Matemáticas para dummies Introducción
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Matemáticas para dummies Introducción
sábado, noviembre 26, 2005
Tomas Bradanovic Filosofía barata, historias, historietas, mecánica, moralejas, chamullos, relatos absurdos, la vida de un vago, cosas de Arica,
fotografía de autor, literatura, dibujo, escultura, pornografía, política, cocina regional, minas, copete y otras cosas por el
estilo. Las increibles, absurdas y a menudo aburridas aventuras de nuestro hombre en Arica from the trenches, in the
Northern Front. Sacar a mil, sacar a mil.
Ya me carrilié con la música, ahora leyendo el blog del Ivi League Hernando, me entusiasmé
con otro tema que parece fome pero es super entretenido (siempre y cuando no tengas que
dar pruebas): las matemáticas. Obviamente no soy matemático así es que cualquier error
grosero, favor corregírmelo. La verdad es que esto lo escribí hace mucho tiempo, solo lo copio
aquí porque creo que puede ser interesante para algunos.
Tal como la música clásica que al principio parece difícil y aburrida, las matemáticas esconden
su belleza detrás de un árido aparataje de operaciones, pero existe un aspecto estético que
puede causar placer y adicción al que llega a entenderla. Lejos de dominar las matemáticas,
yo solo alcancé a intuir una pequeña parte del asunto y si no seguí estudiando fue
precisamente cuando me di cuenta que con mi escasa concentración nunca iba a ser bueno
en el asunto. Igual quiero compartir algunas cosas lindas y entretenidas que existen detrás de
la operatoria y la memorización de enredados procedimientos.
Intuición y formalismo: toda teoría matemática es intuitiva en sus fundamentos y formal en
su desarrollo, casi todos podemos entender la parte intuitiva, ya que responde a realidades,
observaciones, cosas que percibimos y –aunque no las entendamos claramente- podemos
intuir.
El desarrollo formal en cambio, que consiste en sacar consecuencias de esas ideas intuitivas
sin caer en contradicciones es casi siempre un asunto complicado. Es la parte “mecánica”, la
más árida y fructífera de las matemáticas.
Tomemos por ejemplo la teoría de los números, Todos sabemos contar: 1,2,3,4 etc... es algo
que aprendimos casi junto con hablar y se basa en ideas intuitivas muy comunes: mucho,
poco, nada, quedar debiendo, todo y partes de un todo. Así es como existen los números
naturales (“todos”) y las fracciones (“partes de un todo”), existe la idea del cero (“nada”) y de
quedar en deuda (“números negativos”), esas son las bases intuitivas de los números, cosas
bastante simples para cualquiera de nosotros.
Sin embargo al formalizar la teoría tenemos consecuencias extrañas y extremadamente
complicadas ¿cuántos números reales existen? “infinitos” es decir tantos que por más que
contemos siempre existirán mas. Sin embargo entre dos números, digamos entre el 1 y el 2
también existen infinitas fracciones. Es decir que existe un conjunto infinito de elementos y
cada elemento en si contiene subconjuntos infinitos. Más aún, entre dos fracciones cualquiera,
no importa cuan cerca estén también podemos encontrar infinitos elementos, cosa que va en
contra de nuestra experiencia y de nuestra idea intuitiva de “infinito”. He escuchado que Georg
Cantor, el matemático que aportó mucho a formalizar la teoría de conjuntos se murió loco. No
me extrañaría que en una especulación de ese tipo se haya pasado de revoluciones.
Geometría y álgebra: la geometría se dedica a las formas, el álgebra a las predicciones en
base a igualdades. El método de la geometría es observar formas e idealizarlas para
comprender sus “propiedades esenciales”, aquellas que no cambian entre elementos
similares.
El álgebra en cambio se basa en el equilibrio, se trata de escribir igualdades y mantenerlas
equilibradas, mientras se mantenga la igualdad podemos cambiar el orden de los elementos,
bajo ciertas reglas, lo que nos permite “despejar” o aislar las incógnitas, es decir las
cantidades que no conocemos. De este modo si tenemos una o más igualdades que
contengan una o más cantidades desconocidas, podemos “manipularlas” (o sea cambiar su
orden) para encontrar el valor de estas cantidades desconocidas en función de las que
conocemos.
