Matemáticas III - Practica - Prof Andrés Pérez.pdf

Prof.Andres Perez

Matematicas III

\...Ense~nar en la Universidad, no es impartir clases,sino contagiar irreverencias..."

Prof. Jesus Alberto Leon

Universidad Central de VenezuelaFacultad de Ciencias

Escuela de Matematicas

Practicas de Matematicas III

Prof.: Andres Perez

Caracas, Agosto de 2012

UNIDAD I

Practicas: 1 - 2

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias EDO de primer orden Ecuaciones Separables Ecuaciones Lineales Ecuaciones reducibles a estas Aplicaciones de las EDO de primer orden

\Existe al menos un rincon del universo que con toda seguridadpuedes mejorar...y eres tu mismo"

Aldous Huxley

4Universidad Central de VenezuelaFacultad de CienciasEscuela de MatematicasMatematicas II (8207) 2012

Practica 1

E.D.O. de primer orden* Prof. Andres Perez

Parte I:Ordenes Grados Soluciones1. En las siguientes ecuaciones diferenciales, determinar el orden, el grado (si es posible), si es lineal o no, la funcion incognitay la variable independiente.

1:1) (y 00)2 - 3yy 0 + xy = 0 1:2) x4y(4) + xy 000 = ex 1:3) t2s- t _s = sen t

1:4) y(4) + xy 000 + x2y 00 - xy 0 + seny = 0 1:5)dnx

dyn= y2 + 1 1:6)

d2r

dy2

2+d2r

dy2+ y

dr

dy= 0

1:7)

d2y

dx2

3=2+ y = x 1:8)

d7b

dp7= 3p 1:9)

db

dp

7= 3p

1:10) s2d2t

ds2+ st

dt

ds= 8 1:11) (y 0)3 + 5xyy 0 - xy sen t = 0 1:12)

y(n)

m+ ay(n) + q(x)y = p(x)

1:13) t2d2y

dt2+ t

dy

dt+ 2y = sen t 1:14)

d2y

ds2+ sen(s+ y) = sen s 1:15)

d3y

dt3+ t

dy

dt+ (cos2 t)y = t3

2. Verique que las siguientes funciones (explcitas o implcitas) son soluciones de las correspondientes ecuaciones diferen-ciales:2:1) y 0 = 2x ; y = x2 + C 2:2) xy 0 = 2y ; y = Cx2

2:3) yy 0 = e2x ; y2 = e2x + C 2:4) xy 0 = y+ x2 + y2 ; y = x tan x

2:5) y = arcsen xy ; xy 0 + y = y 0p1- x2y2 2:6) y 0 = y2=(xy- x2) ; y = Cey=x

2:7) y+ seny = x ; (y cosy- seny+ x)y 0 = y 2:8) 1+ y2 + y2y 0 = 0 ; x+ y = arctany

2:9) y 00 - y 0 = 0 ; y1(x) = ex; y2(x) = cosh x 2:10) xy 0 = y+ x sen x ; y = xZx0

sen t

tdt

2:11) y 0(x+ y) = y ; x = y ln(Cy) 2:12) y(4) + 4y 000 + 3y = x ; y1(x) = x3 ; y2(x) = e-x + x

3

2:13) y 00 + y = sec x; 0 < x < 2

; y(x) = cos(x) ln(cos x) + x sen x 2:14) y 0 - 2xy = 1 ; y(x) = ex2

Zx0

e-t2

dt+ ex2

3. En cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, determine el o los valores de r, para el o los cuales la E.D.O. dadatiene soluciones de la forma y = erx.

3:1) y 0 + 2y = 0 3:2) y 00 - y = 0 3:3) y 00 + y 0 - 6y = 0 3:4) y 000 - 3y 00 + 2y 0 = 0

4. En cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, determine el o los valores de r, para el o los cuales la E.D.O. dadatiene soluciones de la forma y = xr, para x > 0.

4:1) x2y 00 + 4xy 0 + 2y = 0 4:2) x2y 00 - 4xy 0 + 4y = 0

5. Pruebe que y = Cx4, es solucion general de xy 0 - 4y = 0. Ademas, Halle dos soluciones particulares y una solucionsingular.

6. Considere la EDO, dada por: y 0 = y2 - 1. Demuestre que: y =1+ Ce2x

1- Ce2x, es solucion general. >Sera y = -1 solucion

singular de la EDO?

57. Demuestre que las siguiente s familias de funciones son soluciones generales de las EDO asociadas.

7:1) C(x+ y)2 = xey=x ; (x2 + y2)dx+ x(x- y)dy = 0 7:2) x2y+ y2 = C ; 2xydx+ (x2 + 2y)dy = 0

8. En los problemas dados a continuacion, hallar C1 y C2 de tal forma que las funciones dadas satisfagan las condicionesiniciales establecidas.

8:1) y(x) = C1ex + C2e

-x + 4 sen x ; y(0) = 1; y 0(0) = -1 8:2) y(x) = C1x+ C2 + x2 - 1 ; y(1) = 1; y 0(1) = 2

8:3) y(x) = C1ex + C2e

2x + 3e3x ; y(0) = 0; y 0(0) = 0 8:4) y(x) = C1 sen x+ C2 cos x+ 1 ; y() = 0; y 0() = 0

8:5) y(x) = C1ex + C2xe

x + x2ex ; y(1) = 1; y 0(1) = -1 8:6) y(x) = C1 sen x+ C2 cos x ; y(4 ) = 0; y0(6) = 0

Parte II:Ecuaciones Separables9. Hallar la solucion general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales a variables separadas:

9:1) y 0 = e3x - x 9:2) xy 0 = 1 9:3) y 0 = xex2

9:4) y 0 = arcsen x 9:5) (1+ x)y 0 = x 9:6) (1+ x3)y 0 = x

9:7) (1+ x2)y 0 = arctan x 9:8) xyy 0 = y- 1 9:9) xy 0 = (1- 2x2) tany

9:10) (1+ x2)dy

dx+ (1+ y2) = 0 9:11) y lnydx- xdy = 0 9:12) y 0 + y tan x = 0

9:13)dy

dx=xy+ 2y- x- 2

xy- 3y+ x- 39:14) sec2 xdy+ cosecydx = 0 9:15) 2

dy

dx-1

y=2x

y

9:16) (1+ x2 + y2 + x2y2)dy = y2dxy

x9:17) y ln x

dx

dy=

y+ 1

x

29:18)

dy

dx=

(1+ x2)-1=2

(1+ y2)1=2

9:19) (4y+ yx2)dy- (2x+ xy2)dx = 0 9:20) exydy

dx= e-y + e-y-2x 9:21)

dx

dy=1+ 2y2

y sen x

9:22) secydy

dx+ sen(x- y) = sen(x+ y) 9:23)

dy

dx=

xy+ 3y- x- 3

xy- 2x+ 4y- 89:24)

dy

dx= sen x(cos 2y- cos2 y)

9:25) ey sen 2xdx+cos

e2y

- y

dy = 0 9:26) sen 3xdx+ 2y cos3 3xdy = 0 9:27) (y- yx2)

dy

dx= (1+ y2)

10. Resuelva los siguientes Problemas de Valores Iniciales (P.V.I).

10:1) y 0 sen x = y lny ;y(2) = e 10:2) (x2 + 1)dx+

1

ydy = 0 ;y(-1) = 1

10:3) xexdx+ (y5 - 1)dy = 0 ;y(0) = 0 10:4) x2y 0 = y- xy ;y(-1) = -1

10:5)dy

dx= xy3(1+ x2)-1=2 ;y(0) = 1 10:6)

dT

dt= k(T - 50) ; T(0) = 200

11. Resuelva los siguientes problemas de valores iniciales (P.V.I) y determine el intervalo donde la solucion es valida.

11:1) y 0 =1+ 3x2

3y2 - 6y; y(0) = 1 11:2) (3y2 - 4)dx = 3x2dy ; x(-1) = 1 11:3)

dy

dx=3x2 + 4x+ 2

2(y- 1); y(0) = -1

Sugerencia: Para encontrar el intervalo de denicion, busque los puntos en los quedy

dx= 0 o

dx

dy= 0.

612. Resuelva las ecuaciones

12:1)dy

dx=ax+ b

cx+ d12:2) a

xdy

dx+ 2y

= xy

dy

dx12:3)

dy

dx=ay+ b

cy+ d

donde a; b; c y d son constantes.

13. Transformar las siguientes ecuaciones diferenciales en las formas diferenciales que sean separables y luego resolver.

13:1) y 0 =y

x213:2) y 0 =

xex

2y13:3) y 0 =

x2y- y

y+ 1

Parte III:Ecuaciones Reducibles a Ecuaciones Separables14. Una ecuacion diferencial de la forma

dy

dx= f(ax+ by+ c)

siempre se puede reducir a una ecuacion de variables separadas con la sustitucion u = ax+ by+ c, b 6= 0. En virtud de estasustitucion, resuelva entonces las siguientes ecuaciones.

14:1)dy

dx= (-5x+ y)2 - 4 14:2)

dy

dx=

3x+ 2y

3x+ 2y+ 2; y(-1) = -1 14:3) (x+ y)dx+ (3x+ 3y- 4)dy = 0

15. Para ecuaciones de la formayf(xy)dx+ xg(xy)dy = 0

la sustitucion xy = u, las transforma en una ecuacion a variables separadas. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales,con la sustitucion indicada.

15:1) y(xy+ 1)dx+ x(1+ xy+ x2y2)dy = 0 15:2) (y- xy2)dx- (x+ x2y)dy = 0

15:3) (1- xy+ x2y2)dx+ (x3y- x2)dy = 0

F Ecuaciones Homogeneas16. Se dice que una funcion f : D R2 ! R, es homogenea de grado 2 R, si se verica que f(tx; ty) = tf(x; y); t > 0.Determine si las funciones dadas son homogeneas. Si lo son, indique entonces su grado de homogeneidad.

16:1) f(x; y) = x3 + 2xy2 -y4

x16:2) f(x; y) =

px+ y(4x+ 3y) 16:3) f(x; y) =

x3y- x2y2

(x+ 8y2)

16:4) f(x; y) =x

y2 +px4 + y4

16:5) f(x; y) = cos

x2

x+ y

16:6) f(x; y) =

ln x3

lny3

17. Suponga que M(x; y)dx+N(x; y)dy = 0 es una ecuacion homogenea. Demuestre que alguna de las sustituciones x = vyo y = ux, reducen la ecuacion a una de variables separables.

18. Suponga que M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0 es una ecuacion homogenea. Demuestre que la sustitucion x = r cos ;y = r sen , reducen la ecuacion a una de variables separables.

19. Resuelva las ecuaciones diferenciales homogeneas dadas, utilizando la sustitucion adecuada.

19:1) (x- y)dx+ xdy = 0 19:2) (y2 + yx)dx- x2dy = 0 19:3) 2x2ydx = (3x3 + y3)dy

19:4) (x2 + xy- y2)dx+ xydy = 0 19:5) ydx

dy= x+ 4y exp

-2x

y

19:6)

dy

dx=y

xlnyx

19:7)

y+ x cotan

y

x

dx- xdy = 0 19:8)

dx

dy=x+ 3y

3x+ y19:9)

dy

dx=y

x+x2

y2+ 1

19:10) y 0 =y- x

x19:11) y 0 =

2y+ x

x19:12) y 0 =

x2 + 2y2

xy

19:13) y 0 =2xy

y2 - x219:14) y 0 =

y

x+pxy

19:15) y 0 =x4 + 3x2y2 + y4

x3y

19:16) (1+ 2ex=y)dx+2

e-x=y

1-

x

y

dy = 0 19:17) (x2 + y2)dx+ (x2 - xy)dy = 0 19:18)

dy

dx=y3

x3-y

x

7F Ecuaciones Reducibles a HomogeneasExisten ecuaciones reducibles a homogeneas y en consecuencia son tambien reducibles a separables, veamos

20. Para ecuaciones de la formady

dx=

f(ax+ by+ c)

g(mx+ ny+ p)(1)

con c y n no nulos (no ambos). La sustitucion

x = u+ hy = v+ k

, transforma a la ecuacion (11) en una ecuacion homogenea.

Utilizando esta sustitucion, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.

20:1)dy

dx=2x+ 9y- 20

6x+ 2y- 1020:2)

dy

dx=

(2x- y)2

(4x- 2y- 1)220:3)

dy

dx=3y- 2x- 3

4x- 6y

20:4)dy

dx=

x+ y- 2

-x+ y- 420:5)

dy

dx=3x- 4y- 2

3x+ 4y- 320:6)

dy

dx=2x+ y+ 7

3y- x

20:7) (2x+ 2y- 1)dy- (x+ y+ 1)dx = 0 20:8) (x- y+ 1)dx+ (2x+ y- 2)dy = 0

20:9) (x- 2y+ 1)dx+ (2x- 4y+ 3)dy = 0 20:10) (12x+ 21y- 9)dx+ (47x+ 40y+ 7)dy = 0

20:11) (3y- 7x+ 7)dx- (3x- 7y- 3)dy = 0 20:12) (2x- 5y+ 3)dx+ (2x+ 4y- 6)dy = 0

21. Demuestre que la EDO: (x2y2 - 1)dy + 2xy3dx = 0, se puede transformar en una Ecuacion Homogenea, haciendo lasustitucion: y = z. Halle y resuelva esta ecuacion.

