MÒDUL 1 PRESENTACIÓ€¦ · Francesc Pozo Montero (mòduls 1, 3 i 7), Núria Parés Mariné...

Un món de fórmules: descobreix les matemàtiques amagades en problemes de la ciència

Francesc Pozo, Núria Parés, Yolanda Vidal Mòdul 1 -

1

MÒDUL 1

PRESENTACIÓ



2

Dades generals

Assignatura Crèdits Un món de fórmules: descobreix les matemàtiques amagades en problemes de la ciència 6

Professorat responsable de l’assignatura Francesc Pozo Montero (mòduls 1, 3 i 7), Núria Parés Mariné (mòduls 1, 2 i 5), Yolanda Vidal Seguí (mòduls 1, 4 i 6). Presentació de l’assignatura L'assignatura pretén fer un recorregut per diferents aspectes, disciplines i problemes de la ciència des d'un punt de vista de la base matemàtica que hi apareix. D'aquesta manera, la introducció de les matemàtiques es veu fonamentada en les aplicacions directes a diferents problemes de la ciència. Aquest recorregut es desenvolupa amb l'ajuda i el suport del programa de càlcul simbòlic Maple (no es pressuposa cap coneixement previ del programa), que permet una gran versatilitat en la representació gràfica, en la computació numèrica i en la simbòlica. Objectius globals de l’assignatura En els materials didàctics facilitats en aquesta assignatura, els estudiants trobaran les eines necessàries per a assolir, després de l'estudi i l'assimilació, els objectius que s'enuncien a continuació: 1. Saber utilitzar les capacitats gràfiques i analítiques del Maple, per a afrontar diversos problemes dels camps de la biologia, química, mecànica, optimització i sistemes de comunicació. 2. Conèixer diferents equacions que modelen sistemes físics, des d'un punt de vista didàctic. El programa Maple permet entendre l'essència del problema, sense entrar en el rigor dels mètodes matemàtics que els resolen. 3. Percebre les matemàtiques com ciència transversal, com a llenguatge bàsic de totes les ciències. Metodologia L'estudiant haurà de seguir les indicacions que es donin als tutorials de cada capítol que es presentarà al Campus Virtual i/o a la web interactiva creada a l'efecte. En aquests tutorials es proporcionaran bibliografia de consulta i ampliació i adreces electròniques de pàgines web relacionades amb els continguts de cada part de l'assignatura. A partir d'aquests materials els estudiants hauran de realitzar els exercicis i les pràctiques que es proposin, així com participar als fórums de discussió que s'estableixin sobre aspectes relacionats amb alguns temes tractats.



3

Materials Tots els materials necessaris per cursar aquesta assignatura es troben a la web interactiva creada a l'efecte http://bibliotecnica.upc.edu/gimel/. Cada tema compta amb enllaços a múltiples webs relacionades amb el seu contingut específic. Dades generals Continguts

Mòduls didàctics Tema Títol S H

Introducció a l’assignatura 1. Presentació 0.5 Com treballar al campus digital? Maple i el càlcul simbòlic 2. Introducció al Maple 0.5 Maple, computació i gràfics Conxes marines 3. Biologia 2 Fractals

Aproximació de dades mesurades 4. Química 2 Separació de líquids per

destil·lació

Jocs de molles 5. Mecànica 2 Mecànica celest i gravitació

Max Flow - Min Cut Travelling Salesman Problem 6. Optimització 2 Minimització del cost en una empresa

Criptografia 7. Sistemes de comunicació 2 El món discret

Recapitulació 1 Total 15



4

Avaluació L'avaluació de l'estudiant es farà a partir de la valoració dels exercicis (proves d’avaluació continuada) i de les pràctiques realitzades i de la seva participació als fórums de discussió que s'estableixin, segons les següents taules.

