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MATEMATIZACIÓN EN LA CONSTITUCIÓN DE LA UNIDAD SIMILAR A PARTIR DE LAS FORMAS GEOMÉTRICAS DE LA SECCIÓN ÁUREA Autores: LIZ PIERANLLELY ACERO MOLINA ANGELLO DAVID CHAPARRO FONSECA DIRECTOR: JAIME HUMBERTO ROMERO CRUZ UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN- ÉNFASIS MATEMÁTICA BOGOTÁ D.C 2016
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MATEMATIZACIÓN EN LA CONSTITUCIÓN DE LA UNIDAD SIMILAR A
PARTIR DE LAS FORMAS GEOMÉTRICAS DE LA SECCIÓN ÁUREA
Autores:
LIZ PIERANLLELY ACERO MOLINA
ANGELLO DAVID CHAPARRO FONSECA
DIRECTOR:
JAIME HUMBERTO ROMERO CRUZ
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN- ÉNFASIS MATEMÁTICA
BOGOTÁ D.C
2016
Muchas gracias a las personas que contribuyeron en la construcción, desarrollo y
culminación de este proyecto de investigación.
A mis padres, por ser infinitos en el tiempo y en el amor. Por nunca desfallecer, mostrar
valentía, coraje y ejemplo.
A Liz Acero, por su tolerancia y comprensión; eres mi cómplice, mi compañera, mi amor.
A mis hermanas, por mostrarme la importancia del trabajo y de la constancia.
A Jaime Romero, por su orientación, sus valiosas contribuciones y apoyo; que terminan
plasmadas en el informe final.
A el grupo MESCUD, por mostrarme el valioso aporte del trabajo colectivo en la
construcción del conocimiento.
A la Maestría en Educación de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, por su
apuesta de formación y apoyo a los estudiantes.
A los estudiantes del Instituto Mayéutico.
Angello David Chaparro Fonseca
AGRADECIMIENTOS
Al profesor Jaime H. Romero Cruz, por compartir su sabiduría, orientación y su
espontaneidad lo cual posibilitó el desarrollo y culminación del actual proyecto. Al grupo
MESCUD y al profesor Mauricio Becerra, por formarnos en disciplina y rigurosidad,
siempre desde la autonomía.
A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, al proyecto curricular Maestría en
Educación y nuestros compañeros, a Oscar Javier, por seguir con el compromiso de generar
espacios para que la academia y la investigación sigan siendo un puente para nuestro
crecimiento personal y profesional.
A Angello David, por su amor, comprensión y compañía, que sea éste un nuevo punto de
partida para encontrar fortuna del saber. Gracias por siempre caminar junto a mí.
A mis amigos, por encontrar en sus palabras fuerza y dedicación para culminar las metas
propuestas, por su cariño y comprensión.
Sin duda alguna, a mis Padres Ana Isabel, José Gustavo y hermanos Diana Alejandra,
Andrés Gustavo, por su incondicionalidad, su amor inconmensurable y sus victorias. Por la
dicha que se encuentra cuando el crecimiento espiritual está implícita en el crecimiento
académico, como nuestros padres nos han enseñado.
Por último, a Isabelina, por enseñarme a encontrar en cada día un nuevo saber sin detenerse
por las limitaciones, que la lucha personal es un motor de vida y que el olvido no es límite
para amar y seguir siempre adelante. A tu vida y tu memoria, abuelita.
Liz Pieranllely
AGRADECIMIENTOS
El siguiente informe aborda la constitución de un modelo alterno de multiplicación (Unidad
Similar) a partir de los conceptos razón y proporción, mediante formas geométricas de la
sección áurea. Se desarrolla como requisito para optar el título de magister en Educación
con énfasis en Matemáticas de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, en la
modalidad de investigación, que implica la construcción de conocimiento a partir de un
proceso analítico.
Este trabajo se caracteriza por diseñar e implementar una secuencia de tareas bajo el
experimento de enseñanza como método de investigación, con el fin de identificar en la
matematización de los estudiantes: representaciones, modelos, argumentos y características
del contexto generador de comprensión matemática, en la constitución de la unidad similar.
Reconociendo así, la importancia del pensamiento multiplicativo en la escuela, ya que ésta
se debe enfrentar a la complejidad social actual y responder con la búsqueda de formas
multiplicativas diversas que constituyan en los estudiantes modelos recursivos, propios del
pensamiento matemático avanzado.
Esta investigación estuvo en constante construcción, mediante las discusiones y aportes
propuestos por el grupo MESCUD (Grupo de Matemáticas Escolares Universidad Distrital)
a través de reuniones, como una actividad de construcción de conocimiento en la
comprensión de los procesos investigativos y el ejercicio metodológico de la investigación.
El actual informe está organizado en cinco capítulos; el primero, inicialmente describe la
problemática de investigación que configura el objeto de estudio; posteriormente, hace
referencia a los antecedentes organizados en Fenomenología Didáctica, Razón y Proporción
y la Unidad Similar; seguido del problema y los objetivos de investigación; para finalizar
con la justificación del trabajo y posibles alcances.
El segundo capítulo, aborda la perspectiva teórica de la Educación Matemática Realista
[EMR] la cual determina la postura didáctica presente en la investigación y establece los
distintos niveles de comprensión que pueden presentar los estudiantes, respecto al
desarrollo de la secuencia de tareas en relación con la matematización del objeto
matemático. Así mismo, se hace claridad sobre los conceptos matemáticos y didácticos que
están en juego cuando se implementa la secuencia de tareas.
En el tercer capítulo, se presenta el experimento de enseñanza como metodología que
dinamiza y caracteriza la investigación; la manera que se construyó la propuesta de aula,
INTRODUCCIÓN
los roles de los investigadores, los instrumentos de recolección de información y
sistematización.
El cuarto capítulo, muestra la secuencia de tareas que describe la disposición de las
sesiones de clase, constituido por la justificación de cada tarea, los objetivos y las preguntas
orientadoras.
El quinto capítulo, hace referencia al análisis de la información generada por la
implementación de la secuencia de tareas, organizadas en tres fases que posibilitaran la
construcción del dato. Y por último, se presentan las conclusiones de la investigación.
Finalmente, los anexos recogen la secuencia de tareas piloto que se llevó a cabo con el
grupo de estudiantes de grado séptimo en las que se usaron tareas distintas a las
documentadas en el informe y que aportaron en la generación de un ambiente de clase que
permitiera salir de la tradición escolar.
AGRADECIMIENTOS .......................................................................................................... 2
AGRADECIMIENTOS .......................................................................................................... 3
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 4
CAPÍTULO I: DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN............................................................. 9
1.1 Planteamiento y descripción del problema de investigación ................................... 9
1.2 Pregunta de investigación ...................................................................................... 10
1.3 OBJETIVOS .......................................................................................................... 10
1.3.1 Objetivo general ............................................................................................. 10
1.3.2 Objetivos específicos ...................................................................................... 10
1.4 Antecedentes .......................................................................................................... 11
1.5 Fenomenología Didáctica Y Análisis Fenomenológico ........................................ 11
1.6 Razón Y Proporción ............................................................................................... 13
1.7 Unidad similar ........................................................................................................ 15
1.8 Justificación ........................................................................................................... 16
CAPÍTULO II: MARCO CONCEPTUAL .......................................................................... 18
2 Educación Matemática Realista [EMR]. ................................................................... 18
2.1.1 Principio de actividad ..................................................................................... 19
2.1.2 Principio de realidad ....................................................................................... 19
2.1.3 Principio de reinvención ................................................................................. 20
2.1.4 Principio de niveles ........................................................................................ 20
Matematización horizontal: ........................................................................................... 20
Matematización vertical ................................................................................................ 20
2.1.5 Principio de interacción .................................................................................. 21
2.1.6 Principio de interconexión .............................................................................. 21
2.2 Modelos y Representaciones desde la EMR .......................................................... 22
2.3 Unidad Similar: aspectos didácticos ...................................................................... 23
2.4 Razón, proporción y sección áurea: Aspectos históricos ....................................... 23
2.5 Razón y proporción: Aspectos Didácticos ............................................................. 26
CAPÍTULO III: METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN ............................................... 27
3 INVESTIGACIÓN DE DISEÑO .............................................................................. 27
3.1 El Experimento de Enseñanza como Metodología de Investigación ..................... 28
TABLA DE CONTENIDO
3.1.1 Fase 1: Diseño y planificación de la instrucción ............................................ 29
3.1.2 Fase 2: Experimentación en el aula o en un entorno virtual de las tareas
diseñadas. ...................................................................................................................... 29
3.1.3 Fase 3: Análisis retrospectivo ......................................................................... 30
3.2 Construcción de categorías .................................................................................... 35
3.3 Instrumentos y recolección de la información ....................................................... 35
3.3.1 Grabación en audio y video:................................................................................. 35
3.3.3 Notas del investigador-docente: ........................................................................... 35
3.4 Sistematización de la información ......................................................................... 36
3.5 Elección Del Grupo ............................................................................................... 36
3.6 Metodología Para El Desarrollo De Las Tareas .................................................... 39
3.6.1 Descripción De Los Componentes De Las Tareas ......................................... 39
CAPÍTULO IV: SECUENCIA DE TAREAS ...................................................................... 41
4. Secuencia De Tareas Documentada .......................................................................... 41
Actividad 1: ....................................................................................................................... 41
4.1 Matriz De Secuencia De Tareas ............................................................................. 55
CAPÍTULO V: ANÁLISIS RETROSPECTIVO ................................................................. 56
5. Método De Análisis ................................................................................................... 56
5.1 Primera Fase: Indicadores De Análisis Y Análisis De Las Tareas ........................ 57
5.1.1 Análisis de tareas ............................................................................................ 59
5.1.2 Fase uno: Conclusiones finales....................................................................... 69
5.2 Segunda Fase: Análisis De La Secuencia De Tareas ............................................. 70
5.2.1 Evolución de los modelos en la secuencia de tareas. ..................................... 71
5.2.2 Evolución de la conservación de la razón en la secuencia de tareas. ............. 73
5.2.3 Progreso de verbalización en la secuencia de tareas. ..................................... 73
5.2.4 Algunas consideraciones sobre la organización de la clase ........................... 74
5.2.5 Consideraciones acerca de la ruta de aprendizaje forma a figura................... 74
5.3 Tercera Fase: Análisis Retrospectivo .................................................................... 75
CONCLUSIONES ................................................................................................................ 76
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................. 78
ANEXOS .............................................................................................................................. 80
Secuencia De Tareas - Pilotaje ......................................................................................... 80
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1 Razones asociadas a los Pitagóricos _____________________________________________ 24 Ilustración 2 Iteración de la Extrema y media Razón ___________________________________________ 25 Ilustración 3 Invarianza de ángulos desde el Pentágono Regular _________________________________ 25 Ilustración 4 Triángulo Isósceles Áureo ABC _________________________________________________ 41 Ilustración 5 Construcción del Gnomon ACD _________________________________________________ 42 Ilustración 6 Construcción Pentágono Regular a partir de Triángulos Áureos _______________________ 45 Ilustración 7 Construcción de la Homotecia del Pentágono Regular _______________________________ 49 Ilustración 8 Imágenes Homotéticas del Pentágono Regular _____________________________________ 49 Ilustración 9 Superposición como método de solución __________________________________________ 59 Ilustración 10 Bosquejo para la interpretación de la Segunda Tarea ______________________________ 61 Ilustración 11 Construcción Pentágono Irregular a partir del Triángulo Áureo ______________________ 62 Ilustración 12 Utilización de la Estrella Pitagórica como solución a la Segunda tarea ________________ 63 Ilustración 13 Construcción del Pentágono Regular a partir de Triángulos Áureos ___________________ 64 Ilustración 14 Explicación sobre la longitud de los lados de los Triángulos Áureos ___________________ 64 Ilustración 15 Organización datos a partir de la solución de la tarea ______________________________ 65 Ilustración 16 Construcción Caja Homotética ________________________________________________ 66 Ilustración 17 Tabulación como soporte de argumentación de la tercera tarea ______________________ 67 Ilustración 18 Socialización de los datos encontrados en La construcción de la Caja Homotética ________ 68 Ilustración 19 Interpretación de Acciones de los estudiantes respecto a los modelos producidos _________ 71 Ilustración 20 Acciones de la unidad similar para la conformación del símbolo o Fraccionario _________ 72 Ilustración 21 Conformación de las representaciones a partir de los modelos evidenciados por los estudiantes
_____________________________________________________________________________________ 72 Ilustración 22 Fichas Actividad de Pilotaje __________________________________________________ 80 Ilustración 23 Posibles Construcciones _____________________________________________________ 82 Ilustración 24 Posible Solución involucrando las diferentes fichas ________________________________ 83
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1 Descripción de acciones realizadas en el Experimento de Enseñanza ............................................... 32 Tabla 2 Organización y clasificación de la experimentación .......................................................................... 38 Tabla 3 Tabla Preguntas orientadoras para diseño de tareas ........................................................................ 40 Tabla 4 Preguntas orientadoras construcción Triángulo Isósceles Áureo ...................................................... 43 Tabla 5 Preguntas orientadoras para la construcción del pentágono ............................................................. 46 Tabla 6 Preguntas acerca de la homotecia ...................................................................................................... 50 Tabla 7 Preguntas relaciones entre Magnitudes .............................................................................................. 50 Tabla 8 Preguntas orientadoras para la clasificar de las formas triangulares áureas ................................... 53 Tabla 9 Matriz de Secuencia de Tareas ........................................................................................................... 55 Tabla 10 Ejemplo Análisis Primera fase .......................................................................................................... 56 Tabla 11 Indicadores de Análisis a partir de acciones .................................................................................... 58 Tabla 12 Relación de tareas a partir de los niveles de comprensión ............................................................... 70 Tabla 13 Análisis Forma - Figura .................................................................................................................... 74 Tabla 14 Contrastación Hipótesis inicial y Dato construido ........................................................................... 75 Tabla 15 Preguntas para la clasificación de formas triangulares ................................................................... 81 Tabla 16 Preguntas orientadoras para la construcción y análisis de la forma triangular .............................. 83 Tabla 17 Preguntas orientadoras para el análisis de ángulos ......................................................................... 84
1.1 Planteamiento y descripción del problema de investigación
Existen dificultades que se presentan en la comprensión de los objetos matemáticos que
hacen parte del pensamiento multiplicativo, tal como la razón y la proporción, las cuales se
deben a las prácticas escolares usuales que vienen trabajando este pensamiento casi
únicamente en el contexto numérico y en especial en el tratamiento de la multiplicación
como suma reiterada, tal como lo afirman Bonilla y Romero (2005); MESCUD (2005) y
Confrey (1994).
La actual investigación tiene en cuenta la indagación del último autor, quien consecuente a
este problema, propone una conjetura denominada splitting o similaridad como estructura
alternativa y complementaria para la construcción de un esquema primitivo de número que
a su vez permite elaborar un modelo alterno de multiplicación diferente al trabajo con la
suma reiterada, atendiendo de esta manera a la comprensión de algunos objetos
matemáticos, los cuales modelados a través de acciones primitivas como la partición,
reiteración, división simétrica, entre otras; pueden dar lugar a modelos exponenciales,
considerados más apropiados para el desarrollo de objetos matemáticos; tal como la razón y
la proporción en la constitución de estructuras multiplicativas. En efecto, la similaridad se
entiende como creadora de una estructura multiplicativa (Confrey, 1994); basada en las
acciones primitivas que hacen los niños por medio del trabajo de partición continua de
objetos, generando un mundo de similaridad.
Esta conjetura, es diferenciada al conteo y a la suma repetida en cuanto establece relaciones
con el contexto geométrico, concernientes a la semejanza y las trasformaciones
geométricas, donde las formas percibidas están en concordancia con la conservación de los
objetos, así estos se acerquen (ampliación) o se alejen (reducción) del observador. En este
sentido, la generación de semejanzas y congruencias entre figuras que describen un cierto
contexto de crecimiento, puede ser comprendida con la idea de unidad similar, la cual ha
sido denominada por Becerra y Romero (2008, párr. 11) “como la relación invariante entre
el sucesor y el predecesor, siendo esta, en el mundo de la similaridad: la razón”. Por otra
parte, tal conjetura en ese contexto de crecimiento basado en esta relación invariante,
posibilita la construcción de una propuesta de enseñanza de los números reales positivos
por medio de la razón y la proporción.
Atendiendo a las interpretaciones de Puig (1997); Bressan, Zolkower y Gallego (2004), en
la Educación Matemática Realista [EMR] propuesta por Freudenthal (2001) el estudiante
puede producir y aprender a manejar ideas matemáticas como medios de organización de
CAPÍTULO I: DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
situaciones. La actividad de producir la organización así como al resultado, es a lo que
Freudenthal denomina matematización.
De acuerdo con los planteamientos descritos en los anteriores apartados, la actual
investigación busca diseñar e implementar una propuesta de enseñanza o secuencia de
tareas relacionada con la propuesta de Acero y Díaz (2012), la cual se fundamenta en
implementar las formas que brinda la sección áurea para realizar una aproximación a la
unidad similar.
Cabe resaltar que consideramos la sección áurea en términos de la Fenomenología
Didáctica como un contexto que promueve la matematización en el uso de la razón y la
proporción a través de las transformaciones geométricas, y contribuye al desarrollo de la
unidad similar por ser un contexto enriquecido de formas que adquieren características de
crecimiento multiplicativo.
1.2 Pregunta de investigación
Reconociendo la importancia de la geometría y el desarrollo del pensamiento multiplicativo
en el ámbito escolar, para construir una aproximación pragmática a la compresión de la
unidad similar desde la EMR, se hace necesario responder la siguiente pregunta de
investigación:
¿Cuál es la matematización que se manifiesta en los estudiantes de grado séptimo, en la
participación de una secuencia de tareas que implica la unidad similar y las formas
geométricas de la sección áurea?
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo general
Describir los niveles de comprensión que se manifiestan en la matematización presentada
en estudiantes de grado séptimo, al momento de constituir la unidad similar por medio del
trabajo de las formas geométricas de la sección áurea.
1.3.2 Objetivos específicos
Implementar una secuencia de tareas desde el planteamiento de una fenomenología
didáctica que involucra la unidad similar y las formas geométricas de la sección
áurea.
Identificar en la matematización de los estudiantes, los niveles de comprensión
descritos en los principios de la EMR a partir de las tareas propuestas.
Dar cuenta de la aproximación por medio de los niveles de comprensión a la unidad
similar a partir la matematización horizontal y vertical realizados por los estudiantes
y las tareas propuestas.
1.4 Antecedentes
Partiendo del problema de investigación establecido anteriormente en referencia a la
enseñanza y aprendizaje del pensamiento multiplicativo, específicamente en el tratamiento
de la razón y la proporción, bajo la perspectiva teórica que ofrece Freudenthal (2001) y
reconociendo que nuestro objetivo es evidenciar en la matematización de los estudiantes,
acerca de la constitución de la unidad similar por medio del trabajo con las formas
geométricas de la sección áurea, se han organizado los antecedentes en tres grupos, a saber:
1.4.1) Fenomenología Didáctica y Análisis Fenomenológico, el cual hace alusión a
la propuesta de Freudenthal, y a la investigación sobre dificultades que experimentan los
docentes al buscar y proponer a los estudiantes, la organización de fenómenos de un
determinado objeto matemático desde el análisis fenomenológico.
1.4.2) Razón y Proporción, exponiendo principalmente los resultados del
planteamiento de una fenomenología de la razón y la proporción, junto a una propuesta
acerca de una estructura multiplicativa alterna a la que se realiza actualmente en las
prácticas escolares.
1.4.3) Unidad similar y la importancia del contexto geométrico como medio de
regularización entre la constitución del objeto mental y la matematización implícita en la
secuencia de tareas.
1.5 Fenomenología Didáctica Y Análisis Fenomenológico
La actual investigación se basa sobre los principios de la Educación Matemática Realista
EMR, concibiendo la Fenomenología Didáctica desde este paradigma como la
consideración de fenómenos presentes en el mundo de los estudiantes, los cuales requieren
ser organizados a través de ideas matemáticas. Estos fenómenos se encuentran implícitos en
contextos y situaciones que se proponen en secuencias de enseñanza, y se caracterizan por
generar la necesidad de organizarlas a través de estructuras matemáticas. Según
Freudenthal (como citó Bressan, Zolkower y Gallego, 2004) éstas tienen dos principales
fuentes de búsqueda: la primera se remonta a la historia de las matemáticas, estableciendo
de cierta forma una fenomenología histórica; y la segunda, de acuerdo a las invenciones
espontáneas de los estudiantes, en cuanto a producciones matemáticas refiere.