22. Realice la sustitucion, x = z, para resolver la ecuacion: (x+ y3)dx+ (3y5 - 3y2x)dy = 0.

23. Demuestre que la sustitucion y = ux, resuelve la ecuacion: xdy - ydx = (6x2 - 5xy + y2)dx. >Es esta ecuacionhomogenea?>Por que este cambio la resuelve?

F Sustituciones Diversas24. Algunas ecuaciones de la forma y 0 = f(x; y), que no son separables, se pueden transformar en tales haciendo algunasustitucion adecuada. Realizar una sustitucion adecuada en cada uno de los siguientes casos, siguiendo las indicaciones obuscando dicha sustitucion.

24:1) y 0 = sen(x- y) hacer x- y = z 24:2) (x+ y)2y 0 = a2

24:3) (x2y2 + 1)dx+ 2x2dy = 0 hacer xy = z 24:4) y 0 + 1 =(x+ y)m

(x+ y)n+1

24:5) x6 - 2x5 + 2x4 - y3 + 4x2y+ (xy2 - 4x3)y 0 = 0 hacer y = zx 24:6) (x+ y)2y 0 = 2x+ 2y+ 5

24:7) y cos xdx+ (2y- sen x)dy = 0 hacer u = sen x

24:8) 2(x2y+p1+ x4y2)dx+ x3dy = 0 hacer y = z

8Parte IV:Ecuaciones Lineales

25. Encuentre la solucion general de cada una de las ecuaciones diferenciales dadas:

25:1) 3y 0 + 12y = 4 25:2) xdy

dx+ 2y = 3 25:3) xdy = (x sen x- y)dx

25:4) x 0 + 3xy2 = y3 25:5) (x+ 4y2)dy+ 2ydx = 0 25:6) (1+ x2)y 0 + (xy+ x3 + x) = 0

25:7) (1+ ex)dy

dx+ exy = 0 25:8)

dy

dx=

1

cosy+ xy225:9)

dy

dx+ y =

1- e-2x

ex + e-x

25:10) (1+ x)dy

dx- xy = x+ x2 25:11) (x+ 2)2y 0 = 5- 8y- 4xy 25:12) ydx+ (x+ 2xy2 - 2y)dy = 0

25:13) sec xdy

dx+

y

cos2 x= 1 25:14) xy 0 + 2y = ex + ln x 25:15) (x+ 1)y 0 + (x+ 2)y = 2xe-x

25:16) dy- (y+ senh x)dx = 0 25:17) xdy

dx+ (3x+ 1)y = e-3x 25:18) x

dy

dx+ y+ xy = e-x sen 2x

25:19) y 0 - y cotan x = ex(1- cotan x) 25:20) y 0x cos x+ y(x sen x+ cos x) = 1 25:21) s 0 + s tan t = 2t+ t2 tan t

25:22) x+ ady

dx- 3y = (x+ a)5 25:23) x ln x

dy

dx+ y = 2 ln x 25:24) x

dy

dx- y = (x- 1)ex

25:25) (x+ 1)y 0 + (2x- 1)y = e-2x 25:26) x(x- 1)y 0 + y = x2(2x- 1) 25:27) (6- 2xy)dy

dx+ y2 = 0

25:28) (1+ t2)y 0 + 4ty = (1+ t2)-2 25:29) y 0 + 2ty = 2te-t2

25:30) (6- 2xy)y 0 + y = te-t + 1

26. Resuelva la ecuacion diferencial lineal dada, sujeta a la condicion inicial que se indica:

26:1) y 0 + y tan x = cos2 x ; y(0) = -1 26:2) sen xdy

dx+ y cos x = 0 ; y

-2

= 1

26:3) cos2 xy 0 + y = 1 ; y(0) = -3 26:4)dy

dx=

y

y- x; y(5) = 2

26:5)dy

dx+ y tan x = sec x ; y(0) = -1 26:6) xdy+ (xy+ 2y- 2e-x)dx = 0 ; y(1) = 0

26:7) y 0 + 2y+ x(e3x - e2x) = 0 ; y(0) = 2 26:8)dy

dx-

2y

x+ 1= (x+ 1)3 ; y(0) = 1

26:9) ty 0 + (t+ 1)y = t ; y(log 2) = 1 26:10)dy

dx+2

xy =

cos x

x2; y() = 0

27. Resuelva los dos siguientes problemas, como una aplicacion de las ecuaciones diferenciales lineales.

27:1) Hallar la ecuacion de curva que pasa por el punto (1; 0) y cuya pendiente en un punto cualquiera es igual2y+ x+ 1

x.

27:2) Hallar la ecuacion de curva que pasa por el punto (1; 1) y cuya pendiente en un punto cualquiera es igualy2 ln x- y

x.

928. Considere el PVI

y 0 +1

4y = 2 cos x ; y(0) = -1

Encuentre las coordenadas del primer punto maximo local para x > 0.


y 0 +2

3y = 1-

1

2t ; y(0) = y0

Encuentre el valor de y0, para el cual la solucion toca al eje t sin cruzarlo.


y 0 +1

4y = 3+ 2 cos 2x ; y(0) = 0

Encuentre la solucion de este PVI y determine su comportamiento para x grande y ademas, determine el valor de x, para elcual la solucion corta por primera vez a la recta y = 12.

31. Sea y = y1(x), una solucion dey 0 + p(x)y = 0

y sea y = y2(x), una solucion dey 0 + p(x)y = q(x) (2)

Demuestre que y = y1(x) + y2(x), tambien es una solucion de la ecuacion (2).

32. Demuestre que si a y son constantes positivas y b es cualquier numero real, entonces, toda solucion de la ecuacion

y 0 + ay = be-x

tiene la propiedad de que y! 0, cuando x!1.33. Considere la ecuacion diferencial dada por:

dy

dt= ay- b

e intentemos un metodo alternativo para resolver dicha ecuacion. Metodo de los Coecientes Indeterminados:

33:1) Resuelva la ecuacion mas sencilla:dy

dt= ay y llame a esta solucion y1(t).

33:2) Observe que la diferencia entre la ecuacion original y la resuelta es el termino -b. Por tanto es razonable suponer quelas soluciones de ambas ecuaciones dieran en una constante. En base a esta suposicion, encuentre una constante k, tal quey(t) = y1(t) + k, sea solucion de la ecuacion original.

34. Considere la ecuacion diferencial lineal de primer orden general dada por:

dy

dt+ p(t)y = g(t) (3)

e intentemos un metodo alternativo para resolver dicha ecuacion. Metodo de Variacion de Parametros:

34:1) Demuestre que y(t) = Ae-

Zp(t)dt

, si hacemos g(t) = 0 en (3), donde A es una constante arbitraria.

34:2) Si g(t) no es nula en todo punto de I, entonces, suponga que la solucion es de la forma

y(t) = A(t)e-

Zp(t)dt

(4)

donde A es ahora una funcion de t. Demuestre que A(t), debe satisfacer la ecuacion: A 0(t) = g(t)e

Zp(t)dt

.

34:3) Encuentre A(t) mediante la ecuacion anterior, luego sustituya A(t) en la ecuacion (4)y determine a y(t). Verique quela solucion obtenida concuerda con la dada por el metodo del factor de integracion.

34:3) Utilice el metodo descrito para resolver las ecuaciones siguientes:

(a) ty 0 + 2y = sen t ; t > 0 (b) y 0 +1

ty = 3 cos 2t ; t > 0 (c) y 0 - 2y = x2e2x

10

F Ecuaciones Reducibles a Lineales

? Ecuacion de Bernoulli35. Considere la ecuacion diferencial:

dy

dx+ P(x)y = Q(x)yn (5)

donde n es cualquier numero real.35:1) Encuentre la solucion para n = 0.35:2) Encuentre la solucion para n = 1.35:3) Si n 6= 0 y n 6= 1. Demuestre que el cambio de variable u = y1-n, transforma dicha ecuacion en una ecuacion linealde primer orden no homogenea.

La ecuacion (5), se conoce como ecuacion de Bernoulli.

36. Resuelva la ecuacion de Bernoulli dada:

36:1) xdy

dx+ y =

1

y236:2)

dy

dx- y = exy2 36:3) y 0 = y(xy3 - 1)

36:4) xdy

dx- (1+ x)y = xy3 36:5) x2

dy

dx+ y2 = xy 36:6) 3(1+ x2)

dy

dx= 2xy(y3 - 1)

36:7) (2xt2 ln x+ 1) =2xdt

tdx36:8) (x+ 2y3)

dy

dx= y 36:9) x2y- x3

dy

dx= y4 cos x

36:10)dx

dy=2y3x2 + x2y2 - 2x

2y+ 136:11)

dy

dx=

3x2

x3 + y+ 136:12)

dy

dx= (2- y)(y- 5)

37. Resuelva la ecuacion diferencial de Bernoulli dada sujeta a la condicion que se indica

37:1) x2dy

dx- 2xy = 3y4 ; y(1) = 1 37:2) y1=2

dy

dx+ y3=2 = 1 ; y(0) = 4

37:3) xy(1+ xy2)dy

dx= 1 ; y(1) = 0 37:4) 2

dy

dx=y

x-

x

y2; y(1) = 1

38. Responda cada uno de los planteamientos dados a continuacion.

(38.1) Demuestre que la funcion y(x) = C1e-3x + C2e

2x, es solucion de la EDO de segundo orden: y 00 + y 0 - 6y = 0.

(38.2) Determine las constantes C1 y C2 del apartado anterior, considerando las condiciones iniciales y(0) = 15 y y0(0) = 5.

(38.3) Determine la solucion de la EDO de primer orden: y 0 + ym - xyn = 0, donde m y n, satisfacen el sistemaC1C2 = 10n

C1 + C2 = 15m

donde C1 y C2, son las constantes obtenidas en (1.2).

39. Resuelva la ecuacion: (x2 + y2 + 1)dy+ xydx = 0.

40. Resuelva la ecuacion: 2y 0 sen x+ y cos x = y3(x cos x- sen x).

41. Resuelva la ecuacion:

y 0 + yx+ 1

2

x2 + x+ 1=

(1- x2)y2

(x2 + x+ 1)3=2

42. Resuelva la ecuacion y 0 = ry- ky2, con r; k > 0, Esta ecuacion es importante en la dinamica de poblaciones.

43. Resuelva la ecuacion y 0 = "y- y3, con "; > 0. Esta ecuacion se presenta en la estabilidad del ujo de uidos.

44. Resuelva la ecuacion y 0 = ( cos t + T)y - y3, donde y T son constantes. Esta ecuacion tambien se presenta en laestabilidad del ujo de uidos.

11

? Ecuacion de Ricatti45. La ecuacion diferencial:

dy

dx= p(x)y2 + q(x)y+ g(x) (6)

se denomina ecuacion de Ricatti. Suponga que se conoce una solucion particular y1(x), de esta ecuacion.Demuestre que la sustitucion

y = y1(x) +1

v(x)

transforma la ecuacion (6), en la ecuacion lineal:dv

dx+ [q(x) + 2y1(x)p(x)]v = -p(x).

46. Utilice el metodo del problema 32, para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Ricatti, dado que y1, es unasolucion conocida en cada una de las ecuaciones.

46:1) y 0 + y2 = 1+ x2 ; y1(x) = x 46:2) y 0 + 2xy = 1+ x2 + y2 ; y1(x) = x

46:3)dy

dx= -

4

x2-1

xy+ y2 ; y1(x) =

2

x46:4)

dy

dx= e2x + (1+ 2ex) + y2 ; y1(x) = -e

x

46:5)dy

dx= 2x2 +

1

xy- 2y2 ; y1(x) = x 46:6)

dy

dx= sec2 x- y tan x+ y2 ; y1(x) = tan x

46:7)dy

dx= 1+ x2 - 2xy+ y2 ; y1(x) = x 46:8)

dy

dx= -

1

x2-y

x+ y2 ; y1(x) =

1

x

46:9)dy

dx=2 cos2 x- sen2 x+ y2

2 cos x; y1(x) = sen x 46:10) (1+ x

3)dy

dx+ 2xy2 + x2y+ 1 = 0 ; y1(x) = -x

46:11)dy

dx=1- x+ y2

2px

; y1(x) =px 46:12) y 0 - ex = y2 - (1+ ex)y+ ex ; y1(x) = ?

47. Dada la E.D.O.dy

dx+ 2x2y- x3 = xy2 + 1

47:1) Hallar los valores de a y b para que y1 = ax+ b sea solucion.

47:2) Hallar todas las soluciones de la ecuacion dada.

48. La propagacion de una accion particular en una poblacion grande (por ejemplo que los conductores, enciendan las lucesde su automovil al atardecer) a menudo depende en parte de circunstancias externas (la creciente oscuridad) y en parte deuna tendencia a imitar a otros que ya han realizado la accion en cuestion. En este caso, la proporcion y(t) de personas quehan realizado la accion puede ser descrita por la ecuacion:

dy

dt= (1- y)[x(t) + by]

donde x(t) mide el estmulo externo y b es el coeciente de imitacion. Entonces:

(a) Observe que la ecuacion anterior es una ecuacion de Ricatti. Encuentre la ecuacion lineal que satisface v(t).

(b) Encuentre v(t) en el caso en que x(t) = at, donde a es constante. Exprese la respuesta en forma de una integral.

