MATEMATICASBASICAS

MATEMATICAS BASICAS

Autora: Jeanneth Galeano Penaloza

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

3 de febrero de 2013

1 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Parte I

Logica

2 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Proposiciones

Considere las siguientes frases

Guarde el celular!

2 + 3 = 51

2+ 1

3= 2

5

Tienes hambre?

En Bogota todos los dıas llueve

Esta oracion es falsa.

Falcao es mejor jugador que Messi.

3 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Proposiciones

Considere las siguientes frases

Guarde el celular! Es una orden.

2 + 3 = 5. Es verdadero1

2+ 1

3= 2

5. Es falso

Tienes hambre? Es una pregunta.

En Bogota todos los dıas llueve. Es falso.

Esta oracion es falsa. Es una paradoja.

Falcao es mejor jugador que Messi. Es una opinion.

4 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Proposiciones

Definicion

Una proposicion es un enunciado u oracion declarativa de lacual se puede afirmar que es falsa (F) o verdadera (V) pero noambas cosas a la vez

5 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Proposiciones

Proposiciones Compuestas

Son aquellas que estan formadas por proposiciones simples, suvalor de verdad depende de los valores de verdad de cada unade las proposiciones simples y del tipo de conectivo.

6 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Proposiciones

Ejemplos

Julian estudia quımica y musica.

Si compro el libro, entonces no voy a cine.

7 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Conectivos logicos

Los siguientes son los conectivos logicos mas usados

Los conectivos logicos son las palabras como y, o, no, si ...

entonces, que permiten combinar proposiciones simples paraproducir otras, llamadas proposiciones compuestas. Sussımbolos son:

Negacion ∼

Conjuncion ∧

Disyuncion ∨

o exclusivo ⊻

Condicional −→

Bi condicional ←→

8 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Proposiciones

Ejemplo

Julian estudia quımica y musica. Es un enunciado de la forma

p ∧ q,

dondep : Julian estudia quımica,q : Julian estudia musica.

9 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Proposiciones

Ejercicio

Simbolizar las siguientes proposiciones en terminos de p, q, r.

Este semestre inscribı Ingles I y Matematicas Basicas.

O inicio clases esta semana, o presto el servicio militar.

Si no hay paro, entonces hacemos clase.

Si no paso Matematicas Basicas, entonces quedo en retiroacademico.

Puedo ver Ingles II si paso Ingles I.

Manana a las 9 am, o voy a jugar futbol, o a estudiar a labiblioteca.

10 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Proposiciones

Ejercicio

Simbolizar las siguientes proposiciones matematicas.

Dos es mayor que cinco.

Cuatro no es un numero impar.

Cinco es igual a tres o cinco es mayor que seis.

No es cierto que: si un numero es par entonces es primo.

Si ocho es menor que cinco o mayor que siete, entonces noes igual a seis.

11 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Proposiciones

Ejercicio

Negar las siguientes proposiciones.

El viento sopla muy fuerte.

El amigo de Juan tiene razon.

No ocurre que 3 6= 7.

Las elecciones presidenciales siempre terminan en armonıa.

12 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Proposiciones

Proposiciones

Si p y q son proposiciones simples, entonces∼ p, ∼ q, p ∧ q, q ∧ p, p ∨ q, q ∨ p,

p −→ q, q −→ p, p←→ q, q ←→ p tambien lo son.

13 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Negacion

Negacion

Dada una proposicion p, llamaremos a ∼ p la negacion de p.Si p es verdadera (V) ∼ p es falsa (F), si p es falsa entonces∼ p es verdadera.∼ p se lee como

no p

14 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Negacion

Negacion

Dada una proposicion p, llamaremos a ∼ p la negacion de p.Si p es verdadera (V) ∼ p es falsa (F), si p es falsa entonces∼ p es verdadera.∼ p se lee como

no p

es falso que...

14 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Negacion

Negacion

Dada una proposicion p, llamaremos a ∼ p la negacion de p.Si p es verdadera (V) ∼ p es falsa (F), si p es falsa entonces∼ p es verdadera.∼ p se lee como

no p

es falso que...

no es cierto que...

