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GUÍA DE EJERCICIOS PARA LOS FINALES DE MATEMÁTICAS VI ÁREAS III Y IV 2012
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GUÍA DE EJERCICIOS PARA LOS FINALES DE
MATEMÁTICAS VI ÁREAS III Y IV
2012
PROPÓSITOS
Éste material ha sido diseñado por todos los profesores del colegio de matemáticas de la Escuela Nacional preparatoria No. 1 “GABINO BARREDA”, con el fin de homogenizar los conocimientos de los alumnos del plantel y así poder tener las herramientas suficientes para el entendimiento de los temas que marca el programa de estudios.
Se te recomienda prepararte con un tiempo mínimo de un mes, siendo mejor un mayor tiempo si te es posible, y contesta los reactivos realizando tus operaciones necesarias en hojas blancas, ya que en tu examen final tendrás que poner todas tus operaciones para que se te puede considerar buena tu pregunta si así lo está. Utiliza tu calculadora si así lo crees conveniente como herramienta de comprobación, es decir para que verifiques si tus resultados obtenidos son correctos o para ahorrar tiempo en la realización de operaciones tediosas, pues el uso de ésta en el examen final dependerá de la decisión de tu profesor.
Para resolver tus dudas puedes acudir a cualquier profesor del plantel y podrás encontrar algunas explicaciones en la vitrina de informes del colegio de matemáticas del turno vespertino colocada a un costado del salón B-003. Recuerda que tienes dos oportunidades(exámenes ordinarios) para poder acreditar tu materia, siempre y cuando cumplas con el porcentaje de asistencia que marca el reglamento y que es del 85%.
El calendario de exámenes ordinarios(finales) los puedes consultar en la página de la Escuela Nacional Preparatoria http://dgenp.unam.mx o en la página www.calixto.com.mx , los horarios verifícalos con tu profesor.
Por último, ten presente que aunque en un futuro ya no tengas que estudiar matemáticas, el estudio de éstas en el bachillerato son con el objetivo de crear en ti un pensamiento razonante y que te puedan servir para resolver los problemas que se te presenten en la vida diaria o en tu área de estudio que deseas abordar.
1
Sesión 1
Unidad I Progresiones y series.
A. Sucesiones y series.1.- Los primeros 4 términos de la sucesión 1 1a = y 1 2n na a −= + (término
recurrente) son:
A) 7, 5, 3, 1 B) 7, 5, 1, 3 C) 1, 3, 5, 7 D) 1, 5, 3, 7 E) 1, 3, 7, 5
2.- Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión definida por 1 3a = y
1
2n
naa −= .
A) 3 2 3 8, , , 1 3 4 3
B) 3 2 3 16, , , 1 3 4 3
C) 3 3 4 3, , , 1 2 3 8
D) 3 3 3 3, , , 1 2 4 16
E) 3 3 3 3, , , 1 2 4 8
3.- Los primeros 4 términos de la sucesión y 1 3a = 12 4n na a −= + (términorecurrente) son:
A)52, 24, 10, 3 B)52, 10, 24, 3 C)3, 10, 24, 52 D) 3,10, 52, 24 E)10, 3, 24, 52
4.- Los siguientes dos términos de la sucesión ...,22,16,11,7,4,2,1 son:
A) 36,29 B) 35,27 C) 30,26 D) 28,26 E) 37,29
5.- ¿Cuál es la suma de ? 5
1
3n
n=∑
A) 15 B) 30 C) 45 D) 18 E) 243
6.- La suma definida por , es igual a( )[ ]kk
k11
10
0−+∑
=
=
A) 10 B) 12 C) 8 D) 9 E) 14
7.- La suma de la serie definida por es:( )27
11∑=
+i
i
A) 140 B) 35 C) 351 D) 139 E) 203
8.- Evalúa ( ) 15
03 −
=
=−∑ k
k
k
A) 182 B) 61 C) 182/3 D) -20 E) 180
9.- Hallar la suma de la serie definida por: 2131
5 1⎛⎝⎜⎞⎠⎟=
−
∑i
i
.
A) 24281
B) 485162
C) 23881
D) 242243
E) 12281
10.- La suma representa : 1
n
ii
=∑
A) La suma de los primeros “n” números impares.B) La suma de los primeros “n” números naturales.C) La suma de los primeros “n” números pares.D) La suma de los primeros “n” números primos.E) La suma de los primeros “n” números múltiplos de “i”.
11.- La sucesión − −5 115
, , ,..., es una:
A) Progresión aritmética B) Progresión geométrica C) Progresión armónica
D) Progresión indefinida E) No es una progresión
B. Progresión Aritmética.
12.- El número de términos de la sucesión aritmética es :.5 9 1317 41, , , ,...,A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
13.- El número de términos de la sucesión aritmética − − −9 5 1 3 23, , , , ... ,es:
A) -9 B) 5 C) 8 D) 9 E) 23
2
14.- Dada la progresión 8, 5, 2, ...¿cuál es el duodécimo término?
a) a12 = 25 b) a12 = 41 c) a12 = –41 d) a12 = –25 e) a12 = –40
15.- Si una progresión aritmética tiene primer término –2 y el undécimo término es 4 entonces la diferencia “d” es igual a:
A) 2 B) 53
C) 32
D) 1 E) 35
16.- El término 15 de la progresión aritmética , 2 1, 3 2,x x x+ + es:
A) B) C) D)15 15x+ 3 15x+ 15 14x+ 14 15x+ E) 45 15x+
17.- Los dos primeros términos de una progresión aritmética son 2x+1 y –x+3 ¿su centésimo término es?
A) –295x-199 B) –295x+199 C) 295x-199
D) –259x+999 E) 259x+999
18.- Si los dos primeros términos de una progresión aritmética son x y 2x+1, el sexto término es igual a:
A) 6x-7 B) 6x+5 C) 7x+6 D) 7x+8 E) 7x-6
19.- Hallar el 6º término de la progresión aritmética 2x+2, 4x+8:
A) a6= -8x-28 B) a6= 16x+44 C) a6=12x+32 D) a6=12x+8 E) a6=16x+8
20.- Hallar el 7º término de la progresión aritmética 3x+4, 6x+5.
A) a7=-15x-2 B) a7=27x+12 C) a7=21x+5 D) a7=27x+5 E) a7=21x+10
21.- Encuentra el 25º término de la progresión 4, 7, 10, ...
a) an = –68 b) an = 82 c) an = 76 d) an = 268 e) an = –260
22.- El primer término de una progresión aritmética es 155
, el segundo término
es 6 y el último término 18. Hallar el número de términos.
A) n = 30 B) n = 15 C) n = 17 D) n = –15 E) n = –30
23.- Si una progresión aritmética tiene a7 = 13 y a10 = 25 entonces el término general es : A) 4n-30 B) 6n-4 C) 6n+4 D) 4n-15 E) 2n+3
24.- Los primeros cuatro términos de la progresión aritmética en que 15
4a =
y 34d = − son:
A) 5 110, , 2,4 4 B) 3 5 130, , ,4 4 4 C)− − − 3 71, , , 34 2 4−
D) 5 1 1, ,1,4 2 2 E) − 5 1 1, , , 14 2 4− −
25.- La media aritmética de 14 y -12 es :
A) -1 B) 0 C) 1 D) − 2 E) 13
26.- La media aritmética entre 2
1129 y es:
A) 10 B) 1/2 C) 5 D) 99/4 E) 5/2
27.- La media aritmética entre 272 y es:
A) 28 B) 16 C) 7 D) 24 E) 14
28.- Una muestra de las edades de los pacientes admitidos en un hospital es 10, 54, 21, 33 y 53 años. La media aritmética (promedio) de las edades es:
A) 43.2 años B) 43.4 años C) 34.2 años D) 32.4 años E) 42.3 años
29.- Coloca tres medios aritméticos entre 2 y 14:
A) 15, 6, 7 B) 5, 9, 11 C) 8, 9, 11 D) 5, 8, 11 E) 5, 8, 9
3
30.- Coloca 4 medios aritméticos entre 1 y 21:
A) 5, 9,13, 17 B) 5,11, 13,17 C) 5, 9, 11, 13 D) 5, 9, 11, 21 E) 5, 9, 11, 17
C. Suma de progresiones aritméticas.
31.- Si an = 1, 2, 3, 4, 5, ... entonces la suma de los primeros 76 términos es :
A) 1572 B) 2641 C) 2926 D) 3016 E) 2850
32.- Calcula la suma de todos los números pares comprendidos entre 1045 y 7351.
A) 13,240,492 B) 9,938,256 C) 9,938,254 D) 13,236,294 E) 13,232,096
33.- Calcula la suma de todos los números impares comprendidos entre 3552 y 7426.
A) 3,751,968 B) 3,759,402 C) 10,632,193 D) 10,637,682 E) 9,067,097
34.- La suma de los enteros divisibles entre 3 que se encuentran entre 2 y 100 es:
A) 4998 B) 1683 C) 1830 D) 4896 E) 5100
35.- La suma de los enteros divisibles entre 5 que se encuentran entre 50 y 120 es:
A) 1105 B) 1250 C) 3815 D) 1275 E) 5950
36.- Hallar la suma de los 43 primeros números naturales terminados en 9
A) S = 8417 B) S = 9417 C) S = 10 417 D) S = 7417 E) S = 8407
37.- El décimo término y la suma de los primeros veinte términos de la progresión aritmética 20, 17, 14, 11,...., son respectivamente:
A) , B) , 10 7a = 20 170S = 10 7a = − 20 170S =C) , D) 10 , 10 7a = 20 170S = − 7a = − 20 170S = −E) , 10 170a = 20 7S =
38.- Hallar la suma de los primeros 13 términos de la siguiente progresión: 10, 7, 4, ...
A)S = –104 B) S = –234 C) S = 364 D) S=234 E) S= –121
39.- Hallar la suma de los 46 primeros términos de la progresión aritmética 1 133 , 3 , ...4 20
A) S46 53612
= B) S46 65312
= C) S46 36512
=
D) S46 35612
= E) S46 56312
=
40.- Los primeros 10 términos de una progresión aritmética suman 35 y el
primero es 10, entonces el décimo término es: .
A) 6.5 B) 3 C) -3 D) 13 E) 1
41.- Si en una progresión aritmética a1 11= − y a5 1= , encuentra .8S
A) -40 B) –148 C) 8 D) -4 E) –88
42.- Si en una progresión aritmética 1a = − 110 y 7S = 21
20 , encuentra .a7
A) 3200
B) − 140
C) 2147
D) 25
E) 147200
43.- Determinar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxfsiffff −=++++ 5,51...321
A) 1071 B) 1479 C) -1071 D) 1198 E) -1479
44.- El último término y la suma de la progresión aritmética
hasta 31 términos es: na nS
...,19,13,7
A)
3007,17831
=31
=Sa B)
3070,178
31
31
==
Sa
C)3700
,187
31
31
==
Sa
D)3007
,187
31
31
==
Sa E)
7003,187
31
31
==
Sa
4
45.- Si es progresión aritmética donde el término
, entonces el número de términos en la suma es
"" na5511,396 1 === nn ayaS
=n
A) 12 B) 20 C) 9 D) 15 E) 14
46.- Dados en una progresión aritmética , d =6na =56
, S =24. Los valores de
“n” y “a1” son respectivamente:
A) 6 ,2
3−
B) 9 ,2
3−
C) 7,32
D) 10,32
E) 9,23
47.- Si la diferencia común en una progresión aritmética es − 2 , y el primertérmino de ella es 8, encuentra la suma de los primeros 5 términos.
A) 13 B) 12 C) -80 D) 20 E) 30
48.- Si en una progresión aritmética el primer término es 1 y el segundo 5 ¿ Cuál es la suma de los 21 primeros ?
A) 815 B) 800 C) 823 D) 850 E) 861
49.- Si en una progresión aritmética el séptimo término es 5 y la suma de los siete primeros términos es 77, el primer término es:
A) 9 B) 13 C) 17 D) 20 E) 23
50.- En una progresión aritmética 3,31 == dya , ¿cuántos términosdeben tomarse para que la suma sea 360?.
A) 16 B) 15 C) -16 D) 12 E) 31
51.- En una progresión aritmética el primero y el segundo término son 2x-5, 3x+10 respectivamente. La suma de los 7 primeros términos es
A) S= 42x+385 B) S= 35x+280 C) S= 8x+85 D) S= 21x +315 E) S=-7x-350
52.- El décimo término y la suma de los primeros veinte términos de la
progresión aritmética 20, 17, 14, 11, ....., son respectivamente:
A) a10 = 7 y S20 = 170 B) a10 = -7 y S20 = 170 C) a10 = 7 y S20 = -170D) a10 = -7 y S20 = -170 E) a10 = -17 y S20 = 30
53.- La longitud de la espiral rectangular mostrada es:
A) 156 B)189 C) 91 D) 169 E) 78
5
Tarea sesión 1
1.- Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión definida por 1 5a = y
1
2n
naa −= .
A) 5 5 5 5, , , 1 2 4 16
B) 5 5 5 5, , , 1 2 4 8
C) 5 5 4 5, , , 1 2 5 16
D) 5 2 5 8, , , 1 5 4 5
E) 5 2 5 5, , , 1 5 4 8
2.- La suma de es: 6
14
nn
=∑
A) 24 B) 48 C) 16 D) 42 E) 84
3.- La suma de la serie definida por ∑=
−8
1 263
i
ies:
A) 42 B) 21 C) 300 D) 30 E) 60
4.- Calcula el número de términos de la progresión 4,6,…,30
A) 14 B) 12 C) 16 D) 15 E) 13
5.- Los dos primeros términos de una progresión aritmética son 2x+1 y –x+3. ¿Cuál es el quinto término?
A) B) 7 11x+ 10 9x+ C) 10 9x− + D) 10 17x− + E) 7 11x− −
6.- Encuentra el 23º término de la progresión 8, 10, 12, ...
A) an= 404 B) an= –388 C) an =–36 D) a n= 56 E) a n= 52
7.- Los primeros cuatro términos de la progresión aritmética
a y d1 332
= = − son:
A) 3, 3/2, 0, -3/2 B) 3, 0, -3/2, -6/4 C) 0, -3/2, -9/2, -27/2
D) 0, -3/2, -3, -9/2 E) -3/2, -6/2, -9/2, -12/2
8.- La media aritmética de -25 y -53 es:
A) -78 B) -39 C)-28 D)-14 E) 0
9.- Si an = 14, 15, 16, 17,18, ... entonces la suma de los primeros 20 términos es:
A) 470 B) 3481 C) 196 D) 210 E) 278
10.- La suma de los enteros impares entre 32 y 104 es:
A) 1976 B) 1838 C) 2448 D) 2568 E) 30,002
11.- La suma de la siguiente progresión en sus 11 primeros términos: 5, 2, –1, ...
A) S = 440 B) S = – 110 C) S = – 275 D) S = – 165 E) S = – 330
12.- Determinar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 52,20...321 −=++++ xxfsiffff …
A) -320 B) 320 C) 440 D) -440 E) -700
13.- Si es progresión aritmética donde el término"" na5414,374 1 === nn ayaS , entonces el número de términos en
la suma es =n
A) 11 B) 21 C) 8 D) 14 E) 17
14.- Sea una progresión aritmética. Si d = -2 , an = 8 y Sn = 44 entonces n y a1 son respectivamente :
A) 11 y 28 B) 14 y 34 C) 5 y 16 D) 4 y 14 E) 7 y 20
15.- En una progresión aritmética el primero y segundo término son 4x-7 y 2x+5 respectivamente. La suma de los 9 primeros términos es
A)S=108x-495 B)S=-36x+369 C)S=-12x+89 D)S=-72x+432 E)S=-54x+477
16.- La longitud de la espiral rectangular mostrada hasta el lado de 125 unidades es:
6
A)6783 B)3627 C) 7875 D)5672 E)8623
Aciertos:___________ de _________
Calificación:_______________
Tarea sesión 1
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
7
Sesión 2 7.- Si una progresión geométrica tiene primer término 243 y el quinto término es 3 entonces la razón “r” es igual a:
Unidad I Progresiones y series.
D. Progresión geométrica.
1.- La población de una ciudad ha aumentado de 59049 almas que era en 1998 a 100 000 almas que era en 2003.¿ Cuál es la razón de crecimiento por año?
A) r =40951/5 B) r=1.1407 C) r=40951/4 D) r=9/10 E) r=10/9
2.- La razón para la progresión geométrica -1, 3, -9,... es:..
A) -9 B) -3 C) -1 D) 3 E) 27
3.- Halla la razón de una progresión geométrica de seis términos donde el primer término es 2 y el último es 64
A) -2 B) 4 C) 21
− D) 2 E) 21
4.- La razón de la progresión geométrica 729 3,.........., ,
2 2 compuesta por seis
términos es:
A) 13
B) 3 C) 14
D) 23
E) -3
5.- Obtén el primer término de una progresión geométrica, si el cuarto término es a4 = -16 y el séptimo es a7 = 128.
A) 12
B) Indeterminado C) 2 D) 8 E) -2
6.- Hallar el primer término de una progresión geométrica cuyo noveno término
es 512 y su razón es 2
A) 1B)
21 C) 2 D) 16 E)-2
A) 13
13
−2 B) C) 56
65
−D) E) –48
− −13
12
34
, , ,...8.- Hallar el octavo término de la progresión
A) -1/384 B) -1/6561 C) -1/126 D) 729/384 E) 729/128
2, 2 2, 4, ...9.- Dada la progresión geométrica calcula el 7º término
= 64 B) a = 16 C) a = 32 D) a = 8 E) aA) a7 7 7 7 7 = 128
12
10.- Si en una progresión geométrica la razón es , el número de términos es
igual a 9 y el noveno término es 1, el primer término es:
A) 729 B) 512 C) 243 D) 256 E) 81
12516
62532
y el 6º término es 11.- El 5º término de una progresión es . Calcula
el primer término.
151 =aA) B) 51 =a C) 51 −=a D) 151 −=a E) 5/11 =a
441
−− y12.- El primer y quinto términos de una progresión geométrica son ,
respectivamente. Encuentra el tercer término.
161
161
−oA) 11 −o B) 1− C) D) 161
− E) 161
8
18.- Hallar la suma de los 8 primeros términos de la siguiente progresión 6, 12, 24, ... 13.- Si 1a =
1256 4a =
14
y , son términos de una progresión geométrica,
encuentra a y a . A) S = 6138 B) S = –1530 C) S = 1542 D) S = 1530 E) S = 5102 3
A) 2 3, a a= =64 16 2 3, a a= =1 1
64 1619.- Hallar la suma de los 6 primeros términos de la siguiente progresión 6, 18,
54, ..., B) 2 3, a a= =128 32 C)
A) S = 2 184 B) S = – 2 184 C) S = 19 683 D)S = 726 E) S = 1 092
2 3, a a= =1 1
128 32D) E) 2 3, a a= =
1 164 32 20.- Sea una progresión geométrica donde a = 6, a = 486 y S1 n n = 276 entonces
la razón “r” es igual a: 59
−34
75
97
−14.- Si 881
98 y A) B) C) 3 D) E) son el primer y séptimo término, respectivamente, de una
progresión geométrica, determina el cuarto término 21.- El tercer y cuarto término de una progresión geométrica son -16 y 4, la
suma de los cinco primeros términos es igual a..
24364
A) 3 B) C) 243
64−243
6424364 −
−oD) Ó 3− E)3A) 128 B) –205 C) 205 D) 51 E) -51
15.- Inserta tres medios geométricos entre 2 y 512 22.- El segundo y tercer término de una progresión geométrica son 64 y -16; la
suma de los cinco primeros términos es: .. A) 8, 32 y 128 B) 8, 64, 128 C) 4, 64, 128 D) 4, 32, 128 E) 4, 8, 32
A) -205 B) -201 C) 195 D) 201 E) 20516.- Si una población de personas crece a una tasa constante de C% anual,
la fórmula para calcular la población P después de t años, como progresión geométrica con razón 1+C, es : ...
( )P P
P0
23.- Obtén el primer término de una progresión geométrica, si el tercer término es el doble del segundo y la suma de los primeros tres términos es cuatro. A) B) C)( )P P C t= +0 1 ( )P P C t= + +0 1t C= +
01
(D) E) )P P C t= + + +0 1 ( )( )P P t C= + − +0 1 1 72
74
47
23
A) B) C) 1 D) E)
E. Suma de progresiones geométrica. 24.- Dada la progresión 6, 3, 3/2, ..., hallar la suma de los 5 primeros términos.
93817.- Calcula la suma de los cinco primeros términos de ...,
43,
23,3,6
A) 8511=S B)
5811=S C)
8512=S D)
5812=S E)
8510=S
A) S= B) S= − 938
C) S= 998
D) S= − 998
E) S= − 9316
25.- En una progresión geométrica el primer término es igual a 2, el n-ésimo término es 32 y la suma de los “n” términos es 62. ¿Cuánto vale n ?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
9
F. Suma infinita de progresiones geométricas. 0.1232.- Expresa el decimal periódico 0.121212…..= como un número racional:
26.- Un ejemplo de una progresión geométrica infinita :
10012
A) 1, 2, 3, 4, 5, . . . B) 2, 4, 8, 16, 32, . . . C) 2, 4, 6, 8, 10,..
D) 1, 3, 5, 7, 9, . . . E) 36, 12, 14, 48, . . .
27.- Encuentra la suma de la progresión geométrica infinita ...,91,
31,1
A) 32
=S B) 34
=S C) 43
=S D) 2
13=S E)
23
=S
28.- Calcula la suma de la siguiente progresión geométrica infinita:
,...9
16,38,4 −−−
A) -12 B) -10 C) -14 D) -16 E) -8
29.- El valor de la serie infinita ...375
2752
152
32
++−+− es igual a
A) 8
15− B)
65
− C)95
− D)45
− E)375208
−
30.- Hallar la suma de la siguiente progresión infinita: 1 1 1, , , ... ,2 6 18
A) S = − 34
B) S = − 14
C) S = 38
D) S = 34
E) S = 18
31.- Hallar la suma de la siguiente progresión infinita: 3 1 1, , , ...4 4 12
A) S = −98
B) S =98
C) S = −34
D) S =9
16E) S =
316
A) B) 10099
C) 334
D)10033
E) 4
33
33.- Se tiene un cuadrado C1 de lados 1x1, se construye un segundo cuadrado con vértices en los puntos medios del primero, lo definimos C2, un tercero con vértices en los puntos medio de los lados del segundo cuadrado, que llamados C y así sucesivamente. 3Calcula la suma infinita de las áreas de los cuadrados descritos
( ) ( ) ( )1 2 3A C A C A C+ + +
32
A) B) 3 C) 53
52
D) 2 E)
10
G. Progresión armónica. 39.- Tres obreros perforaron un pozo de 27 m. Por el primer metro, les pagaron $
20.00, por el segundo $23.00, por el tercero $26.00 y así sucesivamente. La cantidad que cobra cada uno , si los tres recibieron sueldos iguales, es de:. 1,1,
31
−−34.- Los tres primeros términos de una progresión armónica son ,
encuentra el noveno término A) $ 544.50 B) $ 1 593.00 C)$ 1 323.00 D) $ 441.00 E) $ 531.00
40.- Tres amigos ahorraron durante el mes de octubre $5 el primer día, $8 el segundo, $11 el tercero; y así sucesivamente hasta terminar el mes. La cantidad que tendrá cada uno, si los tres reciben partes iguales es de:
A) 11− B) 13C)
111 D)11
131
E)
A) $31.66 B) $95.00 C) $172.22 D) $516.66 E) $1550.00
133,
143,
51
35.- Los tres primeros términos de una progresión armónica son ,
entonces el séptimo término es: 41.- Los ángulos de un triángulo rectángulo están es progresión aritmética,
¿cuáles son esos ángulos?
A) 103 B) 3
C) 31
D)3
10 E) 9
36.- El octavo término de la progresión armónica 2 1 2, , ,...3 2 5
es:
A) 2
11B)
15
C)54
D) 5 E) 11
37.- Los siguientes dos términos de la serie ...,41,
31,
21,1 son:
A) 71,
51
B) 61,
51
C) 81,
61
D) 101,
51
E) 41,
31
38.- En una progresión armónica el 3er término es 18− y el noveno es
261
− ,
entonces el sexto término es
A) 141
− B) 171
− C) 17− D) 231
− E) 171
H. Problemas de aplicación de progresiones.
A) 0o, 45º, 90º B) 45º, 90º, 135º C) 30º, 60º, 90º
D) 40º, 70º, 90º E) 50º, 75º, 90º
42.- Las 10 primeras filas de asientos en una sección de un estadio tienen 30, 32, 34 lugares y así sucesivamente. De la decimoprimera a la vigésima tienen 50 asientos. Calcula el número total de asientos de la sección
A) 800 B) 890 C) 980 D) 980 E) 890
43.- Un cuerpo se desplaza 16 m el primer segundo, 48 m el segundo, 80 m durante el tercero y así sucesivamente. Si en total recorre 304 m, el tiempo requerido para que lo haga es:
A) 7.07 seg B) 10 seg C) 40.4 seg D) 39.4 seg E) 9 seg
44.- Una pila de troncos tiene 24 en la capa inferior, 23 en la segunda, 22 en la tercera, etcétera. La capa superior tiene 10 troncos. Calcula el número total de troncos de la pila.
A) 255 B) 238 C) 240 D) 243 E) 120
45.- Una secretaria escribe el primer día 50 palabras por minuto, número que incrementa en cuatro palabras por minuto cada día, ¿cuántas palabras por minuto escribe el 40º día?
A) 200 B) 366 C) 206 D) 300 E) 204
11
46.- Un hombre desea ahorrar apartando $1 (un peso) el primer día, $2 el segundo, $4 el tercero y así sucesivamente ¿Cuánto tendrá al cabo del décimo quinto día?.
A) $16 284 B) $ 16 248 C) $ 16 384 D) $ 16 482 E) 16 282
47.- Un hombre ahorra $2.00 el primer día, $5.50 el 2º, $9.00 el 3º, …¿Cuánto habrá ahorrado en 5 semanas?
A) $2114.00 B) $2114.50 C) $170.00 D) $85.00 E) $2152.50
48.- Un dentista arregla 20 piezas a una persona cobrándole $10.00 por la primera, $20.00 por la segunda, $ 40.00 por la tercera y así sucesivamente. ¿Cuáles serán los honorarios del dentista?..
A) $ 5 242 880.00 B) $ 41 943 030,00 C) $ 2 100.00
D) $ 10 485 750.00 E) $ 10 485 770
49.- ¿Qué cantidad se distribuiría entre 12 personas si se diera $2.00 a la primera, $6.00 a la segunda, $18.00 a la tercera y así sucesivamente?.
A) $531 440 B) $5 300 C)$500 000 D)$351 440 E)$31 440
50.- Una bacteria se reproduce en dos bacterias cada 10 minutos, si inicialmente hay 3 bacterias, ¿cuántas habrá en 2 horas?
A) 12,288 B) 210 C) 63 D) 189 E) 23,930
51.- ¿Qué cantidad se distribuirá entre 12 personas si se diera $2.00 a la primera, $6.00 a la segunda, $18.00 a la tercera y así sucesivamente?
A) $ 531 439 B) $ 177 147 C)$531 441 D) $531 440 E) $1 048 576
52.- Un hombre que ahorra cada año los 2/3 de lo que ahorró el año anterior, ahorró el 5º año $ 160 ¿Cuánto ha ahorrado en los 5 años?
A) $5 147.5 B)$2 110 C) perdió $ 2 100
D) perdió $ 2 750
E) $ 422
53.- El protozoario Glaucoma se reproduce por fisión binaria cada 3 horas. Suponiendo que al principio haya un solo individuo ¿Cuántos puede haber después de transcurridas 27 horas?
A) 512 B) 256 C) 18 D) 3 E) 243
54.- Una planta es devorada por un insecto, un insecto por una trucha, una trucha por un salmón, un salmón por un oso y el oso por una persona. Si de una etapa a otra sólo se transforma el 20 % de la energía, ¿cuántas calorías debe proporcionar la planta comida para que la persona disponga de 1000 calorías del oso que devoró?.
A) 6 250 000 B) 1 250 000 C) 3 125 000 D) 50 000 E) 250 000
55.- La depreciación anual de un cierto vehículo es de 25% de su valor al comienzo del año. Si el costo original del vehículo es de $ 200 000 ¿cuál es su valor después de dos años?
A)$ 150 000 B) $ 155 000 C) $ 125 000
D) $ 112 500 E) $ 152 000
56.- Una suma de $225 000 se deposita en una casa de bolsa con una tasa de interés compuesto anual de 6% ¿En cuánto se convertirá esta suma al final del quinto año?
A)$2360 000 B) $301 100 C) $231 831 D) $240 700 E) $319 000
57.- Una suma de $225 000 se deposita en una casa de bolsa con una tasa de interés compuesto anual de 6% ¿En cuánto se convertirá esta suma al final del sexto año?
A)$3774 873 B) $233 222 C) $319 167 D)$234 000 E) $301 100
12
Tarea sesión 2 7.- Si un capital C0 se invierte al r% de interés compuesto anual, el capital C que reúne después de n años forma una progresión geométrica con una razón de (1+r) cuya fórmula es: 1.- La razón para la progresión geométrica es2 6 18, , ,...−
( )C C ( )C C r n= +0 1n r= +0
1A) B)
A) -6 B) -3 C) 2 D) 3 E) 18 ( )C C r n= + +0 1 ( )C C r n= + + +0 1C) D)
−12 C C n r= + − +0 1 1( )( )2.- Si en una progresión geométrica la razón común es y el primer término
de ella es 131 072, encuentra el vigésimo término
E)
8.- Determina la suma de los primeros 20 términos de la progresión geométrica 5, 10, 20, 40, 80, ...
A) 1/4 B) -1245184 C) 65536/19 D) -1/4 E) 65536 A) 5 242 875 B) 510 885 C) 6 242 875D) 5 442 875 E) 5 244 8753.- En una progresión geométrica de 5 términos, el cuadrado del 3er término es
4/81. Si el último término es 8/81 ¿cuál es el primer término? . 9.- El segundo y tercer término de una progresión geométrica son –27 y 9; la
suma de los cinco primeros términos es igual a: = 1/3 B) aA) a1 1 = 1/2 C) a = 1/4 D) a = –1/2 E) a = –1/41 1 1
A) -20 B) 20 C) -61 D) 61 E) -121
218764
4.- El noveno término de una progresión geométrica es y la razón es 10.- El tercer y cuarto términos de una progresión geométrica son
− 25 5y , la suma de los cinco primeros términos es:
32
, hallar el primer término.A) -725 B) -625 C) -521 D) 521 E) 625
512
A) B)43
34
C) D)283
E)1712
...,81,
21,211.- Encuentra la suma de la progresión geométrica infinita
53
=S5.- Si 1a =
1250
y 4a =12
, son términos de una progresión geométrica
encuentra a2 y a3.
A) 2 3, a a= =1 1
125 25B) 2 3, a a= =
1 150 10
C) 2 3, a a= =125 25
D) 2 3, 10a a= =50 E) 2 3, a a= =1 1
100 50
6.- Inserta dos medios geométricos entre 4 y 500
A) 125 y 250 B) 20 y 125 C) 125 y 250 D) 100 y 250 E) 20 y 100
A) B) 83
=S C) 37
=S D) 73
=S E) 38
=S
12.- Encuentra la suma de la progresión geométrica infinita
...,94,
32,1,
23
−−
109
=SA) B) 103
=S C) 165
=S D) 156
=S E) 9
10=S
...2716
98
342 +−++− es: 13.- La suma de progresión geométrica infinita
35
A) B)56
2726
C)1 D) 2 E)
13
14.- Se tiene un cuadrado C1 de lados 1x1, se construye un segundo cuadrado con vértices en los puntos medios del primero, lo definimos C
51
−231
−2, un tercero con vértices en los puntos medio de los lados del segundo cuadrado, que llamados C
y el noveno es 16.- En una progresión armónica el 3er término es ,
entonces el sexto término es y así sucesivamente. 3Calcula la suma infinita de los perímetros de los cuadrados descritos
( ) ( ) ( )141
−201
−1 2 3P C P C P C+ + +
A)8 2+ B) ( )4 2 2+ C) 4 2+
D) ( )8 1 2 2+ E) ( )4 1 2+
15.- El séptimo término de la progresión armónica 1 7 7, , ,...5 30 25
?