Gracias Pitágoras por c²=a²+b²: una muestra notable del poder predictivo
de las matemáticas es que en la época de los griegos, ya fueron capaces de
calcular el diámetro de la tierra “sin haberse movido de su escritorio” por la
simple medición de una sombra. Esa es para mi una de las muestras más
asombrosas del poder que se obtiene al formalizar una teoría matemática,
en este caso el Teorema de Pitágoras, uno de los descubrimientos más
útiles en la historia de la ciencia y tecnología.
El Teorema de Pitágoras c²=a²+b², permite conocer uno de los lados de un triángulo
rectángulo cuando se conocen los otros dos. Nada muy impresionante en apariencia pero con
una multitud de consecuencias para la ciencia, tecnología y la vida diaria.
Con la teoría que se desarrolló en base al Teorema de Pitágoras, la trigonometría
(trigo=triángulo, metría=mediciones), es posible resolver la mayoría de los problemas físico
geométricos en un espacio de dos dimensiones y con alguns modificaciones (la trigonometría
esférica) se pueden resolver los problemas en tres dimensiones o sea todo el espacio que
podemos percibir con nuestros sentidos: ancho, alto y largo.
Una simple observación intuitiva, práctica, al ser formalmente desarrollada permite describir y
predecir la mayoría de los problemas físicos, reales que podemos percibir con nuestra
experiencia sensorial. La geometría plana, del espacio y la esférica, junto con la geometría
analítica (es decir los métodos del álgebra aplicados a los problemas geométricos) nos
entregan una herramienta de un poder inmenso para predecir acontecimientos futuros: la
trayectoria de un proyectil, el movimiento de cualquier cuerpo, medidas de área, volumen y
superficie, etc
Las consecuencias de un movimiento circular: cuando a un matemático (Descartes me
imagino), se le ocurrió pensar en una partícula que gira en un círculo, y colocar un cuadrante
de dos ejes que pasan por el centro del movimiento, nació la trigonometría. De allí a la genial
idea de que cualquier curva o figura geométrica puede ser representada por una ecuación
(geometría analítica) había solo un paso.
Aquí las consecuencias del Teorema de Pitágoras alcanzaron un poder enorme. Si
consideramos la partícula girando, el ángulo y el triángulo que va formando con los ejes, el
Teorema de Pitágoras que relaciona a un triangulo rectángulo con una ecuación y las
relaciones entre los lados y los ángulos (seno, coseno, tangente, cotangente), tenemos las
bases del aparato matemático más útil jamás creado.
La geometría está en todo: algo notable es que casi todos los problemas que estudian las
ciencias duras terminan reducidos a cuestiones geométricas. La física, química y biología son,
en sus niveles más fundamentales asuntos geométricos porque la materia se mueve, se
asocia y se comporta de acuerdo a su forma. Por un lado la geometría estudia las formas y el
álgebra “despeja incógnitas” es decir, predice. La combinación de ambas es una muy potente
herramienta.
La geometría también parte de bases intuitivas muy simples: hay cosas derechas y otras
chuecas, hay formas características en la naturaleza que pueden idealizarse: triángulos,
cuadrados, pentágonos, etc. Hasta llegar a la circunferencia (un polígono con infinitos lados),
también hay cubos, conos, etc. La parábola es la trayectoria natural de cualquier cuerpo que
cae, eso es algo que podemos observar tirando una piedra, todos los fundamentos son ideas
simples e intuitivas.
Pero también en la naturaleza existe multitud de formas que no son “puras” (en verdad no creo
que existan formas rigurosamente ideales) ¿cómo tratar estas formas impuras como por
ejemplo la trayectoria del vuelo de una mosca?. Bueno, un señor de apellido Laplace inventó
la famosa transformada que lleva su nombre y que permite representar cualquier curva como
una suma de funciones trigonométricas. Así podemos tener ecuaciones que representan no
solo a las formas ideales sino también a las reales: esta transformación es una herramienta de
enorme valor para representar, por ejemplo, los complicadísimos fenómenos ondulatorios, tan
comunes en la naturaleza.
Formas y predicciones: geometría y álgebra; representar curvas y formas como ecuaciones
nos permite predecir el futuro. Como conocemos la ecuación de la parábola podemos predecir
exactamente la trayectoria de cualquier cosa que tiremos si conocemos las fuerzas que están
actuando en el momento. Gracias a eso se pueden poner satélites en órbita y también se
puede apuntar un cañón, entre muchas otras cosas útiles.
