MATEMATICAS B ASICAS - Facultad de...
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MATEM ´ ATICAS B ´ ASICAS Autora: Jeanneth Galeano Pe˜ naloza Edici´ on: Oscar Guillermo Ria˜ no Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matem´ aticas Sede Bogot´ a Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia Matem´ aticas B´ asicas Ecuaciones y Desigualdades 1/1
Transcript of MATEMATICAS B ASICAS - Facultad de...
MATEMATICAS BASICAS
Autora: Jeanneth Galeano PenalozaEdicion: Oscar Guillermo Riano
Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas
Sede Bogota
Enero de 2015
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 1 / 1
Parte I
Ecuaciones lineales
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 2 / 1
Ecuaciones
Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.
Ejemplos
Ecuaciones en una variable
3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.
En varias variables
3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 3 / 1
Ecuaciones
Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.
Ejemplos
Ecuaciones en una variable
3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.
En varias variables
3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 3 / 1
Ecuaciones
Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.
Ejemplos
Ecuaciones en una variable
3x − 2 = 7
1− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.
En varias variables
3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 3 / 1
Ecuaciones
Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.
Ejemplos
Ecuaciones en una variable
3x − 2 = 71− lnx = 0
cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.
En varias variables
3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 3 / 1
Ecuaciones
Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.
Ejemplos
Ecuaciones en una variable
3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x
3x2 − 5x = 2.
En varias variables
3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 3 / 1
Ecuaciones
Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.
Ejemplos
Ecuaciones en una variable
3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.
En varias variables
3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 3 / 1
Ecuaciones
Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.
Ejemplos
Ecuaciones en una variable
3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.
En varias variables
3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25
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Ecuaciones
Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.
Ejemplos
Ecuaciones en una variable
3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.
En varias variables
3x − 2y = 1− 4x
x2 + y2 = 25
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Ecuaciones
Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.
Ejemplos
Ecuaciones en una variable
3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.
En varias variables
3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25
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Ecuaciones lineales
Solucion de una ecuacion:
Es el conjunto de valores de la variable (o variables) que hacen cierta laigualdad.
Ejemplos
(A) 3 es solucion de 3x − 2 = 7, pues es el unico valor real que haceverdadera la igualdad. El conjunto solucion es {3} .
(B) Dada la ecuacion x2 − 5x + 6 = 0. La transformamos en(x − 2)(x − 3) = 0 y observamos que el conjunto solucion es {2, 3}.
(C) (3, 4) es una solucion de la ecuacion x2 + y2 = 25 pero hay muchasmas, por ejemplo (−3, 4), (0, 5), (−5, 0), etc.
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Ecuaciones lineales
Solucion de una ecuacion:
Es el conjunto de valores de la variable (o variables) que hacen cierta laigualdad.
Ejemplos
(A) 3 es solucion de 3x − 2 = 7, pues es el unico valor real que haceverdadera la igualdad. El conjunto solucion es {3} .
(B) Dada la ecuacion x2 − 5x + 6 = 0. La transformamos en(x − 2)(x − 3) = 0 y observamos que el conjunto solucion es {2, 3}.
(C) (3, 4) es una solucion de la ecuacion x2 + y2 = 25 pero hay muchasmas, por ejemplo (−3, 4), (0, 5), (−5, 0), etc.
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Ecuaciones lineales
Solucion de una ecuacion:
Es el conjunto de valores de la variable (o variables) que hacen cierta laigualdad.
Ejemplos
(A) 3 es solucion de 3x − 2 = 7, pues es el unico valor real que haceverdadera la igualdad. El conjunto solucion es {3} .
(B) Dada la ecuacion x2 − 5x + 6 = 0. La transformamos en(x − 2)(x − 3) = 0 y observamos que el conjunto solucion es {2, 3}.
(C) (3, 4) es una solucion de la ecuacion x2 + y2 = 25 pero hay muchasmas, por ejemplo (−3, 4), (0, 5), (−5, 0), etc.
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Ecuaciones lineales
Solucion de una ecuacion:
Es el conjunto de valores de la variable (o variables) que hacen cierta laigualdad.
Ejemplos
(A) 3 es solucion de 3x − 2 = 7, pues es el unico valor real que haceverdadera la igualdad. El conjunto solucion es {3} .
(B) Dada la ecuacion x2 − 5x + 6 = 0. La transformamos en(x − 2)(x − 3) = 0 y observamos que el conjunto solucion es {2, 3}.
(C) (3, 4) es una solucion de la ecuacion x2 + y2 = 25 pero hay muchasmas, por ejemplo (−3, 4), (0, 5), (−5, 0), etc.
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Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.
Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.
Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a− c = b − c ,a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a
c = bc .
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Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.
Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.
Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a− c = b − c ,a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a
c = bc .
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Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.
Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.
Si a = b entonces para cualquier c tenemos:
a + c = b + c ,a− c = b − c ,a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a
c = bc .
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Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.
Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.
Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,
a− c = b − c ,a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a
c = bc .
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Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.
Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.
Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a− c = b − c ,
a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a
c = bc .
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Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.
Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.
Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a− c = b − c ,a · c = b · c
y si ademas c 6= 0, ac = b
c .
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Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.
Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.
Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a− c = b − c ,a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a
c = bc .