Model de creuament de pràctiques i avaluació continuada

Proves d’avaluació continuada A B C+ C- D N

A A B B C- D D B B B C+ C- D D

C+ B C+ C+ C- D D C- C- C- C- C- D D D D D D D D D

Pràctiques

N D D D D D N

Model de qualificacions finals

Nota pràctiques + avaluació continuada A B C+ C- D N Qualificació

final F MH/EX NO A SU SU NP Bibliografia [1] Cortie A., Digital Seashells, Comput & Graphics Vol 17 , pp. 79-84, 1993. [2] Mathews J.H., Howell R.W., Complex Analysis: Maple Worksheets, 2001. [3] Perry's Chemical Engineers' Handbook, Robert H. Perry and Don Green, sixth edition, McGraw Hill. [4] Examples, Maplet Tutorial , Maple 9.5, Maplesoft, A Division of Waterloo Maple Inc. 2004. [5] Goodaire, E. and Parmenter, M., Discrete Mathematics with Graph Theory, second edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2002, pp. 448-454. [6] The Molecular Computer, Don Ploger, Lee Klingler, Consortium, The Newsletter of the Consortium for Mathematics and Its Applications, Number 58, Summer 1996. [7] Discrete Optimization Algorithms, Maciej M. Syslo, Narsingh Deo, Janusz S. Kowalik, Prentice-Hall, 1983. [8] Fúster, A.; De la Guía, D.; Hernández, L.; Montoya, F.; Muñoz, J. (1997). Técnicas criptográficas de protección de datos. Madrid: Ra-ma.



5

Dates clau

Títol Inici/Enunciat Lliurament Solució Qualificació Mòdul 1 05/03/06 Mòdul 2 08/03/06 Mòdul 3 12/03/06 PAC 1

(Mòduls 1-3) 23/03/06 02/04/07 04/04/07 17/04/07

Mòdul 4 26/03/06 Mòdul 5 16/04/06 PAC 2

(Mòduls 4-5) 27/04/06 07/05/07 09/05/07 14/05/07

Mòdul 6 30/04/06 PAC 3

(Mòdul 6) 11/05/06 21/05/07 23/05/07 28/05/07

Mòdul 7 14/05/06 Pràctica

(Mòdul 7) 25/05/06 04/06/07 06/06/07 11/06/07

Un cop publicat el mòdul corresponent, l’estudiant haurà d’accedir al material a través de la pàgina web http://bibliotecnica.upc.edu/gimel/. Per cada mòdul hi haurà accessible les notes del mòdul i/o tutorials en maple. Es suposarà que l’estudiant llegeix i realitza els exercicis proposats i d’autoavaluació de cada mòdul. L’avaluació dels coneixements adquirits en els mòduls es farà a través de tres exercicis d’avaluació continuada (PAC 1, PAC 2 i PAC 3). Aquests exercicis requeriran haver assolit els coneixements abans mencionats mitjançant l’estudi i la realització dels exercicis proposats i d’autoavaluació. Al final de curs s’haurà de realitzar una pràctica que conformarà la nota de pràctiques mencionada en l’apartat anterior. Dubtes En cas de tenir dubtes sobre l’assignatura es recomanda posar-se en contacte amb el professor responsable del mòdul corresponent mitjançant un correu electrònic que serà contestat en un plaç no superior a 2 dies hàbils. Núria Parés Mariné [email protected] Francesc Pozo Montero [email protected] Yolanda Vidal Seguí [email protected]