A) 3 B) 57
C) 75
D) 1530
E) 7
A) B) 14− C) D) 4
115− E)
141
17.- Una secretaria escribe el primer día 50 palabras por minuto, número que incrementa en cuatro palabras por minuto cada día, ¿cuántas palabras por minuto escribirá el 80° día?
A) 370 B) 200 C) 374 D) 320 E) 366
18.- En una sección de un estadio hay 30 asientos en la primera fila, 32 en la segunda fila, 34 en la tercera fila y así sucesivamente hasta la décima fila, después de los cuales hay 10 filas más, cada una con 50 asientos. El número total de asientos es la sección es de:
A) 370 B) 390 C) 500 D) 870 E) 890
19.- Un cuerpo se desplaza 16 m el primer segundo, 48 m el segundo, 80 m el tercero y así sucesivamente. La suma que recorre en los primeros 7 segundos es
A S = 784m B) S7 7 = 1568m C) S = 264 m D) S = 1456m E) S7 7 7 = 208 m
20.- Una persona ha ganado en cada año 1/3 de lo que ganó el año anterior. Si el 1er año ganó $ 2 430 ¿cuánto ha ganado en 6 años?
A)$ 3 644.44 B) perdió $3644 C) perdió $ 3650
D) $5 460 E) $ 3640
21.- Una planta es devorada por un insecto, un insecto por una trucha, una trucha por un salmón, un salmón por un oso y el oso por una persona. Si de una etapa a otra sólo se transforma el 20 % de la energía, ¿cuántas calorías debe proporcionar la planta comida para que la persona disponga de 2000 calorías del osos que devoró?
A) 3 125 000 B) 1 250 000 C) 50 000 D) 250 000 E) 6 250 000
22.- La depreciación anual de un terreno es de 20% de su valor al comienzo del año. Si el costo original del terreno es de $ 400 000 ¿cuál es su valor después de dos años?
A) $ 168 000 B) $ 256 000 C) $ 225 000
D) $ 252 000 E) $ 186 750
14
Tarea sesión 2 Tarea sesión 2
1.- A B C D E 21.- A B C D E
2.- A B C D E 22.- A B C D E
3.- A B C D E 23.- A B C D E
4.- A B C D E 24.- A B C D E
5.- A B C D E 25.- A B C D E
6.- A B C D E 26.- A B C D E
7.- A B C D E 27.- A B C D E
8.- A B C D E 28.- A B C D E
9.- A B C D E 29.- A B C D E
10.- A B C D E 30.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E Aciertos:___________ de _________ 15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E Calificación:_______________
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
15
Sesión 3
Unidad II Funciones.
A. Conceptos y criterios geométricos.
1.- De las siguientes gráficas ¿cuáles son funciones?
1. 2. 3.
4. 5.
A) Solo 1 B) 1,2 y 3 C) 3 D) 2, 4 y 5 E) Solo 4 y 5
2.- ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función de x?
A) B) C) D)
3.- Una relación estudiada en geometría que corresponde a una función es: 2 2 4 0x y+ − = 2 4A) B) y px= 3 0yC) − =
E) D) 2 2 2x y= + 3 0x − =
4.- De las siguientes relaciones la que es función es:
A) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 2,2 , 2,2 , 2,4− B) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 2 , 1,4 , 1, 6 , 1,0− −
C) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }4, 2 , 4,2 , 1, 1 , 1,1 0,0− −
D) ( ) ( ) ( ){ }4,4 , 5,4 , 6,4 E) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2, 3 , 9,0 , 8. 3 , 2,3− −
5.- De los siguientes conjuntos de parejas ordenadas que representan una relación de × , el conjunto que representa una función es:
( )A) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1, 1 , 1,1 , 2, 2 , 2, 2 ,...− −
B) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 ,...
C) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 ,...
D) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 1, 1 , 1,1 , 2, 2 , 2, 2 ,...− − − −
E) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0 , 2,0 , 1, 1 , 2, 1 , 2,1 ,...− −
6.- ¿Cuál de los siguientes conjuntos representa una función?
A) F = ( ) ( ) 31,2 , 2,4 , 1,2
⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭B) R = ( )1 51, , 1, , 3,5
4 7⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
C) H = ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 4,2 , 9,3 D) G = ( ) ( ) ( ){ }5,1 , 5,2 , 5,3
E) E = ( )( ) ( ){ }1,1 1, 1 , 2, 2− − − −
7.- Si es( )y f x=
Determina ( ) ( ) ( ) ( )4 3 3 0 2f f f f− − − − + =
A) 23 B) 3
5 C) 7− D) -4 E) 12
16
8.- Si es( )y f x=
Determina ( ) ( ) ( ) ( )34 3 3 34f f f f− − − − − + =
A) 23 B) C)0 1
4 D) 5 E) 12−
9.- Sean las funciones ilustradas a continuación
El valor de la operación ( ) ( )( ) ( )3 20 3
f gg f− − −
− es:
A) 53
B) C) 1 32
D) 52
− E) 0
10.- Un arco tiene la forma de la parábola 24y x= − . Bajo el arco se ajusta unrectángulo, seleccionando un punto (x,y) de la parábola
Y
( ),x y24y x= −
X
El área A del rectángulo, si 32x = es:
A) 293 B) 31
5 C) 214 D) 5 E) 13
2
11.- Si ( ) ( ) ( )( )31 2 3f x x x x= + − − + , calcula el valor de
( ) ( )3 1f f− − −A) B) 4 2− C) 14− D) E)0 6
12.- Si ( ) ( ) ( )( )( )( )21 2 3 4 5f x x x x x x= − + − − − − , entonces el valor
de ( ) ( ) ( )2 3 4f f f− + =A) 0 B) 215 C) 6 D) 15 E) 68
13.- Si ( ) ( ) ( )( )( )( )21 2 3 4 5f x x x x x x= − + − − − − , entonces el valor
de ( ) ( ) ( )3 4 5f f f− + =
A) -152 B) 372 C) 0 D) 54 E) 11
14.- Si entonces el valor de 45)( 2 +−= xxxf )4(−f es:A) –32 B) -8 C) 40 D) 8 E) -40
15.- Si 3 2( ) 3 2f x x x x= − − + entonces el valor de ( 1)f − es:
A) –3 B) -1 C) 5 D) 3 E) -5
17
16.- Si 3( ) 2 4f x x x= + − entonces el valor de )1(−f es:
A) –7 B) 7 C) –3 D) 3 E) 0
17.- Si ( )f x x= − − entonces el valor de ( 64)f − es:
A) 32 B) – 8 C) 8 D) Indefinido D) – 6
18.- Si 222)(x
xf+
= entonces el valor de es:)0(f
A) B) 2−21
C) D) E) 1 2 23
19.- El valor de ( )4g − para es: ( )8 10 4
3 1 4 20t t
g tt t− − ≤ < −⎧
= ⎨ − − ≤ <⎩
A) –12 B) –13 C) 12 D) –8 E) 11
20.- Dada la función ( )
2 04 01 0
3
x si xf x si x
si xx
⎧⎪ <⎪
= =⎨⎪⎪ >
+⎩
el valor que se obtiene de
( ) ( ) ( )4 1 0f f f− + − es:
A) 196−
B) 157
C) 494
D) 89
− E) 245
21.- Si ( )4
4 4 4 52 3 5
x si x
f x x si xx si x
− < −⎧⎪
= + + − ≤ <⎨⎪ − ≥⎩
entonces el valor
de la operación aritmética ( ) ( ) ( )7 6 3 5 8f f f− + − − es:
A) -28 B) -65 C) 88 D) 2 E) -29
22.- Si ( )
21)(
2
+−
=x
xxxf entonces el valor de )2(−f es:
A) 4
12− B) C)definidaestáno
412
D) E)12 0
23.- El valor de f(−23
) si f(x)=xx+
23
es :
A) 0 B) 13
− C) 1 D) 53
E) 2
24.- Si g(x) = 1 para g(x)=xx−+4
2 4hallar x que satisfaga esta condición:
A) 0 B) −4 C) 10 D) 5 E) −8
25.- Si donde f(x)=x:f + +→ 2+1 entonces el o los valores “x” quesatisfacen f(x)=10 es:
A) ±3 B) 3 C) − 3 D) Ninguna E) 3
26.- Si donde f(x)=x:f − +→ 2−6 entonces el o los valores “x” quesatisfacen f(x)=30 es :
A) −6 B) 24 C) −4 6 D) Ninguna E) ±6
27.- La función 3 26 2y x x x= + − corta a los ejes en:
A) ( )2 1,0 , ,0 , 0,03 2
⎧ − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
B) ( )3 ,0 , 0, 32
⎧ − ⎫⎛ ⎞ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
C) ( ) ( ) ( ){ }0,1 , 1,0 , 0,0 D) ( ) ( )51,0 , ,0 , 0, 13
⎧ ⎫⎛ ⎞− −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
E) ( ) ( )31,0 , ,0 , 0,34
⎧ ⎫⎛ ⎞−⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
28.- Dada ( ) 3 23 4 2f x x x x= − + − , el valor de ( )3f b− es:
A) ( ) 3 23 27 27 12 2f b b b b− = − + − −
B) ( ) 3 23 27 27 12 2f b b b b− = − + − +
18
C) ( ) 3 23 27 27 12 2f b b b b− = − − − −
D) ( ) 3 23 27 27 12 2f b b b b− = + + +
E) ( ) 3 23 27 9 12 2f b b b b− = − − −
29.- El valor de ( )1f a − para si0a ≠22 2( )
1xf xx−
=+
es:
A) B) C) 2 3 1a a− + 22 4 4a a− + 1a +2 4 E) 1D) a −
30.- Dada entonces ( ) 24 1f x x= + ( )1f z − es:
A) B) C) 24 8 8z z− + 24z 24 8 5z z− +D) E) 24 5z − 24 3z +
31.- Si ( ) 3 22 3 4 1f x x x x= − + − entonces ( ) ( )f x h f x
h+ −
es:
A) 2 26 6 2 6 3 4x xh h x h+ − − − +B) 2 26 6 2 6 3 4x xh h x h+ + − − +C) 2 26 6 2 6 3 4x xh h x h− − − − +D) 2 26 6 2 6 3 4x xh h x h− − − − +E) 2 26 6 2 6 3 4x xh h x h+ − + − +
32.- Considere la función ( ) ( ) ( )10,1 , ,3 , 1,13 , 2,02
h ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
.
El valor de ( ) ( ) ( )10 2 12
h h h h⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
A) 12
B) C) D) E) 17 9− 11 12
−
33.- Si ( ) 1f xx
= entonces ( ) ( )f a f c− es equivalente a:
A) afc
⎛ ⎞⎜ ⎟ B) ⎝ ⎠
acfc a
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
C)af
c a⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
D)c af
a−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
E) ( )f c a−
34.- Si ( ) ( ) ( ){ }1, 3 , 2, 2 , 3, 3f = , ( ) ( ) ( ){ }0, -3 , 1, -2 , 2, -1g = y
( ) ( ) ( ){ }1, 1 , 2, 2 , 3, 3h= , entonces el valor de (1) (2)
(0)f h
g−
es:
A) Indeterminado B)45
C) 0 D) 13
− E) -1
B. Domino de una función.
35.- El domino y rango de la función ilustrada
A) ( ) ( ) ( ); 2 2; ;−∞ − ∞ → −∞ ∞∪B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 2 2;2 2; ;0 4;−∞ − − ∞ → −∞ ∞∪ ∪ ∪C) ( ) [ ] ( ) ( ] [ ); 2 2;2 2; ;0 4;−∞ − − ∞ → −∞ ∞∪ ∪ ∪D) ( ) ( ) ( ) ( ] ( ); 2 2;2 2; ;0 4;−∞ − − ∞ → −∞ ∞∪ ∪ ∪E) ( ) ( ); ;−∞ ∞ → −∞ ∞
19
36.- El dominio de la función ilustrada
A) B) C) ( );−∞ ∞ ( ) ( ); 3 3;−∞ − ∞∪ ( ) ( ); 3 3;−∞ − − ∞∪D) E) ( ) ( );0 0;−∞ ∞∪ ( ) ( );3 3;−∞ ∞∪
37.- El dominio de la función cuya gráfica se presenta a continuación es:
A) [ )2,5−
B) ( )2,2−
C) [ ]2,4−
D) ( ]2,4−
E) [ ]2,5−
38.- El dominio de la función cuya gráfica se presenta a continuación, es:
(A) ]3,4−
B) ( )3,5−
C) [ ]4,5−
D) ( )4,5−
E) [ ]3,4−
39.- El dominio de la función ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4 , 3, 7 , 5,2 , 7,1 , 8,4 , 10,1f = − −
A) { }1,2,3,4,5,7, 7,8,10− B) { } C) { }2,3,5,7,8, 10−
D) { }1,2,4, 7− E) { }2,3,5,7,8,10
40.- El dominio de la función ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,2 , 5,0 , 7, 2 , 8,7 , 9, 10g = − −
A) { }3,5,7,8,9 B) { }0,2,7,10 C) { }3,5,7,8
D) { }0, 2,2,7, 10− − E) { }2,3,4,7
41.- El dominio de la función ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 2,5 , 3,7 , 4,11 , 5,13 , 6,17f =
A) { }/ 0 6x x∈ ≤ ≤ B) { }/1 6x x∈ ≤ ≤
C) { }/ 6 6x x∈ − ≤ ≤ D) { }/ 0 7x x∈ < <
E) { }/ 0 6x x∈ < ≤
X
(5, -2)
(-2, 4)
Y
42.- El dominio de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,3 , 4,2 , 6,1 , 8,0 , 10,4 , 12, 5g = −
A) { }/ 2 12x x∈ ≤ ≤ B) { }/ 1 13x x∈ < <
C) { }/ 2 12, " "x x x es par∈ ≤ ≤
D) { }/ 1 12, " "x x x es par∈ < ≤
E) { }/ 2 12, " " 2x x x es multiplo de∈ ≤ ≤
43.- Indica el dominio de la función ( ) 3 7f x x= + es:
X
(4, 5)
Y
(-3, -4)
A) [ 3 ; ∞ ) B) [−7 ; 7 ] C) + D) (−∞ ; ∞ ) E) (−∞ ; 0 )
44.- El dominio de la función 26 3y x x= − + es:
A) 0 < x < ∞ B) −∞ < x < ∞ C) −∞ < x ≤ 0 D) [−5 ; 5 ] E) (−5 ; 5 )
45.- El dominio de la función 2y x= es:
20
A) B) C) ( ) ( );0 0;−∞ ∞∪ ( );−∞ ∞ ( ];0−∞
D) )( );0−∞ E [ )0;∞
46.- Hallar el dominio de ( )⎩⎨⎧
≥<<−
=1,2
10,1xsix
xsixxf
A) B) C) D) E)0<x 0≤x 0>x 0≥x
47.- El dominio de la función ( ) 2 xf x x −= − es:
A) ( )0 ; ∞ B) ( ); 0−∞ C) D) [ )0 ; ∞ ( );−∞ ∞ E) ( ]; 0−∞
48.- Hallar el dominio de ( ) 2
2 4, 0, 0 2
5 , 2
x si xf x x si x
si x
− <⎧⎪= < <⎨⎪ >⎩
A) B) C) [ ) ( )0;2 2;∞∪ ( );−∞ ∞ ( ) ( ) ( );0 0;2 2;−∞ ∞∪ ∪D) ( ] [ ] ( );0 0;2 2;−∞ ∞∪ ∪ E) ( ) ( );0 0;−∞ ∞∪
49.- El dominio de la función 1xy = es:
(A) ] ( ) ( );0 0;−∞ ∪ ∞ B) C) ( );1 1;−∞ ∪ ∞ ( ) ( );0 0;−∞ ∪ ∞
D) [ )0;∞ E) [ )1;∞
50.- El dominio de la función ( ) 51
f xx
=+
es:
A) C)( );−∞ ∞ B) ( ); 1−∞ − ( )1;∞
D) E) ( ) ( );5 5;−∞ ∪ ∞ ( ) ( ); 1 1;−∞ − ∪ − ∞
51.- El dominio de la función f(x) = 2
4x + es:
A) C)( );−∞ ∞ B) ( ); 4−∞ − ( )4;− ∞
D) E) ( ) ( );4 4;−∞ ∪ ∞ ( ) ( ); 4 4;−∞ − ∪ − ∞
52.- El dominio de la función ( ) 72 2
f xx
=+
es:
A) ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ − ∞ B) ( ), 1−∞ − C) ( )1,∞
D) ( ) ( ), 7 7,−∞ − ∪ ∞ E) ( ),−∞ ∞
53.- El dominio de ( )392
−−
=xxxf es:
A) B)( )3,∞− ( ] [ )∞∪∞− ,33, C) ( ) ( )∞∪∞− ,33,)D ( )∞∞− , E) ( )3,− ∞
54.- El dominio de la función y = x
x 2 1− es :
A) x ≠ 0 B) − { 1 } C) x ≠ −1 D) [−1 ; 1 ] E) x ≠ 1, −1
55.- El dominio de ( ) 2
89
f xx
=−
es:
A) { }3− B) { }8− − C) { }3,3− − D) { }0− E)
56.- El dominio de y = 2
5 2
xx−
es :
A) { }5− B) x ≠ ± 5 C) [−5 ; 5 ] D) x ≠ ±5 E)
57.- El dominio de la función ( ) 2 6xf x
x x=
+ − es:...
A) { }2− B) { }3− − C) { }2,3− −
D) { }2, 3− − E) { }3−
58.- El dominio de ( ) 2
312
xf xx x
+=
− − es:
A) { }3− B) { }4− − C) { }4,3− −
D) { }3,4− − E) { }4−
59.- Los valores para los cuales 2
3 4( )16
xf xx
−=
− es discontinua son:
A) 4 ,03
B) 4 4,3 3
− C) 2, 2− D) 4, 4− E) 3, 3−
21
60.- El dominio de la función 1y x= + es:
[ ) (A) B) C) 1,− ∞ ),1−∞ ( ],1−∞ D) ( )1,− ∞ E) ( )0,∞
61.- Obtener el dominio de la función ( ) 2 3f x x= −
A) )2 ,3⎡ ∞⎣ B) ( )2; 3−∞ − C) ( )3, 2−∞
ED) )[ )2;− −∞ ( 2, 3⎤−∞ ⎦
62.- El dominio de ( ) 3 8g m m= − es:
A) )8 ,3⎡ ∞⎣ B) C) ( );−∞ ∞ ( 3; 8
⎤−∞ ⎦D) E)[ )8;∞ ( ]; 3−∞ −
63.- El dominio de la función ( ) 16f x x= + es:
A) ( ];16−∞ B) C) [ )16;− ∞ ( ];0−∞
)[ E))D )0;∞ ( );−∞ ∞
64.- El dominio de la función 4y x= − es:
(A) ];4−∞ B) C)[ )4;− ∞ [ )4;∞
D) E)[ ]4;0− [ ]0;4
65.- El dominio de la función g(x) = x − 2 es:A) (−∞ ; 2 ) B) (−∞ ; ∞ ) C) ( 0 ; ∞ )
D) [2 ; ∞ ) E) [−2 ; ∞ )
66.- ¿Cuál es el dominio de la función 2( ) 9f x x= − ?
( ) ( )A) B) C) 3,3− ( ), 3 3,−∞ − ∪ ∞ ( ], 3−∞ −
D) [ ]3,3− E) ( ),−∞ ∞
67.- El dominio de la función ( ) 2 4f x x= − es:
A) ( ] [ ); 2 2;−∞ − ∪ ∞ B) ( ] [ ); 4 4;−∞ − ∪ ∞ C) [ ]2;2−
D) [ ]0;2 E) ( )2;2−
68.- El dominio de la función ( ) 24f x x= − es:
A) B) ( );−∞ ∞ ( ]; 4−∞ − C) [ ]2;2−
D) [ ]0;2 E) ( )2;2−
69.- Si ( ),x y ∈ × y ( ) 2 9f x x= − , el conjunto que contiene a todos
los elementos del dominio de la función es:
A) { }/ 3 3x x∈ − ≤ ≤ B){ }/ 3 3x x∈ − ≥ ≥
C) { }/ 3 3x x o x∈ ≤ − ≥ D) { }/ 3 3x x∈ − ≥ ≤
E) { }/ 3 3x x∈ − < >
70.- El dominio de la función y = x 2 9+ es:
A) B) [ −3 ; 3 ] C) ( 0 ; 3 ] D) ( −3 ; 3 ] E) (−∞ ; 0 )
71.- El dominio de 1)( 2 += xxf es:
(A) );−∞ ∞ B) ( ); 1−∞ − C) ( )1;∞
D) ( ) ( );5 5;−∞ ∪ ∞ E) ( ) ( ); 1 1;−∞ − ∪ − ∞
72.- ¿Cuál es el dominio de 65)( 2 −+−= xxxf ?
( )A) B)2 ; 3 [ )2 ; 3 C) ( ] [ ); 2 3 ;−∞ ∞∪D) ( ]2 ; 3 E) [ ]2 ; 3
73.- El dominio de la función ( ) 3 3f x x= − es:
[ ]A) B) 3;3− [ ]0;3 C) [ )3;∞ D) ( ]; 3−∞ − E) ( );−∞ ∞
22
74.- El dominio de la función ( )3 3
18
f xx
=+
es:
A) { }2− B) C) D) E) ( )2;2− 2x ≠ − 2, 2x x≠ − ≠
75.- El dominio de la función 3( ) xg x
x+
= es:
A) { }0− B) C)( ) [ );0 3;−∞ ∪ ∞ [ ) ( )3;0 0;− ∪ ∞
D) E) ( ) [ );0 3;−∞ ∪ ∞ { }0,3−
76.- El dominio de la función ( ) 2f x x x= − + es:
A) B) C)[ )0;∞ [ )2;− ∞ ( ][ );0 2;−∞ ∞
E) D) [ ]2,0− [ )2;∞
77.- El dominio de la función ( ) 2 2 3G x x x= + + − es:
[ ) (A) B)2;− ∞ ] [ ); 2 3;−∞ − ∪ ∞ C) { }2,3− −
D) [ ]2;3− E) ( ];3−∞
78.- El dominio de la función ( ) 12
xf xx−
=+
es:
A) B) C)( ); 1−∞ ( ) ( ); 2 2 ;−∞ − − ∞∪ ( )1 ; 1−
[D) E) )1 ; ∞ ( ]2 ; 1−
79.- El dominio de la función ( )2 4
4xf xx
−=
− es:
A) ( ] [ ) ( ); 2 2;4 4;x∈ −∞ − ∞∪ ∪ B) { }4−
C) ( ] [ ); 2 2;x∈ −∞ − ∞∪ D) ( ) ( ] [ ); 4 4; 2 2;x∈ −∞ − − − ∞∪ ∪E) [ ]2 ; 2x∈ −
80.- Obtener el dominio de la función ( )24
1xf x
x−
=−
A) ( ) ( )2;1 1;2x∈ − ∪ B) ( )2;2x∈ − C) [ ) ( ]2;1 1;2x∈ − ∪D) [ ]2;2x∈ − E) [ ) ( ]2; 1 1;2x∈ − − −∪
81.- El dominio de ( ) 66
xf xx
=−
es:
A) ( ], 6−∞ − B) ( ) ( ), 6 6,−∞ − ∪ ∞
C) ( ) ( );6 6 ;−∞ ∪ ∞ E) [ )6 ; ∞ E) ( )6 ; ∞
82.- Determine el Dominio de la siguiente función
( )3011
42 ++
=xx
xxf
A) ( ] ( )∞−∪−∞− ,56, B) ( ) ( )∞−∪−∞− ,56, C) ( ] [ )∞−∪−∞− ,56,
D) ( ) ( )∞∪∞− ,65, E) ( ) [ )∞−∪−∞− ,56,
83.- El dominio de la función ( )2
42 8
xf xx x
−=
− − es:
A) ( ) ( ); 1 8;x∈ −∞ − ∞∪ B) ( )8 ; 1−
C) ( ] [ ); 4 2;x∈ −∞ − ∞∪ D) ( ) ( ); 2 4;x∈ −∞ − ∞∪E) [ ]4 ; 2x∈ −
84.- El dominio de ( ) 13 9xf xx+
=+
es:
A) ( ] [ ), 3 3 ;−∞ − ∞∪ B) ( )3 ;− ∞
C) ( ); 3−∞ − E) ( ) ( ); 3 3 ;−∞ ∞∪E) [ )3 ;− ∞
23
85.- El dominio de la función ( )2
19
f xx
=−
es:
A) B)( ) ( ); 3 3;−∞ − ∪ ∞ ( );9−∞ C) [ ]3;3−
D) ( ] [ ); 3 3 ;−∞ − ∞∪ E) ( )3 ; 3−
86.- El dominio de ( ) ( )ln 10f x x= + es:
A) ( );10−∞ B) C)( )10;− ∞ ( )1;∞
D) E)( ) ( ); 10 10;−∞ − ∪ ∞ ( ] [ );0 0;−∞ ∪ ∞
C. Rango o imagen de una función.
87.- El rango o imagen del dibujo de la función es:
A) B) ( )0 ; 3 [ ]0 ; 3 C) ( ]0 ; 3 D) ( );−∞ ∞ E) [ ]2 ; 3−
88.- El rango o imagen del dibujo de la función es:
A) B) ( )0 ; 3 ( )0 ; ∞ C) ( ]; 3−∞ D) ( );−∞ ∞ E) [ ]0 ; 3
89.- El rango o imagen del dibujo de la función es:
A) B)( )1 ; 4− ( ) ( ); 1 1 ;−∞ ∞∪ C) { }2D)[ ]1 ; 4− E) { }1, 2, 4−
90.- Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 2,5 , 3,7 , 4,11 , 5,13 , 6,17f = entonces su
rango o conjunto imagen es:
{A) }/ " "y y es impar∈ B) { }/ 3 17," "y y y es impar∈ ≤ ≤
C) { }/ 2 19, " "y y y es primo∈ < <
D) { }/ " "y y es par∈ E) { }/1 6y y∈ ≤ ≤
24
91.- Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2, 5 , 0, 4 , 2, 3 , 4, 2 , 6, 1 , 8,0g = − − − − − − entonces
su rango o conjunto imagen es:
{A) }/ 2 8, " "y y y es par∈ − ≤ ≤
B) { }/ 5 0," "y y y es impar∈ − ≤ ≤
C) { }/ 5 0y y∈ − < < D) { }/ 2 8, " "y y y es par∈ − ≤ ≤
E) { }/ 6 1y y∈ − < <
92.- Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }10, 10 , 5,1 , 2,7 , 4,1 , 7, 10H = − − − entonces su
rango o conjunto imagen es:
A) { }10,1,7− B) { }10,1, 2, 4, 5, 7− C) { }10,5,2,4,7−
D) { }10, 1,7, 5 , 2− E) { }10, 1, 2, 5,7−
93.- Si representa el peso en kilos de los niños de años de edad, determina el rango de la función sabiendo que el peso máximo es de 13 kilos.
)(tW 30 a
A) ( ]13,0 B) [ )13,0 C) ( )∞∞− , D) ( ]13,∞− E) ( )13,∞−
94- El recorrido ó imagen de la función 2y x=
( ) ( )A) B) C) ;0−∞ ;−∞ ∞ ( ];0−∞ D) ( )0;∞ E)[ )0;∞
95.- El recorrido ó imagen de la relación es:
[ ) ( )
2 3y x= −A) B) C) D)3 ; ∞ 3 ;− ∞ ( ); 3−∞ [ )3 ;− ∞ E) ( );−∞ ∞
96.- El rango ó imagen de es:( ) 2 6f x x= +
A) B) C) ( );−∞ ∞ [ )6 ; ∞ ( ]; 6−∞ − D) ( )6 ; ∞ E) ( ); 6−∞ −
97.- El rango de la función ( ) 2f x x= − es:
A) B) C) D) [ )0 ; ∞ ( );−∞ ∞ ( )0 ; ∞ ( ]; 0−∞ E) [ )1 ;− ∞
98.- El conjunto imagen de para ( ) 24h x x= − ( ]2 ; 3x∈ − es:
A) ( ]5 ; 4− B) [ )5 ; 0− C) [ ]5 ; 0− D) [ ]5 ; 4− E) ( ]0 ; 4
99.- El rango de la función ( ) 3 1f x x= − es:
A) −∞ < y < ∞ B) −1 < y < ∞ C) −∞ < y < 1D) 1 ≤ y < ∞ E) 0 ≤ y
100.- El rango de la función 1xy y+ = es:
(A) ] ( );0 0;−∞ ∪ ∞ B) ( ) ( );1 1;−∞ ∪ ∞ C) ( ) ( );0 0;−∞ ∪ ∞
D) ( ) ( ); 1 1;−∞ − ∪ ∞ E) ( ) ( ); 1 1;−∞ − ∪ − ∞101.- El rango de la función implícita 3 6 7 5 0x xy y− − − = es:
( )A) ( ), 2 2,−∞ − ∪ ∞ B) ( ) ( ), 2 2,−∞ ∪ ∞ C) 1 1, ,2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−∞ ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∪
D) ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ ∞ E) 1 1, ,2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−∞ − − ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∪
102.- El rango de la función implícita 6 5 3 0x xy y− + + = es:
A) 1 1, ,6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−∞ − − ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠
B) ⎝ ⎠ ⎝
∪ ( ) ( ),3 3,−∞ ∞∪
C) ( ) ( ),6 6,−∞ ∞∪ D) ( ) ( ),0 0,−∞ ∞∪ E) ( ),−∞ ∞
103.- El rango de la función dada por ( ) 21
f xx
=−
es:
A) ( ) ( );1 1;−∞ ∞∪ B) ( ) ( );0 0;−∞ ∞∪ C) ( ] [ );0 0;−∞ ∞∪
D) ( ] [ ); 1 1;−∞ − ∞∪ E) ( ] ( ) ( ); 1 1;2 2;−∞ − − ∞∪ ∪
104.- El rango de la función dada por ( ) 15 9
f xx
=−
es:
A) B) ( );−∞ ∞ ( ] [ );0 0;−∞ ∞∪ C) ( ) ( )9 9; ;5 5−∞ ∞∪
D) ( )9 ;5 ∞ E) ( ) ( );0 0;−∞ ∞∪
25
105.- El rango de la función f(x) = 2
1xx−
es:
A) [−2 ; ∞ ) B) y ≠ 2 C) D) y ≠ −2 E) y ≠12
106.- El rango o imagen de la función ( ) 51
xf xx−
=+
es:
A) B) C)( ) ( );1 1;−∞ ∪ ∞ ( ); 1−∞ − ( );−∞ ∞
D) E)( ) ( ); 1 1;−∞ − ∪ − ∞ ( ) ( );5 5;−∞ ∪ ∞
107.- El rango de la función 1
1)( 2 +=
xxf es:
A) B) C) D) ( )∞∞− , ( ]1,0 [ )1,0 ( )∞,0 E) ( ]0,∞
108.- La imagen de la función ( ) 2 34xf x
x−
=+
es:
A) B) C) ( );−∞ ∞ ( ) ( );3 3;−∞ ∪ ∞ ( )4;− ∞
D) E)( ) ( ); 4 4;−∞ − ∪ − ∞ ( ) ( ); 3 3;−∞ − ∪ − ∞
109.- El rango de la función ( ) 1f xx
= es:
A) B) C) ( ); 0−∞ ( )1 ; 1− ( )0 ; ∞ D) ( ]; 0−∞ E) [ )0 ; ∞
110.- El rango de la función ( ) 5f x x= − es:
[A) )0 ; ∞ B) [ ]5 ; 5− C) ( )5 ;− ∞
D) E)( );−∞ ∞ [ )5 ;− ∞
111.- El rango de la función ( )f x x= − es:
A) [ )0 ; ∞ B) ( ]; 0−∞ C) ( )0 ; ∞
D) E)( );−∞ ∞ [ )1 ;− ∞
112.- El rango de la función ( ) 5f x x= − es:
A) B)[ )5 ; ∞ [ ]5 ; 5− C) ( ]; 5−∞
D) ( );−∞ ∞ E) [ )5 ;− ∞
113.- El rango de la función ( ) 4f x x= + es:
A) [ )0 ; ∞ B) ( ]; 4−∞ C) ( )4 ; ∞
D) ( );−∞ ∞ E) [ )4 ;− ∞
114.- El rango de la función ( )f x x x= − es:
A) B) ( ];0−∞ C) [ )0;∞ D) [ ]1;1− E) ( );1−∞
115.- El rango o imagen de la función ( ) 16f x x= + es:
A) ( ]; 4−∞ B) [ )0;∞ C) ( ]; 16−∞ D) [ )4 ; ∞ E) ( );−∞ ∞
116.- El rango o imagen de la función ( ) 2 6f x x= + es:
A) ( ]; 3−∞ B) )6 ;⎡ ∞⎣ C) ( ];0−∞ D)[ )0;∞ E) ( );−∞ ∞
117.- La imagen de la función ( ) 22 9f x x= − es:
A) B) ( );−∞ ∞ ( ]; 6−∞ − C) [ ]0 ; 3 D) [ ]0 ; 6 E) ( )3; 3−
118.- La imagen de la función ( ) 2 16f x x= − es:
A) B) ( );−∞ ∞ ( ]; 4−∞ C) [ ]4 ; ∞ D) ( )4 ; 4− E) [ )0;∞
119.- La imagen de al función ( ) 2 25f x x= + es:
26
A) B) C) ( );−∞ ∞ [ )5 ; ∞ [ ]2;0− D) [ )0;∞ E) ( ]; 4−∞ −
120.- El dominio y rango de la función ( ) 2 2 xf x −= − son:
A) y B) y ( );−∞ ∞ ( )0;∞ ( );−∞ ∞ ( );0−∞
C) y D) y ( );−∞ ∞ ( )2;∞ ( );−∞ ∞ ( );2−∞
E) y ( );−∞ ∞ ( );−∞ ∞
121.- El dominio y rango de la función 1 2y x= + − es:
A) B) C) [ )2; +− ∞ → + +→ [ )2; +∞ →
D) E) [ ) [ )2; 1;∞ → ∞ [ )1;+ → ∞
122.- Si es( )y f x=
Determina el dominio y rango:.
