MATEMÁTICA · 2020. 6. 19. · Teoría Fracciones decimales Una fracción es decimal cuando su...
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PABLO
EFFENBERGER
MATEMÁTICA1.° SECUNDARIA CABA
#EducandoGeneracionesCC 61075384ISBN 978-950-13-2593-5
II
Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.
Capítulo6
• El conjunto de los números racionales.
• Fracciones y expresiones decimales.
• Fracciones equivalentes.
• Comparación de números racionales.
• Fracciones decimales.
• Adición y sustracción.
• Multiplicación y división.
• Porcentaje.
• Potenciación y radicación.
• Operaciones combinadas.
• Lenguaje simbólico.
• Ecuaciones lineales con fracciones.
• Ecuaciones con potencias y raíces.
Números racionales
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Teoría
El conjunto de los números racionales (Q)
Escribir la fracción del entero que representa cada color.
Representar las siguientes fracciones en la recta numérica.
a) Azul:
b) Rojo:
c) Verde:
d) Amarillo:
a) n b) n
a
b
c
d
e
f
g
h
Escribir la fracción que representa el número n.
Escribir la expresión decimal de cada número representado en la recta.
1
2
3
4
Un número es racional cuando puede ser expresado como un cociente entre dos números enteros.
n Q ab
a Z b Z { }0=Q n ∧ ∈a ∧ ∈b −
Los números racionales se expresan mediante una fracción o una expresión decimal.
En una fracción, el denominador indica el número de partes iguales en que se divide el entero; y el numerador, cuántas de esas partes se deben considerar.
Para encontrar la expresión decimal de una fracción, se halla el cociente entre el numerador y el denominador.
Las expresiones decimales pueden ser finitas o periódicas.
a) 34
3 : 4 0,75 b) 23
2 : 3 0,6666... 0,6= = =� c) 7
307 : 30 0,23333... 0,23= = =
�
Un número racional se representa gráficamente a partir de su expresión fraccionaria o en la recta numérica.
a) 58
b) 73
l d l
ab
numeradordenominador
0 1
8
5
0 31 2
3
7
2 13
a) 79
b) 511
c) 115
d) 94
1 0n 0 1 n
1 0 1h d b f a e g c2
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Teoría
Fracciones equivalentes
Las fracciones equivalentes son las que representan la misma parte de un entero.
Para obtener fracciones equivalentes, se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número entero, distinto de cero.
ab
a . nb . n
a : nb : n
n 0= = ∧ ≠n
a) 35
3 . 75 . 7
2135
35
2135
= = = b) 3025
30 : 525 : 5
65
3025
65
= = =
Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de 1. Simplificar una fracción es hallar su equivalente irreducible.
8 Escribir tres valores de a que cumplan con cada condición.
Desafío
Marcar con una X la fracción irreducible de cada fracción.
Unir las fracciones equivalentes.
a) 1830
915
35
610
b) 5436
2718
1812
32
c) 50150
515
15
13
d) 2460
25
38
410
Representar cada trío de fracciones en la misma recta.
5
6
7
a) 54
, 12
y 78
b) 34
, 23
y 56
a) La fracción −+
a 1a 2
se puede simplificar a a a
b) La fracción 2a 13a
es irreducible a a a
1527
2124
125150
2025
2836
3654
2835
812
4963
67
6372
2530
2036a)
b)
c)
d)
e)
f)
34
68
1216
34
68
1216
103
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Teoría
Comparación de números racionales
Hallar las fracciones equivalentes y colocar o según corresponda.
Colocar un número que cumpla con cada una de las siguientes condiciones.
a) <74
7 b) >23 3
c) − > −56
4 d)
a) 58
710
b) − −43
65
c) 1112
89
a) 35
0,59 b) 1,3 2720
c) 13
0,3 d) 125
2,5 e) −�
1,15 2320
a) 13
12
b) 57
56
c) 12
110
d) 34
35
Colocar o según corresponda.
Escribir una fracción que cumpla con cada condición.
Plantear y resolver.Nueve sacapuntas iguales pesan lo mismo que doce lápices iguales. ¿Pesan más siete lápices o cinco sacapuntas?
9
10
11
12
13
Para comparar dos fracciones, se buscan fracciones equivalentes a ellas.
• Si tienen igual denominador, es mayor la de mayor numerador.
78
2124
56
2024
2124
2024
78
56
=
=> >
• Si tienen igual numerador, es mayor la de menor denominador.