? Otros casos

49. Considere la ecuacion diferencial:y 0 + p(x)y = q(x)y lny (7)

Demuestre que haciendo la sustitucion u = lny, en la ecuacion (7), se obtiene la siguiente ecuacion diferencial lineal

u 0 + p(x) = q(x)u

12

Use este hecho para resolver la siguiente ecuacion diferencial

xy 0 - 4x2y+ 2y lny = 0

50. Demuestre que la sustitucion u = tany, reduce la EDO: y 0 + x sen 2y = xe-x2

cos2 y, a una EDO lineal.

51. Demuestre que la ecuacion: x2yy 00 = (y- xy 0)2, se transforma en una ecuacion lineal de primer orden si consideramosla sustitucion y = e

Rz(x)dx, donde z es una funcion dependiente de x.

52. Realice una sustitucion conveniente, para transformar la siguiente ecuacion diferencial: y 0 + seny + x cosy + x = 0, enuna ecuacion lineal y resuelvala.

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Universidad Central de VenezuelaFacultad de CienciasEscuela de MatematicasMatematicas II (8207) 2012

Practica 2

Aplicaciones de las E.D.O. de primer orden Prof. Andres Perez

Parte I:Aplicaciones geometricas

F Metodo de las Isoclinas1. Si es necesario trazar manualmente el campo direccional de la ecuacion diferencial y 0 = f(x; y), es util observar que lapendiente y 0 de la solucion tiene el valor constante c en todos los puntos de la curva f(x; y) = c. Estas curvas se denominanIsoclinas. Para ecuaciones relativamente simples, es posible trazar el campo direccional, dibujando unas cuantas isoclinas yluego insertar los segmentos rectilneos tangentes a la solucion en varios puntos de cada una. En cada uno de los problemasdados a continuacion, determine las isoclinas y despues uselas para trazar el campo direccional.

1:1) y 0 = 3- 2y 1:2) y 0 = -y(1+ y2) 1:3) y 0 = (1- y)(2- y) 1:4) y 0 = 2x- 3y

1:5) y 0 = x2 + y2 1:6) y 0 = 1- xy

F Trayectorias Ortogonales2. Halle las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas.

2:1) y2 = 4ax 2:2) x2 - y2 = k 2:3) xy = k

2:4) (x- 1)2 + y2 + kx = 0 2:5) y2 = kx; pasa por P(-2; 3) 2:6) x2 = y2 + ky3

2:7) y2 = x2 + ky; pasa por P(1;-2) 2:8) x+ y = key; pasa por P(0; 10) 2:9) y = kx2

F Trayectorias Isogonales3. Halle la familia de curvas isogonales a la familia dad con el angulo indicado.

3:1) y = kx; = 30 3:2) y = kx; = 45 3:3) y2 = kx; = 60 3:4) x2 + y2 = kx; = 30

4. Halle la trayectoria isogonal que intercepta a la familia dada con un angulo de 45 y que pasa por el punto indicado.

4:1) y = kex + 1; (-1; 1) 4:2) y = ke-x; (1;-1) 4:3) ex+y(1- y) = k; (1; 1) 4:4) 2y3 + 3y = -3x+ k; (1; 1)

Parte II:Decaimiento radiactivo y poblaciones epidemias

5. Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 bacterias. Cuando ha transcurrido una hora la cantidad medida de bacteriases 3

2N0. Si la razon de reproduccion es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para

triplicar la cantidad inicial de microorganismos.

6. Suponga que la tasa de crecimiento de determinada poblacion vara a una razon equivalente a la quinta parte de r(t)y,tal que r(t) = 1

2+ sen t. Entonces,

(a) Si y(0) = 1, calcule o estime el tiempo en que la poblacion se duplica. Elija otras condiciones iniciales y determinesi el tiempo de duplicacion depende de la poblacion inicial.

(b) Suponga que en la tasa de crecimiento se sustituye el factor sen t por sen 2t, es decir, la variacion de la tasa decrecimiento tiene una frecuencia sustancialmente mayor. >Que efecto tiene esto en el tiempo de duplicacion ?

14

7. Suponga que determinada poblacion satisface el problema con valor inicial

dy

dt= r(t)y- k

donde la tasa de crecimiento r(t), esta dada por r(t) = 15(1 + sen t) y k representa la tasa de depredacion. Determine el

tiempo en que la poblacion tiende a la extincion , tomando k = 15.

8. La transferencia de calor de un cuerpo a sus alrededores por radiacion, con base en la ley de Stefan-Boltzmann, estadescrita por la ecuacion diferencial

du

dt= -(u4 - T4)

donde u(t) es la temperatura absoluta del cuerpo en el instante t, T es la temperatura absoluta de los alrededores y es unaconstante que depende de los parametros fsicos del cuerpo. Sin embargo, si u es mucho mayor que T , entonces las solucionesde la ecuacion anterior se aproximan con las soluciones de la ecuacion mas simple

du

dt= -u4

Suponga que un cuerpo con temperatura inicial de 2000K, esta rodeado por un medio con temperatura de 300K y que = 2 10-12 K-3=seg. Determine la temperatura del cuerpo en cualquier instante de tiempo.9. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el numero de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Alcabo de 60 das el numero N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el numero 200N es considerado como el lmite saludable.A los cuantos das, despues de elaborado, vence el alimento?.

10. Un material radiactivo como el isotopo torio 234, se desintegra a una razon proporcional a la cantidad presente delisotopo. Entonces, si 100 mg de torio 234 decaen a 82.04 mg en una semana, determine la tasa de decaimiento k y encuentreuna expresion para la cantidad de torio presente en cualquier instante de tiempo t. Por ultimo determine el tiempo necesariopara que el torio 234 decaiga a la mitad de su cantidad original.

11. La vida media o semivida de un material radiactivo se dene como el tiempo requerido para que una cantidad de estemateria, decaiga a la mitad de su valor original. Demuestre que para cualquier material radiactivo que decae, la vida media y la tasa de decaimiento k, satisfacen la ecuacion k = log 2.

12. El radio 226, tiene una vida media de 1620 a~nos. Encuentre el perodo durante el cual una cantidad dada de este isotopose reduce a una cuarta parte.

13. Un reactor de cra convierte el uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isotopo radioactivo. Al cabo de15 a~nos, se ha desintegrado el 0:043% de la cantidad inicial A0 de una muestra de plutonio. Calcule la vida media de esteisotopo, si la razon de desintegracion es proporcional a la cantidad presente.

14. Se analizo un hueso fosilizado y se encontro que contena la centesima parte de C-14. Determine la edad del fosil,asumiendo que el perodo de vida media del C-14 es de aproximadamente 5600 a~nos.

15. Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela donde hay 1000 estudiantes. Si sesupone que la razon con que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de alumnos infectados, sino tambien ala cantidad de alumnos sanos, determine la cantidad de alumnos infectados pasados seis dias, si se observa que a los cuatrodias ya haban 50.

16. Hace algunos a~nos (no precisare cuantos, ya que podran ser muchos), unos arqueologos usaron unos trozos de maderaquemada (entiendase chamuscada), es decir, de carbon vegetal (pero no para hacer parrilla), para fechar las pinturas pre-historicas y rupestres de las paredes y los techos de una caverna en Lacaux, Francia. Segun estos tipos, las pinturas esas eran\burda" de bonitas. Determine entonces, cuantos a~nos tenan estos trozos de carbon, si ellos lograron observar que habanperdido el 85:5% del carbono C- 14.

17. Muchos creen que el sudario de Turn que muestra el negativo de un cuerpo de un hombre crucicado es la mortaja deJesus de Nazareth. En 1988, el Vaticano otorgo autorizacion para que se fechara el carbono del manto. Tres laboratorioscientcos independientes llegaron a la conclusion de que el manto tiene unos 660 a~nos. Edad que coincide con su aparicionhistorica. Con esta edad, determine que porcentaje de la cantidad original de C- 14 le quedaba en 1988.

Ayuda: Recuerde que el periodo de vida media es de aproximadamente 5600 a~nos.

18. El isotopo radiactivo I-131 se usa en el tratamiento de la hipertiroides. El I-131 administrado a un paciente se acumulaen forma natural en la glandula tiroides, en donde se desintegra y reduce parte de la glandula.

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(a) Suponga que se requieren 72 horas para enviar el I-131 del productor al hospital. >Que porcentaje de la cantidadoriginalmente enviada llega al hospital?

(b) Si el I-131 es almacenado en el hospital 48 horas adicionales antes de ser utilizado, >que tanto queda de la cantidadoriginal enviada por el productor cuando el material radioactivo se utilice?

(c) >Que tiempo le tomara al I-131 para desintegrarse completamente, de manera que el hospital pueda deshacerse de losresiduos sin precauciones especiales?

Nota: La vida media del I-131 es de 8 dias.

19. Suponga que el modelo logstico de una poblacion especca, se reduce a la siguiente ecuacion

dP

dt= 0:4

1-

P

230

P

(a) >Para que valores de t esta en equilibrio la poblacion? (b) >Para que valores esta creciendo la poblacion? (c) >Para quevalores de t esta decreciendo la poblacion?. Realice un analisis graco de la situacion.

20. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el numero de organismos de una cierta clase presentes en el paquete.Al cabo de 60 das el numero N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el numero 200N es considerado como el lmitesaludable. A los cuantos das, despues de elaborado, vence el alimento?.

21. Para describir la rapidez con la que se adquiere una habilidad se usa una curva de aprendizaje. Por ejemplo, supongamosque un fabricante estima que un nuevo operario producira A objetos el primer da de trabajo, y que a medida que vaadquiriendo experiencia, producira los objetos mas rapidamente hasta que produzca un maximo de M objetos por da. Seaf(t), la cantidad de artculos producidos el da t, para t 1. Suponga que el ritmo de produccion f 0, es proporcional aM- f(t). Entonces:

21.1) Deduzca una formula para calcular la cantidad de artculos producidos en un da cualquiera.

21.2) Suponiendo que M = 30, f(1) = 5 y f(2) = 8. Estime el numero de artculos producidos el vigesimo da.

22. Suponga que se invierte una suma S0 a una tasa de rendimiento anual r que se compone de manera continua.

(a) Encuentre el tiempo T necesario para que la suma inicial duplique su valor como una funcion de r.

(b) Determine T , si r = 7%.

(c) Encuentre la tasa de rendimiento que debe obtenerse si la inversion inicial debe duplicarse en 8 a~nos.

Parte III:Temperatura (Ley de enfriamiento de Newton)

23. Una peque~na barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo.Calcule el tiempo que dicha barra demorara en alcanzar los 90C, si se sabe que aumento 2C en un segundo. >Cuantodemorara la barra en alcanzar los 98C?

24. Suponga que el da de ayer fue al mercado con su respectiva madre y en el ajetreo, las bolsas y todas esas cosas, se leocurrio la brillante idea de comprarse un par de laticas para refrescarse como en las propagandas de T.V (cosa que nadiecree que es malta). El portu de la esquina, le vendio una fra y la otra caliente, ya que se le da~no la nevera. En realidad,la caliente no estaba tan caliente, se encontraba a una temperatura de 23C. Cuando usted llego a su casa, lo primero quehizo fue introducirla en el \freezer" (entiendase parte superior de su nevera), que se encontraba como Dios manda a unatemperatura de envidiables 2C bajo cero. Como usted tena mucha sed, abrio la nevera a los 10 minutos y se percato quela lata aun estaba en los 10C. Determine el momento exacto en que debe abrir la nevera para tomarse la espumoza, si lamejor temperatura para ingerirla es de 4C.

25. Un termometro que esta en el interior de una habitacion se lleva al exterior, en donde la temperatura del aire es de 5F.Despues de un minuto el termometro marca 55F y al segundo minuto marca 30F. >Cual es la temperatura inicial de lahabitacion?

26. Durante un da claro y despejado, un forense llega a la escena de un crimen en un conocido barrio de Caracas. Al llegar,inmediatamente observa su reloj (un casio altimeter bien pepeado) y escribe en su libreta de anotaciones que son las 3 : 45pm. y que la temperatura se encuentra a 23C. Seguidamente, toma los signos vitales del ya occiso y determina que estaba

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muerto (que brillante descubrimiento!!!) y que su temperatura corporal era de 27C. Interrogando a los curiosos del lugar(que nunca faltan) encontro a la vieja bruja del barrio y esta que se la da de polica le dijo: \al pasar una hora de escuchar losdisparos sal con mi termometro y Juansito tena 35C y la lengua afuera, no tena zapatos y faltaba su cartera". Al escucharel relato fue directamente donde el detective y le dijo: \ya se a que hora murio el occiso". Determine aproximadamente, aque hora murio Juansito.

27. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300F. Tres minutos despues, su temperatura es de 200F. >Cuantodemorara en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70F?

28. Un termometro que indica una temperatura de 70F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. Atraves de una ventana de vidrio del horno, un observador se percata que la temperatura que registra el termometro despuesde 1

2minuto es de 110F y al minuto de introducido registra una temperatura de 145F. >A que temperatura esta el horno?

29. A las 9:00 am. un termometro marca 70F, se lleva al aire libre donde la temperatura es 15F. A las 9:05 am. marca45F. A las 9:10 am. es llevado de nuevo al interior de la habitacion donde la temperatura se mantiene a 70F >Cuantomarca a las 9:20 am.?

