Material de Apoyo Curricular MATEMÁTICA II CENMA Nº 195 2013
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C.E.N.M.A. Nº 195 MATEMÁTICA Ciclo Orientado 2º Año
Cr.: Lucas Pablo Andrés Dall’Agata
3
BIBLIOGRAFÍA GENERAL
Matemática 7- Estadística y probabilidad. Berio, Adriana B. ;Gasol, Laura G.; Graciano, Alicia B. Editorial Puerto de Palos. 2006
Matemática 8- Estadística y probabilidad. Berio, Adriana B. ;Gasol,
Laura G.; Graciano, Alicia B. Editorial Puerto de Palos. 2006
Matemática 9- Estadística y probabilidad. Berio, Adriana B. ;Gasol, Laura G.; Graciano, Alicia B. Editorial Puerto de Palos. 2006
Material de estudio elaborado por las Profesoras Adriana Baudino,
Milbra Viotto y Mariela Luna
Programa de Educación a distancia Nivel Medio Adultos (Provincia de Córdoba)
Sitios web:
www.matematicas.net/paraiso/materia.php?id=ap_algebra www.mitareanet.com/mates1.htm
www.matematicas.ula.ve/postgrado/doctorado/programas_doctorado www.cmat.edu.uy/~andres/al2/p3al2-04. www.cmat.edu.uy/~andres/ www.emagister.com/cursos-series-matematicas-kwes-9649.htm www.matematicas.itam.mx/pdf/ingenierias/alging www.monografías,com www.thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0024-03/ed99-0024-03 www.cientificos.arnet.com.ar www.enciclopediaencarta.com
C.E.N.M.A. Nº 195 MATEMÁTICA Ciclo Orientado 2º Año
Cr.: Lucas Pablo Andrés Dall’Agata
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PARA LEER Y REFLEXIONAR. Cuento de Fleming y Churchill - El valor de la educación - Su nombre era Fleming, un granjero escocés pobre. Un día, mientras intentaba ganar el pan para su familia, oyó un lamento pidiendo ayuda que provenía de un pantano cercano. Dejó caer sus herramientas y corrió hacia el lugar. Allí encontró hundido hasta la cintura, dentro del estiércol húmedo y negro del pantano, a un muchacho aterrorizado, gritando y esforzándose por liberarse. El granjero Fleming salvó al muchacho de lo que podría haber sido una agonía lenta y espantosa. Al día siguiente, llegó a la granja un carruaje muy ostentoso que traía a un noble, elegantemente vestido que bajó y se presentó como padre del muchacho salvado por el granjero Fleming. -Quiero recompensarlo- dijo el noble-. Usted salvó la vida de mi hijo. -No, yo no puedo aceptar un pago por lo que hice, era mi deber –contestó el granjero escocés-. En ese momento, el hijo del granjero se acercó a la puerta de la cabaña. -¿Es su hijo?- preguntó el noble-. -Sí. – contestó el granjero orgullosamente. -Le propongo hacer un trato. Permítame proporcionarle a su hijo el mismo nivel de educación que mi hijo recibe. Si el muchacho se parece a su padre no dudo que crecerá hasta convertirse en el hombre del que ambos estaremos orgullosos. Y el granjero aceptó. El hijo del granjero Fleming asistió a las mejores escuelas y, al tiempo, se graduó en la Escuela Médica del Saint Mary´s Hospital en Londres, convirtiéndose en un renombrado científico conocido en todo el mundo por el descubrimiento que revolucionó el tratamiento de las infecciones: la penicilina. Años después, el hijo del mismo noble que fue salvado de la muerte en el pantano enfermó de pulmonía. ¿Qué salvó su vida esta vez...? La penicilina, ¡por supuesto! ¿El nombre del noble? Sir Randolph Churchill... ¿El nombre de su hijo? Sir Winston Churchill Estimados alumnos: Uds. comenzarán a estudiar Matemática Ciclo Orientado 2º año, lo mismo que matemática I, el término produce con sólo nombrarlo cierto temor y automáticamente se lo asocia a lo “difícil y complicado”. Formen, de ser posible, un grupo de compañeros de estudio, la consulta entre ustedes es muy beneficiosa; no esperen para estudiar y consultar todo a último momento, es muy complejo resolver todo un día antes de la prueba. Todos conocemos el esfuerzo realizado por cada uno de Uds. para poder asistir al C.E.N.M.A., recortando el tiempo que anteriormente dedicaban a su familia, trabajo, ocio, etc... por eso es muy importante que aprovechen las horas que se encuentran en el colegio realizando las actividades y tareas que se les solicitan. El hecho de
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pertenecer al C.E.N.M.A. significa que Uds. realmente consideran el valor de la educación en sí y se encuentran identificados con los personajes del cuento anterior. Tengan en cuenta que están en el segundo año, lo que significa que comprenden que han iniciado el Ciclo de Especialización, por lo tanto se enfrentarán a situaciones cada vez más interesantes y de mayor complejidad. Lo más importante es que Uds. comiencen con muchísima confianza y entusiasmo y sobre todo teniendo en cuenta que, no sólo yo, sino todo el personal estamos a su disposición para poder solucionar cualquier inconveniente o duda que se le presente durante el transcurso del año. Mucha, muchísima suerte y adelante. El MAC está estructurado de tal forma que no necesitarán de material extra, en el tendrán conceptos teóricos, ejercicios resueltos con su respectiva explicación, ejercicios para resolver, algunos con respuesta y además guías de trabajos prácticos para realizar en forma grupal. Las distintas referencias guiarán el desarrollo de la materia indicando en que momentos se deben realizar cada una de las actividades.
Cuando aparezca el siguiente dibujo, indicará que debes realizar actividades de resolución de ejercicios o guías que se encuentran al final del MAC.
Antes de comenzar a desarrollar la asignatura Matemática II realizaremos un repaso de los números enteros, sus características y operaciones.
Rápidamente nuestro sistema numérico quedo limitado, pues no nos permitía representar numéricamente muchas cosas, como por ejemplo, una deuda, una temperatura bajo cero o un saldo en contra. Para solucionar este problema aparecen los números enteros, mismos que pueden ser positivos o negativos.
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7
El cociente de dos números naturales no siempre es un número
natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un
producto formado por varios factores iguales.
La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo
ocurre cuando la raíz es exacta.
b-NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS “Z”:
Los números enteros son del tipo:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero,
las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro
número entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número
entero, sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un
número natural.
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La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo
ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par
con radicando positivo.
b1 ) Números Enteros Positivos:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +. El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8 El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24 Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).
b2 ) Números Enteros Negativos:
Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -. El número -8 es un entero negativo. El número -24 es un entero negativo.
Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.
c) Valor Absoluto:
El valor absoluto será la distancia que haya entre determinado número al origen de la recta numérica. En la práctica el valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin importar el signo positivo o negativo. Para hallar el valor absoluto de -33: |-33| = 33 Para hallar el valor absoluto de +15: |+15| = 15
COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:
a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. Por ejemplo: 4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo. +3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.
b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad. Por ejemplo: +5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3. 16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8. +13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.
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c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad. Por ejemplo: -2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5. -11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que 13
OPERACIONES
Adición y Sustracción de Números Enteros
Tendremos dos posibilidades, las cuales son:
a) Si tenemos números de igual signo: Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.
Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11
35 +46 +11 En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11
35 +46 +11 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92
+92 = 92 El resultado también será positivo.
Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21
-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21
-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61
-61 = -61 El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.
b) Si tenemos números de signos diferentes: Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.
Veamos: 35 -46
35 -46 En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.
35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 - 35 = 11
-11 Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también negativo.
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Otro ejemplo: -12 +28
-12 +28 En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.
-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16
+16 = 16 Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también positivo
Multiplicación de Números Enteros
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:
(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo
(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número negativo
(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número negativo
(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo
Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5
-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.
-20 x + 5 En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.
20 x 5= 100 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 20 x 5 = 100
-20 x 5 = -100 Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo
Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.
División de Números Enteros
Cuando tengamos que dividir números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a dividir los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos (que es prácticamente la misma que la que utilizamos en multiplicación):
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(+) ÷ (+) = (+) El resultado de dividir dos números positivos es un número positivo
(+) ÷ (-) = (-) El resultado de dividir un número positivo entre otro negativo es un número negativo
(-) ÷ (+) = (-) El resultado de dividir un número negativo entre otro positivo es un número negativo
(-) ÷ (-) = (+) El resultado de dividir dos números negativos es un número positivo
Por ejemplo, queremos dividir -80 ÷ -5
-80 ÷ -5 En esta operación tanto -80 como -5 son números negativos.
80 ÷ 5 = 16 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 80 ÷ 5 = 16
-80 ÷ -5 = +16 Como tenemos dos números negativos dividiéndose, el resultado será número positivo
-80 ÷ -5 = 16 Recordando siempre que cuando un número es positivo no es necesario ponerle signo
El mismo procedimiento se empleará para cualquier caso de división de números enteros o con signo que se nos presente.
Potenciación de Números Enteros
Ya hemos definido previamente lo que es la potenciación, por lo cual nos orientaremos a definir que signo llevara la respuesta de una potencia.
Si el exponente es un número positivo (recordando que cuando no tiene signo es número positivo también), podemos afirmar que de acuerdo al signo de la base y si el exponente es número par o impar, tendremos:
(+)impar=(+) Cualquier número positivo elevado a exponente impar tiene resultado positivo
(+)par =(+) Cualquier número positivo elevado a exponente par tiene resultado positivo
(-)impar= (-) Cualquier número negativo elevado a exponente impar tiene resultado negativo
(-)par = (+) Cualquier número negativo elevado a exponente par tiene resultado positivo
Por ejemplo: 163 = 16 x 16 x 16 = 4096
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12
-142 = -14 x -14 = 196 -173 = -17 x -17 x -17 = -4913
Ahora, pasara diferente si el exponente es negativo. Cuando encontremos un exponente negativo haremos lo siguiente:
5-3 En este caso encontramos exponente negativo: -3
1 53
Lo que debemos hacer en estos casos es colocar 1 sobre la misma base elevada ahora a exponente positivo
1 125
Resolvemos la potencia abajo y el resultado será un número fraccionario (veremos más acerca de números fraccionarios más adelante)
Radicación de Números Enteros
Recordemos que la radicación es una de las operaciones inversas de la potenciación y se representa por n√, donde n es el grado del radical, √ es el signo radical y dentro de este último irá un número denominado cantidad o radicando.
Nosotros buscamos un número que elevado a un exponente igual al grado del radical me de como resultado la cantidad o radicando, misma que podrá ser un número positivo o negativo.Al resolver nos podemos ver en cualquiera de los siguientes casos:
impar√(+) = (+) Raíz impar de un número positivo dará otro número positivo
par√(+) = (+) y (-) Raíz par de un número positivo dará un número positivo y otro negativo.
par√(-) = no se puede Raíz par de un número negativo no se puede determinar
impar√(-) = (-) Raíz impar de un número negativo dará otro número negativo
Veamos el caso de 2√25:
√25 El grado 2 se omite, es decir, cuando no encontremos grado este es 2.
√25 Buscamos un número que elevado a potencia 2 nos de 25.
√25 Se cumple: 52 = 25, entonces la respuesta será 5 (respuesta positiva)
√25 Se cumple: -52 = 25, entonces la respuesta será -5 (respuesta negativa)
√25 = 5 , -5 Se tiene dos respuestas en este caso, una positiva y otra negativa.
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c -LOS NÚMEROS RACIONALES “Q”:
Se llama número racional a todo número que puede representarse
como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico
mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados
no.
