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Artculo recibido en Suma en julio de 2011 y aceptado en diciembre de 2011

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Este artculo trata sobre una experiencia del rea deMatemticas en segundo ciclo de Primaria. El obje-tivo es ensear y aprender los contenidos de dicharea partiendo de la manipulacin de materiales es-pecficos, como juegos, figuras para Geometra, fi-chas para la Numeracin, relojes de papel que he-mos creado y llevado al aula en el curso escolar2010/11. la principal conclusin es que los nios sehan sentido enormemente motivados en la presen-tacin de los contenidos, que han adquirido de unamanera ms ldica y divertida mostrando comoconsecuencia un gran inters en su aprendizaje.

Palabras clave: Experiencia de aula, Propuesta di-dctica, Material manipulable, Enseanza/apren-dizaje, Primaria.

A Didactic Proposal with Handlying Materials for

Elementary Education

this article deals with an experience in the Area ofMathematics at Elementary school 2nd cycle. thepurpose is to teach and learn the contents of thatarea based on the handling material, such asgames, figures for Geometry, cards for the Num-bering, paper clocks... we have created andbrought to the classroom in the school year2010/11. the main conclusion is that childrenhave felt greatly encouraged in the presentationof content, they have acquired a more playful andfun as a result showing a strong interest in lear-ning.

Key words: classroom experience, Didactic pro-posal, handling material, teaching and learningprocess, Elementary school.

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l objetivo de este artculo es proponer una nuevamanera de dar la clase de Matemticas en la

Enseanza Primaria, basada en una experienciarealizada durante el curso 2010-2011 en un colegiopblico de la Comunidad de Madrid.

El origen de la necesidad detectada de impartirclase de una manera diferente se encuentra enque despus de llevar ms de treinta aos traba-jando con alumnos de Primaria y siendo cons-ciente de la dificultad que conlleva la enseanzay el buen aprendizaje de los contenidos de estarea, a lo largo de mi vida profesional he obser-vado que los alumnos aprenden mejor, con me-nor dificultad y mayor duracin aquellos con-ceptos que pueden adquirir a travs de lamani pulacin de objetos, y que interiorizan ymemorizan mejor aquellos conceptos de los quese pueden hacer actividades todos los das o ensesiones alternas.

teniendo en cuenta estas dos premisas me he de-dicado los ltimos cursos y ste en particular(2010-2011) en el Segundo Ciclo de la EducacinPrimaria a buscar, elaborar y recopilar materialesmanipulables para cada una de las partes en quedesde mi punto de vista dividira el rea de Mate-mticas en Primaria. a saber:

Una propuesa didctica

con materiales manipulativos

para la educacin Primaria

Sagrario Martn abad

ArtculosMarzo 2012

E

pp. 21-29

sAGrArio MArtN AbAD

1. Clculo mental y escrito.2. razonamiento y resolucin de problemas.3. numeracin: naturales, ordinales, romanos,

aproximaciones, 4. Fracciones y decimales. Medida del dinero.5. operaciones: suma, resta, multiplicacin, di-

visin, reas, potenciacin.6. Sistema mtrico decimal: unidades de longi-

tud, capacidad y masa.7. geometra.8. El tiempo.

He llevado a cabo la experiencia con materialesmanipulables que explicar a continuacin paralos apartados 3, 5, 7 y 8 para el Segundo Ciclo dePrimaria, aunque algunos bien pueden ser utiliza-dos en el tercer ciclo tal y como lo he explicadocon detalle en cada apartado.

adems, he considerado como objetivo muy im-portante lograr que los alumnos entiendan cadauno de los conceptos que han tenido que aprender.En algunos casos resulta muy difcil, como porejemplo ocurre con las restas llevando, en el casode que se tenga mayor nmero de unidades en elsustraendo que en el minuendo o como cuandose explican con la mecnica que aplican los adultosbasada en la propiedad de la resta (si sumamos orestamos la misma cantidad al minuendo y al sus-traendo, la diferencia no vara). Sin embargo, esms de fcil de entender por parte del alumnocuando se explica como en el Ciclo inicial, esdecir, pasando una decena a unidades en el mi-nuendo, y entonces se puede restar.