Parte IV:Mecanica Cinematica30. En la escena de un accidente, el investigador de la polica determina que tan rapido iba el conductor a partir de las marcasdejadas por los cauchos en el pavimento. Suponga que el carro freno con una desaceleracion de 15 m

s2. >A que velocidad iba

el auto cuando aplico los frenos, si recorrio 75 m antes de detenerse?

31. Un auto que va a 60 millas por hora, patina 176 pies cuando los frenos son aplicados. Si el sistema de frenado produceuna desaceleracion constante, >cual es esa desaceleracion? >Durante cuantos segundos continuara el derrape?-

32. Un auto patina 15 metros cuando los frenos son aplicados y esta moviendose a 50 Km=h. Supongamos que el auto, tienela misma desaceleracion constante. >cuanto patinara si se mueve a 100 Km=h, cuando los frenos son aplicados?

33. Se esta remolcando una barca a una velocidad de 12 millas por hora. En el momento (t = 0) que se suelta la cuerdade remolque, un hombre que esta en la barca, comienza a remar siguiendo la direccion del movimiento y ejerciendo unafuerza de 20 lb. Si el peso conjunto del hombre es de 480 lb y la resistencia en libras es de 1.75v, donde v esta medido enpies/segundo, hallar la velocidad de la barca despues de 1

2minuto.

Observacion: Recuerde que el factor de conversion de millas a pies es 5280 y la aceleracion en este sistema es 32 pies/seg2.

34. Un resorte de peso despreciable esta suspendido verticalmente. En su extremo libre se ha sujetado una masa de mkilogramos. Si la masa se mueve con velocidad v0 m/seg, cuando el resorte esta sin alargar, hallar la velocidad v como unafuncion del alargamiento x en metros.

Parte V:Mezclas qumicas (mezclas homogeneas)

35. Cierto producto qumico se disuelve en agua a una velocidad proporcional a la cantidad aun no disuelta y a la diferenciaentre la concentracion en una solucion saturada y la concenracion en la solucion real. Se sabe que en 100 gramos de unasolucion saturada estan disueltos 50 gramos de la sustancia. Si se agitan 30 gramos del producto qumico con 100 gramos deagua, en dos horas se disuelven 10 gramos. >Cuantos se disuelven en 5 horas?

36. Unos vagabundos estafadores en un barrio de Caracas, intentan embaucar a algunos incautos, vendiendo una panela depapelon fantasma (recuerden que no hay azucar), segun nos informo una fuente que no quiso revelar su nombre. Para ello,combinan dos sustancias que llamaremos A y B (ya que la ley RESORTE nos prohbe colocar nombres exactos). Al principiodel negocio, comenzaron con 40 kilogramos de A y 50 kilogramos de B, en tanto que por cada kilo de B, se consumen 2 deA (all justamente es donde esta la estafa, ya que A es de mucha menor calidad y se consigue a precio de gallina aca en elmercado de Catia). Se observa entonces, que a los diez minutos se han formado 10 kilos de la panela fraudulenta. >Cuantoskilos de panela tendran al cabo de 20 minutos de trabajo?

37. Cuando se combinan dos sustancias qumicas A y B se forma un compuesto C. La reaccion entre ambas es tal que, porcada gramo de A, se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C, calculela cantidad de C, en funcion del tiempo si la velocidad de la reaccion es proporcional a las cantidades de A y B que quedany al principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. >Que cantidad del compuesto C hay a los 15 minutos?. Analice lasituacion cuando t!1.38. Un tanque contiene originalmente 100 gal de agua dulce. Despues en el tanque se vierte agua que contiene 1

2lb de sal

por galon, con un gasto de 2 gal/min, y se permite que la mezcla salga con el mismo gasto. Luego de 10 min, el proceso

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se detiene y se vierte agua dulce en el tanque con un gasto de 2 gal/min, la mezcla sale nuevamente con el mismo gasto.Encuentre la cantidad de sal en el tanque luego de un lapso adicional de 10 min.

39. A un tanque de de 60 gal. de agua pura comienza a entrar salmuera con 1 libra de sal por galon a 2 gal/min y sale a 3gal/min. >Que cantidad de sal contiene cuando el volumen se ha reducido a la mitad? >Cual es la maxima cantidad de salque llega a contener el tanque?

40. Un tanque de 100 litros, contiene 100 kg de sal disueltos en agua. Se bombea agua pura hacia adentro a 5 lib/seg yla mezcla homogenea, se extrae con la misma razon. >Cuanto tiempo pasara antes que queden solamente 10 kg de sal en eltanque?

41. Un tanque con capacidad de 500 gal, contiene originalmente 200 gal de agua con 100 lb de sal en solucion. En el se vierteagua con 1 lb de sal por galon con un gasto de 3 gal/min y la mezcla resultante se hace salir del tanque con un gasto de 2gtal/min: Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante de tiempo, antes del instante en que la solucioncomience a derramarse.

Parte VI:Circuitos Electricos (R- C L- R)

La segunda ley de Kirchho (circuito L - R - C), establece que las sumas de las cadas devoltaje a traves del inductor (Ldi

dt), del resistor (iR) y del capacitor 1

Cq es igual al voltaje

aplicado (E(t)).Si consideramos por L (henrys) a la inductancia, R (ohmios) la resistencia, a C (faradios)a la capacitancia, i (amperios) la corriente, q (coulombs) a la carga y E (voltios) la fuerzaelectromotriz (con R, C y L constantes), entonces lo anterior queda elmente expresado,como sigue

Ldi

dt+ Ri+

1

Cq = E(t) (8)

Entonces en un circuito L- R (no hay capacitor), la ecuacion (8), nos queda

Ldi

dt+ Ri = E(t) (9)

Sabemos que i(t) = dqdt

, luego en un circuito R- C (no hay inductor), la ecuacion (8), nos queda

Rdq

dt+

1

Cq = E(t) (10)

42. Resolver la ecuacion (9), considerando E(t) = E0 y la corriente inicial i0.

43. Resolver la ecuacion (9) considerando, L = 3 henrys, R = 15 ohmios, y E(t) unaonda sinusoidal de amplitud 110 voltios y ciclo 60, e i = 0 para t = 0.

44. Utilice la ecuacion (10), para hallar la corriente y la corriente de regimen estable a los 2 segundos si R = 8 , q(0) = 0,C = 1

6f y la entrada de voltaje es sinusoidal con amplitud 10 y perodo =64.

45. Un acumulador de 30 voltios, se conecta a un circuito en serie L- R con una inductancia de 0:1 henry y una resistenciade 50 ohms. Determine la intensidad de corriente si la corriente inicial es cero. Halle la corriente cuando t!1.46. Hallar el tiempo en que la corriente alcanza el 96 % de su valor lmite si la entrada de voltaje es constante, con R = 20 ,L = 1 h y no hay corriente inicialmente.

47. Halle el voltaje constante aplicado a un circuito con R = 10 y L = 2 h, de forma que la corriente alcance 97 % de suvalor lmite al segundo, si la corriente inicial es 2 amp. Calcule la corriente transitoria al cabo de medio segundo.

48. Hallar la corriente inicial tal que al medio segundo la corriente sea 6 amp, si R = 30 , L = 4 h y se conecta a unabatera de 110 voltios.

49. Hallar la resistencia, tal que, a los 2 segundos, la corriente alcanza el 0.6 % de su valor inicial, si C = 16f y la entrada

de voltaje es constante.

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50. Calcule la corriente de estado estable y la corriente a los 5 segundos, si R = 8 , L = 6 h, i(0) = 0 y E(t) = 80 sen 100t.

Parte VII:Vaciado de tanques (Ley de Torricelli)

51. Un tanque cilndrico de 5 pies de largo y 3 pies de radio, tiene un agujero en el fondo de 1 pie de radio y el tanqueinicialmente, contiene 3/4 partes de lquido. >Cuanto demorara en contener solamente 1/4 parte del lquido? (k = 0:62)

52. Un tanque tiene forma de cubo con arista de 2 metros y en su base hay un agujero de en forma de cuadrado de 1/10 deunidad de diametro. Si inicialmente el tanque esta lleno en un 75 %, >cuando contendra la mitad de su capacidad? (k = 0:5)

53. A un tanque conico invertido de 16 pies de altura que esta lleno de agua se le hace un agujero de area 0.5 unidades en elvertice. Hallar el tiempo de vaciado, si el angulo entre dos generatrices cualesquiera sobre un mismo plano es 60. (k = 0:6)

Parte VIII:Otra tanda mezcladita54. Al nal de un da oscuro y lluvioso (6:30 pm aprox.), unas personas que se encontraban caminando por la Gran Avenida,avistan a una persona que yace en el pavimento (Seguramente fue vctima del hampa, a pesar del mega plan CARACASSEGURA murmuran los ociosos). Entre ellas, se encontraba el Dr. Yanohaguanto Chinkamiza, una eminencia en eso de laanatoma patologica. Este le tomo la temperatura al cadaver y era de 29:4C (recuerden que estos tipos siempre tienen unosrelojes ultrawao). A las dos horas que lo encontraron la temperatura del occiso era de 23:3C, considerando una temperaturaambiente de unos 20C aproximadamente (segun el super reloj del man este). Determine:

(a) La hora de la muerte del hombre, asumiendo que vivo tena una temperatura de 37C.

(b) Halle la temperatura del cuerpo en cualquier instante de tiempo, si asume que despues cae un palo de agua que hacevariar la temperatura del ambiente de la forma: Tm(t) = 20- e

- t4 . (k es la misma)

55. El lago Erie (EEUU - Canada) tiene un volumen de 458 km3 (

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60. Una cooperativa que se encarga de limpiar los vidrios de los edicios, contrata a una \matraca" de gordo de unos 160Kg., donde, el arnes al cual estaba sujeto pesa 2.75 Kg. El gordo, despues de un suntuoso almuerzo (aproximadamente 2250gramos), se encontraba reposando la papita, y por supuesto, el andamio (que se encontraba colocado en el piso quince) separtio en dos, ocasionando la posterior megacaida del gordo al vaco (una distancia considerable, ya que cada piso tiene unos3.5 m). Determine aproximadamente, el tiempo que tardo el gordo en volverse papilla, considerando que la resistencia alaire de tama~na humanidad es de 2 veces la velocidad instantanea.

61. Determine la corriente de estado estable, en un circuito cuya resistencia es de 5, la capacitancia es de un sexto defaradio (f), la carga inicial es nula y la fuerza electromotriz, esta dada por

E(t) = 15 sen 60t voltios

62. Sabemos que en las carceles venezolanas hay un brutal e inhumano hacinamiento. Un dia haciendo una pesquisa en YareI, determinaron que en el pabellon de la muerte (Pabellon B - se le dice de la muerte, ya que por cualquier viento mal olienteque sople mueren de asxia -), se encontraba un recluso con una patulequera (chiripiorca segun el chavo) y este deca, que lehaba pasado algo con la tension. Midieron su temperatura y determinaron que se encontraba en los 39:5 C, lo cambiaronal pabellon de las locas (Pabellon G) y al cabo de 2 minutos su temperatura disminuyo en 2 C. >A qe temperatura seencontraba el Pabellon G?

63. Como siempre sucede en los barrios de Caracas, hay desadaptados sociales que llevan la marginalidad por dentro comobandera. Un cierto da, regresaba a su casa en el San Blas, un sujeto apodado \Er Chino" (se pareca a Yoshi Toshia - el dela propaganda -). Este, vena de ese famoso lugar llamado Adrenalina (donde le tumbaron la moto, la cartera y la pechuga),bueno, el asunto es que el tipo vena super amotinado y se encontro a Rin Tin Tin (el perro vagabundo del barrio) y leha metido la mama de las patadas, por supuesto, el perro estiro la pata. Al tiempo, hizo acto de presencia \Er iluminao"(no era Hermes por si acaso), el cual regresaba de Canada (estuvo preso), subiendo las escaleras, miro al matorral y hallobien aco y comido de ratas el cadaver del querido Rin Tin, deca: Chamo pana mio, te dieron bollo. Este antisocial, erabien inteligente (acostumbraba hacer practicas forenses con los reclusos que quedaban de los motines) y se puso a medirle elC14 al canido en cuestion y determino con sus equipos rudimentarios que haba perdido el 0:0015% del \C-catolce" (como eldeca). Adivine usted hace cuanto \Er Chino" le dio bollo al perro?

64. En este pas, ultimamente hasta los chinos estan pelando y nos damos cuenta, ya que, se esta vendiendo una salsa desoya \chimba" en un conocido mercado popular. Estos, utilizan un tanque que inicialmente contiene 200 litros de un lquidoal cual llaman, receta secreta (chin secleto) y donde se disuelven 40 gramos de un polvo granulado semejante a la sal (perode un aspecto poco agradable). Una mezcla que tiene un gramo del polvo por litro se bombea al tanque con una rapidez de3 litros por minuto; la solucion homogenea (salsa de soya medio rara) se bombea hacia afuera con la rapidez de 4 litros porminuto. Encuentre la cantidad de gramos de polvo que parece sal, que hay en el tanque a los 30 minutos.

