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PREPARACIÓN PRUEBA DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO MEDIO MATEMÁTICAS Trimestre 1 Bloque: Números (Problemas) Profesora: Mª Ángel Crespo
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PREPARACIÓN PRUEBA DE ACCESO A
CICLOS FORMATIVOS DE GRADO
MEDIO
MATEMÁTICAS
Trimestre 1
Bloque: Números
(Problemas)
Profesora: Mª Ángel Crespo
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TEMA 1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1.- Comprende el enunciado.
Léelo varias veces, hasta que seas capaz de repetirlo con tus propias palabras.
Si es el caso represéntalo. Haz un dibujo o un esquema que te ayude a organizar las
ideas.
2.- Anota y ordena los datos. ¿Qué te dan? ¿Qué te preguntan? ¿Todos los datos
importan? ¿Son todos necesarios?
3.- La resolución. Recuerda si has trabajado con algún problema similar.
Da pasos intermedios. ¿Te convendría saber algo que no sabes aún? ¿Puedes
calcularlo?
Si conoces el camino ¡Adelante! Si te atascas no importa ¡Vuelve al principio!
4.- La solución.
Si tienes la solución, lee de nuevo el enunciado y da la solución en los términos que se
te piden.
Explica el proceso que has seguido. Da nombre a lo que has obtenido en cada paso.
Compruébala.
Pasados unos días vuelve sobre él, sobre todo si no lo supiste resolver y necesitaste
ayuda.
PROBLEMAS A RESOLVER
1.- Pepe compra un reproductor de CD y un CD, todo ello por 101 €. El reproductor
vale 100 € más que el CD. ¿Cuánto vale el CD?
2.- Un vendedor ambulante compra camisetas a 72 € la docena y pantalones a 30 € el
par. Después vende las camisetas a 15 € el par y los pantalones a 30 € la unidad.
¿Cuántos pares de camisetas ha de vender para ganar 27 €?
3.-El coste de fabricación de una calculadora es de 3 €. La empresa que las fabrica las
vende luego a la distribuidora por 15 € la unidad. En principio ha vendido 1 650 y le
han devuelto el 16% por ser defectuosas. ¿Cuánto ha cobrado la fábrica a la
distribuidora?
4.- Un transportista carga en su furgoneta 4 televisores y 3 minicadenas musicales. Si
cada televisor pesa como 3 minicadenas y en total ha cargado 75 kg. ¿Cuánto pesa cada
televisor?
5.- Rosa tiene una granja de patos y gansos. Hoy ha vendido en el mercado 21 de sus
animales por 350 €. Entre los animales vendidos había el doble de patos que de gansos,
y un ganso vale el triple que un pato. ¿Qué precio tiene un pato? ¿Y un ganso?
6.- En un examen de 20 preguntas, por cada pregunta acertada dan 3 puntos y por cada
pregunta equivocada o no contestada quitan 2 puntos. ¿Cuántas preguntas ha acertado
un alumno que ha obtenido un resultado de 20 puntos?
7.- Tengo en el bolsillo 25 monedas. Todas son de 50 céntimos o de 20 céntimos. En
total tengo 8 €. ¿Cuántas monedas tengo de cada clase?
8.- Un leñador tarda un cuarto de hora en cortar un tronco en 3 partes. ¿Cuánto tardará
en cortar otro tronco igualmente grueso en 6 partes?
9.- ¿Qué porcentaje de rebaja consigues aprovechando la oferta de 3 X 2 ¡Lleve 3 y
pague 2!
10.- Marta tenía, hace 16 años,
de su edad actual. ¿Cuántos años tiene ahora?
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Tema 2
PROPORCIONALIDAD
Magnitudes proporcionales
Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.
Ej: La longitud del lado un cuadrado, La capacidad de una botella de agua.
Dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas se produce una
variación en la otra.
Pueden ser:
Directamente proporcionales si las dos varían en al mismo sentido, es decir, cuando al
multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o
dividida por el mismo número. Ej: El espacio recorrido por un móvil y el tiempo
empleado. El volumen de un cuerpo y su peso.
Inversamente proporcionales si la variación de una es contraria a la de la otra, es decir,
cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda
dividida o multiplicada por el mismo número. Ej: la velocidad y el tiempo.
Razón
Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí,
expresado como fracción.
Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el
numerador y el consecuente es el denominador.
Diferencia entre razón y fracción
La razón en los lados de un rectángulo de 5 cm de altura y 10 cm de base es:
No hay que confundir razón con fracción.
Si
es una fracción, entonces a y b son números enteros con b≠0, mientras que en la
razón
los números a y b pueden ser decimales.
Proporción
Proporción es una igualdad entre dos razones.
a , d extremos
b , c medios
Constante de proporcionalidad
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Propiedades de las proporciones
a) En una proporción el producto de los medios es igual al producto de los
extremos.
b) En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes
dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las
razones.
Proporción continua es la que tiene los medios iguales.
CALCULO DE UN TÉRMINO DE UNA PROPORCIÓN
Es uno cualquiera de los términos de una proporción.
Para calcularlo aplicamos la propiedad fundamental.
Ejemplos :
APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD
PORCENTAJES CONCEPTO DE TANTO POR CIENTO
Tomar un tanto por ciento de un total equivale a dividir el total en 100 partes iguales y
tomar de cada porción el tanto indicado.
El símbolo % se lee por ciento Ej.- 20% se dice veinte por ciento.
Para calcular un determinado tanto por ciento de una cantidad, se multiplica la cantidad
por el tanto y se divide entre 100. Ej.- el 12% de 380 se halla 12 x 380 = 4560 y esta
cantidad 4560 : 100 = 45’6
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PROBLEMAS CON PORCENTAJES
Cualquier situación de porcentaje maneja básicamente tres elementos: Un total, un tanto
por ciento y una parte del total( parcial).
CALCULO DE LA PARTE, CONOCIDOS EL TANTO POR CIENTO Y EL TOTAL
Ejemplo.- De una autopista en construcción que tendrá una longitud de 180 km, ya se ha
construido el 35% ¿Cuántos km hay ya construidos?
Manera de resolverlos
Hay que hallar el 35% de 180
? = 35 · 180 = 6300 6300 : 100 = 63 Km han construido
Total Parcial
Tanto por ciento 100 35
Datos 180 ?
=
? = 35 · 180 = 6300 6300 : 100 = 63 Km han construido
CALCULO DEL TOTAL, CONOCIDOS EL TANTO POR CIENTO Y LA PARTE
Ej.- Un hotel tiene 187 habitaciones ocupadas, lo que supone el 85% del total. ¿de
cuántas habitaciones dispone el hotel?
Total Parcial
Tanto por ciento 100 85
Datos ? 187
=
? = 187 · 100 = 18 700 18 700 : 85 = 220 habitaciones en total
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CALCULO DEL TANTO POR CIENTO, CONOCIDOS EL TOTAL Y LA PARTE
Ej.- Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el
porcentaje de aumento?
Total Parcial
Tanto por ciento 100 ?
Datos 5000 250
=
? = 100 · 250 = 2 500 25 000 : 5 000 = 5
El 5%.
AUMENTOS PORCENTUALES
Ej.-El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el
IVA es del 21%?
Primera forma
= +
Total Parcial
Tanto por ciento 100 21
Datos 1200 ?
IVA = 21 · 1200 = 25200 25200 : 100 = 252
1200 + 252 = 1 452 € hay que pagar por él
Forma rápida
100 +21 =121
Hallar el 121% de 1200
121 · 1200 = 145 200 145 200 : 100 = 1 452 € hay que pagar en total
IVA PRECIO SIN IVA PRECIO TOTAL
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DISMINUCIONES PORCENTUALES
¿Cómo varia una cantidad cuando se reduce un determinado porcentaje?
Ej.-Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7,5%.
¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
Primera forma:
= -
Total Parcial
Tanto por ciento 100 7’5
Datos 8800 ?
=
¿ = 8800 · 7’5 = 66 000 66 000: 100 = 660
8800 € − 660 € = 8140 €
También se puede calcular directamente del siguiente modo:
100 – 7,5 = 92,5
Precio Final es hallar el 92’5 de 8800 €
? = 92’5 · 8800 = 814 000 814 000 : 100 = 8 140
PROBLEMAS
1. Indica los pares de magnitudes que son directamente proporcionales (D.P.) y los
que son inversamente proporcionales (I.P.).
a) El tiempo que permanece abierto un grifo y la cantidad que arroja.
b) El número de obreros que realizan un trabajo y el tiempo que tardan en
realizarlo
c) La velocidad de un coche y el espacio que recorre en un tiempo determinado.
d) La velocidad de un coche y tiempo que tarda en llegar de una ciudad A, a otra B.
e) El número de asistentes a una excursión y la cantidad que aporta cada uno.
REBAJA PRECIO ANTERIOR PRECIO FINAL
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2. Completa las tablas de valores.
a) Valores directamente proporcionales: b) Valores inversamente
proporcionales:
Magnitud A 1 2 5 6 10 Magnitud A 1 4 6 8 12
Magnitud B 8 24 Magnitud B 48 6
3,- ¿Cuánto me rebajan por un jersey que costaba 64 € si me hacen una rebaja del
25 %? ¿Cuánto pagaré?
4.- El precio de una cadena musical ha subido un 20 % con relación al del año
pasado. ¿Cuál es su precio actual si el año pasado era de 270 €?
5,- El 8% de las ovejas que tiene un rebaño son negras. ¿Cuántas ovejas hay en total
en el rebaño si hay 22 negras?
6.- En un colegio de 800 alumnos el 75 % aprueban todas las asignaturas.¿ Cuántos
alumnos son ?
7.- Han faltado al ensayo de la banda 6 músicos, lo que supone el 20% del total.
¿Cuántos músicos tiene la banda?
8.-En la prueba de atletismo de 2500 atletas llegan a la meta 1500. ¿Qué porcentaje
representa?
9.- Pedro ganaba 1250 euros al mes y le han subido un 8 %. ¿Cuánto gana ahora?
10.-El valor de mis acciones, tras subir un 5 %, es de 525 euros.¿ Cuál era su valor
inicial?
11.-Una aldea que tenia hace 5 años 875 habitantes, ha perdido un 12 % de su
población. ¿Cuántos habitantes tiene ahora?
12.-Un billete de autobús, que costaba 2 euros, ha subido un 15 %. ¿ Cuál es el
precio actual del billete?
13.-De los 25 alumnos de una clase hoy faltan 4 por causa de la gripe. ¿Qué % asiste
a clase?
14.- En la clase de 2º A han suspendido 8 alumnos, lo que representa un 80% de la
clase. ¿Cuántos alumnos hay en total?
15.-El conductor de un vehículo ha recibido una multa de 150 € con estas
condiciones:
a) Si paga en menos de un mes, tiene un 25% de descuento.
b) Si paga pasado un mes, tiene un 30% de recargo.
¿Cuánto tendría que pagar en cada caso?
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PROBLEMAS DE TANTO POR CIENTO
1. Hallar el 25 % de 4.200 euros.
2. El 30 % de un número es 1.800. ¿Cuál es ese número?
3. En las rebajas de una tienda se descuentan todos los artículos un 10 %. Si
compras por valor de 1.580 euros. ¿Cuánto tendrás que pagar?
4. Una tienda carga el 12 % del I.V.A. sobre cada factura. Si el importe de la
compra es de 30.500 euros. ¿ A cuánto asciende con el I.V.A ?
5. Un agente de cambio cobra el 5 % del importe de las acciones que vende por
encargo de otra persona. En una semana ha vendido 300 acciones de 5 euros.
cada una. ¿Cuánto ha ganado?
6. El dueño de un local comercial lo arrienda a otra persona. El precio del
arrendamiento se establece en una comisión del 35 % de los beneficios. ¿Cuánto
cobrará el dueño en un año en que los beneficios fueron de 7 500 euros?
7. A un cierto número lo hemos aumentado un 25 %, obteniendo como resultado
800. ¿De qué número se trata ?
8. A un cierto número lo hemos disminuido en un 30 %, quedándose en 2.100.
¿De qué número se trata ?
9. Un abrigo que costaba 105 euros ahora cuesta 84. ¿Cuál es el porcentaje
rebajado?
10. En una cristalería había 50 copas y se rompieron 2. ¿Qué tanto por ciento de
copas se rompieron?
11. Me hacen una rebaja del 10 % por un artículo que costaba 34,20 euros.¿ Cuánto
tengo que pagar por dicho artículo?
12. En un colegio de 550 alumnos, aprobaron todo en junio el 38%, ¿qué número de
alumnos aprobaron en junio?
13. Un comerciante anuncia una rebaja del 15% sobre el precio de venta de todos
sus artículos. Otro comerciante tacha el precio de un artículo que marcaba 18 €
(precio antiguo) y pone debajo 11,50 € (precio nuevo). En la misma proporción
rebaja todos los artículos de su tienda. ¿Cuál de los dos ha hecho mayor
descuento?
