Matemática para Relaciones Internacionales · 2016-05-23 · 2 El presente manual ha sido...

Matemática

para Relaciones Internacionales

Cualquier sugerencia por favor a [email protected]

Guatemala, julio 2012

2

El presente manual ha sido confeccionado para uso exclusivo del Instituto de Estudios

Políticos y Relaciones Internacionales de la Universidad Francisco Marroquín.

Queremos hacer patente a su autor, el ingeniero Olmedo Aísar Vásquez Toledo,

nuestro agradecimiento por el empeño puesto en la elaboración del mismo y su

dedicación como profesor, al potenciar con este trabajo, el nivel de excelencia personal

y de sus alumnos.

En tal sentido queda terminantemente prohibida su reproducción total o parcial por

cualquier medio sin el previo permiso de la dirección de dicho Instituto. Para ello

deberán dirigir sus solicitudes a: [email protected]

Reiteramos nuestro agradecimiento y esperamos que esta contribución tenga un

importante reflejo en la calidad de nuestros alumnos.

Guatemala, julio de 2012

Pedro Trujillo Álvarez

Director

mailto:[email protected]

Matemática I Versión 5: Julio 2012

3

Índice Tema Página

I. Operaciones básicas con números 6

a. Suma o adición

b. Resta o sustracción:

c. Multiplicación

d. División

e. Jerarquía de operaciones

EJERCICIOS

II. Números racionales 12

a. Definición de números racionales

b. Tipos de fracciones

c. Simplificación de fracciones

d. Operaciones básicas con fracciones

e. Máximo Común Divisor

EJERCICIOS

III. Regla de Tres 19

a. Regla de tres directa

b. Regla de tres inversa

EJERCICIOS

IV. Exponentes y radicales 22

a. Exponentes enteros

b. Leyes de los exponentes

c. Exponentes fraccionarios

d. Exponentes radicales

g. Notación científica, potencias de 10

EJERCICIOS

V. Expresiones algebraicas 32

a. Definición

b. Elementos de las expresiones algebraicas

4

Tema Página

c. Polinomios

d. Signos de agrupación

e. Simplificación de términos semejantes

f. Suma y diferencia de expresiones algebraicas

g. Multiplicación de monomios

h. Multiplicación de polinomios por monomios

i. Multiplicación de polinomios por polinomios

j. División

EJERCICIOS

VI. Productos notables 40

a. Cuadrado de una suma: (a+b) ²

b. Cuadrado de una diferencia: (a-b)²

d. Producto de (a+b) (a+c)

e. Cubo de un binomio (a + b)2

EJERCICIOS

VII. Factorización 45

a. Caso # 1 factor común

b. Caso # 2 factor común por agrupación de términos

c. Caso # 3 trinomio cuadrado perfecto

d. Caso # 4 diferencia de cuadrados

f. Caso # 6 trinomio de la forma x² + bx + c

g. Caso # 7 trinomio de la forma ax² +bx + c

h. Caso # 8 cubo perfecto de binomios

i. Caso # 9 suma o diferencia de cubos perfectos

EJERCICIOS

VIII. Sistema de Ecuaciones con una incógnita 54

a. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

b. Funciones lineales y graficas

EJERCICIOS

IX. Sistema de Ecuaciones con dos incógnitas 58

a. Definiciones

b. Métodos de solución

EJERCICIOS


5

Tema Página

X. Funciones Lineales y graficas 60

a. Definiciones

b. Aplicaciones

EJERCICIOS

XI. Ecuaciones Cuadráticas 67

a. Definición

b. Solución con formula general

c. Solución por factorización

EJERCICIOS

XII. Funciones y Gráficas 70

a. Definiciones

b. Aplicaciones

EJERCICOS

XIII. Teorema de Pitágoras 71

a. Demostración

b. Aplicación

EJERCICIOS

XIV. Porcentajes 74

a. Definiciones

b. Aplicacion

EJERCICOS

XV. Introducción a las matemáticas financieras 76

a. Interés

b. Interés simple

c. Interés compuesto

d. Anualidades

Respuestas 84

6

I. Operaciones básicas con números

a. Suma o adición La adición se puede definir como la acción de reunir varios números en uno. Esta es la operación básica en matemáticas y se indica con el signo “+”. total

a.1. Propiedades de la suma

a.1.1 Propiedad Asociativa: La suma de tres o más números naturales puede asociarse con paréntesis sin alterar el resultado. Suponiendo que a, b, y c son números naturales se obtiene lo siguiente:

(a + b) + c = a + (b + c)

Ej.: (2+5) +3 = 10

2+ (5+3) = 10

a.1.2 Propiedad Conmutativa Si se altera el orden de los sumandos, la suma total no varía. Si suponemos a y b son números naturales entonces: el resultado de (a + b) es igual que (b + a).

Ej. : 5+6+1 = 12

6+5+1 = 12

1+6+5 = 12

a.1.3 Propiedad Uniforme Dadas dos o más igualdades, si se suma miembro a miembro se obtiene otra igualdad. Si suponemos que m, n, p, q, r y t son números naturales se obtiene:

Ej.: m = n

+ p = q

r = t

m + p + r = n + q + t

a.1.4 Propiedad de cerradura Toda suma de dos o más números naturales dará como resultado otro número natural. a + b = c

Ej.: 3+4 = 7

2+1 = 3

8+9 = 17

111+325 = 436

Matemática I


7

a.1.5 Propiedad del elemento neutro

A todo número al que se le suma el cero dará como resultado el mismo número.

Ej.: 11254+0 = 11254

3+0 = 3

0+0 = 0

b. Resta o sustracción: La resta es la inversa de la suma, y tiene por objeto hallar el exceso o diferencia de un número respecto de otro, llamado minuendo y el sustraendo. El signo con que se representa la resta es: “– “. Es necesario que el minuendo sea mayor o igual que el sustraendo, para que sea posible la resta entre números naturales. A manera de comprobación, si se suma la diferencia con el sustraendo, el resultado tiene que dar el minuendo.

Ej: 11 minuendo

- 5 sustraendo

6 diferencia o resta

b.1. Propiedades de la resta

b.1.1 Propiedad uniforme

Restando miembro a miembro dos igualdades, se obtiene otra igualdad.

Ej.: 5 = 5 7 = 7

2 = 2 3 = 3

3 = 3 2 = 2

c. Multiplicación La multiplicación es una suma abreviada, consiste en sumar un número llamado multiplicando tantas veces como indica otro número llamado multiplicador, el resultado de esta operación se llama producto.

Ej. 8 multiplicando

X 4 multiplicador

32 producto

Formas de representar una multiplicación: 1. a x b 2. (a) (b) 3. a * b 4. ab 5. a. b

8

c.1. Propiedades de la multiplicación

c.1.1 Propiedad de la cerradura El producto de dos o más factores naturales (multiplicando y multiplicador) da como resultado un nuevo número natural.

Ej.: 4*5 = 20

(3)(8) = 24

9x5 = 45

c.1.2 Propiedad del elemento neutro Todo número multiplicado por la unidad, dará como resultado el mismo número. a*1 = a

Ej.: 5*1 = 5

30*1 = 30

112*1 = 112

c.1.3 Propiedad distributiva Esta propiedad se da solo cuando existe la combinación de multiplicación con suma o resta. Suponiendo que a, b, y c son números naturales.

a (b+c) = ab + ac, o también, a (b-c) = ab - ac

Ej.: 4(3+2) = 4*3 + 4*2

4*5 = 12 + 8

20 = 20

c.1.4 Propiedad del cero

Todo número multiplicado por cero da como resultado cero.

Ej.: 1*0 = 0

20x0 = 0

(71) (0) = 0

d. División La división es la operación inversa de la multiplicación y tiene por objeto hallar el número de veces que un número está contenido en otro, este número es el cociente de dos factores llamados dividendo y divisor. El producto del cociente por el divisor da como resultado el dividendo, esta es la forma de comprobar un resultado. Formas de representar la división:

18 ÷ 6 = 3

14 = 2

7

55 / 5 = 11

5 225

450 25


9

Partes de la división:

45 cociente

5 225 dividendo

20

25

25

0 residuo

Divisor

d.1. Propiedades de la división

d.1.1 Propiedad uniforme: Esta propiedad consta de dos partes:

d.1.1.1. El cociente de dos números tiene un valor único:

Ej.: 20/5 = 4

30/3 = 10

14/7 = 2

36/6 = 6 En el primer ejemplo el número 4 es el valor único ya que 4 es el único número que multiplicado por 5 da 20; en el segundo 10 es el valor único, ya que es el único número que multiplicado por 3 da 30; en el caso del tercer ejemplo 2 es el valor único, ya que es el único número que multiplicado por 7 da 14 y en el último ejemplo 6 es el valor único, ya que es el único que multiplicado por 6 da 36.

d.1.1.2 Dividiendo miembro a miembro dos igualdades, da como resultado otra igualdad, ya que dos números iguales representan una igualdad.

Ej.: 4 = 4 10 = 10 20 = 20

2 = 2 5 = 5 4 = 4

2 = 2 2 = 2 5 = 5

d.1.2 Propiedad distributiva Para dividir una suma por un número se divide cada uno de los sumandos por el número dado y luego se suman los cocientes.

(a + b + c) ÷ m = a ÷ m + b ÷ m + c ÷ m

Ej: (9+3) ÷ 3 = 9÷3 + 3÷3 = 3+1 = 4

(18+15+30) ÷ 3 = 18/3 + 15/3 + 30/3 = 6+5+10 = 21

(15+20+30) ÷ 5 = 15/5 + 20/5 + 30/5 = 3+4+6 = 13

10

Al dividir una resta indicada, se dividen el minuendo y substraendo luego los cocientes se restan. (a – b) ÷ m = a ÷ m – b ÷ m

Ej.: (20 - 15) ÷ 5 = 20 ÷ 5 – 15 ÷ 5 = 4 - 3 = 1

(32 – 16 - 8) ÷ 8 = 32/8 – 16/8 – 8/8 = 4 – 2 - 1 = 1

e. Jerarquía de operaciones Al realizar una operación que contenga una combinación de suma, resta, multiplicación y división se debe llevar a cabo un orden. Primero se debe realizar la multiplicación o división, y luego ejecutar la resta o suma. En caso que una operación contenga paréntesis o cualquier otro signo de agrupación, primero se deben eliminar dichos signos, luego se procede con el mismo orden mencionado anteriormente. En una fracción se simplifican el numerador y el denominador por separado siguiendo el orden establecido.

Ej.: a) 5+3*3 = 5+9 = 14

b) 2(16-8)/4+1 = 2*8/4+1 = 16/4+1 = 4+1 = 5


11

Ejercicios de Suma, Resta, Multiplicación y División.

Problemas de suma y resta.

1. –36 + 19 =

2. –16 – (–5) =

3. -32 – (–14) =

4. 35 – (–46) =

5. –628 – 314 =

6. –95 – (–372) =

7. 56 – 45 =

8. –38 – (–57) =

9. 567 + (–643) – 767 =

10. 633 – 455 – 614 =

11. (447 – 323) + (627 –468) =

12. 463 – (841 –159) + (-176 + 831) =

13. (859 –36 4 ) – 746 =

14. 120 – 415 – 531 – 142 =

15. (– 3367 ) – (2847)+ (6289 +(– 3562)) =

16. (– 349) + ( – 476) – (– 248 – 548) =

Problemas de multiplicación y división.

1. – 4 * 12 =

2. (– 8)( – 9) =

3. (-4) (– 16) =

4. (– 4) (– 34)( – 12)

5. (– 2) ( – 12( – 3(2) ) )

6. (– 3) (9) ( – 6)

7. (– 11) (4) (8 ( – 7))

8. (–160) ÷ 80

9. (–80) ÷ (– 10)

10. 36 ÷ (– 14)

11. (–59) ÷ (– 59)

12. ( 12) * (– 34 )

13. (– 47) ÷ 14

14. (385 )÷ (– 27)

15. (– 273) ÷ ( – 12)

16. (– 590) ÷ (– 15 )

17. (–27) (–123) (–96)

18. (42) (–31) (38)

19. –200 ÷ (–20)

20. – 946 ÷ (-49)

12

II. Números racionales

a. Definición Los números racionales se pueden interpretar como partes de una unidad. El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q, y comprende los números enteros positivos, negativos, las fracciones y los decimales periódicos.

Ej.: 1, 7, -3, -5, 4/9, -1/2, 0.98, 1.21, 2.3245

Las fracciones son escritas de la forma m/n, donde m y n son números enteros, siendo m el numerador y n el denominador. El denominador “n” nunca puede ser 0. Un denominador cero hará que se tenga una indeterminación. Toda fracción es una división indicada.

b. Tipos de fracciones

b.1 Fracciones Propias Son todas aquellas fracciones en las cuales el numerador es más pequeño que el denominador.

Ej.: ½, 3/8, 9/25, 34/51

b.2 Fracciones Impropias Son todas aquellas fracciones en las cuales el numerador es mayor o igual que el denominador.

Ej.: 5/3, 5/5, 100/99 Cuando una fracción impropia se escribe con enteros y con fracciones se llama número mixto. Ej.: 3/2 = 1½

b.3 Fracciones Equivalentes Son aquellas fracciones que representan la misma parte o sector, es decir tienen el mismo valor, pero generalmente con números más pequeños. Siempre es conveniente presentar las fracciones equivalentes en su forma más simple o sea la más simplificada. Ej.: 8/16= 4/8= 2/4 = ½

b.4 Fracciones Algebraicas

“Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas”. Ej.: a + b c

c. Simplificación de fracciones

c.1 Reducción de Fracciones Simplificar una fracción quiere decir convertirla en una fracción equivalente pero con números más pequeños. Para simplificar una fracción se divide tanto el numerador como el denominador por el Máximo Común Divisor.

Ej.: 18/30 = 18÷6 / 30÷6 = 3/5


13

-12/20 = -12÷4 / 20÷4 = -3/5

c.2 Fracciones Irreducibles Se conocen como fracciones irreducibles aquellas que su numerador y denominador no tienen factores comunes, por lo tanto no pueden simplificarse.

Ej.: 11/14, 3/5, 286/495

d. Operaciones básicas con fracciones

d.1 Suma de fracciones con el mismo denominador. Para sumar fracciones que tiene un común denominador, se suman los numeradores y se copia el denominador. Siempre que sea posible el resultado se simplifica a su mínima expresión.

Ej.: 3/5 + 4/5 = 7/5

(5/2 + 3/2) + (6/2 + 1/2) = 8/2 + 7/2 = 15/2

((8/25+12/25) – (2/25+17/25)) + ((18/25+11/25) – (13/25+9/25))

= (20/25-19/25) + (29/25 – 22/25)

= 1/25 + 7/25

= 8/25

d.2 Suma de fracciones con diferente denominador. Se encuentra el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores, a este número también se le conoce como denominador común. Luego se escriben fracciones equivalentes con el denominador hallado. Para ello, de divide el denominador común dentro del denominador original y se multiplica por el numerador original, el resultado es el nuevo numerador de la expresión. Después se suman los nuevos numeradores calculados y el resultado se simplifica hasta llegar a su mínima expresión.

Ej.: ½ + ¾ = (1/2) (2) + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4

3/6 + 2/8 + ½

= (3*4) + (2*3) + (2*12) =12 + 6 + 24

24 24

= 42/24 = 7/4

d.3 Resta de fracciones con el mismo denominador Se restan los numeradores y se copia el denominador. Se simplifica hasta llegar a su mínima expresión.

Ej.: 7/10 – 4/10 = 3/10

7/4 – 2/4 – ¾ = 2/4 = ½

(1/9 – 8/9 – 3/9) + (6/9 – 4/9 – 1/9) = –10/9+1/9= –9/9 = –1

14

d.4 Resta de fracciones con diferente denominador Se encuentra el Mínimo Común Múltiplo. Luego se escriben fracciones equivalentes con el denominador hallado y después se restan los numeradores y se simplifican hasta llegar a su mínima expresión.

Ej.: 1/9 –2/ 3 = 1/9 – (2/3) (3) = (1– 6) / 9 = – 5/9

5 / 6 – 3 / 4 – 7/12 – 2/3 = (5/6) (2)-(3/4) (3)-7/12-(2/3) (4)=

(10–9–7–8)/12 = –14/12 =–7/6

d.5 Multiplicación de fracciones Siempre es mejor trabajar con números pequeños que con números grandes, por lo tanto es recomendable simplificar las fracciones antes de efectuar una multiplicación. Si no se simplifica, los números crecerán mucho y se le hará más difícil su operación. En este caso, se simplifican las fracciones y luego se multiplican los numeradores y se coloca la respuesta en el numerador, luego se multiplican los denominadores y se coloca la respuesta en el denominador.