La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números
racionales es otro número racional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un
número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional,
sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha
de ser positivo.
d -LOS NÚMEROS IRRACIONALES “I”
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no
periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
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El número irracional más conocido es , que se define como la
relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración
radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos
apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias,
Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus
obras.
El conjunto formado por los Números Racionales y los Números Irracionales se denomina conjunto de los Números Reales “R”. Para leer y pensar
Si el mundo fuera una villa de 100 personas - Habría 57 asiáticos, 21 europeos, 14 americanos y 8 africanos - 70 serían no blancos; 30 blancos - 70 serían no cristianos; 30 cristianos - 50 % de la riqueza de todo el planeta estaría en manos de 6
personas. Los 6 serían ciudadanos de los Estados Unidos - 70 serían analfabetos - 50 sufrirían de malnutrición - 80 habitarían viviendas de construcción precaria - Solo 1 tendría educación de nivel universitario
¿No es cierto que creíamos que la humanidad había alcanzado un mayor nivel de desarrollo?
Chiste malo ¿Quién inventó las fracciones? Respuesta: Enrique Octavo...
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El
En
El
El
Coma
C.E
Cr.: Lu
uando en el ma completa
or ejemplo: scribir como:
odría pregu
acciones, un
or eso, diceEFINIDA.
sto quiere atemáticas uanera comoue se usan p
or ejemplo, a
enen sentidoemplo.
RACCIONES
toda fracciómpropia.
or ejemplo:
Qué tienen e
numerador
n la fracción
denominad
numerador
omo 5 es maayor que la u
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
denominadoa, y en este
unid:
ntarse qué
na fracción c
en los matem
decir que utilizan una
o las palabrapara escribir
así como se
o en castella
S IMPROPIA
n que sea ig
en común tod
es mayor qu
or es 4 (unid
es 5 (se tom
ayor que 4 yunidad, com
º 195
ndrés Dall’Aga
or está el núcaso, el num
dades,
ocurre cua
como simp
máticos que
una expregran cantid
as del casteen castellan
e reconoce q
ano, así ve
AS:
gual a un nú
das estas fra
ue el denom
dad dividida
man 5 partes
y son 4 las pmo se ve clar
ata
úmero 1, estomerador indi
unidades.
ando el den
plemente no
e una fracci
esión comodad de símbllano, tienenno, se puede
que ``vrgunp
n los matem
mero natura
acciones?
minador en to
en 4 partes
s).
artes que coramente en l
MATEMÁ
o indica queica cuántas
. Es decir, cu
nominador
tiene sentid
ón con el n
no tienebolos que tien un significen construir
pldit'' es sólo
máticos cier
al más una p
odas ellas.
iguales)
omponen la la figura de l
ÁTICA Ciclo
e la unidad nunidades se
ualquier núm
es 0. Tal c
o.
número 0 e
e ningún senen un signcado preciso
palabras sin
o un conjunto
tas expresio
parte de la u
unidad, natula derecha.
o Orientado
no se ha divie toman.
mero natural
como se ha
n el denom
significado nificado prec
o. Pero con n significado
o de letras a
ones extrañ
nidad se le l
uralmente
2º Año
17
dido, sino qu
n se puede
an entendid
inador NO
matemáticociso, de la mlas mismas
o.
agrupadas q
as como
llama fracció
es un núme
ue se
do las
ESTÁ
o. Las mismaletras
que no
, por
ón
ero
Pufra
¿P
Si
¿P
Pa
C.E
Cr.: Lu
uede ahora acción es p
Puedes expl
el numerad
Puedes expl
ara leer
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
Con frecue
concluirse propia, es de
icar por qué
or y el deno
icar por qué
º 195
ndrés Dall’Aga
encia, se esc
que si el nuecir, es men
é estas fracc
ominador son
é estas fracc
ata
cribe:
umerador dor que la un
iones son pr
n iguales, la
iones son ig
MATEMÁ
e una fraccidad. Por eje
ropias?
fracción es
guales a 1?
ÁTICA Ciclo
ción es menemplo
igual a 1. Po
o Orientado
nor que el d
or ejemplo:
2º Año
18
denominador, esa
C.E.N.M.A. Nº 195 MATEMÁTICA Ciclo Orientado 2º Año
Cr.: Lucas Pablo Andrés Dall’Agata
19
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos fracciones se llaman equivalentes cuando ambas representan la misma cantidad, como se verá en los ejemplos siguientes:
10m
Si pa
Si
Coesten Esqu
Enmi
Ot
C.E
Cr.: Lu
0/14 y 5/7 sisma cantid
ahora se sartes:
se consider
on la nueva s el número níamos al pr
s decir, si elue las dos fra
n general, siismo número
tro ejemplo
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
son, entoncedad y por es
ubdivide cad
ra se esta
división de de partes m
rincipio).
l denominadacciones se
se tiene uno se obtiene
o:
º 195
ndrés Dall’Aga
es fraccioneso, se escrib
da séptima
arán tomand
la unidad enmás pequeñ
dor se multipan equivalen
na fracción ce otra fracció
ata
es equivalene:
parte en 3
o 5 partes, c
n 21 partes, ñas que tom
plica por 3, ntes:
cualquiera, yón que es eq
MATEMÁ
ntes, pues, c
partes igual
cada una de
esto es lo mmamos (3 po
el numerado
y se multiplicquivalente a
ÁTICA Ciclo
como se ve
es, el rectán
e ellas igual a
mismo que toor cada una
or debe mul
can el numerla primera.
o Orientado
en el dibuj
ngulo queda
a .
omar 15/21, de las 5 pa
ltiplicarse ta
rador y el de
2º Año
20
jo, represen
ará dividido
pues artes grande
ambién por 3
enominador
ntan la
en 21
es que
3 para
por el
se
Se
¿P
FR
sede
Si div
C.E
Cr.: Lu
e puede ver q
Al subdivid
se o
e aprecia cla
Podrías deci
RACCIONES
e ha visto quenominador
la fracción dvidiendo el n
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
que es e
dir en dos ca
obtienen dos
aramente qu
r cuántas fra
S IRREDUC
ue es posiblede esa fracc
dada fuera numerador y
º 195
ndrés Dall’Aga
equivalente a
ada sector q
s sectores q
e del círcu
acciones eq
CIBLES:
e encontrar ción dada po
y se quisiey el denomin
ata
a , de la ma
ue represen
ue equivale
ulo es lo mis
A
uivalentes a
una fracciónor un mismo
era encontranador por 3:
MATEMÁ
anera siguie
nta del círc
n, cada uno
smo que d
A ejerc
a existen?
n equivalente número:
ar una fracció
ÁTICA Ciclo
ente:
culo
, a del círc
del mismo cí
citar!!
Respuesta;
e a otra dad
ón equivalen
o Orientado
culo.
írculo
!!!!!
infinitas
da, multiplica
nte a ella, p
2º Año
21
ando numera
puede obten
ador y
nerse
Eneq
Endees
En
En
NodeElde
Deunnu
Pana
En
Seun
En
C.E
Cr.: Lu
n este casoquivalente a
n general, penominador se número. P
n este caso,
n este caso,
o es posibenominador proceso
enominador
e nuevo se cna cantidad qumerador es
ara realizar atural más u
n este caso e
e sabe que cnidades y qu
n otras palab
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
, ya se sab6/9, pues só
ara poder epor el mism
Por ejemplo:
4 y 6 son am
no existe ni
ble, entoncer por el misde encont
r por el mis
consideraránque es may
s mayor o igu
ciertas opena fracción p
es fácil ver p
cada 3/3 equedan 2/3 má
bras, se usa
º 195
ndrés Dall’Aga
bía que dividólo se realizó
encontrar framo número, :
mbos múltip
ingún númer
es, encontmo número
trar fracciomo número
n las fraccioor o igual quual que el de
eraciones, espropia, como
por qué es c
uivale a la uás.
el hecho de
ata
dir por 3 el ó el proceso
acciones eques necesari
plos de 2. Si
ro mayor qu
rar fraccioo. Cuando eones equivo, se llama s
nes impropiue la unidadenominador.
s convenieno por ejemp
cierta esa igu
unidad y al to
e que
MATEMÁ
numeradoro inverso al a
uivalentes aio que nume
se consider
e 1 que sea
nes equivaesto ocurre,valentes a simplificaci
as. Se ha vid. También s.
nte escribir lo:
ualdad.
omar 8/3 se
con
ÁTICA Ciclo
r y denominanterior.
a una dada, erador y de
ra esta otra f
divisor de 5
alentes a , se dice quuna dada,
ión de fracc
isto que unase sabe que
una fracción
e está toman
resto 2.
o Orientado
nador produc
dividiendo enominador s
fracción:
5 y 8 a la vez
dividiendue la fracció, dividiendciones.
a fracción ime en toda fra
n impropia
ndo dos vece
2º Año
22
ciría una fra
el numeradosean múltipl
z.
do numeraón es irredudo numerad
mpropia repreacción impro
como un nú
es 3/3, es de
acción
or y el los de
dor y ucible.dor y
esentapia, el
úmero
ecir, 2
Po
Pasig
se
se
Es
Cucu
Padis
5-
Labaa.C
Losó
Lotér
C.E
Cr.: Lu
or eso,
ara escribir guiente:
e divide
e obtiene un
sto se hace
uando se pieual dos fracc
ara algunos stinto de 30.
OPERACIO
a idea del nabilonios y mC. y desarro
os pitagóricoólo como can
os números rminos de re
Si doscantidaimpropnúmer
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
la fracción
cociente igu
porque una
ensa que unciones como
resulta un .
ONES
número fracmás tarde poolló una verd
os, como fuentidades sino
eran asocielaciones ma
s fraccionesad que ha spias, númeroo de partes.
º 195
ndrés Dall’Aga
impropia
ual a 7 y res
fracción cua
na fracción re3/5 y 18/30
poco extrañ
Su
ccionario fueor los griegodadera filoso
eron llamadoo como los e
ados a todatemáticas.
s tienen igsido divididaos naturales Por ejemplo
ata
como un n
to igual a 6,
alquiera tam
epresenta tason equival
ño el hecho
umas y rest
e desarrollaos seguidoreofía del núme
os los seguielementos q
os los fenó
ual denomia en un miss más una fo:
MATEMÁ
número natu
lo cual quie
bién represe
ambién una dlentes.
de que 3/5 =
tas de fracc
ada no sólo es del gran sero.
idores de Piue regían al
ómenos con
inador: se ssmo númerofracción de
ÁTICA Ciclo
ural más una
ere decir que
enta una div
división se h
= 18/30, sien
ciones
por los egsabio Pitágo
itágoras, conl Universo.
ocidos y el
sabe que reo de partes,la unidad ta
o Orientado
a fracción p
e
visión:
hace más cla
ndo 3 distint
gipcios, sinooras, quien v
nsideraban
Universo e
epresentan , o en el caambién divid
2º Año
23
propia, se ha
ara la razón
to de 18 y 5
o también pvivió en el si
a los númer
era concebi
porciones daso de fraccdida en el m
ace lo
por la
or losiglo VI
ros no
do en
e una cionesmismo
Ennude
Si
se
Al
es
C.E
Cr.: Lu
n ambos cumeradores e la unidad s
se quiere re
e puede repr
sustraer o r
s decir
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
casos, suma(que indican
sigue siendo
estar:
resentar gráf
retirar del
º 195
ndrés Dall’Aga
ar estas frn cuántas pa la misma.
