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1Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones binarias
Matemática discreta
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2Matemática discreta. Relaciones binarias
Relación binaria en A
• Dados dos conjuntos A y B, una relación R binaria es cualquier subconjunto de AxB
• Dados a∈A y b∈B, a está relacionado con b por R si (a,b)∈R, aRb. Si a no estárelacionado con b, es decir, (a,b)∉R, escribimos aRb.
• Si B=A, R es una relación binaria en A.
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3Matemática discreta. Relaciones binarias
Representación de una relación
• Formal: aRb si a y b cumplen una cierta propiedad P.
• Diagrama sagital: aRb• Matriz de adyacencia: aRb y aRc
a b
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
....
....
.01.
.... b c
a
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4Matemática discreta. Relaciones binarias
Diagrama sagital• Representación gráfica con flechas.
– a∈A • a– aRb
ejemplo: A={a,b,c,d}R={(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,c)}
a • • b
a • • b
c • • d
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5Matemática discreta. Relaciones binarias
Matriz de adyacencia• Matriz booleana MR=(mij)• A={a1, ..., an} mij=1 si aiRaj
mij=0 si aiRaj
ejemplo: A={a,b,c,d}R={(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,c)}
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0100000110111100
MRSuponemos un orden en los elementos de A, en este caso el alfabético.
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6Matemática discreta. Relaciones binarias
Operaciones con relaciones 1
Dadas R1 y R2 sobre A• Unión:
R1∪ R2={(a,b) ∈AxA / aR1b ó aR2b}• Composición o producto:
R1°R2={(a,b) ∈AxA / ∃c∈A aR1c y cR2b}– En general, R1°R2 ≠ R2°R1
– La composición es asociativa: Rn+1=Rn ° R
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7Matemática discreta. Relaciones binarias
Operaciones con relaciones 2• M(R1∪ R2)=MR1 ⊕ MR2
• M(R1°R2)=MR1 ⊗ MR2
– ⊕ suma booleana– ⊗ producto booleano
⊕ 0 10 0 11 1 1
⊗ 0 10 0 01 0 1
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8Matemática discreta. Relaciones binarias
Operaciones con relaciones 3
Dada R sobre A={a1,..,an} y MR su matriz de adyacencia:
• MR = OR ⇔ R=∅ (matriz nula de orden n)
• MR = 1R ⇔ R=AxA (matriz de unos de orden n)
• MRm = (MR )m, m ∈Z+ (m-ésima potencia booleana)
Rm está formada por los pares de elementos que se pueden conectar mediante un camino de longitud m.
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9Matemática discreta. Relaciones binarias
ejemplo
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0000100001000010
RMa •
• cd •
• bR={(a,b),(b,c),(c,d)}
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0000000010000100
2RM
a •
• cd •
• b
a •
• cd •
• b
R2={(a,c),(b,d)}
R3={(a,d)}⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0000000000001000
3RM
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10Matemática discreta. Relaciones binarias
PropiedadesR definida sobre A, con matriz de adyacencia M y
Card(A)=n• Reflexiva: [∀x∈A xRx] ⇔ In⊕M=M
• Simétrica: [∀x,y∈A xRy ⇒ yRx] ⇔ M=Mt
• Transitiva: [∀x,y,z∈A xRy, yRz ⇒ xRz] ⇔M⊕M2=M
• Antisimétrica: [∀x,y∈A xRy , yRx ⇒ x=y] ⇔ en M+Mt no aparece ningún 2 salvo, a lo sumo en la diagonal.
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11Matemática discreta. Relaciones binarias
Cierre de relaciones 1• Cierre reflexivo: CR(R) menor relación reflexiva que
contiene a R.– R ⊂ CR(R). − CR(R) es reflexiva– Si S es reflexiva y tal que R⊂S, entonces CR(R) ⊂ S.
• Cierre simétrico: CS(R) menor relación simétrica que contiene a R.– R ⊂ CS(R). − CS(R) es simétrica– Si S es simétrica y tal que R⊂S, entonces CS(R) ⊂ S.