45
1215
67
1214
1214
1215
67
45
=
=> >
• También se pueden hallar las expresiones decimales correspondientes.
a) 15
0,2
14
0,250,25 0,2 1
415
=
=> >
b) 38
0,375
720
0,350,35 0,375 7
2038
− =−
− =−− >− − >−
El conjunto de números racionales es denso, lo que significa que entre dos números racionales siempre hay otro número racional.
d) − −107
1511
104
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Teoría
Fracciones decimales
Una fracción es decimal cuando su denominador es una potencia de 10 y permite hallar fácilmente su expresión decimal finita.
a) 910
910
0,91b) 13
1001310
0,132c) 7
10007
100,0073
Las fracciones que admiten una fracción decimal equivalente son aquellas cuyos denominadores tienen como únicos factores primos al 2 y al 5.
10 2 . 510 2 . 510 2 . 5
1
2 2 2
3 3 3
===
10 2 . 5n n2 n
a) 72
7 . 52 . 5
3510
3,5
b) 35
3 . 25 . 2
610
0,6
c) 14
1 . 52 . 5
25100
0,252
2 2
d) 625
6 . 25 . 2
24100
0,242
2 2
Las expresiones decimales de las fracciones que no admiten una fracción decimal equivalente son infinitas periódicas.
18 Decidir si existe una fracción con denominador diez entre un quinto y tres décimos.
Desafío
Hallar la expresión decimal de cada fracción a partir de su fracción decimal equivalente.
Colocar F (finita) o P (periódica) según sea la expresión decimal de cada fracción.
Escribir una fracción decimal que cumpla con cada condición.
a) 720
b) 3950
c) 58
d) 740
a) 56
b) 78
c) 49
d) 1320
e) 1140
f) 830
g) 916
h) 3250
a) 17
16
b) 79
1 c) 13
0 d) 1 911
Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
a) Cinco centésimos es la expresión decimal de un veinteavo. b) La expresión decimal de tres doceavos es finita. c) Un décimo es la menor fracción decimal positiva. d) La expresión decimal de siete cuartos tiene tres cifras decimales. e) Quince décimos es la mitad de tres. f) Una fracción decimal no tiene otra fracción decimal equivalente.
15
14
16
17
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Repaso
Completar el entero.
Unir cada situación con la fracción irreducible que la representa.
Escribir la expresión decimal de n en cada recta.
Hallar la fracción irreducible de cada expresión decimal.
Representar los siguientes números racionales en la recta numérica.
Completar los casilleros con los números que verifican cada igualdad.
19
20
23
21
22
24
a) =34
21 b) =3045 6
c) =60
35
d) =6 90105
e) =2432 20
32 0,8 3
5 1,1 2
5 1,3 75
310
a) b)
n n
a) 0,8
b) 1,6
c) 0,02
d) 4,5
e) 3,75
f) 0,016
g) 7,25
h) 1,625
a) b) c)
Cuatro empanadas de tres docenas.
Cuarenta y cinco minutos de dos horas.
Doce días del mes de abril.
Veinticuatro pesos de ochenta pesos.
Tres bimestres de dos años.
Quinientos gramos de tres kilos.
14
25
38
23
19
16
310
a)
b)
c)
d)
e)
f)
188
44999
33377
0
0 n
16
0n
85
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Escribir una expresión decimal que cumpla con cada condición.
Colocar o según corresponda.
Marcar con una X el o los números racionales iguales a cada fracción.
a) 58
6,25 1524
62510 000
0,625 3556
5580
b) 1227
39
0,4444 818
�
0,04 3681
�
0,4
c) 154
0,375 4512
3,75 15544
37,5 375100
d) 3615
6025
0,024 4820
0,24 24100
2,4
Unir cada número racional con el intervalo al que pertenece.
a) 25
35
b) 0,1 0,11
c) 13
0,34
d) 0,7 0,6
e) 34
58
f) 1,21 65
a) 45
911
b) 0,36 720
c) 73
2,33
d) �
0,25 14
e) 89
78
f) 185
72
g) 25
−�
0,04
h) 0,1 11100
Escribir todas las fracciones que cumplen con cada condición.
a) Denominador cinco, positiva y menor que uno.
b) Numerador siete, positiva y comprendida entre un tercio y un medio.
c) Denominador diez, negativa y mayor que menos tres cuartos.
d) Numerador uno, negativa y menor que menos trece centésimos.
27
26
25
28
29
�0,2
2125
120
�0,7
325
950
�0,5
15
�0,1
45
1120
34
1720
− < <110
x 15
13
35
− < < −14
x 320
a)
b)
c)
i)
d)
j)e)
k)f)
g)
h)
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Teoría
Adición y sustracción de fracciones
Resolver las siguientes sumas y restas.
