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TutorialMT-m8

Matemática 2006 Tutorial Nivel Medio

Cuadriláteros y circunferencia

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CEPECH Preuniversitario, Edición 20062


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Cuadriláteros y circunferenciaMarco Teórico

1. Elementos de la circunferencia y del círculo: O: centro de la circunferencia.

OC : radio

AB : cuerda

CL1 G

D

O

α

F

E

BAL

EC : diámetro

L : secante

L1 : tangente ( OC ⊥ CG )

EF : sagita ⇒ F punto medio de AB, EO ⊥ AB y si AB es un lado de un polígono regular inscrito a la circunferencia ⇒ FO apotema.

CD : arco de la circunferencia ( siempre se leen en sentido contrario a los punteros del reloj). Como es una parte de la circunferencia, se puede determinar su perímetro o su medida en grados, ya que la circunferencia completa mide 360°

COD : sector circular

2. Áreas y perímetros (considerando el dibujo anterior):

Sea r: radio, d: diámetro

2.1 Perímetro de la circunferencia: P = 2π r = π ⋅ d

2.2 Área del círculo: A = π ⋅ r2

2.3 Área sector circular: A = π α⋅ ⋅°

r2

360 , α ángulo del centro





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3. Teoremas fundamentales:

3.1 Ángulo del centro: Mide lo mismo que el arco que subtiende.

Ejemplo: Si arco AB = 35°⇒ α = 35° Oα

A

“O”: centro de la ⊗

3.2 Ángulo inscrito: Mide la mitad del arco que subtiende.

Ejemplo: Si arco AB = 80° ⇒ α = 40°

B

α

A

3.3 Ángulo inscrito en una semicircunferencia: Todo ángulo inscrito a una circunferencia es recto.

A B

C

AB : diámetro



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4. Cuadriláteros

4.1 Paralelógramos:

Área = base ⋅ altura

4.2 Trapecios:

Área = base base altura1 2

2+

⋅

4.1.1Trapecio isósceles

D C

A E F B

AD = BC ; AE = FB

Ejercicios

1. Si en una circunferencia el radio disminuye a la mitad, entonces, ¿cuál(es) de las siguientes

aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I. El perímetro disminuye a la mitad.

II. El área se reduce a la cuarta parte.

III. La razón entre las áreas es 1 : 2

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III





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2. Determine x:

A) 45°

B) 50°

C) 55°

45º 45º

100º

x

C

B

D

AE

D) 60°

E) 65°

3. Sea ABCD cuadrado inscrito en la circunferencia, determine α:

A) 45°

A B

αD C B) 60°

C) 90°

D) 120°

E) No se puede determinar

4. Sea arco BA semicircunferencia , AB = 6, BC = 8. Determine el área achurada:

A) 12,5 π − 24

B) 12,5 π − 48 C

A B

C) 25 π − 24

D) 50 π − 24

E) 50 π − 48



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5. Determine el área achurada, O centro de la circunferencia, radio 7 cm.

A) 492 3

32

14

503

49 3

496

3

2

2

π

π

π

−

−

−(

cm

cm

))−

−

cm

cm

cm

2

2

2

76

74

3

492

32

π

π

B)

O

30º

C)

D)

E)

6. Se tiene una semicircunferencia de centro O y ∠ CBA = 80°, el valor del ángulo x es:

A) 15°

x

OA

D C

B

B) 30°

C) 40°

D) 55°

E) 70°

7. Sea AB diámetro, α = 160°, el valor del ángulo x es:

A) 70º

B) 80° A B

x

α

C) 100°

D) 120°

E) 140°





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8. Determinar el área del trapecio.

A) 48 3

24 3

12 3

8

5

6 6

60º

B)

C)

D)


9. Un terreno rectangular de lados 40 metros y 50 metros se divide en 2, de manera que uno de los terrenos sea cuadrado y el otro rectangular. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. El terreno menor tiene área 400 m2.

II. El área del terreno cuadrado corresponde al 75% del área del terreno total.

III. El perímetro del terreno total es 180 m.

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

10.Si un cuadrado aumenta su lado en un 20%,¿en qué porcentaje aumenta su área?

A) 10%

B) 20% C) 40%

D) 44%

E) Otro valor



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11. Para el rectángulo de la figura, ¿a qué porcentaje corresponde el área achurada?

A) 10%

B) 12,5% b

b

a

a

C) 25%

D) 30%

E) 40%

12. La circunferencia de perímetro 16 π está inscrita en el cuadrado ABCD y

AE AB DF DC= =2 2; . ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD?

A) 256

B) 128 ( E y F puntos de tangencia)

C) 82

D) 8

E) Ninguna de las anteriores

13. Determine la razón entre el área del trapecio ABDE y el área del rectángulo ABCD.

A) 3 : 5 D

B

CE

A

8 10

9 B) 4 : 5

C) 5 : 4

D) 5 : 3


EA B

D CF





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14.Sea O centro de la circunferencia de radio 4 cm, ABCD cuadrado, E, F, G, H puntos medios. Determine el área achurada:

A) (16 - 4 π ) cm2

A B

O

F

E G

D H C

B) (16 - 16 π ) cm2

C) (54 - 16 π ) cm2

D) (64 - 4 π ) cm2

E) (64 - 16 π ) cm2

15.Determine el área achurada, si ABCD cuadrado de lado 6 cm. CA y AC arcos de circunferencia.

