MB U3L2 Representacion Uveg Ok

MB_U3L2_Representación Versión: octubre de 2012 Revisor: Emilio González Olguín

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Representación de figuras geométricas

Por: Oliverio Ramírez Juárez

La filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante los ojos; quiero decir, el universo; pero

no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los

que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras

figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar

vanamente en un oscuro laberinto (Galileo Galilei, citado por Zuazua y Rodríguez, 2002, p. 240).

Esta lección la comenzarás con el estudio de la gráfica de la recta y de las distintas formas en que se puede representar. Una de ellas es conociendo dos puntos por donde pasa. Su expresión para calcularla es:

𝑦 − 𝑦! =𝑦! − 𝑦!𝑥! − 𝑥!

(𝑥 − 𝑥!)

Posteriormente verás dos espacios geométricos conocidos como figuras cónicas, ya que se forman a partir de un cono.

Existen cuatro tipos de cónicas: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Aquí sólo harás el repaso de las primeras dos.



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Distancia entre dos puntos

Para calcular la distancia entre dos puntos 𝑃! y 𝑃! cualesquiera del plano cartesiano utilizarás el Teorema de Pitágoras.

En el siguiente plano se observan los puntos 𝑃!,𝑃! 𝑦 𝑃 formando un triángulo rectángulo cuyos lados son: 𝑃!𝑃! la hipotenusa, 𝑃!𝑃 y 𝑃𝑃! los catetos.

Por lo tanto, aplicando el Teorema de Pitágoras, la distancia P!P! está dada por:

P!P! = P!" ! + PP! !



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P!P! = x! − x! ! + y! − y! !

Por ejemplo: Si P!(−3,1) y P!(−1,3), la distancia entre los dos puntos está dada por:

𝑃!𝑃! = (−1 − −3 ! + 3 − 1 ! = −1 + 3 ! + 3 − 1 !

𝑃!𝑃! = 2! + 2! = (4 + 4) = 8

En general, la distancia d entre dos puntos del plano A(x!, y!) y B(x!, y!) está dada por:

𝑑 = 𝑥! − 𝑥! ! + 𝑦! − 𝑦! !

Pendiente “Es la tangente del ángulo de inclinación de una recta o de un plano con respecto al plano horizontal” (Ospina, 2004, p. 28). Entonces, la tangente está determinada por:

𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒



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Formas de la recta

Existen varias formas para representar la ecuación de una recta. Comencemos con la llamada forma general. La representamos de la siguiente manera:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

En donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes reales.

Por ejemplo:

5x + 2y −₧1

Otras formas son las llamadas:

• Dos puntos. • Punto pendiente. • Pendiente ordenada al origen. • Simétrica.

Veamos cada una de ellas.

Cuando conocemos dos puntos

Podemos obtener la ecuación de la recta conociendo dos puntos del plano cartesiano por los que pase.

Digamos que la recta pasa por los puntos 𝑨(𝒙𝟏,𝒚𝟏) y 𝑩(𝒙𝟐,𝒚𝟐). Su ecuación está dada por la expresión:

𝑦 − 𝑦! =𝑦! − 𝑦!𝑥! − 𝑥!

(𝑥 − 𝑥!)

Que gráficamente lo podemos representar de la siguiente manera:



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Por ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta en su forma general que pasa por los puntos A(2,6) yB(−3,5).

y − 6 =5 − 6−3 − 2

(x − 2)

y − 6 =−1−5

(x − 2)

y − 6 =15x − 2

5 y − 6 = x − 2

5y − 30 − x + 2 = 0

−𝑥 + 5𝑦 − 28 = 0



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Punto pendiente

𝒚− 𝒚𝟏 =𝒎 𝒙− 𝒙𝟏

Por ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta en su forma general que pasa por los puntos A(−1, 5) y tiene una pendiente 𝑚 = − !

!.

𝑦 − 5 = −43 𝑥 − −1

𝑦 − 5 = −43 (𝑥 + 1)

3 𝑦 − 5 = −4(𝑥 + 1)

3𝑦 − 15 = −4𝑥 − 4

3𝑦 + 4𝑥 − 15+ 4 = 0

3𝑦 + 4𝑥 − 11 = 0

Punto pendiente ordenada al origen 𝒚− 𝒚𝟏 =𝒎 𝒙− 𝒙𝟏

Por ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta en su forma general que tiene una pendiente 𝑚 = − !! y corta al eje y

en 6.

𝑦 = −25𝑥 + 6



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Multiplicando la ecuación por 5

5𝑦 = −2𝑥 + 30

2𝑥 + 5𝑦 − 30 = 0

Forma simétrica

𝒙𝒂+

𝒚𝒃 = 𝟏

Por ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta en su forma general que corta al eje 𝑥 en -4 y al eje y en +5.

𝑥−4

+𝑦5= 1

Multiplicando por 20

20𝑥−4

+ 20𝑦5= 20(1)

−5𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0

La circunferencia

Es el espacio geométrico en donde todos sus puntos se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro (C) y a esta distancia se le conoce como radio (R) (Figueroa y Guzmán, 2010).

Con centro en el origen C (0,0)

Si el centro es el origen del plano C (0,0), entonces los puntos de la circunferencia 𝑃 (𝑥, 𝑦) deben cumplir la condición 𝐶𝑃 = 𝑟, es decir:

𝑥 − 0 ! + 𝑦 − 0 !



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Simplificando

𝑥! + 𝑦!

Ésta es la forma canónica de la circunferencia.