Hallar al valor desconocido en cada igualdad.
a) + =a 23
16
b) + =34
b 18
c) − = −c 59
23
d) − − =35
d 710
a) − =49
56
b) − + =38
16
c) − − =53
14
a) ( )− − + =15
1 310
12
b) ( )− − + − =34
38
56
1112
c) 29
23
16
43( )− + − =
d) − + =45
34
310
e) − + − =29
3 136
a) − − ==25
1015
b) − + = + =76
912
c) − = − =59
15 2218
d) − + =− + =−7
217
157
a) − +13
45
67
b) 29
14
135
c) 78
912
− + 325
d) 52
94
1 712
Completar los casilleros.
Colocar o según corresponda.
Resolver.
30
31
32
33
34
Para sumar o restar dos o más fracciones, se buscan fracciones equivalentes a las dadas con el mismo denominador y se suman o restan los numeradores.
a) 25
12
410
510
4 510
110
− = − = − =−
b) 2 54
84
54
8 54
34
− + =− + = − + =−
c) 34
710
1520
1420
15 1420
2920
− − =− − = − − =−
d) 32
14
76
1812
312
1412
18 3 1412
712
+ − = + − = + − =
108
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36
14
4243
1832
La mitad de ochenta y seis.
La quinta parte de setenta.
Las dos terceras partes de cincuenta y cuatro.
Las cuatro novenas partes de setenta y dos.
Las seis quintas partes de treinta y cinco.
Teoría
Producto entre un entero y una fracción
Para multiplicar una fracción por un número entero, se multiplica el entero por el numerador de la fracción y se aplica la regla de los signos.
a) 8 35
8 . 35
245
⋅ = = b) 5 23
5 . 23
103
− ⋅ = − =− c) 2 79
2 . 79
149( ) ( )
− ⋅ − =− −
=
Para calcular una parte de una cantidad, se multiplica esa cantidad por la fracción correspondiente.
a) La tercera parte de 180: 180 13
1803
60⋅ = = b) Las tres quintas partes de 120: 120 35
120 . 35
72⋅ = =
39 Plantear y resolver.
De un tanque lleno de agua, se utiliza la tercera parte y luego la cuarta parte. Si aún quedan 250 litros, ¿cuántos litros contiene el tanque?
Desafío
Unir cada enunciado con la cantidad correspondiente.
Calcular los siguientes productos.
Plantear y resolver.
a) ⋅ =8 56
b) ( )⋅ − =1116
24
c) − ⋅ =29
6
d) − ⋅ =15 710
e) ( )− ⋅ − =320
25
f) ( )− ⋅ − =18 427
a) ( )⋅ + − =6 23
34
254
b) ( )− ⋅ − ⋅ − =15 425
38
6 c) ( )− − + ⋅ =12
35
710
2
a) Federico tiene $ 640; gasta las tres octavas partes en la ferretería y luego $ 57 en el quiosco. ¿Cuánto dinero le queda?
b) De un trayecto de 180 km, se recorre la sexta parte; y luego, los siete décimos del resto. ¿Cuántos kilómetros se recorrieron?
Resolver.
36
35
37
38
a bc
a . bc
⋅ =
a)
b)
c)
d)
e)
109
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Teoría
Multiplicación y división de fracciones
Resolver simplificando cuando sea posible.
Completar los casilleros.
a) − ⋅ =209
625
b) ( )− =421
: 127
c) ( ) ( )⋅ − ⋅ − =185
427
356
d) ( )− ⋅ − =98
54
: 1516
a) ⋅ =76
3548
b) 45: 28
45=
c) ⋅158
32
=
d) 2027
: 53
=
e) =: 3536
85
f) ⋅ ⋅ =3263
43
87
a) ( )⋅ − =83
54
32
b) ( )+ − =49
125
: 3625
c) ( ) ( )− ⋅ − =23
116
914
d) ( )− − − =34
: 278
53
Plantear el cálculo y resolver.
a) La tercera parte de los cuatro quintos de sesenta:
b) Los nueve cuartos de la mitad de cuarenta y ocho:
Resolver las siguientes operaciones.
40
41
42
43
• Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y denominadores entre sí.
• Para dividir dos fracciones, hay que multiplicar el dividendo por la fracción inversa del divisor.
a) 34
52
3 . 54 . 2
158( ) ( )
⋅ − =−
=− b) 395
43
125
1
−/⋅/= − c)
2 289
65
74
2815
3 1
−//⋅/⋅ −
/=( )
a) 23
: 57
23
75
1415
− =− ⋅ = − b)
2 1815 15
: 43
8 34
25
15
( ) ( )− =/ // ⋅ − /
= −
ab
cd
a . cb . d
⋅ =
ab
: cd
ab
dc
a . db . c
= ⋅ =
110
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Se recorren las dos quintas partes de un trayecto y luego, las tres cuartas partes del resto. En total se recorrieron 255km.Calcular y responder.
