GENERALIDADES I

El porcentaje

Porcentaje

10% 0.10 50% 0.50

20% 0.20 2% 0.02

5% 0.05 160% 1.60

6% 0.06 400% 4

3% 0.03

% a tanto por 1

Dividido para 100 la cantidad indicada y se elimina el signo de %

Recorremos la como hacia la izquierda 2 y lo suprimimos el %

Tanto por 1 a %

Le multiplica la cantidad de tanto por 1 por la cantidad de 100 y se coloca el signo de %

Le recorre la coma hacia la derecha 2 y se aumenta el %

43/4 % 19/4% 4.75% 0.0475

11/8% 9/8% 1.13% 0.0113

71/2% 15/2% 7.5% 0.075

51/4% 21/4% 5.25% 0.0525

como colocamos el %

Determine el 10 % de 900 Hallar el 19% de 530

900 100% 530 100%

X 10% X 19%

900(10%) 530(19%)X=------------ x= 90 X=-------------- x= 100.7 100% 100%

Hallar el 14 % de 210 Hallar el 20% de 750

210 100% 750 100%

X 14% X 20%

210(14%) 750(20%)X=------------ x= X=-------------- x= 150 100% 100%

Que % de 600 es 35 Que % de 480 es 90

600 100% 480 100%

35 x 90 x

35(100%) 90(100%)X=------------ x= 5.83% X=-------------- x= 18.75% 600 480

De que cantidad es 60 el 17% De que cantidad es 35 el 14%

60 12% 480 14%

x 100% x 100%

60(100%) 480(100%)X=------------ x= 500 X=-------------- x= 250 12% 14%

De que cantidad es 50 el 19%

50 19%

x 100%

6 50(100%) X=------------ x= 263.16 19% Calcule el % de quien estudia pasa y de quien no estudia Quien estudia pasa Quien no estudia no pasa

Quien no estudia (pasa)X=------------------------------- x= no pasa Quien estudiaU= Pv - Pc

U= Utilidad Pv= Precio de venta Pc= Precio de costo

Hallar la utilidad de u pantalón cuyo precio de costo es de $35 y se desea vender con una utilidad de 20% sobre el precio de costo.

Pv= U= 0.20(35%)Pc= 35 U= 7U= 20%

Hallar el precio de venta al que se debe marcar un vestido si se adquiere en 170 y se desea obtener una utilidad de 40% Pv=Pc= 170U= 0,40Pv = Pv - 170 170= Pv - 0.40 Pv 170= Pv (1 – 0.40) 170 X=-------- Pv= 283,3 0.60Hallar por qué precio se adquirió una rueda que se vendió en $ 145 con una utilidad de 15% con el precio de compra exprese la utilidad en precio de venta y el precio de costo.DatosPv= 145Pc= U= 0.15% Pv Pc = Pv – 145 Utilidad en función del Pc0.15 Pc = 145 - Pc 0.15 Pc + Pc = 145Pc (1,15)=145 145 Pc=--------- Pc = 126,09 (1.15)

U= 0.15 x 126,09U= 18.19 126.09 100% 18.19 X X= 15%Utilidad en función de Pv145 100%18.19 x x=13%

Carlos inicia sus actividades comerciales con un valor de $600 ¾ invierte en un local los 5/2 suministros de equipos de oficina calcular el valor que invierte para comenzar su negocio.

600 . ¾ . 2/5 =

3600X =----------- 180 / 100 = 1.8 180Aplicación del %Los % se utilizan generalmente para los pagos de una factura.

Hallar valor de una factura de una venta de una cocina cuyo precio de lista es $600 sobre el cual se ofrece un descuento de 9% por la venta al contado

DATOS Pv= 650 650 100% d= 9% X 9%Pf= ? X= 58,5 PF= PV – d PF= Pv(1 – 0.09) PF= 650 - 58,5 PF= 650 (0.9) PF= 591.5 PF= 591.5

Un almacén vende refrigeradoras con el precio de lista es $720 y ofrece un descuento de 17% por la venta al contado hallar el valor de la factura

DATOS Pv= 720 720 100% d= 17% X 17%Pf= ? X= 122.4 PF= PV – d PF= Pv(1 – 0.17) PF= 720 - 122.4 PF= 720 (0.83) PF= 597.6 PF= 597.6

Hallar el valor de la factura de una bicicleta cuyo precio de lista es $390y se ofrece un descuento de 4 ½ % por la compra al contado.

DATOS Pv= 390d= 0.045 Pf= ? PF= Pv(1 – 0.045)

PF= 390(0.955) PF= 372.45

Hallar el valor de la factura de un electrodoméstico cuyo precio de lista es de $190 y se aplica un descuento de 3 3/4 % y se cobra un impuesto adicional de 8%.

