Matematicas y Vida Cotidiana 1ESO Santillana

50 MATEMTICAS 1. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Cdigos numricos

Nmeros naturales 1

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Utilizar cdigos para llamar por telfono. Reconocer el ISBN como el cdigo internacional del libro. Observar la utilizacin de los cdigos en las matrculas de los coches. Crear cdigos numricos propios.

Una de las utilidades de los nmeros naturales es trans-mitir informacin en forma de cdigos. Hay cdigosnumricos que utilizamos constantemente, como, porejemplo, los nmeros de telfono.

En Espaa, desde 1998 todos los nmeros de telfonosfijos, salvo los nmeros especiales, tienen nueve cifrasy empiezan por 9. Asimismo, estn formados por unprefijo de 2 o 3 cifras y el nmero de cada abonado.

Si llamamos desde el extranjero tenemos que aadir elnmero 34 al principio del nmero del abonado.

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) Imagina que quieres llamar desde el extranjero auna persona de Burgos cuyo nmero de abonadoes 11 11 11. Qu cdigo tienes que marcar si elprefijo de Burgos es 947?

b) Sabiendo que el prefijo de Cuenca es 969, culesde estos cdigos telefnicos no son correctos?

969238769 9691345976 96012344434969111943 349698842323

Los nmeros de telfono1

Observando cualquier libro, vemos que en la cubiertaaparecen las letras ISBN seguidas de un grupo de n-meros. El ISBN es el nmero con el que quedan cata-logados los libros. Est formado por 10 dgitos, divididosen cuatro grupos y separados por guiones:

84 294 6411 5

El primer grupo es el identificador del pas; en estecaso, 84, que corresponde a Espaa. El segundo gru-po, 294, es el identificador de la editorial que ha reali-zado el libro, la Editorial Santillana.

El tercer grupo, de 4 cifras, 6411, es el correspondien-te al libro que lleva el cdigo.

El cuarto grupo, de 1 cifra, es el dgito de control, y sir-ve para comprobar si el resto de grupos es correcto.

El dgito de control se obtiene de esta forma.

1. Cada nmero tiene una posicin. Al nmero queocupa la primera posicin, 8, lo multiplicamos por 10; al segundo, 4, lo multiplicamos por 9, y a los siguientes por 8, 7

En el ejemplo:

8 10 = 80; 4 9 = 36; 2 8 = 16;9 7 = 63; 4 6 = 24; 6 5 = 30; 4 4 = 16;1 3 = 3; 1 2 = 2

2. Sumamos los productos anteriores:80 + 36 + 16 + + 16 + 3 + 2 = 270

3. Calculamos el resto de dividir esa suma entre 11:270 = 11 24 + 6; resto: 6

4. Restamos a 11 el resto obtenido:11 6 = 5. El dgito es 5.

Este nmero se corresponde con el dgito que tenamos.En el caso de que el resultado obtenido en el paso 4.o

sea 10, el dgito de control pasa a ser la letra X.

Comprueba si los siguientes ISBN son correctos o no. Si no lo son, corrige el dgito de control.

2711830089 07141113438429462139 842946736X

El ISBN2

826464 _ 0046-0055.qxd 16/2/07 10:35 Pgina 50


UNIDAD1

Otro de los cdigos ms comunes son los nmerosque identifican los coches, es decir, la matrcula.

El actual sistema de matrculas utilizado en Espaa essimilar al de otros pases de la Unin Europea. El ta-mao de la matrcula es de 52 11 cm e incluye la letra E de Espaa sobre la bandera de la Unin Europea, ms una combinacin de cuatro nmeros(de 0000 a 9999) y tres letras (comenzaron por BBB y terminarn en ZZZ). Cuando se acaban los nmerospara una combinacin de letras, se pasa a la siguiente.

En este sistema se excluyen las vocales, las letras LL,CH (incompatibles con el diseo, que no admite cua-tro letras en el ltimo grupo), y y Q, por confundirsecon la N y con la O y el nmero 0, respectivamente.

HAZ ESTAS ACTIVIDADES.

a) Cul fue la primera matrcula del sistema actual? Y la segunda? Y la tercera? Cules sern la penl-tima y ltima matrculas con este sistema?

b) Observa estas matrculas y seala las que son falsas.

E 0008 ABB E 10001 BTT E 2345 ZZZE 4587 ZA E 11224 CCC E 0000 CXZ

c) Inventa otro sistema de matriculacin.

Las matrculas3

Existen cdigos numricos que a veces tenemos quecrear nosotros mismos: por ejemplo, el PIN del tel-fono mvil, el nmero secreto de una tarjeta de crdi-to, etc.

Para evitar que se nos olviden utilizamos una combi-nacin de nmeros que tengan algn significado para nosotros, aunque hay que tener cuidado de queeste no sea muy obvio para evitar que sean usados demanera fraudulenta.

Observa el siguiente ejemplo de cdigo numrico paralos alumnos de una clase de 1.o ESO:

13 07 1

El primer grupo de cifras por la izquierda indica laedad del alumno, en este caso 13. El siguiente gruposeala la nota media obtenida en Matemticas en elcurso anterior, un 7, y el tercero, el sexo del alumno, 1 si es una chica y 2 si es un chico. As, el alumno re-presentado por este cdigo es una chica de 13 aosque sac un 7 de nota media el ao pasado.


a) Describe el alumno representado por cada uno deestos cdigos, segn el modelo del ejemplo.

13 05 2 14 06 113 09 2 13 07 1

b) Indica por qu estos cdigos no son correctos.23 05 1 13 13 213 07 3 13 4 1

c) El mtodo utilizado para representar a los alumnos,asocia a cada alumno un nico cdigo?

d) Pueden existir dos chicas que tengan el mismo cdigo? Y dos chicos? Y una chica y un chico?

e) Si aadimos al cdigo un nuevo grupo de nmerosa la derecha con los nmeros 0 (si tiene el pelomoreno), 1 (rubio) y 2 (pelirrojo), describe a losalumnos representados por estos cdigos.

13 06 2 2 13 08 1 113 07 1 0 13 09 2 1

Otros cdigos numricos4

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

AR

EC

UR

SO

S P

AR

A E

L A

ULA

826464 _ 0046-0055.qxd 16/2/07 10:35 Pgina 51


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Criptografa y nmeros primos

Divisibilidad2

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Reconocer la importancia de la criptografa y el criptoanlisis. Utilizar el cifrado de Csar. Manejar el cifrado de Csar mejorado. Utilizar los nmeros primos en la criptografa.

La criptografa es la ciencia que estudia la proteccinde la informacin con distintos mtodos para impedir elacceso a la misma de personas no autorizadas.

El criptoanlisis intenta averiguar los mtodos anterio-res para conseguir la informacin original.

La criptografa es tan antigua como la escritura. Se diceque las primeras civilizaciones que usaron la criptografafueron la egipcia, la mesopotmica, la hind y la china.

Hoy en da la criptografa es una disciplina de gran im-portancia: las comunicaciones de los gobiernos, entre lassedes de una empresa, en transacciones econmicas, enel comercio por Internet, en las llamadas por telfono m-vil, necesitan estar protegidas para salvaguardar los inte-reses y la intimidad de las personas.

Los mtodos criptogrficos y de criptoanlisis actualesusan frmulas muy complejas que aprovechan la enor-me potencia de clculo de los ordenadores.

El proceso suele ser el que ves en el grfico. Un emisorA quiere mandar un mensaje m al receptor B. Para queun intruso C no pueda leerlo, A lo somete a un proce-so de cifrado, consiguiendo un criptograma M, que esel que enva a B. Este, al recibirlo, lo somete a un pro-ceso de descifrado, obteniendo el mensaje original, m.El criptoanlisis le servira a C, si tiene xito, para ob-tener el mensaje m a partir del criptograma M.

Vamos a estudiar a continuacin uno de los mtodosms famosos en la historia: el cifrado de Csar, creadopor el gobernante romano Julio Csar.

La criptografa y el criptoanlisis1

El cifrado de Csar consiste en desplazar cada letra delalfabeto tres lugares. El texto que ciframos lo pondremosen minscula y el criptograma obtenido en maysculas.

Observa la relacin entre las letras:

Por ejemplo, enemigo al cifrarlo queda HPHOLJR, y al descifrar ORUD obtenemos mora. Comprubalo.

RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) Utilizando el cifrado de Csar, encripta estas frases.El examen es fcil. A las cinco en la plaza.

b) Descifra el mensaje.H HADOHP HV H XPHV

Una generalizacin sencillade este mtodo consiste endesplazar el alfabeto otronmero distinto de 3 letras.

As, si lo desplazamos 4 le-tras, entonces enemigose traduce como IQIPMKS.

c) Cifra las siguientes frasesutilizando el cifrado de C-sar generalizado segn losdesplazamientos k marca-dos para cada una de ellas.

k = 1. La bolsa subir. k= 2. Llegamos maana.

