Aritmética

1

Máximo común divisor(MCD)

Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al número que cumple dos condiciones:

Es divisor común de los números dados.

Es el mayor posible.

Ejemplo: Sean los números 32 y 40

32 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32

40 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40

Los divisores comunes son: 1; 2; 4; 8, de los cuales el mayor es 8, entonces MCD (32 ; 40) = 8

Mínimo común múltiplo(MCM)

Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al número positivo que cumple dos condiciones:

Es un múltiplo común de todos los números.

Es el menor posible.

Ejemplo: Sean los números 12 y 8

12 12; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; 84 ; 96 ; ....

8 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 ; 72 ; ........

Los múltiplos comunes son: 24 ; 48 ; 72 ; ...., de los cuales el menor es 24, entonces MCM (12 ; 8) = 24

Determinación del MCD Y MCM 1. Por descomposición simultánea:

Ejemplos:

Hallar el MCD (360 ; 480)360 – 480 2180 – 240 2 90 – 120 2 45 – 60 3 15 – 20 5 3 – 4

Hallar el MCM (120 ; 200)120 – 200 2 60 – 100 2 30 – 50 2

15 – 25 3 5 – 25 5 1 – 5 5 1 – 1

2. Por descomposición canónica:Ejemplo:Dados los números: 120 = 23 . 3 . 5

200 = 23 . 52

MCD (120 ; 200) = 23 . 5 ..Factores comunes elevados al menor exponente

MCM (120 ; 200) = 23 . 3 . 52... Todos los factores ………elevados al mayor ……….exponente

OBSERVACIONES:

1. Si: N = a∘

N = b∘

2. Si: N = a∘

r

N = b∘

r

N = c∘

r

Determinación del M.C.D. por el algoritmo de Euclides o divisiones sucesivas.

El procedimiento es el siguiente:Dados dos números enteros, se divide el número mayor “A” entre el menor B, si la división es inexacta, se obtienen un cociente q1 y un residuo r1; se divide el número menor entre el residuo obtenido; si resultara inexacta esta división, se divide el resto anterior por el nuevo resto obtenido y así sucesivamente hasta obtener una división exacta, en ese momento, el último divisor considerado será el M.C.D. buscado. La tabla refleja el procedimiento.

q1

q2

q3

………

qn

qn 1

A B r1

r2

………

rn 1

rn

r1

r2

r3

………

rn

0

Calcular el M.C.D. de 525 y 231:

2 3 1 2

525

231

63 42 21

63 42 21 0

M.C.D – M.C.M.

Divisores

Factores comunes

MCD (360 ; 480) = 23.3.5

MCD (360 ; 480) = 120

Todos los factores

MCM (120 ; 200) = 23 . 3 .

52

MCM (120 ; 200) = 600

N = MCM (a ; b )∘

N = MCM (a ; b ; c )∘

± r

MCD

Aritmética

2 Entonces el M.C.D.(525;231) = 21

Propiedades del MCD

1. Todos los divisores comunes de varios números son también divisores del MCD de ellos.

2. Si “A” y “B” son PESI, el MCD (A;B) = 13. Si “A” es múltiplo de “B”, el MCD (A;B) =

B4. Si se multiplican o dividen varios números

por una misma cantidad, su MCD también queda multiplicado o dividido por esa misma cantidad.

5. Si se dividen a varios números entre su MCD, los cocientes obtenidos son números primos entre si (PESI).

Propiedades del MCM

1. Todos los múltiplos comunes de varios números dados son también múltiplos del MCM.

2. Sean dos números “A” y ”B” PESI, entonces el MCM de ellos es su producto.

3. Si “A” es múltiplo de “B”, entonces el MCM de ellos es el mayor, en este caso “A”.

4. Los cocientes de dividir el MCM de un conjunto de 2 o más números enteros positivos entre cada uno de ellos, son siempre PESI.

5. Si se multiplican o dividen varios números por una misma cantidad, su MCM también queda multiplicado o dividido respectivamente por esa misma cantidad.