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Ecuaciones lineales
Son de la forma ax + b = c con a, b, c numeros reales y a 6= 0. Claramentese tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:
ax + b = c
ax = c − b
x =c − b
a
y el conjunto solucion es{c−ba
}
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Ecuaciones lineales
Son de la forma ax + b = c con a, b, c numeros reales y a 6= 0. Claramentese tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:
ax + b = c
ax = c − b
x =c − b
a
y el conjunto solucion es{c−ba
}
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Ecuaciones lineales
Son de la forma ax + b = c con a, b, c numeros reales y a 6= 0. Claramentese tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:
ax + b = c
ax = c − b
x =c − b
a
y el conjunto solucion es{c−ba
}
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Ecuaciones lineales
Son de la forma ax + b = c con a, b, c numeros reales y a 6= 0. Claramentese tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:
ax + b = c
ax = c − b
x =c − b
a
y el conjunto solucion es{c−ba
}
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Ecuaciones lineales
Son de la forma ax + b = c con a, b, c numeros reales y a 6= 0. Claramentese tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:
ax + b = c
ax = c − b
x =c − b
a
y el conjunto solucion es{c−ba
}
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Ecuaciones lineales
Ejercicio
Resolver las siguientes ecuaciones
6x − 3(24x − 5) = 2(3x − 1)− 8x−1
3 −x4 = 5
2
3x + 4 = 7 + 5(x − 2)
3x − 2− x = x + 75t−22
t2−6t+9− 11
t2−3t− 5
t = 0
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Ecuaciones lineales
Ejercicio
Hallar cuatro enteros pares consecutivos, tales que la suma de los tresprimeros exceda al cuarto en 8.
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Ecuaciones lineales
Solucion
Sea n el primer entero par, entonces los otros pares siguientes son n + 2,n + 4 y n + 6.
De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos
n + (n + 2) + (n + 4) = (n + 6) + 8,
luego,
n = 4.
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Ecuaciones lineales
Solucion
Sea n el primer entero par, entonces los otros pares siguientes son n + 2,n + 4 y n + 6.De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos
n + (n + 2) + (n + 4) = (n + 6) + 8,
luego,
n = 4.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 9 / 1
Ecuaciones lineales
Solucion
Sea n el primer entero par, entonces los otros pares siguientes son n + 2,n + 4 y n + 6.De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos
n + (n + 2) + (n + 4) = (n + 6) + 8,
luego,
n = 4.
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Ecuaciones lineales
Ejercicio
Si un lado de un triangulo es la tercera parte del perımetro, el segundolado mide 7 cm y el tercer lado es un quinto del perımetro, ¿cual es elperımetro del triangulo?
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Ecuaciones lineales
Ejercicio
Un rectangulo cuyo largo es de 24 cm tiene la misma superficie que uncuadrado de 12 cm de lado. ¿Cuales son las dimensiones del rectangulo?
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Ecuaciones lineales
Ejercicio
La distancia marıtima entre San Francisco y Honolulu es de 2,100 millasnauticas. Si un barco sale de San Francisco al mismo tiempo que otro salede Honolulu, y si el primero viaja a 15 millas nauticas por hora y elsegundo a 20 millas nauticas por hora, ¿cuanto tardaran los barcos enencontrarse? ¿A que distancia se encontraran de San Francisco y deHonolulu en ese momento?
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Ecuaciones lineales
Ejercicio
Una lancha tarda 1, 5 veces mas al remontar un rıo y recorrer 360 millascontra la corriente, que al regreso. Si navega a una velocidad de 15 millaspor hora en agua tranquila, ¿cual es la velocidad de la corriente?
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Ecuaciones lineales
Solucion
Seax la velocidad de la corriente,15− x la velocidad de la lancha contra la corriente,15 + x la velocidad de la lancha a favor de la corriente.
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Ecuaciones lineales
Tenemos ademas que
Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)
Distancia contra la corriente
Velocidad contra la corriente= (1, 5)
Distancia a favor de la corriente
Velocidad a favor de la corriente360
15− x= (1, 5)
360
15 + x
x = 3
La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.
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Ecuaciones lineales
Tenemos ademas que
Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)
Distancia contra la corriente
Velocidad contra la corriente= (1, 5)
Distancia a favor de la corriente
Velocidad a favor de la corriente360
15− x= (1, 5)
360
15 + x
x = 3
La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 15 / 1
Ecuaciones lineales
Tenemos ademas que
Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)
Distancia contra la corriente
Velocidad contra la corriente= (1, 5)
Distancia a favor de la corriente
Velocidad a favor de la corriente
360
15− x= (1, 5)
360
15 + x
x = 3
La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.
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Ecuaciones lineales
Tenemos ademas que
Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)
Distancia contra la corriente
Velocidad contra la corriente= (1, 5)
Distancia a favor de la corriente
Velocidad a favor de la corriente360
15− x= (1, 5)
360
15 + x
x = 3
La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.
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Ecuaciones lineales
Tenemos ademas que
Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)
Distancia contra la corriente
Velocidad contra la corriente= (1, 5)
Distancia a favor de la corriente
Velocidad a favor de la corriente360
15− x= (1, 5)
360
15 + x
x = 3
La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.
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Ecuaciones lineales
Tenemos ademas que
Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)
Distancia contra la corriente
Velocidad contra la corriente= (1, 5)
Distancia a favor de la corriente
Velocidad a favor de la corriente360
15− x= (1, 5)
360
15 + x
x = 3
La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.
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Ecuaciones lineales
Ejercicio
¿Cuantos litros de una mezcla que contiene 80 % de alcohol se debenagregar a 5 litros de una solucion que esta al 20 % para producir unasolucion al 30 %?
