r 5 y del ángulo dediseño α

0 100 200 300 400 500 60020

40

60

80

100

120

140

160Angulo theta 4 y Angulo theta3

theta 2

theta

3,theta4

A 2 cos 2 k1 k2 cos 2 k

B 2 2 sin 2

C 2 k1 k2 1( ) cos 2 k

D 2 cos 2 k1 k4 cos 2 k

E 2 2 sin 2

F 2 k1 k4 1( ) cos 2 k



37

Es importante orientar el mecanismo en la forma adecuada por lo que debemos determinar elángulo de la porción recta del acoplador con la horizontal, esto se lo puede hacer tomando datosdel gráfico.

Este ángulo sirve para orientar adecuadamente el dibujo que se realiza en AutoCAD

100 75 50 25 0 25 50 75 100125150175200225250275300325350375400100

80

60

40

20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300Curva de Acoplador

255.16

100

Rpy 2( )

r2 s in 2( )

357.74100 Rpx 2( ) r2 cos 2( )

3 31 r5 30

Rpx 2 r2 cos 2 r5 cos 3 2 3

180

Rpy 2 r2 sin 2 r5 sin 3 2 3

180

atan160 100

350 225 180

25.641



38

En base de este diagrama se efectúa la simetría y se rota 25.641o

Necesitamos un movimiento paralelo para mover la viga viajera, lo cual se lo puede hacer de dosformas, duplicando el mecanismo o utilizando mecanismos cognados, la forma más sencilla esduplicando el mecanismo.



39

Suprimiendo las barras no necesarias, y añadimos la viga viajera y un eslabón impulsor, obteniendoel mecanismo resultante que puede ser simulado en Working Model 2D.

Los pasos para exportar del AutoCAD al WM2D son los siguientes:

1.- Los eslabones deben ser polilíneas cerradas2.- El eslabón de entrada “Circunferencia” debe estar en el cero absoluto 3.- Se graba con la extensión .dxf AutoCADR123.- Se cierra el AutoCAD4. En WM2D se selecciona importar y se busca el archivoSimulación en Working Model 2D con la curva de acoplador superpuesta

figura 2.13 Simulación en Working Model

2. Ejercicio de Aplicación: Analizar un mecanismo de suspensión de Watt

Los datos son los siguientes:

r1 400 r2 200 r3 50 r4 200



40

Y la curva de acoplador es:

El correspondiente dibujo en AutoCAD y simulación en WM es la siguiente:

figura 2.14 Dibujo en Autocad

200 100 0 100 200 300

200

100

0

100

200Curva de Acoplador

160.128

160.128

Rpy 2( )

r2 sin 2( )

207.895200 Rpx 2( ) r2 cos 2( )

3 0 r5 25



41

figura 2.15 Simulación en working model

Claramente apreciamos que el Mecanismo de Watt sujeta mejor la carrocería, por lo que es muyutilizado en competencias.

2.3.3. ANA LISIS DE VELOCIDAD

Efectuamos la derivación de la ecuación de cierre del circuito

2 3 4

2 3 1 4

i iir e r e r r e

2 3 4

2 2 3 3 4 4

i iii r e i r e i r e

Igualando la parte real e imaginaria obtenemos:

3 3 3 4 4 4 2 2 2

3 3 3 4 4 4 2 2 2

( ( (

( (

) ) )

cos ) cos ) c (os )

r sen r sen r sen

r r r

Resolviendo las dos ecuaciones lineales simultáneas obtenemos:

2 2 4 2

3 2 2

3 4 2 3 2

2 3 2 2

4 2 2

4 3 2 4 2

r sen

r sen

r sen

r sen



42

Gráfica de las velocidades angulares del mecanismo propuesto para una velocidad del impulsor de200 RPM.

2.3.4 VENTAJA MECANICA

La ventaja mecánica es la relación que existe entre la Fuerza de salida y la Fuerza de entrada enun mecanismo y es un índice de mérito del mecanismo. Para obtener la ventaja mecánica se igualanlas potencias de entrada y salida y puesto que los sistemas de eslabonamientos pueden ser muyeficientes las pérdidas son a menudo menores que 10% y por lo tanto podemos suponer que las

mismas son cero, por lo cual podemos decir que:

POTENCIA DE ENTRADA POTENCIA DE SALIDA

Potencia es igual a Torque x velocidad angular o Fuerza x velocidad lineal

4 2 2 4T x T x

La ventaja mecánica se define como:

. .

