MATEMATICAS B ASICAS -...
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MATEM ´ ATICAS B ´ ASICAS Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Pe˜ naloza Edici´ on: Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matem´ aticas Sede Bogot´ a Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia Matem´ aticas B´ asicas Funciones 1/1
Transcript of MATEMATICAS B ASICAS -...
MATEMATICAS BASICAS
Autoras: Margarita Ospina PulidoJeanneth Galeano Penaloza
Edicion: Rafael Ballestas Rojano
Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas
Sede Bogota
Enero de 2015
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 1 / 1
Parte I
Funciones
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 2 / 1
Funciones
Una funcion es una especie de maquina que toma elementos de unconjunto y despues de un proceso obtiene elementos de otro.
Por ejemplo:
1 La funcion del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras,que a cada palabra le asigna su letra inicial.
2 La funcion del conjunto de ciudadanos de un paıs en el de las huellasdigitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su ındicederecho.
3 La funcion del conjunto de los reales en sı mismo, que a cada real leasigna su cuadrado.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 3 / 1
Funciones
Una funcion es una especie de maquina que toma elementos de unconjunto y despues de un proceso obtiene elementos de otro.
Por ejemplo:
1 La funcion del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras,que a cada palabra le asigna su letra inicial.
2 La funcion del conjunto de ciudadanos de un paıs en el de las huellasdigitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su ındicederecho.
3 La funcion del conjunto de los reales en sı mismo, que a cada real leasigna su cuadrado.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 3 / 1
Funciones
Una funcion es una especie de maquina que toma elementos de unconjunto y despues de un proceso obtiene elementos de otro.
Por ejemplo:
1 La funcion del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras,que a cada palabra le asigna su letra inicial.
2 La funcion del conjunto de ciudadanos de un paıs en el de las huellasdigitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su ındicederecho.
3 La funcion del conjunto de los reales en sı mismo, que a cada real leasigna su cuadrado.
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Funciones
Una funcion es una especie de maquina que toma elementos de unconjunto y despues de un proceso obtiene elementos de otro.
Por ejemplo:
1 La funcion del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras,que a cada palabra le asigna su letra inicial.
2 La funcion del conjunto de ciudadanos de un paıs en el de las huellasdigitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su ındicederecho.
3 La funcion del conjunto de los reales en sı mismo, que a cada real leasigna su cuadrado.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 3 / 1
Funciones
De una manera mas formal tenemos:
Dados dos conjuntos no vacıos A y B, una funcion f de A en B, notada:
f : A −→ B
es un subconjunto de A× B (una relacion de A en B) que cumple:
Para todo elemento a ∈ A existe un unico b ∈ B tal que la pareja(a, b) ∈ f .
Como es unico el elemento b relacionado con a, escribimos
f (a) = b.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 4 / 1
Funciones
De una manera mas formal tenemos:
Dados dos conjuntos no vacıos A y B, una funcion f de A en B, notada:
f : A −→ B
es un subconjunto de A× B (una relacion de A en B) que cumple:
Para todo elemento a ∈ A existe un unico b ∈ B tal que la pareja(a, b) ∈ f .
Como es unico el elemento b relacionado con a, escribimos
f (a) = b.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 4 / 1
Funciones
De una manera mas formal tenemos:
Dados dos conjuntos no vacıos A y B, una funcion f de A en B, notada:
f : A −→ B
es un subconjunto de A× B (una relacion de A en B) que cumple:
Para todo elemento a ∈ A existe un unico b ∈ B tal que la pareja(a, b) ∈ f .
Como es unico el elemento b relacionado con a, escribimos
f (a) = b.
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Funciones
Si f : A −→ B es una funcion,
A se llama el Dominio de f .
B se llama el Codominio de f .
{b ∈ B | existe a ∈ A tal que f (a) = b} se llama el Rango de f o elRecorrido de f o la Imagen de f .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 5 / 1
Funciones
Si f : A −→ B es una funcion,
A se llama el Dominio de f .
B se llama el Codominio de f .
{b ∈ B | existe a ∈ A tal que f (a) = b} se llama el Rango de f o elRecorrido de f o la Imagen de f .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 5 / 1
Funciones
Si f : A −→ B es una funcion,
A se llama el Dominio de f .
B se llama el Codominio de f .
{b ∈ B | existe a ∈ A tal que f (a) = b} se llama el Rango de f o elRecorrido de f o la Imagen de f .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 5 / 1
Ejemplos
f : R −→ R definida por f (x) = 2x − 1Dom(f ) = R, Imagen de f = R.
g : R −→ R definida por g(x) = x2
Dom(g) = R, Imagen de g = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 6 / 1
Ejemplos
f : R −→ R definida por f (x) = 2x − 1Dom(f ) = R, Imagen de f = R.
g : R −→ R definida por g(x) = x2
Dom(g) = R, Imagen de g = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 6 / 1
Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y paratodo elemento x del dominio f (x) = g(x).
En este curso trabajaremos unicamente funciones reales, es decir,funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R.
En este caso se acostumbra simplemente a identificar la funcion conla expresion que define su efecto sobre la variable, suponiendo que eldominio es, el subconjunto mas grande de R en el que se puededefinir la funcion y el codominio es R.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 7 / 1
Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y paratodo elemento x del dominio f (x) = g(x).
