Matemática 2° Medio€¦ · decidir si dos figuras son semejantes, requerimos de conceptos...

1 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Matemática 2° Medio UNIDAD 4. Semejanza.

Teorema de Tales

GUÍA N° 1 PLANOS Y DIBUJOS A ESCALA

¿Sabes lo que es un dibujo a escala? Un dibujo está en la escala 1:k, si cada centímetro en el dibujo representa k centímetros de la realidad. Por ejemplo:

Si calculamos la razón entre una longitud en el dibujo y su equivalente en la realidad, vemos

que 7 5 1= =

175 125 25, por lo que el dibujo de la vaca está a escala 1 : 25 (se lee “1 es a 25”), es

decir cada centímetro del dibujo representa 25 centímetros de la realidad. En algunos casos el dibujo es de mayor tamaño que la realidad. Por ejemplo, en el dibujo la hormiga está a una escala 2 : 1, es decir 2 cm de la imagen equivale a 1 cm de la realidad. Si la escala es 1 : 1 el dibujo está a tamaño real.

medidas dibujo realidad largo 7 cm 175 cm alto 5 cm 125 cm

7cm

5cm


ACTIVIDADES

1. ¿En qué escala estarán las imágenes de la manzana y de la chinita? Discute primero con tu

compañero acerca de cuáles son las medidas reales. Mide luego las imágenes y determina la escala usada aproximadamente.

2. La siguiente figura muestra el plano de una casa a

escala 1:100. Calcula midiendo en el plano: a) Largo y ancho reales de cada una de las piezas. b) El área real total de la casa.

3. En un mapa a escala 1:1.500.000, la distancia entre dos ciudades es 2,5 cm. a) ¿Cuál es la distancia real entre esas dos ciudades? b) ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades cuya distancia real es 360 km?

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Dormitorio


GUÍA N° 2 POLÍGONOS SEMEJANTES

Hemos visto figuras de objetos que están “a escala”. Matemáticamente decimos que los objetos son semejantes. En la actividad anterior, pudimos calcular la escala y calcular medidas de dos objetos semejantes. ¿Pero cómo podemos saber si dos figuras son semejantes? Observemos nuevamente la imagen de la vaca. Todas son semejantes entre sí, excepto una. ¿Cuál? Pues la de más a la derecha: esa vaca es más alargada que las otras. Las otras son semejantes independiente que hay una que está girada o que hay otra que está mirando a la derecha, en vez de a la izquierda. Semejante significa que las figuras tienen la misma forma. Pero para poder decidir si dos figuras son semejantes, requerimos de conceptos matemáticos más rigurosos, ya que “tienen la misma forma” es muy vago. Para eso usaremos figuras más simples que por ejemplo la de la vaca. Usaremos polígonos. El concepto de “escala” usado en mapas y planos, corresponde al concepto matemático de razón que has estudiado en años anteriores. Cuando dos razones tienen el mismo valor, se habla de proporción. Estos mismos conceptos se pueden aplicar ahora a la geometría y con ellos explicaremos qué significa semejanza. Segmentos proporcionales Dos segmentos, AB y CD son proporcionales a otros dos segmentos, EF yGH , si sus

razones son equivalentes, es decir, AB EF=

CD GH.

Semejanza de Figuras Geométricas Dos figuras geométricas son semejantes, si tienen la misma forma, es decir si están “a escala”. La escala se denomina razón de semejanza. En las siguientes actividades intentaremos definir más precisamente que significa semejanza.


ACTIVIDADES

1. Los segmentos AB ,CD ,EF yGH, miden respectivamente 15 cm, 20 cm, 25 cm y 30 cm.

¿Son proporcionales los segmentos AB y CD a los segmentos EF y GH?