• Cierre transitivo: CT(R) menor relación transitiva que contiene a R.– R ⊂ CT(R). − CT(R) es transitiva– Si S es transitiva y tal que R⊂S, entonces CT(R) ⊂ S.
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12Matemática discreta. Relaciones binarias
Cierre de relaciones 2R definida sobre A={a1,..,an}, con matriz de
adyacencia MR .• MCR(R) = MR ⊕ In
• MCS(R) = MR ⊕ MtR
• MCTR(R) = MR ⊕ M2R ⊕ M3
R ⊕...⊕ MnR
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13Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de orden
Relaciones de orden• Dada una relación binaria R definida sobre
A, se dice que R es una relación de ordenen A si verifica las propiedades:– reflexiva– antisimétrica– transitiva
Se dice entonces que a está ordenado por R o que el par (A,R) es un conjunto ordenado.
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14Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de orden
NotaciónUtilizaremos el símbolo ≤ para las relaciones
de orden.aRb a ≤ b
Se lee a es anterior a b (menor o igual) o bien b es posterior a a (mayor o igual)
• Distintas relaciones sobre un mismo conjunto, dan lugar a distintos conjuntos ordenados.
• a,b∈A son comparables si aRb o bRa
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15Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de orden
ejemploEn N, a ≤ b ⇔ ∃n ∈N / b=an
Es una relación de orden:– reflexiva: a=a1 ∀a∈N – antisimétrica: ∀a,b∈N si a ≤ b y b ≤ a ∃ n,m ∈N /
b=an y a=bm, entonces b= [bm]n=bm·n luego m·n=1 y como n,m ∈N m=n=1, así a=b
– transitiva: ∀a,b,c∈N si a ≤ b y b ≤ c ∃ n,m ∈N / b=an y c=bm, entonces c= [an]m=an·m luego si k = n·m, ∃ k∈N /c=ak, es decir, a ≤ c
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16Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de orden
Diagrama Hasse 1• Dada una relación de orden R en A y R1 una
relación asociada a R tal que
aR1b ⇔ aRb y a ≠ b (a<b ⇔ a ≤ b y a ≠ b)
el diagrama Hasse de R es el diagrama sagital de la relación HR=R1-R1
2
Si Card(A)=n, matricialmente: MHR=(MR-In)-(MR-In)2
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17Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de orden
Diagrama Hasse 2• Permite asociar a una relación de orden un
diagrama más sencillo que el diagrama sagital.• Construcción del diagrama Hasse a partir del
diagrama sagital:– eliminar los bucles– eliminar todas las flechas que puedan derivarse de
aplicar la propiedad transitiva.
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18Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de orden
ejemplo
a •
• d
• c
b •
• e a •
• d
• c
b •
• e
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19Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de orden
Orden total y parcial• (A, ≤) está totalmente ordenado si
cualquier par de elementos son comparables, se dice entonces que ≤ es de orden total. En otro caso, se dice que (A, ≤) está parcialmente ordenado y que ≤ es de orden parcial.
• C es una cadena de (A, ≤) si C ⊂ A y (C, ≤) está totalmente ordenado.
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20Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de orden
Elementos notables 1Dados (A,≤) y C ⊂ A, C≠∅• a∈A es cota superior de C si ∀c∈C, c≤a.
– C está acotado superiormente– La menor de las cotas superiores es el supremo.
• a∈A es cota inferior de C si ∀c∈C, a≤c.– C está acotado sinferiormente– La mayor de las cotas inferiores es el ínfimo.
• El supremo y el ínfimo, si existen, han de ser comparables con el resto de las cotas superiores o inferiores, respectivamente.
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21Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de orden
Elementos notables 2Dados (A,≤) y C ⊂ A, C≠∅• a∈C es elemento maximal de C si
∀c∈C, a≤c ⇒ a=c.• m∈C es máximo de C si ∀c∈C, c≤m.
