MB_U2L1_Expresiones Versión: octubre de 2012 Revisor: Emilio González Olguín 

 

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

 

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      Expresiones algebraicas  

Por: Oliverio Ramírez Juárez   

 De acuerdo con Figueroa y Guzmán (2010), la diferencia entre la aritmética y el álgebra elementales reside en que la primera sólo utiliza números; mientras que la segunda, además de los números, usa también símbolos cuyas propiedades son distintas a las de los números. No obstante y aunque tienen sus diferencias, estas disciplinas poseen muchas similitudes, por ejemplo, varias de sus leyes se aplican de forma parecida. Por ejemplo:

En Aritmética

En Álgebra

2! = 2×2×2 = 8 𝑥! = 𝑥×𝑥×𝑥 En este comparativo se observa que el significado del exponente 3, es el mismo en aritmética que en álgebra, es decir, implica multiplicar tres veces la base. Pero también se hace evidente una diferencia: mientras que en aritmética el resultado es el valor conocido 8, en álgebra resulta la expresión general x!, que, de acuerdo al valor que tome  x , variará en concordancia. Analicemos la expresión que representa el área de un círculo: πr!. El número pi ( ), es un número irracional cuyo valor específico es aproximadamente 3.14159265. Al no cambiar nunca su valor, se llama constante. Por otro lado, la literal , que representa el radio del círculo y que puede tomar cualquier valor real positivo, al no tener un valor específico, se le conoce como variable. La expresión  A = πr! utilizada para calcular el área del círculo hace uso de variables para generalizar su significado. De esta forma, puede tomar cualquier valor dependiendo del círculo que se analice y (área del círculo) tomará el valor correspondiente. Esta es una de las ventajas de escribir una expresión en forma algebraica. Otra ventaja del uso de las variables, es que pueden ser usadas para representar cantidades no conocidas de un problema (también llamadas incógnitas), de esta forma, un problema puede ser expresado en lenguaje algebraico, luego resuelto aplicando las leyes y procedimientos algebraicos, y por último, las soluciones halladas son devueltas al lenguaje común (véase figura 1).

Figura 1. Paso del lenguaje algebraico al lenguaje común.

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El lenguaje algebraico  Para representar una situación o problema cotidiano en lenguaje algebraico o interpretar el significado de las expresiones algebraicas, es necesario familiarizarse con ambos lenguajes. La tabla 1 muestra algunos ejemplos.

Lenguaje común Lenguaje algebraico

El cuadrado de un número. a! El cubo de un número. b! La suma del cuadrado de a con el cubo de b. a! + b! La mitad de un número x

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El recíproco de un número. 1y

Tabla 1. Lenguaje común y algebraico.

En la tabla 1, se observa que las literales usadas en el lenguaje algebraico son indistintas. En estos casos se usaron las letras  a, b, x, y . Es importante mencionar que al analizar un problema, las letras seleccionadas para representar cierta cantidad o variable se deben respetar durante todo el problema.

Expresiones algebraicas  De acuerdo con Scherzer y López (2010, p. 55), “se denomina expresión a un símbolo o combinación de símbolos. Si los símbolos son números y literales (representando un numero real) combinados mediante las operaciones fundamentales, entonces, la expresión resultante es una expresión algebraica”. Con base en esta definición algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

5x; 3ab; 5 + ab!; !!!!

Las expresiones algebraicas están formadas por distintos términos, pueden ser un número, una literal, o alguna combinación de ellos. Los términos están conectados entre sí por signos + y −. De esta manera, la expresión algebraica 5x consta de un solo término. Por otro lado, la expresión algebraica 5 + ab! está formada por dos términos:

• El número 5 es un término. • es el segundo término.

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Ambos se conectan por el signo +. A su vez, un término se conforma por cuatro elementos (véase figura 2): el signo, el coeficiente, la parte literal y el exponente (Pérez, 2009).

Figura 2. Elementos que conforman una expresión algebraica (Pérez, 2009).

Por ejemplo, a continuación se identifican los elementos que componen a los siguientes términos algebraicos.

• ‐8wx!

Tabla 2. Ejemplo 1 de términos algebraicos (Pérez, 2009, pág. 3).

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•  24a!b!

Tabla 3. Ejemplo 2 de términos algebraicos (Pérez, 2009, pág. 3).

•  6x!‐3x! + 2x

Tabla 4. Ejemplo 3 de términos algebraicos (Pérez, 2009, pág. 3).

Definición de polinomio  De acuerdo con Kaseberg (2007, p. 339), “un polinomio es una expresión con uno o más términos que se suman o se restan y cuyos exponentes de las variables deben ser enteros positivos”. Por otro lado, Gustafson y Frisk (2006, p. 267) mencionan que “un polinomio con varias variables (x, y, z, por ejemplo) es la suma de uno o más términos de la forma  ax!y!z! donde a es un número real y m, 𝑛 y 𝑝 son números enteros.” Para polinomios con una sola variable, Tang (2005) los define de la siguiente forma: “Un polinomio en es una expresión de la forma a!x! + a!‐!x!‐! +⋯+ a!x + a!, donde  n es un entero no negativo y a!, a!,… , a!  son números reales, con a! ≠ 0.” (p. 11). De estas definiciones, podemos concluir que: Un polinomio es la suma o resta de términos de la forma  ax!y!z! en donde  a puede tomar cualquier valor real, pero m, 𝑛 y 𝑝 sólo pueden tomar valores enteros mayores o iguales a cero.

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Ejemplos de polinomios:

• 3𝑥!𝑦   • 𝑥! + 3𝑥 + 4 • 5𝑥! − 1 

Las siguientes expresiones no son polinomios.

• x!! + 5x − 4 • x

!! + 3x!

La expresión algebraica 𝑥!! + 5𝑥 − 4 no es un polinomio porque la variable 𝑚 tiene valor negativo; de la misma forma 𝑥

!! + 3𝑥! no

es un polinomio porque contiene un exponente fraccionario.

Cuando un polinomio sólo contiene un término se le llama monomio; si contiene solamente dos términos, se le conoce como binomio; y si consta únicamente de tres términos se le denomina trinomio. A los polinomios de más de tres términos no se les asigna un nombre en particular.

Por ejemplo: Para las expresiones de la tabla 5, en la segunda columna se identifica el número de términos y en la tercera columna se colocó su nombre genérico.

Polinomio Número de términos

Nombre genérico

3x!y 1 monomio 5x! − 1 2 binomio

x! + 3x + 4 3 trinomio

Tabla 5. Ejemplo nombre de polinomios en función de sus términos.

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Referencias  

Figueroa, M. y Guzmán, R. (2010). Aritmética y álgebra. USA: Firmas Press. Recuperado de la base de datos e-libro Cátedra. (10360757)

Gustafson, D. R. y Frisk, P. D. (2006). Álgebra Intermedia. México: Cegage Learning Editores.

Kaseberg, A. (2001). Álgebra elemental, un enfoque justo a tiempo. México: Thomson.

Pérez, S. E. (2009). Expresiones algebraicas, en Actividad 1 del Módulo 3 del curso Razonamiento Matemático. México: UVEG.

Scherzer, R. A. y López, F. (2010). Matemáticas I: área: ciencias sociales y administrativas. México: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de la base de datos e-libro cátedra. (10365997)

Tang, S. (2006). Matemáticas para administración y economía. México: Thomson.

 Bibliografía 

Rees, P. (2011). Álgebra contemporánea. México: McGraw Hill Interamericana. Disponible en la base de datos e-libro Cátedra. (10467145)