14 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Negacion

Negacion

p ∼ p

V

F

15 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Negacion

Negacion

p ∼ p

V F

F

15 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Negacion

Negacion

p ∼ p

V F

F V

15 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Conjuncion

Conjuncion

Dadas las proposiciones p, q, a la proposicion p ∧ q se ledenomina la conjuncion de p y q, y sera verdadera cuando losdos enunciados p, q sean simultaneamente verdaderos, y falsaen cualquier otro caso.p ∧ q se lee p y q

16 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Conjuncion

Conjuncion

p q p ∧ q

V V

V F

F V

F F

17 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Conjuncion

Conjuncion

p q p ∧ q

V V V

V F

F V

F F

17 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Conjuncion

Conjuncion

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V

F F

17 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Conjuncion

Conjuncion

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F

17 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Conjuncion

Conjuncion

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

17 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Disyuncion

Disyuncion

Dadas las proposiciones p, q a la proposicion p ∨ q se ledenomina la disyuncion de p con q, la cual sera verdaderacuando al menos una de las dos sea verdadera, esto es ladisyuncion es falsa unicamente cuando las dos proposicionessean falsas.p ∨ q se lee p o q

18 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Disyuncion

Disyuncion

p q p ∨ q

V V

V F

F V

F F

19 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Disyuncion

Disyuncion

p q p ∨ q

V V V

V F

F V

F F

19 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Disyuncion

Disyuncion

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V

F F

19 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Disyuncion

Disyuncion

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F

19 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Disyuncion

Disyuncion

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

19 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Condicional o implicacion

Condicional o implicacion

Dadas las proposiciones p, q a la proposicion p −→ q ladenominaremos condicional, la cual es verdadera en todos loscasos salvo en el caso en que p sea verdadero y q sea falso.p −→ q se lee

Si p entonces q

20 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Condicional o implicacion

Condicional o implicacion

Dadas las proposiciones p, q a la proposicion p −→ q ladenominaremos condicional, la cual es verdadera en todos loscasos salvo en el caso en que p sea verdadero y q sea falso.p −→ q se lee

Si p entonces q

p solo si q

20 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Condicional o implicacion

Condicional o implicacion

Dadas las proposiciones p, q a la proposicion p −→ q ladenominaremos condicional, la cual es verdadera en todos loscasos salvo en el caso en que p sea verdadero y q sea falso.p −→ q se lee

Si p entonces q

p solo si q

p es condicion suficiente para q

20 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Condicional o implicacion

Condicional o implicacion

Dadas las proposiciones p, q a la proposicion p −→ q ladenominaremos condicional, la cual es verdadera en todos loscasos salvo en el caso en que p sea verdadero y q sea falso.p −→ q se lee

Si p entonces q

p solo si q

p es condicion suficiente para q

q es condicion necesaria para p

20 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Condicional o implicacion

Condicional

p q p −→ q

V V

V F

F V

F F

21 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Condicional o implicacion

Condicional

p q p −→ q

V V V

V F

F V

F F

21 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Condicional o implicacion

Condicional

p q p −→ q

V V V

V F F

F V

F F

21 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Condicional o implicacion

Condicional

p q p −→ q

V V V

V F F

F V V

F F

21 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Condicional o implicacion

Condicional

p q p −→ q

V V V

V F F

F V V

F F V

21 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Bi-condicional, equivalencia o doble implicacion

Bi-condicional, equivalencia o doble implicacion

Dadas las proposiciones p, q a la proposicion p←→ q ladenominaremos bi-condicional, la cual es verdadera cuando p

y q tomen el mismo valor de verdad.p←→ q se lee

p si y solo si q

22 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Bi-condicional, equivalencia o doble implicacion

Bi-condicional, equivalencia o doble implicacion

Dadas las proposiciones p, q a la proposicion p←→ q ladenominaremos bi-condicional, la cual es verdadera cuando p

y q tomen el mismo valor de verdad.p←→ q se lee

p si y solo si q

p es condicion necesaria y suficiente para q

22 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Bi-condicional, equivalencia o doble implicacion