14. Un trabajador tenía un sueldo de 1 400 € mensuales; se lo subieron 8,5%.
¿Cuánto cobra tras el aumento?
15. Con un IVA al tipo del 12%. ¿Cuál será el importe del IVA en una factura de
1 050 €?
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16. Una tienda hace un descuento general del 15% sobre el precio marcado. ¿Cuánto
se deberá pagar por unos pantalones marcados en 85 €?
17. Compramos una máquina de escribir en 400 €, gastamos 50 € en reparaciones y
queremos venderla obteniendo un beneficio del 20% sobre el total invertido.
Hallar el precio de venta.
18. Un cordero consume diariamente en hierba el 10% de su peso. ¿Cuál será el
peso de hierba consumida por 265 corderos , cuyo peso medio es 43 kg ?
19. Un comisionista cobra el 5% de los beneficios. Vendió 7 680 €. El beneficio es
el 22% de la venta. ¿Cuánto debe cobrar?
20. Hemos recibido 20 sacos llenos de arroz, cuyo peso total es 1.200 kg y nos dicen
que la tara (los sacos) supone un 1% .
Calcular: a) el peso neto;
b) el peso de cada envase.
21.- En una población de 10 000 habitantes, el 15% son inmigrantes, y el 40 % de
los inmigrantes son ecuatorianos. ¿Cuántos ecuatorianos viven en esa población?
22.- Luis ha pagado 111 € por un abrigo rebajado un 25 %.¿Cuánto costaba sin
rebaja?
23.- Un trabajador que gana 940 € al mes le descuentan para la seguridad social un
15%. ¿De cuánto dispone todos los meses?
24.- La leche da por término medio, un 15% de nata y esta da un 25% de
mantequilla.
a) ¿Cuánta nata se obtiene con 40 litros de leche?
b) ¿Cuánta mantequilla se obtiene con 80 litros de leche?
25.- En unos grandes almacenes, rebajan un abrigo el 20% en las primeras rebajas y
sobre ese precio, vuelven hacer otro 20% de descuento en las segundas rebajas. ¿Qué
porcentaje del precio original se ha rebajado el abrigo?
26.- Una aldea que tenia hace 5 años 875 habitantes, ha perdido un 12 % de su
población. ¿Cuántos habitantes tiene ahora?
27- Pedro ganaba 1350 euros al mes y le han bajado un 8 %. ¿Cuánto gana ahora?
28.- Me hacen una rebaja del 10 % por un artículo que costaba 34,20 euros.¿ Cuánto
tengo que pagar por dicho artículo?
29.- Hemos pagado 527 por una bicicleta rebajada el 15% ¿Cuánto costaba antes de la
rebaja?
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30.- Un viticultor recogió el año pasado, 180 toneladas de uva, y este año, 216 toneladas
¿En qué porcentaje ha aumentado su producción?
31.-Hace 5 años compré un piso por 240 000 €. En este tiempo la vivienda ha bajado un
34% ¿Cuánto vale ahora mi piso?
32.- Una cámara de fotos que cuesta 425 € .Pago una entrada del 25% de la cámara
y el resto lo aplazo a un año. La cantidad aplazada me la incrementan en un 12%. ¿Qué cuota mensual me queda?
33.- Una ciudad ha pasado de 12.550 habitantes a 13.725. Porcentaje de aumento de la
población
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Tema 3: APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD
Regla de tres simple y directa
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente
proporcionales estableciendo una proporción.
COMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE REGLA DE TRES DIRECTA
1º.- Se ordenan los datos de las 2 magnitudes estando la misma magnitud en las misma
unidad
Magnitud A Magnitud B
a b
c d
2º.- Se construye la proporción con los términos en el orden que aparece.
=
3º.- Se calcula el termino desconocido de la proporción.
Ej: ¿Cuánto he de pagar por 5 kg de patatas si 2 kg cuestan 0,80 €?
c) 1º Es directa porque a más kilos más euros nos costarán.
D
2 kg 0,80 €
5 kg x €
d) 2º Se forma la proporción respetando el orden de los términos.
Regla de tres simple inversa
Recuerda que en las magnitudes inversamente proporcionales, si se aumenta un valor de
una de las magnitudes al doble el correspondiente valor de la otra disminuye a la mitad.
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente
proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una
cantidad dada de la otra magnitud.
La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las
relaciones:
A más menos.
A menos más.
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Ejemplos:
Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito.
¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará
más en llenar el depósito.
1º.- Se ordenan los datos
Inversa
18 l/min 14 h
7 l/min x h
2º.- Se construye la proporción invirtiendo el orden en los elementos de una de las
magnitudes.
=
3º.- Se resuelve la proporción.
14 · 18
x = ---------- = 28 horas tardará en llenar el depósito
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Otro problema de Regla de tres INVERSA
3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos
horas.
Inversa
3 obreros 12 h
6 obreros x h
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Regla de tres compuesta
La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de
modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas
obtenemos la desconocida.
Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas
sucesivamente.
Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa
o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:
Regla de tres compuesta directa
Ejemplo: Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de
agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas
durante los mismos días.
9 grifos 10 horas 20 €
15 grifos 12 horas x €
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Regla de tres compuesta inversa
Ejemplo: 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días.
¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
I I
5 obreros 6 horas 2 días
4 obreros 7 horas x días
Regla de tres compuesta mixta
Ejemplo: Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro
de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar
los 50 m de muro que faltan?
A más obreros, menos días Inversa.
A más horas, menos días Inversa.
A más metros, más días Directa.
I I D
8 obreros 9 días 6 horas 30 m
10 obreros x días 8 horas 50 m
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PROBLEMAS DE REGLA DE TRES
1. Para descargar un camión de sacos de cemento, 8 obreros han empleado 6 horas.
¿Cuánto tiempo emplearán 12 obreros?
2. En 15 días un obrero gana 750 €. ¿Cuánto ganará en 8 días?
3. Una fuente da 54 litros de agua en 6 minutos. ¿Cuántos litros dará en 20 minutos?
4. Para llenar una piscina se utiliza un grifo que arroja 300 litros de agua por minuto
y tarda en llenar la piscina 10 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse la piscina con
un grifo que arroja 375 litros por minuto?
5. Un coche a la velocidad de 120 km/h ha recorrido la distancia entre dos ciudades
en 3 horas y media. ¿Cuánto tardará otro coche en recorrer esa distancia si su
velocidad es de 80 km/h?
6. Sabiendo que un tubo de 16 m de longitud pesa 240 kg, ¿qué longitud tendrá
otro tubo de la misma sección y 600 kg de peso ?
7. Un libro tiene 300 páginas y cada página contiene 30 líneas. ¿Cuántas páginas
tendría el libro si cada página tuviera 36 líneas?
8. Si he empaquetado 20 regalos en dos horas y media, ¿cuántos paquetes
empaquetaré en 4 horas?
9. Para construir una pared en 18 días hacen falta 8 obreros, ¿cuántos obreros
necesitaremos para acabarla en 12 días?
10. Para construir una pared de 12 m de largo y 5 m de alto se necesitan 400
ladrillos. ¿Qué altura tendrá la pared si tuviera 4 m de largo y se cuenta con 200
ladrillos?
11. Si 3 kg de patatas han costado 120 euros. ¿Cuánto costarán 8 kg ?
12. Considerando que el coste de realización de un libro es directamente
proporcional al número de páginas: calcular el coste de un libro de 247 páginas,
sabiendo que el de otro de 350 páginas ha sido de 28 euros.
13. Un automóvil, circulando a velocidad constante, tarda 4 horas 15 minutos en
recorrer los 330 km que separan Logroño de Madrid. ¿Qué tiempo tardará en
completar los 550 km que le faltan para llegar a Sevilla?
14. ¿ Cuánto pesan 35 sacos de cemento si 14 sacos pesan 840 kg ?
15. El barnizado de un piso de 110 m2 ha costado 365 euros. ¿Qué costará barnizar
otro piso de 220 m2?
16. Sabiendo que 10 kg de azúcar cuestan lo mismo que 2 kg de café, ¿ qué cantidad
de café se podrá comprar por el precio de una tonelada de azúcar ?
17. La rueda de un vehículo da 320 vueltas para recorrer 1 km. ¿Cuántas vueltas
dará para recorrer 150 m.
18. 70 hl de aceite pesan 6.300 kg. ¿Cuántos gramos pesarán 18 dal de este aceite?
19. Sabiendo que por un grifo fluye agua a razón de 6 m3 cada 8 horas, ¿qué
volumen de agua fluirá en un día ?
20. Un tren que marcha a 72 km/ h tarda 8 horas en recorrer la distancia entre dos
ciudades. ¿Qué velocidad debe llevar para efectuar el mismo recorrido en 6
horas?
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21. Una rueda, de 3 m de circunferencia, da 178 vueltas para recorrer una
determinada distancia. ¿ Cuántas vueltas tendrá que dar otra rueda de 1,2 m de
desarrollo, para recorrer la misma distancia ?
22. Tres trabajadores han realizado una obra en 4 horas 40 minutos.¿ Cuánto tiempo
hubieran tardado ocho trabajadores en realizar el mismo trabajo ?
23. Una cuadrilla de 30 empleados debe hacer un trabajo en 30 días. Transcurridos
12 días del comienzo de ésta se incorporan a la cuadrilla otros 6 empleados.
¿Cuánto tiempo dura el trabajo?
24. Una fuente que arroja 200 litros por minuto tarda 375 minutos en llenar un
estanque. ¿Cuánto tiempo tardaría si su caudal fuera de 125 litros por minuto ?
25. Quince obreros tardan 28 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán 7
obreros en realizar el mismo trabajo?
26. Una máquina fabrica 400 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará para
hacer 1 000 tornillos?
27. Para asfaltar una calle, 5 operarios han tardado 10 días. ¿Cuántos operarios serán
necesarios si se quiere acabar la obra en 2 días?
REGLA DE TRES COMPUESTA
1. Los gastos de alimentación de 32 personas suponen 768 euros diarios.
¿Cuántos días podrá alimentarse un colectivo de 101 personas con 19 392 €?
2. Por 20 días de trabajo, a razón de ocho horas diarias, un trabajador percibe la
cantidad de 800 euros. ¿Cuánto percibirá por 5 días, a razón de seis horas
diarias?
3. Un labrador, trabajando ocho horas diarias, tarda 4 días en arar un campo.
¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar dos labradores para arar, en 8
días, un campo cuya superficie es doble que la del anterior?
4. 30 electricistas en 12 días, trabajando 10 horas cada día, colocan 6 km de
tendido eléctrico. ¿Cuántos días necesitarán 25 electricistas para colocar 15
km de tendido eléctrico, trabajando 8 horas diarias?
5. Una población de 24.000 habitantes consume 360.000 kg de pan en 30 días.
¿Cuántos días se podrá alimentar una ciudad de 1.000.000 de habitantes con
1.000 toneladas de pan?
6. Disponemos de 4 empleados para imprimir 20 libros en 12 días, resulta que a
los 4 días sólo han conseguido terminar 5 libros. ¿Cuántos empleados
deberán ayudarles para conseguir terminar en el plazo señalado?
7. Considerando que una familia compuesta por siete miembros gasta 20 m3 de
agua en 8 días. ¿Cuál será el gasto diario de una población de 14.000
habitantes?
8. ¿Cuánto tiempo empleará una persona en recorrer 600 km andando 6 horas
diarias, sabiendo que en 15 días ha recorrido 450 kilómetros, andando 9
horas diarias ?
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PROBLEMAS REGLA DE TRES DIRECTA, INVERSA Y COMPUESTA
REGLA DE TRES
1. Con 200 kg de harina se elaboran 250 kg de pan.
a) ¿Cuántos kg de harina se necesitan para hacer un pan de 2 kg?
b) ¿Cuántos panecillos de 150 g se podrán hacer con 300 kg de harina
2. Una piscina se llena en 12 horas con un grifo que arroja 180 litros de agua por
minuto.
a) ¿El número de litros que arroja el grifo por minuto y el tiempo que tarda en
llenarse la piscina, son magnitudes inversamente proporcionales?
b) ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse la piscina si el grifo arroja 360 litros por
minuto?
3. Doce camiones cisterna llenan un depósito en 7 horas, ¿cuánto tiempo hubieran
tardado en llenarlo 2 camiones? ¿Y si hubieran sido 3 camiones?
4. Si 2 cintas de vídeo cuestan 5 €. ¿Cuánto costarán 7 cintas? ¿Cuántas cintas de
vídeo podemos comprar con 25 €?
5. Si un cartón de leche cuesta 0,64 € ¿cuántos cartones podré comprar con 16 €?
6. Dos hombres pintan una casa en 9 días. ¿Cuántos días tardarán en pintar la misma
casa 6 hombres?
7. Una rueda de un coche da 4 590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 24
horas y 24 minutos?
8. Jorge tarda 25 minutos de casa al colegio, dando 100 pasos por minuto. Un día se
retrasa al salir y tiene que llegar al colegio en 20 minutos. ¿Cuántos pasos deberá
dar por minuto?
