Material de Clase - IO_Blas Riquelme

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIONFACULTAD DE INGENIERIA

Investigación de Operaciones

Material de Clase

Auxiliar de Cátedra:BLAS RODRIGO RIQUELME PORTILLO

Email: [email protected]. de cel.: (0981) 823-724

Investigación de OperacionesF.I.U.N.A.

CONTENIDO

Introducción.........................................................................................................6

Casos Exitosos...................................................................................................6

Hewlett-Packard............................................................................................6

UPS................................................................................................................7

Schneider National........................................................................................7

Elementos de un modelo de optimización........................................................8

Costos Fijos vs. Costos Variables...................................................................9

Programación Lineal.............................................................................................9

Resolución Grafica de Problemas.....................................................................9

Casos Posibles..............................................................................................11

Modelamiento de Problemas.........................................................................12

Solucion......................................................................................................13

Análisis de Sensibilidad...................................................................................18

Analisis de Excel...........................................................................................19

Analisis de Lindo..........................................................................................20

Análisis de sensibilidad – Significado del Resultado....................................20

Resolución de Problemas................................................................................21

Problema 1..................................................................................................21

Problema 2..................................................................................................22

Problema 3..................................................................................................22

Problema 4..................................................................................................23

Problema 5..................................................................................................23

Problema 6..................................................................................................24

Problema 7..................................................................................................24

Página 1Aux. Blas Riquelme


Problema 8..................................................................................................25

Problema 9..................................................................................................26

Problema 10................................................................................................27

Problema 11................................................................................................28

Problema 12................................................................................................29

Problema 13................................................................................................29

Problema 14................................................................................................30

Problema 15................................................................................................31

Problema 16................................................................................................31

Problema 17................................................................................................32

Problema 18................................................................................................33

Problema 19................................................................................................33

Problema 20................................................................................................34

Problema 21................................................................................................35

Problema 22................................................................................................35

Problema 23................................................................................................36

Problema 24................................................................................................36

Problema 25................................................................................................37

Problema 26................................................................................................37

Problema 27................................................................................................38

Problema 28................................................................................................38

Programación Dinámica.....................................................................................40

Introducción....................................................................................................40

Características.............................................................................................40

Metodología...................................................................................................41

Ejemplo – El Viajero.....................................................................................41



Resolucion de Problemas................................................................................46

Problema 1..................................................................................................46

Problema 2..................................................................................................46

Problema 3..................................................................................................47

Problema 4..................................................................................................48

Problema 5..................................................................................................48

Problema 6..................................................................................................48

Problema 7..................................................................................................49

Problema 8..................................................................................................49

Problema 9..................................................................................................50

Problema 10................................................................................................50

Problema 11................................................................................................51

Problema 12................................................................................................52

Teoría de Juegos................................................................................................54

Introducción....................................................................................................54

Estrategias Dominadas....................................................................................54

Criterio Minimax o Maximin...........................................................................56

Juego de Estrategias Mixtas............................................................................57

Procedimiento de Solución Grafico.............................................................58

Procedimiento Analítico..............................................................................59


Problema 1..................................................................................................60

Problema 2..................................................................................................61

Problema 3..................................................................................................61

Problema 4..................................................................................................61

Problema 5..................................................................................................62



Problema 6..................................................................................................63

Análisis de Decisiones........................................................................................64


Problema 1..................................................................................................69

Problema 2..................................................................................................70

Problema 3..................................................................................................71

Problema 4..................................................................................................71

Soluciones..........................................................................................................73

Programación Lineal.......................................................................................73

Problema 1..................................................................................................73

Problema 2..................................................................................................73

Problema 3..................................................................................................74

Problema 4..................................................................................................75

Problema 5..................................................................................................76

Problema 6..................................................................................................77

Problema 7..................................................................................................77

Problema 8..................................................................................................78

Problema 9..................................................................................................80

Problema 10................................................................................................80

Problema 11................................................................................................81

Problema 12................................................................................................82

Problema 13................................................................................................82

Problema 14................................................................................................82

Problema 15................................................................................................83

Problema 16................................................................................................84

Problema 17................................................................................................85



Problema 18................................................................................................85

Problema 19................................................................................................86

Problema 20................................................................................................87

Problema 21................................................................................................88

Problema 22................................................................................................88

Problema 23................................................................................................89

Problema 24................................................................................................90

Problema 25................................................................................................91

Problema 26................................................................................................92

Problema 27................................................................................................92

Problema 28................................................................................................94

Programación DInámica.....................................¡Error! Marcador no definido.

Programación DInámica.....................................¡Error! Marcador no definido.

Teoría de Juegos.............................................................................................95

Análisis de Decisiones...................................................................................111

Bibliografía.......................................................................................................111



INTRODUCCIÓN

El principal objetivo de esta área de conocimientos consiste en formular y resolver diversos problemas orientados a la toma de decisiones.

La naturaleza de los problemas abordados puede ser determinística, como en los Modelos de Programación Matemática, donde la teoría de probabilidades no es necesaria, o bien de problemas donde la presencia de incertidumbre tiene un rol preponderante, como en los Modelos Probabilísticos.

La investigación de operaciones soporta un conjunto de decisiones tácticas y estrategias relacionadas con los procesos productivos en las organizaciones, entre las cuales se pueden enumerar las siguientes:

• Logística: Capacidad, localización y distribución de productos y servicios.

• Coordinación de la cadena de suministro interna y externa

• Pronósticos de demanda

• Gestión de inventarios

• Planeación de requerimientos de materiales

• Programación de la producción y asignación de recursos

• Gestión de proyectos

CASOS EXITOSOS

HEWLETT-PACKARD

Hewlett-Packard utiliza ampliamente las tecnologías de investigación de operaciones a través de su cadena de valor. A través de la asociación estratégica entre Hewlett-Packard de Planificación, el grupo de Modelado y las divisiones de negocio, Hewlett-Packard ha difundido innovadores modelos en toda la organización. Estos modelos rigurosos y métodos de análisis han salvado a Hewlett-Packard y sus socios de la cadena de suministro cientos de millones de dólares al mismo tiempo que aumenta la ventaja competitiva de la empresa. Más allá de los logros en los negocios, Hewlett-Packard ha compartido su modelado liderazgo de ideas e historias de éxito con la aplicación de la industria.

Hewlett-Packard ocupa el puesto 14 en la lista Fortune 500.



UPS

Durante más de 50 años, las técnicas de investigación de operaciones han contribuido a un crecimiento exitoso de UPS una compañía de 39 mil millones de dólares. UPS utiliza la investigación de operaciones para estructurar su organización de 360.000 personas, 1.800 instalaciones, 90.000 vehículos y 580 aviones, para facilitar las decisiones diarias que garantizan la pronta entrega de millones de paquetes cada día. La gestión de toma de decisiones en UPS está vinculada con la Investigación de operaciones, que se han extendido desde el personal de investigación de operaciones a todos los administradores en todos los niveles. UPS ha ido más allá de la aplicación de las tecnologías de investigación de operaciones existentes al desarrollo de las investigaciones propias, que han ayudado al desarrollo de la investigación de operaciones. Que a la vez que proporciona ahorros de muchos costos, investigación de operaciones es un eje estratégico y una fuente importante de ventaja competitiva para UPS.

UPS ocupa el puesto 43 en la lista Fortune 500

SCHNEIDER NATIONAL

Los altos ejecutivos de Schneider National apreciar la ventaja competitiva que hace un análisis cuantitativo de una organización. Piden a sus equipos de investigación de operaciones hacer frente a retos difíciles en toda la empresa. El modelo de negocio desarrollado por el Grupo para el éxito, está basado en los resultados dirigidos, que se integran a los objetivos estratégicos de la compañía, y demuestra una trayectoria consistente de contribuciones impresionantes a la línea de fondo. La Investigación de Operaciones ha sido una parte importante que contribuye al negocio de Schneider por más de 25 años, la mejora de las aplicaciones en el envío y la planificación de la distribución, la gestión de ingresos, dedicado a la gestión de la flota, y apoyo a las decisiones operativas. Estas aplicaciones mejorar las ganancias anuales de Schneider por más de 10 millones de dólares y son un gran ejemplo de la integración en la toma de decisiones de la empresa.

Schneider National, Inc. es un proveedor de servicios de logística de cargas completas e intermodales. Sirviendo a más de dos tercios de las compañías Fortune 500, Schneider National ofrece un amplio portafolio de servicios. La empresa de transporte y soluciones de logística incluyen unidireccional, intermodal, gestión de transporte, y dedicado a granel.



ELEMENTOS DE UN MODELO DE OPTIMIZACIÓN.

Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos finales. Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo).

Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la máxima utilidad, dado un beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20 por cada mesa fabricada.

Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que respetan las restricciones del número de piezas disponibles, son por ejemplo, fabricar:

• 4 sillas, que reportan una utilidad de U$60

• 1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55

• 3 mesas, utilidad de U$60

• 1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65

• 2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70

• etc.

Un modelo matemático para hallar la mejor solución factible a este problema tiene tres componentes básicas:

1. Las variables de decisión , que consiste en definir cuáles son las decisiones que se debe tomar.

En el ejemplo,

x: número de sillas elaboradas.

y: número de mesas elaboradas

2. La función objetivo del problema, que permita tener un criterio para decidir entre todas las soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la utilidad dada por:

Z = f(X,Y) = 15X + 20Y3. Restricciones del problema , que consiste en definir un conjunto de

ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de



decisión a aquellos considerados como factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezas para la fabricación de sillas y mesas:

Piezas pequeñas: 2X + 2Y 8

Piezas grandes: X + 2Y 6

También se impone restricciones de no – negatividad:

X,Y 0

En resumen:

Max 15x + 20y

sa: 2x + 2y 8

x + 2y 6

x,y 0

El ejemplo corresponde a un modelo de Programación Lineal. Si además restringimos los valores de x e y a números enteros, tendríamos un modelo de Programación Entera.

COSTOS FIJOS VS. COSTOS VARIABLES.

Los costos fijos no intervienen en la optimización. Sólo son relevantes los Costos Variables en los modelos de Optimización

PROGRAMACIÓN LINEAL

RESOLUCIÓN GRAFICA DE PROBLEMAS.

Consideremos el siguiente problema a resolver gráficamente:

Max z = 3x1 + 5x2

sa: x1 ≤ 4

2x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 18

x1,x2 ≥ 0



En primer lugar, se debe obtener la región de puntos factibles en el plano, obtenida por medio de la intersección de todos los semi - espacios que determinan cada una de las inecuaciones presentes en las restricciones del problema.

Enseguida, con el desplazamiento de las curvas de nivel de la función objetivo en la dirección de crecimiento de la función (que corresponde a la dirección del vector gradiente de la función, z(x1,x2) = (3,5)T), se obtiene la solución óptima del problema en la intersección de las rectas: 2x2 = 12 y 3x1+2x2 = 18 (restricciones activas). Esto es:

x1 = 2 x2

= 6

z = 3 x1 + 5 x2 = 36

Z(0,0)= 0 Z(4,3)= 27 Z(0,6)= 30 Z(4,0)= 12

Z(2,6)= 36

x* Solución OptimaZ(2,6)= 36



CASOS POSIBLES

Notar que se pueden dar otras situaciones en la búsqueda de una solución óptima para esta clase de problemas:

1) La solución óptima exista pero haya más de una. En el ejemplo, considere la nueva función objetivo:

z = 6x1+4x2

2) El problema no tenga solución, dada una región de puntos factibles no - acotada. En el ejemplo, reemplace todas las desigualdad por una .

3) El problema no tenga solución, porque no existen puntos factibles. En el ejemplo, suponga que agregamos la restricción: x1 5.



RESTRICCIONES REDUNDANTES: son aquellas que son limitaciones del problemas pero que ya estas contenidas dentro de otra restricción. No forman parte del área de soluciones factibles.

MODELAMIENTO DE PROBLEMAS.

PROBLEMA DE LA DIETA:

Este consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer ciertos requerimientos nutricionales.