Bi-condicional

p q p←→ q

V V

V F

F V

F F

23 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Bi-condicional, equivalencia o doble implicacion

Bi-condicional

p q p←→ q

V V V

V F

F V

F F

23 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Bi-condicional, equivalencia o doble implicacion

Bi-condicional

p q p←→ q

V V V

V F F

F V

F F

23 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Bi-condicional, equivalencia o doble implicacion

Bi-condicional

p q p←→ q

V V V

V F F

F V F

F F

23 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Bi-condicional, equivalencia o doble implicacion

Bi-condicional

p q p←→ q

V V V

V F F

F V F

F F V

23 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Tablas de verdad

Cuantas posibilidades se dan para determinar el valor de verdadde una proposicion?Depende del numero de proposiciones, sabiendo que cada unade ellas tiene dos valores posiblesSi el numero de proposiciones es n entonces el numero deposibilidades es ...

24 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Diagrama de Arbol

25 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Eliminacion de algunos parentesis

Reglas

Regla 1 El −→ es mas potente que otros terminos deenlace.

Regla 2 El signo de negacion ∼ es mas debil quecualquiera de los otros tres terminos de enlace.

26 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Eliminacion de algunos parentesis

Ejemplo

Junto a cada una de las siguientes proposiciones se indica eltipo de proposicion al que pertenece. Anadir solo los parentesisnecesarios.

condicional p −→ q ∨ r

disyuncion p ∨ q ∧ r

conjuncion r −→ s ∧ t

negacion ∼ p −→ q

condicional p ∨ q −→∼ r

conjuncion ∼ p ∨ ∼ q ∧ ∼ r

27 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Tautologıas y Contradicciones

Definicion

Una tautologıa es una proposicion cuyo valor de verdad esverdadero independientemente de los valores de verdad de lasproposiciones que la componen.Si la proposicion es una equivalencia, se dice que las dosproposiciones que ella conecta son logicamente equivalentes. Sies una implicacion, la primera proposicion implica logicamentea la segunda.Una contradiccion es una proposicion cuyo valor de verdadsiempre es falso.

28 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Equivalencia logica

Definicion

Diremos que dos formulas son equivalentes si tienenexactamente la misma tabla de verdad, para indicar esto,usaremos el sımbolo ⇐⇒.

29 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Equivalencia logica

Ejemplos

p ∨ p⇐⇒ p

p ∧ p⇐⇒ p

30 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Equivalencia logica

Ejemplo. Ley conmutativa

p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p

p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p

31 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Equivalencia logica

Ejemplos

p∨ ∼ p es una tautologıa

p∧ ∼ p es una contradiccion

∼∼ p⇐⇒ p

32 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Equivalencia logica

Ejemplo. Ley asociativa

p ∨ (q ∨ r)⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r

p ∧ (q ∧ r)⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r

33 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Equivalencia logica

Ejemplo. Ley distributiva

p ∨ (q ∧ r)⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r)⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

34 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Equivalencia logica

Ejemplo. Leyes de De Morgan

∼ (p ∨ q)⇐⇒∼ p ∧ ∼ q

∼ (p ∧ q)⇐⇒∼ p ∨ ∼ q

35 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Equivalencia logica

Ejemplo. Negacion del condicional y del bi-condicional

∼ (p −→ q)⇐⇒ p ∧ ∼ q

∼ (p←→ q)⇐⇒∼ p←→ q ⇐⇒ p←→∼ q

36 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Equivalencia logica

Ejemplos

p −→ q ⇐⇒∼ q −→∼ p

p←→ q ⇐⇒ (p −→ q) ∧ (q −→ p)

37 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

IMPORTANTE!!!

La proposicion original y su contrarrecıproca son

equivalentes

Original ⇐⇒ Contrarrecıproca

Original Contrarrecıproca

p q p −→ q ∼ q −→∼ p

V V V V

V F F F

F V V V

F F V V

38 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

IMPORTANTE!!!

La proposicion contraria y la recıproca son equivalentes

Contraria ⇐⇒ Recıproca

Original Contraria recıproca

p q p −→ q ∼ p −→∼ q q −→ p

V V V V V

V F F V V

F V V F F

F F V V V

39 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Proposiciones

Ejercicio

Escriba la contraria, la recıproca y la contrarrecıproca de lassiguientes proposiciones

Si voy al cine, entonces no leo el libro.