9. Un barco lleva víveres para alimentar durante 49 días a su tripulación, formada por
60 hombres. Si acogen a 10 hombres más de un barco averiado, ¿cuántos días
durarán los víveres?
10. Cada página de un libro tiene 32 líneas. El libro tiene 70 páginas. ¿Cuántas páginas
ocuparía el mismo libro si en cada página se colocaran 35 líneas?
11. En un grupo de personas por cada 3 mujeres hay 5 hombres. Si el total de mujeres
es 120, ¿cuántos hombres hay?
12. Se sabe que las alturas y las sombras de los árboles son proporcionales. La sombra
de un árbol grande es de 4 m. la sombra de otro más pequeño es de 2 m, y su altura
es de 1,5 m. Halla la altura del árbol grande.
13. Un termo consume 900 litros de gas en 5 horas y media. Otro termo consume 100
litros de gas en 3 horas y media. ¿Cuál de los dos termos gasta más por hora?
14. Un manantial que aporta un caudal de 3,5 litros por minuto llena un depósito en una
hora y media. ¿Cuánto tardaría si el caudal aumentara a 4,5 litros por minuto?
15. Un tren de mercancías, a una velocidad media de 72 km/ h , realiza el trayecto entre
2 ciudades en 7 horas. ¿Cuál debería ser su velocidad media para hacer el mismo
viaje en solo 6 horas?
19
16. En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado 600 bufandas
en 10 días.
a) ¿Cuántas bufandas se fabricarían con 5 máquinas en 15 días?
b) Si trabajaran solamente con 5 máquinas, ¿Cuántos días se tardaría en fabricar 144
bufandas?
17. Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 100
Kg de ropa. ¿Cuántos kilos de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas diarias?
18. Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datos para un
estudio de mercado en 27 días. ¿Cuánto tardarían en hacer el mismo trabajo 9
encuestadores trabajando 10 horas cada día?
19. Cincuenta terneros consumen 4200 kg de alfalfa a la semana.
a) ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y dia?
b) ¿Cuántos kg de alfalfa se necesitan para alimentar a 20 terneros durante 15 días?
c) ¿Durante cuántos días podremos alimentar a 10 terneros si disponemos de 600kg
de alfalfa?
20.- Para construir un muro, 60 obreros emplean 10 días. ¿Cuántos días tardarán 20
obreros en construir el mismo muro?
21.- Un vehículo gasta 7 litros de gasolina cada 100 Km. ¿Cuántos litros gastará en 545
Km?
22.- Tres trabajadores han realizado una obra en 4 horas 40 minutos.¿ Cuánto tiempo
hubieran tardado ocho trabajadores en realizar el mismo trabajo ?
23.-Un grifo arroja 16 litros de agua por minuto, emplea 18 horas en llenar un depósito.
¿Cuánto empleará otro grifo que arroja 48 litros por minuto?
20
TEMA 4 INTERÉS
Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Se representa por r
Ese beneficio es directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura
el préstamo. Por lo tanto hablaremos de una regla de tres compuesta en que todas las
magnitudes son directamente proporcionales.
Un capital, C, colocado al r % anual durante t años produce un beneficio I
Directa Directa
CAPITAL TIEMPO INTERÉS
100
1
r
100 1 r
C
t
I
------ · ---- · -----
C t I
C · r · t
Donde I = -------------------
100
El concepto de interés tiene que ver con el precio del dinero. Si alguien pide un
préstamo debe pagar un cierto interés por ese dinero. Y si alguien deposita dinero en un
banco, el banco debe pagar un cierto interés por ese dinero.
Componentes del préstamo o depósito a interés En un negocio de préstamo o depósito a interés aparecen:
El capital, que es el monto de dinero inicial, prestado o depositado. Se representa por C
La tasa, que es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada 100 en concepto
de interés; también llamada tanto por ciento. Se representa por r
El tiempo, durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y genera
intereses. Se representa por t
El interés, que es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del capital durante
todo el tiempo. Se representa por I
El interés, como precio por el uso del dinero, se puede prestar a interés simple o como
interés compuesto.
EL INTERÉS SIMPLE
El interés simple se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece invariable.
El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Dicho interés no
se reinvierte y cada vez se calcula sobre la misma base.
En relación a un préstamo o un depósito mantenido durante un plazo a una misma tasa
de interés simple, los cálculos de cualquier de esos elementos se realizan mediante una
regla de tres simple. Es decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos
calcular el cuarto:
El interés (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial
(C), al tiempo (t), y a la tasa de interés (r):
21
esto se presenta bajo la fórmula:
C · r · t
I = -------------------
100
donde r está expresado en tanto por ciento y t está expresado en años, meses o días.
Tanto por uno es lo mismo que
Entonces, la fórmula para el cálculo del interés simple queda:
si la tasa anual se aplica por años.
si la tasa anual se aplica por meses
si la tasa anual se aplica por días
Recordemos que cuando se habla de una tasa de 6 por ciento (o cualquier porcentaje),
sin más datos, se subentiende que es anual.
Ahora, si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por días, t debe expresarse en la
misma unidad de tiempo.
Veamos algunos ejercicios:
Ejercicio Nº 1 Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25.000 €
invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.
Resolución: Aplicamos la fórmula
pues la tasa se aplica por años.
I = 25.000 • 0,06 • 4 = 6.000
Respuesta A una tasa de interés simple de 6% anual, al cabo de 4 años los 25.000 € han ganado
6.000 € en intereses.
Ejercicio Nº 2 Calcular el interés simple producido por 30.000 € durante 90 días a una tasa de interés
anual del 5 %.
22
Resolución: Aplicamos la fórmula
pues la tasa se aplica por días. En la cual se ha de expresar el 5 % en tanto por uno, y se obtiene 0,05
Respuesta El interés simple producido al cabo de 90 días es de 369,86 €
Ejercicio Nº 3 Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de
intereses, 970 €. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo
medio (capital) de dicha cuenta en ese año?
Resolución: Aplicamos la fórmula
pues la tasa se aplica por años. En la cual se ha de expresar el 2 % en tanto por uno, y se obtiene 0,02
Nótese que aquí conocemos el interés y desconocemos el capital.
Reemplazamos los valores:
Despejamos C:
Respuesta El saldo medio (capital) anual de dicha cuenta fue de 48.500 €.
Ejercicio Nº 4 Por un préstamo de 20.000 € se paga al cabo de un año 22.400 €. ¿Cuál es la tasa de
interés cobrada?
Resolución: Como conocemos el capital inicial y el capital final (sumados los intereses) podemos
calcular el monto de los intereses, haciendo la resta.
22.400 − 20.000 = 2.400 € son los intereses cobrados
Aplicamos la fórmula
pues la tasa se aplica por años.
20.000 · r · 1
2.400 = ---------------------
100
Despejamos r:
r =
= 12
Respuesta La tasa de interés anual es del 12 %.
23
Ejercicio Nº 5 Un capital de 300.000 € invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo,
ha supuesto unos intereses de 12.000 €. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?
Resolución: Se subentiende que la tasa es 8 % anual, pero no sabemos el tiempo durante el cual ha
estado invertido el capital.
Podemos usar la fórmula
suponiendo que la tasa (anual) se ha
aplicado por año: Reemplazamos los valores:
Calculamos t
Respuesta El tiempo durante el cual el capital ha estado invertido es de 0,5 año (medio año); es
decir, 6 meses.
También pudimos calcular pensando en que la tasa anual de 8 % se aplicó durante
algunos meses:
Reemplazamos los valores:
Calculamos
Ahora despejamos t
Respuesta El tiempo durante el cual el capital ha estado invertido es 6 meses.
24
PROBLEMAS DE INTERÉS
1.- Calcula el interés producido por 8 000 € colocados al 2% durante 3 años.
2.-¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se
convierta en 30.000 €?
3.- ¿Qué interés debo pagar por un préstamo de 3 000 € al 10% que devuelvo al cabo de
2 años.
4.-Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €.
Calcular el tanto por ciento de interés.
5.- Calcula el interés que produce , en 5 meses, 9 000 € colocado al 4% anual.
6.- Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para
que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.
7.- ¿Qué interés producen 800 € al 6% durante un año? ¿ y durante un mes? ¿ Y durante
7 meses?
8.-¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%?
9.- Calcula los intereses que genera un préstamo de 6 000 € al 4’5 % durante 5 meses.
10.-Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%.
11.- Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%.
12.-¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 5 000 € al 5% para que se
convierta en 6.000 €?
13.- Calcular el valor al vencimiento de una deuda por 1 200 € en un plazo de 120 días
pactada al 8.5% de tasa de interés simple exacto anual.
25
TEMA 5 FRACCIONES
Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la
siguiente forma:
b es el denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.
a es el numerador, indica el número de unidades fraccionarias elegidas.
Clases de fracciones
Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su
valor está comprendido entre cero y uno.
Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su
valor es mayor que 1.
El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra
fraccionaria.
Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y el
numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador,
del número mixto.
Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el
denominador. El cociente es el entero del número mixto y el resto el numerador de la
fracción, siendo el denominador el mismo.
26
Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de
medios.
a y d son los extremos; b y c, los medios.
Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número
entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.
Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple.
Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo
número.
Si el número por el que dividimos es el máximo común divisor del numerador y
denominador llegamos a una fracción irreducible.
Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede
cuando el numerador y el denominador son primos entre sí.
OPERACIONES CON FRACCIONES
Suma y resta de fracciones
Si tienen el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Si tienen distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se
restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
27
Ejemplos:
Como se reducen varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas
en otras equivalentes que tengan el mismo denominador.
Para ello:
1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los
denominadores.
3 =3; 12 = 22 · 3; 9 = 3
2 m.c.m.(3. 12. 9) = 2
2 ·3
2 = 36
El m.c.m. obtenido va a ser el denominador de la nueva fracción.
2º Este denominador común, se divide por cada uno de los denominadores,
multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.
División de fracciones
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
• Por numerador el producto de los extremos.
• Por denominador el producto de los medios.
28
Potencia de una fracción
Se elevan el numerador y el denominador al mismo exponente.
Potencias enteras con exponente negativo
La potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso del número
elevado a exponente positivo.
Ejemplo:
Potencias fraccionarias de exponente negativo
Una potencia fraccionaria de exponente negativo es igual a la inversa de la fracción
elevada a exponente positivo.
Ejemplos:
29
PROBLEMAS DE FRACCIONES
1.- En una memoria USB de 32 Gb , se ocupa con un programa los
de su capacidad.
Después se ocupa con unas fotografías
de su memoria . ¿Qué parte de memoria está
ocupada? ¿Qué parte queda por ocupar? Expresa en ambos casos el número en Gb.
2.- Un barco lleva recorridas las
partes de un viaje de 1700 km. ¿Cuántos km le
faltan todavía por recorrer?
3.- Por tres cuartos de kilo de cerezas hemos pagado 1´80 € ¿A cómo está el kilo?
4.- Un granjero tiene a finales de febrero unas reservas de 2 800 kg de pienso para
alimentar a su ganado. En marzo gasta
de sus existencias, y en abril,
de lo que le
quedaba. ¿Cuántos Kg tiene el primer dia de mayo?
5.- Una amiga me pidió que le pasase un escrito al ordenador. El primer día le pasé
del trabajo total; el segundo día,
de lo restante; el tercer día ,
de lo que faltaba , y el
cuarto lo concluí, pasando 30 folios. Averigua cuántos folios tenía el trabajo.
6.- Un jardinero poda el lunes
de sus rosales: el martes
del resto, y el miércoles
finaliza el trabajo podando los 30 que le faltaban. ¿Cuántos rosales tiene en total el
jardín?
7.- Una familia gasta
de su presupuesto en vivienda y
e n comida. Cubiertos
estos gastos, aun le quedan 400 € cada mes. ¿A cuánto asciende sus ingresos
mensuales?
8.- El muelle de un resorte alcanza, estirado,
de su longitud inicial. Si estirado mide
4´5 cm. ¿Cuánto mide en reposo?
9.- Una empresa comercializa jabón liquido en envases de plástico con una capacidad
de
de litro. ¿Cuántos litros de jabón se necesitan para rellenar 100 envases?
10.- Amelia ha gastado
de sus ahorros en la compra de un teléfono móvil que le ha
costado 90 €. ¿Cuánto dinero le queda todavía?
11.- Ayer tenía en mi cuenta 1500 € y gasto
en una tablet y la cuarta parte de lo que
me queda en una máquina fotográfica ¿Qué fracción me queda del dinero que
tenía?¿Cuánto me queda?
30
BLOQUE 2
ÁLGEBRA
31
TEMA 6 ÁLGEBRA
¿Qué es el ÁLGEBRA? Es la parte de las matemáticas en la que se utilizan letras para
expresar números de valor desconocido.
UTILIDADES DEL ÁLGEBRA
Para expresar propiedades aritméticas.