Con centro en el punto C (h,k)

En este caso tienes la expresión:

x − h ! + y − k ! = r

Simplificando:

x − h ! + y − k ! = 𝑟!

Esta expresión se conoce como forma ordinaria de la circunferencia.

Si desarrollas los cuadrados obtienes la forma general de la circunferencia:

x − h ! + y − k ! = 𝑟!

𝑥! − 2𝑥ℎ + ℎ! + 𝑦! − 2𝑦𝑘 + 𝑘! = 𝑟!

𝑥! + 𝑦! + −2ℎ 𝑥 + −2𝑘 𝑦 + ℎ! + 𝑘! = 𝑟!

Otra manera de expresar la ecuación anterior es:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝒓𝟐

Donde D, F y G son constantes.



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Por ejemplo:

1. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen C(0,0) y tiene un radio de 5.

Solución: utiliza la forma canónica:𝑥! + 𝑦! = 𝑟!.

Sustituyendo los valores:

𝑥! + 𝑦! = 5!

𝑥! + 𝑦! = 25

2. Determinar la ecuación de la circunferencia en su forma general que tiene centro 𝐶(2,1) y tiene un radio de 4.

Solución. El centro 𝐶(ℎ, 𝑘) = 𝐶(2,1), el radio 𝑟 = 4 y usa la forma ordinaria:

𝑥 − ℎ ! + 𝑦 − 𝑘 ! = 𝑟!

𝑥 − 2 ! + 𝑦 − 1 ! = 4!

𝑥! − 4𝑥 + 4 + 𝑦! − 2𝑦 + 1 = 16

𝑥! + 𝑦! − 4𝑥 − 2𝑦 − 16 + 5 = 0

𝑥! + 𝑦! − 4𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0

La parábola

La parábola es una figura geométrica muy utilizada tecnológicamente. Los grandes telescopios ópticos y milimétricos utilizan superficies parabólicas para dirigir la información que les llega del espacio exterior hacia un punto llamado foco de la parábola, en donde se coloca el receptor de la señal.

La parábola se define como el espacio geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto llamado foco y una recta llamada directriz (Pogorélov, 1998).



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La condición que se cumple es: 𝑷𝑭 = 𝑷𝑨.

Una parábola tiene los siguientes elementos (Riquenes, 2007):

Vértice V.- Es el punto medio en donde la igualdad PF=PA se cumple para la distancia más corta.

Parámetro p.- Es la distancia entre el vértice y el foco.

Eje.- Es una la línea recta por donde pasa el foco y el vértice.

Directriz.- Línea perpendicular al eje situada a una distancia p del vértice en sentido opuesto al foco.

La ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje que coincide con el eje x, es:

a) 𝑦! = 4𝑝𝑥 (abre hacia la derecha, ver figura 1) en donde el foco es el punto𝐹( p, 0) , y la ecuación de la directriz esx = − p.

b) 𝑦! = −4𝑝𝑥 (abre hacia la izquierda, ver figura 2) en donde el foco es el punto𝐹( − p, 0) , y la ecuación de la directriz esx = p.



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Cuando la parábola tiene vértice en el origen V(0,0) y su eje coincide con el eje Y su ecuación es:

c) 𝑥! = 4𝑝𝑦 (abre hacia arriba, ver figura 3) en donde el foco es el punto𝐹(0,p), y la ecuación de la directriz esy = − p.

d) 𝑥! = −4𝑝𝑦 (abre hacia abajo, ver figura 4) en donde el foco es el punto F (0, - p), y la ecuación de la directriz es y = p.

En resumen



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La siguiente tabla te puede ayudar a identificar sus elementos y su ecuación.

Tabla 1. El eje de la parábola coincide con el eje x.



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Tabla 1. El eje de la parábola coincide con el eje y.

Por ejemplo:

1. Encuentra las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola representada por 𝑦! = 28𝑥.

Solución: La ecuación es de la forma y! = 4px que es una ecuación que abre hacia la derecha.

De acuerdo con la tabla 1, el foco y la directriz están dados por:

Foco: F p, 0 . Directriz: x = − p.



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Ahora calculamos en valor de p. Según la fórmula: 4𝑝 = 28 𝑝 = 7

Por lo tanto:

Foco: 𝐹 (7, 0). Directriz: 𝑥 = −7.

2. Halla la ecuación de la parábola a partir de los siguientes datos: vértice en el origen y foco igual a (0,-5).

Solución: El foco es de la forma F (0,- p), que corresponde a una parábola que abre hacia la abajo y que tiene la forma 𝑥! = −4𝑝𝑦.

Por lo tanto el valor de p es 5 y la ecuación será:

𝑥! = 4 5 𝑦

𝑥! = −20𝑦



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Referencias

Figueroa, M. y Guzmán, R. (2010). Aritmética y álgebra. USA: Firmas Press. Recuperado de la base de datos e-libro Cátedra. (10360757)

Ospina, C. (2004). Nueva vista a la geometría descriptiva. Colombia: CIDAR Facultad de Artes.

Pogorélov, A. V. y Vega, C. (1998). Geometría elemental. México: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de la base de datos e-libro Cátedra. (10431063)

Riquenes, M. (2007). Compendio de Geometría. Cuba: Editorial Universitaria. Recuperado de la base de datos e-libro Cátedra. (10179679)

Zuazua, E., y Rodríguez del Río, R. (2002). Enseñar y aprender matemáticas. Revista de Educación, 329, 239-256. Recuperado de http://www.doredin.mec.es/documentos/008200430215.pdf

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