Fuerza de salidaVentaja Mecánica V M

Fuerza de entrada

salida

salida salida salida entrada

entradaentrada entrada salida

entrada

T

Fuerza r T r VentajaMecanica

T Fuerza T r

r

0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450200170

140

110

80

50

20

10

40

70

100 FRECUENCIAS de la barra 3 y 499.05

179.102

0

4 2( )

3 2( )

449.99502

180



43

4 3 2 4 22

4 2 3 2 2

entrada entrada entrada entrada

salida salida salida salida

r senr r r VM

r r r r sen

Determinada la VM se puede hallar la Fuerza de entrada si se conoce la Fsalida

Como podemos observar la V. M. máxima se obtiene cuando 2 = 3 siendo en este caso igual a ,o cuando el impulsor se alinea con el acoplador, esta posición se denomina volquete. En estaposición funcionan todos los mecanismos que multiplican las fuerzas como:

PrensasTrituradoras de piedras (figura 2.17)Mecanismos de cierre de moldes en inyectorasPlayos de presión (figura 2.16)Mordazas de Jics de soldadura

figura 2.16 Playo de presión

figura 2.17 Triturador de roca



44

figura 2.18 Cortador de varillas

La ventaja mecánica se reduce a cero cuando 4 = 3 o cuando el acoplador y el seguidor estánalineados. En este punto el mecanismo simplemente no funciona. El ángulo entre el acoplador y el

seguidor se llama ángulo de transmisión y para que un mecanismo tenga buenas características

de funcionamiento este ángulo no debe ser menor a 300, ni mayor a 1500

Esto significa que el ángulo máximo de oscilación del seguidor es de 120o

La ventaja mecánica puede ser obtenida en forma gráfica o analítica :

A partir de las expresiones analíticas analizadas anteriormente se puede buscar relacionesgeométricas para determinar gráficamente la ventaja mecánica

figura 2.19 Determinación gráfica de la ventaja mecánica

Entonces la ω2 / ω4 estaría dada por la relación entre los segmentos perpendiculares, trazadosdesde los polos fijos hasta la barra 3 o estableciendo triángulos semejantes por la relación O4I / O2I

figura 2.20

Y la ventaja mecánica en un eslabonamiento de cuatro barras puede hallarse entonces a partir dela siguiente expresión:



45

4

2

entrada

salida

r O I VM

O I r

3. Ejercicio de Aplicación: La figura 2.21 muestra una mordaza de cuatro barras utilizada para

sostener una pieza de trabajo en su lugar, sujetándola en D. O2A = 70, O2C = 138, AB = 35,O4B = 34, O4D = 82, O2O4 = 48 mm. El eslabón 2 se encuentra a 104 0 en la posiciónindicada. El eslabonamiento se agarrotara cuando el eslabón 2 alcance 900.

a. Calcule su ventaja mecánica en la posición mostradab. Calcule y grafique su ventaja mecánica como una función del ángulo del eslabón AB

a medida que el eslabón 2 gira de 120 a 900

Debemos dibujar el mecanismo en AutoCAD para tomar las medidas correspondientes:

figura 2.21 Mordaza de cuatro barras

Aplicando la formula anterior tenemos:

VMO4I

O2I

r entrada

r salida

71.71

23.71

138

81.05 5.1

Se puede posteriormente variar las medidas para tener una mejor V.M.

Para efectuar determinar la V.M. por el método analítico orientamos el mecanismo en la formaconvencional que como vemos corresponde a la configuración cruzada.



46

figura 2.22 Diagrama de cuerpo libre

4 2 2 atanB 2 B 2

24 A 2 C 2

2 A 2

3 2 2 atanE 2 E 2 2

4 D 2 F 2

2 D 2

Se usa el signo +

VM 2 r4

r2

sin 3 2 4 2

sin 3 2 2

rentrada

rsalida

36 37.4 38.8 40.2 41.6 43 44.4 45.8 47.2 48.6 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50VM analítica

50

4.978

5.15

0

VM 2( )

50362

180

r1 4 r2 7 r3 35 r4 3 rentrada 13 rsalida 81.0

k1r1

r2 k2

r1

r4 k3

r12

r22

r42

r32

2 r2 r4 k5

r42

r12

r22

r32

2 r2 r3 k4

r1

r3

2 36

180 36.01

180

4



47

Como se observa la ventaja tenderá al infinito aproximadamente a unos 44.4o y coincide también elvalor que obtuvimos gráficamente de 5.15

