Matemáticas Posteadas en la Red Por José Acevedo Jiménez, jul. 2014. divulgadoresrd@hotmail.com

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31 de julio, natalicio de Gabriel Cramer (1704 - 1752).

El matemático suizo Gabriel Cramer nació en Ginebra, Suiza, el 31 de julio del 1704. Cramer trabajó en Análisis y determinantes. Se le recuerda, principalmente, por la regla que lleva su apellido. Fuente de la imagen: ar.wikipedia.org

Sucesión Padovan.

Sean: P(0) = P(1) = P(2) = 1. Partiendo de estos tres primeros términos, podemos conocer los siguientes términos por medio de la siguiente relación: P(n) = P(n - 2) + P(n - 3). ¡Algo familiar, no les parece! Así, tenemos que los primeros términos de la sucesión Padovan son los siguientes: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16... Como han podido advertir, la sucesión de Padovan guarda cierta analogía con la sucesión Fibonacci e incluso, al igual que en la sucesión Fibonacci, es posible construir una espiral (usando triángulos equiláteros) mediante los números de Padovan como se muestra en la imagen del post. También, como es de imaginar, la relación entre términos consecutivos tienden a un número conocido como número plástico: [P(n+1)/P(n) = 1.3247]. La secuencia Padovan fue nombrada por el arquitecto Richard Padovan.

Fuente de la Imagen: www.esacademic.com

El área de un círculo.

Las áreas o superficies de los polígonos regulares son relativamente fáciles de calcular. Dado que se pueden representar por medio de triángulos, es suficiente saber cómo se calcula el área de un triángulo y, partiendo de dicha información y con un poco de ingenio podemos calcular el área del polígono dado. Una técnica muy ingeniosa y útil, pero, ¿qué sucede si queremos calcular el área de un círculo? Pues, si observamos bien una circunferencia notaremos que no es más que un polígono cuando sus lados tienden a ser infinitos. En otras palabras mientras más

lados tenga un polígono más se se acerca su área a la de un círculo. Partiendo de lo dicho, podemos cortar el círculo como se muestra en la figura de la izquierda en la imagen del post. Enseguida notamos que tenemos varios triángulos isósceles; bueno en realidad no lo son, puesto que las bases no son del todo planas. Pero, si seguimos haciendo cortes, notaremos que esas "molestas" curvaturas se van haciendo cada vez, a medida que aumentamos el número de cortes, más rectas. En otras palabras, a medida que aumentan los cortes (los triángulos) las bases (curvas) de los mismos tienden a ser rectas. Se sabe que la longitud de la circunferencia es igual a (pi) por el diámetro; el diámetro es dos veces el radio (r). Si colocamos los triángulos como se muestra en la figura de la derecha en la imagen del post, se nos forma un romboide de altura igual al radio (r) del círculo y base igual a (pi) por el radio. Sabemos que el el área de un romboide es igual a la base multiplicada por su altura, entonces al calcular el área del romboide que se muestra en la imagen del post, tenemos que el área de un círculo es igual a (pi) por el radio al cuadrado. ¡Muy ingenioso, verdad!

Problema.

Sin tomar en cuenta el tamaño de la porción, se sabe que la cantidad máxima de pedazos que se pueden obtener al rebanar una pizza mediante tres cortes es 7 (ver imagen). Para obtener 56 pedazos, ¿cuántos cortes se deben hacer? Respuesta: 10 pedazos.

27 de julio, natalicio de Johann Bernoulli (1667 - 1748).

El matemático y médico suizo Johann Bernoulli nació en Basilea, Suiza, el 27 de julio de 1667. Fue profesor de matemática en la Universidad de Basilea, uno de sus alumnos, en la alta casa de estudios, fue Leonhard Euler. Los celebres matemáticos: Johann Bernoulli II, Nicolau Bernoulli y Daniel Bernoulli, fueron hijos de Johann Bernoulli. Los estudios matemáticos de Johann Bernoulli se centraron en el cálculo infinitesimal. Fuente de la imagen: es.wikipedia.org

Éxito anunciado.

Se rieron de mí: por creer en un sueño, porque nunca desistí y por soñar despierto. Se rieron de mí: por emprender un proyecto, por tratar de hacer real lo que vi en mi sueño… mas ahora, que he hecho realidad mi campaña, aquellas voces burlescas sólo callan y, al ser el último en reír, me pregunto: ¿acaso existe una mejor manera de presagiar el éxito? Escrito por: José Acevedo Jiménez. Fuente de la imagen: sebascelis.com

El teorema de la pizza.