DATOS Pv= 190d= 0.0375i= 0.08Pf= ? PF= Pv(1 – 0.0375) PF = PV ( 1 - d)( 1 + imp) PF=190(0.9625) PF= 190(1 – 0.9625)(1+0.08) PF= 182.875 PF= 197.51

Hallar el valor de la factura de un artículo cuyo precio de lista es $790 y se aplica un descuento de 9 1/4 por la cobra al contado y se cobra el respectiva IVA

PF = PV ( 1 - d)( 1 + imp)PF= 790(1 – 0.925)(1+0.12)PF= 802.96

Hallar el precio de una facture de un documento cuyo precio de lista es $670 y se aplica el descuento especial del 10 y 7% respectivamente y con el impuesto de aquí del país

PF = PV ( 1 - d)(1 - d)( 1 + imp)PF= 670(0.90)(0.93)(1+0.12)PF= 628.08

CALCULO DE LA (N) Y DE LA (I)(1+i)19 = 3.379942I=(3.379942)1/19 – 1I= 0.0662I= 6.6197%

(1+i)25 + ¾= (7 - 2/3)2 + 6(2+i)= (16.33/96) 1/25 - 2I= 199.32%(1+3/2)n 9 1/3=(5 – 2/3)n

81/16 + 28/3 =(4.33)n

Log 691/48 = n log(4-33) Log(691/48)N=------------------ n= 1.82

Log (4.33)

(2+5/8)n = ¾ + 2 (8/9 + 7)2 – 4 + 2/7 + (3*1/3 – 75/4)(21/8)n = log (116.29)

Log(116.59)N=------------------ n= 4.93 Log (21/8)

Calculo diferencial

Es la selección de dos términos consecutivos de la progresión aritmética y se resta el segundo menos el primero.a1= primer termino an = ultimo terminon= número de termino d= diferencia sn= sumaCalculo del décimo término3, 8 , 13, 18, 23a1= a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 +4d

29T = a1 + 28d359T = a1 358d124T = a1 123dan = a1 + (n - 1)d

Calculo de la suma determinados1 = n/2 (a1 - an)

INTERESES

Es lo que el usuario paga por el alquiler del dinero

Es la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo o la cantidad producida por la INVERSIÓN del capital.”

Fórmula de interés

Interés i = interés = 15 = 15% = 0,15

Capital 100

Determine la tasa de interés de un capital de 400 que produce un interés de $64

i = 64 i = 0.16%

100

Determine la tasa de interés de un capital de 700 que produce un interés de $95

i = 95 i = 0.1353%

700

Determine la tasa de interés de un capital de 400 que produce un interés de $300

i = 400 i = 133.33%

300

INTERÉS SIMPLE

Es la ganancia solo del capital a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el periodo de transacción comercial.

Formula:

I= C(i)(t)

Ejemplos

TASA DE INTERÉS

Es la razón del interés devengado al capital en la unidad de tiempo. Está dada 0como un porcentaje o su equivalente; generalmente se toma el año como unidad de tiempo. Se representa con la letra i.

Ejemplos:

Calcular el interés que gana un capital de 7500 a una tasa de interés del 12% anual durante 180 días.

Datos

Calculo del interés

C= 7500

I= c(i)(t)

I= 012

I= 7500(0.12)(180/360)

T= 180 días

I= $ 450

Determinar el interés de 850 al 4% durante 6 años

I= c(i)(t)

I= 850(0.04)(6)

I= $ 240

Calcular el interés simple de 1500 al 18% anual a 180 días de plazo

I= 1500(0.18)(180/360)

I= $ 135

Determinar el interés de 280 al 1.7% mensual a 120 días plazo

I= 280(0.017)(120/30)

I= 19.04

Calculo del tiempo

Calculo del tiempo aproximado: se utiliza el formato (año, mes, día)

Calculo del tiempo exacto: se usa la tabla directamente

Ejemplos

Hallar el tiempo transcurrido del 20 de abril del 2013 hasta el 10 de noviembre del mismo año, mediante las 2 formas.

Tiempo aproximado

20131110201345

7 m 5 d

Tiempo exacto

314-95

219 días

Calcular el interés que gana un capital de 20500, a una tasa de interés del 15% anual, del 1de marzo al 1 de septiembre del mismo año, por los 4 métodos.

Con el tiempo aproximado y año comercial:

09: 01 -03: 01

T.A = 6 meses = 180 días

I= 20500(0.15)(180/360)

I= 1537.50

Con el tiempo exacto y año comercial

244

-60

T.E 184 días

I= 20500(0.15)(180/360)

I= 1571.67

Con el tiempo aproximado y año calendario

I= 20500(0.15)(180/365)

I= 1516.4384

Con el tiempo exacto y año calendario

I= 20500(0.15)(184/365)

I= 1550.1370

Calcular el interés simple que gana un capital de $ 5.000 al 12% anual, desde el 15 de marzo hasta el 15 de agosto del mismo año.

Tiempo exacto 153

Tiempo aproximado 150

Con el tiempo aproximado y el año comercial:

I = 5.000 (0,12)(150/360) = $ 250,00

Con el tiempo exacto y el año comercial:

I = 5.000 (0,12) (153/360)= $ 255,00

Con el tiempo aproximado y el año calendario:

I = (5.000) (0,12) ( 150/365)= $ 246,5753

Con el tiempo exacto y el año calendario:

I = (5.000) (0,12) (153/365)= $ 251,5068

CALCULO DEL MONTO

El monto a interés simple es la suma del capital original más los intereses generados en el transcurso del tiempo

Formula

M= c (1+ i.t)

M= C+I

Ejemplos

Hallar el monto de un capital de $ 3800 colocados al 8% durante el 7 de enero de 1990 hasta el 12 de diciembre del mismo año.

346

-7

339

M= c(1+ i*t)

M= 3800(1+0.08 (339/360)

M= 4086.27

Calcular el monto de un capital de 85 al 14.4% anual, del 10 de agosto al 15 de diciembre del mismo año

M= 85(1+ 0.144(127/360))

M= 89.318

Hallar el capital de 2500 al 1.5% mensual, del 10 de abril al 22 de octubre del mismo año.