En este sentido, se exalta el trabajo de Freudenthal (2001) frente a la posibilidad de
establecer una fenomenología didáctica de la razón y la proporción, donde el autor
argumenta la importancia de establecer esta fenomenología, necesaria para realizar un
acercamiento a los procesos de aprendizaje mediante la observación de los mismos, y las
contribuciones que las mismas contribuirían en el desarrollo curricular.
En primera instancia, Freudenthal (2001, p.4) formuló el estatuto lógico de la razón.
Posteriormente refiere a la razón y la proporción como una relación entre magnitud y entre
magnitudes, describiéndolas como una función de pares ordenados entre números o valores
los cuales son relacionados con situaciones sobre el tiempo, la velocidad y la rapidez.
Luego, establece la conexión que existe entre razón y la proporción en cuanto se constituye
el objeto mental de semejanza de figuras geométricas, exaltando la viabilidad del contexto
geométrico para establecimiento de esta conexión (esta última parte del trabajo de
Freudenthal (2001), será retomado en el siguiente capítulo)
Con respecto a lo establecido anteriormente acerca de la fenomenología didáctica -como la
organización de fenómenos concernientes al mundo de los estudiantes que genera la
necesidad de organizarlos a través de ideas matemáticas-, alternamente se concibe el
Análisis Fenomenológico como el establecimiento del conjunto de fenómenos que van a ser
considerados para el diseño y presentación de situaciones o contextos los cuales puedan
generar la constitución de objetos mentales que organicen dicho conjunto; es decir, como
refiere Puig (1997) se habla de una preparación curricular donde se describe la relación
entre los fenómenos y el medio en el que van a ser organizados, y a su vez, la estructura o
concepto que los va a organizar.
Es así como se tiene en cuenta el estudio realizado por Gómez y Cañadas (2011) cuyo
principal objetivo es identificar y caracterizar las dificultades que experimenta un grupo de
veintiséis profesores de matemáticas de educación básica secundaria y media en ejercicio
(bajo un programa de formación para másteres) en la conformación de ideas para ejecutar
un análisis fenomenológico.
Como metodología para realizar el estudio, los investigadores optaron por distribuir el
grupo de profesores en subgrupos de cuatro a cinco personas, los grupos debían abordar un
tema de las matemáticas escolares y analizarlo desde los elementos teóricos y técnicos que
implica realizar un análisis fenomenológico, como se expone en el marco conceptual que
conforma el documento de dicha investigación.
Mediante análisis de videos; exposición de los subgrupos de profesores; tabulaciones donde
se registran la viabilidad de los fenómenos en contexto; las estructuras y situaciones
escogidas para el desarrollo del tema dispuesto, evidencian los siguientes resultados: en el
momento de identificar y organizar los fenómenos que se ponen en juego en el aula de clase
referente a “las características estructurales de los fenómenos, pueden dar pistas sobre
aquellos aspectos matemáticos del tema que organizan los fenómenos pertenecientes a un
contexto. La identificación de la subestructura matemática que modela un contexto puede
surgir de esta reflexión” (p. 306).
Este estudio, es contemplado para la propuesta de investigación porque considera
problemático la selección de fenómenos a ser presentados a los estudiantes y la relación con
contextos reales o cercanos a los educandos; lo que se vincula con la necesidad de
encontrar elementos ligados (fenómenos y contextos) al trabajo de investigación, para
promover coherencia en la matematización de los estudiantes cuando se enfrenten a las
formas geométricas de la sección áurea.
1.6 Razón Y Proporción
Si bien, Freudenthal (2001) y Confrey (1994) describen una mejor comprensión de
estructuras matemáticas asociadas al pensamiento multiplicativo como lo es la razón y la
proporción bajo un contexto geométrico definido desde las transformaciones geométricas y
la constitución del objeto mental semejanza; en particular, la propuesta de Confrey (1994)
sugiere el desarrollo de la similaridad como alternativa para el trabajo del pensamiento
multiplicativo desde el desarrollo de actividades que involucren de acciones primitivas en
el estudiante como repetir, doblar, dividir simétricamente y ampliar, siendo estas acciones
la base de la similaridad y simultáneamente la creación de contextos que describen un
crecimiento respecto al aumento o disminución del tamaño de las figuras aunque se
conserve la misma forma, evidenciando una relación entre la recursión1 y las relaciones
multiplicativas, tal como lo evidencia los resultados de un experimento de enseñanza que
1 Según Otte (1990) (como lo citó Confrey, 1994) define un objeto se dice recursivo si se contiene a sí mismo
como una parte, o se define por sí mismo. (p.20)
tiene directa conexión con nuestro problema de investigación, al definir las dificultades del
pensamiento multiplicativo, en el siguiente apartado:
Afirmamos que nuestro tratamiento curricular de la multiplicación exclusiva o
predominantemente como una versión abreviada de sumas repetidas acarrea un bajo
desarrollo de la comprensión de la multiplicación como escala, ampliación o
crecimiento. (…) Reducir la multiplicación a sumas repetidas sólo puede resultar de
un deseo injustificado de producir y presentar una construcción única de los
números reales más que de celebrar y promover la posibilidad de múltiples sistemas
numéricos (Confrey, 1994, p. 05).
Acorde con la conjetura que propone Confrey (1994) a través de la construcción y
utilización de esquemas referidos a la similaridad, Narváez y Urrutia (2005) por medio de
un experimento de enseñanza en grado cuarto, bajo la teoría de esquemas, desarrollan una
secuencia de actividades donde se evidencia, en el trabajo realizado por los estudiantes, la
identificación de la similaridad como una estructura multiplicativa (además de ser adecuada
para el desarrollo de razón y proporción) desde contextos tanto discretos como continuos,
promoviendo el uso de variadas representaciones, especialmente el diagrama de árbol.
Considerando que la razón y la proporción requiere de la geometría como contexto que
promueva y desarrolle la similaridad desde el uso de esquemas primitivos como particionar,
alargar, ampliar; se exalta el trabajo realizado por Lerma (2001) quien en su artículo
describe cómo concibe la geometría desde la EMR para preparar una unidad didáctica que
pueda ser aplicada en los primeros grados para la enseñanza y aprendizaje de los elementos
de la geometría (específicamente a través de un cuento) concluyendo que “el contexto
geométrico designa un mundo de objetos y acciones, accesible a la experiencia de las
personas, en el que se destacan las características geométricas euclídeas” (Lerma, 2001,
p.74).
Se suma al anterior precedente, el artículo de Torres, Bornachera, y Giraldo (2012) quienes
realizan la descripción de una parte de su proyecto de tesis, procurando establecer una
fenomenología didáctica y análisis fenomenológico de la razón y la proporción,
fundamentándose en establecer diversos fenómenos pertenecientes a contextos de las
ciencias naturales y sociales (espacio vs. tiempo; fuerza vs. masa; fuerza vs. elongación u
escala mapas, planos y fotografías); en la cotidianidad (como razón de cambio y como
porcentaje), y con las matemáticas (haciendo alusión principalmente al Teorema de
Thales).
A partir de este establecimiento, Torres et al (2012) concluyen sobre la Fenomenología
Didáctica y el Análisis Fenomenológico como un fundamento basado en la diversidad de
los usos y significados en contextos tanto del mundo real como del mundo escolar; y de
esta forma, poder contribuir al proceso de la construcción de los números reales desde la
razón y la proporción. Teniendo en cuenta esta iniciativa, en relación al presente proyecto,
se evidencia la relación existente entre los fenómenos y los contextos reales que permita
encontrar, a lo que postula (Gravemeijer & Cobb, 2013) puntos iniciales para el arranque de
la secuencia de tareas.
1.7 Unidad similar
En el estudio realizado a los Elementos de Euclides por Becerra y Romero (2008) acerca de
la unidad similar -término derivado de la conjetura splitting- se exalta una de las
conclusiones de esta indagación, pues ella permite evidenciar la importancia de proponer
específicamente un trabajo desde la razón y la proporción áurea en el contexto geométrico
respecto al trabajo de investigación que se quiere generar:
La extrema y media razón es un concepto que, instrumentalizado, involucra técnicas
que generan secuencias de magnitudes ya sea divergentes o ya sea convergentes,
pero, el cambio en tamaño y forma de sus magnitudes está totalmente controlado.
Este hecho es relevante para una teoría de la aproximación, permite saber en qué
cantidad de magnitudes continuamente proporcionales a una dada hay que
incrementar una serie si con ella se requiere aproximar una cierta magnitud dada
con un grado de aproximación dado (Becerra & Romero, 2008, párr. 43).
La sección áurea ha sido utilizada en Vera y Correa (2007), quienes construyeron
actividades basadas en el análisis de pinturas y fotografías que se produjeron bajo el
contexto ya mencionado, además de la construcción de materiales tangibles como el
compás áureo; fundamentado en la concepción estética que brinda la proporción áurea,
como una propuesta de trabajar contextos matemáticos en relación al arte.
Finalmente, al considerar la utilización de la unidad similar en el tratamiento de figuras
geométricas y realzando la bondades que tiene el arte y la pintura que se realiza en el
contexto de la sección áurea, que tiene como principal exponente el pintor y escultor
Leonardo Da Vinci; se tiene en cuenta la propuesta hecha por Acero y Díaz (2012) quienes
involucran este contexto para el planteamiento de una secuencia didáctica que permita a
estudiantes de grado noveno, una aproximación a la unidad similar a través del trabajo con
las figuras geométricas de la sección áurea.
Este diseño tiene en cuenta algunos de los elementos que propone la Fenomenología
Didáctica, al buscar situaciones implícitas en el análisis del hombre Vitruvio, donde por
medio de acciones como ampliar, reducir, establecer semejanzas y congruencias, entre
otras, determina la matematización (tanto vertical como horizontal) generados al desarrollar
esta secuencia de actividades en el aula. Por esta razón, la presente investigación se sitúa
dentro de la propuesta de Acero y Díaz (2012), vista desde la EMR en la que se
identificarán la matematización de los estudiantes al momento de realizar las actividades de
la secuencia de tareas.
1.8 Justificación
Por una parte, la escuela debe asumir la responsabilidad social de buscar formas de acción
para responder a los fenómenos sociales que se presentan en la actualidad, como lo afirma
Bishop (2002) citado en Bonilla y Romero (2005):
Hubo una época en que la alfabetización numérica sólo implicaba las cuatro
reglas aritméticas de sumar, restar, multiplicar y dividir. En opinión de
muchos, sigue siendo así. Sin embargo, actualmente reconocemos que,
debido a que las sociedades se vuelven más complejas y dependen en mayor
medida de ideas y procesos matemáticos sofisticados, el nivel de
alfabetización numérica necesario para funcionar en ellas y contribuir a su
desarrollo es cada vez más exigente (p. 40).
De acuerdo con lo anterior, es posible pensar que para el desarrollo del pensamiento
multiplicativo es necesario buscar prácticas escolares alternas. La multiplicación de
acuerdo con Bonilla y Romero (2005) y Confrey (1994) debe ir más allá de la suma
reiterada y buscar procesos propios del pensamiento matemático avanzado.
Por otro lado, el Ministerio de Educación Nacional propone con los Lineamientos
Curriculares de Matemáticas (1998) entre otras cosas, la diversificación de las prácticas
matemáticas en la escuela, teniendo en cuenta la actuación de los estudiantes como
ciudadanos en formación (Bonilla y Romero, 2005). En otras palabras, los lineamientos
curriculares traen consigo un cambio de paradigma en la formación matemática, para
articularla en procesos de enseñanza y aprendizaje concretos.
Por consiguiente, este trabajo propone:
Una manera alterna de concebir la multiplicación en la articulación con el contexto
geométrico y las formas de la sección áurea, como una propuesta que sugiere la
necesidad de movilizar a los estudiantes desde su experiencia en el aula para la
construcción de relaciones multiplicativas sofisticadas.
El predominio de una práctica sobre situaciones y fenómenos en un contexto de
aprendizaje donde el estudiante pueda a partir de las transformaciones geométricas
de la sección áurea y la mediación del profesor, avanzar en la constitución de un
objeto mental de razón y proporción. Se trata, siguiendo los presupuestos de la
matemática realística (referencias) de promover la construcción de modelos
matemáticos mediante la práctica de la matematización.
Por tanto, este trabajo es consecuente a las propuestas de Freudenthal cuando reconoce “la
matemática para todos”, mediada en el aula por un diseño de tareas que permita constituir
objetos mentales apropiados para que los estudiantes puedan enfrentar los fenómenos
sociales en su complejidad.
El siguiente capítulo expone los elementos conceptuales que permiten configurar una
propuesta de investigación sólida y coherente con la secuencia de tareas propuesta,
entendida ésta última, entre otras cosas, como el contexto de movilización de acciones
centradas en la organización de fenómenos de la unidad similar. Para ello, se indagó los
conceptos unidad similar, sección áurea, razón y proporción, pensados desde la matemática,
la historia y la didáctica en referencia a la de la EMR.
En primer lugar, se presenta la EMR como perspectiva teórica en la que se basa la
investigación. Posteriormente la postura que se asume desde esta perspectiva frente al
modelo y su relación con las representaciones. Finalmente, el concepto didáctico de unidad
similar, así como de razón y la proporción, en relación al aspecto histórico, y didáctico de
los mismos, en concordancia con la investigación.
2 Educación Matemática Realista [EMR].
La perspectiva teórica que sustenta la manera de proceder en la investigación, para la
construcción e implementación de las tareas, la búsqueda de contextos y situaciones que
permitan ser matematizados, así como para el proceso didáctico de reinvención guiada, se
denomina Educación Matemática Realista [EMR]. Esta corriente didáctica, se caracteriza
por generar prácticas escolares donde la matemática se conecta con la realidad cercana de
los estudiantes, para luego tomar relevancia en la sociedad.
En síntesis, la EMR se basa en las siguientes ideas (Bressan, et. al, 2004):
En primer lugar, la EMR parte de la premisa que “existe una matemática para todos”.
Pensar matemáticamente se torna como una actividad humana denominada
matematización, actividad que estructura y organiza la realidad que está al alcance de
todos los seres humanos;
En segundo lugar, piensa la comprensión matemática como un proceso que pasa por
distintos niveles, en lo que su desarrollo depende de contextos y modelos, así mismo,
esta comprensión es factible por el proceso didáctico de la reinvención guiada,
necesaria en la matematización;
Y en tercer lugar, la fenomenología didáctica como método que permita la búsqueda de
contextos y situaciones ricas de ser matematizadas que se sustentan en la historia de las
matemáticas y la creaciones espontaneas de los estudiantes.
CAPÍTULO II: MARCO CONCEPTUAL
Para la búsqueda de contextos y situaciones concretas que puedan ser llevadas al aula y
logren ser matematizadas se encuentra la fenomenología didáctica, que se da cuando un
noumenon es medio de organización de los phainomena; es decir, un objeto de pensamiento
organiza fenómenos de la realidad en contextos de enseñanza y aprendizaje (Freudenthal,
1983).
En la traducción realizada por Puig (1997) de Freudenthal (2001) se establece lo anterior
como:
La fenomenología de un concepto matemático, de una estructura matemática o una
idea matemática significa, en mi terminología, describir este noúmeno en su
relación con los phainomena para los cuales es el medio de organización, indicando
cuáles son los phainomena para cuya organización fue creado y a cuáles puede ser
extendido, de qué manera actúa sobre esos fenómenos como medio de organización
y de qué poder nos dota sobre esos fenómenos. Si en esta relación entre noumenon y
phainomenon subrayo el elemento didáctico, esto es, si presto atención a cómo se
adquiere tal relación en un proceso de enseñanza–aprendizaje, hablo de la
fenomenología didáctica de ese noumenon. (Puig, 1997, p. 2)
A continuación, se presenta las características de la EMR con mayor detalle, vistas como
principios de la Educación Matemática Realista (Bressan, et. Al, 2004):
2.1.1 Principio de actividad
La matemática es una actividad humana, en este sentido, todas las personas pueden acceder
a ella, para ser aprendida, haciéndola. La idea central de este principio está en hacer
matemáticas y no aprenderlas como algo terminado, a través de la entrega de situaciones a
los estudiantes en las que se permita usar estrategias propias en el proceso progresivo de
matematización. El principio de actividad busca que los conocimientos y destrezas
matemáticas de los estudiantes mejoren con el paso del tiempo. Por lo tanto, el lenguaje
debe ser comprendido desde un nivel ostensible (señalar, describir, entre otros) hasta uno
formal (mediante simbología matemática formal, simbología propia); debe ser útil para
reflexionar sobre la actividad que se realizó dejándola disponible para la solución de un
próximo problema. De esta manera, la enseñanza y el aprendizaje no se deben entender
como productos terminados sino como procesos; no se piensa abstraer sino la acción de
abstracción, no el álgebra sino la actividad de algebrizar, etc.
2.1.2 Principio de realidad
El aprendizaje matemático surge de la matematización (organización) de la realidad; es así
como la matemática toma significado y requiere de una conexión con el mundo sensible,
existente y también con el mundo posible, realizable o imaginable para los estudiantes,
puesto que la realidad es concebida como el sentido común que la experiencia ha brindado
a los estudiantes en cierto escenario. Por esto, en la EMR el contexto de la situación es
importante y fundante para la matematización, puesto que brinda los puntos de partida de la
actividad matemática del estudiante y provee de significado las acciones del mismo con
relación al problema.
2.1.3 Principio de reinvención
Este principio disponer acerca de la interacción de los procesos de los estudiantes cuando
reinventan las matemáticas (para esta perspectiva los estudiantes no crean, ni descubren,
sino reinventan modelos, conceptos, operaciones y estrategias matemáticas con un proceso
similar al que usan los matemáticos al inventarlas) y su relación con el maestro, puesto que
él es quien media entre los estudiantes y las situaciones problemáticas, entre los estudiantes
y las producciones informales de los mismos. Se trata que el docente promueva la
conversión de dichas producciones informales en herramientas formales que sirvan de
andamiaje para las próximas situaciones y eventos los estudiantes requieran ser usadas.
2.1.4 Principio de niveles
El énfasis de éste principio es caracterizar la matematización de los estudiantes, haciendo
hincapié en el progreso de la actividad matemática. Entonces, la matematización es vista
como una actividad progresiva (Treffers 1978, 1987) donde los estudiantes matematizan un
tema y luego analizan su actividad matemática, lo que es tomado por Freudenthal bajo dos
formas específicas:
Matematización horizontal: el estudiante convierte el problema contextual en un
problema matemático, donde usa el sentido común de la experiencia, la observación y
la experimentación inductiva, entre otras.
Matematización vertical: El estudiante se ubica dentro de la matemática misma, y
desde allí, usa otro tipo de estrategias de reflexión, usa la generalización, la prueba,
entre otras, para dar sustento y validez a las interpretaciones, así mismo
simbolizaciones, esquematizaciones para una mayor formalización matemática.
Esta matematización progresiva según Gravemeijer (1994, 2002) citado por Bressan (2004)
permite niveles de comprensión lingüística y mental:
Nivel situacional: Estrategias y conocimientos en el contexto de la situación,
sentido común y experiencia.
Nivel referencial: Modelos gráficos, materiales, descripciones, conceptos y
procedimientos referidos a la situación particular.
Nivel general: Reflexión y generalización de la situación en particular y las
descripciones, procedimientos, modelos construidos que superan la situación
particular.
Nivel formal: Procedimientos y notaciones convencionales.
Estos niveles de comprensión son progresivos, donde un estudiante puede estar en un nivel
diferente cada vez que se enfrenta a un problema distinto, y no es necesario empezar en
orden jerárquico. Además, cada actividad en un nivel de comprensión es sometida a análisis
con el nivel siguiente.
Las características que permiten el paso de un nivel a otro, es en primer lugar, la
construcción de modelos (Definiendo modelo desde la perspectiva de la EMR, el cual es
referenciado posteriormente en el actual capítulo) que permiten acercar la matematización
horizontal y la vertical, los primeros se pueden complejizar para pasar a modelos cada vez
más estructurados y organizados; y en segundo lugar la reflexión colectiva, porque permite
comparar y hacer visibles procesos en discusiones en el aula.