Ejemplo : Propiedad distributiva a· ( b + c ) = a · b + a ·c
Para expresar la relación entre variables relativas a distintas magnitudes
(FÓRMULAS)
Ejemplos: Perímetro del cuadrado = 4 · lado
Para manejar expresiones de valor desconocido y sus operaciones.
(EXPRESIONES ALGEBRAICAS)
Ejemplos:
a) Un número x
b) El doble o duplo de un número: 2x
c) El triple de un número: 3x
d) La mitad de un número :
e) Un tercio de un número:
f) Un número al cuadrado: x2
g) Dos números consecutivos: Primer número = x , su consecutivo = x+1
Para expresar relaciones que faciliten la resolución de problemas.
(ECUACIONES)
Ejemplo : Pedro tiene el doble de dinero que Juan, y Luis el triple que Juan.
Entre los tres contamos con 4.500 €. ¿Cuánto tiene cada uno?
DATOS: ECUACIÓN
Juan x
Pedro 2x
Luis 3x
6 x = 4500
SOLUCIONES:
Juan tiene 750 € x =
Pedro tiene 1500 €
x = 750
Luis tiene 2250 €
P = 4 l
v =
x + 2x + 3x = 4500
32
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Está formada por letras y números , ligados estos por las operaciones aritméticas:
suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Ejemplos: 2x , x + 1 , ( a +b )2
, a2 – b
2 , 3x
2 + 5x + 8 ,
Monomio es el producto de un valor conocido ( coeficiente) por 1 o varios
desconocidos ( estos representados por letras que es la parte literal).
Ejemplo : 3 x y2
El 3 es el coeficiente y la (x y2 ) es la parte literal.
Grado de un monomio es el número de factores que forman la parte literal del
monomio.
Ejemplos: 4 a2
de 2º grado
3 x3 y
2 de 5º grado
8 x y3
de 4º grado
Monomios semejantes son aquellos que tienen la parte literal idéntica.
Ej.- 3x , 8x
Dos monomios se pueden sumar o restar si son semejantes.
Ejemplo: 2x - 5x + 4x = x (Cuando el coeficiente es 1 solo se pone la parte literal)
Polinomio es la suma o resta indicada de varios monomios.
Ejemplo: 5x4 – 3x
2 + 3x – 8
IGUALDAD ALGEBRAICA
Es una expresión con números y letras en la que aparece el signo igual.
Identidad son igualdades que se cumplen siempre para cualquier valor.
Ejemplos: (a + b)
2 = a
2 + b
2 +2ab
a2
– b2
= (a + b) ( a – b )
( x - y )2
= x2 + y
2 – 2xy
33
Ecuaciones son igualdades que solo se cumplen para algunos valores concretos.
Resolver una ecuación es encontrar el valor o valores que deben tomar las letras
para que la igualdad sea cierta.
Incógnita es el valor desconocido que viene expresado por medio de una letra en la
ecuación.
Primer miembro son todos los términos situados a la izquierda del signo igual (=).
Segundo miembro son todos los términos situados a la derecha del signo igual (=).
Términos son los sumandos que forman los miembros. Pueden ser:
Términos literales cuando llevan incógnita.
Términos constantes son los términos que no llevan incógnita.
Raíz o Solución de una ecuación es el valor de la incógnita que verifica la
ecuación.
Ejemplo: En la ecuación 2x + 5 = 11 la raíz o solución es 3 porque 2 · 3 + 5 = 11
Grado de una ecuación es el exponente de mayor valor de la incógnita.
Ejemplo: en la ecuación 2x2
+ 3x - 5 = 0 el grado es de 2º
ECUACIONES EQUIVALENTES
Son aquellas que tienen las mismas incógnitas y las mismas soluciones.
Ejemplo: 3x + 1 = 9 – x
3x + x = 9 – 1
4x = 8
Son equivalentes las tres y las tres tienen
como solución x = 2
x =
x = 2
TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS
Consiste en transformar las ecuaciones en otra equivalentes más sencillas, llevando los
términos de un miembro al otro de la igualdad.
La transposición se basa en estos principios:
Al sumar el mismo número en los dos miembros de una ecuación se obtiene otra
ecuación equivalente.
Si se resta el mismo número en los dos miembros de una ecuación se obtiene
otra ecuación equivalente.
Si se multiplica por el mismo número en los dos miembros de una ecuación se
obtiene otra ecuación equivalente.
Si se divide por el mismo número en los dos miembros de una ecuación se
obtiene otra ecuación equivalente.
34
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los
signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Una igualdad algebraica es una expresión con números y letras en la que aparece el
signo igual. Pueden ser identidades y ecuaciones:
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.
Ejs: 2x + 2 = 2 · (x + 1) (x + y)2
= x2 + y
2 +2xy
(a + b) (a –b) = a
2 – b
2
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
x + 1 = 2 x = 1
Partes de una ecuación:
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos
lados del signo igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.
Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.
Términos constantes son los términos que no llevan incógnita.
Las soluciones o raíces de una ecuación son los valores que deben tomar las letras
para que la igualdad sea cierta.
2x − 3 = 3x + 2 x = − 5
2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus
miembros. Tipos de ecuaciones según su grado:
5x + 3 = 2x +1 Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x2 + x Ecuación de segundo grado.
5x3 + 3 = 2x +x
2 Ecuación de tercer grado.
5x3 + 3 = 2x
4 +1 Ecuación de cuarto grado.
35
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
UNA INCÓGNITA
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes
pasos:
1º.- Quitar paréntesis.
2º.- Quitar denominadores.
3º.- Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
4º.- Reducir los términos semejantes.
5º.- Despejar la incógnita.
Dada la ecuación:
1º.- Quitamos paréntesis:
2º.- Quitamos denominadores: reducimos
a común denominador (m.c.m.) y
quitamos los denominadores.
Cuando en todos los términos de los dos
miembros tenemos el mismo denominador
se quitan los denominadores.
m.c.m. 2 y 3 es 6
3º.- Transposición de términos:
Los términos con incógnita los pasamos al
primer miembro y los constantes al
segundo miembro. Si un término cambia
de miembro cambia de operación.
4º.- Reducir los términos semejantes:
Sumamos o restamos los términos de cada
miembro.
5º.- Despejar la incógnita: el número con
su signo que multiplica a la incógnita pasa
al otro miembro dividiendo.
6º.- Calcular el valor de la incógnita.
36
UTILIZACIÓN DE LAS ECUACIONES
PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1º.- Lectura atenta del problema tantas veces como sea necesarias, hasta que se haya
entendido.
Se debe saber lo que se nos pide, los datos que nos dan.
2º.- Elección de la incógnita. Uno de los datos desconocidos se llama “x” , y los demás
si hay varios se relacionan con él.
3º.- Planteamiento de la ecuación. Se utiliza la parte del enunciado no empleada para
relacionar los datos desconocidos.
4º.- Resolución de la ecuación.
5º.- Interpretación del resultado. Asignamos a cada dato desconocido el valor del
resultado que le corresponde.
6º.- Comprobación. Verificando que los valores obtenidos para los datos desconocidos
cumplen las condiciones establecidas en el enunciado del problema.
Problema: Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0,750 y otro de ley 0,950. ¿Qué
peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0,900?
DATOS:
Peso Pureza ( ley)
1ª Plata x 0,750
2ª Plata 1800 – x 0, 950
TOTAL (Mezcla)
1800 0,900
ECUACIÓN:
0,750 · x + 0,950 · (1 800 − x) = 0,9 · 1800
RESOLVEMOS LA ECUACIÓN:
0,750 x + 1 710 – 0,950x = 1 620
0,750x – 0,950x = 1 620 − 1 710
−0,2x = − 90
x =
450
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO
1ª ley 450 g
2 ª ley 1350 g
37
ACTIVIDADES
Conceptos generales
1º.- Expresa en forma algebraica:
a) El doble o duplo de un número:
b) El triple de un número:
c) El cuádruplo de un número:
d) La mitad de un número:
e) Un tercio de un número:
f) Un cuarto de un número:
g) Un número es proporcional a 2:
h) Un número es proporcional a 3:
i) Un número al cuadrado:
j) Un número al cubo:
k) Dos números consecutivos:
l) Dos números consecutivos pares:
m) Dos números consecutivos impares:
n) Descomponer 24 en dos partes
o) El doble de un número más su mitad igual a diez.
p) El triple de un numero más su cuadrado es igual a cinco.
2.-Resolver las ecuaciones de primer grado s iguientes:
a) x + 6 = 0
b) x – 9 = 5
c) 5x + 3 = 4x –1
d) x + 1 = – 9
e) 36x – 5 = 2 – 6x
f ) 8x + 9 = 1 + 72x
g) 30x + 7 = 27 + 72x
h) 8x + 7 = - 28 – 2x
i ) 5x – 11 = 15x – 33
j) 4x – 1 + 6 = 3x
k) 4 = 10 – x + 8
l ) 3x = 8 + 2x – 7
m) 3(x – 1) = x + 11
n) 3x + 7 = 2(8 + x)
o) (4 + x) = 7x – 2
p) 6x = 9(3x –1) – 5
q) 3(x – 2) = 18
r) 2(x – 6) = 3x – 19
s ) 2(9x – 11) + 2 = 3x
t ) x – 2(x – 3) = 3x +1
38
3º.- Resuelve estas ecuaciones con denominadores y paréntesis.
a)
b)
4
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
PROBLEMAS DE ECUACIONES
1. Halla dos números consecutivos que sumen 113.
2. Los 2/3 de un número más los 2/9 de dicho número es igual a los 5/3 de ese
número menos 63. ¿ Cuál es ese número ?
3. Halla dos números que suman 85, sabiendo que uno es el cuádruplo del otro.
4. ¿ Cuál es el número que aumentado en 29 unidades da 198?
5. La suma de tres números consecutivos es de 72. Calcúlalos
6. Halla un número cuya mitad aumentada en 6 es igual al triple de su cuarta parte
disminuida en 4.
7. Restando 5 a los 2/3 de un número se halla el mismo resultado que añadiendo 2 a
los 3/5 de ese número. ¿Cuál es dicho número?
8. La suma de dos números impares consecutivos da 32. ¿Cuáles son dichos
números.
9. Halla el número cuya mitad, más su cuarta parte, más una unidad, sea igual a
dicho número.
10. ¿Qué número multiplicado por 5 es igual al doble de dicho número más 18?
11. Juan tiene 45 años, y su hijo, 13. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será
triple que la del hijo?
12. Juan, el padre de Ana, tiene ahora tres veces la edad de su hija , pero hace 5 años ,
la edad de Juan era cuatro veces la de Ana .¿Qué edades tienen ahora Juan y Ana?
39
13. Un padre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad
del padre sea doble que la de su hijo?
14. Un poste se halla clavado bajo tierra en un tercio de su longitud , sus 2/5 quedan
debajo del agua y restan en el aire 90 cm. Calcula la longitud del poste.
15. Un padre tiene 28 años más que su hijo. Dentro de 16 años la edad del padre será
el doble que la de su hijo. ¿Cuál es la edad de cada uno?
16. Un padre tiene 49 años y su hijo 21. ¿Cuántos años hace que la edad del padre era
triple que la del hijo?
17. Un padre es 30 años mayor que su hijo. Si dentro de 4 años la edad del padre es 4
veces mayor que la del hijo, ¿qué edad tiene el padre y el hijo?
18. Si al duplo de mi edad le disminuyo 22 años, quedan 80. ¿Cuál es mi edad?
19. La suma de edades de un padre y de su hijo es de 31 años. Dentro de 22 años
el padre doblará la edad de su hijo. ¿Cuáles son las edades del padre e hijo?
20. ¿Cuántos kilos de café superior, a 17 €/kg, hay que mezclar con 100 kilos de otro
café inferior, a 12 €/kg, para que la mezcla resulte a 13 €/kg?
21. Un disco cuesta 5 euros más que una cinta. Dos cintas y un disco me han costado
29 euros. ¿Cuánto cuesta una cinta? ¿Y un disco?
22. Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 2 € el kg y la segunda a 6 €
el kg. ¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60
kilos de mezcla a 5 € el kg?
23. En una bodega se produce vino de gran calidad y vino de calidad media. Se quiere
lanzar un producto en el que se mezclan 15 litros de vino de gran calidad a 14.2
euros/litro con 5 litros de calidad media a precio desconocido. La mezcla tiene un
precio de 11.65 euros/litro ¿Cuál será el precio del vino de calidad media?
24. Entre tres personas juntan 10 000 €. Una de ellas tiene el doble que la otra y la tercera
1000 € más que las dos juntas. ¿Cuánto dinero tiene cada una?
25. Se reparten 32 500 entre dos personas, de modo que una de ellas recibe triple cantidad
que la otra más 500€. ¿Qué cantidad corresponde a cada una?
26. En una granja hay 33 animales entre conejos y gallinas. Sabiendo que el número total de
patas es de 96 ¿Cuántos conejos y gallinas hay?
