Juárez Rivera Ricardo Martin DOCENTE: Umiyauri Huamani Kevin Ray Fox Luis E. Valdivia Escobedo Hermoza Turpo Daniel

MATLAB con aplicaciones en Estadística y Probabilidades PROBLEMAS MODELO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

FACULTAD DE PRODUCCION Y SERVICIOS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA MECANICA

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INTRODUCCION

Este informe esta íntegramente dedicado al curso de Estadística y Probabilidades, a nivel

universitario, en este caso hacia la Ingeniería Mecánica; usando el Software Matemático

MATLAB 2013, para aprovechar el potencial de este instrumento computacional como

soporte para los cálculos y gráficos estadísticos.

El objetivo principal es desarrollar ejercicios modelo y explicar inicialmente cada uno de los

comandos utilizados y el modo de funcionamiento de estos, este informe pretender brindar

un mayor afianzamiento con el Software y así utilizarlo como una opción de ayuda al

momento del aprendizaje del curso; haciendo que al momento de estudiar poder verificar

los resultados además de la comparación de diagramas.

MATLAB es un programa que contiene un sistema de ayuda y documentación extenso,

siendo un instrumento moderno y flexible para ser usado como soporte para el mejor

entendimiento de la Estadística, en este caso usaremos los SCRIPT con formato “.m”, como

método de entrada de los datos, el cual es un editor de comandos que es más ordenado al

momento de ingreso de datos y nos da la posibilidad de corregir algún error mucho más

rápido.

Arequipa-2013

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INDICE

1. Comandos básicos a utilizar 4

2. Problema Modelo Estadístico 5

2.1. Histograma 7

2.2. Polígono de frecuencias 8

2.3. Diagrama de barras 9

2.4. Diagrama de barras, horizontal con efecto tridimensional 10

2.5. Tipo Pastel 11

2.6. Medidas de tendencia central 12

3. Introducción a la Probabilidad 13

3.1. Factorial, Permutación y Combinación 13

3.2. Variables Aleatorias Discretas 14

3.3. Variables Aleatorias Continuas 15

4. Distribución Binomial 17

5. Distribución Poisson 17

6. Distribución Gamma 18

7. Distribución Weibull 19

8. Problema de Aplicación 21

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1. COMANDOS BASICOS UTILIZADOS

% Se usa para introducir comentarios

X=[ ] Se tienen que introducir los datos en forma vectorial, poniendo primero la variable,

seguido del signo ‘=’ y los valores entre “[]”.

; Se utiliza el punto y coma para que el resultado de la operación no aparezca

directamente en la pantalla de respuesta sino se guarde solo como una formula.

disp() Comando utilizado para desplegar un texto o resultado en la pantalla de respuesta.

‘…’ Las comillas se usan para que el texto introducido dentro de ellas aparezca

directamente en la pantalla de respuesta. En otros casos se usa para el color en que

se mostrara los diagramas.

clf Borrar grafico anterior

clc Borrar pantalla

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2. PROBLEMA MODELO ESTADÍSTICO.

Los siguientes datos a continuación, representan el tiempo en segundos que demora en

alcanzar el punto de ruptura 70 muestras de una nueva aleación de Hierro - Carbono, con

una fuerza continua. Los datos fueron registrados conforme se realizaba la prueba, y estos

son:

97 196 151 76 115 120 150 171 229 233 245 221

175 101 193 181 181 237 158 123 163 154 201 142

167 160 168 170 148 146 207 228 183 149 171 194

158 180 150 169 134 131 153 200 163 184 208 167

118 158 218 180 174 186 87 165 133 176 143 135

199 178 154 174 176 145 135 158 141 149

El primer paso es crear el vector “x” y a partir de esto realizar todas las operaciones.

x=[97 196 151 76 115 120 150 171 229 233 245 221 175 101 193 181 181 237 158 123 163

154 201 142 167 160 168 170 148 146 207 228 183 149 171 194 158 180 150 169 134 131

153 200 163 184 208 167 118 158 218 180 174 186 87 165 133 176 143 135 199 178 154

174 176 145 135 158 141 149];

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Una vez introducidos los datos se procede a correr el programa en el botón RUN ubicado en la Barra de Herramientas

Y nos aparecerá lo siguiente en la pantalla principal del software:

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Ahora procedemos a hacer los DIAGRAMAS:

2.1. HISTOGRAMA

hist(x,m); %Graficar del histograma grid on %Para que las cuadriculas sean visibles

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2.2. POLIGONO DE FRECUENCIAS Este tipo de grafico se utiliza para representar la distribución de frecuencias de variables cuantitativas discretas o continuas tabulados en intervalos.

mp=[45 m 270]; %Se agregan puntos con frecuencia 0 a los lados f=hist(x,m); fp=[0 f 0];

clf plot(mp,fp,'o') hold on plot(mp,fp) grid on

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2.3. DIAGRAMA DE BARRAS bar(f,'r') %Grafico de diagrama de barras, la letra ‘r’ significa

el color de las barras, siendo Red(rojo) en este caso.