En este curso trabajaremos unicamente funciones reales, es decir,funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R.
En este caso se acostumbra simplemente a identificar la funcion conla expresion que define su efecto sobre la variable, suponiendo que eldominio es, el subconjunto mas grande de R en el que se puededefinir la funcion y el codominio es R.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 7 / 1
Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y paratodo elemento x del dominio f (x) = g(x).
En este curso trabajaremos unicamente funciones reales, es decir,funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R.
En este caso se acostumbra simplemente a identificar la funcion conla expresion que define su efecto sobre la variable, suponiendo que eldominio es, el subconjunto mas grande de R en el que se puededefinir la funcion y el codominio es R.
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Ejemplos
Si f (x) =2x − 1
x − 3, entonces Dom(f ) = R− {3}.
Si g(x) =√
2− 5x , entonces Dom(g) = (−∞, 25 ].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 8 / 1
Ejemplos
Si f (x) =2x − 1
x − 3, entonces Dom(f ) = R− {3}.
Si g(x) =√
2− 5x , entonces Dom(g) = (−∞, 25 ].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 8 / 1
Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio de la funcion f (x) =4
x2 − 8x + 7.
x2 − 8x + 7 = 0
(x − 1)(x − 7) = 0
Dominio de f : R− {1, 7}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 9 / 1
Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio de la funcion f (x) =4
x2 − 8x + 7.
x2 − 8x + 7 = 0
(x − 1)(x − 7) = 0
Dominio de f : R− {1, 7}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 9 / 1
Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio de la funcion f (x) =4
x2 − 8x + 7.
x2 − 8x + 7 = 0
(x − 1)(x − 7) = 0
Dominio de f : R− {1, 7}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 9 / 1
Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio de la funcion f (x) =4
x2 − 8x + 7.
x2 − 8x + 7 = 0
(x − 1)(x − 7) = 0
Dominio de f : R− {1, 7}.
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Dominio
Ejemplo
Para hallar el dominio de la funcion f (x) =√
2x + 6, resolvemos ladesigualdad
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ −6
x ≥ −3
Dominio de f : [−3,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 10 / 1
Dominio
Ejemplo
Para hallar el dominio de la funcion f (x) =√
2x + 6, resolvemos ladesigualdad
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ −6
x ≥ −3
Dominio de f : [−3,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 10 / 1
Dominio
Ejemplo
Para hallar el dominio de la funcion f (x) =√
2x + 6, resolvemos ladesigualdad
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ −6
x ≥ −3
Dominio de f : [−3,∞).
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Dominio
Ejemplo
Para hallar el dominio de la funcion f (x) =√
2x + 6, resolvemos ladesigualdad
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ −6
x ≥ −3
Dominio de f : [−3,∞).
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Dominio
Ejemplo
Para hallar el dominio de la funcion f (x) =√
2x + 6, resolvemos ladesigualdad
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ −6
x ≥ −3
Dominio de f : [−3,∞).
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Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio de la funcion f (x) =1− 7x
(x + 5)√
3− 2x.
Aquı hay una combinacion de los dos casos, ası que empezamos por laexpresion dentro del radical.
3− 2x > 0
− 2x > −3
x <3
2
S =
(−∞, 3
2
)∗
∗ ¿Por que el intervalo es abierto en 32 ?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 11 / 1
Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio de la funcion f (x) =1− 7x
(x + 5)√
3− 2x.
Aquı hay una combinacion de los dos casos, ası que empezamos por laexpresion dentro del radical.
3− 2x > 0
− 2x > −3
x <3
2
S =
(−∞, 3
2
)∗
∗ ¿Por que el intervalo es abierto en 32 ?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 11 / 1
Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio de la funcion f (x) =1− 7x
(x + 5)√
3− 2x.
Aquı hay una combinacion de los dos casos, ası que empezamos por laexpresion dentro del radical.
3− 2x > 0
− 2x > −3
x <3
2
S =
(−∞, 3
2
)∗
∗ ¿Por que el intervalo es abierto en 32 ?
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Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio de la funcion f (x) =1− 7x
(x + 5)√
3− 2x.
Aquı hay una combinacion de los dos casos, ası que empezamos por laexpresion dentro del radical.
3− 2x > 0
− 2x > −3
x <3
2
S =
(−∞, 3
2
)∗
∗ ¿Por que el intervalo es abierto en 32 ?
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Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio de la funcion f (x) =1− 7x
(x + 5)√
3− 2x.
Aquı hay una combinacion de los dos casos, ası que empezamos por laexpresion dentro del radical.
3− 2x > 0
− 2x > −3
x <3
2
S =
(−∞, 3
2
)∗
∗ ¿Por que el intervalo es abierto en 32 ?
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Dominio
Ejemplo
Hallar el dominio de la funcion f (x) =1− 7x
(x + 5)√
3− 2x.
Aquı hay una combinacion de los dos casos, ası que empezamos por laexpresion dentro del radical.
3− 2x > 0
− 2x > −3
x <3
2
S =
(−∞, 3
2
)∗
∗ ¿Por que el intervalo es abierto en 32 ?