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Parte II
Ecuaciones cuadraticas
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Ecuacion de segundo grado
Ejercicio
Un rectangulo tiene un perımetro de 20 metros. Expresar el area delrectangulo en funcion de uno de sus lados.
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Ecuacion de segundo grado
Si a, b, c son numeros reales y a 6= 0, entonces ¿cuantas y cuales son lassoluciones de la ecuacion
ax2 + bx + c = 0?
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Ecuacion de segundo grado
ax2 + bx + c = 0
a
(x2 +
b
ax
)= −c
a
(x2 +
b
ax+
b2
4a2
)= −c+
b2
4a
a
(x +
b
2a
)2
=−4ac + b2
4a(x +
b
2a
)2
=b2 − 4ac
4a2
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Ecuacion de segundo grado
ax2 + bx + c = 0
a
(x2 +
b
ax
)= −c
a
(x2 +
b
ax+
b2
4a2
)= −c+
b2
4a
a
(x +
b
2a
)2
=−4ac + b2
4a(x +
b
2a
)2
=b2 − 4ac
4a2
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Ecuacion de segundo grado
ax2 + bx + c = 0
a
(x2 +
b
ax
)= −c
a
(x2 +
b
ax+
b2
4a2
)= −c+
b2
4a
a
(x +
b
2a
)2
=−4ac + b2
4a(x +
b
2a
)2
=b2 − 4ac
4a2
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Ecuacion de segundo grado
ax2 + bx + c = 0
a
(x2 +
b
ax
)= −c
a
(x2 +
b
ax+
b2
4a2
)= −c+
b2
4a
a
(x +
b
2a
)2
=−4ac + b2
4a
(x +
b
2a
)2
=b2 − 4ac
4a2
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Ecuacion de segundo grado
ax2 + bx + c = 0
a
(x2 +
b
ax
)= −c
a
(x2 +
b
ax+
b2
4a2
)= −c+
b2
4a
a
(x +
b
2a
)2
=−4ac + b2
4a(x +
b
2a
)2
=b2 − 4ac
4a2
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Ecuacion de segundo grado
x +b
2a= ±
√b2 − 4ac
4a2
x = − b
2a±√b2 − 4ac
2a
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
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Ecuacion de segundo grado
x +b
2a= ±
√b2 − 4ac
4a2
x = − b
2a±√b2 − 4ac
2a
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
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Ecuacion de segundo grado
x +b
2a= ±
√b2 − 4ac
4a2
x = − b
2a±√b2 − 4ac
2a
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
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Ecuacion de segundo grado
En la solucion x = −b±√b2−4ac
2a , la expresion b2 − 4ac se denominadiscriminante de la ecuacion cuadratica.
El signo de dicho numero nosproporciona informacion sobre el numero de soluciones ası:
Discriminante Soluciones
Positivo Dos soluciones distintas
Cero Una solucion doble
Negativo No tiene solucion
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Ecuacion de segundo grado
En la solucion x = −b±√b2−4ac
2a , la expresion b2 − 4ac se denominadiscriminante de la ecuacion cuadratica. El signo de dicho numero nosproporciona informacion sobre el numero de soluciones ası:
Discriminante Soluciones
Positivo Dos soluciones distintas
Cero Una solucion doble
Negativo No tiene solucion
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Ecuacion de segundo grado
Ejercicio
Resolver 6x2 − 19x − 7 = 0
(a) Factorizando si es posible,
(b) Usando la formula cuadratica.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 23 / 1
Ecuacion de segundo grado
Ejercicio
Resolver 2x2 − 3x = 0
(a) Factorizando si es posible,
(b) Usando la formula cuadratica.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 24 / 1
Ecuacion de segundo grado
Ejercicio
Resolver 3x2 + 27 = 0
(a) Factorizando si es posible,
(b) Usando la formula cuadratica.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 25 / 1
Ecuacion de segundo grado
Ejercicio
Resolver x2 + 6x − 2 = 0
(a) Completando cuadrados,
(b) Usando la formula cuadratica.
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Ecuacion de segundo grado
Ejercicio
Resolver
(a)√x − 1 = 2x − 3
(b) x +√x − 4 = 4
(c) x10 + 6x5 − 16 = 0
(d)√x + 13−
√7− x = 2
(e) xx+2 −
4x+1 = − 2
x+2
(f) x2x−4 −
23 = 7−2x
3x−6
(g) 13 −
s−22s+4 = s+2
3s+6
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Ecuacion de segundo grado
Ejercicio
La suma de dos numeros es 23 y su producto es 132. Hallar los numeros.
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Ecuacion de segundo grado
Ejercicio
La suma de un numero con su recıproco es 103 . Hallar el numero.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 29 / 1
Ecuacion de segundo grado
Ejercicio
Al mismo tiempo, dos automoviles abandonan una interseccion, uno haciael norte y otro al oeste. Poco tiempo despues, estan separadosexactamente por 100 millas. El que iba al norte ha avanzado 20 millas masque el que se dirigıa al oeste. ¿Cuanto ha viajado cada vehıculo?
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Parte III
Desigualdades
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Desigualdades lineales
Una inecuacion es una desigualdad que involucra variables.
El conjunto solucion de una inecuacion es el conjunto de valores para lavariable (o variables) que hacen verdadera la desigualdad.