ficamente la
área sombre
ata
racciones reartes tomam
a situación as
eada en el p
MATEMÁ
esulta muy mos) y copia
sí:
primer rectán
ÁTICA Ciclo
sencillo, pr el mismo d
ngulo, evide
o Orientado
pues bastadenominado
ntemente qu
2º Año
24
con sumaor, pues la d
uedan ;
ar los ivisión
y d
Pa5/9
1)
A
ah
Gr
al el re
ah
C.E
Cr.: Lu
de nuevo es
ara reflex9 + 3/9 = 8/1
Ahora
Trabajamos
A y a qu
hora, en
ráficamente
escoger frarectángulo ctángulo en
hora, se aña
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
ste resultado
xionar: si 18, ¿qué exp
sumaremo
s con fraccio
ue tengan el
lugar de
el proceso a
acciones equen 12 parte3 partes, y s
den las dos
º 195
ndrés Dall’Aga
o se obtiene
alguien plicación le d
os dos fracc
ones equiv
mismo den
sumar
anterior se r
uivalentes a es iguales. Esubdividiend
partes somb
ata
restando los
te dijera darías para
ciones con
alentes:
ominador:
, se
epresenta a
y a queEsto se pueddo cada sext
breadas del
MATEMÁ
s numerado
que la convencerle
distinto den
y
suman las
así:
e tengan dede lograr suta parte del
segundo re
ÁTICA Ciclo
res y copian
siguiente e de que está
nominador:
.
s fraccione
nominador ibdividiendo segundo rec
ctángulo al
o Orientado
ndo el denom
operacióná equivocad
:
es equivale
igual a 12, scada cuarta
ctángulo en
primero y se
2º Año
25
minador.
n es cordo?
entes a
se está divida parte del p2 partes:
e obtiene:
rrecta:
éstas:
diendo primer
Es
Ad
3 =
2 =
2)
Cusues
Secá En
eq
Re4 am
Assig
Toirrecede
C.E
Cr.: Lu
sto se puede
demás,
= número de
= número de
Encontrar M
uando se efumar fracciose denomina
e sabe ya qálculos, es co
n el primer
quivalentes a
ecuérdese qy de 6 a la
mbas fracci
sí, dadas 2 guiente:
Encont Hallar
1). Sumar
odo esto eseducible, y
erca de ser enominadore
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
e hacer porq
e subdivision
e subdivision
MCM (múltip
fectúa la suones equiv
ador debe se
que hay infinonveniente s
r caso, cua
a y a
que esto sia vez. Es eones.
ó más fracc
trar el m.c.mlas fraccione
r esas fraccio
s útil porqueal sumar doirreducible
es.
º 195
ndrés Dall’Aga
que 12 es mú
nes que se h
nes que se h
plo común
uma de dosvalentes a eer múltiplo de
nitas fracciosumar las fra
ando se es
es porque 1
gnifica queel número
ciones con
m. de todos les equivalen
ones encont
e se facilitaos fracciones
que si se t
ata
últiplo de 4 y
hacen en ca
hacen en ca
menor):
s fraccionesellas, que tee los denom
nes equivalacciones má
coge al nú
12 = m.c.m.
e 12 es el mque más c
distinto den
os denominntes a las da
tradas, que
an las operas siguiendo tomara un
MATEMÁ
y es múltiplo
ada cuarta pa
ada sexta pa
s que tieneengan igual minadores de
entes a cuaás sencillas
úmero 12 c
(4,6).
menor de todconviene es
nominador, s
adores. adas con de
son equivale
aciones conestos pasodenominado
ÁTICA Ciclo
o de 6:
arte.
rte.
n distinto ddenominado
e las fraccion
alquier fraccposibles.
como denom
dos los númscoger com
si se quiere
enominador i
entes a las d
n fraccioness, se obtienor que no f
o Orientado
denominadoor. Como senes dadas.
ción. Pero pa
minador par
meros que smo denomin
e sumarlas,
igual al m.c.
dadas.
s cuando esne una fraccfuera el m.c
2º Año
26
or, se tienee puede obs
ara simplific
ra las fracc
son múltiplnador comú
se debe ha
m. encontra
stán en su ción que estác.m. de todo
n queservar,
car los
ciones
os de ún de
acer lo
ado en
forma á másos los
Ej
Pr
m.
y
ah
en
Aq
An
Ejde
¿Cfra Fr
Al co
C.E
Cr.: Lu
emplo: para
rimero se ha
.c.m.
hora se suma
n forma abre
quí se obtien
nálogamente
ercicio: Reenominador
Crees que eacciones con
racciones n
estudiar laonsiderar com
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
a sumar
alla el m.c.m
an:
eviada, se pu
ne el 8 así:
e, el 21 se o
ealiza la sigcomún un n
es necesarion el mismo d
egativas y
resta de nmo la suma
º 195
ndrés Dall’Aga
.(9,6); para e
. Las fra
uede proced
btiene así:
guiente sumúmero difere
o, para sumadenominado
restas de fr
úmeros entde un núme
ata
ello se desc
acciones equ
der así:
ma de dos ente cada ve
ar fraccionesr? ¿por qué
racciones
teros debe hero más su o
MATEMÁ
omponen am
uivalentes a
maneras ez. 5/6 + 3/1
s con distint?
haber quedopuesto. Por
ÁTICA Ciclo
mbos númer
las dadas s
diferentes, 10
to denomina
ado claro qr ejemplo:
o Orientado
ros en sus fa
son:
es decir, e
ador, expres
ue esta ope
2º Año
27
actores prim
escogiendo
sarlas antes
eración se p
mos:
como
como
puede
Iguop
Ob
nuo
qulo
De 3/4 Tatiepu
Pa
po
Desi fra
Po
C.E
Cr.: Lu
ualmente, spuesta:
bsérvese qu
umerador. Pouna expresi
ue esa expreque se acab
e hecho, si a
4 + (-3)/4 = (
ambién se henen signos ueden interp
ara reflexion
or otra parte,
e manera quya se saben
acción minue
or ejemplo:
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
se puede co
ue la fracción
or ejemplo, ón completa
esión sea unba de decir,
a 3/4 se le su
(3 + (-3)) / 4
ha visto que opuestos, yretar tambié
nar: ¿Puede
, se tiene:
ue aprender n sumar fracendo el opue
º 195
ndrés Dall’Aga
onsiderar la
n opuesta a
la fracción oa, se está h
na fracción, se tiene que
uma -3/4 se
4 = 0/4 = 0.
la división dy da positivoén como divi
es explicar p
a restar fraccciones, pueesto de la fra
Multipl
ata
a resta de f
una fracció
opuesta a ablando del
se tiene exae
obtiene:
de un númeo si los númsiones, se ti
por qué son
cciones no sesto que resacción sustr
icación y D
MATEMÁ
fracciones c
ón dada es la
es . al anl opuesto a
actamente lo
ero entre otrmeros tieneniene lo siguie
iguales las f
significa en star una fracraendo.
División de F
ÁTICA Ciclo
como la sum
a que se ob
nteponer un ese númer
o mismo: el o
o da un númn signos iguaente:
fracciones a
realidad aprción a otra e
Fracciones
o Orientado
ma de una
tiene cambi
signo "-" a ro o expresió
opuesto de
mero negativales. Como
nteriores?
render algo tes lo mismo
2º Año
28
fracción m
ándole el sig
un número eón. En el ca
es ,
vo si los núlas fraccion
totalmente no que sumar
más su
gno al
entero aso de
, y por
merosnes se
nuevo, le a la
Lo
síEs
ta
Y
Ees
A
C.E
Cr.: Lu
El Papiro algunos d
numerado
Para escrisigno de denominad
os egipcios
ímbolo . s bien sabid
ambién mul
esto se obti
n realidad, scrito el 3 en
hora, ¿cómo
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
de Rhind de ellos inc
or 1, con exc
ibir las fraccun óvalo
dor. Por ejem
representab
do que mult
tiplicarse
iene también
siempre pun la multiplic
o podría inte
º 195
ndrés Dall’Aga
contiene 8cluyen fracc
cepción de
ciones unitarsobre el nmplo:
ban el núme
tiplicar
y el
n así:
ede escribircación anteri
erpretarse la
ata
85 problemciones, sólo
.
rias, los egipnúmero que
ero uno med
significa su
l resultado
rse cualquieor:
multiplicaci
MATEMÁ
as resueltoo aquellas
pcios usabae designaba
iante el sím
umar al 4 c
es igual
er número e
ón? :
ÁTICA Ciclo
os y con
n el a el
Papiro
mbolo | y el
onsigo mism
a lo que
entero de la
o Orientado
o de Rhind
número 10
mo 7 veces.
se obtiene
a manera en
2º Año
29
mediante e
. Así, puede
e al suma
n que se ha
el
e
r
a
G
Setose
¿Qdi
E
fo
Es
so
Es
Esmha
Esap
C.E
Cr.: Lu
ráficamente
e dibuja ahomamos las e obtiene:
Qué parte vidiera cada
ntonces, los
ormada por 2
sto es, en d
on exactame
s
ste resultadmultiplicar do
acer lo sigui
s importanteprender el si
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
e se represen
hora el pedados tercera
del rectánga quinta pa
s pedacitos
2 de estos p
definitiva, lo
ente del t
o se ha obts fraccionesente:
e observar ignificado de
º 195
ndrés Dall’Aga
ntan las dos
azo que repas partes de
gulo mayorrte en tres
obtenidos r
edacitos, se
que se obtie
total.
tenido a pars, pero ya se
algunos cael producto.
ata
s fracciones:
presenta ,e ese pedaz
r representapartes igua
representan
e tiene que e
ene al multip
rtir de las fige sabe que p
asos muy sPor ejemplo
MATEMÁ
, y zo,
a el área soales, se obte
cada un
esa área es i
plicar
guras, para para multipli
encillos de o:
ÁTICA Ciclo
ombreada?endrían en
no. Como e
igual a .
: las dos ter
comprendericar estas do
multiplicaci
o Orientado
? se observatotal 15 par
el área som
rceras parte
r mejor en qos fraccione
ón de fracc
2º Año
30
a que, si sertes iguales
breada está
s de , que
decir
qué consistees, basta con
ciones, para
e .