Este texto pretende, por tanto, reflexionar sobrelas ventajas y los inconvenientes de aplicar m-todos de enseanza de las matemticas cogni -tivamente ms productivos para los alumnos, en-fatizando siempre en la necesidad de modificarlos tradicionales mtodos de enseanza. Paraello, dividimos el artculo en cuatro partes con-cretas, segn la divisin que me he permitidohacer de toda el rea y los materiales con los quehe experimentado para cada una de estas partes,adems de las reflexiones y las consiguientes con-clusiones.

Experiencias con materiales

especficos para el 2. ciclo

de Primaria

Numeracin

Fichas para trabajar los nmerosnaturales

El objetivo con este material1 es la com-prensin y aprendizaje de la descom-posicin de un nmero de varias cifrasen sus distintos rdenes de unidades yel paso de cada orden de unidades, aunidades.

Su utilizacin me parece ms apro-piada para el tercer ciclo de Primariaen el que el nivel de abstraccin delos alumnos ha aumentado respectoal Segundo Ciclo.

Fichas hechas en cartulina de, aproxima-damente, 6 x 6 cm. Por una cara tienen losdgitos del 0 al 9 y por la otra todas tienenel 0. tambin hay fichas del mismo ta-mao con las letras U (unidades), d (de-cenas), C (centenas), etc., para colocar allado de cada cifra y hacer la descomposi-cin de los nmeros en sus distintos r-denes de Unidades. Luego, se utiliza la cara

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con los ceros, para pasarlo todo a Unida-des. tambin hay fichas con los signos +y =. Se utilizan para poner los nmeroscon distintas cifras (en 3. hasta 5; y en 4.,hasta 7) y descomponerlos.

Fichas para trabajarlas aproximaciones a las centenasy unidades de millar

El objetivo con este material es lograrque los alumnos aproximen cantida-des de nmeros de varias cifras, a lascentenas y unidades de millar.

Su utilizacin me parece apropiadapara segundo y tercer ciclos de Pri-maria.

tenemos 3 juegos de fichas de aproxi-madamente 11 x 15cm.:

decenas exactas: 10-20-30-40-50-60-70-80-90.

Centenas exactas: 100-200-300-400-500-600-700-800-900.

Unidades de Millar exactas:1.000-2.000-3.000-4.000-5.000-6.000-7.000-8.000-9.000.

Utilizacin: dado un nmero (primerode 2 cifras, luego de 3, etc) se busca elintervalo entre las decenas o Centenasexactas donde se encuentra. Luego sebusca el nmero que ocupa el centro deese intervalo. despus se razona de quextremo est ms cerca el nmero dado.Se escriben los nmeros en papelitos defolios y se coloca cerca de la decena,Centenaexacta que est ms prximo.

Juego del bingo de los nmerosordinales

El objetivo con este material es elaprendizaje de los nmeros ordina-les del 1. al 30., y los correspon-dientes a las decenas exactas (40.-50.-60.- ) hasta 100..

Su utilizacin me parece adecuada para se-gundo y tercer ciclos de Primaria.

Consta de varios cartones con 10 nmeros ordi-nales cada uno del Primero al Vigsimo. Se reparteun cartn para cada 2 alumnos. El profesor tieneuna base con todos los nmeros ordinales dondeva colocando los que van saliendo. Se canta lalnea y se comprueba que est correcta; luego, sejuega hasta que se canta el bingo.

Operaciones: la multiplicacin

Para entender y aprender las tablas de multiplicar:

El objetivo con este material y el siguiente escomprender el significado de la multiplicacin:sumar varias veces un mismo sumando.

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observar y utilizar los momentos (especial-mente resolviendo problemas) en los que con-viene multiplicar ms que sumar. Es importantever la relacin que existe entre suma y multi-plicacin y conviene al principio escribir los 2tipos de operaciones.

