MATEM´ATICAS para estudiantes de primer curso de facultades y ...

Universidad de Cadiz

Departamento de Matematicas

MATEMATICAS

para estudiantes de primer curso

de facultades y escuelas tecnicas

Tema 6

Trigonometrıa. Resolucion de triangulos

Elaborado por la Profesora Doctora Marıa Teresa Gonzalez Montesinos

Indice

1. Medidas de un angulo: grados sexagesimales y radianes 1

2. Razones trigonometricas 2

2.1. Definiciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Reduccion al primer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Teoremas de adicion 7

4. Resolucion de triangulos 8

4.1. Triangulos rectangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.1. Resolucion de triangulos isosceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.2. Aplicacion a polıgonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.3. Medicion de alturas y distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2. Resolucion de triangulos oblicuangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3. Formulas del area de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Ejercicios propuestos 16

Tema 6 1

1. Medidas de un angulo: grados sexagesimales y radianes

Un angulo es la porcion del plano limitado por dos semirrectas, denominados lados, que tienenun origen comun llamado vertice.

Los angulos siempre se mediran en el sentido contrario de las agujas del reloj, y para realizar dichamedida se hace uso de los denominados grados sexagesimales y radianes.

r

r

r1

rad

0◦

45◦

90◦

135◦

180◦

225◦

270◦

315◦

360◦

Figura 1: Grados sexagesimales y radian.

Llamaremos grado sexagesimal a cada una de las 360 partes iguales en las que se puede dividir unacircunferencia.

Cada grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales, llamadas minutos, y cada minuto a su vezse divide en 60 partes iguales, llamadas segundos:

1◦ = 60′, 1′ = 60′′.

Observese la semejanza de estas divisiones con las fracciones horarias.Los angulos medidos en grados sexagesimales pueden expresarse en forma compleja y en forma

incompleja. Ası, por ejemplo, el angulo 46◦50′24′′ esta expresado en forma compleja, y su expresion enforma incompleja serıa 46′84◦. El paso de una forma a otra se realiza facilmente con una calculadoracientıfica.

Por otro lado, dada una circunferencia de radio r, se llama radian al angulo que abarca un arcode longitud r.

La relacion entre grados sexagesimales y radianes viene dada por

180◦ = π rad .

A partir de la igualdad anterior, haciendo uso de reglas de tres, se tiene que

0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

0 radπ

6rad

π

4rad

π

3rad

π

2rad π rad

3π

2rad 2π rad

2 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas

Es fundamental el hecho de que el angulo no depende en absoluto de la circunferencia elegida, esdecir, cualquiera que sea la circunferencia que se considere, el angulo no varıa.

Ejemplo 1.1 Para expresar el angulo4π

7rad en grados sexagesimales solo debemos hacer:

π rad −→ 180◦

4π

7rad −→ x

}

=⇒ x =4π7

180

π=

4 · 1807

≃ 102′857◦.

Ejemplo 1.2 Expresemos el angulo de 125◦ en radianes:

180◦ −→ π rad125◦ −→ x

}

=⇒ x =125π

180rad =

25π

36rad .

2. Razones trigonometricas

2.1. Definiciones fundamentales

Como se muestra en la figura 2, dado un angulo α, si desde un punto cualquiera de uno de sus ladosse traza la perpendicular al otro lado, se construye un triangulo rectangulo. Sobre este triangulo

α

ab

c

Figura 2: Triangulo rectangulo de hipotenusa a, y de catetos b y c.

rectangulo definiremos las llamadas razones trigonometricas del angulo α:

Seno de α:

sen α =cateto opuesto

hipotenusa=

b

a.

Coseno de α:

cos α =cateto contiguo

hipotenusa=

c

a.

Tangente de α:

tg α =cateto opuesto

cateto contiguo=

sen α

cos α=

b

c.

Estas tres razones trigonometricas son las fundamentales. A partir de estas se pueden definir estastres:

Tema 6 3

a b

c

a′

b′

c′

α

β

β

Figura 3: Triangulos equivalentes.