[A) ] [ ]3 ; 4 3 ; 4− → − B) ( ] [ ]3 ; 4 3 ; 4− → −
C) [ ] [ ]3 ; 4 3 ; 2− → − D) ( ] [ ]3 ; 4 3 ; 2− → −
E) ( ) ( )3 ; 4 3 ; 4− → −
123.- Si es( )y f x=
Determina el domino y rango:
[A) ] [ ]2 ; 5 2 ; 4− → − B) [ ] [ ]2 ; 5 2 ; 2− → −
C) [ ) [ )2 ; 5 2 ; 4− → − D) ( ) ( )2 ; 5 2 ; 4− → −
E) [ ) [ ]2 ; 5 2 ; 4− → −
124.- El rango de la función ( )4 2 0
14 02
x si xf x
x si x
+ ≤⎧⎪= ⎨
− >⎪⎩A) B)[ )4 ;∞ ( ] ( ); 4 4;−∞ − ∞∪ C) ( ) ( );0 0;−∞ ∞∪
D) ( ];4−∞ E) [ ]2;8−
Tarea sesión 3
1.- El dibujo de gráfica que corresponde a una función es: A) B) C)
D) E)
27
2.- ¿Cuál de los siguientes conjuntos corresponde a una función?
A) R = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)}B) R = {(1,-1),(2,-2),(3,-3),(4,-4),(5,-5)}C) R = {(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4)}D) R = {(1,2),(3,4),(5,4),(3,2),(1,0)}E) R = {(1,-1),(3,-1),(5,-1),(3,-1),(5,-1)}
3.- Si , calcula el valor de( ) ( )( ) ( )22 4 3f x x x x= − − − − −
( ) ( )2 3f f+A) B) C) D)0 2− 4 4− E) 1−
4.- Obtener el dominio de la función ( )29
1xf x
x−
=+
....
A) [ ]3;3x∈ − B) ( )3;3x∈ − C) ( ) ( )3; 1 1;3x∈ − − −∪D) [ ) ( ]3; 1 1;3x∈ − − −∪ E) [ ) ( ]3;1 1;3x∈ − ∪
5.- El dominio de ( )2
26
xf xx x
+=
+ − es:
A) B) ( ] [ ]∞∪−∞− ,23, ( ) ( )∞−∪−∞− ,23,C) E) ( ) ( )∞∪−∞− ,23, ( ] [ ); 3 2 ;−∞ − − ∞∪E) ( );−∞ ∞
6.- El dominio y el rango de la relación representada por la gráfica es
A) B) ( )3,3 , ( 2, 2)D R= − = − [ ] [ ]3,3 , 2,2D R= − = −
C) ( ] ( ]3,3 , 2,2D R= − = − D) [ ) [ )3,3 , 2,2D R= − = −
E) ( )2, 2 , ( 3,3)D R= − = −
7.- Hallar el dominio de ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤≤
<+
=2,1
20,0,32
2
xsixsix
xsixxf
A) B)( );−∞ ∞ [ ) ( )0;2 2;∞∪ C) ( ) ( ) ( );0 0;2 2;−∞ ∞∪ ∪
D) ( ] [ ] ( );0 0;2 2;−∞ ∞∪ ∪ E) ( ) ( );0 0;−∞ ∞∪
8.- Hallar el dominio de ( )3
1−
=x
xf
A) { }3−∪ )B { }3− C) { }0−
)D { }1− − E)
9.- El dominio de la función ( ) 16
xf xx
−=
− es :
A) ( ) ( ); 6 6;−∞ − ∪ − ∞ B) ( ] [ );0 0;−∞ ∪ ∞ C) ( )6;∞
D) ( ); 6−∞ − E) ( ) ( );6 6;−∞ ∪ ∞
10.- El dominio de 2 1xy
x+
= es:
A) [ )0;∞ B) ( ) ( );0 0;−∞ ∞∪ C) ( ) ( );1 1;−∞ ∞∪
28
D) E) ( ) ( );2 2;−∞ ∞∪ ( );−∞ ∞
11.- ( )2 2 15
5x xg x
x− −
=−
es discontinua para el valor de x=.
A) 0 B) 5 C) 3 D) – 5 E) – 3
12.- El dominio de la función 16 4y x= − es:
(A) ];4−∞ B) C) [ )4;− ∞ [ )4;∞
D) [ ]4;0− E) [ ]0;4
13.- El dominio de la función g(x) = 12x + es:
A) (−∞ ; 12 ) B) (−∞ ; ∞ ) C) ( 0 ; ∞ )
D) [12 ; ∞ ) E) [−12 ; ∞ )
14.- El dominio de la función ( ) 5 17f x x= + es:
A) 17 ;5
⎛ ⎞− ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
B) ( )17 ; ∞ C) ( )5 ;17
D) 17 ;5
⎡ ⎞− ∞⎟⎢⎣ ⎠E) ( )17 ;− ∞
15.- ¿Cuál es el dominio de la función 2( ) 36f x x= − ?
( ) ( )A) B); 6 6 ;−∞ − ∪ ∞ ( )6;6− C) [ ]6 ; 6−
D) ( ]; 6−∞ − E) ( );−∞ ∞
16.- El dominio de la función ( ) 2 25f x x= − es:
A) ( ] [ ); 25 25;−∞ − ∪ ∞ B) C) ( )5 ; 5− [ ]5 ; 5−
D) [ ]0 ; 5 E) ( ] [ ); 5 5;−∞ − ∪ ∞
17.- El dominio de la función ( ) 28f x x= − es:
A) B) ( );−∞ ∞ ( ; 8⎤−∞ − ⎦ C) 2 2 ; 2 2⎡ ⎤−⎣ ⎦
D) [ ]0 ; 4 E) ( )8 ; 8−
18.- Un arco tiene la forma de la parábola 24y x= − . Bajo el arco se ajusta unrectángulo, seleccionando un punto (x,y) de la parábola
Y
( ),x y24y x= −
X
El área A del rectángulo, si 12x = es:
A) 143 B) 21
5 C) 172 D) 4 E) 15
4
19.- El dominio de ( ) 44
xf xx−
=+
es:
A) [ )4 ;− ∞ B) ( ); 4−∞ − C) ( )4 ;− ∞
E) ( ) ( ); 4 4 ;−∞ − − ∞∪ E) ( ] [ ), 4 4 ;−∞ − ∞∪
20.- El rango de la función ( ) 2
2 012 08
x si xf x
x si x
+ ≤⎧⎪= ⎨
− >⎪⎩
A) ( ];2−∞ B) ( ] ( ); 2 2;−∞ − ∞∪ C) ( ) ( )2;0 0;4− ∪D) [ )4 ;∞ E) [ ]2 ;4−
21.- El valor de la función ( )2f a − si ( ) 22 2f x x x= + − es:
29
A) B) C) 22 9 8a a− − + 22 9 8a a+ + 22 9 8a a− − −22 9 E) D) 22 9 8a a− + − 8a a− −
22.- Si ( ) 1f x x= + entonces el valor de ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
98f es:
A) 179
− B) 19
− C) 179
D) 19
E)
13
23.- Si ( ) 3 82
xf xx A+
=−
y entonces el valor de “A” es:( )0 2f =
A) – 4 B) 7 C) 34 D) 5
6− E) – 7
24.- El dominio máximo de la función ( ) 2 6xf x
x x=
+ − es:...
A) { }2− B) { }3− − C) { }2,3− −
D) { }2, 3− − E) { }3−
25.- Si donde entonces el valor “x” que satisfacen
es :
:f → 3( ) 2f x x= +( ) 10f x =
A) 123 B) 8 C) − 123 D) 4 E) 2
26.- El recorrido de la función implicita es:
{1 0xy − =
A) }1− B) C) D) ( )1 ; 1− ( )1 ; ∞ { }0− E) ( )0 ; ∞
27.- El rango de la función ( ) 2
101
f xx
=+
es:
A) ( );0−∞ B) ( ];10−∞ C) ( ]0 ; 10 D) [ )0;∞ E) [ )10;∞
28.- El rango de la función 3xy = es:
A) [ )0,∞ B) ( )3,∞ C) ( )0,∞ D) ( )3,− ∞ E)
29.- Si ( ) 2 2 3f x x x= − + entonces( ) ( )f x h f x
h+ −
es:
A) 22x h+ B) 2 22 2 9 2 6x xh x h h
h− + + − +
C) 2x h+
D) 2 22 2 2 6x xh h h
h+ + − +
E) 2 2x h+ −
Tarea sesión 3
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
30
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
Tarea sesión 3
21.- A B C D E
22.- A B C D E
23.- A B C D E
24.- A B C D E
25.- A B C D E
26.- A B C D E
27.- A B C D E
28.- A B C D E
29.- A B C D E
30.- A B C D E
Aciertos:___________ de _________
Calificación:_______________
31
Sesión 4
Unidad II Funciones.
D. Clasificación de funciones.
1.- La función es una función:( ) 10h x =A) Creciente B) Trascendente C) Irracional
D) Constante C) Logarítmicas
2.- Una función creciente en todo su dominio es:
A) 2y x= B) 3y x= − C) 32
x
y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
D) E) ( )( )( )3 5 2y x x x= − + − 7y =
3.- La función 3 23 22 55 9
y x x x= − + + es una función:
A) Racional B) Polinomial C) ImplícitaD) Constante E) Irracional
4.- La función es una función:3 6 4 11 5x xy y+ − − =A) Polinomial B) Constante C) Implícita
D) exponencial E) irracional
5.- Un ejemplo de una función algebraica es:
A) B) ( ) ( )tan 2 1g x x= + ( ) 21
h xx
=+
C) ( ) 42xf x += D) ( ) ( )cosk x x=
E) ( ) ( )2log 4N x x= −
6.- Un ejemplo de una función trascendental es: 3 2( ) 5 5 8f x x x= + −A) B) ( ) 2 3g x x= −
C) D) ( )( ) log 5h x x= +24( )
5xP x
x−
=+
E) 2 5 7 3 0x xy y+ − + =
7.- La función 2
3 7( )2 5
xf xx x
−=
− + es una función:
A) Polinomial B) Exponencial C) RacionalD) Irracional E) Constante
8.- Un ejemplo de una función exponencial es:
A) ( )27( ) log 4f x x= − B) ( )2( ) cos 3 9g x x= −
C) ( ) 25 xh x e= D) ( ) ( )tanJ x Arc x= E) ( ) 9k x x= +
9.- La función ( ) 1f xx
= es una función:
A) Creciente B) Polinomial C) AlgebraicaD) Trascendental E) Constante
10.- La función ( ) 4 23 xf x −= es una función:
A) Logarítmica B) Implícita C) ExponencialD) Cúbica E) Idéntica
11.- Un ejemplo de una función logarítmica es:
( ) 3 25 4 6 4A) B)f x x x x= + − − ( ) ( )ln 2g x x= −
C) ( ) 2 1xh x e += D) ( ) 6k x x= − E) ( ) ( )cosJ x x=
12.- Un ejemplo de una función irracional es:
A) ( ) ( )124f x x= + B) ( )
5xg x
x=
−C) ( ) 34 2h x x x= −
D) ( ) ( )tanI x x= E) 1 0x xy y+ − − =
13.- Un ejemplo de una función lineal, es:
A) B) 2 3 4 0x xy− + = ( ) 4h x x= − C) ( ) 25
xg xx
=−
D) E)( ) 2 6xf x = − ( ) 7 9K x x= +
14.- Un ejemplo de una función par es:
( ) 3 2A) 5 2f x x x x= + − B) ( ) 3 23 2f x x x= − +
C) ( ) 25 9 9f x x x= + − D) ( ) 23f x x= −
E) ( ) 3 2f x x= +
32
15.- ¿Cuál de las siguientes funciones es impar?
( )A) f x x= B) ( ) 24 5f x x x= + C) ( ) 3 25 1f x x x= − +
D) ( ) 2
1f xx
= E) ( ) 6f x x= −
17.- ¿Cuál de las siguientes funciones es par?
( ) 34A) f x x x= − ( )B) 210 3f x x= − C) ( ) 4f x x= +
D) E) ( ) 26 7 2f x x x= − − ( ) 3 27f x x x= −
18.- Al expresar en su forma explícita se obtiene 2 2 3 0x y xy x+ + − =
A) 2
2 13
xyx x
+=
−B)
232 1x xyx−
=+
C) 23
2 1x xy
x−
=+
D) 2
3 13
xyx x
−=
+ E)
232 1x xyx
− −=
+
19.- Una función Par es:
2A) xy = B) 2y x= + C) ( )2log 1y x= +
E)D) ( )3cosy x= ( )y sen x=
20.- El dibujo de una función inyectiva es :
A) B) C)
D) E)
21. - Una función no inyectiva es:
A) B) C) 24)( xxf = 32)( += xxf ( )f x x=
D) x
xf 1)( = E) 1
1)(+
=x
xf
22.- Indica cual de las siguientes funciones es inyectiva:
A) ( ) 2
1f xx
= B) ( )f x π= C) ( ) 2 1f x x= −
D) ( ) 1f xx
= E) ( ) 3 24 6 1f x x x x= − + −
23.- Indica cual de las siguientes funciones es inyectiva:
A) ( ) 2
1f xx
= B) ( )f x π= C) ( ) 2 1f x x= −
D) E) ( ) 3 24 6 1f x x x= − − ( ) 1f xx
=
24.- Indica las funciones inyectivas en su dominio :
(a) y=2x−1 (b) y=x2−x (c) y=x3 (d) y=13x (e) y= x
(f) y=1x
(g) y=⏐x⏐ (h) y=x3−x2−x+1 i) y=x4
A) (b), (e), (d) y (g) B) (a), (c), (d), (e) y (f) C) Solo (b)D) (a), (b), (c), (d) e (i) E) (a), (c), (e), (h) e (i)
25.- Suponiendo que el contradominio de las siguientes funciones son el conjunto de los Reales, indica las funciones subrayectivas en su dominio
(a) y=2x−1 (b) y=x2−x (c) y=x3 (d)y=13x
(e) y= x (f) y=1x
(g) y=⏐x⏐ (h) y=x3−x2−x+1
(i) y=x4
A) (b), (e), (f) y (g) B) (a), (c), (d) y (f) C) (a),(c),(d) y (h)D) (c), (d), (f) e (i) E) (a), (b) y (h)
26.- Siendo el dominio la base del rectángulo y el codominio la altura,
(1) (2)(3) (4)
33
(5) (6) (7) (8)
El ó los dibujos de una función inyectiva pero no suprayectiva es ó son:
A) 2 y 8 B) 4 y 5 C) Solo 2 D) 2 y 4 E) 3 y 6
27.- El dominio donde ( ) ( )cosf x x= es inyectiva:
A) 3;
2 2π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
B) 30;2π⎡ ⎤
⎢ ⎥ C)⎣ ⎦
( )0;π D) ( )0;2π E) ; 22π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
28.- El dominio que debe tener la función ( ) ( )24 3f x x= + − para que sea
inyectiva es:
(A) ];3−∞ B) C) ( );0−∞ [ )5;− ∞
D) E) [ )4;− ∞ ( ]; 3−∞ −
29.- Si ( ) 123
g x x= − es biyectiva entonces la función inversa de “g” está
dada por 1( )y g x−= igual a:
A) 1 32
x + B)123
x− + C) 1 32
x− +
D) 3 12 2
x + E) 1 12 6
x +
E. Dibujo de gráfica de funciones.
30.- La intercepción con el eje X de ( ) 6 4g x x= − − es:.
A) { (– 2 , 0 ), ( 10 , 0 ) } B) { ( 10 , 0 ), ( 2/3 , 0) }C) { ( 3/2 , 0 ), ( 2 , 0 ) } D) { ( 0 , 0 ) }E) No tiene
31.- El dibujo de gráfica corresponde a:
A) B) 2y x= 2 1y x= − C) 2 1y x= +
D) ( )21y x= + E) 1y x= +
32.- Si el dibujo de gráfica de y = x2 es entonces y = −x2−3 es :
A) B) C)
D) E)
34
33.- El dibujo de gráfica de la función ( )g x x x= − es:
A) B) C)
D) E)
34.- El dibujo de gráfica de la función ( ) 12 36f x x= − es:
A) B) C)
D) E)
35.- El dibujo de gráfica corresponde a:
A) y x B)
36.- El dibujo de gráfica de la función ( ) 3 5f x x= − para [ ]4;4x∈ −A) B) C)
D) E)
37.- El dibujo de gráfica de y = 2 4− +x es:
A) B) C)
= − y x C) x D) = − = −y y x= − − E) ( )A x x=
a. D) E)
35
38.- Si la de gráfica de se muestra en la siguiente figura( ) 3xf x =
entonces la gráfica de 2( ) 3 xg x −= es:A) B) C)
D) E)
39.- Al dibujar la gráfica de ( )( )22 2 2
2 33 3
x si xf x x si x
si x
⎧ − + < −⎪
= −⎨⎪ <⎩
≤ ≤ queda
: A) B) C)
D) E)
40.- Usando la gráfica de 3)( += xxxf de la figura 1 adjunta,
figura 1 La fórmula para la función cuya gráfica se muestra en la figura 2, es
A) 3)( −= xxxfB) 1)( −= xxxfC) 3)( += xxxfD) 3)( +−= xxxfE) 3)1()( +−= xxxffigura 2
F. Aplicación de funciones.
41.- La función que determina el área de un triángulo equilátero en términos de
su perímetro “ p ” está dada por ( )A p =
A) 22
5p⋅
B) 23
12p⋅
C) 23
6p⋅
D) 22
16p⋅
E) 23
36p⋅
36
42.- El dibujo de gráfica de la función que determina el cobro de un estacionamiento, tal que por la primera hora cobra $10 pesos y por cada media hora (o fracción menor de tiempo) excedente $ 5.00.
A) B) C)
D) E)
43.- Un estudio ambiental de cierta comunidad sugiere que el nivel medio diario
de monóxido de carbono en el aire será ( ) 0.5 1C p p= + partes por
millón, cuando la población sea de “p” miles. Se estima que dentro de “t”
años la población de la comunidad será ( ) ( )10 0.1 .P t t= +El nivel de monóxido de carbono en el aire como una función de tiempo “t”
es ( )C t =
A) 620t+ B) 5
2t
+ C) 62t+ D) 10
2t
+ E) 1120t
+
44.- Se tiene un predio de forma cuadrada cuya área es de 81 , calcula su perímetro “P(A)”.
162m
2m
A) B) C) D) E)18m 46m 36m 41m
45.- Se tiene un alambre de 24 m de largo y se forma un rectángulo con ancho x y longitud y. Expresa el área A del rectángulo como función de x:
( ) 212A) A x = − ( ) 2x B) C) 12A x x x= − ( ) 224A x x x= −
D) ( ) 224A x x E)
46.- Un fabricante de envases de cartón desea construir cajas sin tapa a partir de hojas cuadradas de cartón que tienen 12 pulgadas de lado, recortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. Si x pulgadas es la longitud por lado del cuadrado que debe recortarse, expresa el volumen de la caja a fabricar como función de x.
x
12 pulg.
A) 144484)( 23 +−= xxxVB) xxxxV 14424)( 23 +−=C) 14424)( 23 +−= xxxVD) xxxxV 144484)( 23 +−=E) xxxxV 144244)( 23 +−=
47.- Un cohete de juguete se dispara directamente hacia arriba con una
velocidad Vo m/s. Si su altura sobre el piso después de t” segundos está
dada por ( ) 216 oS t t V t= − + . Si el cohete llega al suelo después de 12
segundos, entonces la altura máxima alcanzada por el cohete es:
A) 576 B) 676 C) 776 D) 976 E) 774
48.- Se pretende hacer una caja de cartón abierta a partir de una hoja de 20 x 20 cm, cortando cuadrados iguales en cada esquina y doblando los bordes para formar las caras laterales de la caja. La expresión del volumen de la caja en función de su altura es:
A) 3 24 80 400x x x+ + B) 3 24 80 400x x x− +C) 3 24 80 400x x x+ − D) 3 24 80 400x x x− −E) 3 24 80 400x x x− + +
49.- La perímetro de un triángulo equilátero como una función de su altura es :
A) ( )2 3 h B) 3
2h
C) 32h
D) ( )3 2 h E) 2
3h
= + ( ) 224A x x x= −
37
50.- Para construir seis jaulas de un zoológico se necesita metros de enrejado. El diseño de las jaulas se muestra en la figura. Exprese el ancho
2000y
como función de la longitud x
A)x
y 2000= B) 500
43
−= xy C)x
y3500
=
D) xy43500 −= E)
x31000
51.- Un huerta de manzanas tiene 40 árboles por hectárea y con un rendimiento promedio de 500 mza por árbol. Si por cada árbol adicional que se plante por hectárea, además de los 40 que existen, el rendimiento promedio se reduce en media docena de manzanas por árbol. Entonces la función que
representa el rendimiento al plantar “n” árboles adicionales es ( )R n =
A) B) 220,000 740 6n n+ + 220,000 260 6n n+ −C) D)20,000 500n+ 220,000 6n−E) 20,000 240n−
52.- Una población de peces pasa de 10,000 a 13,000 peces en un año. Suponiendo que el crecimiento sigue la siguiente ley exponencial
( ) 0tP t P a= donde t está dado en años y P0 es población inicial.
Calcula la población al cabo de 3 años.
A) 4,552 B) 30,000 C) 19,000
D) 21,970 E) 2012
53.- El cólera es una enfermedad intestinal causada por una bacteria que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por
1.386 donde N es el número de bacterias presentes después
de t horas y N
0tN N e=
0 es el número de bacterias presentes cuando t = 0. Si se empieza con una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá en 5 horas?
A) 1546 B) 1.935 C) 1022
D) 693 E) 2012
54.- Una célula se biparte cada hora; es decir en una hora se tienen dos células, en dos horas se tienen 4 células, en tres horas se tienen 8 células, etc. La función que describe el número de células que existen transcurridas t horas es:
A) ( ) 2f t t= B) ( ) 2f t t= C) ( )f t t=
D) ( ) 2tf t = E) ( ) 12tf t +=
Tarea sesión 4
1.- ¿Cuál de las siguientes funciones es impar?
( ) 5 3A) f x x x x= − + B) ( ) 5f x =
C) D) ( ) 3 26 2 3f x x x= − + + ( ) 2 5f x x= + E) ( )f x x=
2.- Una función algebraica es: 22A) xy += B) 3y x= C) ( )2log 1y x= +
D) ( )3cosy x= E)2 1xy e +=
3.- El dibujo de una función inyectiva es: A) B) C)
D) E)
38
4. - Indica cual de las siguientes funciones no es inyectiva:
A) ( ) 2
1f xx
= B) ( )f x x= C) ( ) 1f x x= −
D) ( ) 1f xx
= E) ( ) 3f x x=
5.- La función ( ) ( )sinf x x= en el intervalo2 2
xπ π− ≤ ≤ es:
A) Par B) ( )1Sec x− C) Decreciente D) Impar E) Par e Impar
6.- El dominio que debe tener la función para que sea
inyectiva es:
(
( ) ( )25 3f x x= − −
A) ];3−∞ C) B) ( )0;∞ [ )5;− ∞
D)[ )3;− ∞ E) ( ];5−∞
7.- La intercepción con el eje X de ( ) 6 4g x x= − + es:
A) { (– 2 , 0 ), ( 10 , 0 ) } B) { ( -10 , 0 ), ( 2 , 0) }C) { ( 3/2 , 0 ), ( 2 , 0 ) } D) { ( 0 , 0 ) } E) No tiene
8.- El dibujo de gráfica de la función ( ) 3 32
h x x= − es:
A) B) C)
D) E)
9.- Si el dibujo de gráfica de y = x es
entonces y = −x es :
A) B) C)
D) E) No existe Dibujo de gráfica
10.- La expresión que representa el dibujo de gráfica siguiente es:
A) h(x) = − +x 2 4
B) k(x) = − −x 2 4
C) g(x) = − +x 2 2
D) N(x) = − −x 2 2 E) f(x) = − −4 2x
11.- Al dibujar la gráfica de ( )( )2
3 33 2
2 2 2
si xf x x si x
x si x
⎧ < −⎪⎪ − ≤ ≤⎨⎪
− − <⎪⎩
queda: =
A) B) C)
39
D) E)
12.- Una computadora fue comprada por una compañía en $ 20,000 y se supone que tiene un valor de rescate de $ 2,000 al cabo de 10 años. Si el valor se deprecia linealmente de $ 20,000 a $ 2,000, entonces el valor de la computadora después de 6 años es:
A) $ 8,200 B) $ 9,200 C) $ 10,200 D) $ 11,200 E) $ 12,200
13.- Si el producto de un número por el triple de otro es 60 entonces la suma de estos dos números en función del primero es:
A) 2 20x
x−
B) 2 20xx
− −C)
2 20xx
− +
D) 2 20x
x−−
E) 2 20x
x+
14.- Una huerta de aguacates tiene 40 árboles por hectárea y el promedio de producción es de 300 aguacates por árbol en un año. Si por cada árbol que se plante por hectárea, además de los 40 que existen, la producción promedio por árbol disminuye en 5 aguacates. Entonces la función que
representa la producción al plantar “n” árboles adicionales es ( )P n =
A) B) 212,000 100 5n n+ − 212,000 500 5n n+ +
C) D) E) 12,000 300n+ 212,000 5n− 12,000 200n−
15.- EL área de la superficie de un cubo de hielo como una función de su volumen es S(V)=
A) 3V B) 3 26 V C) 232
V D) E) 6V 33 2V
16.- Para construir seis jaulas de un zoológico se necesita 4000 metros de enrejado. El diseño de las jaulas se muestra en la figura. Exprese el ancho xcomo función de la longitud y
A)y
x 4000= B) yx
431000 −= C)
yx
32000
=
D) y
x3
1000= E) 1000
43
−= yx
40
Tarea sesión 4
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
Aciertos:___________ de _________
Calificación:_______________
41
Sesión 5
Unidad I Funciones.
G. Operación con funciones.
1.- Dadas las funciones y ( )y f x= ( )y g x= que se muestran
entonces el dibujo de gráfica de la función ( ) ( )y f g x= + es:
A) B) C)
D) E)
Sea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4 , 3, 7 , 5,2 , 7,1 , 8,4 , 10,1f = − − y
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,2 , 5,0 , 7, 2 , 8,7 , 9, 10g = − − Contestar 2 – 6
2.- El dominio de f g+ es:
A) { }3,5,7,10 B) { }2,7 C) { }3,5,7,8 D) { }7,10 E) { }2,4,7
3.- La función f g− es:
A) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 2, 7 , 2,0 , 1, 6 , 1,14 , 10,1− − − − − − − −
B) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0, 9 , 0,2 , 0,3 , 0, 3− −
C) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,9 , 5,2 , 7, 3 , 8,3−
D) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3, 9 , 5,2 , 7,3 , 8, 3− −
E) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4 , 3, 9 , 5,2 , 7,3 , 8, 3 , 10,1− − −
4.- Los elementos de la función f gi son:
( )A) ( ) ( ) ( ) ( ){ }6,8 , 15,0 , 35, 4 , 56,7 , 72, 40− −
B) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3, 14 , 5,0 , 7, 2 , 8,28− −
C) ( ) ( ) ( ) ( ){ }9, 14 , 25,0 , 49, 2 , 64,28− −
D) ( ) ( ) ( ) ( ){ }6,8 , 15,1 , 35,2 , 8, 40−
E) ( ) ( ) ( ){ }3, 14 , 7, 2 , 8,28− −
5.- Los elementos del rango de la función fg
son:
A) 7 1 4,0, ,9 2 7
B) ⎧ ⎫− −⎨ ⎬⎩ ⎭
2 7, 2,7 4
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
C) 1 14,0, ,7 5
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
D) 7 1 4, ,2 2 7
⎧ ⎫− −⎨ ⎬⎩ ⎭
E) 3 1 7 9, , ,2 2 2 10
⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭
6.- La función f g es:
( )A) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4 , 5, 7 , 7,2 , 8,1 , 9,4−
B) ( ) ( ) ( ){ }3,4 , 8,1 , 9,1 C) ( ) ( ) ( ) ( ){ }10, 10 , 5,1 , 2,7 , 7, 10− − −
D) { } E) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,3 , 1,8 , 2,7 , 1,8
7.- Si ( ) 13 1
f xx
=−
y ( ) 1g xx
=− calcular ( )( )f g x− =
A) 2
4 13
xx x−−
B) 2
13x x−−
C) 3x
x− − D)
1 3x
x− E) 2
1 23
xx x−−
42
8.- Sean ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,6 , 2,8 , 3,7 , 5,1 , 6,9f = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,2 , 3,0 , 4,7 , 5, 3 , 6,1g= − y
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0, 2 , 1, 4 , 2,1 , 3,7 , 5,0 , 6,4h = − − . La operación f g
h−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
, es
la función:
A) ( ) ( ) ( ){ }0, 2 , 3,1 , 6,2− B) ( )1 3 100, , 3, , 5, 6, 42 2 3
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
C) ( ) ( ) ( )1 40,0 , 1, 2 , ,0 , 0, , 0,82 7
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
D) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0, 2 , 3,1 , 5,0 , 6,2−
E) ( ) ( ) ( ) ( )1 40,0 , 1, 2 , ,0 , 0, , 0,0 , 6,02 7
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
9.- Si ( )1
xf xx
=+
y ( ) 2
21
xg xx
=−
.Calcular f g+
A) 1
xx −
B) 3x− C)2
2
31
x xx+−
D) 2
32
xx x+ −
E) 2
32x −
10.- Si ( )1
xf xx
=−
y ( ) 2
21
xg xx
=−
.Calcular g f−
A) 2
xx x−−
B) 2
2
31
x xx−−
C) x D) 2x E) 1
xx−+
11.- Si ( ) 23f x x= y entonces( ) 2g x x= − ( )( )1f g× − es:
A) 27 B) 0 C) –9 D) 9 E) –1
12- Si y , entonces xxxf 64)( 5 −= xxg 2)( = =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)()()(
xgxfx
gf
A) B) C) D) E) 42 3 −x 32 4 −x 42 4 −x 32 4 +x 34 −x
13.- Para ( )1
xf xx
=−
y ( ) 21g x x= + calcular ( )( )2f g+ =
A) 5 1+ B) 2 C) 3 D) 5 2+ E) 5
14.- Si y 12)( 2 += xxf xxg =)( , )()())(( xgxfxgf ⋅=⋅ es:
A) B) C) D) E)12 2 +x xx +32 22x xx +22 12 +x
15.- Si ( )f x x= y 2( ) 1g x x= + entonces la operación
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x=i i es:
A) x x+ B) 5x x+ C) 3 1x +
D) 5x x+ E) 3 1x +
16- Si ( ) 2f x x= y 1( )g xx
= entonces la operación
( )( ) ( )( )
f xf g x g x÷ = = es:
A) 5x B) 1x x
C) 3x D) 3
1x
E) 7x
17.- Si ( )f x x= , ( ) 2
2 00
x si xg x
x si x⎧ <
= ⎨≥⎩
y
6( )
2 24 2
6
x si xh x si x
x si x
⎧ ≤ −⎪= − − < ≤⎨⎪− <⎩
entonces ( )( )4f g h+ =i
A) -40 B) -72 C) -64 D) 40 E) -62
18.- Dadas las funciones 2 2 1( ) x xf x e − += y 1( ) xg x e −= , entonces
( ) ( )1f g⋅ =
43
A) B) C) 0 D)1 e 1− E) 2e
19.- Si f(x)= 2 1x xe − + y 2 1( ) xg x e += entonces ( )(1)f
g es.
