1Universidad Catlica Loa ngeles

de ChimboteJulio Lezama Vsquez Matemticas Financieras I

Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote/ Sistema blended learning

3. PROGRESIONES ARITMTICASToda secuencia ordenada de nmeros reales recibe el nombre de sucesin. Dentro del grupo desucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permitesistematizar la definicin de sus propiedades: las progresiones aritmticas y geomtricas.

3.1. Progresiones AritmticasEs una sucesin de valores en los que cada uno de sus trminos despus del primero, es igual ala anterior, ms una constante llamada diferencia o razn.Cuando la razn es positiva los trminos aumentan sucesivamente y la progresin toma elnombre de ascendente o creciente.Si la razn es negativa los trminos disminuyen sucesivamente y la progresin toma el nombrede descendente o decreciente. (Quispe, 2,002)

En la solucin de problemas y casos utilizaremos la siguiente simbologa:a = Primer trminou = ltimo trminon = Nmero de trminosr = RaznS = Suma de todos los trminos

3.1.1 Valores de una Progresin Aritmtica

Primer Trminoa = u - ( n 1 ) r

Ejemplo 3.1: Si el ltimo trmino de una progresin aritmtica es 78 , la razn 6 y el nmerode trminos es 21. Cul es el primer trmino?.

a = 78 (20-1) 6a = - 36

ltimo Trminou = a + ( n 1 ) r

2Universidad Catlica Loa ngeles

de ChimboteJulio Lezama Vsquez Matemticas Financieras I

Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote/ Sistema blended learning

Ejemplo 3.2: Hallar el ltimo trmino de una progresin aritmtica de 10 trminos, si elprimer trmino es 10 y la razn 8.

u = 10 + (10-1) 8u = 82

Nmero de Trminosn = 1r

au

Ejemplo 3.3: Cul es el nmero de trminos de una progresin aritmtica cuyo primertrmino es 12, el segundo trmino 9 y el ltimo trmino -21?.

n = 13924

n = 12

La razn

r = 1

nau

Ejemplo 3.4: Calcular la razn de una progresin aritmtica de 20 trminos, en la cual elprimer trmino es 5 y el ltimo 100.

r = 1205100

r = 5

3.1.2 Suma de los trminos de una progresin aritmticaLa suma de todos los trminos de una progresin aritmtica, es igual a la semisuma del primery ltimo trmino, multiplicado por el nmero de trminos.

S = nua

2

Ejemplo 3.5: Calcular la suma de todos los trminos de una progresin aritmtica de 9trminos, si el primer trmino es 7 y el ltimo 31.

3Universidad Catlica Loa ngeles

de ChimboteJulio Lezama Vsquez Matemticas Financieras I

Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote/ Sistema blended learning

S = 92317

S = 171

Cuando no se conoce el ltimo trmino se reemplaza este, por su frmula o valor literal.

S = nrnaa

2

1

S = nrna

2

12

Ejemplo 3.6: Una persona deposita en una cuenta de ahorros S/.150 nuevos soles mensuales,con un incremento de S/.30 mensual. De cunto dispondr al trmino de 3 aos?.

S = 362301361502

x

S = 675 x 36S = 24,300

3.1.3 Interpolacin de medios aritmticosLa palabra interpolar que equivale a intercalar, insertar lo cual quiere decir, tratndose denmeros, a situarlos, intercalarlos, entre otros dos. (Vitutor, 2012)Ejemplo 3.7: Supongamos que nos dicen que entre 6 y 10 tenemos que interpolar o intercalar3 trminos y que adems, tanto el 6 como el diez y los tres nmeros que han de estar entreellos, se encuentren en progresin aritmtica.Decimos que son medios porque estn entre otros dos y aritmticos por tratarse deprogresiones aritmticas.De acuerdo al enunciado, entre el valor 6 y el valor 10 se debe interpolar 3 nmeros o mediosaritmticos, la nueva progresin tendr 5 trminos: el primer trmino de valor 6, el ltimotrmino de valor 10 y los tres medios aritmticos:Por lo general, para interpolar medios aritmticos se tiene que calcular la nueva diferencia orazn r.

4Universidad Catlica Loa ngeles

de ChimboteJulio Lezama Vsquez Matemticas Financieras I

Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote/ Sistema blended learning

En la progresin aritmtica de primer trmino 6, ltimo 10 y tres interpolados, en total 5trminos: El primero y el ltimo ms los interpolados, en total n+2 trminos, siendo n elnmero de los interpolados.En la frmula: u = a + (n-1)rTenemos que despejar el valor de r:

r = 1nau

Esta frmula es correcta cuando no tenemos que interpolar, pero para el caso de interpolacinno nos sirve, porque en lugar de n trminos, tenemos n+2.En la frmula para el clculo del valor de r, tendremos que sustituir n por n+2:

r = 12nau

Resultando la nueva frmula

r = 1nau

Con esta ltima frmula podemos determinar la razn o diferencia de la nueva progresin, yvolviendo a nuestro ejemplo:

r = 13610

= 1

La diferencia o razn es 1. Esto quiere decir que la nueva progresin ser:6. 7. 8. 9. 10

En la que tenemos, 3 medios intercalados entre 6 y 10.