Cosecante de α:

cosec α =1

sen α=

a

b.

Secante de α:

sec α =1

cos α=

a

c.

Cotangente de α:

ctg α =1

tg α=

cosec α

sec α=

cos α

sen α=

c

b.

Observemos ahora la figura 3: En ella vemos representados dos triangulos rectangulos, uno de ladosa, b, c, y otro de lados a′, b′, c′; no obstante, los angulos agudos de ambos triangulos, α y β, sonexactamente iguales, esto es, los triangulos son semejantes, lo cual quiere decir que sus lados sonproporcionales. De este modo, se puede afirmar que las razones trigonometricas de α –y tambien las deβ– seran las mismas, independientemente del triangulo que usemos para calcularlas, es decir, tenemosque

sen α =b

a=

b′

a′, cos α =

c

a=

c′

a′, tg α =

b

c=

b′

c′.

Analogamente se tendrıa para el resto de las razones trigonometricas.

Visto esto y recordando lo que decıamos en la seccion anterior en relacion a que un angulo no de-pende de la circunferencia donde se represente, consideremos la circunferencia centrada en el origen decoordenadas, esto es, en el punto O(0, 0) y de radio 1, que se denomina circunferencia goniometri-

ca. Haremos uso de esta circunferencia para ver exactamente como se representan geometricamenteel seno y el coseno de cualquier angulo.

En la figura 4 se han representado el seno y el coseno de angulos de cada uno de los cuatrocuadrantes, y se han denotado por x e y respectivamente.

Notese que en cada una de las graficas anteriores aparece un triangulo rectangulo cuya hipotenusamide 1, esto es, el radio de la circunferencia; por lo tanto:

sen α =y

1= y cos α =

x

1= x.


X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

sen>0, cos>0,tg>0 sen>0, cos<0, tg<0

sen<0, cos<0,

tg>0sen<0, cos>0, tg<0

x

y

x

y

x

y

x

y

11

1 1α

α

αα

Figura 4: Representacion geometrica y signos de las razones trigonometricas de un angulo segun elcuadrante del plano.

En cuanto a la tangente de dichos angulos, decir que su representacion grafica carece de interes, y quesu signo puede obtenerse a partir de los signos del seno y del coseno del angulo en cuestion.

En la tabla siguiente aparecen las razones trigonometricas de los angulos fundamentales, cuyosvalores se han obtenido haciendo uso de la circunferencia goniometrica y aplicando las definicionesprecedentes:

0 radπ

6rad

π

4rad

π

3rad

π

2rad π rad

3π

2rad

0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦

sen 01

2

√2

2

√3

21 0 −1

cos 1

√3

2

√2

2

1

20 −1 0

tg 0

√3

31

√3 ∄ 0 ∄

2.2. Propiedades

La formula fundamental de la trigonometrıa viene dada por

sen2 α + cos2 α = 1.

Esta se deduce facilmente a partir de la figura 4.

Si la igualdad anterior de divide por cos2 α y sen2 α, respectivamente, se obtienen estas dos formu-las:

1 + tg2 α = sec2 α, 1 + ctg2 α = cosec2 α.

Tema 6 5

Dado un angulo α del primer cuadrante, es decir, 0◦ < α < 90◦ o 0 < α <π

2, se tienen estas otras

propiedades:

z Si un angulo es mayor que 360◦ = 2π rad, entonces este podra expresarse en la forma

α + 360◦k = α + 2kπ,

donde k ∈ Z indica el numero de revoluciones o vueltas. Claramente las razones trigonometricasdel angulo α + 360◦k son las mismas que las del angulo α.

z Las razones trigonometricas del angulo complementario de α, β = 90◦ − α =π

2− α, son las que

siguen:

sen β = cos α, cos β = sen α, tg β = ctg α.

z Si β = α + 90◦ = α +π

2, entonces

sen β = cos α, cos β = − sen α, tg β = − ctg α.