Ej.: 3/5 x 7/9 x 8/6 x 2/4 = 1/5 x 7/3 x 2/3 x 2/1 = 28/45

d.6 División de fracciones Se escribe el recíproco de la segunda fracción, y luego se multiplica de forma usual. Si es posible se simplifica.

Ej.: a) 3/7 ÷ 5/8 = 3/7 x 8/5 = 24/35

b) (5/8 ÷ 3/7) x (2/6 ÷ 4/2) =

= (5/8 x 7/3) x (2/6 x 2/4) = 35/24x4/24 = 140/576 = 70/288 = 35/144

e. Máximo Común Divisor Sus iniciales son MCD. El máximo común divisor es el mayor número que divide exactamente a toda una serie de números, o sea es un número que esta contenido varias veces en forma exacta dentro de la serie de números, Hay que tener en cuenta que el MCD siempre será igual o más pequeño que el menor de los números de la serie.

Ej. 1: 60, 100,120 son divisibles por 2, 4, 5, 10 y 20. El MCD de estos números es 20, por ser el número mayor que divide exactamente a la serie de números 60, 100 y 120.

Ej. 2: 18 y 24 son divisibles por 2, 3 y 6; por lo que el mayor número que los divide a todos o MCD de 18 y 24 es el número 6.

Para hallar el MCD: a. Por simple inspección. El MCD se puede encontrar por simple inspección. Si se quiere hallar el MCD de tres números dados, se debe probar si el menor de ellos divide al resto, si ese es el caso, se considera al menor de ellos como el MCD de los tres. En caso de que el menor no divida al resto se debe hallar el mayor divisor del menor número que divida al resto de los números dados, y ese será el MCD


15

Ej.: Hallar el MCD de 48, 72, y 84.

En este caso 48 el menor de los números dados, sin embargo no puede ser el MCD debido a que no divide al resto de números exactamente. Tampoco puede ser 24 que es el MCD de 48, ya que tampoco divide exactamente al resto de números. Por lo que se recurrió al divisor anterior a 24 que es 12. Dicho número si logra dividir al resto de números exactamente, por lo que este es el MCD de los tres números dados. b. Por divisiones sucesivas. Se puede dividir el mayor de los números dados por el menor. En caso de que la división sea exacta, el menor de ellos se toma como el MCD. Si la división es inexacta, se divide el divisor entre el primer residuo, luego el residuo por el segundo, este por el tercero y así sucesivamente hasta obtener una división exacta. El último divisor será el MCD

Ej. 1: Hallar el MCD de 150 y 25 Primero se divide 150 entre 25, y como la división es exacta, 25 es el MCD

Ej. 2: Hallar el MCD de 2227 y 2125 Primero se divide 2227 entre 2125 y queda como residuo 102. Como es una división inexacta, el divisor que es 2125 se divide entre el residuo (102), y como también queda residuo que es 85, el residuo anterior que era 102 se divide entre el otro residuo que es 85, en esta división también queda residuo que es 17, por lo que ahora se divide 85 entre 17, y queda una división exacta. De allí se tiene que El MCD es 17.

c. Por Descomposición en sus factores primos. Otro método de hallar el MCD es por descomposición de la serie de números en sus factores primos. Para hallar el MCD se sacan únicamente los factores comunes a los números dados y luego se multiplican entre sí. Ej.: Hallar el MCD de 16, 24 y 40.

16 – 24 – 40 2

8 12 20 2 MCD = 2 ³ = 8

4 6 10 2

2 3 5

f. Mínimo Común Múltiplo (MCM) El mínimo común múltiplo, es el menor número que contiene un número exacto de veces a cada uno de los números dados. La abreviatura del mínimo común múltiplo MCM Ej.: Hallar el MCM de 4 y 6 Múltiplos de 4: 4, 8,12, 16, 20, 24, 28, 32 y 36… Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30 y 36

El menor múltiplo común de 4 y 6 es 12, por lo que 12 es el MCM

16

Para hallar el MCM: a). MCM por simple inspección. Si se quiere hallar el, se debe ver si el mayor de los números dados contiene exactamente a los demás, si ese fuera el caso el mayor seria el MCM de los números dados. En caso de que el mayor no contenga al resto, se debe buscar el menor múltiplo del mayor que contenga al resto. Ej.: Hallar el MCM de 8 y 4 En este caso 8 es el MCM ya que 8 contiene a cuatro. b). Por descomposición de factores primos. Por hallar el MCM, primero se deben descomponer los números dados en sus factores primos, luego se deben multiplicar los factores primos comunes y no comunes elevados a la mayor potencia. El producto de esa multiplicación será el MCM.

Ej.: Hallar el MCM de 12 y 18

12 – 18 2

6 - 9 2 Se multiplica 2² * 3² = 36

3 - 9 3 El MCM de 12 y 18 es 36

1 - 3 3

1 - 1


17

Ejercicios de Números Racionales

A. Simplificar las siguientes fracciones.

1. 3

6

2. 15

45

3. 4

9

4. 2

8

5. 6

12

6. 12

48

7. 36

36

8. 153

51

9. 49

28 10. 210

180

11. 2048

1024

12. 1200

4800

13. 66

11

14. 63

7

15. 48

12

16. 412

106

17. 300

200

18 69

13

19. 96

12

20. 147

237

21. 490

350

B. Suma y resta de fracciones.

1. 9 + 1

5 5

2. 2 + 5

3 3

3. 1 + 2

2 3

4. 5 + 1

6 5

5. 3 + 1

7 2

6. 11 + 21

8 4

7. 9 + 5

11 7

8. 36 + 44

24 33

9. 99 + 51

9 17

10. 63 + 84

21 36

11. 6 + 1

7 7

12. 6 + 1

11 2

13. 4 + 5

3 2

14. 5 + 1

8 8

15. 9 + 11

11 5

18

Ejercicios mixtos

1. (-3/5 – 4/3) + (-2/3)

3/4 (3/2 - 2/3)

2. (-4 / 3) + (3 / (-5 ))

(-3/5 – 4/3) (-3/2)

3. – 3/2 + 2/3 + 3/2 + 1/3

– 2/5 – 2/3 5/2 + 4/3

4. 1/2 – 2/3 – 1/2 + 1/3

2/3 – 3/2 3/2 + 4/3

5. (-3/2 – 1/2) + (-2/3 + 1/3)

3/2 + 4/3 1/2 - 2/3

6. (-3/2 – 1/3) + (-2/3+1/2)

¾+ 2/3 (1/2 - 2/3)

7. ¾ + 2/3 – 2/5 + 7/3

2/3 + 1/2 1/3 + 3/2__

1/2 + 1/3 – 3/2 + 1/3

3/2 + 1/3 3/2 + 3/2

8. ¾ + 2/3 – 2/5 + 7/8

2/3 + 5/7 5/7 + 4/5

5/6 + 4/3 – 3/2 + 1/3

2/3 + 1/2 3/4 + 3/2


19

III. Regla de Tres

Esta operación establece una relación entre tres o más valores conocidos y uno desconocido. Se usa cuando se puede formar una relación lineal entre los valores conocidos (proporcionalidad)

Cuando se cuenta con tres valores conocidos y uno desconocido, se tienen dos posibilidades, que el planteamiento sea directamente proporcional o bien que sea inversamente proporcional.

Cuando se trata de una regla de tres directa, al incrementarse el antecedente, el consecuente aumenta proporcionalmente en forma lineal, mientras que en la regla de tres inversa, al aumentarse el valor del antecedentes, el valor correspondiente al consecuente disminuirá, también en forma lineal- Normalmente se representa de la siguiente forma: A~>B. C ~> X

Siendo A, B y C valores conocidos y X el valor desconocido, que se quiere averiguar, el valor de X como el valor correspondiente al literal C, este valor será proporcionalmente mayor o menor al valor de A, o sea que crecerá o disminuirá en la misma proporción de este, dependiendo si es regla de tres directa o inversa

Ejemplo ilustrativo.

Cinco litros de agua pura cuestan Q.26.00. Cuanto costaran 15 litros? En este caso el valor mantendrá una proporción y será menor, puesto que una cantidad menor de agua, lógicamente costara menos.

Antecedente 5litros ~> Q. 26 Consecuente 15 litros ~> x

Para encontrar el valor de x, se empieza multiplicando los datos en diagonal:

Antecedente 5 litros ~> Q. 26 Consecuente 15 litros ~> x 15 x 26 = 390

Luego se divide la cantidad obtenida entre el otro valor conocido:

Antecedente 5 litros ~> Q. 26 Consecuente 15 litros ~> x 390 ÷ 5 = 78

Entonces, 15 litros costaran Q.78.00.

20

Ejemplos regla de tres.

Para averiguar cuántos kilómetros recorría mi auto con un galón de gasolina, antes de viajar a

Mazatenango, llené el tanque. Al llegar a mi lugar de destino volví a llenar el tanque. Para

hacerlo tuve que cargar quince galones de gasolina. Sabiendo que la distancia entre la capital y

Mazatenango es de 160 kms, ¿cuántos kilómetros recorrió mi auto por cada galón de

combustible? Si el auto necesitó 15 galones de gasolina para recorrer 160 kms, y yo quiero

averiguar cuántos kilómetros recorrió con cada galón, debo realizar el siguiente cálculo:

15 galones ________________ 160 km

1 galón ________________ X km

Es Directa. Se multiplica 1 x 160 y el resultado dividirlo entre 15.

Cuando las legiones romanas debían desplazarse hacia algún punto del Imperio —para imponer

el orden o defender las fronteras— recorrían unos 35 kms por día. Hay que tener en cuenta que

casi todos los hombres viajaban a pie y cargando sus armas. ¿Cuántos días les tomaba a estos

legionarios recorrer una distancia de 1050 kms.? Si la legión necesita 1 día para recorres 35

kms, para saber cuántos días le tomaría recorrer 1050 kms debo realizar el siguiente cálculo:

35 kms ________________ 1 día

1050 kms ________________ X días

Es Directa, se multiplica 1 x 1050 y se divide el resultado entre 35.

1. Un empleado que trabaja 6 horas diarias recibe como salario Q.1,480 por mes. El dueño de la

fábrica le ha comunicado que la empresa debido al incremento del salario mínimo, le

mantendrá el mismo sueldo pero le disminuirá su trabajo 2 horas diarias. ¿Cuál será a partir

de ahora su sueldo por hora?

Si por 6 horas diarias de trabajo el empleado recibe Q.1,480 mensuales, para saber cuánto cobrará

por hora al trabajar 4 horas diarias, realizar el siguiente cálculo:

6 horas ________________ Q.1,480

4 horas ________________ Q. X

Es Inversa, se multiplica 6 x 1, 480 y se divide entre 4


21

Problemas de Regla de Tres directa e inversa

Regla de Tres Directa

1. Si 48 libros cuestan Q.4,896.00, cuanto costaran 235 libros?

2. Si un Euro equivale 11.63 Quetzales, ¿A cuánto equivalen 5 euros? ¿Y cuántos euros nos

darán por 1000 Quetzales?

3. Un auto tarda 4 horas en recorrer 360 km. Si mantiene esa velocidad, ¿cuánto recorrerá en

7 horas?

4. Si un avión tarda 2 horas en llegar de Guatemala a Nicaragua que se encuentra a 480

kilómetros de distancia, que distancia recorrerá en 3 horas, a la misma velocidad?

5. El 89% de los estudiantes de la UFM son mujeres, si la población total es de 3,525,

cuántos hombres estudian en la universidad?

6. El Presupuesto general de Guatemala es de 5.9 millardos, el 0.4 % está destinado a la

Relaciones Internacionales, cual es el presupuesto de las Relaciones Internacionales?

7. El café de Colombia es un café suave que representa el 79% de una mezcla, el de

Guatemala es café duro que complementa la mezcla. Si la venta de esta mezcla es de

2,500,000 quintales, cuanto vende Guatemala para esta mezcla de café?

8. La etnia Xinca representa el 0.002% de la población de Guatemala, si la población de

Guatemala es de 11, 986,647, cuantos Xincas hay en Guatemala?

9. Únicamente el 29 % de la tierra de Guatemala puede ser dedicado a la agricultura, si la

extensión es de 109,889, cual es la extensión que puede ser cultivada?

10. Una libra de azúcar cuesta el 39% de lo que cuesta un kilogramo de café. Si el café cuesta

el 250% de lo que cuesta el frijol y este cuesta Q0.26 la onza, Cuanto cuesta la libra de

azúcar?.

Regla de Tres Inversa

1. Un automóvil tarda 4 horas en recorrer 360 kms. Si incrementa su velocidad en 20

KPH, ¿En cuánto tiempo recorrerá la misma distancia?

2. Si un avión tarda 3 horas en llegar de Guatemala a Nicaragua a 480 kilómetros, En

cuánto recorrerá esa distancia otro avión que vuele al doble de velocidad del primero?

3. Si una persona recorre 28 km. en 40 minutos en bicicleta, ¿En cuánto recorrerá la

misma distancia en una motocicleta que es dos veces más rápida que la bicicleta?

4. Si un albañil coloca 1,890 ladrillos en una semana, en cuanto tiempo los colocaran 3

albañiles que trabajen al mismo ritmo?

5. Al repartir la tierra cultivable que es de 295,000 kilómetros cuadrados en forma

proporcional a los 11, 986,647 de Guatemaltecos corresponde una cantidad, que pasa

si solo se reparte la tierra a los varones mayores de edad que son el 18% de esa

población?

22

IV. Exponentes y radicales

a. Exponentes enteros “Los exponentes indican una multiplicación repetida”. Generalmente se utiliza la notación exponencial cuando se quiere expresar términos como 11 x 11, entonces se puede decir 11². Del mismo modo 8 x 8 x 8 x 8 se puede expresar como 84. Otra forma de expresar este término puede ser ocho a la cuarta potencia. En la notación exponencial, la base es el factor que debe multiplicar por sí mismo tantas veces como lo indica el exponente.

Una expresión exponencial consta de dos partes a saber: la base y el exponente. Exponente

6²

Base Ej.: 157 = 15x 15x15x15x15x15x15= 170859375 64 = 6x 6x6x6x = 1296 125 = 12 x 12 x 12 x 12 x 12 = 248832

b. Leyes de los exponentes Regla # 1: Multiplicación. En la multiplicación se copia la base y se suman los exponentes.

x m x n = x m+n

Ej.: 210 * 222 = 232

Regla # 2: División. En la división se copia la base y se restan los exponentes.

xm / x n = x m-n

Ej.: 210 / 22 = 28

Regla # 3: Potenciación. En la potenciación se copia la base y se eleva al producto (multiplicación) de los exponentes.

(xm) n = x mn

Ej.: (23) 13 =2 39

Regla # 4: Radicación En la radicación se copia la base y se dividen los exponentes.

n√x m = x m/n

Ej:

5√a10 =a10/5 = a2


23

Regla # 5: Potencia de un Producto. Se separan las bases y se coloca el mismo exponente a cada una de ellas. (xy) n = x n y n

Ej.: (2*3) 5 = 25 35

(6*9) 8 = 68 98

Regla # 6: Potencia de una fracción. Se copian las bases en el mismo orden y se coloca el mismo exponente a cada una de ellas.

(x/y) n = x n / y n

Ej.: (3/2) 10 = 310 / 210

(5/3) 2 = 52 / 32

Regla # 7: Exponente Cero. Cualquier base elevada a la potencia 0 es igual a 1. x0 = 1

Ej.: 100 = 1

1000 = 1

Regla # 8: Toda base elevada a una potencia negativa, puede ser invertida colocando un 1, para convertir el exponente a positivo:

x -n = 1/x n

Ej: (3/2) -3 = (2/3) 3

(3/4) -5 = (4/3) 5

c. Exponentes fraccionarios Es posible elevar muchas bases a potencias fraccionarias. “Como se desea que los exponentes fraccionarios obedezcan las mismas reglas que los coeficientes enteros el cuadrado de 10 debe ser 10” 1/2.

Ej.: Se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

(101/2) 2 = 10(2/2)= 101= 10

(101/2) 2 = 10

(a2/3) 5 = a(2/3)5 = a10/3

Como (101/2)² y (√10 )² son iguales a 10, definimos que 101/2 es igual a raíz cuadrada de10.

d. Exponentes radicales Una raíz puede expresarse usando exponentes fraccionarios. La forma de pasar una raíz a un exponente fraccionario es pasar el coeficiente de la raíz como denominador de la fracción a la que esta elevado.

