Me Todos
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METODOS DE DEMOSTRACIÓN: Existen dos métodos para demostrar una tesis y son el método directo y el método indirecto METODO DIRECTO: Puede ser, a la vez, de dos formas, por construcción y por inducción. METODO INDIRECTO: Se le conoce también como demostración por el absurdo. Adicionalmente se conoce otros métodos como contrarrecíproco, bicondicionales, contraejemplos, etc. 1. MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTO a) Por construcción: Ejemplo: Demostrar - p p ∨ ( p ∧ q ) ( ) p ≡ V ( ) p ∨ ( p ∧ q ) ≡ V V V ∨ ( V ∧ q ) ( p ∨ p ) ∧ ( p ∨ q ) ≡ V V V ≡ V p ∧ ( p ∨ q ) P ≡ V V V V - Si n es par entonces n es par: n = 2k , k ∈ ℤ n = (2k) n = 4k = 2(2k ) , 2k ∈ ℤ n es par. - Si m y n son números enteros impares, entonces m.n es impar. m = 2k+1 , n = 2q+1 ∈ ℤ m.n = (2k+1)(2q+1) = 2kq + 2k + 2q + 1 = 2( kq + k + q ) + 1 m.n es impar - Sea A un conjunto de números que cumple los siguientes axiomas. a) 3 ∈ A
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METODOS DE DEMOSTRACIÓN: Existen dos métodos para demostrar una tesis y son el método directo y el método indirecto
METODO DIRECTO: Puede ser, a la vez, de dos formas, por construcción y por inducción.
METODO INDIRECTO: Se le conoce también como demostración por el absurdo.Adicionalmente se conoce otros métodos como contrarrecíproco, bicondicionales, contraejemplos, etc.
1. MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTO
a) Por construcción:
Ejemplo: Demostrar
- p p ∨ ( p ∧ q )
( ) p ≡ V ( ) p ∨ ( p ∧ q ) ≡ VV V ∨ ( V ∧ q ) ( p ∨ p ) ∧ ( p ∨ q ) ≡ VV V ≡ V p ∧ ( p ∨ q ) P ≡ V
V V V
- Si n es par entonces n es par:
n = 2k , k ∈ ℤn = (2k)
n = 4k = 2(2k ) , 2k ∈ ℤ n es par.
- Si m y n son números enteros impares, entonces m.n es impar.
m = 2k+1 , n = 2q+1 ∈ ℤm.n = (2k+1)(2q+1) = 2kq + 2k + 2q + 1 = 2( kq + k + q ) + 1
m.n es impar
- Sea A un conjunto de números que cumple los siguientes axiomas.
a) 3 ∈ Ab) x ∈ A 3x + 1 ∈ Ac) x ∈ A ∧ y ∈ A ( x + y ) ∈ A
b) Por inducción: (más adelante)
2. MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTA O POR EL ABSURDO: Una de las herramientas lógicas más útiles al momento de demostrar que una afirmación es falsa es el método de reducción al absurdo que consiste en partir de un argumento o enunciado, luego mostrar que conduce a una contradicción. Esto implica que el argumento o enunciado
es falso. En síntesis: La reducción al absurdo consiste en tomar un argumento o afirmación que se quiere refutar y desarrollarla hasta encontrar una contradicción. Si todo el desarrollo es lógicamente válido, la fuente de error puede ser el enunciado base, por lo tanto es falso.
Ejemplos:
1) a es par, entonces a es par a es par ≡ F a es impar ≡ V a = 2n + 1 , n ∈ ℤ a = 4n + 4n + 1 = 2( 2n + 2n ) + 1 = 2k +1 , k ∈ ℤ a es impar y a es par ( )
a es par.
2) a.b = 0 a = 0 ∨ b = 0 a = 0 ∨ b = 0 ≡ F a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ≡ V
a.a = 1 b.b = 1
a.a .b = 1.b
(a.b).a = b
0 . a = b 0 = b ( )
a = 0 ∨ b = 0
3. POR CONTRAEJEMPLO:
∀n ∈ ℤ , n - n + 17 es primo
Si n = 17
17 - 17 + 17 = 289 no es primo
∀n ∈ ℤ , n - n + 17 es primo es falso
4. POR CONTRARRECÍPROCO O CONTRAPOSITIVO:
- Si 1 < 4 entonces 5 > 8
5 ≤ 8 1 ≥ 4 V F ≡ F
F
- Sean a, b y c ∈ ℤ . Si a + c < b + c a < b
a ≥ b a + c ≥ b + c Si a ≥ b a > b ∨ a = b a + c > b + c ∨ a + c = b + c
a + c ≥ b + c a + c < b + c a < b es verdadero
5. POR LA BICONDICIONAL:
- La tierra es cúbica si y solo si el sol es un planeta
F F ≡ V
- { ( p ∨ q ) ∧ q } p
q p (Por absorción) ≡ F