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Dominio
Ejemplo (Cont.)
Hallar el dominio de la funcion f (x) =1− 7x
(x + 5)√
3− 2x.
Ademas, el denominador se hace cero cuando x = −5
, ası que el dominiode f es
Dom(f ) =
(−∞, 3
2
)− {−5} = (−∞,−5) ∪
(−5,
3
2
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 12 / 1
Dominio
Ejemplo (Cont.)
Hallar el dominio de la funcion f (x) =1− 7x
(x + 5)√
3− 2x.
Ademas, el denominador se hace cero cuando x = −5, ası que el dominiode f es
Dom(f ) =
(−∞, 3
2
)− {−5} = (−∞,−5) ∪
(−5,
3
2
).
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Graficas de funciones
La grafica de una funcion real es la representacion en el plano cartesiano de
{(x , f (x)) | x ∈ Dom(f )} .
Si f (x) = 2x − 1, su grafica es la recta y = 2x − 1.
Si g(x) = x2 − 2x + 1, su grafica es la parabola y = x2 − 2x + 1.
Notese que una grafica en el plano cartesiano representa una funcion real,si toda recta vertical corta la grafica en a lo sumo un punto.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 13 / 1
Graficas de funciones
La grafica de una funcion real es la representacion en el plano cartesiano de
{(x , f (x)) | x ∈ Dom(f )} .
Si f (x) = 2x − 1, su grafica es la recta y = 2x − 1.
Si g(x) = x2 − 2x + 1, su grafica es la parabola y = x2 − 2x + 1.
Notese que una grafica en el plano cartesiano representa una funcion real,si toda recta vertical corta la grafica en a lo sumo un punto.
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Graficas de funciones
La grafica de una funcion real es la representacion en el plano cartesiano de
{(x , f (x)) | x ∈ Dom(f )} .
Si f (x) = 2x − 1, su grafica es la recta y = 2x − 1.
Si g(x) = x2 − 2x + 1, su grafica es la parabola y = x2 − 2x + 1.
Notese que una grafica en el plano cartesiano representa una funcion real,si toda recta vertical corta la grafica en a lo sumo un punto.
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Graficas de funciones
La grafica de una funcion real es la representacion en el plano cartesiano de
{(x , f (x)) | x ∈ Dom(f )} .
Si f (x) = 2x − 1, su grafica es la recta y = 2x − 1.
Si g(x) = x2 − 2x + 1, su grafica es la parabola y = x2 − 2x + 1.
Notese que una grafica en el plano cartesiano representa una funcion real,si toda recta vertical corta la grafica en a lo sumo un punto.
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Funcion identica o funcion identidad
Dado cualquier conjunto no vacıo A definimos
IA : A −→ A
a 7−→ a
En particular, la funcionidentica de R
IR : R −→ Rx 7−→ x
Dom(IR) = RIm(IR) = R
x
y
y = x
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 14 / 1
Funcion identica o funcion identidad
Dado cualquier conjunto no vacıo A definimos
IA : A −→ A
a 7−→ a
En particular, la funcionidentica de R
IR : R −→ Rx 7−→ x
Dom(IR) = RIm(IR) = R
x
y
y = x
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Funcion identica o funcion identidad
Dado cualquier conjunto no vacıo A definimos
IA : A −→ A
a 7−→ a
En particular, la funcionidentica de R
IR : R −→ Rx 7−→ x
Dom(IR) = RIm(IR) = R
x
y
y = x
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Funcion identica o funcion identidad
Dado cualquier conjunto no vacıo A definimos
IA : A −→ A
a 7−→ a
En particular, la funcionidentica de R
IR : R −→ Rx 7−→ x
Dom(IR) = RIm(IR) = R
x
y
y = x
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Funcion constante
f : R −→ Rx 7−→ c
donde c es una constante.
Dom(f ) = RIm(f ) = {c}
x
y
y = cc
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 15 / 1
Funcion constante
f : R −→ Rx 7−→ c
donde c es una constante.
Dom(f ) = RIm(f ) = {c}
x
y
y = cc
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Funcion constante
f : R −→ Rx 7−→ c
donde c es una constante.
Dom(f ) = RIm(f ) = {c}
x
y
y = cc
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Funcion lineal
f : R −→ Rx 7−→ mx + b
donde m y b son constantes.
Dom(f ) = RIm(f ) = R, si m 6= 0
¿Que pasa si m = 0?¿Como es la grafica de f eneste caso?
x
y
y = mx + b
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 16 / 1
Funcion lineal
f : R −→ Rx 7−→ mx + b
donde m y b son constantes.
Dom(f ) = RIm(f ) = R, si m 6= 0
¿Que pasa si m = 0?¿Como es la grafica de f eneste caso?
x
y
y = mx + b
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 16 / 1
Funcion lineal
f : R −→ Rx 7−→ mx + b
donde m y b son constantes.
Dom(f ) = RIm(f ) = R, si m 6= 0
¿Que pasa si m = 0?¿Como es la grafica de f eneste caso?
x
y
y = mx + b
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 16 / 1
Funcion lineal
f : R −→ Rx 7−→ mx + b
donde m y b son constantes.