Si me conecto a facebook entonces no me concentro.

40 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Predicados

Definicion

Un predicado es una frase en la cual intervienen variables, setransforma en proposicion al ser reemplazadas las variables porconstantes.

41 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Predicados

Ejemplo

Consideremos la proposicion

p : x > 4

¿Cual es el valor de verdad de p?

42 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Predicados

Ejemplo

Consideremos la proposicion

p : x > 4

¿Cual es el valor de verdad de p?¿Cual es el contexto en el que la proposicion tiene sentido?

42 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Predicados

Ejemplo

Consideremos la proposicion

p : x > 4

¿Cual es el valor de verdad de p?¿Cual es el contexto en el que la proposicion tiene sentido?¿Cual es el conjunto mas grande en el cual la proposicion sehace verdadera?

42 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Predicados

Ejercicio

Dado que x = 4, y = 2 y z = −5, encuentre el valor de verdadde

(x + y = 6 y z < 0) o z = 0.

x = 0 y (y + z > x o z = 0).

y + z = z + y y 0 + x = x.

y + x > y + x + z o z = 0.

43 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Cuantificadores

Cuantificadores universales y existenciales

Las palabras todo, cada uno, todos y ninguno se denominancuantificadores universales. Las palabras y frases como hay y al

menos uno se conocen como cuantificadores existenciales.

44 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Cuantificadores

Notacion

El cuantificador universal se simboliza por ∀,

(∀x)(p(x)) se lee para todo x se satisface p(x).

El cuantificador existencial se simboliza por ∃,

(∃x)(p(x)) se lee existe un x que satisface p(x).

45 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Cuantificadores

Ejemplos

Todos los hombres de esta clase son caballeros.

Todos los estudiantes de esta clase estan inscritos enIngles I.

Algunos estudiantes de esta clase estan repitiendo lamateria.

Ningun estudiante de esta clase usa tenis rojos.

Cual es la negacion de cada una de las proposiciones anteriores?

46 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica Ejercicio

Determine el valor de verdad de cada una de las siguientesproposiciones

Todo entero no negativo es un entero

Todo numero natural es un entero

Existe un numero racional que no es un entero

Existe un numero entero que no es natural

Todos los numeros racionales son reales

Algunos numeros racionales no son enteros

47 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Cuantificadores

Negacion de cuantificadores

La negacion de para todo x se tiene el predicado p(x) es:existe un x para el cual NO se cumple p(x). Ensımbolos

∼ ((∀x)(p(x)))⇐⇒ (∃x)(∼ (p(x)))

La negacion de existe un x para el cual se tiene p(x) es:para todo x NO se cumple que p(x). En sımbolos:

∼ ((∃x)(p(x)))⇐⇒ (∀x)(∼ (p(x)))

48 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

Negacion de cuantificadores

Ejercicio

Escriba la negacion de las siguientes proposiciones.

Algunos estudiantes aprobaran este curso.

Todos los estudiantes de la Universidad aman lasmatematicas.

Ningun profesor es perfecto.

Hay estudiantes mas inteligentes que Einstein.

49 / 50

MATEMATICASBASICAS

Logica

The lady or the Tiger

El problema de la dama o el tigre

Un prisionero debe hacer una eleccion entre dos puertas: detrasde una de ellas esta una hermosa dama y detras de la otra seencuentra un tigre hambriento.Que sucederıa si cada una de las puertas tuviera un letrero y elhombre supiera que solo uno de los letreros es verdadero?El letrero de la primera puerta dice:EN ESTE CUARTO HAY UNA DAMA Y EN EL OTROCUARTO HAY UN TIGREy el letrero de la segunda puerta dice:EN UNO DE ESTOS CUARTOS HAY UNA DAMA Y ENUNO DE ESTOS CUARTOS HAY UN TIGRE.Con esta informacion puede el hombre elegir la puerta correcta?

Escrito por Frank R. Stockton en 1882.50 / 50