MATIAS MATEMATICAS

MATIAS MATEMATICAS

GEOMETRIA.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD

NUMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS. OPERACIONES.

MULTIPLOS. MINIMO COMUN MULTIPLO. MAXIMO COMUN DIVISOR.

ESCRIBIR NUMEROS

POTENCIA Y RAIZ.

ECUACIONES.

LENGUAJE SIMBOLICO

UNIDADES. PASAJES DE UNIDADES

TRIGONOMETRIA.

Calculo las siguientes distancias:

Brasil:

47 X 98 – 2.297

Roca:

49.073 : 31

Buenos Aires:

387 + 500: 15

Miosines:

247 X 57 – 13.289

Reconocer si son rectas PARALELAS, OBLICUAS O PERPENDICULARES

TRIANGULO EQUILATERO:

TRINAGULO ISOSCELES:

TRIANGULO ACUTANGULO:

TRIANGULO ESCALENO:

TRINGULO RECTANGULO:

TRIANGULO OBSTUSANGULO:

Triángulo equilátero Tres lados iguales.

Triángulo isósceles Dos lados iguales.

Triángulo escaleno Tres lados desiguales

Triángulo acutángulo Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo Un ángulo recto

Triángulo obtusángulo Un ángulo obtuso. El

lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVAMultiplica las decenas y unidades por separado:

6 × 18 = 6 × (10 + 8).

6 × 10 = 606 × 8 = 48

60+ 48

108

7 × 32 = 7 × (30 + 2).

7 × 30 = 2107 × 2 = 14

210+ 14

224

5 × 51 = 5 × (50 + 1).

5 × 50 = 2505 × 1 = 5

250+ 5

255

1. Dibuja palillos para decenas y puntos para unidades para ilustrar los números. Después, utiliza la propiedad distributiva para multiplicar.

a. 5 × 23

5 × 20 =

5 × 3 =

5 × 23 = 100 + 15 = 115

b. 4 × 41

c. 3 × 65

d. 7 × 18

e. 2 × 58

f. 3 × 35

g. 4 × 26

h. 7 × 17

2. Separa el segundo número (factor) en decenas y unidades. Multiplica por separado, y suma.

3. Separa el segundo número (factor) en decenas y unidades. Multiplica por separado, y suma.

3 × 23

= 3 × 20 +

3 × 3

b. 8 × 41 = 8 × (__ + _).

8 × 40 = 8 × 1 =

+

c. 5 × 37 = 5 × (__ + _).

5 × 5 ×

+

e. 6 × 53 = 6 × (__ + _).

+

f. 9 × 18 = 9 × (__ + _).

+

h. 4 × = 4 × (90 + 3).

+

i. 3 × = 3 × (80 + 8).

+

=______+_______=_____

7 × 14

= 7 × ___ +

7 × __

= ___+___ = ____

5 x 33 = 5 × ___ + 5 x _____

= ___+___ = ___

5 × 62

= 5 × ___ +

5 × __

= ___+___= ____

a. 34 + ____ = 40

1 b. ____ + 2 = 20

2 a. ____ + 2 = 30 2 b. ____ + 3 = 40

3 a. ____ + 2 = 70 3 b. 65 + ____ = 70

4 a. 14 + ____ = 20 4 b. ____ + 7 = 40

5 a. ____ + 7 = 20 5 b. 35 + ____ = 40

6 a. 61 + ____ = 70 6 b. 76 + ____ = 80

7 a. 6 + ____ = 10 7 b. 69 + ____ = 70

8 a. ____ + 9 = 20 8 b. 27 + ____ = 30

9 a. 71 + ____ = 80 9 b. ____ + 3 = 90

10 a. 46 + ____ = 50 10 b. 91 + ____ = 100

Criterios de divisibilidad

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par:

24, 238, 1024.


Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de

3.

564: 5 + 6 + 4 = 15, es múltiplo de 3

2040: 2 + 0 + 4 + 0 = 6, es múltiplo de 3


Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

45, 515, 7525.


Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la

cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo

de 7.