27. En dos talleres hay igual número de empleados. Despidiendo en uno 65 y en otro 173,
quedan en el primero 5 veces más que en el segundo. ¿Cuántos empleados había en cada
taller?
28. Se han mezclado 45 litros de aceite barato con 55 litros de aceite caro, resultando
la mezcla a 3.2 euros/litro. Calcula el precio del litro de cada clase, sabiendo que
el de más calidad es 5 veces más caro que el otro.
29. Con los 35 euros que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún me
sobrarían 4 euros. La entrada a la piscina cuesta 4 euros menos que al cine.
¿Cuánto cuesta la entrada al cine? ¿Y la entra a la piscina?
30. Un depósito está lleno el domingo. El lunes se vacían sus 2/3 partes, el martes se
gastan 2/5 de lo que quedaba y el miércoles 255 litros. Si aún quedó 1/10, ¿cuál
era la capacidad del depósito?
31. Varios amigos y amigas se reparten un premio y les toca 36 euros a cada uno. Si
hubieran sido 8 amigos más, hubieran tocado a 9 euros menos. ¿Cuántos eran a
repartir?
40
TEMA 7
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas está formado por dos
ecuaciones.
a, b,c,d,e,f son coeficientes (números dados)
x,y son las soluciones del sistema y son común a ambas ecuaciones.
Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones
METODOS PARA RESOLVER LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
Método gráfico
x + y = 5
Dado el sistema
- x +2y = 4
Formamos la tabla de valores de cada
ecuación
1ª ecuación y = 5 – x
x 0 1 2
y 5 4 3
Tabla de la 2ª ecuación: y =
x 0 1 2
y 2
3
Con las tablas hacemos la representación gráfica
Su representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y
de ese punto son la solución al sistema.
La solución del sistema coincide con el punto de corte de las 2 rectas que
representan a las ecuaciones.
CASOS ESPECIALES DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Hay sistemas sin solución cuando las rectas son paralelas.
Hay sistemas con infinitas soluciones cuando las rectas se superponen.
ax +by = c
dx + ey = f
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Método de sustitución
1. Despejamos una incógnita en una de las dos ecuaciones.la que veamos más fácil.
2. Sustituimos en la otra ecuación la incógnita despejada.
3. Resolvemos la ecuación resultante, que es de primer grado y obtenemos el valor de una de las incógnitas.
4. Sustituimos el valor obtenido en la ecuación despejada al principio para obtener el valor de la otra incógnita.
5. Comprobamos los resultados sustituyendo los valores de x e y en las dos ecuaciones para ver si se cumplen
Ejemplo:
2x + y = 7 1ª Ecuación
x + 3y = 11 2ª Ecuación
Observar bien las dos ecuaciones antes de decidir que incógnita despejar y de que ecuación. En el ejemplo despejar la x de la 1ª o la y de la 2ª nos resultaría más complicado para resolver, al despejar nos quedaría una fracción.
1º Despejamos la y de la 1º ecuación → y = 7 – 2x y 2º Sustituimos la y en la 2ª ecuación → x + 3 ( 7 – 2x ) = 11 3º Resolvemos para obtener el valor de x → x +21 – 6x = 11 → x = 2
4º Obtenemos el valor de y sustituyendo el valor de x en la 1ª ecuación despejada →
y = 7 – 2x → y = 7 – 2 · 2 → y = 7 – 4 → y = 3
Solución del sistema x = 2 , y = 3
5º Comprobaremos sustituyendo los valores de x e y en el sistema, si las dos ecuaciones se cumplen lo tenemos bien.
2x + y = 7 → 2 · 2 + 3 = 7 → 7 = 7
x + 3y = 11 → 2 + 3 · 3 = 11 → 11 = 11
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Método de igualación
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
2 Igualamos ambas expresiones:
3 Resolvemos la ecuación:
4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
5 Solución:
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Método de reducción
1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo
común de ambos.
2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.
3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.
4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones
del sistema.
Ejemplo:
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones;
pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.
Restamos y resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
Solución:
1.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) x + y = 5
x – 6y = -2
b) 3x + y = 13
3x - 4y =22
c) 3x – 4y = -1
x –y = -7
d) 2x + y = 3
x – 3y = -9
e) 2x + 5y = 9
2x – 5y = -21
f) x – 2y = -1
2x + 3y = 19
g) x – y = 1
7x – 3y = 5 h) 2(x -3) + 1=
3( x -2) = 4 ( y + 3) + 5
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PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
1. La suma de dos números es 90 y su diferencia es 18. ¿Cuáles son esos números?
2. En cierta cafetería, por 2 cafés y un refresco nos cobraron el otro día 2’70 €.
Hoy hemos tomado un café y 3 refrescos y nos han cobrado 4’10 €. ¿Cuánto cuesta
el café? ¿Y el refresco?
3. Un frutero pone a la venta 80 kg de cerezas. Al cabo de unos días ha vendido la
mayor parte, pero considera que la mercancía restante no está en buenas condiciones
y la retira. Sabiendo que por cada kg vendido a ganado 1 € , que por cada kg retirado
ha perdido 2 € y que la ganancia ha sido de 56 € ¿Cuántos kilos ha vendido y
cuántos ha retirado?
4. Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 200 paquetes, unos de 2 kg
y otros de 5 kg. ¿Cuántos envases de cada clase utiliza?
5. El doble de la edad de Javier coincide con la mitad de la edad de su padre. Dentro de
5 años la edad del padre será tres veces la de Javier. ¿Cuántos años tienen hoy cada
uno?
6. Un ciclista sale de paseo y recorre un tramo de carretera, cuesta arriba, a 8 km/h.
Después, sigue llaneando, a 20 km/h hasta que llega a su destino. Si el paseo ha
durado 3 horas, y la velocidad media resultante ha sido de 16 km/h ¿ Cuánto tiempo
ha invertido en cada tramo?
7. Un concurso televisivo está dotado de un premio de 3 000 € para repartir entre 2
concursantes. El reparto se hará en partes proporcionales al número de pruebas
superadas.
Tras la realización de estas, el primer concursante ha superado 5 pruebas y el 2º ha
superado 7. ¿cuánto corresponde a cada uno?
8. Pablo y Adrián han comprado dos videojuegos que tenían el mismo precio, pero han
conseguido una rebaja del 16% y del 19% respectivamente. Si Pablo pagó 1’26€
más que Adrián ¿Cuál era el precio del videojuego?
9. Halla una fracción equivalente a
en la que la suma del numerador y el
denominador valga 14.
10. El precio de un teclado más un ratón es de 50 €.. los compramos en una oferta que
consiste en un 20% de descuento en el teclado y un 10% en el ratón y pagamos 42 € ¿Cuál es el precio del teclado? ¿ Cual es el precio del ratón?
11. En una empresa se reciben en un determinado día 198 comunicaciones, unas son
telefónicas y otras son correos electrónicos en el ordenador. Entre ordenadores y
teléfonos hay 10 aparatos. Si cada ordenador recibió 25 mensajes y cada teléfono 12
llamadas. ¿Cuántos ordenadores hay? ¿Cuántos teléfonos?
45
PROBLEMAS DE ECUACIONES ( números)
1.- El doble de la suma de dos números consecutivos es 54. ¿Cuáles son esos números?
2.- Si al doble de un número le restas quince unidades, obtienes la mitad del número.
¿De qué número se trata?
3.- Halla dos números que suman 85 , sabiendo que uno es el cuádruplo del otro.
4.- ¿Cuál es el número que aumentado en 29 unidades da 198?
5.- La suma de tres números consecutivos es de 72 . Calcúlalos
6.-Halla un número que aumentado en 16 equivale al triple de su valor.
7.- Hallar un número sabiendo que su triple aumentado en 6 unidades es igual a cinco
veces el resultado de disminuirle a dicho número 10 unidades.
8.- La suma de tres números pares consecutivos es 114. Calcula dichos números.
9.- Halla tres números consecutivos, de modo que sumados den 1.074.
10.-La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble del
primero; el tercero el doble del segundo, y el cuarto el doble del tercero. Halla los cuatro
números.
11. La suma de dos números es 90 y su diferencia es 18. ¿Cuáles son esos números?
12. Dividiendo un número entre 3, se obtiene el mismo resultado que restándole 16.
¿De qué número se trata?
13. Si al triple de un número se le suman 15 y el resultado se divide entre 4, da 9 ¿Cuál
es ese número?
PROBLEMAS DE ECUACIONES (edades)
1. La edad de Rosa es un tercio de la que tiene su primo Sebas, pero dentro de cinco
años será la mitad. ¿Cuál es la edad de cada uno?
2. Andrea tiene 14 años, y su abuelo Julián, el quíntuplo. ¿Cuántos años han de
transcurrir para que la edad de Julián sea solo el triple que la de Andrea?
3. Pedro tiene 6 años más que Pablo. Dentro de 2 años, la edad de Pedro doblará a la
de Pablo. ¿Qué edad tiene cada uno?
4. La madre de Jorge tiene 39 años, y dice que tiene 6 años menos que el triple de la
edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge?
5. La edad de un padre es cuatro veces la edad de su hijo. Hace 4 años era 6 veces la
edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
6. Un padre tiene 30 años más que su hijo, y dentro de 5 años la edad del padre será
triple que la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?
7. Juan tiene 4 años más que su hermana y hace 6 años él tenía el doble de edad que la
que entonces tenía su hermana. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno?
PROBLEMAS DE MEZCLAS
1º.-Se mezclan 20 kg. de trigo tipo A a 0,6 euros/Kg. con 60 Kg. de trigo tipo B a 0.8 euros/Kg.
¿Qué precio tiene la mezcla?
2º.-Se funden 1000 gr. de oro con una pureza del 90% con oro de pureza 75%. La pureza de la
mezcla es del 85%. ¿Qué cantidad de oro de pureza 75% se ha añadido a la mezcla?
3º.-Se funden 7 Kg. de oro con una pureza del 80% con 8 Kg. de una pureza desconocida. Si la
mezcla tiene una pureza del 72% ¿Cuál es la pureza de la segunda cantidad de oro?
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4º.-Se funden 9 Kg. de oro con una pureza del 75% con 6 Kg. de una pureza desconocida. Si la
mezcla tiene una pureza del 77% ¿Cuál es la pureza de la segunda cantidad de oro?
5º.- Un repostero ha mezclado 7 kg de azúcar con una cierta cantidad de miel. El precio del azúcar es
3 euros/kg, el de la miel 7 euros/kg y el de la mezcla ha resultado a 5 euros/kg. ¿Qué cantidad de
miel mezcló?
6º Un comerciante tiene dos clase de aceite. Una clase A de 2´25 € litro y otra clase B de 2 € litro.
¿Cuántos litros de cada clase hay que poner para obtener 50 litros a 2´20 € el litro?
7º.-Un comerciante tiene azúcar de 1´50 y 1´40 € el kg, respectivamente. Quiere vender
80 kg de mezcla a un precio de 1´44 € el kg. ¿Cuántos kg tomará de cada precio?
8º.- Un comerciante tiene dos clases de café, una clase A de 6´20 € el kg y otra clase B
de 7´40 € el kg. ¿Cuántos kg de cada clase hay que mezclar para obtener 100 kg a 6´86
€ el kg?
9º.- Roberto tiene en el taller botes de barniz de 1 kg de dos clases. La clase A de barniz
color castaño mate a 8 € el kg y la clase B de barniz brillo a 9 € el kg. ¿Cuántos botes de
cada clase tendrá que comprar para que 30 kg de barniz mezclado le cuesten 249 €?
10º.- Un joyero tiene dos lingotes de oro: un lingote de ley 0,850 y el otro de ley 0,930.
¿Qué peso hay que coger de cada lingote para obtener 2 kg de aleación de oro de ley
0,900?
11º.- Se funden dos lingotes de oro, uno de 4 kg de peso y de ley 0,750 y otro de ley
0,900. La ley del nuevo lingote es 0,800. ¿Cuánto pesaba el lingote de ley 0,900?
PROBLEMAS DE MÓVILES
1. Dos trenes salen a las 8 de la mañana, uno de Madrid y otro de Barcelona, yendo el
uno hacia el otro. El primero va a 110 km/h y el segundo a 120 km/h. ¿A qué hora se
cruzarán? ¿A qué distancia de Madrid?. La distancia entre Madrid y Barcelona es de
690 km.
2. Dos personas A y B que distan 45 km, empiezan a caminar por la misma carretera
pero en sentido contrario, uno al encuentro del otro. A con velocidad de 5 km/h y B
con velocidad de 4 km/h. ¿Cuándo y dónde se encontrarán?
3. Dos amigos están en dos pueblos A y B, a 23 km de distancia. Ambos salen a dar un
paseo andando cada uno al encuentro del otro. Uno sale a las siete y anda a 6 km/h y
el otro sale a las siete y media y anda a 4 km/h. ¿A qué hora se encontrarán? ¿A qué
distancia de cada pueblo?
4. De dos ciudades que distan 36 km salen a la misma hora dos andarines en
direcciones opuestas hasta encontrarse. El primero hace el recorrido a 4 km/h y el
segundo a 5 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo se encuentran?