24

Ej.: 4√a9 = a 9/4

5√ a2 b3/4 = a2/5 b3/20

e. Leyes de los radicales Radical es toda raíz indicada en una cantidad. Si esa raíz indicada es exacta, tenemos una cantidad racional, y si no, es irracional.

Así, √16a² es una cantidad racional y √3 a es una cantidad irracional”.

Caso # 1 “Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice”.

Ej.: Simplificar √9a³ = √ 3² * a² * a = √3² * √a² * √a = 3a√a

Caso # 2 “Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común”.

Ej.: Simplificar 4√4a² = 4√2² *a² = 22/4 * a2/4 = 21/2 * a1/2 = √2a

Caso # 3 “Cuando la cantidad subradical es una fracción y el denominador es irracional hay que multiplicar ambos términos de la fracción por la cantidad necesaria para que el denominador tenga raíz exacta”.

Ej.: Simplificar √2/3 = √2*3 / 3*3 = √6/3² = 1/3 √6

f. Operaciones de radicales

1. Suma y Resta de Radicales: Se deben simplificar los radicales dados, se reducen los semejantes y luego se escriben los radicales no semejantes con su propio signo.

Ej.: Simplificar 2√450 + 9√12 – 7 √48 - 3√98 porque los “+” y “-“

2√450 = 2√2*32*5² = 2 *3 * 5 √2 = 30 √2

9√12 = 9√2²*3 = 18√3

7√48 = 7√2 4*3 = 28√3

3√98 = 3√2*7² = 21√2


25

2. Multiplicación de Radicales Se deben multiplicar los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre sí, colocando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado”.

Ej.: Multiplicar 2/3 3√4 * (¾ ) 3√6

2/3 3√4 * ¾ 3√ 6 = 2/3* ¾ 3√24 = ½ 3√23 * 3 = 3√3

3. División de Radicales: “Se deben dividir los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre sí, colocando el cociente de esta última operación bajo el signo radical y se simplifica el resultado”.

Ej.: Dividir 2 3√81x entre 33√3x²

23√81x7 ÷ 33√3x² = 2/3 3√81x7/3x² = 2/3 3√27x5 = 2/3 3√33 * x3 * x² = 2x√x²

4. Racionalizar el Denominador de una Fracción

“Es convertir una fracción cuyo denominador sea irracional en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional. Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción, desaparece todo signo radical del denominador”. “Para racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es monomio se multiplican los dos términos de la fracción por el radical, del mismo índice que el denominador, que multiplicado por éste dé como producto una cantidad racional”.

Ej.: Racionalizar el denominador de 3 / √2x

Multiplicamos ambos términos de la fracción por √2x y tenemos:

3/ √2x =3 √2x /√2x * √2x = 3√2x /√2² *x² = 3 √2x / 2x

g. Notación científica, potencias de 10 La notación científica es un modo de representar a los números en una forma abreviada, ya sean enteros o reales. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños. Existe también la notación normal, esta consta en el inverso de la notación científica.

1. Suma y Resta de Números con Notación Científica: Se debe convertir todos los números en una misma potencia de base diez y luego sumar los números y copiar la base diez.

Ej.: (2.5 x 105) + (4 x 106) = 0.25 x 106 + 4 x 106 = 4.25 x 106

26

2. Multiplicación y División con Notación Científica:

Se deben utilizar las propiedades conmutativa y asociativa, y después se simplifican las potencias de diez con las propiedades de los exponentes.

Ej.: (3.1x105) (4.5x10-3)

(3.1x105) (4.5x10-3) = (3.1x4.5) (105x10-3)

=13.95x102

=13.95x102 = (1.395x101) x 102

= 1.395x103


27

Ejercicios de Exponentes y Radicales

Raíz Cuadrada

Desarrolle los cuadrados

1. 17²

2. 300²

3. 14²

4. 84²

5. 35²

Encontrar la raíz cuadrada.

1. 25

2. 196

3. 100

4. 225

5. 645

Expresar en Notación Científica

1) 28,000

2) 405,000

3) 0.000000423

4) 0.000401

5) 3,030,000

6) 0.00000000000687

7) 40,300

8) 0.00019

9) 55,000,000,000,000

10) 7, 460, 000

11) 0.00342

12) 9, 000, 000

13) 0.00092

14) 365

15) 0.00000876

16) 930000000

17) .000087

18) 580000

19) 288000000000

20) 0.00000836

Expresar en Notación normal

1) 4.14 x 10¯16

2) 26.78 x 10

3) 4.95 x 10¯16

4) 2.27 x 109

5) 7.86 x 10¯12

6) 2.567 x 102

7) 2.83 x 10¯2

8) 8.25 x 109

9) 3.78 x 105

10) 5.01 x 1010

11) 3.54 x 1012

12) 1.261 x 107

13) 0.95 x 10¯13

14) 2.8 x 1019

15) 7.86 x 10¯2

16) 26.7 x 1012

17) 9.183 x 10¯12

18) 7.25 x 1012

19) 3.78 x 10

20) 9.99 x 1011

28

Encontrar el resultado de:

1. 8.20 x 104 - 3.6 x 103 =

2. (3.5 x 102) / (5.00 x 103) =

3. (6.0 x 106)/ (1.5 x 102)

4. 8 X 10-3 / 2 X 10.-2

5. (8.41 X 103) + (9.71 X 104) =

6. (5.11 X 102) - (4.2 X 102) =

7. (8.2 X 102) + (4.0 X 103) =

8. (6.3 X 10-2) - (2.1 X 10-1) =

9. 123,876.3 =

10. 1,236, 840. =

11. 4.22 =

12. 0.000000000000211 =

Exponentes

1. Al simplificar se obtiene:

9. Obtenga el valor de 4-1/2

A x3y25 A ½

B xy10 B 1

C 0 C 4/2

D

D No es un número real

2. Simplifique y exprese el siguiente resultado

sólo con exponentes positivos y1/5y2/5 10. Encuentre el entero de: 361/2

A y3/4 A 36

B y3/5 B 6

C y13 C 12

D 2y4/3 D 24

3. El resultado de a3-na5+n es: 11. Al simplificar 16 -3/2resulta:

A a8 A 1/6

B a8-2n B 6

C a15-2n C 1/64

D a8+2n D 64


29

4. Encuentre el entero de: 251/2 12. Simplifique:

A 5 A cd6

B 10 B c5d8

C 15 C

D 25 D (cd2)

5. Efectuando Se obtiene:

13

Multiplique y exprese el resultado de:

3m3/4(4m1/4-2m8) sólo con exponentes

positivos

A 2a2b A 3m124m4

B 12a8b B m22m2

C -512a18b-45 C 6m-3m

D -256a9b-15 D 12m-6m35/4

6. Simplifique y exprese el siguiente resultado

sólo con exponentes positivos (a3b9)1/3 14. Obtenga el valor de: (-8)2/3

A a3b3 A 4

B b3a B -4

C 1/3ab C 8

6

D ab3 D -86

7. La expresión

equivale a:

15. Encuentre el entero de: (-8)1/3

A 54 A -4

B 5-4 B -2

C 15/42 C 2

D 7/52 * D -6

30

8. Simplificando

resulta:

16. Al simplificar (a-1/2+3b-1/2)(2a-1/2-b-1/2)

se obtiene:

A

A 2a-1/4-3b-1/4

B

B 2a-3b

C

C

D

D 2a-1+5a1/2b1/2-3b-1

Resuelva.

1) b3 x b4 = b7 6) (1 + i)5 = (1 + i)2

(1 + i)3

2) x5 = x2 7) (2a3)4 = 16 a12

x3

3) 32 = 4 8) x3 2 = x6

8 y2 y4

4) y15 = y15-10 = y5 9) (x4)5 = x20

y10

5) x3 y2 = xy 10) (2xy)3 = 8x3 y3 = 8xy

x2 y (x y) 2 x2 y2


31

Radicales

Extraer todos los factores posibles de los siguientes

radicales:

32

V. Expresiones algebraicas

a. Definición

Una expresión algebraica es una cadena de símbolos matemáticos, entre ellos se pueden

encontrar coeficientes, variables, exponentes y signos.

Signo coeficiente

Exponente

-3 x² variable

b. Elementos de las expresiones algebraicas

1. Variables: Son cantidades expresadas con letras, pueden tomar valores dentro de un

subconjunto de números reales. Casi siempre se utilizan las ultimas letras del abecedario

(x, y, z) para denotar variables.

2. Constantes: Son cantidades fijas expresadas con letras, casi siempre se utilizan las

primeras letras del abecedario (a, b, c) para denotar constantes.

3. Coeficientes: son los números que aparecen multiplicando a las variables.

4. Exponentes: Son lo superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.

5. Términos: En una expresión algebraica, que consta de uno o varios elementos algebraicos.

No separados entre sí por ningún símbolo. Un término se separa de otro por medio de un

signo positivo o negativo.

c. Polinomios

Es una expresión algebraica y se clasifica en:

- Monomio si tiene un término.

- Binomio si tiene dos términos.

- Trinomio si tiene tres términos.

- Polinomio si tiene más de tres términos.

-

d. Signos de agrupación

Los signos de agrupación son:

Paréntesis = ( )

Corchete o paréntesis angular =

Llaves =

e. Simplificación de términos semejantes

Los términos son semejantes cuando en los diferentes términos de una expresión algebraica, las

variables son iguales y tienen el mismo exponente, o al no ser potencias, están formadas por un

mismo tipo de variables..

Ej.: -m -3m – 5m + 8m = -m

8xy + 9z + 15x – 6xy – 3z – 6x = 9x + 2xy + 6z


33

f. Suma y resta de expresiones algebraicas

La suma tiene por objeto unir dos o más sumandos (expresiones algebraicas) en un solo termino

(expresión algebraica), cuando eso es posible.

En aritmética la suma siempre significa aumento, pero en álgebra la suma es un concepto más

general, porque puede significar aumento o disminución, algunas sumas algebraicas que

equivalen a una resta en aritmética, esto se produce al sumar una expresión negativa con una

positiva

Sumar una cantidad negativa es lo mismo que restar una cantidad positiva de igual valor

absoluto. En el caso de operar dos términos con signos distintos, el resultado que se obtenga

llevara el signo del mayor.

La suma se indica con sumandos dentro de paréntesis (suele ser así). Luego se colocan todos los

términos de los polinomios, seguidos unos de otros con sus propios signos.

Ej.: (1/2x-34y), (5/8x+9/6y-4z), (x+y-z) =

1/2x – 34y + 5/8x + 9/6y – 4z + x + y – z =

17/8x – 189/6y – 5z

En la resta se da la suma de dos términos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), con el objeto

de hallar el otro sumando (resta o diferencia).

Si de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será a – b.

Se debe escribir el minuendo con sus propios signos y luego el sustraendo con los signos

cambiados y se reducen los términos semejantes, si es que existen.

Ej.: De 4x – 3y + z restar 2x + 5z – 6

La sustracción se indica incluyendo el sustraendo en un paréntesis (), precedido del signo -. Así:

4x - 3y + z – (2x + 5z – 6)

Ahora se deja el minuendo con sus propios signos y después se escribe el sustraendo cambiándole

el signo a todos sus términos y se obtiene:

4x – 3y + z – 2x – 5z + 6

= 2x - 3y - 4z + 6

g. Multiplicación de monomios

La regla explica que se deben multiplicar los coeficientes y después de obtener el producto se

escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual

a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá por la ley de

signos.

Ej: Multiplicar 2a² por 3a3

2a² x 3a3 = 2 x 3a2+3 = 6a5

Multiplicar 3a²b por -4b²x

3a²b * (-4b²x) = -3 * 4 a²b1+2 x = -12 a2b3x

34

h. Multiplicación de polinomios por monomios La regla explica que se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio,

teniendo en cuenta siempre la regla de los signos, y luego se deben separar los productos

parciales con sus propios signos. Esta es la ley “distributiva” de la multiplicación:

Ej.: Multiplicar (3x2 - 6x + 7) x (4ax2) =

= 3x2 (4ax2) - 6x (4ax2) + 7 (4ax2) = 12a x4 - 24ax3 + 28 ax2

i. Multiplicación de polinomios por polinomios

Se deben multiplicar todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del

multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.

Ej: Multiplicar (a – 4) por (3 + a)

(a – 4) * (a + 3) = a (a) – 4(a) + 3(a) – 3(4) = a2 – a – 12

j. División Dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor

(cociente). Entonces, el cociente multiplicado por el divisor produce el dividendo.

1. División de un polinomio por un monomio

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes

parciales con sus propios signos. Esta es la ley “distributiva” de la división.

Ej.: Dividir 3a3 – 6a2b + 9 ab2 entre 3a

= 3a3 – 6a2b + 9 ab2 ÷ 3a

= 3a3 / 3a – 6a2b / 3a+ 9 ab2 / 3a

= a2 – 2ab + 3b2

2. División de dos polinomios

Se debe ordenar el dividendo y el divisor con relación a una misma variable. Se divide el primer

término del dividendo entre el primero del divisor y se obtiene el primer término del cociente.

Ese término se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se

le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este

producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de

acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.

Se divide, luego, el primer término del resto entre el primer término del divisor y se obtiene el

segundo término del cociente.

El segundo término se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo,

cambiando los signos, y así sucesivamente.

Ej.: Dividir 3x2 + 2x – 8 entre x + 2


35

3x - 4

3x2 + 2x – 8 x + 2

- 3x2 – 6x

-4x – 8

4x + 8

Esto se debe a que el dividendo y el divisor están ordenados en orden descendente con relación a

“x”. Entonces, se divide el primer término del dividendo 3x2 entre el primero del divisor x y se

obtiene 3x2 / x = 3x. Este es el primer término del cociente.

Luego se multiplicó 3x por cada uno de los términos del divisor y como estos productos hay que

restarlos del dividendo, se obtuvo: 3x * x = 3x2, para restar -3x2; 3x * 2 = 6x, para restar -6x

Estos productos con sus signos cambiados, se escriben debajo de los términos semejantes con

ellos del dividendo y se hace la reducción; lo cual da -4x y se baja el -8. Luego se dividió -4x

entre x: -4x / x = -4 y este es el segundo término del cociente. Este -4 hay que multiplicarlo por

cada uno de los términos del divisor y restar los productos del dividendo y se obtiene: (-4) * x = -

4x, para estar +4x; (-4) * 2 = -8, para restar -8. Por último se escribieron los términos debajo de

sus semejantes y haciendo la reducción nos da cero de residuo.