343: 34 - 2 · 3 = 28, es múltiplo de 7

105: 10 - 5 · 2 = 0

2261: 226 - 1 · 2 = 224

Volvemos a repetir el proceso con 224.

22 - 4 · 2 = 14, es múltiplo de 7.


Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras

que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11 .

121:(1 + 1) - 2 = 0

4224:(4 + 2) - (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisibilidad


Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o

múltiplo de 4.

36, 400, 1028.


Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

72, 324, 1503


Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o

múltiplo de 8. 4000, 1048, 1512.


Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de

9.

81:8 + 1 = 9

3663: 3 + 6 + 6 + 3 = 18, es múltiplo de 9


Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.

130, 1440, 10 230

EJERCICIOS:

Los siguientes ejercicios los debes resolver aplicando los criterios de divisibilidad:

1. Estudiar si el número 1234 es divisible por cada uno de los números indicados en el recuadro anterior.

2. Para qué valores de a es divisible el número a 234 por cada uno de los del recuadro anterior.

3. Repite el ejercicio para el número 123.

4. Repite el ejercicio para el número a 23.

Conjunto de Números Enteros positivos y negativos

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ejermplos : – 3 + – 8 = – 11 ( sumo y conservo el signo)

12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ejemplo: – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 – 7 = 5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo).

5 + – 51 = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

– 14 + 34 = 20

Resta en Z

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a) Cambiar el signo de la resta en suma y

b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej: –3 – 10 = –3 + – 10 = –13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)

19 – – 16 = 19 + + 16 = 19 + 16 = 35

Multiplicación y División en Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

+ • + = +

– • – = +

+ • – = –

– • + = –

Ejemplos: – 5 • – 10 = 50 ( 5 • 10 = 50 ; – • – = + )

12 • – 4 = – 48 ( 12 • 4 = 48;: + • – = – )

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones).

EJERCICIOS: 1 Calculo:

1:0

+ 3

2:-4

+ 5

3:0

+ 2

4:2

+ -4

5:2

+ 5

6:2

+ -2

7:-4

+ -1

8:4

+ -1

9:5

+ -2

10:5

+ 3

11:

3- -4

12:5

- 0

13:2

- 2

14:-4

- 2

15:5

- 2

16:-4

- -1

17:4

- -1

18:5

- -2

19:5

- 3

20:-5

- -4

2. Copio el cuadro de los signos, y con su ayuda resuelvo.

a. (+8) . (+3) = b. (-7) . (-6) = c. (+4) . ( -9) = d. (-2) . (+8) = e. (-5) . (3)= f. (-3).(2).(4)= g.(-4) .(-1). (-2)= h.(-3).(7).(-4)=

a. (-15) : (-15) = b.8 : 4 = c.(- 4) : (-2) = d.10 : 2 = e.10 : (-2) =d. (-8) : 4 = f.24 : (-4) = g. 6 : 3 =

3. Ordenar, en sentido creciente (A) y decreciente a B, representar

gráficamente:

A_ 8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7

B_ −4, 6, −2, 1, −5, 0, 9

4. Realizar las siguientes operaciones con números enteros

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] =

2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

3 9 : [6 : (− 2)] =

4 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =

5 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]=

6 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

• El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los

divisores comunes.• Para hallar el máximo común divisor de dos o más números, por ejemplo,

m.c.d. (12, 18), se siguen estos pasos: 1.° Se descompone cada número en producto de factores primos. 2.° El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el máximo común divisor de los números dados.

12 2 18 2

6 2 9 3

3 3 3 3

1 1

12 = 2 x 2 x 3

18 = 2 x 3 x2

m.c.d. (12, 18) = 2 x 3 = 6

1- Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números.

40 y 60 m.c.d. (40, 60) = 35 y 48 m.c.d. (35, 48) =70 y 62 m.c.d. (70, 62) =100 y 150 m.c.d. (100, 150) = 225 y 300 m.c.d. (225, 300) = 415 y 520 m.c.d. (415, 520) =

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo

común distinto de cero. • Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, por ejemplo, m.c.m. (30, 45), se siguen estos pasos: 1.° Se descompone cada número en producto de factores primos. 2.° El producto de estos factores comunes elevados al mayor exponente y de los no comunes es el mínimo común múltiplo de los números dados.