Un club tiene 1 680 socios.• Las cinco octavas partes de los socios son varones. • Las dos quinceavas partes de los varones juegan al básquet.• Hay 90 mujeres socias del club que también juegan al básquet.Calcular y responder.
Resolver los cálculos combinados.
45
44
46
a) ¿Qué parte de los socios varones juega al básquet?
b) ¿Y qué parte de las socias mujeres?
c) ¿Cuántos jugadores de básquet hay en el club?
d) ¿Qué parte de los socios juega al básquet?
a) ¿Qué parte del trayecto se recorre? b) ¿Cuántos kilómetros faltan por recorrer?
a) ( )− ⋅ + =54
116
207
76
b) ( )− − − =158
: 32
114
3 : 98
c) ( ) ( )− ⋅ − − =13
56
25
2 1310
d) ( )− − − =29
25
38
: 920
512
e) ( )− − + ⋅ =94
218
: 34
65
2512
f) ( ) ( )+ − − =14
38
: 94
: 2518
65
111
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Teoría
Porcentaje
Unir cada porcentaje con la fracción que lo representa.
Calcular los siguientes porcentajes.
a) El 4% de 150.
b) El 14% de 200.
c) El 22% de 250.
d) El 35% de 180.
e) El 70% de 300.
f) El 90% de 450.
a) Una camisa de $ 250 se paga $ 175. b) Un pantalón de $ 420 se paga $ 483.
Un LCD tiene un precio de contado de $ 3 600 y se lo puede comprar en cuotas fijas con recargo.Completar la tabla.
Calcular el porcentaje de descuento o de recargo.
47
48
49
50
Para calcular el x% de una cantidad, se deben tomar x partes de las 100 en que se divide la cantidad.
Por ejemplo, el 30% de 400 es: 400 30100
400 310
120⋅ = ⋅ =
Entonces, para calcular un porcentaje; se puede multiplicar directamente la cantidad por una fracción decimal.
a) El 10% de 80 es: 80 10100
80 110
8⋅ = ⋅ =
b) El 20% de 150 es: 150 20100
150 15
30⋅ = ⋅ =
c) El 50% de 180 es: 180 50100
180 12
90⋅ = ⋅ =
d) El 75% de 200 es: 200 75100
200 34
150⋅ = ⋅ =
Cantidad de cuotas Recargo Precio con recargo Valor de la cuota3 5%6 8%9 12%
12 16%
32%45%
80%
8%15%
25%
60%40%
225
45
910
25
320
35
14
825
920
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
112
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Teoría
Cálculo directo de descuentos y recargos
Se puede calcular directamente un descuento o un recargo.
• Con un 5% de descuento, se termina pagando el 95% del valor.
Por ejemplo, si el valor es $ 200, con un 5% de descuento: $ 200 95100
$ 190⋅ =
• Con un 5% de recargo, se termina pagando el 105% del valor.
Por ejemplo, si el valor es $ 300, con un 5% de recargo: $ 300 105100
$ 315⋅ =
Otras aplicaciones:a) Con un 4% de descuento, se pagan $ 384. El precio sin el descuento es $ 384 : 96
100$ 400
b) Con un 6% de recargo, se pagan $ 477. El precio sin el recargo es $ 477 : 106100
$ 450
54 Durante una promoción, se rebaja un 20% el precio de lista de un LCD y luego, se aumenta el precio de la promoción en un 20%.Decidir si luego de la promoción el valor del LCD es igual, mayor o menor que su precio de lista.
Desafío
Calcular mentalmente.
Calcular directamente.
a) El valor de un lavarropas de $ 5 600 con un descuento del 5%.
b) El importe de un impuesto de $ 3 200 con un recargo del 7%.
c) El precio de una cocina que se pagó $ 3 840 con un descuento del 20%.
d) El precio de un celular que se pagó $ 1 725 con un recargo del 15%.
a) En un viaje a la Patagonia, el 65% de los turistas son extranjeros y hay 63 argentinos. ¿Cuántas personas realizaron el viaje?
b) Se compra una heladera en 6 cuotas con un recargo del 9% . Si cada cuota es de $ 872, ¿cuál es el precio de la heladera sin recargo?
a) $ 60 con un 25% de descuento:
b) $ 80 con un 20% de recargo:
c) $ 40 con un 30% de descuento:
d) $ 50 con un 40% de recargo:
e) $ 84 con un 50% de descuento:
f) $ 30 con un 60% de recargo:
Plantear y resolver
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52
53
113
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Repaso
Unir las operaciones con el mismo resultado.
Las tres quintas partes de una ruta de 180 km están asfaltadas, se están asfaltando 60 km más; y el resto es de tierra.Calcular y responder.