65. Erase una vez una famosa discoteca en un da que es mejor no recordar, llegaron unos tipos limpios a rumbear. Estoscomo no tenan dinero, compraban un trago y de cada trago tomaban cuatro personas, una de ellas (el que bebe y se rascaprimero - solo bebio una vez -) tena un extra~no virus que comenzo a propagarse. A la media hora haban 10 limpiosinfectados. Determine cuantos tragos haban comprado a la hora, cuando sacaron a ese poco de gente al hospital. Asuma,que los tragos se compraban en forma progresiva, ya que la entrada a la discoteca se hace en grupos de cuatro, fueroncuarenta limpios y uno de los infectados tomaba un trago del nuevo grupo.

66. Un obrero, sale de su casa a eso de las 6:30 am, como todos los das. Para ir a la construccion, este se~nor debe abordar eltren del metro en la estacion Plaza Sucre (trayecto que le toma unos 15 minutos desde su casa) y desembarcar en la estacionSabana Grande. Como todos sabemos, el metro es el gran desastre de Caracas y por supuesto estamos en una epoca dela~no donde los calorones son propios de menopausica prematura. El obrero, aborda el vagon en el que el aire no funciona ycon toda esa gente y los tufos respectivos, realmente hace calor. Al se~nor, le da una \yeyera" entre Colegio de Ingenierosy Plaza Venezuela, debiendo accionar la alarma respectiva, muy a pesar de los insultos de los demas viajeros. Cuando esatendido dentro del mismo vagon (aproximadamente a las 7:05 am), determinan que su temperatura corporal se encontrabaen los 39C y el operador de la estacion (ironico el muchacho) le maniesta que realmente esta enfermo, ya que el vagon seencuentra a unos confortables 19C. A los 5 minutos, ya el se~nor tena 39:5C. Determine si el se~nor estaba quebrantado desalud al entrar al vagon.

67. Una persona infectada con un virus muy raro, ingresa al vagon del metro en Propatria y estornuda, volando germenespor todo el vagon (como la mujer de la propaganda). Es de hacer notar, que segun informaciones de la gente del metro enun vagon caben aproximadamente 120 personas (yo creo que mas -preguntenle a la gente en Capitolio-) y este vena full. Alos seis minutos, el tren se detiene entre Plaza Sucre y Gato Negro y se escuchan 5 estornudos mas en diferentes puntos.Asumiendo, que entre estaciones el tren se demora 2 minutos y nunca se bajo nadie, determine la cantidad de personas queadquirieron una peste brutal al llegar a Chacaito.

UNIDAD II

Practicas: 3 - 4

Ecuaciones de orden superior Conjunto Fundamental de Soluciones EDO de segundo orden Metodo de los Coecientes Indeterminados Metodo de Variacion de Parametros

\Un individuo exitoso, es un so~nadorque cree en sus sue~nos"

Anonimo

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Practica 3

Conjunto Fundamental de Soluciones Prof. Andres Perez

Comprobacion e independencia de Soluciones

1. En los siguientes problemas, la familia de funciones dada es solucion de la ecuacion diferencial planteada. Halle lasconstantes para escoger a un miembro de la familia que verique el P.V.I.

1:1) y = c1ex + c2e

-x ; (-1;1) ; y 00 - y = 0 ; y(0) = 0 ; y 0(0) = 11:2) y = c1e

4x + c2e-x ; (-1;1) ; y 00 - 3y 0 - 4y = 0 ; y(0) = 1 ; y 0(0) = 2

1:3) y = c1x+ c2x ln x ; (0;1) ; x2y 00 - xy 0 + y = 0 ; y(1) = 3 ; y 0(1) = -12. Si y(t) = c1 cos!t + c2 sen!t, es la solucion general de y

00 + !2y = 0 en el intervalo (-1;1), demuestre que unasolucion que satisface las condiciones iniciales y(0) = y0 y y

0(0) = y1, es justamente

y(t) = y0 cos!t+y1

!sen!t

3. Use la solucion general del problema anterior para demostrar que la solucion que satisfaga las condiciones inicialesy(t0) = y0 y y

0(t0) = y1, es exactamente la solucion del problema anterior desplazada t0 unidades.

4. Compruebe si los conjuntos de funciones son linealmente independientes (L.I.) en el intervalo (-1;1).4:1) f1(x) = x ; f2(x) = x

2 ; f3(x) = 4x- 3x2

4:2) f1(x) = 0 ; f2(x) = x ; f3(x) = ex

4:3) f1(x) = 5 ; f2(x) = cos2 x ; f3(x) = sen

2 x

4:4) f1(x) = cos 2x ; f2(x) = 1 ; f3(x) = cos2 x

4:5) f1(x) = x ; f2(x) = x- 1 ; f3(x) = x+ 3

4:6) f1(x) = 2+ x ; f2(x) = 2+ jxj

5. Responda las siguientes preguntas:

(a) Si el wronskiano W(f; g) es 3e4t y si f(t) = e2t, encuentre g(t).

(b) Si el wronskiano W(f; g) es t2et y si f(t) = t, encuentre g(t).

(c) Si W(f; g) es el wronskiano de f y g y si u = 2f-g y v = f+ 2g, encuentre el wronskiano W(u; v) de u y v en terminosde W(f; g).

(d) Si el wronskiano W(f; g) es t cos t- sen t y si u = f+ 3g y v = f- g, encuentre W(u; v).

6. Verique que y1(t) = t2 y y2(t) = t

-1, son soluciones de la ecuacion diferencial t2y 00 - 2y = 0, para t > 0. Luego,demuestre que C1t

2 + C2t-1, es tambien una solucion de la ecuacion diferencial para cualesquiera C1 y C2.

7. Verique que y1(t) = 1 y y2(t) =pt, son soluciones de la ecuacion diferencial yy 00 + (y 0)2 = 0, para t > 0. Luego,

demuestre que C1 + C2pt, no es en general una solucion de la ecuacion diferencial. Explique por que este resultado no

contradice el principio de superposicion.

22

8. Compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion diferencial dada en elintervalo indicado. Forme la solucion general.

8:1) y 00 - y 0 - 12y = 0 ; e-3x ; e4x ; (-1;1)8:2) y 00 - 4y 0 = 0 ; cosh 2x ; senh 2x ; (-1;1)8:3) y 00 - 2y 0 + 5y = 0 ; ex cos 2x ; ex sen 2x ; (-1;1)8:4) 4y 00 - 4y 0 + y = 0 ; ex=2 ; xex=2 ; (-1;1)8:5) x2y 00 - 6xy 0 + 12y = 0 ; x3 ; x4 ; (0;1)8:6) x2y 00 + xy 0 + y = 0 ; cos(ln x) ; sen(ln x) ; (0;1)8:7) y 00 + 4y = 0 ; cos 2t ; sen 2t ; (-1;1)8:8) y 00 - 2y 0 + y = 0 ; et ; tet ; (-1;1)8:9) x2y 00 - x(x+ 2)y 0 + (x+ 2)y = 0 ; x ; xex ; (0;1)8:10) (1- x cotan x)y 00 - xy 0 + y = 0 ; x ; sen x ; (0; )

9. Considere la ecuacion: y 00 - y 0 - 2y = 0

(a) Demuestre que y1(t) = e-t y y2(t) = e

2t, forman un conjunto fundamental de soluciones.

(b) Sean y3(t) = -2e2t, y4(t) = y1(t)+ 2y2(t) y y5(t) = 2y1(t)- 2y3(t). >Son tambien y3(t); y4(t) y y5(t) soluciones de

la ecuacion diferencial dada?

(c) Determine si cada uno de los siguientes pares, forma un conjunto fundamental de soluciones: fy1(t); y3(t)g, fy2(t); y3(t)g,fy1(t); y4(t)g y fy4(t); y5(t)g

10. Compruebe que cada una de las familias biparametricas de funciones dadas en los siguientes problemas, sea la soluciongeneral de la ecuacion diferencial no homogenea en el intervalo indicado.

10:1) y 00 - 7y 0 + 10y = 24ex ; y = c1e2x + c2e5x + 6ex ; (-1;1)10:2) y 00 + y = 2 sec x ; y = c1 cos x+ c2 sen x+ x sen x+ cos x ln(cos x) ; (-2 ;

2)

10:3) y 00 - 4y 0 + 4y = 2e2x + 4x- 12 ; y = c1e2x + c2xe2x + x2e2x + x- 2 ; (-1;1)10:4) 2x2y 00 + 5xy 0 + y = x2 - x ; y = c1x-1=2 + c2x-1 + 115x

2 - 16x ; (0;1)

11.11.1) Compruebe que yp1 = 3e

2x y yp2 = x2 + 3x son, respectivamente, soluciones particulares de

y 00 - 6y 0 + 5y = -9e2x y y 00 - 6y 0 + 5y = 5x2 + 3x- 16

11.2) Use la parte anterior para hallar soluciones particulares de

y 00 - 6y 0 + 5y = 5x2 + 3x- 16- 9e2x y y 00 - 6y 0 + 5y = -10x2 - 6x+ 32+ e2x

12.12.1) Halle por simple inspeccion una solucion particular de y 00 + 2y = 10.

12.2) Halle por simple inspeccion una solucion particular de y 00 + 2y = -4x.

12.3) Halle una solucion particular de y 00 + 2y = 10- 4x.

12.4) Determine una solucion particular de y 00 + 2y = 8x+ 5.

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Practica 4

EDO de segundo orden homogeneas y no homogeneas Prof. Andres Perez

Parte I:Reduccion de Orden1. La funcion y1(x) es una solucion en los siguientes problemas. Use la reduccion de orden para encontrar una segundasolucion y2(x).

1:1) y 00 - 4y 0 + 4y = 0 ; y1 = e2x 1:2) y 00 + 2y 0 + y = 0 ; y1 = xe-x

1:3) y 00 + 16y = 0 ; y1 = cos 4x 1:4) y 00 + 9y = 0 ; y1 = sen 3x

1:5) y 00 - y = 0 ; y1 = cosh x 1:6) y 00 - 25y = 0 ; y1 = e5x

1:7) 9y 00 - 12y 0 + 4y = 0 ; y1 = e2x=3 1:8) 6y 00 + y 0 - y = 0 ; y1 = ex=3

1:9) x2y 00 - 7xy 0 + 16y = 0 ; y1 = x4 1:10) x2y 00 + 2xy 0 - 6y = 0 ; y1 = x2

1:11) xy 00 + y 0 = 0 ; y1 = ln x 1:12) 4x2y 00 + y = 0 ; y1 = x1=2 ln x

1:13) x2y 00 - xy 0 + 2y = 0 ; y1 = x sen(ln x) 1:14) x2y 00 - 3xy 0 + 5y = 0 ; y1 = x2 sen(ln x)

1:15) xy 00 - y 0 + 4x3y = 0 ; y1 = sen x2 1:16) x2y 00 - (x- 0:1875)y = 0 ; y1 = x1=4e2px

2. La funcion y1(x) indicada es una solucion de la ecuacion homogenea asociada. Aplique el metodo de reduccion deorden para determinar una segunda solucion, y2(x), de la ecuacion homogenea y una solucion particular de la ecuacion nohomogenea dada.

2:1) y 00 - 4y 0 = 2 ; y1 = e-2x 2:2) y 00 + y 0 = 1 ; y1 = 1

2:3) y 00 - 3y 0 + 2y = 5e3x ; y1 = ex 2:4) y 00 - 4y 0 + 3y = x ; y1 = ex

Parte II:Ecuaciones Homogeneas

3. Encuentre la solucion general de la ecuacion diferencial dada.

3:1) 4y 00 + y 0 = 0 3:2) 2y 00 - 5y 0 = 0 3:3) y 00 - 36y 0 = 0 3:4) y 00 + 8y 0 + 16y = 0

3:5) y 00 - y 0 = 0 3:6) y 00 + 9y 0 = 0 3:7) 3y 00 + y 0 = 0 3:8) y 00 - 4y 0 + 5y = 0

3:9) y 00 - y 0 - 6y = 0 3:10) y 00 - 3y 0 + 2y = 0 3:11)d2y

dx2+ 8

dy

dx+ 16y = 0 3:12) y 00 + 9y = 0

3:13) y 00 + 3y 0 - 5y = 0 3:14)d2y

dx2- 10

dy

dx+ 25y = 0 3:15) y 00 + 4y 0 - y = 0 3:16) y 00 - 36y = 0

3:17) 12y 00 - 5y 0 - 2y = 0 3:18) 3y 00 + 2y 0 + y = 0 3:19) 2y 00 + 2y 0 + y = 0 3:20) 3y 00 + 2y 0 + y = 0

24

4. Resuelava los siguientes P.V.I.

4:1) y 00 + 16y = 0 ; y(0) = 2 ; y 0(0) = -2 4:2)d2y

d2+ y = 0 ; y

3

= 0 ; y 0

3

= 2

4:3) 4y 00 - 4y 0 - 3y = 0 ; y(0)1 ; y 0(0) = 5 4:4)d2y

dt2- 4

dy

dt- 5y = 0 ; y (1) = 0 ; y 0 (1) = 2

5. Para cada una de las siguientes funciones, determine una ecuacion diferencial de segundo orden con coecientes constantescuya solucion sea la funcion dada.

5:1) y = c1e3x + c2e

-4x 5:2) y = c1 senh 4x+ c2 cosh 4x

5:3) y = c1 sen 2x+ c2 cos 2x 5:4) y = c1ex + c2xe

x

5:5) y = e3x (c1 sen 4x+ c2 cos 4x) 5:6) y = c1e2x + c2xe

2x + c3x2e2x

Parte III:Ecuaciones no Homogeneas (Coecientes Indeterminados)6. Encuentre la solucion general de cada una de las ecuaciones diferenciales dadas.

