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Matem´ aticas y Origami Antonio M. Oller [email protected] Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´ asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´ as All´ a de Euclides ¡A por Pit´ agoras! De Rect´ angulo a Hex´ agono De Rect´ angulo a Pent´ agono Despedida Matem´ aticas y Origami (si los griegos hubieran sabido papiroflexia) Taller de Talento Matem´ atico, 3 o y4 o E.S.O. Antonio M. Oller [email protected] 31 de Marzo de 2006
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Matematicas yOrigami
Antonio M.Oller
Los Axiomasde Euclides
Los ProblemasClasicos
Los Axiomasde Huzita
Igualando aEuclides
Mas Alla deEuclides
¡A porPitagoras!
De Rectanguloa Hexagono
De Rectanguloa Pentagono
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Matematicas y Origami(si los griegos hubieran sabido papiroflexia)
Taller de Talento Matematico, 3o y 4o E.S.O.
Antonio M. [email protected]
31 de Marzo de 2006
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Antonio M.Oller
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Modelos
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Las Reglas del juego: Axiomas de Euclides
Euclides de Alejandrıa.Siglo IV antes de nuestra era.
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Las reglas del juego: Axiomas de Euclides
En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezara trabajar en geometrıa solo podemos tomar como base losiguiente:
Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar larecta que los une.
Un segmento cualquiera puede ser prolongado tanto comose quiera.
Pueden dibujarse circunferencias con cualquier centro y decualquier radio.
Todos los angulos rectos son iguales.
Dada una recta y un punto cualquiera que no este en esarecta, solo hay una recta paralela a la primera que pasepor ese punto.
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Igualando aEuclides
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Las reglas del juego: Axiomas de Euclides
En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezara trabajar en geometrıa solo podemos tomar como base losiguiente:
Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar larecta que los une.
Un segmento cualquiera puede ser prolongado tanto comose quiera.
Pueden dibujarse circunferencias con cualquier centro y decualquier radio.
Todos los angulos rectos son iguales.
Dada una recta y un punto cualquiera que no este en esarecta, solo hay una recta paralela a la primera que pasepor ese punto.
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Las reglas del juego: Axiomas de Euclides
En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezara trabajar en geometrıa solo podemos tomar como base losiguiente:
Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar larecta que los une.
Un segmento cualquiera puede ser prolongado tanto comose quiera.
Pueden dibujarse circunferencias con cualquier centro y decualquier radio.
Todos los angulos rectos son iguales.
Dada una recta y un punto cualquiera que no este en esarecta, solo hay una recta paralela a la primera que pasepor ese punto.
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En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezara trabajar en geometrıa solo podemos tomar como base losiguiente:
Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar larecta que los une.
Un segmento cualquiera puede ser prolongado tanto comose quiera.
Pueden dibujarse circunferencias con cualquier centro y decualquier radio.
Todos los angulos rectos son iguales.
Dada una recta y un punto cualquiera que no este en esarecta, solo hay una recta paralela a la primera que pasepor ese punto.
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En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezara trabajar en geometrıa solo podemos tomar como base losiguiente:
Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar larecta que los une.
Un segmento cualquiera puede ser prolongado tanto comose quiera.
Pueden dibujarse circunferencias con cualquier centro y decualquier radio.
Todos los angulos rectos son iguales.
Dada una recta y un punto cualquiera que no este en esarecta, solo hay una recta paralela a la primera que pasepor ese punto.
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Las reglas del juego: Axiomas de Euclides
En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezara trabajar en geometrıa solo podemos tomar como base losiguiente:
Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar larecta que los une.
Un segmento cualquiera puede ser prolongado tanto comose quiera.
Pueden dibujarse circunferencias con cualquier centro y decualquier radio.
Todos los angulos rectos son iguales.
Dada una recta y un punto cualquiera que no este en esarecta, solo hay una recta paralela a la primera que pasepor ese punto.
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Las reglas del juego: axiomas de Euclides
EN LA PRACTICA ESTO SIGNIFICA QUE SOLO PODEMOSUTILIZAR UNA REGLA SIN MARCAS (NO PODEMOSMEDIR) Y UN COMPAS NO BLOQUEABLE (NO PODEMOSTRASLADAR DISTANCIAS)
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Cosas que Euclides no supo hacer: los tresproblemas clasicos
Es muy facil dividir cualquier angulo en 2 partes iguales (¿comolo harıas?). Podrıamos preguntarnos como dividirlo, porejemplo, en 3 partes iguales.
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Cosas que Euclides no supo hacer: los tresproblemas clasicos
¿Funciona? ¿Por que?
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Cosas que Euclides no supo hacer: los tresproblemas clasicos
NO PUEDE DIVIDIRSE UN ANGULO CUALQUIERA EN 3PARTES IGUALES SIGUIENDO LAS “REGLAS” DEEUCLIDES
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Cosas que Euclides no supo hacer: los tresproblemas clasicos
Dado un cuadrado cualquiera, podemos construir uno cuyo areasea el doble. Se nos podrıa ocurrir hacer lo mismo con un cubo.