36

Ejercicios de Expresiones Algebraicas

Suma de monomios

1. –115xy–35xy =

3. 5mn – 2mn =

4. 9ab -15ab =

5. 3mn – 15mn =

6. 86xy + 32xy =

7. -18pq + 36pq =

8. -328z + 315z =

9. -3/5abc - 2/5abc =

Resta de monomios

1. 48x–62b =

2. -986 a²b²–560a²b² =

3. 180xy – (–326xy) =

4. 128m² – (–528m²) =

5. –383z–-126z =

6. 475abc – (–378abc)=

7. –562km – 472km =

8. - 239q – (–328q) =

9. –808mn – (–375mn)=

10. 8/9m² – 3/4abc =

Suma de polinomios ( a +2b –c)+ (2 a +3b +c) =

(7 a – 4b + 5c) +(7a + 4b – 6c) =

(a + b – c) + (2 a + 2b -2c) + (3 a –b +3c) =

(p + q + r) + (-2p-6q+3r) + (p+5q -8r) =

(-7x -4y +6z) +(10x – 20y – 8z) +( -5x +24y +2z) =

(-2m + 3n -6) + (3m -8n + 8) + (-5m +n -10) =

(27mn² +38mn +n) +(-89mn² -5mn -8n)+(13mn² + 16mn -3n) =

(715a²b – 710ab +82b) +(-310a²b + 126ab -129b)+( 16a²b – 13ab -18b) =

(-816ay² +302 ay +180)+( 89ay² -15ay -326)+( 12ay² +128ay – 15) =

(38qr² - 16r² + 215z) +(312qr² -28r² -327z)+( -15qr² +112r² +215z) =

Resta de polinomios

1. -7x -4y + 6z restar 10x -20y -8z =

2. -2m+3n-6 restar 3m -8n +8 =

3. 9x -3y +5z restar -5 +y -9z =

4. -14x -8y +16z restar -5x +14y +2z=

5. a³ a²b restar 7a²b + 9ab² =

6. y²+6y³ restar 5x² -4x +6 =

7. restar x-y de 2x + 3y =

8. restar 5 a + b de -7 a + 5b =

9. restar x² -5x de -x² +6x =

10. restar x³ -3xy² de 2x²y + 15xy²

Multiplicación de monomios

1. ab* (-ab =

2. 2x² * -3x =

3. -4a²b * (-ab²) =

4. -5x³y * xy² =

5. -4m² * (-5mn²p =

6. (-m²n) (-5mn³) =

7. (4a²) (-5a³x²) =

8. -4m² *( -5mn²p)=

9. ( (3ab²) (-5ab) =

10. (3b²) ( -8b³) =


37

Multiplicación de polinomio por monomio

1. ( x²-4x +3 ) (-2x ) =

2. (a³-4a²-69 ) (9ab ) =

3. (a²- 2ab + b² ) ( 3ab ) =

4. (x³- 3x² +5x -6) (-4x²) =

5. (8ab²c4+abc² -5abc) ( 2a²b²c) =

6. (6q²r4+8q²r² +3qr) ( -5qr²) =

7. (3mn6-8m4n4+5mn) (3m²n²) =

8. (9ab4-8a²b²+5ab) ( -7ab²) =

9. (15x²y²+10xyz² + 3xy) (5x²y³) =

10. (7xyz³-2xyz²-8z²) (5x²y²) =

Multiplicación de polinomio por polinomio

1. (3x-2y) (y+2x) =

2. (-4y +5x) (-3x+2y) =

3. (8n-9m) (4n+6m) =

4. ( (a²+b²-2ab) (a-b) =

5. (a²+b²+2ab) 8a+b) =

6. (x³-3x²+1) (x+3) =

7. (x³-2x²+3x-7) ( 2x+3) =

8. (3y³+5-6y) (y²+2) =

9. (m³-m²+m-2) (am+a) =

10. (x³+2x²-x)(x²-2x+5) =

División de monomios entre monomios

1. -a²b entre –ab =

2. 54x²y²z³ entre -6xy²z=

3. -8a²x³ entre -8a²x³ = 1

4. -xy² entre 2y =

5. 72x²y²z³ entre -9xy²z³=

6. 54x²z³ entre 6x²z³ =

7. 32mn4 entre 8m =

8. 81pq² entre 9pq =

9. 36p4q5 entre 6p²q³ =

10. -24ab5c³ entre 6ac² =

División polinomios entre polinomios

1. x³-4x²+x entre x-2 =

2. a² +2ª -3 entre a+3 =

3. a²-2ª-3 entre a+3 =

4. x²-20x entre x+5 =

5. x²+x-20 entre x+5 =

6. 6+a²+5a entre a+2 =

7. m² -11m +30 entre m-6 =

8. 6x²-xy-2y² entre 2x+y =

9. 5a²+8ab-21b² entre a+3b =

10. -6m³-8m²n +20mn² entre -2mn² =

EJERCICIOS VARIOS

Suma y resta de Monomios.

1. -2x, 3y

2. 5mn, -m

3. 5a, 7a

4. -8x, -5x

5. -11m, 8m

6. 9ab, -15ab

11. 1/3b, 2/3b

12. -1/2xy, -1/2xy

13. -3/5abc, -2/5abc

14. 4x - 6b

15. -5a - 6b

16. -8x – (-3)

38

7. –xy, -9xy

8. mn, -11mn

9. 1/2a, -2/3b

10. 3/5b, 3/4c

17. -9a²- 5b²

18. -7xy – (-5yz)

19. 3a- 4a

20. 11m² - 25m²

Suma y Resta de Polinomios

1. 7a -4b + 5c; -7a +4b -6c

2. 9x -3y +5; -x –y + 4; -5x +4y -9

3. p + q + r; -2p -6q +3r; p + 5q – 8r

4. (-7x -4y + 6z); (10x -20y -8z)

5. -2m + 3n -6; 3m – 8n +8; -5m +n -10

6. 5x -7y + 8; -y + 6 -4x; 9 – 3x +8y

7. x² + 4x; -5x + x²

8. –x² + 3x; x³ + 6

9. m²+ n²; -3mn + 4n², -5m² - 5n²

10. a + b restar a – b

11. 2x – 3y restar –x + 2y

12. 8a + b restar -3a + 4

13. x² - 3x restar -5x + 6

14. a³ - a²b restar 7a²b + 9ab²

15. x – y + z restar x – y + z

16. x + y – z restar –x – y + z

17. x² + y² - 3xy restar –y² + 3x² - 4xy

18. x³ - x² + 6 restar 5x² - 4x + 6

19. y² + 6y³ restar 5x² - 4x + 6

20. Restar m – n + p de -3n + 4m + 5p

Multiplicación de Monomios

1. 2 * (-3)

2. -4 * (-8)

3. -15 * 16

4. ab * (-ab)

5. 2x² * (-3x)

6. -4a²b * (-ab²)

7. -5x³y * xy²

8. -4m² * (-5mn²p)

9. abc * cd

10. 1/2a² * 4/5a³b

11. -3/7m²n * (-7/14a²m³)

12. -7/8abc * 2/7a³

13. (a)(-3a)(a²)

14. (3x²)(-x³y)(-a²x)

15. (-m²n)(-3m²)(-5mn³)

16. (4a²)(-5a³x²)(-ay²)

17. (-aⁿ)(-2ab)(-3a²bx)

18. (2a)(-a²)(-3a³)(4a)

19. (-3b²)(-4a³b)(ab)(-5a²x)

20. (-1/2x²y)(-3/5xy²)(-10/3x³)(-3/4x²y)


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Multiplicación de Polinomios por Monomios y Polinomios por Polinomios

1. 8x²y – 3y² por 2ax³

2. x² - 4x + 3 por (-2x)

3. 1/2a – 2/3 b por 2/5a²

4. 3/5a – 1/6b + 2/5c por (-5/3ac²)

5. 1/3x² - 2/5xy – 1/4y² por 3/2y³

6. 1/2a² -1/3b² +1/4x² -1/5y²por(-5/8a²m)

7. –x + 3 por (–x + 5)

8. 3x – 2y por y + 2x

9. x² + xy + y² por x – y

10. x³ - 2x² + 3x – 1 por 2x + 3

11. 3x³ - x² por (-2x)

12. a³ - 4a² + 6ª por 3ab

13. 2/3a– 3/4b por (-2/3a³b)

14. 2/5a² + 1/3ab – 2/9b² por 3a²x

15. 3a – 5b + 6c por (-3/10a²x³)

16. 3ª – 5b + 6c por (-3/10a²x³)

17. 6m – 5n por (–n + m)

18. -7y – 3 por (-11 + 2y)

19. a² + b² - 2ab por a – b

20. 3y³ + 5 – 6y por y² + 2

Con siguientes parámetros a =-1, b = 2, c = -1/2, hallar el valor numérico de:

1. a² - 2ab + b² =

2. 3a³ - 4a²b + 3ab² - b³ =

3. -8a² + 12ab -4b² =

4. 3a³ - 5ab² - 6a²b³ =

5. 7a -4b + 5c =

6. -7/8abc * 2/7a³ =

7. a³ + 3ab² - 3ax²b – b³ =

8. 6 + a² + 5a =

9. a² + 2a – 3 =

10. (a – b)² + (b – c)² - (a – c)³ =

40

VI. Productos notables

En múltiples situaciones aparecen ciertos productos que resultan en rutinas que una vez comprobadas se transforman en operaciones valederas que pueden traducirse y calcularse a través de fórmulas establecidas. Es conveniente recordar dichos productos y fórmulas para realizar los cálculos o simplificar expresiones, pues son de utilidad práctica y evitan operaciones engorrosas y largas. Estos productos se conocen como productos notables.

a. Cuadrado de una suma: (a + b) ² Fórmulas del cuadrado de una suma (a + b) ² = a² + 2ab + b² (a + b) ² = (a + b) (a + b) a + b a + b

a² + ab + ab + b² a² + 2ab + b²

Corrientemente esto se expresa de la siguiente manera: El cuadrado de la suma de dos terminos ( (a + b) ² ) es igual a: El cuadrado del primer termino (a²), mas el doble producto del primero por el segundo (+ 2ab), mas el cuadrado del segundo (+ b²) .

b. Cuadrado de una diferencia: (a-b)² Formulas del cuadrado de una diferencia:

(a – b)² = a² – 2ab + b² (a – b)² = (a – b) (a – b)

a – b a – b

a² – ab – ab + b² a² –2ab + b²

De igual manera, el cuadrado de la diferencia puede expresarse asi: El cuadrado de la resta de dos terminos ( (a – b) ² ) es igual a: El cuadrado del primer termino (a²), menos el doble producto del primero por el segundo (– 2ab), mas el cuadrado del segundo (+ b²)

c.Producto de una suma por una diferencia: (a+b) (a-b) Formula: (a+b) (a-b) = a² - b² a + b

a – b a² + ab – ab – b² a² – b²

El producto de la suma por la diferencia de dos terminos iguales (a+b) (a-b), es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos terminos a² - b².


41

d. Producto de dos binomios de la forma (a+b) (a+c) Formula: (a + b) (a+c) = a² + (b+c) a + bc a + b a + c a² + ab + ac + bc a² + (ab + ac) + bc Cuando el primer termino es igual y los segundos son diferentes, el producto se expresa asi: Cuadrado del primero (a²), mas el primero multiplicado por la suma de los segundos (a (b+c)) , mas el producto de los segundos terminos (+ bc).

e. Cubo de la suma de un binomio: (a + b)³ Fórmulas del cubo de una suma(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ , tambien puede presentarse de la siguiente forma (a + b)³ = (a² + 2ab + b²) (a + b), y de esta, (a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b) a + b a + b

a² + ab + ab + b² a² + 2ab + b²

a + b a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ a³ + 3a²b + 3ab² + b³

En palabras la suma del cubo de un binomio (a + b)³ , puede expresarse de la manera siguiente: el cubo del primer termino (a³), mas en triple producto del cuadrado del primero por el segundo (+ 3a²b), mas el triple producto del primero por el cuadrado del segundo (+ 3ab²) mas el cubo del segundo (+ b³)

f. Cubo de la diferencia de un binomio: (a – b)³ Fórmulas del cubo de una diferencia: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ (a – b)³ = (a² – 2ab + b²) (a – b) (a + b)³ = (a – b) (a –b) (a – b) a – b a – b

a² – ab – ab + b² a² – 2ab + b²

a – b a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³ a³ – 3a²b + 3ab² – b³

42

El cubo de la diferencia de un binomio (a – b)³ , puede expresarse de la manera siguiente: al cubo del primer termino (a³), menos en triple producto del cuadrado del primero por el segundo (– 3a²b), mas el triple producto del primero por el cuadrado del segundo (+ 3ab²), menos el cubo del segundo (– b³)


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Ejercicios de Productos Notables

A. Productos Notables

a.1 Cuadrado de la Suma

1. (x + 5)2

2. (7a + b)2

3. (4ab2 + 6xy3)2

4. (xa+1 + yb-2)2

5. (2x + 5b)2

6. (7a +3 b)2

7. (4b2 + 6y3)2

8. (ax + 5b)2

9. (6a + by)2

10. (4a2 + 6x3)2

a.2 Cuadrado de la Resta

1. ( a – b)2

2. (7a –3 b)2

3. (4b2 – 6y3)2

4. (ax – 5b)2

5. (6a – by)2

6. (4a2 – 6x3)2

7. (8 –a)2

8. (3x4–5y2)2

9. (xa+1 – 4xa-2)2

10. (z – 4)2

a.3 Producto de una suma por una diferencia: (a+b) (a-b)

1. (x + 5) (x – 5)

2. ( 3a +2b) ( 3a – 2b)

3. (6a + by) (6a– by)

4. (7a +3 b) (7a–3 b)

5. (2x + 5y) (2x – 5y)

6. ( 3ax +2b) ( 3ax – 2b)

7. (4a + 3by) (4a– 3by)

8. (7a +3b) (7a–3 b)

9. ( 3a +2 b) ( 3a – 2b)

10. (6 a2 + b y2) (6 a2– b y2))

a.4 Producto de dos binomios de la forma (a+b) (a+c)

1. (x + 5) (x + 4)

2. ( 3a +2) ( 3a + b)

3. (6a + b) (6a+ y)

4. (7a +3 ) (7a + b)

5. (2x + 4b) (2x + 5y)

6. ( 3ax +2b) ( 3ax + c)

7. (4a + 3by) (4a +2b)

8. (7a +3b) (7a+ 8x)

9. ( 3a +2 b) ( 3a + 6t)

10. (6 a2 + b ) (6 a2 +y2))

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a.5 Cubo de la suma de un binomio: (a + b)³

1. (x + 5)³

2. (3a + 2b)³

3. (4ab2 + 3xy3)³

4. (xa+1 + yb-2)³

5. (2x + 5b)³

6. (2a +3 b)³

7. (4b2 + 2y3)³

8. (ax + 5b)³

9. (3a + by)³

10. (4a2 + 3x3)³

a.6 Cubo de la diferencia de un binomio: (a – b)³

1. (x – 2)³

2. (3a – 2b)³

3. (2ab2 – 3xy3)³

4. (xa+1 – yb-2)³

5. (2x –4b)³

6. (2a –3 b)³

7. (4b2 – 2y3)³

8. (ax – 5b)³

9. (3a – by)³

10. (4a2 – 3x3)³


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VII. Factorización Factorizar significa descomponer en dos o más factores una expresión algebraica. En muchos casos esta es la operación inversa de los productos notables. También puede interpretarse como una división indicada entre el termino seleccionado.

a. Caso # 1 factor común Característica: Todos los términos poseen uno o varios factores en común. Pasos a seguir: Se escribe el factor común de los términos. Luego se abre un paréntesis y se escriben dentro de el, los coeficientes a dividir. Siempre se debe buscar el número que sea divisible dentro de los demás. Ej. 1: Descomponer en factores a² + 2a Como puede observarse, los términos a² y 2a tiene en común la variable a, este es el factor común. Entonces se escribe el factor común a, como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los coeficientes de dividir a²/a=a y 2a/a=2, y se obtiene: a (a+2).

Ej. 2: 10 a² - 5a + 15a³ = 5a (2a – 1 + 3a²)

En todo caso siempre es recomendable ordenar la expresión de mayor a menor exponente, así: 15a³ + 10 a² - 5a = 5a (3a² + 2a – 1)

b. Caso # 2 factor común por agrupación de términos Característica: Una expresión algebraica se factoriza por este método cuando no en todos los términos hay factores comunes por eso se recurre a la agrupación. Ej.: Factorizar por agrupación: a x + b x + ay + b y Como puede observarse, los primeros términos tienen en común la variable “x”, mientras que los últimos dos la variable “y”. En este caso se deben agrupar los primeros dos términos en un paréntesis y los últimos dos en otro, precedido de un signo +, porque el tercer término tiene el signo +, los grupos se factorizan separadamente respecto a su variable común, seguidamente se observa si existe un término común, se vuelve a factorizar por termino común. De eso se obtiene el resultado final, tenga en cuenta que este caso, significa una doble factorización:

Se agrupan (a x + b x) + (a y + b y) =

Factor común x(a + b) + y(a+ b) =

Otro factor común (a + b) (x + y).

La agrupación puede hacerse de más de una manera. Ejemplo de otra forma:

(a x + a y) + (b x + b y) = a (x + y) + b(x + y) = (x + y) (a + b)

46

Otro ejemplo: 3m² - 6mn + 4m – 8n = (3m² - 6mn) + (4m – 8n) = 3m (m-2n) + 4(m-2n) = 3m (m-2n) + 4(m-2n) = (m-2n)(3m+4)

c. Caso # 3 trinomio cuadrado perfecto Características: El primero y el tercer término tienen raíz cuadrada exacta. El segundo término es

el doble producto de sus raíces cuadradas.

Regla: Se debe extraer la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan esas

raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del

trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado.

Ej. 1. 4x² - 20xy + 25y² =

2 - 5

(2x-5y) (2x-5y) = (2x – 5y)²

Ej. 2. 1 - 16ax² + 64a²x4 = (1 - 8ax²)²

d. Caso # 4 diferencia de cuadrados Características: Es una resta de cuadrados, siempre son dos términos y ambos términos deben

que tener raíz cuadrada exacta.