Luciano gana $ 8 400 mensuales.• Con las tres octavas partes, paga el alquiler del departamento, y con la doceava parte, las expensas.• Las dos quintas partes del resto, las gasta en alimentos.• De lo que le queda, ahorra la tercera parte.Calcular y responder.
Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones.
55
56
57
58a) ( )− ⋅ − =35
465
23
b) ( )− =17
13
: 1235
c) ( ) ( )− − ⋅ − =32
49
914
d) ( )− =158
: 58
53
a) ¿Qué parte de su sueldo destina al alquiler y a las expensas?
b) ¿Cuánto gasta en alquiler y en expensas?
c) ¿Qué parte del sueldo gasta en alimentos?
d) ¿Cuánto gasta en alimentos?
e) ¿Qué parte de su sueldo ahorra?
f) ¿Cuánto dinero ahorra?
a) ¿Cuántos kilómetros están asfaltados?
b) ¿Qué parte de la ruta se está asfaltando?
c) ¿Qué parte es de tierra?
d) ¿Cuántos kilómetros son de tierra?
16
23
35
12
56
13
− +14
320
16
118
12
35
− +32
85
109
43
− +13
59
45
1310
− +110
35
a)
b)
c)
d)
e)
114
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Plantear y resolver
Resolver los cálculos combinados.
60
59a) ( )⋅ + + − =4
1515
38
120
23
b) ( ) ( )− − ⋅ − =34
65
: 310
1225
56
c) ( )+ − + + =29
720
: 56
14
415
d) ( )− ⋅ − =56
52
: 38
27
116
e) ( )− + =1225
: 710
32
2415
: 83
f) ( ) ( ) ( )− + ⋅ + − − =65
76
152
1 138
: 5
a) Martín trabajó 23 días en marzo, 24 días en abril y 22 días en mayo. ¿Qué porcentaje de los días trabajó en los tres meses?
b) Se compra una cafetera de $ 680 con un recargo del 5% y se paga en 6 cuotas fijas. ¿Cuál es el valor de la cuota?
c) A una compra de $ 450, se le realiza un descuento; así se ahorran $ 36. ¿Cuál es el porcentaje de descuento?
d) Se deposita dinero en un banco al 3% mensual y después de un año y medio se retiran $ 3 850. ¿Cuánto dinero se depositó?
e) En una excursión, el 45% son varones; y hay 88 mujeres. ¿Cuántas personas fueron a la excursión?
f) Un diariero le agrega un 40% de ganancia a una revista que vende a $ 49. ¿A qué precio compró la revista?
115
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Teoría
Potenciación y radicación de fracciones
Resolver las siguientes potencias y raíces.
a) ( ) =813
2
b) ( )− =75
2
c) 81100
d) ( )− =25
3
e) − =1216
3
f) 1681
4
a) ( ) =−7
3
1
b) =−9 1
c) 114
2
( ) =−
d) =−3 3
e) ( )− =−6
5
2
f) ( )− =−7
2
g) ( )− =−1
3
3
h) ( )− =−4
3
i) ( )− =−2
5
4
j) ( )− =−2
6
k) − =−3 2
l) − =−5 3
Calcular las siguientes potencias de exponente negativo.
61
62
• La potenciación de fracciones con exponente natural se define igual que la potenciación de números enteros y cumple con las mismas propiedades.
ab
ab
ab
ab
ab
1n
n veces
n
n
0
( )ab ( )a
b= ⋅ ⋅ =... ∧ =( )a
b
a) 127
14449
2
( ) = b) 611
36121
2
( )− = c) 56
125216
3
( )− = − d) 13
181
4
( )− = e) 12
132
5
( )− = −
Si el exponente es un entero negativo, la potenciación se resuelve según cada definición.
• La radicación de fracciones se define igual que la radicación de números enteros y cumple con las mismas propiedades.
ab
cd
ab
cd
ab
cd
ab
cd
nn n
n
n
n( )= = = =
ab
ab
nn
n
a) 2549
2549
57
b) 18
18
12
33
3 c) 32
24332
24323
55
5− = − =−
a 1a
nn=−
n n
( )ba( )a
b=
−
a) 5 15
125
22= =−
b) ( )( )
− =−
=−7 1
7149
2
2
c) ( )( )
− =−
=−−3 1
3127
3
3
d) − =− =−−4 14
116
22
a) 89
98
1
( ) =−
b) ( ) ( )− = − =−−6
776
343216
3 3
c) 57
75
4925
2 2
( ) ( )− = − =−
d) ( ) ( )− = − =−2
332
8116
4 4
116
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Calcular el valor del lado azul en cada triángulo rectángulo.
Hallar el valor de cada letra.
Resolver los siguientes cálculos combinados.