Ejemplo 3.8: Halla la r para interpolar 5 medios aritmticos entre 26 y 80.r = 15

2680

r = 9La progresin es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80

Ejemplo 3.9: Interpolar 9 medios aritmticos entre 65 y 165. Y calcular la suma de todos lostrminos de la progresin

4Universidad Catlica Loa ngeles

de ChimboteJulio Lezama Vsquez Matemticas Financieras I

Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote/ Sistema blended learning

En la progresin aritmtica de primer trmino 6, ltimo 10 y tres interpolados, en total 5trminos: El primero y el ltimo ms los interpolados, en total n+2 trminos, siendo n elnmero de los interpolados.En la frmula: u = a + (n-1)rTenemos que despejar el valor de r:

r = 1nau

Esta frmula es correcta cuando no tenemos que interpolar, pero para el caso de interpolacinno nos sirve, porque en lugar de n trminos, tenemos n+2.En la frmula para el clculo del valor de r, tendremos que sustituir n por n+2:

r = 12nau

Resultando la nueva frmula

r = 1nau

Con esta ltima frmula podemos determinar la razn o diferencia de la nueva progresin, yvolviendo a nuestro ejemplo:

r = 13610

= 1

La diferencia o razn es 1. Esto quiere decir que la nueva progresin ser:6. 7. 8. 9. 10

En la que tenemos, 3 medios intercalados entre 6 y 10.

Ejemplo 3.8: Halla la r para interpolar 5 medios aritmticos entre 26 y 80.r = 15

2680

r = 9La progresin es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80

Ejemplo 3.9: Interpolar 9 medios aritmticos entre 65 y 165. Y calcular la suma de todos lostrminos de la progresin

4Universidad Catlica Loa ngeles

de ChimboteJulio Lezama Vsquez Matemticas Financieras I

Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote/ Sistema blended learning

En la progresin aritmtica de primer trmino 6, ltimo 10 y tres interpolados, en total 5trminos: El primero y el ltimo ms los interpolados, en total n+2 trminos, siendo n elnmero de los interpolados.En la frmula: u = a + (n-1)rTenemos que despejar el valor de r:

r = 1nau

Esta frmula es correcta cuando no tenemos que interpolar, pero para el caso de interpolacinno nos sirve, porque en lugar de n trminos, tenemos n+2.En la frmula para el clculo del valor de r, tendremos que sustituir n por n+2:

r = 12nau

Resultando la nueva frmula

r = 1nau

Con esta ltima frmula podemos determinar la razn o diferencia de la nueva progresin, yvolviendo a nuestro ejemplo:

r = 13610

= 1

La diferencia o razn es 1. Esto quiere decir que la nueva progresin ser:6. 7. 8. 9. 10

En la que tenemos, 3 medios intercalados entre 6 y 10.

Ejemplo 3.8: Halla la r para interpolar 5 medios aritmticos entre 26 y 80.r = 15

2680

r = 9La progresin es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80

Ejemplo 3.9: Interpolar 9 medios aritmticos entre 65 y 165. Y calcular la suma de todos lostrminos de la progresin

5Universidad Catlica Loa ngeles

de ChimboteJulio Lezama Vsquez Matemticas Financieras I

Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote/ Sistema blended learning

Para el efecto es preciso calcular previamente el valor de la razn r y la suma de todos lostrminos.

r = 1965165

r = 10

La progresin quedara expresin: 65, 75, 85, 95, 105, 115, 125, 135, 145, 155, 165.

S = 11216565

S = 1265Ejemplo 3.10: Entre 5 y 35 interpolar 5 medios aritmticos y escribir la progresin

r = 155--35-

r = -5

La progresin es: -5,-10,-15,-20,-25,-30.-35

Ejemplo 3.11: Las edades de 11 personas estn en progresin aritmtica y la suma de todasellas es de 561, si la mayor tiene 86 aos, cuntos tiene la ms joven?

11286

a = 561

a = 115612x - 86

a = 16

Ejemplo 3.12: La sucesin: 101 , 5

1 , 103 , 2

1 . . . . . es una progresin aritmtica.Determinar el trmino 15 y la suma de los 50 primeros trminos.El trmino 15 lo determinamos mediante la frmula del ltimo trmino

u = 0.1 + (15-1)0.1u = 1.5

Con la misma frmula determinamos el trmino 50u = 0.1 + (50-1)0.1

6Universidad Catlica Loa ngeles

de ChimboteJulio Lezama Vsquez Matemticas Financieras I

Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote/ Sistema blended learning

u = 5Conociendo el trmino 50 obtenemos la suma de los 50 primeros trminos con aplicacin de lafrmula correspondiente

S = 50251.0

S = 127.50