6:1) y 00 + y = cos 2x 6:2) 2y 00 - 14y 0 = 10x- 6 6:3) y 00 - y = senh 2x

6:4) y 00 - 3y 0 + 2y = 2e-x 6:5) y 00 + 2y 0 + 5y = 3 sen x 6:6) y 00 + 2y 0 + y = cos x+ 3 sen 2x

6:7) y 00 - 4y 0 + 3y = xe2x 6:8) 2y 00 + 4y 0 + 2y = e2x cos 2x 6:9) y 00 + 4y = xex - ex + 2e3x

6:10) y 00 - 9y 0 = 5e-3x 6:11) y 00 + 4y 0 + 5y = 10e-2x cos x 6:12) y 00 - 2my 0 +m2y = senmx

6:13) y 00 + 3y = x2 sen x 6:14) y 00 + y = cos2 2x+ sen2x

26:15) y 00 - 3y 0 + 2y = (x2 + x)e3x

6:16) y 00 + y = 4x cos x 6:17) y 00 + 2y 0 + 5y = e-x(2x+ sen 2x) 6:18) y 00 + 5y 0 + 4y = 8x2 + 3+ 2 cos 2x

6:19) y 00 + 9y = x3 + 6 6:20) y 00 + 2y 0 - 24y = 16- (x+ 2)e4x 6:21) y 00 - 5y 0 = 2x3 - 4x2 - x+ 6

Parte IV:Ecuaciones no Homogeneas (Variacion de Parametros)

7. Utilice el metodo de variacion de parametros para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

7:1) y 00 + y = sec x 7:2) y 00 + y = tan x 7:3) y 00 - 2y 0 + y =ex

1+ x2

7:4) y 00 - 4y =e2x

x7:5) y 00 + 3y 0 + 2y = sen ex 7:6) y 00 + 2y 0 + y = e-x ln x

7:7) 3y 00 - 6y 0 + 6y = ex sec x 7:8) 2y 00 + 2y 0 + y = 4px 7:9) 4y 00 - 4y 0 + y = ex=2

p1- x2

7:10) y 00 + 2y = sec x tan x 7:11) y 00 - 2y 0 + y = ex arctan x 7:12) y 00 - y = senh 2x

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Parte V:Ecuaciones de Cauchy - Euler

8. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogeneas de Cauchy - Euler.

8:1) x2y 00 - 2y = 0 8:2) 4x2y 00 + y = 0 8:3) x2y 00 + xy 0 + 4y = 0

8:4) x2y 00 - 3xy 0 - 2y = 0 8:5) 3x2y 00 + 6xy 0 + 2y = 0 8:6) 2x2y 00 + 2xy 0 + y = 0

8:7) x2y 00 + 5xy 0 + 4y = 0 8:8) x2y 00 + 8xy 0 + 6y = 0 8:9) x2y 00 - 7xy 0 + 41y = 0

9. Utilice el metodo de variacion de parametros para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Cauchy - Euler.

9:1) x2y 00 - 4xy 0 = x4 9:2) 2x2y 00 + 5xy 0 + y = x2 - x

9:3) x2y 00 - xy 0 + y = 2x 9:4) x2y 00 - 2xy 0 + 2y = x4ex

10. Use la sustitucion x = et, para transformar la respectiva ecuacion de Cauchy - Euler, en una ecuacion con coecientesconstantes. Resuelva la ecuacion original a traves de la nueva ecuacion.

10:1) x2y 00 + 9xy 0 - 20y = 0 10:2) x2y 00 - 9xy 0 + 25y = 0

10:3) x2y 00 + 10xy 0 + 8y = x2 10:4) x2y 00 - 3xy 0 + 4y = ln x

10:5) x2y 00 + 7xy 0 + 5y = x

Parte VI:Otra tanda de ecuaciones de orden dos11. Ecuaciones en la que falta y: En una ecuacion diferencial de segundo orden de la forma y 00 = f(x; y), la sustitucion

u =dy

dxydu

dx=d2y

dx2, genera una ecuacion de primer orden de la forma

du

dx= f(x; u).

11:1) x2y 00 + 2xy 0 - 1 = 0 ; x > 0 11:2) xy 00 + y 0 = 1

11:3) y 00 + x(y 0)2 = 0 11:4) 2x2y 00 + (y 0)3 = 2xy 0 ; x > 0

11:5) y 00 + y 0 = e-x 11:6) x2y 00 = (y 0)2 ; x > 0

12. Ecuaciones en la que falta x: Si una ecuacion diferencial de segundo orden tiene la forma y 00 = f(y; y 0), la variable

independiente x no aparece explcitamente, solo a traves de la variable dependiente y. Si se realiza la sustitucion u =dy

dx,

entonces se obtienedu

dx= f(y; u).

12:1) yy 00 + (y 0)2 = 0 12:2) y 00 + y = 0 12:3) y 00 + y(y 0)3 = 0

12:4) 2y2y 00 + 2y(y 0)2 = 1 12:5) yy 00 - (y 0)3 = 0 12:6) y 00 + (y 0)2 = 2e-y

13. En los siguientes problemas de valor inicial, resuelva aplicando los metodos de los ejercicios (12) y (13).

13:1) y 0y 00 = 2 ; y(0) = 1 ; y 0(0) = 1

13:2) y 00 - 3y2 = 0 ; y(0) = 2 ; y 0(0) = 4

13:3) (1+ x2)y 00 + 2xy 0 + 3x-2 = 0 ; y(1) = 2 ; y 0(1) = -1

13:4) y 0y 00 - x = 0 ; y(1) = 2 ; y 0(1) = 1

26

14. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogeneas de segundo orden, con coecientes constantes.

14:1) y 00 - y = 0 ; y(0) = 1 ; y 0(0) = 0 14:2) y 00 - 7y = 0 ; y(0) = 2 ; y 0(0) = 0

14:3) y 00 - y 0 - 30y = 0 14:4) y 00 + 6y 0 + 9y = 0

14:5) y 00 - 2y 0 + y = 0 ; y(0) = 1 ; y 0(1) = 1 14:6) y 00 + 2y 0 + 3y = 0

14:7) y 00 + y = 0 14:8) y 00 - 3y 0 - 5y = 0

14:9) y 00 + 2y 0 + 2y = 0 14:10) y 00 + y 0 + 14y = 0 ; y(0) = 2 ; y 0(1) = 1

15. En cada uno de los siguientes problemas, halle la solucion de la ecuacion diferencial dada.

15:1) y 00 - 2y 0 - 3y = 3e2x 15:2) y 00 + 2y 0 + 5y = 3 sen 2x

15:3) y 00 - 2y 0 - 3y = 3xe-x 15:4) y 00 + 2y 0 = 3+ 4ex sen 2x

15:5) y 00 + 9y = x2e3x + 6x 15:6) y 00 + 2y 0 + y = 2e-x

15:7) 2y 00 + 3y 0 + y = x2 + 3 cos x 15:8) y 00 + y = 3 sen 2x+ x cos 2x

16. En cada uno de los problemas, encuentre la solucion general de la ecuacion diferencial dada. En los problemas (16:7) y(16:8), g(x) es una funcion continua arbitraria.

16:1) y 00 + y 0 = tan x ; 0 < x 0 ; y1(x) = x ; y2(x) = xex

17:3) xy 00 - (1+ x)y 0 + y = x2e2x ; x > 0 ; y1(x) = 1+ x ; y2(x) = ex

17:4) (1- x)y 00 + xy 0 - y = 2(x- 1)2e-x ; 0 < x < 1 ; y1(x) = x ; y2(x) = ex

17:5) x2y 00 - 3xy 0 + 4y = x2 ln x ; x > 0 ; y1(x) = x2 ; y2(x) = x2 ln x

17:6) x2y 00 + xy 0 + (x2 - 14)y = 3x3=2 sen x ; x > 0 ; y1(x) = x

-1=2 ; y2(x) = x-1=2 sen x

17:7) x2y 00 + xy 0 + (x2 - 14)y = g(x) ; x > 0 ; y1(x) = x

-1=2 sen x ; y2(x) = x-1=2 cos x

17:8) (1- x)y 00 + xy 0 - y = g(x) ; 0 < x < 1 ; y1(x) = x ; y2(x) = ex

27

18. Resuelva las siguientes ecuaciones de Cauchy - Euler.

18:1) x2y 00 + 10xy 0 + 8y = x2 18:2) x2y 00 - 4xy 0 + 6y = ln x2

18:3) 2x2y 00 - 3xy 0 - 3y = 1+ 2x+ x2 18:4) x2y 00 - 3xy 0 + 13y = 4+ 3x

18:5) x2y 00 + 9xy 0 - 20y =5

x318:6) x3y 000 - 3x2y 00 + 6xy 0 - 6y = 3+ ln x3

18:7) x2y 00 + xy 0 + 4y = sen(log x) 18:8) x2y 00 - 2xy 0 + 2y = 3x2 + 2 log x

UNIDAD III

Practicas: 5 - 6 - 7

Sucesiones y Series Repaso de Lmites Sucesiones Numericas Series Numericas Series de Potencias Series de Taylor y Maclaurin

\Despues de escalar una monta~na muy alta,descubrimos que hay muchas monta~nas por escalar"

Nelson Mandela

29


Practica 5

Repaso de Lmites Prof. Andres Perez

1. En los siguientes ejercicios graque una funcion f(x), que cumpla con los siguientes requerimientos en terminos de loslmites presentados:

1:1)

8>>>>>>>:lim

x!a+ f(x) =1lim

x!a- f(x) =1limx!1 f(x) = 0lim

x!-1 f(x) = -11:2)

8>>>>>>>:lim

x!a+ f(x) = L+lim

x!a- f(x) = L-limx!1 f(x) = L+lim

x!-1 f(x) = L-1:3)

8>>>>>>>:limx!0+ f(x) = L-limx!0- f(x) = L-limx!1 f(x) =1lim

x!-1 f(x) = K-

1:4)

8>>>>>>>:lim

x!-3+ f(x) = -1lim

x!-3- f(x) =1limx!1 f(x) =1lim

x!-1 f(x) = 0+1:5)

8>>>>>>>:limx!0+ f(x) = 0+limx!0- f(x) = 0+limx!1 f(x) = -3+lim

x!-1 f(x) = -3+1:6)

8>>>>>>>:limx!0+ f(x) = -2-limx!0- f(x) = 2+limx!1 f(x) = -1+lim

x!-1 f(x) = 1-

1:7)

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

limx!-2+ f(x) = -2-lim

x!-2- f(x) = 3+limx!1- f(x) = 3limx!1+ f(x) = -2+lim

x!-1 f(x) = -1limx!2 f(x) = -2

1:8)

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

limx!-2+ f(x) = 2-lim

x!-2- f(x) = 2+limx!1- f(x) = -1+limx!1+ f(x) = -1-lim

x!-1 f(x) = -2+limx!2 f(x) = -2-

1:9)

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

limx!2 f(x) = 0limx!-2 f(x) = 0+limx!0- f(x) = 0+limx!0+ f(x) = 0-lim

x!-1 f(x) =1limx!1 f(x) = 0+

2. Halle los siguientes lmites, simplemente sustituyendo el valor al que tiende x en la funcion:

2:1) limx!2(3x+ 4)5 2:2) limx!-2 5x3 + 3x2 - 6 2:3) limx!3

5x2 + 2x+ 1

4x3 - 7

2:4) limx!8

x2=3 + 3px

4- (16=x)2:5) lim

x!5 3p3x2 - 4x+ 9 2:6) lim

x!p2 x3 - 4x2 + 3x- 12

2:7) limx!3 3

s2+ 5x- 3x3

x2 - 12:8) lim

x!1p

x+1px

62:9) lim

x!5+1+

p2x- 10

x+ 3

2:10) limx!-8

16x2=3

4- x4=32:11) lim

x!-5-px2 - 25+ 3 2:12) lim

x!-10+x+ 10p(x+ 10)2

2:13) limx!0 x2 -

cos x

10:0002:14) lim

x!4

tan x- sen x

x- 2

2:15) limx!0

x- sen x

1- x

2:16) limx!3[[x]] 2:17) limx!