M= 2500(1+0.0158(126/30))

M= 2.657,50

Hallar el capital de 3000 al 0.15% diario, del 15 de marzo al 14 de abril del mismo año

M= 3000(1+0.0015 (30)

M= 3.135

CALCULO DE TIEMPO

Calculo del tiempo aproximado: se utiliza el formato (mes, año,dia)

Calculo del tiempo exacto: se usa la tabla directamente

Formula:

En qué tiempo se incrementara en $ 310 un capital de 19000 colocado al 5% anual.

En qué tiempo un capital de $ 3000 se convertirá en $ 4800 colocados al 7% anual

En qué tiempo un capital de se incrementara en $ 54500 un capital de $ 50000 colocado a una tasa del 1.5% mensual

t = i

c(i)

t = 205

50000(0.015)

t = 6 meses = 180 Dias

CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS

Se toma el año como unidad de tiempo se representa con la letra i es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo

Hallar la tasa de interés de un documento de $ 3800 que genera un interés de 60 a 170 días.

Datos

C= 3800

I= 60

T= 170 días

Desarrollo

i= I

C.T

I= 60

3800(170/360)

I= 3.3436%

Determinar a qué tasa de interés se debe colocar un capital de 9500 para obtener el triple a 280 días.

i= 28500-9500 9500(280/30)

i= 21.4286%

Hallar a que tasa de interés se debe colocar un capital de 12500 para que produzca 17100 desde el 4 de noviembre del 2007 hasta el 20 de marzo del 2010

-79

308

+1095

867

i = 17100-12500 12500(867/90)

i = 3.82

A que tasa de interés anual se colocó un capital de $ 4000 para que se convierta en $ 4315 en 210 días.

i = 315(360)

4000(210)

i = 0.135 = 13.50% anual

Calculo Del Valor Actual (Capital)

Para el cálculo del capital inicial (C), se toma como base la fórmula del interés simple I y se despeja C:

Formula:

Cual es capital que colocado a una tasa de interés del 9% anual, durante 180 días, produjo un interés de $ 1.125

C= Ii( t)

C=1.125(360)0.09(180)

C=$25.000

Calcular el valor actual de un pagare d $ 540 con vencimiento en 270 días y con una tasa del 12% de interés anual.

El día de hoy

C= 540

1+0.12 (270/360)

C = $ 495.4128

Dentro de 30 días

C= 540

1+0.12 (240/360)

C= $ 500

Dentro de 90 días

c = 540

1+0.12 (180/360)

C = $ 509,4340

Dentro de 180dias

C= 540

1+0.12 (90/360)

Antes de 60 días del vencimiento

C= 540

1+0.12 (60/360)

C = $ 529.4118

Gráfico de tiempo y valor

Valor Nominal Valor Actual Vencimiento (M)

Fecha de suscripción fecha de negociación fecha de vencimiento

Ejemplos:

Hallar el valor actual el día de hoy de un documento firmado para 230 días por $ 3800 considerando una tasa del 5%

Hallar el valor presente de un documento firmado el 13 de febrero del 2009 por $ 5200 a 215 plazos sin intereses. El 20 de mayo del mismo año con una tasa del 1% mensual.

INTERÉS DE SALDOS DEUDORES

Método de lagarto: se llama así por el excesivo interés que produce

Método de saldo deudores: el interés que se paga es menor ya que a medida que

pasan los pagos el capital de disminuye una porción fija por ende los intereses

también, lo que provoca que las cuotas sean cada vez mucho.

Ejercicios:

Una cooperativa de ahorro y crédito otorga un préstamo a una señora de $6000 a un

año plazo con una tasa del 3% mensual sobre saldos. Determinar el valor de la cuota

fija mensual por los métodos.

/

Determine el monto simple y el monto compuesto de un capital de $4000 con una tasa del 9% durante 4 periodos.

M= C (1+i) 1er Período

M= 400(1+0, 09)(4) I1= 4000(0, 09)(1)

M= 5440 I1= 360

I= 5440 – 4000 M1= 400 + 360

I= 1440 M1= 4360

I2= 4360(0, 09)(1)

I2= 392, 40

M2= 4360 + 392, 40

M2= 4752, 40

I3= 4752, 40(0, 09)(1)

I3= 427, 72

I= 5646, 33 - 400 M3= 4752, 40 + 427, 72

I= 1646, 33 M3= 5180, 12

I4= 5180, 12(0, 09)(1)

I4= 466, 21

M4= 5180, 12 + 466, 21

M4= 5646, 3

DESCUENTO RACIONAL

Hallar el descuento racional de un documento de $ 5700 firmado el 20 de abril a 4 meses plazo. Si se descuenta el 12 de julio del mismo año con una tasa del 11%

Dr: M – C

5700 5700 20 de abril 12 de julio 20 de agosto 110 días 193 días 232 días . 11% anual

C= M1+ i( t)

Dr = M- C I = C * i * t

C= 5700

1+(0.11( 39360 )) Dr = 5700 - 5632.87 I = 5632.87 * 0.11 * (39/360)

C = 5632.87 Dr = 67.13 I = 67.13

Determine el descuento racional de un pagare de $ 9300 firmado el 11 de mayo a 270 días plazo, con una taza del 15% trimestral. Si se descuenta el 5 de enero del siguiente año con una tasa del 1% mensual.