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¿Funciona? ¿Por que?
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Cosas que Euclides no supo hacer: los tresproblemas clasicos
NO PUEDE DUPLICARSE UN CUBO SIGUIENDO LAS“REGLAS” DE EUCLIDES
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Cosas que Euclides no supo hacer: los tresproblemas clasicos
Dado un rectangulo es muy facil construir un cuadrado quetenga el mismo area (¿como?). ¿Como puedes usar eso paracuadrar un triangulo? ¿y para cuadrar un polıgono cualquiera?
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Cosas que Euclides no supo hacer: los tresproblemas clasicos
NO SE PUEDE CUADRAR UN CIRCULO USANDO LAS“REGLAS” DE EUCLIDES
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Cambiando las reglas del juego: doblemos papel
Ahora nuestras operaciones basicas permitidas seran:
Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue quelos une (que pasa por ellos).
Dados dos puntos P y Q puede realizarse el pliegue quesitua P sobre Q.
Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegueperpendicular a r que pasa por P.
Dadas dos rectas r y s, se puede realizar un pliegue quesitue a r sobre s.
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Cambiando las reglas del juego: doblemos papel
Ahora nuestras operaciones basicas permitidas seran:
Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue quelos une (que pasa por ellos).
Dados dos puntos P y Q puede realizarse el pliegue quesitua P sobre Q.
Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegueperpendicular a r que pasa por P.
Dadas dos rectas r y s, se puede realizar un pliegue quesitue a r sobre s.
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Cambiando las reglas del juego: doblemos papel
Ahora nuestras operaciones basicas permitidas seran:
Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue quelos une (que pasa por ellos).
Dados dos puntos P y Q puede realizarse el pliegue quesitua P sobre Q.
Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegueperpendicular a r que pasa por P.
Dadas dos rectas r y s, se puede realizar un pliegue quesitue a r sobre s.
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Ahora nuestras operaciones basicas permitidas seran:
Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue quelos une (que pasa por ellos).
Dados dos puntos P y Q puede realizarse el pliegue quesitua P sobre Q.
Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegueperpendicular a r que pasa por P.
Dadas dos rectas r y s, se puede realizar un pliegue quesitue a r sobre s.
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Ahora nuestras operaciones basicas permitidas seran:
Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue quelos une (que pasa por ellos).
Dados dos puntos P y Q puede realizarse el pliegue quesitua P sobre Q.
Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegueperpendicular a r que pasa por P.
Dadas dos rectas r y s, se puede realizar un pliegue quesitue a r sobre s.
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Cambiando las reglas del juego: doblemos papel
Dados dos puntos P y Q y una recta r , siempre que Qeste mas cerca de r que de P, podemos realizar un pliegueque situe P sobre r y que pase por Q.
Dado un punto P y dos rectas r y s que no sean paralelas,puede hacerse un pliegue perpendicular a r y que situa a Psobre s.
Dados dos puntos P y Q y dos rectas r y s, se puederealizar un pliegue que situe a P sobre r y a Q sobre s.
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Dados dos puntos P y Q y una recta r , siempre que Qeste mas cerca de r que de P, podemos realizar un pliegueque situe P sobre r y que pase por Q.
Dado un punto P y dos rectas r y s que no sean paralelas,puede hacerse un pliegue perpendicular a r y que situa a Psobre s.
Dados dos puntos P y Q y dos rectas r y s, se puederealizar un pliegue que situe a P sobre r y a Q sobre s.
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Dados dos puntos P y Q y una recta r , siempre que Qeste mas cerca de r que de P, podemos realizar un pliegueque situe P sobre r y que pase por Q.
Dado un punto P y dos rectas r y s que no sean paralelas,puede hacerse un pliegue perpendicular a r y que situa a Psobre s.
Dados dos puntos P y Q y dos rectas r y s, se puederealizar un pliegue que situe a P sobre r y a Q sobre s.
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Cambiando las reglas del juego: doblemos papel
EL ULTIMO AXIOMA NO TIENE REFLEJO EN LAS“REGLAS” DE EUCLIDES. NOS VA A PERMITIR HACERCOSAS QUE EUCLIDES NO PUDO HACER
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Trisecando un segmento, algo que Euclides ya supohacer
M es el punto medio del lado superior.¿Te atreves a intentar probar que x = 2
3 l? Como ayuda, ten encuenta que los dos triangulos que no estan sombreados sonsemejantes, ¿Por que?
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Superando a Euclides I. Trisequemos un angulo
Tomamos una hoja cuadrada de papel en la que, partiendo delangulo inferior izquierdo, dibujamos una recta L2 que forma
con la base del cuadrado el angulo α que pretendemos trisecar.
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Superando a Euclides I. Trisequemos un angulo
Doblamos la hoja horizontalmente por la mitad y volvemos adoblar por su mitad la mitad inferior. Realizamos el pliegue quelleva el punto P1 sobre la recta L1 y el punto P2 sobre la rectaL2.