2.1.5 Principio de interacción
El eje central de éste principio se centra en la interacción de los estudiantes en el aula y su
importancia para la reflexión de los modelos que constituyen en la matematización, para
que los estudiantes puedan llegar a niveles de comprensión más elevados. La EMR no
piensa una clase homogénea, sino en individuos que siguen senderos propios, por esto es
importante la interacción, para objetivar algunos procesos en la actividad matemática. Es
por esto, que no importa el nivel de comprensión del estudiante, puesto que la situación
problemática está dirigida para ser trabajada por todos.
2.1.6 Principio de interconexión
La particularidad en la matematización de los estudiantes hace posible que se necesite un
amplio rango de comprensiones y distinciones necesarias de para la solución de las
situaciones, por tanto, la EMR no hace distinciones hondas entre los ejes curriculares, lo
cual es coherente con los posibles modos de matematizar de los estudiantes y los distintos
modelos constituidos, que intenta tener una relación con el currículo.
2.2 Modelos y Representaciones desde la EMR
Las representaciones más allá de ser un objeto de estudio para la comprensión de las
matemáticas, en la actual investigación se visualiza como aspecto metodológico, pues
define parte del diseño, la gestión del docente y la evaluación del ambiente de aprendizaje,
permitiendo además clasificar las acciones de los estudiantes dentro de determinado nivel
de comprensión. Por otro lado, los modelos dentro de esta perspectiva según Bressan
(2009) “distan del concepto de modelización matemática como traducción de situaciones
problemáticas a expresiones matemáticas” (p. 3). Y por esta razón, se encuentra la
necesidad de caracterizar que se entiende desde esta perspectiva con modelo y su relación
con las representaciones.
Esta investigación hace énfasis en las representaciones externas que priorizan enunciados
verbales (orales y escritos), diagramas, ilustraciones y materiales concretos (Bressan, 2009)
los cuales pueden ser observados desde los videos y algunos escritos de los estudiantes;
permitiendo encontrar relaciones con el objeto mental constituido y las acciones en el aula.
La posibilidad de esto, surge porque las representaciones externas cumplen la función de
comunicar, las funciones cognitivas de objetivación y de tratamiento (Duval, 2004); de tal
manera que las acciones observables de los estudiantes permitan determinar el nivel de
compresión adquirido en la matematización y la construcción de modelos en relación a las
tareas propuestas en clase.
Para la EMR “los modelos son representaciones de las situaciones donde se reflejan
aspectos esenciales de los conceptos y relaciones matemáticas que son relevantes para
solucionarla” (Bressan, p. 2, 2004). Además, los modelos son vistos, como un proceso de
idealización de la actividad de matematización importante para realizar un tratamiento
matemático formal a la realidad o a la teoría misma, contribuyen también para identificar
las estrategias a la que recurrieron los estudiantes. Y en este sentido, reconocer las
transiciones por cada nivel de comprensión de los estudiantes cuando matematizaron.
Por otro lado, el modelo puede ser visto como objeto para reflexionar y realizar acciones
sobre él, es decir, para visualizar sobre él propiedades, operaciones, relaciones y usarlo en
las acciones de la actividad. Por consiguiente, Gravemeijer (2002) como citó en Bressan,
2004, para hallar la relación entre el uso representacional del modelo y el proceso
matemático de manera adecuada, propone los niveles de comprensión: Situacional,
referencial, general y formal. Estos están relacionados con contextos reales (imaginables) y
flexibles para que se desarrollen desde las estrategias informales de los estudiantes (nivel
situacional) y logren llegar a un nivel de mayor rigor (nivel formal) pero que siempre estén
en el control de los estudiantes, es decir, que sean fáciles de manipular para adaptarlos a
otras situaciones y generar conexiones fuertes en el manejo de determinados objetos
matemáticos en la resolución de problemas.
2.3 Unidad Similar: aspectos didácticos
En el experimento de enseñanza realizado por Confrey (1994) los participantes realizan
acciones que están ligadas a estructuras multiplicativas alternas a las basadas en la suma
repetida y el conteo. Estas estructuras parecen no explicar algunas acciones multiplicativas
de los niños, ni tampoco situaciones modeladas por funciones exponenciales y logarítmicas.
La propuesta de este autor es proponer una base experiencial que lleva consigo la
construcción de un esquema cognitivo primitivo denominado (splitting) similaridad. Ésta se
puede evidenciar en acciones -multiplicativas- como repartir, doblar y dividir
simétricamente donde se encuentra la base primitiva de la similaridad, porque allí las
acciones de los estudiantes están según Confrey (1994) ligadas a “crear simultáneamente
múltiples versiones de un original” (p.1). Otro rasgo de la conjetura radica en la
comprensión de la unidad como una relación invariante entre un sucesor y su predecesor,
siendo esta en la similaridad, la razón (Becerra y Romero, 2008). Por otro lado, la unidad
similar tiene conexión con el trabajo geométrico de la cultura griega, como lo afirman
Becerra y Romero (2008) y en un sentido concreto con las propiedades iterativas o de auto-
reproducción de la sección áurea.
Por otro lado, la similaridad se pude diferenciar de la multiplicación como suma repetida y
como conteo por las conexiones con la geometría, particularmente con la semejanza. Ésta
admite alterar las formas geométricas sin cambiar sus propiedades, por esto la similaridad
es una herramienta teórica eficaz en nuestro trabajo investigativo, ya que permite
interpretar las acciones y estrategias de los estudiantes donde la razón y la proporción está
en juego. En relación con lo anterior, Confrey (1994) explica:
El Split, con sus ataduras al trabajo de partición, es una base alternativa para la
construcción de un sistema numérico y posee un fuerte potencial explicativo para
interpretar los métodos de los niños. Es un precursor de un concepto más adecuado de
razón y proporción, por ende, de rata de cambio multiplicativa y funciones
exponenciales y logarítmicas. Un Split es una acción de crear partes iguales o copias de
un original. (p. 7)
2.4 Razón, proporción y sección áurea: Aspectos históricos
En la historia de las matemáticas, la razón y la proporción han sido ampliamente
estudiadas. Estos conceptos se determinaron formalmente en la antigua Grecia a partir de
Tales de Mileto (640-546 a.C.), quien establece la noción de proporción numérica; sumo al
trabajo de Pitágoras de Samos (580-500 a.C.), a quien se le atribuye la teoría de
proporciones inspirada en tres medias: la aritmética, la geometría y la armónica, a partir de
estas, la idea de proporción áurea la cual es relacionada con dos de ellas. Los pitagóricos
generalizaron esta relación añadiendo siete medias nuevas, si 𝑏 es la media entre 𝑎 y 𝑐, con
𝑎 < 𝑐 entonces las tres cantidades se relacionan por las diez siguientes ecuaciones (Boyer,
2001):
Ilustración 1 Razones asociadas a los Pitagóricos
Con esta idea, la escuela pitagórica en el estudio de las proporciones introdujo una teoría de
números, que posiblemente consideró éstas cantidades como magnitudes geométricas
(Boyer, 2001). Sin embargo, los Elementos, obra atribuida a Euclides (325-365 a.C.)
caracteriza de mejor forma los principios geométricos griegos, tal como se expone en el
libro V, el cual construye una teoría de proporciones, donde define la razón como: “Una
determinada relación respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas.” [Euc. V,
Def. 3] y además, reconoce la proporción como: “Se llaman proporcionales las magnitudes
que guardan la misma razón” [Euc. V, Def. 6]. Luego, Euclides usa los elementos
desarrollados en el libro V para demostrar teoremas relativos a razones y proporciones en el
libro VI, en el que estudia triángulos, paralelogramos y otros polígonos.
La conexión entre magnitudes geométricas por medio de las razones la conocían los
pitagóricos en el pentágono regular; figura construida de la estrella con cinco puntas que se
forman al trazar las cinco diagonales de una cara pentagonal de un dodecaedro,
convirtiéndose a su vez, en el símbolo de los pitagóricos. Las propiedades del pentagrama o
pentágono estrellado se derivan en una razón entre dos segmentos, es decir, la diagonal
completa es al mayor de los dos segmentos, como el de éste al menor segmento,
denominado: sección áurea: Según:
Este tipo de subdivisión pronto se hizo tan familiar a los antiguos griegos que no se sintió la
necesidad de ningún nombre descriptivo especial para designarla, y así el nombre de -la
división de un segmento en extrema y media razón- se vio sustituido en general por el más
sencillo de –sección- (Boyer 2001, p. 81)
Es así, como Euclides estudia la sección y la define: “Se dice que una recta está dividida en
extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como (el segmento)
mayor es al menor” [Euc. VII, Def. 3]
Una de las propiedades de la sección es que es iterativa, el punto 𝑄1 divide el segmento 𝑅𝑆
en extrema y media razón; el segmento 𝑅𝑄1 se divide en extrema y media razón por el
punto 𝑄2, tal que 𝑅𝑄2 = 𝑄1𝑆 , así se puede seguir subdividiendo, el punto 𝑄3 divide en
extrema y media razón al segmento 𝑅𝑄2, por lo tanto, 𝑅𝑄3 = 𝑄1𝑄2, tal como se expone en
la ilustración 2
Ilustración 2 Iteración de la Extrema y media Razón
Este procedimiento permite encontrar un segmento cada vez más pequeño 𝑅𝑄𝑛 el cual
guarda la división en extrema y media razón como lo manifiesta Boyer (2001).
A su vez, los triángulos formados en la estrella pentagonal tienen propiedades
características especiales además de su relación áurea. Los isósceles formados en la estrella
sin importar su tamaño tiene los ángulos que subtienden los lados iguales de 72° y el otro
ángulo de 36°, es decir, es visible la invarianza de los ángulos en la construcción
(Ilustración 3). Esta característica sirvió de insumo para el diseño de la secuencia de tareas.
Ilustración 3 Invarianza de ángulos desde el Pentágono Regular
2.5 Razón y proporción: Aspectos Didácticos
En el ámbito didáctico, el trabajo de Freudenthal (2001) caracteriza la razón y la proporción
a partir del planteamiento de una posible fenomenología, definiéndolas como: “(…) una
función de un par ordenado de números o valores de magnitud” Freudenthal (1983, p. 2). Y
su estatuto lógico como: “(…) una relación de equivalencia en el conjunto de pares
ordenados de números (o valores de magnitud), indicada formalmente por a: b = c: d”
(Freudenthal, 1983, p. 4). Por esto, las razones internas (entre los mismos sistemas) y
razones externas (entre sistemas) se estudia en enunciados y situaciones particulares para
los estudiantes.
En relación con el diseño de la secuencia, las tareas propuestas comprenden la razón desde
las semejanzas, dado que permite relacionar la similaridad con la geometría, como lo
afirma Confrey (1994, p. 1) “La similaridad se puede diferenciar del conteo (y de la suma
repetida) por sus conexiones geométricas con la semejanza”. Para ello, se debe constituir el
objeto mental semejanza mediante la conservación de las razón y la visualización; tal como
lo reconoce Freudenthal (2001) a partir de los siguientes criterios, que a su vez se ven
caracterizados en las tareas propuestas dotándolas en coherencia y cohesión, y cumpliendo
la función de ser el hilo conductor de las secuencia de tareas
La manipulación de las formas geométricas por parte de los estudiantes y las tareas
propuestas, aborda procesos en el que intervienen la semejanza, la congruencia y la
visualización. Así mismo, las modificaciones estructurales de las formas permiten la
comparación con la forma original. La figura, es entendida como: “(…) aquello que está
contenido por cualquier límite o límites.” [Euc. I, Def, 14] Entre tanto, la forma: como
cualquier objeto físico de la realidad, que se configura en forma geométrica, cuando se
atribuye a éste características geométricas.
Criterios de la conservación de la razón
Conservación de la igualdad de longitudes
Conservación de la
congruencia
Conservación de las razones
internas
Constancia de la razón externa
Conservación de los ángulos
Visualización
3 INVESTIGACIÓN DE DISEÑO
La actual investigación tiene como objeto de estudio la matematización que manifiestan un
grupo de estudiantes, desde el trabajo de las transformaciones geométricas, el diseño e
implementación de una secuencia de tareas, basada en el paradigma de la (EMR), a través
de la descripción de niveles de comprensión que se ostentan los estudiantes de grado
séptimo, en la matematización al momento de constituir la unidad similar en el análisis de
figuras enmarcadas en la sección áurea.
Siendo una finalidad que busca la EMR frente a la estructuración del currículo y al fomento
de cambios en la enseñanza instruccional y algorítmica de las matemáticas, es la búsqueda
de contextos y situaciones que tengan la necesidad de ser organizadas matemáticamente,
cuya construcción, comprendiendo que el desarrollo matemático pasa por niveles y
procesos didácticos en ambientes cognitivos heterogéneos. Así mismo, Bressan et al (2004)
en una interpretación de Freudenthal, exponen que una forma para llegar a esta finalidad, se
realiza por medio de la implementación de metodologías de investigación de carácter
cualitativo e interpretativo con el fin de “observar, registrar y analizar hitos, saltos y
discontinuidades en el aprendizaje de los alumnos” (Bressan et al, 2004, p. 9).
En este sentido, se hace necesaria una metodología de investigación coherente a los
planteamientos teóricos que sustentan el diseño propuesto y permita interpretar la
complejidad del contexto de enseñanza y aprendizaje en un aula. Acorde con lo anterior, la
Investigación de Diseño es un paradigma de investigación que reconoce en los ambientes
de aprendizaje el contexto propicio para la investigación y el análisis del diseño, haciéndola
pertinente para este proyecto. El surgimiento de este paradigma de naturaleza cualitativa, se
sustenta desde varios campos disciplinarios como la neurociencia, la antropología, la
psicología, las didácticas específicas, entre otras; cuyo fin es analizar el aprendizaje en
contextos específicos, mediante el diseño y estudio constante de estrategias y materiales
para la enseñanza (Molina, Castro, Molina y Castro,2011).
La Investigación de Diseño no pretende crear diseños eficaces, la principal preocupación es
explicar por qué el diseño funciona para determinado aprendizaje y cuál sería su probable
adaptación a otro entorno educativo. En efecto, este tipo de investigación permite el
CAPÍTULO III: METODOLOGÍA DE
INVESTIGACIÓN
progreso de las teorías de aprendizaje y enseñanza, produciendo conocimiento empírico
fundamentado en la práctica para el mejoramiento del aprendizaje. En este sentido, para el
desarrollo de la actual investigación se elige el modelo investigativo: el experimento de
enseñanza, el cual se enmarca dentro de la Investigación del Diseño, como metodología de
indagación, fundamentada desde una naturaleza cualitativa y tiene como objetivo:
(…) Analizar el aprendizaje en contexto mediante el diseño y estudio sistemático de
formas particulares de aprendizaje, estrategias y herramientas de enseñanza, de una
forma sensible a la naturaleza sistémica del aprendizaje, la enseñanza y la
evaluación. Todo ello la convierte en un paradigma metodológico potente en la
investigación del aprendizaje y la enseñanza. (Molina et al, 2011, p. 76)
Este trabajo de investigación se fundamentó desde éste paradigma metodológico, el cual
toma como modelo el experimento de enseñanza, entendido como la descripción de la
matematización a partir de las formas geométricas de la sección áurea con estudiantes de
grado séptimo. En este sentido el experimento de enseñanza proporciona aspectos
metodológicos que permiten analizar y construir un marco descriptivo la matematización de
los estudiantes en un ambiente de aprendizaje específico, que provee a los estudiantes
maneras particulares de trabajo con las formas geométricas, como respuesta a la secuencia
de tareas propuestas en el aula.
En consecuencia, es necesario plantear una secuencia de tareas que apoye la trayectoria
hipotética de aprendizaje que los investigadores anticipadamente han planteado para el
desarrollo en el aula. Sin embargo, en el proceso real de aprendizaje surgen situaciones que
modifican de alguna manera las hipótesis iniciales, y los investigadores deben tomar
decisiones conciliadas para la mejora del diseño instruccional. Este (re) diseño de tareas es
posible en el experimento de enseñanza por el docente- investigador (quien es participe del
desarrollo de la secuencia de actividades dentro del aula) como por el investigador-
observador (Steffe y Thompson, 2000) citados por Molina et al, (2011), aportando de esta
forma a la mejora del diseño, es decir, la construcción de un ambiente de aprendizaje que
posibilite la construcción de una teoría local que tenga posibilidades de adecuación en otro
medio educativo.
A continuación, se da a conocer las fases del experimento de enseñanza, los instrumentos
de recolección de información y sus técnicas.
3.1 El Experimento de Enseñanza como Metodología de Investigación
En el experimento de enseñanza según Cobb, Confrey, Lehrer, y Schauble (2008); Cobb y
Gravemeijer (2013) se distinguen tres fases:
3.1.1 Fase 1: Diseño y planificación de la instrucción
Esta fase considera la preparación para el diseño del experimento de enseñanza a partir de
una intención teórica inicial del grupo de investigación2, que pretende conjeturar
trayectorias de enseñanza y aprendizaje de los estudiantes en una disciplina determinada.
Para clarificar una intención teórica, es necesario considerar los objetivos de aprendizaje de
la investigación, que se centran en la meta final del diseño. Esta meta final, es denominada
puntos finales, para lo cual es necesaria la indagación documental de antecedentes sobre
procesos educativos con relación al dominio matemático central del experimento, para
construir una perspectiva general en la que se encuentra la disciplina, susceptible de ser
evaluada y modificada por los investigadores.
Así mismo, la intención teórica del grupo de investigación necesita construir una propuesta
alternativa de enseñanza para este dominio específico en el inicio del experimento,
generada a partir del contraste entre el estudio del estado general de la disciplina que se
pretende abordar y el estado intelectual y social de los estudiantes. Esto se denomina puntos
de partida. Para este cometido, es necesario identificar en la literatura especializada y los
pilotajes realizados, el estado actual de los estudiantes frente a la disciplina a trabajar.
Por último, relacionando los puntos iniciales por un lado y los finales por otro, el grupo de
investigación debe definir una teoría de instrucción local, en otras palabras, conjeturas
sobre el posible proceso y medios de apoyo para el mismo que permitan concretar el
objetivo de la investigación. Para ello, se construye una secuencia de tareas que intenta
anticipar los procesos de los estudiantes en la constitución de objeto mental. Así mismo,
que la secuencia sea posible a reinterpretaciones por parte de los investigadores cuando la
instrucción está en marcha.
3.1.2 Fase 2: Experimentación en el aula o en un entorno virtual de las
tareas diseñadas.
En esta fase se implementa el diseño planificado, denominado inicial, que dentro de esta
perspectiva puede mejorarse en la medida que el docente- investigador y el investigador-
observador, reformula las conjeturas iniciales, el trabajo de los estudiantes y el entorno de
aprendizaje. Para ello, se consideran cuatro formas de interacción investigativa en la
experimentación:
2Se entiende por grupo de investigación los integrantes que construyeron, desarrollaron, ejecutaron y
analizaron la actual propuesta de investigación.
1. El grupo de investigación debe tener clara las rutas de aprendizaje esperadas, los
medios de apoyo y el tiempo destinado para esto.
2. Los integrantes del grupo deben reconocerse como una empresa compartida, es
decir, cada uno debe demostrar compromiso.
3. El objetivo del investigador es la comprensión profunda del aprendizaje como
objetivo teórico de la investigación.
4. La existencia de sesiones regulares para interpretar eventos pasados del proceso
investigativo, y prever eventos futuros, como una retroalimentación que no pierde
de vista el objetivo teórico del diseño.
El experimento de enseñanza centra su atención en los micro ciclos de (re) diseño,
actividades de instrucción y aspectos del diseño en general (Cobb y Gravemeijer, 2013) que
se evidencia en la experimentación en el aula. De modo que los investigadores analizan el
proceso real de aprendizaje de los estudiantes en comparación con las anticipaciones hechas
en las actividades de instrucción, y sobre éste análisis, toman decisiones acerca de la
validez de las conjeturas iniciales, aspectos del diseño y anticipaciones de los procesos
mentales de los estudiantes, para revisar las trayectorias hipotéticas de aprendizaje
planificadas. Cobb y Gravemeijer (2013) citando a (Simons, 1995).
En este sentido, los micros ciclos permiten cambiar la hipótesis inicial pensada en la
planificación del diseño, para (re) construir las características generales del proceso de
enseñanza y aprendizaje, entre lo pensado y lo ocurrido.