9300 13485 11 de mayo 5 de enero 5 de febrero 131 días 5 días 36 días . 0.01 mensual

M = C ( 1 + i ( t ) ) C= M1+ i( t)

M = 9.300 ( 1 + 0.15 ( 270 / 90 )) C= 13485

1+(0.01( 3130 ))M = 13.485 C = 13.347,08

Dr = M- C I = C * i * t

Dr = 13.485 - 13.347,08 I = 13347.08 ( 1 + ( 0.01 ( 31 / 30 )))

Dr = 137.92 I = 137.92

Un comerciante firma el 5 de agosto del 2007 un pagaré por $ 5700 a 235 días plazo, con una tasa del 19%. Determine el descuento racional a 20 días antes de su vencimiento con una taza del 22% semestral.

5700 6406.96 5 de agosto 8 de marzo 28 de marzo

217 días 67 87 días . 22 % semestral

M = C ( 1 + i ( t ) ) C= M1+ i( t)

M = 5700 ( 1 + 0.19 ( 235 / 360 )) C= 6406.96

1+(0.22( 20180 ))M = 6406.96 C = 6254.08

Dr = M- C I = C * i * t

Dr = 6406.96 -6254.08 I = 6254.08 (0.22 (20 / 180))

Dr =152.88 I = 152.88

DESCUENTO BANCARIO

Db = M * d * t

M = Monto Cb = M (1 – (d (t))

D = descuento

T = tiempo

Db = descuento bancario

Hallar el descuento bancario de una capital de $ 8300 firmado el 6 de marzo a 210 días plazo. si se descuenta el 5 de junio del mismo año, con una taza de 11%

8300 8300 6 de marzo 2 de octubre 65 días 275días

Db = M * d * t

Db = 8300*(0.11 (119360

))

Db = 301.80

Determine el valor efectivo que recibe una persona, que realiza un descuento de un pagare por $ 3900 firmado el 15 de mayo a 190 días plazo con una tasa del 17%. Si se descuenta el 4 de julio del mismo año al 20 %

15 de mayo 4 de julio 21 de noviembre 135 días 325 días

I = C * i * t M = C + I

I = 3900 * 0.17 * (190/360) M = 3900 + 349.92

I = 349.92 M = 4249.92

Db = M * d * t C = M - Db

Db = 4249.92 *0.20*(140/360) C = 4249.92 – 330.55

Db = 330.55 C = 3919.37

Cb = M (1 – (d (t))

Cb = 4249.92 (1 – (0.20 (140/360)))

Cb = 3919.37

Una persona solicita un préstamo en un banco por $ 9500 a 200 días. Determine el valor efectivo si se aplica un descuento del 18%

Cb = M (1 – (d (t)) Db = M - Cb

Cb = 9500 (1 – (0.13 (200/360))) Db = 9500 – 8813.89

Cb = 8813.89 Db = 186.1

Db = M * d * t

Db = 9500(0.13(200/360))

Db = 186.11

Cuanto debe solicitar una persona en un banco para recibir 5600 pagaderos a 130 días, con una tasa de descuento 5%

M = Cb¿¿

M = 5600¿¿

M = 5702.97

Análisis entre la tasa de interés ( i ) y la tasa de descuento ( d )

1) La tasa de interés utilizamos en el descuento racional o matemático y aplicamos sobre el capital.

2) La tasa de descuento utilizamos en el descuento bancario y aplicamos sobre el monto

Encuentre el descuento bancario y el descuento matemático o simple de una pagaré de $ 7300 a 205 días plazo. Si se descuenta 70 días antes de su vencimiento con una tasa de 1.5% mensual.

Descuento bancario descuento simple

Cb = M (1 – (d (t)) C= M(1+i (t ))

Cb = 7300(1 – 0.015(205/30)) C = 7300

(1+0.015 (20530 ))Cb = 6551.75 C = 6621.32

Db = M – Cb Dr = M - C

Db = 7300 – 6551.75 Dr = 7300 – 6621.32

Db = 748.25 Dr = 678.68

La relación entre tasa de interés y tasa de descuento podemos hablar así:

M = C ( 1 + i (t)) M= C(1−d (t ))

i= d

(1−d ( t )) D = i

(1+i ( t ))

A que tasa de interés equivale una tasa de descuento del 20% durante 80 días

i= d

(1−d ( t ))

i= 0.20

(1−0.20( 80360 ))i = 0.2093 * 100

i = 20.93 %

A que tasa de interés equivale una tasa de descuento de 9% durante 3 meses

i= d

(1−d (t ))

i= 0.09

(1−0.09( 312 ))i = 0.0920 * 100

i = 9.207 %

A que tasa de descuento equivale una tasa de interés de 20.93% durante 80 días.

D = i

(1+i ( t ))

D = 0.2093

(1+0.2093 ( 80360 ))D = 19.999%

A que tasa de descuento equivale una tasa de interés de 25% durante 140 días.

D = i

(1+i (t ))

D = 0.25

(1+0.25 (140360 ))D = 22.784%

Una persona realiza un descuento de un pagare suscrito a 220dias plazo por 3800, 70 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 7% ese mismo día el banco del pacifico le descuenta este documento ene lanco central una tasa del 3%. Determine cuanto recibe la persona y el banco central.

Persona Banco

CB = M( 1 – dt) CB = M( 1 – dt)

CB = 3800( 1 – 0.07 (70/360)) CB = 3800( 1 – 0.03 (70/360))

CB = 3.748.28 CB = 3777.83

ECUACIONES DE VALOR

Se utiliza para resolver problemas de matemática financiera donde se reemplaza un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento por una o varias fechas de referencia por uno o varios valores previo acuerdo entre el acreedor y deudor se aplica en:

1ª reemplazar el conjunto de obligaciones o deudas para un solo valor

2do comparar ofertas para compra o venta.

