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Módulo 1: Conceptos introductorios y

Mecánica

Física e Introducción a la Biofísica

Licenciatura en Kinesiología y Fisiatría

Año 2013 2º cuatrimestre

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1. Introducción y conceptos útiles

1.1 Acerca de la física y la biofísica

La física es el estudio de las propiedades medibles de las cosas. Su motivación es encontrar la

naturaleza fundamental de cosas básicas como el movimiento, las fuerzas, la energía, la materia, el

calor, el sonido, la luz y la estructura de átomos y galaxias. Para esto se basa en investigar sistemas

simples o complejos por medio de la experimentación y el análisis matemático. Es el lenguaje de la

matemática el que nos permite que enunciemos leyes de forma concreta, más fáciles de comprobar o

de rechazar a través del experimento.

Veamos un ejemplo. Un físico muy importante, Galileo Galilei (1564 – 1642), estudió el movimiento

de los objetos que se deslizan por planos inclinados. Buscó la relación entre sus medidas y de expresar

éstas en lenguaje matemático. La conclusión de su investigación fue la siguiente: La distancia

recorrida a lo largo de una pendiente es proporcional al cuadrado del tiempo empleado. En términos

matemáticos, esto puede escribirse como:

Distancia = Constante × (Tiempo)2

O sea, 2D Ct

Vemos entonces que el comportamiento de los objetos se expresa en este caso por una ley y su

lenguaje es la matemática.

¿Por qué es importante entender algo de física? En este curso vamos a estudiar resultados,

propiedades, leyes, que son importantes para cualquiera que se interese por la naturaleza de las cosas,

puesto que estos resultados son de aplicación universal en todo el mundo material, incluidos los seres

vivos. La física, como veremos a lo largo del curso, es esencial para comprender como funcionan

muchos procesos biológicos, tales como el movimiento del cuerpo o el flujo de la sangre. Como un

ejemplo, el estudio de las fuerzas musculares para producir movimiento y equilibrio es de importancia

para atletas y terapeutas físicos, que necesitan saber qué fuerzas se necesitan para producir

movimientos específicos en el cuerpo. La física se ocupa del movimiento, fuerzas, energías, la

materia, el calor, el sonido, las radiaciones, etc.; conceptos que aparecen a diario en el ejercicio de

una profesión como puede ser la kinesiología y que por lo tanto resulta importante tener un

conocimiento de ellos para el buen desenvolvimiento de nuestro trabajo.

Más específicamente, la biofísica es un puente entre la física y la biología. Abarca el campo del

conocimiento que utiliza los principios de la física para comprender cómo funcionan los mecanismos

de los sistemas biológicos.

1.2 Medida y dimensiones

La física trata de las cosas que pueden ser medidas, por ejemplo la longitud, el tiempo, la temperatura,

etc. Las medidas se hacen siempre con respecto a un patrón, denominado unidad.

Para la longitud una unidad puede ser el metro (m). Esta unidad se puede convertir a otras, si se

conoce la longitud del metro en función de otras unidades. ¿Cómo se mide la longitud? De manera

directa, por medio de una varilla o regla graduada. En otros casos de interés no es posible la medida

directa (no podemos poner una varilla entre los dos puntos que queremos medir) y debemos utilizar

métodos indirectos. Por ejemplo, se presentan situaciones en las que es preciso tener conocimientos

de trigonometría para poder relacionar magnitudes que se miden directamente de aquéllas que se

hallan de forma indirecta.

Otra cantidad que puede ser medida es el tiempo. Para medir el tiempo es necesario un dispositivo que

repita de manera continua cierto suceso, tal que el intervalo entre dos sucesos pueda tomarse como la

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unidad del tiempo. Un ejemplo de estos dispositivos son los relojes. La unidad normal de tiempo es el

segundo (s).

La longitud y el tiempo son dos de las cantidades fundamentales en la física. Solamente vamos a

introducir otras tres cantidades fundamentales a lo largo del curso: la masa, la temperatura y la carga

eléctrica. Todas las demás se definirán en función de éstas. Por ejemplo, la velocidad media de un

auto en una carrera es el desplazamiento d efectuado por el auto dividido por el tiempo total empleado

(t). Las dimensiones de una magnitud física son los símbolos de las magnitudes fundamentales que la

definen. Designamos las dimensiones de una magnitud escribiendo dichos símbolos entre corchetes.

Así, las dimensiones de longitud y tiempo son simplemente [l] y [t], y las dimensiones de velocidad se

obtienen de su definición como longitud dividida por tiempo, o [l/t].

Las dimensiones de área y volumen también están relacionadas con [l]. Para medir el área (o el

volumen) de alguna cosa se requieren ciertas medidas de longitud y algunos cálculos matemáticos.

Así, el área de un círculo requiere la medida de su radio r. Si r = 2,5 m, el área A es

A = πr2= π × (2,5 m)

2 = 19,6 m

2

La unidad en este caso es el metro cuadrado (m2) y la dimensión es [l

2]. Análogamente, la unidad de

volumen es el metro cúbico (m3) y la dimensión es [l

3]. Se pueden utilizar diversas unidades para

medir el área y el volumen, pero la dimensión de cada una de estas magnitudes es siempre la misma.

1.3 Cifras significativas y redondeo

El número de cifras significativas es el número de dígitos dignos de confianza en los resultados de una

medición. Veamos en la siguiente tabla las reglas más importantes:

320,04+80,2+20,020+20,0=440,260 redondeo a 440,3

2,51 x 2,30 = 5,773, redondeado es 5,77

2,4 x 0,000673 = 0,0016152, redondeado es 0,0016

Operaciones Suma/resta: el número de cifras decimales del resultado debe ser igual al de la cantidad con el menor número de ellas

División/multiplicación: el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras

8,00 tiene tres cifras significativas0,01020 tiene cuatro cifras significativas

Para números mayores que 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos.

0,005 tiene una cifra significativaLos ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo son.

105 tiene tres cifras significativasLos ceros situados entre dos cifras significativas son significativos.

8723 tiene cuatro cifras significativasSon significativos todos los dígitos distintos de cero.

EjemploAlgunas Reglas…

320,04+80,2+20,020+20,0=440,260 redondeo a 440,3

2,51 x 2,30 = 5,773, redondeado es 5,77

2,4 x 0,000673 = 0,0016152, redondeado es 0,0016

Operaciones Suma/resta: el número de cifras decimales del resultado debe ser igual al de la cantidad con el menor número de ellas

División/multiplicación: el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras

8,00 tiene tres cifras significativas0,01020 tiene cuatro cifras significativas

Para números mayores que 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos.

0,005 tiene una cifra significativaLos ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo son.

105 tiene tres cifras significativasLos ceros situados entre dos cifras significativas son significativos.

8723 tiene cuatro cifras significativasSon significativos todos los dígitos distintos de cero.

EjemploAlgunas Reglas…

Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales

que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a la

centésima, se aplicará las reglas de redondeo:

Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica.

Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales se debe tener en cuenta el tercer decimal:

12,612 ≈ 12,61.

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Dígito mayor o igual que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se

incrementa en una unidad. Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales se debe tener en

cuenta el tercer decimal: 12,618 ≈ 12,62

Ejercicios

1) Expresar con tres cifras significativas a cada uno de los siguientes números:

a) 10,061 b) 0,003538 c) 765,3 d) 34,1 e) 34

1.4 Notación científica

La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en

forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Consiste en representar un número entero o

decimal como potencia de diez.

Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la

desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es

menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea

necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y

9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.

Es más fácil entender con ejemplos:

732,5051 = 7,325051 × 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)

−0,005612 = −5,612 × 10−3

(movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).

Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el

exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos

por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.

Nota:

Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de

10 será positivo.

Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10

será negativo.

Otro ejemplo: representar en notación científica: 7.856,1

1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito

entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7.

7,8561

Notamos que la coma se desplazó 3 lugares.

2. El número de cifras desplazadas indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras

desplazadas son 3, la potencia es de 103.

3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se

desplaza a la derecha. Recordar que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se

sobreentiende.

Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es: 7,8561 × 103

Multiplicar en notación científica

Para la operación de multiplicación, se multiplican las expresiones decimales de las notaciones

científicas y se aplica el producto de potencias para las potencias de base 10. Cuando se realiza una

5

multiplicación de potencias que tienen igual base (en este caso ambas son base 10) los exponentes se

suman.

Ejemplo:

(5,24 × 106) × (6,3 × 10

8) = 5,24 × 6,3 × 10

6 + 8 = 33,012 × 10

14 = 3,3012 × 10

15,

Al considerar el redondeo según el número de cifras significativas, el resultado final es: 3,3 × 1015

,

Dividir en notación científica

Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica la división de potencias

para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notación científica.