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2.4. DIAGRAMA DE BARRAS, HORIZONTAL CON EFECTO TRIDIMENSIONAL

bar3h(f,'y') %Grafico, en este caso Yeloow(amarillo)

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2.5. TIPO PASTEL

f=hist(x,m);

pie(f)

%Grafico tipo pastel

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2.6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Se utilizaran los siguientes comandos en el Scrib para obtener los nuevos resultados:

xb=mean(x);

disp('La media aritmetica es:')

disp(xb)

m=median(x);

disp('La mediana es:')

disp(m)

s2=var(x);

disp('La varianza es:')

disp(s2)

M=mode(x);

disp('La moda es:')

disp(M)

s=std(x);

disp('La desviación estándar es:')

disp(s)

Y se obtendrán lo siguiente en la pantalla de inicio:

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3. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

En este nuevo problema se estudiará la forma de obtener Factoriales, Permutación

y Combinaciones.

3.1. Factorial: El factorial para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial

se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es

decir, los números naturales) hasta n.

Permutación: Una permutación de los elementos u objetos de un conjunto, es

una disposición ordenada de estos elementos. Es decir, son los diferentes

grupos que pueden formarse con n objetos dados, de modo que intervengan

todos los elementos en cada grupo y cuya diferencia está dada en el orden de

colocación.

Combinación: Es una técnica de conteo que permite calcular el número de

arreglos que pueden realizarse con todos o con una parte de los elementos de

un solo conjunto, en donde no interesa el orden de los elementos.

c=nchoosek(9,4) %Calculo de 9C4 r=factorial(5) %Factorial de 5

x=[2 3 5 7]; %Conjunto de 4 elementos lista=combnk(x,3) %Lista de combinaciones de 3 elementos n=length(lista) %Numero de combinaciones

y=[3 5 7]; %Conjunto de 3 elementos lista1=perms(y) %lista de permutaciones

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3.2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Una variable aleatoria discreta es una modelización de una característica X de tipo

discreto.

Recordemos que una característica X es de tipo discreto cuando puede tomar una

serie de valores claramente separados x1, ..., xk. En una muestra concreta de tamaño n,

cada uno de estos valores aparece n1, ..., nk veces (frecuencias absolutas). La frecuencia

relativa de cada valor es fi = ni/n.

%Probabilidad con variables aleatorias discretas x=[0 1 2 3]; %Valores de una variable aleatoria X f=[1/8 3/8 3/8 1/8]; %Distribucion de probabilidad f(x) bar(f,1,'r') %Histograma de probabilidad F=cumsum(f); disp('La probabilidad acumulada F(x):') disp(F)

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3.3. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Una variable aleatoria continua es una función X que asigna a cada resultado posible

de un experimento un número real. Si X puede asumir cualquier valor en algún intervalo (el

intervalo puede ser acotado o desacotado), se llama una variable aleatoria continua.

%Probabilidad con variables aleatorias continuas syms t c=2/5*(t+2); p=int(c,1/4,1/2) %Calculo de la probabilidad P(1/4<t<1/2) ezplot(c,0,1), grid on %Grafico de la funcion de densidad C=int(c) %Obtencion de la funcion de distribucion P=eval(subs(C,'1/2'))-eval(subs(C,'1/4')) %Calculo de la probabilidad

P(1/4<t<1/2) con %la función de distribución F(1/2)-F(1/4) ezplot(C,0,1), grid on %Grafico de la funcion de distribución

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4. DISTRIBUCION BINOMIAL

Cuando se dispone de una expresión matemática, es factible calcular la probabilidad de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la variable aleatoria. La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos (expresión matemática para representar una variable) que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuesta por n observaciones.