El cifrado de Csar2

Mensaje Criptograma Mensaje

Emisor Receptor

BCA

m5Descifrado

M5Cifrado

m

5

Criptoanlisis

a b c d e f g h i j k l m nD E F G H I J K L M N O P

o p q r s t u v w x y zQ R S T U V W X Y Z A B C

826464 _ 0056-0063.qxd 16/2/07 10:39 Pgina 60


UNIDAD2

Una mejora del cifrado de Csar consiste en relacio-nar cada letra con otra, sin que haya un mismo des-plazamiento para todas, eligiendo una combinacin alazar. Este mtodo se denomina sustitucin monoalfa-btica.

Por ejemplo, si elegimos la relacin:

a b c d e f g h i j k l m nB W E R T Y U I O P C S D F

o p q r s t u v w x y zG H J K L Z X A V Q N M

la palabra enemigo sera TFTDOUH.

Este sistema es bastante seguro porque se puedenemplear unas 1028 relaciones distintas, tantas comoreordenaciones del alfabeto se te ocurran, por lo quesi alguien quisiera descifrar el texto, aunque conocierala tcnica, no sabra qu reordenacin se ha elegido.

REALIZA ESTAS ACTIVIDADES.

a) Utilizando la relacin estudiada, cifra estas frases.Vienen a las siete. Vende todo.

b) Elige una reordenacin del alfabeto y cifra las frasesanteriores.

A pesar de que este mtodo parece muy seguro, ba-sndonos en la frecuencia con que se repiten las le-tras en un idioma, y con la actual potencia de clculode los ordenadores, es posible descifrar los mensajes.

Date cuenta de que hasta ahora hemos visto mtodosde cifrado y descifrado en los que tanto emisor como re-ceptor conocen la forma de enviar y recibir mensajes, esdecir, los mtodos de cifrado y descifrado son comunes.

En la criptografa actual, sin embargo, no ocurre as: siqueremos mandar un mensaje a alguien, sabremoscmo cifrarlo pero solamente el receptor sabr cmodescifrarlo.

El cifrado de Csar mejorado3

Los sistemas actuales de criptografa utilizan mtodosnumricos muy complejos, con operaciones en lasque se manejan nmeros primos con gran cantidad decifras.

Muchos matemticos y cientficos trabajan en mtodosde cifrado y descifrado, y utilizan los nmeros primos,ya que son la base ideal para un proceso de cifrado f-cil y descifrado enormemente difcil.

Vamos a ver, a continuacin, un mtodo sencillo de cifrado en el que utilizaremos los nmeros primos. Se requiere que tanto emisor como receptor conozcancmo cifrar y descifrar mensajes.

A cada letra del alfabeto le haremos corresponder un nmero de dos cifras. La letra A la sustituiremos por 10,la B por 11 y as sucesivamente.

El emisor aplica este mtodo de cifrado: si el nmero correspondiente a la letra es primo, se deja como est, y si es compuesto, se le suma un nmero fijo, 30 eneste caso.

De este modo, la palabra mates sera 5240604429.

Para descifrar el mensaje hacemos grupos de dos cifrasen los nmeros y miramos la equivalencia en la tabla.As, 17555140 29405840 descifrado es la frase holasara.

RESUELVE LAS ACTIVIDADES.

a) Con el mtodo anterior cifra estas frases.Ven maana. Tengo fro.

b) Descifra el texto.604844234429 573144 4429603113484058

c) Inventa otro mtodo para encriptar textos en el queutilices los nmeros primos.

La utilidad de los nmeros primos en criptografa4

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

a/10 b/11 c/12 d/13 e/14 f/15 g/16h/17 i/18 j/19 k/20 l/21 m/22 n/23/24 o/25 p/26 q/27 r/28 s/29 t/30u/31 v/32 w/33 x/34 y/35 z/36

a/40 b/11 c/42 d/13 e/44 f/45 g/46h/17 i/48 j/19 k/50 l/51 m/52 n/23/54 o/55 p/56 q/57 r/58 s/29 t/60u/31 v/62 w/63 x/64 y/65 z/66

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LA

826464 _ 0056-0063.qxd 16/2/07 10:39 Pgina 61


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Ley del oro. La fotografa

Fracciones3

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Emplear las fracciones para indicar la ley de una aleacin de oro. Reconocer la presencia de las fracciones en la fotografa. Trabajar con fracciones en distintos contextos reales.

El oro es uno de los metales ms antiguos conocidospor el hombre. Se han encontrado ornamentos de oroen tumbas egipcias, y su uso como medio de intercam-bio monetario se conoce desde los tiempos bblicos.

Es este un metal muy escaso y se suele encontrar enyacimientos o filones, y tambin en pequeas cantida-des; por ejemplo, las pepitas en la grava de los ros.

Los principales yacimientos estn en frica, California,Alaska, Canad y Sudamrica.

El oro, entre otras propiedades muy apreciadas, es dc-til y maleable, es decir, con l podemos formar hilos muyfinos y lminas extraordinariamente delgadas, por lo cualha sido utilizado a lo largo de la historia para hacer jo-yas y, en la actualidad, se usa en diversos aparatos elec-trnicos, como los ordenadores.

En la prctica, para trabajar con el oro se le aaden unaserie de metales, con objeto de darle mayor consisten-cia y poder utilizarlo ms adecuadamente, creando unamezcla o aleacin.

Segn las aleaciones, la cantidad de oro presente serdistinta. Para indicar la proporcin de oro que hay enuna aleacin, llamada ley de la aleacin, se utiliz du-rante mucho tiempo una unidad: el quilate.

As, una joya de oro de 18 quilates quiere decir que los

de esa joya son de oro, siendo el resto de otro metal.

De igual forma, una joya de 24 quilates sera una joya

compuesta totalmente de oro, los = 1 seran deese metal.

Por tanto, una moneda de oro de 16 quilates y 3 gramos

de peso, contendr: 3 = = 2 gramos de oropuro.

RESUELVE ESTAS ACTIVIDADES.

a) Cuntos gramos de oro hay en un collar de 18 qui-lates que pesa en total 6 gramos?

b) Cuntos gramos de oro habr en un collar de 20 quilates que pesa 5 gramos?

En joyera la ley ms usual es de 18 quilates. Al oro sele aaden distintos metales que le dan colores diferen-tes. Por ejemplo, el oro rojo es oro y cobre, y el blanco

es oro, de paladio y el resto plata.

RESUELVE ESTAS ACTIVIDADES (suponemos oro de 18 quilates).

a) Cuntos gramos de plata hay en un collar de oroblanco que pesa 10 gramos en total?

b) Cuntos gramos de oro hay en unos pendientes de oro rojo si tienen 3 gramos de cobre?

c) En cul de estas dos pulseras hay ms cantidad deoro? Justifica tu respuesta. Una pulsera de oro rojo con 2 gramos de cobre. Una pulsera de oro blanco con 1 gramo de plata.

1

10

48

24

16

24

24

24

18

24

El oro y las fracciones1

826464 _ 0064-0071.qxd 16/2/07 10:40 Pgina 68


UNIDAD3

Si comparas una fotografa actual con una fotografa an-tigua podrs comprobar que la tcnica ha avanzado mu-cho. Uno de los aspectos en los que el avance ha sidoconsiderable es la captacin de objetos en movimien-to y de instantes que, incluso, no pueden ser aprecia-dos a simple vista.

Para conseguir fotografas que plasmen imgenes enmovimiento o fenmenos que ocurran con gran rapidez,necesitamos que la luz incida en la pelcula durante unacantidad de tiempo muy pequea, durante fraccionesde segundo.

El obturador es la ventana que deja pasar la luz paraque incida en la pelcula. Si observas una cmara, ve-rs que tiene marcados unos nmeros: 2, 4, 8, 15, 30,60, 125, 250, 500, 1.000, 2.000 referidos a esa ve-locidad del obturador.

El nmero 50 significa que el obturador se abre y se cie-

rra en de segundo. Las cmaras ms modernas

tienen velocidades de hasta de segundo.

Cuanto mayor es el denominador de la fraccin, pode-mos conseguir fotografiar, con apariencia esttica, fe-nmenos que ocurren a gran velocidad.


a) Si tienes alguna cmara de fotos en tu casa, anotalas posibles velocidades del obturador y explica susignificado.

b) Algunas cmaras modernas pueden tomar velocida-des de obturador distintas a las sealadas anterior-mente.Calcula la velocidad de obturador intermedia entrelos valores 250 y 500. Para ello suma las fraccionescorrespondientes y divide entre 2.

c) Calcula la velocidad intermedia entre los valores 500 y 1.000.

Las cmaras ms modernas, equipadas con motores,son capaces de hacer hasta 8 fotografas en un solo segundo. Esta velocidad es distinta a la velocidad de obturacin, que afectar al resultado de cada una de las fotografas.

Date cuenta de que la velocidad de disparo de la cma-ra limitar la velocidad de obturacin, y viceversa. Nopodemos hacer en un segundo 8 fotografas con velo-cidad de obturacin 2, ya que entonces tardaramos en

hacerlas 8 = 4 segundos.


a) Disparando 8 fotografas por segundo, en cuntotiempo gastaramos un carrete de 24 fotos? Y uncarrete de 36?

b) Disparando 4 fotografas por segundo, qu veloci-dad de obturacin no podemos utilizar? Cunto tar-daramos en gastar un carrete de 36 fotografas?

c) Y disparando 2 fotografas por segundo?