2.3. Reduccion al primer cuadrante

Las razones trigonometricas de los angulos del segundo, tercer y cuarto cuadrantes se pueden hallarusando las de un angulo del primero, como se muestra en la figura 5 –vease la pagina siguiente–. Ası,si α es un angulo del primer cuadrante, se verifica lo siguiente:

Angulos del segundo cuadrante: El angulo β = 180◦ − α = π − α tendra las siguientes razonestrigonometricas:

sen β = sen α, cos β = − cos α.

Angulos del tercer cuadrante El angulo β = 180◦ + α = π + α tendra las siguientes razonestrigonometricas:

sen β = − sen α, cos β = − cos α.

Angulos del cuarto cuadrante El angulo β = 360◦ − α = 2π − α tendra las siguientes razonestrigonometricas:

sen β = − sen α, cos β = cos α.

Observese que el angulo −α tiene las mismas razones trigonometricas que el angulo β:

sen(−α) = − sen α, cos(−α) = cos α,

donde −α es el angulo α pero medido en el mismo sentido de las agujas del reloj.

Ejemplo 2.1 Calcula las razones trigonometricas del angulo 210◦.

Notese que este angulo esta en el tercer cuadrante, siendo

210◦ = 30◦ + 180◦,


Y

X

Y

X

Y

X

Reducción de ángulos del

segundo cuadranteReducción de ángulos del

tercer cuadrante

Reducción de ángulos del

cuarto cuadrante

α

α

αβ

β

β

sen β

sen β

sen βcos β

cos β

cos β

Figura 5: Reducciones de angulos al primer cuadrante.

de modo que se obtiene

sen 210◦ = − sen 30◦ = −1

2,

cos 210◦ = − cos 30◦ = −√

3

2,

tg 210◦ = tg 30◦ =

√3

3,

cosec 210◦ =1

sen 210◦= −2,

sec 210◦ =1

cos 210◦= −

2√3,

ctg 210◦ =1

tg 210◦=

√3.

Tema 6 7

Ejemplo 2.2 Las razones trigonometricas del angulo x = −π

4son

sen x = − senπ

4= −

√2

2,

cos x = cosπ

4=

√2

2,

tg x = − tgπ

4= −1,

cosec x =1

sen x= −

√2,

sec x =1

cos x=

√2,

ctg x =1

tg x= −1.

Ejemplo 2.3 Hallar las razones trigonometricas del angulo 900◦.Al dividir 900◦ entre 360◦ se obtiene cociente igual a 2 y resto igual a 180◦, de manera que

900◦ = 180◦ + 2 · 360◦,

y tendra las mismas razones que 180◦, las cuales ya son conocidas.

3. Teoremas de adicion

Sean x e y dos angulos cualesquiera. Entonces se tiene:

z Razones trigonometricas de la suma y diferencia de angulos:

sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y

sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y

cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y

tg(x + y) =tg x + tg y

1 − tg x tg y

tg(x − y) =tg x − tg y

1 + tg x tg y

z Razones trigonometricas del angulo doble:

sen 2x = 2 sen x cos x

cos 2x = cos2 x − sen2 x = 1 − 2 sen2 x = 2cos2 x − 1

tg 2x =2 tg x

1 − tg2 x

z Razones trigonometricas del angulo mitad:

senx

2= ±

√

1 − cos x

2

cosx

2= ±

√

1 + cos x

2

tgx

2= ±

√

1 − cos x

1 + cos x


A B

C

ab

c

z Transformaciones de sumas y diferencias en productos:

sen x + sen y = 2 senx + y

2cos

x − y

2

sen x − sen y = 2cosx + y

2sen

x − y

2

cos x + cos y = 2cosx + y

2cos

x − y

2

cos x − cos y = −2 senx + y

2sen

x − y

2

Ejemplo 3.1 Para hallar sen 105◦, hacemos

105◦ = 60◦ + 45◦,

de manera que

sen 105◦ = sen 60◦ cos 45◦ + sen 45◦ cos 60◦ =

√3

2

√2

2+

√2

2

1

2=

√6 +

√2

4.