Hagamos una división:

(5,24 × 107)

(6,3 × 104) =

(5,24 ÷ 6,3) × 107−4

= 0,831746 × 103 = 8,31746 × 10

−1 × 10

3 =

8,3 × 102

Suma y resta en notación científica

Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación científica, como en este ejemplo:

5,83 × 109 − 7,5 × 10

10 + 6,932 × 10

12 = ?

lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la más pequeña de las potencias de

10, en este caso el factor será 109 (la potencia más pequeña), y factorizamos:

109 (5,83 − 7,5 × 10

1 + 6,932 × 10

3) = 10

9 (5,83 − 75 + 6932) = 6.862,83 × 10

9

Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notación científica y nos queda: 6,86283 × 1012

, al

redondear según el número de decimales, tenemos que considerar solo un decimal (el mismo número

de decimales que 7,5), éste quedará 6,9 × 1012

Ejercicios

2) Convertir los siguientes números a notación científica:

a) 4.300.000 (Rta: 4,3 x 106) b) 0,0004 c) 920.000.000 d) 0,02 e) 88.000.000.000

f) 0,000005

3) Pasar a representación numérica los siguientes números expresados en notación científica:

a) 6,21 x 10-5

b) 9,7 x 106 c) 4,2 x 10

-4 d) 3 x 10

-8 e) 8,127 x 10

2 f) 1,3 x 10

-3

4) Calcular las expresiones siguientes:

a) (1,3 x 105) × (3,5 x 10

3) b) (9,2 x 10

-3) × (4,1 x 10

7)

4

2

(5,2 10 )c)

(1,3 10 )

x

x;

2

5

(8,2 10 )d)

(6,3 10 )

x

x

1.5 Conversión de unidades

Hay situaciones en las que es preciso convertir las unidades en las que se expresa una magnitud física.

Las unidades se pueden tratar como magnitudes algebraicas que pueden cancelarse entre sí. Para

convertir unidades, una magnitud puede multiplicarse por el factor de conversión, c, para

proporcionar las unidades deseadas en el resultado final. El factor de conversión es una fracción igual

a 1, cuyo denominador y numerador tienen unidades diferentes.

Ejemplo: una de las equivalencias entre unidades de longitud en los sistemas SI y británico es:

1 milla =1,609 km,

el factor de conversión se expresa como: c=1,609km 1milla

11milla 1,609km

6

¿a cuántas millas equivalen 30 km?

1milla

30km = 30km 18,64millas1,609km

Ejercicios

5) Una milla equivale a 1,609 kilómetros. ¿A cuántos kilómetros equivalen 500 millas?

6) Una caloría, unidad de energía, equivale a 4,186 joules. (a) ¿A cuántos joules equivalen 4.500

calorías? (b) ¿A cuántas calorías equivalen 200 joules?

7) (a) ¿Cuál es la conversión de 200 metros cuadrados (m2) en centímetros cuadrados (cm

2)? (b) ¿Cuál

es la conversión de 0,3 metros cúbicos (m3) en centímetros cúbicos (cm

3)?

8) (a) ¿Cuál es el área de un círculo de 3.5 cm de diámetro? (b) Convertir el área en m2

(Rta: 9,6 cm2; 9,6 x 10

-4 m

2)

9) (a) ¿Cuál es el volumen de un cubo de 4 metros de lado? (b) ¿Cuál es el volumen de una célula

esférica de 2 x 10-3

cm de diámetro?

10) (a) ¿A cuántos litros de agua equivalen 350 cm3? (b) ¿A cuántos m

3 equivalen 300 litros?

(1 litro = 1.000 cm3)

11) (a) ¿A cuántos kilómetros por hora (km/h) equivalen 23 m/s? (b) ¿A cuántos m/s equivalen 230

km/h?

12) El corazón bombea sangre a un ritmo de 0,083 litros/seg. (a) ¿Cuáles son las dimensiones de la

velocidad del flujo de la sangre? (b) Convertir esta velocidad en metros cúbicos por hora.

(Rta. (a) [l3/t])

1.6 Ecuación lineal

Una ecuación es una relación de igualdad entre cantidades, alguna de ellas desconocidas llamadas

incógnitas. La aplicación de leyes físicas en lenguaje matemático nos lleva a resolver ecuaciones, de

las que podemos obtener el resultado o dato que estemos buscando. Para resolverlas debemos utilizar

operaciones elementales de pasajes de términos y las propiedades de las operaciones con números

reales. Las ecuaciones lineales con una incógnita son ecuaciones del tipo:

ax b cx d

o cualquier otra forma equivalente a ésta, donde a, b, c, d serán números conocidos y x la incógnita.

La solución de esta ecuación es:

( ) /( )x d b a c

siempre que a – c ≠ 0

Ejemplo: Resolvamos la ecuación 3 x +1 = x – 3

1) Agrupamos todo lo que tenga x a un lado de la igualdad (por ejemplo, a la izquierda) y lo que no

tenga x en el otro lado (derecha). En este caso, sumamos -1 (o restamos 1) en ambos miembros:

3 x +1–1= x – 3– 1; reagrupando resulta 3 x = x – 4

y sumamos – x (o restamos x) en ambos miembros,

7

3 x– x = x – 4 – x, reagrupando términos se obtiene 2 x = – 4

3) Para obtener el valor de la incógnita x, dividimos ambos miembros por 2, y obtenemos:

2 x/2 = – 4/2

Por lo que x = – 2

Ejercicios

13) Hallar el valor de la incógnita x en las siguientes ecuaciones:

a) 8 x + 3 = - 2 b) 43 = 5 x

c) 4 x = 9 x + 3 d) - 5 x + 2 = 12

e) 2 x + 1 = - 3 - 7 x g) 36 = 5 x + 4 x

g) 12 x = - 6 x + 9 h) - 4 x + 2 = - 11 + 6 x

1.7 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Son las ecuaciones de la forma

ax by c

dx ey f

donde a, b, c, d, e, f serán números conocidos y x e y son las incógnitas. Veamos un ejemplo resuelto

por el método de sustitución. Consideremos el sistema de dos ecuaciones:

x – y = 4

2 x + y = 5

1) Despejamos la incógnita x de la primera ecuación: x = y + 4 (1)

2) Reemplazamos este valor en la segunda ecuación: 2(y + 4) + y = 5

3) Si resolvemos esta ecuación con una incógnita obtenemos el valor de y: y = - 1

4) Para hallar el correspondiente valor de x reemplazamos el valor obtenido de y en (1): x = 3

Ejercicios

14) Hallar el valor de las incógnitas x e y en los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x + 2 y = 5 b) 3 x + 6 y = 24

5 x + y = 7 ` 8 x + 2 y = 22

c) 3 x + 2 y = 6 d) 4 x + 7 y = 9

3 x + y = 1 ` 6 x +3 y = 5

1.8 Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas

La trigonometría resulta muy útil como método de medir distancias, cuando no podemos hacerlo de

manera directa (por medio de una regla). Un triángulo rectángulo como el que se muestra en la figura

es un triángulo en que uno de sus ángulos es de 90°. Consideremos el ángulo α del triángulo de la

figura. El lado que está enfrente de α (a) recibe el nombre de cateto opuesto, mientras que el

lado que está enfrente del ángulo recto (c) recibe el nombre de hipotenusa. El otro lado

que falta (b) recibe el nombre de cateto adyacente.

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Estos lados están relacionados por el Teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

2 2 2a b c

Los cocientes de los lados de un triángulo rectángulo definen las funciones trigonométricas seno,

coseno y tangente:

senCB a

AB c ; cos

AC b

AB c ; tan

CB a

AC b

Ejercicios

15) Obtener los valores de las siguientes expresiones trigonométricas utilizando la calculadora:

a) seno 30° b) coseno 20° c) tangente 75° d) arcoseno 0,3 e) arcotangente 2

16) ¿Qué longitud debe tener una escalera para poder alcanzar un estante a 2,30 m de altura, formando

un ángulo de 6° con la horizontal?

17) Se desea conocer la altura de un árbol y no se puede medir directamente. Nos situamos de pie a 50

m del árbol y determinamos una línea desde el suelo hasta la copa del árbol que forma un ángulo de

25º con el suelo. ¿Cuál es la altura del árbol? (Rta.: 23,3 m)

18) Un hombre camina 100 metros hacia el norte y después, tras girar 45º, camina otros 200 metros

hacia el noreste. ¿Cuál es la distancia en línea recta entre el comienzo y el final del paseo?

1.9 Magnitudes escalares y vectoriales

Magnitud escalar: son magnitudes físicas, como la masa, el volumen, la temperatura, entre otras, que

pueden especificarse por medio de una magnitud y su correspondiente unidad. No tienen dirección.

Estas magnitudes satisfacen las reglas usuales de suma, resta, multiplicación y división. O sea, si de

un tanque que contiene 10 litros de agua, retiramos 2 litros, quedarán en el tanque 8 litros. No

intervienen la dirección para nada, es decir, no tiene sentido decir que retiramos 2 litros de agua en

dirección oeste, lo que importa es que quedaron 8 litros en el tanque.

Magnitud vectorial: estas magnitudes, además de estar descriptas por su magnitud y su unidad, se

requiere tener información acerca de su dirección. Son magnitudes vectoriales la fuerza, la velocidad,

la aceleración, el campo eléctrico, entre muchas otras. Cuando decimos que un auto marcha a 100

km/h, estamos refiriéndonos a su rapidez. Pero dando solo su rapidez, nada informamos sobre su

dirección. Si agregamos que circula a 100 km/h en dirección Norte, estamos hablando de su

velocidad, que es una magnitud vectorial (magnitud + unidad + dirección).