%Probabilidad con la distribución binomial f=binopdf(0,20,0.05) %Probabilidad con la distribución binomial x=0,

n=20 p=0.05 F=binocdf(3,10,0.2) %Probabilidad con la distribución binomial

acumulada

5. DISTRIBUCION DE POISSON Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. %Probabilidad con la distribución de Poisson a=poisspdf(1,5) %Probabilidad con la distribución de Poisson, x=1 y=5 b=poisscdf(2,5) %Probabilidad con la distribución de Poisson

acumulada, P(x=<5) y=5

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6. DISTRIBUCION GAMMA

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7. DISTRIBUCION WEIBULL

MEDIA Y VARIANZA

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p=weibcdf(300,0.1,0.5) %Distr. acumulada Weibull, a=0.1 b=0.5 %Calcular P(x=<300) [mu, var]=weibstat(0.1, 0.5) %Media y varianza x=0:0.1:5; f=weibpdf(x,0.8,1.5); %Puntos de la distr. Weibull, a=0.8

b=1.5 plot(x,f,'g'), grid on %Grafico de la distribución Weibull legend('Weibull - alfa = 0.8, beta=1.5')

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8. PROBLEMA DE APLICACIÓN

Una de las principales aplicaciones de la simulación es modelar el flujo de tráfico en las

grandes ciudades con el fin de probar diferentes patrones de luz de tráfico antes de

utilizarlos en el tráfico real.

En este ejemplo vemos una pequeña parte del problema: cómo simular el flujo de una sola

línea de tráfico a través de un conjunto de semáforos. Hacemos los siguientes supuestos

(puede hacer otras nuevas o diferentes).

Tráfico viaja directamente, sin necesidad de encender

La probabilidad de un coche que llega a las luces en un segundo particular es

independiente de lo que sucedió durante el segundo anterior. Esto se conoce como un

proceso de Poisson. Probabilidad, p, puede ser estimado por observación de los coches

en la intersección y el seguimiento de su patrón de llegada. En esta simulación tomamos

p = 0,3

Cuando las luces son de color verde, se supone que los coches se mueven a una velocidad

constante de, por ejemplo, 8 cada 10 segundos.

Fijamos las luces roja o verde para los múltiplos variables de 10 segundos.

La situación se modela con un archivo de script, traffic.m , que requiere tres archivos de

función : go.m, stop.m y prq.m. Debido a que los archivos de función necesitan acceso a un

número de variables de base del espacio de trabajo creado por traffic.m , estas variables se

declaran ‘global’ en traffic.m y en los tres archivos de función .

En este ejemplo, las luces son de color rojo durante 40 segundos (rojo = 4) y verde por 20

segundos (verde = 2). La simulación tiene una duración de 240 segundos (n = 24).

TRAFFIC.M clc clear % Limpiar todo lo anterior! global CARS GTIMER GREEN LIGHTS RED RTIMER T CARS = 0; % número de carros en la cola GTIMER = 0; % tiempo para luces verdes GREEN = 2; % periodo de luces de color verde LIGHTS = 'R'; % color de las luces n = 48; % número de periodos de 10segundos p = 0.3; % probabilidad de que un carro llegue RED = 4; % periodo de luces de color rojo RTIMER = 0; % temporizador para luces verdes for T = 1:n % por cada periodo de 10 segundos r = rand(1,10); % 1 segundo en 10 números aleatorios CARS = CARS + sum(r < p); % carros que llegan en 10 segundos if LIGHTS == 'G' go % luces verdes else stop % luces rojas end; end;

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GO.M

function go global CARS GTIMER GREEN LIGHTS GTIMER = GTIMER + 1; % avanzar temporizador verde CARS = CARS - 8; % si pasan 8 carros if CARS < 0 % número de coches que pasan < 8 CARS = 0; end;

prq; % la cola de carros if GTIMER == GREEN % verificar si las luces tienen que cambiar LIGHTS = 'R'; GTIMER = 0; end;

STOP.M

function stop global LIGHTS RED RTIMER RTIMER = RTIMER + 1; % avanzar temporizador rojo prq; % mostrar cola de carros if RTIMER == RED % verificar si las luces tienen que cambiar LIGHTS = 'G'; RTIMER = 0; end;

PRQ.M

function prq global CARS LIGHTS T fprintf('%3.0f', T ); % mostrar número de periodos if LIGHTS == 'R' % color de las luces fprintf('R'); else fprintf('G'); end; for i = 1:CARS % mostrar * para cada carro fprintf('*'); end; fprintf('\n') % nueva linea

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Los resultados obtenidos son:

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A partir de esta suposición en particular, parece que se están acumulando el tráfico, aunque

se necesitan más y más suposiciones para ver si esto es realmente así. Podemos

experimentar con diferentes períodos de luces rojas y verdes para obtener un patrón de

tráfico aceptable antes de ajustar las luces reales para ese ciclo. Por supuesto, podemos

acercarnos a la realidad teniendo en cuenta el tráfico doble vía y permitiendo que los carros

que giran en ambos sentidos y de vez en cuando fluya el tráfico. Sin embargo, este programa

ofrece las ideas básicas.