Ejemplo 3.2 Hallemos cos 15◦. Observese que 15◦ =30◦

2y que es un angulo del primer cuadrante,

por lo que

cos 15◦ =

√

1 + cos 30◦

2=

√

1 +√

3

2

2=

√

2 +√

3

4.

4. Resolucion de triangulos

El objetivo de la trigonometrıa es la resolucion de triangulos, es decir, considerados los seiselementos de un triangulo –tres angulos, A, B, C, y tres lados, a, b, c–, resolverlo consiste en calcularlos elementos desconocidos a partir de los que ya se conocen o a partir de ciertos datos. La notacionadoptada en este tema, salvo en casos particulares, sera la que se muestra en la figura 6: tanto losvertices del triangulo como los angulos correspondientes a ellos se denotaran por letras mayusculas–habitualmente A, B, C–, empezando por un vertice y siguiendo el sentido contrario de las agujas delreloj; los lados opuestos a dichos angulos se denotaran con las mismas letras, pero en minusculas –a,b, c–.

Nota 4.1 Dado cualquier triangulo, la suma de sus angulos es de 180◦ = π rad. Este hecho se consi-derara como un dato mas a la hora de la resolucion de un triangulo. ♦

Tema 6 9

4.1. Triangulos rectangulos

Los triangulos rectangulos se resuelven facilmente haciendo uso del teorema de Pitagoras, estoes,

a2 = b2 + c2,

y de las definiciones que se estudiaron en el tema anterior.

Observese que como A = 90◦ =π

2rad, teniendo en cuenta la Nota 4.1 debe ser

B + C = 90◦ =π

2rad . (1)

Ejemplo 4.1 Resuelve un triangulo rectangulo de hipotenusa a = 54 m y de angulo B = 32◦.

A B = 32◦

C

a = 54mb

c

Gracias a (1) sabemos que C = 58◦. Por otro lado,

sen B =b

a⇐⇒ sen 32◦ = 0′53 =

b

54⇐⇒ b = 0′53 · 54 m = 28′62m.

Conocido el cateto b, el cateto c puede calcularse de dos formas distintas:

Usando el teorema de Pitagoras:

c =√

a2 − b2 =√

542 − 28′622 = 45′79m.

Mediante definiciones trigonometricas:

sen C = cos Bc

a.

Ejemplo 4.2 Resuelvase el triangulo rectangulo de hipotenusa a = 62m y cateto b = 32m.

A B

C

a = 62mb = 32m

c


Para calcular el cateto c se aplica el teorema de Pitagoras:

c =√

a2 − b2 =√

622 − 322 = 53′10m.

Hallemos, por ejemplo, el angulo B:

sen B =b

a=

32

62= 0′52 =⇒ B = arcsen 0′52 = 31◦4′22′′,

con lo que C = 90◦ − B = 58◦55′38′′.

4.1.1. Resolucion de triangulos isosceles

Un triangulo isosceles es un triangulo que tiene dos lados iguales y, por tanto, dos angulostambien iguales. En la figura 8 vemos representado uno de altura h y base a, siendo B = C y b = c.Notese que la altura h divide al triangulo en dos triangulos rectangulos exactamente iguales, de modoque resolviendo uno de estos, la resolucion del triangulo isosceles es inmediata. De este modo, si se

A

B Ca

bch

Figura 6: Triangulo isosceles.

desea resolver un triangulo isosceles cuya base mide 24 cm y cuya altura es de 28 cm, teniendo encuenta la figura

A

B Ca=24 cm

bc

h=28 cm

A′=A/2

a′=

a

2=12 cm

h=28 cm

C

b

tendremos por un lado que, aplicando el teorema de Pitagoras,

b = c =√

a′2 + h2 =√

122 + 282 = 30′46 cm.

Tema 6 11

A B

O

a

l

r

Figura 7: Polıgono regular de lado l y apotema a, inscrito en una circunferencia de radio r.