Supongamos que se tiene la siguiente información:



Leche(galón)

Legumbre(1 porción)

Naranjas(unidad)

RequerimientosNutricionales

Niacina 3,2 4,9 0,8 13

Tianina 1,12 1,3 0,19 15

Vitamina C 32 0 93 45

Costo 2 0,2 0,25

SOLUCION

VARIABLES DE DECISIÓN:

x1 : galones de leche utilizados en la dieta.

x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta.

x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta.

FUNCIÓN OBJETIVO:

Minimizar el costo total de la dieta, dado por:

2 x1 + 0.2 x2 + 0.25 x3

RESTRICCIONES DEL PROBLEMA:

Requerimientos mínimos de los nutrientes considerados:

3.2 x1 + 4.9 x2 + 0.8 x3 13

1.12 x1 + 1.3 x2 + 0.19 x3 15

32 x1 + + 93 x3 45

No negatividad de las variables:

x1 0 ; x2 0 ; x3 0

Dado que el programa de la cátedra abarca hasta el modelamiento de los problemas, los resolveremos utilizando software como el solver (Complemento de Excel), lindo entre otros.

Se debe tener en cuenta que para la resolución por cualquier software, para que el mismo pueda generar el análisis de sensibilidad, todas las variables de los problemas deben estar al lado izquierdo de las ecuaciones definidas para la resolución del problema y todas las constantes deben estar a la derecha de las ecuaciones.



Solver

A continuación se muestra cómo se resuelve el modelo del ejemplo anterior con solver.

Las fórmulas de Excel utilizadas para este caso son las siguientes.

Para el caso del ejemplo se utilizó la fórmula del Excel “sumaproducto”, que resumiendo es la multiplicación de dos vectores, con lo que para este caso definimos las restricciones, siendo el primer vector las variables del problema y el segundo vector los valores de los requerimientos nutricionales. De la misma forma se define la función objetivo.

Una vez cargado todo el modelo en una hoja de cálculo, pasamos al Solver en donde tenemos una ventana en donde cargamos todos los datos como se muestra en la figura.



Para cargar las restricciones, le damos un click en agregar y se nos va a desplegar la siguiente ventana.

En donde el espacio de la izquierda es para cargar como ya lo había mencionado anterior mente, la celda que contiene todas las variables de las restricción que estamos cargando y el en el lado derecho se carga la constante que limita dicha restricción. La carga de restricciones se puede realizar de dos formas, la primera como ya se explico es cargando una a una todas las restricciones y la otra es cargando las restricciones en forma de vectores donde en el lado izquierdo tendremos el vector que define las variables de cada restricción y del lado derecho las constantes que definen cada una de esas restricciones. Así como se puede ver en la siguiente figura.

Además también es en esta área en donde se deben definir las variables, en caso de que no sean continuas (binarias o enteras), cargando dicha variable en la parte

RESTRICCIONES

VARIABLES

FUNCIÓN OBJETIVO



derecha y se define su característica en el menú que se encuentre en el centro del recuadro en la ventana de carga de restricciones, donde también se encuentran los signos que definen nuestras restricciones.

Una vez definido todo el modelo en Solver, antes de poder resolver debemos definir además que tipo de modelo cargamos, para eso en la ventana de parámetros del Solver le damos un click a opciones en donde se nos va a desplegar la siguiente ventana.

Por defecto en esta ventana no estarán marcadas las opciones “adoptar modelo lineal” y Adoptar no negativos”, estas dos opciones deben ser seleccionadas para poder resolver el problema.

Una vez hecho esto podemos resolver el problema y tenemos el siguiente resultado.

Como se puede apreciar, al no definir las variables como enteras, se tiene que el resultado óptimo para este problema es la compra de:

Leche: 0

Legumbres: 11,47



Naranja: 0,48

Lindo

Para pasamos a ver cómo resolver el mismo problema mediante otro software, Lindo es un software gratuito, que se puede descargar de www.lindo.com. La resolución de problemas de optimización es más simple. Como se puede ver en la siguiente figura.

Una vez que abrimos una nueva hoja. Los pasos para cargar el modelo de programación lineal son:

1. Para cargar las ecuaciones se deben escribir primero la constante por la que va multiplicada la variable, luego de seguido sin ningún signo la variable y a continuación de la variable el índice de la variable como se muestra a continuación.

2. En el primer renglón va la función objetivo, primero de ir la palabra min o máx., dependiendo de lo que se busca optimizar y luego separado por un espacio va la función objetivo.

3. En el siguiente renglón, luego escribir la función objetivo se escribe “st” (“such that”), traducido “para que” se cumplan la siguientes restricciones, y se pasa al siguiente renglón.

4. Se cargan todas las restricciones una debajo de la otra.

5. Una vez cargadas las restricciones en el siguiente renglón se escribe “end”.

6. De haber variables enteras o binarias, estas deben ser definidas debajo del modelo, es decir, un renglón por debajo de la palabra “end”. Se debe tener en cuenta que para definir variables, las mismas deben formas parte de la

Variable

Índice de la variableCte.

34x11+54x12+…

Max 4x11+5x12+…


http://www.lindo.com/


función objetivo, si dichas variables no forman parte de la función objetivo, deben ser agregadas a la misma y deben estar multiplicadas por cero. Ya que se hace referencia al lugar que ocupan en la función objetivo para que el software pueda identificar la variable en cuestión. Así como se muestra a continuación.

GIN [Var o #] variable entera

INT [Var o #] variable binaria

Es decir, el tipo de variable, un espacio y luego la variable o la cantidad de variables de la Función Objetivo que se quieren definir como entera o binaria dependiendo del caso, contando desde la izquierda.

Ambas formas definen las variables como enteras, ya depende de la cantidad de variables que se necesiten definir y del criterio de cada uno.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

Bajo que variaciones de los parámetros la solución óptima mantiene sus características?

Se suelen estudiar principalmente los coeficientes de la función objetivo y las constantes de las restricciones. El interés fundamental de esto es que muchas veces los parámetros de un modelo pueden contener errores numéricos provenientes de su medición.

Dado esto, es importante saber si estos errores pueden afectar mucho la solución.

Tomaremos de ejemplo el ejercicio anterior y generaremos los análisis de Excel y Lindo.

Min 2 x1 + 0.2 x2 + 0.25 x3

Rest: 3.2 x1 + 4.9 x2 + 0.8 x3 13

Max 4x11+5x12+…St…..EndGIN 2o GIN x11GIN x12



1.12 x1 + 1.3 x2 + 0.19 x3 15

32 x1 + + 93 x3 45

x1 0 ; x2 0 ; x3 0

ANALISIS DE EXCEL

ANALISIS DE LINDO



ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD – SIGNIFICADO DEL RESULTADO

DIVERGENCIA (SLACK OR SURPLUS):

Holgura, indica a que distancia se encuentra la solución óptima de sus límites.

GRADIENTE REDUCIDO (REDUCE COST):

Es la perdida debida a la producción de algo innecesario. Solo tiene sentido cuando el valor de la variable es 0.

SOMBRA PRECIO (DUAL PRICE):

No tiene valor al haber holgura, indica en cuanto va a aumentar/disminuir el valor de la función objetivo al aumentar/disminuir el lado derecho (constante) en 1 unidad.

OBJ COEFICIENT RANGES (LINDO):

Indica las variaciones máximas y mininas que puede tomar los coeficientes de las variables de la función objetivo sin cambiar la solución base.

RESTRICCIÓN LADO DERECHO (RHS RANGE):



Indica en cuanto puede variar las constantes para que no cambie la forma del polígono de soluciones, que lleva a una variación de la solución base.

REFERENCIAS

Solución Base: Es el vértice de la región de puntos factibles que lleva a la función objetivo a su valor óptimo.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

PROBLEMA 1

MENÚ PARA UN HOSPITAL

Un hospital está tratando de determinar el nro. de comidas que contengan carne de pescado, pollo y res, que se debe servir durante el mes que viene. El hospital necesita comida para cada uno de los 30 días, con la condición de que el número mínimo de cada tipo de comida por mes sea de 6. Las comidas de carne de pescado cuestan 2.5 $ c/u, las de pollo 2 $ c/u y las de res 3 $ c/u. En la tabla de abajo se resumen las unidades de proteínas, vitaminas, calorías y los puntos asignados por el sabor de cada una de ellas. También se incluye las unidades mínimas de proteína y vitaminas requeridas al mes. La máxima cantidad de calorías permitidas al mes y el puntaje mínimo de sabor requerido al mes.

Tipo de comida

Unid. de proteínas

Unid. de vitamina

Unid. de calorías

Ptos. de sabor

Costo

Pescado 280 9 100 10 2,50 $Pollo 250 8 250 15 2,00 $Res 300 12 800 18 3,00 $ Total 8.000 280 15.000 350

Formular un modelo que permita definir cuantas comidas de c/tipo debe planear el hospital por mes a fin de minimizar el costo total.



PROBLEMA 2

Supongamos que una fábrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente información:

Periodos

Demandas(unidades)

Costo Prod.(US$/unidad)

Costo de Inventario(US$/unidad)

1 130 6 2

2 80 4 1

3 125 8 2.5

4 195 9 3

Supuestos adicionales:

1) Existe un inventario inicial de 15 unidades.

2) No se acepta demanda pendiente o faltante (es decir, se debe satisfacer toda la demanda del periodo).

PROBLEMA 3

PRODUCCIÓN

Considere el problema de programación de la producción de un producto para las 4 siguientes semanas. El costo de la producción de una unidad es de 100 $ para las 2 primeras semanas y de 150 $ para las siguientes 2 semanas. Las demandas semanales son: 7, 8, 9, 10 unidades y tienen que ser satisfechas. La planta puede producir un máximo de 9 unidades por semana, se pueden utilizar horas extras en la 3ra y 4ta semana. Esto incrementa la producción semanal en 2 unidades con un costo adicional de 58 $ por cada unidad producida en horas extras. El exceso de producción puede ser almacenado a un costo de 3$ por unidad por semana.

Como programar la producción de manera a minimizar los costos.



PROBLEMA 4

La estimación de la demanda de cierto producto fabricado en una planta industrial para el próximo año es la siguiente:

1er trimestre: 10000 unidades

2do trimestre: 20000 unidades

3er trimestre: 25000 unidades

4to trimestre: 15000 unidades

Se contara con 3000 unidades en el almacén al inicio del siguiente año. Se desea contar con un inventario de 2500 unidades al final del mismo. La producción durante el último trimestre del presente año será de 12000 unidades. Si el costo del aumento de la producción es de 20 $ por unidad, el costo de la disminución de la producción es de 5$ y el costo del almacenamiento es de 10$ por unidad. ¿Que cantidad debería producirse en cada trimestre para minimizar los costos?

PROBLEMA 5

PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS

Una refinería produce 4 tipos de gasolina (gas 1, gas 2, gas 3 y gas 4). Dos características importantes de cada gasolina son su número de performance (NP) y su presión de vapor (RVP), que están dados por:

NP RVP Barriles diarios

gas 1 107 5 3814

gas 2 93 8 2666

gas 3 87 4 4016

gas 4 108 21 1300

Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente a un precio de $24,83 por barril o bien mezcladas para obtener gasolinas de aviación (avgas A y avgas B). La calidad de estas dos últimas junto con sus precios de venta son:

NP RVP Precio por barril (US$)

Avgas A Al menos 100 A lo más 7 26,45



Avgas B Al menos 91 A lo más 6 25,91

El NP y RVP de cada mezcla es un promedio de los respectivos NP y RVP de las gasolinas empleadas.

Se desea obtener un plan de venta de las distintas gasolinas que maximice los retornos.

PROBLEMA 6

PRODUCCIÓN

Un fabricante deberá atender 4 pedidos de producción, A, B, C y D, en este mes. Cada trabajo puede ser llevado a cabo en cualquiera de los 3 talleres. El tiempo requerido para terminar cada trabajo en cada uno de esos talleres, el costo por hora y la cantidad por horas disponibles, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendrá cada taller durante este mes aparece en la siguiente tabla. También existe la posibilidad de dividir cada uno de los trabajos en los distintos talleres, en cualquier proporción que se desee. Por ejemplo, una cuarta parte del trabajo A puede hacerse en 8 horas en el taller 1 y una 3ra parte del trabajo C se puede hacer en 19 horas en el taller 3. El fabricante desea determinar la cantidad de horas de trabajo que deberá realizarse en cada taller, para minimizar el costo de la terminación de los 4 trabajos.