Regla: Se debe extraer la raíz cuadrada del minuendo y del sustraendo, luego multiplicar la suma

de esas raíces por su diferencia.

Ej. 1j: Factorizar 1 – a²

La raíz cuadrada de 1 es 1, y la raíz cuadrada de a² es “a”, luego se multiplica la suma de

esas raíces por su diferencia. Así se obtiene: (1+a) (1-a)

Ej.2: 16x² - 25y2 = (4x + 5y) (4x – 5y)

La raíz cuadrada de 16x² es 4x, y la raíz cuadrada de 25y2 es 5y, por lo tanto la suma por la

diferencia de ambos términos nos da: (4x + 5y) (4x – 5y)

e. Caso # 5 trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Características: Es un trinomio. El segundo término no es exactamente el doble de los productos

de sus raíces.

Ej.: Factorizar x4 + x²y² + y4

Primero se debe observar si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x4 es x², y la

raíz cuadrada de y4 es y², sin embargo el doble del producto de estas raíces debiera ser 2x²y²,

luego, como evidentemente no lo es, entonces podemos afirmar que este trinomio no es cuadrado perfecto.


47

Para que sea perfecto, hay que lograr que el segundo término sea 2x²y², lo cual se puede

conseguir sumándole x²y², pero, para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad

que se suma. Así se obtiene:

x4 +x²y² + y4

x²y² - x²y² Aquí se suma y se resta x²y²

x4 + 2x²y² + y4 – x²y² =

(x4+2x²y²+y4) – x²y² =

(x²+y²)² - (xy)² = (factorizando el trinomio cuadrado perfecto)

(x²+y²+xy) (x²+y²-xy) (factorizando la diferencia de cuadrados)

f. Caso # 6 trinomio de la forma x² + bx + c

Características: El coeficiente del primer término es 1. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y segundo término y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. Ej.: Factorizar x² + 5x+6

(El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x², o sea x:)

(x ) (x ) En el primer binomio, después de x se pone signo + , porque el segundo término del trinomio tiene signo positivo, luego, en el segundo binomio, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +5x por el signo de +6 y se tiene que: + multiplicado por +, da como resultado +.

(x ) (x )

(x + 2) (x + 3) (Ahora, como en estos binomios se tiene signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea 5 y

cuyo producto sea 6. Estos números son 2 y 3, y el resultado es:)

(x + 3) (x +2) (Por regla en el primer paréntesis se coloca el número mayor)

g. Caso # 7 Trinomio de la forma ax² +bx + c Característica: Se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior porque el primer término tiene un coeficiente distinto de 1. Ej.: Factorizar 6x² – 7x –3 (Se multiplica el trinomio por el coeficiente de x² que es 6 y dejando indicado el producto de 5

por 7, se obtiene:) 36x²– 6(7) – 6(3)

pero 36x² = (6x)² y 6(7) = 7(6x) luego podemos escribir: (6x)² – 7(6x) – 18.

Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior, el primer término de cada factor será la raíz cuadrada de (6x)² o 36x², de manera que: (6x)²: (6x – ) (6x+ )

48

(6x– ) (6x + ) (se busca dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18, son 9 y 2. Se

obtiene:)

(6x – 9) (6x + 2) (ahora hay que dividir dentro de 6 para no alterar el trinomio, se descompone en 3 x 2)

(6x –9) (6x+2) = 3(2x –3) 2(3x+1) = (como se multiplico por 6 ahora se divide dentro de dos

6 3 x 2 factores de 6, que sean divisibles con 9 y 2)

= (2x–3) (3x+1)

h. Caso # 8 cubo perfecto de binomios En este caso se debe cumplir con ciertas condiciones: Tener cuatro términos. Que el primero y el

último término sean cubos perfectos. Que el segundo término sea más o menos el triple del

cuadrado de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último. Que el

tercer término sea el triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica

del último.

Si todos los términos son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas

de su primer y último término, y si los términos son alternadamente positivos y negativos la

expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces.

Ej.: Factorizar 1+ 12 a + 48 a² + 64 a³

(Aplicando el procedimiento anterior se ve que esta expresión es el cubo de 1+4 a; luego;)

1 + 12a + 48a² + 64a ³

= (1+4a)³ Cumple con las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión dada es el

cubo de (2x + 1), o de otro modo, (2x + 1) es la raíz cúbica de la expresión.

i. Caso # 9 suma o diferencia de cubos perfectos Características: Es un binomio. Puede ser positivo o negativo. Ambos términos tienen raíz cúbica

exacta. Al realizar una suma o diferencia de cubos perfectos, la respuesta queda de la siguiente

manera:

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab+b²)

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab+b²)

Como se factoriza

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: la suma de sus raíces cúbicas

(nos da dos términos, a y b), multiplicado por el cuadrado del primer término, menos el

producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo término.

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: la diferencia de sus raíces

cúbicas (nos da dos términos, a y b), multiplicado por el cuadrado del primer término, mas el

producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo término.


49

Ej.: Factorizar 8x³ – 125

La raíz cúbica de 8x³ es 2x

La raíz cúbica de 125 es 5

Según la regla anterior (2) se obtiene:

8x³ – 125 =

(2x – 5) (2x²) + 5(2x) + 5²

(2x – 5) (4x² + 10x + 25)

50

Ejercicios de Factorización

b.1 Caso #1. Factorizar los siguientes expresiones con factor común

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. 3a2x3y + 4a5x2y3 - 6a4x6 - 10ax4

9.

10. 3m6p4q2 - 9m5p2qx + 3m7p3qx + 3m4p2q - 6m5p4qx2y

b.2. Caso # 2. Factorizar las siguientes expresiones por agrupación

1. 2 a x + 2 b x – a y + 5 a – b y + 5 b

2. a m – a n + a x – b n + c n + b m – c m + b x – c x

3. ½ a2 x – 2 a x2 + a x – ½ a b + 2 b x – b

4. 15 a2 – 3 a m – 3/2 a – 5 a x + x m + ½ x

5. 15 m x + 6 m + x y – 2 x – 5 x2 – 3 m y

6. 7 x + y – x y – 7 – z2 + x z2

7. 10/3 a2 b2 – 8/3 a b2 y – 20 a x +16 x y – 5/3 a2 b3 +4/3 a b3 y +10 a b x – 8 b xy

8. a2y + ab2 - axy - b2x

9. 10am2xz - 15m2xz + 10ax - 15bx - 8am2yz + 12bm2yz - 8ay + 12by

10. 5amx/3 + 20amy - 2bmx/3 - 8bmy - 10anx/9 - 40any/3 + 4bnx/9 + 16bny

b.3. Caso # 3. Factorizar las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

b.4. Caso # 4. Factorizar las siguientes expresiones aplicando diferencia de cuadrados

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

b.5. Caso # 5. Factorizar las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado perfecto por

adición y sustracción


51

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

b.6. Caso # 6. Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

b.7. Caso # 7. Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma

b.8. Caso # 8. Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma del cubo perfecto de

binomios

1. x3 – 2x2 + 4x – 8

2. y3 – 3y2 + 9y – 27

3. x3 + 2x2 + 4x + 8

4. 8x3 + 12bx2 + 6b2x + b3

5. 27x3 – 54x2 + 36 bxy2 – y3

6. 8x3 – 12bx2 + 6b2x – b3

7. 27x3 + 54x2 + 36 bxy2 + y3

8. 27a6 – 54a4b+ 36 a2b2 – b3

9. 4a3 – 96a2b+ 48ab2 – 8b3

10. b3 + 48ab2 + 96a2b + 64a3

b.9. Caso # 9. Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma de suma o diferencia de

cubos perfectos

52

C. Ejercicios de Simplificacion:

1 ) ( a + b ) ² - 4 a b R: a - b

————————

a - b

2 ) ( a - b ) ² + 4 a b R: a + b

————————

a + b

3 ) 6 x y ² - 6 x z ² R: 2 ( y + z )

——————

3 x y - 3 x z

4 ) 5 a ² c + 10 a b c + 5 b ² c R: ( a + b )

——————————— ————

15 a c + 15 b c 3

5 ) 2 m ² - 2 n ² R: m - n

————— ———

4 m + 4 n 2

6 ) 2 p ² - 4 p q + 2 q ² R: p - q

————————— —————

8 p ² - 8 q ² 4 ( p + q )

7 ) u v - 3 u + 2 v - 6 R: u + 2

————————— ———

u v - 5 v - 3 u + 15 u - 5

8 ) w z - 4 z - 5 w + 20 R: z - 5

—————————— ———

w z - 24 + 6 w - 4 z z + 6

9 ) x w + x z - w y - y z R: x - y

—————————— ———

w x + w y + z x + y z x + y

10 ) - b d + a c + b c - a d R: a + b

—————————— ———

a c + b d - a d - b c a - b

11 ) k m + 7 m + k n + 7 n R: k + 7

—————————— ———

k n - 4 m - 4 n + k m k - 4


53

12 ) 2 p - q r - 2 q + p r R: r + 2

————————— ———

p r + 6 p - q r - 6 q r + 6

13 ) u w - 4 u + 3 v w - 12 v R: u + 3 v

——————————— ————

u w - 4 u - 5 v w + 20 v u - 5 v

14 ) 6 x z + 14 y + 7 x y + 12 z R: x + 2

———————————— ———

7 x y + 6 x z - 7 y - 6 z x - 1

15 ) 2 a c - a d + 10 b c - 5 b d R: 2 c - d

———————————— ————

2 a c + a d + 10 b c + 5 b d 2 c + d

16 ) 3 j m + 21 j n - 2 k m - 14 k n R: m + 7 n

————————————— ————

3 j m - 18 j n - 2 k m + 12 k n m - 6 n

17 ) 3 p ² - 6 p q + 3 q ² R: 3 ( p - q )

————————— —————

p r - p - q r + q r - 1

18 ) x z + w x - y z - w y R: w + z

————————— ————

4 x ² - 4 y ² 4 ( x + y )

54

VIII. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INGÓGNITA

Las ecuaciones de primer grado con una variable son expresiones algebraicas que después de

simplificadas tienen la forma a x + b = c , o sea una sola variable con exponente uno. Donde a, b

y c son las constantes y x es la variable.

En el álgebra se usan las últimas letras del alfabeto, como x, y, z, para representar incógnitas, o

variables y las primeras como: a, b, c; para representar números o constantes. Las constantes y

variables se combinan usando las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para

formar expresiones algebraicas como las siguientes:

A x + b, donde a y b son constantes y x es la variable.

x + 3

3/(1-x)

15x -8

Pasos para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita:

1. Se operan los signos de agrupación según su precedencia

2. Se transponen los términos, tratando de ubicar al lado izquierdo del signo igual todos

aquellos que contienen la incógnita y al lado derecho las constantes.

3. Se efectúa reducción de términos semejantes en cada miembro y se despeja la incógnita

para determinar su valor.

De una manera más elemental la operatividad se puede resumir de la siguiente manera:

Si un elemento está sumando de una lado, pasa al otro lado restando.

Si está restando pasa sumado.

Si un número multiplica a todos los elementos pasa al otro dividiendo.

Si los divide pasa multiplicando.

Existen dos tipos de ecuaciones de primer grado: en forma de ecuación, que es cuando la

expresión viene expresada como tal. La segunda es mediante interpretación; es decir, un

problema es dado que por medio de la lógica se debe de interpretar en una ecuación (utilizando

variables y constantes) para solucionar el problema.

A continuación se presentan un ejemplo de cada tipo de operación, detallando las pasos a seguir

para resolver los mismos.

Ejemplo de Ecuación:


55

Para resolverla se aplican los siguientes pasos:

Se eliminan denominadores, multiplicando ambos miembros por el mínimo común

múltiplo de todos los denominadores que aparezcan (en el ejemplo, sería 12).

Entonces, se obtiene:

9x + 48 = 48 (1 - x) + 16x

Se eliminan los paréntesis, con lo que queda:

9x + 48 = 48 - 48x + 16x

Se transponen términos, agrupando los que tengan la incógnita en un miembro y los que

no la tengan en el otro:

9x + 48x - 16x = 48 - 48

Se simplifican los dos miembros, efectuando las operaciones necesarias:

41x = 0

Se despeja la incógnita:

x = 0

Se comprueba la solución sustituyéndola por la incógnita en la ecuación inicial.

9(0) + 48 = 48 (1 – (0)) + 16(0)

48 = 48

Ejemplos de pasos para resolver ecuaciones

1.

3x + 5 = 4x – 8 3x- 4x = -8 -5

-x = - 13

x = 13

2.

4/ (x-2) = 4

4 = 4 (x-2)

4 = 4x – 8

12 = 4x

X= 3

3.

2x -5 = 3

2x = 8

X = 4

4.

(2x +5) + (3x – 4) = 54

( 2x+ 3x) + (5-4) = 54

5x – 1 = 54

5x = 55

X= 11

5.

24x – 6 = 12x + 18x –

8

24 x – 12x – 18 x= -2

-6x = -2

X = (2/6)

6.

2x – 33 = 5 (x + 33)

2x – 33 = 5x + 165

2x – 5x = 33 + 165

-3x = 198

X = - 66

7.

6(4x + 9) = 5(3 + 9x) +

87

24x + 54 = 15 + 45x + 87

24x - 45x = 15 + 87 - 54

-21 x = 48

x = - 2.29

8.

(5x + 6)/ 45= 12x – 3

5x + 6 = 90x – 135

141 = 85x

X = 1.66

56

Ejemplo de problemas escritos:

Ejemplo 1:

La suma de las edades de A y B es 84 años, y B es 8 años menos que A. Hallar ambas

edades.

Solución:

Sea x = edad de A.

Como B tiene 8 años menos que A;

X - 8= edad de B.

La suma de ambas edades es 84 años; luego tenemos la ecuación:

x + x - 8 = 84

Resolviendo esta ecuación, tenemos x=46, la cual representa la edad de A.

X = 46 = a

La edad de B será

x - 8 = 46 - 8 = 38 años.

Nota la verificación de los resultados es importante porque permite percatarse si se

satisfacen las condiciones iniciales del problema.

En este caso las condiciones iniciales sería que la suma de las edades de A y B son 84,

como efectivamente es, puesto que: 46+38=84.

Ejemplo 2:

Pagué $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5 más que el libro y

$20 menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada artículo?

Solución:

La variable x se utilizará para resolver el problema.

Sea x=precio del libro. Como el sombrero costó $5 más que el libro:

x + 5 = precio del sombrero

El sombrero costó $20 menos que el traje; luego, el traje costó $20 más que el sombrero;

x + 5 + 20 = x + 25 = precio del traje.

Como todo costó $87; la suma de los precios del libro, del sombrero y el traje tiene que

ser igual a $87: de aquí tenemos la ecuación,

x + x + 5 + x + 25 = 87


57

Usando el método para encontrar el valor de la variable, tenemos que

x = 19, $19precio del libro.

x + 5 = 19 + 5 = 24, $24 precio del sombrero y

x + 25 = 19 + 25 = 44, $44 precio del traje.

Se comprueba el resultado, substituyendo los valores según las condiciones iniciales;

58

IX. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

a. Definición

Una ecuación lineal con dos incógnitas (o variables) x e y es de la forma a x + b y = c, en

donde a, b y c son constantes y a, b distintas de 0. Dos ecuaciones de este tipo constituyen un

sistema de ecuaciones lineales, en este caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.1

b. Métodos de solución

1. Reducción: cuando sea necesario, se pueden multiplicar las ecuaciones dadas por

números, de manera que los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones

sea el mismo. Si los signos de los términos de igual coeficiente son los mismos, se

suman las ecuaciones; en caso contrario, se restan.2

Ejemplo:

1) 2X – Y = 4

2) X + 2Y = −3

Para eliminar Y, se multiplica la ecuación 1) por 2 y se suma con la ecuación 2), obteniendo

1) 4X – 2Y = 8

2) X + 2Y = −3

Suma: 5X = 5 o sea X = 1.

Sustituyendo X = 1 en la ecuación 1), se obtiene 2(1) – Y = 4, o sea Y = −2.

Por lo tanto, la solución del sistema es X = 1; Y = −2.

2. Sustitución: conste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su

valor por otra.

Ejemplo: 1) 2X – Y = 4

2) X + 2Y = −3

Despejando Y en ecuación 1) se obtiene: Y = 2X – 4. Luego se sustituye este

valor en ecuación 2) y resulta:

X + 2 (2X – 4) = −3

Y al resolverla se obtiene la solución X = 1 y sustituyendo X = 1 en 1) o en 2), se

obtiene Y = −2.