– si existe, es el único elemento maximal de C• a∈C es elemento minimal de C si
∀c∈C, c≤a ⇒ a=c.• m∈C es mínimo de C si ∀c∈C, m≤c
– si existe, es el único elemento minimal de C
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22Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de orden
Elementos notables 3• Pueden existir uno, varios o ningún elemento
maximal y minimal.• El máximo (mínimo), cuando existe, es el
único elemento maximal (minimal).• Si en C existe supremo (ínfimo) es único.• Si C tiene máximo (mínimo) coincide con el
supremo (ínfimo).
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23Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de orden
ejemplo
a •
• d
• c
b •
• e • {a,b,e}– d es cota superior y supremo– {b,e} son elementos
maximales– no tiene máximo– a es cota inferior, ínfimo,
mínimo y el único elemento minimal.
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24Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de equivalencia
Relaciones de equivalencia
Dada una relación binaria R definida sobre A, se dice que R es una relación de equivalenciaen A si verifica las propiedades:– reflexiva– simétrica– transitiva
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25Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de equivalencia
Clase de equivalenciaDada R una relación de equivalencia en A y
a∈A, se define la clase de equivalencia de a como [a]={x ∈A / xRa }.
• [a] ≠∅ pues a∈[a].• [a]=[b] ⇔∀a,b∈A aRb• [a]∩[b]=∅⇔ ∀a,b∈A aRb
• ∪a∈A[a]=A• Cualquier elemento de [a] es un representante
de la clase.
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26Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de equivalencia
Conjunto cociente• Una partición de un conjunto A es una familia de
subconjuntos no vacíos de A, {Ai} disjuntos entre síy cuya unión es A.
∀ i Ai≠∅; Aj∩Ai=∅ ∀ i≠j; ∪Ai=A• La relación de equivalencia R define en A una
partición formada por las clases de equivalencia.• Llamamos conjunto cociente de A por R a
A/R={[a]/ a∈A}.• Cada partición de A está asociada a una relación de
equivalencia definida en él.
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27Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de equivalencia
ejemplo 1A={palabras de n bits}w(a) el número de unos que contiene a
aRb ⇔w(a) ≡ w(b) (mod 2)R es de equivalencia:
– Reflexiva: aRaw(a) ≡ w(a)(mod 2)
– Simétrica: aRb ⇒ bRaw(a) ≡ w(b)(mod 2) ⇒ w(b)≡w(a)(mod 2)
– Transitiva: aRb y bRc ⇒ aRcw(a)≡w(b)(mod 2) y w(b)≡w(c)(mod 2) ⇒ w(a)≡w(c)(mod 2)
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28Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones de equivalencia
ejemplo 2R define en A una partición formada por dos
clases de equivalencia, cada una con 2n-1
elementos.[0]={a∈A / a tiene un número par de unos}[1]={a∈A / a tiene un número impar de unos}Para n=3
[0]={000, 011, 101, 110}[1]={001, 010, 100, 111}
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29Matemática discreta. Relaciones binarias
Planificación de tareas
Planificación de tareas 1
• Tareas entre las que hay relaciones de dependencia, unas han de realizarse antes que otras.
• Uno o varios equipos, simultáneamente, realizan las tareas.
• Objetivo: distribuir las tareas entre los equipos disponibles, acatando la dependencia entre tareas.
• Planificación: asignación ordenada de tareas a cada equipo.
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30Matemática discreta. Relaciones binarias
Planificación de tareas
Planificación de tareas 2• A: lista de tareas a realizar.• R relación binaria sobre A
aRb ⇔ a es previo a b, es decir, a debe realizarse antes que b.
• m∈A es minimal si ∀a∈A, aRm• Eliminar m de (A,R) consiste en suprimir todos
los pares de R en los que a parezca m.• A es realizable ⇔ R se puede extender a un orden
topológico.
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31Matemática discreta. Relaciones binarias
Planificación de tareas
Orden topológico 1
• Un orden topológico < es una extensión de un orden parcial ≤ sobre un conjunto Asi se verifica que:
si a≤b entonces a<b.