Para el apoyo en el análisis retrospectivo del experimento es necesario el registro completo
del diseño en curso (Edelson, 2002) citado por Cobb et al (2008), es decir los registros de
audio de las reuniones, registros para la documentación de las conjeturas que están en
evolución y las observaciones de apoyo. En efecto, el investigador debe generar datos sobre
el aprendizaje y los medios en los cuales se generó.
3.1.3 Fase 3: Análisis retrospectivo
Esta fase pretende construir un marco explicativo- histórico del proceso investigativo por el
cual una serie de eventos locales (en el aula) puedan ser reproducibles. Por tanto, es
importante justificar la selección de los eventos que se examinan y la importancia de los
mismos en la historia de la clase. Es metodológicamente ventajoso que existan varios tipos
de conocimientos especializados en el grupo de investigación para desarrollar
interpretaciones alternas durante el análisis. El análisis retrospectivo en coherencia con el
proceso debe explicar los efectos del diseño y anticipar resultados en otros, además debe
responder al soporte que brindan los medios de apoyo en el diseño y como podría ser
mejorado.
En la tabla 1, describimos las acciones tenidas en cuenta en la ejecución de las fases del
experimento de enseñanza que se llevó a cabo en el proyecto de investigación teniendo en
cuenta las acciones a realizar en las fases de un experimento de enseñanza establecido por
Molina et al (2011):
Tabla 1 Descripción de acciones realizadas en el Experimento de Enseñanza
FASES ACCIONES DESCRIPCION
Fase 1: Preparación del experimento
Diseño y planificación de
la instrucción
Definición del paradigma teórico-metodológico de
investigación
La fenomenología didáctica como paradigma
teórico específico del diseño, centrándose en la
búsqueda de fenómenos para ser organizados
por los estudiantes y constituir la Unidad similar
a partir de la razón y proporción mediante las
formas geométricas de la sección áurea.
Definición del problema y el diseño de objetivos de la
investigación
Objetivo general: Describir la matematización
de los estudiantes de grado séptimo, por medio
de los niveles de comprensión en interacción
con formas geométricas de la sección áurea para
la constitución de la unidad similar.
Trayectoria hipotética de aprendizaje: Definición de
objetivos de tareas y primera construcción de
actividades
La trayectoria de aprendizaje se estableció a
partir de la forma hacia la figura.
Diseño de instrumentos y recolección de información
preliminar
Elección de instrumentos según el carácter de la
investigación, por otra parte, la elaboración de
permisos institucionales y estudiantiles que
fueran autorizados para la utilización de algunos
instrumentos específicos como videocámaras,
grabadoras de voz, fotos, entre otros
Fase 2: experimentación del diseño
Antes de cada
intervención
Pilotaje
Definición de la población (cantidad de
estudiantes, grado, espacio físico)
Realización de actividades asociadas al objeto
matemático a desarrollar, establecimiento de la
cantidad de estudiantes y cantidad de grupos que se
formaría para el desarrollo de algunas tareas,
disposición de espacios físicos como el salón,
temporalidad en la cual se realizaría el desarrollo de las
actividades, sala de informática, patios, entre otros,
para incorporarlos en el diseño de las tareas
Definición de restricción/ extensión de
materiales o acciones de los estudiantes en el
momento del desarrollo de las tareas
Determinación de materiales o instrumentos que los
estudiantes tenían al alcance pero que podrían
dificultar la obtención de datos o desarrollo de
estrategias, como el uso de reglas, cintas métricas,
trasportadores, etc.
Durante cada intervención
Recolección de información por parte del
docente- investigador: Angello Chaparro
Uso de cuaderno de notas donde el docente
investigador consigna datos relevantes de lo que
sucede durante la aplicación de las tareas
Recolección de información por el investigador-
observador: Liz Acero
Uso de videocámara para recolectar información
acerca de las acciones y conclusiones verbales a las
que llegan los estudiantes, el registro de las
intervenciones del docente durante la actividad
Después de cada
intervención
Acuerdo por parte de los investigadores de lo
ocurrido en la sesión
Observación del video, audios o fotos, lectura del
cuaderno de notas, acerca del desarrollo de la sesión,
evaluando entre otras cosas, pertinencia de la actividad,
temporalidad, asertividad en los materiales escogidos,
facultades o dificultades de obtener información por
medio de los instrumentos.
(Re)Definición de hipótesis de aprendizaje y
modificación de actividades/tareas
(Re) Definición de materiales concretos y
gráficas para los estudiantes
Aprobación de los materiales y acciones que pueden
disponer los estudiantes para el desarrollo de la
próxima tarea
Fase 3: análisis retrospectivo de los datos:
Construcción y análisis de
los datos
Elección de grupo de estudiantes para realizar el
proceso de descripción de la matematización
Se buscó un grupo de estudiantes que en sus acciones
dentro del aula, tenían relación directa con los
objetivos de investigación.
Recopilación y organización de la información Sistematización de los vídeos que organizan el
volumen de información más importante, cuaderno del
investigador-docente y escritos de los estudiantes.
Transcripciones Se realizaron transcripciones a los vídeos luego de ser
segmentados y escogidos para determinado grupo de
estudiantes que diera cuenta del proceso investigativo.
Análisis de los datos - Triangular la información: transcripciones que
recopilan la información de los demás registros.
- Describir el nivel de comprensión con relación a
las acciones de los estudiantes (primera y segunda
fase).
- Construir una idea general sobre el proceso de
matematización mediante el contraste entre el dato
construido y la a trayectoria hipotética de
aprendizaje (tercera fase).
3.2 Construcción de categorías
Las categorías de análisis en la investigación son los niveles de comprensión propuestos
en la EMR Bressan et al (2005) citando a (Freudenthal, 1971, 1992; Gravemeijer, 1994,
2002) que son: situacional, referencial, general y formal. Estos niveles están
relacionados con las estrategias, modelos y lenguajes usados por los estudiantes en la
matematización.
Nivel situacional: Estrategias y conocimientos en el contexto de la situación,
sentido común y experiencia.
Nivel referencial: Modelos gráficos, materiales, descripciones, conceptos y
procedimientos referidos a la situación particular.
Nivel general: Reflexión y generalización de la situación en particular y las
descripciones, procedimientos, modelos construidos que superan la situación
particular.
Nivel formal: Procedimientos y notaciones convencionales.
3.3 Instrumentos y recolección de la información
Los instrumentos para la recolección de la información que permitieron la construcción del
dato, se realizó teniendo en cuenta nuestra perspectiva metodológica y la pertinencia de las
mismas en las acciones del aula para el cumplimiento del objetivo general de la
investigación:
3.3.1 Grabación en audio y video: Las acciones de los estudiantes, vistas desde el
lenguaje (corporal, oral y escrito), el uso de los materiales de apoyo por parte de los
estudiantes, permite encontrar características importantes en la constitución del objeto
mental.
3.3.2 Hojas de trabajo de los estudiantes: La construcción de tablas, gráficos,
modelos del trabajo de los estudiantes al momento de responder a las tareas propuestas por
el docente es una característica importante dentro de los niveles de compresión, pertinente
para el análisis retrospectivo.
3.3.3 Notas del investigador-docente: Estas notas tenían dos objetivos claros, el
primero hacía referencia a las apreciaciones en acto del trabajo en el aula de los estudiantes
que sirvió para el replanteamiento de la gestión, material de apoyo y la ruta de enseñanza
discutida en el grupo de investigación. El segundo objetivo es tomar las notas como parte
indiscutible de la construcción de los datos al momento de triangularlos con la información
obtenida de los demás instrumentos.
3.4 Sistematización de la información
La sistematización está basada en las categorías de análisis y la información obtenida de los
instrumentos de recolección de información que posibilitan la construcción del dato que
apoya la descripción de la matematización de los estudiantes en la manipulación de formas
geométricas de la sección áurea.
A continuación, se describe la manera en la cual se clasificó la información que permitiera
obtener luego del análisis los datos:
3.4.1 Grabación de audio y vídeo: La información que se obtiene de este instrumento
fue discriminada mediante intervalos de grabación definida mediante criterios teóricos de
análisis como las categorías que particularizan la matematización.
3.4.2. Hojas de trabajo de los estudiantes: En este instrumento se recogió información
sobre las representaciones externas (observables) de los estudiantes que relacionan algún
nivel de comprensión de las tareas propuestas, porque ellas reflejan aspectos esenciales de
los conceptos y las relaciones matemáticas (Bressan, 2009).
3.4.3 Notas de investigador-docente: La clasificación de la información de este
instrumento también se hizo con relación a las observaciones en el aula de aquellas
situaciones que representan una categoría de análisis, una forma particular de organización
de fenómenos por parte de los estudiantes que el profesor-investigador lograra captar, etc.
3.5 Elección Del Grupo
Para continuar la fase 3: análisis retrospectivo, desde el experimento de enseñanza como
metodología de investigación y teniendo en cuenta el apartado ya descrito con anterioridad,
se resalta la postura que se asume en el actual trabajo desde Bressan (2009) cuando se
refiere al modelo o representaciones matemáticas en la EMR3, resaltando la importancia de
ellas como un estímulo para los procesos de constitución de conceptos asociados a la objeto
mental, por otra parte elemento de comunicación a otros e instrumento de validación de
comprensiones. Castro y Castro (1997), Rico (1999) y Doady (1995) citados en Bressan
(2009) se destaca la trascendencia de la pluralidad de los sistemas de representaciones
como lugar central la matematización en cuanto el modelo es considerado una actividad
3 Definido anteriormente en el apartado 2.2, del Modelos y Representaciones desde la EMR
idealizadora, por su capacidad de simplificar o sintetizar la realidad o teoría compleja que
permite el tratamiento del mismo desde una “matemática formal”.
Si bien, la fase de experimentación estuvo dada por la implementación de la secuencia de
actividades en la totalidad de un grupo de grado séptimo, de un colegio de carácter privado
donde las sesiones de clase oscilaban entre 20 a 22 estudiantes, los cuales fueron
distribuidos en subgrupos de cuatro personas; la elección del grupo de estudiantes a quienes
se analizó la matematización, estuvo precedido por la variedad de representaciones externas
–enunciados verbales (orales), escritos (organizaciones visuales- simbólicas) y
representaciones concretas (físicas - tridimensionales) que permitieron describir los niveles
de compresión (Gravemeijer 2002; 1994 en Bressan, 2004) en los cuales ellos transitaron al
desarrollar las tareas propuestas; generando de esta forma, la primera depuración y
selección de registros de video y escritos.
A continuación, en la tabla 2: Organización y clasificación de la experimentación, se
establece la organización de la información seleccionada para realizar el análisis
retrospectivo, como parte de la sistematización, donde se tuvo en cuenta la estructura sobre
las características generales de la experimentación propuesta por Molina et al (2011):
Tabla 2 Organización y clasificación de la experimentación
FECHA
(Duración)
NA ACTIVIDADES TIPO DE NIVEL DE
COMPRENSIÓN
RECOGIDA DE INFORMACIÓN
14 de octubre
(68’)
22 Construcción del
Gnomon
Socialización
En proceso de identificación - Grabación de audio y vídeo.
- Hojas de trabajo de los estudiantes
- Notas del investigador-docente.
15 de octubre
(120’)
26 Construcción del
pentágono
Análisis de las formas
Socialización
En proceso de identificación - Grabación de audio y vídeo.
- Hojas de trabajo de los estudiantes
- Notas del investigador-docente.
22 de octubre
(90’)
25 Construcción de la
homotecia
En proceso de identificación - Grabación de audio y vídeo.
- Hojas de trabajo de los estudiantes
- Notas del investigador-docente.
24, 28 y 29 de
octubre
(90’)
26 Construcción de las
figuras homotéticas
Análisis de la homotecia
En proceso de identificación - Grabación de audio y vídeo.
- Hojas de trabajo de los estudiantes
- Notas del investigador-docente.
12 y 13 de octubre
(180’)
26 Organización de la
exposición y homotecia
Análisis de la homotecia
En proceso de identificación - Grabación de audio y vídeo.
- Hojas de trabajo de los estudiantes
- Notas del investigador-docente.
14 de noviembre
(90’)
26 Evaluación del proceso
Análisis de las formas y
las figuras
Análisis del proceso
En proceso de identificación - Grabación de audio y vídeo.
- Hojas de trabajo de los estudiantes
y materiales para la exposición.
- Notas del investigador-docente.
NA: Número de estudiantes
3.6 Metodología Para El Desarrollo De Las Tareas
La finalidad de la secuencia de tareas es la aproximación a la unidad similar mediante
procesos de matematización, que necesita componentes teóricos-metodológicos que los
investigadores han dispuesto en las tareas llevadas al aula. En este sentido, las tareas deben
tener en cuenta las disposiciones tanto de Confrey (1994) mediante las acciones primitivas
como doblar, partir, ampliar, entre otros; como de Freudenthal (2001) en la visualización y
conservación de la razón para el tratamiento de la razón y la proporción. Así mismo, las
tareas se desarrollan en contextos geométricos determinados por la trayectoria hipotética de
aprendizaje de la forma a la figura.
3.6.1 Descripción De Los Componentes De Las Tareas
Las características fundamentales que se utilizaron en la construcción de la secuencia de
actividades, se distribuyen en diversos componentes para su organización estructural.
1. Objeto mental: Especifica el objeto mental a constituir a partir de las actividades.
2. Título de la actividad: Caracteriza y sintetiza las acciones esperadas de los
estudiantes como finalidad concreta en la resolución de la tarea.
3. Tarea: La solicitud específica hecha por el docente al estudiante que promueve
organizar fenómenos para la constitución del objeto mental.
4. Justificación: Un argumento que describe por qué y para qué se presenta cada
actividad al estudiante en relación con aspectos específicos de la constitución
probable del objeto mental.
5. Descripción de la actividad: Está construida por momentos que describen
disposiciones dentro del aula.
6. Objetivos: Aspectos específicos de la constitución del objeto mental hacia los que
apuntan las actividades.
7. Preguntas orientadoras: Son sugerencias que permiten mediar la producción de los
estudiantes con relación a la intención de las tareas y actividades; caracterizadas por
enunciar preguntas que problematicen o indaguen sobre la organización de
fenómenos en la constitución del objeto mental; tal como se muestra en la tabla 3:
Tabla 3 Tabla Preguntas orientadoras para diseño de tareas
PREGUNTAS
ORIENTADORAS INTENCIÓN
4. Secuencia De Tareas Documentada
OBJETO MENTAL: Semejanza y congruencia en magnitudes de la sección áurea
Actividad 1: Construcción de una ficha con forma de triángulo áureo.
Tarea 1: Los grupos deben hacer una forma triangular semejante a la forma isoscéles
entregada, sin modificarlo en ninguna de sus dimensiones y con la única condición de
agregarle a uno de sus lados otra forma triangular.
Justificación:
La construcción de la ficha con forma de triángulo áureo se realiza a partir de gnómones,
que deben ser encontrados por los estudiantes mediante acciones sobre las formas, tratando
de responder la tarea.
Concibiendo el gnomon a partir de la definición de Euclides: “como cualquier figura que,
añadida a otra, hace la figura entera semejante a aquella a la que ha sido añadida” [Euc.
II, Def 2]. (Citado por Acero y Díaz, 2012, p. 70). Entendido esto en la situación, en la
acción del estudiante se debe colocar una forma triangular junto a la forma dada (isósceles)
en cualquiera de sus lados, que al unirse debe formar otra forma isósceles semejante al
original. El reto de la tarea es construir una forma triangular semejante a la original, que
posibilite identificar en la nueva forma construida la invarianza de los ángulos y la
conservación de la razón.
CAPÍTULO IV: SECUENCIA DE TAREAS
Ilustración 4 Triángulo Isósceles Áureo ABC
Ilustración 5 Construcción del Gnomon ACD
Es necesario enfatizar para la constitución del objeto mental semejanza y congruencia. Por
ello, la importancia de comparar formas (original y la imagen), a partir de la visualización
que enriquece la actividad.
El tamaño de la forma triangular cambia implica una invarianza de los ángulos que se hace
visible a partir de la comparación entre un original y la imagen. Esto hace parte de la
invarianza de las razones caracterizada en la aplicación: semejanza (Freudenthal, 1983).
Objetivos de la actividad
Identificar el Gnomon en la construcción de la forma triangular.
Identificar la invarianza de los ángulos.
Atribuir criterios de semejanza a las formas triangulares.
Descripción de la actividad:
Momento 1: Se hace entrega a los estudiantes de los siguientes materiales i) un octavo de
Foami; ii) regla, lápiz bisturí y; iii) fichas isósceles triangules. La forma triangular que se
entrega está caracterizada por tener 36 grados en uno de sus vértices, propicio para la
construcción del pentágono regular.
Momento 2: En este momento se propone a los estudiantes la tarea, en la cual se debe
construir una forma triangular semejante al entregado inicialmente, sin modificarlo en
ninguna de sus dimensiones y con la única condición de agregarle a uno de sus lados otra
forma triangular. En la construcción de la figura (gnomon) se pueden presentar distintas
estrategias como la medición de las longitudes de los lados de las fichas, así como la
comparación entre dichas longitudes para crear una semejante de mayor tamaño. Estos
posibles procesos hacen parte de una forma de organizar los fenómenos de las formas
(triangulares áureos) en la conservación de razón de ángulos.
Momento 3: Se realizan preguntas orientadoras para la construcción de gnómones, donde se
identifique las estrategias para construir la nueva forma triangular a partir de una ya
establecida y la propiedad de reproducir sin perder las características en la conservación de
la razón a partir de la visualización, enfocada en los ángulos y la igualdad. En otras
palabras, identificar en las estrategias de los estudiantes maneras de ampliar las formas para
encontrar semejantes. Tabla 4 Preguntas orientadoras construcción Triángulo Isósceles Áureo
PREGUNTAS
ORIENTADORAS INTENCIÓN
¿Qué características tiene la forma
triangular nueva?
Reconocer la conservación de
ángulos, longitud y la forma.
Reconocer los criterios apropiados
por el estudiante para caracterizar
las formas que construye.
¿Los ángulos de los vértices
cambian si la forma triangular
cambia de tamaño?
Reconocer los criterios
apropiados por el estudiante para
caracterizar las formas que
construye
¿Es posible asegurar que todas las
formas triangulares con estas
características son semejantes y/o
congruentes?
Reconocimiento de la
conservación de la razón en sus
diferentes criterios (Freudenthal,
1983, p.19)
Al unir las dos formas triangulares
¿Qué forma nueva se construye?
Identificar la conservación de la
forma en la descripción del
estudiante.
Identificar el gnomon.
Validar la solución de la tarea
mediante formas semejantes.
¿Qué características tiene la nueva
forma triangular construida?
Identificar la conservación de la
razón entre las formas
triangulares
¿Cuál es la relación entre sus
ángulos? ¿Cuántos ángulos se
pueden encontrar?
Identificar la conservación de
ángulos en la relación entre
formas
Momento 3: Los estudiantes del grupo deben socializar el proceso realizado en una
exposición que muestre como se obtuvo la respuesta, este proceso debe ser guiado por el
profesor, para que problematice los procesos mediante preguntas que hagan visibles
aspectos relevantes de la organización de los fenómenos de las formas (triangulares áureas).
OBJETO MENTAL: Semejanza y congruencia en magnitudes de la sección áurea.
Actividad 2: Construcción del pentágono regular por medio de gnómones (formas).
Tarea 2: Construir solo con la nueva forma triangular, otra forma que tenga cinco lados iguales.
Justificación:
La construcción se aproxima a la figura del pentágono regular, la cual, identificada por la Escuela
Pitagórica: que puede ser determinado a partir de la definición del gnomon descrita por
Aristóteles (C. 15 a 30):
“(…) hay algunas cosas que aumentan y no se alteran como él (…) [Triángulo] (…)
aumenta al incorpórale un gnomon y no queda en absoluto alterado” (Becerra y Romero,
2008, párr. 40)
Este relaciona las formas triangulares que se encuentran en sección áurea, como lo define Becerra
(2008):” El gnomon en la construcción de la sección áurea en la magnitud triángulo, de las tres
proporcionales es la segunda.” (p. 40) Lo que retoma la importancia de éste en la relación áurea
que genera entre magnitudes triangulares y proporciona al estudiante un mundo de similaridad
definido por el contexto de crecimiento posible en la actividad.