5. Dos ciudades distan entre sí 50 km. Dos ciclistas salen a las 4 de la tarde, uno de
cada ciudad y en el mismo sentido. Uno de los ciclistas va a 25 km/h y el otro a 15
km/h. ¿A qué hora se encontrarán? ¿Qué distancia habrá recorrido cada ciclista?
6. Dos ciclistas A y B se dirigen al mismo punto y salen del mismo punto. La velocidad
de A es de 30 km/h, y la de B, de 37,5 km/h. El B sale 2 horas y media más tarde que
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A y lo alcanza en el momento de llegar ambos al punto de cita. ¿Cuánto tiempo ha
empleado B y qué distancia ha recorrido?
7. Un peatón y un ciclista parten al mismo tiempo, a las 8 horas 10 minutos, de dos
puntos distantes 50 km y van el uno hacia el otro. El primero con velocidad de 4,5
km/h y el segundo de 15,5 km/h. ¿Cuándo y dónde se encontrarán?
8. Un tren sale de una ciudad A hacia otra B a 80 km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale
de B hacia A a 90 km/h: Las ciudades A y B distan 340 km. ¿Al cabo de cuánto
tiempo se cruzarán los dos trenes? ¿A qué distancia de A se encontrarán?
9. Dos ciudades A y B distan entre sí 100 km. A las nueve de la mañana salen dos
coches en el mismo sentido, uno de cada ciudad. El coche de A, a 150 km/h, y el que
sale de B a 110 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo el coche A alcanzará al coche B?
¿A qué hora se encontrarán? ¿Qué distancia habrá recorrido cada coche?
10. Un tren sale de A a 100 km/h y al mismo tiempo sale otro de B en la misma
dirección que el anterior a 70 km/h. Si la distancia de AB es igual a 240 km, ¿cuánto
tiempo tardarán en encontrarse? ¿A qué distancia de A y de B se encontrarán?
11. Dos trenes salen al mismo tiempo hacia Madrid, uno de Sevilla y otro de
Córdoba, el primero recorre 60 km/h, y el segundo 35 km/h. ¿A qué distancia de
Córdoba se encontrarán si de Sevilla a Córdoba hay 130 km?
12. Dos ciclistas salen al mismo tiempo, uno de Valladolid y otro de Peñafiel, al
encuentro uno del otro. El primero va a 15 km/h y el segundo a 16,5 km/h. ¿A qué
distancia de Valladolid se encontrarán? La distancia entre estas dos ciudades es de 63
km.
13. Dos trenes salen a las 8 h 30 m, uno de Santander y otro de Oviedo, yendo el
uno hacia el otro. El primero va a 55 km/h y el segundo a 35 km/h. La distancia de
Santander a Oviedo es de 216 km. ¿A qué hora se cruzarán?
14. Un ladrón roba una bicicleta y huye con ella a 20 km/h; 3 minutos después lo
advierte un ciclista y emprende su persecución a 22 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo
alcanzará al ladrón?
15. Un coche sale de Madrid a las 8 de la mañana a 85 km/h. Cuarenta minutos
después otro coche, más potente, sigue el mismo recorrido a 102 km/h. ¿A qué hora
alcanzará al primero?
16. Un ciclista parte a las 8 de la mañana del punto A en dirección a B a 30 km/h. A
las 10 de la mañana un automóvil parte del mismo punto en la misma dirección que
el ciclista a 90 km/h. ¿A qué hora y a qué distancia de A se encontrarán?
17. Un motorista cuya velocidad es de 50 km/h sale del punto A a las 8 de la mañana
en dirección a B. Dos horas más tarde, un automovilista sale en su persecución a 90
km/h. ¿A qué hora alcanza el automovilista al motorista? ¿A qué distancia de A le
alcanza?
18. Un malhechor escapa a 70 km/h, y 90 km más atrás le persigue la policía a 85
km/h. ¿Cuándo y dónde le alcanza?
19. Un autobús sale de una ciudad A las diez de la mañana, a 80 km/h. Cuatro horas
después sale otro autobús de la misma ciudad y en el mismo sentido que el primero,
pero a 120 km/h. ¿A qué hora se encontrarán? ¿A qué distancia de la ciudad A?
20. Dos poblaciones distan 600 km. De A sale un coche a 120 km/h y de B en
dirección contraria una moto a 80 km/h. ¿ Cuánto tiempo tardarán en encontrase?¿
Cuántos km ha recorrido cada uno?
21. Un camión sale de cierta población a 80 km/h. Medias hora más tarde sale en su
persecución una moto que va a 95 km /h. ¿Cuánto tardará en alcanzarle?
22. Un tractor que lleva una velocidad de 12 km/ h tarda 4 horas en hacer un
recorrido. Cuánto tiempo tarda si la velocidad fuera de 16 km /h?
48
(Variados)
1. Francisco compra un rollo de sedal para pescar. Le da la mitad a su hermano y pone
la tercera parte en el carrete de su caña. De esta forma, solo le quedan 30 m. ¿Cuál
era la longitud del rollo?
2. Un agricultor siembra la tercera parte de su huerta de alubias; la cuarta parte, de
lentejas, y el resto, que son 5 000 m2, de patatas. ¿Cuál es la superficie de la huerta?
3. ¿Cuántos kilos de café superior, a 16,50 €/kg, hay que mezclar con 100 kilos de otro
café inferior, a 12 €/kg, para que la mezcla resulte a 12,75 €/kg?
4. Repartir 164 cromos entre tres niños, de modo que el primero de ellos reciba 10
cromos más que el segundo, y éste, el triple que el tercero. ¿Cuántos cromos recibe
cada uno?
5. Tres alumnos tienen 270 puntos. ¿Cuántos tiene cada uno sabiendo que el segundo
tiene 25 menos que el primero y que el tercero tiene tantos como los otros dos
juntos.
6. Tres amigos tienen 90 cromos. Calcular cuántos tiene cada uno de ellos sabiendo
que, Juan tiene 5 menos que Paco, y este último tiene 10 más que Andrés.
7. En un centro de educación de personas adultas hay matriculadas 860 personas de las
que 305 son mujeres. Si el 21’55% de los matriculados en enseñanzas formales y el
62’24 de los matriculados en enseñanzas no formales son mujeres. Halla el número
total de personas matriculadas en cada tipo de enseñanza.
( DINERO)
1. Un cuaderno cuesta el triple que un bolígrafo. Dos cuadernos y tres bolígrafos
cuestan 5,4 €. ¿Cuánto cuesta un cuaderno? ¿Y un bolígrafo?
2. Juan tiene 350 € en billetes de 5 € y de 10 €. En total tiene 55 billetes. ¿Cuántos
billetes hay de cada clase?
3. Mi hermano tiene el doble de dinero que yo, y mi hermana, el triple. Entre los tres
contamos con 4.500 €. ¿Cuánto tiene cada uno?
4. Antonio dice a Pedro. “El dinero que tengo es doble del que tienes tú”, y Pedro le
contesta:” Si tú me das 6 € tendremos los dos igual”. ¿Cuánto dinero tiene cada
uno?
5. Una coca-cola cuesta 10 céntimos más que una cerveza. Tres cervezas y cuatro
coca-colas han costado 6 €. ¿Cuánto cuesta la coca-cola? ¿y la cerveza?
49
BLOQUE 3
GEOMETRÍA
TEMA 8: ESTUDIO DE LAS FIGURAS PLANAS
50
FIGURAS PLANAS
Polígonos
Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.
Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales
Elementos de un polígono
- Lados son los segmentos que lo
limitan.
- Vértices son los puntos donde
concurren dos lados.
- Ángulos interiores de un
polígono son los determinados por
dos lados consecutivos.
Suma de ángulos interiores de un
polígono es igual (n − 2) • 180°
Siendo n es el número de lados del
polígono
- Diagonal son los segmentos que
determinan dos vértices no
consecutivos. Número de
diagonales de un polígono Ndiag, = n
• (n − 3) : 2
- Centro es el punto interior que
equidista de cada vértice.
- Radio es el segmento que va del
centro a cada vértice.
- Apotema distancia del centro al
punto medio de un lado. En un
polígono regular siempre es
perpendicular a dicho lado.
- Ángulo central de un polígono regular Es el
formado por dos radios consecutivos. Ángulo
central = 360° : n
- Ángulo exterior de un polígono regular Es el
formado por un lado y la prolongación de un
lado consecutivo.
Los ángulos exteriores e interiores son
suplementarios, es decir, que suman 180º.
Ángulo exterior = Ángulo central
51
Clasificación de los polígonos
Por el número de lados:
Triángulo si tiene los 3 lados y ángulos.
Cuadrilátero si tiene 4 lados y ángulos.
Pentágono si tiene 5 lados y ángulos.
Hexágono si tiene 6 lados y ángulos.
Heptágono si tienen 7 lados y ángulos.
Octágono regular si tiene 8 lados y ángulos iguales…
Por sus ángulos interiores:
- Cóncavos si tiene un ángulo interior mayor de 180º
- Convexos si todos los ángulos interiores son menores de 180º.
Perímetro y superficie de un polígono
El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.
P Perímetro
n Número de lados
L Longitud de un lado
Perímetro de un polígono regular = número de lados la longitud del lado.
Superficie o área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada
por un polígono.
S Superficie
P Perímetro
Ap Apotema
TRIANGULOS
Un triángulo es un polígono de tres
lados y tres ángulos. No tiene
diagonales y siempre es convexo
La suma de los ángulos interiores de
cualquier triángulo es 180º.
Dos elementos nuevos: la base (b) cualquiera de sus lados (en general sobre el que se
apoya) y la altura (h) es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto o
prolongación de este.
P = n · L
52
Clasificación de los triángulos
Superfic
Perímetro y superficie de un triángulo
P perímetro
a, b, c longitud de
los lados
S Superficie o Área
h altura
POR LA LONGITUD DE SUS LADOS
EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
Sus tres lados iguales. Dos lados iguales Sus tres lados
y 1 desigual. son distintos
ESCALENO
POR SUS ÁNGULOS
RECTÁNGULO ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO
si tiene un ángulo recto. sus ángulos son agudos. tiene un ángulo obtuso.
c a
b
S =
P = a +b + c
53
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. TEOREMA DE PITÁGORAS
El triángulo rectángulo se caracteriza porque
tiene un ángulo recto.
La hipotenusa es el lado mayor y se opone al
ángulo recto, si hace de base tiene su altura
correspondiente.
Los catetos son los lados que forman el ángulo
recto. Uno puede hacer de base y el otro de altura.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
a) Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto
mide la hipotenusa?
a= 5
b = 4
c = 3
a =
a = =
a = 5
a2 = b
2 + c
2
54
b) Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto
mide otro cateto?
c) Conociendo sus lados, averiguar si ese triangulo es rectángulo.
Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los
cuadrados de los dos menores.
CUADRILATEROS
Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados, 4 ángulos y 2 diagonales.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es de 360º.
Los cuadriláteros se clasifican en: paralelogramos, trapecios y trapezoides.
CUADRILÁTEROS
Pueden ser
TRAPEZOIDES TRAPECIOS
ISOSCELES
RECTÁNGULOS
ESCALENOS
PARALELOGRAMOS
CUADRADO
RECTANGULO
ROMBO
ROMBOIDE
55
Paralelogramos
NOMBRE CARACTERÍSTICAS DIBUJO PERÍMETRO SUPERFICIE
Cuadrado
Todos sus lados
iguales.
Sus ángulos rectos.
P = 4 . l
S = l 2
Rectángulo
Los 4 ángulos
rectos.
P =2 (b + h)
S = b · h
Rombo
Los 4 lados iguales
P = 4 . l
S =
Romboide
P = 2(a + b)
S = b · h
Trapecios
NOMBRE CARACTERÍS-
TICAS DIBUJO PERÍMETRO SUPERFICIE
Rectángulo
Tiene un
ángulo recto
P =B+b+a+h
S =
· h
Isósceles
Los lados
oblicuos son
iguales
P = B +b +2a
Escaleno
P =B +b+a+c
a
B
c b
a
56
CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma
distancia de un punto fijo llamado centro.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Centro de la circunferencia es el punto del que equidistan todos los puntos de la
circunferencia.
Radio de la circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un
punto cualquiera de la misma.
Cuerda es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro es una cuerda que pasa por el centro.
Arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele
asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.
Semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.
Longitud de la circunferencia
L = Longitud de la circunferencia
r = radio
CÍRCULO
Círculo es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.
Área del círculo
ELEMENTOS DEL CIRCULO
Segmento circular es la porción de círculo limitada por una cuerda y el arco
correspondiente.
Semicírculo es la porción del círculo limitada por un diámetro y el arco
correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.
Sector circular es la porción de círculo limitada por dos radios.
Corona circular es la porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.