2. Aquí ves tres rectángulos, A, B y C. a) A simple vista, ¿cuáles te parecen semejantes entre sí? (Recuerda que semejante significa que “tienen la misma forma pero están a escala”.) Discute con tu compañero y marca tus alternativas a la derecha. b) Mide los lados de cada uno de los rectángulos y anota tus resultados. c) ¿Son proporcionales el largo y el ancho del rectángulo A con el largo y el ancho del rectángulo B? ¿Son proporcionales el largo y el ancho del rectángulo A con los correspondientes del rectángulo C? ¿Son proporcionales los lados del rectángulo B y los de C? Realiza los cálculos y compara con lo que marcaste en la parte a).

A C B

¿A y B?

Sí No

¿A y C?

¿B y C?

Rectángulo A

Largo:

Rectángulo B Rectángulo C

Largo: Ancho:


3. Ahora ves tres cuadriláteros, A, B y C.

a) A simple vista, ¿cuáles te parecen ahora semejantes entre sí? Discute con tu compañero y marca tu alternativa a la derecha. b) Mide los lados de cada uno de los rectángulos y anota tus resultados. c) ¿Son proporcionales los lados del cuadrilátero A y los de B? ¿Y los lados de A y los de C? ¿Y los lados de B y los de C? Realiza los cálculos y compara con lo que marcaste en la parte a). d) Para que dos polígonos sean semejantes, ¿basta con que sus lados sean proporcionales? ¡Justifica! e) Mide los ángulos de los cuadriláteros A, B y C. Compara con lo que marcaste en la parte a). ¿Qué te llama la atención? f) Redacta una oración

¿A y B?

Sí No

¿A y C?

¿B y C?

Cuadrilátero A Cuadrilátero B Cuadrilátero C

A C B

Para que las figuras sean semejantes, sus lados… y sus ángulos…


ACTIVIDADES

Ahora podemos dar una definición más precisa de semejanza. Dos figuras geométricas son semejantes, si 1. Las medidas los lados de una figura son

proporcionales a las medidas de los lados correspondientes de la otra figura,

y si además 2. sus ángulos correspondientes son congruentes.

Los ángulos y los lados correspondientes reciben el nombre de homólogos. Para denotar semejanza usamos el símbolo ∼. Por ejemplo, en la figura vemos dos polígonos semejantes, ABCD y PQRS. Escribimos: ABCD ∼ PQRS. El lado AB es el homólogo de PQ; El lado BC el homólogo de QR, etc. El ángulo BAD es el correspondiente al ángulo QPS; el ángulo CDA es el correspondiente al ángulo RSP, etc. 1. Analiza los siguientes pares de polígonos y decide si son o no semejantes. Si son

semejantes, calcula la razón de semejanza y anota los pares de lados y ángulos homólogos. Si no son semejantes, explica qué falló (basta sólo con un argumento).

2. Una fotografía de 9 cm de ancho y 6 cm de alto se pone en un marco que lo excede en 2,5 cm. ¿Son semejantes la foto y el marco?

3. ¿Cuáles de los siguientes polígonos son siempre semejantes? Si la respuesta es afirmativa, justifica. Si no son semejantes, argumenta una cosa que falle. a) Dos cuadrados b) Dos hexágonos regulares c) Dos triángulos d) Dos triángulos equiláteros

A

D

C

B

S R

Q P

V

W

U

T

A

D

C

B K

H

J

I

A

D

C

B

E

L

9 2,5

6

2,5

2,5

2,5


ACTIVIDADES

1. Los paralelogramos de la figura son semejantes, es decir ABCD ∼ MNPQ. a) Verifica que los lados son proporcionales. b) Calcula la razón de semejanza. c) Mide las alturas h y h’ y calcula la razón entre ellas. d) Calcula los perímetros P y P’ de cada paralelogramo y calcula la razón entre ellos. e) Mide la diagonal AC y su homóloga en el paralelogramo MNPQ. ¿Cuál es la razón entre estas diagonales? f) Sin medir: ¿Cuál es la razón entre la diagonal DB y su correspondiente PN? g) Calcula el área de cada uno de los paralelogramos y calcula la razón entre ellas. ¿Qué relación hay entre esta razón y la razón de semejanza?