Este nmero de fotografas (8) por segundo es muy alto. Piensa que en el cine se utilizan 24 fotografas, llamadas fotogramas, por segundo; es decir, cada foto-

grama del cine es presentado ante nosotros de segundo.

RESPONDE A LAS PREGUNTAS.

a) En un minuto, cuntas fotografas o fotogramasde cine hemos visto? Y en hora y media?

b) Si tuvisemos que pasar todos esos fotogramas a ca-rretes de 36 fotografas, cuntos necesitaramos?

1

24

1

2

1

8 000.

1

50

Las fracciones en la fotografa2

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

AR

EC

UR

SO

S P

AR

A E

L A

ULA

826464 _ 0064-0071.qxd 16/2/07 10:40 Pgina 69


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Un viaje al Reino Unido

Nmeros decimales4

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Valorar la necesidad de los nmeros decimales para expresar de forma numrica situaciones reales. Hacer aproximaciones y redondeos de nmeros decimales. Resolver problemas de la vida cotidianamediante nmeros decimales.

La empresa Exportaciones Intercontinentales tiene uncontrato para exportar frutas y hortalizas a la compa-a Fruits Import, con sede en Londres.

Un camin se encuentra listo para partir. El conductor y el encargado de los envos van a pesar la mercanca.Suben el vehculo a una bscula de plataforma gigante.

El peso total del camin cargado es de 44,604 tone-ladas.

El peso del camin vaco es de 15,015 toneladas.

El precio por usar la bscula es de 6,50 por tone-lada de peso en vaco.

El remolque del camin mide 12,70 m de largo,2,40 m de ancho y 2,75 m de alto.

Una caja de fruta mide 0,60 m de largo, 0,35 m deancho y 0,30 m de alto.

El conductor planea parar 1 hora cada 300 km y lle-var una velocidad media de 80 km/h.

Adems, a 500 km del punto de partida, tiene querecoger una carta para Fruits Import en otra oficinade su empresa.

CON ESTOS DATOS, REALIZA LAS ACTIVIDADES.

a) Redondea los nmeros que expresan el peso del camin cargado y vaco a las centsimas, dcimas y unidades.

b) Cuntas toneladas de fruta transporta el camin? Y kilogramos?

c) Cuntos euros ha costado pesar el camin?d) Cul es el volumen del camin en m3? Para obte-

nerlo multiplica el largo por el ancho y el alto.e) Cul es el volumen de una caja en m3?f) Haz una estimacin del nmero de cajas que pue-

de contener el remolque y del volumen total que ocu-pan, y explica cmo lo has hecho.

g) Qu porcentaje del volumen total del camin que-da vaco segn tu estimacin?

h) Cunto tiempo tardar el camin en recoger la carta?

Tras descansar el conductor sigue su trayecto y, a los890 km del punto de partida, el camin se avera. Elconductor llama a la empresa y le ofrecen cambiar sucamin por otro de dimensiones 11,30 m de largo,2,39 m de ancho y 2,65 m de alto, o avisar a un me-cnico para que lo arregle.

Ninguna de las opciones le parece conveniente, puesel nuevo camin tiene que recorrer de nuevo 890 km y el mecnico tardar aproximadamente 8 horas enllegar.

CON ESTOS DATOS, REALIZA LAS ACTIVIDADES.

a) Cul es el volumen del nuevo camin? Exprsalo enm3 y en cm3.

b) Haz una estimacin del nmero de cajas (iguales endimensiones a las anteriores) que puede contenerel nuevo camin. Cabrn todas las cajas que lleva-ba el camin estropeado en el nuevo?

c) Qu porcentaje del volumen del nuevo camin que-dara sin ocupar si se pasase el mayor nmero decajas posibles al nuevo camin?

d) El mecnico planea parar cuatro veces durante10 minutos cada vez. Si lleva una velocidad de110 km/h, cunto tiempo tardar en llegar al lu-gar donde se encuentra el camin estropeado? Redondea el resultado a las centsimas.

Tras ser arreglado el camin, el conductor pasa a Fran-cia y, despus de varias paradas, llega a Coquelles, elinicio del tnel bajo el Canal de la Mancha. Despus,sale por Folkestone, en Inglaterra.

El viaje de ida1

826464 _ 0072-0079.qxd 16/2/07 11:53 Pgina 76


UNIDAD 4

A partir de ese punto, el conductor se dirige a Londres.Adems de conducir por la izquierda, se encuentracon seales en ingls y se da cuenta de que aparecenunidades de medida distintas a las que suele utilizar.

Para interpretarlas mira en unas tablas que tiene en elcamin, que marcan:

1 milla terrestre (mi) = 1,609 km1 pie (ft) = 0,3048 m

1 pulgada (in) = 2,54 cm

En el camino se encuentra con varias seales de trfico:

Una de ellas seala que la velocidad mxima permi-tida es de 55 millas por hora.

Otra indica que la altura mxima permitida en unpuente es de 16 pies.

Una tercera seala que la gasolinera ms prximaest a 3 millas de distancia.

CON ESTOS DATOS, CONTESTA A LAS PREGUNTASREDONDEANDO COMO CREAS OPORTUNO.

a) Cul es la velocidad mxima permitida en esa carretera en kilmetros por hora? Y en metros porsegundo?

b) Cul es la altura mxima, en metros, que puedetener un vehculo para pasar libremente bajo elpuente? Y en decmetros?

c) Podr pasar el camin bajo el puente? Cuntoscentmetros le faltarn o sobrarn?

d) A cuntos kilmetros de distancia se encuentra la gasolinera? Y a cuntos metros?

e) En una parada el conductor conversa con un compa-ero americano, cuyo camin tiene una cilindrada de500 pulgadas cbicas. Halla los centmetros cbi-cos que tiene una pulgada cbica (eleva al cubo elvalor de una pulgada) y los centmetros cbicos decilindrada del camin.

Finalmente, el conductor llega a la compaa donde hade descargar la mercanca. En la caseta de vigilancia,una persona le indica que acomode el triler sobre labscula y, una vez realizada la maniobra, anota en li-bras el peso del vehculo: 98.463 lb (libras). Enseguida,el conductor lleva el triler a la zona de descarga y,poco tiempo despus, lo coloca nuevamente sobre labscula, pero ahora totalmente vaco: 33.146 lb.

COMPARA CON LOS DATOS DEL PRINCIPIO Y CONTESTAA ESTAS CUESTIONES.

a) A cuntos kilogramos y gramos equivale, aproxima-damente, una libra?

b) Con la equivalencia que has hallado antes, comple-ta la siguiente tabla.

De regreso a casa, el conductor detiene el camin enuna estacin de servicio. Se acerca a la caja y paga50 galones de combustible, coloca la manguera den-tro del tanque y echa esa cantidad.

SI 1 GALN SON 3,785 LITROS, CONTESTA A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS.

a) A cuntos litros de combustible equivalen los 50 ga-lones que carg?

b) Si el tanque tiene capacidad para 200 litros, qufraccin de la capacidad representan los 50 galo-nes? Exprsalo como nmero decimal.

La estancia en las islas y el viaje de vuelta2

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

Libras (lb) Kilogramos (kg)

110

1001

10100

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LA

826464 _ 0072-0079.qxd 16/2/07 11:53 Pgina 77


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Coordenadas y ciudades

Nmeros enteros5

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Localizar la posicin de distintas ciudades segn sus coordenadas. Situar ciudades utilizando mtodosdiferentes a las coordenadas formadas por pares de nmeros enteros.

Ciudades espaolas y coordenadas cartesianas1

a) Indica las coordenadas de Zaragoza, Palencia, Sevilla y Murcia.

b) De las ciudades sealadas en el mapa, cules tie-nen la misma abscisa? Y la misma ordenada?

c) Puede haber dos ciudades que tengan las mismascoordenadas?

d) Seala las ciudades espaolas que estn situadasen el primer y cuarto cuadrantes.

e) Cules son las coordenadas de Madrid?f) En qu cuadrante se encontrar Huelva? Di cul

ser el signo de sus coordenadas.

g) A quin le corresponde mayor abscisa, a Oviedo o Pamplona? Y mayor ordenada?

h) Identifica cules de las siguientes frases son ver-daderas y falsas.1. Las ciudades de Almera y Murcia estn en el

cuarto cuadrante y tienen la misma abscisa.2. Las ciudades de Zaragoza y Cuenca se encuen-

tran en distintos cuadrantes y tienen diferentes coordenadas.

3. Sevilla tiene mayor ordenada que A Corua.4. Sevilla tiene la misma ordenada que Cceres.

Imagina que queremos situar de forma precisa dn-de se encuentran algunas ciudades espaolas utili-zando el mtodo de representar puntos mediantenmeros enteros.

Podemos dibujar una cuadrcula donde aparezcan losejes cartesianos que se cortan en el punto O, y super-poner el mapa de Espaa, haciendo coincidir Madridcon el origen de coordenadas.