64
63
65
a) 1a
1289
2
( ) = a
b) 5 15
b b
c) 1c
114
c
d) 57
4925
d
( ) = d
e) 8116
32
e e
f) 2 1128
f f
g) 16
216g
( ) = g
h) 1h
18
3 = − h
i) k 1343
3 = −− k
a) b)
a) ( )− + + =−74
32
2 12
33
b) ( ) ( )− − + − =325
12
: 5037
209
: 83
c) ( ) ( )− − ⋅ − − =−12
2 2 52
23 2
2
d) ( ) ( )− + − ⋅ − =−1 1927
35
5 57
3 2
e) ( )− − + + =524
: 15
310
2 79
3
f) ( ) + − + =−
− −15
2 45
3 . 201
44 2 1
12
65
52
2
117
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Teoría
Lenguaje coloquial y simbólico
Marcar en cada entero y hallar gráficamente la fracción resultante.
Traducir al lenguaje simbólico y hallar la fracción irreducible.
a) La tercera parte de la mitad. b) Las mitad de las tres quintas partes.
c) Los tres cuartos de las dos terceras partes.
a) Las tres cuartas partes de la suma entre tres y un tercio.
b) Las dos quintas partes de la diferencia entre un sexto y uno.
c) La suma entre las cinco sextas partes de nueve décimos y un octavo.
d) La diferencia entre un tercio y las tres décimas partes de quince novenos.
a) Si se gasta la tercera parte de $ 252 y luego, la cuarta parte del resto.
b) Si se gastan las dos quintas partes de $ 305 y luego, las dos terceras partes del resto.
Calcular la cantidad de dinero que queda.
Marcar con una X la o las expresiones simbólicas que correspondan.
a) La tercera parte del siguiente de un número n3
1 n 13
+ ⋅n 1 13
13
n 1
b) La suma entre un número y su mitad n n : 2 n n2
12
n n n 12
n
c) El cuadrado de la mitad de un número n2
2 n : 42 ( )12
n2
12
n2
d) El anterior de la cuarta parte de un número n 14
n : 4 1 n4
14
14
n 1
68
66
69
67
En el lenguaje simbólico, puede haber varias expresiones equivalentes con el mismo significado.
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
La mitad de un número n : 2 n2
12
n n 12
= = = ⋅
Los dos terceras partes de un número 23
n 2n3
2 n3
n 23
= = = ⋅
La cuarta parte del anterior de un número 14
n 1 n 14
n 1 : 4( ) ( )− = − = −
118
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Teoría
Ecuaciones lineales con fracciones
Las ecuaciones con fracciones se resuelven de igual manera que con números enteros.
a) 13
x 56
34
x 12
13
x 34
x 12
56
512
x 43
x 43
: 512
=−
( )
− = +
− = +
− =
= −
x 165
b) 2x 15
x 32
14
25
x 15
12
x 32
14
25
x 12
x 14
32
15
110
x 2120
x 2120
: 110( )
− − − =
− − + =
− = − +
− =−
=− −
x 212
72 Decidir si existe un número que cumpla con la siguiente condición.
La mitad de su anterior es igual al siguiente de su mitad.
Desafío
Hallar mentalmente el valor que verifica cada ecuación.
Resolver las siguientes ecuaciones.
a) − − = + −25
x 14
12
x 35
310
x 32
b) ( ) ( )+ − = −23
x 1 35
x 12
x 3
c) ( )− − + =49
38
x 2716
34
x 1 13
d) + − = − +3x 25
310
5x 115
16
x
e) − − − =4x 912
6x 108
56
f) ( )− − = −310
2425
512
58
x 2x 16
a) a 13
4+ = − a
b) 14
b 7 2+ = b
c) 5 23
c 11− = c
d) + =−d10
310
12
d
e) 32
e4
2+ = e
f) 1 g12
23
− = − g
70
71
119
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Plantear la ecuación y hallar el número que cumple con cada condición.
Plantear la ecuación y resolver.
73
74a) La base de un rectángulo es 3 cm menor
que las ocho quintas partes de la altura Si el perímetro es de 72 cm, ¿cuál es la superficie del rectángulo?
b) Alicia tiene $ 40 más que Pablo. Si la sexta parte de lo que tiene Pablo es igual a la octava parte de lo que tiene Alicia, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
c) De un frasco, se sacan 20 caramelos; y las siete décimas partes de los que quedan son la mitad de los caramelos. ¿Cuántos caramelos hay en el frasco?
d) La quinta parte de agua que queda en un tanque luego de sacarle 10 litros es igual a la cuarta parte que queda si se le sacan 50 litros. ¿Cuántos litros hay en el tanque?
e) Una persona gasta las cuatro séptimas partes del dinero que tiene y luego las tres octavas partes. Si aún le quedan $ 15, ¿cuánto dinero tenía?