Algunos autores llaman simplemente Desigualdades a las inecuaciones yhablan del conjunto solucion de la desigualdad.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 32 / 1
Desigualdades lineales
Una inecuacion es una desigualdad que involucra variables.
El conjunto solucion de una inecuacion es el conjunto de valores para lavariable (o variables) que hacen verdadera la desigualdad.
Algunos autores llaman simplemente Desigualdades a las inecuaciones yhablan del conjunto solucion de la desigualdad.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 32 / 1
Desigualdades lineales
Una inecuacion es una desigualdad que involucra variables.
El conjunto solucion de una inecuacion es el conjunto de valores para lavariable (o variables) que hacen verdadera la desigualdad.
Algunos autores llaman simplemente Desigualdades a las inecuaciones yhablan del conjunto solucion de la desigualdad.
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Desigualdades lineales
Ejemplos
2 es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.
10 NO es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.π es una solucion a la inecuacion cos x ≤ 1
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Desigualdades lineales
Ejemplos
2 es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.10 NO es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.
π es una solucion a la inecuacion cos x ≤ 1
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Desigualdades lineales
Ejemplos
2 es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.10 NO es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.π es una solucion a la inecuacion cos x ≤ 1
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Desigualdades cuadraticas
En forma analoga a las ecuaciones, definimos las inecuaciones odesigualdades lineales y cuadraticas
Ejemplos
5x − 18 ≤ 0
1 ≤ 3x − 7 ≤ x + 2
x2 − 5x + 6 ≥ 0
Tambien pueden involucrar expresiones racionales como:
x2 − 5x + 6
1− x2< 0
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Desigualdades cuadraticas
En forma analoga a las ecuaciones, definimos las inecuaciones odesigualdades lineales y cuadraticas
Ejemplos
5x − 18 ≤ 0
1 ≤ 3x − 7 ≤ x + 2
x2 − 5x + 6 ≥ 0
Tambien pueden involucrar expresiones racionales como:
x2 − 5x + 6
1− x2< 0
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Desigualdades cuadraticas
En forma analoga a las ecuaciones, definimos las inecuaciones odesigualdades lineales y cuadraticas
Ejemplos
5x − 18 ≤ 0
1 ≤ 3x − 7 ≤ x + 2
x2 − 5x + 6 ≥ 0
Tambien pueden involucrar expresiones racionales como:
x2 − 5x + 6
1− x2< 0
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Desigualdades cuadraticas
En forma analoga a las ecuaciones, definimos las inecuaciones odesigualdades lineales y cuadraticas
Ejemplos
5x − 18 ≤ 0
1 ≤ 3x − 7 ≤ x + 2
x2 − 5x + 6 ≥ 0
Tambien pueden involucrar expresiones racionales como:
x2 − 5x + 6
1− x2< 0
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Desigualdades
Para encontrar el conjunto solucion de una inecuacion la transformamos enuna equivalente utilizando las siguientes propiedades de las desigualdades:
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Propiedades de las desigualdades
Sean a, b, c numeros reales
Si a < b y b < c , entonces a < c .
Si a < b, entonces a + c < b + c .
Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.
Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
Si 0 < a < b, entonces 1a >
1b .
Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2
Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.
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Propiedades de las desigualdades
Sean a, b, c numeros reales
Si a < b y b < c , entonces a < c .
Si a < b, entonces a + c < b + c .
Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.
Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
Si 0 < a < b, entonces 1a >
1b .
Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2
Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.
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Propiedades de las desigualdades
Sean a, b, c numeros reales
Si a < b y b < c , entonces a < c .
Si a < b, entonces a + c < b + c .
Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.
Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
Si 0 < a < b, entonces 1a >
1b .
Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2
Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.
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Propiedades de las desigualdades
Sean a, b, c numeros reales
Si a < b y b < c , entonces a < c .
Si a < b, entonces a + c < b + c .
Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.
Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
Si 0 < a < b, entonces 1a >
1b .
Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2
Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.
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Propiedades de las desigualdades
Sean a, b, c numeros reales
Si a < b y b < c , entonces a < c .
Si a < b, entonces a + c < b + c .
Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.
Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
Si 0 < a < b, entonces 1a >
1b .
Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2
Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.
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Propiedades de las desigualdades
Sean a, b, c numeros reales
Si a < b y b < c , entonces a < c .
Si a < b, entonces a + c < b + c .
Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.
Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
Si 0 < a < b, entonces 1a >
1b .
Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2
Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.
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Propiedades de las desigualdades
Sean a, b, c numeros reales
Si a < b y b < c , entonces a < c .
Si a < b, entonces a + c < b + c .
Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.
Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
Si 0 < a < b, entonces 1a >
1b .
Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2
Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.
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Solucion de una desigualdad lineal
Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.
2x + 3 < 6− 7x
2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x
9x + 3 < 6
9x + 3− 3 < 6− 3
9x < 3
1
99x <
1
93
x <1
3
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Solucion de una desigualdad lineal
Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.
2x + 3 < 6− 7x
2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x
9x + 3 < 6
9x + 3− 3 < 6− 3
9x < 3
1
99x <
1
93
x <1
3
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Solucion de una desigualdad lineal
Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.
2x + 3 < 6− 7x
2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x
9x + 3 < 6
9x + 3− 3 < 6− 3
9x < 3
1
99x <
1
93
x <1
3
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Solucion de una desigualdad lineal
Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.
2x + 3 < 6− 7x
2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x
9x + 3 < 6
9x + 3− 3 < 6− 3
9x < 3
1
99x <
1
93
x <1
3
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Solucion de una desigualdad lineal
Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.