1.10 Vectores

Las magnitudes vectoriales se representan a través de vectores. En los libros de

texto un vector se lo indica con una flecha encima, A , o en letras negritas, A.

En una representación gráfica al vector se lo indica con una flecha que

indicaría su magnitud (cuánto) y su dirección (hacia dónde).

Las reglas de operaciones entre vectores difieren de las operaciones aritméticas

usuales y hay que recurrir a otros métodos operacionales.

Dos vectores son iguales si tienen las mismas unidades, la misma dirección, la

misma magnitud. Todos los vectores de la figura son iguales aunque sus puntos

de partida sean distintos.

Un vector A en el plano queda completamente descrito por sus componentes,

Ax y Ay, siendo cosxA A y senyA A , y es el ángulo entre esa línea

9

y el eje x positivo, midiendo en el sentido contrario a las agujas del reloj. También se puede indicar

como: ( , )x yA A A

Suma de vectores:

a) Gráficamente mediante la regla del paralelogramo: Se dibujan dos vectores con un mismo punto

inicial. Luego se traza una recta comenzando en el punto final de un vector paralela al otro vector. Se

repite el procedimiento, cambiando los vectores. Luego se une el punto inicial con el punto de

intersección entre las dos rectas paralelas y se encuentra el vector resultante o suma R.

a) Regla del paralelogramo b) Polígono

b) Gráficamente mediante la construcción del polígono: El vector resultante R A B es el vector

dibujado desde el extremo del primer vector hasta el punto del último vector (ver Figura b)).

c) Analíticamente, mediante el uso de la proyección de los vectores a lo largo de los ejes de un

sistema de coordenadas cartesiano. Dado otro vector A , de componentes Ax y Ay,, y otro vector B , de

componentes Bx y By, el vector resultante será R A B , de componentes x x xR A B y

y y yR A B

Ejercicios

19) Un vector A , situado en el plano xy tiene una magnitud de 25 unidades y forma un ángulo de 37º

con la abscisa (eje x). Determinar sus componentes Ax y Ay. (Rta.: Ax= 20, Ay= 15)

20) La componente x de un vector que está en el plano xy es de 12 unidades, y la componente y es de

16 unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector? (Rta.: A= 20, x= 53,1º)

21) La figura muestra tres vectores, A , B y C . (a) Hallar

gráficamente la sumas A B , A C , y B A , A B C ; y

las componentes x e y de A , B , C y A B ; (c) Si las

magnitudes de A , B y C son de 20, 10 y 5 unidades,

respectivamente, hallar analíticamente las sumas A B y A C

10

2. Fuerzas y leyes de movimiento

2.1 Fuerzas

Tenemos una idea intuitiva acerca de qué es una fuerza basados en experiencias cotidianas. Por

ejemplo, para mover un mueble necesitamos hacer una fuerza, también para empujar una caja. Se

ejerce una fuerza cuando se patea una pelota. En general, el concepto de fuerza se asocia a una

actividad muscular o a un cambio en el estado del movimiento de un objeto. Pero puede ser que una

fuerza no provoque un movimiento: la Tierra ejerce una fuerza gravitatoria sobre un libro apoyado

sobre una mesa, y sin embargo no lo vemos moverse, o si aplicamos una fuerza a una roca grande,

posiblemente no consigamos moverla. Una fuerza siempre es ejercida por un objeto sobre otro, es

decir, cuando hablemos de fuerza tendremos que preguntarnos quién realiza la fuerza y sobre quién

actúa esa fuerza. Una definición rigurosa de fuerza debe tener en cuenta qué efectos causa, como

veremos más adelante.

2. 2 Algunos ejemplos de Fuerzas

Fuerza gravitatoria o peso: Es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre cualquier

objeto. Su dirección es siempre hacia el centro de la Tierra.

Fuerza normal o de contacto: La ejerce un cuerpo sobre otro en contacto con él. Su dirección es

siempre perpendicular a la superficie del cuerpo que la ejerce.

Figura 1: Fuerza normal y fuerza peso actuando sobre una

computadora apoyada en un escritorio. La fuerza normal es

ejercida por el escritorio sobre la computadora y está dirigida

hacia arriba. El peso es la fuerza ejercida por la Tierra

sobre la computadora y su dirección es hacia el centro de la

Tierra (hacia abajo).

Fuerza de roce o fricción: Es la fuerza aplicada por una superficie a un objeto en contacto con ella.

Es paralela a la superficie. Actúa generalmente oponiéndose a cualquier fuerza aplicada

exteriormente. (Fig. 2)

Tensión: Es la fuerza que las cuerdas flexibles, al estar estiradas, ejercen sobre los objetos que tiran.

Las cuerdas flexibles transmiten siempre las fuerzas a lo largo de su longitud. (Fig. 3)

Fuerza elástica: Fuerza que ejerce un resorte cuando se estira o se comprime una longitud x. Tiene

dirección contraria al estiramiento (o compresión) y su magnitud es

proporcional a x. (Fig. 4)

Figura 2 Figura 3 Figura 4

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Fuerza eléctrica: Fuerza que las partículas con carga eléctrica se ejercen entre sí.

Fuerza muscular: La postura y el movimiento de los animales están controlados por

fuerzas producidas por los músculos. Un músculo consta de un gran número de fibras

cuyas células son capaces de contraerse al ser estimulas por impulsos que llegan a

ellas procedentes de los nervios. Un músculo está generalmente unido en sus extremos

a dos huesos diferentes por medio de tendones (Fig. 5). Los dos huesos están

conectados por la articulación que es flexible. La contracción del músculo produce dos

pares de fuerzas que actúan sobre los dos huesos y los músculos en el punto donde

están ligados los tendones. La fuerza máxima que puede ejercer un músculo depende

del área de su sección transversal. Figura 5

Podemos clasificar las fuerzas en:

i) Fuerzas de contacto: representan el resultado del contacto físico entre dos objetos. Ejemplos: fuerza

normal, fuerza elástica, tensión de una cuerda, fuerza de roce.

ii) Fuerzas de acción a distancia o fuerzas de campo: no implican el contacto físico entre dos objetos

sino que actúan a través de espacio vacío. Ejemplos: fuerza gravitatoria, fuerza eléctrica, fuerza que

un imán ejerce sobre un pedazo de hierro.

2.3 Representación de una fuerza

Dijimos en el capítulo anterior que las fuerzas son vectores. Los vectores se representan por flechas.

La información que proporcionan es:

- El tamaño de la flecha es proporcional al módulo o magnitud, de manera que cuando más

intensa sea la fuerza mayor tamaño tendrá la flecha.

- La dirección donde se aplica la fuerza es la recta que contiene a la flecha y el sentido se indica

con su punta.

Figura 6 Figura 7 Dado un sistema de coordenadas de ejes x-y ortogonales entre sí, podemos descomponer un vector

F en componentes según los ejes x e y (Fig. 6).

Fx = componente de la fuerza F según x.

Fy = componente de la fuerza F según y.

Las componentes de una fuerza se pueden representar entre paréntesis: F = (Fx, Fy).

En la Figura 6 las componentes de la fuerza F son: Fx= | F | cosθ, y Fy = | F | senθ.

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| F |= F representa el módulo de la fuerza y θ es el ángulo que la fuerza forma con el eje x positivo.

Ejemplo: El tendón del bíceps de la Figura 7 ejerce una fuerza de mF sobre el antebrazo. Si

conocemos el módulo de esta fuerza (en este caso vamos a suponer que vale 25 unidades de fuerza,

más adelante veremos en que unidades específicas se mide una fuerza) y la dirección que esta fuerza

con el antebrazo (en este caso forma un ángulo de 40°), podemos determinar sus componentes

paralela al antebrazo (fuerza estabilizadora) y perpendicular al antebrazo (fuerza de sostén).

La componente paralela al antebrazo es: Fx = 25 unidades × cos(40°) = 18,16 unidades

La componente perpendicular al antebrazo es Fy = 25 unidades × sen(40°) = 16,07 unidades

2.4 Primera ley de Newton: Ley de inercia

Todo objeto persiste en su estado de reposo, o de movimiento en línea recta con rapidez constante, a

menos que se le apliquen fuerzas que lo obliguen a cambiar dicho estado.

O sea, “Las cosas tienden a seguir haciendo lo que ya estaban haciendo”.

Veamos esto mediante ejemplos: un libro apoyado sobre una mesa, decimos que se encuentra en

reposo. A menos que apliquemos una fuerza, no cambiará ese estado de reposo. Supongamos un disco

pulido deslizándose por un piso con roce. Recorrerá una cierta distancia y en algún momento se

detendrá, en todo instante actuó sobre él una fuerza de roce. Supongamos ahora que el disco se desliza

sobre una pista de hielo, la distancia que recorrerá será mayor. Si se desliza sobre una mesa de aire

donde el roce es prácticamente nulo, seguiría moviéndose indefinidamente en línea recta.