A) B) C) 0 D) -1 E) 1e 2e−
20.- Si , entonces ( ) 23 8 4f x x x= + −( ) ( )f x h f x
h+ −
es:
A) 216 6 8 3 8x xh h h
h+ + + −
B) 6 3 8x h+ + C) 3 8h+
D) 6 3 1x h+ + E) 3 3 8x h+ +
21.- Dada la siguiente tabla x 1 2 3 4 5 6
F(x) 3 1 4 2 2 5G(x) 6 3 2 1 2 3
Calcular ( )( ) ( )( ) ( )( )6 1 3f g f f g f+ − =
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
22.- Si entonces ( ) 23 1f x x= − ( )23 1f x − =
A) B) C) 4 29 18 2x x− + 4 227 18 2x x− + 427 9x +
D) E) 4 227 18 3x x− + 29 4x −
Sea ( ) 3 1f x x= + , ( ) 2
3g xx x
=−
0,1x ≠ y ( ) 3 2h x x= +
23
x ≥ − Contestar 23-25
23.- La composición de es:( )( )g f x
A) 2
39 2x +
B) 2
13x
C) 2
13x x−
D) 2
39 3 2x x+ +
E) 2
13x x+
24.- La composición de ( )( )h f x es:
A) 9 2x + B) 3 1x + C) 9 5x + D) 3 1x + E) 3 2x +
25.- El valor de ( ) 12
f g ⎛ ⎞⎜ ⎟ es: ⎝ ⎠
A) 173
− B) –35 C) 2
11D) 1 E)
45
26.- Sean 2( ) 1f x x= − y ( ) 3 5g x x= + , encuentra ( )( ) ( )( )f g x f g x=
A) B) 29 30 24x x+ + 29 30x x+ C) 29 24x −23xD) 2+ E) 29 24x +
27.- Si ( )f x x= y ( ) 2 1g x x= + entonces ( )( )f f x =
A) 4 x B) 1x + C) 2 1x + D) 2x E) x
28.- Si ( )( )25 3
2 2312
x xx
g xx x x
⎧ −⎪ ≤⎪= ⎨⎪ + − >⎪⎩
entonces ( )( )1g g − es:.
A) 1 y 5 B) 7 C) 0 D) 52
E) 3
29.- Si ( ) 3h x x= − y ( ) 22 5g x x= + entonces ( ) ( )g h x es:
A) B) 2 2x + 22 2x + C) 22 8x +2 11xD) − E) 2 1x −
30.- Si ( )f x x= y ( ) 2 1g x x= + entonces ( )(x)g f
A) 1x + B) x C) 1x + D) 3x x+ E) 2x −
44
31.- Si y ( ) 2g x x= − ( ) 2 4h x x= − entonces ( ) ( )h g x es:
A) 2 4 8x x− − B) 2 4x x− C) 2 2x x−2) E) D 2 6x − 4x +
32.- Dadas y ( ) ( )23f x x= − ( ) 5g x x= − , calcule ( )( )g f x
A) 3 5x − − B) 4x − C) ( )28x −
D) E) 4x + 8x −
33.- Dadas las funciones ( ) 2f x x= y ( ) 1g xx
= calcular ( f g )(x).
A) 1x
B) x C) x D) 1x
E) xx
34.- Dadas ( ) 5f x x= − y calcular ( ) 2 1g x x= − ( )( )g f x
A) B) 2 10 24x x− + 2 6x x+ − C) 3 5x −
D) E 2 24x x− + ) 2 6x −
35.- Si , ( ) 2 5f x x= − ( ) 5g x x= + y ( ) 2h x x= entonces la función
composición es:( )( )h g f x
A) 2 10x + B) 2x C) 22 10x + D) 2 10x− E) x
36.- Sean y , encuentra( ) 7h x = 2( ) 1f x x= − ( ) 3 5g x x= +
( )( ) ( )( )( )h f g x h f g x=
A) B) 29 30 24x x+ + 29 30x x+ C) 29 24x −2D) 3 2x + E) 7
37:- Si ( ) 1f x x= + y ( ) 3g x x= − calcula la composición e
identifica su dominio
( )
g f
A) ( ) 2g f x x= − , : 2Df x >
B) ( )( ) 4g f x x= + , : 4Df x > −
C) ( )( ) 4g f x x= − , : 4Df x ≥
D) ( )( ) 2g f x x= − , : 2Df x ≥
E) ( )( ) 2g f x x= − , : 2Df x ≥ −
38.- Dadas ( ) 2f x x= , ( ) 2g x x= y ( ) 1h x x= + calcule
( ) ( )( )( )f g f h x− .
A) B) ( )21x− 2 2 1x x− + C) 2 1x −
D) ( ) ( )3 1 1x x+ − E) 23 2 1x x+ +
39:- Calcula la composición f g e identifica su dominio, si ( ) 1f x x= + y
( ) 3g x x= −
A) ( )( ) 2f g x x= − , : 2Df x ≥
B) ( )( ) 3 1f g x x= − + , : 3Df x >
C) ( )( ) 3 1f g x x= − + , : 4Df x ≥
D) ( )( ) 2f g x x= − , : 2Df x >
E) ( )( ) 3 1f g x x= − + , : 3Df x ≥
40.- Si ( ) 2 5f x x= − y ( )( ) 4 13f g x x= − + entonces ( )g x =
A) 2 4x− + B) 3 4x − C) 7x− −
D) 5 3x− E) 2 9x− +
45
41.- La función tal que " "g ( )( ) 24f g x x= siendo ( ) 2 6f x x= + es
( )g x =
A) 4 6x − B) C) D) 48 3x − 24 5x + 44 5x − E) 24 3x +
42.- Si ( ) ( )23 cos 2F x x= + podemos escribirlo como una composición de
tres funciones, tal que ( ) ( )( ) ( )( )( )F x f g h x f g h x= =entonces las funciones son:
A) ( ) ( ) ( ) ( )2 3cos , 1,f x x g x x h x x= = + =
B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 , 1 , cosf x x g x x h x x= = + =
C) ( ) ( ) ( ) ( )23 , 1, cosf x x g x x h x x= = + =
D) ( ) ( ) ( ) ( )2 3cos , 1,f x x g x x h x x= = + =
E) ( ) ( ) ( ) ( )2 3cos 1 , ,f x x g x x h x x= + = =
43.- Si ( ) ( )( )
3 cos 2 1cos 2 1
xF x
x− +
=+
podemos escribirlo como una composición
de tres funciones, tal que ( ) ( )( ) ( )( )( )F x f g h x f g h x= =entonces las funciones son:
A) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 1, cos , xf x x g x x h xx−
= + = =
B) ( ) ( ) ( ) ( )3 , cos 1, 2xf x g x x h x xx−
= = + =
C) ( ) ( ) ( ) ( )3 , cos , 2 1xf x g x x h x xx−
= = = +
D) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 , cos 1, xf x x g x x h xx−
= = + =
E) ( ) ( ) ( ) ( )3 , 2 1, cosxf x g x x h x xx−
= = + =
44.- Si ( ) ( )( )R x f g h x= donde ( ) ( )( )2ln cos 5R x x= − entonces
( )g x =
A) 5x − B) ( )cos x C) ( )ln x D) ( )2ln x E) 2 5x −
H. Función Inversa.
45.- Si ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 2,5 , 3,2f = y ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,3 , 3,4 , 4,2 , 5,1g =
entonces determina ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 14 3 1f g g f f f− − − −− + =
A) -2 B) 4 C) -3 D) 0 E) 5
46.- El dominio de la función inversa de
( ){ }, / 3 3, 1 2f x y y x x= = − − ≤ ≤ es:
A) [ ]3;3− B) [ ]5;3− C) [ ]6;3− D) [ ]1;2− E) ( );−∞ ∞
47.- Si ( ) 2f xx
= entonces su inversa es ( )1f x− =
A) 2x
B) 24x C) 2
4x
D) 22x E) 2
4x
48.- La función inversa de 2 3( )
5xf x +
= es
A) ( )1 3 25
xf x− += B) ( )1 2 3
5xf x− −
=
C) ( )1 3 52
xf x− += D) ( )1 5(3 2)f x x− = − E) ( )1 5 3
2xf x− −
=
49.- Dada la función ( ) 2 3f x x= − ; con . Hallar la expresión que
define a su función inversa.
( )
0x ≥
A) 1 3f x x− = − B) ( )1 3f x x− = +
C) ( )1 3f x x− = + D) ( )1 3f x x− = −
E) ( )1 3f x x− = − −
46
50.- La función inversa de la función ( ) 32 3f x x= + − es:
A) B) ( ) ( )1 33 2f x x− = + − ( ) ( )1 38 3f x x− = + +
C) D) ( ) ( )1 32 3f x x− = − − ( ) ( )1 38 2f x x− = + −
E) ( ) ( )1 32 3f x x− = − − −
51.- Si 1( ) 2 xf x e −= − ; la expresión que define a su función inversa es:
( )A) B) 1( ) ln 2 1f x x− = − − ( )1( ) 1 ln 2f x x− = − −
C) ( )( )1( ) ln 2f x e x− = − D) ( )1( ) 1 ln 2f x x e− = + −
E)1( ) ln
2ef x
x− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
52.- Si ( )1( ) 2 3 xf x −= − ; la expresión que define a su función inversa es:
A) − B) ( )13( ) log 2 1f x x− = − ( )1
3( ) 1 log 2f x x− = − −C) 1+ D) ( )1
3( ) log 2f x x− = − ( )13( ) 1 log 2f x x− = − −
E) ( )13( ) log 2 1f x x− = − −
53.- Si ; la expresión que define a su función inversa es:( )( ) 4 ln 1f x x= + −
A) 1 1( ) 4 xf x e− += − + B) 1 4( ) 1 xf x e− −= +C) 1 1( ) 4 xf x e− −= + D) 1( ) 3 xf x e− = +E) 1 1( ) 4 xf x e− += − −
54.- Si el dibujo de gráfica de y = f(x) es entonces y = f-1(x) es :
A) B) C)
D) E) No existe Dibujo de gráfica
55.- Si una función ( )y f x= tiene un dibujo de gráfica
Entonces el dibujo de su función
inversa ( )1y f es:x−=
A) B) C)
D) E)
47
Tarea sesión 5
1.- Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 2,5 , 3,7 , 4,11 , 5,13 , 6,17f = y
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2, 5 , 0,4 , 2,3 , 4,2 , 6,1 , 8,0g = − − entonces f g+ =
A) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 2 , 2,9 , 5,10 , 8,13 , 11,14 , 14,17− −
B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,8 , 2,1 , 5,4 , 8,9 , 11,12 , 14,17−
C) ( ) ( ) ( ){ }2,8 , 4,13 , 6,18 D) ( ) ( ) ( ){ }2,2 , 4,9 , 6,16
E) ( ) ( ) ( ){ }0,2 , 0,9 , 0,16
2.- Si ( ) 2
2f xx
=− y ( ) 3
7g xx
= calcular ( )( )f g x− =
A) 5
14x−
B) 3
2 7xx+
− C) 3
5
2 7xx+
− D) 6
14x−
E) 3
2 7xx
− +
3.- Si ( ) 2f x x x= + y ( ) 21
g xx
=−
calcular ( ) ( )2f g− =
A) 8 B) 2 C) 6 D) 4 E) 0
4.- Si ( ) 22f x x= y entonces2( ) 6 4g x x x= − ( )g x
f⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
es:
A) 3 2
xx −
B) C) 3 2x − 3 2xx−
D) 2x− E) 3 2x−
5.- Dadas las funciones ( ) 23f x x= y ( ) 24g x x= , calcular
( ) ( )f x g x÷ =
A) 34 B)
34x
C) 3
4x D)
434x
E) 234
x
6.- Dadas las funciones ( ) 2 3f x x= + y ( ) 1g x x= − , calcular
( ) ( )f x g x⋅ = .
A) 22 3x x+ − B) 22 5 3x x+ + C) 22 5 3x x− +D) 22 3x x− − E) 2 2 3x x+ −
7.- Si 1( )f xx
= y 2( )g x x= entonces ( )(1)f g− =
A) 31 x
x+
B) 0 C) 31 x
x−
D) 2 E) 1
8.- Sea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0 , 2,7 , 3,8 , 4,5 , 5,3 , 7, 4f = − − y
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,1 , 2,7 , 2,4 , 3, 5 , 4,2g = − − .
La operación ( )( )f g x (composición) es:
A) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 2, 4 , 2,5 , 3,3 , 4,7− − B) ( ) ( ){ }1,1 , 5, 5− −
C) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,7 , 3, 5 , 4, 7− − D) ( ) ( ) ( ){ }2,28 , 3, 40 , 4,10−
E) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0 , 4, 49 , 6,32 , 12, 25 , 20,6− − −
9:- Si f(x) = x – 5 , g(x) = 2 1x − entonces ( f g )(x) es.
A) 2x B) 6x − C) 2 2x − D) 3 6x − E) 2 6x −
10.- Dadas ( ) 14
f xx
=−
y ( ) 2
1 2g xx
= + calcule ( )( )g f x
A) B) ( )24 2x − +2
1 24x+
− C)
2
21 2x
x− D)
( )21 2
4x+
− E) 2x −
11.- Dadas ( ) 2f x x= , ( ) 1g x x= + y ( ) 3h x x= calcule
( )( )( )f h g x− .
A) 24 4 1x x− − B) ( )22 1x − C) ( )22 1x +
D) 24 1x + E) 22 4 1x x+ +
48
12.- Si ( ) 22 5 3f x x x= − + , entonces ( ) ( )f x h f x
h+ −
es:
A) 210 4 2 6x xh h
h− + + +
B) 2 1x h+ − C) 4 2 5x h+ −
D) 2 5h − E) 2 2 5x h+ −
13.- Si ( ) 2 6f x x= + y ( )( ) 24f g x x= entonces ( )g x =
A) 22x x+ B) C) 48 3x − 416 6x −
D) 2 1x + E) 4 2x +
14.- Si donde( ) ( ) ( )N x f g h x= ( ) 13 5
N xx
=−
entonces
( )g x =
A) 1x
B) 1x
C) 3 5x− D) 1
2x E) 5x −
15.- Si 2 5( )
3xf x −
= ; la expresión que define a su función inversa es:
A) 1 2 5( )3
xf x− += B) 1 3 5( )
2xf x− +
=
C) 1 3 5( )2
xf x− −= D) E) 1( ) 5(3 2)f x x− = − 1 3 2( )
5xf x− +
=
16.- Dada la función ( ) 3f x x= + ; con . Hallar la expresión que
define a su función inversa.
0x ≥
A) ( )1 3f x x− = − B) ( )1 2 3f x x− = −
C) D) ( )1 2 9f x x− = + ( )1 3f x x− = − E) ( )1 2 9f x x− = −
17.- Si 5( ) 3 2xf x −= + ; la expresión que define a su función inversa es:
A) ( )12( ) 5 log 3f x x− = − + + B) ( )1
2( ) 3 log 5f x x− = + −
C) ( )12( ) log 2f x x− = − − D) ( )1
2( ) 5 log 3f x x− = + −
E) ( )12( ) log 2f x x− = +
18.- Si ( )3( ) 2 log 1f x x= − − ; la expresión que define a su función inversa
es:
A) 1 2( ) 3 1xf x− −= − B) 1 2( ) 1 3xf x− −= −C) 1 2( ) 3 1xf x− −= + D) 1 2( ) 3 1xf x− −= −E) 1 2( ) 1 3 xf x− −= −
19.- Si el dibujo de gráfica de y = f(x) es entonces y = f-1(x) es :
A) B) C)
D) E)
49
Tarea sesión 5
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
Aciertos:___________ de _________
Calificación:_______________
50
Sesión 6
Unidad III Límite de una función.
A. Límites unilaterales.
1.- Dado el dibujo de la función, Determina
( )lim3
f xx
=→
A) -5 B) 1 C) 5 D) 0 E) -3
2.- El ( )lim
2f x
x −→ indicado en la siguiente figura de la grafica es:
A) 1 B) No existe C) 2 D) 0 E) 0.5
3.- Considerando la siguiente gráfica, determina ( )1x
Lim f x−→
A) 2 B) no existeC) 1− D) 4E) 4 y 1−
4.- Sea la función ilustrada
Los valores de los límites ( )
2Lim f x
x −→ y
( )4
Lim f xx +→
son respectivamente :
A) 2 y 2 B) 1 y 4 C) 2 y 1 D) 3 y 1 E) Ninguna
5.- Si el dibujo de gráfica ( )y f x= es
entonces ( )lim
3f x
x +→ es:
A) 5 B) −∞ C) 2 D) ∞ E) No existe
51
6.- Indica la opción donde ( )
0
lim f xx x→
existe:
A) B) C)
D) E)
7.- Si ( )2 1
2 1 1x si x
f xx si x
⎧ − < −= ⎨
− + ≥ −⎩ entonces el
( )lim1
f xx
=→ −
A) -1 B) No existe C) 0 D) 1 E) 3
8.- Si ( ) 2 11
x si xf x
x si x⎧ >
= ⎨≤⎩
entonces ( )lim
1f x
x −→ es:
A) -1 B) 2 C) 1 D) ∞ E) No tiene
9.- Si 3 2
( )3 2x si x
f xx si x
+ ≤ −⎧= ⎨ − − <⎩
, entonces ( )2
limx
f x+→−
es:
A) -1 B) 5 C) No existe D) 1 E) 0
10.- Sea f la función definida por 2
5 3
( ) 9 3 33 3
x si x
f x x si xx si x
+ < −⎧⎪⎪= − − ≤ ≤⎨⎪ − <⎪⎩
,
entonces ( )3
limx
f x−→−
es:
A) 1 B) 0 C) 2 D) No existe E) ∞
11.- Sea f la función definida por 2
5 3
( ) 9 3 33 3
x si x
f x x si xx si x
+ < −⎧⎪⎪= − − ≤ ≤⎨⎪ − <⎪⎩
, entonces
( )3
limx
f x+→−
es:
A) 9 B) 0 C) 2 D) 1 E) No existe
12.- El lim
0x
x x+→ es:
A) 0 B) 1 C) No existe D) – 1 E)∞
13.- El lim
0
xx
x −→ es:
A) No existe B) 1 C) 0 D) – 1 E) 2
14.- El lim
0x
x x→ es:
A) 0 B) 1 C) No existe D) – 1 E) ∞
15.- El límite de la función ( 2)xx− cuando 0x +→ es:
A) 0 B) 1 C) No existe D) ∞ E) -1
52
16.- El lim
40
xx x+
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟→ ⎝ ⎠
es:
A) – 4 B) – 5 C) No existe D) – 3 E) ∞
17.- El
2lim
20
xx
x +→ es:.
A) 0 B) 2 C) No existe D) – 1 E) 1
B. Límites Determinados.
18.- El ( )2lim2 3
2x x
x− − − =
→ −
A) 0 B) – 11 C) 5 D) 11 E) -3
19.- El 2lim3 2 2
2x x
x− − =
→
A) 0 B) – 12 C) 6 D) 24 E) 16
20.- El
2
2
1lim2 3
1
xx x
x
+=
− +→
A) 12 B) 0 C) 1 D) No existe E) 1
2−
21.- El valor del 2lim
3 12 13
x xxx
− +−→ −
tiene valor:
A) 83
B) 53
− C) 133
D) 3115
E) 53
22.- El límite de la función ( )11
2
xef xx
−−= cuando “x” tiende a 1 es:....
A) 0 B) 12− C) 1
x D) No existe E) 12
23.- El ( )2
lim 2cos 1
0
x xe
x
+ −
→ es:
A) 0 B) 12 C) 1 D) No existe E) 2
24.- Si ( ) 3 03 0x si x
f xx si x
⎧ + <= ⎨
− ≥⎩ entonces
( )lim1
f xx
=→
A) 4 y 2 B) 0 C) No existe D) 2 E) 4
25.- El límite de 3sin(2 )y x= cuando “ x ” tiende a4π
es:
A) 0 B) 3 C) 4π
D) No existe E) ∞
26.- El límite de ( )22log 2 8y x= − cuando “x” tiende a – 6 es:
A) 8 B) – 8 C) 3 D) – 3 E) 13
27.- El valor de ( )23lim log 4 4
7
x x
x
+ +
→ es:
A) 2 B) No existe C) 0.95 D) 3 E) 2.19
28.- El valor de ( )3 24lim log 3 11
5
x
x
−
→ es:
A) 2 B) No existe C) 1.365 D) 1 E) 23
53
C. Límites Indeterminados (0/0)
29.- El límite de la función 2
2
7 214
x xyx x−
=+
cuando x tiende a cero es:
A) 12
B) 2 C) 1
2−
D) – 2 E) 0
30.- El
2 1lim1
1
xx
x
−−
→ es:
A) -2 B) -1 C) 0 D) 12
E) 2
31.- El limite ( )( )
2
2 1 1x x
x x−
+ −cuando 1x → es:
A) 12
B) 0 C) 1 D)No existe E) 2
32.- El valor de
( )( )2
2
1 2 3lim
2 11
x x xx x
x
− + −
− +→
es:
A)12
B) 3 C) 4 D) 1 E) 2
33.- El valor de
2
2
5 6lim12
3
x xx x
x
+ +− −
→ − es:
A)65
B) 17
C) 67
D) -1 E) -5
34.- El 2
2
lim 2 3 22 16 6
t tt t t
− −→ − + −
es:
A) 0 B) 12
− C) 1 D) No existe E) 12
35.- El límite de la función x
xxf−−
=1
1)(3
, cuando 1→x es:
A) ∞ B) -3 C) 3 D) 2 E) 0
36.- El limite
3 8lim2
2
xx
x
−=
−→
A) 0 B) 8− C) 10− D) 12 E) 10
37.- El
3
4
8lim16
2
xx
x
+−
→ − tiende a:
A) −38
B) 12
C) 43
D) 0 E) 8
38.- El 4
23
27lim3x
x xx x→
−−
es igual a:
A) 29 B) 3 C) 9 D) 27 E) 81
39.- El 2
23
12lim9x
x xx→
+ −−
es igual a:
A) 76− B) 6
7− C) No existe D) 67 E) 7
6
40.- Calculando el valor de 2
21lim
42
xx
x
−=
−→
.
A) 0 B) 8 C) 12 D) 4 E) 1
8
54
41.- Calcula el valor de 25
5 1lim
25x
xx→
−
− es:
A) 50 B) 150 C) 1
50− D) -50 E) No existe
42.- Calculando el valor de 2
31lim
93
xx
x
−=
−→
A) 0 B) 118 C) 6 D) 1
3 E) 18
43.- El 2
2
16 22 3 3lim 24 8 21x x si xx x
+ −→ −
− − es:
A) 114− B) No existe C) 0 D) 13
4 E) 1310
44.- El ( ) 13 4 3lim 2
0
x x x
x
−+ =
→..
A) 2 B) 12 C) 4 D) 3
2 E) 23
45.- El límite de ( )4 3 23 6 1
1x x x xg x
x+ + − +
=−
, cuando 1x → es:
A) 103
B) 2π
C) 2 3 D) 7 E) No existe
46.- El 4 3 2
2
3 2 8 16lim2x
x x x xx→
− + − +−
es igual a:
A) 4 B) Indefinido C) 14
− D) 12
E) 3
47.- El
4 3 2
4 3 2
3 2 7 3lim5 6 4 12
3
x x x xx x x x
x
− + − +− + + −
→ es igual a:
A) 2513
− B) Indefinido C) 3213
D)6331
E) 2
48.- El 2
2
lim 93 2 7 3
xx x x
−=
→ − + +
A) 65
− B) 65
C) 65
D) 6
5E) No existe
49.- El
1lim1
1
xx
x
−−
→ es:
A) 2 B) 0 C) ∞ D) 12
E) -2
50.- El limite de 3( )9
xf xx
−=
−cuando 9x → es:
A) 16 B) 0 C) -6 D) 1
12 E) 1
51.- El 2 6lim
22
xx
x
− +=
+→ −
A) 14− B) 2
5− C) No existe D) – 2 E) 0
52.- El 12 3lim
33
xx
x
+ −=
+→ −
A) – 3 B) 23 C) No existe D) 1
6 E) 0
55
53.- El lim 2 2
0x
x x+ −
=→
A) 2− B) 2 2 C) 4 2 D) 12
E) 2
4
54.- El 2 31
5 6limx
xx x→
+ −−
es:
A) 1
2 5 B)
612
− C) No existe D) 1
2 6E) 2 6
55.- El limite 5 7
2x
x+ −−
cuando 2x → es:
A) 1
2 7−
B) 0 C) 17
D) 37
E) 7
14
56.- El 0
3 3limx
xx→
+ − es:
A) 1
2 6 B)
13 2
C) 3
6D) 6 3 E) 2 3
57.- El 25
44 7lim25x
xx→
+ −−
es igual a:
A) 1
10− B) Indefinido C)
1140
− D) 1
10E) 0
58.- El
2
2
4lim3 5
2
xx
x
−
− +→
es igual a:
A) 0 B) ∞ C) 6 D) 53
E) 12
59.- El 2
23
1 8lim9x
xx→
− −−
es igual a:
A) 1
2 8 B)
28
− C) Indefinido D) 1
6 2−
E) 1−
60.- El
2 2lim3 3
6
xx
x
− −− +
→ es igual a:
A) 75
− B) Indefinido C) 32
− D) 34
E) 3
61.- El ( )2 22 2
lim
0
hh
h
+ −
→
es:
A) 2 B) 1 C) 0 D) 4 E) No existe
62.- Si ( ) 32
xf xx−
=−
entonces ( ) ( )lim
0f x h f x
h h+ −
=→
A) ( )2
52x
−−
B) ( )2
12x
−−
C) ( )2
12x −
D) 2
1x
E) ( )2
52x −
63.- El ( ) ( )lim
0f x h f x
h h+ −
→si ( ) 2 3f x x= + es:
A) – 2 B) 3 C) 1 D) 0 E) 2
56
Tarea sesión 6
1.- Dado el dibujo de la función, Determina
( )lim3
f xx
=→ −
A) -5 B) 1 C) 5 D) –3 E) 0
2.- Considerando la siguiente gráfica, determina ( )1x
Limf x+→−
A) no existe B)1C) 3 D) 2− y1E) 2−
3.- Indica la opción donde ( )
0
lim f xx x→
existe:
A) B) C)
D) E)
4.- El límite de la función ( ) 2 11
x si xf x
x si x⎧ >
= ⎨≤⎩
cuando 1x +→ es:
A) 1 B) 2 C) No tiene D) ∞ E) 0
5.- Si 3 2
( )3 2x si x
f xx si x
+ ≤ −⎧= ⎨ − − <⎩
, entonces ( )2
limx
f x−→−
es:
A) -1 B) 5 C) 1 D) No existe E) 0
6.- El lim 3
0
xx
x −
−
→ es:
A) No existe B) -3 C)- 4 D) -5 E) ∞
7.- El 2lim
112
xxx−
=→ −
A) 32
B) 34
− C) 23
D) 1 E) 23
−
8.- El límite de la función ( ) 1
2x
xf xe −
−= cuando “x” tiende a 1 es:
A) 1 B) 1e C) x D) No existe E) 0
57
9.- El límite de ( )2tany x= cuando “x” tiende a 3π es:
A) 3 B) 12 C) –4 D) –3 E) 1
3
10.- El ( )3lim log 5 2
5x
x+
→
A) 3 B) 2 C) 0 D) 5 E) 6
11.- Si 2
2
2( )2
x xf xx x−
=+
, su límite cuando “ x ” tiende a cero es:
A) No existe B) ∞ C) 0 D) 1 E) – 1
12.- El límite de 2
2
24
x xx+ −−
cuando “x” tiende a – 2 es:
A) No existe B) ∞ C) 34
D) 3
4−
E) 0
13. - El limite 3
11x
x−−
cuando 1x → es:
A) ∞ B) 0 C) 1− D) 13
− E) 3
14.- El 3
2
lim 11 1
xx x
−=
→ −
A) No existe B) 32
C) −∞ D) ∞ E) 0
15.- Encuentra el valor de 26
61lim
36x
xx→
−
− es:
A) 2 B) 12
C) 172
− D) 72 E) 12−
16.- El
2
2
8 14 3lim4 4 15
32
x xx x
x
+ +− −
→ − es:
A) 0 B) 72 C) No existe D) 5
2− E) 58
17.- El lim 1
1 1x
x x−
=→ −
.
A) 12
B) −∞ C) 12
D) ∞ E) 0
18.- Calculando el valor de 2 4lim
0
xx
x
− −=
→.
A) 2 B) -2 C) 0 D) 14 E) 1
19.- El 2 3
lim 4 51
xx x x
+ −=
→ −
A) 1
2 5− B)
15
− C) No existe D)15
E) 5
10
20.- El límite 3
5 8lim3x
xx→
+ −−
es:
A) 38
B) 0 C) 18
D) 1
2 8− E)
28
21.- El ( )3 32 2
lim
0
hh
h
+ −
→
es:
A) 12 B) 3 C) 0 D) 6 E) No existe
58
22.- El ( )3 31lim
0
x h xh
h
⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦→
.
A) 23x B) 23 1x − C) 23 1x + D) 3x E) 23x−
21.- A B C D E
22.- A B C D E
23.- A B C D E
24.- A B C D E
25.- A B C D E
26.- A B C D E
Aciertos:___________ de _________
Calificación:_______________
Tarea sesión 6
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
59
Sesión 7
Unidad III Límite de una función.
D. Límites en el infinito
1.- El limite
2
2
3 7 9lim5 8 1x xx x
x
− +=
+ −→∞
.