Con las formas triangulares construidas (gnómones), se pide construir otra de cinco lados iguales
(forma pentagonal) de la siguiente manera:
Ilustración 6 Construcción Pentágono Regular a partir de Triángulos Áureos
En el centro de la forma queda espacio vacío (pentagonal) parecido a la forma construida, el
análisis de las formas posibles que tengan las mismas características de las construidas
(gnómones) fortalece las nociones geométricas y pone de manifiesto el objeto mental (semejanza
y congruencia) constituido hasta el momento, manifiesto en el reconocimiento de la invarianza de
la razón interna en la semejanza y en los criterios de conservación, para que los estudiantes
verbalicen la manera de construir y responder a la tarea indicada desde la visualización, como
afirma Freudenthal (2001): “La fuerte visualización es una ventaja del contexto geométrico de la
razón, (…) Lo que didácticamente importa es la verbalización gradual del razonamiento visual”.
(p. 20)
Objetivos de la actividad
Construir el pentágono regular mediante gnómones.
Realizar comparativos entre áreas de las formas triangulares áureas.
Descripción de la actividad:
Momento 1: Este momento de la actividad pretende propiciar la construcción del pentágono
regular, identificando las formas triangulares áureas que lo conforman. Por esto, se pide a los
grupos de estudiantes construir solo con la nueva forma triangular, otra forma de cinco lados
iguales, que permita identificar características en los ángulos, longitudes y áreas de las formas
triangulares áureas mediante preguntas orientadoras que intentan contribuir al análisis de los
gnómones y el pentágono regular.
Tabla 5 Preguntas orientadoras para la construcción del pentágono
PREGUNTAS
ORIENTADORAS INTENCIÓN
Sí dentro de las fichas construidas no
hay ninguna que cubra la totalidad
del área del pentágono, ¿cuál es la
ficha que deja menos espacio sin
recubrir?
Regular las estrategias del
estudiante, para que copie, reitere y
mida con la ficha escogida, sin
abandonar el problema porque área
no puede ser cubierta totalmente.
El espacio vacío o no cubierto, ¿Qué
forma tiene?
Fortalecer nociones geométricas al
describir formas, que son resultado
de su construcción
¿Tendrá alguna relación con el
pentágono regular?
Fortalecer en el estudiante, la
posibilidad de continuar dividiendo
el área obtenida, al sumergirse en
un conflicto de continuidad.
¿Cómo asegurar que las fichas
guardan semejanza?
Reconocimiento de la semejanza en
la utilización de las fichas
triangulares
Identificar criterios de la
conservación de la razón
Momento 2: Al finalizar la actividad se busca que el profesor disponga las producciones de los
estudiantes para que muestre las características de las formas triangulares y su capacidad para
añadirse con otras y formar una nueva con propiedades similares. Además ejemplificar con las
fichas el espacio que se puede recubrir, para problematizar con preguntas sobre estos espacios. Es
necesaria una socialización que contribuya para tal objetivo.
OBJETO MENTAL: Semejanza y congruencia en magnitudes de la sección áurea.
Actividad 3: Construcción de homotecias del pentágono.
Tarea 3: Colocar pentágonos en la estructura construida de tal forma que los lados midan
la mitad del pentágono anterior.
Justificación:
La Homotecia como transformación geométrica se asocia con la semejanza y constituye un
mundo de similaridad en tanto las imágenes homotéticas son múltiples versiones de un
original. Ésta relación promueve acciones sobre el material directamente relacionadas con
la Unidad Similar como la división simétrica, la ampliación y la duplicación (Confrey,
1994), que entre otras cosas, es lo que se quiere promover en esta actividad.
Por otro lado, en la construcción pentagonal se promueven acciones –como los
relacionados con la similaridad- que permiten identificar la conservación de la forma y la
semejanza a partir de la visualización, mediante el cambio de tamaño de las imágenes
homotéticas con respecto al original, es decir, una comparación de la forma con otras, en la
que es posible identificar la semejanza sin que las razones se hagan explicitas (Freudenthal,
1983).
Objetivos de la actividad
Reconocer la semejanza de formas pentagonales a través de la homotecia.
Reconocer la conservación de forma pentagonal sometida a homotecia.
Identificar la multiplicidad de un original mediante la transformación geométrica
homotecia, como proceso de recursión para constituir la unidad similar.
Descripción de la actividad:
Momento 1: Se conformará grupos de cuatro estudiantes, a quienes se le haría entrega de
los siguientes materiales: una caja de cartón, chinches, lana y nailon, por último se les
pedirá que utilicen uno de los pentágonos conformados con fichas triangulares.
Posteriormente se les dará las siguientes instrucciones:
1. Los estudiantes sobrepondrán el pentágono de fichas en el interior de una de las caras
de la caja, señalando los vértices con chinches. Luego, escogerán en la cara opuesta de
la caja un punto que se denominará O, el cual debe llevar un chinche y representa el
centro de la homotecia.
2. En seguida, se le pedirá a cada grupo que con ayuda del nailon, una cada vértice del
pentágono con el punto que hemos escogido como O.
Ilustración 7 Construcción de la Homotecia del Pentágono Regular
Momento 2: El docente enunciará la tarea a realizar a los estudiantes, además se pedirá la
elaboración de una tabla donde se consigne las medidas de los pentágonos que posibiliten la
solución de la tarea:
La idea de este momento es sistematizar los datos obtenidos de las distancias mostradas en
la homotecia, que pueden ser identificados con lana y se visualizaría como muestra la
siguiente imagen:
Ilustración 8 Imágenes Homotéticas del Pentágono Regular
Momento 3: El docente realizaría preguntas acerca de la homotecia, las cuales se
encuentran en la siguiente tabla y se encuentran relacionadas a los datos de la tabulación
producida por los estudiantes, con la finalidad de propiciar una socialización que debe tener
en cuenta la narración de las estrategias que tomaría los grupos de estudiantes para
construir las imágenes, manifestando los elementos congruentes y semejantes establecidos
entre el pentágono original y las imágenes. Con esta socialización se quiere reconocer la
igualdad de la forma y la modificación de tamaño a partir de la homotecia.
Tabla 6 Preguntas acerca de la homotecia
PREGUNTAS
ORIENTADORAS INTENCIÓN
¿Cuáles son las condiciones que
debo tener en cuenta para construir
las imágenes del pentágono
construido?
Identificar que los lados
homotéticos deben ser paralelos
¿Los pentágonos son iguales o
parecidos?
Diferenciar congruencia y
semejanza de formas geométricas
Entre el pentágono (original) y las
imágenes ¿Qué elementos (lados,
vértices, ángulos) se conservan?
Identificación de congruencia de
ángulos y semejanza de formas.
Involucrar diferentes elementos de
medición como la regla y el
transportador para comprobar las
congruencias.
Las siguientes preguntas enfatizan la relación entre las magnitudes de la homotecia. En la
práctica el docente no diferenciará las preguntas acerca de la homotecia y entre magnitudes,
esto depende de la dinámica que tenga la clase y de la necesidad que se tenga en la
situación particular de cada grupo de estudiantes.
Tabla 7 Preguntas relaciones entre Magnitudes
PREGUNTAS
ORIENTADORAS INTENCIÓN
¿Cuál es la relación entre los
lados de los pentágonos (el
pentágono original y sus
imágenes)?
Establecer relaciones entre
magnitudes.
¿Cuáles serían las medidas del
lado y del perímetro?
Analizar las medidas de las
figuras homotéticas respecto a
la original.
Si existe alguna relación, ¿cómo
se podría describir esa relación?
Establecer la razón como una
relación de magnitudes.
Momento 4: Este momento el profesor socializará los procesos de cada grupo de
estudiantes, el cual se caracteriza por generar la identificación de las posibles relaciones
entre la magnitud longitud y los procesos de la homotecia, respecto al pentágono y a las
imágenes.
OBJETO MENTAL: La sección áurea.
Actividad 4: Análisis de las formas geométricas de la sección áurea.
Tarea 4: Realizar una grabación en la que expongan el proceso que se ha llevado a cabo en
las sesiones de clase, guiadas por preguntas orientadoras.
Justificación:
La actividad recopila las acciones que los estudiantes realizaron y que posiblemente no se
lograron identificar en las sesiones anteriores, así permite caracterizar de manera continua
el trabajo de los estudiantes y entre ellas características didácticas que proporcione
elementos para construir un análisis coherente. Por esto, la actual actividad permite analizar
el pentágono a partir de la semejanza y congruencia de las formas triangulares áureas que a
su vez constituyen el pentagrama, mediante la construcción de la homotecia. Además,
permite identificar magnitudes consecutivas que se basan en la misma razón, como
principio de similaridad (Confrey, 1994) y la recursividad que es definida por (Confrey,
1994) “Un objeto se dice recursivo si se tiene así mismo como una parte, o si se define por
sí mismo” (p. 20).
Objetivos de la actividad
Analizar a partir de las formas geométricas las relaciones entre ellas y la recursión
como proceso importante en la unidad similar.
Construir el pentagrama en la homotecia para comparar las formas semejantes.
Comparar las formas geométricas, tanto en la construcción del pentágono “original”
como en sus “imágenes” en la homotecia.
Reconocer la razón y la proporción entre los lados y las diagonales del pentágono
“original” como en sus “imágenes” en la homotecia.
Reconocimiento de la recursividad en el análisis de las formas geométricas
Descripción de la actividad:
Momento 1: En grupos de cuatro estudiantes conformados en las primeras sesiones de
clase, se darán las siguientes instrucciones:
1. Los estudiantes nominan cada vértice del pentágono original (chinches) y los de las
imágenes.
2. Se le pedirá a cada grupo que con ayuda de la lana, una las diagonales (vértices
opuestos) que se forman en el interior del pentágono.
3. Por último, el docente pedirá nombrar tanto los lados como las diagonales del
pentágono, teniendo en cuenta los nombres asignados a cada vértice, como se propuso
anteriormente.
Momento 2: Luego de las instrucciones iniciales para iniciar la actividad, el docente
propone la tarea 5: “realizar una grabación en la que expongan el proceso que se ha llevado
a cabo en las sesiones de clase, guiadas por preguntas orientadoras”. Este momento
pretende propiciar en los estudiantes, analizar las formas geométricas que han construido en
las sesiones anteriores.
Para la ejecución de esta tarea, cada grupo debe reunirse para escoger la forma en la cual
expondrá su el trabajo, lo importante es que muestren las tablas que realizaron, su análisis y
la forma de construcción, para esto, se proporcionarán los siguientes materiales:
1. Papel periódico
2. Marcadores
3. Regla
Momento 3: El profesor destinará un espacio en el cual los estudiantes grabarán la
presentación del trabajo, para una organización del curso, cada grupo tendrá disponible 10
minutos de grabación, teniendo en cuenta algunas preguntas orientadoras que servirán para
el análisis de las formas geométricas.
Tabla 8 Preguntas orientadoras para la clasificar de las formas triangulares áureas
PREGUNTAS
ORIENTADORAS
INTENCIÓN
¿Cuántas formas triangulares
reconoces?
Ayudar a definir al estudiante el
tipo de estrategia que va a utilizar
para solucionar el problema. De
esta forma, se propicia el trabajo de
la recursión que describe Confrey
(1994), para establecer el Split en
contextos geométricos. (Acero y
Díaz, 2011, p. 73)
¿Cómo clasificas estas formas
triangulares?
¿Cómo puede asegurar que las fichas
están guardando semejanza? ¿Se
puede escribir esta relación
numéricamente?
¿Encuentra alguna relación entre las
formas?
¿Cómo es esta relación con las
imágenes pentagonales que
construyeron anteriormente? ¿Es la
misma?
Invariantes en las razones y el
inicio de análisis de proporciones
4.1 Matriz De Secuencia De Tareas
Tabla 9 Matriz de Secuencia de Tareas
OBJETO
MENTAL
NOMBRE DE LA
TAREA
TAREAS OBJETIVO RUTA DE
APRENDIZAJE
Semejanza y
congruencia en
magnitudes de la
sección áurea
Construcción de una
ficha con forma de
triángulo áureo
Tarea 1: Los grupos
deben hacer una forma
triangular semejante a
la forma isoscéles
entregada, sin
modificarlo en ninguna
de sus dimensiones y
con la única condición
de agregarle a uno de
sus lados otra forma
triangular.
Identificar el Gnomon
en la construcción de
la forma triangular.
Invarianza de los
ángulos.
Atributos de semejanza
(propios).
Construcción del
pentágono regular
por medio de
gnómones (formas).
Tarea 2: Construir
solo con la nueva
forma triangular, otra
forma que tenga cinco
lados iguales.
Construir el pentágono
regular mediante
gnómones.
Conservación de la
razón: congruencia de
las formas.
Semejanza y
congruencia en
magnitudes de la
sección áurea.
Construcción de
homotecias del
pentágono
Tarea 3: Colocar
pentágonos en la
estructura construida,
de tal forma que los
lados midan la mitad
del pentágono anterior.
Reconocer la
semejanza de formas
pentagonales a través
de la homotecia.
Proceso de recursión
con las imágenes
homotéticas.
Conservación de la
razón: congruencia de
las formas, de los
ángulos, de la longitud
La Similaridad
Análisis de las
formas geométricas
de la sección áurea.
Tarea 4: Realizar una
grabación en la que
expongan el proceso
que se ha llevado a
cabo en las sesiones de
clase, guiadas por
preguntas orientadoras.
Analizar a partir de las
formas geométricas las
relaciones entre ellas y
la recursión como
proceso importante en
la unidad similar.
Conservación de la
razón: ángulos,
magnitud longitud y
congruencia
Recursión de las
imágenes homotéticas.
El siguiente capítulo explicita la construcción del dato a partir del análisis, descrito en tres fases, las
cuales dan cuenta de la matematización de los estudiantes en la implementación de la secuencia de
tareas; principalmente en los siguientes enfoques: la constitución de la razón a partir de los criterios
para la conservación de la razón propuesta por Freudenthal (2001) la construcción de modelos y los
niveles de compresión que propone la EMR respecto a las tareas diseñadas de la unidad similar.
La primera fase: Análisis de las tareas corresponde a la triangulación de los instrumentos de
recolección de información - audio y video, hojas de trabajo de los estudiantes y notas del investigador-
docente- descritas en las transcripciones, éstas se organizan por tarea y se analizan mediante a
indicadores construidos previamente.
Posteriormente, la segunda fase: Análisis de la secuencia de tareas y entorno, se caracteriza por
analizar los resultados obtenidos en la implementación de la secuencia de tareas propuestas, a partir de
los niveles de comprensión identificados, comprensión de la unidad similar a partir de la evolución de
las representaciones –construcción de modelos- y el tratamiento de la forma a la figura, en relación a la
organización de la clase, como una reconstrucción histórica y explicativa de la matematización en el
aula.
Por último, la tercera fase: Análisis de la trayectoria hipotética de aprendizaje y secuencia de tareas, se
caracteriza por analizar la trayectoria hipotética propuesta de la secuencia de tareas respecto a los
resultados obtenidos en el análisis de la implementación de la secuencia de tareas -segunda fase-.
De esta forma, el dato construido en cada una de las fases que componen el análisis retrospectivo, logra
describir la matematización respecto a los objetos mentales que implica el desarrollo de la razón y
proporción, a través de la constitución de contextos geométricos asociados a la unidad similar.
5. Método De Análisis
Antes de abordar el desarrollo de las fases para el análisis retrospectivo, se define el método empleado
en coherencia con la metodología: experimento de enseñanza Cobb, Confrey, Lehrer, y Schauble
(2008); Cobb y Gravemeijer (2013), la cual se caracteriza por objetivar las perspectivas de los
investigadores a través del consenso de las interpretaciones comunes entre los mismos, en la
construcción del dato.
La siguiente tabla establece la organización del método de análisis de la actual investigación:
Tabla 10 Ejemplo Análisis Primera fase
TAREAS TRANSCRIPCIÓN ANÁLISIS (Primera fase)
Construcción del
Gnomon
Análisis:
- Nivel de comprensión.
- Frente al modelo
- Conservación de la razón.
- Conclusión: Análisis de la
tarea 1
Construcción del
pentágono
Análisis:
- Nivel de comprensión.
- Frente al modelo
- Conservación de la razón
- Conclusión: Análisis de la
tarea 2
Homotecia Análisis:
- Nivel de comprensión.
- Frente al modelo
- Conservación de la razón
- Conclusión: Análisis de la
tarea 3
CAPÍTULO V: ANÁLISIS RETROSPECTIVO
Evaluación del
proceso
Análisis:
- Nivel de comprensión.
- Frente al modelo
- Conservación de la razón
- Conclusión: Análisis de la
tarea 4
Análisis (segunda fase):
Conclusión de las cuatro tareas.
La primera fase (correspondiente al análisis de cada tarea) se caracteriza por realizar una descripción
de la matematización correspondiente a los niveles de comprensión, el modelo y la conservación de la
razón, mediante indicadores de análisis constituyendo la primera fase de análisis y a su vez, el primer
dato construido, correspondiente al primer nivel de descripción.
La segunda fase se caracteriza por concertar las características similares de las conclusiones de cada
tarea y generar una descripción general de la matematización de la secuencia. Esto con la finalidad de
construir un nuevo tipo de dato que con relación al anterior caracteriza el proceso de los estudiantes de
manera global, construyendo un marco explicativo de la matematización.
Por último, el dato obtenido en la segunda fase, se contrasta con la hipótesis inicial, para generar una
nueva hipótesis, lo cual se denomina tercera fase.
5.1 Primera Fase: Indicadores De Análisis Y Análisis De Las Tareas
Como se describió anteriormente en el método de análisis, la revisión a priori y las conclusiones
obtenidas por los investigadores en la triangulación de los instrumentos de recolección de información,
consecuente a elegir y definir las categorías de análisis para la matematización de situaciones
propuestas; emergió la necesidad de construir indicadores que permitieran caracterizar las acciones de
los estudiantes en la matematización, además los indicadores de nivel de comprensión no obedecen a
un orden particular y pueden aparecer de manera simultánea. Para esto, se realizaron las siguientes
actividades:
1. El reconocimiento general del trabajo didáctico de razón y proporción, que se usó en la
secuencia de actividades, para este caso la conservación de la razón.
2. El uso de las formas y la construcción de figuras.
3. El paso teórico de un nivel de comprensión a otro.
4. La observación general de la información recolectada (vídeos y escritos) de las acciones y
procesos de los estudiantes.
A continuación, se da a conocer los indicadores con relación a cada nivel de comprensión propuesto
por la EMR, con los cuales se interpretan las acciones (registradas en los vídeos) y las producciones
escritas de los estudiantes, las cuales posibilitan la categorización del trabajo de los estudiantes en el
desarrollo de las tareas para el análisis posterior:
Tabla 11 Indicadores de Análisis a partir de acciones
Niveles de comprensión Indicadores (descriptores) Acciones posibles
1. Situacional
Los estudiantes reconocen y hacen uso de las
formas geométricas para razonar el problema, sin
reconocer la conservación o no de la razón
S
1.1 Organiza las fichas de tal forma que puede interpretar la situación y busca dar solución a la misma, a partir de movimientos de
ellas.
1.2 Superposición de formas geométricas para discriminar la congruencia entre las formas geométricas.
1.3 Uso de instrumentos no estandarizados (objetos presentes en el salón de clases) que permitan solucionar la situación.
1.4 Descripción de las formas geométricas con lenguaje cotidiano, “´parecido a…, igual a…”
1.5 Duplicar o dividir formas iniciales para dar origen a una copia, sin tener en cuenta relaciones entre longitudes y ángulos; que
pueda considerarse elementales para la conservación de la forma.
1.6 Ampliar o reducir formas sin tener en cuenta relaciones en la entre longitudes y ángulos; que pueda considerarse elementales
para la conservación de la forma.
1.7 Copiar las formas para construir iguales [acción emergente].
2. Referencial
Los estudiantes interpretan la situación desde las
formas geométricas mediante esquemas, gráficos o
alguna representación, sin tener en cuenta las
propiedades o relaciones entre las formas.
R
2.1 Realiza algún modelo escrito (bosquejos visuales, esquemas, diagramas o símbolos4) donde interpreta la situación.
2.2 Describe y relaciona estrategias de solución de la situación donde encuentra relación con los elementos constitutivos de la forma-
figura como lo es la correspondencia de lados, ángulos, entre otros, respecto a un modelo (bosquejos visuales, esquemas,
diagramas o símbolos) producida.