1 Spiegel, Murray R. Álgebra Superior. Editorial McGraw-Hill. México, 1970. pp. 100. 2 Ibid


59

EJERCICIOS

1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a. 2X – 3Y = 7

3X + Y = 5

b. 3X – Y = −6

2X + 3Y = 7

c. 4X + 2Y = 5

5X – 3Y = −2

d. 2X – 5Y = 10

4X + 3Y = 7

e. 2Y – X = 1

2X + Y = 8

f. 2X – 3Y = 9

4X – Y = 8

g. 2X + Y + 1 = 0

3X – 2Y + 5 = 0

h. 5/X – 3/Y = 1

2/X + 1/Y = 7

60

X. FUNCIONES LINEALES Y GRÁFICAS

1. DEFINICIÓN

f es una función lineal si f (X) = a x + b, en donde a y b son números reales y a ≠ 0.

Se utiliza término “lineal” porque la gráfica de f es una línea recta, como lo veremos

posteriormente.

Sean l una recta no paralela al eje Y, y P1 (X1 , Y1), P2 (X2 , Y2) dos puntos diferentes de l.

La pendiente m de l se define por

m = Y2 – Y1

X2 – X1

Si l es paralela al eje Y, su pendiente no está definida.

Para obtener la pendiente de una recta, no importa cual de los puntos consideremos como

P1 y a cual como P2, ya que

Y2 – Y1 = Y1 – Y2

X2 – X1 X1 – X2

Podemos suponer que los puntos están numerados de manera que X1 < X2.

Pendiente positiva

-4

-2

0

2

4

6

-4 -2 0 2 4 6

P2 (X2 , Y2)

Y2 – Y1

P3 (X2, Y1) P1 (X1 , Y1)

X2 – X1


61

Pendiente negativa

-4

-2

0

2

4

6

-4 -2 0 2 4 6

Una recta horizontal es una paralela al eje X. Nótese que una recta es horizontal si y solo si su

pendiente es 0. Una recta vertical es una paralela al eje Y. La pendiente de una recta vertical no

está definida.3

Ejemplos:

1) Trazar las rectas que pasan por los pares de puntos siguientes y encontrar sus

pendientes.

a. A(−1, 4) y B(3, 2)

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4 -2 0 2 4 6

m = 2 – 4 = −2 = −1

3 – (−1) 4 2

b. A(2, 5) y B(−2, −1)

3 Swokowski. Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. México.

1988. pp. 139-141.

P2 (X2 , Y2)

P1 (X1 , Y1)

B(3, 2) A(-1, 4)

62

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4 -2 0 2 4 6

m = 5 – (−1) = 6 = 3

2 – (−2) 4 2

c. A(4, 3) y B(−2, 3)

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

m = 3 – 3 = 0 = 0

−2 – 4 −6

d. A(4, −1) y B(4, 4)

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3 4 5

A(2, 5)

B(-2, -1)

B(-2, 3) A(4, 3)

B(4, 4)

A(4, -1)


63

m = 4 – (-1) = 5 = INDEFINIDA

4 – 4 0

La pendiente no está definida puesto que la recta es vertical. Esto se advierte también observando

que si se utiliza la fórmula de m, el denominador es 0.

Determinaremos ahora la ecuación de la recta l con pendiente m que pasa por el punto P1 (X1 ,

Y1) (existe una sola recta que verifique estas dos condiciones). Si P(X, Y) es cualquier punto con

X ≠ X1 (ver figura) entonces P está sobre l si y solo si m es la pendiente de la recta que pasa por

P1 y P, es decir, si y solo si

Y – Y1 = m

X – X1

Podemos escribir está ecuación en la forma

Y – Y1 = m (X – X1)

Nótese que (X1, Y1) es también una solución de la ecuación anterior y por lo tanto, los puntos de l

son precisamente aquellos que corresponden a las soluciones. Esta es la ecuación de la recta

llamada de forma de punto y pendiente.

La ecuación de una recta con pendiente m que pasa por el punto P (X1 , Y1) es:

Y – Y1 = m (X – X1)

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3 4

La ecuación de la recta Y = mX – mX1 + Y1 que también puede escribirse Y – Y1 = m (X – X1), es

de la forma

Y = mX + b

En donde b = −mX1 + Y1. El número real b es la intercepción Y (u ordenada al origen)

P(X, Y)

P1 (X1 , Y1)

64

de la recta, lo cual se puede ver haciendo X = 0. La ecuación Y = mX + b es la ecuación de la

recta l donde se especifica su ordenada al origen y su pendiente. Inversamente, una ecuación de la

forma Y = mX + b, puede escribirse nuevamente como Y – b = m(X – 0)

Comparando ésta forma de la ecuación de la recta con la forma anterior, vemos que la gráfica es

una recta con pendiente m que pasa por el punto (0, b). Esto conduce al siguiente resultado, la

gráfica de la ecuación Y = mX + b es una recta con pendiente m intercepción Y igual a b.4

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 7) y B(−3, 2).

Solución:

La pendiente m de la recta es m = 7 – 2 = 5

1– (−3) 4

Podemos sustituir las coordenadas del punto A o el B en la ecuación de punto y pendiente.

Utilizando A(1, 7),

Y – 7 = 5/4(X – 1),

Que es equivalente a

4Y – 28 = 5X – 5, o bien 5X – 4Y + 23 = 0

Hemos visto que toda recta es la gráfica de un ecuación de la forma

aX + bY + c = 0

En donde a, b y c son números reales, siempre que a y b no sean 0 simultáneamente. Una

ecuación de esta forma se llama ecuación lineal en X y Y. Recíprocamente, demostraremos que la

gráfica de aX + bY + c = 0, en donde a y b no son ambos 0, es siempre una recta. Por una parte,

si b ≠ 0, podemos despejar y para obtener,

Y = a X + c

b b

Que es la ecuación de una recta con pendiente –a/b y ordenada al origen –c/b. Por otra parte, si b

= 0 pero a ≠ 0, obtenemos X = −c/a, que es la ecuación de una recta vertical cuya intercepción X

es –c/a. Esto conduce al siguiente teorema: la gráfica de la ecuación lineal aX + bY + c = 0 es

una recta y, recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.

4 Ibid pp.145


65

Ejemplo:

1) Trazar la gráfica de la ecuación 2X – 5Y = 8

Solución:

De acuerdo con el teorema anterior, la gráfica es una recta y por consiguiente, basta determinar

dos de sus puntos. Determinaremos las intersecciones con los ejes. Haciendo Y = 0 en la

ecuación dada, obtenemos que la intercepción X es 4; reemplazando X por 0, obtenemos

Y = −5/8, que es la intercepción en Y.

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Otro método para resolver este ejemplo consiste en expresar la ecuación dada en la forma Y = mX

+ b. Para eso despejamos primero el término que contiene a Y:

5Y = 2X – 8

Después se dividen ambos lados de esta ecuación entre 5

Y = 2 X − 8

5 5

Que es de la forma Y = mX + b. Por consiguiente, la pendiente es m = 2/5 y la ordenada al

origen, b = −8/5. Ahora es posible trazar la recta que pasa por el punto (0, −8/5) y cuya pendiente

es 2/5.

2X – 5Y = 8

(0, -8/5)

(4, 0)

66

EJERCICIOS

1) Si los vértices consecutivos de un paralelogramo son A(−1, −3), B(4,2), C(−7, 5),

encuentre el cuarto vértice.

2) En los siguientes ejercicios obtenga las ecuaciones de la recta que satisfaga las

condiciones dadas.

a. Pasa por A(2, −6), pendiente ½

b. Pasa por A(−5, −7), B(3, −4)

c. Pasa por A(8, −2), intercepción Y igual 8.

d. Pasa por A(10, −6), paralela (a) al eje Y, (b) al eje X

e. Pasa por A(7, −3), perpendicular a la recta cuya ecuación es 2X – 5Y = 8.

3) En los siguientes ejercicios encuentre la pendiente y la intercepción Y (u

ordenada al origen) de la recta dada u trace su gráfica.

a. 3X −4Y + 8 = 0

b. X + 2Y = 0

c. Y = 4

d. 5X + 4Y = 20

e. X = 3Y + 7


67

XI. ECUACIONES CUADRÁTICAS

Definición:

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella expresión algebraica que puede reducirse a la forma ax2 + bx + c = 0, donde “a” siempre será diferente de cero Observando los coeficientes “b” y “c”, se pueden clasificar en: incompletas si los coeficientes “b” o “c” se anulan, o completas si ninguno de los coeficientes se anula.

Fórmula cuadrática:

Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática. La solución de una ecuación cuadrática de la forma: ax2 + bx + c = 0 con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos convierten la ecuación en una identidad. La expresión b2 – 4ac se le conoce como el discriminante y determina el número y el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática. Al hacer un análisis del discriminante se tiene las siguientes opciones: Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución. Si el discriminante es 0 hay una solución. Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.

Además de poderse solucionar aplicando esta fórmula, existen otras formas de encontrar una solución a las ecuaciones cuadráticas, la más común de estas es el método de factorización, específicamente aplicando los casos 6 y 7 de factorización. Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Sin embargo, hay que tener en cuenta que no siempre es posible resolver todas las ecuaciones cuadráticas utilizando métodos de factorización, porque este método está limitado a coeficientes enteros.

Ejemplo utilizando la formula Cuadrática, resolver: 2x² + 5x – 3 = 0

68

Para este caso:

a = 2

b = 5

c = -3

Estos valores se sustituyen en la fórmula:

____________ _________ _________

X = - 5 + - √ 5² - 4(2 (-3)) = - 5 + - √ 25 +24 = - 5 + - √ 49 .

2 ( 2) 4 4

X = - 5 + 7 X(1) = -5+ 7 = 2/4 = 1/2

4 4

X(2) = -5 - 7 = -12/4 = - 3

4


69

Problemas Ecuaciones Cuadráticas

1. x2 + 10 x + 25 = 0 2. 12x2 + 17x - 5 = 0

3. n ² - 2 n - 8 = 0 4. 5x2 - 11x + 2 = 0

5. x2 - 2x - 15 = 0 6. 12 - 4x - x2 = 0

7. n ² + n - 2 = 0 8. x2 - 4x + 3 = 0

9. 36 - 25a2 = 0 10. p ² - 4 p - 45 = 0

11. 16y2 + 24y + 9 = 0 12. 36a2 - 12a + 1 = 0

13. 10s2 + 11s – 6= 0 14. x2 - 8x + 16 = 0

15. 3x2 + 10x + 3= 0 16. 2x2 –7x + 3 = 0

70

XII. FUNCIONES Y GRÁFICAS

Si a cada valor que una variable X pueda tomar le corresponde uno o más valores de otra variable

Y. decimos que Y es función de X y escribimos Y= F(X) (Léase “Y igual a F de X”) para

indicar esta dependencia funcional. Se puede utilizar también letras en lugar de f para indicar

una función.

La variable X, se llama variable independiente, Y es la variable dependiente.

Si a cada valor de X corresponde un solo valor de Y, decimos que Y es función simple de X, si le

corresponde más de uno, se llama función múltiple de X

La dependencia funcional o correspondencia entre variables está indicada por medio de una

ecuación que relaciona las variables, ejemplo: Y = 2X – 3, de donde, asignándole diferentes

valores a X, obtendremos el valor de Y.

Si Y = F(X), para x=3, se acostumbre poner F(3), denotando con ello que el valor de Y, cuando

X=3.

El concepto de función puede extenderse a dos o más variables.

Ejemplos:

Construir una tabla que muestre los valores de Y correspondiente a: X=-2, -1, 0, 1, 2. Par Y=

2X-3

X -2 -1 0 1 2 3 4

Y -7 -5 -3 -1 1 3 5

Con los valores X y Y, utilizando un plano coordenado graficamos.

Ejercicios 1. Utilizando la función Y= 2x-3, encontrar los valores de Y:

Cuando X= 3, -2, 1.5

2. Graficar la siguiente función Y= X2 -2X -8

3. Graficar la siguiente función Y= X3 -4 X2 -12X – 6

4. Graficar la siguiente función Y= X3 - 5 X2 -X

5. Graficar la siguientes función Y= 2x


71

XIII. TEOREMA DE PITÁGORAS

a. Demostración El enunciado de los antiguos griegos al teorema de Pitágoras es el siguiente: El área del cuadrado construidos sobre la hipotenusa, de un triangulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.¨(6)

c+ b

c b

b c

Si los lados del cuadrado blanco que esta en el centro miden

a unidades, se forman cuatro triángulos rectángulos

congruentes

c b

b c

El área del cuadrado chico mas el área de los triángulos es igual al área del cuadrado grande, es decir:

a² + 2bc = c² + 2cb + b²

a² = c² + b² Esto es el enunciado moderno del Teorema de Pitágoras, que indica que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, también puede expresarse que la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de los catetos. El primer enunciado, es la manera básica del teorema, a partir de esta forma se pueden resolver todas las posibles variantes que se puedan presentar.

- Hipotenusa: es el lado mas largo del triangulo. - Catetos: son los otros dos lados más cortos. - Nota: el triangulo siempre debe tener un ángulo recto.

b. Aplicación

Ej.: Encontrar la longitud del cateto b.

72

c=8m

b ?

a=3m

Datos: a = 3, c = 8 b = ? c² = a² + b² b² = c² - a² b² = 8² - 3² = 64 – 9 = 55 b = √55 = 7.42m

Encontrar la longitud de la hipotenusa

?

3m

Datos 4m

a = 4

b = 3

c = ?

c² = a² + b²

c²= 4² + 3² = 16 + 9

c² = √ 25 =

c = 5m.


73

Ejercicios del Teorema de Pitágoras

Encontrar lo que se pide:

1).- a = ? si b = 5 c = 8

2).- b = ? si a =3 c = 10

3).- c = ? si a = 10 b = 15

4).- a = ? si b = 7 c = 9

5).- b = ? si a = 6 c = 10

6).- c = ? si a = 13 b = 10

7).- a = ? si b =2 c = 10

8).- b = ? si a = 5 c = 15

9).- c = ? si a = 7 b = 8

10).- a = ? si b = 15 c = 20

74

XIV. PORCENTAJES

1. DEFINICIÓN

Es el valor calculado por cada 100 unidades contenidas en una cantidad dada; es, pues, un cierto

número de centésimas de una cantidad. En el lenguaje corriente las expresiones porcentaje y tanto

por ciento suelen confundirse, pero en realidad son conceptos diferentes; mientras el tanto por

ciento (%) es el número de unidades que se toma por cada ciento, el porcentaje expresa el total de

unidades que se debe tomar de una cantidad considerada como base.

EJERCICIOS

1) Convertir los siguientes porcentajes a decimales:

a. 35 %

b. 2.37 %

c. 12 ½ %

d. 71/100 %

e. ¼ %

2) Convertir los siguientes porcentajes a fracciones (a su forma más simple).

a. 32 %

b. 0.95 %

c. 1 2/3 %

d. 0.003 %

e. ½ %

3) Tomando en cuenta que el IVA está incluido en el precio, si usted compró un artículo por

Q.100.00, ¿cuánto pago de IVA?

4) Un amigo le ofrece un iPOD en Q.1000. Usted pide una rebaja, y él le hace el 13% de

descuento. ¿En cuánto le sale el iPOD?

5) Los aranceles para importar un automóvil son del 20% del valor de vehículo. El IVA se

paga sobre el valor del vehículo más los aranceles de importación. Las placas de

circulación se calculan en un 4.5% del valor total del vehículo. ¿Cuánto deberá pagar por

las placas del vehículo, que usted compro en Q.100,000.00, sin impuestos?


75

6) Si el impuesto sobre ventas es 12%, ¿cuánto impuesto habría que pagar al comprar

artículos que cuestan $378?

7) En Florida USA, el TAX sobre ventas es 5 ½%, ¿cuánto hay que pagar finalmente al

comprar artículos que cuestan $754, ya que el TAX no está incluido en el precio?

8) Si usted es empleado, el 4.9% de su sueldo se destina al seguro social. Si usted gana

$38,000 al año, ¿cuánto pagará cada año de seguro social? Restado el aporte al IGSS,

debe pagar el 5% como impuesto sobre la renta. ¿Cuál es el valor del impuesto sobre la

renta? y finalmente, ¿Cual es su renta neta?

9) Una moneda de cinco centavos contiene 25% de níquel y 75% de cobre. Si pesa 77.16

gramos, ¿cuántos gramos de níquel contiene?