L = 2 π r
57
ACTIVIDADES
1. Calcula el perímetro de:
a) un cuadrado de lado 8 cm.
b) un rectángulo de lados 6 m. y 4 m.
c) un rombo de lado 12 cm.
d) una circunferencia de radio 5 cm.
e) una circunferencia de diámetro 7 m.
f) un rombo de diagonales 6 m. y 8 m.
g) un hexágono regular de 9 cm. de lado.
2. Calcula el área de:
a) un cuadrado de lado 10 cm.
b) un cuadrado de diagonal 6 cm.
c) un rectángulo de lados 12 m. y 3 m.
d) un rectángulo de ancho 5 cm. y diagonal 13 cm.
e) un rombo de diagonales 10 cm. y 12 cm.
f) un trapecio de bases 4 cm. y 10 cm. con altura de 3 cm.
g) una circunferencia de diámetro 10 m.
h) un hexágono regular de 9 m. de lado.
3. Determina el perímetro del rectángulo cuya superficie es 24 cm2 y uno de sus
lados mide 3 cm.
4. La cuarta parte de la superficie de un cuadrado es 9 cm2. ¿Cuánto mide su lado?
5. Calcula la medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 64 cm.
6. Si el radio de una circunferencia es 6 m. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado
circunscrito a ella?
7. Determina la longitud de una circunferencia si el perímetro del cuadrado que la
circunscribe es de 40 cm.
8. ¿Cuánto es la diferencia entre las áreas de una circunferencia de 12 m. de
diámetro y otra de 8 m. de radio?
9. ¿Cuál es el perímetro de un romboide en el cual uno de sus lados mide 7 cm. y el
otro lado mide 3,6 cm?
10. El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. ¿Cuál es la medida de la base si
los lados iguales miden 9 m. cada uno?
11. El área de un triángulo es 108 cm2 y su base mide 18 cm. ¿Cuál es la medida de
la altura?
12. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo si sus catetos miden 18 cm. y 24
cm.?
13. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo si uno de sus catetos mide 6 cm, y su
hipotenusa mide 10 cm.?
14. Si un cuadrado de 48 cm. de perímetro, disminuye su lado en 4 cm. ¿Cuánto
mide el área del nuevo cuadrado?
15. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo es m unidades y el ancho tiene n
unidades menos?
16. Determina el perímetro de un rectángulo cuya área es 200 m2 y su largo 25 m.
17. ¿Cuál es el ancho de un rectángulo que mide 16 cm. de largo si su área es
equivalente al de un cuadrado de 12 cm. de largo?
18. Las bases de un trapecio miden 12 cm. y 21 cm. ¿Cuál es su área si la medida de
su altura es igual a la medida de la base menor?
19. ¿Cuál es el ancho del rectángulo de perímetro m y de largo n?
20. ¿Cuánto mide el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es 9 m?
58
21. Un cuadrado tiene igual perímetro que un rectángulo de 58 cm de largo y 26 cm.
de ancho. Calcula el lado del cuadrado.
22. En un rectángulo, el largo excede en 8 cm. al ancho. Si el perímetro mide 72 cm.
¿Cuál es su área?
23. ¿En cuánto aumenta el área de un rectángulo de lados 12 m. y 4 m. si se
aumentan ambos lados en un 25%?
24. El perímetro de un cuadrado de lado 2m es igual al de un rectángulo cuyo largo
es el triple del ancho. ¿Cuál es la superficie del rectángulo?
25. Un cuadrado y un rectángulo tienen el mismo perímetro. Si el lado del cuadrado
mide m y el ancho del rectángulo mide m/2. ¿Cuánto mide su largo?
26. El perímetro de un rectángulo es de 56 cm. y su altura es el 75% de su base.
¿Cuál es la medida de la base?
27. Los perímetros de dos cuadrados son 24 cm. y 72 cm. ¿Cuál es la razón entre sus
lados?
28. El 12,5% de la cuarta parte del perímetro de un cuadrado es 2 cm. ¿Cuánto mide
el lado del cuadrado?
29. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuya área es 48 cm2?
30. El perímetro de un rectángulo es 70 m. Si un lado es cuatro veces mayor que el
otro, ¿cuánto mide su área?
31. Los lados de un rectángulo están en la razón de 3:8. ¿Cuánto mide su lado
menor si su área es de 600 cm2?
32. Un papel cuadrado de lado 12 cm. se dobla de modo que los cuatro vértices
queden en el punto de intersección de las diagonales. ¿Cuál es el área de la
nueva figura que resulta?
33. ¿Cuál es la razón entre los radios de dos círculos cuyas áreas están en la razón
32:50?
34. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 60 y 25 cm. Calcula su área.
35. El perímetro de un triángulo equilátero mide 30 cm y la altura 8,7 cm. ¿Cuánto
mide el área del triángulo?
36. ¿Cuánto mide el lado de un pentágono regular de 5 metros de apotema si su
superficie es de 100 m2?
37. Hallar el lado de un triangulo equilátero cuyo perímetro mide 126 cm
38. El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. ¿Cuál es la medida de la base si
los lados iguales miden 9 m. cada uno?
39. El área de un triángulo es 108 cm2 y su base mide 18 cm. ¿Cuál es la medida de
la altura?
40. Calcula la superficie de un triangulo equilátero cuyo perímetro mide 36 cm.
41. ¿Hasta qué altura nos permitirá subir una escalera de 5 metros si está apoyada en
una pared y su pie dista 3 m de dicha pared?
42. ¿Cuál es la superficie de un triangulo isósceles si uno de los lados iguales mide 8
metros y la base 0,6dam?
43. Calcula la superficie de un triángulo equilátero cuyo lado mide 5 metros.
44. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo si sus catetos miden 18 cm. y 24
cm.?
45. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo si uno de sus catetos mide 6 cm, y su
hipotenusa mide 10 cm.?
46. Halla el área de un pentágono inscrito en una circunferencia de radio 5 cm y
cuyo lado mide 6 cm.
59
47. Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo de base mayor 2,4 dm. de
base menor 15 cm. y 12 cm. de altura.
48. Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles de 12 cm de base mayor, 6 cm
de base menor y 4 cm de altura.
49. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30
metros respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
50. Si una sala tiene 6 m de largo y 5 de ancho y se quiere embaldosar con baldosas
cuadradas de 20 cm de lado, ¿cuántas baldosas se necesitarán?
51. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 2 dm de lado se necesitarán para embaldosar el
suelo de una habitación cuadrada de 5 m de lado?
52. El perímetro de un cuadrado es de 8 cm. ¿Cuánto miden su lado y su área?
53. Halla el área de un cuadrado cuya diagonal mide 12 cm.
54. Se desea colocar una valla metálica alrededor de un estanque rectangular de 14
m de largo y 6 m de ancho. ¿Cuál es el valor de toda la valla si el metro cuesta a
12 €?
55. Una diagonal de un rombo mide 6 cm y la otra es 3 veces mayor. ¿Cuál es el
área y el perímetro de dicho rombo?
56. Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
57. Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.
58. El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que
tiene su mismo perímetro.
59. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuántos metros ha recorrido el
camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?
60. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro
es de 7 km ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?
61. La longitud de una circunferencia es 43,96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?
62. Sobre un terreno circular, se ha construido una pista de patinaje cuadrada de 20
m de lado que es el cuadrado máximo que se puede construir. El resto del
terreno se ha sembrado de césped. Calcular:
a) La superficie del terreno circular.
b) La superficie de la pista de patinaje cuadrada.
c) La superficie que queda con césped.
d) ¿Cuánto tendremos que pagar por poner el césped si el m2 cuesta 10 €?
63. Halla el perímetro y el área de una circunferencia en la que se ha trazado una
cuerda de 6’6 cm a 5’6 cm del centro.
64. En una circunferencia de radio 9’7 m , se traza una cuerda de 13 m ¿ a qué
distancia se encuentra el centro de la circunferencia.
65. Calcula el área y el perímetro de un pentágono regular inscrito en una
circunferencia cuyo radio es de 20 cm y la apotema del pentágono mide 16’2
cm.
66. Halla el área de un triangulo equilátero de 54 cm de perímetro.
67. Halla el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 70 dm y 134 dm y de
lado oblicuo 85 dm.
60
68. Se quiere cambiar el suelo de una casa como la del plano adjunto. Para el salón y
el dormitorio se ha elegido una tarima de roble y para la cocina y el baño
baldosas de cerámica.
Halla:
a) Cantidad de tarima que ha de comprar.
b) Cuántos m2 de baldosas se ha de adquirir.
c) Si el precio de la tarima es de 13 €/m2 y el
de la baldosa 22 €/m2 ¿Cuánto dinero en
material ha de invertir.
d) Para completar la obra ha decidido colocar
un rodapié en el salón y en el dormitorio.
Calcula la cantidad de rodapié que necesita.
69. Queremos comprar una parcela para edificar una casa. Hemos visto una que
nos gusta y tiene la forma como la figura que se presenta.
a) Sabiendo que el precio es de 60 €/m2
¿Cuánto cuesta la parcela?
b) Una vez comprada hemos decidido
vallarla. A la fachada principal de la
parcela ( la de 42 m) le colocamos unas
filas de bloques de hormigón y una verja
de hierro fundido. Hemos pedido
presupuesto y nos sale a 200 €/ m.
¿Cuánto invertiremos en el vallado de la
fachada principal?
c) El resto de la finca la cercamos con una
malla metálica y plantas de hoja perenne.
Si ponemos 2 plantas por m. ¿Cuánta
alambrada y cuántas plantas
necesitaremos?
d) Si el precio de cada planta es de 10 € y el
de la malla de 15 €/m ¿Qué inversión
hemos de hacer?
61
TEMA 9 SEMEJANZA
Figuras semejantes: Dos figuras son semejantes cuando
- Tienen la misma forma [y, por lo tanto, sus ángulos son iguales].
- Sus lados son proporcionales: los de una figura se obtienen multiplicando a los
de la otra por un número fijo, llamado razón de semejanza (r).
La razón de semejanza del cuadrado grande con respecto al pequeño es: r = 2.
Al ser proporcionales se puede establecer entre ellos las siguientes proporciones:
a) Del cuadrado grande con respecto al pequeño. Las razones de sus lados forman esta
proporción:
b) Del cuadrado pequeño con respecto al grande. Las razones de sus lados forman esta
proporción:
AMPLIACIÓN Y REDUCCIÓN DE FIGURAS
La semejanza de figuras nos permite hacer representaciones de objetos reales a un
tamaño más grande (ampliaciones) o más pequeño (reducciones).
La ampliación de una figura es una nueva figura, cuyos lados tienen la medida de los
lados de la figura original multiplicados todos por un mismo número.
La reducción de una figura, es una nueva figura cuyos lados tiene por medida, la medida
de los lados de la figura original divididos todos por un mismo número.
A esta cantidad por la que se multiplica o divide se llama RAZÓN DE SEMEJANZA
Los ángulos de la figura original y de la ampliada o reducida tienen la misma medida.
En las representaciones de objetos la razón de semejanza recibe el nombre de factor de
escala.
= 2 (que es la razón de semejanza del grande con respecto al pequeño)
=
( que es la razón de semejanza del pequeño respecto al grande)
62
Semejanza de polígonos
Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y los lados
homólogos proporcionales.
Cómo construir figuras semejantes
a) Mediante cuadrícula: - Se cuadricula la figura original.
- Se dibuja una cuadrícula con la longitud de sus cuadros igual a la longitud de los
cuadros originales multiplicada por la razón de semejanza.
- En la nueva cuadrícula se dibuja la figura semejante a la dada, cuidando de que
quede situada en los mismos cuadros que la original.
En este ejemplo la razón de semejanza de la figura grande con respecto a la pequeña es 2
63
b) Mediante Proyección: - Se dibuja un punto cualquiera, al que llamaremos centro de proyección O.
- Desde el centro de proyección se trazan semirrectas que pasen por los vértices de la
figura original.
- La distancia desde el centro de proyección a cada vértice se multiplica por la razón
de semejanza y el resultado será la distancia desde el centro de proyección a los
vértices de la figura semejante.
Escalas
Es la proporción de aumento o disminución que existe entre las dimensiones reales y las
dimensiones representadas de un objeto. Escala es la relación que hay entre la
representación (plano, mapa, etc.) y la realidad. En efecto, para representar un objeto de
grandes dimensiones, deben dividirse todas sus medidas por un factor mayor que uno,
en este caso denominado escala de reducción; y para representar objetos de pequeñas
dimensiones, todas sus medidas se multiplican por un factor mayor que uno,
denominado escala de ampliación.
Las escalas se escriben en forma de razón donde el antecedente indica el valor del
plano y el consecuente el valor de la realidad. Por ejemplo la escala 1:500, significa que
1 cm del plano equivale a 5 m en la realidad.
Ejemplos: 1:100000, 1:10, 1:500000, 5:1, 50:1, 75:1
Ej.: La escala 1:50 quiere decir que lo que en la realidad mida 1 (km, m, cm, dm o la
unidad que sea) en el plano está dividido por 50. O, lo que es lo mismo, que lo que en el
plano mida 1, en la realidad está multiplicado por 50. En definitiva, estamos hablando
de figuras semejantes y la escala es lo mismo que la razón de semejanza.