Su utilizacin me parece muy adecuadapara el segundo ciclo de Primaria cuandoes imprescindible el aprendizaje y la me-morizacin de las tablas de multiplicarpara aprendizajes posteriores, y es muyimportante comprender todo el proceso.

la caja de multiplicar

(Puede hacerlo solo el profesor o por gruposde unos 5 alumnos).

Se cuenta con una caja de cartn, no muy grande,a la que se le hace un agujero arriba en la tapa.Explicar el proceso del aprendizaje para la tabladel 2, y luego, se har igual para el resto. (Estopuede ser conveniente empezarlo en el Ci cuandose empiezan a dar el estudio de las tablas). debenentender los alumnos que utilizamos la multipli-cacin cuando tenemos que sumar varias veces elmismo sumando. Cogemos una bolsa con muchascanicas y decimos:

Cojo 2 canicas, una vez, Cuntas canicastengo? (echo las 2 canicas a la caja por el agujero.Luego quito la tapa y cuentas las canicas. Hay 2.despus digo:

Cojo 2 canicas, 2 veces, Cuntas canicas tengo?(echo 2 canicas a la caja 2 veces por el agujero.Luego quito la tapa y cuentan las canicas. Hay 4.

Y as hasta que llego a 10 veces 2 canicas. Hay 20canicas. tienen que poner un orden al contar lascanicas. Esto lo voy escribiendo en el enceradoy poniendo a la vez las sumas en forma deproducto. al final, aparece la tabla de multi-plicar que resaltan con un rectngulo rojo yque tendrn que memorizar.

Los productos por 0 los dejo para el final,cuando lo hayan entendido bien. Pues mul-tiplicar por 0 significa que cojo 2 canicas 0

veces, es decir, que no cojo ninguna ca-nica. Por eso sale 0 y por eso un nmeromultiplicado por 0 es igual a 0.

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Juego del Bingo de las tablas(de multiplicar)

Consta de varios cartones con 10 de losproductos de las tablas de multiplicarcada uno (Martn abad, 2006). Los quese repiten, se cogen una sola vez. Se re-parte un cartn para cada 2 alumnos. Elprofesor tiene una base con todos losproductos posibles donde va colocandolos que salen. Se canta la lnea y se com-prueba (observacin de la propiedadconmutativa de la multiplicacin) que seacorrecto; luego ya, se canta el bingo,comprobando que es correcto.

Para el aprendizaje y memorizacindel doble y triple y por ende mitady tercio

Memory del doble y memory del triple.

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El objetivo de este material es elaprendizaje y utilizacin del doble ydel triple de los 10 primeros nmeros,asimismo de la mitad y tercio. despusse puede aplicar a cualquier nmero.

Su utilizacin me parece muy apro-piada para segundo ciclo de Prima-ria. Se puede aumentar la dificultadde los nmeros y utilizarlo en tercerciclo.

Son dos juegos de cartas de unos 8 x 6cmcada una. Unas cartas tienen los nmerosdel 1 al 10 y sus dobles es decir el 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y el 2, 4, 6, 8, 10, 12,14, 16, 18, 20.tienen el mismo colorcada carta y su doble para evitar dudas.(Por ejemplo 4: un 4 tiene el mismo colorque el 2 del que es doble y otro 4 tieneel mismo color que el 8 del que es sumitad).

El otro juego de cartas tiene los nme-ros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y el 3, 6,9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. tienen elmismo color cada carta y su triple paraevitar dudas. (Por ejemplo, un 6 tendrel mismo color que el 2, del que es tri-

ple, y otro tendr el mismo color que el 18 delque es su tercio.)

Para el estudio de la Geometra

El objetivo al utilizar este material es que losnios adquieran los conceptos geomtricospropios de este nivel (algunos tan complejosen esta etapa educativa) de forma visual y ma-nipulando todo lo posible.

Su utilizacin y elaboracin de algunos de ellosme parecen adecuada para el segundo y tercerciclos de Primaria.

Materiales:

diversos abanicos para el estudio de los ngu-los.

distintas figuras geomtricas de diversos ta-maos: tringulos (equilteros, issceles, esca-lenos, acutngulos, rectngulos y obtusnguloscombinados), cuadrilteros (paralelogramos:cuadrado, rectngulo, rombo, romboide, y noparalelogramos: trapecio y trapezoide), pent-gonos (regulares e irregulares), hexgonos (re-gulares y no), octgonos, etc., y crculos dedistintos tamaos.

distintos tamaos de Tangrams con varios di-bujos y su resolucin.