6. El producto de dos números es igual al producto de su MCD por el MCM de ellos.

7. Si recordamos la propiedad del MCD:A= MCD . p y B = MCD . qDonde “p” y “q” son PESILuego:El MCM es el producto de los factores comunes y no comunes, mejor dicho:

Ejercicios para la clase

1. Hallar el MCD de 36 y 60

2. Hallar el MCM de 48 y 60

3. Hallar el MCD de A= 25× 32× 55 y B= 23× 34× 79

4. Hallar el MCM de 22×34×56 y 35× 57× 112

5. Calcular:

6. Hallar “x” si MCD (6x ; 5x) = 4

7. Hallar “x” si MCM (4x ; 5x) = 80

8. Hallar “x” si MCD (46/x ; 23/x) = 1

9. Hallar “x” si MCM (24/x ; 36/x) = 12

10. El producto de dos números es 16000 y además el MCD de los números es 20. ¿Cuál es el MCM?

11. El producto de dos números es 324 y además se sabe que son primos entre si, entonces el MCM es:

12. Se tienen 3 varillas de 40cm, 60cm y 75cm de longitud y se les quiere dividir en pedazos de la misma longitud, siendo esta la mayor posible sin que sobre ni falte nada. Hallar la longitud.

13. ¿Cuál es la menor suma de dinero que se puede tener en billetes de a $5, de $10 o de $25

14. ¿Cuántas parejas de números cumplen con que su MCD sea 12 y su MCM 180?

15. El MCD de dos números es 25 y su suma 75. Hallar los números.

Ejercicios para la casa1. Hallar el MCD de 48 y 60

A) 02 B) 04 C) 06 D) 08 E) 20

2. Hallar el MCM de 37 y 111A) 111 B) 222 C) 37 D) 108 E) 110

3. Halla el MCD de 26×32×57 y 2×34×72×113

A) 2× 32× 57 B) 23× 33× 11 C) 2× 32

D) 22× 3 × 7 E) 2× 34 ×7

4. Hallar el MCM de A= 25× 32× 55 y B= 28× 72× 115

A) 25×32×52×72 B) 26×32×74×115 C) 23× 53

D) 2× 33× 52 E) 23× 52

5. Calcular: A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

6. Hallar “M” si MCD (6M ; 8M) = 24

A) 1 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

A × B = MCD(A;B) ×MCM(A,B)

MCM(A;B) = MCD(A,B) . p . q

Aritmética

37. Hallar “n” si MCM (n, 3n ; 5n) = 600

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

8. Hallar “x” si MCD (16/x ; 20/x) = 2

A) 2 B) 2 C) 3 D) 1/2 E) 1/3

9. Hallar “x” si MCM (48/x ; 30/x) = 40

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

10. El producto de dos números es 4455 y

además el MCM de los números es 495. ¿Cuál es el MCD?A) 11 B) 12 C) 18 D) 7 E) 9

11. El producto de dos números es 1344 y

además se sabe que son primos entre sí, entonces el MCM es:A) 128 B) 672 C) 224 D) 64 E) 1344

12. Se tienen 3 varillas de 72cm, 84cm y

96cm de longitud y se les quiere dividir en pedazos de la misma longitud, siendo esta la mayor posible sin que sobre ni falte nada. Hallar la longitud deseada.A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 21

13. ¿Cuál es la menor suma de dinero que se

puede tener en billetes de a $10, de $20 o de $50?A) 100 B) 150 C) 160 D) 200 E) 110

14. ¿Cuántas parejas de números cumplen

con que su MCD sea 16 y su MCM 336?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

15. La suma de dos números es 35 y su MCD

es 7. Hallar los números.A) 30 y 5 B) 17 y 18 C) 13 y 22D) 21 y 14 E) 10 y 25

Ejercicios para la clase

1. El número de naranjas de un comerciante es tal que si se cuentan de 15 en 15, de 18 en 18 y de 24 en 24 siempre sobran 11. Determinar el número de naranjas si este es el mínimo.

2. En una fiesta se encontraban 200 personas. De las mujeres 1/3 beben, 2/5 fuman y 3/7 están con su enamorado. ¿Cuántos eran hombres?

3. Un suceso ocurre cada 10 min, otro cada 12 min y un tercer suceso ocurre cada 25 min. Si a las 11:00 am ocurren los tres sucesos a la vez. ¿A qué hora volverán a ocurrir los tres sucesos simultáneamente por última vez durante el día?