TallerTiempo Requerido Hrs Costo por

hora de taller ($)

Tiempo de taller disponible (hrs)A B C D

1 32 151 72 118 89 160

2 39 147 61 126 81 160

3 46 155 57 121 84 160

PROBLEMA 7

La Jilo Manufacturing Company está considerando la fabricación de una nueva linea de productos, compuesta de cuatro productos. Cada producto puede fabricarse con dos métodos diferentes y completamente distintos, uno de los cuales consta de dos procesos y el otro de tres. Se fabricaran basándose en un segundo turno. El precio de venta de esos productos y sus costos variables, así como las cantidades que probablemente puedan venderse, de acuerdo al grupo de investigación de mercadotecnia, son los siguientes:

Producto1 2 3 4



Precio de venta 100 150 125 140Costos variables- método A 80 135 120 135Costos variables- método B 110 150 100 110Cantidad que puede venderse 1000 3000 4000 6000

La sección de manufactura ha determinado que los precios de manufactura son los siguientes:

Producto Horas disponibles

al mes1 2 3 4

MÉTODO A Dpto 21 3.0 3.6 2.0 3.5 15000 Dpto 22 9.0 10.0 8.0 9.0 50000 Dpto 23 1.0 1.0 0.5 0.5 8000

MÉTODO B Dpto 31 4.0 4.0 2.0 4.0 10000 Dpto 32 5.0 8.0 4.0 3.0 10000

Formule un modelo de programación lineal que maximice la contribución total mensual

PROBLEMA 8

Bumles Inc. Utiliza parte de la capacidad de su producción en su planta de Sudamérica para fabricar teteras pintadas a mano. Cada tetera requerirá 0.5 hrs. de trabajo de un pintor. Bumles tiene 30 pintores disponibles. La planta se usa para fabricar teteras el jueves, viernes y sábados de cada semana. El resto de la semana, la capacidad productiva se destina a otra línea de productos. No siempre participan los 30 pintores, pero cada uno de los que interviene está disponible a trabajar cualquier fracción de la jornada laboral de 8 hrs. Al día y 2 días a la semana. Un pintor puede ser asignado a cualquier programa de 2 días y se le pagan por 16 hrs. de trabajo regular, sin importar que fracción de este tiempo se dedique realmente a la producción de teteras. Si no hay suficiente producción para tenerlos ocupados durante todo el día a todos los trabajadores asignados a dicha tareas, el resto del tiempo se dedicara a la limpieza de la fábrica y otras tareas similares.

Si no se toman en cuenta los costos de mano de obra, el ingreso neto (después de descontar otros costos) por le venta de una tetera es de 15 $. La demanda debe satisfacerse el día que se presenta o se perderá. A causa del cambio en las operaciones de la planta para fabricar estatuas pintadas a mano en el resto de la semana, todas las teteras fabricadas en el transcurso de la semana deben ser embarcadas en el curso de la misma. En virtud del aumento de los costos de manejo, cuesta 0.5 $ mantener una tetera en inventario final desde un día hasta el día siguiente. Una unidad no vendida se transmite en un costo de penalización total de 1 $ por unidad los jueves, 3 $ los viernes



y 5 $ los sábados. A los pintores se les paga 8 $ por hora de trabajo. La demanda semanal de las teteras es de 100 los jueves, 300 los viernes y 600 los sábados.

PROBLEMA 9

PUNTO DE EQUILIBRIO RESTRINGIDO

Longer Boats Yacht Company produce 3 modelos de lancha de alto desempeño para competición. Estos 3 modelos se llaman Sting, Ray y Breaker. La información acerca de ingresos y costos para el próximo perdido aparecen en la tabla.

Como puede observar en esta información, el costo fijo de cada una de estas actividades es considerable. Costo fijo es un costo estático que se tiene que pagar, independientemente de la cantidad que se vaya a producir. Por tanto, se pagara el mismo costo fijo de 3.000.000 $, en el caso de los Ray, sin importar la cantidad producida. Los elevados costos fijos incluyen el costo de la modificación de los diseños, la reconstrucción de los moldes y las pruebas de los yates en un estanque.

En la figura se muestra un análisis de punto de equilibrio correspondiente al modelo Sting. Vemos que si produjera solamente unidades del modelo Sting. Tendría que producir por lo menos 1.000 lanchas para poder alcanzar el punto de equilibrio.

Sin embargo el problema de Longer Boats es más complicado. Por principio de cuentas, para el siguiente periodo de planeación, la administración ya ha firmado un contrato para producir 700 Sting. Otro cliente ha solicitado 400 Breaker, solicitud que la administración quiere cumplir. Los estudios de mercado de Longer Boats han convencido a la dirección de que se deben fabricar a lo sumo 300 Ray. La gerencia todavía está interesada en saber cuánto tiene que vender para llegar al punto de equilibrio, pero ahora existen 3 productos, además de compromisos previos, o restricciones, que será preciso tomar en consideración. Partiendo de los principios básicos, la gerencia ha observado que, para alcanzar el punto de equilibrio, deberá cumplirse la condición

INGRESO TOTAL = COSTO TOTAL

Información de Longer Boats

Lancha Precio de Venta por unidad ($)

Costo Variable por Unidad ($)

Costo Fijo ($)

Sting 10.000 5.000 5.000.000

Ray 7.500 3.600 3.000.000

Breaker 15.000 8.000 10.000.000



Por el hecho de que Longer Boats es una compañía relativamente nueva y ahora está teniendo unos problemas de flujo de efectivo asociados a su rápido crecimiento, la administración desea minimizar el flujo de salida de capital. Por necesidad se deberán incurrir en su totalidad los costos fijos y, en consecuencia, la meta se convertirá en minimizar los costos variables totales.

Determinar el plan de producción que tenga el menor costo variable, que cumpla con todas las restricciones y que produzca un ingreso total igual al costo total.

PROBLEMA 10

PROGRAMACIÓN DE LAS FUERZAS DE SEGURIDAD

Un administrador de personal debe programar las fuerzas de seguridad, de manera que se satisfagan los requisitos de personal de guardia indicados en la tabla 1

Tabla 1 Requerimiento de personal de guardia de seguridad

Hora Cantidad Mínima Requerida de Oficiales

Medianoche – 4:00 a.m. 5

4:00 a.m. - 8:00 a.m. 7

8:00 a.m. - Mediodía 15

Mediodía – 4:00 p.m. 7

4:00 p.m. - 8:00 p.m. 12

8:00 p.m. - Medianoche 9

Función Ingreso Total

$

Cantidad de lanchas

Función Costo Total

5, 000,000

1,000

PUNTO DE EQUILIBRIO



Tabla 2 Programa de turnos

Turno Hora de Inicio Hora de terminación

1 Medianoche 8:00 a.m.

2 4:00 a.m. Mediodía

3 8:00 a.m. 4:00 p.m.

4 Mediodía 8:00 p.m.

5 4:00 p.m. Medianoche

6 8:00 p.m. 4:00 a.m.

Los oficiales trabajan por turnos de 8 hrs. Cada día hay 6 de esos turnos. La hora de inicio y final de cada turno aparece en la tabla 2.

Determinar la cantidad de oficiales que deberán de trabajar en cada turno, de manera que se logre minimizar el número de oficiales empleados, pero sin dejar de satisfacer los requerimientos correspondientes a los turnos de guardia.

PROBLEMA 11

Union Airways va a agregar vuelos desde y hacia su aeropuerto base, y por lo tanto necesita contratar más agentes de servicio al cliente. Sin embargo, no está claro cuantos más debe contratar.

La administración reconoce la necesidad de controlar el costo y al mismo tiempo brindar un nivel de atención satisfactorio

Se ha realizado un análisis del número mínimo de agentes de servicio que deben encontrarse de guardia en diferentes momentos del día para proporcionar un nivel satisfactorio de servicio

PeriodoPeriodos Cubiertos Número mínimo

de agentes necesarios

Turnos1 2 3 4 5

6:00 a 8:00 √ 488:00 a 10:00 √ √ 79

10:00 a 12:00 √ √ 6512:00 a 14:00 √ √ √ 8714:00 a 16:00 √ √ 6416:00 a 18:00 √ √ 7318:00 a 20:00 √ √ 8220:00 a 22:00 √ 4322:00 a 24:00 √ √ 5224:00 a 6:00 √ 15

Costo Diario 170 160 175 180 195



por agente

Se ha acordado que cada agente trabaje un turno de 8 horas, 5 días a la semana en los turnos mostrados en la tabla anterior.

Los salarios de cada turno son diferentes debido a que unos son más deseables que otros.

La compañía debe determinar cuántos agentes deben asignarse a los turnos respectivos cada día para minimizar el costo total del personal, debido a los agentes, según el último renglón de la tabla anterior. Los requerimientos mínimos de servicio deben cumplirse obligatoriamente, pero pueden sobrepasarse.

PROBLEMA 12

Cierta compañía está dentro del negocio de comercialización del maíz, compra y vende maíz en efectivo. Posee una bodega con capacidad para 20.000 búshels. El 1º de enero espera tener un inventario inicial de 10.000 búshels de maíz y 200.000 $ en caja. El precio estimado del maíz por búshels para el primer trimestre es el siguiente:

MES Precio de Compra $ Precio de Venta $

Enero 2,85 3,10

Febrero 3,05 3,25

Marzo 2,09 2,95

El maíz es entregado en el mes de compra y no puede ser vendido hasta el mes siguiente. La compra y venta se hace estrictamente al contado sobre la entrega. La compañía desea tener un inventario final de 20.000 búshels al terminar el trimestre. La gerencia pide al encargado de compra y venta un programa que maximice el retorno neto total hasta el tercer mes del periodo.

PROBLEMA 13

PLANIFICACIÓN DE CARTERA

Una compañía de inversores tiene actualmente $ 10 millones disponibles para la inversión. La que se ha trazado es maximizar la retribución esperada durante el siguiente año. Sus 4 posibilidades de inversión se encuentran resumidas en la siguiente tabla. Además, la compañía ha especificado que cuando menos 30% de los fondos tendrán que colocarse en acciones ordinarias y bonos de Tesorería y no más del 40% del mismo deberá invertirse en fondos de mercado y títulos municipales. Se invertirá la totalidad de los $ 10 millones actualmente a la mano. Formule un modelo que indique a la empresa cuanto debe invertir en cada instrumento.



Posibilidad de inversión

Retribución esperada (%)

Inversión máxima (Millones de $)

Bonos de Tesorería 8 5

Acciones Ordinarias 6 7

Mercado de Dinero 12 2

Títulos municipales 9 4

PROBLEMA 14

PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN FINANCIERA

Supongamos que un banco dispone de $250 millones para destinar a 4 tipo de créditos ofrecidos, los cuales tienen las siguientes, tasas de crédito:

• Primer crédito corriente :12%

• Segundo crédito corriente :16%

• Crédito para el hogar :16%

• Crédito personal :10%

La asignación de estos créditos, debe satisfacer la siguiente política utilizada por la institución:

El monto asignado a los PCC, debe ser al menos, el 55% del monto asignado a los créditos corrientes, y al menos un 25% del total del dinero prestado.

El SCC, no puede exceder el 30% del total del dinero prestado, por políticas tributarias el interés recibido por el banco no debe exceder a un retorno del 14% sobre el capital prestado.

¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la manera más eficiente, respetando la política del banco?



PROBLEMA 15

TRANSPORTE

Una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 450 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son:

C. Dist. 1 C. Dist.2 C. Dist.3

Planta 1 21 25 15

Planta 2 28 13 19

Elaborar un modelo matemático de programación lineal que minimice los costos de trasporte.