Por otro lado:

tg C =h

a′=

28

12= 2′33 =⇒ C = B = arc tg 2′33 = 66◦46′18′′.

Como A′ + C = 90◦, entonces A′ =A

2= 90◦ − 66◦46′18′′ = 23◦13′42′′. De este modo,

A = 2A′ = 46◦27′24′′.

4.1.2. Aplicacion a polıgonos regulares

La resolucion de polıgonos regulares queda reducida a la de triangulos isosceles. Si tenemos unpolıgono regular de n lados entonces el angulo central sera

O =360◦

n=

2π

nrad .

Ejemplo 4.3 El apotema de un pentagono regular es a = 125 cm. Hallese la medida del lado.

Teniendo en cuenta la figura 9, lo que hay que resolver realmente es el triangulo isosceles

A B

O = 72◦

a = 125 cm

l l/2

r


En este caso se obtiene un angulo central O =360◦

5= 72◦, de modo que A = B = 54◦, y por lo tanto:

tg B =a

l/2=

2a

l=⇒ tg 54◦ = 1′377 =

2 · 125l

=⇒ l =250

1′377= 181′55 cm.

4.1.3. Medicion de alturas y distancias

La medicion directa de alturas y distancias es una operacion que a menudo resulta difıcil y, a veces,imposible. No sucede lo mismo cuando se trata de angulos, ya que su medida se logra con facilidad yexactitud, merced a instrumentos especiales como el grafometro1, que mide angulos horizontales, y elteodolito2, que mide angulos tanto verticales como horizontales.

Sin embargo la medicion indirecta de distancias es posible –como una de las aplicaciones practicasde la trigonometrıa– basandonos en la resolucion de triangulos. Es por esta razon por la se destaca laimportancia de la trigonometrıa en topografıa, agrimensura, etc.

El caso mas estudiado queda perfectamente representado en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 4.4 El punto mas alto de una torre se divisa desde el suelo bajo un angulo de 45◦, y si nosalejamos 40 m dicho punto se ve bajo un angulo de 30◦. Hallese la altura de la torre y la distancia alpie de esta en la medicion inicial.

h

40m

30◦ 45◦

x

En la figura anterior se distinguen dos triangulos rectangulos: uno de catetos h y x, con un angulo de45◦ sobre la horizontal, y otro de catetos h y x + 40, con un angulo de 30◦ sobre la horizontal.

Este tipo de problemas se resolvera como sigue:

tg 45◦ =h

x=⇒ 1 =

h

x=⇒ x = h, (2)

tg 30◦ =h

x + 40=⇒

1√3

=h

x + 40=⇒ x + 40 =

√3h. (3)

Las ecuaciones (2) y (3) constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas: h y x; resueltoeste sistema el problema tambien lo estara. Entonces, sustituyendo (2) en (3) se obtiene

h + 40 =√

3h =⇒ (√

3 − 1)h = 40 =⇒ h = x =40√3 − 1

= 54′64m.

1Semicırculo graduado, con dos alidadas o anteojos, uno fijo y otro movil, que sirve para medir cualquier angulo en

las operaciones topograficas.2Instrumento de precision que se compone de un cırculo horizontal y un semicırculo vertical, ambos graduados y

provistos de anteojos, para medir angulos en sus planos respectivos.

Tema 6 13

Ejemplo 4.5 Al borde de un acantilado se situa un faro de 30 metros de altura desde el cual se divisaun barco con un angulo de depresion de 30◦. Cuando el barco esta a 100 m del pie del acantilado, elangulo de depresion pasa a ser de 60◦. Calcular la altura del acantilado sobre el nivel del mar y ladistancia recorrida por el barco.

h

30m

60◦ 30◦

100m x

Este caso es similar al anterior, pero ahora sı que podemos calcular h directamente:

tg 60◦ =30 + h

100=⇒

√3 =

30 + h

100=⇒ h = 100

√3 − 30 = 143′21m.