Dom(f ) = RIm(f ) = R, si m 6= 0
¿Que pasa si m = 0?¿Como es la grafica de f eneste caso?
x
y
y = mx + b
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Funcion cuadratica
f : R −→ Rx 7−→ ax2 + bx + c
donde a, b y c son constantesy a 6= 0.
Dom(f ) = RIm(f ) =?
¿Como es la grafica de f ?
x
y
Caso a > 0
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 17 / 1
Funcion cuadratica
f : R −→ Rx 7−→ ax2 + bx + c
donde a, b y c son constantesy a 6= 0.
Dom(f ) = RIm(f ) =?
¿Como es la grafica de f ?
x
y
Caso a > 0
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 17 / 1
Funcion cuadratica
f : R −→ Rx 7−→ ax2 + bx + c
donde a, b y c son constantesy a 6= 0.
Dom(f ) = RIm(f ) =?
¿Como es la grafica de f ?
x
y
Caso a > 0
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Funcion cuadratica
f : R −→ Rx 7−→ ax2 + bx + c
donde a, b y c son constantesy a 6= 0.
Dom(f ) = RIm(f ) =?
¿Como es la grafica de f ?
x
y
Caso a > 0
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 17 / 1
Funcion cuadratica
f : R −→ Rx 7−→ ax2 + bx + c
donde a, b y c son constantesy a 6= 0.
Dom(f ) = RIm(f ) =?
¿Como es la grafica de f ?
x
y
Caso a > 0
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Funcion valor absoluto
f : R −→ Rx 7−→ |x |
Dom(f ) = R
Im(f ) =
[0,∞)
¿Como es la graficade f ?
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = |x |
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 18 / 1
Funcion valor absoluto
f : R −→ Rx 7−→ |x |
Dom(f ) = R
Im(f ) =
[0,∞)
¿Como es la graficade f ?
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = |x |
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 18 / 1
Funcion valor absoluto
f : R −→ Rx 7−→ |x |
Dom(f ) = R
Im(f ) =
[0,∞)
¿Como es la graficade f ?
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
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4
5
y = |x |
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 18 / 1
Funcion valor absoluto
f : R −→ Rx 7−→ |x |
Dom(f ) = R
Im(f ) =
[0,∞)
¿Como es la graficade f ?
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = |x |
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 18 / 1
Funcion valor absoluto
f : R −→ Rx 7−→ |x |
Dom(f ) = R
Im(f ) =
[0,∞)
¿Como es la graficade f ?
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = |x |
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 18 / 1
Funcion valor absoluto
f : R −→ Rx 7−→ |x |
Dom(f ) = R
Im(f ) =
[0,∞)
¿Como es la graficade f ?
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
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-1
1
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5
y = |x |
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 18 / 1
Funcion valor absoluto
f : R −→ Rx 7−→ |x |
Dom(f ) = R
Im(f ) = [0,∞)
¿Como es la graficade f ?
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = |x |
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 18 / 1
Funcion parte entera
f : R −→ Rx 7−→ [x ]
donde [x ] es el mayor entero menor o igual que x .
Por ejemplo
[π] = 3
[8.27] = 8 [12] = 12
[−2] = −2 [−1,5] = −2 [−π] = −4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 19 / 1
Funcion parte entera
f : R −→ Rx 7−→ [x ]
donde [x ] es el mayor entero menor o igual que x .
Por ejemplo
[π] = 3
[8.27] = 8 [12] = 12
[−2] = −2 [−1,5] = −2 [−π] = −4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 19 / 1
Funcion parte entera
f : R −→ Rx 7−→ [x ]
donde [x ] es el mayor entero menor o igual que x .
Por ejemplo
[π] = 3 [8.27] = 8
[12] = 12
[−2] = −2 [−1,5] = −2 [−π] = −4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 19 / 1
Funcion parte entera
f : R −→ Rx 7−→ [x ]
donde [x ] es el mayor entero menor o igual que x .
Por ejemplo
[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12
[−2] = −2 [−1,5] = −2 [−π] = −4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 19 / 1
Funcion parte entera
f : R −→ Rx 7−→ [x ]
donde [x ] es el mayor entero menor o igual que x .
Por ejemplo
[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12
[−2] = −2
[−1,5] = −2 [−π] = −4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 19 / 1
Funcion parte entera
f : R −→ Rx 7−→ [x ]
donde [x ] es el mayor entero menor o igual que x .
Por ejemplo
[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12
[−2] = −2 [−1,5] = −2
[−π] = −4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 19 / 1
Funcion parte entera
f : R −→ Rx 7−→ [x ]
donde [x ] es el mayor entero menor o igual que x .