PROBLEMA 16

TRANSPORTE

PROTRAC tiene 4 plantas de montaje en Europa. Estas se encuentran Alemania (1), Francia (2), Belgica (3), Paisas Bajos (4). Los motores empleados por estas plantas se fabrican en los Estados Unidos, se embarcan a los puertos de Ámsterdam (A), Amberes (B) y El Havre (C) y de ahí se transportan a las planta para su ensamblado.

Se han preparado los planes de producción del tercer trimestre, julio a septiembre. Los requerimientos de motores diesel aparecen en la tabla 1.

Las cantidades de motores diesel disponibles para el tercer trimestre en cada puerto se muestran en la tabla 2

PROTRAC tiene que decidir cuántos motores debe enviar desde cada puerto hasta cada planta. Los motores serán transportados por un transportista común y los costos correspondientes se cobraran por motor.

Tabla 1 Demanda de Motores DieselPlanta Cantidad de Motores

Requeridos(1) Alemania 400(2) Francia 900(3) Belgica 200(4) Países Bajos 500TOTAL 2.000



Tabla 2 Oferta de Motores DieselPlanta Cantidad de Motores

Requeridos(A) Ámsterdam 500(B) Amberes 700(C) El Havre 800TOTAL 2000

Tabla 3 Costo de transportación de un motor desde un origen hasta un destino ($)

del origenAl destino

(1) Alemania (2) Francia (3) Belgica (4) Países Bajos(A) Ámsterdam 120 130 41 62(B) Amberes 61 40 100 110(C) El Havre 102,50 90 122 42

PROBLEMA 17

ASIGNACIÓN

La JOB SHOP company compro tres máquinas nuevas de diferentes tipos. Existen 4 tipos disponibles dentro del taller en donde se podría instalar 1 maquina. Algunos puestos son más adecuados que otros para ciertas maquinas por su cercanía a los puestos de trabajo que tendrían un intenso flujo de trabajo hacia y desde estas máquinas. Por lo tanto el objetivo es asignar las nuevas máquinas a lugares disponibles de manera que se minimice el costo total del manejo de materiales. En la tabla se proporciona el costo estimado por unidad de tiempo del manejo de los materiales en cuestión, con cada una de las maquinas en los sitios respectivos.

Localidad1 2 3 4

Maquinas1 13 16 12 112 15 - 13 203 5 7 10 6



PROBLEMA 18

NADADOR

En la siguiente tabla se muestran los tiempos en los diferentes estilos de nado que posee cada miembro del equipo de natación de la facultad. La competencia consiste en 4 carreras, todas con estilos diferentes. Realice un modelo matemático que permita asignar a los nadadores de manera a minimizar el tiempo total del equipo.

TIEMPO (seg)

Nadadores Libre

Pecho Espalda Mariposa

1 11 13 17 15

2 12 14 15 14

3 13 18 16 17

4 12 16 15 14

5 10 11 14 16

PROBLEMA 19

TRANSBORDO

Una empresa fabrica el mismo nuevo producto en 2 fábricas y después lo mandara a 2 almacenes. La fabrica 1 puede enviar una cantidad ilimitada solo al almacén 1 mientras que la fabrica 2 puede enviar una cantidad ilimitada solo al almacén 2. Sin embargo se pueden usar 2 camiones de carga independientes para enviar hasta 50 unidades hasta el centro de distribución desde el que se pueden enviar hasta 50 unidades a cada almacén. En la siguiente tabla se muestra el costo unitario de embarque para cada alternativa junto con las cantidades que se producirán en cada fábrica, y las cantidades que se necesitan en cada almacén.

Costo unitario de embarqueProducciónCentro de

DistribuciónAlmacén

1 2Fabrica 1 3 7 80Fabrica 2 4 9 70Centro de

Distribución2 4

Asignación 60 90



Formule un modelo de programación lineal para este problema, con el objetivo de minimizar los costos de embarque.

PROBLEMA 20

METAS

La compañía Aedis ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas sucursales existentes: Cada producto puede fabricarse en cualquiera de las tres plantas. El análisis ha demostrado que sería rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos tres nuevos productos.

Además, la gerencia desearía balancear la utilización del exceso de capacidad entre las sucursales. Esto serviría para distribuir equitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los agravios de la fuerza laboral que se le paga por horas, que de otra manera se sentiría discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos.

Para el período que es está considerando, las plantas tienen las siguientes capacidades de producción en exceso (en términos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asignadas a los nuevos productos:

PLANTACAPACIDAD DE EXCESO

DE PRODUCCIÓN (UNIDADES)

CAPACIDAD DE EMBARQUES (PIES

CÚBICOS)

1 750 12000

2 300 10000

3 450 6500

Los productos 1,2 y 3 requieren 30, 20 y 15 pies cúbicos por unidad, respectivamente. Las contribuciones unitarias de los productos 1,2 y 3 son $15, 18 y 12. Los pronósticos de ventas indican se puede esperar ventas de 900, 1000 y 700 unidades de los productos 1, 2 y 3, durante el periodo de planeación.

Dada la situación, la administración ha expresado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente (P1=más importante):

P1. Lograr una utilidad perseguida de $15000.

P2. Utilizar la capacidad de exceso como sea posible. La administración cree que es 1,5 veces más importante utilizar la capacidad de exceso de la planta 1 que la de las plantas 2 y 3.



P3. Lograr un balance de la carga de trabajo entre todas las plantas. Debido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la planta 1, la administración cree que si ocurre algún desbalance en la carga de trabajo, es 2 veces más importante que favorecer a la planta 1 con menor trabajo.

P4. Cumplir con las ventas para el producto 2, tiene la mayor contribución por unidad.

P5. Producir los productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas.

P6. No exceder la capacidad de embarque disponible.

PROBLEMA 21

RUTA MÁS CORTA

Calcular por medio de un modelo de programación lineal la ruta más corta desde la base hasta el punto 5 estando los costos de un punto a otro en la siguiente figura

PROBLEMA 22

PROGRAMACIÓN ENTERA MIXTA

Cuatro camiones están disponibles para llevar leche a cinco almacenes. La capacidad y costo de operación diario de cada camión se presentan en la siguiente tabla.



Camión Capacidad (Galones)

Costo de Operación (US$)

1 400 452 500 503 600 554 1100 60

Las demandas diarias de leche de cada almacén son: almacén 1, 100 galones; almacén 2, 200 galones; almacén 3, 300 galones; almacén 4, 500 galones; almacén 5, 800 galones.

Formule un modelo de programación lineal mixta que permita minimizar el costo diario de satisfacción de las demandas de los 5 almacenes. Defina claramente las variables, función objetivo y restricciones.

PROBLEMA 23

PROGRAMACIÓN ENTERA MIXTA

Cuatro camiones están disponibles para llevar leche a cinco almacenes. La capacidad y costo de operación diario de cada camión se presentan en la siguiente tabla.

Camión Capacidad (Galones) Costo de Operación (US$)

1 400 452 500 503 600 554 1100 60

La demanda de cada almacén debe ser satisfecha por un solo camión, sin embargo, cada camión puede distribuir leche a más de un almacén. Las demandas diarias de leche de cada almacén son: almacén 1, 100 galones; almacén 2, 200 galones; almacén 3, 300 galones; almacén 4, 500 galones; almacén 5, 800 galones.

Formule un modelo de programación lineal mixta que permita minimizar el costo diario de satisfacción de las demandas de los 5 almacenes. Defina claramente las variables, función objetivo y restricciones.

PROBLEMA 24

Un modelo que una compañía de servicios eléctricos requiere para sus operaciones diarias consiste en una guía para decidir que generadores debe poner en marcha en cada ocasión. El servicio en cuestión cuenta con 3 generadores con las características que aparecen en la siguiente tabla. El día está dividido en 2 periodos y



en el primero de ellos necesitan 2900 megavatios. En el segundo periodo requieren 3900 megavatios. Un generador puesto en marcha en el primer periodo puede usarcé en el 2do sin incurrir en un costo adicional de puesta en marcha. Todos los generadores principales se apagan al final de cada día. Formule y resuelva este modelo definiendo con cuidado las variables de decisión.

GeneradorCosto fijo de arranque $

Costo por periodo por megavatio

usado $

Capacidad máxima en cada periodo de

megavatiosA 3000 5 2100B 2000 4 1800C 1000 7 3000

PROBLEMA 25

La asignatura de programación de computadores es evaluada en 4 exámenes (3 regulares más uno recuperativo), cada examen está compuesto por 4 preguntas. Para el próximo periodo académico se ofrecerán 8 paralelos de la asignatura, cada uno dictado por un profesor distinto. Para distribuir equitativamente el trabajo de la preparación de los exámenes, cada profesor preparara 2 preguntas de exámenes distintos. L a historia muestra que cada profesor mantiene una tendencia en cuanto a la nota que se puede esperar en una pregunta preparada por él. Esta información es presentada en la siguiente tabla:

Profesor 1 2 3 4 5 6 7 8Nota 40 60 55 50 65 70 45 75

Considerando que todas las preguntas de un mismo certamen tienen la misma ponderación, formule un modelo matemático que permita determinar quién debería preparar cada pregunta de tal manera que el promedio esperado de cada certamen sea lo más parejo posible. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones.

PROBLEMA 26

El plantel de jugadores de Con-Con National consta de 22 jugadores cada uno de los cuales puede jugar en las posiciones indicadas en la siguiente tabla:

Jugador Posición1,2,3 Arquero

4,5,6,7 Defensa8,9,10,11 Defensa o Medio campista

12,13,14,15 Medio campista16,17,18,19 Medio campista o Delantero



20,21,22 Delantero

El club debe jugar el próximo partido en calidad de visita y debido a problemas económicos se desea viajar con la menor cantidad posible de jugadores. Para enfrentar de manera aceptable se dispone de tres esquemas de juegos alternativos, definidos por la cantidad de jugadores participando en las posiciones de arquero, defensa, medio campista y delanteros, respectivamente, los cuales se presentan en la siguiente tabla:

Esquema JugadoresA 1-4-3-3B 1-5-2-3C 1-5-3-2

Considerando de que en cada posición se deba contar además con un jugador de reserva, formule un modelo matemático que permita al club determinar el esquema de juego a aplicar de manera a viajar con la menor cantidad de jugadores. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones.

PROBLEMA 27

Una empresa está pensando invertir en cuatro proyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a lo más en 3 años. Los flujos de caja requeridos en cada año junto con el Valor Presente Neto de cada proyecto, concluidos los años de ejecución, y las disponibilidades de recursos financieros se resumen en la siguiente tabla:

Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4

Disp. Recursos

Año 1 10 8 6 12 30

Año 2 8 15 4 0 15

Año 3 18 0 16 0 12

V.P.N.

35 18 24 16

Interesa determinar en cuáles proyectos invertir de modo de conseguir el mayor V.P.N. de la inversión.

1. Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período.

2. Sin invertir el dinero no utilizado en un período, pero utilizando el retorno de los proyectos concluidos.



3. Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período y, también el retorno de proyectos concluidos.

PROBLEMA 28

CUMPLIMIENTO DE UN SUBCONJUNTO DE LAS RESTRICCIONES DE UN PROBLEMA.

Consideremos un problema que posee las siguientes restricciones:

12x1 + 24x2 + 18x3 2400

15x1 + 32x2 + 12x3 1800

20x1 + 15x2 + 20x3 2000

Supongamos además, que nos basta con obtener alguna solución óptima que verifique el cumplimiento de al menos 2 de las 3 restricciones anteriores.

Definir variables y restricciones.



PROGRAMACIÓN DINÁMICA

INTRODUCCIÓN

La Programación Dinámica es una técnica matemática útil en la toma de una serie de decisiones interrelacionadas. Proporciona un procedimiento sistemático para determinar la combinación óptima de decisiones

La forma de operar de la programación dinámica es dividir el problema en subproblemas, luego se inicia el proceso de solución por etapas, en donde cada etapa del proceso resuelve un subproblema y al finalizar con todas las etapas, el problema queda resuelto. Entre una etapa y otra existe una liga que permite el nexo entre etapas esta liga se llama función recursiva, por la cual permite incluir el aporte de las mejores opciones de los subproblemas anteriores de manera a no enfocarse en cada etapa en el óptimo para ese problema, ya que al incluir el aporte de las demás etapas estamos buscando el óptimo global y no el óptimo individual de cada etapa

CARACTERÍSTICAS

El problema se puede dividir en etapas que requieren una política de decisión.

Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su inicio, los estados son las distintas condiciones posibles en que se puede encontrar el sistema en cada etapa del problema.

La política de decisión en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa

El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una política óptima para el problema completo y no el de cada etapa.

El procedimiento de solución se inicia al encontrar la política óptima para la última etapa.

Se dispone de una relación recursiva, que identifica la política óptima para la etapa n, dada la política óptima para la etapa n+1

Cuando se usa esta relación recursiva, el procedimiento de solución comienza al final y se mueve hacia atrás etapa por etapa hasta que encuentra la política óptima desde la etapa inicial.



NOTACIONES

N: número de etapas

n: etiqueta para la etapa actual (n=1,2,…,N)

S: estado actual para la etapa n

X: variable de decisión para la etapa n

X*:valor óptimo de Xn (dado Sn)

fn (sn,xn): contribución de las función objetivo de las etapas

fn *(sn)= fn (sn,xn*): relación recursiva.

La relación recursiva siempre tendrá la forma:

fn *(sn)= máx { fn (sn,xn)} fn *(sn)= mín { fn (sn,xn)}

METODOLOGÍA

Tomemos el como ejemplo para mostrar la metodología de resolución el problema del viajero y resolvámoslo paso a paso.

EJEMPLO – EL VIAJERO

Un viajante desea ir de la Terminal O a la Terminal T, pero no existe un viaje directo. Los costos de cada Terminal intermedia se muestran en el gráfico.

Se debe encontrar la ruta más económica a seguir.



DESARROLLO

Como primer paso para cualquier problema se veden definir primero, la cantidad de etapas que tiene el problema, que como se mencionó anteriormente es la cantidad de subproblemas en los que se pueden dividir el ejercicio. Los estados, que son los puntos de partida de cada etapa, en los estados nos definen las decisiones que podemos tomar en cada etapa, por lo general están relacionados los recursos disponibles en cada etapa. Luego está la variable de decisión, que son las decisiones que tenemos en tomar en cada etapa. Por último la política de decisión, que define la metodología de selección de decisiones en cada etapa del problema. Para el caso del problema del viajero tenemos:

ETAPAS 3

Este problema es dividido en la menor cantidad de etapas de manera a que ningún viaje este en más de una etapa. Para este caso como se ve en la figura, se tienen 3 etapas.

ESTADOS Orígenes

Se toma como punto de partida para cada etapa, los posibles puntos en los que se puede encontrar al inicio de dicha etapa, es decir los orígenes.



ESTADOSETAPA 1 AETAPA 2 B , C , DETAPA 3 E , F

VARIABLE Destinos

Una vez definidos los estados, las variables son fáciles de ver, para este caso las variables para cada etapa son los destinos a los que pueden ir desde cada origen posible.

VARIABLEETAPA 1 B , C , DETAPA 2 E , FETAPA 3 T

POLÍTICA DE

DECISIÓN

Menor Costo

Como bien lo dice el problema lo que se busca es la ruta más económica, por lo que nuestra política de decisión en cada etapa para definir cuál es la decisión (variables) por la que optaremos para definir el estado de la siguiente etapa es el menor costo

Como ya lo mencionamos la programación dinámica se utiliza una función recursiva por lo que debemos empezar por la última etapa.

ETAPA 3

Para el desarrollo del problema procedemos a armar una matriz, en donde en la primera columnas ubicaremos los estados de esta etapa y en la primera fila las variables de la etapa. A continuación de las variables colocaremos el resultado de la función recursiva para esta etapa de acuerdo a la política de decisión para este problema y a continuación la variable a la cual corresponde este valor. En cada cuadro de la matriz colocaremos el valor correspondiente a la decisión tomada con relación a estado que se está considerando en ese punto, esta vez por ser la última etapa, es decir la primera con la que estamos trabajando se considera solo ese valor.



S3\X3 T F’3(X’ 3) X’3

E 6 6 T

F 7 7 T

ETAPA 2

Bien una vez terminada la última etapa, tercera para este ejemplo, pasamos a la siguiente, en donde hacemos lo mismo que en la anterior solo que ahora se debe considerar esta última, sumándole a la función el valor de la mejor opción de la siguiente etapa (3ra) en base a la decisión tomada en esta. Como se puede ver en el siguiente cuadro, si nos ubicamos en la fila del estado “B” y analizamos la variable “E” tenemos que el costo de ir de “B” a “E” es de 5 unidades y a esto debemos sumarle el valor de la función recursiva de la etapa anterior (etapa 3) para el estado “E” de la misma, que es para este ejemplo 6 teniendo como resultado un costo total de 11 para ese análisis.

S2\X2 E F F’2(X’2) X’2

B5+6 = 11

----- 11 E

C7+6 = 13

8+7 = 15

13 E

D -----6+7 = 13

13 F

ETAPA 1

Ahora para la etapa 1, el procedimiento es el mismo que el de la etapa anterior. Si bien para este ejemplo no se cuentan con recursos que se van utilizando etapa a etapa, se debe tener siempre en cuenta que la etapa 1, es donde se toma la primer decisión de una serie de decisiones interrelacionadas, por lo que para se debe tener en cuenta que siempre se contaran con todos los recursos disponibles, al menos que el problema lo indique de otra forma, por lo que en regla general solo se conoce el estado inicial, y no es necesario analizar varios escenarios posibles.



S1\X1 B C D F’1(X’ 1) X’1

A 9+11 = 20 6+13 = 19 7+13 = 20 19 C

RESULTADO

Una vez terminadas todas las etapas, sacar el resultado es sencillo. El valor optimo global es el que se encuentra con la función recursiva en la primera etapa, para este caso es 19. Para ver cuáles son las variables que se deben seleccionar etapa a etapa lo que se hace es lo siguiente. Se analiza desde la primera etapa esta la última.

Se ve en la primera etapa cual es la mejor opción para el estado en el que se encuentra, y con esa variable va a la siguiente etapa calculando el nuevo estado en base a la decisión tomada en la etapa anterior y de vuelta ve cual es la mejor opción en esa etapa para ese estado, así consecutivamente hasta la última etapa como se muestra en el siguiente cuadro.

Etapa Estado VariableValor de la

Variable1 A C 62 C E 73 E T 6

Resultado Final 19


O

A

B

C

D

E

T

9

6

7

5

7

8

6

6

7

O

A

B

C

D

E

T

9

6

7

5

7

8

6

6

7

2

1


RESOLUCION DE PROBLEMAS

PROBLEMA 1

Un viajante desea ir de la terminal O a la terminal T, pero no existe un viaje directo. Los costos de cada terminal intermedia se muestran en el gráfico.

a) Se debe encontrar la ruta más económica a seguir.CASO 1

CASO 2

PROBLEMA 2



El propietario de una cadena de tres supermercados compró cinco cargas de fresas frescas. La distribución de probabilidad estimada para las ventas potenciales de las fresas antes de que se echen a perder difiere entre los tres supermercados. El propietario quiere saber cómo debe asignar las cinco cargas a las tiendas para maximizar la ganancia esperada.

Por razones administrativas, no quiere dividir las cargas entre las tiendas. Sin embargo, está de acuerdo en asignar cero cargas a cualquiera de ellas.

La siguiente tabla proporciona la ganancia estimada en cada tienda al asignar distintas cantidades de cargas:

Número de cargas

Tienda1 2 3

0 0 0 01 5 6 42 9 11 93 14 15 134 17 19 185 21 22 20

Utilice programación dinámica para determinar cuántas cargas deben asignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total esperada.

PROBLEMA 3

Un estudiante universitario cuenta con siete días para preparar los exámenes finales de cuatro materias y quiere asignar su tiempo de estudio de la manera más eficiente posible. Necesita por lo menos un día para cada materia y quiere concentrarse sólo en una materia cada día por lo que quiere asignar uno, dos, tres o cuatro días a cada materia.

Como hace poco tomó un curso de Investigación de Operaciones, decide aplicar programación dinámica para hacer estas asignaciones que maximicen el total de calificaciones obtenidas en los cuatro exámenes.

Estima que las distintas opciones en días de estudio le redituarán puntos de calificación según la siguiente tabla:

Número de días

Puntos de calificación estimado1 2 3 4

1 3 5 2 62 5 5 4 73 6 6 7 94 7 9 8 9



PROBLEMA 4

Un camionero que trabaja por su cuenta tiene 8 m3 de espacio disponible en un camión que saldrá para la ciudad de lima. Un distribuidor que tiene grandes cantidades de tres artículos diferentes, todos destinados para esa ciudad ha ofrecido los siguientes pagos por transportar tantos artículos como quepan en el camión:

Articulo Pago $/art.Volumen m3/art.

1 11 12 32 33 58 5

¿Cuántas unidades de cada artículo deberá transportar el camionero a fin de maximizar los pagos de embarque, sin exceder la capacidad del camión?

PROBLEMA 5

Un camión puede trasportar una carga máxima de 5 tn. A fin de maximizar sus beneficios el camionero debe decidir la cantidad de cada producto que va a transportar. La tabla indica el peso de una unidad de cada producto y el beneficio estimado por la venta del mismo. Usar programación dinámica.

Articulo Peso Beneficios1 2 652 3 803 1 30

PROBLEMA 6

Tengo una huerta en la parte de atrás de mi casa, que mide 10x20 pies. Esta primavera planeo plantar tres tipos de vegetales: tomates, maíz y lechuga. La huerta está organizada en hilera de 20 pies. Las hilera de tomates y maíz tienen 2 pies de ancho y las de lechuga 3 pies. Lo que más me agrada son los tomates y lo que menos me agrada es la lechuga y en una escala del 1 al 10, se le asigna 10 a los tomates, 7 al maíz y 3 a la lechuga. Sin analizar mis preferencias, mi esposa insiste en que plante por lo menos una hilera de lechuga y no más de 2 hileras de tomates. ¿Cuántas hileras de cada vegetal debo plantar?

PROBLEMA 7



Un aserradero debe enviar 4 o 5 cargamentos a 4 destinos. La máxima asignación para cada destino es de 4 cargamentos. La tabla indica los ingresos obtenidos por cada una de las decisiones. Al destino B se le puede asignar un máximo de 3 cargamentos y al destino C ya se ha decidido asignar exactamente 1 cargamento. A fin de maximizar los ingresos obtenidos encontrar la mejor política de asignación para 4 y para 5 cargamentos.

CargamentosDestinos

A B C D0 0 0 0 01 5 6 4 72 11 10 12 103 15 16 17 144 21 22 23

PROBLEMA 8

Una campaña política se encuentra en su última etapa y las preliminares indican que la elección está pareja. Uno de los candidatos tiene suficientes fondos para comprar tiempo de TV por un total de 5 comerciales en horas de mayor audiencia en estaciones localizadas en 4 áreas diferentes. Con base en ganar en la información de las preliminares se hizo una estimación del número de votos adicionales que se pueden ganar según el número de comerciales que se compren. Se debe encontrar la solución para que ese número de votos adicionales sea el máximo posible.

Número de Comerciales

Áreas/miles de votos adicionales1 2 3 4

0 0 0 0 01 4 6 5 32 7 8 9 73 9 10 11 124 12 11 10 145 15 12 9 16

PROBLEMA 9

Una compañía está a punto de introducir un nuevo producto y está planeando su estrategia de comercialización. Ha tomado la decisión de introducir el producto en 3 fases. La fase 1 incluirá ofertas especiales, la fase 2 comprenderá una campaña intensiva de comerciales y anuncios para persuadir a los compradores que sigan comprando, la fase 3 es una campaña de seguimiento para evitar que los clientes cambien de producto.



Se cuenta con un presupuesto de 4.000.000 $ para la campaña. Se quiere saber cómo asignar el dinero de la manera más eficaz. Sea m el porcentaje de mercado inicial que se logra en la fase 1, f2 es la fracción de mercado que se retiene en la fase 2 y f3 es la fracción restante que se mantiene en la fase 3.