Observa que se forman cuatro cuadrantes y que algu-nas ciudades aparecen situadas en puntos de esacuadrcula (las localizaciones son aproximadas).

As, las coordenadas de Barcelona vienen dadas por el par (14, 2), es decir, si contamos 14 unidades en eleje X y 2 en el eje Y, encontramos dicha ciudad en esepunto de la cuadrcula. De igual manera, las coorde-nadas de Salamanca vienen dadas por el par (5, 2).


A CoruaOviedo

Palencia

Salamanca

Madrid

Pamplona

Zaragoza

CuencaToledoCceres

Valencia

Barcelona

Murcia

AlmeraMlaga

Sevilla

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10-11-12-13-14-15-16-17

1234567891011

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1

-11-12-13-14-15-16-17

Y

X-18-19-20-21 19

Sta. Cruzde Tenerife

826464 _ 0080-0087.qxd 16/2/07 11:42 Pgina 84


UNIDAD 5

Ahora vamos a ver otra forma de identificar dnde seencuentran las ciudades, pero sin usar las coordena-das que ya conocemos.

Utilizamos la cuadrcula anterior, los mismos ejes y elmismo origen de coordenadas, y trazamos distintascircunferencias con el comps con centro el origen y distintos radios.

Por ejemplo, pinchamos en Madrid, (0, 0), y, con radiode 5 unidades, trazamos una circunferencia. En su in-terior estn las ciudades de Cuenca y Toledo.

Esto nos indica aproximadamente la posicin de Cuen-ca y de Toledo, pero no con exactitud.

Cmo podemos especificar con ms claridad dndese encuentran las distintas ciudades?

Veamos, por ejemplo, cmo localizar de una manerams exacta la posicin de Zaragoza.

Con centro en Madrid y una abertura del comps quepase por Zaragoza, vers que el radio del comps esde 8 unidades. Trazando una semirrecta con origenMadrid, y que pase por Zaragoza, puedes comprobarque forma con el eje X un ngulo de 30. As, pode-mos decir que Zaragoza est en un crculo de radio8 unidades y un ngulo de 30, y situar esta ciudad demanera exacta.

Otra forma de indicar la posicin de las ciudades2

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

Aa) De las ciudades espaolas sealadas en el mapa,

cules se encuentran en el interior de la circunfe-rencia de radio 10 unidades?

b) Qu ciudades se encuentran en el exterior de la cir-cunferencia de radio 10 unidades?

c) Traza una circunferencia de radio 16 unidades. Quciudades espaolas situadas en el mapa se encuen-tran dentro de esta circunferencia?

d) Dibuja una semirrecta con origen en Madrid y quepase por Pamplona. Mide el ngulo que forma conel eje X. Este ngulo, es mayor o menor que el queforma la semirrecta de Zaragoza con el eje X?

e) El ngulo que forma la semirrecta que pasa por Sa-lamanca con el eje X, ser mayor o menor que elque forma la de Zaragoza?

f) Forma un ngulo de 90 con el eje X alguna delas ciudades espaolas representadas en el mapa?

g) Forma alguna ciudad un ngulo mayor de 90 y me-nor de 180 con el eje X?

h) Para situar una ciudad, basta con decir que est enun crculo de radio 7 unidades? Y que su semirrec-ta forma un ngulo de 45 con el eje X?

RESUELVE ESTAS ACTIVIDADES.

Sta. Cruzde Tenerife

A Corua Oviedo

Palencia

Salamanca

Madrid

Pamplona

Zaragoza

CuencaToledoCceres

Valencia

Barcelona

Murcia

AlmeraMlaga

Sevilla

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10-11-12-13-14-15-16-17

1234567891011

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1

-11-12-13-14-15-16-17

30

19-18-19-20-21X

Y

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LA

826464 _ 0080-0087.qxd 16/2/07 11:42 Pgina 85


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Ecuaciones, tringulos y tablas

Iniciacin al lgebra6

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Usar letras como nmeros generalizados. Observar regularidades. Utilizar el lgebra como herramientapara resolver situaciones. Generalizar situaciones numricas.

Observa el siguiente tringulo. En los lados est la su-ma de los nmeros de los vrtices.

Imagina que no conocieses los nmeros de los vrtices,pero s las sumas. Cmo hallaras los vrtices?

Si llamamos x al nmero de uno de los vrtices, losotros vrtices sern 8 x y 4 x. Sabemos que 6 es la suma de esos dos vrtices, luego:

(8 x) + (4 x) = 6

Resolvemos la ecuacin: 12 2x = 6, 12 6 = 2x, 6 = 2x, x = 3. Los nmeros son 3, 1 y 5.

RESUELVE AHORA ESTAS ACTIVIDADES UTILIZANDO ECUACIONES.

a) Averigua los nmeros de vrtices del tringulo.

b) Completa el siguiente tringulo con los nmeros 1,2, 3, 4, 5 y 6, de manera que la suma de los tresnmeros de los lados sea siempre la indicada en elcentro del tringulo.

c) Busca el valor de A, B, C, D, E y F en el tringulo,sabiendo que la suma de los lados es la indicadaen el centro del tringulo y que el valor de A es 2,el valor de B es una unidad mayor que A y el valorde E es el doble de A.

d) Observa esta pareja de tringulos que compartenun punto. Averigua los valores que faltan sabiendoque sus lados siempre suman 15, que A es tresunidades mayor que x y B es la quinta parte de x.

Ecuaciones en tringulos1

3

1 5

84

6

1

x+1

x2

x 3

x 2

x6

10

A

CE

B

B

F

F

xA

E C

D

D

11

15

15

7 9

x

4x 8x

84

6

1215

9

826464 _ 0088-0095.qxd 16/2/07 11:55 Pgina 92


UNIDAD 6

Esta tabla contiene los nmeros del 1 al 100.

Tomamos un cuadrado de 2 2, por ejemplo:

Observa que: 7 + 18 = 8 + 17.

Elegimos otros cuadrados y comprobamos:

Observa que: 11 + 22 = 12 + 21.

Observa que: 66 + 77 = 67 + 76.

HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) Toma un nmero cualquiera x y expresa en fun-cin de l los nmeros del cuadrado 2 2 que loincluye. Se cumple la propiedad anterior?

b) Es vlida esta propiedad para todos los cuadrados2 2? Por qu?

Considera ahora la tabla de sumar.

Tomamos un cuadrado 2 2, por ejemplo:

Observa que: 4 + 6 = 5 + 5.

Considerando otro cuadrado 2 2:

Observa que: 11 + 13 = 12 + 12.


a) Toma un nmero cualquiera x y expresa en fun-cin de l los nmeros del cuadrado 2 2 que loincluye. Se cumple la propiedad anterior?

b) Es vlida esta propiedad para todos los cuadrados2 2? Por qu?

Esta es la tabla de la suma de los primeros nmerospares.

Tomamos cuadrados 2 2:

Observa que: 2 6 4 4. Pero s secumple que: 2 6 + 4 = 4 4.

Observa que: 12 16 + 4 = 14 14.

RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) Toma un nmero cualquiera x y expresa en fun-cin de l los nmeros del cuadrado 2 2 que loincluye. Para ello expresa los valores a y b en fun-cin de x en el siguiente cuadrado.

b) Expresa en funcin de x la propiedad:x b + 4 = a a

c) La expresin que se obtiene en b), es una identi-dad o una ecuacin?

d) Es vlida la anterior propiedad para los cuadrados 2 2?

Regularidades en tablas2

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

11 1221 22

66 6776 77

+123456789

+ 2 4 6 8 102 4 6 8 10 124 6 8 10 12 146 8 10 12 14 168 10 12 14 16 18

10 12 14 16 18 20

07 0817 18

11 1212 13

2 44 6

12 1414 16

x aa b

4 55 6

123456789

10

1112131415161718191

2122232425262728292

3132333435363738393

4142434445464748494

9192939495969798999

102030405060708090

100

5152535455565758595

6162636465666768696

7172737475767778797

8182838485868788898

23456789

1011

3456789

101112

456789

10111213

56789

1011121314

6789

101112131415

789

10111213141516

89

1011121314151617

9101112131415161718

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LA

826464 _ 0088-0095.qxd 16/2/07 11:55 Pgina 93


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Unidades de medida antiguas

Sistema Mtrico Decimal7

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Conocer medidas de longitud, capacidad y masa anteriores al Sistema Mtrico Decimal. Relacionar estasmedidas con las del Sistema Mtrico y establecer comparaciones entre ellas.

Antes de la adopcin del Sistema Mtrico Decimal, ca-da regin, provincia y pueblo tenan sus propias uni-dades. Las ms usadas eran las del reino de Castilla.Vamos a estudiar sus caractersticas.

En las tablas puedes ver las equivalencias entre lasdistintas medidas.

Medidas de peso

Observa que:

1 arroba = 25 libras 1 libra = 4 cuarterones = 16 onzas 1 cuartern = 4 onzasUna arroba equivale a 11,5 kg.

Medidas de longitud

Una vara equivale a 0,836 metros.

Medidas de capacidad para vinos y licores

En este caso, una cntara son 16,1 litros.

Medidas de capacidad para aceites

Una arroba equivale a 12,56 litros.