6

Mòdul 2 - INTRODUCCIÓ AL MAPLE Núria Parés Objectius En els materials didàctics facilitats en aquest mòdul, trobareu les eines necessàries per a assolir, després de l’estudi i l’assimilació, els objectius que s’enuncien a continuació: 1. Introduir-se en l’ús del programa de càlcul simbòlic MAPLE: aprendre a utilitzar el programa de manera interactiva. 2. Mitjançant problemes físics senzills, aprendre a utilitzar els recursos del maple per obtenir-ne una solució de manera senzilla, podent apreciar fàcilment el potencial del programa. Capítols La ràpida i recent expansió dels ordinadors per a ús tant domèstic com docent com comercial, han fet que programes com el Maple es plantegin com a clars substituts de les calculadores de ma i dels llibres de taules matemàtiques. En aquest mòdul es dona una visió global de les potencialitats del programa. Es comença per una iniciació al programa (fulla de càlcul). Després de manera simple es presenten les altres potencialitats: la creació de gràfics, les eines de càlcul, el treball amb funcions i nombres complexos, la resolució d’equacions, la resolució d’equacions diferencials, nocions bàsiques de programació i àlgebra simbòlica. Resum En aquest mòdul s’han presentat els conceptes bàsics per a l’ús del programa de càlcul simbòlic maple. Bibliografia [1] Ross L. Spencer, Introduction to maple for physics students. Brigham Young University. Tutorial. [2] Jason Schattman, Introduction to maple. Maplesoft recorded seminars. http://www.maplesoft.com/products/maple/academic/index.aspx?WS=1



7

Mòdul 3 - BIOLOGIA Francesc Pozo Objectius En els materials didàctics facilitats en aquest mòdul, trobareu les eines necessàries per a assolir, després de l’estudi i l’assimilació, els objectius que s’enuncien a continuació: 1. Saber utilitzar les capacitats gràfiques de que disposa Maple. En concret, el package plots que permet representar gràfiques en dues i tres dimensions i generar animacions. En particular, es faran servir les coordenades cartesianes, les polars, les cilíndriques i les esfèriques per a representar closques marines. 2. Saber utilitzar les capacitats analítiques del Maple per treballar amb anàlisi complexa. En concret farem servir la comanda ComplexPlot per a representar en el pla nombres complexos i fer operacions aritmètiques entre ells. Capítols 1. Les closques marines poden ser modelades com a superfícies en tres dimensions (3D). La seva forma autosimilar es pot generar amb una simple fórmula amb un cert nombre de paràmetres lliures. En aquest capítol implementarem aquests models i obtindrem gràficament aquestes espectaculars superfícies. Farem servir les potencialitats gràfiques del Maple, com ara el paquet plots i les seves opcions i paràmetres. 2. Els fractals són estructures que es poden trobar amb certa facilitat a la natura. Aquests fractals poden ser generats a través de la iteració de determinades funcions de variable complexa. En aquest capítol utilitzarem el potencial de càlcul simbòlic de variable complexa per a generar diversos gràfics fractals. En particular, els conjunt de Julia, el conjunt de Mandelbrot, o fractals que simulen plantes, vegetació i, fins i tot, paisatges. Resum En aquest mòdul hem presentat models biològics per a motivar l’aprenentatge de les eines de representació gràfica del Maple i com a introducció a les funcions de variable complexa. Bibliografia [1] Cortie A., Digital Seashells, Comput & Graphics Vol 17 , pp. 79-84, 1993. [2] Mathews J.H., Howell R.W., Complex Analysis: Maple Worksheets, 2001.