Suponga que el dinero se debe gastar en cantidades enteras de 1.000.000$ en cada fase y el mínimo permisible es de 1.000.000$ en la fase 1 y cero para las fases 2 y 3.

Millones de $ m f2 f3

- - 0,20 0,301 20 0,40 0,502 30 0,50 0,603 40 0,60 0,704 50 - -

PROBLEMA 10

Una compañía debe determinar la mejor política de precios para los siguientes 4 años para un nuevo producto. Se ha propuesto 5 niveles diferentes de precios qua a criterio de la dirección parecen razonables: 21, 22, 23,24 y 25 $. A un precio menor a 21 $ la empresa no podría cubrir los costos y mayor a 25 $ la competencia se apoderaría del mercado. Después de evaluar la demanda potencial y las estrategias probables de la competencia.

PrecioAño

1 2 3 421 3 2 3 322 5 6 5 223 5 4 2 524 6 3 2 625 7 5 3 1

a) Suponiendo que la compañía desea evitar cambios de precio de más de 1$ de incremento o reducción cada año. ¿Cuál sería la estrategia óptima de precios?

b) Suponiendo que la compañía no desea conservar un mismo precio durante 2 años consecutivos y además las variaciones no deben ser mayor a 1$ de un año a otro. ¿Cuál sería la estrategia óptima de precios?

PROBLEMA 11



Un gerente de una compañía estudia tres nuevos productos posibles de la línea de productos del año próximo. Debe tomar una decisión en cuanto a qué productos comercializar y a qué niveles de producción.

La preparación de la producción requerirá un costo fijo sustancial, como se en el primer renglón de la tabla que sigue. En el segundo renglón muestra el ingreso neto por cada unidad producida, una vez que la producción está en marcha. El tercero contiene el porcentaje de la capacidad disponible que usará cada unidad producida.

Productos1 2 3

Costo Fijo 3 2 0Ingreso marginal neto 2 3 1Capacidad usada por unidad, % 20 40 10

Sólo se pueden vender 3 unidades del producto 1, mientras que es posible la venta de todas las unidades que se fabriquen de los otros dos productos. Es objetivo es determinar el número de unidades a fabricar de cada producto que maximice la ganancia total (ingreso neto total menos costos fijos). Suponga que las cantidades de producción deben ser enteras.

PROBLEMA 12

Considere un sistema electrónico con cuatro componentes, cada uno de los cuales debe trabajar para que el sistema funcione. La confiabilidad de éste se puede mejorar si se instalan varias unidades paralelas en una o más de las componentes. La siguiente tabla muestra la probabilidad de que las respectivas componentes funcionen si constan de una, dos o tres unidades paralelas:

Unidades paralelas

Probabilidad de funcionamiento

Componente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4

1 0,5 0,6 0,7 0,52 0,6 0,7 0,8 0,73 0,8 0,8 0,9 0,9

La probabilidad de que el sistema funciones es producto de las probabilidades de que las componentes respectivas funcionen.

La siguiente tabla da el costo (en cientos de dólares) de instalar una, dos o tres unidades paralelas en las respectivas componentes:

Unidades Costo



paralelas Componente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4

1 1 2 1 22 2 4 3 33 3 5 4 4

Dadas las limitaciones de presupuesto, se puede gastar un máximo de 1.000$. Determinar cuántas unidades paralelas se deben instalar en cada una de las cuatro componentes para maximizar la probabilidad de que el sistema funcione.

PROBLEMA 13

CASO DEL REEMPLAZO DE MAQUINARIA:

Una empresa debe determinar la política óptima, durante los próximos 5 años, de reemplazo de una máquina, que se acaba de comprar. La siguiente tabla muestra los datos del problema.

Costo de:Compra 700

Edad Costo de Mantenimiento

Ingreso Valor de Salvamento

de 0 a 1 año 100 1000 500de 1 a 2 años 120 800 400de 2 a 3 años 150 600 50

PROBLEMA 14

La BUILD-EM-FAST COMPANY ha acordado con su mejor cliente en abastecerlo durante las 3 siguientes semanas con 3 unidades especiales, aun cuando producirlos tomaría horas extras. Los datos de producción concernientes son como se indican en la tabla.

SemanaProducción Máxima

Tiempo NormalProducción Máxima

Tiempo Extras

Costo de Producción por Unidad de

Tiempo Normal1 2 2 $3002 2 1 $5003 1 2 $400

El costo de la unidad producida en horas extra es de $100 más que la producida en tiempo normal. El costo de almacenamiento es de 50$ por unidad por cada semana que se guarda. Existe un inventario de 2 unidades pero la compañía no desea quedarse



con ninguno al finalizar las 3 semanas. Utilice la programación dinámica para determinar cuántas unidades deben producirse cada semana con el fin de minimizar los costos de producción e inventario.



TEORÍA DE JUEGOS

INTRODUCCIÓN

Estudia las características de las situaciones competitivas de forma normal y abstracta. Da una importancia especial a los procesos de toma de decisiones de los adversarios. Se basa en juegos de dos personas de suma cero, porque todo los que un jugador gana es todo lo que el otro pierde.

En general un juego de 2 personas se caracteriza por:

1) Las estrategias del jugador I

2) Las estrategias del jugador II

3) La matriz de pago.

Una estrategia es una regla predeterminada que especifica por completo como intenta responder a cada circunstancia posible en cada etapa del juego.

La matriz de pagos muestra la ganancia (positiva o negativa) que resultaría con cada combinación de estrategias para el jugador I, la matriz del jugador II es el negativo de esta.

Se supone que:

1) Ambos jugadores son racionales.

2) Ambos jugadores eligen sus estrategias solo para promover su propio bienestar.

ESTRATEGIAS DOMINADAS

Se usa para eliminar una serie de estrategias inferiores hasta que solo quede una a elegir, se puede eliminar una estrategia cuando está dominada por otra, esto se da siempre que una al menos sea tan buena como la otra, sin importar lo que hace el oponente. Este procedimiento es útil para reducir el tamaño de la matriz de pagos y en algunos casos raros para encontrar la solución óptima del juego.

En general, el pago para el jugador I cuando ambos jugadores juegan de manera óptima recibe el nombre de valor del juego. Se dice que se trata de un juego justo cuando el valor del juego es cero.

EJEMPLO



Determinar la estrategia óptima para cada jugador

Jugador II1 2 3

Jugador I

1 1 2 02 2 -3 -23 0 3 -1

DESARROLLO

Podemos empezar analizando las estrategias de cualquiera de los 2 jugadores. Para el caso del ejemplo podemos ver que analizando al jugador uno, no podemos eliminar ninguna estrategia debido a que ninguna supera en su totalidad a otra, por lo que debemos analizar las estrategias del jugador 2 y tenemos que:

Jugador II1 2 3

Jugador I

1 1 2 02 2 -3 -23 0 3 -1

3 domina a 1 (II)

La estrategia 1 para todas las estrategias posibles del jugador 1 representa una pérdida mayor para el jugador 2 que la estrategia 3, por lo que se sabe que esa no es una estrategia óptima para el jugador 2, por lo que se elimina y se simplifica la matriz.

Jugador II

1 domina a 2 (I)1 2 3

Jugador I

1 2 02 -3 -23 3 -1

Y ahora con esta nueva matriz volvemos a analizar las estrategias y tenemos que para el jugador 1 la estrategia 1 domina a la estrategia 2, y así seguimos sucesivamente.

Jugador II

1 2 3

Jugador I

1 2 023 3 -1

3 domina a 2 (II)



Jugador II

1 domina a 3 (I)1 2 3

Jugador I

1 023 -1

Hasta que finalmente nos queda que el valor del juego es 0 y la estrategia óptima para el jugador 1 es la estrategia 1 y la estrategia óptima para el jugador 2 es la estrategia 3.

Jugador II1 2 3

Jugador I

1 1 2 02 2 -3 -23 0 3 -1

CRITERIO MINIMAX O MAXIMIN

Si el juego se realiza varias veces, cada jugador intentará encontrar su mejor garantía contra el oponente, es decir jugar de tal manera que minimice su pérdida máxima, siempre que esto no pueda ser utilizado por su oponente para mejorar su posición.

El jugador I (maximin) debe elegir aquella estrategia cuyo pago mínimo sea el mayor, mientras que el jugador II (mínimax) debe elegir aquella donde su pago máximo al jugador I sea el menor.

Se llama punto de silla al valor de la solución cuando el maximin y el mínimax son iguales y se dice que la solución es estable.

Si en un juego no existe punto de silla la solución es inestable y se hace necesario elegir entre las estrategias aceptables de una manera aleatoria.

EJEMPLO

Encuentre el punto de silla de la matriz de pago del siguiente juego.

Jugador II



1 2 3

Jugador I

1 3 3 -42 -

4-2 1

3 2 -1 0

DESARROLLO

Como ya se explicó buscaremos para las máximas perdidas que pueden tener ambos jugadores con sus estrategias.

Jugador II1 2 3 Mínimo

Jugador I

1 3 -3 -4

-4

2 -4 -2 1 -43 2 -1 0 -1

Máximo 3 -1 1

Una vez hecho estos se eligen entre las máximas perdidas la menor perdida para cada jugador (maximin para el jugador uno y minimax para el jugador 2).

Jugador II1 2 3 Mínim

o

Jugador I

1 3 -3 -4 -42 -4 -2 1 -43 2 -1 0 -1 Maximin

Máximo 3 -1 1Minimax Punto

de silla

Y como podemos ver coinciden en el punto de -1, por lo que el juego es estable y define a las estrategias óptimas para cada jugador.

JUEGO DE ESTRATEGIAS MIXTAS.

Cuando un juego no tiene punto de silla, la teoría de juegos aconseja a cada jugador asignar una distribución de probabilidad sobre un conjunto de sus estrategias.

Xi = probabilidad de que el jugador 1 use la estrategia i (i = 1, 2, 3, 4,…., m)

Yj = probabilidad de que el jugador 2 use la estrategia j (j = 1, 2, 3, 4,…., n)

Donde m y n son el número respectivo de estrategias disponibles. Los valores x e y son probabilidades y se les llama estrategias mixtas y a las estrategias originales se las llama puras.



En el momento de jugar, es necesario que cada participante use una de sus estrategias puras, pero esta estrategia pura se elegirá mediante algún dispositivo aleatorio para obtener una observación aleatoria que siga la distribución de probabilidad especificada por la estrategia mixta; esta observación indicara la estrategia pura que se debe usar.

El pago esperado es una herramienta útil para medir el desempeño satisfactorio e igual.

El pago esperado para el jugador 1 es Σm i=1 Σn j=1 PijXiYj

Donde Pij es el pago si el jugador 1 usa la estrategia pura “i” y el jugador 2 usa la estrategia pura “j”.

Con esta medida, la teoría de juegos puede extender el concepto del criterio minimax a juegos que no tienen punto de silla. En el criterio minimax dice que un jugador debe elegir la estrategia mixta que minimice la máxima perdida esperada para sí mismo. De manera equivalente, si se analizan los pagos (jugador 1) en lugar de las perdidas (jugador 2), este criterio es maximin, es decir maximizar el pago esperado mínimo para el jugador.

La estrategia óptima para el jugador 1 es aquella que maximice el mínimo pago esperado (V), para el jugador 2 es aquella que minimiza la máxima pérdida esperada (V). Para juegos sin punto de silla la solución es inestable, para que mediante estrategias mixtas la solución sea estable es necesario que V=V.

TEOREMA MINIMAX: si se permiten estrategias mixtas, el par de estrategias que es el óptimo de acuerdo con el mínimax proporciona una solución estable con V=V=V (el valor del juego), de manera que ninguno de los dos jugadores pueda mejorar cambiando unilateralmente su estrategia.

PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN GRAFICO

Considere cualquier juego con estrategias mixtas tal que después de eliminar las estrategias dominantes, uno de los 2 jugadores tiene solo 2 estrategias puras. Para ser especifico, sea este el jugador 1. Como sus estrategias son X1 y X2; X2 = 1 - X1, nada más debe obtenerse el valor óptimo de X1, para cada una de las estrategias de su oponente. Esta gráfica se puede usar para identificar el punto que maximiza el mínimo pago esperado.

También es posible identificar la estrategia mixta mínimas del oponente.

Ejemplo: Sea la tabla de pagos reducida.

Jugador 2



Probabilidad Y1 Y2 Y3

Jugador 1

Probabilidad Estrategia Pura 1 2 3

X1 1 0 -2 2

1 - X1 2 5 4 -3

Para cada estrategia que dispone el jugador 2, el pago esperado para el jugador 1, será:

(Y1, Y2, Y3) Pago Esperado

(1, 0, 0) 0X1 + 5(1 - X1) = 5 - 5X1

(0, 1, 0) -2X1 – 3(1 - X1) = 4 – 6X1

(0, 0, 1) 2X1 – 3(1 - X1) = -3 + 5X1

Pago esperado para el jugador 1 es Y1(5 - 5X1) + Y2(4 - 6X1) + Y3(-3 + 5X1) = V

EL jugador 2 quiere minimizar el pago para el jugador 1. Dado X1, el jugador 2 puede minimizar este pago esperado si elige la estrategia pura que corresponde a la recta inferior para esa X1, según el jugador 1 quiere maximizar este pago esperado mínimo, por lo que debe elegir la recta inferior que tenga su mayor valor donde las rectas se cruzan (interceptan).

PROCEDIMIENTO ANALÍTICO

El valor de X1 es el que se encuentra en la intersección de las 2 rectas.



-3+5X1 = 4 - 6X1 (X1 = 7/11 ; X2 = 4/11)

La estrategia óptima para el jugador 1 es la estrategia pura 1 y el valor del juego es 20/11.

Para encontrar la estrategia mixta óptima para el jugador 2, el razonamiento es el siguiente. De acuerdo con la definición del valor mínimax V y el teorema mínimas, el pago esperado que se obtiene con esta estrategia (Y1, Y2, Y3) = (Y1*, Y2*, Y3*) tendrá que satisfacer al condición.

Y1* (5 - 5X1) + Y2* (4 - 6X1) + Y3* (-3 + 5X1) < V = V = 2/11

Para 0 < X1 < 1 y distinto del calculado (X1 = 7/11, para este ejemplo)

Y1* 20/11 + Y2* 2/11 + Y3* 2/11 = V = V = 2/11

Y1* + Y2* + Y3* = 1

En consecuencia Y1* = 0, ya que para Y1* > 0 el pago esperado en el punto X1 = 7/11 estará por encima del punto maximin. (En general a cualquier recta que no pasa por el punto maximin se le debe asignar un peso de 0 para evitar que el pago esperado tenga un valor más alto que este punto)

Se tiene entonces un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y los valores de Y2* = 5/11 e Y3* = 6/11

Donde la estrategia óptima del jugador 2 es

(Y1, Y2, Y3) = (0, 5/11, 6/11)


PROBLEMA 1

Para cada una de las siguientes matrices de pago, determine la estrategia óptima para cada jugador eliminando sucesivamente las estrategias dominadas, indicando el orden en que se eliminaron.

1. Jugador II1 2 3

Jugador I

1 -3 1 22 1 2 13 1 0 -2

2. Jugador II



1 2 3 4

Jugador I

1 2 -3 -1

1

2 -1 1 -2

2

3 -1 2 -1

3

PROBLEMA 2

Encuentre el punto de silla de la matriz de pago del siguiente juego.

Jugador II1 2 3

Jugador I

1 1 -1 12 -2 0 33 3 1 2

PROBLEMA 3

Dos grandes compañías comparten el grueso del mercado para cierto tipo de producto. Cada una está haciendo nuevos planes de comercialización para el año próximo con la intención de rebatar parte de la porción a la otra compañía. (Las ventas totales del producto son más o menos fijas, por lo que la compañía por lo que la compañía solo puede incrementar las ventas solo si disminuyen las ventas del otro).

Cada una está considerando 3 posibilidades:

1. Un mejor empaquetado del producto2. Una aumento de la publicidad3. Una pequeña reducción del precio

Los costos de las 3 opciones son comparables y lo suficientemente grandes como para que la compañía solo elija 1. El efecto estimado de cada combinación de alternativas sobre el porcentaje aumentado de las ventas para la compañera es:

Compañía II1 2 3

Compañía I

1 2 3 12 1 4 03 3 -2 -1

Cada compañía debe hacer su elección antes de conocer la elección de la otra compañía.



a) Sin eliminar las estrategias dominantes. Utilice el criterio minmax o (maximin) para determinar la mejor estrategia para cada parte.

b) Identifique y elimine las estrategias dominadas hasta donde sea posible. Haga una lista de las estrategias dominadas que muestre el orden en el que se pudieron eliminar. Después elabora una matriz de pago reducida cuando ya no quedan más estrategias dominantes

PROBLEMA 4

Considere que el juego tiene la siguiente matriz de pagos.

Jugador 21 2 3

Jugador 11 4 3 12 0 1 2

Jugador 21 2 3

Jugador 1

1 1 -1 32 0 4 13 3 -2 54 -3 6 -2

Utilice el enfoque de las estrategias mixtas, para encontrar la solución óptima de acuerdo al criterio gráfico y mínimas.

PROBLEMA 5

Dos cadenas de supermercados desean una sucursal en una región donde existen 3 pueblos que se encuentran situados a las distancias que se indican. Aproximadamente el 45% vive cerca de “A”, el 35% vive cerca de “B” y el resto cerca del pueblo “C”. Como la cadena “I” es más grande y tiene más prestigio que la cadena “II”, controlara los negocios siempre que las distancias sean razonables. Las 2 cadenas conocen los intereses de la competencia y los estudios de mercado dan proyecciones idénticas.

Si ambas cadenas si ubican en el mismo pueblo o equidistantes la cadena I controlara el 65% de los negocios.

Si la cadena I está más cerca controlara el 90% de los negocios.

Si la cadena I está más alejada, de todas maneras seguirá controlando el 40% de los negocios.



Por otro lado la cadena I por política, no se establece en pueblos pequeños y el pueblo “C” cae en esta categoría. Establecer la matriz de pago y la estrategia óptima.

PROBLEMA 6

Las tiendas de ventas de vehículos – “TU AUTO” y “REPUESTOS” – que comparten el mercado en la ciudad, en porcentajes iguales, se apuran para establecer cada una, sus estrategias de mercadeo con miras a cumplir sus objetivos de este año. Se ha filtrado información de que ambas están considerando la posibilidad de introducir modificaciones en sus políticas de precios; en base a una serie de análisis de posibles impactos en el mercado, como consecuencia de la aplicación de estas medidas, se ha determinado el siguiente cuadro, que indica el porcentaje final que queda en control de la empresa “ TU AUTO”.

RepuestosPrecios Altos Precios Medios Precios Bajos

TU AUTO

Precios Altos 65 40 60Precios Medios 70 55 40Precios Bajos 55 50 45



ANÁLISIS DE DECISIONES

INTRODUCCIÓN

En términos generales se debe elegir una acción de entre un conjunto de posibilidades.

Esta elección de una alternativa debe hacerse frente a la incertidumbre por que el resultado se verá afectado por factores aleatorios que se encuentran fuera del control del que toma las decisiones. Estos factores aleatorios determinaran en qué situación se encontrara en el momento en que se ejecute la acción. Cada una de estas situaciones posibles se las conoce como estado de la naturaleza.

Por cada combinación de una acción y un estado de la naturaleza, se sabe cuál sería el pago resultante.

TOMA DE DECISIONES SIN EXPERIMENTACIÓN

El tomador de decisiones debe elegir una acción de un conjunto de acciones posibles, este conjunto contiene todas las alternativas factibles bajo consideración para las distintas formas de proceder en el problema en cuestión.

Esta elección de acción debe hacerse frente a la incertidumbre por que el resultado se verá afectado por factores aleatorios que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones. Cada una de estas situaciones posibles se conoce como estados de la naturaleza.

El pago es una medida cuantitativa del valor de las consecuencias del resultado para el tomador de decisiones.

El tomador de decisiones y la naturaleza se pueden ver como dos jugadores, las acciones alternativas y los estados de la naturaleza posibles se pueden ver como las estrategias disponibles para los respectivos jugadores, donde el resultado de cada combinación de estrategias es un pago para el jugador 1 (tomador de decisiones).

Resumiendo:

1. El tomador de decisiones necesita elegir una de las acciones posibles.

2. La naturaleza elegirá entonces uno de los estados de la naturaleza posibles.



3. Cada combinación de una acción y un estado de la naturaleza da como resultado un pago, que está dado como uno de los elementos de la tabla de pagos.

4. Esta tabla de pagos debe usarse para encontrar una acción óptima para el tomador de decisiones según un criterio adecuado.

Esta analogía con los juegos de dos personas y suma cero, pone de manifiesto un aspecto importante. En la teoría de juegos se supone se supone que ambos jugadores son racionales y eligen sus estrategias para promover su propio beneficio, en el análisis de decisiones la naturaleza es un jugador pasivo que elige sus decisiones (estados de la naturaleza) de alguna manera aleatoria.

EL tomador de decisiones casi siempre tendrá alguna información que debe tomar en cuenta sobre la posibilidad relativa de los estados de la naturaleza. Es común que se pueda traducir estos a una distribución de probabilidades (distribución a priori).

ESTADOS DE LA NATURALEZAALTERNATIVAS N1 N2 … Nn

A1 Q11 Q12 … Q1nA2 Q21 Q22 … Q2n… … … …

Am Qm1 Qm2 … QmnPROB. A PRIORI P1 P2 … PN

CRITERIOS DE SELECCIÓN

CRITERIO OPTIMISTA O MAXIMAX: para cada acción posible, encuentre el pago máximo sobre todos los estados posibles de la naturaleza. Después, encuentra el máximo de todos los pagos máximos. El tomador de decisiones es muy optimista.

CRITERIO DE PAGO MAXIMO O MAXIMIN: para cada acción posible, encuentre el pago mínimo sobre todos los estados posibles de la naturaleza. Después, encuentra el máximo de todos los pagos mínimos. Elija la acción cuyo pago mínimo corresponde a este máximo. Este criterio casi no se usa en juegos contra la naturaleza ya que es demasiado conservador. El tomador de decisiones es muy precavido.

CRITERIO DE LA MÁXIMA PROBABILIDAD: identifique el espacio más probable de la naturaleza (aquel que tiene la probabilidad a priori más grande). Para este estado de la naturaleza, encuentre la acción con el máximo pago. Elija esta acción. La desventaja es que ignora información relevante. No considera otro estado distinto al más probable.



CRITERIO DE LAPLACE: Se considera que todos los estados de la naturaleza tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Se calcula el pago esperado para todas las acciones posibles se elige la acción con el pago máximo.

REGLA DE DECISIÓN DE BAYES : usando las mejores estimaciones disponibles de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza (en este momento las probabilidades a priori), se calcula el valor esperado del pago para cada acción posible. Se elige la acción con el máximo pago esperado. Su ventaja es que incorpora toda la información disponible.

CRITERIO DEL MÍNIMO ARREPENTIMIENTO: se construye una matriz del arrepentimiento tomando el mayor pago para cada estado de la naturaleza y comparando este con todos los pagos para cada acción. En cada acción se elige el pago de máximo arrepentimiento y entre todos los pagos máximos el mínimo de ellos.

ANALISIS DE SENSIBILIDAD: sirve para estudiar el efecto de si algunos números incluidos en el modelo matemático no son correctos. El estudio se centrara en el análisis de sensibilidad de las probabilidades a priori. Se halla el pago esperado en función de la probabilidad p, se grafica en los ejes(x (probabilidad a priori), y (pago esperado)). Se traza una horizontal del pago para cualquier p y en el cruce se obtiene la probabilidad para la cual se tomara una decisión u otra.