Medidas de capacidad para ridos

Una fanega equivale a 55,5 litros.


a) A cuntos kilos equivale cada medida de peso?

b) A cuntos metros y centmetros equivale cada me-dida de longitud?

c) Establece las relaciones entre las medidas de capa-cidad de las tablas y su equivalencia en litros.

d) Qu relacin existe entre la arroba de vinos, la deaceite y la de ridos?

e) Qu dificultades crees que habra con tanta varie-dad de unidades de medida?

Medidas de longitud, capacidad y masa1

Arroba Libra Cuartern Onza Adame Tomn Grano

ArrobaLibraCuarternOnzaAdameTomn

254 16

416

312

Vara Pie Palmo Pulgada Lnea Punto

VaraPiePalmoPulgadaLnea

3 4 36129

1212

Cntara Azumbre Cuartillo Copa

Cntara Azumbre Cuartillo

84

4

Arroba Libra Panilla Onza

Arroba Libra Panilla

254

4

Fanega Celemn Cuartern Ochavo Ochavillo

Fanega Celemn Cuartern Ochavo

124

48

826464 _ 0096-0103.qxd 16/2/07 10:44 Pgina 100


UNIDAD7

Archena es un pueblo de la provincia de Murcia, si-tuado en la vega del Segura. Archena, como la mayorade los pueblos de Espaa, antes de la obligatoriedad deacoger un sistema nico de pesas y medidas, tena elsuyo propio, que a lo largo del tiempo se ha ido man-teniendo como patrimonio de su tradicin e, incluso,lo utilizan los ancianos del lugar en sus compras y ven-tas agrarias, y tambin en el trueque.

La utilizacin de la medida de capacidad de 16,1 litrospara una arroba de vino y de 12,56 litros para unaarroba de aceite, se ha mantenido vigente en Archenay en gran parte del pas.

Las medidas antiguas de Archena y sus equivalenciascon las actuales de metro, litro y kilo son:

Medidas de peso

Un quintal equivale a 46 kg.

Qu equivalencias tiene el resto de medidas de pesocon el kilo actual?

Medidas de longitud

1 braza = 2,09 metros1 palmo = 20,89 centmetros

Qu equivalencias tienen estas medidas con el metro?Y entre s?

Medidas de capacidad para ridos

Observa que 1 fanega equivale a 12 celemines y cadacelemn a 2 medios.

Una fanega equivale a 55,5 litros.

Qu equivalencias tiene el resto de medidas de capa-cidad para ridos con el litro?

Medidas de capacidad para vinos y licores

Una arroba para vinos equivale a 15,96 litros.

Qu equivalencia tiene el resto de medidas de ca-pacidad para vinos con el litro?

Medidas de capacidad para aceites

Una arroba para aceite equivale a 12,56 litros.

Qu equivalencia tiene el resto de medidas de capa-cidad para aceites con el litro?

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. (Son problemas que podan plantearse en la poca en la que las unidades no eran las mismas en Espaa.)

a) Un comerciante de Castilla desea realizar una com-pra de frutas y verduras a un agricultor de Archena.Para poderse entender necesitan saber la relacinexistente entre las medidas de peso de cada regin.Podras ayudarlos?

b) Un vinicultor de Archena quiere comprar vino a gra-nel en Castilla para embotellar. Qu relacin hayentre las medidas de las dos regiones?

c) Establece la relacin entre las medidas de longitudde Archena y del reino de Castilla.

d) En el tema de ridos y aceites la situacin es msfcil porque la fanega y la arroba tienen la mismaequivalencia en litros en Castilla y Archena. Esta-blece un sistema de medida nico que sirva paralos dos sitios.

Otras medidas2

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

AQuintal Arroba Libra Onza

Quintal Arroba Libra

425

16

Fanega Celemn Medio

Fanega Celemn

122

Arroba Cuartern

Arroba 4

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LA

826464 _ 0096-0103.qxd 16/2/07 10:44 Pgina 101


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... La razn urea

Proporcionalidad numrica8

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Utilizar las razones de proporcionalidad en contextos reales para resolver problemas. Trabajar con escalas en fotografas, calculando distancias a partir de distancias reales, y viceversa.

Desde la antigedad, el hombre ha utilizado las razo-nes y proporciones en multitud de contextos, sobretodo geomtricos, y en algunos casos copiado directa-mente de la Naturaleza. Una razn muy especial queencontramos en la Naturaleza es la conocida como ra-zn urea, o nmero de oro, que aparece en las di-mensiones del organismo de algunos animales, flores,etctera.

Dos segmentos estn en proporcin urea cuando lalongitud de la suma de ambos es al mayor como elmayor es al menor, es decir:

Pues bien, para que se cumpla esa proporcin, la razn vale exactamente: = 1,618033989... (un nmero decimal con infinitas cifras). Este nmero se llama nmero de oro.

Se suele definir un rectngulo ureo como aquel quecumple que la razn entre la longitud y la altura es el

nmero de oro, es decir, que = 1,62.a

b

AC

AB

AB

BC=

La razn urea en Geometra1

Leonardo da Vinci dedic parte de su Tratado de pin-tura a expresar las proporciones armnicas entre laspartes del cuerpo humano. Para ello realiz el famosodibujo anatmico de la fotografa.

HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) Mide las dimensiones del rectngulo de la figura.b) Calcula la razn entre las dos longitudes. Qu

observas?

Otro contexto en el que aparece la razn urea es laarquitectura, por ejemplo, en el Partenn.


a) Mide las dimensiones del rectngulo de la fotografa y calcula la razn. Qu razn es?

b) Si la altura real es de 18 metros, calcula la escala dela fotografa.

c) Cul ser el ancho de la fachada?

La razn urea en la escultura y arquitectura2

A B C

b

a

826464 _ 0104-0111.qxd 16/2/07 10:48 Pgina 108


UNIDAD8

La razn urea aparece en multitud de lugares en la Na-turaleza como, por ejemplo, en la forma de los hue-vos: en general, la razn entre la altura y el ancho est

comprendida entre los nmeros y 1,62.

Veamos de forma grfica cmo el tamao de algunosanimales guarda tambin esta proporcin, es decir, lalongitud dividida entre la altura es, normalmente, un de-cimal aproximado a 1,6, o, en forma de fraccin, 8/5.

OBSERVA LA VACA DE LA FOTOGRAFA Y REALIZA ESTAS ACTIVIDADES.

a) Mide las longitudes de la base y altura del rectn-gulo donde est inscrita la vaca. Cul es la raznentre las medidas?

b) La vaca de la fotografa mide 1,4 metros de altura.Cul es la escala con la que se ha representado?

c) Y su longitud?

1 27,

La razn urea en la Naturaleza3

Observa los ejemplos que te damos a continuacin, todos ellos son objetos de la vida diaria.

En la fotografa tienes una tarjeta de crdito.


a) Mide las dimensiones de la tarjeta.

b) Calcula la razn entre la longitud y el ancho.

c) Si puedes, obtn las dimensiones reales y, a partirde ellas, calcula la escala de la fotografa.

Toma ahora un documento nacional de identidad. Sutamao est relacionado con la razn urea.

a) Mide las dimensiones de tu DNI.

b) Calcula la razn entre la longitud y el ancho. Quobservas?

c) Si tuvieras una fotografa de un DNI que midiese3 cm de largo y 4,8 cm de ancho, a qu escalaestara hecha?

Observa las fotografas de los billetes de 5 y 500 .

a) Mide las dimensiones de los billetes de las foto-grafas.

b) Calcula la razn entre su longitud y su ancho.

c) Averigua sus dimensiones reales y, a partir de ellas,calcula la escala de la fotografa.

d) Las dimensiones de los billetes, estn en propor-cin urea?

e) Elige otros billetes de valores diferentes e investigala relacin entre sus dimensiones.

La razn urea en otros contextos4

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

AR

EC

UR

SO

S P

AR

A E

L A

ULA

826464 _ 0104-0111.qxd 16/2/07 10:48 Pgina 109


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... ngulos en aeronaves

ngulos y rectas9

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Reconocer diferentes tipos de ngulos y lneas en los primeros modelos de aeronaves. Resolver problemas sobre ngulos en relacin con los autogiros y los aviones.

El primer vuelo con xito fue precedido de siglos desueos, estudio, especulacin y experimentacin. Mu-chos sabios de la antigedad crean que para volar se-ra necesario imitar el movimiento de las alas de lospjaros. Finalmente, la Fsica y las Matemticas fueronlos pilares en los que se apoyaron los progresos de laaviacin.

Siglo V. Se disea el primer aparato volador: la cometa o papalote.

Siglo XIII. El monje ingls Roger Bacon, tras aos deestudio, lleg a la conclusin de que el aire podra so-portar un ingenio volador de la misma manera que elagua soporta un barco.

Siglo XV. El famoso cientfico e inventor italiano Leo-nardo da Vinci analiz el vuelo de los pjaros, e ideunas alas con las que crea que el hombre podra vo-lar. La experiencia demostr que eso no era posible.

Siglo XVIII. Los hermanos Montgolfier construyeron unglobo que, al llenarlo de aire caliente, se elevaba so-portando una cesta con los pasajeros.