3

tan x

x2:18) lim

x!0ex - (1+ x)

x2

30

3. Encuentre el lmite indicado, haciendo un poco de manipulaciones algebraicas:

3:1) limx!1

x2 + 3x- 4

x- 13:2) lim

x!-32x3 + 5x2 - 3x

x+ 33:3) lim

x!9x- 9px- 3

3:4) limx!3

x2 - 2x- 3

x- 33:5) lim

x!04-

p16+ x

x3:6) lim

x!2x- 2

x3 - 8

3:7) limx!-2

x3 + 8

x4 - 163:8) lim

x!11x- 1

x- 13:9) lim

x!2x2 - 5x+ 6

10+ x- 3x2

3:10) limx!a x

2 - (a+ 1)x+ a

x3 - a33:11) lim

x!83px- 2

x- 83:12) lim

x!64px- 8

3px- 4

3:13) limx!3

px2 - 2x+ 6-

px2 + 2x- 6

x2 - 4x+ 33:14) lim

x!2x3 - 83px- 2

3:15) limx!0

px+ h-

ph

x

3:16) limx!4

3-p5+ x

1-p5- x

3:17) limx!7

2-px- 3

x2 - 493:18) lim

x!0px+ 1- 1

3px+ 1- 1

3:19) limx!0

p-x+ 1- 1p-x+ 4- 2

3:20) limx!-1

p7x2 + 2- 3p3+ 2x+ x

3:21) limx!1

px2 + 3-

p3x+ 1p

5x+ 4-p2x2 + 7

4. Encuentre los siguientes lmites, cuando x tiende a 1:4:1) lim

x!1 x2 + 3

x- 14:2) lim

x!-1 2- 3xx2 + 3 4:3) limx!1x3 - 9x2 + 6x- 100

x2 - 10x+ 5

4:4) limx!-1 -x

3 - 2x- 3

x3 - 3x2 + 6x- 10004:5) lim

x!1 0:001x3 - 4

2x3 + 1564:6) lim

x!-1 3- 2x3 + 4x

x- 2x2 + x4

4:7) limx!1 0:001x

3 + 8

x2 - 164:8) lim

x!-1 -10+ x-10

x-6 + 1:154:9) lim

x!-1 x2 - 10x+ 6- x3

x3 - 3x2 + 6x- 100

4:10) limx!1 (x

2 - 2)3

x3 + 74:11) lim

x!1 (3x2 - 4)3

(x3 - 8)24:12) lim

x!-1 (-3x2 - 2)3

(-6x3 + 10)2

4:13) limx!-1 x

2 - 1

6x+ 2-

x+ 2

x2 + 14:14) lim

x!1 3x2 + 1

4x+ 2-x+ 2

x+ 64:15) lim

x!1 x2 - 1

3x+ 2-2- x3

x2 + 6

4:16) limx!1 x

2 - 1

x+ 2-x3 + 2

x2 + 64:17) lim

x!-1x2 - 2+ 1-x

x+3

x3 + 494:18) lim

x!1x2 - 2+ 1-x

6

x+3

x3 + 7

4:19) limx!1

x+ 2+ 1-xx+3

2x+ 54:20) lim

x!-13x2 + 5x+ 6- 3-x

4

3x+1

4x3 + 5x2 + 3x+ 84:21) lim

x!1x2 - 2- 1-x

4

x+3

x3 + 7- x2

4:22) limx!1 e

arctanx + earctan(-x) + 1

arctan(ex) + arctan(e-x) + 4:23) lim

x!-1 -ex sen( 3

px+ 2)

7x3 + 2x4:24) lim

x!1x3 - 3x- 1-x

3

x2+3

x5 + 7x- 2- x2

31

5. Halle los siguientes lmites asumiendo que limx!0

sen x

x= 1:

5:1) limx!0

sen 5x

x5:2) lim

x!-3sen (x+ 3)

x+ 35:3) lim

x!0tan x

x

5:4) limx!0

1- cos x

x5:5) lim

x!01- cos x

x25:6) lim

x!01-

pcos x

x2

5:7) limx!0

sen x- sen x cos x

x5:8) lim

x!0sen2 x

x5:9) lim

x!0senmx

sennx

5:10) limx!0

p1+ sen x-

p1- sen x

x5:11) lim

x!0cosmx- cosnx

x25:12) lim

x!0tan 3x

sen 2x

5:13) limx! 1+ cos xsen 2x 5:14) limx!0

sen(3x2)

x5:15) lim

x!0x cos x

sen x+ x2

5:16) limx!

3

p3- 2 sen x

x- 3

5:17) limx!a sen

2(3x) - sen2(3a)

x- a5:18) lim

x!03psen x- 3

ptan x

sen x

6. Calcule los siguientes lmites, considerando que limx!1

1+

k

x

x= ek:

6:1) limx!1

x- 1

x+ 1

x6:2) lim

x!1x- 1

x+ 3

x+26:3) lim

x!1

x

x+ 1

x

6:4) limx!0(1+ x)

1x 6:5) lim

x!12x- 1

2x+ 3

x+16:6) lim

x!1x2 + 1

3x2 - 3

x2

7. Utilice la Regla de L'Hopital, para hallar los siguientes lmites.

7:1) limx!0

sen x

x7:2) lim

x!01- cos x

x7:3) lim

x!01- cos x

x2

7:4) limx!3

x2 - 9

x2 - x- 67:5) lim

x!0ln(1+ x)

x7:6) lim

x!0ex - 1

x

7:7) limx!0

sen x- x

x37:8) lim

x!0sen x- tan x

x2 sen x7:9) lim

x!0-sen x+ tan x

ex + e-x - 2

7:10) limx!1 e

x2 - cos x

x27:11) lim

x!01+

k

x

x7:12) lim

x!1 x 1x

7:13) limx!0

x2 sen(1=x)

tan x7:14) lim

x!0+ln x

cotan x7:15) lim

x!1 xa

ex; a > 0

7:16) limx!

2

tan x ln(sen x) 7:17) limx!1+

x

x- 1-

1

ln x

7:18) lim

x!0+(x+ 1)cotanx

7:19) limx!

2-(tan x)cosx 7:20) lim

x!1 ln(x+ k)xa ; a > 0 7:21) limx!0 sen x

x

senxx-senx

32


Practica 6

Sucesiones numericas Prof. Andres Perez

1. Para cada una de las siguientes sucesiones, halle la formula del termino n-esimo an, e indique para que valor de n iniciadicha formula.

1:1) 1; 2; 3; 4; : : : 1:2) 1; 3; 5; 7; : : : 1:3) 2; 4; 6; 8; : : : 1:4) 3; 6; 9; 12; : : :

1:5) 3; 5; 7; 9; : : : 1:6) 1; 8; 27; 64; : : : 1:7) 1;1

4;1

9;1

16; : : : 1:8)

1

2;2

3;3

4;4

5; : : :

1:9) 7; 9; 11; 13; : : : 1:10) 0; 1; 0; 1; 0; : : : 1:11) 2; 6; 18; 54; : : : 1:12) 2; 3; 5; 8; 11; : : :

1:13) -1

2; 0;

2

17;6

65; : : : 1:14)

1

3;-

4

5;9

7;-

16

9; : : : 1:15) 3;-5;

7

2;-

9

6;11

24; : : : 1:16)

5

2;7

4;9

6;11

8; : : :

1:17)1

2;1

6;1

12;1

20; : : : 1:18) - 1;

2

3;-

1

3;4

27;-

5

81; : : : 1:19)

4

7;7

9;10

11;13

13; : : : 1:20) 2; 1;

8

9; 1;

32

25; : : :

1:21)1

2 5 ;1

5 8 ;1

8 11 ; : : : 1:22)2

1 3 ;4

2 5 ;6

3 7 ; : : : 1:23) 1 3; 2 9; 3 27; : : : 1:24) - 5; 10;-17; 26; : : :

2. Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre una losa de concreto. Cada vez que rebota alcanza unaaltura equivalente a 2

3de la altura anterior. Determine la altura que alcanza en el tercer rebote y en el n-esimo rebote.

3. Un objeto se deja caer desde una gran altura, de tal manera que recorre 16 pies durante el primer segundo, 48 pies duranteel segundo instante de tiempo, 80 pies durante el tercero y as sucesivamente. >Cuanto recorre el objeto durante el sextosegundo?

4. Sea fangn1, una sucesion innita con termino general an. Determine cual de las siguientes sucesiones converge o divergey en caso de que converjan halle su lmite.

4:1) an =1

5n4:2) an = 4

pn 4:3) an =

n2 - 1

n2 + 14:4) an =

4n- 3

3n+ 4

4:5) an =n2

n+ 14:6) an = arctan 2n 4:7) an = cos

n2

4:8) an = (-1)

n n2

1+ n3

4:9) an =3

n4:10) an =

3+ (-1)n

n24:11) an = n

2

1- cos

1

n

4:12) an =

4n3 + 3n2 + 1

5n3 + 3

4:13) an = n2-n 4:14) an =

ln(2+ en)

3n4:15) an = 1+ (-1)

n 4:16) an =senn2

n

4:17) an =pn+ 8-

pn 4:18) an =

cos2 n

2n4:19) an =

2n

3n + 14:20) an =

5- 2-n

6+ 4-n

4:21) an = ln(n+ 1) - lnn 4:22) an =

1-

4

n

n4:23) an =

en - e-n

en + e-n4:24) an = 5+

5n

3n

33

4:25) an = 10(n+1)=n 4:26) an =

npn 4:27) an = n

2=(n+1) 4:28) an =pn(pn+ 1-

pn)

4:29) an =cos 2n

n4:30) an =

en

n44:31) an = (-1)

n cosn

n24:32) an =

3 mpn

mp2m(n+ 1)

!nm

4:33) an = n

n+ 2

2n- 3

1n

- 1 4:34) an =

n+ 1

n- 1

2n-14

4:35) an =2n

n!4:36) an =

n- 7

n- 2

n+1

4:37) an =

Zn1

1

xpdx 4:38) an =

- sen 2nn 4:39) an =

ln2 n

n4:40) an =

13 + 23 + + n3n4

4:41) an =

1

2+

1

6n

n4:42) an =

ln 2n

ln 3n4:43) an =

senn

3n4:44) an =

1

n2+

2

n2+ + n- 1

n2

4:45) an =n2=3 senn!

n+ 14:46) an = n

3 sen

2

n3

4:47) an = (2n+ 1)

1n 4:48) an =

npn2 + n

5. Sucesion de Fibonacci:

5.1) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea una nueva pareja, que es fertil al mes.Si comenzamos con una pareja de recien nacidos. Demuestre que si F1 = 1 y F2 = 1, entonces la sucesion de Fibonacci, fFng

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; : : :

esta dada por la formula recurrenteFn+1 = Fn + Fn-1; n 3

5.2) Verique que el termino general de la sucesion es

Fn =1p5

1+

p5

2

!n-

1p5

1-

p5

2

!ndemostrando que esta expresion satisface la formula recurrente.

5.3) Sea fn =Fn+1

Fn. Demuestre que fn-1 = 1+

1

fn-2.

5.4) Sea fFng la sucesion de Fibonacci, dada en (5.2). Demuestre que

limn!1 Fn+1Fn =

1+p5

2

6. Calcule el lmite de la siguiente sucesion p2;

q2p2;

r2

q2p2; : : :

7. Se~nale si las siguientes sucesiones son monotonas.

7:1) an =1

3n+ 57:2) an = 3+

(-1)n

n7:3) an =

n- 2

n+ 27:4) an =

pn+ 1

5n+ 3

8. Demuestre que si xn+1 =12

xn +

2xn

, para n 1 y ademas, lim

n!1 xn existe, entonces la sucesion fxng converge ap2 o

bien a -p2.

34

9. Si a1 = 3 y an+1 =1an

, para todo n 1. Calcule limn!1an.

10. Si a1 =p2 y an+1 =

p1+ an, para todo n 1. Calcule lim

n!1an.11. Si a1 = 2 y an+1 =

12(an + 4), para todo n 1. Calcule lim

n!1an.12. Demostrar que p

2;

q2+

p2;

r2+

q2+

p2; : : :

converge a 2.

13. Demostrar que si fang es una sucesion que converge a cero y fbng es una sucesion acotada, entonces fanbng, converge acero.

14. Sean fang, fbng y fcng sucesiones tales que limn!1an = limn!1cn = 1 y an bn cn, para todo n. Demostrar que

limn!1bn = 1.15. Demuestre que si fang y fbng son dos sucesiones divergentes, entonces la sucesion fan + bng, tambien diverge.

16. Sean fang y fbng dos sucesiones convergentes. Demostrar que

limn!1(an + bn) = limn!1an + limn!1bn

17. Dar ejemplos de sucesiones fang y fbng tales que limn!1an = limn!1bn = 0, pero

17:1) limn!1 anbn = 0 17:2) limn!1

an

bn= +1 17:3) lim

n!1 anbn no existe 17:4) limn!1an

bn= -1

18. Demostrar que si fang es una sucesion convergente y fbng es una sucesion tal que bn 6= 0, para todo n y limn!1bn =1,

entonceslimn!1 anbn = 0

19. Demostrar que la sucesion

n!

nn

n1

, converge a cero.

20. Utilice el teorema de sucesiones monotonas y acotadas para hacer un estudio de la convergencia de las siguientessucesiones

20:1)

1 3 5 (2n- 1)

2nn!

n1

20:2)

n!

1 3 5 (2n+ 1)

n0

21. Considere la sucesion dada en (20.2) y demuestre que la misma converge a cero. Ayuda: Observe a la sucesion, comouna recurrente.

22. Dada la sucesion fang denida por an = arn-1, donde a y r son constantes. Se dene la sucesion fSng por

Sn = a1 + a2 + + an (11)

22.1) Deducir que: Sn =a- arn

1- r

22.2) Demostrar que fSng converge si y solo si jrj < 1.

23. Demuestre que la sucesion, cuyo termino general esta dado por: bn =nY

k=1

2kp2, converge a 2.