á
e
r,
e n
a
C
A
E
se
A
m
y
Ej
S
ca
po
Sex
Ej
C.E
Cr.: Lu
uando se m
l multiplicar
n particular,
e obtiene
nálogament
multiplica por
la tercera pa
jemplo
upóngase a
antidad de 1
or 10
i el herederoxactamente
jemplo para
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
ultiplica po
cualquier nú
si se multip
, que es la
e, si se quie
. Por ejem
arte de es
hora que alg
0.000.000 d
0.000.000.
o sabe manelo que le co
a resolver e
º 195
ndrés Dall’Aga
or 10, se ob
úmero por
plica
mitad de
ere calcular
mplo, la terc
s
guien recibió
de pesos. Pa
Como
ejar bien lasrresponde.
entre todos
ata
tiene 5, que
se obtiene
.
r la tercera
era parte de
ó una herenc
ara determin
s operacione
MATEMÁ
e es la mitad
la mitad de
parte de cu
e 210.000 es
cia que cons
nar esta can
es con fracci
ÁTICA Ciclo
de 10.
ese número
alquier núm
s
siste en las t
ntidad, senci
ones, no se
o Orientado
o.
mero, simple
tres quintas
illamente se
, se
e dejará enga
2º Año
31
emente se le
partes de la
e multiplica
tiene
añar y sabrá
e
a
:
á
Sdecuenlom
Po
1)de
pore
pode
ah
La
2)
ah
C.E
Cr.: Lu
upóngase ae 60.000 heuatro. Resulntre su espo
os dos terciomadre?
odría busca
) se sabe que lo que here
or ser el totaecibirá es ex
or otra partee la haciend
hora, de 6
a madre de
) Podría tam
hora, de es
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
ahora que laectáreas. Sulta que uno osa y su hijoos restantes.
rse la respu
ue Juan recibedó su padr
al de hectárxactamente
e, la madre da que ella re
60.000 es ig
Pedro recibi
mbién calcula
a cantidad,
º 195
ndrés Dall’Aga
herencia quu última vode los hijo
o. A la espos. ¿Qué cant
esta a la pre
birá del tore. Por lo tan
reas igual a
de Pedro rececibirá es
gual a
irá, entonces
arse directam
Pedro reci
ata
ue deja un hluntad fue qs, Juan, qusa, Sofía detidad de hec
egunta plant
otal de la hacnto, la fracció
60.000, ten
cibirá de lo
s, 5.000 hec
mente la can
birá dos ter
MATEMÁ
hacendado que se repaiere repartir
ejará un tercictáreas le to
teada por do
cienda, y poón de la hac
nemos que la
o que recibió
ctáreas.
ntidad de he
rceras parte
ÁTICA Ciclo
a sus cuatroartiera en pr de inmediaio de su her
ocarán a Ped
os vías:
r otra parte,cienda que re
a cantidad d
ó su esposo.
ctáreas que
es, y para c
o Orientado
o hijos es upartes igualeato lo que hrencia y a sudro y qué ca
su hijo Pedecibirá Pedr
de hectáreas
. Por lo tanto
heredó Jua
calcular esto
2º Año
32
na haciendaes entre losha heredadou hijo Pedroantidad a su
dro recibirá ro es igual a
s que Pedro
o, la fracción
an:
o, basta con
as o,
u
:
o
n
n
m
pael
Sebi
O
Mreenelgr
¿P
¿S
P
CPo
C
C.E
Cr.: Lu
multiplicar:
ara calcular la le toca un
e ve que poen el por qu
Otro ejemplo
Mariela va paeparta en suntre las 9 pe pedazo de rande o más
Podría Marie
Serán las M
rimero se ve
ada uno comor lo tanto, c
omerán ,
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
la cantidad na tercera pa
or ambas víaué se realiza
o:
ara una fiestu casa entreersonas pres
torta que les pequeño q
ela tener una
atemáticas,
erá cuánto le
merá una tecomerán la s
, es decir la
º 195
ndrés Dall’Aga
de hectáreaarte de lo qu
as se obtienan las operac
ta de cumplee sus tres hesentes en la e regalaron pue el que co
a respuesta
o será la to
e tocará com
rcera parte dsiguiente fra
doceava pa
ata
as que le tocue heredó Ju
en los mismciones en ca
eaños y alláermanos. Elfiesta. Marie
para sus heomerían sus
a esa pregu
rta lo que ca
mer a cada h
del pedazo qcción de la t
rte de la tort
MATEMÁ
caron a la esuan, se mult
mos resultadada caso.
le dan una resto de laela se pregurmanos, si e hermanos.
unta?
aptura el inte
hermano (si e
que ella trajotorta comple
ta.
ÁTICA Ciclo
sposa de Juaiplica:
dos. Es muy
cuarta partea torta la repuntaba, al coel pedazo qu
erés de Mari
es que Marie
o a casa, queta:
o Orientado
an, como se
importante
e de la tortaparten en paortar en 3 paue ella com
iela?
ela no hace
ue es un cua
2º Año
33
e sabe que a
comprende
a para que laartes igualesartes igualesió sería más
trampa):
arto del total
a
r
a sss
.
Cpo
Sedepogo
Sre
Sel
Ejsi
C.E
Cr.: Lu
por otraquedaroMariela la fracccomió, f
onclusión: Mor las Matem
e estudiará e dos fraccioor un lado, yobiernan el p
i se multipliesultado. Po
i se multiplic resultado e
jercicio: tommplifica,
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
a parte, de lon para los se comió u
ción de la fue:
Mariela comimáticas y la j
ahora la muones se reay los que esproducto de
ican fraccior ejemplo:
can dos fraces positivo.
ma una hojasi es
º 195
ndrés Dall’Aga
as tres cuarque estabana novena torta comp
ió es igual ajusticia no e
ultiplicación liza multiplic
stán en los dnúmeros en
nes con sig
cciones con Por ejemplo
a de tu cuaposible,
ata
rtas partes qan en la fiesparte, es depleta que
lo que coms menor que
de fraccionecando númedenominadonteros, sigue
gnos distin
igual signo o:
derno y efela fracc
MATEMÁ
questa,
ecir,ella
ieron sus hee el que tien
es con signoeros enteros ores por otroen siendo vá
ntos, se ob
(ambas pos
ectúa los sigción que
ÁTICA Ciclo
ermanos, si ne por la torta
os. Al observ(los que es
o), se comprálidas en el p
tiene una f
sitivas o amb
guientes proobtienes
o Orientado
es que el ina.
var que la mstán en los nrende que laproducto de
racción neg
bas negativa
oductos de fs como
2º Año
34
terés de ella
multiplicaciónnumeradoresas leyes quefracciones.
gativa como
as) entonces
fracciones, yresultado
a
nse
o
s
y:
Des
¿P
E
qu
es
nú
Semensi
E
es
Ddi
O
po
de
C.E
Cr.: Lu
ebes haber s igual a 1.
Podrías dec
n general, s
ue son inve
s , y la in
úmero enter
Dividi
e sabe quemultiplica al n
ntre 3, se vmplemente
n la operaci
ste caso, el
e manera qufícil.
Otros ejemplo
Dividi
or ejemplo:
ebe invertirs
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
observado a
cir por qué oc
siempre que
ersas, o que
versa de
ro, por ejemp
imos fraccio
e la divisiónnúmero 5, pvuelve a obtse hace com
ión anterior,
divisor es
ue, si se ha
os:
imos fraccio
se la fracció
º 195
ndrés Dall’Aga
algo curioso
curre esto?
el producto
e una de ell
es
plo: la invers
ones invirti
n es una opor ejemplo,tener al 5. Amo en el ejem
, se ha mult
y su inverso
aprendido b
ones realiza
ón , y lueg
ata
o en los ejerc
de dos frac
as es la inv
. En
sa de es
Divisió
endo la 2º f
peración inv por el númAhora, cuanmplo siguien
tiplicado al d
o, por supue
bien a multip
ando "multi
go multiplica
MATEMÁ
cicios 2) y 8
cciones da c
versa de la
muchos cas
.
ón
fracción
versa a la mero 3 se obndo se va ante:
dividendo (
esto, es .
plicar fraccio
iplicación e
arla por ,
ÁTICA Ciclo
) anteriores.
como resulta
otra. Por ej
sos la invers
multiplicacióbtiene el 15a dividir una
) por el in
nes, la divis
en cruz"
la multiplica
o Orientado
. En ambos,
ado el núme
emplo, la in
sa de una fra
ón, pues cu, y si se div
a fracción e
verso del d
ión no result
ación en cru
2º Año
35
el resultado
ro 1, se dice
nversa de
acción es un
uando sevide el 15ntre otra,
ivisor. En
tará nada
uz lo que
o
e
n
ha
Psi
Es
fraot
E
E
Pasu
y
8-
Ecoento
Hne
C.E
Cr.: Lu
ace es dejar
uede elegirsempre muy
s interesant
acciones cotras con num
n el caso de
n efecto,
ara los matuma
no la más e
-ORDEN EN
l conjunto donjunto de lnteros se pu
odos los natu
ay una manegativos:
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
r las dos frac
se la maneclaro que la
te observar
omo, por ejemerador igua
e , esta fra
temáticos m
vidente
N LOS NÚM
de todos loslos Númeroueden escriburales y a los
nera de rep
º 195
ndrés Dall’Aga
cciones tal c
era de dividas dos forma
que los ma
mplo , coal a 1.
acción era ex
modernos no
EROS RAC
s números os Racionabir como fras enteros ne
resentar so
ata
como están y
ir fraccioneas son equiva
atemáticos
n numerado
xpresada co
o queda mu
IONALES
fraccionarioles, y se recciones, el
egativos.
bre una rec
MATEMÁ
y multiplicar
s que se palentes y ha
egipcios, al
or distinto de
mo la suma
uy claro por
os, sean poepresenta coconjunto de
cta horizonta
ÁTICA Ciclo
así:
prefiera. Lo ay un sólo re
l no tener u
e 1, las exp
:
qué usaba
ositivos o neon la letra
e los número
al los núme
o Orientado
importante esultado corr
una manera
resaban com
an, para exp
egativos, esQ. En vista
os racionales
ros enteros
2º Año
36
es tenerrecto
a de escribi
mo suma de
presar , la
s llamado e de que loss contiene a
, positivos y
r
e
a
els a
y
So
qual
E
Sprqu
núco
A1.
Pefratie
C.E
Cr.: Lu
obre esa rec
ue es la m 0 con el 1:
l número
i se quisierarimer lugar, ue escribirse
úmero racioonveniente e
hora se sab.
ero, ¿cómo acciones eqene:
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
cta es posib
mitad de 1, p
está ubicad
a ubicar en esi está entree ese núme
nal está eescribirlo así
be que es
saber si quivalentes a
º 195
ndrés Dall’Aga
le también r
por lo tanto e
do a la izqui
esta recta ae 0 y 1, es dero como un
entre 0 y 1, í:
stá entre 5 y
es menor oa las dadas
ata
representar a
está ubicado
erda del 0, y
cualquier oecir, si es u
n número en
porque es u
y 6, porque e
o mayor ques y que teng
MATEMÁ
a los númer
o justo en el
y a la misma
otro número na fracción ntero más u
una fracción
es igual a 5
e ? Una mgan el mism
ÁTICA Ciclo
os racionale
punto medio
a distancia d
racional pospropia. En c
una fracción
n propia, per
más un núm
manera es lamo denomin
o Orientado
es. Por ejem
o del segme
del 0 que :
sitivo, debe caso de no s
propia. Por
ro no es
mero que es
a siguiente: ador. En es
2º Año
37
mplo, se sabe
ento que une
saberse, enserlo, tendríar ejemplo, e
propia, y es
s menor que
se escribenste caso, se
e
e
nael
s
e
n e
se
ah
Es
To
Ete Ej
Po
Ete
pa
O
se
E
so
po
Se
C.E
Cr.: Lu
e han escog
hora, se com
sto se sabe
odo está bas
ntre dos fracenga el mayo
jemplo:
or otra parte
ntre dos fracenga el meno
ara reflexion
Otro ejemplo
e establecer
l m.c.m.(7,3
on:
or lo tanto
e ha visto q
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
ido las fracc
mparan:
porque 5<6
sado en la c
cciones posor numerado
e, es bueno s
cciones posior denomina
nar: ¿Podrías
o:
rá en qué ord
) es 21. Las
y
, en
ue, si entre
º 195
ndrés Dall’Aga
ciones con d
. Así, regres
certeza sigui
itivas que teor.
saber tambi
itivas que teador. Ejempl
s explicar po
den están
fracciones e
. Inmediatam
ntonces:
dos número
ata
denominador
sando a las f
ente:
engan el mis
én lo siguien
ngan el mislo:
or qué son c
y .
equivalentes
mente se co
os enteros p
MATEMÁ
r 10 porque
fracciones o
smo denomin
nte:
mo numerad
ciertas las af
s a las dada
mparan los
positivos cua
ÁTICA Ciclo
10 es el m.c
originales, se
nador, la ma
dor, la mayo
firmaciones a
s, y con den
numeradore
alesquiera a
o Orientado
c.m.(5,2).
e tiene que:
ayor de amb
or de ambas
anteriores?
nominador ig
es y se ve qu
y b, se tien
2º Año
38
bas es la que
es la que
gual a 21,
ue 14<15,
ne que a <b
e
,
en
Lo
su
poPo
Omsi
N
enm
C.E
Cr.: Lu
ntonces -a >
o mismo ocu
u derecha) q
or lo tanto, eor eso,
Ocurre algo imultiplicación
empre es m
o es siempr
n este casomanera tamb
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
>-b . Por ejem
urre con los
que , pues
el opuesto a
nteresante cn de los natumayor que ca
e así cuando
o, ambos faién:
º 195
ndrés Dall’Aga
mplo:
números rac
s
a , que es
con la multipurales. Al muada uno de lo
o se trata de
actores son
ata
cionales. El
, está
plicación deultiplicar un os números
e racionales
mayores qu
MATEMÁ
número rac
á más lejos
e números ranúmero entque se han
. Por ejempl
ue el produ
ÁTICA Ciclo
ional est
del 0 (y a s
acionales, qero positivo multiplicado
lo:
ucto. Pero p
o Orientado
tá más lejos
su izquierda)
ue la diferepor otro, el
o:
puede ocurr
2º Año
39
del 0 ( y a
) que
ncia de laresultado
rir de otra
.