Siglo XIX. Los globos se perfeccionan y evolucionan enlos dirigibles.

Siglo XX. El da 17 de diciembre de 1903, cerca deKitty Hawk, en el estado de Carolina del Norte, los her-manos estadounidenses Wilbur y Orville Wright realiza-ron el primer vuelo pilotado de una aeronave ms pe-sada que el aire y propulsada por motor.


a) Observa la fotografa de la cometa. Si consideraslos lados del cuerpo de la cometa como rectas,qu posiciones tienen esas rectas entre s? Cmoson los ngulos que forman?

b) Las rectas formadas por los dos palos que se entre-cruzan en medio de la cometa, cmo son? Qutipo de ngulos forman al cortarse?

c) Observa la fotografa de la mquina voladora deLeonardo y considera las varillas como rectas.Qu posiciones de rectas ves en ella? Cmo sonlos ngulos que forman algunas de esas rectas?

d) Observa el aeroplano de los hermanos Wright.Qu posicin tienen las rectas formadas por lasvarillas respecto a los planos de las alas? Cmoson esas rectas entre s?

Identificacin de distintos tipos de lneas en aeronaves1

826464 _ 0112-0121.qxd 16/2/07 10:47 Pgina 116


UNIDAD9

En 1920 el espaol Juan de la Cierva invent el auto-giro. El autogiro es un tipo de avin con una hlicearriba y que despega verticalmente. Es el antecedentede los helicpteros.

Los helicpteros son utilizados en gran cantidad desituaciones por su facultad de poder permanecersuspendidos sobre un determinado punto. Tienenmltiples diseos, variando el nmero de aspas desus hlices.

RESPONDE A ESTAS PREGUNTAS.

a) Cuntas aspas tiene cada uno de los helicpterosde las fotografas anteriores?

b) En cuntas partes dividen esas aspas al crculoque forman al girar? Cmo son esas partes?

c) Qu ngulo forma el par de aspas en cada uno deellos?

Otro contexto donde aparecen los ngulos en los avio-nes es el ngulo de ataque, la inclinacin del ala conrespecto a la corriente del aire.

Al aumentar el ngulo de ataque aumenta la sustenta-cin del avin, es decir, este se sujeta mejor en el aire.Este efecto de sustentacin es el mismo que se produ-ce al sacar la mano por la ventanilla de un coche e incli-narla. Sin embargo, la cantidad de sustentacin quepuede ser generada en los aviones de esta forma tieneun lmite.

A partir de los 14 grados de ngulo de ataque, la fuer-za de sustentacin disminuye rpidamente, hasta quese pierde por la formacin de remolinos alrededor delas alas. Se dice entonces que el avin ha entrado enprdida y cae rpidamente.

RESUELVE LAS SIGUIENTES CUESTIONES.

a) Indica, para cada uno de estos ngulos de ataque,si el avin entrara en prdida o no.a) 800' c) 800' 2.500'' b) 50.000'' d) 13 57' 200''

b) Expresa en minutos y en segundos el ngulo deataque mximo.

Clculo de ngulos en autogiros y aviones2

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

AR

EC

UR

SO

S P

AR

A E

L A

ULA

826464 _ 0112-0121.qxd 16/2/07 10:47 Pgina 117


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Geometra en las seales de trfico

Polgonos y circunferencia

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Reconocer algunas seales de trfico y su importancia para la regulacin del trnsito vial. Identificar los aspectos geomtricos ms relevantes de las seales de trfico: forma, simetras, etc.

Las seales de trfico son un elemento vital para la or-denacin de este. Por ello, es fundamental respetarlassiempre, tanto por nuestra seguridad como por la de losdems. Todas ellas tienen formas geomtricas conoci-das. Vamos a ver en este apartado las seales con for-ma triangular y a identificar algunos de sus aspectosgeomtricos ms relevantes. Las seales triangularesindican peligro.

Todas estas seales constan de un tringulo equilterorojo y algunos elementos en su interior. Las que vamosa considerar son:


a) Observa la seal de cruce normal. Tiene algn ejede simetra? Si lo tiene, indica cul es.

b) En la seal de doble sentido de circulacin, cuntosejes de simetra puedes apreciar? Indica cules son.

c) Observa la seal de peligro indefinido. Seala cu-les son sus ejes de simetra.

d) En la seal de estrechamiento de la calzada, cun-tos ejes de simetra podemos encontrar?

e) Observa la seal de ceda el paso. Tiene algn ejede simetra? Cuntos son?

f) En la seal que indica peligro de animales sueltos,podemos encontrar algn eje de simetra?

g) Disea alguna seal de tipo triangular que indiqueun peligro. Di los ejes de simetra que posee.

Seales triangulares1

Vamos a ver a continuacin algunas seales con formade polgono y que no son tringulos. En general, las seales poligonales son cuadradas o rectangulares yde color azul, aunque hay excepciones.


a) Observa la seal de stop. De qu polgono tieneforma? Si prescindes de las letras de su interior,cuntos ejes de simetra tiene? Cules son? Hallael nmero de diagonales y el valor del ngulo cen-tral e interior del polgono.

b) La seal de 70 indica la velocidad mxima aconse-jable en kilmetros por hora en un tramo. Si conside-ras los nmeros, tiene algn eje de simetra? Y sino los consideras? Indica todos los que aprecies.

c) Para qu velocidades en kilmetros por hora ten-dra esta seal un eje de simetra? Indica los n-meros de dos cifras y los ejes en cada caso.

Seales con forma poligonal no triangular2

Cruce normal Doble sentido de circulacin

Ceda el paso

Animales sueltosPeligro indefinido Estrechamiento de la calzada

Parada obligatoriaen el cruce

(en rojo)

Velocidad mximaaconsejable

(en azul)

10826464 _ 0122-0129.qxd 16/2/07 10:51 Pgina 126


UNIDAD10

Vamos a ver algunas seales poligonales ms. Todasvan en color azul. Son seales de tipo informativo.


a) Observa la seal que indica circulacin paralela. Si no consideras las flechas, cuntos ejes de sime-tra tiene? Y si las consideras? Indica, en los doscasos, cules son esos ejes.

b) La seal de parada de taxis, tiene algn eje de simetra? Cul es? Cmo son los segmentos queforman la T?

c) Las diagonales de las seales de circulacin para-lela y parada de taxis, tienen igual longitud? Sonperpendiculares?

d) La seal de camping, qu forma tiene? Posee algn eje de simetra considerando el dibujo?Y sin considerarlo?

e) Observa la seal de taller. Cuntos ejes de sime-tra tiene si tenemos en cuenta el smbolo? Y sinconsiderarlo?

f) Cmo son las diagonales de las seales de cam-ping y taller?

Una gran cantidad de seales de trfico no tienen for-ma poligonal sino circular. Las seales circulares pue-den ser de color rojo, indicando prohibicin, blanco siindican fin de prohibicin y azul si son seales deobligacin. Vamos a ver algunos ejemplos.


a) Observa la seal de circulacin prohibida. Indica todos los ejes de simetra que posee.

b) Haz lo mismo para la seal de direccin prohibida. El rectngulo que hay dentro de esta seal, estinscrito? Por qu?

c) Indica todos los ejes de simetra de la seal de pa-rada y estacionamiento prohibidos.

d) Haz lo mismo para la seal de fin de prohibicin deadelantamiento. Cmo podras modificar la sealpara que tuviese un eje de simetra vertical?

e) Indica todos los ejes de las seales de sentido obli-gatorio y velocidad mnima.

f) Para qu velocidades mnimas la seal tendra uneje de simetra horizontal?

Otras seales de trfico3

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

Circulacin paralela Parada de taxis

Circulacin prohibida (en rojo)

Direccin prohibida (en rojo)

Sentido obligatorio(en azul)

Velocidad mnima(en azul)

Parada y estacionamientoprohibidos (en rojo)

Fin de prohibicinde adelantamiento

(en blanco)

Camping Taller

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LA

826464 _ 0122-0129.qxd 16/2/07 10:51 Pgina 127


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Teselaciones del plano

Permetros y reas

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Averiguar qu polgonos regulares sirven para enlosar o teselar el plano. Determinar la figura base de una teselacin. Realizar teselaciones sencillas con polgonos.

Seguro que muchas veces has visto enlosado el suelocon baldosas de distintas formas. Todas ellas encajansin dejar ningn hueco entre s. Teselar el plano vienea ser algo similar.

As, teselar el plano es recubrirlo con copias de unamisma figura plana, de manera que no se superpon-gan y no dejen huecos entre ellas.

En la fotografa se ve un conjunto de celdillas hexagona-les fabricadas por las abejas. Este conjunto de hex-gonos es un ejemplo de una teselacin o enlosetado delplano.

Teselacin con hexgonos regulares

Acabamos de ver que las abejas fabrican celdas hexa-gonales que recubren el plano.