Por ejemplo
[π] = 3 [8.27] = 8 [12] = 12
[−2] = −2 [−1,5] = −2 [−π] = −4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 19 / 1
Funcion parte entera
Ejercicio
Haga la grafica de y = [x ] y encuentre su imagen.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 20 / 1
Funcion parte entera f (x) = [x ]
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x ]
Im(f ) = Z
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 21 / 1
Funcion parte entera f (x) = [x ]
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x ]
Im(f ) = Z
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 21 / 1
Funcion parte entera f (x) = [x ]
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x ]
Im(f ) = Z
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 21 / 1
Funcion parte entera f (x) = [x ]
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x ]
Im(f ) = Z
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 21 / 1
Funcion parte entera f (x) = [x ]
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x ]
Im(f ) = Z
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 21 / 1
Funcion parte entera f (x) = [x ]
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x ]
Im(f ) = Z
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 21 / 1
Funcion parte entera f (x) = [x ]
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x ]
Im(f ) = Z
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 21 / 1
Funcion parte entera f (x) = [x ]
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x ]Im(f ) =
Z
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 21 / 1
Funcion parte entera f (x) = [x ]
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = [x ]Im(f ) = Z
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 21 / 1
Funciones definidas a trozos
Consideremos la funcion definida como sigue
f (x) =
3 si x < −4
x + 1 si −4 ≤ x ≤ −2
x2 si x > −2.
Veamos su grafica.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 22 / 1
Funciones definidas a trozos
f (x) =
3 si x < −4
x + 1 si −4 ≤ x ≤ −2
x2 si x > −2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 23 / 1
Funciones definidas a trozos
f (x) =
3 si x < −4
x + 1 si −4 ≤ x ≤ −2
x2 si x > −2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 23 / 1
Funciones definidas a trozos
f (x) =
3 si x < −4
x + 1 si −4 ≤ x ≤ −2
x2 si x > −2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 23 / 1
Funciones definidas a trozos
f (x) =
3 si x < −4
x + 1 si −4 ≤ x ≤ −2
x2 si x > −2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 23 / 1
Funciones definidas a trozos
f (x) =
3 si x < −4
x + 1 si −4 ≤ x ≤ −2
x2 si x > −2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 23 / 1
Funciones definidas a trozos
Consideremos la funcion definida como sigue
f (x) =
2 si x < −2
−x2 + 1 si −2 ≤ x < 2
2x − 6 si x ≥ 2.
Veamos su grafica.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 24 / 1
Funciones definidas a trozos
f (x) =
2 si x < −2
− x2 + 1 si −2 ≤ x < 2
2x − 6 si x ≥ 2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 25 / 1
Funciones definidas a trozos
f (x) =
2 si x < −2
− x2 + 1 si −2 ≤ x < 2
2x − 6 si x ≥ 2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 25 / 1
Funciones definidas a trozos
f (x) =
2 si x < −2
− x2 + 1 si −2 ≤ x < 2
2x − 6 si x ≥ 2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 25 / 1
Funciones definidas a trozos
f (x) =
2 si x < −2
− x2 + 1 si −2 ≤ x < 2
2x − 6 si x ≥ 2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 25 / 1
Funciones definidas a trozos
f (x) =
2 si x < −2
− x2 + 1 si −2 ≤ x < 2
2x − 6 si x ≥ 2.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 25 / 1
Graficas
Ejercicio
Bosqueje la grafica de las siguientes funciones:
f (x) =
x2 si x < 0
2 si 0 ≤ x < 1
1− x si x > 1
f (x) =
−4 si x < −1
|x |+ 1 si −1 ≤ x ≤ 1
2x si x > 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 26 / 1
Parte II
Propiedades de funciones
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 27 / 1
Funciones pares
Definicion
Una funcion f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominio de f .
1 Si f es par, la expresion y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x .
2 f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.
3 La grafica de una funcion par es simetrica con respecto al eje y .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 28 / 1
Funciones pares
Definicion
Una funcion f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominio de f .
1 Si f es par, la expresion y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x .
2 f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.
3 La grafica de una funcion par es simetrica con respecto al eje y .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 28 / 1
Funciones pares
Definicion
Una funcion f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominio de f .
1 Si f es par, la expresion y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x .
2 f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.
3 La grafica de una funcion par es simetrica con respecto al eje y .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 28 / 1
Funciones pares
Definicion
Una funcion f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominio de f .
1 Si f es par, la expresion y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x .
2 f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.
3 La grafica de una funcion par es simetrica con respecto al eje y .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 28 / 1
Funciones pares
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 29 / 1
Funciones impares
Definicion
Una funcion f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en el dominio de f .
1 f (x) = x y f (x) = x3 son ejemplos de funciones impares.
2 La grafica de una funcion impar es simetrica con respecto al origen.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 30 / 1
Funciones impares
Definicion
Una funcion f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en el dominio de f .
1 f (x) = x y f (x) = x3 son ejemplos de funciones impares.
2 La grafica de una funcion impar es simetrica con respecto al origen.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 30 / 1
Funciones impares
Definicion
Una funcion f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en el dominio de f .
1 f (x) = x y f (x) = x3 son ejemplos de funciones impares.
