Matemáticas discretasUnidad 3. RelacionesActividad 4. Operaciones con relaciones

Ejercicios

Resuelve los siguientes problemas:

1. Dadas las siguientes relaciones:

= {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) }

= {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )},sobre el conjunto E = {, , }.

Encuentra:

La unión .o {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), }

La intersección .o {(, ), (, ), (, ), (, )},

La diferencia de y .

{(, ), (, )}

o .{(, ), }

La diferencia simétrica .

o .{(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), }

o .{(, ), (, ), (, ), (, )},

= - . .{(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )-(, ), (, ), (, ), (, )},

o = .{(, ),(, ),(, ),(, ), }

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2. Encuentra para la relación = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 3), (4, 4)} definida sobre el conjunto A = {1, 2, 3, 4}.

Composicion entre dos conjuntos igualesEsto es elemento(1,1) será compuesto con los elementos (1,1),(1,2),(1,3)El elemento (1,2) con el elemento (2,3)

={ (1,1),(1,2),(1,3),(2,3)}

3. Con el propósito de verificar la solución de problemas con el uso de relaciones, resuelve la demostración de la siguiente relación:

Demuestra las dos contenencias:

En la prueba anterior, si se invierte el sentido de las implicaciones se obtiene la demostración de la parte (b).Al respecto:

4. Completa la demostración del teorema anterior.

Potencia de relaciónSea R una relación binaria en un conjunto Ayn€N U{0} la potencia n- ésima de R esta definida inductivamente por Rº={(x,x)|x€A}

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5. Demuestra por inducción que:

Por último, al invertir las parejas de una relación R se obtiene otra relación, llamada la relación inversa de R.

Inversa de una relaciónSea R una relación de A en B La relación inversa de R es la relación de B en A definida:

Por lo tanto:

y

R es una relación en conjunto A, también es una relación en A utilizando las relaciones

El siguiente teorema determina cuando la relación R es reflexiva, simetrica, antisimetrica y transitiva.

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