2.3 Sistematiza datos (medidas encontradas en las figuras) en una tabla de información sin encontrar relaciones entre ellas.
2.4 Realiza descripciones del contexto teniendo en cuenta esquemas, gráficos y dibujos.
3. General
Los estudiantes reflexionan sobre los esquemas
construidos de las formas geométricas y establecen
propiedades con relación a la conservación de la
razón.
G
3.1 Construye múltiples copias de una figura inicial, teniendo en cuenta la invarianza de los ángulos como parte de la semejanza.
3.2 Razona sobre las partes constitutivas de la forma y el crecimiento de la misma.
3.3 Realiza tablas y analiza las partes constitutivas de la forma.
3.4 Describe procesos de reflexión sobre las figuras y las formas.
4. Formal
Los estudiantes, a partir de las figuras
geométricas, pueden establecer relaciones entre
ellas utilizando la conservación de la razón y
representaciones notacionales.
F
4.1 Identifica y simboliza formalmente la invarianza de los ángulos
4.2 Identifican y simboliza formalmente la invarianza de los ángulos, longitudes, congruencias y razones externas.
4.3 Usa representaciones notacionales en las tablas establecidas y las relaciona como propiedades en el crecimiento de las formas.
4.4 Reconoce medidas sucesoras (similaridad)
4.5 Describe notacionales formales o construidas por el estudiante dentro de una estructura.
4 Se definen tipos de modelo desde lo propuesto por Bressan (2009), al especificar el modelo desde las representaciones desde la postura de la EMR
5.1.1 Análisis de tareas
Tareas
El análisis se centra en fragmentos particulares de cada transcripción por tarea, para evidenciar las
acciones de los estudiantes, clasificadas en un indicador y nivel de comprensión específicos.
Para el análisis, las transcripciones tienen las siguientes convenciones con el fin de identificar las
intervenciones de los estudiantes: C, G, Q y S y la del profesor: P. Las transcripciones han sido
fragmentadas en diálogos (D) y líneas (L) numeradas, las cuales indican la posición y la tarea a
analizar.
5.1.1.1 Primera tarea.
Fecha: 14 de octubre (4’)
Número de estudiantes: 22
Actividad: Construcción del gnomon.
El docente inicia la sesión dando a conocer a la tarea, la cual consistía en armar equipos de trabajo y
encontrar una ficha triangular que añadida a una ficha triangular dada por el docente (isósceles áureo y
que durante el desarrollo de las sesiones, se identifica como la ficha roja) se pueda construir una ficha
triangular semejante a la entregada.
En el desarrollo de esta sesión prevalece la representación gráfica (bosquejo) como estrategia para
construir una forma triangular para elaborar una ficha semejante a la entregada por el profesor (ficha
roja). Los estudiantes reconocen y utilizan variedad de formas geométricas triangulares clasificadas
desde la longitud de los lados, sin garantizar que la nueva ficha elaborada, en adición a la ficha roja, sea
semejante.
Diálogo 1
(1) […] [El grupo comienza a dibujar los triángulos y deja de lado las formas geométricas
que entregaron en principio]
(2) C: Bueno esta es la solución, ¿cierto? [Le habla a uno de sus compañeros, tomando la
hoja y los dibujos de las formas geométricas]
(3) G: Si así es.
(4) C: Lo hacemos, lo copiamos y lo dejamos de igual forma [señalando con el lápiz los
lados del triángulo que dibujó]
La técnica que más utilizan para desarrollar el bosquejo se encuentra en la superposición de la ficha, de
tal forma que se pueda garantizar igualdad en lados y la conservación de los ángulos en la ficha que
están elaborando, como se evidencia en el diálogo 2 y la imagen 1
Ilustración 9 Superposición como método de solución
Diálogo 2
(5) […] P: ¿Cuál es la solución?
(6) G: [Toma la forma triangular y la superpone en los triángulos dibujados]
(7) C: Explique [le dice a G]
(8) G: Este es el triángulo que nos dio el profesor, ¿sí? [Mientras sobrepone la forma
geométrica en la figura] lo dibujamos en una hoja para poder mirar que otro triangulo se
forme semejante a este.
(9) G: Entonces dibujamos un triángulo escaleno [Muestra con el dedo el triángulo dibujado,
quita la forma geométrica y muestra el nuevo triangulo construido, Imagen 1] como se
puede ver acá, este es el triángulo, así [muestra el dibujo que describe la silueta de la
forma triangular entregada (tangible) en la hoja] y este es con el triángulo escaleno.
Consecuente a la creación de bosquejo y la manipulación del material concreto como herramienta de
medición, se identifican expresiones verbales de los estudiantes, los cuales relacionan conceptos
geométricos como la clasificación de los triángulos y el nombramiento específico de algunos lados
como: base del triángulo o lado del triángulo como se evidencia en el dialogo 3, y el concepto de
semejanza y congruencia.
Diálogo 3
(10) […] P: Ya. Y… ¿Por qué son parecidas, este [toma con la mano la forma geométrica] y
este que acabó de hacer? [Señalando con el dedo la figura construida, solución a la
tarea]
(11) C: Pues tiene vértices y lados.
(12) P: Si, tiene razón, pero…que tipo de triangulo es este [señala con el dedo la forma
geométrica superpuesta a la figura dibujada]
(13) G: Es este [señalando la figura dibujada en la hoja que esta con el gnomon]…es un
isósceles.
De esta forma, los estudiantes se encuentran en el indicador S-1.4, el cual hace referencia expresiones
verbales que describen relaciones entre la estrategia de solución superponer y su asociación con
conceptos geométricos específicos que les permiten argumentar las soluciones encontradas como se
muestra en el dialogo 4.
Diálogo 4
(14) […] Q: si, si [superpone la forma geométrica a la figura, percatándose de estar encima
del ángulo que quiere comparar] mmm, no, no es el mismo.
(15) P: No cierto.
(16) C: No.
(17) G: no son semejantes, entonces [señala con la mano la apertura del ángulo y las mueve
para mostrar el ángulo del que habla]
(18) […] G: Si porque es semejante, no es igual. No es congruente más bien.
(19) P: ¿Semejante no tiene nada que ver con los ángulos?
(20) G: Si [hace cara de incredulidad, no está seguro]
(21) C: O sea, semejante es que se asemeja a la otra figura.
(22) P: Si pero en matemáticas, ¿A qué se asemeja?
(23) C: En los ángulos.
(24) Q: En la forma.
(25) P: En la forma, ¿Qué más?
(26) G: Sus lados. ¿Cuántos lados tiene?
(27) P: Y ángulos
(28) G: Y en ángulos [asintiendo con la cabeza]
A pesar que los estudiantes no llegaron asertivamente a la solución de la tarea, y por medio de
socializaciones del trabajo realizado por otros grupos se pudo construir una ficha semejante a la
entregada por el docente, añadiendo otra forma triangular como lo muestra la siguiente imagen:
5.1.1.2 Segunda tarea.
Fecha: 15 de octubre (1’)
Número de estudiantes: 26
Actividad: Construcción del pentágono.
El docente inicia la sesión explicando la tarea a desarrollar: construir una forma geométrica regular y
pentagonal, con la ficha semejante (verde) construida en la sesión anterior (el triángulo isósceles (ficha
roja) y el gnomon), sin importar el número de veces que se repita esta ficha.
El grupo inicia realizando bosquejos donde principalmente se resalta la reiteración de la ficha de roja,
donde encontraron la conformación de un hexágono, por otro lado, intentan descomponer un pentágono
donde una de sus partes, al parecer fuera el isósceles que se les entregó en la primera tarea, como se
evidenció en el siguiente diálogo
Diálogo 5:
(1) […] Q: [Por su parte sigue intentando acomodar en los dibujos cinco triángulos isósceles
en un pentágono]
(2) Q: [dibuja un pentágono y dentro de él dibuja un triángulo que al parecer es isósceles
inicial que el docente les había dado en la primera tarea. El estudiante prolonga los
lados de igual longitud del triángulo hasta que coincida con una de las bases del
pentágono]
Ilustración 10 Bosquejo para la interpretación de la Segunda Tarea
Al analizar el bosquejo, el grupo determina que ésta no es una respuesta a la tarea, pues dentro de la
descomposición de la forma se encuentra una forma geométrica no triangular como se solicita. Este
momento, se puede evidenciar la comprensión total de lo solicitado en la tarea, en especial, el énfasis
en el trabajo con la ficha semejante que se encontró la tarea anterior.
Sin embargo, continuaron con la estrategia de descomponer o dividir una forma pentagonal en
triángulos, a lo que un bosquejo responde a la conformación de un pentágono con cuatro formas
triangulares, como se muestra en el diálogo 6, donde la construcción del material concreto estuvo
precedido por asociar la reiteración del gnomon o ficha que al sumarse con la forma inicial, conformará
un triángulo semejante. Cuando el grupo manifiesta la solución a la tarea, se realizó una intervención
por parte del docente, la cual tenía como objetivo centralizar el análisis de la forma pentagonal
construida con las condiciones de la tarea, es decir, si cumplía a cabalidad que fuera un pentágono
regular compuesto por las ficha semejante al triángulo isósceles (ficha roja)
Diálogo 6:
(3) […] P: Listo. Ustedes hicieron una figura de cinco lados, ¿son iguales…todos los lados?
(4) Q: Si.
(5) P: ¿Por qué?
(6) G: [pone la mano con los dedos abiertos señalando la longitud de uno de los lados del
pentágono formado]
(7) P: ¿Ese lado es igual a cuál otro lado? [Refiriéndose al lado señalado por el
estudiante]
(8) G: A este lado [Señalando otro lado de la forma triangular]
(9) P: ¿seguro?
(10) Q: No. Este es igual a este [señala dos lados del pentágono]
(11) P: Listo. Pero todos los lados deben ser iguales. ¿Todos los lados son iguales?...no, no
pregunto, ¿todos los lados son iguales en esta figura?
(12) El grupo responde: No.
(13) P: Entonces aún les falta algo, ¿cierto? Eso es lo primero, lo segundo es, con esta
fichita de la mitad [señalando la ficha con el dedo], la nueva que hicieron, van hacer la
de cinco lados.
(14) C: ¿con solo esa?
(15) P: solo con esa. ¿Cuantas veces han usado esta nueva?...una vez cierto. Esta y esta no
son iguales a esta completa [señalando las formas de color verde con relación a la
figura del centro y separándolas del pentágono]
(16) P: Necesito solo usar esta figura [señalando la del centro] tantas veces como sea
posible, pero esta figura [indicando con el dedo la forma que deben usar (la del
centro)]. Esta y esta no [señalando con el dedo las de color verde]
Al consolidar que la forma pentagonal no cumplía igualdad entre las longitudes de los lados y el uso de
la ficha nueva, los estudiantes retoman el bosquejo como representación que les permitirá establecer las
nuevas fichas que darán solución a la tarea. El grupo continúo con la división del todo (forma
pentagonal) en sub- partes triangulares como se muestra en el diálogo 7, hallando por medio de la
unión de las diagonales y en asociación con las fichas triangulares, la solución a la tarea.
Diálogo 7:
(13) […] Q: [dibuja la estrella usando la regla, ilustración 12]
Ilustración 11 Construcción Pentágono Irregular a partir del Triángulo Áureo
Ilustración 12 Utilización de la Estrella Pitagórica como solución a la Segunda tarea
(14) Q: Entonces el chiquito seria ese [el rosado seria el que se colorea de color azul en la
hoja]
(15) Q: Y este [ficha de color azul] a este [triangulo coloreado de color negro]
(16) Q: [los estudiantes hacen fechas para indicar la relación de las fichas con los
triángulos dibujados y coloreados dentro del pentágono]
(17) P: O sea que los dos unidos serían cuál
(18) C: El isósceles
(19) P: Si uno estos dos [la ficha azul y la rosada] ¿Qué figura seria ahí?
(20) C: Seria esta [muestra una ficha de color verde]
(21) P: Esta sería la unión entre…
(22) C: Entre esa y esa [señala la ficha rosada y la azul]
(23) P: Fechita para este [coge la ficha verde y la pone en la mesa]
(24) G: Este sería el más grande.
(25) P: No, no, no la pregunta es esta ¿los dos unidos que fichita es de las que tienen?
(26) [Señala los triángulos coloreados dentro del pentágono]
(27) C: Es esta [muestra la ficha de color verde]
(28) P: Háganle la flechita como hicieron con estas
(29) C: Pues póngala ahí y saca una flecha, que indique que esta [muestra los triángulos que
están unidos con los dedos]
(30) […] C: ¡Uy! Ya tenemos la solución.
(32) Q: Esta es la solución [señala con el dedo la solución que está dibujado en una hoja
blanca; otro cuenta los triángulos de la solución]
(32) C: Todos son iguales. [Señalando con el dedo]
(33) G: Hágalos y ahorita miramos como se hace eso. [Indicando que los recorte con el
Foami]
(34) C: Todos tienen que ser iguales. ¡Listo profe! Así debería ser, cierto. [Señalando la
solución que han dibujado en una hoja blanca]
La relación entre las formas triangulares de las fichas y los triángulos conformados en el diagrama
hecho por el grupo el cual precede a construcción del material concreto; conllevó a al grupo a
reflexionar acerca de la configuración del pentágono regular
Al hallar la solución y después de la verificación de los requisitos que se pidieron en la tarea, grupo
empieza a analizar la forma pentagonal que se encuentra en el interior de la construida, a lo cual, lo
estudiantes empezaron a cubrir este espacio a través de la superposición. Encontrando de nuevo en el
trazo de las diagonales del pentágono, la estrella inscrita que les permite afirmar construir triángulos
semejantes, repitiendo este proceso hasta lograr 3 pentágonos regulares inscritos en el pentágono de la
solución de la tarea (ilustración 13).
Ilustración 13 Construcción del Pentágono Regular a partir de Triángulos Áureos
Para fomentar el análisis entre el pentágono construido y un segundo pentágono inscrito, el docente
sombrea los triángulos isósceles descubiertos en la primera tarea y hace preguntas referentes a sus
elementos constitutivos. A partir de este análisis, encuentran relaciones de crecimiento de las
longitudes de los lados de los triángulos isósceles mediante procesos de superposición como se
evidencia en el siguiente diálogo:
Diálogo 8:
(35) […] P: Me explico,todos son triangulos isósceles, que me acabaron de decir. Pero
entonces G me dijo: pero el tamaño de los lados disminuye, pero ¿Cuánto disminuye?. De
esta medida a esta y de esta a esta [señalando los lados iguales de los triangulos
isosceles que están coloreados] (…)
(36) Q: [empieza a medir la longitud del lado del triangulo mas grande con el triangulo
mediano que se acabo de recortar, usa un esfero para marcar a cantidad de veces que se
repite]
(37) P: Dice que es el triple o tres veces mas pequeño. Va una, van dos y tres. Ah o sea que es
tres veces mas pequeño que este.[el mediano del mas grande]
(38) P: ¿Este cuanto seria mas pequeño? [pasa el triangulo mas pequeño de todos los que se
dibujaron]
(39) Q: Uy este es de tres [mide tres veces la longitud de un lado del triangulo mas pequeño al
triangulo mediano] entonces tres, seis, nueve. Nueve de estos [lo muestra al profesor]
(40) P: Porque no lo hacemos en el foami.
(41) Q: este seria tres [relación de los triangulos mediano y pequeño] y este a este sería nueve
[del pequeño al mas grande]
(42) P: Entonces vamos a hacer eso en una tablita.
Para condesar las medidas y encontradas, el docente pide organizar la información en una tabla, donde
se pudiera resaltar la relación entre la magnitud longitud de los triángulos isósceles que se dispusieron
para analizar, como se muestra a continuación:
Ilustración 14 Explicación sobre la longitud de los lados de los Triángulos Áureos
Diálogo 9:
(43) […] P: ¿Ahora me van a explicar con los triangulos y con esto? Para que yo entienda
bien. Ustedes entienden su tabla, pero tal vez yo no. El que quiera explicarme.
(44) G: Entonces, este es el triangulo mas grande de toda la figura [señala al triangulo
construido por el gnomon], este es el mas grande que hay de este pentagono que sobro
[refiriendose al pentagono construido en el espacio en blanco] y este triagulo
[refiriendose al triangulo mediano] es el mas grande que hay [refiriendose al pequeño]
del pentagono mas pequeño.
Ilustración 15 Organización datos a partir de la solución de la tarea
(45) G: Entonces, en este [toma el triangulo mayor], este triangulo [toma al mediano] cabria
tres veces.
(46) P: El lado.
(47) G: el lado, bueno. [y lo mide ratificando que el lado del triangulo mayor es tres veces el
del triangulo mediano]
(48) P: ¿Y aquí donde dice eso?
(49) G: Entonces el triangulo grande cabe una, el mediano cabe tres, el pequeño cabe nueve
[ubicandolos uno encima del otro], es una cantidad tres veces más.
(50) P: Tres veces más
(51) G: Y si digamos tenemos otro pentagono y otro triangulo seria 27 veces en el grande.
Seria como una potenciación.
(52) P: ¿Seria una potenciación? ¿Como se escribiria una potenciación?
(53) G: se escribiria, uno a la cero igual a uno, tres a la uno igual a tres, tres a la dos igual
a nueve y tres a la tres es iguala veintisiete.
(54) P: ¿hasta donde alcanzarian?
[Infinito responden todos los del grupo]
Es asi como finaliza esta sesión , donde a través de la construcciónde un pentagono regular, constituido
a partir de cinco triángulos isósceles áureo y uno semejante (al halar su gnomon),se analiza la forma
pentagonal en reducción como una relación de crecimiento al analizar las longitudes de los triángulos
constituidos.
5.1.1.3 Tercera tarea
Fecha: 28 de octubre (3’)
Número de estudiantes: 26
Actividad: Construcción y análisis de la homotecia.
Luego de construir y analizar el pentágono regular, subdivido por triángulos isósceles áureos y haber
precedido un trabajo de reducción en el cual el grupo de estudiantes encontró relaciones de
crecimiento, la tercera tarea propuesta por el docente, fue construir una caja homotética a partir de la
forma pentagonal encontrada en la tarea anterior. El propósito es que los estudiantes puedan explicar la
estrategia de encontrar la distancia que separa las imágenes homotéticas de la original.
Ilustración 16 Construcción Caja Homotética
Los estudiantes inician construyendo los ejes de homotecia, donde crean imágenes que conservan la
forma pero cambia el tamaño, en el diálogo 11 se evidencia cómo los estudiantes argumentan la
estrategia para construir la imagen en relación a la distancia de la imagen original a través de una
división continuada:
Diálogo 10:
(1) […] G: Bueno, nosotros les venimos pues hablar como encontramos el tercer pentágono,
la tercera imagen [señalando la homotecia con el dedo], no necesitamos medir acá.
(2) G: [en orden cómo va la explicación del estudiantes el realiza los movimientos hacen
referencia a las medidas de longitud de los lados de los pentágonos]…sino que medimos el
lado del pentágono original [primera imagen] lo dividimos por la mitad y nos da esto de
acá [segunda imagen] y pues la división de este pentágono, de un lado de este pentágono
nos daba este pentágono [tercer imagen]
(3) G: No necesitamos medirlo con regla acá [indica con el dedo un lado de una de las
imágenes de la homotecia] con la lana [muestra la lana que tiene en la mano] las
cortábamos por la medida que nos daba la división, íbamos buscando desde el comienzo del
punto central hasta que pudimos encontrar la medida acá [como muestran las imágenes,
encontraban la medida de la lana y la comparaban con el ancho de las proyecciones de la
homotecia y en donde concuerden estos se ubicaba el nuevo pentágono]
Posteriormente, continúan organizaron la información resultante del análisis de las imágenes
homotéticas y la original, encontrando relaciones entre las veces que un lado del pentágono homotético
cabe dentro de un lado de la original (dialogo 12):
Diálogo 11:
(4) […] P: Ah bueno, entonces la pregunta aquí es, ¿cuál es la pregunta? La tabla, ¿Qué
tiene la tabla? [Señalando con la mano la tabla que tienen en el cuaderno] ¿Y estos qué
son? [Señalando un cuadro de la tabla]
(5) Q: Esto es una vez y cuatro cuartos [señalando el primer cuadro de la tabla]
(6) P: ¿Y por qué cuatro cuartos?
(7) G: Porque es cuatro veces este.
(8) P: Otra vez, otra vez, acá hay cuatro veces qué y allá me explica.