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Demostrando la triseccion
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Demostrando la triseccion
¿Como son los angulos PAA′ Y AA′B? ¿Por que?
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¿Como es el triangulo 4ANA′? ¿Por que?
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¿Como son los triangulos 4C ′AB ′ y 4A′AB ′? ¿Por que?
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Superando a Euclides II. Dupliquemos el cubo
Si tenemos un cubo de lado 1, ¿cuanto vale el lado de un cubocuyo volumen sea el doble?
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Superando a Euclides II. Dupliquemos el cubo
PARA DUPLICAR EL CUBO BASTA CON SABERCONSTRUIR 3
√2
VAMOS A POR ELLO.
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Superando a Euclides II. Dupliquemos el cubo
Tomamos una hoja cuadrada de papel y la dividimoshorizontalmente en tres partes iguales (esto ya sabemoshacerlo). Nos quedara un dibujo mas o menos ası:
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Superando a Euclides II. Dupliquemos el cubo
Ahora doblamos el papel de tal modo que el punto P1 (esquinainferior derecha) vaya sobre la recta L1 (lado izquierdo) y que elpunto P2 vaya sobre la recta L2. Ahora tendremos lo siguiente:
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Demostrando la duplicacion
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Para empezar vamos a suponer que el lado del cuadrado es 1, esdecir, que X + Y = 1. Si llamas AB = a ¿cuanto vale AP?
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¿Cuanto vale PD? ¿y PC?
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Aplica el Teorema de Pitagoras a 4ABP, despues despeja a.
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Demuestra que APAB = PD
PC , despues sustituye en la formula losvalores que acabamos de obtener.
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Ten en cuenta que X = 1− Y . Sustituyelo en lo anterior
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Llama XY = t ¿cuanto vale Y ?. Sustituyelo en la ecuacion.
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¿Cuanto vale t?
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¿Y la cuadratura del cırculo?
ES UNA PENA, PERO EL CIRCULO TAMPOCO PUEDECUADRARSE DOBLANDO PAPEL
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Demostrando a Pitagoras
Comenzamos tomando un cuadrado de papel y eligiendo unpunto A cualquiera del lado superior. Doblamos por las lıneasde puntos y vamos marcando los lugares en los que cae elpunto A.
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Obtendremos algo ası:
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Demostrando a Pitagoras
Doblamos por las lıneas azules y tenemos el siguiente dibujo:
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Doblamos por las lıneas azules y tenemos el siguiente dibujo:
Demuestra el Teorema de Pitagoras calculando de dos formasdistintas el area del cuadrado ABCD
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De rectangulo a hexagono
Partimos de un folio Din-A4 normal. En el, los lados estan enuna proporcion de x
y =√
2.
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Antonio M.Oller
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Igualando aEuclides
Mas Alla deEuclides
¡A porPitagoras!
De Rectanguloa Hexagono
De Rectanguloa Pentagono
Despedida
De rectangulo a hexagono
Doblamos el papel por la mitad vertical y horizontalmentesiguiendo las lıneas de puntos.
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De Rectanguloa Hexagono
De Rectanguloa Pentagono
Despedida
De rectangulo a hexagono
Llevamos con el compas el punto medio del lado superior sobrela mediatriz horizontal. Formamos el rectangulo PQRS
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De Rectanguloa Hexagono
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De rectangulo a hexagono
Llevamos con el compas el punto medio del lado superior sobrela mediatriz horizontal. Formamos el rectangulo PQRS
¿Cuanto vale el cociente PSPQ ?
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De rectangulo a hexagono
Recortamos ahora el rectangulo PQRS y volvemos a doblarlopor la mitad como antes.
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De rectangulo a hexagono
Doblamos el rectangulo de manera que las esquinas del mismocaigan sobre el centro.
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De rectangulo a hexagono
Obtenemos un hexagono como el de la figura.
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De rectangulo a hexagono
Obtenemos un hexagono como el de la figura.
Ademas es regular...¿por que?
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De rectangulo a pentagono
Partimos de un rectangulo el doble de largo que de alto.
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De rectangulo a pentagono
Trazamos la diagonal del rectangulo.
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De rectangulo a pentagono
Llevamos el lado del rectangulo sobre la diagonal.
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De rectangulo a pentagono
Llevamos el punto sobre la lınea que divide en 2 el rectangulo ydoblamos por la mitad.
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Tenemos algo como esto:
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Centrando en el punto marcado, y abriendo hasta el extremosuperior, llevamos esa medida sobre la base del cuadrado.Dibujamos la lınea y doblamos por ella.
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Doblamos por la lınea roja
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Doblamos por la lınea roja
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De rectangulo a pentagono
Doblamos por la lınea roja
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De rectangulo a pentagono
Doblamos por la lınea roja y lo desdoblamos todo
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Obtenemos un pentagono como el de la figura
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Obtenemos un pentagono como el de la figura
Ademas es regular...¿sabrıas ver por que?
¡Gracias aTodos!
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¡Gracias a Todos!
Antonio M. [email protected]
31 de Marzo de 2006