f) Si la cuarta parte de la edad que tendrá Sofía dentro de siete años es igual a la tercera parte de la edad que tenía hace un año, ¿Qué edad tiene Sofía?
g) De un trayecto; se recorren las cinco novenas partes y luego las tres cuartas partes del resto. Si aún quedan 30 km, ¿cuál es la longitud del trayecto?
h) De un poste, se pinta la sexta parte de rojo; la cuarta parte, de verde; y los cuatro quintos de lo que queda, de azul. Si faltan pintar 7 m, ¿cuánto mide el poste?
a) La suma entre su mitad y sus cuatro quintas partes es treinta y nueve.
b) Sus cuatro novenas partes superan a su sexta parte en quince unidades.
c) Las tres quintas partes de su anterior es igual a la mitad de su consecutivo.
d) La tercera parte de su siguiente es igual a su cuarta parte aumentada en dos.
120
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Teoría
Ecuaciones con potencias y raíces
Las ecuaciones con potencias y raíces se resuelven aplicando las mismas propiedades que con números enteros.
a) x 23
109
x 109
23
x 49
x 49
x 23
2
2
2
2
=±
+ =
= −
=
=
=
x 23
b) 15x 1
4710
15x 1
4710
15x 1
449100
15x 49
10014
15x 6
25
2 2
=
( )
+ =
+ =
+ =
= −
=
x 65
)( c) 2
9x 1
67
1229
x 712
16
29
x 34
x 34
: 29
x 278
x 278
3
3
3
3
3
3
− =
= +
=
=
=
=
x 32
77 En un triángulo isósceles de 60 cm2 de superficie, la altura es igual a los seis quintos de la base.Calcular el perímetro del triángulo.
Desafío
Hallar mentalmente el valor que verifica cada ecuación.
Resolver las siguientes ecuaciones.
a) − =34
x 13
52
b) + =58
x 35
1720
c) − =758
x 15
163
d) − + =x 12
35
110
3
e) ( )+ − =154
x 16
2 1027
3
f) ( )⋅ − =125
92
x 56
215
4
a) )( =−
5 81
2
b) =64 45
c) )( =+−1
6278
3
d) − =58
14
e) )( + =− 5
652
1
f) =⋅2021
43
75
76
121
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Repaso
Resolver las siguientes potencias y raíces.
Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
Resolver los siguientes cálculos combinados.
78
79
80
a) 35
10
b) =−1 11
c) − =925
35
d) ( ) =17
492
e) 49
23
f) − =−3 19
2
g) ( ) =−1
28
3
h) ⋅ =15
15
15
i) ( )+ = +−2 3 1
213
1
j) =−5
225
1
k) =−49 17
1
l) − = −32
92
2
a) ( ) ( ) ( )− ⋅ − − =−5
453
25
1 32
2
b) ( ) − + − =−
−57
910
2 38
123
c) ( )+ + − =910
: 524
1 15
72
2
d) ( ) ( )− + − + =−7
554
: 35
2 13
12
2
e) ( )+ + − − =−− − −
3 2 351
213 2
3 2
f) − + =−56
78
: 23
15 . 2 24
a) ( )+ =25
1720
2
b) + =38
2372
c) ( )− =−7
41
12
3
d) − =34
338
3
122
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Resolver las siguientes ecuaciones.
Plantear y resolver.
Hallar la expresión simbólica.
Resolver las siguientes ecuaciones.
82
83
81
84
a) + + =2x 53
56
x 12
b) − + = −54
x 3x 96
x 58
c) ( )− + − =920
43
x 56
14
310
x 1
d) + − − =7x 1520
12x 1810
1720
a) Las cuatro séptimas partes del siguiente de un número:
b) El anterior a la mitad de la octava parte de un número:
c) El triple de la suma entre la cuarta y la sexta parte de un número:
d) La diferencia entre el doble y las tres quintas partes de un número:
a) ¿Cuál es el número cuyas seis quintas partes son iguales a las cinco cuartas partes de su anterior?
b) La diferencia entre la mitad del anterior y la tercera parte del siguiente de un número es tres. ¿Cuál es el número?
c) Lucas gasta las tres octavas partes del dinero que tenía, luego $ 26 y aún le queda la mitad. ¿Cuánto dinero tenía?
d) Guillermo es cuatro años mayor que Nadia. Si la cuarta parte de la edad de Nadia es igual a la quinta parte de la de Guillermo, ¿qué edad tiene cada uno?
e) Las dos novenas partes de las obras de un museo están en el segundo piso; las tres octavas partes, en el primero; y 174, en la planta baja. ¿Cuántas obras hay en el museo?
f) De un rollo de alambre, se utilizan las cinco sextas partes y luego, las cuatro quintas partes del resto. Si quedan 12 m, ¿cuántos metros de alambre tiene el rollo?
a) − =23
x 18
14
2 b) − =209
x 56
12
c) ( )− + =34
x 23
378
54
3 d) + − =7
8x 5
225
1110
123
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Integración
Hallar la fracción irreducible que representa la parte pintada en cada entero.