Juego del domin con distintas figuras geo-mtricas: tringulo equiltero, cuadrado, rec-tngulo, rombo, hexgono regular y crculo.

Memory de cuerpos geomtricos y su desarrollo:prisma triangular, ortoedro (prisma cuadrangu-lar), cubo, prisma pentagonal, prisma hexagonal,pirmide triangular, pirmide cuadrangular, pi-rmide pentagonal, pirmide hexagonal, cilindroy cono.

Construccin de un mvil (o pegados en car-tulina, poniendo su nombre al lado) de algunoscuerpos geomtricos, por ejemplo: prisma he-xagonal, cubo, pirmide cuadrangular, cilindroy cono.

Construccin de un mvil con los poliedrosregulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedroe icosaedro.

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Para el estudio del tiempo

El objetivo de utilizar este material es la com-prensin y el aprendizaje por parte de los alum-nos de la forma en que se puede medir eltiempo, las distintas unidades de tiempo y su re-lacin (aplicar operaciones matemticas para pa-sar de unas unidades a otras; saber decir lashoras en relojes digitales y analgicos pasar deun reloj a otro)

La utilizacin de este material se empieza yelabora en el segundo ciclo de Primaria y luegose aumenta su dificultad para el tercer ciclo.

Materiales:

Elaboracin de un reloj analgico encartulina. Las agujas las mueve las ma-nos del alumno. Estn toda la nume-racin que se refiere a horas y minu-tos (sumando en la parte derecha yrestando en la izquierda).

Elaboracin de otro reloj digital condos tiras para los nmeros: una de 5en 5 para los minutos (de 0 a 55) yotra de hora en hora (de 00 a 23). Setrata de poner las horas con los mi-nutos que sean en ambos relojes yluego poner una misma hora con losdos relojes.

Para el estudio del ao se cuenta con15 calendarios de distintos aos(1996, 1998, 1999, 2000-2011) dondese estudian los das de cada mes y losaos bisiestos. Es importante tenerel ao de nacimiento de los alumnospara que puedan buscar el da de sunacimiento y su cumpleaos.

as mismo, los 12 meses del ao 2011para el estudio de los das de cada mes.

ordenar cronolgicamente una se-cuencia de 3 y 6 vietas. En algunade las secuencia aparecen relojes para

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ayudar en la ordenacin temporal.dos de estas vietas fueron sacadasde unos cuadernillos de la EditorialEdeb (1987), coleccin Periscopio,para 3. de Egb ciclo medio.

de un material de la editorial SM(2008), una secuenciacin cronolgicade 8 acciones a lo largo del da. Esassecuencias tambin estn recogidasen relojes digitales y se ha elaboradoadems un Memory con los dos tiposde relojes (analgico y digital) paraponer las parejas a la misma hora.

Reflexiones sobre la propuesta

didctica

a lo largo de este curso 2010/2011 dedi-cado a la enseanza del rea de Matemti-cas en el tercer curso de Primaria, he lle-gado a la conclusin de que la EducacinPrimaria (en particular, el Segundo y tercerCiclos) est estructurada de forma que lamayor parte de los aprendizajes se van

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presentando en un curso y en los siguientes se vaaumentando y ampliando su dificultad, por lo cualse tratara en los primeros cursos de introducircasi todos los contenidos y luego irlos ampliando.

Puesto que en el Segundo Ciclo los alumnos em-piezan a desarrollar su capacidad de abstraccincon relacin a algunos conceptos, es convenienteelevar el nivel de manipulacin con objetos coti-dianos y especiales para cada contenido.