8

Mòdul 4 - QUÍMICA Yolanda Vidal Objectius En els materials didàctics facilitats en aquest mòdul, trobareu les eines necessàries per a assolir, després de l’estudi i l’assimilació, els objectius que s’enuncien a continuació: 1. Saber utilitzar amb facilitat les eines estadístiques de que disposa el Maple. En concret el package stats del Maple que disposa de funcions per fer anàlisis de dades, com diferents mitjanes i quàntils, dibuix de funcions, com histogrames i funcions per manipular dades com mitjanes mòbils amb pesos. Entre altres destacarem el mètode dels mínims quadrats utilitzant diferents combinacions de funcions per a fer l’aproximació. 2. Mitjançant problemes de la química conèixer les equacions en derivades parcials. Què modelen, com es poden resoldre i com es poden representar els resultats amb el Maple. Capítols 1. Considerarem una mescla d’etanol i aigua. A partir de dades obtingudes al laboratori de l’equilibri i punt d’ebullició de la mescla utilitzarem eines estadístiques per aproximar aquestes dades. Aquesta aproximació és necessària per simular el procés de destil·lació. 2. Partim d’una mescla de líquids amb diferents punts d’ebullició. Escalfem la mescla fins l’ebullició on comença a canviar de fase líquida a vapor. El vapor conté una alta concentració del component de la mescla que té més baix punt d’ebullició. Com a resultat, la destil·lació té lloc ja que el component líquid amb més alt punt d’ebullició roman en fase líquida. Modelarem aquest procés mitjançant equacions en derivades parcials. El Maple resoldrà les equacions no lineals i ens permetrà provar la reacció del sistema a paràmetres variables com el flux de calor. Resum Utilitzarem problemes de la química per a motivar l’aprenentatge d’eines estadístiques i de resolució i interpretació d’equacions en derivades parcials. Bibliografia [1] Perry´s Chemical Engineers´ Handbook, Robert H. Perry and Don Green, sixth edition, McGraw Hill.



9

Mòdul 5 - MECÀNICA Núria Parés Objectius En els materials didàctics facilitats en aquest mòdul, trobareu les eines necessàries per a assolir, després de l’estudi i l’assimilació, els objectius que s’enuncien a continuació: 1.Entendre la física involucrada els dos problemes mecànics que es proposen en aquest mòdul: el moviment descrit per dues boles de billar a l’imposar una velocitat inicial d’una d’elles, el moviment de dues masses unides per una molla, una d’elles fixada i l’altra sotmesa a una velocitat inicial. 2.Saber usar les potencialitats del maple per resoldre els problemes anteriors i poder realitzar diferents simulacions i animacions en funció dels paràmetres inicials. Capítols 1. Es consideren dues boles de billar situades en un taulell de billar espanyol. A una d’aquestes dues boles se li imposa una velocitat inicial i un angle de sortida. Amb el maple, es simula la trajectòria de les dues boles obtenint una animació de la tirada de billar. 2. Es consideren dues masses unides per una molla amb una rigidesa donada. Una de les masses està fixada al sostre i l’altra està sotmesa a una força vertical. El maple permet simular el moviment de les dues masses en funció de la força inicial aplicada a la massa inferior. Es podran obtenir a més simulacions de sistemes complexos formats per masses unides per molles amb diferents rigideses. Bibliografia [1] Alexis G. Kwong.Physics and Pool/Billiards. University of Waterloo, Canada. Tutorial. [2] Forhad Ahmed. Analysis and Simularion of Simple Dynamic Systems. Columbus Alternative High School. Tutorial.



10

Mòdul 6 - OPTIMITZACIÓ Yolanda Vidal Objectius En els materials didàctics facilitats en aquest mòdul, trobareu les eines necessàries per a assolir, després de l’estudi i l’assimilació, els objectius que s’enuncien a continuació: 1. Conèixer els problemes de camí mínim i de fluxos en xarxes. En concret, ser capaços

d’utilitzar el teorema de Max-flow min-cut per a determinar si un flux és òptim o no. L’eina principal serà el package networks del Maple.

2. Conèixer algoritmes d’optimització discreta. En concret ser capaços de resoldre el Traveling Salesman Problem.

3. Ser capaç de resoldre problemes senzills de minimitzar costos utilitzant el Maple. També aprendre a calcular les variacions d’energia i de treballadors que s’han de fer en resposta a les variacions dels costos de la materia prima o bé en la quantitat de producció que es vol assolir.

Capítols 1. Es parteix d’un tutorial en Maple que permet comparar el valor del màxim flux amb

el mínim tall i determinar els arcs del mínim tall així com dels arcs saturats. També es pot observar el graf sense els arcs del mínim tall. El tutorial permet introduir el teorema de Max-Flow Min-Cut. L’estudiant haurà de modificar el tutorial i afegir rutines bàsiques d’error per a resoldre diferents aplicacions d’aquest teorema a problemes de la vida real.

