Matriz Potencia
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Dr. Juan M. Camacho [email protected] MATRIZ POTENCIA Una primera aplicación a la diagonalización de una matriz es que se puede fácilmente encontrar la pontencia n‐ésima de una matriz. Supongamos que la matriz ܣse ha diagonalizado y por lo tanto podemos decir que ܣൌܦ ଵ . El resultado de elevar ܣଶ es: ܣଶ ൌ ܣڄܣൌ ሺܦ ଵ ሻ ڄሺܦ ଵ ሻൌܦ ଵ ܦ ଵ el producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad, es decir: ଵ ൌ ܫentonces: ܣଶ ൌ ܦ ଵ ܦ ଵ ൌ ܦܫܦ ଵ ൌ ܦଶ ଵ . El resultado de elevar ܣଷ es: ܣଷ ൌ ܣڄܣଶ ൌ ሺܦ ଵ ሻ ڄሺ ܦଶ ଵ ሻൌܦ ଵ ܦଶ ଵ , el producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad, es decir: ଵ ൌ ܫentonces: ܣଷ ൌ ܦ ଵ ܦଶ ଵ ൌ ܦܫܦଶ ଵ ൌ ܦଷ ଵ . Entonces por inducción podemos concluir que: ܣ ൌ ܦ ଵ y la matriz ܦ se puede encontrar fácilmente. A continuación se muestra el cálculo de la potencia de matrices diagonales. EJEMPLO 1. Elevar la matriz ܣൌቀ 0 0 ቁ al cuadrado, al cubo y a la cuarta potencia Solución: ܣଶ ൌ ܣڄܣൌቀ 0 0 ቁ ڄቀ 0 0 ቁൌቀ ଶ 0 0 ଶ ቁ. ܣଷ ൌ ܣଶ ܣڄൌቀ ଶ 0 0 ଶ ቁ ڄቀ 0 0 ቁൌቀ ଷ 0 0 ଷ ቁ.
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Dr. Juan M. Camacho [email protected]
MATRIZ POTENCIA
Una primera aplicación a la diagonalización de una matriz es que se puede fácilmente encontrar la pontencia n‐ésima de una matriz. Supongamos que la matriz se ha diagonalizado y por lo tanto podemos decir que .
El resultado de elevar es:
el producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad, es decir:
entonces:
.
El resultado de elevar es:
,
el producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad, es decir:
entonces:
.
Entonces por inducción podemos concluir que:
y la matriz se puede encontrar fácilmente. A continuación se muestra el cálculo de la potencia de matrices diagonales.
EJEMPLO 1.
Elevar la matriz 00 al cuadrado, al cubo y a la cuarta potencia
Solución:
00
00
00
.
00
00
00
.
Dr. Juan M. Camacho [email protected]
00
00
00
.
como vemos, podemos afirmar que la ene‐ésima potencia de A, la podemos escribir como:
00 .
y en forma general para cualquier matriz diagonal.
0 00 00 0
EJEMPLO 2
Elevar la matriz 1 43 5
al cuadrado, al cubo y a la cuarta potencia
Solución:
En secciones anteriores se encontró que:
2 21 3
1 00 7
18
3 21 2
entonces elevando al cuadrado.
2 21 3
1 00 7
18
3 21 2
13 2418 37
entonces elevando al cubo.
2 21 3
1 00 7
18
3 21 2
85 172129 257
Dr. Juan M. Camacho [email protected]
entonces elevando a la cuarta potencia.
2 21 3
1 00 7
18
3 21 2
601 1200900 1801
En forma general la ené‐sima potencia de A es.
2 21 3
1 00 7
18
3 21 2
Realizando la multiplicación.
2 7 6 1 4 7 4 13 7 3 1 6 7 2 1
18
como vemos en el ejercicio anterior es más sencillo encontrar la matriz potencia de A, es decir y posteriormente evaluar la potencia (evaluar n). El siguiente ejemplo muestra esta ventaja.
EJEMPLO 3.
Encontrar la matriz potencia de:
1 2 11 0 14 4 5
y posteriormente encontrar y
Solución.
Ya habíamos encontrado la diagonalización de A, la cual fue:
1 2 11 1 12 4 4
1 0 00 2 00 0 3
12
0 4 12 2 0
2 0 1
Entonces la matriz potencia de A es:
1 2 11 1 12 4 4
1 0 00 2 00 0 3
12
0 4 12 2 0
2 0 1
recordando que 1 1.
Dr. Juan M. Camacho [email protected]
Para 5, tenemos
1 2 11 1 12 4 4
1 0 00 2 00 0 3
12
0 4 12 2 0
2 0 1
multiplicando:
179 62 121211 30 121844 124 485
Para 10, tenemos
1 2 11 1 12 4 4
1 0 00 2 00 0 3
12
0 4 12 2 0
2 0 1
multiplicando:
57001 2046 2952458025 1022 29524
232100 4092 118097
EJERCICIO 1.
Encontrar la matriz de:
8 2 23 3 1
24 8 6
Encontrar la quinta potencia de .
R.
13
18 3. 2 3. 2 6 2 2 6 3. 29 9. 2 3 3. 2 3 3. 2
72 9. 2 24 3. 2 24 21. 2
218 62 6293 63 31
744 248 216
Dr. Juan M. Camacho [email protected]
EJERCICIO 2.
Encontrar la matriz de:
2 21 5
Encontrar la quinta potencia de .
R.
2. 3 4 2. 3 23 4 3 2
538 1562781 1805