Cálculos con escalas: Es muy práctico tratar los problemas de escalas como si fueran
problemas de regla de tres.
Se forman dos columnas con las cabeceras PLANO y REALIDAD y en ellas se colocan
adecuadamente los datos de la Escala y del Problema.
64
a) Cálculo de la medida real:
Ejemplo: ¿Cuánto mide en la realidad una ventana que en un plano de 1:50 mide 3 cm
de ancho?
b) Cálculo de la medida en el plano:
Ejemplo: ¿Cuánto mide en un plano de 1:20 una puerta de 80 cm de alto?
c) Cálculo de la escala:
Ejemplo: Entre A y B hay 4.000 m y la distancia en el plano es de 2 cm. ¿Cuál es la
escala?
[¡Cuidado con las unidades: han de ser del mismo orden!]
Planos y mapas: Un plano es una representación, generalmente de una construcción,
en la que la escala suele ser grande (superior a 1:10 000) [Para que la escala sea superior
a 1:10000 se ha de disminuir el divisor]. La escala de los planos suele oscilar desde 1:50
a 1:200.
65
Un mapa es una representación de grandes superficies en la que la escala suele
ser pequeña (inferior a 1:10 000). [Cuanto mayor sea el denominador, menor será el
resultado, o sea, más pequeña será la escala]. La escala de los mapas suele ir de 1:300
000 a 1:25 000 000. [Los del ejército suelen ser de escala inferior (del orden de 1:50
000); los mapas catastrales tienen una escala todavía inferior (del orden de 1:1000 o
menos)].
Cuando hacemos representaciones a escala de objetos tridimensionales las
llamamos maquetas.
Ampliación y reducción: Ampliar o reducir algo es dibujarlo o construirlo a escala.
Habitualmente, las ampliaciones y reducciones se expresan en porcentajes. Así, por
ejemplo, una ampliación de un 50 % significa que lo que en la realidad mida 100 se
convertirá en 150 (100 + 50). La razón de semejanza o escala será de 150/100 = 1,5. Lo
mismo ocurre con la reducción: Una reducción de un 20 % significa que lo que en la
realidad mida 100 se convertirá en 80 (100-20). La razón de semejanza o escala será de
80/100 = 0,8.
Relaciones entre longitudes, áreas y volúmenes de figuras semejantes:
a) Razón de las longitudes: La razón de semejanza de las longitudes es igual a la razón
de semejanza.
b) Razón de las áreas: La razón de semejanza de las áreas es el cuadrado de la razón de
semejanza de los lados [Si la razón de semejanza de los lados es r, el área de la figura
semejante se obtiene multiplicando el área de la figura original por r2].
66
c) Razón de los volúmenes: La razón de semejanza de los volúmenes es el cubo de la
razón de semejanza de las aristas [Si la razón de semejanza de las aristas es r, el
volumen de la figura semejante se obtiene multiplicando el volumen de la figura
original por r3].
TEOREMA DE TALES (Thales) Dadas dos rectas secantes y varias paralelas que las corten, los segmentos que se
forman en una secante son proporcionales a los correspondientes en la otra secante.
Ejemplo: Si en el dibujo anterior el segmento AB = 2 cm, A’B’ = 3 cm, B’C’ = 6 cm,
¿cuánto mide el segmento BC?
67
Dividir un segmento en partes iguales:
Desde un extremo A del segmento se traza una semirrecta secante s y con el
compás se marcan en ella las divisiones que se pidan del tamaño que queramos, pero
todas iguales (o sea, sin mover la apertura del compás). Se une la última marca de la
secante con el otro extremo B del segmento y luego se trazan paralelas a esta última
recta por cada una de las divisiones que habíamos hecho en la secante, con lo cual estas
paralelas cortarán al segmento AB y lo dejarán dividido en partes iguales.
Un procedimiento parecido se sigue para dividir un segmento AB en partes
proporcionales a otros segmentos dados, salvo que, en este caso, las divisiones en la
secante han de ser iguales a los segmentos dados.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados
proporcionales.
68
Criterios de semejanza de triángulos: Para saber si dos triángulos son semejantes no
es necesario comprobar si tienen los tres ángulos iguales y los tres lados proporcionales,
basta con comprobar que cumplen alguno de los siguientes criterios:
1.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2.- Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que lo
forman son proporcionales.
3.- Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales.
Triángulos en posición de Tales
Dos triángulos están en posición de Tales cuando tienen un ángulo común y los lados
opuestos a ese ángulo son paralelos. Los triángulos en posición de Tales son semejantes.
Dos triángulos semejantes se pueden colocar en posición de Tales.
En los triángulos ABC y AB’C’ tenemos un ángulo común,
el A, y los lados BC y B’C’, opuestos al ángulo A, son
paralelos.
Por ser triángulos semejantes se establecen entre
sus lados la siguiente proporción:
69
PROBLEMAS
1.-Observa estas tres fotografías e indica si son semejantes entre sí y por qué:
2.-Los lados de un triángulo rectángulo miden 1’5 cm, 2 cm y 2’5 cm. Construye
un triángulo semejante de forma que la razón de semejanza sea 2.
3.-En un mapa escala 1:300 000 la distancia que separa dos ciudades es de 5 cm.
¿A qué distancia real se encuentran ambas ciudades?
4.-Dos triángulos semejantes tienen perímetros de 16 cm y 24 cm, respectivamente.
¿Cuál es la razón de semejanza?
5.-Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le
faltan a cada uno de ellos:
6.-Sabiendo que las rectas a, b, c y d x e
y:
70
7.-Calcula el valor de x e y en esta construcción:
8.-Razona, apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos,
por qué son semejantes estos dos triángulos:
9.-Calcula la altura de un poste que proyecta una sombra de 21 metros en el
momento en que una estaca de 2 m proyecta una sombra de 3,5 metro
10.-Observa las medidas del gráfico y calcula la altura de este obelisco:
71
Tema 10 CUERPOS GEOMÉTRICOS
Poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.
Elementos de un poliedro
Cara es cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.
Aristas son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.
Vértices son los puntos donde concurren dos o más aristas. Tres caras o más caras
coinciden en un mismo vértice.
CLASES DE POLIEDROS
Cubo o Hexaedro
Un cubo o hexaedro es un
pol iedro regular formado por 6
cuadrados iguales .
72
Desarrol lo del Cubo
Caracter ís t icas de l cubo
Número de caras: 6.
Número de vértices: 8.
Número de aristas: 12.
Nº de aristas concurrentes
en un vértice: 3
Área del cubo
Volumen del cubo
. Nomenclatura
A L = área lateral
Ab = área de la base
AT = Área total
a = aris ta
V = volumen
P = Perímetro
h = al tura
ap = apotema
r = radio
73
NOMBRE FIGURA FORMULAS
Ortoedro
AT = 2 (a.c + a.b + b.c)
V = a · b · c
Prisma
AL = P · h
Ab =
AT = AL + 2 ·Ab
V = Ab · h
Pirámide
AL =
Ab =
AT = AL + Ab
V =
Cilindro
AL =
Ab =
AT = AL + 2 Ab
V = Ab · h
h
74
NOMBRE FIGURA FORMULAS
Cono
AL =
Ab =
AT =
V =
Esfera
A = 4 ·
V =
PROBLEMAS
1. Halla el área total de un cubo de 10 cm de arista.
2. El área total de un cubo es 150 dm2. Halla su diagonal.
3. ¿Cuál es el volumen de una caja hexaédrica de 15 cm de arista?
4. Las dimensiones de un ortoedro son 4 cm, 3 cm y 12 cm. Halla el área total y el
volumen.
5. Calcula el volumen, en metros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40
dm de ancho y 2500 mm de alto.
6. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la
piscina a razón de 6 € el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla? ¿Cuántos litros
de agua serán necesarios para llenarla?
7. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos
almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto.
¿Cuántas cajas podremos almacenar?
8. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 litros de
capacidad.
9. ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de
una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?
10. ¿Cuál es el precio de un cajón de embalaje de medidas 0’6 m 0’5 m 0’4 m si la
madera cuesta a razón de 18 €/ m2?
75
11. Un sótano cuya superficie es de 208 m2 se ha inundado. El agua llega a 1’65 m de
altura. Se extrae el agua con una bomba que saca 6 hl por minuto. ¿Cuánto tiempo
tardará en vaciarlo?
12. Queremos construir una pared de 7’5 m 5’6 m y un grosor de 30 cm. ¿Cuántos
ladrillos de 15 cm 10 cm 6 cm se necesitaran si el cemento ocupa un 15% del
volumen?
13. Una columna de basalto tiene forma de prisma hexagonal regular. El lado de la base
mide 15 cm. La altura de la columna es de 2’95 m. Halla su peso sabiendo que 1 m3
de basalto pesa 2 845 kg.
14. Halla el área total de un prisma recto de 15 cm de altura de cuya base son rombos y
las diagonales de dichos rombos miden 16 cm y 12 cm.
15.
Calcula el cartón necesario para
confeccionar esta caja de zapatos.
¿Cuál será su volumen?
16. Queremos pintar una habitación rectangular, incluido el techo, de 4 m de ancho,
5,5 m de largo y 3 m de altura. Cada bote a utilizar contiene pintura suficiente para
30 m2, ¿cuántos botes necesitaremos?
17. La pirámide de Keops es regular y tiene una base cuadrada de 233 m de lado. La altura que alcanza es 137,18 m.
a) Calcule la superficie total de la pirámide
b) Calcule el volumen de la pirámide
18. La altura de una pirámide mide 20 cm. Su base es un triangulo rectángulo de 10 cm
de hipotenusa y 6 cm un cateto. Halla el volumen.
19. Una pirámide regular tiene por base un pentágono regular de 2’5 m de lado. La
apotema de la pirámide mide 4’2 m ¿Cuál es su superficie lateral?
20. Calcula el área total y el volumen de una pirámide hexagonal regular que tiene de
lado 30 cm y de apotema de la pirámide 80 cm.
21. Una verja se compone de 20 barrotes de hierro de 2’5 m de altura y 1’5 cm de
diámetro. Hay que darles una capa de minio a razón de 24 €/m2 ¿Cuál es el coste?
22. ¿Qué cantidad de chapa se necesita para construir un depósito cilíndrico cerrado de
0’6 m de radio de la base y de 1’8 m de altura?
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23. Se han de impermeabilizar el suelo y las paredes interiores de un aljibe circular
abierto por arriba. El radio de su base mide 4 m, y la altura 5 m. Si cuesta 18 €
impermeabilizar 1 m2, ¿Cuál es el coste de toda la obra? ¿Cuántos litros de agua
entraran en ese aljibe?
24. Las paredes de un pozo de 12 m de profundidad y 1’6 m de diámetro han sido
cementadas. El precio es 40 € el metro cuadrado. ¿Cuál ha sido el coste?
25. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma
cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.
26. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la
altura mide 125,66 cm. Calcular: El área total y el volumen.
27. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista.
¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?
28. Una apisonadora tiene un rodillo de 1,4 m de diámetro por 1,8 m de largo. ¿Qué
superficie de tierra apisona cada vuelta que da el rodillo?
29. Un envase en forma de cono tiene un diámetro de 16 cm y una altura de 120 mm.
Calcule: a) El área lateral y total del envase
b) Su volumen
30. Calcule la capacidad en litros de un depósito de gas con forma esférica que mide 5
metros de alto.
31. ¿Cuántos vagones de 1 m de largo, 80 cm de ancho y 70 cm de alto habrá que llenar
de tierra si con su contenido se desea tapar un pozo cilíndrico de 1’5 m de diámetro
y 5 m de profundidad?
32. Un tipo de radiadores eléctricos han sido fabricados para calentar adecuadamente
recintos cuyo volumen está comprendido entre 60 y 65 m3. ¿Comprarías un radiador
de este tipo para un salón que tiene 6 m de largo, 3’8 m de ancho y 2’8 m de alto?
33. El radio de la Tierra mide 6 369 km y el de la luna 1 738 km,
a) Calcula el volumen de la Tierra y el de la Luna.
b) Calcula cuantas veces es mayor el Radio de la Tierra que el de la Luna.
34. El diámetro de un depósito esférico mide 12 m. ¿Cuántos bidones cilíndricos de 1 m
de altura y 60 cm de diámetro podrán llenarse con el líquido almacenado en el
depósito?
35. Una piscina contiene agua hasta los
de su capacidad. Sus dimensiones son: 14 m
de largo, 6 m de ancho y 2’5 m de profundidad. ¿Cuántos litros de agua tiene la
piscina.
36. Calcular el radio de una esfera cuyo volumen es de 3 510’4 cm3.
37. Las dimensiones de un tetrabrik son 16,3 cm de alto, 9,6 cm de largo y 6,3 cm de
ancho. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material se necesita para su
construcción?