10) Si el impuesto sobre ventas es 3%, ¿cuánto impuesto hay que pagar al comprar mercancía

por $55?

11) Si el impuesto sobre ventas es 4.5%, ¿cuánto impuesto hay que pagar al comprar

mercancía sobre $.654?

12) Si usted es empresario, 11.1% de su planilla de trabajadores van al seguro social. Sí la

planilla es de $766,200 al año, ¿cuánto le tiene que pagar al seguro social anualmente?

13) La moneda de cincuenta centavos de dólar contiene 40% de plata y 60% de cobre. Si pesa

177.72 gramos, ¿cuánta plata contiene?

76

XV. INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS

A. INTERESES

Según Ludwing Von Mises la preferencia temporal es una categoría inherente a toda acción

humana. En el interés originario, es decir, en el descuento de bienes futuros por bienes presentes

queda reflejada esa preferencia temporal. Es la razón entre el valor otorgado a los bienes

presentes y el reconocido a los futuros.5

Más comúnmente, el interés se describe como la cantidad que se paga por emplear un capital

ajeno en el presente y devolverlo en un futuro preestablecido. Se da el nombre de capital al

dinero que se presta o se invierte. Los intereses suelen pagarse en proporción al capital y al

período durante el cual se usa el dinero. La tasa de interés específica a que porcentaje se acumula

el interés. Y suele expresarse como un porcentaje del capital por período. Existen básicamente

dos formas de interés: Simple y compuesto.

B. INTERES SIMPLE

Es el interés que se paga exclusivamente sobre la cantidad del capital. Casi siempre se asocia a

préstamos o inversiones corta duración, La fórmula es la siguiente:

Interés simple = capital * tasa de interés por período * número de períodos. O bien,

I = P i n Donde:

I = interés simple

P = capital o principal

i = tasa de interés por período expresado en decimal

n = número de períodos de préstamo

Es indispensable que los dimensionales de i y n sean compatibles entre sí. En otras palabras, si i

se expresa como porcentaje anual, n habrá de expresarse en número de años.6

Ejemplo 1:

Una organización crediticia ha concedido un préstamo de $5,000.00 por un periodo de 3 años. Se

cobra una tasa de interés simple de 10% por año. El capital y el interés habrán de liquidarse al

5 VON MISES, LUDWING. La acción Humana. Editorial Union. Colombia 2001. 6 Budnick. Frank S. Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. Editorial McGraw-

Hill. México, 1990. pp. 904-905.


77

final del tercer año. Calcule el interés durante el período de 3 años. ¿Qué cantidad se pagará al

final del tercer año?

Solución:

Al aplicar las definiciones de las variables dadas en la ecuación anterior se obtiene:

P = $5000; i = 0.10 por año; n = 3 años. Por tanto,

I = (5000) (0.10) (3)

= 1500

La cantidad que deberá liquidarse es el capital más los intereses acumulados, esto es,

A = P + I

A = $5000 + $1500 = $6500

Ejemplo 2:

Un individuo obtiene un préstamo de $10,000.00 de una corporación al comprar un bono

emitido por ella. El interés simple se calcula trimestralmente a una tasa de 3% por trimestre,

enviándose por correo un cheque trimestral por concepto de intereses a todos los tenedores de

bonos. Estos últimos vencen al cabo de 5 años, y el último cheque incluye el capital inicial junto

con los intereses acumulados en el último trimestre. Calcule el interés ganado cada trimestre y el

interés total que se ganará durante la vida de 5 años de los bonos.

Solución:

En este problema, P = $10,000; i = 0.03 por trimestre; y el período del préstamo es 5 años. Puesto

que el período correspondiente a i es un trimestre, hay que considerar 5 años como 20 trimestres.

Y como queremos determinar la magnitud del interés ganado en un trimestre, haremos n = 1. Por

tanto, el interés trimestral será:

I = (10,000) (0.03) (1) = 300

Para calcular el interés total en un período de 5 años, se multiplica el interés trimestral de $300

por un número de trimestres, si un año tiene 4 trimestres, en cinco años, son 20 trimestres o

periodos, por lo tanto se obtiene

Total interés = $300 * 20 = $6000

Otras forma de calcular, es aplicando la fórmula del interés al número de periodos:

I = (10,000) (0.03) (20) = 6000

C. INTERES COMPUESTO

Es un procedimiento común en el cual se reinvierte el interés y se calcula el interés ganado junto

78

al capital inicial, a esto se le llama capitalización de los intereses. En el interés compuesto, El

interés generado en un período se suma al capital, con el propósito de calcular el nuevo interés

para el siguiente período. La cantidad de los intereses obtenida con este procedimiento recibe el

nombre de interés compuesto7. La fórmula es la siguiente:

A = P 1 + r n t

n

Donde

A = interés compuesto

P = capital o Principal

r = interés expresado como decimal

t = tiempo

n = número de capitalizaciones

Ejemplo 1

Si $1000 se invierten al 12% anual y se capitalizan intereses mensualmente, ¿cuál es el monto

acumulado después de: ¿dos meses?, ¿un año?

Al aplicar las definiciones de las variables dadas en la ecuación anterior se obtiene:

P = 1000; r = 012; t = 1 año; n = 1, 2, 12 meses

2 meses: A = 1000 1 + 0.12 1/6 * 12

12

= 1000 (1.02)

= $1,020

1 año: A = 1000 1 + 0.12 1 * 12

12

= 1000 (1.126)

= $1,126.82

7 Ibíd. pp. 905


79

EJERCICIOS

1) Determinar el interés simple y el monto que produce la inversión de un capital de $750

durante dos meses al 7%.

2) Un empleado solicitó un préstamo de $150 a liquidar en dos meses y pagó $9 por

concepto de interés. ¿Cuál fue la tasa de interés anual?

3) Si una persona presta $3000 al 3%, ¿cuánto tiempo necesitará para obtener $75 de

interés?

4) ¿Cuánto tiempo necesitarán $625 para ganar $25 de interés al 4.8%?

5) ¿Cuál será el monto que se acumulará dentro de un mes, si se presta $3.6 millones al 2 7/8%?

6) Una persona obtuvo un préstamo de $95. Seis meses después liquidó tanto el capital como

el interés con un pago de $100. ¿Qué tasa de interés pagó?

7) Una camarera, en una época de apuros económicos, empeño su reloj y anillo de diamantes

por $55. Al final del mes los rescató pagando $59.40. ¿Cuál fue la tasa anual de interés?

8) Si $1000.00 se invierten a una tasa de interés real de .0075 mensual y se capitalizan

intereses mensualmente ¿Cuál es el monto acumulado después de: ¿5 años?, ¿10 años?,

¿15 años?

9) Un fondo de ahorros paga de interés 10% y el interés se capitaliza semestralmente

¿Cuánto dinero habrá que invertir inicialmente para tener $5000.00 después de un año?

10) Se ha invertido $1000 a una tasa de interés de 9%. Calcular el monto del capital después

de un año, si el interés se capitaliza: mensualmente, semanalmente, diariamente, cada

hora, cada minuto.

Para este problema. Tome el exponente “nt”, con un valor redondo de “n” y el valor “n”

de la formula, con el mismo valor “n” del exponente.

11) Se invierten $15,000 al 3.5% anual y se capitalizan intereses semestralmente. ¿Cuál es el

monto acumulado después de: ¿1 año?, ¿3 años?, ¿5 años?, ¿20 años?

12) Un fondo de ahorros paga de interés 8.8% y el interés se capitaliza trimestralmente.

¿Cuánto dinero abra que invertir inicialmente para tener $10,000 después de un año?

D. Anualidades

La expresión anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos

iguales. La expresión anualidades puede cambiarse por el de rentas, series uniformes, pagos

periódicos, amortizaciones u otros según el caso.

La anualidad puede definirse como una sucesión de pagos periódicos iguales. Si los pagos son

diferentes o algunos de ellos es diferente de los demás, la anualidad toma, según el caso, los

80

nombre de anualidades variables o anualidades impropias.

Anualidades perpetuas o perpetuidades. Estas son una variación de las anualidades ciertas, en la

que la duración del pago es, en teoría, ilimitada.

Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan las anualidades

ordinarias o vencidas y anualidades anticipadas. La anualidad es ordinaria o vencida si el pago se

hace al final del periodo de pago. Es anticipada, si el pago se efectúa al principio del periodo de

pago.

Símbolos utilizados en las anualidades

A = pago periódico de una anualidad

i = tasa efectiva por periodo de capitalización

j = tasa nominal anual

m = número de capitalización en el año

j(m) = tasa nominales con m periodos de capitalización en el año

n = número de periodos de pago

F = monto de una anualidad o su valor futuro

P = valor actual o presente de una anualidad

Cálculo del valor futuro

Los pagos A efectuados al final de cada periodo ganan interés compuesto, hasta la fecha final.

Cada pago efectuado al final del periodo capitaliza los intereses en cada uno de los siguientes

periodos.

El valor futuro F de la anualidad es igual a la suma de los valores futuros producidos por las

distintas rentas de A, o sea:

F = A + A(1 + i) + A(1 + i)2 + ………. + A(1 + i)nn-2 + A(1 + i)n-1

F = A (1 + i) n - 1

i

Cálculo del valor presente

El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos

que, en el tiempo de la anualidad, proporcionara un valor futuro equivalente al de la anualidad.

P = A 1- (1- i) -n


81

i

Ejemplo 1.

Una persona que viaja fuera de su país deja una propiedad en alquiler por 5 años, con la

condición de que paguen $.9,000 por trimestre vencido. Esta cantidad se consignara en una

cuenta de ahorros que paga 8 % nominal anual. Hallar el valor futuro de los 5 años y el valor

presente del contrato de alquiler.

Datos:

A = 9000

j = 0.08

m = 4

i = 0.08/4= 0.02

n = 4(5) = 20

F = A (1 + i) n - 1

I

P = A 1- (1- i) -n

i

Operaciones

Valor futuro

F = 9000 (1 + 0.02) 20 - 1, Se resuelve utilizando calculadora, se tiene,

0.02

F = 218,676.33

Valor presente

P = 9000 1- (1- 0.02) –20 Se resuelve utilizando calculadora, se tiene,

0.02

P = 147,162.90

Ejemplo 2.

Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de Q.5,000, pagadera semestralmente

durante 7 años 6 meses al 8.6 %, capitalizable semestralmente.

Datos:

A = 5000

82

j = 0.086

m = 2

i = 0.086/2= 0.043

n = 7.5 (2) = 15

F = A (1 + i) n - 1

I

P = A 1- (1- i) -n

i

Operaciones

Valor futuro

F = 5000 (1 + 0.043) 15 - 1, Se resuelve utilizando calculadora, se tiene,

0.043

F = Q.102,379.35

Valor presente

P = 5000 1- (1- 0.043) –15 Se resuelve utilizando calculadora, se tiene,

0.043

P = 54,443.71


83

PROBLEMAS:

1. Calcular el valor futuro y el presente de las siguientes anualidades ordinarias.

a) Q.2,000 semestrales durante 8 ½ años al 8 % capitalizable semestralmente

b) Q.4,000 anuales durante 6 años al 7.3 %, capitalizable anualmente

c) Q.2,000 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8 % con capitalización mensual-

2. Una persona deposita Q2,000 al final de cada año, durante 15 años, en una cuenta de

ahorro que paga el 8 % de intereses. Hallar el valor futuro incluyendo el último pago.

3. Una persona desea comprar una renta de Q.20,000 pagadera semestralmente, durante los

próximos 10 años. Hallar el costo de la anualidad a la tasa del 6 %..

4. Una compañía vende neveras, con una cuota inicial de Q100,000 y 16 cuotas mensuales

de Q50,000. Si se para el 15 % con capitalización mensual, halla el valor de contado.

5. Una persona debe pagar una anualidad de Q.6,000 trimestrales durante 10 años. Si no

efectúa los primeros 4 pagos ¿Cuánto deberá para al vencer la quinta cuota, para poner al

día su deuda, si la tasa de la operación es del 10 %, con capitalización trimestral.

6. Una persona debe pagar durante 10 años una anualidad de Q.5000 semestrales pactados al

8 % nominal. Al efectuar el noveno pago, desea liquidar el saldo con un pago único

¿Cuánto debe pagar en la fecha del noveno pago para liquidar la deuda?

7. Al cumplir 10 años su hijo, el padre decide consignar semestralmente Q.2,000 en una

cuenta de ahorros, que paga el 9 % nominal. Si se hace estas consignaciones durante 5

años consecutivos, calcular la cantidad que tendrá en su cuenta el hijo, al cumplir 21

años.

8. Una persona deposita Q5,000 cada final de año en una cuenta de ahorro que abona el 8 %

de intereses. Hallar la suma que tendrá en su cuenta al cabo de 10 años, al efectuar el

último deposito.

9. Calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: Q.6,000 de contado y

12 pagos trimestrales de Q.2,000 con 12 % de interés, capitalizable trimestralmente.

10. Una mina en explotación tiene una producción anual de Q.8000,000 y se estima que se

agotara en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero

es de 8 %.

11. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad:

a) Q.400,000 de contado

84

b) Q. 190,000 de contado y Q50,000 semestrales durante 2 ½ años.

c) Q. 210,000 de contado y Q.20,000 trimestralmente durante 3 años

RESPUESTAS

Ejercicios de Sumas, Resta, Multiplicación y División Página 10

Problemas de Suma y Resta.

1. -17 5. -- 9. -- 13. -251

2. -11 6. 277 10. -436 14. -968

3. -18 7. 11 11. 283 15. --

4. 81 8. 19 12. -- 16. -29

Problemas de Multiplicación y División

1. -48 6. 162 11. 1 16. 39.33

2. 72 7. 2,464 12. -408 17. -318,816

3. 64 8. -2 13. -3.36 18. 4,749,696

4. -1,632 9. 26.66 14. -142.41 19. 10

5. 3,312 10. – 2.57 15. -- 20. 207.79

Ejercicios de Números Racionales Página 16-17

Simplificar las siguientes Fracciones

1. 1/2 8. 3 15. 4

2. 1/3 9. 7/4 16. 4

3. 4/9 10. 7/6 17. 3/2

4. 1/4 11. 2 18. 69/13

5. 1/2 12. 1/4 19. 8

6. 1/4 13. 6 20. 49/79

7. 1 14. 9 21. 7/5

Suma y Resta de Fracciones

1. 2 5. 13/14 9. 14 13. -7/6

2. 7/3 6. 53/8 10. 16/3 14. 1/2

3. 7/6 7. 118/77 11. 5/7 15. 34/55

4. 31/30 8. 17/6 12. 1/22 16. 29/20

Ejercicios Mixtos


85

Problemas de Regla de Tres directa e inversa Página 20

Regla de Tres Directa

1. Q 23,970

2. 5 Euros equivalen a Q 58.15

Q 1,000 son 8.59 Euros

3. 630 Km

4. 360 Km

5. 387 Hombres

6. 1.05 x 1013 está destinado al presupuesto de Relaciones Internacionales.

