Matemáticas Sesión #6. Funciones exponenciales y logarítmicas y el

uso de las progresiones aritméticas y geométricas.

Contextualización

Las funciones exponenciales y logarítmicas se les conoce como trascendentes, ya que no se pueden definirse en términos de las operaciones aritméticas en función de una variable x. Tienen gran importancia en matemáticas y se aplican en casi todos los campos de trabajo del hombre

En esta sesión aprenderemos a conocer e interpretar las funciones exponenciales y logarítmicas y entender que entre ellas hay una estrecha relación siendo que una es la inversa de la otra.

También reconoceremos las condiciones que tenemos para que una sucesión o progresión sea aritmética o geométrica y para que su suma exista. Además aprenderemos a encontrar el término n y la suma parcial hasta un término n en cada progresión.

Introducción.

Consideremos los siguientes cuestionamientos:

¿En qué áreas de trabajo se aplican las funciones exponenciales y logarítmicas?

¿Estas funciones pueden trabajarse como ecuaciones? y ¿se podrá obtener su solución?

Las funciones exponencial y logarítmica son funciones que se aplican ampliamente en el campo laboral del hombre; resultando especialmente útiles en los campos de la química, biología, física e ingeniería, donde contribuyen a describir cómo crecen o decrecen las magnitudes de la naturaleza.

Introducción

Una sucesión es una secuencia de cosas, una tras otra en un

cierto orden y con una característica entre ellas. Pueden ser

finitas o infinitas.

¿Podremos considerar que una sucesión es una progresión?

¿Qué es un término n en una progresión?

¿Qué es la suma parcial dé n términos en una sucesión?

Éstas y muchas preguntas son las tenemos por responder en

el análisis del concepto de sucesión o progresión.

Explicación

Función exponencial.

Definición de la función exponencial general:

Si f(x) = ax para todo x en el conjunto de los reales, donde a>0 y a≠0.

Explicación

Una de las aplicaciones que podemos darle a la función exponencial es la

de solucionar ecuaciones.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

Solución: Por el teorema de funciones exponenciales biunívocas sabemos

que si dos ecuaciones exponenciales tienen la misma base tendrán el

mismo exponente.

Explicación

Entonces en nuestra ecuación consideremos que para que las bases sean

iguales debemos de transformar el 16 en forma exponencial como 42, por

lo tanto:

Al tener bases semejantes, se igualan los exponentes: 5x-8 = 2(x+2)

Despejamos de esta ecuación “x” obtenemos: x= 4.

Explicación

Aplicaciones prácticas de la función exponencial.

Crecimiento de bacterias. Las funciones exponenciales resultan útiles

para describir el crecimiento de ciertas poblaciones. Como ilustración

supongamos que a nivel experimental se observa que el número de

bacterias de un cultivo se duplica cada día. Si hay 1000 ejemplares en el

comienzo, se obtiene la tabla siguiente, donde t es el tiempo en días y f(t)

es el conteo de bacterias en el tiempo t.

T(tiempo en días) 0 1 2 3 4

f(t)(conteo de bacterias) 1000 2000 4000 8000 16000

Explicación

Está claro que f(t) = (1000)2t

Con esta fórmula se puede predecir la cantidad de bacterias presentes en

cualquier tiempo t; por ejemplo en t=1.5

F (1.5) = (1000)21.5 = 2828.

Definición de función exponencial natural.

Está definida por f(x) = ex para todo número real x.

Aplicación práctica. Interés compuesto continuamente.

Explicación

Funciones logarítmica.

Definición: sea a un número real positivo

diferente de 1. El logaritmo de x con base a

se define como

y= logax si y solo si x=ay

Para toda x>0 y todo número real en y.

Notaras que las ecuaciones de la definición

son equivalentes. El diagrama que viene

puede ayudarte en dominar esta

conversión de una en otra.

Extraído de: http://e-

ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//1750/1998/html/potencia-logaritmo.png

solo para fines educativos.

Explicación

Progresiones aritmética y geométrica.

Sucesión aritmética: Es aquella sucesión donde la diferencia entre cada

uno de los términos es el mismo valor constante.

Ejemplo: 1,5,9,13,17,21…..

Esta progresión tiene una diferencia de 4 entre cada dos términos.

Fórmulas utilizadas:

N-ésimo termino: ,Diferencia común:

Suma de los n primeros términos: o

Explicación

Ejemplo1: Determine el término 23 de la progresión aritmética 5, 11, 17, 23….y la suma parcial hasta el término 16.

Si n = 23, a1= 5 y d= 6

an = a1+(n-1)d

a23= (5)+ (23-1) (6)

a23 = 137

La suma parcial hasta n=16, a1= 5 y d= 6

Sn= (16/2) [(2) (5) + (16-1) (6)]

Sn= (8) (100) = 800

Explicación

Progresiones geométricas.

Es una serie en la cual cada término se obtiene de multiplicar el anterior por

un valor fijo, llamado razón de la progresión.

Ejemplo: 2,6,18, 54… en esta serie se inicia en 2 y éste se multiplica por

3 para hallar el segundo término que es 6 y así sucesivamente.

Formulas por utilizar:

N-ésimo término: Razón común:

Suma de primeros n términos:

Explicación

Ejemplo: Calcula el séptimo término de la progresión geométrica donde

su primer término es 4 y su razón es 3.

a1=4 y r= 3 entonces se sustituyen los datos en la fórmula:

Conclusión

En esta sesión aprendimos a resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, a interpretar sus gráficas y reconocer que una es inversa de la otra. Se resolvió un problema de aplicación para la función exponencial que es uno de los usos más importantes de esta función.

Además entendimos que no existe diferencia entre los términos sucesión y progresión. Una manera de distinguir las sucesiones aritméticas de las geométricas es que la primera tiene una diferencia constante entre cada uno de los términos y la segunda tiene una razón o cociente entre cada uno de los términos.

Debemos de considerar que estas sucesiones tienen gran aplicación en la economía, finanzas y ciencias sociales entre otras.

En la siguiente sesión aprenderemos a utilizar los diferentes métodos para la solución de los Sistemas de ecuaciones lineales.

Para aprender más…

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Formulas y ejercicios resueltos con sucesiones aritméticas y geométricas:

Recuperado el día 10 de abril del 2014 de: http://www.vitutor.net/1/50.html

Funciones exponenciales y logarítmicas:

Recuperado el día 10 de abril del 2014 de: http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/funciones3/impresos/quincena10.pdf

Recuperado el día 10 de abril del 2014 de: http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/16.%20Funciones%20Exponencial%20y%20Logaritmica.pdf

Para aprender más…

Video con la explicación de las funciones de crecimiento exponencial:

Recuperado el día 10 de abril del 2014 de:

https://es.khanacademy.org/math/algebra2/exponential_and_logari

thmic_func/exp_growth_decay/v/exponential-growth-functions

Recuperado el día 10 de abril del 2014 de:

https://es.khanacademy.org/math/algebra2/exponential_and_logari

thmic_func/exponential-modeling/v/word-problem-solving--

exponential-growth-and-decay

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te

permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Bibliografía

Swokowski, E., Cole, J. (2002). Algebra y trigonometría con geometría analítica. México. Thomson Learning.

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.