No hace falta aplicar una fuerza para que un objeto se mueva. Sí es necesario aplicar una fuerza para

cambiar su estado de movimiento (esto quiere decir, cambiar su velocidad). Por ejemplo, necesito

aplicar una fuerza para superar la fuerza de roce y poner el libro en movimiento. Pero una vez que el

libro se encuentra en movimiento en un entorno libre de fuerzas, seguirá moviéndose indefinidamente.

Se requiere una fuerza para acelerar un objeto.

Figura 8: Ejemplo de la Ley de la inercia. Al frenar la bici, el muchacho (si no se encuentra

sujeto a nada) sale despedido a la velocidad en

la que iba, tiende a seguir moviéndose a la

velocidad que traía

¿Qué es la Masa?

Seguramente notarás la diferencia al patear una lata vacía o una lata llena de plomo. Es probable que

en este último caso resultes dañado. Decimos que la lata con plomo tiene “más inercia”. La inercia

está asociada con la cantidad de materia del objeto, o sea, a la masa del objeto. Cuanto mayor sea la

masa de un objeto, mayor será la fuerza necesaria para cambiar su estado de movimiento.

No confundir masa con volumen: el volumen es una medida de espacio que ocupa un objeto, se mide

en unidades como en m3 o litros o equivalentes. En cambio la masa es una medida de la cantidad de

materia, se mide en kilogramos, gramos. No es lo mismo la cantidad de kilogramos que tiene un

objeto con el espacio que ocupa. Una caja vacía de 1 m3 ocupa el mismo volumen de 1 m

3 que si la

caja está llena de arena. Sin embargo, la masa en mucho mayor en la que contiene arena, ya que la

cantidad de materia es mayor. Y cuesta más mover a la caja con arena que a la caja vacía.

13

La masa no es lo mismo que el peso: esta es una confusión muy común. La masa depende de la

cantidad de materia que posee el objeto, o sea, de la cantidad y tipo de átomos que lo componen. Por

tanto, la masa es una propiedad inherente al objeto y vale lo mismo en todos lados, en la Luna, en la

Tierra o en cualquier lugar del espacio. Lo que conocemos como peso de un objeto es una medida de

la fuerza de atracción gravitatoria sobre ese objeto. El peso depende de la ubicación del objeto debido

a la forma que depende la fuerza gravitatoria (depende del inverso al cuadrado de la distancia entre

dos cuerpos, entre la Tierra y el objeto en este ejemplo).

Para ejemplificar, una roca tiene la misma masa en la Tierra y en la Luna, porque su cantidad de

materia no cambia. Sin embargo su peso en la Tierra es distinto que su peso en la Luna. En la

superficie de la Luna su peso es una sexta parte de su peso en la Tierra, porque la fuerza gravitatoria

en la Luna es seis veces menor que en la Tierra. Si la roca se encontrase en un lugar del espacio donde

la fuerza gravitatoria sea nula, su peso sería cero.

Aunque no son lo mismo, en la superficie de la Tierra (que es donde generalmente vamos a analizar

situaciones a lo largo de este curso) el peso y la masa son proporcionales. Es decir, si duplicamos la

masa, el peso se duplica, y un objeto de masa grande es muy pesado.

La relación es: Peso= mg (donde g es la aceleración de la gravedad y vale 9,8 m/s2)

En el Sistema métrico Internacional (SI), la masa se mide en kilogramos (kg). La unidad de fuerza en

el SI es el Newton (símbolo N). Una bolsa de 1 kg de clavos tiene un peso de 9,8 N en la proximidad

de la superficie de la Tierra, pesa mucho menos en la Luna, aunque su masa sigue siendo de 1 kg (la

cantidad de materia no cambió). La relación entre unidades es: 1 N = 1 kg x (1 m/s2).

En el Sistema técnico de unidades, la fuerza se mide en kilogramos fuerza (kgf, kp o kg ), que es la

fuerza ejercida sobre una masa de 1 kg (de masa) por la gravedad en la superficie terrestre, esto es 9,8

m/s2. Cuando veamos la 2da Ley de Newton, entenderemos mejor la relación entre estas unidades.

1kgf en el sistema técnico equivale a alrededor de 9,8 N en el SI (para hacer una estimación rápida

podemos decir que 1 kgf 10 N).

Se propone la unidad kgf de modo que un kilogramo de masa pese un kilogramo fuerza. El uso del

kgf da una idea útil porque para asegurarse que se cuenta con una masa de 4 kg basta asegurarse que

pesa 4 kgf sin tener que hacer la cuenta de cuántos Newtons representa. Pero hay que tener cuidado

porque puede llevar a confusión si no se recuerda que el kgf es una unidad de fuerza y el kg es una

unidad de masa.

2.5 Tercera ley de Newton: Principio de acción y reacción

Cuando un objeto A ejerce una fuerza sobre otro objeto B, el objeto B ejerce sobre el objeto A una

fuerza igual en magnitud y de sentido contrario.

Podemos usar la notación ABF para distinguir la fuerza sobre A ejercida por B. Y BAF para la fuerza

sobre B que ejerce A. El principio de acción-reacción en notación vectorial se escribe:

AB BAF F

A una de las fuerzas se la llama fuerza de acción y a la otra de reacción. No importa cuál de los

nombres se le da a cada una, pero en general reconocemos como fuerzas de acción las fuerzas que

actúan sobre el objeto que estamos estudiando.

Las fuerzas de acción-reacción nunca actúan sobre el mismo objeto. Esto es importante de tener en

cuenta para identificar las fuerzas que actúan sobre un objeto.

14

Ejemplos de aplicación del principio de acción y reacción:

Figura 9: Ejemplos del principio de acción y reacción (arriba). El boxeador

puede golpear el saco de arena con gran fuerza, pero con el mismo golpe

solo puede ejercer una fuerza diminuta sobre el pañuelo desechable en el

aire (abajo). Otro ejemplo: en la interacción entre el martillo y la

estaca, cada uno ejerce la misma fuerza sobre el otro.

2.6 Equilibrio

Decimos que un cuerpo u objeto está en equilibrio si se encuentra en reposo (equilibrio estático) o en

movimiento a velocidad constante (equilibrio dinámico). En este curso nos centraremos en la

resolución de problemas de equilibrio estático.

Otra forma de enunciar la 1ra Ley de Newton es:

Si un objeto está en equilibrio, la fuerza neta actuante sobre el objeto es igual a cero

Por fuerza neta o fuerza resultante entendemos a la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan

sobre el objeto. Por tanto, si un objeto está en equilibrio, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre

el objeto tiene que ser igual a cero.

15

Para resolver situaciones en las que actúen fuerzas e impliquen la aplicación de la 1º Ley de Newton

es conveniente realizar un diagrama de cuerpo libre, también llamado de cuerpo aislado. Los pasos

sugeridos para encarar estas situaciones son las siguientes:

1. Una vez identificada la situación a analizar, dibujar un diagrama del sistema.

2. Aislar el objeto que se quiere analizar, y realizar un esquema simplificado del objeto bajo estudio.

3. Solo debe mostrar la representación del objeto y las fuerzas que se ejercen sobre él. Nunca debe

incluir fuerzas ejercidas por el objeto de interés sobre otros cuerpos y esquemas de otros objetos que

ejerzan fuerzas sobre nuestro sistema.

4. Si hay varios objetos, se hace un diagrama para cada objeto

5. Definir un sistema de ejes x-y ortogonales entre sí adecuado para cada objeto y encontrar las

componentes de las fuerzas a lo largo de dichos ejes.

6. Aplicar la 1ra Ley de Newton, en componentes x y componentes y. Para resolver situaciones,

conviene trabajar separando en componentes según el sistema de coordenadas elegido. Para el caso de

cuerpos en equilibrio, de la descomposición tendremos:

∑ 0xF (la suma de componentes de las fuerzas según la dirección x que actúan sobre el objeto es

cero)

∑ 0yF (la suma de componentes de las fuerzas según la dirección y que actúan sobre el objeto es

cero)

7. Resolver las ecuaciones para obtener las incógnitas del problema.

2.7 Cuerdas flexibles y tendones

Si sobre un bloque sólido actúan solo dos fuerzas, F1 y F2, iguales en magnitud y opuestas en

dirección F2 = -F1, el bloque estará en equilibrio. Sin embargo, esta situación difiere netamente de

bloque sobre el que no actúan fuerzas. Cuando actúan fuerzas opuestas presionando al bloque se dice

que éste está en un estado de compresión. Del mismo modo, un bloque en equilibrio puede tener dos

fuerzas opuestas tirando de él, en este caso se dice que el bloque se encuentra en un estado de tensión.

El módulo T de la tensión es igual al módulo de una u otra de las fuerzas que actúan sobre él: T = F1 =

F2 (empleamos los símbolos en cursiva para indicar sólo el módulo de la fuerza).

Una cuerda flexible tal como una cinta, una piola o un tendón, posee varias propiedades especiales:

1) Puede hallarse en un estado de tensión pero no de compresión.