Aq
es
pr
poel
en
O
Em
E
se
en
A
7-
Dla
Po
se
C.E
Cr.: Lu
quí tenemos
s decir, uno
roducto (
or otra parte producto:
n este caso,
Obsérvese co
n el primeromenores que
n el segundo
e tiene que
n el tercer ca
mbos factor
- Potenciac
espués de ha potenciació
otencias com
erán estudia
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
s que
de los facto
).
e, se puede t
on cuidado c
o, 1 y mayores
o,
y
aso,
es son mayo
ión con bas
haber estudión con base
mo
adas ahora y
º 195
ndrés Dall’Aga
, m
ores es men
también dar
y tambié
cada uno de
, ambs que cero.
.
ores que 1.
se en Q y ex
iado la sumaen Q y expo
y se verá qu
ata
mientras que
nor que el p
r un ejemplo
n
los tres ejem
bos factores
xponente e
a, la resta, lonente en Z
ue el resulta
MATEMÁ
.
producto (
o en el cual a
.
mplos.
son fraccio
n Z
a multiplicac.
ado de esa o
ÁTICA Ciclo
), y el
ambos facto
ones propia
ción y la div
operación n
o Orientado
otro es may
ores son me
as, es decir,
visión en Q,
o es un núm
2º Año
40
yor que el
nores que
, números
se estudiará
mero entero
á
,
si
A
se
Dob
punu
As
enne
po
ah
es
C.E
Cr.: Lu
no un núme
l multiplicar
e obtiene
e manera qbtiene la uni
uesto que umerador po
sí, por ejem
n general, cuegativo, se t
or ejemplo:
hora, si el ex
sto es lo que
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
ero fracciona
, y es
que es dad como re
, y or denomina
plo
uando se eletiene
xponente es
e se espera
º 195
ndrés Dall’Aga
ario.
o se ha obte
el inverso esultado. En
ya se sabe ador en la fra
eva un núm
s negativo:
ría que ocur
ata
enido aplican
de , puntonces, no q
que el inveacción origin
ero racional
rriera si deb
MATEMÁ
ndo las leye
esto que alqueda otra a
erso de todanal.
a un expo
en cumplirse
ÁTICA Ciclo
s de la pote
l multiplicar alternativa q
fracción se
onente ente
e las leyes d
o Orientado
nciación.
estos dos ue escribir:
e obtiene al
ero n, sea és
de la potenc
2º Año
41
números se
intercambia
ste positivo o
ciación en N
e
r
o
N,
pa
As
P
La
Pe
U
O
Es
di
C.E
Cr.: Lu
ara potencia
sí , para cua
uesto que
as leyes de
ero ahora se
n ejempl
Otro caso pod
sta última p
vidir
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
as con núme
alquier núme
potenciación
e debe agreg
o donde
dría ser:
propiedad es
, y no
º 195
ndrés Dall’Aga
eros racional
ero racional
n que valen
gar la siguie
se us
s muy útil p
hay calculad
ata
les en la bas
y cualquie
en N y Z sig
ente:
sa esta
para simplific
dora a la ma
MATEMÁ
se .
er entero pos
guen siendo
última
car ciertos c
ano, se escr
ÁTICA Ciclo
sitivo n se c
válidas:
propiedad,
cálculos. Po
riben el divid
o Orientado
umple que:
es el
or ejemplo,
dendo y el d
2º Año
42
siguiente
si se quiere
divisor como
e
e
o
pr
Lu
R
C.E
Cr.: Lu
roducto de s
uego,
ecordemos:
E.N.M.A. Nº
ucas Pablo An
sus factores
A
º 195
ndrés Dall’Aga
primos:
A ejer
ata
rcitar!
MATEMÁ
!!!!!!
ÁTICA Ciclo
o Orientado 2º Año
43
C.E.N.M.A. Nº 195 MATEMÁTICA Ciclo Orientado 2º Año
Cr.: Lucas Pablo Andrés Dall’Agata
44
C.E
Números Números d Para leer
John NapiEdimburgodel movimpolíticos pEscocia de
Napier eslogarithmose utilizanlogaritmosprimeros, decimalescálculos a
Enciclopetodos los d 1-NÚMER
En el scomenzarolos cálcdenominad
Naturalmetomar 10.000 com
Este tipo dUn ingeniepara hace
E.N.M.A. Nº
decimales decimales. O
ier o John No. Estudió e
miento de la promovidos pe la Biblia.
más conocorum canonin actualments naturales asi no el prim de una foritméticos, d
edia Microsderechos.
ROS DECIMA
siglo XVI on a notar la
culos con dores fueran
ente, para su
mo denomin
de fracción sero y matemr cálculos co
º 195
Operaciones
Neper (1550en la UniversReforma enpor los prote
cido por intis descriptio te no usan a veces se mero, en utorma sistemdescritos en
soft ® Enca
ALES
d.C., los a facilidad c
números n potencias d
umar las fra
nador común
se llama fracmático holanon fraccione
UNID
s con decima
0-1617), matsidad de Sa
n Escocia y estantes. Es
roducir el p(1614). Losla misma bles denomi
tilizar la modmática. Tam
Rabdologiae
rta ® 2005.
matemáticocon la cual s
fraccionade 10. Por e
cciones ante
n y se obtien
cción decimandés llamads decimales
MATEMÁ
DAD
ales. (Trabaj
temático escan Andrés yaños más ta
s autor de la
primer sistems sistemas cobase que losna logaritmoderna notac
mbién invente seu numer
© 1993-200
os europeose efectuabaarios cuyoejemplo:
eriores bast
ne
al. do Simón Sts sin usar el
ÁTICA Ciclo
II
jo práctico).
cocés nacido durante suarde tomó pa primera int
ma de logaromunes y nas logaritmosos neperianción decimaltó sistemas rationis per
04 Microsoft
os an os
a con
tevin inventódenominado
o Orientado
o en Merch estancia al
parte activa terpretación
ritmos, descaturales de
s de Napier,os. Napier fl para expre
mecánicosvirgulas libri
ft Corporatio
ó en el S. Xor. Por ejem
2º Año
45
iston, cerca llí fue seguiden los asun importante
crito en Mirlogaritmos q, aunque a fue uno de esar fraccions para realii duo (1617)
on. Reservad
XVI un métoplo, escribía
de dor
ntos en
rifici que los los
nes zar .
dos
odo a
C.E
Al sumar e
Aunque suescocés, escribir lasAl princip
Finalmenteentera de
Esta últimllaman núm Sabiendo de facilitarforma de eLa mayor
números edecimal, slos número
E.N.M.A. Nº
estos númer
u método noNapier, quies fracciones io, colocó
e, ya en 161la parte dec
a idea de Nmeros decim
que el origer los cálculoexpresar cua
facilidad p
enteros y nose obtiene (2os enteros
º 195
ros, obtenía
o llegó a usen desarrolldecimales. una línea
17, Napier prcimal:
Napier fue lamales.
en de la escros con fraccalquier fraccara los cálc
o ya con fra2,5)(0,03) y
co
co
co
sarse mucholó, a partir debajo de
ropuso el us
a que se ad
ritura de los ciones decimción como unculos radica
cciones, puen realidad
MATEMÁ
omo
omo
omo
o, su idea fude la propo
los dígitos
so de una co
optó definiti
números demales, es bn número dea en que só
es al escribesta operac
ÁTICA Ciclo
ue tomada posición de S
s del nume
oma o un pu
vamente pa
ecimales estueno notar
ecimal. ólo se efect
ir, por ejemción requiere
o Orientado
por un gran Stevin, otra
erador, de
nto para sep
ara escribir l
á vinculado que luego
túan las op
plo, e sólo que s
2º Año
46
matemáticomanera de
esta mane
parar la part
los que hoy
a la necesidse encontró
peraciones c
en la forse multipliqu
o e
ra:
e
se
dad ó la
con
rma uen
C.E
y luego sela coma, y
Es importacalculadorciertas áremucha preLos númesino cualq
Por ejempdecimal, d
pues se saque tiene d
Otra mane
La serie dedividendo
El paso fincaso:
De esta mcualquieraSi la fraccmanera us Por ejemp
Cuando laun decima
El ejemploel número
E.N.M.A. Nº
e le coloca lay se escribe
ante saber qras que ayueas, como eecisión. ros decimaluier fracción
plo, sabemosde la siguient
abe que denominado
era de obten
e operacionepor 10, por
nal de coloca
manera, es pa. ión es imprsual, y se ob
plo:
a parte decimal finito.
o anterior no65 y no sigu
º 195
a coma de mentonces
que, en los udaran a losen la astron
es se usaron en general
s que te manera: s
y eor igual a 10
ner esto, es l
es mostradaser menor é
ar la coma e
posible enco
ropia, se reabtiene la exp
mal tiene un
os decía queue por lo tan
manera que s
tiempos en s científicosnomía, por e
on finalmentel.
, lo cual se multiplica
esa operació:
la siguiente:
as equivale aéste que el d
en el sitio cor
ntrar la expr
aliza la divispresión decim
final determ
e teníamos 0nto se trata d
MATEMÁ
se obtengan
que esta id en la realiejemplo, los
e, no sólo p
se puede oan numerado
ón permitirá e
a la división divisor:
rrecto equiva
resión decim
sión del nummal de la fra
minado y no v
0,65. Aquí vede un decim
ÁTICA Ciclo
n 3 espacios
ea surgió, nzación de c
s cálculos c
para represe
btener escrior y denomin
encontrar la
, que
ale a la mult
mal que corr
merador entrección.
va mas allá,
emos que la al finito.
o Orientado
ocupados a
no existían, cálculos comcomplicados
entar fraccion
biendo comnador por 5,
fracción equ
e se realiza m
tiplicación po
esponde a u
e el denomin
decimos qu
parte decim
2º Año
47
a la derecha
por supuestmplicados. E
requerían d
nes decimal
mo fracción en este cas
uivalente a
multiplicando
or , en es
una fracción
nador, de la
ue se trata de
mal termina c
de
to, En de
les,
so,
o el
ste
n
a
e
con
C.E
Ocurre conel denomi
caso de decimal en
Los puntos Esta expre
El númeroEn alguno
Ciertamen
expresión
El período
Decimales
En ellos
0,1
0,1
0,
Hay ca
En este ej
E.N.M.A. Nº
n algunas frnador, se o
. al efectun cuestión e
s suspensivo
esión se llam
o que se repis casos, el p
nte, es intere
fraccionaria
o de la expre
s Periódico
s se repite si
161616......