2. Un cuadrado tiene lado 4 cm y otro tiene lados de 5 cm. A cada cuadrado le construimos su circunferencia circunscrita, como ves en la figura. ¿En qué razón están los radios de las circunferencias? ¿Y si hubiésemos construido las circunferencias inscritas, es decir circunferencias que tocan a los cuadrados por dentro?

3. El lado de un cuadrado aumenta de 5 cm a 15 cm. ¿Qué sucede con su perímetro? ¿Qué sucede con su área?

N M

O P

A

D C

B

h h'


GUÍA N° 3 SEMAJANZA DE TRIÁNGULOS

De acuerdo a lo visto en la guía anterior, sabemos que dos triángulos son semejantes, si tienen sus ángulos correspondientes congruentes y sus lados correspondientes proporcionales. En la figura siguiente los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes, es decir ∆ABC ∼ ∆A’B’C’. Esto significa que los ángulos correspondientes son congruentes, es decir: 1. α ≅ α’ 2. β ≅ β’ 3. γ ≅ γ’ Además los lados correspondientes deben ser proporcionales, es decir:

4. a b=

a' b' 5.

a c=

a' c' 6.

b c=

b' c'

Para verificar que dos triángulos son semejantes, debemos entonces realizar 6 comprobaciones o cálculos, lo cual es bastante tedioso. Surge entonces la pregunta: ¿Es necesario realizar siempre las seis comprobaciones? ¿O basta comprobar sólo algunas de ellas? Y si basta comprobar sólo algunas de ellas, ¿cuáles se deben comprobar? ¿Hay algún criterio? La respuesta es que sí lo hay. De hecho estos criterios se conocen como criterios de semejanzas. Los criterios de semejanza establecen las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para ser semejantes.

C’

a

B’

b

A

A’

C

B c

a' b'

c'

α β

γ

α' β'

γ'


ACTIVIDADES

1. ¿Qué sucede si sólo verificamos dos pares de ángulos?

Supón que α = 40º y β = 60º. a) Dibuja un triángulo con esas características. (Primero dibuja el trazo AB de la medida que quieras, luego mides ambos ángulos y así obtendrás el triángulo) b) Compara tu triángulo con el que dibujó tu compañero. ¿Son semejantes?

2. ¿Qué sucede si sólo verificamos un par de ángulos y una de las proporciones? Supón que α = 50º, c = 4 cm y b = 3 cm. a) Dibuja un triángulo con esas características. (Primero dibuja el trazo AB de 4 cm, luego mides el ángulo de 50º y después mide los 3 cm del lado b. Así obtendrás el triángulo) b) Dibuja ahora un triángulo, pero duplicando los lados c y b, es decir, con α = 50º, c = 8 cm y b = 6 cm. Compara este nuevo triángulo con el que dibujaste en la parte a). ¿Son semejantes?

3. ¿Qué sucede si sólo verificamos las proporciones de los lados? Supón que a = 4 cm, c = 5 cm y b = 3 cm. a) Dibuja un triángulo con esas características. (Primero dibuja el trazo AB de 5 cm. Luego pones el compás en A, lo abres 3 cm (lo que mide b) y trazas un arco. Pones el compás después en B, lo abres 4 cm (lo que mide a) y trazas un arco. Así obtendrás el triángulo) b) Dibuja ahora un triángulo, pero duplicando los lados a, b y c, es decir, con a = 8 cm, c = 10 cm y b = 6 cm. Compara este nuevo triángulo con el que dibujaste en la parte a). ¿Son semejantes?

Criterios de semejanza Generalicemos lo que acabas de analizar: Criterio ángulo - ángulo (AA) Dos triángulos son semejantes, si tienen dos de sus ángulos respectivamente congruentes. Criterio lado - ángulo - lado (LAL) Dos triángulos son semejantes, si dos de sus lados son proporcionales y si los ángulos que forman estos lados son congruentes. Criterio: lado - lado - lado (LLL) Dos triángulos son semejantes, si sus tres lados son proporcionales.