2) Sólo puede transmitir una fuerza en sentido longitudinal.

3) La tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda.

Los tendones son empleados para cambiar la dirección de una fuerza, sin modificar su módulo. Por

ejemplo, en biomecánica los tendones cambian la dirección de la fuerza de un músculo. Estos

tendones pasan por encima de los huesos que funcionan a modo de poleas. Los fluidos lubricantes

reducen casi a cero el rozamiento entre el tendón y el hueso.

2.8 Ejemplos de aplicación de problemas de equilibrio

Con la primera y tercera ley, más todo lo que aprendimos sobre las fuerzas podemos resolver

situaciones de equilibrio:

1) Supongamos la siguiente situación: dos personas tratan de mover un bloque muy grande (fig. 10) .

El bloque, sin embargo, no se mueve. Cristian empuja el bloque mientras Pamela tira de él mediante

una cuerda.

El sistema u objeto a analizar es el bloque. “Aislamos” al bloque del resto (lo separamos de las

personas que tiran/empujan, de la Tierra, del piso). Simbolizamos al bloque mediante un punto.

Identificamos y dibujamos las fuerzas que se ejercen sobre el bloque, considerando las direcciones de

estas fuerzas que indicamos con la flecha del vector de fuerza correspondiente. Conviene agregar el

sistema de coordenadas que estamos usando (ejes x-y).

16

Figura 10

Indicamos las fuerzas con notaciones que podamos reconocer:

CBF es la fuerza que Cristian ejerce sobre el bloque;

PBF es a fuerza que Pamela ejerce sobre el bloque

N es la fuerza normal de contacto que el piso ejerce sobre el bloque

rF es la fuerza de roce entre el bloque y el piso, ejercida sobre el bloque.

BP es la fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el bloque (Peso del bloque).

Descomponemos las fuerzas según componentes x e y. En este caso, cada fuerza solo tiene una

componente (o bien x, o bien y), así que su componente tendrá el valor de su magnitud.

Para la componente x, la 1ra ley se escribe:

0CB PB rF F F

Al escribir la 1ra ley según la componente x, estamos trabajando con las proyecciones de las fuerzas

según x; consideramos el sentido de la fuerza según con signo positivo (si apunta hacia la derecha) o

negativo (si apunta hacia la izquierda).

Para la componente y, la 1ra ley se escribe:

0BN P

2) Supongamos un bloque de 10 N de peso (de masa 1 kg, si usamos la aproximación g 10 m/s2) que

cuelga de un solo dinamómetro (o balanza de resorte). Como el sistema está en equilibrio (Fig. 11), el

dinamómetro debe indicar 10 N (la fuerza que ejerce el dinamómetro equilibra la fuerza peso del

bloque).

Si ahora el bloque cuelga de dos dinamómetros verticales ¿cuánto indica cada uno? Los dos

dinamómetros deben equilibrar al peso del

bloque de 10 N. Por tanto, la resultante de

la fuerza que ejercen los dos

dinamómetros en conjunto debe ser de 10

N. Si están orientados verticalmente,

entonces 10 N= 5 N + 5 N.

Figura 11

¿Qué sucede si los dinamómetros no están en posición vertical?

Supongamos que están formando un ángulo con la vertical.

¿Cuánto indicará cada uno? Si el ángulo aumenta, ¿que pasará con lo

que indican los dinamómetros, la fuerza que ejercen aumenta o

disminuye? Dicho de otra forma, ¿los resortes del dinamómetro se

alargan más o menos?

Figura 12

Se estiran más, aumenta la fuerza que indican a medida que aumenta el ángulo con la vertical. Una

forma rápida para llegar a la respuesta es aplicando la regla del paralelogramo para encontrar la fuerza

resultante de los dinamómetros que tiene que ser de 10 N (ver Fig. 12). A medida que aumenta el

17

ángulo, los lados del paralelogramo son cada vez mayores para cumplir la condición de que la suma

sea 10 N.

3) La Figura 13 muestra dos pesas A y B unidas por una cuerda que pasa por una polea sin roce.

Supongamos que todo el sistema está en equilibrio y sea Fg la fuerza de gravedad sobre la pesa A.

¿Cuál es la fuerza de la gravedad F’g sobre la pesa B? De acuerdo con la primera ley, la cuerda debe

ejercer una fuerza Fc = -Fg sobre A dirigida hacia arriba y, por la tercera ley, la pesa ejerce entonces la

fuerza de reacción Rc = -Fc = -(-Fg) = Fg sobre la cuerda y hacia abajo (Fig. 11).

Con la fuerza Rc aplicada a un extremo, la cuerda posee una tensión T = Rc = Fg. Esta tensión es la

misma en todos los puntos de la cuerda (la polea carece de rozamiento), y de este modo la fuerza R’c

que ejerce hacia abajo la pesa B sobre la cuerda también es igual en módulo a T. La reacción a R’c es

F’c = -R’c, que es una fuerza dirigida hacia arriba que actúa sobre B (Fig. 14). De nuevo por la

primera ley, la fuerza total sobre B es cero, luego la fuerza de la gravedad F’g es igual a -F’c = R’c y

posee un módulo igual a T = Fg. Por lo tanto, las dos pesas en equilibrio deben pesar lo mismo.

Figura 13 Figura 14 Figura 15

4) Analicemos el dispositivo de la Figura 15, cuya finalidad es aplicar una tensión sobre las

estructuras cervicales.

El bloque de 6 kg está en equilibrio, entonces la suma de fuerzas que actúan sobre el bloque es cero.

Sobre el bloque actúan dos fuerzas: su peso hacia abajo y la fuerza que ejerce la cuerda hacia arriba.

De aquí se obtiene que el valor de la fuerza que ejerce la cuerda es de 6 kp. Si la cuerda ejerce sobre

el bloque una fuerza de 6 kp hacia arriba, entonces, por el principio de acción y reacción, el bloque

hace sobre la cuerda una fuerza de 6 kp hacia abajo. La cuerda posee entonces una fuerza de tensión

de 6 kp, que es la misma en todos los puntos de la cuerda (suponemos que la polea carece de

rozamiento) y en particular en ambos extremos, de aquí que la cabeza debe ejercer sobre la cuerda una

fuerza de 6 kp dirigida hacia la derecha. La reacción a ésta es una fuerza de 6 kp hacia la izquierda,

ejercida por la cuerda sobre la cabeza. Vemos entonces que la cuerda se halla en estado de tensión,

con dos fuerzas de igual magnitud que tiran de ella: la fuerza del bloque de 6 kp y la fuerza de la

cabeza.

18

2.9 Segunda ley de Newton: Relación entre fuerza y aceleración

¿Qué pasa si la fuerza neta (o fuerza resultante) que actúa sobre un cuerpo es diferente de cero? De

eso trata la 2da Ley de Newton:

La fuerza resultante RF que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de la masa m del cuerpo por

su aceleración a :

RF ma

Esto quiere decir que la aceleración que adquiere un objeto es directamente proporcional a la fuerza

resultante aplicada sobre él, tiene la dirección de la fuerza resultante y es inversamente proporcional a

la masa del objeto.

¿Qué es la aceleración? Si existe un cambio en el estado de movimiento, o sea, si cambia la rapidez o

la dirección de la velocidad, hay una aceleración. La velocidad es una magnitud vectorial, por lo tanto

está caracterizada por su módulo (rapidez) y su dirección. Un cambio en el estado de movimiento

implica un cambio en su velocidad (en su módulo y/o dirección).

En un auto el acelerador produce un aumento de la rapidez, el freno una disminución de la rapidez y

el volante un cambio de dirección. La aceleración tiene dimensiones de longitud/tiempo2, y se mide en

unidades de, por ejemplo, metros/segundos2

(m/s2). Por otra parte, la velocidad tiene dimensiones de

[l/t] y una unidad de medida es m/s.

Aceleración = cambio en la velocidad/intervalo de tiempo (cantidad vectorial)

Las fuerzas resultantes son la causa que un objeto se acelere (cambie su estado de movimiento).

Imagináte empujando un carrito de supermercado vacío que está inicialmente en reposo. Si ahora el

carrito está lleno de mercadería y lo empujás aplicando la misma fuerza que cuando estaba vacío

(igual en magnitud y dirección), la aceleración será menor. ¿Por qué? Porque la aceleración que

adquiere depende de la masa del carrito. A mayor masa menor aceleración, a menor masa mayor

aceleración. Esto se expresa diciendo que dada una fuerza, la aceleración que produce es

inversamente proporcional a la masa.

19

Preguntas y ejercicios

1) Indicar cual es la única afirmación falsa:

a) Las fuerzas de acción y reacción actúan sobre diferentes cuerpos.

b) Si un cuerpo está en equilibrio, la suma de fuerzas que actúan sobre él es cero.

c) Un cuerpo se acelera en la misma dirección que la fuerza resultante que actúa sobre él.

d) La fuerza de contacto normal sobre un cuerpo es la fuerza de reacción de su peso.

e) Si un cuerpo se mueve a velocidad constante, la suma de fuerzas que actúan sobre él es cero.