16
,143
asos en los q
jemplo, el p
º 195
acciones algobtienen cifr
ar la divisións:
os indican q
ma expresión
ite, en este cperíodo tiene
esante la ex
a es tan senc
esión decima
os Puros
iempre el mi
En la part
Entonces
Podemosasí.
que la expre
período com
go curioso: cras decimale
n, en cada p
que la suces
n decimal p
caso, el 6, ee más de un
xistencia de
cilla como
al periódica d
ismo número
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UNIDAD III
Razones y proporciones 1- Razones 2- Proporciones. 3- Escala (Trabajo Práctico). 4- Proporcionalidad directa e inversa. 5- Regla de tres simple directa e inversa.
1-RAZÓN O RELACIÓN:
Lean detenidamente el relato de estas situaciones: a-Observo que el médico toma la muñeca del paciente, mira el reloj, y enseguida dice: _Usted tiene 72 pulsaciones por minuto. Lo hizo tan rápido que estoy seguro de que no pasó medio minuto. ¿Qué cálculo hizo el médico? b-Miramos una máquina de envasar. Alguien pregunta: _ ¿Cuántos envases se llenarán en una hora? No pasaron cinco minutos y uno de los presentes responde: _Alrededor de 960 envases. ¿Cómo lo hizo? Discute con tus compañeros y encuentra una respuesta a los interrogantes anteriores.
Razón o Relación: Se llaman así al resultado de comparar dos cantidades, la primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente.
Estas cantidades las presentaremos en forma fraccionaria (aunque no es exactamente una fracción), de la siguiente manera:
antecedente consecuente
Por ejemplo si tenemos la razón de 7 a 4, el antecedente será 7 y el consecuente será 4.
Nuestra razón quedará: 7 4
Responde:¿Por qué una razón no es considerada como una fracción?
Ejemplo:
Si queremos relacionar el número de mujeres con el número de varones del Cenma 195 en el año 2007, podemos empezar por calcular su diferencia: Por ejemplo si obtenemos “mujeres menos varones = 120 – 80 = 40, esta diferencia no da una idea precisa sobre la distribución por sexos, ya que respondería igualmente a otras situaciones cuya diferencia sea 40.
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51
Más interesante sería, en este caso, indicar el cociente. Supongamos que obtenemos:
80
120
varones
mujeres
Decimos que la razón “mujeres/varones es 3/2”, o que están en razón de 3 a 2 Con este dato sabemos que, independientemente del número total, por cada 3 mujeres hay 2 varones, y esto sí da idea de la distribución por sexos. Actividades
1. En un colegio hay 10 computadoras si va a la sala de computación un curso de 40 alumnos. ¿Cuál es la razón entre el número de computadoras y el número de alumnos? ¿Se puede simplificar?
2. Escriban la razón y calculen el cociente entre los 180 km que recorre un auto y las 2h que tarda en recorrerlos. ¿Qué nombre recibe dicho cociente?
3. Si un auto va a 120 km/h. ¿Qué significa?
4. La medida del lado de una habitación en un plano es de 3cm y su medida real 3m. Calculen la razón. ¿Qué nombre recibe dicha razón?
5. Para dibujar el croquis de una ciudad se utilizó una escala 1:500. ¿Qué significa
dicha expresión?
Aplicación: La densidad de población de un territorio es la razón entre la cantidad de habitantes y la superficie del territorio. Se la expresa habitualmente en habitantes por kilómetro cuadrado (hab/km2)
Por ejemplo. Argentina tiene una superficie de 2.780.400 km2, y en ella viven, según el censo nacional 2006, aproximadamente 39.921.000 habitantes. Su densidad de
población es, entonces: 22
15400.780.2
000.921.39
km
hab
km
hab , esto significa que, en promedio,
existen en el territorio argentino 15 habitantes por cada kilómetro cuadrado.
Ejemplos de superficie, población y densidad de distintos países del mundo.
País Superficie (km2) Población Densidad (hab/km2)
BAHREIM 707 698.000 987
BANGLADESH 147.570 147.36.500 998
ARGENTINA 2.780.400 39.921.000 15
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MONGOLIA 1.566.000 2.832.000 2
CHINA 9.571.000 1.313.973.000 137
INDIA 3.165.000 1.095.352.000 346
Ubica en un mapa los países citados en el cuadro y analiza los diferentes datos comparándolos.
2-PROPORCIONES:
Las llamamos así cuando tenemos un par de razones que son iguales. Por ejemplo, tenemos: las razones 2 es a 3 y 6 es a 9.
Se escribirán: 2 y 6 3 9
Ejemplo: dura Si 1 ficha telefónica 15 segundos 2 fichas telefónicas 30 segundos Se lee “a es a b como c es a d” (con b y d distintos de cero)
Se puede escribir: 30
2
15
1 PROPORCIÓN
Simbólicamente d
c
b
a
Las proporciones se pueden clasificar en: ORDINARIAS: sus elementos no son iguales CONTINUAS: los medios son iguales
d
c
b
a
c
b
b
a
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Simbólicamente:
medios
extremos
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53
cbdad
c
b
aSi ..
105
63 porque 3. 10 = 5 . 6
3621
127
porque 7 . 36 = 12 . 21
Esta propiedad se utiliza para: Probar si cuatro números forman una proporción. Calcular un medio o un extremo desconocido. RESUELVE 1-Verifiquen si las siguientes expresiones son proporciones Escriban = ó según corresponda:
159
106
54
45
2510
104
412
29
101
10010
17
71
3632
98
31
217
2-Algunos alumnos pidieron autorización al director del colegio para ir a pasar el día al Cerro Colorado. El director los autorizó con la condición de que fueran 3 profesores cada 40 alumnos. En total son 200 alumnos que van a ir. ¿Cuántos profesores los acompañarán? 3-Para el paseo, decidieron llevar 2 litros de jugo cada 8 chicos. ¿Cuántos litros de jugo llevarán? 4-Apliquen la propiedad fundamental de las proporciones y calculen el medio o el extremo desconocido.
131236
x
945
50 x
5,494 x
3271
34
x
215
4321
x
x
2,725,02,1
A ejercitar!!!!!!
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3-ESCALA La escala de un mapa define la relación entre la distancia medida sobre el mapa y la distancia correspondiente en la realidad; en una relación de 1:100.000.000. (izquierda); las unidades de medida que aparecen en la escala representan 1.000 km en la realidad. (centro); una unidad en el mapa equivale a una distancia de 10.000.000 unidades en la realidad. (derecha); una unidad en el mapa equivale a una distancia de 1.000.000 unidades en la realidad.
En los mapas, la escala puede expresarse de tres modos distintos: en forma de proporción o fracción, como por ejemplo 1:50.000 ó 1/50.000, que significa que una unidad medida en el mapa equivale a 50.000 de esas unidades medidas sobre la superficie de la Tierra; con una escala gráfica, que suele ser un segmento recto en el que se marcan las distancias, expresadas la mayoría de las veces en kilómetros u otras unidades de longitud; o con una expresión en palabras y cifras, como por ejemplo: "1 centímetro representa 100 kilómetros", es decir, 1 cm en el mapa representa 100 km en la superficie terrestre. Cuanto mayor es la escala, más se aproxima al tamaño real de los elementos de la superficie terrestre. Los mapas a pequeña escala generalmente representan grandes porciones de la Tierra y, por tanto, son menos detallados que los mapas realizados con escalas más grandes.
A Resolver la guía y ejercitar!!!!!
4-MAGNITUDES PROPORCIONALES
Las magnitudes proporcionales pueden ser de dos clases:
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a) Magnitudes Directamente Proporcionales:
Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra también debe ser multiplicada por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra también debe ser dividida por el mismo número.
Por ejemplo si tenemos: 7 4
Se quiere formar una proporción, entonces tendremos que multiplicar o dividir por el mismo número tanto a 7 como a 4:
7 ~> x4 ~> 28 4 ~> x4 ~> 16
Hemos formado:
7 = 28 4 16
Nótese que en este caso ambas cantidades aumentan proporcionalmente
Ejemplos de magnitudes directamente proporcionales:
El tiempo y las unidades de trabajo realizadas (a mayor tiempo, mayor trabajo realizado)
La cantidad y el precio (a mayor cantidad, mayor precio) El peso y el precio (a mayor peso, mayor precio)
El tiempo de trabajo y el sueldo de un trabajador (a mayor tiempo, mayor sueldo)
El espacio con la velocidad (recorremos mayor distancia si vamos a mayor velocidad)
El espacio con el tiempo (recorremos mayor distancia en mayor tiempo)
b) Magnitudes Inversamente Proporcionales:
Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra debe ser multiplicada por el mismo número.
Por ejemplo si tenemos: 4 7
Queremos formar una proporción (empleando el criterio de magnitudes inversamente proporcionales:
4 ~> ÷4 ~> 1 7 ~> x4 ~> 28
Nótese que mientras una cantidad aumenta la otra disminuye proporcionalmente
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Ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales:
El número de obreros y el tiempo para realizar una obra (mas obreros, menos tiempo)
Las horas de trabajo y los días que se trabaja (mas horas, menos días) La velocidad y el tiempo (a mayor velocidad, menor tiempo en recorrer una
distancia)
5-REGLA DE TRES SIMPLE
La regla de tres simple se apoya en los criterios de las magnitudes proporcionales, entonces tendremos dos clases:
Regla de Tres Simple Directa: Esta se utiliza para magnitudes directamente proporcionales.
Por ejemplo, si tenemos que 5 libros me cuestan 26 pesos, queremos saber cuanto costaran 15 libros
5 libros ~> $. 26 15 libros ~> x
Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar cruzado los datos que si tenemos: 5 libros ~> $ 26 15 libros ~> x 15 x 26 = 390
Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que aún no habíamos empleado: 5 libros ~> S/. 26 15 libros ~> x 390 ÷ 5 = 78
Finalmente decimos que 15 libros nos costaran 78 pesos.
Regla de Tres Simple Inversa: Esta se utiliza para magnitudes inversamente proporcionales.
Por ejemplo, si 4 obreros hacen una pequeña construcción en 12 días, ¿cuántos días demoraran 6 obreros?
4 obreros ~> 12 días 6 obreros ~> x
Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar directamente los datos que si tenemos: 4 obreros ~> 12 días 6 obreros ~> x 4 x 12 = 48
Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que aún no habíamos empleado: 4 obreros ~> 12 días 6 obreros ~> x 48 ÷ 6 = 8
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Finalmente decimos que 6 obreros completaran su trabajo en 8 días. Responde:¿existe alguna limitación en la cantidad de obreros puedo aumentar indefinidamente ese valor?
A ejercitar!!!!!!
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UNIDAD IV 1- Expresiones algebraicas: Monomios, Polinomios, Operaciones con Polinomios. 2- Ecuaciones. 1 Expresiones algebraicas polinomios Definiciones:
Comenzaremos por conocer algunos nombres con los que se identifican algunas expresiones algebraicas.
• Se llama monomio a una expresión algebraica en la que no hay sumas ni restas.
Por ejemplo:
3xz2, 5y, - 1 w, ab, etc.
2 • Se llama binomio a la suma y/o resta de dos monomios.
Por ejemplo: -4m + 2n, 7x + 5xy, - 5x + 8, etc.
• Se llama trinomio a la suma y/o resta de tres monomios.
Por ejemplo: ¾ m + 1/2 n + 4.5n, 7.8x - 5x 3/7 x, 9y - 2xy - 17, etc.