Esto significa que con hexgonos regulares iguales po-demos llenar o recubrir un plano, lo cual es posibleporque, al reunir tres hexgonos como indica la figura,la suma de los tres ngulos que concurren en un pun-to, como el punto A, es 360. Date cuenta de que elngulo interior de los hexgonos vale 120 y en el pun-to A concurren tres de ellos, 3 120 = 360. De estaforma se va cubriendo el plano.

La figura que se repite, en este caso el hexgono, sellama figura base de la teselacin.

Teselacin del plano1

Como acabamos de ver, para que se pueda teselar elplano con un polgono regular es necesario que, alunir varios polgonos por los vrtices, los ngulos queconcurren sumen 360.

OBSERVA LA FIGURA Y RESPONDE A ESTAS PREGUNTAS.

a) Cuntos ngulos concurren en el vrtice A?b) Cul es la amplitud de cada uno?c) Cunto suman en total?d) Podemos teselar el plano con cuadrados?

OBSERVA LA SIGUIENTE FIGURA Y CONTESTA A LAS CUESTIONES.

a) Cunto mide cada ngulo de un tringulo equil-tero?

b) Cuntos tringulos equilteros tienen que coinci-dir en un punto para que la suma de los ngulossea 360?

c) Se puede teselar el plano con tringulos equil-teros?

Cuadrados y tringulos equilteros para teselar el plano2

A

A

A

11826464 _ 0130-0137.qxd 16/2/07 10:50 Pgina 134

Adems de los polgonos regulares mencionados,algunas variaciones de los mismos pueden tambinteselar el plano. Una de las ms conocidas es la varia-cin del siguiente cuadrado.

REALIZA LAS ACTIVIDADES.

a) Comprueba que, con la pieza anterior, se tesela elplano. Para ello recorta varias piezas iguales a ella y verifica que al unirlas no dejan huecos entre s.

b) Construye, variando el cuadrado de forma similar,alguna pieza que tesele tambin el plano.

Asimismo, se puede teselar el plano mediante polgo-nos irregulares diversos. Por ejemplo, a partir de estecuadriltero cncavo.

Para ello es suficiente hacer dos giros de 90, obte-niendo este polgono.

Por lo tanto, haciendo traslaciones y giros podemoscubrir el plano como se indica a continuacin.


a) Cul es la figura base en la teselacin?

b) Una figura que no sea un polgono, puede ser la figura base de una teselacin?

c) Dibuja teselaciones a partir de estas figuras base.


UNIDAD11

Segn se ha visto en la pgina anterior, se puede tese-lar el plano con tringulos equilteros, con cuadradosy con hexgonos regulares.

Es posible teselar el plano con otros polgonos regula-res diferentes de los mencionados?

Se sabe que no es posible teselar el plano con polgo-nos convexos de ms de seis lados; por tanto, vamos aestudiar los polgonos de cinco lados.


a) Calcula la medida en grados de cada ngulo inte-rior de un polgono regular de cinco lados.

b) Observando la siguiente figura, comprueba que noes posible cubrir el plano con pentgonos regulares.

Teselaciones con otros polgonos regulares3

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

A

Determinacin de la figura base de una teselacin4

F

RE

CU

RS

OS

PA

RA

EL

AU

LA

826464 _ 0130-0137.qxd 16/2/07 10:50 Pgina 135


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Tomografas

Poliedros ycuerposde revolucin

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Reconocer y determinar diferentes secciones planas de un cubo. Truncar un cubo. Conocer la tcnicatomogrfica y aplicarla a distintos cuerpos geomtricos.

Considera un cubo. Si lo cortamos con un plano, la interseccin de ambos, formada por los puntos del espacio comunes, crea una figura plana, distinta segnel plano que corte al cubo.

Las diferentes formas que toma ese plano son las sec-ciones planas del cubo.

Una de las secciones, que adems es un plano de si-metra, es la obtenida al cortar el cubo con un planoparalelo a dos caras opuestas y que pasa por los pun-tos medios de las aristas.

Observa que la seccin es un cuadrado con lado iguala la arista del cubo. Las dos partes o poliedros que re-sultan al cortar el cubo son ortoedros.

Hay otro tipo de planos de simetra que cortan al cubopor las diagonales de las caras, y por los puntos me-dios de cada par de aristas opuestas.


a) Observa las figuras e indica en cada caso cmo esla seccin que se obtiene y si el plano que corta alcubo es de simetra. Seala tambin qu tipo depoliedros resultan del corte.

b) Cuntas formas existen de cortar al cubo con unplano y que la seccin resultante sea un cuadrado?Cul es el rea de dicho cuadrado?

c) Y para obtener un rectngulo? De las seccionesque son rectngulos, cul es la de rea mxima?Calcula dicha rea.

d) Si tratamos de obtener un tringulo equiltero,cmo habra que hacer el corte? Cul es el readel mayor tringulo posible?

Secciones planas de un cubo1

Imagina que cortamos, en todas las esquinas de uncubo, una pequea porcin, de forma que la seccinresultante en cada una sea un tringulo equiltero.

El poliedro resultante es el cubo truncado, que tiene14 caras: 8 son los tringulos equilteros que se hanoriginado de los vrtices, y las otras 6 son octgonosque provienen de las caras del cubo, a las que se hanquitado los tringulos de las esquinas.

Cuando los cortes llegan hasta elcentro de cada arista, el poliedroque obtendremos es distinto a losdems: sigue teniendo tringulos,pero los octgonos se conviertenen cuadrados.

Los cortes podran llegar hasta el centro de las caras.En ese momento tendramos otro slido platnico: eloctaedro.

Cubo truncado2

12826464 _ 0138-0145.qxd 16/2/07 11:12 Pgina 142


UNIDAD12

Ya hemos visto cmo se pueden obtener seccionesplanas de un cuerpo geomtrico cortndolo con pla-nos. Pero tambin se puede determinar a qu cuerpogeomtrico pertenecen unas secciones planas dadas,es decir, reconstruirlo a partir de ellas.

La tomografa es una de las tcnicas ms modernas enMedicina. Mediante complejos aparatos y programas in-formticos se obtienen una serie de cortes planos delcuerpo humano (similares a las radiografas) y, a partirde ellos, se logra una imagen tridimensional del rga-no en cuestin.

En figuras geomtricas tambin podemos hacerlo, yde una forma ms sencilla. Por ejemplo, si tenemosun cono y hacemos cortes horizontales y paralelos a labase, y entre s, se consigue la serie tomogrfica de la derecha:

Hacemos lo mismo con un cilindro y obtenemos:


a) Indica a qu cuerpo corresponden las siguientes series tomogrficas.

b) Dibuja la serie tomogrfica de:

Un prisma hexagonal regular. Un octaedro. Una pirmide pentagonal regular. Dos conos unidos por sus bases. Dos tetraedros unidos por una de sus caras.

c) Si seccionas el cubo por planos paralelos al planogris, qu serie obtienes?

d) Si seccionas el cubo truncado (obtenido al cortartodas las esquinas una pequea porcin) por pla-nos paralelos al plano gris, qu serie obtienes?

Tomografas en figuras geomtricas3

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

AR

EC

UR

SO

S P

AR

A E

L A

ULA

826464 _ 0138-0145.qxd 16/2/07 11:12 Pgina 143


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Grficas y recipientes

Funciones y grficas

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Valorar la utilidad del lenguaje grfico para estudiar problemas de la vida cotidiana y de la ciencia. Interpretar grficas sencillas correspondientes a fenmenos reales y trabajar con los mismos.

Observando el dibujo, vers que en l hay dibujadosrecipientes que tienen la misma altura y volumen. Sonun vaso esfrico, uno cilndrico, otro cnico, siendo elltimo troncocnico.

A continuacin te mostramos los cortes transversales delos recipientes con sus correspondientes graduaciones.

Imagina que llenamos los cuatro recipientes con grifosque llevan el mismo caudal, es decir, con igual veloci-dad de entrada de agua y, cada minuto, anotamos enuna tabla la altura de agua para cada vaso. Una vez com-pletadas las tablas, dibujamos las grficas correspon-dientes a cada recipiente: son grficas tiempo-altura.

Date cuenta de que todas terminan en el mismo puntoya que, como hemos dicho, tienen la misma altura yvolumen.

Pero estos recipientes no se llenan de igual forma res-pecto a la altura. Hay recipientes que al principio al-canzan mucha altura y despus cada vez menos, o alrevs.

Qu grfica corresponde a cada uno? Antes de res-ponder a esta pregunta vamos a realizar algunas acti-vidades previas para que te resulte ms sencillo.

Mira los tres vasos cilndricos de la figura.

Los tres tienen el mismo volumen pero diferente basey altura.

Imagina que vas llenando los tres vasos con tres grifoscon igual caudal. Los tres se acabarn llenando al mis-mo tiempo, pero la altura de llenado ser diferente encada caso.

Observa que la grfica que obtenemos en el caso delrecipiente A no tiene unidades en los ejes, aunquepuedes ponerlas t, por ejemplo: tiempo (minutos) yaltura (cm).


a) Comparando los recipientes A y B, cul es ms alto?

b) En la grfica correspondiente al recipiente B, encada unidad de tiempo que transcurre, el agua al-canzar ms altura que en el caso de A o menos?

c) Representa las grficas de B y C.