2x + 3 < 6− 7x
2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x
9x + 3 < 6
9x + 3− 3 < 6− 3
9x < 3
1
99x <
1
93
x <1
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.
2x + 3 < 6− 7x
2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x
9x + 3 < 6
9x + 3− 3 < 6− 3
9x < 3
1
99x <
1
93
x <1
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.
2x + 3 < 6− 7x
2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x
9x + 3 < 6
9x + 3− 3 < 6− 3
9x < 3
1
99x <
1
93
x <1
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.
2x + 3 < 6− 7x
2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x
9x + 3 < 6
9x + 3− 3 < 6− 3
9x < 3
1
99x <
1
93
x <1
3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
El conjunto de todos los x < 13 puede escribirse como un intervalo, ası que
la solucion de esta desigualdad es
Solucion:
(−∞, 1
3
)
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Solucion de una desigualdad lineal
El conjunto de todos los x < 13 puede escribirse como un intervalo, ası que
la solucion de esta desigualdad es
Solucion:
(−∞, 1
3
)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 38 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,
4− 2x ≥ 12 + 3x
− 2x − 3x ≥ 12− 4
− 5x ≥ 8
− 1
5(−5x) ≤ −1
5(8)
x ≤ −8
5
Solucion:
(−∞,−8
5
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,
4− 2x ≥ 12 + 3x
− 2x − 3x ≥ 12− 4
− 5x ≥ 8
− 1
5(−5x) ≤ −1
5(8)
x ≤ −8
5
Solucion:
(−∞,−8
5
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,
4− 2x ≥ 12 + 3x
− 2x − 3x ≥ 12− 4
− 5x ≥ 8
− 1
5(−5x) ≤ −1
5(8)
x ≤ −8
5
Solucion:
(−∞,−8
5
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,
4− 2x ≥ 12 + 3x
− 2x − 3x ≥ 12− 4
− 5x ≥ 8
− 1
5(−5x) ≤ −1
5(8)
x ≤ −8
5
Solucion:
(−∞,−8
5
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,
4− 2x ≥ 12 + 3x
− 2x − 3x ≥ 12− 4
− 5x ≥ 8
− 1
5(−5x) ≤ −1
5(8)
x ≤ −8
5
Solucion:
(−∞,−8
5
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,
4− 2x ≥ 12 + 3x
− 2x − 3x ≥ 12− 4
− 5x ≥ 8
− 1
5(−5x) ≤ −1
5(8)
x ≤ −8
5
Solucion:
(−∞,−8
5
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,
4− 2x ≥ 12 + 3x
− 2x − 3x ≥ 12− 4
− 5x ≥ 8
− 1
5(−5x) ≤ −1
5(8)
x ≤ −8
5
Solucion:
(−∞,−8
5
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,
14− 7x ≤ 8 + 10x
− 7x − 10x ≤ 8− 14
− 17x ≤ −6
− 1
17(−17x) ≥ − 1
17(−6)
x ≥ 6
17
Solucion :
[6
17,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,
14− 7x ≤ 8 + 10x
− 7x − 10x ≤ 8− 14
− 17x ≤ −6
− 1
17(−17x) ≥ − 1
17(−6)
x ≥ 6
17
Solucion :
[6
17,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,
14− 7x ≤ 8 + 10x
− 7x − 10x ≤ 8− 14
− 17x ≤ −6
− 1
17(−17x) ≥ − 1
17(−6)
x ≥ 6
17
Solucion :
[6
17,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,
14− 7x ≤ 8 + 10x
− 7x − 10x ≤ 8− 14
− 17x ≤ −6
− 1
17(−17x) ≥ − 1
17(−6)
x ≥ 6
17
Solucion :
[6
17,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,
14− 7x ≤ 8 + 10x
− 7x − 10x ≤ 8− 14
− 17x ≤ −6
− 1
17(−17x) ≥ − 1
17(−6)
x ≥ 6
17
Solucion :
[6
17,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,
14− 7x ≤ 8 + 10x
− 7x − 10x ≤ 8− 14
− 17x ≤ −6
− 1
17(−17x) ≥ − 1
17(−6)
x ≥ 6
17
Solucion :
[6
17,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,
14− 7x ≤ 8 + 10x
− 7x − 10x ≤ 8− 14
− 17x ≤ −6
− 1
17(−17x) ≥ − 1
17(−6)
x ≥ 6
17
Solucion :
[6
17,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,
2 < 15− 8x ≤ 24
2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15
− 13 < −8x ≤ 9
− 1
8(−13) > −1
8(−8x) ≥ −1
8(9)
13
8> x ≥ −9
8
Solucion :
[−9
8,
13
8
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,
2 < 15− 8x ≤ 24
2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15
− 13 < −8x ≤ 9
− 1
8(−13) > −1
8(−8x) ≥ −1
8(9)
13
8> x ≥ −9
8
Solucion :
[−9
8,
13
8
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,
2 < 15− 8x ≤ 24
2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15
− 13 < −8x ≤ 9
− 1
8(−13) > −1
8(−8x) ≥ −1
8(9)
13
8> x ≥ −9
8
Solucion :
[−9
8,
13
8
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,
2 < 15− 8x ≤ 24
2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15
− 13 < −8x ≤ 9
− 1
8(−13) > −1
8(−8x) ≥ −1
8(9)
13
8> x ≥ −9
8
Solucion :
[−9
8,
13
8
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,
2 < 15− 8x ≤ 24
2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15
− 13 < −8x ≤ 9
− 1
8(−13) > −1
8(−8x) ≥ −1
8(9)
13
8> x ≥ −9
8
Solucion :
[−9
8,
13
8
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,
2 < 15− 8x ≤ 24
2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15
− 13 < −8x ≤ 9
− 1
8(−13) > −1
8(−8x) ≥ −1
8(9)
13
8> x ≥ −9
8
Solucion :
[−9
8,
13
8
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,
2 < 15− 8x ≤ 24
2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15
− 13 < −8x ≤ 9
− 1
8(−13) > −1
8(−8x) ≥ −1
8(9)
13
8> x ≥ −9
8
Solucion :
[−9
8,
13
8
).