A) 35
B) 9− C) −∞ D) 0 E) ∞
2.- El 4 2
4
5 3 2lim1 2x
x xx→∞
− −=
− es:
A) −∞ B) 52− C) 3
2 D) 5 E) 2−
3.- Calcula el 2
2
2 1lim2 7 2x
x xx x→∞
− +− +
A) 27 B) 1
7 C) 12 D) 1
7− E) 2
4.- El 2
2
lim 3 25
x xx x
⎛ ⎞− +⎜ ⎟→∞ −⎝ ⎠
es igual a:
A) ∞ B) 1 C) −∞ D) – 1 E) 35
5.- El valor del 2
2
lim 27 10x
x x x→∞ − + es:
A) ∞ B) 2 C) 1 D) 0 E) No existe
6.- El 4 3
5
5 8 6lim2 3x
x xx x→∞
− −=
− es:
A) ∞ B) 53− C) 0 D) 5
2 E) 3−
7.- Calcula el
5
3lim1x
xx→∞ +
A) ∞ B) 1 C) – 1 D) 0 E) −∞
8.- El 3 2
2
2 3 1lim3 2x
x x xx x→∞
− + +− +
es:
A) 0 B) ∞ C) 1 D) -1 E) x
9.- El valor del 2
lim 3 19 5x
x x+
→∞ − es:
A) 1 B) 32
C) 13
D) 34
E) 0
10.- El 2lim 4 2 3
5x x
x x− +
→∞ − + tiende a:
A) 4 B) 0 C) ∞ D) – 2 E) −∞
11.- El ( )2lim 9 2 3x x x
x
+ −
→∞ es:
A) 0 B) 32
C) 13
D) 52
E) 23
−
12.- Calcular ( )2 5xLim x x x→∞
− −
A) no existe B) ∞ C) 0 D) 25
E) ∞−
13.- Calcular ( )2 7xLim x x→∞
− −
A)∞ B) 7 C) ∞− D) 0 E) 27
60
14.- El ( )lim2 4x
x− − =
→∞
A) 6 B) 12
C) −∞ D) – 4 E) ∞
15.- El ( )lim3 5x
x− − =
→∞
A) 6 B) 12
C) −∞ D) – 5 E) ∞
16.- lim 5 23
5
x x
xx⎛ ⎞−
=⎜ ⎟→∞ ⎝ ⎠
A) 3 B) 1 C) ∞ D) 0 E) −1
E. Asíntotas Verticales y horizontales
17.- Las asíntotas horizontales y verticales de ( ) 2
15 6
f xx x
=+ −
son:
A) y = 0, x = -6, x = 1 B) y = 1, x = -6, x = 1
C) x = -6, x = 1 D) x = 6, x = -1 E) y = 0, x = 6, x = -1
18.- La función ( ) 2
4 912
xf xx x
+=
− − tiene asíntotas verticales:
A) 0, 1x x= = B) 3, 4x x= = − C) 2, 6x x= − =D) 2, 6x x= = − E) 3, 4x x= − =
19.- La función ( ) 2
52 15
xf xx x
−=
− − tiene asíntotas verticales:
A) 3, 5x x= = − B) 3x = − C) 15, 1x x= − =D) 15, 1x x= = − E) 3, 5x x= − =
20.- Si el dibujo de gráfica ( )y f x= es
entonces ( )lim f x
x →−∞ es:
A) −∞ B) 3 C) 2− D) ∞ E) No existe
21.- Los valores de ( )lim1
f xx −→ −
,( )lim2
f xx →
y ( )lim f x
x →−∞ son
respectivamente en la función ( )y f x= cuyo dibujo se muestra a
continuación:
A) 0, , 5∞ B) 2, ,Noexiste −∞ C) 3, , 4∞D) 2, , 5∞ − E) , ,Noexiste ∞ −∞
61
22.- La gráfica de la función 11
xyx−
=+
es:
A) B) C)
D) E)
23.- El dibujo de gráfica para ( ) 2
64xf x
x+
=−
tomando en cuenta las asíntotas
verticales 2x = y 2x = − y suponiendo( )lim
0f x
x=
→ ±∞ es:
A) B) C)
D) E)
24.- El dibujo de gráfica para ( ) 2
89xf x
x−
=−
tomando en cuenta las asíntotas
verticales 3x = y 3x = − y suponiendo( )lim
0f x
x=
→ ±∞ es:
A) B) C)
D) E)
25.- La gráfica de la función mostrada abajo, tiene asíntotas verticales:
A) x=0, x-2=0, x+1=0
B) x-1=0, x+2=0
C) x+1=0, x+2=0
D) x+1=0, x-2=0
E) x=0
62
26.- El dibujo de gráfica para ( ) 2
13
f xx x
=−
al determinar sus asíntotas
verticales x a= y calcular( )lim f x
x a+→( )lim f x
x a→ −, además
de( )lim f x
x →±∞ es:
A) B) C)
D) E)
27.- El dibujo de gráfica para ( ) 2
13
f xx x−
=+
al determinar sus asíntotas
verticales x a= y calcular( )lim f x
x a+→( )lim f x
x a→ −, además
de( )lim f x
x →±∞ es:
A) B) C)
D) E)
28.- La gráfica de la función ( ) 2 2 8xf x
x x=
+ − es:
A) B) C)
D) E)
29.- El dibujo de gráfica de la función ( )22 10 12
3x xf x
x− +
=−
es:
A) B) C)
63
D) E)
30.- Las asíntotas verticales de y = f(x) sí ( ) 12
f xx
=−
son:
A) x = -1 B) x= - 2 C) x=1 D) x=2 E) x=0
31.- Determina las asíntotas horizontales de la gráfica de la función
( )3
3 2
5 23 4 1
x xf xx x− −
=+ −
es:
A) 13y = − B) 3y = − C) 1
3y = D) 5y = −E) No tiene asíntotas horizontales
32.- La ecuación de la asíntota horizontal a la gráfica de la función
1224)( 2 +
=x
xf es:
A) 2−=y B) 0=y C) No tiene asíntota horizontal
D)21
−=y E)21
=y
33.- La ecuación de la asíntota horizontal a la gráfica de la función
12)(−
=x
xxf es:
A) 53
−=y B) 2=y C)No tiene
D) 2−=y E) 21
=y
34.- La asíntota horizontal de 2
2
2 4 3( )3 2x xf x
x x− +
=−
es:
A) 1y = − B) 23y = C) 2y = −
D) 34y = − E) 3y =
35.- Las asíntotas horizontales de ( )y f x= si 3( )
2xf x
x=
− son:
A) 3y = B) 2y = C) 2y = − D) 3y = − E) 0y =
36.- Las ecuaciones de las asíntotas horizontales de la grafica
2( )
1xf x
x=
+ son:
A) 1, 1y y= = − B) No tiene C) 1x =D) 1y = − E) 1, 1x x= = −
F. Continuidad de una función
37.- Determina el intervalo en que la función ( ) 29f x x= − es continua:
A) ( )3 ; 3− B) [ )3 ;− ∞ C) ( );−∞ ∞
D) [ ]3 ; 3− E) [ )3 ; ∞
38.- Determina los valores de x, para los cuales ( ) 2
17 6
xf xx x
+=
− + es
discontinua son:
A) 2, 3− − B) 6, 1− − C) 2, 4− D) 6, 1 E) 2, 3
39.- Los valores para los cuales ( ) 2
5 24
xf xx−
=−
es discontinua, son:
A) 2 ,05
B) 2 ,25
C) 2 ,25
− D) -2, 2 E) -2,0
64
40.- ( )2 10 24
6x xg x
x+ +
=+
es discontínua para el valor de x=.
A) 4 B) 0 C) – 6 D) – 4 E) 6
41.- Determina los valores de x para los cuales la función 92)( 2 −
−=
xxxf , es
discontinua
A) 92
=−=
xx
B) 32
==
xx
C) 3
3−==
xx
D) 4
2−==
xx
E) 99−=+=
xx
42.- Los valores para los cuales la función 2
3 4( )16
xf xx
−=
− es discontinua
son:
A) 4 ,03
B) 4 4,3 3
− C) 2, 2− D) 4, 4− E) 3, 3−
43.- Determina los valores de x para los cuales la función 67
1)( 2 +−+
=xx
xxg
, no es continua.
A) 6
7−==
xx
B) 1
2−==
xx
C) 67
=−=
xx
D) 16
==
xx
E) 16−=−=
xx
44.- La función ( ) 2
29xh x
x−
=−
es discontinua en:
A) Siempre es contínua B) x = 9 C) x = 0
D) x = -3, 3 E) x = -3
45.- Si ( ) 2
2 14 1x k si x
f xx si x
⎧ − ≤= ⎨
− >⎩ entonces el valor de “k” para que “f” sea
continua en x=1 es
A) 3 B) 0 C)-1 D) –3 E) 2
46.- Si ( )2
2
39 3
4 52
c si xxf x si x
xd si x
= −⎧⎪
−⎪= <⎨− +⎪
⎪ =⎩
entonces los valores c y d para
que la función sea continua en [ )3 ; 3− es:
A) 3, 2d c= = B) 4, 1d c= = C) 5, 0d c= =
D) 2, 0d c= − = E) 1, 1d c= = −
Tarea sesión 7
1.- El límite 2
2
2 62 7 1x xx x− +− +
cuando x →∞ es..
A) 0 B) 12 C) -2 D) 1
2− E) ∞
2.- El 3
2 3
5 1lim7 3 10x
xx x→∞
+=
− − es:
A) 12 B) 2 C) 1
2− D) -2 E) ∞
3.- El límite de 3
3( )1
xf xx
=+
si x →∞ es
A) 0 B) -1 C) 1/3 D) -1/3 E) ∞
4.- El límite indeterminado ( )2lim 2x x x
x
− −
→∞ es:
A) 1− B) 32
C) 0 D) 52
E) ∞
65
5- El límite indeterminado ( )2lim 2x x x
x
− −
→∞ tiende a:
A) −∞ B) 32 C) 1
2 D) 1 E) ∞
6.- El ( )5lim2 3x
x− − =
→ −∞
A) 23
B) – 3 C) 0 D) ∞ E) −∞
7.- El lim 4 3
4
x x
xx−
→∞ tiende a:
A) 1 B) 34
C) −∞ D) 0 E) 34
−
8.- Los valores de ( )lim f x
x →∞,
( )lim4
f xx →−
y ( )lim1
f xx +→ −
son
respectivamente en la función ( )y f x= cuyo dibujo se muestra a
continuación:
A) 4, , 3Noexiste− B) , , 2−∞ ∞ C) 4, , 2−∞D) 4, , 3Noexiste E) , ,Noexiste Noexiste∞
9.- La gráfica de ( ) 21
xf xx
=−
que muestra la asíntota vertical es:
A) x=2 B) x=1 C) x=0
D) x=-1 E) x=-2
10.- La gráfica de la función ( ) 2 2 8xf x
x x−
=− −
es:
A) B) C)
D) E)
66
11.- Determina las asíntotas horizontales de la gráfica de la función
( )3
3 2
2 13 4 1x xf xx x− +
=− −
es:
A) 13y = B) 3y = C) 1
3y = − D) 1y = −E) No tiene asíntotas horizontales
12.- Las ecuaciones de las asíntotas horizontales de la grafica de 2 9xy
x=
+son A) No tiene B) 1, 1y y= = − C) 1x = −
D) 1, 1x x= = − E) 1y =
13.- ( )2 2 15
5x xg x
x− −
=−
es discontinua para el valor de x=.
A) 0 B) 5 C) 3 D) – 5 E) – 3
14.- Los valores para los cuales ( ) 2
7 19
xf xx
−=
− es discontinua son:
A) 1 ,07
B) 1 ,37
C) 3, -3 D) 2 ,25
− E)1 , 37−
15.- Sea ( )2 3 2
2 2cx si x
f xcx si x
⎧ − ≤= ⎨
+ >⎩, el valor de c para el cual f es
continua en todo es:
A) 2 B) 1 C) 32 D) 1
2 E) 52
Aciertos:___________ de _________
Calificación:_______________
Tarea sesión 7
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
67
Sesión 8
Unidad III La derivada de una función.
A. Derivada de un polinomio
1.- La derivada de ( ) , 0f x mx b m= + ≠ es:
A) 1m
− B) –m C) b D) bm
− E) m
2.- La derivada de ( ) 2f x ax bx c= + + es:
A) 2x b+ B) 2ax b+ C) 22ax b+D) 2ax E) 2a b+
3.- La derivada de ( ) 23 2 6f x x x= − − es:
A) 3 2x − B) 6 2x − C) 26 2x −D) 26 2x x− E) 26 2 6x x− −
4.- La derivada del siguiente polinomio ( ) 1865341 234 −+−+= xxxxxf
A) 6109 23 +−+ xxx B) 12109164 23 −−+ xxx
C) 6109164 23 +−+ xxx D) 12109 23 −−+ xxx
E) 6109164 23 −+− xxx
5.- Deriva el siguiente polinomio ( ) 1165351 2345 −+−+= xxxxxf
A) 11121512 234 −+−+ xxxx B) xxxx 121512255 234 −+−
C) 11121512255 234 −+−+ xxxx D) xxxx 121512 234 +−+
E) 11121512 234 +−+− xxxx
6.- La derivada de ( ) 4 3 23 5 4 72 3
f x x x x= + − − es:
A) ( ) 3 2' 6 5 8f x x x x= + − B) ( ) ( )03 2' 6 5 8 7f x x x x= + − −
C) ( ) 3 212 13´ 88 9
f x x x x= + − D) ( ) ( )03 212 13' 8 7
8 9f x x x x= + − −
E) ( ) 3 2' 6 5 8 1f x x x x= + − +
7.- La derivada de ( ) 3 25 1 23 2
f x x x x π= + − − es:
A) ( ) 2' 5 2f x x x= + − B) ( ) 215 2' 23 2
f x x x π= + − −
C) ( ) 215 2' 29 4
f x x x= + − D) ( ) 2' 5 2f x x x π= + − −
E) ( ) 2' 5f x x x= +
8.- Si ( ) 1 22 3 4 1n nf x x x x−= − + − para n∈ entonces ( )xD f x =
A) ( )12 3 1 8nnx n x x− + − − B) ( )1 22 3 1 8n nnx n x x− −+ + +
C) 1 22 3 8n nx x x− −− + D) ( )1 22 3 1 8n nnx n x− −− − +
E) 1 2 22 3 3 8n n nnx nx x x− − −− + +
9.- Si ( ) 2 11 34
n n nf x x x nx −= − + para n∈ entonces ( )d f xdx
=
A) 2( 1) 2 21 38
n n nx nx n x− −− − B) 2( 1) 1 22 3n n nx nx n x− −− +
C) 2 2 1 2 21 32
n n nx nx n x+ − −− + D) 2 1 1 22 3n n n nx nx n x nx− −+ + −
E) 2 1 1 2 2 21 32
n n n nnx nx n x nx− − − −− + −
10.- La pendiente de la recta tangente a la curva 3 22 10y x x x= + − − en elpunto (-2,-8) es:
A) -3 B) -21 C) 19 D) 3 E) -8
68
11.- Si la recta tangente a ( )y f x= en (5 , -2) , pasa por el punto (–5,2)
entonces ( )5d fdx
tiene valor :
A) 52
B) 25
− C) 4
10D) -2 E) 1
12.- Hallar los puntos de la gráfica de ( ) 3 21 13
f x x x x= + − − en los que la
pendiente de la recta tangente a la función es -1.
A) { }0,2 B) { }1, 2 C) { }2, 2− D) { }0, 2− E) { }1, 2−
13.- Hallar el punto (x,y) de la función ( ) 2 6 3f x x x= − − donde su recta
tangente sea paralela a la recta con ecuación 2 5 0x y− + = es:
A) ( )2, 11− B) ( )4,37− C) 11 191,4 16
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
D) ( )3, 12− E) ( )4, 11−
14.- La curva 2 10y x= + tiene un punto P(x,y), en el cual la pendiente de larecta tangente es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva
22 6y x x= − en el punto Q(3,0). Las coordenadas de dicho punto son:
A) (3,19) B) (1,11) C) (-2,14) D) (10,10) E) (4,26)
15.- El dibujo de la función tal que ( )0 1f = , ( )´ 0 1f = − , ( )´ 3 0f = y
( )´ 5 2f = es :
A) B) C)
D) E)
16.- El dibujo de la función tal que ( )0 1f = − , ( )´ 0f indefinido= ,
( )´ 3 1f − = − y ( )´ 3 1f = es :
A) B) C)
D) E)
17.- Si el dibujo de la gráfica
( )y f x= es: 60O
45O
Entonces el dibujo de ( )´y f x= es : a b
A) B) C)
D) E)
69
B. Derivada de una expresión con exponentes negativos o fraccionados
18.- La derivada con respecto a x de f x xx
( ) = +71
77
7 es:
A) 68
149xx
− B) 66
1xx
+ C) 68
4949xx
−
D) 66
149xx
− E) 87
49xx
−
19.- La derivada con respecto a “ x ” de 66
1( ) 66
f x xx
= + es:
A) 57
1´ 36y xx
= − B) 55
1´y xx
= +
C) 57
36´ 36y xx
= − D) 55
1´ 66
y xx
= + E) 66
36´y xx
= −
20.- La derivada con respecto a “x” de ( ) 22
38f x xx
= + es:
A) ( ) 3
2' 16f x xx
= − B) ( ) 3
2' 16f x xx
= +
C) ( ) 3
6' 12f x xx
= + D) ( ) 3
3' 16f x xx
= − E) ( ) 3
6' 16f x xx
= −
21.- La derivada de ( ) 6 12f x x xx
π= − + es ( )d f xdx
=
A) 5 1122
xx
− B) 5 112xx
− − C) 2 5 12x xx
π − + D)
5 1122
xx x
π − − E) 2 1122
x xx
π − +
22.- La derivada de ( )21
342f x x a= − es ( )d f xdx
=
A) 3
12 x
B) 3412
x C) 3
418
x D) 34
12 x
E) 1
2x x
23.- La derivada de la función 11322 3y x x= + es:
A) 41
32´y x x−−
= − B) 21
32´y x x−−
= + C) 2132´y x x
−
= −
D)21
32´y x x−−
= − E) 2132´ 2 3y x x= +
24.- La derivada de la función 5 3
4 44 2y x x−= − es y´:
A) 434
352
xx x
+ B) 2 4 44 2x x x− C) 434
24 xx x
−
D) 2 4 4352
x x x+ E) 434
352
x xx
+
25.- Calcula la derivada de 7 34
8 7( )f xx x−
= + :
A) 74
2 3x x x
+ B) 4 7 3
2 3x x− C)
7 34
2 3x x x x−
−
D) 4 7 3
2 3x x+ E)
4 7 3
2 3x x x x
−
26- Al derivar 1
44xy
x= + se obtiene ( )d y
dx= .
A) 1
2 8x
x+ B)
122x
x x− + C)
18 8x
x+
D) 1 1
8 8x x x− + E)
1 12 2
xx
− +
27.- Al derivar 3
3
133xy
x= + se obtiene ( )d y
dx=
70
A) 3 3 2
1 19 9x x x
+ B) 3 2
118 x
C) 3 3 2
1 19 9x x x
− +
D) 3 3 2
1 13 3x x x
− + E) 3 3 2
1 1x x x
− +
28.- La derivada de 4 223 33 1 3( )
4 2 2f x x x x−= − − + es ( )´f x =
A) 3x− B) 1
33
1 13
xx
− + + C) 1 3
3
2 1xx
+ D) 1 133 3x x x−−− + + E) 3x−−
29.- La derivada de 37 49 4( ) 82
f x x xx
= − − es ( )´f x =
A) 5 33
228 6x xx x
− − B) 2 3 228 6x x xx x
− −
C) 2 3 228 6x x xx x
− + D) 5 33
828 3x xx
− +
E) 5 33
228 6x xx
− −
30.- La derivada de 37 43 8( ) 42
f x x xx
= − + es ( )´f x =
A) 5 33
414 4x xx x
− + B) 2 3 214 4x x xx x
− −
C) 2 3 414 2x x xx x
− − D) 5 33
214 2x xx
− −
E) 5 33
414 2x xx
+ −
31.- La curva y x= tiene un punto en el cual la pendiente de la recta
tangente a la curva es igual a 12 , tal punto es:....
A) ( )1 1,2 2 B) (1,1) C) (4,2) D) (0,0) E) ( )1 1,4 2
32.- La ecuación de la recta normal a la curva 2 1y xx
= − en el punto (-1,2)
A) –x+y-3=0 B) –x+3y-7=0 C) x+3y-5=0D) x-3y+1=0 E) x+y-2=0
C. Derivada de un producto ó división de funciones.
33.- La derivada de la función ( )( )2 35 6 1y x x= + + es ´y =
A) 4 225 18 10x x x+ + B) 4 215 18 10x x x+ +
C) 4 215 18 10x x x+ + D) 4 225 18 10x x+ +
E) 4 225 6 10x x+ +
34.- La derivada de 2
2 1y
x=
− es:
A) ( )2
42 1x
−−
B) ( )2
12 1x
−−
C) ( )
42 1x
−−
D) ( )2
42 1x −
E) ( )
42 1x −
35.- La derivada de la función 5 2
1xyx+
=−
es ´y =
A) ( )2
71x
−−
B) ( )2
71x
x −C)
71x
−−
D) 2
71x
−−
E) 2
72 1x x− +
71
36.- La derivada de 2 3( )4 5
xf xx
−=
+es ( )f x = .
A) ( )2
224 5x−
+B)
( )23
4 5x−
+C)
( )222 24 5
xx
−
+
D) ( )2
34 5x+
E) ( )2
224 5x+
37.- La derivada de la 2 3( )1 3
xf xx
+=
−es ( )f x =
A) ( )2
111 3x−
B) ( )2
71 3x−
− C)
( )211
1 3x−
−
D) ( )212 111 3
xx
− −
−E)
( )212 71 3
xx−
−
38.- La derivada de la función 1
1y
x−
=+
es ´y =
A)
( )21
1x + B)
( )21
2 1x x + C)
( )21
2 1x x +
D) ( )2
11x x +
E)
( )21
2 1x +
39.- La derivada de la función 5
13)(
+
−=
xxxf , es:
A) ( )
2
23 2 5´( )
5
x xf xx
− − +=
+ B)
( )2
22
3 2 5´( )5
x xf xx x
− − +=
+
C) ( )
2
23 2 5´( )
5x xf xx
− + +=
+ D)
( )2
22
3 2 5´( )5
x xf xx x
− + +=
+
D) ( )
2
22
3 2 5( )5
x xf xx x
+ +=
+
40.- La derivada de 2 2
2 2( ) c xf xc x−
=+
es ( )f x =
A)
( )2
22 2
4xc
c x+ B)
( )22 2
4x
c x+ C)
2
2 2
4xcc x+
D)
( )2
22 2
4xc
c x−
+ E)
2
2 2
4xcc x−+
41.- La derivada de ( )1( ) 2 52
xf x xx+⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠
es ( )f x =
A) 2x − B)( )
2
22 8 1
2x x
x+ −
+ C)
( )
2
24 5
2x x
x− −
+ D)
( )
2
28 12
x xx+ −
+ E)
( )
2
22 8 1
2x x
x+ +
+
42.- La derivada de la función 2
11
xyx
+=
+es ´y =
A) ( )( )
32 2
22
3 4 1
1
x x
x
+ −−
+B) ( )
( )
32 2
22
1
2 1
x x
x x
− −−
+C) ( )
( )
32 2
22
3 4 1
2 1
x x
x x
+ −−
+
D) ( )( )
32 2
22
1
1
x x
x
− −−
+ E) ( )
( )
32 2
22
2 3 4 1
1
x x x
x
− −−
+
D. Derivación aplicando la regla de la cadena
43.- Si 2uy = y 11
−+
=xxu , entonces dxdy / cuando 3=x es:
A) 4 B) 2− C) 18 D) 6− E) 4−
44.- Si 92 ++= uuy y 12 2−= xu , entonces dxdy / cuando 1=xes:
A) 11 B) 18 C) 8 D) 16 E) 10
45.- Si 3 24 10 3 7y u u u= + − − y4
3 5u
x=
−;
1dy
xdx = es:
A) 15 B) –87 C) 51614 D) –15 E) 87
72
46.- La derivada de la función ( ) ( )58 4f x x= − es:
A) ( ) ( )4´ 5 8 4f x x= − B) ( ) ( )´ 5 8 4f x x= −
C) ( ) ( )´ 64 16f x = − D) ( ) ( )4´ 40 8 4f x x= −
E) ( ) ( ) ( )4´ 5 8 4 8 4f x x x= − −
47.- La derivada de la función ( ) ( )10101 2 1f x x⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
es:
A) ( )91020 1 2 1x⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ B) [ ]920 2 1x + C) [ ]19200 2 1x +
D) ( ) ( )99 10200 2 1 1 2 1x x⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦
E) [ ]90200 2 1x +
48.- La derivada de la función ( ) ( )10103 5 1f x x⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
es:
A) ( )91050 3 5 1x⎡ ⎤+ −⎣ ⎦
B) [ ]950 5 1x − C) [ ]9500 5 1x −
D) [ ]19500 5 1x − E) ( ) ( )99 10500 5 1 3 5 1x x⎡ ⎤− + −⎣ ⎦
49.- La derivada de la función ( )( )
4
4
6 1( )
1x
f xx+
=−
es:
A) ( )
4
27
1 x−B)
( )228
1 x−C)
( )( )
328 6 11
xx+
−
D) ( )( )2
7 6 11
xx+
−E)
( )( )
3
5
28 6 11
xx+
−
E. Derivada de una función irracional
50.- La derivada de la función ( ) 2 2f x x x= + es:
A) 1
2 2x B)
22x
C)12
2x
x+ D)
2x
E) 1 12x x
+
51.- Si 1 2r θ= − entonces su derivada respecto a θ es:
A) 2'1 2
rθ
=−
B) 3
1'1 2
rθ
=−−
C) 2'1 2
rθ
=−−
D) 1'1 2
rθ
=−
E) 1'1 2
rθ
=−−
52.- Obtener la derivada de la función 2( ) 1 4f x x= +
A) 28 1 4x x+ B)2
41 4
xx+
C) 21 4
xx+
D) 2
81 4
xx+
E) 2
32 1 4
xx+
53.- Si 122
y xx
= + entonces y’ es igual a:
A) 3
1 1'2 (2 )
yx x
= + B)
( )31 1'2 2
yx x
= − C) 3
1 1'2 (2 )
yx x
= −
D)
( )32 2'2 2
yx x
= − E)
( )32 2'2 2
yx x
=− +
54.- Si 28 1
yx
=−
entonces y’ es igual a:
A)
( )32
8'8 1
yx
=−
B)
( )32
1'8 1
yx
=−
C) ( )32' 8 8 1y x= −
D)
( )32
8'8 1
yx
= −−
E)
( )32
1'8 1
yx
= −−
55.- Si ( ) 1f x x= + entonces ( )´ 1f =
A) 14
− B) 32
C) 13
D) 23
E) 1
4 2
73
56.- La derivada de la función 2 2
xya x
=−
esd ydx
=
A) ( )
2 2
2 2 2 2
2a xa x a x
−
− − B)
( )2
2 2 2 2
aa x a x
−
− − C)
2 2a xx
− −
D) ( )
2
2 2 2 2
aa x a x− −
E) 2 2
2 2 2
2a xx a x
−
−
57.- La derivada de ( )5
2 2
axf xa b
=+
es ( )´f x =
A) 4
2 2
5axa b+
B) 0 C) 4 2 25ax a b+ D) 45ax E) 45x
58.- La derivada de ( )2ax bxf x
x+
= es ( )´f x = :
A) 2a bx
+B)
322
a b xx+ C)
32 2a x b x+
D) 0 E) 2a b+
59.- La derivada de la función 2 2a xyx+
= esd ydx
=
A) 2 2
xa x+
B) 2 2
2 2 2
2x ax a x
+
+ C)
2
2 2 2
ax a x+
D) ( )
2 2
2 2 2 2
2x aa x a x
+
+ +E)
2
2 2 2
ax a x
−
+
60.- La derivada de 2 2by a xa
= − es dfdx
=
A) 2 2
xa x−
B) 2 2
xa x−
−C)
2 2
bxa a x
−−
D) 3
bxx
−
−E)
2 2
ba a x−
61.- La derivada de la función ( ) 11
cxf xcx
−=
+ es ( )d f x
dx= ....
A) 1 12 1
cxcx
−+
B) ( )2
11 1
c cxcx cx− +
− − C)
( )
2
2 21 1c x
cx c x−
+ −
D) ( ) 2 2
21 1
ccx c x−
+ − E)
( ) 2 21 1c
cx c x−
+ −
62.- La derivada de la función ( )2 2
2 2
a xf xa x
+=
− es ( )d f x
dx= .
A) 2 2
2 2
12
a xa x
−+
B) ( )
2
2 2 4 4
2a xa x a x− −
C) ( )
2 2 2
2 2 2 2
2a x a xa x a x
−
+ +
D) ( )
3
2 2 4 4
2xa x a x
−
− − E)
( )2
2 2 4 4
4a xa x a x− −
63.- Determina la derivada de la función ( ) 3 2 9G x x= −
A) ( )23
3
2 9x−
− B)
3
32 9x−
C) 3
92 9x
−−
D) 3
32 9x
−−
E) ( )3
9
2 9x−
−
64.- La derivada de 3 1 2y x= − es dfdx
=
A) ( )23
2
3 1 2x− B)
( ) ( )3
23 1 2 1 2x x
−− −
C) ( )23
3
2 1 2x−
− D)
( )3
21 2x
−−
E) ( )23
2
3 1 2x−
−
74
65.- La derivada de ( ) 3 26 3f x x x= − es dfdx
=
A)
( )223
4 1
6 3
x
x x
−
−
B) 3 2
16 3
xx x−
−C)
2
36 3xx x−
−
D)
( )32
4 1
6 3
x
x x
−
−
E)
( )22
2 1
6 3
x
x x
−
−
66.- Calcula la derivada de 3 22)( xaxf −=
A) x2
2−
B) 3 2
23
xx
−
− C)
3 2
2x−
D) 3 232x
E) 2 2 23
23 ( )
xa x−
−
67.- La derivada de ( ) 3 23 3 6f x x x= − + es dfdx
=
A) 3 2
13 3 6
xx x
−
− +B)
( )223
2 1
3 3 6
x
x x
−
− +
C)
( )223
6
3 3 6
x
x x− + D)
( )32
2 1
3 3 6
x
x x
−
− + E)
2
13 3 6
xx x
+− +
68.- Derivar “ y ” de la función ( )523 3 1y x= − respecto a “x”:
A) ( )2
2 310 3 1x−
− B) 3 26 3 1x x − C) ( )2235 3 13
x −
D) ( )22310 3 1x x − E) ( )2
2 35 3 13
x−
−
69.- La derivada de la función ( ) ( )4
3 3 34 4f x b x= − es ( )d f x
dx=
A) 3 33 4 44
3b x− B)
3 33 4 4
4
b xx
− − C)
43
3
34x
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
D) ( )23 3 3 3334 4 4 4 4x x b x b x− − E) ( ) 3 31 1 34 4 4 4b x b x− −− −
70.- La derivada de la función ( ) ( )3
2 2 23 3f x a x= − es ( )d f x
dx=
A) 2 2
3 3
3
a xx
− − B) 2 2
3 332
a x− C)
322
3x
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
D) ( )22 2 2 23 2 3 3 3 3x x a x a x− − − E) ( )1 1 2 23 3 3 3a x a x− −− −
F. Derivada de funciones trigonométricas
71.- Obtener y´ para 5 sin(2 )y x x= :
A) ´ 5cos(2 )y x= B) ´ 10cos(2 )y x=C) ´ 5 cos(2 ) 5sin(2 )y x x x= + D) ´ 5cos(2 )y x= −E) ´ 10 cos(2 ) 5sin(2 )y x x x= +
72.- Aplicando la regla de la cadena, la derivada de la función
( ) ( )6 cos 5f x x x= ⋅ es ( )´f x =
A) ( ) ( )5 cos 5 6 sin 5x x x−⎡ ⎤⎣ ⎦ B) ( ) ( )6 cos 5 6 sin 5x x x−⎡ ⎤⎣ ⎦C) ( )5 6 cos 5 1x x− +⎡ ⎤⎣ ⎦ D) ( ) ( )6 cos 5 5 sin 5x x x−⎡ ⎤⎣ ⎦ E) ( )5 6 cos 5x x− − +⎡ ⎤⎣ ⎦
75
73.- La derivada de ( )2cos 3y x= es:
A) ( )2´ sin 3y x= B) ( )2´ sin 3y x= − C) ( )´ sin 6y x= −
D) ( )2´ 6 cos 3y x x= − E) ( )2´ 6 sin 3y x x= −
74.- La derivada de ( )( ) 4cos(3 ) 3sin 4f x x x= − es:
A) ( )4sin(3 ) 3cos 4x x− B) ( ) ( )sin 3 cos 4x x+
C) ( ) ( )12 sin 3 cos 4x x− +⎡ ⎤⎣ ⎦ D) ( ) ( )sin 12 cos 12x x−
E) ( ) ( )12 sin 3 cos 4x x− −⎡ ⎤⎣ ⎦
75.- La derivada de ( )( )( ) 4cos sin 3f x x= es:
A) ( )12cos(3 )sin 3x x− B) ( ) ( )( )cos 3 sin sin 3x x
C) ( ) ( )12cos 3 sin 3x x D) ( ) ( )( )12cos 3 sin sin 3x x−
E) ( ) ( )( )4cos 3 sin sin 3x x−
76.- La derivada de la función ( )2siny x= es d ydx
=
A) ( ) ( )2sin cosx x B) ( ) ( )22sin cosx x− C) ( )22cos x
D) ( ) ( )22sin cosx x E) ( ) ( )32cos sinx x
77.- La derivada de 2( ) cos (3 1)f x x= − es:
A) 6 (3 1)sen x− − B) 2cos(3 1)x −
C) ( ) ( )6cos 3 1 3 1x sen x− − − D) 2 (3 1)sen x −
E) 2cos(3 1) (3 1)x sen x− −
78.- La derivada de la función ( ) ( )2sin 3f x x= es ( )´f x =
A) ( ) ( )23cos 3 sin 3x x− B) ( )6cos x− C) ( ) ( )cos 3 sin 3x x
D) ( ) ( )6sin 3 cos 3x x E) ( ) ( )3cos sinx x
79.- La derivada de 2( ) (3 1)g x sen x= − es:
A) 6 (3 1)sen x − B) 2 (3 1)sen x −
C) ( ) ( )6 3 1 cos 3 1sen x x− − D) 6 (3 1)cos(3)sen x −
E) 6 (3 1)cos(3 1)sen x x− − −
80.- La derivada de xy cos= es:
A) x
xsenycos2
´= B) x
xsenycos2
´= C) x
xsenycos2
´ −=
D) x
xsenycos2
´ −= E) x
xsenycos
2´ −=
81.- La derivada de la función ( ) ( )3cos 3f x x= es ( )´f x =
A) ( ) ( )23cos 3 sin 3x x− B) ( ) ( )29sin 3 cos 3x x−
C) ( ) ( )2cos 3 sin 3x x D) ( ) ( )29sin 3 cos 3x x E) ( )23sin 3x
82.- La derivada de ( ) ( )4 2sinf x x= es:
A) ( )3 28 cosx x⋅ B) ( ) ( )2 34 cos sin 2x x x⋅ ⋅
C) ( )3 24 sinx x− ⋅ D) ( ) ( )2 3 28 cos sinx x x⋅ ⋅
E) ( )3 28 cos x⋅
83.- La derivada de ( ) ( )4 2cosf x x= es:
A) ( )3 28 sinx x− ⋅ B) ( ) ( )2 38 sin cos 2x x x− ⋅ ⋅
C) ( )3 24 cosx x− ⋅ D) ( ) ( )3 24 cos 2 sinx x x− ⋅ ⋅
E) ( )3 28 sin x− ⋅
76
84.- Obtén ( ) ( )( )2 2sin 5 cos 5d x xdx
+ =
A) ( ) ( )10sin 5 cos 5x x B) ( ) ( )250sin cosx x
C) ( ) ( )2cos 5 2sin 5x x+ D) 0
E) ( ) ( )10cos 5 10sin 5x x+
Tarea sesión 8
1- La derivada de ( ) 3 , 07
f x x b b= − + ≠ es:
A) 3 17
− + B) –3m C) b D) 37
− E) -b
2.- La derivada de ( ) 2f x x c= + es:
A) 2 1x + B) 2x c+ C) 22x c+D) 2x E) 2 1x− +
3.- La derivada de ( ) 25 7 3f x x x= + − es:
A) 10 7x + B) 210 7x + C) 5 7x +D) 210 7x − E) 10 7 1x + −
4.- Hallar los puntos de la gráfica de ( ) 3 21 13
f x x x x= + − − en los que la
pendiente de la recta tangente a la función es 2.