Buscar fracciones equivalentes y colocar o según corresponda.
Representar los siguientes números racionales.
Escribir tres fracciones que cumplan con cada condición.
a) =
=
58
1320
58
1320
b) =
=
1,4
1915
1,4 1915
c) − =
− =
− −
0,75
712
0,75 712
a) b) c) d)
a) ¿Cuánto gasta en el quiosco?
b) ¿Qué parte gasta en la librería?
c) ¿Qué parte del dinero le queda?
d) ¿Cuánto dinero le queda?
a) 35
34
b) 0,6 0,55
Macarena tiene $ 75, gasta las dos quintas partes en el quiosco y $ 25 en la librería.Plantear y resolver.
Resolver los siguientes cálculos combinados.
a) ( )⋅ − + + =1655
56
38
110
b) ( )− + =89
3524
: 512
1124
c) ( )+ − =920
34
712
: 14
: 389
89
90
87
86
88
85
1,25 43
1312 0,75
23
56
76 0,5
0
124
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Resolver los siguientes cálculos combinados.
Plantear la ecuación y hallar el número que cumple con cada condición.
Plantear y resolver.
Completar los casilleros.
91
92
93
94
a) En un partido de básquet, un jugador lanzó 8 dobles y convirtió 5, lanzó 7 simples y convirtió 4, y lanzó 5 triples y convirtió 3. ¿Cuál es su porcentaje de efectividad?
b) Se compra un producto con un 15% de descuento sobre el precio de lista y se paga $ 204. ¿Cuál es el precio de lista del producto?
c) Se paga un pasaje de avión en 12 cuotas fijas con un 9% de recargo. Si la cuota es de $ 218, ¿cuál es el valor del viaje sin recargo?
d) En los primeros 6 meses del año, un producto aumentó un 15% y en los últimos 6 meses un 20% sobre el nuevo precio. ¿Cuál fue el aumento total anual?
a) ( ) ( )− + − + =−2
51 7
814
: 25
112
1
b) ( ) ( )+ − − − =−
−98
85
: 15
72
22
33
c) ( ) ( )− + + − =−2
358
4 34
: 43
3
d) + − + =−− −
21 . 2 13 : 163
2 35
341 1
a) )( = 125216
3
b) = 1114
c) ( ) =23
8116
d) =1512
18
e) )( =−
6254
f) =729
73
g) )( =−
7 169
2
h) )( =− 15
19
1
a) La mitad de sus tres séptimas partes es doce.
b) El cuádruplo de las cinco novenas partes de su anterior es sesenta.
c) Los cinco tercios de la diferencia entre su mitad y ocho es treinta y cinco.
d) Las dos quintas partes de su siguiente superan en dos a la tercera parte de su anterior.
125
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Integración
Hallar mentalmente el valor que verifica cada igualdad.
Plantear y resolver.
Resolver las siguientes ecuaciones.
Tres hermanos le compran un regalo a su mamá. Julieta aporta las tres octavas partes; Mailén, las dos
terceras partes de lo que falta; y Joaquín, $ 10.
Plantear y responder.
a) De un tanque lleno de agua, se sacan las tres
décimas partes. Si para que quede la mitad hay
que sacar 120 litros más, ¿cuánta agua había en
el tanque?
b) Pedro tiene $ 32 más que Laura, y la novena
parte de lo que tiene Pedro es igual a la
quinta parte de lo que tiene Laura. ¿Cuánto
dinero tiene cada uno?
a) + =34
a 11 2 a b) − =52
b3
76
b c) ( )+ =12
14
: c 18
c
a) − =154
x 53
1115
2 b) + =43
x 25
1910
c) + = −65
x 29
163
3 d) − + =12
x 34
75
910
3
a) ( )− − = −25
3x 154
34
x 58
25
x b) + − + =−4x 156
x 129
116
c) ( )− − = − +920
53
x 29
4x 1510
115
a) ¿Con qué parte del regalo colabora Mailén?
b) ¿Cuánto dinero aporta?
c) ¿Cuánto aporta Julieta?
d) ¿Con qué parte del regalo colabora Joaquín?
Resolver las siguientes ecuaciones.
Calcular el perímetro del rectángulo.
Superficie: 73
cm2
99
100
97
96
98
95
x 23
cm
x2 3
cm
126
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@kapelusznormaar
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