2.3.5. INDICE DE MERITO: ANGULO DE TRANSMISIÓN

El principal índice de mérito de un mecanismo es el ángulo de transmisión, ángulo que se forma

entre la barra 4 y la barra 3 y que se lo puede cuantificar como:

2 4 2 3 2

Y el correspondiente gráfico para el caso del mecanismo de viga viajera es:

Como indicamos anteriormente, el ángulo de transmisión adecuado debe estar entre 30 y 150 0

2.3.6 ANALISIS DE ACELERACION

Derivando la expresión de la velocidad obtenemos:

32 42 2 3 3 4 4

ii ii r e i r e i r e

32 42 2 2 2 2 2

2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4( ) ( ) ( ) 0ii ii r i r e i r i r e i r i r e

Igualando las partes reales e imaginarias:

Parte real:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4( ( (( ) )) ( ) ))( ( (( ) )) 0r cos r sin r cos r sin r cos r sin

Parte imaginaria:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4( ( (( ) )) ( ) ))( ( (( ) ))r sin r cos r sin r cos r sin r cos

Resolviendo el sistema de ecuaciones para 3 y 4 obtenemos:

0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 4500

1020

30

40

50

60

70

80

90

100Angulo de Transmisión

94.157

31.51

30

150

2( )180

449.94402

180

3 2 I 2 J 2 G 2 M 2

G 2 K 2 H 2 J 2 4 2 I 2 K 2 H 2 M 2

G 2 K 2 H 2 J 2



48

Donde:

Elsiguiente es el gráfico de la aceleración para el mecanismo propuesto:

2.3.7 ANALISIS DE ACELERACIONES ABSOLUTAS DE CENTROS DE GRAVEDAD

Como un ejemplo calcularemos la aceleración del centro de masas del acoplador suponiendo quese halle en el centro de la barra

El vector de posición al centro de masas es:

2 3

2 30.5i ir e r e 3Rg

La velocidad lineal del centro de masas es:

32

2 2 3 3 0.5i ii r e i r e

3Vg

La aceleración del centro de masas es:

322 2 2 2

2 2 2 2 3 3 3 3( ) 0.5 ( )i ii r i r e i r i r e 3Ag

Suponiendo velocidad angular constante en el impulsor 2 = 0

322 2

2 2 3 3 3 3( ) ( )0.5

i ir e r i r e

3

Ag

0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 4501 10

5

8.5 104

7 104

5.5 104

4 104

2.5 104

1 104

5000

2 104

3.5 104

5 104

Aceleraciones angulares de 3 y 4

4.921 104

5.76 104

0

3 2( )

4 2( )

449.94402

180

G 2 r4 sin 4 2

H 2 r3sin 3 2

I 2 22

r2 cos 2 2 r2 sin 2 3 2 2r3 cos 3 2 4 2 2

r4 cos 4 2

J 2 r4 cos 4 2 K 2 r3 cos 3 2

M 2 2

2

r2 sin 2 2 r2 cos 2 3 2

2

r3 sin 3 2 4 2

2

r4 sin 4 2



49

Graficamosla

aceleración lineal absoluta del centro de gravedad del acoplador en gravedades y obtenemos:

Para la barra 4 obtenemos:

800 680 560 440 320 200 80 40 160 280 400800

680

560

440

320

200

80

40

160

280

400Aceleración absoluta de la barra3

280.752

657.955

0

Ag3y 2( )

1000 9.81

303.432742.975

0

Ag3x 2( )

1000 9.81

Ag3x 2 22

r2 cos 2 0.5 3 2 2 r3 cos 3 2 3 2 r3 sin 3 2

Ag3y 2 22

r2 sin 2 0.5 3 2 2

r3 sin 3 2 3 2 r3 sin 3 2

Ag4x 2 0.5 4 2 2 r4 cos 4 2 4 2 r4 sin 4 2

Ag4y 2 0.5 4 2 2 r4 sin 4 2 4 2 r4 sin 4 2



50

800 680 560 440 320 200 80 40 160 280 400600

480

360

240

120

0

120

240

360

480

600Aceleración absoluta de la barra4

519.276

441.679

0Ag4y 2( )

1000 9.81

303.432742.975

0

Ag3x 2( )1000 9.81

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