A) { }3, 2 B) { }3, 2− − C){ }3, 1− D){ }3,1− E) { }3, 1− −
5.- El punto (x,y) donde la función ( ) 2 1f x x= + tiene una recta tangente
paralela con otra recta de ecuación 2 3 5 0x y− + = es :
A) (1,2) B) 1 5,2 4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
C) (2,5) D) 1 10,3 9
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
E) 1 17,4 16
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
6.- La derivada con respecto a “x” de ( ) 22
16f x xx
= + es:
A) ( ) 3
1' 12f x xx
= − B) ( ) 3
2' 12f x xx
= −
C) ( ) 1' 12f x xx
= + D) ( ) 3
1' 12f x xx
= + E) ( ) 3
2' 12f x xx
= +
7.- La derivada de la función 3 1
4 42 4y x x−= + es y´:
A) 4 54
2 4x x x+ B) 3 34 42 4x x x+ C)
4 4
3 12 x x x
−
D) 3 34 432
x x x− E) 344
3 12
xx
−
8.- La derivada de la función 11
322 3y x x−
= + es:
A) 41
32´y x x−−
= − B) 41
32´ 2 3y x x−
= + C) 41
32´y x x−−
= +
D)4132´y x x= − E)
1132´y x x−
= −
9.- Halla la derivada de 3 52
6 15( )f xx x−
= + :
A) 3 5 4
4 3x x
−+ B)
3 5 4
4 3x x− C)
3 52
4 3x x x x−
+
D) 53 2
4 3x xx x
− E) 3 5
4 3x x−
10.- La pendiente de la recta tangente a la curva de ecuación
f x xx
( ) /= −25
15 2 , en el punto P f( , ( ))1 1 es:
A) − 2 B) −12
C) 0 D) 12
E) 2
77
11.- La derivada de 3
3 2y
x=
− es:
A) ( )2
33 2x −
B) ( )2
33 2x−
−C)
( )2
93 2x
−−
D) ( )
93 2x
−−
E) ( )
93 2x −
12.- La derivada respecto a “x” de ( ) 3 22 3xf xx+
=+
es:
A) ( )2
252 3
xx +
B) ( )2
52 3x +
C) ( )2
252 3
xx−
+
D) ( )2
52 3x−
+E)
52 3
xx +
13.- La derivada de la función 2
15)(
+
−=
xxxf , es
A) ( )22
2
2225)´(
xxxxxf
+
+−−= B)
( )22
2
2225)´(
xxxxxf
+
++−=
C) ( )2
2
2225)´(
+
++−=
xxxxf D)
( )22
2
2225)´(
xxxxxf
+
++=
E) ( )2
2
2225)´(
+++
=x
xxxf
14.- Si 3 24 10 3 7y u u u= + − − y4
3 5u
x=
−;
2dy
xdx = es:
A) 3228 B) –1020 C) 322849− D) –3228 E) 3228
49
15.- Calcula 1
dyxdx = −
, si12 22 9; 2 1y u u u x= + + = − es:
A) 9 B) 8 C) 10 D) 9− E) 10−
16.- La ecuación de la recta tangente a la función ( )22 3y x x= − en el punto
(4,16) es:..
A) y+40x-12=0 B) y-x-8=0 C) y-40x+636=0
D) y-40x+144=0 E) y+x+40=0
17.- La derivada de la función 3 4y x= − es:
A) 2− B) 3 4x− − C)2
3 4x−−
D)2
3 4x−−
E)4
3 4x−18.- Aplicando la regla de la cadena, la derivada de la función
( ) ( )5 cos 5f x x x= ⋅ es ( )´f x =
A) ( ) ( )25sin 5 5cos 5x x− + B) ( ) ( )5 cos 5 5 sin 5x x x−⎡ ⎤⎣ ⎦ C)
( ) ( )5sin 5 5cos 5x x+ D) ( ) ( )5 sin 5 25cos 5x x x+
E) ( ) ( )25sin 5 5cos 5x x+
19.- Determina la derivada de 3 2)4()( −= xxf
A) x
1 B)
41−x
C) 4
2−x
D) 43
2−x
E ) 3 43
2−x
20.- La derivada de y x= cos5 3 es:
A) ( )2 3´ 15 sin 5y x x= − B) ( )2´ sin 15y x= −
C) ( )2´ sin 5y x= − D) ( )´ sin 5y x= E) ( )2 3´ 15 sin 5y x x=
78
21.- La derivada de la función ( )3cosy x= es d ydx
=
A) ( ) ( )23sin cosx x− B) ( ) ( )23cos sinx x−
C) ( ) ( )3cos sinx x− D) ( ) ( )23cos sinx x
E) ( ) ( )33cos sinx x−
Aciertos:___________ de _________
Calificación:_______________
Tarea sesión 8
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
79
Sesión 9
Unidad III La derivada de una función.
G. Derivada de una función exponencial
1.- La derivada de ( ) xf x x e−= ⋅ es:
A) xe−− B) x xe x e− −+ ⋅ C) ( )1 1xe x− − +
D) xe
x
−
− E) ( )1xe x− −
2.- La derivada de ( )1
xf x e−= es:
A) 11 xe
x−
− ⋅ B) 11 xe
x−
⋅ C) 1
xe−−
D) 1
2
1 xex
−⋅ E)
1xx e−
⋅
3.- La derivada de ( ) ( )cos xf x e−= es ( )´f x =
A) ( ) ( )sincos xx e−B) ( ) ( )cossin xx e−− C) ( ) ( )sinsin xx e
D) ( ) ( )cossin xx e−E) ( ) ( )sinsin xx e−−
4.- La derivada con respecto a x de 21( ) xf x e −= es:
A) 212 xxe −− B)
22 1 xx e −− C) 21 xe − D)
212 xxe − E) 22 1 xx e −
5.- La derivada de ( ) 23 xf x x e= ⋅ es:
A) ( )23 1 2e x+ B) 23 6 xe xe− C) ( )23 1 3xe x−
D) ( )23 1 2xe x+ E) ( )22 3 1xe x +
6.- Sea ( ) 25 3
1x x
f xe −
= , entonces su derivada es:
A) 25 3
10 3x x
xe −
−B) 10 3xe −− C) 10 3
1xe −
D) 25 3
10 3x x
xe −
− +E)
25 3x xe− +
7.- La derivada de ( )2
11
xf x
e−
= es ( )´f x =
A) 21
xe−
B) 32
xe−
C) 2
1
3
2 xex
− D) 2
1
3
2 xex
−
E) 2
12 xe
x
−−
8.- La derivada de ( ) ( )sin
1xf x
e= es ( )´f x =
A)
( )( )
cossin
xxe B) ( )cos
1xe
C) ( )cos xe−
D) ( ) ( )sincos xx e−− E) ( ) ( )cossin xx e−
9.- La derivada de 234 xy = es:
A) 234 x B) ( )234 6x x C) ( )234 ln 4x
D) ( )234 ln 24x x E) ( )234 ln 4 6x x
10.- La derivada de 53 xy = es:
A) ( )53 ln 3x B) ( )515 ln 3x C) ( ) 55 ln 3 3 x
D) ( )55 3 xE) ( )545 ln 3x
80
H. Derivada de una función logarítmica
11.- La derivada con respecto a x de 4lny x= es:
A) 5
1x
B) 14x
C) 3
1x
D) 4
1x
E) 3 3
14 x
12.- La derivada de la función ( )2ln xy x e= ⋅ ´y =
A) 12x
+ B)21 xe
+ C)21x
+ D)12 xe
+ E) 12x
+
13.- La derivada con respecto a x de ( )2( ) ln 2 2f x x= + es:
A) ( )2
2ln 2 2x +
B) ( )
2ln 2 2x +
C) 9 D)4
2 2x
x + E)
21x +
14.- La derivada de la función ( )2 2lny x x= ⋅ ´y =
A) ( )( )2 1 2lnx x+ B) ( )21 ln x+ C) ( )( )22 1 ln x+
D) ( )( )21 2 lnx x+ E) ( )2 2 2lnx x x+
15.- La derivada de la función ( ) ln 1f x x x= − es:
A) ( )
1 ln 12 1
xx
+ −−
B) ( )
ln( 1)2 1
x xx
+ −−
C) ( )
ln ( 1)2 1
x xx
+ −−
D) ( )
1 ln( 1)2 1
xx
+ −−
E) ( )
1 ln ( 1)1
xx
+ −−
16.- La derivada de la función ( )2 2( ) ln 1f x a x= +i es:
A) ( )2
22
22 ln 11
a xa xx
+ ++
i B) 2
2
21
ax +
C) ( )2
22
22 ln 11
aa xx
+ ++
i
D) 2
2
22 ln1
a xax
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
i E) 2
2
21
a xx +
17.- La dfdx
de la función ( ) ( )2 2( ) 3 1 ln 4 6f x a x= + +i es:
A) ( )2
2
4 3 12 3
x ax
+
+ B)
( )23 18
ax+
C) ( )2
2
3 12 3ax+
+
D) ( ) ( )22
2
4 3 16 ln 3 1
2 3x a
a ax
++ +
+E) ( ) ( )2
22
8 3 16 ln 3 1
4 6a
a ax
++ +
+
18.- La derivada de la función ln( ) xf xx
= es:
A) 1 ln x
x x−
B) 2 ln2
xx
− C) 1 ln xx
−
D) 2 ln2
xx x− E) 2 ln x
x−
19.- La derivada de ( )
2 1ln
xyx−
= es:
A) ( )( )
2
2
ln 2
ln
x
x
+
⎡ ⎤⎣ ⎦B)
( )( )2
2
ln 2
ln
x
x
−C)
( )( )
2
2
ln 2
ln
x x
x
−
⎡ ⎤⎣ ⎦
D) ( )
2
2
ln
ln
xe
x
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
E) ( )( )
2
2
ln 2
ln
x
x
−
⎡ ⎤⎣ ⎦
20.- La derivada de ( )2
2
4ln3 4
xf xx x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ es ( )d f x
dx=
A) 2
2
3 44x x
x−
B) 2
43 4
xx x−
C) 2
34 3
xx x−
D) 2
23 4
xx x−−
E) 2
3 63 4
xx x
−−
81
21.- Al calcular ( )( )4ln 5nd xdx
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
se determina:
A) ( )4
5n x−B)
( )41
5n x
−
−C) ( )
45n x−
D) ( )4 14 5 nx
n−−
− E) ( )4
4
5n x
−
−
22.- Si 1log
2x xy
⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠entonces ´y =
A) ( ) ( )
3 2ln 10 1
xx x−
− B)
( ) ( )3 2
2ln 10 1x
x x+
− C)
( )( )3 2
2ln 10 1x
x−
−
D) ( )( )3 2
ln 10 1x
x−
− E)
( ) ( )3 2
2ln 10 1x
x x−
−94.-
23.- Si 2 1log xyx
⎛ ⎞−= ⎜ ⎟
⎝ ⎠entonces ´y =
A) ( ) ( )
2
2
1ln 10 1
xx x−
− B)
( ) ( )2
2
1ln 10 1
xx x+
− C)
( ) ( )2
2
1ln 10 1
xx x−
+
D) ( )
2
22
1
1
x
x x
−
+ E)
( )( )2
2
1ln 10 1
xx+
−
I. Derivación Implícita
24.- El resultado de derivar 3 515 15 5 3x y y y= + + es:
A) 2 41dx y ydy
= + + B) 2 4
11
dxdy y y
=+ +
C) 2 4
11
dxdy y y
−=
+ +D)
2 4
151
dxdy y y
=+ +
E) 2 4
151
dxdy y y
−=
+ +
25.- La derivada con respecto a “ x ” de la relación 2 23 6 9 4 0x xy y− − − =
A) ´3
x yyx y+
=−
B) ´3
x yyx y−
=+
C) ´3
x yyx y+
=+
D) 3´ x yyx y+
=−
E)3´ x yy
x y−
=+
26.- Obtener ´y para 3 22 3 4 5x y y x+ = −
A)25 6´ xy
y−
= B) 25 6´
4xy − −
= C) 25 6´
6 4xy − −
=−
D)26 5´
4 6xy
y+
=−
E)26 5´
6 4xyy+
=−
27.- La derivada respecto a “x” de 2 32 3 100 0x axy y− + − = es:
A) 2
4´3 3
xyy ax
=−
B) 2
4´3 3
xyy a−
=−
C) 2
3 4´3 3
ay xyy ax
−=
−
D) 2
4´3 3
xyy x−
=−
E) 3 4´3 3a xyy x−
=−
28.- Al derivar en forma implícita la función 1x ya b+ = , se obtiene ´y =
A) 2
ba−
B) ab
− C) ba
D)ba
− E) 2ba−
29.- Al derivar 2 24y px y x= + + , ( )d ydx
=
A) 2 12 1
xy+−
B) 4 12 1
py+−
C) 8 1
2px y
y+ +
D) 8 12 1pxy+−
E) 1 82 1
py−−
82
30.- La derivada implícita de 1 1 3x y− = es:
A) 2
2'( ) xf xy
= B) 2
2'( ) yf xx
= C) 2
2'( ) xf xy
= −
D) 2
2'( ) yf xx
= − E) 2 2
1'( )f xx y−
=
31.- La derivada implícita de 2 2
1 1 2x y
+ = es:
A) 3
3' xyy
= − B) 3
3' yyx
= − C) 3
3' xyy
= −
D) 3
3' yyx
= E) 3 3
1'( )f xx y−
=
32.- La derivada con respecto a “x” de 0x y a+ − = es:
A) ´ yyx
=− B) 1y ax
= + C)1y ax
= +
D) ´ xyy
= E) ´y
yx
= −
33.- La derivada con respecto a x de 3 3 27x y+ = es:.
A) 3 2 23
3x y+
B) 3 2 23
3x y−
C) 2
3yx
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠
D) 2
3yx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
E) 2
313
yx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
34.- La derivada implícita de 1yx y
=−
es:
A) '2
yyy x
=−
B) ( )2
1'yx y
=−
C) ( )2
1'yx y−
=−
D) '2
yyx y
=−
E) '2yy
x y−
=+
35.- La derivada implícita de ( ) ( )2sin cosy x x y= − + es:
A) ( )
( ) ( )sin
'cos sin
x yy
y x y+
=− +
B) ( )
( ) ( )sin 2
'cos sin
x y xy
y x y+ +
=− +
C) ( ) ( )
2'cos sin
xyy x y
=− +
D) ( )( ) ( )
sin 2'
cos sinx y
yy x+ −
=−
E) ( ) ( )( ) ( )
sin cos'
cos sinx x y
yy x y+ +
=− +
36.- La derivada implícita de ( ) ( )2cos siny x x y= − − es:
A) ( )
( ) ( )cos
'cos sin
x yy
x y y−
=− −
B) ( )
( ) ( )cos 2
'cos sin
x y xy
x y y− +
=− −
C)( ) ( )
2'cos sin
xyx y y
=− +
D)( )
( ) ( )cos 2
'cos sin
x y xy
x y y− −
=− +
E) ( ) ( )( ) ( )
sin cos'
cos siny x y
yx y y+ −
=− −
37.- La ecuación de la recta tangente a la curva 2 2 25x y+ = en (3,-4) es:
A) ( )44 33y x+ = − − B) ( )34 34y x+ = −
C) ( )33 44y x− = − + D) ( )34 34y x− =− +
E) ( )43 43y x− = +
83
Tarea sesión 9
1.- La derivada de 25 3( ) x xf x e += es:
A) ( ) 25 3`( ) 10 3 x xf x x e += + B) 25 3`( ) x xf x e +=
C)10 3( ) xf x e += D) ( ) 10 3`( ) 10 3 xf x x e += +
E)25 3`( ) 10 3 x xf x x e += +
2.- Sea ( ) 27 2
1x x
f xe −
= , entonces su derivada es:
A) 27 2
14 2x x
xe −
− +B) 14 2xe− + C) 14 2xe −−
D)27 2x xe− + E) 27 2
14 2x x
xe −
−
3.- Si ( ) 11
x
x
ef xe−
=+
; entonces ( )´ 0f es igual a:
A) –1 B) 0 C) 12
D) ( )
2
22
1e
e +E) 1
4.- Si ( ) 2 4xf x e −= ; entonces ( )´ 2f es igual a:
A) 16 B) 6 C) 18 D) 4 E) 1
5.- La derivada de ( )y Ln x= −1 3 3 es:
A) 2
3
91 3
xyx
′ =−
B) ( )( )2 39 1 3y x x′ = − C)3
2
1 39
xyx
−′ =
D) 2
3
91 3
xyx
′ = −−
E) 2
3
91 3
xyx
−′ =
− −
6.- La derivada de ( )2
2ln3 4
xf xx x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ es ( )d f x
dx=
A) 23 42
x xx−
B) 2
23 4
xx x−
C) 2
24 3x x−
D) 2
13 4x x−
E) 2
23 4x x−
7.- Al calcular ( )( )3ln 2nd xdx
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
se determina:.
A) ( )3
2n x−B)
( )−
−
1
2 3xnC) ( )
32n x−
D) ( )−
−
3
2 3xnE) ( )−
− −3 23 1
nx n
8.- La derivada de la función 2 24 16y x+ = es:
A) ´ 2 8y x y= + B)4´ xyy
−= C) ´
4yyx
=
D) ´ 2 8y y x= − E) ´ xyy−
=
9.- Derivando 2 2
2 2 1x ya b
+ = , se obtiene ´y = .
A) 2
22b xa y−
B) 2
2
b xa−
C) 2 3
2
b xa y
D) bxay
− E) 2
2
b xa y−
84
10.- Al derivar 2 2 2 2 2 2a x b y ax by a b+ + + = , ( )d ydx
=
A) 44
ax aby b
− −+
B) xy−
C) 4 4
4ab ax a
by b− −+
D) 2
2
22
a x ab y b
− −+
E) 2
2
4 22
ab a x ab y b− −
+
11.- La derivada implícita de 1yy x
=−
es:
A) ' yyy x−
=−
B) ( )2
1'yy x
=−
C) ( )2
1'yy x−
=−
D) '2
yyy x
=−
E) '2
yyx y
=−
Aciertos:___________ de _________
Calificación:_______________
Tarea sesión 9
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
85
Sesión 10
Unidad III Aplicaciones derivada.
A. Puntos Críticos y de Inflexión.
1.- Si ( ) ( )22f x x= − − , determina el valor de 0x > , para el cual la recta
tangente a la función, corta al eje Y en (0,4)
A) 3 B) 2 2 C) 5 D) 3 3 E) 2
2.- Un número crítico de la curva 2 4 4y x x= − + , x∈ es:
A) -2 B) 2 C) 0 D) 3 E) -3
3.- Los números críticos de la función ( )3
2 3 23xf x x x= − − + :
A) 1 y -3 B) -1 y 3 C) 0 y 1 D) 1 y 3 E) -1 y -3
4.- La curva 2 2 1y x x= + − tiene un mínimo global (absoluto) en:
A) x= -1 B) x=1 C) x=2 D) x=0 E) x=-2
5.- Sea la función ( ) 3 22 9 60 9f x x x x= − − + para [ ]3;3x∈ −entonces el mínimo global de esta función es: A) 0 B) 15 C) 77 D) -198 E) 54
6.- La curva 3 212 21y x x x= − + , x∈ tiene un mínimo local (relativo) enel punto:
A) (1,10) B) (7,-98) C) (-1,-44) D) (-7,98) E) No hay
7.- La función ( ) 2
11
f xx
=−
, tiene un mínimo local en el punto:
A) ( )2, 0 B) ( )0,1 C) ( )1, 0− D) ( )0, 1− E) No tiene
8.- La función ( ) 1f x x x= + , tiene un mínimo en el punto:
A) ( )0, 0 B) 2 2 3,3 9
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
C) ( )1, 2−
D) 3 1,2 3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
E) ( )3, 2 2−
9.- La curva 3 2 1y x x x= + − + , 12; 2x ⎡ ⎤∈ −⎣ ⎦ tiene un máximo global
(Absoluto) en el punto:
A) 221 ,3 27
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
B) (-1,2) C) (-2,-1) D) ( )71 ,2 8 E) No hay
10.- La curva 2 310 12 3 2y x x x= + − − tiene máximo local (relativo) en elpto: A) ( )1, 27 B) ( )2, 10− − C) ( )1,17 D) ( )1, 17− − E) ( )2,17−
11.- La función ( ) 1f x x x= − , tiene un máximo en el punto:
A) ( )0, 0 B) ( )3,2 2− C) ( )1, 2−
D) 3 1,2 3
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
E) 2 2 3,3 9
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
12.- La abscisa del punto de inflexión de la función
( ) 3 22 3 72 50f x x x x= + − + es:
A) 12
− B) 0 C) 2 D)12
E) 2−
86
13.- La abscisa del punto de inflexión de la función
( ) 3 23 24 80f x x x x= − − + es:
A) 2− B)1 C) 0 D) 1− E) 2
14.- El punto o los puntos de inflexión de ( ) 3 2f x x x= − + son o es:...
A) ( )32 ,3 27 B) ( )31 ,3 27− − C) ( )32 ,3 27− −
D) ( )1 2,2 7 E) ( )1 2,3 27
15.- El punto de inflexión de la función ( ) 3 12f x x x= − es:
A) ( )2, 16P − B) ( )2,16P − C) ( )6,144P
D) ( )4,16P E) ( )0,0P
16.- El punto de inflexión de la función 2 3( ) 3f x x x= − − es:
A) ( )1, 4− B) ( )1, 4 C) ( )0,0 D) ( )1, 2− E) ( )1, 2− −
17.- El punto de inflexión de la función 2 3( ) 6f x x x= − + es:
A) ( )2, 16− B) ( )2,16 C) ( )1, 5− D) ( )2, 32− − E) ( )2,32
18.- Determina las coordenadas del punto de inflexión de la siguiente función
( )34616
38 23 +−= xxxf
A) ( )70,4 − B) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
335,
21
C)822,3
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
D) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
346,0 E) ( )6,2
19.- ( )3 2
2 13 2x xf x x= − − + , x∈ , tiene un punto de inflexión en:
A) x=2 B) x= 1 C) x=-2 D) 12 E) x=0
20.- La curva 3 26 12 12y x x x= − + − tiene un punto de inflexión en:
A) x = - 2 B) x =12
C) x = 12
− D) No tiene E) x = 2
21.- El punto o los puntos de inflexión de ( ) 3 23 3 1f x x x x= + + + son o es:
A) ( ) ( )2,0 , 1,0 B) ( )1,0− C) ( ) ( )1,0 , 2,0−
D) ( ) ( )3,2 , 0,1 E) ( )1, 2− −
22.- Los puntos máximos y mínimos de la fn 3 26 12 12y x x x= − + − son:
A) (1, 5 ) y (2, -4) B) (-1, 5) y (-2 , 4) C) (5, -1) y (4 , -2)
D) (-5, 1 ) y (-4 , -2) E) No tiene
23.- Los puntos máximos y mínimos de ( ) 3 22 3 12 2f x x x x= − − +
A) ( ) ( )1,9 ; 2, 18M m− − B) ( ) ( )2, 18 ; 1,9M m−
C) ( ) ( )1,9 ; 2,18M m D) ( ) ( )9,9 ; 18, 18M m − −
E) ( )18, 18M −
24.- Los puntos máximos y mínimos respectivamente de ( ) 2 xf x x e= son:
A) No tiene , 21,e
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
B) ( )2
42, , 0,0e
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
C) ( ) 2
40,0 , 2,e
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
D) ( )2
22, , 0, 2e
⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠
E) ( ) 20,0 , 1,e
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
25.- El máximo ó mínimo de ( ) 2 432f x xx
= +
A) ( )6, 108 ; minm − − B) ( )6,6 ; maxM −
C) ( )6, 108 ; maxM − D) ( )6,108 ; minm
E) ( )6, 6 ; minm −
87
B. Intervalos donde la fn es creciente decreciente y concavidad.
26.- Los intervalos donde ( ) 4 22f x x x= − es creciente:
A) ( )1;− ∞ B) ( ) ( )1;0 1;− ∞∪ C) En todo su dominio
D) ( ) ( ); 1 0;1−∞ − ∪ E) ( )1;∞
27.- Los intervalos donde 3 2( ) 2 6 18 10f x x x x= − − + es creciente son:
A) ( ) ( ),0 3,−∞ ∪ ∞ B) ( ) ( ), 1 0,−∞ − ∪ ∞
C) ( ) ( ), 1 3,−∞ − ∪ ∞ D) ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ ∞
E) ( ) ( ), 3 1,−∞ − ∪ ∞
28.- Los intervalos donde ( ) 4 22f x x x= − es decreciente:
A) ( ); 1−∞ − B) ( );1−∞ C) ( ) ( ); 1 0;1−∞ − ∪D) En todo su dominio E) ( ) ( )1;0 1;− ∞∪
29.- El intervalo donde l ( ) 2 3 4f x x x= + + es decreciente:
A) 3 ;2
⎛ ⎞− ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
B) ( );0−∞ C) 3;2
⎛ ⎞−∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
D) ( )0;∞ E) ( );−∞ ∞
30.- El intervalo donde la fn 3 2( ) 2 6 18 10f x x x x= − − + es decreciente es:
A) ( )3 ;∞ B) ( )1 ; 3− C) ( ); 1−∞ − D) ( );−∞ ∞ E) ( )0 ;∞
31.- Los intervalos donde ( )3
22 23xf x x= − + − es decreciente:
A) ( ); 4−∞ − B) ( )0;4 C) ( ) ( ); 4 0;−∞ − ∞∪D) ( ) ( ); 0 4;−∞ ∞∪ E) En todo su dominio
32.- Los intervalos donde la función ( ) 3 23 3 12 13f x x x x= − − + es
creciente y decreciente respectivamente son:
A) ( ) ( ) ( ); 2 1; 2;1y−∞ − ∞ −∪ B) ( ) ( ) ( )1;2 ; 1 2;y− −∞ − ∞∪
C) ( ) ( ) ( ); 1 2; 1;2y−∞ − ∞ −∪ D) ( ) ( ) ( );1 2; 1;2y−∞ ∞∪
E) ( ) ( ) ( ); 2 1; 2; 1y−∞ − − ∞ − −∪
33.- Los intervalos donde la fn ( ) 4 33 4f x x x= − es creciente y decreciente
son:
A) ( ) ( ) ( ); 1 0; 1;0y−∞ − ∞ −∪ B) ( ) ( )0; ;0y∞ −∞
C) ( ) ( )1; ;1y∞ −∞ D) ( ) ( ) ( );0 1; 0;1y−∞ ∞∪
E) ( ) ( ) ( )0;1 ;0 1;y −∞ ∞∪34.- El intervalo donde la función ( ) 3 23 9 2f x x x x= − + + − es creciente
cóncava hacia arriba es: A) ( ); 1−∞ − B) ( )1;3− C) ( )1;3 D) ( )3;∞ E) ( )1;1−
35.- Dada la función ( ) 3 21 1 2 13 2
f x x x x= − − + , determina los intervalos
donde es cóncava hacia abajo y cóncava hacia arriba respectivamente A) ( ) ( );2 2;y−∞ ∞ B) ( ) ( );1 1;y−∞ ∞
C) ( ) ( )1 1; ;2 2y−∞ − − ∞ D) ( ) ( )1 1; ;2 2y−∞ ∞
E) ( );yφ −∞ ∞
36.- El intervalo en donde la función ( ) 25 6f x x x= − + − es cóncava hacia
abajo en:
A) ( );3−∞ B) ( );−∞ ∞ C) ( )3;∞ D) ( );0−∞ E) ( )0;∞
37.- Determina el intervalo en el que la función 23)( 23 +−= xxxf escóncava hacia abajo.
A) )1,( −−∞ B) )1,(−∞ C) )2,(−∞ D) )2,( −−∞ E ) ),( ∞−∞
88
38.- Los intervalos en los que ( )3
23 53xf x x= − − + es decreciente cóncava
hacia arriba es; A) ( )3 ; 0− B) ( )0 ; ∞ C) ( ); 6−∞ − D) ( )6 ; 3− − E) ( ); 3−∞ −
39.- El intervalo donde la función ( ) 3 23 9 2f x x x x= − + + − es decreciente
cóncava hacia arriba es:
A) ( ); 1−∞ − B) ( )1;3− C) ( )1;3 D) ( )3;∞ E) ( )1;1−
40.- Determina el intervalo en el que la función 23)( 23 +−= xxxf escóncava hacia arriba.
A) )1,( −−∞ B) ),( ∞−∞ C) ),1( ∞− D) )1,(−∞ E ) ),1( ∞41.- Los intervalos en los que ( ) 3 22 20 1f x x x x= + − + es creciente
cóncava hacia abajo es:
A) ( )5 ;3 ∞ B) ( )12; 6− − C) ( )51 ;6 3−
D) ( )1 ;6− ∞ E) ( ); 2−∞ −
42.- Los intervalos en los que ( ) 3 22 3 36f x x x x= + − es decreciente
cóncava hacia arriba es:
A) ( )3;2− B) ( )1; 2−∞ − C) ( )2;∞
D) ( )1 ;22− E) ( )3;− ∞
43.- Los intervalos en los que ( )3
22 23xf x x= − + − es creciente cóncava
hacia abajo es:
A) ( ); 2−∞ B) ( )0 ; 2 C) ( )4 ;∞ D) ( ); 0−∞ E) ( )2 ; 4
C. Ecuación de la recta tangente y Normal a una función.
44.- La ecuación de la recta tangente a la función ( ) 25 6 2f x x x= − +cuando x=1 es:
A) 4x+y-3=0 B) 4x-y+3=0 C) 4x-y-3=0D) 3x+4y-3=0 E) 4x+y-3=0
45.- La ecuación de la recta tangente a la parábola 2 2y x= en el punto (0,0)es:
A) 1x = − B) 1y = − C) 0x = D) 1x = E) 1y =
46.- Si ( ) ( )sinf x x= , entonces la ecuación de la recta tangente en el punto
cuya abscisa es π es.