Para calcular x hacemos

tg 30◦ =30 + h

100 + x=⇒

1√3

=30 + 143′21

100 + x=

173′21

100 + x=⇒

=⇒ 100 + x = 173′21√

3 =⇒ x = 173′21√

3 − 100 = 200m.

4.2. Resolucion de triangulos oblicuangulos

Llamaremos triangulo oblicuangulo a todo triangulo que no sea ni rectangulo ni isosceles.

En cuanto a la resolucion del triangulo decir que se presentan cuatro casos, dependiendo de losdatos que se conozcan:

1. un lado y dos angulos adyacentes a el;

2. dos lados y el angulo comprendido;

3. dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos;

4. tres lados.

Nota 4.2 Obligatoriamente uno de los datos debe ser un lado. En caso contrario, el triangulo sera irre-soluble. ♦

En la practica, en lugar de distinguir los casos anteriores, se procedera a saber relacionar las incognitascon los datos que se proporcionen. Para ello haremos uso de dos herramientas fundamentales: elteorema de los senos y el teorema del coseno. Con la notacion adoptada en la figura 10, elteorema de los senos viene dado por

a

senA=

b

sen B=

c

sen C= 2r,

donde r es el radio de la circunferencia circunscrita al triangulo.


b

r

A B

C

ab

c

Figura 8: Triangulo con su correspondiente circunferencia circunscrita de radio r.

El teorema del coseno tiene las expresiones que siguen, siendo las tres equivalentes:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A,

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B,

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.

Ejemplo 4.6 Resolvamos el triangulo de lado a = 25 cm y angulos B = 36◦30′ y C = 58◦45′.

A B = 36◦30′

C = 58◦45′

a = 25 cmb

c

Como A + B + C = 180◦, entonces

A = 180◦ − 36◦30′ − 58◦45′ = 84◦45′.

Aplicando el teorema de los senos se tendra que:

25

sen 84◦45′=

b

sen 36◦30′=⇒ b =

25 sen 36◦30′

sen 84◦45′= 14′93 cm.

Para calcular el lado c se puede aplicar tanto el teorema de los senos como el del coseno; aplicandoeste ultimo se obtiene:

c2 = 252 + 14′932 − 2 · 25 · 14′93 · cos 58◦45′ = 460′64 =⇒ c = 21′46 cm.

Tema 6 15

Ejemplo 4.7 Resolvamos el triangulo de lados a = 12 m, b = 20 m y c = 15 m.

A B

C

a = 12mb = 20m

c = 15m

Como no conocemos ningun angulo solo podemos aplicar el teorema del coseno; ası:

122 = 202 + 152 − 2 · 20 · 15 · cos A =⇒ 144 = 625 − 600 cos A =⇒

=⇒ cos A =481

600= 0′802 =⇒ A = 36◦42′37′′.

Para calcular el angulo B apliquemos el teorema de los senos:

12

sen 36◦42′37′′=

20

sen B=⇒ sen B =

20 sen 36◦42′37′′

12= 0′9963 =⇒ B = 85◦3′27′′.

Por ultimo,

C = 180◦ − A − B = 58◦13′56′′.

4.3. Formulas del area de un triangulo

De todos es conocida la expresion del area de un triangulo en funcion de su base y su altura:

base · altura

2.

Decir que todo triangulo posee tres alturas, una por cada vertice3. Si denotamos por S el area deltriangulo de la figura 11, tendremos que:

S =ahA

2=

bhB

2=

chC

2. (4)

El area de un triangulo tambien puede expresarse en funcion del radio de la circunferencia circunscrita,r, –recuerdese figura 10–, siendo

S =abc

4r.

Ejemplo 4.8 Si consideramos el triangulo del ejemplo 4.7 y denotamos por r al radio de la circunfe-rencia circunscrita entonces, por el teorema de los senos,

a

sen A=

12

sen 36◦42′37′′= 2r =⇒ 2r = 20′075m =⇒ r = 10′0375m.