7. 525,000 se venden

8. 239.73 Xincas en Guatemala

9. 31,867.81 de la tierra puede ser cultivada

10. Q 4.056

Regla de Tres Inversa

1. 3.27 Km/h

2. 1.5 Km/h

3. 20 minutos

4. 2.33 días

5. 136,000 Km2

Ejercicios de Exponentes y Radicales Página 26-30

Desarrolle los Cuadrados

1. 289

2. 90,000

3. 196

4. 7,056

5. 1,225

Encontrar la Raíz Cuadrada

1. 5

2. 14

3. 10

4. 15

86

5. No tiene

Expresar en Notación Científica

1. 2.80 x 10 4 11. 3.42 x 10 -3

2. 4.05 x 10 5 12. 9 x 10 6

3. 4.23 x 10 -7 13. 9.20 x 10 -4

4. 4.01 x 10 -4 14. 3.65 x 10 2

5. 3.03 x 10 6 15. 8.76 x 10 -6

6. 6.87 x 10 -12 16. 9.30 x 10 8

7. 4.03 x 10 4 17. 8.70 x 10 -5

8. 1.90 x 10 -4 18. 5.80 x 10 5

9. 5.50 x 10 13 19. 2.88 x 10 10

10. 7.46 x 10 6 20. 8.36 x 10 -6

Expresar en Notación Normal

1. 0.000000000000000414 11. 3,540,000,000,000

2. 26.7800000 12. 12,610,000

3. 0.000000000000000495 13. 0.000000000000095

4. 2,270,000,000 14. 28,000,000,000,000,000,000

5. 0.00000000000786 15. 0.0786

6. 256.7 16. 26,700,000,000,000

7. 0.0283 17. 0.000000000009183

8. 8,250,000,000 18. 725,000,000,000,000

9. 378,000 19. 37.8

10. 50,100,000,000 20. 999,000,000,000

Encontrar el Resultado de:

1. 7.84 x 10 4 7. 4.82 x 10 3

2. 1.75 x 10 5 8. -1.47 x 10 -1

3. 4 x 10 4 9. 1.238763 x 10 6

4. 4 x 10 -5 10. 1.23684 x 10 5

5. 1.06 x 10 5 11. 4.22 x 10

6. 9.10 x 10 -3 12. 2.11 x 10 -13

Exponentes

1. B 9. A

2. B 10. B

3. A 11. C

4. B 12. C

5. C 13. D


87

6. D 14. A

7. D 15. B

8. B 16. D

Resuelva

1. b7

2. x2

3. 4

4. Y5

5. XY

6. (1 + i) 2

7. 16a 12

8. X6 / Y4

9. 8xy

10. X20y

Radicales

1. 3

2. 12

3. 2

4. 3

5. 5a

6. 7ab2c2 3

7. 10x2y2 3y

8. 27xy2

9. xy3

10. 3a2 b3

11. a2m3

12. 3n3

13. 2a2b3c4

14. 4y2

15. 20ab2

16. 2

17. 2n2

18. 8xy3

19. 10ax2y3z4

20. 6

21. 2abc3

22. 3x2y3z4

88

23. 3n2

24.

25.

26.

27.

28. 10b3

29.

30.

Ejercicios de Expresiones Algebraicas Página 35-38

Suma de Monomios

1. -150xy

2. 3mn

3. -6ab

4. -12mn

5. 118xy

6. 18pq

7. -13z

8. -1/5abc

Resta de monomios

1. 48x – 62b

2. -1,546a2b2

3. 506xy

4. 656m2

5. --

6. 853abc

7. -1,034km

8. 89q

9. -433mn

10. 8/9 – 3/4abc

Suma de polinomios

1. 3a + 5b

2. 14a – c

3. 6a + 2b

4. -4r

5. -2x

6. -4m – 4n – 8

7. -49mn2 + 49mn – 10n

8. --

9. –

10. 335qr2 + 68r2 + 103z

Resta de Polinomios

1. -17x + 16y + 14z

2. -5m + 11n – 14

3. –

4. -9x -22y + 14z

5. A3a2 b – 7a2 b – 9ab2

6. –

7. X + 4y

8. -12a + 4b

9. -2x2 + 11x

10. 2x2 y + 18xy2 –x3


89


1. A2 b2

2. -6x2

3. 4a3 b3

4. -5x4y3

5. 20 m2n2p

6. 5m3n4

7. -20a6x2

8. 20m3n2p

9. -15 ab3

10. -24b6

Multiplicación de polinomios por monomio

1. -2x3 + 8x2 – 6x

2. 9a4 b – 36a3 b – 54ab9

3. 3a3 b – 6a2 b2 + 3ab2

4. -4x5 +12x4 + 20x3 +24x2

5. 16a 4b4c5 + 2a 3b3c3 – 10a3b3c2

6. -30q3r6 – 40q3r4 – 15q2r3

7. 9m3n8 – 24m6n6 + 15m3n3

8. -63a 2 b6 + 56a 3b4 – 35 a2b3

9. 75x4y5 + 50x3y4z2 + 15x3y4

10. –

División polinomios entre polinomios

1. –

2. A - 1

3. A - 5

4. –

5. X - 4

6. A + 3

7. M – 5

8. 3x -2y

9. 5a – 7b

10. 3m2n-2 – 4mn-1 -10

Ejercicios Varios

o Suma y Resta de monomios

1. -2x+3y

2. 5mn – m

Multiplicación de polinomio por polinomio

1. –xy + 6x2 – 2y2

2. 22xy – 15x2 – 8y2

3. –

4. –

5. 8a3 + 10ab2 +17a2b +b3

6. –

7. –

8. 3y5 +5y2 -12y

9. –

10. –

División de monomios entre monomios

1. A

2. -9xz2

3. 1

4. -1/2xy

5. -8x

6. –

7. –

8. 9q

9. 6p2q2

10. -4b5c

o Suma y Resta de polinomios

1. –c

2. –

3. -4r

4. 3x-24y-2z

5. -4m-4n-8

6. -2x+23

7. 2x2-x

8. X3-x2+3x+6

9. 4m2-3mn

10. 2b

11. 3x-5y

12. 1a+b-4

13. X2+2x-6

14. –

15. –

16. 2x+2y+22

17. -2x2+2y2+xy

18. X3-6x2+4x

19. -5x2+4x+6y3+y2-6

20. –

90

3. 12a

4. –

5. -13x

6. -6ab

7. -10xy

8. 10mn

9. ½ - 2/3b

10. 3/5b + 3/4c

11. B

12. –xy

13. –abc

14. 4x – 6b

15. 5a- 6b

16. -8x +3

17. -9a2 -5b2

18. -7xy + 5yz

19. –a

20. -14m2


1. -6

2. 32

3. -240

4. –a2b2

5. -6x3

6. 4a 3b3

7. -5x4y3

8. 20m3n2p

9. Abc2d

10. –

11. –

12. -1/4 a4bc

13. -3a 4

14. 3a 2x6y

15. –

16. -20a 6x2y2

17. -6a n+3bx+1

18. 24a 7

19. -60a 6b4x

20. 3/4x8y4

o Multiplicación de polinomios por monomios y polinomios por

polinomios

1. 16ax5y-6ax3y2

2. -2x3+8x2+6x

3. 1/5a 3-4/15a 2b

4. –

5. –

6. -5/16a 4m+ 5/24a 2b2m -5/32 a2mx2+ 1/8 a2y2m

7. –

8. 6x2+xy-2y2

9. X3-y3

10. 2x4-x3+7x-3

11. -6x4-2x3

12. 3 a4b-12 a3b+18 a2b

13. -4/9 a4b+1/2 a3b2

14. 6/5 a4x+a3bx-2/3 a2b2x

15. -9/10 a3x3+3/2 a2bx3-9/5 a2x3c

16. –

17. –11mn2+5n2+6m2

18. 71y-14y2+33

19. –

20. 3y5+5y2-12y+10


91

o Con los siguientes parámetros a=1, b=2, c=-1/2, hallar el valor numérico de:

1. 9

2. -31

3. -48

4. -31

5. -35/2

6. ¼

7. x

8. 2

9. -4

10. 95/8

Ejercicios de Productos Notables Página 42-43

A. Productos Notables

A1. Cuadrado de la Suma 1. X2+10x+25

2. 49 a2+14ab+b2

3. 16 a2b4+48ab2xy3+36x2y6

4. –

5. 4x2+20xb+25b2

6. 49 a2+42ab+9b2

7. 16 b4+48b2y3+36y6

8. A2x3+10axb+25b2

9. 36 a2+12aby+b2y2

10. 16 a4+48 a2x3+36x6

A2. Cuadrado de la Resta 1. A2-2ab+b2

2. 49 a2-42ab+9b2

3. 16b4+48b2y3+36y6

4. A2x2-10abx+25b2

5. 36 a2-12aby+b2y2

6. 16 a4-48 a2x3+3x6

7. 64-16a+a2

8. 9x8-30x4y2+25y4

9. –

10. Z2-8z+1

A3. Productos de Suma por una Diferencia (a + b) (a-b) 1. X2-25

92

2. 9 a2-4b2

3. 36 a2-b2y2

4. 49 a2-9b2

5. 4x2-25y2

6. 9 a2x2-4b2

7. 16 a2-9b2y2

8. 49 a2-9b2

9. 9 a2- 4b2

10. 36 a4-b2y4

A4. Producto de dos binomios de la forma (a + b)(a+c) 1. X2+9x+20

2. 9 a2+12ab+4b2

3. 36 a2+6ab+6ay+by

4. 49 a2+21 a+7 ab+3b

5. 4x2+8bx+10xy+20by

6. 9 a2x2+6abx+3axc+2bc

7. 16 a2+12aby+8ab+6b2y

8. 49 a2+21ab+56 ax+24xb

9. 9 a2+ 6 ab+18 at+12bt

10. 36 a4+6 a2b+6 a2y2+by2

A5. Cubo de la suma de un binomio (a + b)3

1. X3+15x2+75x+125

2. 27 a3+54 a2b+36 ab2+8b3

3. 64 a3b6+144 a2b4xy3+108 ab2x2y6+27x3y9

4. A a3+3+3x a2+2yb-2+3x a+1yb2-4+yb3-6

5. 8x3+60bx2+150b2x+125b3

6. 8 a3+36 a2b+54 ab2+27b3

7. 64b6+96b4y3+54ab2y6+8y9

8. A3x3+15 a2bx2+75 ab2x+125b3

9. 27 a3+27 a2by+9 ab2y2+b3y3

10. 64 a6+144 a4x3+108 a2x6+27x9

A6. Cubo de la diferencia de un binomio (a-b)3

1. X3-6x2+12x+8

2. 27 a3-54 a2b+36ab2-8b3

3. –

4. –

5. 8x3-48x2b+96xb2-64b3

6. 8x3-36 a2b+54ab2+27b3

7. 64b6-96b4y3+48b2y6-8y9

8. –

9. –

10. 64 a6-144 a4x3+108 a2x6-27x9


93

Factorización Página 49 a 52

B1. Caso #1: Factorizar las siguientes expresiones con factor común 1. X(2x-3y)

2. 4(x+2y+3z)

3. X(3x-3x-8)

4. 5 a2b2c2(2bc2-3ac2+6 a2b)

5. 3x(x2-x-6)

6. 6p(p+4q2)

7. Wx(xy-9y-14y)

8. Ax2(3axy+4 a4y3-6 a3x4-10x2)

9. 5 a3b2c4x (25 ab3c-9 a2bx2- 60ac4-2c)

10. 3m4p2q (m2p2q – 3mx+m3px+1-2mp2x2y)

B2. Caso #2: Factorizar las siguientes expresiones por agrupación 1. (a+ b)(2x-y+5)

2. (a+ b-c)(m- n+ x)

3. (a x-b)(1/2 a-2x+1)

4. –

5. (3m-x)(5x+3-y)

6. (7-y+z2)(x-1)

7. –

8. (ay+b2)(a-x)

9. –

10. (5 a+2b)(mx/3+4my-2nx/9-8ny/3)(mx/3-4my+2nx/9)

B3. Caso #3: Factorizar las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado 1. (2x-5y)2

2. (8ax2-1) 2

3. (x+4) 2

4. (3x-5) 2

5. (3x-1) 2

6. (4x+3) 2

7. (x+3) 2

8. (4x-5) 2

9. (5 a+2b) 2

10. (6x2-7) 2

B4. Caso #4: Factorizar las siguientes expresiones aplicando diferencia de cuadrados 1. (5x+2y)(5x-2y)

2. (3xy+4 a)(3xy-4 a)

94

3. 3(x-2)(x+2)

4. (xy+6y2)(xy-6y2)

5. (4x+5y)(4x-5y)

6. (12+xy)(12-xy)

7. (6+5 a)(6-5 a)

8. (5+2 a)(5-2 a)

9. (4mn+3p)(4mn-3p)

10. (2 a+3b)(2 a-3b)

B5. Caso #5: Factorizar las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado perfecto por adición y

sustracción. 1. (x2+y+xy)(x2+y2-xy)

2. –

3. –

4. –

5. –

6. –

7. –

8. –

9. –

10. –

B6. Caso #6: Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma x2+bx+c 1. (x+4)(x+4)

2. (x-4)(x-2)

3. (x+4)(x-2)

4. (x+3)(x+2)

5. (x-2)(x-3)

6. (x+6)(x-1)

7. (x-8)(x-6)

8. (x-3)(x-1)

9. (x-5)(x+1)

10. (x+18)(x-2)

B7. Caso #7: Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma ax2+bx+c 1. (3x+1)(9x+4)

2. (2x+7)(5x-1)

3. (x-5)(5x-15)

4. (x-1)(3x+1)

5. (x+1)(5x+2)

6. –

7. –

8. –

9. (3y-7)2

10. (7x+21)(7x+21)


95

B8. Caso #8: Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma de suma o diferencia de cubos

perfectos. 1. (x-2) 3

2. (y-3)3

3. (x+2) 3

4. (2x+b)3

5. (3x-y) 3

6. (2x-b) 3

7. (3x+y) 3

8. (3 a2-b)3

9. –

10. –

B9. Caso #9: Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma de suma o diferencia de cubos

perfectos. 1. (x+y)(x2-xy+y2)

2. (x+2)(x2-2x+4)

3. (x+3)(x2-3x+9)

4. (x-4)(x2+4x+16)

5. (3x-4y)(9x2+12xy+16y2)

6. (x-3)(x2+3x+9)

7. (a+2)(a2-2 a+4)

8. (5x+y)(25x2-5xy+y2)

9. (2y+z)(4y2-2yz+z2)

10. (4-y)(16+4y+y2

C. Ejercicios de Simplificación

Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones Página 58

a. X = 2 , y = 1

b. X = 1 , y = 3

c. X = ½ , y = - 3/2

d. X = 5/14 , y = 13/7

e. X = -3 , y = 14

f. X = 3/2 , y = -2

g. X = 1 , y = -3

h. –

Ejercicios Funciones lineales y gráficas Página 65

1. --

96

2. Obtenga la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas

a. Y= 1/2x – 7

b. Y= 3/8x – 41/8

c. Y= -5/4x + 8

3. Encuentre la pendiente y la intercepción Y de la recta dada o trace su grafica.

a. M= 3/4 , b= 8/4

b. M= 1/2 , b= 0

c. M= 0 , b= 4

d. M= 5/4 , b= -5

e. M= -1/3 , b= 7/3

Problemas Ecuaciones Cuadráticas Página 67

1. X=5

2. X= -5/3

3. N= 4

4. X=2

5. X=5 ó x=-3

6. X=2

7. –

8. X=3 ó x=1

9. –

10. –

11. Y= -3/4

12. A = 1/6

13. S= -3/2 ó x= -1/3

14. X=4

15. X=-3 ó x= -1/3

16. X=3

17. –

18. P=9

19. N=1

20. P=9 ó p=-5

Ejercicios Funciones y Gráficas Página 68

1.

(Para los siguientes ejercicios se utilizaron los siguientes valores para X: -2, -1, 0, 1, 2; estos se utilizaron

para encontrar los valores de Y, respectivamente)

X Y

3 3

-2 -7

1.5 0


97

1. Y= (0, -5, -8, -9, -8)

2. Y= (-6, 1, -6, -21, -38)

3. Y= (-26, -5,0, -5, -14)

4. Y= (1/4, ½, 1, 2, 4)

Ejercicios del Teorema de Pitágoras Página 70

1. A= 6.24

2. B= 9.53

3. C= 18.03

4. A= 5.66

5. B=8

6. C= 16.40

7. A= 9.80

8. B= 14.14

9. C= 10.63

10. A= 13.23

Ejercicios de Porcentajes Página 71-72

1. Convertir los siguientes porcentajes a decimales

a. 0.35

b. 0.0237

c. 0.125

d. 0.71

e. 0.0025

2. Convertir los siguientes porcentajes a fracciones (Su forma más simple)

a. 8/25

b. 19/2000

c. 1/25

d. 3/100000

e. 1/20

3. 10.71

4. 884

5. –

6. $ 45.36

7. $795.47

8. IGSS: $1,862 ISR: $1,806.90 Renta Neta: $34,331.10

9. 19.29 gr. De Níquel

10. $ 1.65

11. $ 29.43

12. $ 85,048.20

13. 71.08 gr. De Plata

Ejercicios de Intereses Página 75-76

98

1. Interés: $8.75 Monto: $758.75

2. Tasa de Interés: 0.36%

3. 0.83 años

4. 0.83 años

5. Monto: $ 5,250

6. Tasa de Interés: 190% anual

7. Tasa de Interés: 96% anual

8. –

9. –

10. –

11. Mensual: 1,093.80

Semanal: 1,094.09

Diariamente: 1,094.16

Cada Hora: 1,094.18

Cada Minuto: 1,094.17

12. 1 año: 15,529. 60

2 años: 16,645.54

5 años: 17,841.66

20 años: 30,023. 96

Matemática para Relaciones Internacionales · 2016-05-23 · 2 El presente manual ha sido...

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