A) 0x y π+ − = B) 0x y π− − = C) 0x y π+ + =D) 0x y π− + = E) 0x y+ =
47.- La ecuación de la recta tangente a la función ( ) 2f x x= en (1,1) es:
A) 2 1 0x y− − = B) 2 1 0x y− − − = C) 2 3 0x y− − =D) 2 3 0x y− − − = E) 2 1 0x y− + =
48.- La ecuación de la recta tangente a la función 2 6y x= − + en ( )2,2
A) 4 10 0x y− + = B) 4 10 0x y+ − = C) 4 10 0x y− + =D) 4 10 0x y+ + = E) 4 10 0x y+ − =
49.- La ecuación de la recta tangente a la función 2( ) ( 4) 6f x x x= − + cuando x = 2 es:
A) 2 12 0x y+ + = B) 2 19 0x y− + = C) 2 19 0x y+ − =D) 2 19 0x y− + = E) 2 12 0x y− + =
89
50.- La ecuación de la recta tangente a la función 1( )
1 2f x
x=
+ en el
punto (0,1) A) 1y = − B) 2 1y x= − + C) 1y =
D) 2 1y x= + E) 2 1y x= −
51.- La ecuación de la recta normal a la función 1( ) xf x e −= en el punto (1,1)
A) 2 0x y+ − = B) 2 0x y+ + = C) 0x y− =D) 2 0x y− − = E) 0x y+ =
52.- La ecuación de la recta normal a la función 9xy = en (3,3) es:
A) 0x y+ = B) 0x y− = C) 1 0x y− + =D) 1 0x y+ + = E) 1 0x y+ − =
53.- La ecuación de la recta normal a la relación 2 2 10x y+ = en (1,-3) es:
A) 3 1 0x y− − = B) 3 0x y− = C) 3 10x y+ =D) 10x y+ = E) 3 0x y+ =
54.- La ecuación de la recta normal a la relación 2 2 5 1x y y− − = en (1,0)
A) 5 2 5 0x y+ − = B) 5 2 5 0x y− − = C) 5 2 2 0x y− − =D) 5 2 2 0x y+ − = E) 2 5 0x y+ + =
55.- Si ( )2( ) 2f x x= − − , determina el valor de 0x > , para el cual la recta
tangente a la función, corta al eje Y en (0,4)
A) 3 B) 2 2 C) 5 D) 3 3 E) 2
E. Problemas de Optimización.
56.- Sean “a” y “b” números positivos tales que su producto sea 25. Sí la suma de uno con el cuadrado del otro es mínima, entonces la suma de a+b es igual a:
A) 20.34 B) 17.95 C) 8.35 D) 5 3 E) 13.09
57.- Sean , 0a b > números reales. Si “a” es el doble del recíproco de “b” y
la suma a b+ es mínima entonces al cociente ab
es igual a:
A) 1 B) 12
C) 23
D) 32
E) 2
58.- Una caja rectangular tiene una base cuadrada con lados de al menos 1 pulgada de largo. Si no tiene tapa y el área total de sus cinco lados es 300 pulg2 , el máximo volumen posible de tal caja es:
A) 1000 p2 B) 500 p2 C) 200 p2 D) 1500 p2 E) 3000 p2
59.- Si una caja abierta tiene una base cuadrada y un volumen de 256 cm3 , construida mediante una hoja delgada de metal, encuentra las dimensiones de esa caja, suponiendo que en su construcción se utiliza la mínima cantidad de material.
A) 16 16 1× × B) 4 4 16× × C) 8 8 4× ×D) No existe la caja E) 2 2 64× ×
60.- La disminución de la presión sanguínea de una persona depende de la cantidad de cierta sustancia administrada a la persona. De modo que si se administran x miligramos de la sustancia, la disminución de la presión sanguínea es una función de x, que se define como
( ) 21 52 4
f x x x⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
. Determine el valor de x que ocasiona la mayor
disminución de la presión sanguínea.
A) 158
x = B) 54
x = C) 58
x = D) 56
x = E) 45
x =
90
61.- El área máxima de un rectángulo inscrito en un círculo de radio 2 cm. es:
A)22cm B)
22 2cm C) 28cm D)
24cm E) 24 2cm
62.- Sean “a” y “b” números positivos tales que su producto es 16. Si la suma de uno con el cuadrado del otro es mínima entonces la suma a + b es igual a:
A) 253
B) 10 C) 415
D) 8 E) 657
63.- Si el producto de dos números es 16 y su suma es mínima entonces tales números son:
A) 2 y 8 B) -4 y -4 C) 4 y 4 D) -2 y -8 E) 1/3 y 48
64.- El producto de dos números positivos es 12, si su suma es mínima entonces los números son:
A) 1 12y B) 2 3 2 3y C) 3 4yD) 12 12y − E) 6 24y
65.- Se tiene un terreno rectangular y se desea bardearlo usando 100 m de tela de alambre, usando la barda de un terreno contiguo, como se muestra en la figura
Las dimensiones que debe tener el terreno sí se quiere que el área del mismo sea máxima es a y b. Por lo tanto a+b =
A) 75 B) 100 C) 50 D) 120 E) 80
66.- Las dimensiones de un rectángulo con área 1000 m2 y perímetro mínimo es:
A) 4 2 25 5Χ B) 2 2 5 5Χ C) 2 50 50 2Χ
D) 4 10 25 10Χ E) 10 10 10 10Χ
67.- El área máxima de un rectángulo inscrito en un círculo de radio 2 cm es:
A) 28 cm B) 22 cm C) 22 2 cm D) 22 cm E) 24 cm
68.- Se construye un canal de sección trapezoidal soldando tres fajas de latón de 15 cm de ancho cada una. Se coloca la del centro horizontal y las otras inclinadas simétricamente a los lados. Si el área de la sección ha de ser la máxima posible. ¿cuál será el ancho superior del canal?
Lamina
Láminas
A) 15 cm B) 45 cm C) 30 cm D 50 cm E) 27.5 cm
69.- La distancia mínima del punto (4,2) a la parábola 2 8y x= es:
A) 12
B) 2 2 C) 2 3 D) 13
E) 2
70.- La distancia mínima del punto (-6,0) a la hipérbola 2 2 16 0x y− + = es:
A) 13
2B) 5 2 C) 2 7 D)
13
E) 34
71.- La distancia mínima del punto (0,2) a la hipérbola 2 2 8x y− = es:
A) 2 3 B) 53
C) 72
D) 2 5 E) 10
72.- Una esfera de radio r=5 se inscribe en un cono recto. La altura del cono que da su volumen máximo es
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25
73.- Se construye un rectángulo con un trozo de alambre de longitud de 1 metro y se quiere que el rectángulo tenga área máxima. Las medidas en metros de los lados deben ser:
A) 1 1,4 4 mts. B) 32 ,5 5 mts. C) 1 , 44 mts.
D) 4 1,5 5 mts. E) 51 ,4 3 mts.
91
Tarea sesión 10
1.- Los números críticos de la función ( ) 3 2 8 1g x x x x= + − + , x∈son:
A) 4 ,23− B) 4 , 23− − C) 4 , 23 − D) 4 ,23 E) 3 , 24− −
2.- La curva 2 310 12 3 2y x x x= + − − tiene mínimo local (relativo) en elpto: A) ( )1, 17− − B) ( )5, 255− C) ( )0,10
D) ( )2, 10− − E) ( )3, 40−
3.- La función ( ) 2
11
f xx
=+
, tiene un máximo local en el punto:
A) ( )0, 1− B) ( )2,0 C) ( )1, 0− D) ( )0,1 E) No tiene
4.- El punto de inflexión de la función 2 3( ) 3f x x x= − − es:
A) ( )1, 4− B) ( )1, 4 C) ( )0,0 D) ( )1, 2− E) ( )1, 2− −
5.- Determina las coordenadas del punto de inflexión de la siguiente función ( ) xxxxf 9721 23 +−=
A) ( )7,7 − B) ( )14,14 − C) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3434607,
71
D) ( )0,0 E) ( )7,7
6.- Los intervalos donde ( )3
23 53xf x x= − − + es decreciente:
A) ( )0;6 B) ( );6−∞ C) ( ) ( );0 6;−∞ ∞∪D) En todo su dominio E) ( ) ( ); 6 0;−∞ − ∞∪
7.- Dada la función ( ) 3 3 4f x x x= − + , determina los intervalos donde es
cóncava hacia abajo y cóncava hacia arriba respectivamente
A) ( ) ( ); 3 3;y−∞ − − ∞ B) ( ) ( );1 1;y−∞ ∞ C) ( ); y φ−∞ ∞
D) ( ) ( );3 3;y−∞ ∞ E) ( ) ( );0 0;y−∞ ∞
8.- Si ( ) ( )22f x x= − − , determina el valor de 0x < , para el cual la recta
tangente a la función, corta al eje Y en (0,4)
A) 2− B) 3− C) 5− D) 3 3− E) 2 2−
9.- La ecuación de la recta tangente a la función 2( ) 1f x x= − cuando x = 5
A) 10 26y x= + B) 10 26y x= − + C) 10 26y x= −D) 10 26y x= − − E) 10 13y x= +
10.- La ecuación de la recta normal a la función implícita 22 3xy y− = − enel punto (1,3) es:
A) 2 3 11 0x y+ − = B) 2 5 0x y+ − = C) 5 0x y+ + =D) 5 0x y− + = E) 3 2 11 0x y+ − =
11.- Sean , 0a b > números reales. Si “a” es el triple del recíproco de “b” y
la suma a b+ es mínima entonces al cociente ba
es igual a:
A) 32
B) 3 C) 23
D) 1 E) 13
12.- Si una caja abierta tiene una base cuadrada y un volumen de 108 cm3 , construida mediante una hoja delgada de metal, encuentra las dimensiones de esa caja, suponiendo que en su construcción se utiliza la mínima cantidad de material.
A) 3 3 12× × B) 6 6 3× × C) 49 9 3× ×
D) No existe la caja E) 312 12 4× ×
92
13.- La disminución de la presión sanguínea de una persona depende de la cantidad de cierta sustancia administrada a la persona. De modo que si se administran x miligramos de la sustancia, la disminución de la presión sanguínea es una función de x, que se define como
( ) 21 62 5
f x x x⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
. Determine el valor de x que ocasiona la mayor
disminución de la presión sanguínea.
A) 56
x = B) 35
x = C) 45
x = D) 95
x = E) 65
x =
14.- Si la suma de dos números es 10 y si su producto es máximo, entonces los números son:
A) 1 y 9 B) 5 y 5 C) 1 y 8 D) 4 y 6 E) 3 y 7
15.- La distancia mínima del punto (4,-2) a la parábola 2 8y x= es:
A) 2 B) 13
C) 12
D) 2 2 E) 2 3
Aciertos:___________ de _________
Calificación:_______________
Tarea sesión 10
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
93
Sesión 11
Unidad V La Integral.
A. La diferencial.
1.- La diferencial de es:23 1y x= +A) B) C)33dy x x= + 6dy xdx= 3dy x dx=
D) E) 36dy x dx= ( )33dy x x dx= +
2.- La diferencial de es . ( )2y xπ= dy =
A) 22 x dxπ B) 2 dxπ C) 2 x dxπD) 24 x dxπ E) 4 x dxπ
3.- La diferencial de es:ln( )y x=
A) B)xdy e dx=dxdyx
= C) ( )logdy x dx=
D)xdy dx
x= E)
( )sin xdy dx
x=
4.- La diferencial de es:( )cosy arco x=
A) 2
11
dy dxx
=+
B) C) ( )sindy x dx= −( )
1sin
dy dxx
=
D) 2
11
dy dxx
=−
E) 2
11
dy dxx
−=
−
5.- La diferencial de “y” en la función ( )f x xx
= −1
es
A) dy=dx
x B) dy=xdx
x2C) dy=
12x x
dx
D) dy=dx
x2E) dy=
( )xx x
dx+1
2
6.- La diferencial de “y” para la función ( )2lny x= , 0x ≠ es dy =
A) 1 dxx
B) 2
1 dxx
C) 2
2x dx− D)
2 dxx
E) ( )22 lnx x dx⋅
7.- La diferencial de 2ny x= para es 2n ≥ dy =
A) 1
2n n
dxn x−
B)
( )1
2
2nn
dxn x
− C)
( )1
2
2n
n
dxn x
−
D)
( ) 1
2n
n
dxn x −
E)
( )1
2
2 nn
n dxx −
8.- La diferencial de ( )23 4y x= − es dy =
A)3
23 4
dxx −
B) 3
23 4
dxx −
C) 3
24
dxx −
D) ( )23
2
3 4
dx
x − E)
53
23 ( 4)
dxx −
9.- Obtener la diferencial de ( )34 5y sen x=
A) B) C)dxxx 32 5cos60 dxx35cos60 dxx35cos12
D) E)dxx35cos20 dxx215cos20
10.- Obtener la diferencial de ( )17 cos 9y x−=
A) 2811
63x−
−B)
x9163−
C) 291
63x+
D) 2811
7x−
E ) 21
7x−
−
11.- El valor de la diferencial de 3 22 3 4y x x x= − + − , cuando 1x = y
0.04xΔ = es dy =A) 0.08 B) 2 C) 0.8 D) 0.114 E) 2.85
94
12.- El valor de la diferencial de 22xy e= , cuando 1x = y 0.25xΔ =
dy =es
A) B) 2e 4xe C) D)e22xe E) 24e
B. Integrales de expresiones algebraicas.
13.- La es:dx∫A) C B) x+C C) 0 D) 1 E) dx
14.- La integral indefinida ( )22 3x dx− =∫A) 3 24 6 9
3x x x c− + + B) 3 28 24 18x x x c− + +
C) 3 24 12 93
x x x c− + + D) 3 212 9x x x c− + + E) 8 12x c− +
15.- El resultado de es.18 2x dx∫A) 318x C+ B) 18x C+ C) 34x C+ D) 46x C+ E) 36x C+
16.- La integral indefinida ( )( )2 1 3x x dx+ − =∫ A)
( )22 12
xc
++ B) 3 22 5 3
3 2x x x c− − +
C) ( )22 1
3x
c+
+−
D) 3
253x x x c− − + E)
3 2
3 2x x c− +
17.- El resultado de ( )22 44 1x x dx+∫ es:
A) ( )3 8 44 21 66 77231
x x x c+ + + B) ( )8 41 5 18 4545
x x x c+ + +
C) ( )3 16 44 21 114 133399
x x x c+ + + D) ( )3 44 3 721
x x c+ +
E) ( )34 3 1133
x x c+ +
18.- La integral 3
43( 14 5)x dxx− +∫ es igual a:
A) 71
2 412 16 5x x x C− −− + + B)71
2 43 49 52 2
x x x C− + +
C) 31
2 43 49 52 2
x x x C− −− + + D)
712 43 54 5
2 5x x x C+ + +
E)71
2 46 8 5x x x C− + +
19.- La integral indefinida 3 22
3 74 1x x dxx x
⎛ ⎞+ − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
A)4 3
2 3
4 3 74 3x x c
x x+ − + + B) ( )
4 34 73ln4 3x x x x c
x+ − + + +
C) 2 78 3x x cx
+ − − + D) 4 3 24 3 14x x x x c+ − − +
E) 4 32 3
3 78x x cx x
+ − − +
20.- La integral indefinida 4 23 2
1 1x x dxx x
⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
A) 5 3
2
1 15 3 2x x c
x x− − + + B)
5 3
2
1 14 2x x c
x x− + − +
C) 32
1 12x x cx x
− + − + D) 34 3
1 12x x cx x
− + − +
E) 5 34 3
1 1x x cx x
− + − +
21.- La integral ( )11326 4 2x x dx
−−+ +∫ es igual a:
A) 21
3212 6 2x x x C+ − + B) 11
3212 6 2x x x C−− + − +
C) 21
32 33 28
x x x C+ − + D) 21324 3x x x C+ + +
E) 21
324 3x x x C−−
+ + +
95
22.- La integral indefinida 4 23 2
1 1 1x x dxx x x
⎛ ⎞− + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
A) 5 3
2
1 1 ln5 3 2x x x c
x x− − + + + B)
5 3
2
1 15 3 2x x x c
x x− + − + +
C) 5 3
2
1 15 3 2x x c
x x− + − + D)
5 3
4
1 15 3 2x x x c
x x− + − + +
E) 5 4
2
1 14 3x x x c
x x− − − + +
23.- La integral indefinida 4 23 4x x dx
x⎛ ⎞− +
=⎜ ⎟⎝ ⎠∫
A) 4
23 4ln4x x x c− + + B)
321 4
3 2x x x c+ + +
C)4
2 43 ln4 2x x x c− + + D)
421 4
4 2x x x c+ + +
E) 4
23 4ln4 2x x x c+ − +
24.- La integral 3x dx
x−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠∫ es igual a.
A) 2 63
x x x C B) − + 32 63
x x C+ + C) 32 33 2
x x C− +
D) 32 63
x x C− − + E) 33 62
x x C+ +
25.- La integral 3x dx
x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ es igual a:⎝ ⎠∫
A) 1 6 x Cx+ + B) 6x x C+ + C) 6 x C+
D) 32
x x C− + E) 1 3
2x C
x+ +
26.- La integral 4 x dx
x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ es igual a:⎝ ⎠∫
A) 12 x Cx
− − + B) 8 x x C− + C) 8 x C+
D) 8 x x C− − + E) 12 x Cx
+ +
C. Regla de la cadena para integrales.
27.- Si en la integral ( )224 2 6x x dx+∫ hacemos 22 6z x= + , la integral
se puede escribir como:
A) B) zdz∫ 2z dz∫ C) 2zdz∫ D) ∫ 2z dz E) 3z dz∫
28.- El resultado de ( )x x dx3 2 25+∫ es:
A) ( )33 5
3x
C+
+ B) ( )32 5
3x
C+
+ C) ( )32 5x x C+ +
D) ( )33 25x x C+ + E) ( )33 5
9x
C+
+
29.- La es igual a :( )2 32 4x xdx+∫
A)( )522 3
20x
C− +
+ B) ( )522 3
20x
C+
+ C) ( )522 3
5x
C+
+
D) ( )522 3
5x
C− +
+ E) ( )324 2 3x C+ +
30.- El resultado de ( )2xxe dx∫ es:
A) B)2xe C+
3
3
xe C+ C)
2
2
xe C+ D) 2xxe C+ E)
2
2
xxe C+
96
31.- El resultado de 3
4 2
8 123 1
x x dxx x
⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠∫ es:
A)( )24 2
2
3 1C
x x+
− +B)
( ) 14 2
1
2 3 1C
x x− +
− +
C) ( )1
4 2 21 3 12
x x C− − + + D) 4 22 3 1x x C− + +
E) ( )4 22 ln 3 1x x C− + +
32.- El resultado de 2
3 2
9 122 5
x x dxx x
⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠∫ es:
A) ( )23 2
3
2 5C
x x+
− +B) ( )3 23ln 2 5x x C− + +
C) ( )1
3 2 21 2 53
x x C− − + + D) 3 23 2 5x x C− + +
E) ( ) 13 2
1
3 2 5C
x x− +
− +
33.- La integral 3
41x dx
x+∫ es igual a:
A) 4 12
x C++ B)
2 12
x C++ C)
3 13
x C++
D) 3 13
x C++ E) 4 1x C+ +
34.- La integral ∫ 2
49 12
x dxx−
es:
A) 28 9 12x C− + B)
( )3
2 2
1
9 9 12C
x+
−
C)
( )3
2 2
8
3 9 12C
x− + )
−D 21 9 12
3x C− +
E) 21 9 123
x C− − +
35.- La integral ∫ 2
24 8
x dxx−
− es:
A) 24 4 8x C− − + B) 21 4 82
x C− − + C)
( )3
2 2
1
6 4 8C
x+
−
D)
( )3
2 2
4
3 4 8C
x+
−E) 21 4 8
2x C− +
36.- La ( )x dx+∫ 1 es igual a :
A) ( )31x C+ + B) ( )31 12
x C+ + C) ( )33 12
x C+ +
D) ( )32 13
x C+ + E) ( )32 1x C+ +
37.- La integral ( )2 9x x dx+∫ es:
A) ( )3
3 21 93
x x C−
+ + B) ( )2
2 39 92
x C+ + C) ( )3
3 23 92
x x C+ +
D) ( )3
3 21 93
x x C+ E) ( )3
2 21 93
x C+ ++
97
38.- La integral 3 25x x dx−∫ es igual a:
A) 23 58
x C− + B) ( )4233 58
x C− +
C) ( )3243 58
x C− + D) ( )2 243 5 58
x x C− − +
E ) ( ) 32 23 5 58
x x C− − − +
39.- La integral 3 28x x dx−∫ es igual a:
A) 23 88
x C− + B ) ( ) 32 23 8 88
x x C− − − +
C) ( )3243 88
x C− + D) ( )4233 88
x C− +
E) ( )2 243 8 88
x x C− − +
40.- La integral 32 33 4x x dx−∫ es:
A) ( )4
3 33 3 44
x C− + B)( )
23 33 4
8x
C−
−+
C) ( )4
3 31 3 416
x C− + D) ( )4
3 31 3 416
x C−− +
E) ( )2 4
3 33 416x x C−
− +
41.- El resultado de ( )3 27 6x x dx⋅ −∫ es:
A) ( )1
2 27 6x C− + B) ( )1
2 31 7 66
x C− +
C) ( )3
2 41 7 612
x C− − + D) ( )223 7 6x C− +
42.- La integral ( )2 3 9x x dx+∫ es:.
A) ( )2
3 39 92
x C+ + B) ( )3
3 22 99
x C+ + C) ( )3
4 22 99
x x C+ +
D) ( )2
2 31 92
x C+ + E) ( )3
4 21 92
x x C−
+ +
43.- La integral
( )21
1dx
x x+∫ es igual a
A) 2
1C
x+
+B)
21
Cx+
+C)
21
Cx+
+
D) 2
1C
x−
++
E) 2
1C
x−
++
44.- La integral 2 1x x dx+∫ es igual a:
A) ( ) ( ) ( )5 3 12 2 2
3 6 11 1 17 5 3
x x x c+ − + + + +
B) ( ) ( ) ( )7 5 32 2 2
2 4 21 1 17 5 3
x x x c+ − + + + +
C) ( ) ( ) ( )7 5 32 2 2
3 6 11 1 17 5 3
x x x c+ − + + + +
D) ( ) ( ) ( )5 3 12 2 2
3 6 11 1 17 5 3
x x x c+ + + − + +
E) ( ) ( ) ( )5 3 12 2 2
2 4 21 1 17 5 3
x x x c+ − + + + +
E) ( )4
2 31 7 616
x C− − +
98
D. Integrales de funciones trigonométricas.
45.- La ( )2sec x dx∫ es igual a:
A) ( )sin x C+ B) ( )cos x C+ C) ( )csc x C+
ED) )( )Cot x C+ ( )Tan x C+
46.- La ( )2csc x dx∫ es igual a:
A) ( )sin x C+ B) ( )cos x C+ C) ( )csc x C− +
D) ( )cot x C− + E) ( )tan x C+
47.- La integral ( )( )
sin
cos 1
xdx
x +∫ es igual a:
A) ( )1 cos 12
x C− + + B) ( )2 cos 1x C+ +
C) ( )1 cos 12
x C+ + D) ( )2 sin 1x C+ +
E) ( )2 cos 1x C− + +
48.- La integral ( )2cos x dx∫ es:
A) ( )1 1sin 22 2
x x C+ + B) ( )1 1sin 24 2
x x C− + +
C) ( ) 1sin 22
x x C+ + D) ( )1 1 sin 22 4
x x C+ +
E) ( )1 sin 24
x x C+ +
49.- La integral ( )( )
sin 3
1 cos 3
xdx
x+∫ es igual a:
A) ( )3 1 cos 32
x C+ + B) ( )2 1 cos 33
x C+ +
C) ( )1 cos x C+ + D) ( )2 1 cos 33
x C− + +
E) ( )2 1 sin x C− +
50.- La integral 2cos sin3 3x x dx⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ es igual a:
A) 31 cos3 3
x C⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠
B) 3cos3x C⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠C) 3cos
3x C⎛ ⎞ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
D) 31 sin3 3
x C⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠
E) 21 cos2 3
x C⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠
51.- La integral ( ) ( )sin 3 tan 3
3
x xdx
x∫ es igual a:
A) ( )2 sec 33
x C+ B) ( )3 tan 32
x C+
C) 2 1cos3 3
Cx
⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠
D) ( )2 cot 33
x C+
E) ( )2 tan 33
x C+
52.- La integral ( ) ( )
( )2
sin cos
cos 1
x xdx
x +∫ es igual a:
A) ( )21 cos 12
x C+ + B) ( )2cos 1x C− + +
C) ( )21 sin 12
x + D)( )2
12 cos 1
Cx
++
E)( )2cos
2x
C+
99
53.- La integral ( )( )( )3
sin 3
1 cos 3
xdx
x−∫ es:
A)( )2cos 3
3x
C− + B) ( )( )2
16 1 cos 3
Cx
− +−
C) ( )( )5
sin 315
xC+ D)
( )2
13cos 3
Cx+
E) ( )2 sin 3x x C+
54.- La integral ( )21 tan x dx+ =∫A) 2ln sec tanx x C+ + B) 2ln tan secx x C− +
C) 2ln sec tanx x C− − − + D) 23ln sec tanx x C− − +
E) 23ln tan secx x C− − +
55.- La integral ( )( )
2sec
tan 1
xdx
x +∫ es igual a:
A) ( )1 tan 12
x C+ + B)( )
12 tan 1
Cx
++
C) ( )21 sec 12
x + D) ( )2 tan 1x C+ + E)( )2sec
2x
C+
56.- La integral ( )( )2
sincos
xdx
x∫ es igual a:
A) ( )csc x C+ B) ( )sec x C− + C) ( )csc x C− +
D) ( )sec x C+ E) ( )3csc
3x
C+
E. Integración por partes.
57.- Calcula la integral xxe dx∫ 2
A) ce x +−412 B) C)cexe xx +− 22 ce x +−
41
21 2
D) ceex xx +−
42
22 E) cxe x +2
58.- Calcula la integral x ln xdx∫A) cxxx
+−4
ln2
B) cxxx+−
2ln
2
2
C) cxxx ++4
ln2
2
D) cxxx+−
4ln
2
22
E) cxxx++
4ln
2
2
59.- La integral de ( )2 lnx x dx∫ es:
A) 3 3
ln3 9x xx C− + B)
3 3
ln3 3x xx C− + C)
3 3
ln9 9x xx C+ +
D) 3 3
ln3 3x xx C+ + E)
3 3
ln9 3x xx C− +
60.- La integral ( )( )cos 3x x dx⋅ =∫A) ( ) ( )1sin 3 cos 3
3 3x x x C+ + B) ( ) ( )1sin 3 cos 3
9 9x x x C+ +
C) ( ) ( )1sin 3 cos 33 9x x x C− − + D) ( ) ( )1sin 3 cos 3
3 9x x x C+ +
E ) ( ) ( )1sin 3 cos 39 9x x x C− +
61.- La integral ( )sinx x dx∫ es:
A) ( ) ( )2 sin
sin2
x xx C− + B) ( )cosx x C− +
100
C) ( )cos
2x
C− + D) ( ) ( )cos sinx x x C− + +
E) ( ) ( )cos sinx x x C− − +
62.- El resultado de ( )sin 2xx dx⎡ ⎤⋅
⎣ ⎦∫ es:
A) ( ) ( )4sin 2 cos2 2x xx C− − + B) ( ) ( )2 cos 4sin2 2
x xx C− +
C) ( ) ( )4sin 2 cos2 2x xx C+ + D) ( ) ( )4sin 2 cos2 2
x xx C− +
E) ( )2cos 2x C+
63.- El resultado de ( )cosx nx dx⋅⎡ ⎤⎣ ⎦∫ es:
A) ( ) ( )2
cos sinnx x nxC
n n⋅
+ + B) ( ) ( )2
sin cosx nx nxC
n n⋅
− +
C) ( ) ( )2
cos sinnx x nxC
n n− ⋅
− + D) ( ) ( )2
cos sinnx x nxC
n n⋅
− +
E) ( )sin nxC
n+
64.- La integral ( )( )cos 3x x dx⋅ =∫
A) ( ) ( )sin 3 cos 33 3
x xC+ + B) ( ) ( )1 1sin 3 cos 3
3 3x x C+ +
C) ( ) ( )sin 3 cos 33 9
x x xC+ + D) ( ) ( )sin 3 cos 3x x C+ +
E) ( )sin 33
x xC+
65.- La integral de ( )( )2 lnx x dx∫ es:
A) 3 2
3 9x x C− + B) ( ) 31 1ln
3 3x x x C− + C) ( )
3 3
ln3 9x xx C− +
Tarea sesión 11
1.- La diferencial de “y” para la función ( )2tan2x
y = , es dy =
A) ( ) ( )2 22 tan secx x dx B) ( )2 2sec x dx C) ( )2 2secx x dx⋅
D) ( )22 sec 2x x dx⋅ E) ( ) ( )2 2sec cotx x x dx⋅ ⋅
2.- La diferencial de ( )734 8y x= es dy =
A) 2 3442 8x x dx B) ( )32 3442 8x x dx C) 2 34 8x x dx
D) ( )32 442 8x x dx E) ( )3442 8x dx
3.- El valor de la diferencial de 34 3 10y x x= − + , cuando 1x = − y
0.25xΔ = es dy =
A) –3.75 B) -9 C) -15 D) 0.225 E) 2.25
4.- Calcular la siguiente integral ( x ) dx+∫ 24 1
A) B) cxx +++ 1416 2 cxxx +++ 23 43
16
C) D) E)cxx +++ 1416 3 cxx ++216 cxx ++28
5.- El resultado de ( )33 3x x dx+∫ es:
A) ( )4 6 4 21 4 135 180 27040
x x x x c+ + + + B) ( )4 61 4 27040
x x c+ +
C) ( )4 6 4 21 4 45 180 27040
x x x x c+ + + + D) ( )431 34
x x c+ +
E) 10 11 6 49 9 3
10 11 2 4x x x x c+ + + +
D)( ) 3ln
3 3x x x C+ + E) ( )
33 ln
9xx x c+ +
101
6.- La integral 21
32(3 4 2)x x dx−− −∫ es igual a:
A) 3 1
329 4 22 3
x x x C− − + B) 3 1
322 4 23 3
x x x C−− − +
C) 3 1
322 12 2x x x C−− − − + D) 3 1
322 12 2x x x C− − +
E)3 1
329 4 22 3
x x x C−−− − +
7.- La integral indefinida 2
3 7 1 dxx x
⎛ ⎞− − + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
A) 2 3
3 7 cx x
− + + B) ( ) 73ln x x cx
− + + +
C) ( )3 7ln x x cx
+ + + D) 73 x cx
− − + +
E) 23
73x x cx
− − + +
8.- La integral ( )11322 2 1x x dx
−−+ −∫ es igual a:
A) 21
32 34
x x x C+ − + B) 21
32 344
−− + − +x x x C
C) 21
324 3 1x x C+ − + D) 21
324 3x x x C+ − +
E) 11
324 3x x x C−−
+ − +
9.- Calcular la siguiente integral (x x ) dx
x− −
∫3 2
25 4
A) B) C)cxx +−− 4102 cxx ++− 452 cxx++− 45
2
2
D) cx
xx++−
452
2
E) cxx ++− 4103
10.- La integral 4x dx
x−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠∫ es igual a:
A) 2 83
x x x C+ B) 32 83
x x C+ + C) 32 23
x x C− +−
D) 32 83
x x C− − + E) 33 82
x x C+ +
11.- El resultado de ( )32
2
4 3
x dxx x
−
− +∫ es:
A) ( ) 321 4 34
x x C−
− + + B) ( ) 321 4 32
x x C−
− + +
C) ( ) 221 4 32
x x C−
− − + + D) ( ) 221 4 34
x x C−
− − + +
E) ( ) 421 4 316
x x C−
− + +
12.- El resultado de ( )23 3x x dx+∫ es:
A) ( )322 33
x c+ + B) 21 33
x c+ + C) ( )3
2 23 3x x c+ +
D) ( )3
2 23 3x c+ + E) ( )32 3x c+ +
13.- La integral 3 23 9x x dx−∫ es:
B) ( )
42 33 3 9
4x
C−
+A) ( )4
2 31 3 924
x C− − +
C)
( )2
2 3
1
12 3 9C
x+
−)D ( )
42 31 3 9
24x C− +
E) ( )4
2 33 924
x x C−− +
102
14.- La integral ( )( )
cos
sin 1
xdx
x +∫ es igual a:
A) ( )1 sin 12
x C− + + B) ( )2 cos 1x C+ +
C) ( )1 sin 12
x C+ + D) ( )2 sin 1x C+ +
E) ( )2 sin 1x C− + +
15.- La integral ∫ ( )sec xdx
x=
A) 2 22 ln sec tanx x C− + + B) 2ln sec tanx x C+ +
C) 2 22 ln sec tanx x C− − − + D) 3ln sec tanx x C− − +
E) 23ln sec tanx x C− + +
16.- La integral ( )( )2
cossin
xdx
x∫ es igual a:
A) ( )csc x C+ B) ( )sec x C− + C)( )3sin
3x
C+
D) ( )sec x C+ E) ( )csc x C− +
17.- La integral xxe dx∫ es:
A) x xxe e C− + B) xxe C+ C) xe C+
D) 2 xx e C+ E) 2
2x xe C+ +
18.- La integral ( )( )sinx x dx⋅ =∫A) ( ) ( )cos sinx x C− + B) ( )
2
cos2x x C+ C) ( )2cos
2x x C−
+
D) ( ) ( )cos sinx x x C− + + E) ( ) ( )sin cosx x x C− + +
Tarea sesión 11
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
Aciertos:__________ Calificación:____________
103
Sesión 12
Unidad V Aplicaciones de la Integral.