A

C

B α β

b

A

C

B c α

a b

A

C

B c


ACTIVIDADES

1. ¿Qué triángulos son semejantes? ¿Según qué criterio?

2. Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes y su razón de semejanza es 3

2. Calcula los

lados del triángulo A’B’C’, si sabemos que : AB = 12 m, BC = 9 m y AC = 7,8 m.

3. En la figura de la derecha, ¿por qué son semejantes los triángulos APQ y ACB?

4. ¿Hay triángulos semejantes en la figura? ¿Cuáles? ¿Según qué criterio?


GUÍA N° 4 TEOREMA DE TALES

Tal vez recuerdes una propiedad de ángulos entre paralelas que estudiaste hace algún tiempo:

Si L1 y L2 son paralelas, entonces el ángulo α es congruente con el ángulo β.

Estos ángulos se conocen como ángulos correspondientes. (Hay muchos otros ángulos congruentes en la figura, pero para lo que nos concierne basta que recuerdes que α ≅ β.) Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, los triángulos que se forman son semejantes, debido a que hay ángulos correspondientes entre paralelas. En la figura, ∆UPS ∼ ∆VQS ∼ ∆WRS. Entonces podemos formar proporciones, por ejemplo entre los lados

de los triángulos SUP y SVQ: SP SU UP

= =SQ SV VQ

.

Lo interesante es que además, usando propiedades de las proporciones, se pueden comparar los segmentos que se forman sobre una transversal con los segmentos correspondientes de la otra.

Por ejemplo, según la figura: SU UV

=SP PQ

.

O también: UV VW

=PQ QR

Esto lo descubrió Tales de Mileto, quien vivió hacia el año 600 A.C.

Aunque se sabe poco de su vida, se le considera el padre de la Geometría. Aristóteles lo considera el primer filósofo griego, científico y matemático y es uno de los Siete Sabios Griegos. Fue el primero en tratar de explicar fenómenos naturales sin recurrir a la mitología, sino estableciendo hipótesis. El hecho concreto que más aseguró su reputación fue la predicción de un eclipse de sol en 585 a.C., que tuvo lugar exactamente el día que él había predicho. Igualmente fue el primero en mantener que la luna brilla por el reflejo del sol.

α L1

L2 β


ACTIVIDADES

1. Para los siguientes ejercicios, use la figura de la derecha con L1 // L2.

a) PC = 12 cm, PB = 6cm, BD = 2 cm. Determina el valor de AC. b) CD = 7 cm, PA = 2 cm, AC = 5 cm. Determina el valor de AB.

2. Para los siguientes ejercicios, use la figura de la derecha con L1 // L2 // L3.

a) a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm. ¿Cuál es el valor de d? b) a = 14 cm, c = 10 cm, b + d = 36 cm. ¿Cuál es el valor de b? c) a = 6 cm, a + c = 14 cm, b + d = 18 cm. ¿Cuál es el valor de d?

3. El teorema de Tales sirve para medir alturas de lugares inaccesibles, como por ejemplo la altura de una gran araucaria. Primero medimos la altura de una persona (en la figura aparece arrodillada, pero podría también estar parada). Esta persona observa la punta del árbol usando un triángulo rectángulo (por ejemplo una escuadra) cuyos lados hemos medido previamente. Además medimos la distancia de la persona hasta la araucaria (AB) y usamos el teorema de Tales para determinar AE. Supón que una persona cuyos ojos están a 1,60 m de altura se ubica a 30 m de la araucaria y que utiliza la escuadra cuyas medidas aparecen en la figura de la derecha. ¿Cuál es la altura de la araucaria?

a

d c

b

L1

L2

L3

B

D

A

EA

20 cm

10 cm

A

D C

B L1

L2

P

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