La suma infinita: pero a medida que tratamos de crear modelos (ecuaciones) más exactos
vamos necesitando nuevos métodos: es lo que le pasó a Newton cuando trataba de modelar
fenómenos más complicados, llegado un momento necesitó calcular áreas que no
correspondían a ninguna de las formas ideales, para las cuales conocemos su ecuación.
Teniendo una curva cualquiera Newton necesitaba saber cual era el área encerrada debajo de
ella, como ni la geometría ni el álgebra clásicos le daban respuesta a esto tuvo que desarrollar
el cálculo diferencial e integral.
La idea intuitiva del cálculo también es bastante simple: como la curva es “irregular” se trataba
de sumar infinitos rectángulos de un ancho muy pequeño (infinitesimal) y de distinta altura. La
operación algebraica para hacer esto no es tan sencilla, tampoco el desarrollo formal de los
métodos, pero la idea fundamental, intuitiva sigue siendo simple: Una integral definida es una
suma de rectángulos infinitesimalmente delgados.
Y la parte complicada: cuando empezaron a estudiarse los fenómenos electromagnéticos el
asunto se complicó bastante. La verdad es que un campo eléctrico y otro magnético,
esféricos, desplazados en noventa grados, y que a su vez avanza en dirección perpendicular a
ambos es un asunto que ninguna persona normal se puede imaginar usando la intuición,
entonces llegamos a un punto en que los fenómenos físicos ya no pueden ser imaginados sino
que solamente representados matemáticamente. Surge el cálculo vectorial para
representarlos, con conceptos que ya casi no tienen nada de intuitivo: gradiente, rotor y
divergencia.
Peor aún en el estudio de las partículas subatómicas y de la física cuántica, donde los
fenómenos pierden gran parte de su equivalencia con percepciones a las que estamos
acostumbrados. Es lo que ocurre con la representación de partícula-onda, el principio de
incertidumbre, los cuantos, etc. Que ya no pueden ser imaginados sino solo representados –y
manipulados- matemáticamente por una combinación de estadísticas con el cálculo tensorial.
Por allí la cosa ya se pone peluda, y yo mejor no me meto.
Para ser un buen matemático: las condiciones que debe tener un buen matemático son
contradictorias; por una parte debe tener facilidad con la operatoria mecánica, capacidad de
concentración y habilidad para desenredar asuntos complicados. Por otra parte debe tener
golpe de vista, intuición, capacidad para inventar, "ver" cosas que aún no entiende.
Generalmente en los matemáticos predomina bien la parte mecánica o bien la intuitiva, solo
los muy grandes tienen ambas simultáneamente, el mismo Einstein reconocía tener problemas
de concentración y ser "muy lento" para entender las matemáticas que necesitaba en su
trabajo, siempre trabajó con ayudantes para el desarrollo pesado.
Por eso la formación matemática exige un durísimo entrenamiento mecánico: se necesitan
años de agrupar términos semejantes, factorizar, simplificar, despejar y reconocer ecuaciones
típicas antes de poder entender el fondo del asunto. Igual que el atleta debe entrenar duro
todos los días, un futuro matemático debe hacer lo mismo hasta desarrollar habilidades que
nuestro cerebro no trae de fábrica. Me imagino que antiguamente debe haber sido todavía
peor.
A mi me gustaría que me hubiesen enseñado matemáticas de manera distinta. Me vinieron a
gustar demasiado tarde, después de años de memorizar y entrenarme en la aburridísima
operatoria y mecánica algebraica. Creo que las matemáticas no debieran enseñarse con una
aproximación lógica (casi cronológica) como se hace ahora, sino que debiera ir a saltos de
modo de entregar una visión mucho más global e interesante, que haga ver que es algo que
realmente vale la pena aprender., que motive a sacrificarse.
Me parece que el actual sistema solo entusiasma a los "mecánicos de nacimiento", los que
cuando llega el momento de innovar se dan cuenta que han alcanzado su límite. Me gustaría
pensar que a alguien que esté estudiando el ciclo básico de matemáticas en la universidad le
sirviera esto que he escrito para tener una idea de adonde va la micro y darse cuenta que toda
la aridez y sacrificio que requiere dominar la operatoria al final tienen su recompensa.