Alguna vez al pedir una pizza que compartieron con algún amigo, quedaron inconformes al momento de repartirla. Pues para solucionar el problema, existe un teorema que nos permite repartir la pizza, entre dos personas, de manera equitativa. El mismo se conoce con el nombre de teorema de la pizza y en su

forma más simple (se puede expresar de manera más genérica) establece que: Dada una pizza, de área circular, dividida en ocho pedazos, que se obtienen al realizar cuatro cortes que se cruzan en un mismo punto y a su vez, los mismos, forman ángulos de 45º entre ellos, podemos asegurar la suma de las áreas de las cuatro porciones alternas son iguales a la suma de las cuatro porciones alternas restantes. El matemático L. J. Upton fue quien propuso el problema en Mathematics Magazine. El mismo fue resuelto por Michael Goldberg. A la hora de compartir con amistades, poco importa si tocamos un poco más o un poco menos de pizza; al final lo que importa es pasarla bien con nuestros amigos, pero, que interesante sería, con la mera intensión de transmitir el gusto por las matemáticas, implementar el teorema de la pizza para sorprender a nuestros amigos… bon appétit a todos ellos. Fuente de la imagen: telegraph.co.uk

El volumen de una pizza.

Dado que: toda pizza es tridimensional y posee una altura (a), la podemos asociar con un cilindro (pizza tradicional circular). Conocida la fórmula del volumen de un cilindro:

por el radio al cuadrado por la altura).

y, haciendo , tenemos que:

Y, es que las matemáticas están presentes en todo...incluso en una deliciosa pizza. Fuente de la imagen: poliedroeneltiempo.blogspot.com

Veintidós séptimos.

No soy pi, ni pretendo serlo. Sólo soy veintidós séptimos; mis cifras 142857, que se repiten en un ciclo sin fin, marcan mi diferencia con pi. Pero, como soy racional, no deben confundirme con aquél transcendental que nunca puede acabar... y, aunque siempre me confundan, con tan alto irracional, cada número es único y también muy especial. Escrito por: José Acevedo Jiménez.

Un Hombre Ejemplar.

Si crees en tu sueños, nunca te rindas… lo alcanzarás cuando menos lo esperes. En la vida, encontramos piedras en el camino que nos hacen tropezar. A veces, duele tanto la caída que nos cuesta ponernos nuevamente de pie. Ante las adversidades, algunos prefieren “tirar la toalla” y se dejan vencer; quizás porque se olvidan que una de las claves para alcanzar el éxito es la perseverancia. De una persona que, en vida, ha logrado conseguir uno o varios premios de prestigio internacional, como el Nobel, podemos decir, sin dar lugar a las dudas, que es alguien que ha saboreado el placentero sabor que produce el éxito (por lo menos en lo que respecta al ámbito profesional). Entonces, ante tales argumentos, podemos decir que Linus Pauling (1901 – 1994) fue un hombre de éxito. No sólo consiguió ganar el Premio Nobel de Química en 1954, también ganó el Nobel de la Paz en 1962. Ganar el codiciado Nobel es algo que prestigia y honra a cualquier ser humano. El señor Pauling, pertenece a ese selecto y reducido grupo de mortales que consiguieron ganar el prestigioso premio en más de una ocasión (sólo cuatro personas han recibido el Premio Nobel dos veces). De joven, No muchos habrían apostado al éxito del señor Pauling. Debido a sus malas calificaciones en historia, el joven Pauling no pudo graduarse de bachiller. Sin embargo, tal obstáculo no impidió que Pauling dejara de lado su verdadera

pasión que era la química. Y claro, después de haber ganado dos Nobeles, la escuela enmendó su error entregándole (cuarenta y cinco años más tarde) el diploma que lo acreditaba como bachiller. Linus Carl Pauling nació en Portland, Estados Unidos, el 28 de febrero de 1901. Fue un bioquímico, pionero en la química cuántica. Gracias a su trabajo, sobre los enlaces químicos, recibió el Premio Nobel de Química en 1954. Pauling, también fue un ferviente activista y en 1962 recibió otro Premio Nobel, esta vez el de la paz, por su activa campaña pacifista y su firme oposición a la proliferación de las armas nucleares. Fuente de la imagen: es.wikipedia.org

Poliedros regulares convexos.

Fuente de la imagen: 357233347953361272.weebly.com Son aquellos cuyas caras son polígonos regulares convexos. Sólo existen cinco poliedros regulares convexos, estos son: Tetraedro (cuatro caras, polígonos que forman las caras: triángulos equiláteros). Cubo o Hexaedro (seis caras, polígonos que forman las caras: cuadrados). Octaedro (ocho caras, polígonos que forman las caras: triángulos equiláteros). Dodecaedro (doce, polígonos que forman las caras: pentágonos regulares). Icosaedro (veinte caras, polígonos que forman las caras: triángulos equiláteros).