Grficas a partir de recipientes1

2 3 41

2

Grfica A

Grfica C

Grfica B

Grfica D

3 4A B

C1

Tiempo

Alt

ura

Alt

ura

Alt

ura

Alt

ura

Alt

ura

Tiempo

Tiempo

Tiempo Tiempo

A

13826464 _ 0146-0153.qxd 16/2/07 11:13 Pgina 150


UNIDAD13

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

Observa la grfica anterior. Si has resuelto correcta-mente el ejercicio, las grficas de los recipientes B yC han de tener mayor inclinacin que la grfica delrecipiente A.

Vamos ahora a ver qu pasa si los vasos que tenemosson cilndricos, pero estn formados por diferentes ti-pos de cilindros, como el de la figura.

Imagina que tenemos tres recipientes cuyos cortestransversales son los siguientes.

La grfica del recipiente A estar formada por un tra-mo de lnea recta hasta cierto punto, y por otro tramo delnea recta ms inclinado en el segundo tramo.


a) Completa la grfica del recipiente A.

b) Haz la grfica de los recipientes B y C.

c) Si siguisemos troceando los recipientes, cmocrees que sera su grfica?

Veamos, a continuacin, el proceso contrario: vamos adibujar unas grficas y analizar qu tipo de recipienteda como resultado una determinada grfica.

Observa las grficas siguientes.

La grfica A crece de forma uniforme.

La grfica B comienza creciendo lentamente en alturay, a medida que pasa el tiempo, lo hace ms deprisa.La grfica est formada por tres tramos rectos.

La grfica C es exactamente al revs: comienza muydeprisa y, despus, va ms despacio. Est formadatambin por tres tramos rectos.

A partir de las grficas, representa el tipo de recipienteque es en cada caso.

Volviendo al problema inicial, las caractersticas de losrecipientes son:

a) La misma altura.

b) El mismo volumen.

c) Diferente forma y base.


a) Si hemos indicado los grficos con las letras A, B, Cy D, sabras deducir a qu recipiente correspondecada grfica?

b) Realiza la grfica tiempo-altura de los recipientes conestos cortes transversales.

Recipientes a partir de grficas2

A

Grfica A

B C

D

A B

Tiempo

Alt

ura

Grfica B

Tiempo

Alt

ura

Grfica C

Tiempo

Alt

ura

Alt

ura

Tiempo R

EC

UR

SO

S P

AR

A E

L A

ULA

826464 _ 0146-0153.qxd 16/2/07 11:13 Pgina 151


CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

A

EN LA VIDA COTIDIANA... Sondeos de opinin

Probabilidad

En este proyecto pretendemos que aprendas a: Saber lo que es un sondeo de opinin y comprender su ficha tcnica. Conocer qu tipo de preguntas se hacen en estos sondeos y cmo se recogen las respuestas.

Los sondeos de opinin tienen su origen en EstadosUnidos. Con ellos se pretenda, antes de las eleccio-nes, y con muestras reducidas de la poblacin, reali-zar una prediccin acertada sobre la intencin de votode los ciudadanos estadounidenses.

En Espaa, el Centro de Investigaciones Sociolgicas(CIS) es el organismo oficial encargado de realizar lossondeos de opinin.

Las encuestas y sondeos de opinin se realizan sobreuna muestra representativa de la poblacin y puedenestudiar cualquier fenmeno social, porque:

Se hacen de manera que se puedan estudiar los va-lores y creencias de las personas.

Las tcnicas de encuesta se adaptan a toda clasede informacin y se pueden realizar en cualquier ti-po de poblacin.

Permiten recuperar informacin sobre sucesos acon-tecidos a los entrevistados.

Facilitan estandarizar los datos para un anlisisposterior, obteniendo gran cantidad de datos a unbajo precio y en un perodo de tiempo corto.

Caractersticas de los sondeos de opinin1

Vamos a analizar un ejemplo de ficha tcnica. Pertene-ce a un sondeo de opinin, el Barmetro, elaborado porel CIS mensualmente y que mide el estado de la opininpblica espaola respecto a la situacin del pas.

En la ficha tcnica se especifican las caractersticas delsondeo y el tipo de tcnicas utilizadas en su elaboracin.La ficha tcnica del Barmetro de julio de 2005 es:

mbito: Nacional. Se excluyen Ceuta y Melilla. Universo: Poblacin espaola de ambos sexos de

18 aos y ms.

Tamao de la muestra: Diseadas 2.500 entrevis-tas y realizadas 2.493.

Afijacin: Proporcional. Puntos de muestreo: 167 municipios y 47 provincias. Procedimiento de muestreo: Polietpico, estratifi-

cado por conglomerados. Los estratos se han for-mado por cruce de las 17 Comunidades Autnomascon el tamao de hbitat dividido en 7 categoras.

Error muestral: Para un nivel de confianza del95,5 % y p = q, el error es de 2 % para el conjun-to de la muestra.

Fecha de realizacin: Del 13 al 18 de julio de 2005.

Aunque algunos conceptos son demasiado complejospara este curso, de su lectura podemos deducir que:

La encuesta se hace en todo el territorio espaol me-nos en Ceuta y Melilla y a personas de 18 aos yms de ambos sexos.

Se eligen 2.500 personas aleatoriamente en 167municipios y 47 provincias. Estas personas repre-sentan a todos los espaoles y sus respuestas solose diferencian en lo que responderan los 40 millo-nes de espaoles en un 62 %.

Por ltimo, el nivel de confianza del 95,5 % nos diceque de cada 100 muestras que se tomasen, en el95,5 % de ellas se daran los resultados que aqu sepresentan.

Ficha tcnica de un sondeo de opinin2

14826464 _ 0154-0161.qxd 16/2/07 11:17 Pgina 158


UNIDAD14

Existen muchos tipos de preguntas, siendo los ms usua-les los siguientes.

Preguntas de identificacin. Ejemplo: edad, sexo. Preguntas de hechos referidos a actividades de los

encuestados. Ejemplo: Tiene ordenador? Preguntas de informacin para conocer los conoci-

mientos del encuestado. Ejemplo: Sabe lo que esun e-mail ?

Preguntas de intencin para saber lo que piensanhacer los encuestados. Ejemplo: A quin votar enlas prximas elecciones?

Preguntas de opinin. Ejemplo: Qu le parece lasituacin econmica?

Las preguntas deben estar formuladas de manera preci-sa y poder contestarse fcilmente. Adems, han de de-jar la mnima iniciativa a los encuestados, aadiendo lasposibles respuestas. Hay casos en los que las preguntasaadirn un espacio en blanco por si el encuestado noencuentra contestacin en las respuestas sealadas.

Vamos a ver algunos ejemplos de preguntas, y las res-puestas obtenidas, del Barmetro de julio de 2000:

Con qu frecuencia ve Ud. la televisin?

Todos o casi todos los das ....................... 79,0 %Cuatro o cinco das por semana ................ 5,9 %Dos o tres das por semana ...................... 4,8 %Solo los fines de semana .......................... 1,4 %De vez en cuando .................................... 5,9 %Nunca o casi nunca ................................. 2,8 %No contesta .............................................. 0,2 %

Qu confianza le merecen a Ud. las noticias quedan las distintas cadenas de televisin?

Mucha............ 13,5 % Bastante ........ 58,4 %Poca .............. 21,2 % Ninguna ........ 2,9 %N.s./N.c.......... 4,0 %

En el Barmetro de mayo de 2005 del CIS haba la si-guiente pregunta.

Cuando se habla de poltica se utilizan las expresio-nes izquierda y derecha. En esta tarjeta hay una se-rie de casillas que van de izquierda a derecha (de 1a 10), en qu casilla se colocara Ud.?

Las respuestas fueron:

Izquierda [1, 3) ................. 6,7 %[3, 5) ................. 23,2 %[5, 7) ................. 32,3 %[7, 9) ................. 12,0 %

Derecha [9, 10) ............... 2,2 %N.s./N.c. ........................... 23,6 %


a) Para cada una de las tres preguntas que aparecenen esta pgina, calcula la cantidad de personasque contest cada una de las respuestas (en cadaencuesta se entrevist a 2.493 personas). Redon-dea a las unidades.

b) Qu tipo de grfico utilizaras para representar lasrespuestas a esas preguntas?

c) De acuerdo con los resultados obtenidos en cada ca-so, si preguntsemos estas cuestiones a 10.000 per-sonas, cuntas contestaran cada respuesta?

d) Para la pregunta sobre poltica, calcula la media y desviacin tpica de las personas que contestaron(todas menos las del apartado N.s./N.c.). Obtnprimero el nmero de personas que contest cadaopcin, y luego utilzalo como frecuencia de la mar-ca de clase de cada intervalo.

Tipos de preguntas y recogida de las respuestas3

CO

MP

ETE

NC

IA M

ATE

M

TIC

AR

EC

UR

SO

S P

AR

A E

L A

ULA

826464 _ 0154-0161.qxd 16/2/07 11:17 Pgina 159

Matematicas y Vida Cotidiana 1ESO Santillana

Documents

Transcript of Matematicas y Vida Cotidiana 1ESO Santillana