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32Matemática discreta. Relaciones binarias
Planificación de tareas
Orden topológico 21 Iniciar T=[]2 Mientras A≠∅
– si ∃ m∈A minimalIncluir m en TEliminar m de (A,R)Volver a (2)
– En otro caso, A no es realizable. Salir3 Salida T orden topológico.
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33Matemática discreta. Relaciones binarias
Planificación de tareas
Planificación correcta1 Iniciar T=[]2 Mientras A≠∅
– si ∃ m∈A minimal y primera tarea de un equipo EIncluir m en TEliminar m de (A,R) y de EVolver a (2)
– En otro caso, P no es correcta. Salir3 Salida T orden topológico.
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34Matemática discreta. Relaciones binarias
Planificación de tareas
Tiempo de realización de tareas• coste de m, w(m), es el tiempo que se necesita para
realizar la tarea m, una vez terminadas las tareas previas a m.
• t(m) tiempo que se necesita para la realización de la tarea m, incluido el tiempo de espera necesario para que se realicen las tareas previas a m.
t(m)=w(m) + max{t(ai) / aiRm}• t(R)=max{t(a) / a∈A } es el tiempo mínimo en el que
se pueden realizar las tareas de A.
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35Matemática discreta. Relaciones binarias
Planificación de tareas
Tiempo mínimo para la realización de tareas
1 Mientras existan tareas no marcadas en A– si existe m∈A minimal no marcado
Calcular t(m)=w(m)+max{t(b) / bRm}Marcar mVolver a (1)
– En otro caso, A no es realizable. Salir2 Salida t(R)=max{t(a) / a∈A}
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36Matemática discreta. Relaciones binarias
Tiempo para la realización de planificaciones 1
Planificación de tareas
• tp(m) tiempo que se necesita para la realización de la tarea m en la planificación P, incluido el tiempo de espera necesario para que se realicen las tareas previas a m y las anteriores a m en su equipo.
tp(m)=w(m) + max{tp(ai) / aiRm ó ai es anterior a m en su equipo}
• tp(R)=max{tp(a) / a∈A } es el tiempo mínimo en el que se pueden realizar las tareas de A en la planificación P.
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37Matemática discreta. Relaciones binarias
Tiempo para la realización de planificaciones 2
Planificación de tareas
1 Mientras existan tareas no marcadas en A– si existe m∈A minimal no marcado y primera
tarea no marcada de un equipo.Calcular tp(m)=w(m)+max{tp(b) / bRm ó b es el anterior a m en su equipo}Marcar mVolver a (1)
– En otro caso, P no es correcta. Salir2 Salida tp(R)=max{tp(a) / a∈A}
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38Matemática discreta. Relaciones binarias
Planificación de tareas
Optimización del número de equipos equipos 1
• W=Σw(a), a∈A• A conjunto de n tareas• Si P es una planificación con n equipos, se
verifica W≤ n·t(R) ⇒ n ≥ W/t(R). Esto nos da una cota inferior para el número de equipos necesarios para ejecutar las tareas en el menor tiempo t(R).
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39Matemática discreta. Relaciones binarias
Optimización del número de equipos equipos 2
Planificación de tareas
1 Iniciar los equipos Ei=[] y los tiempo ti=0, 1≤ i≤n
2 ∀ m∈A minimal– Encontrar el menor k / tk=0 ; xk= m ; tk= w(m) ; incluir m en Ek
3 Mientras existan tareas no marcadas en A– Si ∃ Ei / ti ≠0
∀ j / tj = min{ti /ti ≠0}, marcar xj (último elemento de Ej) ; tj’= tj ; tj=0∀a / xjRa y todos sus previos están marcados
• Encontrar el menor k / tk=0 ; xk=a ; tk= tj’+ w(a) ; incluir a en EkVolver a (3)
– R no es realizable. Salir
4 Salida P={Ei / Ei ≠[]}