2) Si una persona tiene una masa de 80 kg ¿cuál es su peso en Newtons?, ¿y en kgf? (b) ¿cuánto mide

la masa de tu cuerpo en la Tierra? ¿y en la Luna?

3) Una persona de 70 kg se encuentra en reposo parada sobre el piso. La persona sostiene por encima

de su cabeza una barra de 20 kg. (a) Encuentre la fuerza que el piso hace sobre la persona. (b) ¿Cuál

es la fuerza que la persona hace sobre el piso?

4) Sobre un objeto de 5 kg, que se encuentra en equilibrio, actúan 3 fuerzas. La primera tiene una

magnitud de 23 N y apunta hacia la derecha, la segunda tiene una magnitud de 16 N y apunta hacia la

izquierda. Encuentre la magnitud y la dirección de la tercera fuerza.

5) Encima de un bloque de 4 kg colocado sobre una mesa se coloca otro bloque de 12 kg. Dar el

módulo y la dirección de las siguientes fuerzas: a) Fuerza gravitatoria sobre el bloque de 4 kg. b)

Fuerza de contacto ejercida por la mesa sobre el bloque de 4 kg. c) Fuerza de contacto ejercida por el

bloque de 12 kg sobre el bloque de 4 kg. d) Fuerza de contacto ejercida por el bloque de 4 kg sobre el

bloque de 12 kg. e) De estas fuerzas, ¿cuales son pares de acción y reacción?

6) Comparada con tu peso, ¿cuál es la fuerza de tensión que actúa sobre tu brazo

cuando estás colgado de un brazo sin moverte? ¿Y cuando estás colgado con los dos

brazos verticalmente? Si te cuelgas con las manos muy separadas, es mayor o menor

esta fuerza?

7) El tendón del bíceps de la figura ejerce una fuerza mF de 7 kgf sobre el antebrazo.

El brazo aparece doblado de tal manera que esta fuerza forma un ángulo de 40º con

el antebrazo. Hallar las componentes de mF (a) paralela al antebrazo (fuerza

estabilizadora) y (b) perpendicular al antebrazo (fuerza de sostén). Rta: (a) 5,4 kgf;

(b) 4,5 kpf.

8) Para pensar: ¿qué mide una balanza: masa o peso? ¿Depende de la balanza,

importa de qué tipo de balanza se trata, de resortes o de platillos?

9) La figura (P.9) muestra dos cuerpos unidos por una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento.

Todo el sistema se encuentra en equilibrio. El cuerpo B tiene una masa de 3 kg. Encuentre el valor de

la tensión de la cuerda y la masa del cuerpo A.

10) ¿Cuáles son las tensiones T1 y T2 de las cuerdas de la figura (P. 10)?

11) ¿Cuál es la tensión de la cuerda de la figura (P.11)?

12) ¿Cuáles son las tensiones T1, T2 y T3 de las cuerdas de la figura (P. 12)?

20

Problema 9 Problema 10 Problema 11 Problema 12

13) La figura representa un hombre de 70 kg de pie con los pesos

de diferentes partes de su cuerpo indicados. a) ¿Cuál es el

módulo de la fuerza de contacto que sostiene la cabeza y el

cuello? b) ¿Cuál es la fuerza que sostiene a un brazo? c) ¿Cuál

es la fuerza total que sostiene al tronco en las dos articulaciones

de la cadera? d) ¿Cuál es la fuerza de contacto total en las

articulaciones de la rodilla? e) Si el hombre se apoya en un pie,

¿cuál es la fuerza de contacto sobre la articulación de la rodilla

sobre la que está apoyado? f) ¿Cuál es la fuerza en la

articulación de la rodilla que sostiene la pierna que no se apoya

en el suelo? (Rta: c) 49 kp, e) 66 kp, (f) 4 kp)

Problema 13

14) Hallar la fuerza que ejerce sobre el pie el dispositivo

de tracción de la figura. (Rta.: 4,6 kp, en dirección 15º

respecto de la vertical)

Problema 14

21

3. Momento

3. 1 Momento de una fuerza

La primera ley de Newton es una condición necesaria para el equilibrio de un objeto, pero no

suficiente. Consideremos las dos fuerzas F1 y F2 que actúan sobre el bloque de la Figura 1. Aún en el

caso en que F2 = - F1 , es decir la fuerza neta sobre el bloque es cero, el bloque se moverá efectuando

una rotación. La condición F1 + F2 = 0 sólo asegura que un punto del bloque (su centro de gravedad)

permanece en reposo. Se necesita una segunda condición para asegurar que el bloque no se pone a

girar.

Figura 1 Figura 2

La tendencia de una fuerza a originar una rotación alrededor de un punto depende del módulo de la

fuerza y de su distancia al punto. Veamos por ejemplo el caso de Figura 2: el chico ejerce sobre la

tabla una fuerza de 500 N y tiende a hacerla girar en el sentido de las agujas del reloj, mientras que la

chica ejerce sobre la tabla una fuerza de 250 N que tiende a hacerla girar en el sentido contrario a las

agujas del reloj. A pesar de la desigualdad de estas fuerzas, el tobogán está en equilibrio si el chico se

sienta más cerca del eje que la chica. El tobogán está en equilibrio o balanceado si la fuerza que ejerce

el chico multiplicada por su distancia al eje es igual a la fuerza que ejerce la chica multiplicada por la

distancia que la separa al eje. De este modo, si el chico se sienta a 1,5 m del eje o pivote puede

equilibrar a la chica sentada a 3 m del eje, puesto que:

250 N × 3 m = 750 N×m = 500 N × 1,5 m

Para extender esta regla a otra situaciones, vamos a introducir el concepto de momento, al considerar

la fuerza F y el punto de apoyo O mostrado en la Figura 3. En todas figuras de este capítulo, el eje de

rotación se supone perpendicular al plano de la figura.

Definimos el módulo del momento (τO) ejercido por una fuerza F alrededor de un eje que pasa por el

punto O como:

O Fd

O sea, τO es el producto del módulo de la fuerza (F) por la distancia al punto O medida

perpendicularmente ( d ). El momento lo definimos positivo (+) si tiende a producir una rotación en

sentido contrario a las agujas del reloj y negativo (-) en caso contrario.

El momento es una medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza a producir rotación alrededor de

un eje perpendicular a un punto. Si se desea hacer que se mueva un objeto en reposo hay que aplicarle

una fuerza, y si se desea que comience a girar un objeto en reposo hay que aplicarle un momento. La

unidad de momento es el N.m o el kp.m.

22

Existen dos características muy importantes del momento:

1- El módulo y el signo del momento producido por una fuerza depende del punto O alrededor

del cual se lo calcula.

2- La distancia d que aparece en la expresión del momento es la distancia perpendicular desde el

punto O a la línea de acción de la fuerza (ver Figura 3). Es la distancia más corta entre la

fuerza aplicada y el eje de rotación, y se lo suele llamar “brazo de palanca”.

Figura 3

Los momentos generados por las fuerzas sobres los cuerpos que actúan pueden ser:

Momentos Positivos .-Todos aquellos que hacen girar al cuerpo en el sentido contrario a las agujas

del reloj ( giro Antihorario) Momentos Negativos .- Todos aquellos que hacen girar a los cuerpos en el sentido de las agujas del

reloj(giro Horario)

Momentos nulos .- Todos aquellos donde la línea de acción de las fuerzas pasan por el punto de

giro(No genera giro).

F F

d d F

Momento negativo Momento positivo Momento nulo

Figura 4

Tenemos mayor probabilidad de lograr girar el tornillo de la Figura 5 si una misma fuerza se aplica

perpendicular al mango de la llave, en vez de en dirección oblicua. El la primera figura el brazo de

palanca es menor que la longitud del mango de la llave. En la segunda figura el brazo de palanca es

igual a la longitud del mango. En la tercera figura ese brazo se prolonga con un tubo, para hacer

mayor palanca y tener mayor momento.

Figura 5

23

3. 2 Condiciones de equilibrio

Un objeto que no tiene tendencia a ponerse a girar se dice que está en equilibrio rotacional. Para que

un objeto esté en equilibrio rotacional la suma de los momentos producidos por todas las fuerzas que

actúan sobre el objeto debe ser nula.

Para que un objeto se encuentre en equilibrio estático deben cumplirse dos condiciones:

1) La suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto debe ser cero (1ºley de Newton,

equilibrio traslacional):

0j

j

F

2) La suma de todos los momentos que se ejercen sobre el mismo debe ser cero (equilibrio

rotacional):

0j

j

Al aplicar la condición de que la suma de momentos es cero, todos los momentos deben calcularse

alrededor del mismo punto. Si el objeto está en equilibrio no importa dónde esté localizado ese punto.

3. 3 Centro de gravedad

El problema de calcular el momento producido por la fuerza de la gravedad sobre un objeto extenso

requiere una especial consideración porque la gravedad actúa sobre cada punto del objeto. En el

brazo extendido en la figura 6 existen fuerzas gravitacionales sobre cada átomo del brazo. Cada una

de estas fuerzas tiene su propia línea de acción y produce su propio momento. La suma de todas estas

fuerzas es la es la fuerza total de gravedad o peso del brazo Fg y la suma de todos los momentos es el

momento total τg debido a la gravedad.