A) (18π - 36 ) cm2

A B

D C

B) (36 - 18π ) cm2

C) (72 - 18π ) cm2

D) (18π - 72 ) cm2

E) Ninguno de ellos

Respuestas

Preg. Alternativa 1 D2 C3 A4 A5 A6 C7 A8 B9 C10 D11 C12 B13 B14 E15 A



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Solucionario:

1. La alternativa correcta es la letra D)

Si el radio de una circunferencia es r ⇒ P = 2π r y A = π r2

El radio disminuido a la mitad es r2

⇒ P = 2π ⋅ r2

(Simplificando)

P = π ⋅ r

r2 ⇒ A = π ⋅( )r2

2

(Elevando al cuadrado)

A = π ⋅ r2

4

El perímetro disminuye a la mitad, entonces I es verdadera.

El área disminuye a la cuarta parte, entonces II es verdadera.

La razón entre las áreas es 1 : 4, entonces III es falsa.

∴ Las verdaderas son I y II

2. La alternativa correcta es la letra C)

El ∠ x subtiende el arco DA y el ∠ DCA subtiende

el mismo arco ⇒ ∠ DCA = x

En Δ ECD, 100° es ángulo exterior 45º 45º

100º

x

C

B

D

AE

x ⇒ 100 = 45 + x (Despejando x)

100 – 45 = x

x = 55

∴ x = 55





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3. La alternativa correcta es la letra A)

Como ABCD cuadrado, entonces AC bisectriz,

(ya que las diagonales de un cuadrado son bisectrices).

Entonces ∠ ACB = 45°, además ∠ ACB y α, subtienden

el mismo arco ⇒ α = 45°


Como O centro de la circunferencia,

entonces AB diámetro ⇒ arco BA semicircunferencia.

∴ Δ ABC rectángulo en C.

AC = 6, BC = 8, por números

pitagóricos AB = 10 ⇒ OA = 5 (radio de la ⊗)

Área achurada = - Área ABC (ReemÁrea⊗ − ∆2

pplazando)

= - (Respetando el orden dπ ⋅ ⋅5

26 8

2

2

ee las operaciones)

= -

252π 24

= -

Área ac

12 5 24, π

∴ hhurada = 12 5 24, -π

A B

αD C

45º

C

A B

6 8

O10



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Como ∠ ACB = 30° ⇒ ∠ AOB = 60° (subtienden el mismo arco),

entonces Δ AOB equilátero, ya que OA = OB = 7 (radios), o sea ,

Δ OAB isósceles y como ∠ AOB = 60°, entonces el triángulo se

convierte en equilátero, cuyo lado es 7.

Área achurada = Área sector circular AOB – Área Δ AOB

= ⋅ − ⋅π αr lado2 2

360 43

( )(Reemplazando)

= (Respetando el ordenπ ⋅ ⋅ − ⋅7 60

36074

32 2

de la operaciones)

= (Factorizand496

494

3π − ⋅ oo)

=

Área achurada =

492 3

32

492 3

32

π

π

−

∴ −

cm2


Como arco BA semicircunferencia, AB diámetro,

entonces, ∠ ACB = 90° y como ∠ CBA = 80°,

entonces, ∠ BAC = 10° , además ∠ AEO = 90°,

entonces, ∠ DOA = 80° (∠ exterior del Δ ODB)

como OD = OB(radios),Δ ODB isósceles

en O, entonces ∠ DBO = 40°

⇒ x = 40°

O

30º

60º

A B

C

x

OA

D C

B10º 80º 40º

80º

40ºE





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Como α = 160° ⇒ arco CB = 320° y como AB diámetro ⇒ arco AB = 180°,

arco CB = arco CA + arco AB (Reemplazando)

320° = arco CA + 180° (Despejando arco CA)

320 – 180 = arco CA

140° = arco CA

x subtiende el arco CA ⇒ x = 70°

∴ x = 70°

8. La alternativa correcta es la letra B)

D C

A B

5

6 6

F5 6E3

60º

√33

En Δ FBC, se tiene que:

F 3 B

C

6

60º

30º

√33 (Por corresponder a la mitad de un triángulo equilátero)

Además, AE = FB

A Bx

160º

C

140º

180º320º



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Entonces:

Área trapecio = (Reemplazando)AB CD CF+

⋅

2

== (Resolviendo el paréntesis)

=8

11 52

3 3

3

+( )⋅

⋅ 33

24 3

24 3

(Multiplicando)

=

Área trapecio =∴


10 40

404040

4010

I) Área del terreno menor = 40 ⋅ 10 = 400 m2

Por lo tanto, es verdadera.

II) Área del cuadrado = 40 ⋅ 40 = 1600 m2

Área total = 40 ⋅ 50 = 2000 m2

75% del área total = 34

⋅ 2000 = 1500

Por lo tanto, no es verdadera.