A los poliedros regulares convexos también se les llama sólidos platónicos. Tal nombre lo reciben en honor del filósofo griego Platón. Arte y matemática I.

Fuente de la imagen: www.infociudadano.com Aves y peces (mural en relieve) del artista holandés M. C. Escher. Las aves y los peces cubren el espacio sin dejar huecos y no se sobreponen, en otras palabras teselan el plano. Arte y matemática II. "Límite circular cuarto" del artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972). La obra fue tallada en madera en 1960. En ella sobresalen los ángeles y demonios que cubren el área circular (sin sobreponerse y sin dejar huecos) . Obsérvese como los patrones se hacen cada vez más pequeños, hasta volverse puntos que coinciden con la circunferencia que encierra el círculo. Aunque no es la única obra de Escher que trata sobre los teselados de ángeles y diablillos, esta en particular, nos recuerda el concepto matemático de límite.

Fuente de la imagen: m-c-escher.blogspot.com

DE ESQUINA A ESQUINA

Muchas veces un problema geométrico es terriblemente difícil si se lo enfoca de manera equivocada. Se lo enfoca de otra manera y resulta absurdamente simple. Este problema es un caso clásico.

Dadas las dimensiones (en centímetros) que muestra la ilustración, ¿con qué rapidez puedes calcular la longitud de la diagonal del rectángulo que va de la esquina A a la esquina B? Problema copiado del libro: Matemática para divertirse (versión digital, pág. 37), autor: Martin Gardner. Imagen copiada del libro: Matemática para divertirse (versión digital). Repuesta: 10.

17 de julio, cumpleaño de Terence Tao. El matemático australiano, ganador de la Medalla Fields (2006), cumple hoy 39 años de edad. Terence Chi-Shen Tao nació en Adelaide, Australia, el 17 de julio de 1975. Tao fue un niño prodigio, a los dos años de edad era capaz de realizar operaciones aritméticas. A los diez años de edad obtuvo una medalla de bronce en la Olimpiada Internacional de Matemática, posteriormente consiguió la de plata y luego la de oro.

Fuente de la imagen: www.ferfibarlang.hu

Repasando...¿cuál es la respuesta?

Respuesta: 2

Jugando con números dúoperfectos (Nq).

Si tenemos un número perfecto y lo multiplicamos por dos, entonces, el resultado es un número dúoperfecto . Los primeros números dúoperfectos son: 12,56,992,16256. Propiedades. Todo número dúoperfecto se puede expresar de dos, y sólo dos, formas diferentes mediante la suma de sus divisores propios. Ejemplo:

, los divisores propios de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6. La suma de todos los divisores propios de un número dúoperfecto es siempre una potencia de dos. Ejemplo: Los divisores propios de 56 son: 28, 14, 7, 8, 4, 2, 1 sumándolos todos tenemos:

Los números dúoperfectos aparecen en ciertos problemas de combinatoria, como los que se muestran a continuación.

En una fila de 8 asientos, de cuantas maneras diferentes se pueden sentar dos personas de tal manera que siempre quede un número impar de asientos vacíos entre ellos.

Dados los números del 1 al 16, combinar los números de manera tal que entre dos de ellos siempre quede una cantidad impar de números.

Nota: el nombre dúoperfecto ha sido dado por el autor de esta entrada.

Si mi mundo fuera. Si mi mundo fuera una esfera perfecta, a cuatro veces pi por el radio al cuadrado viviría confinado. Recorrería los paralelos, y también los meridianos; atravesando tierras y navegando por mares, en busca de nuevas aventuras. Pero, mi mundo no es una esfera perfecta y a un terruño dividido por fronteras, imaginadas por el hombre, vivo limitado.

Escrito por: José Acevedo Jiménez. Fuente de la imagen: www.cienciaeconomica.com

Pretendiendo ser esferas. Puntos en el espacio equidistan del centro. Superficie de revolución, forma elegida por la naturaleza para representar las cosas más sublimes. Planetas y estrellas pretenden ser como eres y, desde lejos engañan a nuestros ojos. Pero esos, que eligieron tu figura para observarlo todo, no se dejan engañar, pues por más que los astros pretendan, y se puedan acercar, esferas totalmente perfectas nunca serán.

Escrito por: José Acevedo Jiménez. Fuente de la imagen: rsanzcarrera.wordpress.com

El triángulo de Pascal.