(9) G: Es cuatro veces, este pentágono es cuatro veces este pentágono.
(10) Q: El lado del pentágono es cuatro veces.
(11) P: Ah, el lado del pentágono. [Usa las manos para explicar esto mejor] el lado del
pentágono es cuatro veces más grande que este [no se muestra en el vídeo a cuales
pentágonos hace referencia] ya.
(12) P: Sobre cuatro.
(13) G: es un cuarto porque un cuarto equivale a una de las cuatro.
(14) P: Ah ya entiendo. Una de cuatro, no, esto es una de las cuatro
(15) Q: Una de las cuatro.
(16) P: O sea que con cuatro de estas formo ese lado. Listo ya entendí
Admiten criterios para la conservación de la razón con la acción de duplicar. (Freudenthal, p. 36, 1983)
Diálogo 12:
(17) […] P: Este cuantas veces cabe acá [señala las imágenes mediana y pequeña de la
homotecia]
(18) Q: Este de este [señala las mismas imágenes que señaló el profesor]
(19) G: Dos veces
(20) P: Este cabe dos veces aquí y en cuatro aquí [señala en relación las dos imágenes
primero y luego la imagen menor con la original de la homotecia]
(21) G: Entonces habría varias fracciones. De este seria ah…un medio
(22) P: Un medio
(23) G: Y de esta seria [señalando la imagen menor con relación a la mayor]
(24) Q: De grande un cuarto
5.1.1.4 Cuarta tarea
Fecha: 14 de noviembre (12’)
Vídeo: M2U00304
Número de estudiantes: 26
Actividad: Evaluación del proceso.
Las descripciones verbales producidas por los estudiantes han avanzado; nombran los elementos
geométricos y las relaciones entre ellas de manera clara. Esto se evidencia en el siguiente apartado:
Ilustración 17 Tabulación como soporte de argumentación de la tercera tarea
Diálogo 13:
(1) C: Bueno, bueno, estamos presentando este proyecto, eh…la iniciación del proyecto
consistía en que el profesor nos daba un triángulo isósceles, lo cual teníamos que sacar
otro isósceles igual al que nos habían dado
(2) C: Entonces, nos equivocamos muchas veces después de todo lo pudimos armar, ya
después de esto, el profesor nos pidió que armáramos un pentágono, este… este
pentágono tenía las reglas de este pentágono, tenía que ser, o sea, todo lo que está por
dentro del pentágono tienen que ser triángulos isósceles [con la mano indicaba el relleno
con un movimiento circular dirigiéndose al pentágono dibujado en el tablero] y después
ya…
(3) S: Bueno, entonces con esta figura hicimos el pentágono, hicimos una estrella por dentro,
lo analizamos y nos dimos cuenta que por dentro tenían isósceles.
(4) S: entonces acá hay uno [empieza a borrar líneas del pentágono con la estrella dentro
para mostrar los isósceles, sin embargo es un compañero del grupo el que le ayuda
porque no lo logra rápidamente] coloque ahí que todo esto se formaba con isósceles…
(5) C: Y después de esto, el profesor nos pidió que hiciéramos este mismo pentágono dentro
de este pentágono [señala con el dedo el pentágono que pidió el profesor que hicieran]
(6) C: Entonces después de eso, nos preguntó si podía ser infinito o no, entonces, después de
eso empezamos hacer los mismos triángulos isósceles como con este grande dentro de
este [señala de nuevo el pentágono central] y siempre iba quedando el mismo espacio
donde se siguiera el mismo proceso hasta el infinito.
El profesor para problematizar la exposición de los estudiantes y evidenciar el avance de la
matematización, pregunta sobre la posibilidad de encontrar mediante la tabla que permite observar el
crecimiento de las longitudes de los lados de los triángulos isósceles del pentágono, reconociendo que
en los ejemplos solo muestran como se observa en la tarea 3, hasta el tercer triángulo, el profesor
cuestiona ¿es posible encontrar el quinto triángulo?
En el siguiente apartado, se muestra la respuesta a esta pregunta:
Diálogo 14:
(1) […] G: ¿El quinto triángulo?
(2) P: Si, ¿qué operación está haciendo ahí?
(3) G: Potenciación
(4) P: ¿pero qué es eso?...es multiplicar qué número
(5) G: Es multiplicar por tres [señala el exponente 2 de la expresión que escribió en el
tablero]
Ilustración 18 Socialización de los datos encontrados en La construcción de la Caja
Homotética
(6) G: Esto va ir aumentando, por ejemplo tres a la tres da…
(7) P: Si, digamos que voy a pasar al cuarto, tienen tres a la dos, voy a pasar a… ¿qué
triángulo es ese?, el tres a la dos.
(8) G: El tres a la dos es el pequeño [señala en el pentágono el triángulo pequeño]
(9) P: es el pequeño. Listo. Los dos siguientes triángulos, ¿cómo haría para llegar al
siguiente?
(10) G: Tres a la cinco.
5.1.2 Fase uno: Conclusiones finales
Tarea 1: Los grupos deben hacer una forma triangular semejante a la forma isoscéles áurea
entregada (ficha roja), sin modificar las dimensiones y con la única condición de agregarle a uno de
sus lados otra forma triangular.
Las acciones de los estudiantes presentes en esta tarea se encuentran en el nivel situacional, teniendo en
cuenta que las estrategias de análisis y construcción se encuentran ligadas a cumplir las nociones de
semejanza (D3 y D4) y de superposición como destreza de comparación y validación de medidas en la
magnitud longitud y amplitud de ángulos (D2, S-1.2). Estas acciones son usadas mediante el bosquejo
(D1), donde prevalecen los procesos de duplicación y búsqueda de una forma semejante.
Así mismo, las acciones son referidas a la conservación de la razón entre longitudes, proceso al que
recurrieron para conservar características de la forma triangular, siendo un tipo razón que no se hace
explicita (Freudenthal, p. 19, 1983) (D 4, L 14-17)
Tarea 2: Construir una forma de cinco lados, utilizando únicamente la ficha semejante al triángulo
isósceles áureo de la tarea anterior. .
Las acciones de los estudiantes en esta tarea, predomina en un nivel referencial dado que logran
relacionar la representación construida –bosquejo- con las formas triangulares (D6, D7, D8, R-2.2). Así
mismo, es entendido que la matematización permite retomar las acciones previas para posteriormente
ser analizadas y construir así una nueva idea. En este sentido, el reconocimiento de los triángulos en el
esquema y su posterior análisis permitió describir el crecimiento de la magnitud longitud de las formas
triangulares por medio de la potenciación (D9, L 7-11; G 3.2).
Las representaciones usadas para la situación pasaron por esquemas y bosquejos hasta la elaboración de
una tabla, situación propicia para el análisis de la información encontrada hasta el momento y para
tener control sobre la situación. Para la situación del crecimiento exponencial –potencias de tres- la
tabla permitió generalizan esta relación y proponer la siguiente relación sin tener en cuenta la
construcción pentagonal (D9, L 7-9).
Por otro lado, la conservación de la razón entre longitudes y congruencia entre figuras, es la
evidenciada en la solución de la tarea, ya que la estrategia de sobre posición permite trabajar la razón
de manera implícita (Freudenthal, p.19, 1983)
Tarea 3: Construir una homotecia con el pentágono construido a partir de los triángulos isósceles
áureos, donde las imágenes de la forma pentagonal, la relación entre las longitudes de los lados, sea
la mitad del pentágono anterior.
Un esquema primitivo perteneciente al pensamiento multiplicativo y a la conjetura splitting (Confrey,
1994) –crear múltiples versiones de un original- se evidenció mediante divisiones simétricas de la lana
como parte de la estrategia de solución a la tarea (D1, D3). Por ello, esta acción aunque referida al
contexto situacional por no usar instrumentos estandarizados, se centra en la construcción de números
que relacionan las distancias de los lados del pentágono original y las copias homotéticas (D2, D3)
Las relaciones entre las longitudes de los lados de imagen original y las homotéticas, así como la
distancia entre imágenes, se emprendieron mediante la acción de doblar simétricamente la lana, para
luego analizar este hecho en la homotecia y encontrar relaciones posibles entre las partes constitutivas
de las formas. Así surgió la posibilidad de organizar esta información en una tabla –pedida por el
profesor- en la cual se evidenció el uso de notaciones culturalmente elaboradas –fracciones- que se
expresaban como una relación entre magnitudes y no como un número para operar. Por ello, los
estudiantes se sitúan en un nivel general G-3.4 (D2, D3 L8-10)
Tarea 4: Realizar una grabación en la que expongan y socialicen el proceso que se ha llevado a cabo
en las sesiones de clase, guiadas por preguntas orientadoras.
Hacen reconocimiento de las potencias de tres que encontraron a partir del análisis del pentágono y
comparando las medidas de los lados de los triángulos. Esta relación la explican mostrando como se
hace para encontrar la siguiente medida y como se hace para encontrar la medida del triángulo que se
requiera. En este proceso podemos evidenciar una relación con las medidas sucesoras (similaridad)
porque lo explica para encontrar la medida que se quiera y además su relación con la construcción de
los triángulos. Esto los posiciona en un nivel formal, ya que usan notación formal que describe el
proceso con las formas triangulares y su relación numérica, entendiendo como se encentra el sucesor.
La visualización y su progresiva verbalización están relacionados con la constitución del objeto mental
de semejanza, apoyadas desde la conservación de la razón, que por su parte fue usada y descrita en la
socialización.
5.2 Segunda Fase: Análisis De La Secuencia De Tareas
Siendo esta fase de comparación donde se aborda la construcción del dato como segundo nivel de
descripción –en la análisis retrospectivo- desde los niveles de comprensión de la secuencia de tareas de
la matematización; se tuvo en cuenta las conclusiones finales del análisis por tarea –primera fase- para
describir la secuencia.
En el siguiente cuadro evidencia la distribución de los niveles de comprensión con relación a las tareas
propuestas, que resultan del análisis de cada tarea (fase 1).
Tabla 12 Relación de tareas a partir de los niveles de comprensión
NIVELES DE COMPRENSIÓN
Nivel
Situacional
Nivel
Referencial
Nivel
General
Nivel
Formal
Tarea 1 X
Tarea 2 X X
Aspectos
de
formalidad
Tarea 3 X
Aspectos
de
formalidad
Tarea 4 X
Aspectos
de
formalidad
Para el análisis de la secuencia de tareas (Fase 2) es necesario analizar el paso de un nivel de
compresión a otro. Por ejemplo, describir el paso de la tarea 1 en el nivel situacional hacia el nivel
referencial de la tarea dos -como muestra el cuadro- para obtener una posible idea acerca de los
procesos de los estudiantes, reconstruir la secuencia de tareas y la matematización.
Para el análisis de la secuencia, se van a tener en cuenta los siguientes aspectos (1) Evolución de los
modelos en la secuencia de tareas, (2) Evolución de la conservación de la razón en la secuencia de
tareas y (3) Progreso en la verbalización de la visualización. Se toman estos aspectos porque son los
que hilan la secuencia de tareas y permiten describir la matematización de los estudiantes. La
conservación de la razón como hilador de las tareas dentro de la secuencia de tareas y los modelos
como aspecto fundante de la EMR.
A continuación se desarrolla cada uno de los aspectos mencionados que se identificaron desde la fase.
5.2.1 Evolución de los modelos en la secuencia de tareas.
Las representaciones jugaron un papel imprescindible en la matematización, pues permitieron a los
investigadores describir la movilización de las acciones iniciales (doblar simétricamente, superponer,
medir, entre otras) para lograr organizar y describir esta información dotando de sentido otras
representaciones que el grupo produjo.
Para ilustrar esta relación, podemos identificar que las acciones de los estudiantes en las primeras tareas
se basaron en las estrategias superposición- bosquejo y viceversa como estrategia de trabajo del grupo
para la solución de las tareas. En la primera estrategia se superponía la forma triangular para luego
realizar un bosquejo que resolviera la tarea, en la segunda, se realizaba un bosquejo para comprobar por
superposición de las formas triangulares la solución de la tarea. Estas acciones son recurrentes en la
estrategia de los estudiantes, para la solución de las dos primeras tareas.
Luego, se presenta en el trabajo de los estudiantes, nuevos registros de representación como el
esquema, que intenta contener todas las características constitutivas de la forma triangular, pero que
solo logra captar en un sentido general de esta idea, ya que no contemplan en sus análisis las
características constitutivas de la forma. Por otro lado, identificamos que las estrategias de
superposición- bosquejo y viceversa se conectan con el esquema, cuando al considerarlo un bosquejo
mejor diseñado, se incluye más características de la forma; sumo a esto, es construido a partir de la
búsqueda de responder a la tarea y por las intervenciones del docente que provienen de las mismas
estrategias iniciales.
Ya identificada una conexión inicial entre la estrategia superposición-bosquejo y el esquema, los
estudiantes encontraron relaciones directas entre las formas triangulares entregadas y el esquema, es
decir, éste fue objeto de reflexión para el desarrollo de la tarea. Sin embargo, las estrategias iniciales se
usaron todo el tiempo para reconstruir el pentágono regular y considerar resuelta la tarea.
Con la tarea resuelta, el docente hace preguntas que indagan sobre las relaciones de las formas, de tal
forma que el grupo de estudiantes enfatizarán en el análisis de la construcción obtenida. Esta acción
del docente, condujo a que los estudiantes reconocieran el crecimiento de las formas, logrando
simbolizarlo con la expresión aproximada a 3𝑛 a partir de la reiteración de superposición del material
concreto. Es así, como interpretamos esta relación encontrada por los estudiantes, la representación
condensa el proceso de análisis de las formas desde la magnitud longitud, sin embargo el docente aduce
la necesidad de organizar la información por medio de una tabla.
Por otro lado, en la tarea de la construcción de figuras homotéticas parece que las representaciones y
construcciones anteriores no tuvieran conexión directa con los esquemas de acción construidos y
condensados mediante la representación simbólica exponencial, puesto que los estudiantes no usaron
Ilustración 19 Interpretación de Acciones de los estudiantes respecto a los modelos producidos
esta relación explícitamente en las intervenciones y estrategias evidenciadas en el desarrollo de la
actividad.
Pero identificamos en los estudiantes el uso de acciones primitivas asociadas al concepto splitting
(Confrey, 1994), específicamente en la división simétrica la lana, puesto que consideraron este como la
estrategia más útil para encontrar la siguiente imagen homotética5. Esta relación entre los lados de las
figuras homotéticas se organizó mediante una tabla en la que contenía expresiones simbólicas
culturalmente elaboradas, como las fracciones.
Ilustración 20 Acciones de la unidad similar para la conformación del símbolo o Fraccionario
La acción de doblar simétricamente permitió resolver la tarea que luego se condensó en una tabla con
representaciones fraccionarias que representan una cuantificación de la relación parte-todo: la razón. Es
decir que los estudiantes no entendían las fracciones como el conteo de cuantas partes tiene el todo, en
cambio observaron que la relación estaba en la cantidad de veces que los lados de las figuras
homotéticas cabían dentro de la original.
Es posible afirmar entonces que los esquemas primitivos iniciales constituidos por el grupo se
conectaron con relaciones entre las formas a partir de la necesidad de solución de la tarea, donde cada
representación tuvo conexidad con otra, organizando un entramado de representaciones, donde la
última de ellas condensaba a las demás en términos de comprensión.
Existen aspectos de formalidad en el desarrollo de la secuencia de tareas, los estudiantes condensaron
en símbolos algunas relaciones matemáticas encontradas en las formas triangulares y en la estructura
homotética. Estas relaciones se describieron en términos numéricos: como las potencias y las
fracciones, pero no alcanzaron el grado de formalidad puesto que no se tuvo en cuenta la conservación
de la razón y las partes constitutivas de las formas triangulares que debieron ser objeto de análisis para
llegar a una construcción que aceptara el desprendimiento de la situación inicialmente construida.
Por lo tanto, podemos afirmar que los estudiantes lograron acercamientos numéricos frente a la
constitución de las formas despreciando características geométricas como los ángulos y su conexión
con las formas pentagonales.
5 En referencia a la Tarea 3 descrita en 4, en el Capítulo IV: Secuencia de tareas documentadas
Superposición –
bosquejo
Bosquejo -
T
A
R
E
A
S
1
Y
2
T
A
R
E
A
S
3
Y
4
REPRESENTACIONES
Símbolos
(Potencias y fracciones)
Tabla
Reflexión Esquema
Tabla
Necesidad creada por
la tarea
Acciones
Dividir Simétricamente
Acciones
Reflexió
n Ilustración 21 Conformación de las representaciones a partir de los modelos evidenciados por los estudiantes
5.2.2 Evolución de la conservación de la razón en la secuencia de tareas.
Para que la semejanza se constituya como objeto mental es posible usar unos pasos intermedios, entre
ellos los criterios de la conservación de la razón (Freudenthal, 1983) que hacen parte de la aplicación
de semejanza en la invarianza de las razones internas.
La conservación de la razón es el hilo conductor de la secuencia de tareas, por esto es importante
considerar su evolución, como característica didáctica fundante de la matematización en el diseño. Para
cumplir con este propósito, es necesario usar los análisis de la fase uno (1) y describir su desarrollo.
En la tarea 1 es posible evidenciar la conservación de la razón de longitudes que permitían conservar
características de las formas triangulares, parece que no se hace explícita la razón, pero en la manera de
referirse a ella se encuentra cierta cercanía, cuando los estudiantes usan la acción de superposición y
prestan atención solamente a la longitud de los lados de los triángulos.
La tarea 2 considera la conservación de la razón entre longitudes con la acción superposición para la
medición de los lados del triángulo, sin embargo la construcción de un esquema del pentágono regular
y la posterior relación con las formas triangulares generó la necesidad de usar la superposición de las
formas teniendo en cuenta la congruencia de las formas triangulares, situación que está sujeta a la
conservación de la razón y es un proceso intermedio para constituir el objeto mental de semejanza.
En la tarea 3 cambia la situación en su estructura y la acción de los estudiantes también; de la
superposición se pasa a la división simétrica de la lana, no se hace explícito la conservación de la razón
y la invarianza de la razón entre la longitud de los lados, en otras palabras, la razón. Ya que las
enunciaciones de los estudiantes remiten a la relación entre la relación de los lados de las figuras
homotéticas.
En la tarea 4 es posible evidenciar de mejor manera la conservación de la razón en las longitudes,
congruencias y algunas descripciones verbales sobre ángulos que no se profundizaron. Es posible
concluir que las acciones de los estudiantes definían diversas características de la conservación de la
razón que no profundizo más allá de las longitudes, congruencias y ángulos. Por ello, identificamos que
faltó mayor integración de relaciones geométricas con las formas triangulares.
5.2.3 Progreso de verbalización en la secuencia de tareas.
Los estudiantes hablan desde el inicio de las sesiones de triángulos atribuyéndole características de la
figura geométrica triángulo, sin embargo, desprecian las partes constitutivas de las fichas triangulares
entregadas por el profesor.
En la primera tarea los estudiantes identifican y nombran las fichas triangulares como un triángulo
isósceles, además aducen la necesidad de ubicar un triángulo escaleno para construir el gnomon. Por
otro lado, las características de semejanza entre formas triangulares basándose en lados y vértices. Por
ello, identificamos que la verbalización del grupo de estudiantes es escasa, las relaciones geométricas
no son fáciles de identificar, Los ángulos los trajo a discusión el profesor y no fue un análisis propio en
el grupo.
El profesor (en las tareas 1 y 2) con sus intervenciones uso los términos de semejante y congruente en
los diálogos con el grupo de estudiantes. Este aspecto se retomó claramente por los estudiantes,
replicándolo en cada intervención para explicar de mejor manera la relación entre las formas
triangulares cuando las superponen y las comparan. Las descripciones al finalizar la tarea dos (2) ahora
se desplazan hacia relaciones numéricas entre la longitud de los lados de las formas triangulares, los
términos usados son tripe, tres veces, más pequeño, entre otros.
En la tarea 3 es posible identificar en los estudiantes el uso de palabras como: dividir en la mitad,
cuando dividían simétricamente la lana para encontrar las imágenes homotéticas, en sus descripciones
identificaban lados y ángulos, pero nunca hubo una reflexión a acerca de estas características en la
homotecia. Por otro lado, las relaciones encontradas por medio de fracciones fueron expresadas como:
este cabe acá dos veces, un cuarto, porque un cuarto equivale a uno de cuatro, relaciones que
evidencian el uso que se le da a las fracciones y el contexto en el que ellas son identificadas.