3er calcular el moto de una serie de depósitos a corto plazo

Calcular el capital de una serie de depósitos a corto plazo.

Monto Capital

F

M = C (1+ i*t) 0 C= M(1+i (t ))

c a l

Una empresa tiene las siguientes obligaciones:

$ 15000 a 60 días plazo $ 20000 a 120 días plazo $ 20000 a 190 días plazo $ 30000 a 240 días plazo $ 25000 a 320 días plazo

La empresa desea reemplazar todas estas obligaciones considerando una tasa del 7% por un solo pago a los 340 días plazo

60 120 190 240 320 340

15000 20000 20000 30000 25000 F

t1 = (340 – 60) = 280

t2 = 220

t3 = 150

t4 = 100

t5 = 20

M = C(1+i(t))

X = M1 + M2 + M3 + M4 + M5

X = (15000(1+0.07 (280360

))) + (20000(1+0.07 (220360

))) + (20000(1+0.07 (150360

))) +

(30000(1+0.07 (100360

))) + (25000(1+0.07 (20360

)))

X = 112.936.11

En el problema anterior determine el valor del pago único si se realiza el día de hoy.

0 60 120 190 240 320

F 15000 20000 20000 30000 25000

t1 = 60

t2 = 120

t3 = 190

t4 = 240

t5 = 320

C= M(1+i (t ))

X = C1 + C2 + C3 + C4 + C5

X = (15000

(1+0.07 ( 60360 ))) + (20000

(1+0.07 (120360 ))) + (20000

(1+0.07 (190360 ))) + (30000

(1+0.07 ( 240360 )))

+ (25000

(1+0.07 ( 320360 )))

X = 105856.41

En el primer problema calcule el valor si lo hacemos en dos pagos iguales a los 100 y 200 días plazo. Considere como fecha focal los 260 días plazo.

60 100 120 190 240 260 340

15000 20000 20000 30000 F 25000

X = M1 - M2 + M3 + M4 + M5 + C1

X = (15000(1+0.07 (200360

))) - (X (1+0.07 (160360

))) + (20000(1+0.07 (140360

))) +

(20000(1+0.07 (70360

))) + (30000(1+0.07 (20360

))) + (25000

(1+0.07 ( 60360 )))

X = 111228.36 – 1.031X

2.031X = 111228.36

X = 54765.32

Una persona debe 1500 a 90 días plazo con una tasa del 13% semestral 2800 a 170 días plazo con una tasa del 17% trimestral 4000 a 215 días plazo con una tasa del

11%. La persona desea saltar estas deudas en un solo pago a los 200 días con una tasa de descuento del 2% mensual.

M1 = 1500(1+0.13 (90180

))

M1 = 15975

M2 = 2800(1+0.17 (17090

))

M2 = 3699.11

M3 = 4000(1+0.11 (215360

))

M3 = 4262.78

90 170 200 215

15975 3699.11 F 4262.78

d = 0.02 mensual

X = M1 + M2 + C1

X = (15975(1+0.02(110/30))) + (3699.11(1+0.02(1)))

El propietario de una terreno recibe tres ofertas:

La primera 2000 al contado y 2000 a un año plazo La segunda 1500 al contado y dos letras de 1300 C/u a 4 y 7 meses plazo La tercera 2000 al contado una letra de 800 a 4 meses plazo y otra de 1700 a

6meses plazo.

¿Cuál de las ofertas sugiere usted para la venta de este terreno se se descarga el 3% mensual?

0 12 meses

2000 2000

X = 2000+ (2000

(1+0.03 (12 )))

X = 3470.59

Segunda oferta

0 4 7 meses

1500 1300 1300

X = 1500 + (1300

(1+0.03 (4 ))) + (1300

(1+0.03 (7 )))

X = 3735.10

Tercera oferta

0 4 6 meses

2000 800 1700

X = 2000 + (800

(1+0.03 (4 ))) + (1700

(1+0.03 (6 )))

X = 4154.96

Se sugiere la tercera oferta

Una persona realiza depósitos de 70 mensuales durante 4 meses en un banco que reconoce el 1.5% mensual. Determine el monto que acumula al final de los 4 meses.

1 2 3 4 meses

70 70 70 70 F

M = C (1+ i*t)

X = (70(1+0.015 (3))) + (70(1+0.015 (2))) + (70(1+0.015 (1))) + 70

X = 286.30

En el problema anterior calcule el monto si la tasa de interés se liquida en forma anticipada teniendo en cuenta que los intereses que los intereses serán liquidas en forma anticipada.

1 2 3 4 meses

70 70 70 70 F

X = (70(1+0.015 (4))) + (70(1+0.015 (3))) + (70(1+0.015 (2))) + (70(1+0.015 (1)))

X = 290.50

Hallar el valor original de la deuda de una persona que realiza una serie de 5 pagos mensuales de 350 dólares, para cancelar dicha deuda con una tasa interés del 2%

1 2 3 4 5 meses

350 350 350 350 350 F

X = (350

(1+0.02 (1 ))) + (350

(1+0.02 (2 ))) + (350

(1+0.02 (3 ))) + (350

(1+0.02 (4 ))) + (350

(1+0.02 (5 )))

X = 1652.12

En el problema anterior determine el valor de la deuda original si la tasa de interés y los meses se cobra por anticipado