2. Es proposa resoldre el Traveling Salesman Problem (TSProblem) que és un interessant problema en què un venedor vol visitar N ciutats. Ha de visitar totes les ciutats una vegada i tornar a la ciutat de sortida, intentant minimitzar la distància total viatjada.

3. Es proposa resoldre el problema de minimitzar els costos d’una empresa. L’empresa té uns certs treballadors (L) i necessita una certa energia (E) per a produir una quantitat (Q). El cost d’una unitat de treball és w, i el cost de la unitat d’energia és r. L’objectiu de l’empresa és un cop fixada una producció final de Qo unitats minimitzar el cost total de la producció.

Resum Utilitzant problemes de la vida real (problemes de max-flow min-cut com el que podem trobar en una xarxa viària, problemes de trobar el camí mínim i de minimitzar costos en una empresa) s’aprèn la teoria bàsica de problemes de minimització i com es poden resoldre utilitzant com a eina el Maple. Bibliografia [1] Examples, Maplet Tutorial , Maple 9.5, Maplesoft, A Division of Waterloo Maple Inc. 2004.

[2] Goodaire, E. and Parmenter, M., Discrete Mathematics with Graph Theory, second edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2002, pp. 448-454.

[3] The Molecular Computer, Don Ploger, Lee Klingler, Consortium, The Newsletter of the Consortium for Mathematics and Its Applications, Number 58, Summer 1996.



11

[4] Discrete Optimization Algorithms, Maciej M. Syslo, Narsingh Deo, Janusz S. Kowalik, Prentice-Hall, 1983.



12

Mòdul 7 - SISTEMES DE COMUNICACIÓ Francesc Pozo Introducció Objectius En els materials didàctics facilitats en aquest mòdul, trobareu les eines necessàries per a assolir, després de l’estudi i l’assimilació, els objectius que s’enuncien a continuació: 1. Valorar la importància de la codificació de missatges per garantir la seguretat i

privacitat de la comunicació electrònica. En particular, l’estudiant haurà de ser capaç de reconèixer alguns mètodes de xifrat bàsics i la seva implementació en Maple.

2. Reconèixer la importància del món discret i les seves aparicions i aplicacions en diferents àmbits de la vida quotidiana. En particular, l’estudiant haurà de ser capaç de discretitzar senyals continus, i processar-los adequadament amb les eines que el Maple ofereix.

Capítols 1. En aquest capítol es presenten les tècniques bàsiques de xifrat (xifres de

transposició, xifres de substitució) i s’estudien els conceptes de secret perfecte i autenticitat perfecta. En particular, es presenten les bases matemàtiques dels criptosistemes moderns (RSA), com ara la matemàtica discreta (primalitat, etc.)

2. En aquest capítol il·lustrem l’ús del Maple per a processar digitalment diferents senyals. Es carregarà un senyal de so i es representarà l’espectre de Fourier. Construirem i aplicarem un filtre passa-baixos al senyal. Per últim, es representaran els espectres dels senyals d’entrada i de sortida.

Resum Fent servir la teoria de la informació i la comunicació s’introdueix a l’estudiant en els móns de la matemàtica discreta i de la Teoria de Fourier. Bibliografia [1] Examples, Maplet Tutorial , Maple 9.5, Maplesoft, A Division of Waterloo Maple Inc. 2004.

[2] Fúster, A.; De la Guía, D.; Hernández, L.; Montoya, F.; Muñoz, J. (1997). Técnicas criptográficas de protección de datos. Madrid: Ra-ma.

MÒDUL 1 PRESENTACIÓ€¦ · Francesc Pozo Montero (mòduls 1, 3 i 7), Núria Parés Mariné...

Documents

Transcript of MÒDUL 1 PRESENTACIÓ€¦ · Francesc Pozo Montero (mòduls 1, 3 i 7), Núria Parés Mariné...