3Una altura correspondiente a un vertice es una recta que pasa por dicho vertice y que es perpendicular al lado

opuesto a este, aunque en este caso estamos considerando la altura como la longitud del segmento que va desde el vertice

hasta el lado.


A B

C

ab

c

hA

hB

hC

Figura 9: Triangulo con sus tres alturas.

Por lo tanto, si S es el area del triangulo en cuestion, se obtiene:

S =12 · 20 · 154 · 10′0375

m2 = 89′664m2.

Calculemos ahora las tres alturas de dicho triangulo. Ası, teniendo en cuenta la expresion (4), lasalturas vendran dadas por:

hA =2S

a, hB =

2S

b, hC =

2S

c,

es decir,

hA =179′328

12= 14′944m, hB =

179′328

20= 8′9664m,

hC =179′328

15= 11′9552m.

5. Ejercicios propuestos

(1) Expresa en radianes los angulos siguientes:

34◦54′32′′, 150◦23′9′′, 306◦15′30′′.

(2) Expresa en grados sexagesimales los angulos que siguen:

5π rad, 7′8 rad,7π

8rad .

(3) Expresa los siguientes angulos indicando el numero de revoluciones o vueltas:

10π

3rad, 686◦45′10′′, 1432′25◦.

(4) Si el coseno de un angulo agudo vale2

3, hallese el seno y la tangente.

Tema 6 17

(5) Un angulo agudo tiene su tangente igual a8

15. Hallar su seno y su coseno.

(6) Calcular los angulos positivos menores de 360◦ que verifican:

a) cos x = −√

2

2, b) sen x = −

√3

2, c) tg x =

√3.

(7) Mediante reduccion al primer cuadrante, calcular las razones trigonometricas de los siguientesangulos:

5π

4rad, −60◦,

7π

6rad, 315◦, 210◦, −

2π

3rad .

(8) Calcular las razones trigonometricas de los siguientes angulos expresados en radianes:

11π

3, −

6π

4,

19π

2,

7π

6, −

15π

4.

(9) Hallar las razones trigonometricas de los siguientes angulos expresados en grados:

700◦, 865◦, 1550◦, 562◦.

(10) Calcular el valor de las expresiones de los angulos que se indican, simplificando previamente:

a)ctg2 α − sec2 α

ctg α − sec α,

b)3 sen4 α − 3

sen2 α + 1,

en α = 60◦, α = 180◦, α = 225◦, α = 270◦.

(11) Hallar las restantes razones trigonometricas en los siguientes casos:

a) tg x =4

3, π < x <

3π

2,

b) cos x = −2

3,

π

2< x < π,

c) sen x =3

5, 0 < x <

π

2,

d) tg x = −8

15,

π

2< x < π,

e) ctg x =24

7, π < x <

3π

2,

f) sec x =13

2,

3π

2< x < 2π.

(12) Simplificar tgα

2+ 2 sen2

α

2ctg α.

(13) Hallar las razones trigonometricas de 8175◦.

(14) Teniendo en cuenta las razones trigonometricas del angulo de 45◦, hallar tg 67◦30′.

(15) Si sen α =3

5, hallar sen 2α, α ∈

[π

2, π

]

.


(16) Hallar las razones trigonometricas deα

2si sec α =

25

7.

(17) Calcular sen 75◦ + sen 15◦.

(18) Si ctg α = 3, hallar sen 2α, con α ∈(π

4,π

2

)

.

(19) Hallar cosec(α + β) si cosec α = 3, cosec β = 2 y α, β ∈(

0,π

2

)

.

(20) Simplificarsen(α + β) + sen(α − β)

cos(α − β) − cos(α + β).

(21) Si sen 70◦ + sen 36◦ = 1′5275 y cos 70◦ + cos 36◦ = 1′1510, hallar tg 53◦.

(22) Calcular el coseno de 16◦ si cos 24◦ + cos 56◦ = 0′7660.

(23) Convierte en sumas las siguientes expresiones:

cos 5x sen 2x, sen 4x sen 6x.