Por ejemplo:
8a2
- 27b + 4c - 25, -2k + 0.5k2 - 5/k , etc. • A los monomios que conforman un binomio, trinomio o polinomio también se los llama términos. Un término o un monomio está compuesto por un numero que multiplica a una o varias variables; este número se llama coeficiente. Por ejemplo, en el término –5 mn
Se llama polinomio a un binomio, a un trinomio o a la suma y/o resta de más de tres
monomios.
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el coeficiente es –5 y las letras m y n son variables. En general, cuan- do el coeficiente es 1, no se escribe: por ejemplo, en el monomio ab el coeficiente es 1.
Cuando dos monomios tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras
con los mismos exponentes, se dice que son términos semejantes. En los ejemplos anteriores tenemos los siguientes términos semejantes:
12
, 4,5 2 ;
5y, -5y y 9y;
2xy y 5xy
4 ;
Actividades
1) Diga si las siguientes expresiones son monomios, binomios, trinomios o polinomios. En el caso en que no sean monomios, indique cuáles son los términos que las componen. a) 67d + 12.4 ed c) 58.7 wqyhk e) 78s - 12r + 41u - 34v + 87 b) a - ab + abc - 4 d) t + e + f f) -5h + 5h 2) En los siguientes polinomios indique los términos semejantes:
a) 5 ab4 + a2 b - 3/4 a2 b c) -4r - 2s + 28r 2
b) m - 7nm + 2m + 2mn d) 6xy + 3x2 y - 7xy + 2x2 y2 Operaciones con polinomios
En esta sección veremos cómo se opera con polinomios. Empezaremos revisando la suma y resta de polinomios, continuará con la multiplicación de polinomios y finalizaremos con la división de un polinomio entre un monomio. Conviene tener presente en estas operaciones que los términos de un polinomio están compuestos de coeficientes numéricos y de letras que representan números, por lo que estaremos aplicando continuamente las propiedades de las operaciones entre números reales que revisamos en módulos anteriores.
La suma o resta de dos o más polinomios es la suma o resta de los monomios o términos que los conforman. Por ello, el problema de suma o resta de polinomios se reduce a conocer cómo se opera con monomios.
Sólo se pueden resolver las sumas o restas de monomios semejantes, para lo cual se utilizan las propiedades de la suma y resta entre números que usted ya ha visto desde los primeros módulos de estudio.
Cuando tenemos sumas de términos no semejantes, la dejamos indicada, ya que no se puede avanzar en su resolución. Veamos los siguientes ejemplos:
C.E.N.M.A. Nº 195 MATEMÁTICA Ciclo Orientado 2º Año
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Si queremos sumar los monomios 3mn y 4mn, al escribir la suma ya tenemos un binomio:
Para resolver la suma indicada podemos pensar del siguiente modo, por un lado tenemos 3 veces el producto mn, y por otro lado lo tenemos 4 veces, si hacemos la suma podemos decir que tenemos 7 veces el producto mencionado. Entonces:
El procedimiento que hemos seguido en este ejemplo puede generalizarse a la suma y a la resta de dos términos semejantes cualesquiera:
• El resultado de la suma de términos semejantes es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los sumandos.
• El resultado de la resta de dos términos semejantes es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente es la diferencia entre los coeficientes del minuendo y el sustraendo.
• Como los coeficientes son números reales, al sumarlos o restarlos se tendrán en cuenta las propiedades de las operaciones de esos números.
Veamos otro ejemplo. Supongamos que tenemos una operación como la siguiente: el monomio 3x más el binomio 5y – 4x Primero escribimos el trinomio resultante: 3x + 5y – 4x
y luego reordenamos los sumandos para poder operar con los términos semejantes: 3x + 5y – 4x = 3x – 4x + 5y = (3 – 4) x + 5y = –1x + 5y Finalmente, como en general no se escribe el coeficiente 1, tenemos que 3x + 5y – 4x = –x + 5y
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Cuando se resuelven sumas o restas entre términos de un polinomio, se dice que se reducen términos.
Si queremos sumar dos polinomios simplemente reordenamos y agrupamos los términos semejantes de cada uno de ellos para efectuar, como en los ejemplos anteriores, las operaciones que sean posibles. Si en el polinomio aparecen restas es útil escribirlas como sumas considerando los inversos aditivos, de esta forma será más fácil reagrupar los términos. A modo de ejemplo, vamos a efectuar la suma de los siguientes tres polinomios: 2x + 4y – 5; 3x – y + 16; 7y + 3
Podemos acomodar los polinomios en posición vertical de modo que los términos semejantes queden en la misma columna. Veamos:
2x + 4y + (-5) + 3x + (-y) + 16
w + 7y + 3
w + 5 x + 10y+ 14 Si quisiéramos restar dos polinomios actuamos de forma muy similar, más aún, puede convertir la resta entre los polinomios en una suma considerando el inverso aditivo de cada uno de los términos del sustraendo. Por ejemplo vamos realizar la siguiente resta:
Al polinomio 8a + 5b – 4ab, le vamos a restar el polinomio 3ab –2a + 8. Entonces tenemos que: (8a + 5b – 4ab) – (3ab –2a + 8) = (8a + 5b – 4ab) + [–3ab – (–2a) + (– 8)]
Como ahora se tiene una suma usted puede resolverla del mismo modo en que lo hicimos en el ejemplo anterior y seguramente llegará al resultado: 10a + 5b – 7ab – 8
Veamos a continuación cómo efectuar la multiplicación de polinomios. Aquí se pueden presentar tres situaciones que analizaremos por separado: el pro- ducto de dos monomios, el producto de un polinomio por un monomio y el producto de dos polinomios. Para multiplicar dos monomios no es necesario que éstos sean semejantes. Veamos el siguiente ejemplo
(4 x2 ) (2 xy)
Como cada monomio expresa una multiplicación, tenemos 4 por x2 que multiplica a 2 por x por y, y nosotros sabemos por las propiedades conmutativa y asociativa del producto que podemos cambiar el orden de los factores y agrupar- los como nos convenga, para poder multiplicar como ya sabemos hacerlo. La expresión anterior se nos convierte entonces en:
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(4) (2) (x2 ) (x) (y) = 8x3 y
Habrá observado que al multiplicar (x 2) (x), usamos la regla de producto de dos potencias de igual base, es decir sumamos los exponentes.
La segunda situación que veremos es el producto de un polinomio por un monomio. En este caso aplicamos la propiedad distributiva y cada vez tenemos el producto de dos monomios. Por ejemplo: Finalmente, para multiplicar dos polinomios aplicamos también la propiedad distributiva, recordando que debemos multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro. Veamos un primer ejemplo: multipliquemos los polinomios (5w + 2) y (z + 3) Primero distribuiremos el binomio z + 3 multiplicándolo por el binomio 5w + 2, y después distribuiremos este último multiplicándolo por cada uno de los términos del primero: (5w + 2) (z + 3) = (5w + 2) (z) + (5w + 2) (3) = = (5w) (z) + (2) (z) + (5w) (3) + (2) (3) = = 5wz + 2z + 15w + 6
En general para multiplicar polinomios entre sí, se procede de la siguiente manera:
• El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el pro- ducto de los coeficientes de los factores, y la parte literal está formada por todas las letras que aparecen en los factores; cada letra tendrá como exponente la suma de los exponentes que tenía en cada factor.
• Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva de modo que cada término de un polinomio quede multiplicado por cada uno de los términos del otro. Si es posible se reducen términos.
• Si en los factores aparecen restas es útil escribir éstas como sumas usan- do el inverso aditivo.
• Se debe aplicar la regla de los signos que se ha visto para la multiplicación de números.
Por último para dividir un polinomio entre un monomio seguimos un pro- ceso muy similar al que aplicamos en la multiplicación. Para poder aplicar más fácilmente la regla de la división de potencias de igual base, resulta útil que cada
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término del dividendo tenga todas las letras del divisor. Cuando esto no ocurre podemos agregarlas con exponente cero, ya que como cualquier número elevado a la cero es uno, la expresión no cambia aunque la escribamos de distinta forma. Veamos el siguiente ejemplo:
(3b2 + b3 c) ÷ (2bc) = Como en el primer término no aparece la letra c que sí está en el divisor la agregamos con exponente 0, y nuestra expresión se convierte en:
(3b2 c0 + b3 c) ÷ (2bc)
Ahora aplicamos la propiedad distributiva y dividimos como ya sabemos hacerlo:
(3b2 c0 + b3 c) (2bc) = (3b2 c0 ) (2bc) + (b3 c) (2bc)
= 3/2 b1 c-1 + 1 b2 c0
32
12
Entonces, nuestra división queda así:
3 2 32
12
En general podemos decir que:
• El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente del coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor, y cuya parte literal está formada por todas las letras que aparecen en la operación, en la que cada letra tendrá como exponente la resta del exponente que tenía en el dividendo menos el que tenía en el divisor.
Para dividir un polinomio entre un monomio se aplica la propiedad distributiva de modo que cada término del polinomio quede dividido entre el divisor.
• Si en el polinomio aparecen restas es útil escribir éstas como sumas usan- do el inverso aditivo.
• Se debe aplicar la regla de los signos que se ha visto para la división de números.
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Actividades 3) Resuelva las siguientes sumas y restas
a) ( x - 7z +4) + (5x + 4z - 1/4 ) f)
b) (2x - 3v + 5) - (4y + 6u - 5) g) 5a - 3b) + (-6a - 2b) - (3a + 4b) - (-a-b) c) (n + hg - 2nhg) + (nhg - n + 1) h) 8 x3 - 40x2 + 50x) + (-20x2 + 100x - 125) d) -6d + 4 - 2e) - (6d - 5f + 3) i) 2t4 - t2 + tt - 1) + t5 - t3 + 3 + 2t) e) 3a + 2b - 4) - (-3a + 4b) j) -7k + 2s - 3q) - (-2q - 3k) + (4k + q - 2s) 4) Resuelva las siguientes operaciones de polinomios
a) (2x2y) (3x3y2) g) 2x2 - 5xy + 6y2) (2x2 - 5xy + 6y2)
b) 8w2 - 5z + 4) (3w) h) (x4 - 5x3 - 10x2 + 15x) ÷ (-5x)
c) (x3 - 2x2 + 2) (x3 - 2x + 3) i) (12q2d - 6qd2 + 24qd) ÷ (3qd)
d) (3a + 2b2) (a - b) j) (4rt + 5e2 - 3e) (2e - 4 + rt)
e) (g + h) (g - h) k) (-8x - 3x2 - 2x3 - 4) (-5x3 - 2x2 - 3x - 5) f) (2w - 3v) (2w - 3v) Claves de corrección: 1) a) es un binomio; sus términos son 67d y 12.4ed
b) es un polinomio; sus términos son a, ab, abc, y 4;
c) es un monomio; d) es un trinomio; sus términos son t, e y f; e) es un polinomio; sus términos son 78s, 12r, 41u, 34v y 87; f) es un binomio; sus términos son -5h y 5h.