III) Perímetro del terreno = 2 ( 40 + 50 ) = 2 ⋅ 90 = 180 m. Por lo tanto, es verdadera.

Entonces, I y III son verdaderas.





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10.La alternativa correcta es la letra D)

Lado “a” ; Área = aLado aumentado en un

21 % ; a + % a = (Transformand20 20 oo el porcentaje a fracción)

a + a (Sumando15

= ))

a

Área =

65

2 65

2

a( )

Entonces:

Cantidad Porcentaje

Área 1 100 (Aplicando proporción directa y reemplazando)

Área 2 x

a x = a (Resolviendo y despejand22

100 65

⋅ ⋅ ( ) oo x)

x = a 100 a

x = 144%

Por lo tan

3625

122⋅ ⋅ ⋅

tto, el área aumenta en un 44% ( 144% - 1100% )



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b

b

a

a

F C

H

B

I

EA

G

D

Según la figura, concluimos que E, F, G y H son puntos medios.

Por lo tanto, Δ GAE = Δ FIH, entonces, el área achurada corresponde a 14

del área del rectángulo, es decir al 25%.


AE

B

CF

G

D

O16

88

8

8

Perímetro de la circunferencia = 16 π

2 πr = 16 π (Despejando r)

r = 8

Por lo tanto, radio de la circunferencia : 8





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Además, E y F puntos medios, entonces, EF : diámetro.

Por lo tanto, OG = 8, DF = 8, OF = 8, AD = 16, OE = 8.

Determinando el área del rectángulo ADFE:

Área = AD ⋅ DF (Reemplazando)

= 16 ⋅ 8 (Multiplicando)

= 128

∴ Área del rectángulo ADFE = 128


D

B

CE

A

8 10

9 6

8

15

Como ABCD rectángulo, entonces, Δ DCB rectángulo en C.

Aplicando Pitágoras: DC 2 + BC 2 = BD 2 (Reemplazando)

DC 2 + 82 = 102 (Por trío Pitagórico)

DC = 6

Por lo tanto, AB = 15



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Área trapecio ABDE = (ReemplazAB DE AE+

⋅

2aando)

= (Desarrollando el paréntesi15 92

8+( )⋅ ss)

= (Multiplicando)

=

12 8

96

⋅

∴∴ Área trapecio ABDE =

Área rectángulo A

96

BBCD = (Reemplazando)

= (Multip

AB BC⋅

⋅15 8 llicando)

=

Área rectángulo ABCD =

120

12∴ 00

Entonces, la razón entre el área del trapeecio y el área del rectángulo es:

Área trapeccioÁrea rectángulo

=

=

(Reemplazando)

(Sim96120

pplificando)

La razón entre las áreas es

45

∴ 4 5:





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14. La alternativa correcta es la letra E)

Si el radio de la circunferencia es 4 cm, entonces el diámetro mide 8 cm, o sea, el lado del cuadrado mide 8 cm, como E, F, G, H son puntos medios ⇒ ED = 4 (lado del cuadrado EOHD). Para determinar el área achurada, dividiremos el cuadrado ABCD en 4 partes iguales (fig. 1).

Entonces, determinaremos el área achurada de una de esas partes (fig.2) y la multiplicamos por 4, obteniendo el área achurada que nos piden.

A B

O

F

E G

D H C4 4

4 4

4Figura 1

A BF

G

H C4 4

4

4 4

O

4

4D

E

H

Figura 2

Área achurada (figura 2) = Área cuadrado EOHD – Área⊗4

(Reemplazando)

=24 - π ⋅4

4

2

(Respetando el orden de las

operaciones)

Área achurada (figura 2) = 16 - 4π

⇒ Área achurada(figura 1) = 4(16 - 4π) (Distribuyendo)

= 64 - 16π

∴ Área achurada(figura 1) = (64 - 16π )cm2



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Si el lado del cuadrado ABCD = 6, entonces,el radio de la circunferencia es 6, donde arco CA es un cuarto de ella.

Seguiremos 2 pasos:

Paso 1) Determinaremos área achurada de la figura 1.

A B

D C6

6 Figura 1

Si desglosamos la figura 1 en dos, obtenemos:

a)

A B

D C6

6

A B

D C

6

6

b)

A B

D C6

6

A B

D C

6

6

Entonces determinaremos el área de 1 de ellas y la multiplicamos por 2.

Área achurada (a) = Área cuadrado ABCD - Área ⊗4

(Reemplazando)

= 62 - π ⋅ 62 4

(Respetando el orden de las operaciones)

= 36 - 9π





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∴ Área achurada (figura 1) = 72 - 18π

Paso 2) Determinaremos el área achurada pedida en el ejercicio.

A B

D C6

6

Área achurada = Área cuadrado ABCD – Área achurada (figura 1) (Reemplazando)

= 36 – (72 - 18π) (Eliminando paréntesis) = 36 – 72 + 18π = - 36 + 18π (Ordenando) = 18π - 36

∴ Área achurada = 18π - 36 cm2



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