matrices 1

MATRICES

M A T R I C E S

• MATRIZEs un arreglo rectangular

de números. Los números del arreglo se denominan elementos de la matriz

•El tamaño de una matriz se mide en término del número de renglones (líneas horizontales) y de columnas (líneas verticales) que contiene.

Una matriz cuadrada es simétrica siA = AT, (aij = aji para todos i, j)

Sus elementos tienen simetría respecto de la diagonal principal.

Operaciones con matrices

Definición (Suma de matrices): Sean A={aij} y B={bij} matrices de la misma dimensión mxn. La suma A+B es la matriz C={cij} de dimensión mxn, donde

cij = aij + bij ,esto es, la suma de las entradas correspondientes.Ejemplo:

Definición (Producto de una matriz por un escalar): Sea A={aij} una matriz mxn y r un escalar. El producto rA del escalar r y la matriz A es la matriz B={bij} de la misma dimensión de A tal que bij = r aij

Ejemplo:

221

220

151

201

130

421

0622

01668

0024

12402

0311

0834

0012

6201

2

Multiplicación de matrices:Como ya se había visto en el capítulo anterior, un sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo 2x1 - 3x2=7

3x1 - x2=2,tiene asociado una matriz A correspondiente a las incógnitas, y un vector b correspondiente a los términos independientes, es decir,

Si ahora se escriben las incógnitas como un vector se puede denotar el sistema de ecuaciones lineales como Ax=b, es decir

Esta última ecuación sugiere la noción de multiplicación de una matriz A por un vector columna x. Como noción preliminar, se introducirá el concepto de producto escalar o producto punto de dos vectores.

2

7b

13

32A

2

1

x

xx

2

7

13

32

2

1

x

x

Definición (Multiplicación de matrices): Sean A={aik} una matriz de dimensión mxn y B={bkj} una matriz de dimensión nxs. El producto AB es la matriz C={cij} de dimensión mxs, donde la entrada cij de C es el producto punto de la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B.

Nota: Obsérvese que el producto de dos matrices está definido solamente cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

Ejemplo:

(-3)(5) + (5)(0) + (8)(2) = 1

36166874

1618471

4102012

1254

4046

4583

.

870

853

012

Posición c23

Columna 3Fila 2

En general, el elemento cij está dado por

Por ejemplo, si A3x4 , B4x7 , C7x3 , los productos AB3x7, BC4x3 y CA7x4 están definidos, mientras que no es posible multiplicar BA, AC y CB. Debe observarse que el producto de matrices en general no es conmutativa, esto es, aún cuando los productos AB y BA están definidos, no es necesariamente cierto que AB=BA, como muestra el siguiente ejemplo

sj

mi

bacn

kkjikij

,...,1

,...,1

;1

178

94

52

10.

43

21

1613

43

43

21.

52

10

Algunas veces es deseable calcular una fila o una columna particular del producto AB. El siguiente resultado permite obtenerlas:

* La j-ésima columna del producto AB=A[j-ésima columna de la matriz B]

* La i-ésima fila del producto AB=[i-ésima fila de la matriz A]B

Ejemplos:

122648

13302712

2572

1310

3414

.062

421

4

27

7

1

1

.062

421

13302712

2572

1310

3414

.421

3

9

1

3

1

2

.

212

321

231

3

9

1

2

3

2

3

1

2

3

)1(

2

1

1

2

De este último ejemplo se puede concluir que la j-ésima columna del producto AB puede verse como una combinación de las columnas de la matriz A con los coeficientes de la j-ésima columna de la matriz B.

122648

13302712

2572

1310

3414

.062

421

0

42

6

20

2

14

8

12

0

47

6

2)1(

2

11

4

27

0

45

6

23

2

14

26

30

0

42

6

21

2

13

12

13