Hay que conseguir que esta manipulacin sea mayoren Educacin infantil y en el Primer Ciclo de Pri-maria. Es importante sentar unas buenas bases enla adquisicin de los distintos conceptos, aunque a

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veces a los profesores nos d la impresin de queestamos perdiendo el tiempo porque no seguimos eltemario propuesto o estamos repitiendo demasiadoy no avanzamos o nos hemos estancado en una di-ficultad, como me ha ocurrido en el curso pasadoal que hace referencia este escrito, en el que he te-nido que repetir y buscar la forma de que los alum-nos encontraran la relacin entre la suma y la restaa partir de la prueba de la resta, y trabajar las formasde hallar los distintos trminos de la resta cono-ciendo dos de ellos. (Me parece que esto sera mssencillo si estos nios hubieran manipulado las re-gletas de Cuisenaire y materiales multibases nece-sarios para la numeracin y el Clculo Mental).

Conforme a estas observaciones, y tras la expe-riencia del curso pasado en 3. de Primaria, utili-zando los materiales que he descrito a lo largo deeste artculo aadir:

1. Las fichas para la numeracin ser mejor utili-zarlas en el tercer ciclo pues los alumnos a estaedad tienen mayor capacidad de abstraccin.

2. El tema de las aproximaciones a las Centenasy Unidades de Millar es bastante arduo. Hayque seguir insistiendo, y mucho, en 4.. Esprobable que tambin se siga trabajando en eltercer Ciclo, aumentando la dificultad en lascifras de los nmeros naturales, e introdu-ciendo el concepto para los nmeros deci-males.

3. El Juego de El Bingo de los Nmeros Ordinalesha sido muy bien acogido y muy productivo.Se puede seguir utilizando en los cursos enlos que se sigan viendo estos nmeros.

4. La caja de canicas para la multiplicacin lesha encantado y se ha comprendido de formaprctica el algoritmo de esta operacin. Podrautilizarse para los alumnos del tercer cicloque no han comprendido perfectamente lamultiplicacin.

5. El Juego de El Bingo de las tablas les ha gustadomuchsimo a los alumnos, ha sido muy bienacogido y adems les ha servido para ejercitarel clculo mental de multiplicaciones sencillasy rpidas; as como para repasar la propiedadconmutativa de la multiplicacin. Se puede uti-

lizar tambin al principio del tercerciclo; se podr jugar ms rpido yms veces.

6. Con las fichas del Memory del dobley triple, han disfrutado mucho cadavez que han jugado: con tres sesio-nes en las que dedicamos un ratitoal juego, prcticamente aprendieronde memoria el doble y el triple delos 10 primeros nmeros.

7. todos los materiales que hemos uti-lizado para el estudio de la geome-tra les han ayudado mucho: poderver, tocar y distinguir un tringulode un cuadriltero, observar cmoun cuadrado no es un rombo aunquegiremos el primero, contar los ladosdel octgono y verlo en la seal deStop, jugar al domin con varios po-lgonos Ello ha hecho que enten-dieran mejor algunos de los concep-tos geomtricos trabajados. Empecel tema hablndoles de las lneas rec-tas y curvas, haciendo algunas expe-riencias recogidas por M. antoniaCanals (2009). Pero despus, inten-tando explicar cmo la distancia msprxima entre dos puntos es la lnearecta, me busqu una capucha rojade un nio, y me puse a contarles elcuento de Caperucita roja. Un niohaca de lobo y yo de Caperucita.En una esquina de la clase estaba lacasa de Caperucita y en la otra, lams lejana, la de la abuela. El loboiba deprisa, por el camino ms corto.Yo iba despacio y entretenindome,por el camino ms largo. ademsyo escoga caminos largos que luegodistintos nios iban sealando contizas de colores. Pude darme cuentade lo que da de s el cuento de Ca-perucita (mejor dicho, esta parte delos caminos), para comparar lneasrectas con curvas y para comprender(cosa de la que no estoy segura) que

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la distancia ms corta entre dos pun-tos es la lnea recta. Supongo queeste concepto hay que trabajarlojunto con las medidas de longitud,pudiendo medir y comprobarlo.

La construccin de cuerpos geo -mtricos a partir de su desarrollo sepuede repartir entre los dos ciclos:En el Segundo Ciclo les cuesta mu-cho doblar por las lneas formandolas aristas de los que sern los cuer-pos geomtricos, y a veces se lesrompen por echar gran cantidad depegamento.