F. Integrales Definidas.
1.- La es igual a:12 2
0
2x dx∫
A) –18 B) 18 C) 24 D) 32 E) 48
2.- La es igual a:e dxx
0
1
∫A) 0 B) e+1 C) e-1 D) –1 E) 1
3.- El valor de la integral definida ( )1
2
0
9 x dx−∫ es:
A)263
B) 233
C) 263−
D)13
E) 1
3−
4.- Encuentra la integral 1
2
6dx−
=∫A) 6 B) 3 6 C) 2 6 1+
D) 3 6− E) 1 2 6−
5.- La integral definida 10
5
1 dxx
=∫
A) B) C) D) E) 2e ln(10) ln(2) ln(5) 1
6.- Si 2
21( )8
b
f x dx−
=∫ donde b> – 2 y ( ) 1 34
f x x= + entonces “b”
es:
A) 3 B) 2 C) 2 D) 52
E) – 1
7.- Si
34 2 3cos( )
2a
x dx
π
−=∫ donde
2a π< entonces a =
A)4π
B) 6π
C) 8π
D) 3π
E) 7π
8.- Si ( ) 19
0
t
F t x dx= ∫ entonces equivale a:
A)18
20t
B) C)2020t18
19t
D) 20
20t
E) 1819t
9.- El valor de la integral definida 9
1
3 xdx∫ es:
A) B) 54 523
C) 563
D) E)52 50
10.- El valor de =( )1
0
x xe e dx−−∫A) B) 1e e−+ 1 2e e−+ − C) 1e e−−
D) 1 2e e−− − E) 1 1e e−+ −
11.- Si 5
1 2 1dxNx
=−∫ entonces el valor de N=
A) B)5 112
C) D) E)2 1 3 1−
12.- El valor de 1
0 3 2dx
x−∫ es:
A) 3 1− B) ( )2 1 3− C) 3 3
9−
D) 2 E) 1 3−
104
13.- La integral 2 3 3
20 16
x dxx
=−
∫
A)32π
B) C) ( )ln 5 12−403
D) 154
E) 1
14.- La integral 1
e dxx∫ es igual a:
A) 2 B) 4 C) 0 D) 1 E) 5
15.- El valor de la integral 2
3 22
11
dtt t −∫ es:
A)3 1
24 8 4π
+ − B) 3 1
24 6 2π
+ − C) 3 1
12 4 2π+ −
D) 3 1
24 8 2π
− − E) 3 1
12 4 2π+ −
16.- El valor de 1
0
1x xdx+ =∫
A)4 2
3B)
3 32
C)2
3D)
3 213
E) 4 215
17.- El valor de 0
( )xSen x dxπ
=∫
A) 5π
B) 4π
C) 3π
D) 2π
E) π
18.- Si 4
0 9 2dxN
x=
−∫ entonces el valor de N=
A) B)5 112
C) D) E)2 1 3 1−
19.- Resuelva la siguiente integral en el intervalo indicado
∫4
02cos
π
xdx
A) 122− B) 1− C) 1 D)
322
E)3
221−
20.- Calcular la integral definida ( )2
0
cos x dxπ
∫ es:
A) π B) 1− C) 2π D) E)1 0
C. Área bajo la curva.
21.- El área bajo la curva F(x)= x3 en el intervalo [ 0 , 4 ] es:
A) 46 u2 B) 64 u2 C) 84 u2 D) 46 u2 E) 44 u2
22.- El área bajo la curva de ( ) 23 1f x x= + , limitada por las rectas 2x = − y
, es:2x =
A) 20 u2 B) 24 u2 C) 16 u2 D) 52 u2 E) 2 u2
23.- El área bajo la curva de ( ) 34 2f x x= + , limitada por las rectas 1x = y
, es:2x =
A) 17 u2 B) 28 u2 C) 21 u2 D) 62 u2 E) 47 u2
24.- El área bajo la curva de ( ) 26 5f x x= − en el intervalo [ ]3; 2− − :
A) B) C) D) E) 233 u 235 u− 243 u 26 u 275 u
25.- El área bajo la curva de ( ) 212 1f x x= − , en el intervalo [ ]1;2 es:
A) B) C) D) E) 227 u 232 u 235 u 239 u 23 u
105
26.- El área de la región limitada por la gráfica de 2 3y x x= + y el eje X en el
intervalo [ ]3;3− es igual a:
A) B) C) D) E) 218 u− 254 u− 227 u 254 u 218 u
27.- El área de la región limitada por la gráfica de ( )siny x= y el eje X en el
intervalo [ ]0;2π es igual a:
A) B) C) D) E) 20 u 22 u 24 u 23 u 22 u−
28.- El área bajo la curva 2 6 9y x x= + + en el intervalo [ ]1;3− es:
A) 22083
u− B) C) D)2112 u 2112 u− 22083
u E) 28 u
29.- El área bajo la curva en el intervalo 2 4 4y x x= + + [ ]1;4 es:
A) 21893
u− B) C) D)2135 u 2135 u− 21893
u E) 26 u
30.- El área bajo la curva de , en el intervalo ( ) 2 1f x x= + [ ]1;1− es:
A) B) C) D) 20 u 21 u 22 u 283 u E) 28 u
31.- El área de la superficie limitada por la parábola 24y x= − y las rectas
0; 0; 3x y y= = = es:
A) B)210 u 2143
u C) D)25 u 283 u E) 28 u
D. Área entre curvas
32.- El área de la región comprendida entre las curvas 2 4y x= , 3y = y
0x = es:
A)7
12 B)
454
C) 95
− D) 7
12− E)
94
33.- El área de la región comprendida entre las curvas 211y x= − y
5y x= + es:
A)376
B) 125
6 C)
2396
D) 145
6 E)
2776
34.- El área de la región comprendida entre las curvas 24 8y x x= − + y2 2y x x= − , es:
A) B) 27 1453
− C) 125
3D) E)14 2
35.- El área de la región limitada por ( )siny x= y ( )cosy x= en
5;4 4π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
A)1 2
2−
B) 22
C) 3
2 D)
2 12−
E) 2 2
36.- El área de la superficie limitada por la parábola 2 2y x= y la recta
4x y− = es:
A) B) C) D) E) 29 u 216 u 220 u 232 u 218 u
37.- El área comprendida entre las curvas 2 6y x= y 2 6x y= es:
A) B) C) D) E) 212 u 224 u 236 u 220 u 218 u
106
38.- El área que encierran las curvas 3( ) 16 16f x x x= − y ( ) 7g x x=es:
A) 23 u2 B) 17 u2 C) 8132
u2 D) 100
3 u2 E)
932
u2
39.- El área bajo la curva limitada por las curvas 2y x= y 3y x= entre las
líneas verticales 0x = y 2x = es:
A) 2113
u B) 2103
u C) 2103
u D) 2104
u E) 2103
u
40.- El área de la región limitada por 2 9y x= y 3y x= es:
A) 212
u B) 212
u C) 225
u D) 223
u E) 213
u
41.- El área comprendida entre las parábolas 26y x x= − y 2 2y x x= − ,tomando en cuenta que se cortan en los puntos (0,0) y (4,8) es:
A)5 2
3B) C) 9 83
2D) 21 E)
643
42.- El área que encierran las curvas 2y x= “ y “ ( )2 21 1x y− + = es:
(Sugerencia: traza gráficas)
A)3 4
6π −
B) 2π
C) 3π
D) 4
12π −
E) 3
12π −
43.- El área comprendida entre las curvas ( ) 2 1f x x= + y la
, es:( ) 3 1g x x= +
A)16
B) 1
12C)
43
D) 12
E) 54
44.- El área de la superficie
es:
A)13
B) 203
C) 272
D) 133
E) 274
45.- El área de la superficie
es:
A)92
B) 103
C) 72
D) 94
E) 85
107
Tarea sesión 12
1.- La es igual a :x dx3
1
2
∫A) 2 B) 1 C) 4 D)
18
E) 154
2.- El valor de la integral definida 0
3 2
2
x dx−∫ es:
A) 36 45
B) 36 4 C) 3 4 D) 33 25
E) 32 45
3.- Calcular la integral definida 1
0
2x dxx−
∫ es:
A) B) C) 1− 0 143
D) 103
− E) 143
−
4.- El valor de 1
0 12 3dx
x−∫ es:
A) 42 33
− B) 6 4 3− C) 2 1
27 9 3−
D) 4 3 6− E) 4 3 23
−
5.- El valor de la integral
( )
3 332
32 20 4 9
x dxx +
∫ es:
A)3
32B)
112
C) 5
17D)
516
E) 12
6.- Resuelva la siguiente integral en el intervalo indicado
∫4
3
4
2
π
π xsendx
A) 2 B) 2 C) 0 D) 2− E)-2
7.- El valor de la ( )
7
4 ln
e
e
dxx x
=∫
A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2
8.- Si ( ) 45
1t
F t dxx
= ∫ entonces equivale a:
A) 33 253
t −B)
3
3
125375
tt
−C)
3
3
5 125725t
t−
D) 3 13 375t− E) 3
1 1375t
−
9.- El área bajo la curva de 3( ) 4f x x= en el intervalo [ ]1, 2 es:
A) 5 u2 B) 10 u2 C) 15 u2 D) 20 u2 E) 14 u2
10.- El área bajo la curva de , en el intervalo f x x( ) = +2 1 [ ]−11, es:
A) 0 u2 B) 1 u2 C) 2 u2 D) 83
u2 E) 8 u2
11.- El área bajo la curva de ( ) 29 4f x x= − en el intervalo [ ]2; 1− − :
A) B) C) D) E) 217 u 231 u− 215 u− 29 u 225 u
12.- El área que encierra las curvas 2y x= “ y ” y x= es:
A)16
B) 15
C) 14
D) 13
E) 12
13.- El área de la superficie limitada por la parábola 24y x= − y las rectas
es:1; 0; 3x y y= − = =
A) B)212 u 2233
u C) D) 29 u 2173 u E) 214 u
108
14.- El área comprendida entre la parábola 2 4y x= y la recta 2 4y x= − ,tomando en cuenta que se cortan en los puntos (1,-2) y (4,4) es:…
A)5 3
2B) C) D)9 12 21 E) 5
15.- El área de la región comprendida entre las curvas 210y x= − y
4y x= − es:
A) 376
B) 145
6 C)
2396
D) 125
6 E)
2776
16.- El área comprendida entre las curvas ( ) 4 1f x x= − y la
, es:( ) 5 1g x x= −
A)130
B) 1
15 C)
45
D) 12
E) 56
17.- Evalúa el área de la región limitada por la curva y el eje de las "x". (Ver gráfica 1)
y x x= −3 4
A) 0 u2
Gráfica 1.B) -4 u2 C) 16 u2 D) 8 u2 E) 4 u2
18.- Evalúa el área de la región limitada por , el eje "x" y las
rectas
y x x= − −2 2x y x= − =2 2 . ( Ver gráfica 1)
A)−83
Gráfica 1
B)193
C)−13
D)173 E)17
109
Tarea sesión 12
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
Aciertos:____________ de _____________
Calificación:____________
110
−⎝ ⎠
⎜ ⎟⎝ ⎠
3 53 44 65 2
⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
Sesión 13
Unidad VI Matrices y determinantes.
A. Conceptos sobre las matrices.
1.- La matriz de orden 2 es aquella que:
A) Tiene 2 variablesB) Tiene 2 elementosC) Tiene 2 columnas y n renglonesD) Tiene 2 renglones y 2 columnasE) Tiene 2 columnas y n columnas
2.- La matriz ⎟ tiene orden: 1 1 34 2 1
−⎛ ⎞⎜
A) 24 B) 3x2 C) 3 D) 2x3 E) 6
3.- El orden de la siguiente matriz ⎟
es:
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜
A) 2x4 B) 3x5 C)10 D)5x3 E) 4x2
4.- En la matriz −
el componente tiene valor:
6 3 2 78 4 9 56 1 8 37 9 1 2
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − 24a
A)1 B)-9 C)5 D) -1 E) 7
5.- La matriz traspuesta de 11 12 13
21 22 23
31 32 33
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
a a aA a a a
a a a es:
A) 11 12 13
21 22 23
31 32 33
t
a a aA a a a
a a a
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
B)
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1 1
1 1 1
1 1 1
t
a a a
Aa a a
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
C) 31 32 33
21 22 23
11 12 13
t
a a aA a a a
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
D) 11 21 31
12 22 32
13 23 33
t
a a aA a a a
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
) E13 12 11
23 22 21
33 32 31
t
a a aA a a a
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
6.- La matriz transpuesta de es: 6 02 5
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
A) ⎟ B)6 20 5
−⎛ ⎞⎜⎝ ⎠
5 20 6
−⎛ ⎞⎜ ⎟ C) ⎝ ⎠
2 56 0−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
D) 0 65 2⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
E) 6 0
2 5−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
7.- La matriz transpuesta de es
2 0 11 1 0
3 1 2
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
A) B)
1 0 20 1 12 1 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
3 1 21 1 12 0 3
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
C)
2 1 30 1 11 0 2
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
111
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎝ ⎠ ⎝
⎝ ⎠D) E)
2 0 11 1 03 1 2
− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
2 1 31 0 10 1 2
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
8.- La matriz unitaria de 3x3 es: 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
A) B) ⎟ C)
1 1 10 0 00 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 11 1 11 1 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜
1 0 00 1 00 0 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
D) E)
0 1 00 1 00 1 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0 0 01 1 10 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
9.- La matriz nula o cero de 3x3 es: 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
A) B) ⎟ C)
1 1 10 0 00 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 11 1 11 1 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜
1 0 00 1 00 0 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
D) E)
0 0 00 0 00 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0 0 01 1 10 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
B. Suma y resta de matrices.
10.- La suma de las matrices ⎟⎠
2 4 3 61 0 2 3
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜
A) B) ⎟ C) 1 10
1 3−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
5 103 3⎛ ⎞⎜
6 242 0
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
D) E) 12 12
3 0−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
5 23 3−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
11.- El resultado de 1 3 2 04 5 6 5
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A) B) C) 2 024 25−⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2 024 25⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 32 0−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
E) D)3 310 10
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
16 1522 25− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
12.- El resultado de = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−5/12/53/15/4
5/42/33/25/1
A) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2/33/115/3
B) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
113/11
C) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡143/15/1
D) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡13/145/1
E) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 5/31
3/15/3
13.- La suma de las matrices es: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
0113
5341
A) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
5254
B) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−4504
C) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−5524
D) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −6460
E) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−4054
112
14.- Si y , encuentra la matriz 1 2 42 3 53 0 1
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2 1 54 0 13 3 0
B−⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
A B+ .
A) B) C) 3 1 96 3 66 3 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3 3 96 3 66 3 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
3 1 96 3 66 3 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
D) ⎥
E) 9 1 36 3 61 3 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢⎢ ⎥−⎣ ⎦
3 6 41 3 39 6 1
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
15.- Si y , encuentra la matriz 1 2 42 3 53 0 1
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2 1 54 0 15 3 0
B−⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
A B− .
A) B) C) 1 3 1
2 3 42 3 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 3 12 3 42 3 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 3 12 3 42 3 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D) E) 1 2 12 3 42 3 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
1 3 12 3 42 3 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
C. Producto de un escalar por una matriz y matriz pormatriz.
16.- El producto de un escalar “α ” por una matriz de 3x3
⎟ se define como:11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
α⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
⎜ ⎟⎝ ⎠
A) ⎟
B) 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
ααα
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
αα
α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
C) D) 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
α α αα α αα α α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
ααα
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
E) 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
ααα
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
17.- Si A = entonces 5A = 1 23 4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
A) B) C) 5 20
10 15⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
5 1510 20⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
10 155 20
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
D) E) 5 10
15 20⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
15 2010 5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
18.- Si A = 5 12 3
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
y B = ⎟ entonces 2A + 3B = 1 02 3⎛ ⎞⎜
A) B) C)7 2
10 3−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
13 210 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
13 210 3
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
D)13 29 3
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
E) 6 2
10 3−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
19.- Si U = ⎟ V = 1 48 9− −⎛ ⎞
⎜− −⎝ ⎠
3 30 6
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
U - 31
V =
A)0 38 11
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
B)2 38 11
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
C)2 58 11
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
D) ⎟ E) 10 58 7
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠
0 58 7⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
113
20.- Si y , entonces el orden de la
matriz
A =−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
2 11 01 2
B =−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1 1 0 12 1 2 0
AB es:
A) 3x2 B) 2x4 C) 3x4 D) 4x3 E) 3x3
21. – Si y , entonces el orden de la matriz A =−
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2 3 12 1 2 B =
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
1 32 01 2
AB es:
A) 2x3 B) 3x2 C) 3x3 D) 2x2 E) 4x3
22.- Con las matrices y ⎟ , encuentra 5 16 7
A−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2 13 4
B ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠
A B× .
A) B) C)
D) E)
1 733 34⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
7 133 34⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
7 341 33⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
33 71 34
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
33 347 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
23.- Con las matrices y 2 13 4
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
5 16 7
B−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ , encuentra ⎝ ⎠
A B× .
A) B) C) 16 539 25⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
5 1639 25⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
16 525 39⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
D) ⎟ E) 39 516 25⎛ ⎞⎜⎝ ⎠
39 2516 5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
24.- El resultado de multiplicar 1 3 1 1 02 0 0 1 20 1 6 1 3
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
es:
A) B) C) 3 42 07 16
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
3 32 07 16
5 32 07 16
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
D) E) −⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
3 32 77 16
3 32 77 16
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
25.- El resultado de multiplicar es: 2 1 61 3 2
1 0 30 4 22 1 1
−−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
A) B) C) 14 2 10
3 10 7− −
− − −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
14 2 23 10 7
−− −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
21 2 23 10 7
−− −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
D) E) − − −− −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
15 2 103 10 7
14 2 103 10 7
− −− −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
26.- Al multiplicar las matrices AXB , se obtiene:
A =⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1 1 31 2 5 B =
−−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
5 0 3 47 9 2 16 10 8 0
A) B) 30 39 23 364 68 32 14⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
64 68 32 1430 39 23 3⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
C) 30 6439 6823 323 14
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D) E) 64 3068 3932 2314 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
No es posible multiplicar
114
27.- Al multiplicar las matrices C X D, se obtiene:
C =⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1 1 14 2 5 D =
−−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
5 0 3 47 4 2 16 10 8 0
A) B) C) 18 14 7 364 58 32 14⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
64 68 32 1430 39 23 3⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
64 3068 3932 2314 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D) E)
30 6434 6823 323 14
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
28.- Al multiplicar las matrices se obtiene:CXD
C =⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1 2 34 5 6 D =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
6 7 8 90 1 2 34 5 6 7
A) B) C) 18 24 30 3648 63 78 93⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
48 63 78 9318 24 32 36⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
48 1824 6378 3293 36
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D) ⎥ E) 18 4824 6332 7836 93
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
−−−−−−
162241131131682
−705
15207
29.- De ser posible, realice la siguiente multiplicación AB entre matrices:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
41125301
143210
BA
A)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
B)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
241116223384112 C) no es posible realizar
esta operación
D)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
1613322314
1411E)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
241314113344113
30.- De ser posible, realice la siguiente multiplicación entre matrices:
,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=521412
103A
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
140221
B
A) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡B)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
32581275 C) No es posible realizar
esta operaciónNo es posible multiplicar
D)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
1131014113
E)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
71502057
31.- Efectúa la siguiente operación 1 3 12 0 00 1 6
1 01 2
1 3
−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
A) 3 42 07 16
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
B)−⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
3 32 07 16
C) 5 32 07 16
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
D) −⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
3 32 77 16
E) 3 32 77 16
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
No es posible multiplicar
32.- El resultado de multiplicar es 2 1 61 3 2
1 0 30 4 22 1 1
−−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
A)14 2 10
3 10 7− −
− − −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ B)
14 2 23 10 7
−− −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ C)
21 2 23 10 7
−− −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
115
D) − − −− −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
15 2 103 10 7
E) 14 2 103 10 7
− −− −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
D. Determinantes.
33.- El determinante de la matriz cuadrada 1 3 24 1 23 5 2
A−⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
es:
A) det 20A = B) det 20A = − C) det 24A =
D) det 40A = E) det 40A = −
34.- El determinante de la matriz cuadrada 2 5 21 3 11 1 5
A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
es:
A) det 44A = B) det 44A = − C) det 40A =
D) det 40A = − E) det 0A =
35.- Encuentre el determinante de la siguiente matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
231203
145A
A) det(A)=7 B)det(A)=11 C)det(A)=-5 D)det(A)=5 E)det(A)=-7
36.- Encuentre el determinante de la siguiente matriz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=136524213
A
A) det(A)=-29 B)det(A)=5 C)det(A)=97 D)det(A)=63 E)det(A)=-5
E. Matriz Inversa.
37.- Obtener la matriz inversa de A, si A =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
1 1 11 2 02 3 0
A) 1 1 10 2 10 3 2
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
B)0 3 20 2 11 1 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
C) 1 1 2
1 2 31 0 0
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D) 0 0 13 2 12 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
E)2 2 13 0 01 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
38.- Obtener la matriz inversa de A, si A =−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
1 1 32 4 56 3 0
A)3 15 453 15 15
15 5 45
− −⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
B)
−
− −
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
13
115
145
23
215
145
23
15
245
C)
−
− −
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
13
15
745
23
25
145
23
15
245
D)−− −−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
15 3 130 6 312 9 2
E)15 3 130 6 312 9 2
− −−− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
39.- Obtener la matriz inversa de A, si A =− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
1 2 32 4 11 0 2
A)
4 2 15 53 1 1
B)
10 10 22 1 0
5 5
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2 15 53 2 1
10 5 24 1 05 5
−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C)
4 2 15 53 1 1
10 10 22 1 05 5
−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
116
D) E)1 2 12 4 03 1 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
8 4 103 1 54 2 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
F. Método de Gauss-Jordan.
40. - La solución del sistema de ecuaciones
92 2 93 4 3 24
x y zx y zx y z
− + =⎧⎪ + + =⎨⎪ − − =⎩
, aplicando el
método de Gauss-Jordan es:
A) B) C)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
5/1003/0101/001
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−5/1003/010
1/001
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−1/1003/010
5/001
D) E)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
1/0013/010
5/100
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
1/1005/0103/001
41.- La solución del sistema de ecuaciones
2 82 3 9
4 2 1
x y zx y zx y z
− + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩
, aplicando el
método de Gauss-Jordan es:
A) B) C)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−3/1001/010
2/001
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
3/1002/0101/001
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−1/1003/0102/001
D) E)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 3/0012/0101/100
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
3/0012/0101/100
42.- Al aplicar el método de Gauss–Jordan en el sistema de ecuaciones 2 3 5
4x y+ =⎧
, se obtiene el siguiente sistema equivalente: 6 x y⎨ − =⎩
A) 31 311 0 20 20
0 1 7 710 10
x
y
⎡ ⎤ =⎢ ⎥ →⎢ ⎥− = −
B)
⎣ ⎦
17 111 0 1020170 1 11
10 20
x
y
⎡ ⎤ =⎢ ⎥ →⎢ ⎥ =⎣ ⎦
C) 31 311 0 20 20
0 1 11 1110 10
x
y
⎡ ⎤ =⎢ ⎥ →⎢ ⎥ =⎣ ⎦
D) 17 171 0 20 20
0 1 7 710 10
x
y
⎡ ⎤ =⎢ ⎥ →⎢ ⎥− = −⎣ ⎦
E) 17 171 0 20 20
0 1 11 1110 10
x
y
⎡ ⎤ =⎢ ⎥ →⎢ ⎥ =⎣ ⎦
43.- Al aplicar el método de Gauss–Jordan en el sistema de ecuaciones 2 5
4x y+ =⎧
, se obtiene el siguiente sistema equivalente: 3 3x y⎨ + =⎩
A) 551 0440 1 3 3
x
y
=⎡ ⎤→⎢ ⎥
=⎢ ⎥⎣ ⎦B)
7 111 0 3370 1 11
3 3
x
y
⎡ ⎤ =−⎢ ⎥ →⎢ ⎥ = −⎣ ⎦
C) 7 71 0 3 3
0 1 11 113 3
x
y
⎡ ⎤− = −⎢ ⎥ →⎢ ⎥ =⎣ ⎦
D) 5 51 0
11 110 1 3 3
x
y
=⎡ ⎤→⎢ ⎥
=⎢ ⎥⎣ ⎦
E) 7 71 0 3 3
0 1 4 43 3
x
y
⎡ ⎤− = −⎢ ⎥ →⎢ ⎥ =⎣ ⎦
117
, C C
F. Problemas de aplicación.
44.- En un país B hay cuatro aeropuertos internacionales ,
mientras que en el país C hay dos 2 . Una persona que quiere ir ellunes de B a C dispone de los siguientes vuelos:
1 2 3 4, , , B B B B
1
C1 C2
B1 3 2 B2 1 0 B3 0 1 B4 0 2
El total de vuelos de que dispone es de:
A) 3 B) 2 C) 5 D) 8 E) 9
45.- En un país B hay tres aeropuertos internacionales 3 , mientras
que en el país C hay cuatro 4 . Una persona que quiere ir ellunes de B a C dispone de los siguientes vuelos:
1 2, , B B B, , , C C C C1 2 3
C1 C2 C3 C4
B1 2 0 3 1 B2 3 2 0 0 B3 0 1 2 1
El total de vuelos de que dispone es de:
A) 12 B) 18 C) 15 D) 10 E) 13
46.- La compañía abarrotera "El Puma" tiene 3 tiendas, una en Acapulco, otra en Cuernavaca y otra en el D. F. Los productos alimenticios los vende por 3 calidades y los clasifica en 3 grupos: gramíneas, galletas y harinas. En el D. F. vendió en febrero del 2005 la tercera parte de lo que vendió enCuernavaca y Acapulco juntas, en Cuernavaca vendió el doble de lo quevendió en Acapulco. Calcula la matriz de ventas totales de las 3 tiendas, si
la matriz de ventas de Acapulco en toneladas fue A =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
2 3 51 2 35 3 2
a) M Ventas totales =8 21 204 8 1220 12 8
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
b) M ventas totales =8 12 204 8 2120 12 8
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
c) M ventas totales =8 12 204 8 1220 21 8
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
d) M ventas totales =8 12 204 8 1220 12 8
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
e) Matriz ventas totales =8 21 204 8 2120 21 8
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
47.- En Xochimilco hay tres zapaterías A, B, C. Hallar la suma si, las ventas de calzado para damas, niñas y caballeros vienen dadas por:.
.
10 13 14 2512 30 40 1617 40 10 15
15 11 16 2310 32 18 4513 20 9 15
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
y
A)25 24 48 3022 62 58 6160 30 19 60
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
B) 25 24 30 4822 60 19 6130 62 58 30
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
C) 25 24 30 4822 62 58 6130 60 19 30
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
D) 25 24 30 4822 62 61 5830 60 19 30
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
E) 25 24 30 4822 62 19 6130 62 58 30
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
48.- Una marca de coches tiene tres fábricas, una en México, otra en Puebla y otra en Monterrey; produce cuatro modelos A, B, C y D. La producción semanal es: México, modelo A 215, modelo B 80, modelo C 150, modelo D 250; Puebla, modelo A 536, modelo B 126, modelo C 100, modelo D 300; Monterrey, modelo A 215, modelo B 80, modelo C 250 , modelo D 150. La matriz que representa la producción es:
536 126 230A)
536 126 300 100222 425 200 230215 80 150 250
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
B) 250
100 222 200 150300 425 215 80
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
C) 536 300 100 126222 230 425 200215 250 150 80
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
D) 222 425 200 230526 126 300 100215 150 250 80
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
E) 215 80 150 250536 126 100 300215 80 250 150
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
118
Tarea sesión 13
1.- Determinar el orden en la siguiente matriz 9 11 135 7 8⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
A) 2x6 B) 2x3 C) 3x2 D) 6x2 E)12x2
2.- La matriz cuadrada de 3x3 es:
A) 1 12 4
312 4
⎡ ⎤⎢ ⎥ B) C)⎣ ⎦
9 1 164 25 36⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
1 49 1625 36
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D)
5 1013 3 6
16 3223 3 6
824 413 3 6
−
−−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E) [ ]3 6 2
3.- C =
12
13
2 31 0 01 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ D =
⎢ ⎥⎣ ⎦
143 2
0 1 01 1 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C + D =
A)
3 12 2
23
51 1 02 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
B)
7 92 4
73
51 1 02 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C)
7 92 4
73
61 1 02 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D)
5 12 2 51 1 02 2 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E)
7 92 4
73
61 1 0
2 2
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
4.- E = F = EF =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
678941
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡352621
A) B) C)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
60881844582219259
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
60582218882544199
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
19446025588892218
D) E) 9 22 1825 58 7819 44 60
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
7 20 1825 58 7819 44 60
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
5.- A = B = AB =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
098273442
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
182071361
A) B) C)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
247101547721814
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
724104715728114
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
241517478
107214
D) E)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−
124158747
141072 72 10 1447 7 815 24 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
6. La matriz inversa de1 12 21 23 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
es:
A) no tiene B)3 32 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
C)3 23 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
D) 4 32 3
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
E) 3 32 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎣ ⎦
7. La matriz inversa de
2 1 43 2 50 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
es:
A) 2 B)7 5 3
3 23 2 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
7 3 35 2 2
3 2 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
C) 27 3 3
5 23 2 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎦− −⎣
119
21
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
D) no tiene E) 7 5 33 23 2
⎢ ⎥− −
8.- A =
3 2 12 3 65 7 2
A) 167 B) – 63 C) - 167 D) - 57 E) 45
Aciertos:___________ de _________
Calificación:_______________
Tarea sesión 13
1.- A B C D E
2.- A B C D E
3.- A B C D E
4.- A B C D E
5.- A B C D E
6.- A B C D E
7.- A B C D E
8.- A B C D E
9.- A B C D E
10.- A B C D E
11.- A B C D E
12.- A B C D E
13.- A B C D E
14.- A B C D E
15.- A B C D E
16.- A B C D E
17.- A B C D E
18.- A B C D E
19.- A B C D E
20.- A B C D E
![Series de Tiempo Univariadas[1] (1) (1)](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/55cf913f550346f57b8be517/series-de-tiempo-univariadas1-1-1.jpg)