1 2 3 4 5 meses

350 350 350 350 350 F

X = 350 + (350

(1+0.02 (1 ))) + (350

(1+0.02 (2 ))) + (350

(1+0.02 (3 ))) + (350

(1+0.02 (4 )))

X = 1683.94

La propietaria de una cuenta de ahorro realiza las siguientes transacciones

El 07 de enero deposita $ 1500 para abrir la cuenta El 13 de febrero deposita $ 800 El 15 de marzo retira $ 600 El 4 de abril deposita $ 200 El 4 de junio retira $ 650

Si la cuenta de ahorro gana una tasa de interés del 12%. Determine el saldo al primer semestre.66

I = C * i *t

I = 1500(0.12)(

fecha Deposito Retiro Salto Interés+ -

07 enero 1500 150013 febrero 800 230015 marzo 600 170004 abril 200 190004 junio 650 1250

INTERÉS COMPUESTO

La diferencia entre el interés simple y compuesto es que, el interés simple se calcula una sola vez y se utiliza acorto placo

El interés compuesto se calcula a largo plazo

Determine el monto simple y el interés simple, monto compuesto y el interés compuesto de un capital de $ 4000 con una tasa del 13% durante 5 años.

Monto simple Monto compuesto

M= C ( 1 + i*t) M = C ( 1 + i )n

M = 4000(1+0.13(5) M = 4.000(1+ 0.13)5

M = 6.600 M = 7.369,74

Interés simple Interés compuesto

I = M – C I = M - C

I = 6.600 – 4.000 I = 7.369,74 – 4.000

I = 2.600 I = 3.369,74

Variable que intervienen en el interés compuesto

i = tasa de interés efectiva

n = número de periodos

i = (tasa anual

mesesque tiene lacapitalizacion)

n = meses de capitalización *tiempo

Una empresa obtiene un préstamo de $ 50.000 a 15 años plazo con una tasa del 22% convertible trimestralmente. Determine el interés.

M = C ( 1 + i)n I = M - C

M = 50.000( 1+0.22/4)4(15) I = 1´241.988,52 – 50.000

M = 1´241.988,52 I = 1`191.988,52

MONTO CONVERTIBILIDAD TASA DE INTERÉS

Andrea obtiene un préstamo de $ 35.000 a 20 años plazo para construir su casa con una tasa del 14% compuesto bimensualmente. Determine el interés que paga.

M = C ( 1+i)n I = M - C

M = 35.000 (1+0.14/6)6(20) I = 557.342,99 – 35.000

M = 557.342,99 I = 522.342,99

El interés que paga es 522.342,99

Monto compuesto con tasa de interés en forma instantánea o continua.

e = 2,7182

M = C *ed*t

Calcule el monto de un capital de 40.000 a iteres compuesto durante 20 años y 9 meses si la tasa de interés es:

a) Del 7% efectiva b) Del 7% convertible semestralmentec) Del 7% capitalizable quimestralmented) Del 7% compuesto cuatrimestralmentee) Del 7% compuesto trimestralmentef) Del 7% capitalizable bimensualmenteg) Del 7% compuesta mensualmenteh) Del 7% compuesta diariamentei) Del 7% capitalizable continuamente

a M = C( 1 + i )n b) M = C( 1 + i )n

M = 40.000(1 + 0.07)20.75 M = 40.000(1+0.07/2)2(20)+(9/6)

M = 162.844,61 M = 166.757,17

c) M = C( 1 + i )n d) M = C( 1 + i )n

M = 40.000(1+0.07/2.4)(2.4(20)+9/5) M= 40.000(1+0.07/3)3(20)+9/4

M = 167.435,84 M = 168.122,47

e) M = C( 1 + i )n f) M = C( 1 + i )n

M = 40.000(1+0.07/4)(4(20)+9/3) M= 40.000(1+0.07/6)6(20)+9/2

M = 168.817,19 M = 169.520,16

g) M = C( 1 + i )n h) M = C( 1 + i )n

M = 40.000(1+0.07/12)(12(20)+9) M= 40.000(1+0.07/360)365(20)+9*30

M =170.231,52 M = 170.804,47

i) M = C( 1 + i )n

M = 40.000(2.7182) 0.07 (20.75)

M =170.943,95

Monto compuesto con periodos convertibilidad fraccionarios

Cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de convertibilidad se presenta el caso de los periodos de capitalización fraccionaria.

El tiempo de pago de una deuda es de 4 años y 9 meses, la tasa de interés es de 14% compuesta semestralmente.

i= 0.14/2 n = (4(12) + 9)/6

i = 0.07 n = 57/6

i = 7% n = 9 + 1/2

En 5 años y 3 meses con una tasa quimestral.

n=(12(5) +3)/5

n= 63/5

n= 12+3/5

En 5 años y 7 meses con una tasa cuatrimestral.

n= (5(12)+7)/4

n= 67/4

n= 16+3/4

En 9 años y 1 mes en forma trimestral.

n= (9(12+1)/3

n= 109/3

n= 36+1/3

En 8 años y 9 meses en forma bimensual.

n= (8(12)+9)/2

n= 105/2

n= 52+1/2

EXISTEN DOS MÉTODOS PARA RESOLVER ESTE TIPO DE PROBLEMA

1er método matemático:- donde se utiliza la calculadora con el valor exacto ejemplo: 57/6.

2do método comercial: para el método comercial la parte entera trabaja con el interés compuesto y el pate fraccionario con el interés simple.