(24) La hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 6 cm y uno de sus angulos agudos 30◦. Hallar loscatetos.

(25) Resolver un triangulo rectangulo sabiendo que uno de sus angulos es el doble del otro y que uncateto mide 8 m.

(26) Hallar el area de un decagono regular de 8 cm de lado.

(27) Hallar el lado de pentagono regular de 520 cm2 de area.

(28) Calcula los angulos de un rombo cuyas diagonales miden 13 cm y 9 cm.

(29) Calcula los angulos de un trapecio isosceles cuyas bases miden 83 m y 51 m, y la altura 61 m.

(30) Un lado de un paralelogramo mide 56 cm y los angulos formados por este lado y las diagonalesson 31◦41′ y 45◦37′. Calcula los lados del paralelogramo.

(31) Desde el balcon de una casa situada a 4 m de altura sobre el suelo se divisa la cuspide de unatorre bajo un angulo de 30◦. Si nos situamos en la calle, al pie de dicha casa, se ve bajo un angulode 45◦. Hallar la altura de la torre.

(32) Desde la orilla de un rıo se ve un arbol en la otra orilla bajo un angulo de 45◦ y, si se retrocede 4m, se ve bajo un angulo de 30◦. Hallar la altura del arbol.

(33) Calcula la altura de una torre situada en un terreno horizontal, sabiendo que con un aparato de1’20 m de altura, colocado a 20 m de ella, se ha medido el angulo que forma con la horizontal lavisual dirigida al punto mas elevado, y se ha obtenido 48◦30′.

(34) Desde cierto lugar del suelo se ve el punto mas alto de una torre formando un angulo de 30◦ conla horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre este angulo se hace de 60◦. Calcula laaltura de la torre.

(35) Desde la altura de 6.000 m, el piloto de un avion observa la luz de un aeropuerto bajo un angulode depresion de 30◦. Calcula la distancia entre el avion y el foco.

Tema 6 19

(36) Dos vehıculos salen a la misma hora del mismo punto con direcciones que forman un angulo de 45◦.La velocidad del vehıculo mas lento es de 80 km/h. Al cabo de una hora y media, ¿que distanciales separa, si la recta que los une forma un angulo de 30◦ con la que indica la direccion del masrapido?

(37) Dos observadores, uno desde el este y otro desde el oeste, miran un globo situado en el plano verticalque pasa por ellos. La distancia entre los observadores es de 2 km y los angulos de elevacion delglobo desde los observadores son 48◦ y 56◦, respectivamente. Hallar a que distancia del suelo seencuentra el globo.

(38) Resolver un triangulo de lados 1 y 2 m, respectivamente, siendo de 132◦ el angulo comprendidoentre ellos.

(39) Si los lados de un triangulo son 20, 15 y 26 cm, respectivamente, hallar el angulo opuesto al ladomenor.

(40) Dos angulos de un triangulo miden 72◦ y 64◦, respectivamente, y 8 cm el lado opuesto al angulode 72◦. Resolver dicho triangulo.

(41) Resolver un triangulo, dos de cuyos lados miden 6 y 7 m, y el angulo que forman, 82◦.

(42) Si en el problema anterior el angulo dado es 30◦, hallar los elementos del triangulo.

(43) En un triangulo, un lado mide 8 cm y su angulo opuesto, 40◦. Si otro lado mide 5 cm, hallar losrestantes elementos de dicho triangulo.

(44) Dos lados de un triangulo miden 12 y 10 cm, respectivamente, y el angulo que forman, 60◦. Hallarlos restantes angulos.

(45) Hallar el area de un triangulo si a = 57′25 m, A = 65◦36′ y C = 57◦12′.

(46) Calcular el area de un triangulo de lados 15, 7 y 14 m.

(47) En un triangulo, el radio de su circunferencia circunscrita mide 6 m, un lado 7 m y un angulo noopuesto a dicho lado, 43◦. Resolverlo.

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