24. Consideremos la sucesion fang, cuyo termino general esta dado por an =1

2n-1, con n 1. Denamos la sucesion fSng,

de la forma (11)

(a) Deduzca que: Sn =1- 1

2n

1- 12

(b) Verique que fSng converge, halle su valor lmite y utilice el resultado para calcular

limn!1

1+ 1

2+ 1

4+ 1

8+ n2

3n2 + 2n- 4

35


Practica 7

Series numericas Series de Potencias Taylor y Maclaurin Prof. Andres Perez

Parte I: Series Numericas1. Verique que las siguientes series son divergentes.

1:1)1

2+2

3+3

4+4

5+ : : : 1:2)

1Xn=1

3n

n+ 11:3)

1Xn=1

n

2n+ 31:4)

1Xn=1

n2

n2 + 1

1:5) 3-9

2+27

4-81

8+ : : : 1:6)

1Xn=1

4

3

n1:7)

1Xn=1

2n + 1

2n+11:8)

1Xn=1

npn2 + 1

2. Verique que las siguientes series son convergentes.

2:1) 2+3

2+9

8+27

32+ : : : 2:2)

1Xn=1

(0:9)n 2:3) 2- 1+1

2-1

4+1

8- : : : 2:4)

1Xn=1

(-0:6)n

3. Demuestre que la serie1Xn=1

1

n(n+ 1)converge y determine su suma.

4. >Que esta mal en la siguiente \demostracion" de que la serie geometrica1Xn=1

(-1)n+1 tiene por suma 0.1Xn=1

(-1)n+1 = [1+ (-1)] + [1+ (-1)] + + [1+ (-1)] +

= 0+ 0+ + 0+ = 0

5. Muestre que1Xn=1

(-1)n-1 diverge.

6. Muestre que1Xn=1

1

(n+ 2)(n+ 3)=1

3. (Sugerencia: use el ejercicio 3)

7. Demuestre que la serie1Xn=1

7

n(n+ 1)-

2

3n-1

converge y determine su suma.

8. Encuentre una formula para Sn y demuestre que la serie converge o diverge usando limn!1 Sn.

8:1)

1Xn=1

1

4n2 - 18:2)

1Xn=1

ln

n

n+ 1

8:3)

1Xn=1

-1

9n2 + 3n- 28:4)

1Xn=1

1pn+ 1+

pn

9. Determine si la serie1Xn=1

1

5n+1

n

converge o diverge.

10. Demuestre o de un contraejemplo: \Si1Xn=1

an y1Xn=1

bn divergen, entonces1Xn=1

(an + bn) diverge".

11. Supongamos que limn!1(an+1 - an) existe. Demostrar la siguiente version para sumas telescopicas1X

n=1

(an+1 - 2an + an-1) = a0 - a1 + limn!1(an+1 - an)

36

12. Determine si las siguientes series telescopicas convergen o divergen.

12:1)

1Xn=2

log [(1+ 1=n)n(1+ n)]

lognn [log(n+ 1)n+1]12:2)

1Xn=1

2n+ 1

n2(n+ 1)212:3)

1Xn=1

(pn+ 2- 2

pn+ 1+

pn)

12:4)

1Xn=1

ln

n2 - 1

n2

12:5)

1Xn=1

arctan

1

n2 + n+ 1

12:6)

1Xn=1

arctan2

n2

Nota: En los ejercicios (12.5) y (12.6) utilice la siguiente formula: arctan arctan = arctan 1

13. Suponga que fang es una sucesion de terminos positivos, donde a2 =

p3 y ademas se cumple que lim

n!1an = 1.Entonces, calcule la suma de 1X

n=2

arctan

an+1 - an1+ an+1an

14. Demuestre que 1X

n=1

sen

1

2n(n+ 1)

cos

2n+ 1

2n(n+ 1)

=

sen(1)

2

15. Demuestre que la serie: 1Xn=1

Zn+1n

e-px dx

es telescopica y calcule su suma.

16. Demuestre que la serie 1Xn=1

arctan(2n2)

pn+ 1-

pnp

n2 + n

es convergente.

17. Aplique el criterio mas conveniente para determinar si las siguientes series convergen o divergen.

17:1)

1Xn=1

1npe

17:2)

1Xn=1

5

n+ 2-

5

n+ 3

17:3)

1Xn=1

n

ln(n+ 1)17:4)

1Xn=1

ln

2n

7n- 5

17:5)

1Xn=1

3

2

n+

2

3

n17:6)

1Xn=1

1

n(n+ 1)-4

n

17:7)

1Xn=2

(lnn)-2

n17:8)

1Xn=1

2+ senn3pn4 + 1

17:9)

1Xn=1

1p(n+ 1)(n+ 2)

17:10)

1Xn=1

3

2+ senn17:11)

1Xn=1

2n

n!17:12)

1Xn=1

arctann

n2 + 1

17:13)

1Xn=1

2n+ 1

npn lnn

17:14)

1Xn=1

4n-1

n3n+217:15)

1Xn=1

n32n+3

7n-117:16)

1Xn=1

n+ lnn

n3 + 2n- 1

17:17)

1Xn=1

sen(1=n)

n17:18)

1Xn=1

1

nn17:19)

1Xn=1

ne

n+ 1

-n17:20)

1Xn=1

n!

(2n)!

17:21)

1Xn=1

n

n+ 1

n217:22)

1Xn=1

5n2 + n+ n-1

2n3 + 2n2 + 817:23)

1Xn=1

1-

2

n

n17:24)

1Xn=1

(2n)!

n!(2n)n

17:25)

1Xn=1

logn

npn+ 1

(Comp. Basica y Cond. de Cauchy) 17:26)

1Xn=1

log

n sen

1

n

Compare con -

1Xn=1

1

n2

!

37

18. Determine los valores positivos de p, para los cuales converge la serie indicada

18:1)

1Xn=1

n:pn 18:2)

1Xn=1

n22

p

n19. Determine los valores reales de p, para los cuales converge la serie indicada

19:1)

1Xn=1

np

n!19:2)

1Xn=1

lnn

np

20. Sea fFng la sucesion de Fibonacci, dada en el problema 5 de la Practica 1 (Sucesiones Numericas). Demuestre que laserie

1

1+1

1+1

2+1

3+1

5+1

8+ =

1Xn=1

1

Fn

es convergente.

21. Use el criterio de series alternadas para determinar si las siguientes series son convergentes.

21:1)

1Xn=2

(-1)n+1

n+ 221:2)

1Xn=1

(-1)n-1pn

21:3)

1Xn=1

(-1)n+1n

n2 + 121:4)

1Xn=1

(-1)n+1n+ 2

n3

21:5)

1Xn=2

(-1)n+1n

n+ 221:6)

1Xn=1

(-1)n-13n- 1

n+ 521:7)

1Xn=1

(-1)n+11

n+

1

3n

21:8)

1Xn=1

(-1)nn+ 1

4n

21:9)

1Xn=2

(-1)n+14pn

2n+ 321:10)

1Xn=1

cosn

pn2 + 1

n321:11)

1Xn=1

(-1)n+1lnn

n21:12)

1Xn=1

(-1)n+1lnn10

n2

22. Determine si las siguientes series son absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes o divergentes.

22:1)

1Xn=2

(-1)n+1

2n+ 322:2)

1Xn=1

(-1)n

1

n+ 1+1

n

22:3)

1Xn=1

(-1)n+1n

5n22:4)

1Xn=1

(-1)n+1n!

nn

22:5)

1Xn=2

(-1)n+1 sen

1

n

22:6)

1Xn=1

(-1)n-1[pn+ 1-

pn] 22:7)

1Xn=1

(-1)n-12

3

n22:8)

1Xn=1

(-1)n(n!)2

(2n)!

Parte II: Series de Potencias - Series de Taylor y Maclaurin

23. Encuentre el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias

23:1)

1Xn=1

(-1)nxn

3n(n+ 1)23:2)

1Xn=1

(-1)nx2n

2n!23:3)

1Xn=1

(x- 5)n

n223:4)

1Xn=1

xn

n

23:5)

1Xn=1

(2n+ 1)!

n3(x- 2)n 23:6)

1Xn=1

(-1)nx2n+1

(2n+ 1)!23:7)

1Xn=1

(-1)n+1xn

n ln2 n23:8)

1Xn=1

(2x- 3)n

42n

23:9)

1Xn=1

n(x- 1)2n

(2n+ 1)!23:10)

1Xn=1

(-2)nxn+1

n+ 123:11)

1Xn=1

(-1)n+1xn

n2 + 123:12)

1Xn=1

n! xn

23:13)

1Xn=1

(-1)n+1n2xn 23:14)

1Xn=1

(-1)nx2n

2n- 123:15)

1Xn=1

(5x- 3)nn 23:16)

1Xn=1

(2n)!

n!xn

23:17)

1Xn=1

(-1)n+1(x- 2)n

n223:18)

1Xn=1

x2 + 1

5

n23:19)

1Xn=1

1 3 5 (2n+ 1)n!

xn 23:20)

1Xn=1

n

x-2n

38

24. Halle el intervalo de convergencia de la serie1Xn=1

(x- a)n

bn; b > 0.

25. Encuentre el radio de convergencia de1Xn=1

(pn)!

(n!)pxn; con p > 0 y p un numero entero.

26. Hallar el radio de convergencia de1Xn=1

(p+ n)!

n!(n+ q)!xn; donde p y q son enteros positivos.

27. Dada la serie

1-1

2(x- 3) +

1

3(x- 3)2 -

1

4(x- 3)3 +

Hallar el termino n-esimo y comprobar que el intervalo de convergencia es (2; 4].

28. Encuentre una representacion en series de potencias y especique su radio de convergencia

28:1) f(x) =1

1- x28:2) f(x) =

1

1- 5x28:3) f(x) =

1

2- 3x28:4) f(x) =

x

2- 3x

28:5) f(x) =x3

4+ x328:6) f(x) =

1

(1- x)228:7) f(x) = ln(1+ x) 28:8) f(x) = arctan x

Ayuda: Halle la serie para cada ejercicio, conociendo la serie para1

1- xy para

1

1+ xy use derivacion o integracion de

series.

29. Determine la serie de Maclaurin asociada a las siguientes funciones.

29:1) f(x) = e2x 29:2) f(x) = 10x 29:3) f(x) = ln(1+ x) 29:4) f(x) =1

1+ x

29:5) f(x) = arctan 2x 29:6) f(x) =

1

2

x29:7) f(x) = (1+ x)p 29:8) f(x) = sen x

29:9) f(x) = cos x 29:10) f(x) = senh x 29:11) f(x) = cosh x 29:12) f(x) = sennx

30. Conociendo una serie para ex, comprobar que

30:1) eix = cos x+ i sen x 30:2) e-ix = cos x- i sen x

30:3) sen x =eix - e-ix

230:4) cos x =

eix + e-ix

2

siendo i =p-1.

31. Calculepe, con cinco cifras decimales de exactitud.

32. Hallar el valor de sen 62, con cinco cifras decimales.

33. Halle una serie para f(x) = ln x y aproxime ln 0:97, con siete cifras de exactitud.

34. Calcule

Z0:40

p1+ x4 dx, con cinco cifras decimales.

35. Comprobar que:

Zx0

e-y2

dy = x-x3

3 1! +x5

5 2! -x7

7 3! + , para todos los valores positivos de x, y usela para calcular:Z10

e-x2

dx. Ayuda: Halle primero el termino n-esimo.

36. Demuestre las siguientes igualdades

36:1)

Zx0

sen t

tdt =

1Xn=0

x2n+1

(2n+ 1)(2n+ 1)!36:2)

Zx0

cos t

tdt =

1Xn=0

x2n

(2n)(2n)!

UNIDAD IV

Practicas: 8 - 9 - 10

Geometra del Espacio: Vectores - Rectas y Planos Supercies Sistemas de Coordenadas Curvas en el espacio Integrales de Lnea

\Hay una fuerza motriz mas poderosa que el vapor, la electricidady la energa atomica: LA VOLUNTAD"

Albert Einstein

40


Practica 8

Geometra del espacio: Vectores - Rectas y Planos Prof. Andres Perez

1. Una caja rectangular tiene sus caras paralelas a los planos coordenados y los extremos de su diagonal principal son (2; 3; 4)y (5;-2; 0). Dibuje la caja y encuentre las coordenadas de los restantes seis vertices.

2. Demuestre que (4; 5; 2), (1; 7; 3) y (2; 4; 5) son vertices de un triangulo equilatero.

3. Sean P y Q puntos del espacio, el vector con punto inicial P y punto nal Q, se denota por!PQ. Halle las componentes

de!PQ si:

3:1) P(-3; 0; 1); Q(3; 4; 5) 3:2) P(-1;-1; 3); Q(p2; 1; 0) 3:3) P(0; 0; 1); Q(-1; 0; 0)

4. Verique que el punto

M =

x1 + x2

2;y1 + y2

2;z1 + z2

2

es el punto medio del segmento P1P2, donde P1(x1; y1; z1) y P2(x2; y2; z2). Debe vericar que M, esta en el segmento P1P2y ademas que equidista tanto de P1 como de P2.

5. En cada caso determine: 2u+ v, u v, ju- vj y vjvj

5:1) u = (2; 5;-4); v = (3; 3; 0) 5:2) u = (-1; 1; 0); v = (-2; 1; 3)

5:3) u = (p2; 1; 1); v =

12; 23; 0

5:4) u = (-3; 2;-1); v = (-1; 0; 2)

6. Sean u = (2; 2;-1) y v = (-1; 3; 2), entonces:

6:1) Enc

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