Determine el moto por los dos métodos de un capital de $ 12.000 a 8 años y 6 meses plazo con una tasa del 8% compuesto cuatrimestralmente.

n= 8 (12 )+64

i= 0.083

n= 1024

i= 2.666667 %

n= 25 + 12

Método matemático método comercial

M = c( 1+i)n M = C (1+i)n (1+i*t)

M = 12000(1+0.02666667)(102/4) M = 12.000(1+0.02666667)25

(1+0.02666667(1/2)

M = 23.476,46 M = 23.478,49

Determine el moto por los dos métodos de un capital de $ 4.800 a interés compuesto durante 15 años y 2 meses plazo con una tasa del 9% convertible quimestralmente.

Nª periodos interés

n= 15 (12 )+2

5i= 0.092.4

n= 1825

I= 3.75%

n= 36 + 25

Método matemático método comercial

M = c( 1+i)n M = C (1+i)n (1+i*t)

M = 4.800(1+0.0375)(182/5) M = 4.800(1+0.0375)36 (1+0.0375 (2/5)

M = 18.331,93 M = 18.334,92

TASAS EQUIVALENTES

Tasa nominal (j) es aquella que se convierte varias veces en el año.

Tasa efectiva (i) es aquella que se activa una sola vez al año.

ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

Gabriela desea invertir $ 50.000 durante 4 años y tiene las siguientes alternativas.

a) Una tasa de interés de 4,1/4% efectivab) Una tasa de interés del 4% capitalizable semestralmentec) Una tasa de interés del 4.2% compuesta trimestralmented) Una tasa de interés del 4% convertible mensualmente

¿Cuál de estas tasas le conviene?

i= (1+0.0425)-1 b) i= (1+0.04/2)2-1 c) i= (1+0.042/4)4 d) i=(1+0.04/12)12-1

i= 4.25% i= 4.04% i= 4.2666% i= 4,074

Le conviene la oferta “C”.

A que tasa de interés efectiva anticipada semestral es equivalente una tasa anticipada del 20%

i= (1-0.20/2)-2-1

i= 23.4567%

A que tasa de interés anticipada anual convertible trimestralmente es equivalente una tasa efectiva anticipada del 15%

d= m(1-(1+i)-1/m

d= 4(1-(1+0.15)-1/4)

d= 13,7348

A que tasa de interés anticipada convertible mensualmente es equivalente una tasa efectiva anticipada del 17%

d= m(1-(1+i)-1/m)

d= 12(1-(1+0.17)-1/12)

d= 15,5981%

A que tasa de interés efectiva anticipada es equivalente una tasa anticipada del 21% compuesta quimestralmente.

i= (1-j)-n-1

i= (1-0.21/2.4)-2.4-1

i= 24,5779%

CALCULO DE TASA DE INTERÉS EFECTIVA

M = (1+i)n

i= (M/C)1/n-1

A que tasa efectiva se convierte un capital de $ 300 en $ 750durante 4 años.

i= (M/C)1/n-1

i= (750/300)1/4-1

i= 25,7433%

A que tasa anual capitalizable trimestralmente se convierte un capital de $ 600 en $ 1500 durante 7 años. Determine su tasa de interés nominal.

j= ((M/C)1/n-1)m

j= ((1500/600)1/28-1)4

j= 13,3064%

A que tasa anual convertible semestralmente se convierte un capital de $ 750 en $ 3250 durante 4.5 años. Determine su tasa efectiva equivalente.

j= ((M/C)1/n-1)m

j= ((3250/750)1/9-1)2 i= (1+0.353898/2)2-1

j= 35,3898% i= 38,5208%

A que tasa anual capitalizable trimestralmente un capital de $ 4000, se convierte en ¾ veces más durante 5 años. Determine la tasa efectiva equivalente.

j= ((M/C)1/n-1)m

j= ((7000/4000)1/20-1)*4 i= (1+0.113503/4)4-1

j= 11.3503% i= 11,8727%

A que tasa anual convertible bimensualmente se convierte un capital de $ 900 en $ 4700 durante 6 años y 10 meses. Determine la tasa anual efectiva equivalente.

j= ((M/C)1/n-1)m

j= ((4700/900)1/41-1)*6 i= (1+ 0.246833/6)6-1

j= 24,6833% i= 27,3655%

CÁLCULO DE TIEMPO DE INTERÉS COMPUESTO

MC

= (1+i)n m*t = log (M

C)

log (1+jm

)

log MC

= n log(1+i)

n= log

MC

log(1+i)t= m∗log (M

C)

log (1+jm

)

En qué tiempo un capital de $ 1.000 se convierta en $ 1.800 con una tasa del 12% efectiva.

n= log

MC

log (1+i)

n= log1.8001.000

log (1+0.12)

n= 5,186565

t= 5 años, 2 meses, 7 días

En qué tiempo un capital de $ 8.300 se convierta en $ 16,500 con una tasa del 5% convertible quimestralmente.

t= m∗log(MC )log(1+ jm )

t= 2,4∗log ( 16.500

8.300)

log (1+0.052.4

)

t= 33,3328683

t= 13 años, 6 meses, 19 días

En qué tiempo un capital de $ 8.000 se duplicará con una tasa del 16% capitalizable semestralmente.

n= log

MC

log(1+i)

n= log16.0008.000

log(1+0.08)

n= 4,50323

t= 4 años, 6 meses, 1 día

En qué tiempo un capital de $ 4.800 se convierte en $ 13.000 con una tasa del 25% compuesta cuatrimestralmente.

n= log

MC

log(1+i)

n= log13.0004.800

log(1+0.08333)

n= 4,14933

t= 4 años, 1 mes, 24 días

CÁLCULO DEL CAPITAL

M = C(1+i)n C= M

(1+ jm

)m∗t

C= M

(1+i)n

Capital monto

f. nominal f. de negociación f. de vencimiento

Determine el valor actual de una pagare cuyo valor al vencimiento después de 5 años es $7.500 considerando una tasa del 9% capitalizable semestralmente.