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Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,
48 > 12x + 30 ≥ 42
48− 30 > 12x ≥ 42− 30
18 > 12x ≥ 12
1
12(18) >
1
12(12x) ≥ 1
12(12)
3
2> x ≥ 1
Solucion :
[1,
3
2
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,
48 > 12x + 30 ≥ 42
48− 30 > 12x ≥ 42− 30
18 > 12x ≥ 12
1
12(18) >
1
12(12x) ≥ 1
12(12)
3
2> x ≥ 1
Solucion :
[1,
3
2
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,
48 > 12x + 30 ≥ 42
48− 30 > 12x ≥ 42− 30
18 > 12x ≥ 12
1
12(18) >
1
12(12x) ≥ 1
12(12)
3
2> x ≥ 1
Solucion :
[1,
3
2
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,
48 > 12x + 30 ≥ 42
48− 30 > 12x ≥ 42− 30
18 > 12x ≥ 12
1
12(18) >
1
12(12x) ≥ 1
12(12)
3
2> x ≥ 1
Solucion :
[1,
3
2
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,
48 > 12x + 30 ≥ 42
48− 30 > 12x ≥ 42− 30
18 > 12x ≥ 12
1
12(18) >
1
12(12x) ≥ 1
12(12)
3
2> x ≥ 1
Solucion :
[1,
3
2
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,
48 > 12x + 30 ≥ 42
48− 30 > 12x ≥ 42− 30
18 > 12x ≥ 12
1
12(18) >
1
12(12x) ≥ 1
12(12)
3
2> x ≥ 1
Solucion :
[1,
3
2
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1
Solucion de una desigualdad lineal
Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,
48 > 12x + 30 ≥ 42
48− 30 > 12x ≥ 42− 30
18 > 12x ≥ 12
1
12(18) >
1
12(12x) ≥ 1
12(12)
3
2> x ≥ 1
Solucion :
[1,
3
2
).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1
Desigualdades lineales
Ejercicio
Encontrar el conjunto solucion de las siguientes desigualdades.
1 12− 3x ≤ 6 + 3x
2 15− 6x > 45− 9x
3 −8x + 6 < −4 + 24x
4 3x−5−2 ≥ 5x − 10
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 43 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.
Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0,
x2 + 4x + 3 ≥ 0
(x + 3)(x + 1) ≥ 0
Los factores x + 3 y x + 1 se anulan en los puntos −3 y −1respectivamente, ası que dividimos la recta real como sigue
• • •−3 −1 0
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 44 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.
Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0,
x2 + 4x + 3 ≥ 0
(x + 3)(x + 1) ≥ 0
Los factores x + 3 y x + 1 se anulan en los puntos −3 y −1respectivamente, ası que dividimos la recta real como sigue
• • •−3 −1 0
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 44 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.
Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0,
x2 + 4x + 3 ≥ 0
(x + 3)(x + 1) ≥ 0
Los factores x + 3 y x + 1 se anulan en los puntos −3 y −1respectivamente, ası que dividimos la recta real como sigue
• • •−3 −1 0
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 44 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.
Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0,
x2 + 4x + 3 ≥ 0
(x + 3)(x + 1) ≥ 0
Los factores x + 3 y x + 1 se anulan en los puntos −3 y −1respectivamente, ası que dividimos la recta real como sigue
• • •−3 −1 0
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 44 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.
(x + 3)(x + 1) ≥ 0
Intervalo (−∞,−3) (−3,−1) (−1,∞)
Signo de (x + 3) − + +
Signo de (x + 1) − − +
Signo resultante + − +
Solucion: (−∞,−3] ∪ [−1,∞) .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 45 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.
(x + 3)(x + 1) ≥ 0
Intervalo (−∞,−3) (−3,−1) (−1,∞)
Signo de (x + 3) − + +
Signo de (x + 1) − − +
Signo resultante + − +
Solucion: (−∞,−3] ∪ [−1,∞) .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 45 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.
(x + 3)(x + 1) ≥ 0
Intervalo (−∞,−3) (−3,−1) (−1,∞)
Signo de (x + 3) − + +
Signo de (x + 1) − − +
Signo resultante + − +
Solucion: (−∞,−3] ∪ [−1,∞) .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 45 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.
(x + 3)(x + 1) ≥ 0
Intervalo (−∞,−3) (−3,−1) (−1,∞)
Signo de (x + 3) − + +
Signo de (x + 1) − − +
Signo resultante + − +
Solucion: (−∞,−3] ∪ [−1,∞) .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 45 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.