2 La grafica de una funcion impar es simetrica con respecto al origen.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 30 / 1
Funciones impares
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 31 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x
es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8
es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x
es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x
es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x)
= 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x
es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x
es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x
es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x
es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x
es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues
f (−x)
= 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 32 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar, pues
f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8
= −3x7 − 9x5 − 3x8
= −(3x7 + 9x5 + 3x8)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 33 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8
no es par ni impar, pues
f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8
= −3x7 − 9x5 − 3x8
= −(3x7 + 9x5 + 3x8)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 33 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar, pues
f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8
= −3x7 − 9x5 − 3x8
= −(3x7 + 9x5 + 3x8)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 33 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar, pues
f (−x)
= 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8
= −3x7 − 9x5 − 3x8
= −(3x7 + 9x5 + 3x8)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 33 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar, pues
f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8
= −3x7 − 9x5 − 3x8
= −(3x7 + 9x5 + 3x8)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 33 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar, pues
f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8
= −3x7 − 9x5 − 3x8
= −(3x7 + 9x5 + 3x8)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 33 / 1
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar, pues
f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8
= −3x7 − 9x5 − 3x8
= −(3x7 + 9x5 + 3x8)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 33 / 1
Funciones pares e impares
Ejercicio
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 2x7 + 3x5 − 6x6 + 1
f (x) = 8x6 + 3x4 − x + 4
f (x) = 2√x + 4
f (x) = (x − 1)2 + x4
f (x) = 3− (x + 2)3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 34 / 1
Funciones pares e impares
Ejercicio
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 2x7 + 3x5 − 6x6 + 1
f (x) = 8x6 + 3x4 − x + 4
f (x) = 2√x + 4
f (x) = (x − 1)2 + x4
f (x) = 3− (x + 2)3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 34 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Definicion
Sea f : A −→ B una funcion,
f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que
f (a) = f (b) implica que a = b.
f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B.
f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 35 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Definicion
Sea f : A −→ B una funcion,
f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que
f (a) = f (b) implica que a = b.
f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B.
f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 35 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Definicion
Sea f : A −→ B una funcion,
f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que
f (a) = f (b) implica que a = b.
f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B.
f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 35 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Definicion
Sea f : A −→ B una funcion,
f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que
f (a) = f (b) implica que a = b.
f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B.
f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 35 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4
no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3
es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2
no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3
es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x |
no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Ejemplo
Considere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Como determinar por medio de la grafica si una funcion es uno a uno?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 36 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Prueba de la recta horizontal
Una funcion f es uno a uno si y solo si toda recta horizontal corta lagrafica de f maximo en un punto.
Una funcion de codominio R es sobreyectiva si toda recta horizontalcorta su grafica.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 37 / 1
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Prueba de la recta horizontal
Una funcion f es uno a uno si y solo si toda recta horizontal corta lagrafica de f maximo en un punto.
Una funcion de codominio R es sobreyectiva si toda recta horizontalcorta su grafica.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 37 / 1
Parte III
Operaciones entre funciones
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 38 / 1
Operaciones entre funciones
Definicion
Sean f y g dos funciones. Definimos
Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Diferencia (f − g)(x) = f (x)− g(x)
Producto (fg)(x) = f (x)g(x)
Cociente
(f
g
)(x) =
f (x)
g(x), siempre que g(x) 6= 0.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 39 / 1
Operaciones entre funciones
Definicion
Sean f y g dos funciones. Definimos
Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Diferencia (f − g)(x) = f (x)− g(x)
Producto (fg)(x) = f (x)g(x)
Cociente
(f
g
)(x) =
f (x)
g(x), siempre que g(x) 6= 0.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 39 / 1
Operaciones entre funciones
Definicion
Sean f y g dos funciones. Definimos
Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Diferencia (f − g)(x) = f (x)− g(x)
Producto (fg)(x) = f (x)g(x)
Cociente
(f
g
)(x) =
f (x)
g(x), siempre que g(x) 6= 0.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 39 / 1
Operaciones entre funciones
Definicion
Sean f y g dos funciones. Definimos
Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Diferencia (f − g)(x) = f (x)− g(x)
Producto (fg)(x) = f (x)g(x)
Cociente
(f
g
)(x) =
f (x)
g(x), siempre que g(x) 6= 0.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 39 / 1
Operaciones entre funciones
Definicion
Sean f y g dos funciones. Definimos
Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Diferencia (f − g)(x) = f (x)− g(x)
Producto (fg)(x) = f (x)g(x)
Cociente
(f
g
)(x) =
f (x)
g(x), siempre que g(x) 6= 0.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 39 / 1
Operaciones entre funciones
Ejemplo
Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4. Entonces
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3
(f − g)(x) = 2x + 1− (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4(f
g
)(x) =
2x + 1
3x2 − 4
¿Cual es el dominio de estas funciones?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 40 / 1
Operaciones entre funciones
Ejemplo
Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4. Entonces
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3
(f − g)(x) = 2x + 1− (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4(f
g
)(x) =
2x + 1
3x2 − 4
¿Cual es el dominio de estas funciones?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 40 / 1
Operaciones entre funciones
Ejemplo
Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4. Entonces
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3
(f − g)(x) = 2x + 1− (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4(f
g
)(x) =
2x + 1
3x2 − 4
¿Cual es el dominio de estas funciones?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 40 / 1
Operaciones entre funciones
Ejemplo
Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4. Entonces
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3
(f − g)(x) = 2x + 1− (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4
(f
g
)(x) =
2x + 1
3x2 − 4
¿Cual es el dominio de estas funciones?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 40 / 1
Operaciones entre funciones
Ejemplo
Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4. Entonces
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3
(f − g)(x) = 2x + 1− (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4(f
g
)(x) =
2x + 1
3x2 − 4
¿Cual es el dominio de estas funciones?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 40 / 1
Operaciones entre funciones
Ejemplo
Sean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4. Entonces
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3
(f − g)(x) = 2x + 1− (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4(f
g
)(x) =
2x + 1
3x2 − 4
¿Cual es el dominio de estas funciones?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 40 / 1
Operaciones entre funciones
El dominio de f + g , f − g , fg es la interseccion I de los dominios de f yde g , mientras que el dominio de f
g esta formado por los puntos x de Itales que g(x) 6= 0.