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2) 3)
4)
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2 -ECUACIONES: Para Leer
Hasta el siglo XVII, las ecuaciones estuvieron limitadas pues los matemáticos no fueron capaces de aceptar que los números negativos y complejos podían ser raíces de ecuaciones polinómicas. Sólo los antiguos matemáticos indios, como Brahmagupta, conocían las raíces negativas, pero fuera de China e India no se trabajaba con coeficientes negativos en los polinomios. En vez de un solo tipo de ecuación de segundo grado, el mencionado más arriba, había seis tipos distintos, según cuáles fueran los coeficientes negativos. Un método de resolución de ecuaciones que puede encontrarse en antiguos libros egipcios y chinos, es el de la falsa posición. Los egipcios utilizaban el método de la falsa posición para encontrar una raíz en ecuaciones de segundo grado sencillas. Para ecuaciones cuadráticas con un término en x, como x2 - 5x = 6, las primeras soluciones no se encuentran hasta en los libros de matemáticas babilonios del 2000 a.C. Aunque los babilonios no conocían las raíces negativas ni las complejas, su método de búsqueda de las raíces positivas reales es el mismo que se utiliza en la actualidad. Otro importante descubrimiento del mundo antiguo, que se puede encontrar en los escritos del matemático y científico griego Herón de Alejandría en el siglo I, es un método de aproximación de la raíz positiva de ecuaciones como x2 = 2.. Un método iterativo muy útil, que se encuentra en los trabajos de los matemáticos chinos Liu Hui (en el siglo III) y Chu Shih-Chieh (en el siglo XIII), fue redescubierto en Europa hacia 1800 por el matemático inglés W. G. Horner. También había sido usado por el matemático árabe Yamschid al-Kaschi. Entre otros matemáticos árabes que hicieron importantes contribuciones a la teoría de ecuaciones se incluyen al-Jwarizmi y Omar Jayyam, que desarrollaron la primera teoría de las ecuaciones cúbicas. Sin embargo, esta teoría estaba definida en términos geométricos y era, por tanto, incompleta. En 1545 el matemático italiano Gerolamo Cardano publicó una solución algebraica para las ecuaciones de tercer grado en función de sus coeficientes y Niccolò Tartaglia la desarrolló. Poco después, Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, encontró una solución algebraica para las ecuaciones de cuarto grado. En 1629 el matemático francés Albert Girard aceptó raíces de ecuaciones tanto negativas como complejas y fue, por tanto, capaz de finalizar el aún incompleto estudio que François Viète había realizado sobre la relación entre las raíces de una ecuación algebraica y sus coeficientes. Viète había descubierto que si a y b son las raíces de x2 - px + q = 0, entonces p = (a + b) y q = a·b. En 1635 el matemático y filósofo francés René Descartes publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón mencionado más arriba es un caso particular de éste. A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró que cualquier ecuación polinómica tiene al menos una raíz. Sin embargo, quedaba aún por saber si era posible expresar esta raíz con una fórmula algebraica utilizando los coeficientes de la ecuación, como se había encontrado para las de segundo, tercer y cuarto grado. El astrónomo y matemático francés Joseph Lagrange dio un paso importante para resolver esta cuestión con su método de permutación de las raíces de una ecuación para el estudio de sus soluciones. Este fructífero concepto, junto con los trabajos del matemático italiano Paolo Ruffini, del noruego Niels Abel y del francés Évariste Galois, condujo a una teoría completa de los polinomios. Entre otras cosas, esta teoría demuestra que un polinomio sólo se puede resolver utilizando una fórmula
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UNIDAD V
UNIDAD V: funciones. 1- Funciones. Variables, función lineal. 2- Representación en ejes cartesianos. 3- Ejercitación.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), también conocido como barón Gottfried Wilhelm von Leibniz. Filósofo, matemático y estadista alemán, considerado como uno de los mayores intelectuales del siglo XVII. Nacido en Leipzig, se educó en las universidades de esta ciudad, de Jena y de Altdorf. Desde 1666 (año en que fue premiado con un doctorado en leyes) trabajó para Johann Philipp von Schönborn, arzobispo elector de Maguncia, en diversas tareas legales, políticas y diplomáticas. En 1673, cuando cayó el régimen del elector, Leibniz marchó a París. Permaneció allí durante tres años y también visitó Amsterdam y Londres, donde dedicó su tiempo al estudio de las matemáticas, la ciencia y la filosofía. En 1676 fue designado bibliotecario y consejero privado en la corte de Hannover. Durante los 40 años siguientes, hasta su muerte, sirvió a Ernesto Augusto, duque de Brunswick-Lüneburg, más tarde elector de Hannover, y a Jorge Luis, elector de Hannover, después Jorge I, rey de Gran Bretaña.
Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra aborda no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diplomacia, política, historia, filología y física.
La contribución de Leibniz a las matemáticas consistió en enumerar en 1675 los principios fundamentales del cálculo infinitesimal. Esta explicación se produjo con independencia de los descubrimientos del científico inglés Isaac Newton, cuyo sistema de cálculo fue inventado en 1666. El sistema de Leibniz fue publicado en 1684, el de Newton en 1687, y el método de notación ideado por Leibniz fue adoptado universalmente. En 1672 también inventó una máquina de calcular capaz de multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas. Es considerado un pionero en el desarrollo de la lógica matemática.
En la exposición filosófica de Leibniz, el Universo se compone de innumerables centros conscientes de fuerza espiritual o energía, conocidos como mónadas. Cada mónada representa un microcosmos individual, que refleja el Universo en diversos grados de perfección y evolucionan con independencia del resto de las mónadas. El Universo constituido por estas mónadas es el resultado armonioso de un plan divino. Los humanos, sin embargo, con su visión limitada, no pueden aceptar la existencia de las enfermedades y la muerte como partes integrantes de la armonía universal. Este Universo de Leibniz, “el mejor de los mundos posibles”, es satirizado como una utopía por el autor francés Voltaire en su novela Cándido (1759).
Entre las obras filosóficas fundamentales de Leibniz se incluyen Ensayos de Teodicea sobre la bondad de Dios, la libertad del hombre y el origen del mal (2 vols., 1710),
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Monadología (1714; publicado en latín como Principia Philosophiae, 1721), y Nuevo tratado sobre el entendimiento humano (1703; pub. 1765). Los dos últimos influyeron mucho en los filósofos alemanes del siglo XVIII, incluyendo a Christian von Wolff e Immanuel Kant.
FUNCIONES
LA FUNCIÓN LINEAL
Todos los meses debemos abonar la factura de luz. Te mostramos las tres últimas facturas que hemos tenido que pagar:
Analizando las tres facturas vemos que existe un importe que se repite: el básico. Éste es el que tenemos que pagar sin importar si consumimos o no energía. Sería el mantenimiento de la línea. También podemos observar que hay un valor que cambia con la cantidad de Kw. consumidos, el subtotal de consumo de energía. Finalmente el total depende como la suma del básico más el consumo de energía depende de estos dos valores. Antes de continuar con la lectura de esta página intenta hallar una fórmula que te permita calcular el total de la factura de un período cualquiera, teniendo en cuenta que puede variar la cantidad de Kw. consumidos. La fórmula: No es muy complicado entender que el total se calcula haciendo la siguiente cuenta:
Precio de un Kw. x Cantidad de Kw. + Básico = total de la factura
sabemos que: Precio de un Kw. es $0,23. Básico es $12.
Período:
Precio por Kw Kw consumidos Subtotal12 0.23 120 27.6 39.6
Período:
Precio por Kw Kw consumidos Subtotal12 0.23 145 33.35 45.35
Período:
Precio por Kw Kw consumidos Subtotal12 0.23 133 30.59 42.59
Noviembre
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Total
Octubre
BásicoConsumo en Kw
Total
Consumo en KwTotalBásico
Septiembre
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Cantidad de Kw. consumidos es una variable, porque puede cambiar según el período facturado. Entonces podemos ponerle una letra a fin de identificar esta variable. Nosotros elegimos la letra x, entonces tenemos que:
X = cantidad de Kw. consumidos en un período
El total depende de la cantidad de Kw. consumidos, porque el básico permanece constante en todos los períodos. Entonces el total es la variable dependiente, mientras que los Kw. consumidos en el período es la variable independiente. Escribiremos el total de la factura como f(x). Recuerda que poner la variable independiente entre paréntesis indica que f depende de x, también la representamos con la letra Y.
Con estas consideraciones podemos expresar la fórmula de la siguiente manera:
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La formula anterior nos indica que hay una relación entre el total a pagar y las constantes y la variable x. Además si pensamos un poco veremos que la relación es una función, porque a una cantidad de Kw. consumidos le corresponde un y sólo un total, no puede haber dos precios a pagar distintos si la cantidad consumida es la misma. Entonces la fórmula anterior nos dice que estamos en presencia de una función. Como recordarás de introducción a las funciones, éstas pueden graficarse. Intenta realizar la gráfica de la función que estamos analizando antes de continuar.
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Además no tomamos los valores negativos de x porque no puede haber una cantidad negativa de Kw. consumidos, como mínimo el consumo es 0 y como esta función solamente tiene valores negativos cuando x < 0, entonces tampoco se consideran los valores negativos del eje vertical.
Observando la gráfica vemos que la primera coordenada vertical que aparece es el número 12. Esto coincide con el valor x =0, es decir que si no consumimos energía deberemos pagar $12 por el mantenimiento de la línea eléctrica que nos corresponde. Matemáticamente decimos que el origen de coordenadas se ha desplazado hacia el punto (0,12), en lugar de estar en el (0,0), por ello a este valor se lo llama ORDENADA AL ORIGEN. Entonces la ordenada al origen es el valor de la función f(x) en x = 0. Otra observación de la gráfica nos conduce a afirmar que es una recta que forma un ángulo con el eje horizontal. En efecto si tomamos al eje horizontal como uno de los lados del ángulo, a la recta como el segundo lado y al punto ordenada al origen como el vértice, tenemos el ángulo que forma la recta con el eje horizontal. Suponiendo que cambia el del Kw, no así el abono 1) f(x) = 0.35x+12 2) f(x) = 0.115x+12
Ya habrás notado que las tres gráficas tienen tres ángulos distintos y lo único que ha cambiado en las fórmulas (además de las letras de las variables dependiente) es el número que multiplica a la x.
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Esto nos permite conjeturar que el número que acompaña a la x, es justamente el indicador del ángulo que forma la recta con el eje horizontal. Y en efecto, éste número llamado PENDIENTE DE LA RECTA, es quien nos marca que ángulo forma la recta con el eje horizontal. Para entender porque es este número el indicador del ángulo, debes saber trigonometría de triángulos rectángulos. En ese tema se estudia entre otras funciones, la función tangente y es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal el número al que hemos llamado PENDIENTE DE LA RECTA. A partir de la observación de las tres gráficas de la segunda imagen, podemos conjeturar que todas las funciones que tengan la forma y = a x + b, son funciones cuya gráfica es una recta. Entonces generalizamos las observaciones anteriores diciendo que: LA FUNCIÓN LINEAL ES LA FUNCIÓN QUE TIENE COMO GRÁFICA UNA RECTA Y SU FORMA GENERAL ES y = a x + b . Donde: a es la pendiente (tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal o eje de abscisas) b es la ordenada al origen, es decir el punto la coordenada vertical en el punto (0,b) o (0, f(0)).
Resuelve la guía !!!!!!!!!!!!!
REPRESENTACION DE UNA FUNCIÓN
La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.
El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo de la función.
Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores de la función como lo indicamos anteriormente.
Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y representado por O; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par de números corresponde a un punto del plano.
Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función.
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A continuación se encuentran representadas diferentes funciones, todas tienen el mismo valor absoluto de misma ordenada al origen y la misma pendiente, sólo cambian los signos.
Analiza con tus compañeros las distintas situaciones.
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Ejercicios
1) Representar en un mismo sistema de coordenadas cartesianas las siguientes rectas:
y = x y = x + 1 y = x + 3 y = x - 1
¿Cómo resultan las rectas obtenidas?.
2) Representar en un mismo sistema de ejes:
y = -3.x
1; 5
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-1; -1
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y = 2.x + 2 y = 3.x - 4 y = 4/5 - x/2
Indicar en cada caso la pendiente y la ordenada al origen.