4. Hallar la arista de un cubo compacto que ha de formarse usando ladrillos cuyas dimensiones son de 6, 8 y 12 cm. Sabiendo que la arista tiene que ser la mayor posible pero menor de 100 cm. Calcular además el número de ladrillos necesarios.

5. Javier tiene tres mangueras cuyas longitudes son 48, 72 y 120 cm., él desea cortar las 3 mangueras en pedazos de igual longitud de tal forma que sea el más grande posible. Halla el valor de esta longitud y el número de pedazos que obtendrá.

6. Dos ciclistas recorren una pista circular. El primero tarda 12 minutos en dar la vuelta y el segundo 15 minutos. ¿Al cabo de cuánto tiempo volverán a encontrarse?

7. Tres helicópteros salen de un mismo punto a las 8:00 am. El primero regresa a la base cada hora y cuarto; el segundo cada 5/3 de hora y el tercero cada 50 minutos. ¿A qué hora se encontrarán nuevamente en la base por primera vez?

8. En un circo las entradas varían entre 60 a 80 soles, hubieron 3 funciones donde se recaudaron 3000, 4500 y 4950 soles. Hallar el menor número de personas que entran en una función.

9. Se tiene un terreno rectangular de 624 m de largo y 336m de ancho. Se quiere cercar con postes equidistantes de tal manera que haya un poste en cada vértice del terreno.a) Hallar la distancia entre los postes y el

número de postes, sabiendo que la distancia tiene que estar comprendida entre 15 y 20m.

b) Hallar la distancia entre los postes si ésta debe ser la menor posible.

Ejercicios para la casa

1. Hallar “x” siendo el MCM (a;b) = 900, si a=22×3x×5 b= 2×3×52 A) 2 B) 4 C) 5 D) 3 E) 1

2. Hallar el valor de N en los números

A=12×45N y B=12N×45, sabiendo que su MCM tiene 90 divisores.

Aritmética

4A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 5

3. El número de niños de un colegio está

comprendido entre 100 y 150. Si se agrupan de 10 en 10 sobran 7, si se agrupan de 12 en 12 sobran 7, si se agrupan de 15 en 15 sobran 7. ¿Cuántos niños tiene el colegio?A) 147 B) 123 C) 127 D) 150 E) 159

4. A un matrimonio concurren 200 personas. De los hombres 1/5 están solteros, 2/7 son profesionales y ¾ son fanáticos de Universitario. ¿Cuántas mujeres asistieron?A) 40 B) 45 C) 60 D) 70 E) 80

5. Juan desea hacer el menor cubo posible

con ladrillos de dimensiones 3, 4 y 5 cm. ¿Cuántos ladrillos necesitaran?A) 1600 B) 7200 C) 1800D) 3600 E) 900

6. Una acción ocurre cada 12 min, otra cada

15 min y otra cada 20 min. Si a las 10:00 am ocurren las 3 acciones a la vez. ¿A qué hora se realizaran nuevamente las 3 acciones por última vez en el mismo día?A) 10pm B) 10:30pm C) 11pm D) 1:30pm E) 12:00am

7. Se quiere cortar 3 tablas de madera cuyas longitudes son 24, 36 y 48 cm, en pedazos de igual longitud. ¿Cuál es esta longitud, sabiendo que es la mayor posible?A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 9

8. Tres galgos arrancan juntos en una carrera en donde la pista es circular. Si el primero tarda 10 seg en dar una vuelta a la pista, el segundo 11 seg y el tercero 12 seg. ¿Al cabo de cuánto tiempo pasaran los 3 juntos por el punto de partida? A) 550 B) 600 C) 660 D) 650 E) 625

9. Tres couster de turismo salen del

aeropuerto Jorge Chávez a las 7:00 am. El primero regresa al aeropuerto cada dos horas, el segundo cada ¾ de hora y el tercero cada 80 minutos. ¿A qué hora se encontrarán nuevamente en el aeropuerto por primera vez en el día?A) 6pm B) 7pm C) 8pm D) 9pm E) 10pm

10. Se desea cercar un terreno de forma triangular con alambre sujeto a estacas equidistantes una de otra. Si tiene que haber una estaca en cada vértice del terreno y el número de estacas ubicadas tiene que ser el menor posible. Hallar la distancia entre estacas sabiendo que las longitudes de los lados son 240, 300 y 420m.A) 15m B) 12m C) 20m D) 27m E) 60m