El momento gravitatorio τg producido por la fuerza de gravedad sobre un objeto extenso se calcula en

términos del peso del objeto Fg y de la posición de un punto especial llamado centro de gravedad.

Centro de gravedad: Es el punto donde puede suponerse actúa la fuerza total de gravedad, a efectos de

calcular el momento gravitatorio τg. Por ejemplo, en la Figura 6, el centro de gravedad (cg) está

localizado a 28 cm de la articulación del hombro (punto O). Si el brazo pesa 3 kp, el momento

alrededor de O producido por la fuerza de gravedad o peso es:

τg = -Fg . d = - 3 kp × 0,28m = - 0,84 kp×m

el signo menos (-), recordemos, aparece porque la fuerza de gravedad tiene a producir un giro en

sentido horario respecto a O.

Figura 6

24

El centro de gravedad posee rasgos característicos:

1) La fuerza de gravedad sobre un objeto produce un momento nulo alrededor de su centro de

gravedad. Por definición, la línea de acción de la fuerza de gravedad pasa por el centro de

gravedad y, así, la distancia del centro de gravedad a esta línea es cero.

Ejemplo: Localicemos el centro de gravedad del objeto de la Figura 7, que consiste en dos masas A y

B conectadas por una barra de peso despreciable.

Suponemos que el centro de gravedad está situado a una distancia x del peso A. Entonces, los

momentos alrededor del centro de gravedad debidos a las fuerzas gravitatorias individuales de A y B

son:

τA = FA x y τB = -FB (d – x)

Como el momento total alrededor del centro de gravedad debido a las fuerzas gravitatorias es nulo,

obtenemos:

FA x– FB (d – x) = 0 lo que nos lleva a x = FB d/(FA + FB)

Figura 7 Figura 8

Entonces, si por ejemplo A y B valen 10 kp y 5 kp, respectivamente, y la distancia d entre ellos vale

3m, se obtiene que el centro de gravedad está situado a una distancia x = 1 m medido desde A.

2) El centro de gravedad de un objeto rígido es el punto de equilibrio. Si se sitúa un solo soporte

directamente bajo el centro de gravedad de un objeto (ver Figura 8), la fuerza de contacto Fc

que el soporte ejerce sobre el objeto es igual a –Fg, y de aquí que la fuerza total sobre el

objeto sea cero. Además, tanto Fc como Fg producen momentos nulos alrededor del centro de

gravedad, ya que sus líneas de acción pasan por él. Por consiguiente, el momento total

alrededor del centro de gravedad es cero y el objeto está en equilibrio.

3) En un objeto rígido el centro de gravedad es un punto fijo con respecto al objeto, aunque no

esté necesariamente localizado en el objeto mismo. Por ejemplo, en las Figuras 7 y 8, el

centro de gravedad de la barra y de los pesos es un punto fijo de la barra y no varía su

posición cuando la barra se desplaza. La banana y la galletita de la Figura 9 tienen ambas su

centro de gravedad fuera de cada objeto.

25

Figura 9

4) En un objeto flexible, como el cuerpo humano, la posición del centro de gravedad varía

cuando el objeto cambia de forma. El centro de gravedad de un hombre, que permanece de

pie y derecho, está localizado al nivel de la segunda vértebra sacra sobre una línea vertical

que toca el suelo a unos 3 cm por delante de la articulación del tobillo. Si el hombre levanta

los brazos sobre su cabeza, el centro de gravedad sube unos centímetros. Si una persona toma

la posición de la Figura 10, su CG queda fuera del cuerpo.

Figura 10

5) Para objetos con cierta simetría, el centro de gravedad se sitúa siempre en el centro, el eje o el

plano de simetría. Por ejemplo, en una esfera, un cubo o un cilindro homogéneos, el CG está en el

centro geométrico.

6) Para un sistema formado por varios cuerpos extensos, el CG se calcula como si cada uno de ellos

fuera puntual y todo su peso estuviera concentrado en su CG.

3. 4 Principio de equilibrio

Vimos que para que un objeto esté en equilibrio, la suma de las fuerzas y la suma de los momentos

que actúan sobre él deben ser cero por separado. Si el momento neto no es cero, el objeto está sin

equilibrar y girará en el sentido del momento total, distinto de cero, que actúa sobre él.

Figura 11 Figura 12

26

Consideremos el libro sobre la mesa de la Figura 11. La fuerza de contacto o normal Fc que ejerce la

mesa sobre el libro está distribuida por toda el área de contacto entre el libro y la mesa, pero lo mismo

que la fuerza de gravedad Fg, se puede considerar que la fuerza de contacto total actúa en un punto

único localizado dentro de esta área. Mientras el centro de gravedad del libro esté sobre el área de

contacto, el punto de aplicación de Fc estará situado en la misma vertical como se muestra en la

Figura 11. En este caso, el momento total y la fuerza total sobre el libro son nulos y el libro está en

equilibrio.

Cuando el libro se desplaza un poco más fuera de la mesa, el punto de aplicación de Fc se mueve

hacia el borde de la mesa a fin de permanecer bajo el centro de gravedad, pero su punto de aplicación

no se puede desplazar más allá del borde de la mesa (porque no hay contacto). Cuando el centro de

gravedad rebasa el borde de la mesa, como se muestra en la Figura 12, la fuerza de contacto

permanece en el borde y el momento total sobre el libro ya no es cero. El momento total alrededor de

O es -Fg d. Este es un momento en el sentido de las agujas del reloj que hace girar al libro y que por

lo tanto hace que se caiga de la mesa.

Principio de equilibrio: Si la fuerza de contacto o normal Fc y la fuerza de atracción gravitatoria o

peso Fg son las únicas fuerzas que actúan sobre un objeto, éste estará equilibrado si y solamente si su

centro de gravedad está localizado sobre su área de apoyo.

Para el cuerpo humano, el principio de equilibrio requiere que nuestro centro de gravedad esté por

encima de nuestra área de apoyo que viene definida por la posición de nuestros pies.

Figura 13

La Figura 13 muestra diferentes ubicaciones de nuestros pies delimitan diferentes áreas de apoyo.

Estamos en equilibrio siempre que nuestro centro de gravedad esté en la línea vertical que pasa por

algún punto dentro del área de apoyo.

En posición de firmes, el CG está normalmente sobre una línea que pasa a unos 3 cm por delante de

las articulaciones del tobillo. Según el principio de equilibrio, Fg y la fuerza de contacto Fc en la

articulación del tobillo no son las únicas fuerzas ejercidas sobre el cuerpo por encima del tobillo. Para

mantener el equilibrio y evitar que el cuerpo realice un movimiento de rotación hacia adelante, hace

falta una tercera fuerza. Esta fuerza la aplica a cada pierna el músculo del tendón de Aquiles, que va

unido al tobillo. Los CG de la mayoría de las secciones del cuerpo no están encima de las

articulaciones de apoyo, sino que hacen falta fuerzas musculares para mantener el equilibrio (ver Fig.

Problema 12)

3. 5 Estabilidad

En la práctica, el principio del equilibrio no es suficiente para garantizar el equilibrio. Por ejemplo,

sería posible mantener momentáneamente una regla en posición vertical (Figura 14). Sin embargo,

como su centro de gravedad está tan alto por encima de un área de apoyo muy pequeña, cualquier

pequeña vibración de la mesa hace que el centro de gravedad se salga de dicha área. Tan pronto

sucede esto, el momento sobre la regla hace que ésta se caiga, como se indica en el dibujo de la

derecha de la Figura 14. Es decir, una regla, por su pequeña área de apoyo y la posición elevada de su

centro de gravedad se desequilibra al sufrir la más ligera perturbación. Este tipo de equilibrio se

denomina inestable.

27

La Figura 15 muestra una caja apoyada sobre una mesa. La caja está en equilibrio y este tipo de

equilibrio es estable porque si se la inclina ligeramente de modo que ya no esté en equilibrio, el

momento total sobre ella la hace volver a su posición de equilibrio, como se indica en el dibujo de la

derecha de la Figura 15.

Una buena estabilidad se obtiene teniendo el centro de gravedad de un objeto en una posición baja por

encima de un área de apoyo grande. Para un cuadrúpedo, el área de apoyo es el área que hay entre las

cuatro patas, lo cual hace que el animal tenga una gran estabilidad. Un hombre erguido tiene un área

de apoyo pequeña (el área delimitada por sus dos pies) y mecánicamente no es muy estable.

Figura 14 Figura 15

A lo largo de la evolución los animales han desarrollado posturas cada vez más inestables. La

inestabilidad resultante permite moverse más rápidamente, pero requiere un control neuromuscular

complejo para mantener el equilibrio. A un niño le cuesta un año aproximadamente desarrollar el

control neuromuscular suficiente para mantenerse en pie sin ayuda.

3. 6 Ejemplos de equilibrio en los que interviene el momento

Veamos algunos ejemplos donde tenemos que utilizar las dos condiciones de

equilibrio estático vistas en la sección 3.2.