8. Hacer sus relojes analgico y digitalpara el estudio del tiempo, les haceque vayan tomando conciencia delos elementos de ambos (maneci-llas, variedad de nmeros de 1 en 1o de 5 en 5...) para ir estudiando suutilidad. Manipular calendarios dediversos aos hace que vayan com-parando los das de los distintosmeses (cada mes tiene el mismo n-mero de das en todos los aos, ex-cepto febrero, lo que nos ayuda aintroducir el ao bisiesto). ordenarvietas segn las horas les ayuda air estructurando y entendiendo elpaso del tiempo a lo largo del da,del mes, del ao, etc.

Conclusiones

Para resumir, tengo que aadir que co-menzar cada tema con materiales mani-pulables para los alumnos, llevados aclase en algunas cajas que ya despertabasu inters, ha resultado ser muy satisfac-

torio. Ver cmo han prestado un enorme interspor la actividad que bamos a realizar ha sido causade enorme motivacin personal y profesional param como docente. Pienso que bien ha valido lapena todo el esfuerzo puesto en la bsqueda, ad-quisicin y elaboracin de estos materiales. Losalumnos estaban encantados y tan entretenidosque se les pasaba la clase demasiado rpida. Seles haca corta toda una hora de Matemticas!

Por desgracia a la hora de evaluarles con controlesbastante tradicionales, los resultados no me hanparecido todo lo satisfactorios que me hubieragustado que fueran. Es probable que si cambio laforma de ensear y de que los alumnos aprendan,tendr que buscar otras formas ms acordes conestas para evaluarles.

teniendo en cuenta las pruebas de conocimientosy destrezas que realizan los alumnos al final decada ciclo en Primaria, si deseamos que obtenganbuenos resultados, la labor docente, en ocasiones,se queda limitada a prepararles para la correctarealizacin de estas pruebas olvidando con fre-cuencia buscar formas divertidas, ldicas, entre-tenidas y atractivas para que aprendan los conte-nidos de esta etapa educativa, de forma tan amenaque lleguen a gozar y disfrutar trabajando la apa-sionante rea de las Matemticas.

Referencias bibliogrficas

ProYECto tiroLina (2008): Material complementario,SM, Madrid.

CanaLS, M. a. (2009): Transformaciones geomtricas, rosaSensat, barcelona.

garULo, C. (dir.) (1987): Cuadernillos Periscopio, Edeb,barcelona.

Martn abad, S. (2006): El bingo de las tablas, Es-cuela, 4 de mayo de 2006, 19.

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1 todos los materiales han sido creados por m excepto aquellos en los que nombro la fuente concreta de la que han sido extrados, funda-mentalmente material auxiliar de sM y cuadernillos Periscopio de Edeb, reseados ambos en la bibliografa final.

sAGrArio MArtN AbADCEIP El Torren

Arroyomolinos. Madrid

Publicaciones recibidas (1)

EPSiLonRevista de educacin

matemtica

n. 78 Vol. 28 (2)2011S.a.E.M. thalesSevillaiSSn 1131-9321

La gaCEtadE La rEaL SoCiEdad

MatEMtiCa ESPaoLa

Vol. 14, n. 42011iSSn 1138-8927

LoSangESn. 15dcembre 2011SbPMefnamur, belgique

EdUCaao E MatEMtiCaRevista da Associaao

de Profesores de Matemtican. 115

novembro-dezembro2011

LisboaiSSn 0871-7222

grandRevue de Mathmatiques,

Sciences et technologie pour

les matres de lenseignement

primairie

n. 882011

irem de grenobleiSbn 0512-4682

LLULLRevista de la Sociedad

Espaola de Historia las

Ciencias y de las Tcnicas

Vol. 34, n. 742011

SEHCYtZaragoza

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PnaRevista de Investigacin en

Didctica de la Matemtica

Vol. 6, n. 2Enero 2012

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XLa tangEntEPercorsi nella matematican. 30dicembre 2011Monza. italiaiSSn 1971-0445