Ejemplo
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x.
Hallar una expresion para las siguientes funciones y sus dominios,
f + g , f − g , fg ,f
g,
g
f,
g
f + g.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 41 / 1
Operaciones entre funciones
El dominio de f + g , f − g , fg es la interseccion I de los dominios de f yde g , mientras que el dominio de f
g esta formado por los puntos x de Itales que g(x) 6= 0.
Ejemplo
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x.
Hallar una expresion para las siguientes funciones y sus dominios,
f + g , f − g , fg ,f
g,
g
f,
g
f + g.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 41 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x.
Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +x
4− xDom(f + g) = R− {4}
(f − g)(x) = 5x + 3− x
4− xDom(f − g) = R− {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
(x
4− x
)=
5x2 + 3x
4− xDom(fg) = R− {4}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 42 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +x
4− xDom(f + g) = R− {4}
(f − g)(x) = 5x + 3− x
4− xDom(f − g) = R− {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
(x
4− x
)=
5x2 + 3x
4− xDom(fg) = R− {4}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 42 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +x
4− x
Dom(f + g) = R− {4}
(f − g)(x) = 5x + 3− x
4− xDom(f − g) = R− {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
(x
4− x
)=
5x2 + 3x
4− xDom(fg) = R− {4}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 42 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +x
4− xDom(f + g) = R− {4}
(f − g)(x) = 5x + 3− x
4− xDom(f − g) = R− {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
(x
4− x
)=
5x2 + 3x
4− xDom(fg) = R− {4}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 42 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +x
4− xDom(f + g) = R− {4}
(f − g)(x) = 5x + 3− x
4− x
Dom(f − g) = R− {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
(x
4− x
)=
5x2 + 3x
4− xDom(fg) = R− {4}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 42 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +x
4− xDom(f + g) = R− {4}
(f − g)(x) = 5x + 3− x
4− xDom(f − g) = R− {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
(x
4− x
)=
5x2 + 3x
4− xDom(fg) = R− {4}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 42 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +x
4− xDom(f + g) = R− {4}
(f − g)(x) = 5x + 3− x
4− xDom(f − g) = R− {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
(x
4− x
)
=5x2 + 3x
4− xDom(fg) = R− {4}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 42 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +x
4− xDom(f + g) = R− {4}
(f − g)(x) = 5x + 3− x
4− xDom(f − g) = R− {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
(x
4− x
)=
5x2 + 3x
4− x
Dom(fg) = R− {4}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 42 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f + g)(x) = 5x + 3 +x
4− xDom(f + g) = R− {4}
(f − g)(x) = 5x + 3− x
4− xDom(f − g) = R− {4}
(fg)(x) = (5x + 3)
(x
4− x
)=
5x2 + 3x
4− xDom(fg) = R− {4}
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 42 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x.
Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f
g
)(x) =
5x + 3x
4−x
=(5x + 3)(4− x)
x
=20x − 5x2 + 12− 3x
x
=−5x2 + 17x + 12
x
Dom
(f
g
)= R− {0, 4}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 43 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f
g
)(x) =
5x + 3x
4−x
=(5x + 3)(4− x)
x
=20x − 5x2 + 12− 3x
x
=−5x2 + 17x + 12
x
Dom
(f
g
)= R− {0, 4}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 43 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f
g
)(x) =
5x + 3x
4−x
=(5x + 3)(4− x)
x
=20x − 5x2 + 12− 3x
x
=−5x2 + 17x + 12
x
Dom
(f
g
)= R− {0, 4}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 43 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f
g
)(x) =
5x + 3x
4−x
=(5x + 3)(4− x)
x
=20x − 5x2 + 12− 3x
x
=−5x2 + 17x + 12
x
Dom
(f
g
)= R− {0, 4}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 43 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f
g
)(x) =
5x + 3x
4−x
=(5x + 3)(4− x)
x
=20x − 5x2 + 12− 3x
x
=−5x2 + 17x + 12
x
Dom
(f
g
)= R− {0, 4}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 43 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f
g
)(x) =
5x + 3x
4−x
=(5x + 3)(4− x)
x
=20x − 5x2 + 12− 3x
x
=−5x2 + 17x + 12
x
Dom
(f
g
)= R− {0, 4}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 43 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(f
g
)(x) =
5x + 3x
4−x
=(5x + 3)(4− x)
x
=20x − 5x2 + 12− 3x
x
=−5x2 + 17x + 12
x
Dom
(f
g
)= R− {0, 4}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 43 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x.
Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(gf
)(x) =
x4−x
5x + 3
=x
(5x + 3)(4− x)
=x
20x − 5x2 + 12− 3x
=x
−5x2 + 17x + 12
Dom(gf
)= R− {4,−3
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 44 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(gf
)(x) =
x4−x
5x + 3
=x
(5x + 3)(4− x)
=x
20x − 5x2 + 12− 3x
=x
−5x2 + 17x + 12
Dom(gf
)= R− {4,−3
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 44 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(gf
)(x) =
x4−x
5x + 3
=x
(5x + 3)(4− x)
=x
20x − 5x2 + 12− 3x
=x
−5x2 + 17x + 12
Dom(gf
)= R− {4,−3
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 44 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(gf
)(x) =
x4−x
5x + 3
=x
(5x + 3)(4− x)
=x
20x − 5x2 + 12− 3x
=x
−5x2 + 17x + 12
Dom(gf
)= R− {4,−3
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 44 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(gf
)(x) =
x4−x
5x + 3
=x
(5x + 3)(4− x)
=x
20x − 5x2 + 12− 3x
=x
−5x2 + 17x + 12
Dom(gf
)= R− {4,−3
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 44 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(gf
)(x) =
x4−x
5x + 3
=x
(5x + 3)(4− x)
=x
20x − 5x2 + 12− 3x
=x
−5x2 + 17x + 12
Dom(gf
)= R− {4,−3
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 44 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(gf
)(x) =
x4−x
5x + 3
=x
(5x + 3)(4− x)
=x
20x − 5x2 + 12− 3x
=x
−5x2 + 17x + 12
Dom(gf
)= R− {4,−3
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 44 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x.
Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(g
f + g
)(x) =
x4−x
5x + 3 + x4−x
=x
4−x(4−x)(5x+3)+x
4−x
=x
−5x2 + 17x + 12 + x
=x
−5x2 + 18x + 12
Dom
(g
f + g
)= R− {4, 9±
√141
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 45 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(g
f + g
)(x) =
x4−x
5x + 3 + x4−x
=x
4−x(4−x)(5x+3)+x
4−x
=x
−5x2 + 17x + 12 + x
=x
−5x2 + 18x + 12
Dom
(g
f + g
)= R− {4, 9±
√141
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 45 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(g
f + g
)(x) =
x4−x
5x + 3 + x4−x
=x
4−x(4−x)(5x+3)+x
4−x
=x
−5x2 + 17x + 12 + x
=x
−5x2 + 18x + 12
Dom
(g
f + g
)= R− {4, 9±
√141
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 45 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(g
f + g
)(x) =
x4−x
5x + 3 + x4−x
=x
4−x(4−x)(5x+3)+x
4−x
=x
−5x2 + 17x + 12 + x
=x
−5x2 + 18x + 12
Dom
(g
f + g
)= R− {4, 9±
√141
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 45 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(g
f + g
)(x) =
x4−x
5x + 3 + x4−x
=x
4−x(4−x)(5x+3)+x
4−x
=x
−5x2 + 17x + 12 + x
=x
−5x2 + 18x + 12
Dom
(g
f + g
)= R− {4, 9±
√141
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 45 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(g
f + g
)(x) =
x4−x
5x + 3 + x4−x
=x
4−x(4−x)(5x+3)+x
4−x
=x
−5x2 + 17x + 12 + x
=x
−5x2 + 18x + 12
Dom
(g
f + g
)= R− {4, 9±
√141
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 45 / 1
Ejemplo (cont.)
Sean f (x) = 5x + 3 y g(x) =x
4− x. Dom(f ) = R y Dom(g) = R− {4}.
(g
f + g
)(x) =
x4−x
5x + 3 + x4−x
=x
4−x(4−x)(5x+3)+x
4−x
=x
−5x2 + 17x + 12 + x
=x
−5x2 + 18x + 12
Dom
(g
f + g
)= R− {4, 9±
√141
5}.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 45 / 1
Composicion de funciones
Si f y g son funciones se define
(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
De esta manera g ◦ f es una funcion cuyo dominio es
{x ∈ Dom(f ) | f (x) ∈ Dom(g)} .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 46 / 1
Composicion de funciones
Si f y g son funciones se define
(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
De esta manera g ◦ f es una funcion cuyo dominio es
{x ∈ Dom(f ) | f (x) ∈ Dom(g)} .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 46 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x)
= g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
= (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x)
= f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
= f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.
Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 1
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9− 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
En este caso Dom(g ◦ f ) = R.
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R.Notese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f ).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 47 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x)
= g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0}
= [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x)
= f (g(x)) = f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
= f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R}
= [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Ejemplo 2
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =√x tenemos:
(g ◦ f )(x) = g(2x + 3)
=√
2x + 3
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [−32 ,∞).
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√x)
= 2√x + 3
Dom(f ◦ g) = {x ∈ [0,∞) |√x ∈ R} = [0,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 48 / 1
Composicion de funciones
Ejercicio
Si
f (x) =1
1− x2y g(x) =
√1− x ,
defina (f ◦ g) y encuentre su dominio. ¡CUIDADO!
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Funciones 49 / 1