C= M

(1+ i )n

C= 7.500

(1+ 0,092

)5 (2 )

C= 4829,46

Determine el valor actual de un documento cuyo monto es de $6.300 durante 5 años y 9 meses con una tasa del 12% compuesta trimestralmente.

C= M

(1+ i )n

C= 6.300

(1+ 0,124

)4 (5)

+9/3

C= 3.192,16

Dominica firma un documento cuyo valor nominal es $ 7.100 a 8 años plazo con una tasa del 8% convertible semestralmente desde su suscripción. Si se vede dos años antes de su vencimiento con una tasa del 9% compuesta cuatrimestralmente determine el valor actual del documento.

7.100 8% semestralmente monto? 13.298,170 t=2 8

M = C(1+i)n C= M

(1+ i )n

M= 7.100(1+0.04)16 C= 13.298,17

(1+ 0.093 )3 (2)

M= 13.298,17 C= 11.137,=

Determine el valor actual de un documento cuyo valor nominal es $ 5.100 a 7 años con una tasa del 5% convertible semestralmente desde su suscripción. Si se vede dos años antes de la fecha de vencimiento considerando una tasa del 11% compuesto trimestralmente.

5.100 5% semestralmente monto? 7.206,17 0 t=2 7 años

11% tri.

M = C(1+i)n C= M

(1+ i )n

M = 5.100(1+0.025)14 C= 7.206,17

(1+0.0275 )8

M= 7.206,17 C= 5.800,29

Después de 2 años de la fecha de suscripción se negocia un documento de $300 convencimiento de 5 años con una tasa del 16% convertible cuatrimestralmente desde su suscripción. Determine el valor con los siguientes datos:

a) Tasa del 4% convertible semestralmenteb) Tasa del 17% convertible trimestralmentec) Tasa del 2% efectiva

300 16% sem.(0.053) n= 15 M?650,95 0 t=3 7 años

4% sem.

M = C (1+i)n a) C= M

(1+ i )n

M = 300(1+0.053)15 C= 650,95

(1+0.02 )6

M= 650,95 C= 578,02

300 16% sem.(0.053) n= 15 M=650,95 0 t=3 7 años

17% tri.

b) C= M

(1+ i )n

C= 650,95

(1+0.0425 )12

C= 578,02

c)

300 16% sem.(0.053) n= 15 M=650,95 0 t=3 7 años

2% efectiva.

c) C= M

(1+ i )n

C= 650,95

(1+0.02 )3

C= 613,40

Un documento de $ 4.000 convencimiento en 7 años se negocia después de 3años desde se suscripción con una tasa del 19% convertible semestralmente desde la suscripción para vender este documento se tiene las siguientes alternativas.

a) Tasa del 16% convertible trimestralmenteb) Tasa del 19% capitalizable semestralmente c) Tasa del 23% efectiva

4.000 i= 0.095 n= 14 M= 14.251,40 0 t=4 7 años

a) 16% tri. b) 19% sem.

C) 23% efectiva

M = C(1+i)n a) C1= M

(1+ i )nb) C2=

M

(1+ i )n

M = 4.000(1+0.095)14 C1= 14.251,40

(1+0.04 )16C2=

14.251,40

(1+0.095 )8

M= 14.251,40 C1= 7.608,94 con premio C2= 6.895,16 a la par

c) C3= M

(1+ i )n

C3= 14.251,40

(1+0.23 )4

C3= 6.226,40 con castigo

Valor presente o capital

Capital con periodos fraccionarios

Existen dos formas que son:

El método matemático o forma exacta donde se utiliza solo el interés compuesto

El método comercial o practico la parte entera a interés compuesto y la parte fraccionaria a interés simple.

Ejercicio

Hallar el valor actual de un documento que al final de 7 años es $5200. Calcúlese después de haber transcurrido 3 años y 4 meses considerando una tasa del 20% quimestral.

5200 i= 0.083 t= 3a 4m 7 años

I= 0.083 método matemática

T= 3a 8m C=5200(1.083)(−44)

N = 44/5 C= 25577.94

N= 8/4/5 método comercial

C=5200 (1.083 )(−8) ¿¿

C= 2576067

El día de hoy se firma un documento de $8000para 9 años plazo con una tasa efectiva del 11% determine el valor actual de ese documento después de 3años 8 meses si se aplica una tasa del 14% capitalizable trimestralmente.

8000 i= 0.035 20464.30 t= 3a 8m 9años

T= 5a 3m

N= 64/5

N=21/1/3 método matemática

M=20464.30 (1.035)(−64 /5)

M= 9853.57

M=8000 (1.11)(9 ) Método comercial

M= 20464.30 M=20464.30 (1.035 )(−21) ¿¿

M=9822.27

El día de hoy se firma un pagare por $9000 para 7 años y 9 meses plazo con una tasa del 11% compuesta trimestralmente. Halle el valor de este documento después de 4 años y 7 meses con una tasa del 17% convertible bimensual.

9000 j= 0.0458 t= 3a 2m 7.9

M=9000 (1.0458)(93/5)

M= 20700.80

M=20700.80 (1.0458)(−11)

M= 12249.49