La tarea 4 se evidenció que los estudiantes hablaban con propiedad de las formas triangulares,
expresaban con certeza la intención de cada tarea y la explicaban usando términos matemáticos
formales, sin adentrarse en caracterizarlos, por ejemplo, usaban términos como: triángulos isósceles,
semejante, congruente, entre otras.
Es posible concluir que el lenguaje usado por los estudiantes cuando se refieren a las formas
geométricas y a la construcción homotética fue gradualmente más concreto con terminología
matemática. Además, la claridad con la que expresaban las ideas, mejoró en el transcurso de la
secuencia de tareas.
5.2.4 Algunas consideraciones sobre la organización de la clase
El grupo de investigación propuso una organización de clase que permitiera la cooperación entre los
estudiantes. Así mismo, la configuración de situaciones ricas para ser matematizadas por medio de la
razón y la proporción, que estimuló la interacción generadora de sentido, permitiendo el uso de
registros escritos, como memorias del trabajo colectivo, para la discusión de sus hallazgos con el grupo
en general.
5.2.5 Consideraciones acerca de la ruta de aprendizaje forma a figura
La ruta de enseñanza es posible identificarla en las tareas propuestas en la secuencia, puesto que allí se
caracteriza y se pone de manifiesto las intenciones de enseñanza del grupo investigador. Por otro lado,
la ruta de aprendizaje está caracterizada como tránsito a partir de la forma hacia la figura, con las
especificidades de la semejanza y congruencia en sentido visual-progresivo, además de la característica
de estas formas relacionadas directamente con la sección áurea, esperando así que las acciones de los
estudiantes se centren en esquemas de la similaridad en un la matematización.
Tabla 13 Análisis Forma - Figura
Forma Figura
Tarea 1
Los estudiantes establecieron a
las fichas triangulares
características como: lados,
ángulos y vértices.
La figura (bosquejos, esquemas)
no era visible estas
características, simplemente se
limitaban a caracterizar los lados
y los vértices.
Tarea 2
Se hace visible en las formas la
característica área, pero no fue
trabajada en la secuencia de
tareas.
La figura construida no tuvo en
cuenta los ángulos de las formas
geométricas.
Tarea 3
La forma es la homotecia, los
estudiantes la caracterizaron con
los lados y los ángulos.
Los estudiantes no analizaron la
homotecia, tampoco la pusieron
en figura.
Tarea 4
En esta tarea la forma se ha visto
dividida en las fichas triangulares
dotas de características
geométricas y en la homotecia.
Las figura esta descrita en la
primera y segunda tarea, por
medio de bosquejos y esquemas.
Para la homotecia no es posible
identificarlo.
Por ello, podemos afirmar que los estudiantes transitaron la ruta en cada tarea, interpretaban la forma
entregada y la transformaban en una figura cualquiera en un sentido amplio. Sin embargo, la figura y la
forma debe estar determinada por características geométricas definidas, en este sentido, los estudiantes
lograron parcialmente adjudicar criterios contenidos a las formas geométricas entregadas (fichas
triangulares) limitándose a ciertos aspectos generales. Así como construyeron estas relaciones, también
definieron las figuras; es decir, en las formas triangulares los estudiantes evidenciaron características de
lados, vértices y ángulos convirtiéndola en forma geométrica, así mismo la figura descrita (bosquejo,
esquema) definida con lados y ángulos. Pero no pudieron relacionar las características estructurales de
la forma y la figura, es decir, no reconocieron la relación ente ángulos y lados, entre ángulos y entre
áreas.
Consideración final de la fase de análisis
Podemos concluir que los estudiantes hicieron una aproximación a la unidad similar por medio de las
formas geométricas desde el uso de acciones primitivas del concepto de similaridad (Confrey, 1994) y
la superposición hasta el refinamiento representacional que es determinado por medio de una expresión
matemática, sin relacionar completamente las partes constitutivas de las formas geométricas.
De acuerdo con la definición de unidad similar definida por Confrey (1994) como “(…) la base
experiencial alternativa para la construcción de número en un esquema cognitivo primitivo que
denominaremos similaridad (splitting)” (p.1) es posible afirmar, que los estudiantes lograron
aproximarse a la unidad similar por medio de las formas geométricas que conllevó a la construcción de
una expresión que simboliza los esquemas primitivos de la similaridad –entre ellos, dividir
simétricamente- como condensación.
5.3 Tercera Fase: Análisis Retrospectivo
La tercera fase es el contraste de la hipótesis inicial de nuestro experimento de enseñanza con la
construcción del dato de la segunda fase de análisis.
Tabla 14 Contrastación Hipótesis inicial y Dato construido
Hipótesis inicial Dato construido (análisis)
Por medio de la matematización los estudiantes
constituyen la unidad similar por medio del
trabajo con las formas geométricas de la sección
áurea.
La secuencia de tareas documentada, permitió
generar una actividad de matematización, puesto
que se prestó para que los estudiantes realizaran
acciones sobre materiales entregados y generó
vínculos de acción para organizar lo
matematizado.
Así mismo, es posible afirmar, que los estudiantes
hicieron una aproximación a la unidad similar por
medio de las formas geométricas desde el uso de
acciones primitivas del concepto splitting
(Confrey, 1994) y la superposición hasta el
refinamiento representacional que es determinado
por medio de una expresión matemática, sin
relacionar completamente las partes constitutivas
de las formas geométricas.
De acuerdo con la anterior tabla podemos concluir que hubo un acercamiento satisfactorio a la
similaridad desde las acciones de los estudiantes, promovidas por el ambiente de aprendizaje. El
acercamiento fue numérico en expresiones exponenciales. La construcción geométrica, sirvió de ayuda
para este acercamiento, pero no se profundizó en sus estructuras.
Los resultados de la investigación permitieron caracterizar la matematización de los estudiantes en la
comprensión de objetos matemáticos referidos al pensamiento multiplicativo, mediante las
transformaciones en las formas geométricas de la sección áurea.
De este modo, las acciones evidenciadas en los estudiantes, clasificadas desde los niveles de
comprensión (Treffers 1978, 1987, citado por Bressan, 2004) en el transcurso del desarrollo de las
tareas en la matematización, manifiesta tres aspectos: el primero, hace referencia al papel que
desempeñan los Modelos y Representaciones desde la EMR en las tareas, puesto que la acciones de los
estudiantes como superponer formas triangulares o la división simétrica de la lana; fueron
complejizados de manera progresiva a través de representaciones tales como esquemas, bosquejos,
tablas para organizar la información y el símbolo, lo cual se puede interpretar como reflexión de este
proceso, permitiendo comprender su estructura geométrica.
El segundo aspecto, consiste en la evidencia del progreso gradual de verbalización de los estudiantes
durante la implementación de la secuencia de tareas, en ella los estudiantes lograron manifestar como
producto del trabajo matematizador, la descripción de manera concreta y clara de la forma a las figuras,
junto al establecimiento de las estrategias de solución.
El último aspecto, vincula las acciones de los estudiantes con la conservación de la razón (Freudenthal,
2001), puesto que los estudiantes hicieron uso de éste aspecto en la congruencia de la longitud y los
ángulos de las formas triangulares, sin lograr caracterizarlas rigurosamente en la situación.
Los estudiantes identificaron una estructura multiplicativa en el crecimiento de las formas geométricas
en las dos primeras tareas, estas se desarrollaron a partir de acciones iniciales o primitivas implícitas en
los estudiantes (superponer y doblar) y las representaciones que apoyan a éstas, construyendo así, un
desplazamiento hacia una representación exponencial: 3𝑛 que estandariza las acciones primitivas de los
estudiantes en una sola expresión, describiendo de esta manera, la situación de crecimiento de las
formas.
La proximidad a la unidad similar por medio de las formas geométricas de la sección áurea, se
evidenció en los estudiantes -en especial en el análisis de las formas triangulares- desde la duplicación
y la división simétrica hasta el refinamiento representacional (3𝑛) en el crecimiento de la formas del
pentágono. En este sentido, hubo la necesidad por parte de los estudiantes de encontrar una unidad
(lado del triángulo menor) la cual, reiterándola permitió encontrar la relación de crecimiento con las
demás, simbolizados por una expresión exponencial, una representación tabular y un bosquejo. Es así,
como el contexto de la sección áurea permite desde un ambiente geométrico orientado a la recursión,
encontrar estructuras multiplicativas que conlleven a considerar el comportamiento del crecimiento por
medio de un símbolo asociado a las relaciones multiplicativas.
Continuado con las acciones iniciales de los estudiantes –duplicar, dividir simétricamente- los cuales
según Confrey (1994) están relacionadas con aspectos de la similaridad, pudieron ser enmarcadas en el
nivel situacional (Principio de niveles) , atendiendo a los indicadores propuestos en la investigación;
los esquemas y la organización de las tablas como aspecto referido a la organización de la situación,
influyó para que los estudiantes pudieran reflexionar sobre la acción misma y situarse a un nivel
referencial (Principio de niveles); en este aspecto, se podría afirmar en relación a lo expuesto por
Freudenthal (2001), que ellos se encontraron en una matematización horizontal, caracterizada por
utilizar el sentido común, la experiencia (usando materiales y elementos representacionales del
contexto inmediato) relacionada con elementos propios del pensamiento multiplicativo. Así mismo, la
reflexión de la representación tabular y de los esquemas construidos, propició el uso de notación
matemática convencional, permitiendo alejarse del contexto concreto y acercarse al nivel general, con
algunos aspectos de formalidad (nivel formal, Principio de niveles), considerándose entonces, como la
matematización vertical.
CONCLUSIONES
La dinámica de la clase de matemáticas (las situaciones emergentes en las clases, la respuesta del
docente frente a estas situaciones, la manera de disponer la clase, la organización en grupos, los
materiales usados, entre otros) fue organizada a partir del experimento de enseñanza (Gravemeijer &
Cobb, 2013), que permitió analizar las situaciones en el aula y modificarlas continuamente, para lograr
el propósito del diseño (ruta de aprendizaje), haciendo de la secuencia de tareas un elemento de
reflexión y continuo mejoramiento entre el docente-investigador y el investigador- observador, en el
actual informe este acto se considera desde la modificación de Secuencia De Tareas - Pilotaje y la
Secuencia De Tareas Documentada.
De modo que, se considera el rol del docente- investigador y el investigador- observador, como agentes
importantes en la constitución del ambiente de aprendizaje, puesto que proponen las problemáticas de
aprendizaje que los estudiantes abordan, para la construcción de una cultura de clase óptima en la
comprensión de la matemática. Por lo tanto, la construcción del ambiente de aprendizaje que se realizó
en la investigación posibilitó una mirada de las matemáticas distinta, al igual que modelos alternos de
multiplicación y caracterizó al docente- investigador como innovador de la práctica.
Finalmente, las sesiones de clase se toman como una unidad generadora de actividad de
matematización. En ellas, se evidencia que lo matematizado hacía parte de la trayectoria forma-figura
geométrica áurea, en el que intervienen diversas acciones, lenguajes, representaciones, puntos de vista
de los estudiantes y del docente, lo cual está ampliamente contemplado en Consideración final de la
fase de análisis, evidenciando la relación imperante del aprendizaje como consecuencia de la relación
entre elementos propios de la clase de matemáticas - ambiente de aprendizaje- el docente (investigador
y observador) y la actividad del estudiante.
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Secuencia De Tareas - Pilotaje
OBJETO MENTAL: Semejanza y congruencia en área triangular.
Actividad 1: Construcción de una forma triangular con fichas.
Tarea 1: Construir una forma triangular isósceles rectangular con todas las fichas, sin que sobre
espacio.
Justificación:
Resaltando que toda acción propuesta por el estudiante es válida así no tenga una relación visible con la
similaridad, por hacer parte de la matematización. Se hace entrega de fichas en forma triangular que
permitan ser manipuladas para promover acciones en el material por parte de los estudiantes, y logren
ser interpretadas en un mundo de similaridad, entendiendo ésta como la acción de crear
simultáneamente múltiples versiones de un original (Confrey, 1994) dentro del contexto geométrico. Es
decir, la organización de las fichas en una forma triangular, promueve acciones en relativa
independencia a la suma como: comparar, dividir simétricamente, ampliar y doblar, base para la
similaridad (Confrey, 1994), donde la comparación hace parte de las acciones que interesa promover en
esta actividad.
Las formas triangulares entregadas a los estudiantes tienen tamaño y longitud de los lados distintos
para dificultar la construcción final, y así comparar una estructura de otra, sin inducir criterios de
mayor rigor, como la relación de ángulos y superficies.
Objetivos de la actividad
Identificar y clasificar las formas triangulares a partir de la visualización y las acciones sobre el
material.
Descripción de la actividad:
Momento 1: Para iniciar el trabajo con los estudiantes, se hace entrega de 9 fichas triangulares y se pide
construir una forma triangular isósceles rectangular con todas las fichas, sin que sobre espacio y sin
traslapar. Los estudiantes pueden apoyarse en otros materiales que les permita medir y realizar
aproximaciones a la solución de la tarea, sin embargo, el trabajo comienza en las acciones sobre el
material, cuando se recubre una ficha con otra, se compara, duplica, sobrepone, quita, añade, gira, etc.
Estas acciones proporcionan al investigador un tipo de representación externa concreta que sirve ente
otras cosas, para la comunicación a los demás y a sí mismo de los procesos de comprensión (Bressan
et. al., 2009).
Momento 2: El docente debe generar espacios de socialización sobre el trabajo realizado, por ello, la
discusión de las estrategias, dificultades y resultados obtenidos permiten redirigir el proceso de los
estudiantes con la intención de poner en práctica en las acciones la conservación de la razón. Para esto
se realizan preguntas orientadoras que buscan que el estudiante encuentre una clasificación de las
formas triangulares presentadas intentando definir criterios propios para su organización.
ANEXOS
Ilustración 22 Fichas Actividad de Pilotaje
Tabla 15 Preguntas para la clasificación de formas triangulares
PREGUNTAS
ORIENTADORAS INTENCIÓN
¿Cuántos grupos de fichas
triangulares formaron?
Identificación de la forma de los triángulos
¿Hay fichas triangulares iguales?
¿Cuáles son iguales?
Comparación de áreas con la interpretación
del concepto congruencia de triángulos.
¿Existen fichas triangulares
semejantes?
Comparación de áreas con la interpretación
del concepto de semejanza y congruencia
de triángulos.
¿Qué relación encuentras entre las
fichas triangulares?
Identificar características en común de las
fichas como parte de la visualización en la
conservación de la razón.
¿Cuáles son los criterios de
organización de las fichas
Construir criterios propios designados a las
formas triangulares.
Momento 3: El profesor debe clarificar lo que se denominará semejante y congruente para todos en el
salón, ejemplificándolo con el material entregado usando lenguaje provisto en el salón para nombrar
características de las formas serán las mismas para todos.
OBJETO MENTAL: Semejanza y congruencia en área triangular.
Actividad 2: Fabricación de fichas semejantes para la construcción de una forma triangular
isósceles rectangular.
Tarea 2: Construir una forma triangular isósceles rectángulo con todas las fichas sin que
sobre espacio, teniendo en cuenta que no pueden haber del mismo tamaño seguidas.
Justificación:
La semejanza está orientada como objeto mental a constituirse mediante el reconocimiento
de la conservación de la razón (Freudenthal, 1983), cuando se contrasta las formas a partir
de criterios definidos, inicialmente desde la visualización.
Por esto, la intencionalidad en la fabricación de las formas triangulares isósceles
rectangulares es en primer lugar; promover la identificación de nuevas características que
tienen las formas y en segundo lugar; identificar la unidad representada, como la forma
triangular que posibilita la construcción de otra forma con mayor tamaño. Esto implica
acciones (doblar, dividir simétricamente y ampliar) sobre el material que pueden referirse a
la similaridad en su forma más primitiva y en la recursión (Confrey, 1994). En la siguiente
ilustración se muestran algunas formas de construir fichas e identificarlas como unidad.
En la fabricación de las formas triangulares los estudiantes identifican la conservación de la
razón: vista en contexto de igualdad de longitudes, ángulos y congruencia.
Objetivos de la actividad
Identificar una unidad de crecimiento en la magnitud área triángular, desde procesos
de ampliación y reducción, mediante la conservación de la razón.
Descripción de la actividad:
Ilustración 23 Posibles Construcciones
Momento 1: Se organizan grupos de estudiantes para que construyan 10 fichas triangulares
isósceles rectangulares, por lo tanto se pide material que sea fácil de tratar y no se rompa,
sesgue, fragmente o se divida en su manipulación. Es importante no restringir el uso de
instrumentos de medición para la construcción de las figuras, porque esto expone la manera
de abordar y vincularse con la tarea por parte de los estudiantes, mostrando estrategias para
construir formas semejantes.
Luego se propone construir una forma triangular isósceles rectángulo con todas las fichas
sin que sobre espacio, teniendo en cuenta que no pueden haber dos fichas consecutivas del
mismo tamaño. La construcción de los estudiantes por grupo debe llegar a considerar
diferentes tamaños de triángulos buscando resolver el problema, esperando una respuesta
similar a la que se muestra en la siguiente ilustración:
Ilustración 24 Posible Solución involucrando las diferentes fichas
Momento 2: Para lograr este trabajo con los estudiantes, se debe considerar preguntas que
orienten el proceso en cuanto a la medición de los triángulos, la manera de construirlos, la
forma de organización, hasta la manera de asegurar su semejanza.
Tabla 16 Preguntas orientadoras para la construcción y análisis de la forma triangular
PREGUNTAS
ORIENTADORAS INTENCIÓN
¿Cómo aseguras que las fichas
triangulares son semejantes?
Identificación de la forma de los
triángulos y comparación entre áreas
triangulares
¿Cuál es el material que permite
construir mejor las formas
triangulares?
La elección del material permite una
comparación aceptable de las áreas
triangulares.
¿Cuántas formas triangulares
construirás semejantes? ¿Cuántas
Comparación de áreas con la
interpretación del concepto de
formas triangulares construirás
iguales?
semejanza y congruencia de
triángulos.
¿Cuál es el motivo que al ampliar o
reducir la ficha esta no cambie su
forma?
Caracterizar la recursión,
característica fundamental en el
crecimiento triangular y la
similaridad Confrey (1994)
Momento 3: En este momento, los estudiantes deben responder a la tarea 3, reorganizando
las fichas construidas y teniendo en cuenta los vértices de la forma geométrica y la medida
del ángulo, que debe ser de 60 grados. Una de las intenciones se centra en las estrategias de
los estudiantes para lograr medir un ángulo mediante las fichas triangulares sin necesidad
de usar instrumentos alternos como el trasportador. Por esto se invita a los estudiantes, en la
manipulación de las fichas el análisis de los ángulos, identificar en ellas características
iguales en las fichas triangulares sin importar su tamaño.
Otra de las intenciones se centra en el análisis de las acciones y estrategias de los
estudiantes cuando resuelven la tarea, puesto que existe una imposibilidad para resolverla,
el profesor debe orientar el trabajo de los estudiantes hacia la reflexión. En este sentido,
cada grupo de estudiantes debe llevar registro del proceso que permita un posterior análisis
en el que se pueda realizar diferentes representaciones para argumentar su proceso de forma
precisa.
Tabla 17 Preguntas orientadoras para el análisis de ángulos
PREGUNTAS
ORIENTADORAS INTENCIÓN
¿En las fichas triangulares dónde se
encuentran los ángulos?
Relacionar las puntas de las fichas
triangulares con los ángulos.
¿Cómo puedes medir los ángulos
de las fichas triangulares?
La búsqueda de estrategias con el
material para que puedan calcular la
medida de los ángulos de las fichas
triangulares isósceles rectangulares.
¿Cómo aseguras las fichas
triangulares tienen ángulos de 60
grados?
Incentivar el análisis de las acciones
sobre el material, buscando
argumentos sobre el proceso
realizado.
Momento 4: cada grupo de estudiantes presenta las soluciones que han encontrado
respondiendo a las preguntas orientadoras sugeridas. El profesor debe considerar las
alternativas de los estudiantes como estrategias que deben refinarse en aspectos simbólicos,
descriptivos y del lenguaje, para que los estudiantes adopten una manera específica de
nombrar los objetos que se trabajan en clase siempre desde el uso del material producido en
clase.