30 2 45 3

15 3 15 3

5 5 5 5

1 1

30 = 2 x 3 x 5

45 = 3x 2 x 5m.c.m. (30, 45) = 2 x 3 x 3 x 5 = 90

2- Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números.

32 y 68 m.c.m. (32 y 68 ) =52 y 76 m.c.m. (52 y 76 ) = 84 y 95 m.c.m. (84 y 95 ) =105 y 210 m.c.m. (105 y 210 ) = 380 y 420 m.c.m. (380 y 420 ) = 590 y 711 m.c.m. (590 y 711 ) =

Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

Exponente Se puede leer:

tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta

3 . 3 . 3 . 3 = 34

Base

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).

Ejemplos: 2 5 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.

3 2 = 3 • 3 = 9 El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.

5 4 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625 Cual es el exponente?.

Una potencia puede representarse en forma general como:

an = a • a • a • ........

Donde: a = base n = exponente “ n” factores iguales

Finalmente, recuerda que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.

Potencia de base entera y exponente natural

Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a Z ) (léase a pertenece a zeta) significa que puede tomar valorespositivos y negativos. Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).

Potencia de base entera positiva:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htm

Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

(+a) n = +a n

Ejemplos:

(+4) 3 = 43 = 4 • 4 • 4 = 64 = + 64 Exponente impar

(+3) 4 = 34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81 = +81 Exponente par

Potencia de base entera negativa:

Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.

a) Si el exponente es par, la potencia es positiva.

(_ a) n (par) = +a n

Ejemplos:

(_5) 2 = _5 • _5 = +25 = 25 _ · _ = +

(_2) 8 = _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 = +256 = 256

b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.

(_a) n (impar) = _a n

Ejemplos:

(_2) 3 = _2 • _2 • _2 = _8

(_3) 3 = _3 • _3 • _3 = _27

En resumen:

Base Exponente Potencia

Positiva Par Positiva

Positiva Impar Positiva

Negativa Par Positiva

Negativa Impar Negativa

Calculá mentalmente:

- ¿2 al cuadrado es mayor que 5 al cuadrado?

- ¿3 a la cuarta es menor que 4 al cubo?

La radicación

Vos sabés que la resta es la operación inversa de la suma y la división es la operación inversa de la multiplicación.

La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama “radicación”.

Observá que 82 =64 entonces 64 = 8 x 8 es la raíz cuadrada de 64.

De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un número que

elevado al cuadrado dé como resultado 25.

Repaso:

1) ( - 5 ) + ( + 8 ) – ( - 2 ) =

2) - 3 + 12 – 6 – 5 + 11 =

3) - 35 + 16 – 11 + 25 =

4) 4 – 7 + 9 =

5) + 8 – 9 + 6 + 5 – 4 =

6) - 2 + 10 – 5 + 9 – 6 =

7) ( - 8 ) – ( - 9 ) – ( + 12 ) =

8) 3 + ( - 14 ) – 2 =

9) -16 + 5 – 18 + 26 – 1 =

10) 100 – ( 99 – 70 ) =

Calculo:

1) (-4) · (6) = 2) (-5) · (-8) =3) (-7) · (-3) = 4) (-7) · (-2) =4) (-6) · (-l) = 5) (31) · (-4) =6) (-3) · (+69) = 7)(91) · (14) =8) (-l2) · (33) = 9) (98) · (-67) =10) (7) · (54)=11) – 24 : ( + 3 ) =

12) ( + 12 ) : ( - 2 ) + ( - 1 ) =

13) – ( - 2 + 6 ) + ( 9 – 4 ) =

14 ) ( - 3 ) Ã ( - 4 ) + ( - 2 ) =

Rellena los huecos.

a) ( - 7 ) + ………….. = - 9 d) ( - 4 ) + ……………..= - 4

b) ……………+ ( + 8 ) = - 12 e) ( + 7 ) + ……………..= 0

c) ( + 3 ) + ……………= + 14 f) ……………+ ( + 2 ) = + 2

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