¡Maravilloso triángulo, ese de Pascal!, que inicia con el uno para nunca terminar. Coeficientes binominales, dispuestos de manera triangular. Infinitos naturales, forman el triángulo magistral.

Numerosos elementos en el triángulo hallamos, desde la serie Fibonacci hasta algo inesperado, pues, hasta el número pi en tal arreglo lo encontramos. ¡Qué hermosas las matemáticas que Pascal nos ha legado! Escrito por: José Acevedo Jiménez.

La regla del cociente (cálculo).

La derivada de un cociente es la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, todo dividido entre el entre el cuadrado del denominador. Pompa de Jabón Matemática sublime, de naturaleza engañosa que se esconde tras una frágil pompa. Burbuja, esfera perfecta, que elegantemente flota a la merced del viento. ¡Cuántas risas, rebosantes de alegría, de niño compartí contigo! sin saber que guardabas el secreto que los matemáticos han buscado…y yo, como muchos, sólo pensaba en las cosas divertidas que podía hacer al mezclar agua con un poco de jabón.

Escrito por: José Acevedo Jiménez (JAJ). Fuente de la imagen: jugoncita.blogspot.com

Regla de tres.

Si un gato tiene 4 patas, entonces 10 gatos tienen…x patas. ¿Quién dice que en matemáticas no hay celebridades?... La muy conocida regla de tres se usa cuando nos encontramos con problemas donde hay proporcionalidad entre varios valores conocidos y uno que es incógnita. En otras palabras la usamos cuando la razón entre las magnitudes es medible. La regla de tres es tan conocida que podemos considerarla toda una celebridad.

2 de julio, natalicio de Pedro Emilio Paulet Mostajo (1874 - 1945).

El ingeniero químico, mecánico e inventor Pedro Paulet nació en Arequipa, Perú, el 2 de julio de 1874. Fue un pionero de la era espacial y la astronáutica. Sus estudios sobre el desplazamiento de los calamares le permitieron crear la masa química, gracias a la misma pudo lograr el desplazamiento a propulsión a chorro. Inventó el motor a reacción y, basándose en dicho artefacto, construyó el "avión torpedo". En honor a Paulet, el 2 de julio se celebra en Perú el "Día Nacional de la Aeronáutica". Por sus valiosos aportes que llevaron a la humanidad a cruzar los límites de su última frontera, enwww.aprendematematicas.org.mx/ celebramos, junto a todos los latinos y el mundo entero, el natalicio del gran Pedro Paulet. Fuente de la imagen: amautacunadehistoria.com www.aprendematematicas.org.mx/

Fórmula de Herón. La fórmula de Herón permite calcular el área de un triángulo si se conocen sus lados.

Donde: son los lados del triángulo.

es el semiperímetro. La serie de Leibniz, fórmula generalizada.

Fuente de la imagen: Hablemos de Números y Matemáticos (libro formato digital, autor: José Acevedo Jiménez).

La regla de Leibniz (para la derivación de un producto).

En la secundaria, todos repetíamos, a una solo voz: la primera (sin derivar) por la derivada de la segunda más la derivada de la primera por la segunda (sin derivar). Serie de Leibniz. Esta belleza, en la imagen del post, es la llamada serie de Leibniz. Una serie infinita que converge a pi/4. Aunque no es muy eficiente en la práctica, requiere valores muy grandes de (m) para alcanzar cierta precisión, no podemos negar que es toda una joya de las matemáticas.

1 de julio, natalicio de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716). Gottfried Wilhelm Leibniz fue, entre otros oficios, un matemático y filósofo alemán. Nació el 1 de Julio de 1646 en Leipzig (Sajonia, Alemania en la actualidad).

Pese a ser uno de los mayores intelectuales del siglo XVII (considerado como el último de los genios universales), su trabajo no fue bien apreciado en vida y, tuvieron que pasar algunos años para que, finalmente, el gran genio alemán ocupara su estandarte junto a las grandes mentes de la historia. En los últimos años de su vida, mantuvo una disputa con Isaac Newton sobre quien fue el primero en descubrir el cálculo. Hoy día se reconocen ambos matemáticos como los padres del cálculo infinitesimal. Sin embargo, es la notación de Leibniz la que se sigue usando en la actualidad. Los ingleses enterraron a Newton con todas las honras y pompas de un monarca, en cambio, Leibniz murió solo y olvidado por todos, a su entierro sólo asistió su criado. Pero al final, como casi siempre sucede, la historia lo colocó, a la altura de los grandes, junto a aquellos que han escrito sus nombres con letras doradas en el libro indeleble que firman los inmortales.

Fuente de la imagen: moderndilettante.wordpress.com