1) La Figura 16 muestra las fuerzas sobre un hombre en posición erecta, con

su centro de gravedad a mitad de la distancia entre sus pies. Hallar las fuerzas

que ejerce el suelo sobre los pies derecho (FR) e izquierdo (FL), si el peso del

hombre (Fg) es de 82 kgf. El centro de gravedad del hombre se encuentra en la

línea recta que pasa por el punto medio de la distancia entre sus pies, que es de

30 cm.

Por la primera ley de Newton, la suma de las fuerzas ejercidas sobre el hombre

es cero,

FR + FL + Fg = 0

y por lo tanto, como estas fuerzas son paralelas, sus módulos satisfacen la

relación:

FR + FL = 82 kgf (1)

Figura 16

28

Para hallar los módulos individuales FR y FL hacemos uso de la condición de equilibrio rotacional.

Los momentos pueden tomarse alrededor de cualquier punto, pero en este caso conviene que los

tomemos alrededor del punto O, que es donde FL actúa sobre el pie izquierdo. Si la separación entre

los pies del hombre es de 30 cm, los momentos en este punto son

τL = FL × 0 = 0

τR = -FR × 0,3 m

τg = Fg × 0,15m = 82 kgf × 0,15 m = 12,3 kgf.m

Como la suma de los momentos tiene que ser cero, tenemos

- FR × 0,3 m + 12,3 kgf.m = 0

por lo tanto, despejando se obtiene que FR = 41 kgf

Poniendo este resultado en la ecuación (1) nos da

FL = 41 kgf

El punto O nos conviene en este caso porque una de las dos incógnitas pasa a través de él. Esta

incógnita es eliminada así de la primera parte del problema puesto que su momento alrededor de O es

cero. Se necesita un poco más de álgebra si los momentos los tomamos alrededor del punto O’, que

está en la línea de acción de Fg, pero el resultado final será el mismo.

2) ¿Dónde se halla el centro de gravedad de un hombre de 82 kgf cuando está de pie de modo que la

fuerza sobre su pie izquierdo, herido, no sobrepase los 20 kgf? Como en el ejemplo 1), se supone que

los pies están a 30 cm uno del otro (Fig. 17).

Para averiguar dónde se halla el centro de gravedad, se repite el cálculo empezando

con el conocimiento de que FL = 20 kgf; la distancia d de la línea de acción de la

fuerza gravitatoria perpendicular al pie izquierdo es desconocida. De la ecuación

(1) obtenemos que FR = 62 kgf; por lo tanto los momentos alrededor de O son

τL = 20 kgf × 0 = 0

τR = - 62 kgf × 0,3 m = -18,6 kgf.m

τg = 82 kgf × d

y la suma es

-18,6 kgf.m + 82 kgf × d = 0

Despejando, se obtiene que la posición del centro de gravedad es: d = 0,227 m

El centro de gravedad se aparta entonces del pie herido en dirección al pie bueno.

Esto se logra doblando el cuerpo hacia la derecha y adoptando una postura típica de

cojeo (Fig. 17).

Figura 17

29

Preguntas y ejercicios

1) Indicar cual es la única afirmación falsa:

a) Si un cuerpo está en equilibrio, la suma de los momentos que actúan sobre él alrededor de

cualquier punto es cero.

b) El centro de gravedad de un objeto siempre está dentro del objeto.

c) Si las únicas fuerzas que actúan sobre un objeto son su peso y la fuerza de contacto, el objeto está

en equilibrio si su centro de gravedad está localizado sobre su área de apoyo.

d) La fuerza de gravedad sobre un objeto produce un momento nulo alrededor de su centro de

gravedad.

e) La posición del centro de gravedad varía cuando un cuerpo cambia de forma.

2) Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos de la forma

indicada en la figura. ¿En qué situaciones se enrosca el tornillo, en que situaciones

se desenrosca el tornillo, cuáles producen el mismo resultado (mismo momento) o

son equivalentes?

3) (a) ¿Cuánto valen los momentos alrededor de la muñeca, el codo y el hombro

cuando una persona sostiene con el brazo extendido un peso de 5 kgf? (Despreciar

el peso del brazo). (b) ¿Depende el valor del momento del punto

alrededor del cuál se calcula? ¿Son todos del mismo signo?

(c) ¿cuál es el momento alrededor del codo cuando se sostiene el

peso de 5 kgf de forma tal que el brazo forma con el cuerpo un

ángulo de 30º? ¿Es menor o mayor que en el caso (a)?

Rta.: (c) -0,7625 kgf.m

Problema 3

4) ¿Con cuál de estas herramientas es más fácil abrir una lata de

pintura cuya tapa está pegada: un destornillador con el mango grueso o un destornillador con el

mango largo? ¿Cuál de los dos es mejor para aflojar tornillos atascados? Explicar las respuestas.

5) Un padre y su hija que pesan 800 y 350 N,

respectivamente, se encuentran sobre un sube y baja,

que consta de una tabla uniforme de 40 N, apoyada

sobre un pivote que se encuentra bajo el centro de

gravedad (CG) de la tabla y a 1 m del padre.

(a) ¿Cuánto vale la magnitud de la fuerza normal que

el pivote ejerce sobre la tabla? (b) ¿A qué distancia x

del pivote debe ubicarse la hija para que el sistema se

encuentre equilibrado? (Rta.: (a) 1190 N; (b) 2,29 m)

30

Problema 6

6) Un metro uniforme de madera apoyado en la marca de 25 cm se equilibra cuando una roca de 1 kg

se cuelga en el extremo de 0 cm. ¿Cuál es la masa del metro de madera?

7) Hallar las fuerzas que ejerce el suelo sobre los pies derecho e izquierdo de un hombre de 76 kgf

que está en posición recta (ver Figura P. 7). Su CG se encuentra en la línea recta que pasa por el punto

medio de la distancia entre sus pies, que es de 28 cm.

8) ¿Dónde se halla el CG de un hombre de 70 kgf cuando está de pie de modo que la fuerza sobre su

pie izquierdo, herido, es de 30 kgf? La distancia entre sus pies es de 24 cm (ver figura P. 8).

Problema 7 Problema 8 Problema 9

9) Los adultos jóvenes pueden ejercer una fuerza máxima de 40 kgf sobre el aparato que se muestra

en la figura (P. 9), suponiendo que el aparato se coloca a 28 cm del codo y el bíceps está unido a 5 cm

del codo. Determinar los módulos de las fuerzas ejercidas por (a) el bíceps y (b) el húmero. (Rta.: (a)

224 kgf, (b) 184 kgf).

10) Un atleta de 80 kg está preparado para dar un salto

hacia arriba como se indica en la figura. ¿Cuáles son

los módulos de las fuerzas que soporta el piso?

Problema 10

11) ¿Por qué es peligroso abrir los cajones de un archivero completamente lleno que no esté

asegurado con firmeza al piso?

31

12) Estando en postura erecta, el centro de gravedad del cuerpo está sobre una línea que cae a 3 cm

delante de la articulación del tobillo (ver Figura). El músculo de la pantorrilla (el grupo de músculos

del tendón de Aquiles) se une al tobillo a 4,5 cm por detrás de la articulación y sube en un ángulo de

83º. (a) Hallar la fuerza Fm en este músculo para un hombre de 70 kgf de peso que esté de pie

(recordar que cada pierna soporta la mitad del peso del hombre). (b) ¿Cuál es la fuerza de contacto Fc,

ejercida en la articulación del tobillo?

4,5 cm 3 cm

Problema 12

13) En las caricaturas que se muestran en la figura la

cruz indica la posición del CG y la línea vertical a rayas

indica la línea de acción de la fuerza peso. (a) Dibujar el

área de apoyo para cada caso, (b) ¿cuál de las posturas

corresponden a situaciones de equilibrio y por qué? ¿Las

posturas que son de equilibrio corresponden a equilibrio

estable o a equilibrio inestable?

14) Trata de tocarte los dedos de tus pies sin flexionar las rodillas y sin caerte. Ahora intenta hacer lo

mismo pero fijando tus talones contra una pared. ¿Qué observas? Señala la razón del resultado.

Bibliografía

[1] P. A. Hewitt, Física Conceptual, Addison-Wesley

[2] A. H. Cromer, Física para las Ciencias de la Vida, Ed. Reverté, 2da edición.

[3] Página de Ricardo Cabrera: http://neuro.qi.fcen.uba.ar

[4] D. Giancolli, Física para Ciencias e Ingeniería con Física Moderna, Ed. Prentice Hall

[5] R. A. Serway, J. W. Jewett, Física I, Thomson Eds, 3ra edición

[6] R. Resnick y D. Halliday, Física. Ed. Continental.

[7] L. C. McDermott, P. S. Shaffer, y el Physics Education Group, Tutoriales para Física

Introductoria, Ed. Prentice Hall

[8] http /joselopezmateos.wordpress.com/

[9] F. Cussó, C. López, R. Villar, Física de los procesos biológicos, Ed. Ariel, 1era Ed. 2004