TOMA DE DECISIONES CON EXPERIMENTACION

Es frecuenta hacer pruebas adicionales (experimentación) para mejorar las estimaciones preliminares de los respectivos estados de la naturaleza dadas las probabilidades a priori. Estas estimaciones mejoradas se llaman probabilidades a posteriori.

PROBABILIDADES A POSTERIORI

Ahora en términos generales, sea

N Numero de posibles estados de la naturaleza;

P(Estado = estado i) Probabilidad a priori de que el estado de la naturaleza verdadero sea el estado i, para i = {1, 2, …, n};

Resultado Resultado de la experimentación (una variable aleatoria);Resultado j Un valor posible del resultado;

P(Estado = estado i│ Resultado= Resultado j)

Probabilidad a posteriori de que el estado de la naturaleza verdadero sea el estado i, dado que Resultado = resultado j, para i = {1, 2, …, n}.

La pregunta que se hace en este momento es la siguiente:



Dados P(Estado = estado i) y P(Resultado= Resultado j│ Estado = estado i), para i = {1, 2, …, n}, ¿Cuál es el valor de P(Estado = estado i│ Resultado= Resultado j)?

La respuesta se obtiene de la combinación de una serie de simples fórmulas de la teoría de probabilidad que la van a poder encontrar en cualquiera de los libros citados en la bibliografía y en libros de estadística y probabilidad.

La fórmula a la que se llega se conoce como TEOREMA DE BAYES.

P(Estado = estado i│ Resultado= Resultado j)

=P(Resultado= Resultado j│ Estado = estado i)*P(Estado = estado i)

Σ nk=1[P(Resultado= Resultado j│ Estado = estado k)* P(Estado =

estado k)]

VALOR DE LA EXPERIMENTACIÓN

Antes de realizar cualquier experimento, debe determinarse su valor potencial. Se presentan aquí dos métodos complementarios para evaluar su valor potencial.

VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA

Suponga ahora que el experimento puede identificar de forma definitiva cual será el estado de la naturaleza y proporcionar con esto “información perfecta”. Cualquiera sea el estado de la naturaleza, se elegirá la acción con el pago máximo para ese estado. No se sabe de antemano cual estado se identifica por lo que se pondera el pago máximo para cada estado de la naturaleza con la probabilidad a priori de ese estado.

El valor esperado de la información perfecta, abreviado VEIP, se calcula como:

VEIP = pago esperado de la información perfecta – pago esperado sin información perfecta.

VALOR ESPERADO DE LA EXPERIMENTACIÓN

Se realiza un poco más de trabajo para calcular de manera más directa, el incremento esperado. Esta cantidad se llama el valor esperado de la experimentación.

El cálculo de esta cantidad requiere primero calcular el pago esperado con experimentación (sin el costo del experimento). La obtención de esta última cantidad requiere hacer todo el trabajo descrito para encontrar todas las probabilidades a posteriori, la política optima con experimentación y el pago optimo correspondiente para cada resultado posible del experimento. Despues cada pago esperado debe ponderarse con la probabilidad del resultado correspondiente, es decir.

Pago esperado con experimentación=

Σ j [P(Resultado= Resultado j)*E(pago│ Resultado= Resultado j)



ARBOL DE DECISIONES

Un árbol de decisiones proporciona una forma para desplegar visualmente el problema y después organizar el trabajo de cálculos que se describió anteriormente. Estos árboles de decisiones son es especial útiles cuando debe tomarse una serie de decisiones.

CONSTRUCCIÓN DE ÁRBOL

Los puntos de decisión de árbol se conocen como nodos y los arcos se llaman ramas.

Un nodo de decisión, representado por un cuadrado, indica que en ese punto del proceso debe tomarse una decisión. Un nodo de probabilidad, representado por un círculo, indica que en ese punto ocurre un evento aleatorio.

Es una característica del análisis de decisiones que la trayectoria para llegar a cualquier pago está determinada por la decisión tomada como por los eventos aleatorios que están fuera del control del tomador de decisiones.

El siguiente paso es insertar los números del problema en el árbol de decisión, como veremos a continuación. Los números abajo y arriba de las ramas, son flujos de efectivo que ocurren en esas ramas. Para cada trayectoria atreves del árbol desde el nodo A hasta las ramas terminales, estos números se suman para obtener el pago total que resulta. El otro conjunto de números es el de las probabilidades de los eventos. Estas son las probabilidades a priori de los estados de la naturaleza de ese evento aleatorio. Suponiendo que para este ejemplo que la rama que va del nodo A al nodo B es una experimentación para determinar el estado de la naturaleza. La probabilidades de los nodos G y H serían las probabilidades a posterior



REALIZACIÓN DEL ANÁLISIS

Una vez construido el árbol de decisiones, se puede analizar el problema con el siguiente procedimiento:

1. Inicie del lado derecho del árbol de decisión y muévase hacia la izquierda una columna a la vez. Para cada columna realice los pasos 2 y 3 dependiendo si los nodos son de decisión o de probabilidad.

2. Para cada nodo de probabilidad, calcule su pago esperado, para ellos multiplique el pago esperado de cada rama (dado en negrita a la derecha) por la probabilidad de esa rama y después sume estos productos. Registre esa cantidad esperada en cada nodo de decisión y designe esta cantidad como el pago esperado de la rama que conduce a este nodo.

3. Para cada nodo de decisión, siempre compare los pagos esperados de sus ramas y seleccione la alternativa cuya rama tenga el mayor pago esperado. En cada caso, registre la elección en el árbol de decisión con alguna marca en las ramas rechazadas.


PROBLEMA 1

Andrés trabaja en una galería de arte encontrando compradores para las obras de galería. Su política de trabajo no es comprar las obras y luego revenderlas sino encontrar un comprador y recibir una comisión por venderlas.

$2+$6

$2+$5+$12

$2+$5+$11$1+$4+$10

$1+$4+$9+$16

$1+$4+$9+$15

$1+$3+$8

$1+$3+$7+$14

$16; %8

$15; %7

$11; %3

$12; %4

$14; %6

$4; %2

$3;%1

$1+$3+$7+$13$13; %5

$6

$5

$10

$9

$8

$2

$7

$1



Un día se acercó a Andrés un posible cliente interesado en vender tres pinturas de las cuales él era dueño, un retrato en 55 mil U$S, un paisaje en 35 mil U$S y una naturaleza muerta en 65 mil U$S. Andrés recibirá una comisión del 4% por cada pintura. Por las características de ellas y su experiencia en relación al esfuerza que debe realizar para vender la pintura, Andrés estimo los siguientes costos.

Retrato: 1700 U$S

Paisaje: 500 U$S

Naturaleza muerta: 900 U$S

El cliente sin embargo le dijo: “Ud. Deberá vender primero el retrato, si no lo vende en un mes termina el contrato y Ud. no recibe comisión, si la vende puede elegir entre vender el paisaje o la naturaleza, pero no ambos al mismo tiempo si usted intenta vender una de ella y tiene éxito, podrá vender la otra, pero si al mes no la vende el contrato queda nulo y no recibe comisión” Andrés le pidió tiempo hasta mañana para pensar en la propuesta. Por su experiencia estima que las probabilidades de vender cada pintura son:

Retrato: 0.8

Paisaje: 0.75

Naturaleza muerta: 0.65

¿Cuál es su recomendación para Andrés? ¿Cuál es el pago esperado?

PROBLEMA 2

Una compañía tiene la oportunidad de participar en una licitación gubernamental para la provision de 100 mil válvulas de lata presión para ser utilizados en sistemas hidráulicos de aviones. Estima que estas válvulas podrán ser fabricadas con el equipo actual a un costo de 12,5 $/u. sin embargo, uno de los ingenieros a sugerido un nuevo proceso para fabricar las válvulas.

Los costos unitarios para el nuevo proceso son de solo 7,5 $/u si todo funciona excepcionalmente bien. Si presenta complicaciones menores, la estimación del costo es de 9,5 $/u, pero si surgen complicaciones mayores, los costos serian prohibitivos, de manera que tendrían que regresar al antiguo proceso. Los ingenieros estiman la probabilidad de complicaciones menores en 0,5; la probabilidad de complicaciones mayores en 0,2 y la probabilidad de que todo salga bien de 0,3. La inversión que requiere el nuevo proceso es de 100.000 U$S



La compañía debe hacer su oferta para el contrato antes de que pueda probar el nuevo proceso. Las diversas ofertas en consideración y las probabilidades estimadas de obtener el contrato asociadas con cada licitación se muestran enseguida:

Oferta precio unitario en U$S

Probabilidad de obtener el contrato

17 0,214 0,612 0,9

Construya un árbol de decisión para responder las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál deberá ser el precio unitario para conseguir la contratación?

b) ¿Cuál proceso deberán utilizar si consiguen el contrato?

PROBLEMA 3

La TRACTO, diseño un nuevo circuito integrado que le permitirá entrar al campo de las microcomputadoras si así lo desea. De manera que puede vender sus derechos por 800.000 U$S. si elige construir computadoras, la rentabilidad de este proyecto depende de la habilidad de la compañía para comercializar durante el primer año. Tienen suficiente acceso a los distribuidores al menudeo como para garantizar la venta de 1.000 computadoras. Por otro lado, si tienen éxito pueden llegar a vender hasta 10.000 computadoras. La compañía piensa que ambas probabilidades alternativas tienen igual probabilidad y que cualquier otra puede ignorarse.

El costo de instalar la línea de producción es de 600.000 U$S la diferencia entre el precio de venta y el costo variable es de 600 U$S.

Se puede llevar a cabo un estudio de mercado para determinar cuál de los 2 niveles es más realista, y tiene un costo de 400.000 U$S. la experiencia anterior indica que este tipo de estudios arrojan resultados correctos dos terceras partes de las veces.

1) Sin el estudio de mercado ¿Qué acción recomendaría?2) ¿Cuánto pagaría por la información perfecta?3) ¿Vale la pena realizar el estudio de mercado?

PROBLEMA 4

TECNO SA es una empresa que se dedica al desarrollo de software. Un equipo de analista desarrollo un sistema que puede ser utilizado para el control de regadíos. Una importante compañía de productos agropecuarios ha ofrecido comprarle los



derechos por 20.000 U$S. por otro lado TECNO SA podría llevar adelante el desarrollo del producto a un costo de 30.000 U$S y tiene 50% de probabilidad de resultar exitoso.

Si TECNO SA fracasara en su intento de desarrollar el producto, podría aun vender sus derechos, pero solo por 5.000 U$S. Si logra desarrollar el nuevo software con éxito, TECNO SA puede optar por vender los derechos o comercializar el producto. En caso que optara por vender los derechos, mejoraría el precio, ya que abría más empresas interesadas. Se estima que hay un 40% de posibilidades de recibir 80.000 U$U y un 60% de recibir 45.000 U$S, descontados los costos del desarrollo.

Si TECNO SA optara por comercializar el software, los beneficios y las probabilidades de ventas dependerían de la situación del mercado. En caso que se presente una situación mala (30% de las veces), el beneficio excluidos los costos seria de 10.000U$S. Si la situación del mercado es regular (50 % de las veces) el beneficio excluidos los cosos, será de 50.000 U$S. Finalmente si se presenta una situación favorable (20 % de la veces), el beneficio excluido los costos de desarrollo es de 150.000 U$S

1) ¿Cuál es la decisión adecuada?2) Una empresa le ofrece el servicio de analizar la factibilidad que el mercado

sea bueno regular o malo con una seguridad del 90% de estar en lo cierto y 10% de error se distribuye en forma igual en las otras posibilidades. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por esa información?



BIBLIOGRAFÍA

1. Introducción a la Investigación de Operaciones, F.S. Hillier y G.J. Lieberman, McGraw Hill.

2. Investigación de Operaciones en la Ciencia de la Administración, G.D. Eppen, Prentice Hall, México.

3. Investigación de Operaciones, una introducción, H.A. Taha, Prentice Hall, México.

4. www.invope.com (libros, ejercicios, programas,...)

5. www.scienceofbetter.org (casos exitosos)


Material de Clase - IO_Blas Riquelme

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