(x + 3)(x + 1) ≥ 0
Intervalo (−∞,−3) (−3,−1) (−1,∞)
Signo de (x + 3) − + +
Signo de (x + 1) − − +
Signo resultante + − +
Solucion: (−∞,−3] ∪ [−1,∞) .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 45 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
2x2 − 2x − 12 < 0
2(x + 2)(x − 3) < 0
Los factores x + 2 y x − 3 se anulan en los puntos −2 y 3respectivamente, ası que dividimos la recta real ası
• • •−2 30
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 46 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
2x2 − 2x − 12 < 0
2(x + 2)(x − 3) < 0
Los factores x + 2 y x − 3 se anulan en los puntos −2 y 3respectivamente, ası que dividimos la recta real ası
• • •−2 30
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 46 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
2x2 − 2x − 12 < 0
2(x + 2)(x − 3) < 0
Los factores x + 2 y x − 3 se anulan en los puntos −2 y 3respectivamente, ası que dividimos la recta real ası
• • •−2 30
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 46 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
2x2 − 2x − 12 < 0
2(x + 2)(x − 3) < 0
Los factores x + 2 y x − 3 se anulan en los puntos −2 y 3respectivamente, ası que dividimos la recta real ası
• • •−2 30
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 46 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
2(x + 2)(x − 3) < 0
Intervalo (−∞,−2) (−2, 3) (3,∞)
Signo de (x + 2) − + +
Signo de (x − 3) − − +
Signo resultante + − +
Solucion: (−2, 3) .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 47 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
2(x + 2)(x − 3) < 0
Intervalo (−∞,−2) (−2, 3) (3,∞)
Signo de (x + 2) − + +
Signo de (x − 3) − − +
Signo resultante + − +
Solucion: (−2, 3) .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 47 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
2(x + 2)(x − 3) < 0
Intervalo (−∞,−2) (−2, 3) (3,∞)
Signo de (x + 2) − + +
Signo de (x − 3) − − +
Signo resultante + − +
Solucion: (−2, 3) .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 47 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
2(x + 2)(x − 3) < 0
Intervalo (−∞,−2) (−2, 3) (3,∞)
Signo de (x + 2) − + +
Signo de (x − 3) − − +
Signo resultante + − +
Solucion: (−2, 3) .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 47 / 1
Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.
2(x + 2)(x − 3) < 0
Intervalo (−∞,−2) (−2, 3) (3,∞)
Signo de (x + 2) − + +
Signo de (x − 3) − − +
Signo resultante + − +
Solucion: (−2, 3) .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 47 / 1
Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.
Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.
Los factores x + 2, 4− x y x − 1 se anulan en los puntos −2, 4 y 1respectivamente, ası que dividimos la recta real ası
• • • •−2 10 4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 48 / 1
Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.
Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.
Los factores x + 2, 4− x y x − 1 se anulan en los puntos −2, 4 y 1respectivamente, ası que dividimos la recta real ası
• • • •−2 10 4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 48 / 1
Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.
Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)
Signo de (x + 2) − + + +
Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +
Signo resultante + − + −
Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .
¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1
Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.
Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)
Signo de (x + 2) − + + +
Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +
Signo resultante + − + −
Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .
¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1
Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.
Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)
Signo de (x + 2) − + + +
Signo de (4− x) + + + −
Signo de (x − 1) − − + +
Signo resultante + − + −
Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .
¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1
Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.
Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)
Signo de (x + 2) − + + +
Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +
Signo resultante + − + −
Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .
¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1
Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.
Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)
Signo de (x + 2) − + + +
Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +
Signo resultante + − + −
Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .
¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1
Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.
Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)
Signo de (x + 2) − + + +
Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +
Signo resultante + − + −
Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .
¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1
Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.
Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)
Signo de (x + 2) − + + +
Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +
Signo resultante + − + −
Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .
¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1)
≤ 0.
Los factores x − 2, 3− x , x2 y x + 1 se anulan en los puntos 2, 3, 0 y −1respectivamente.
• • • •−1 0 2 3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 50 / 1
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1)
≤ 0.
Los factores x − 2, 3− x , x2 y x + 1 se anulan en los puntos 2, 3, 0 y −1respectivamente.
• • • •−1 0 2 3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 50 / 1
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.
Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)
Signo de (x − 2) − − − + +
Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +
Signo de (x + 1) − + + + +
Signo resultante + − − + −
Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .
¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.
Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)
Signo de (x − 2) − − − + +
Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +
Signo de (x + 1) − + + + +
Signo resultante + − − + −
Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .
¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.
Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)
Signo de (x − 2) − − − + +
Signo de (3− x) + + + + −
Signo de x2 + + + + +
Signo de (x + 1) − + + + +
Signo resultante + − − + −
Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .
¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.
Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)
Signo de (x − 2) − − − + +
Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +
Signo de (x + 1) − + + + +
Signo resultante + − − + −
Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .
¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.
Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)
Signo de (x − 2) − − − + +
Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +
Signo de (x + 1) − + + + +
Signo resultante + − − + −
Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .
¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.
Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)
Signo de (x − 2) − − − + +
Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +
Signo de (x + 1) − + + + +
Signo resultante + − − + −
Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .
¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.
Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)
Signo de (x − 2) − − − + +
Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +
Signo de (x + 1) − + + + +
Signo resultante + − − + −
Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .
¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1
Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.
Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)
Signo de (x − 2) − − − + +
Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +
Signo de (x + 1) − + + + +
Signo resultante + − − + −
Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .
¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1
Ejercicios
Encontrar todas las soluciones de las siguientes desigualdades
Ejercicio
1(2x+1)(4−x)
x2+2x≥ 0
2(x+3)2(x−3)x2−7x+12
≤ 0
3(x2−x)(3x−1)x2−3x−10
≥ 0
4 x4 + 15x2 < 16
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 52 / 1
Parte IV
Desigualdades con valor absoluto
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 53 / 1
Valor Absoluto
Recordemos que el valor absoluto de un numero real corresponde a ladistancia que hay entre el y el origen.
Definicion
Sea x un numero real,
|x | =
{x si x ≥ 0−x si x < 0
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 54 / 1
Valor Absoluto
|x | ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a, si a ≥ 0
• • •−a 0 a
|x | ≥ a equivale a x ≥ a o x ≤ −a, si a ≥ 0
• • •−a 0 a
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 55 / 1
Valor Absoluto
|x | ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a, si a ≥ 0
• • •−a 0 a
|x | ≥ a equivale a x ≥ a o x ≤ −a, si a ≥ 0
• • •−a 0 a
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 55 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |2x + 1| ≤ 4.
|2x + 1| ≤ 4
− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4
− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1
− 5 ≤ 2x ≤ 3
− 5
2≤ x ≤ 3
2
Solucion:
[−5
2,
3
2
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |2x + 1| ≤ 4.
|2x + 1| ≤ 4
− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4
− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1
− 5 ≤ 2x ≤ 3
− 5
2≤ x ≤ 3
2
Solucion:
[−5
2,
3
2
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |2x + 1| ≤ 4.
|2x + 1| ≤ 4
− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4
− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1
− 5 ≤ 2x ≤ 3
− 5
2≤ x ≤ 3
2
Solucion:
[−5
2,
3
2
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |2x + 1| ≤ 4.
|2x + 1| ≤ 4
− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4
− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1
− 5 ≤ 2x ≤ 3
− 5
2≤ x ≤ 3
2
Solucion:
[−5
2,
3
2
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |2x + 1| ≤ 4.
|2x + 1| ≤ 4
− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4
− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1
− 5 ≤ 2x ≤ 3
− 5
2≤ x ≤ 3
2
Solucion:
[−5
2,
3
2
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |2x + 1| ≤ 4.
|2x + 1| ≤ 4
− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4
− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1
− 5 ≤ 2x ≤ 3
− 5
2≤ x ≤ 3
2
Solucion:
[−5
2,
3
2
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |2x + 1| ≤ 4.
|2x + 1| ≤ 4
− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4
− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1
− 5 ≤ 2x ≤ 3
− 5
2≤ x ≤ 3
2
Solucion:
[−5
2,
3
2
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |8− 3x | ≤ 5.
|8− 3x | ≤ 5
− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5
− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8
− 13 ≤ −3x ≤ −3
− 1
3(−13) ≥ x ≥ −1
3(−3)
13
3≥ x ≥ 1
Solucion:
[1,
13
3
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |8− 3x | ≤ 5.
|8− 3x | ≤ 5
− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5
− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8
− 13 ≤ −3x ≤ −3
− 1
3(−13) ≥ x ≥ −1
3(−3)
13
3≥ x ≥ 1
Solucion:
[1,
13
3
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |8− 3x | ≤ 5.
|8− 3x | ≤ 5
− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5
− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8
− 13 ≤ −3x ≤ −3
− 1
3(−13) ≥ x ≥ −1
3(−3)
13
3≥ x ≥ 1
Solucion:
[1,
13
3
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |8− 3x | ≤ 5.
|8− 3x | ≤ 5
− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5
− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8
− 13 ≤ −3x ≤ −3
− 1
3(−13) ≥ x ≥ −1
3(−3)
13
3≥ x ≥ 1
Solucion:
[1,
13
3
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |8− 3x | ≤ 5.
|8− 3x | ≤ 5
− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5
− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8
− 13 ≤ −3x ≤ −3
− 1
3(−13) ≥ x ≥ −1
3(−3)
13
3≥ x ≥ 1
Solucion:
[1,
13
3
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |8− 3x | ≤ 5.
|8− 3x | ≤ 5
− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5
− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8
− 13 ≤ −3x ≤ −3
− 1
3(−13) ≥ x ≥ −1
3(−3)
13
3≥ x ≥ 1
Solucion:
[1,
13
3
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |8− 3x | ≤ 5.
|8− 3x | ≤ 5
− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5
− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8
− 13 ≤ −3x ≤ −3
− 1
3(−13) ≥ x ≥ −1
3(−3)
13
3≥ x ≥ 1
Solucion:
[1,
13
3
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |8− 3x | ≤ 5.
|8− 3x | ≤ 5
− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5
− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8
− 13 ≤ −3x ≤ −3
− 1
3(−13) ≥ x ≥ −1
3(−3)
13
3≥ x ≥ 1
Solucion:
[1,
13
3
].
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que
12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6
12 + 4x ≤ −6
4x ≤ −6− 12
4x ≤ −18
x ≤ −9
2
12 + 4x ≥ 6
4x ≥ 6− 12
4x ≥ −6
x ≥ −3
2
Solucion:
(−∞,−9
2
]∪[−3
2,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que
12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6
12 + 4x ≤ −6
4x ≤ −6− 12
4x ≤ −18
x ≤ −9
2
12 + 4x ≥ 6
4x ≥ 6− 12
4x ≥ −6
x ≥ −3
2
Solucion:
(−∞,−9
2
]∪[−3
2,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que
12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6
12 + 4x ≤ −6
4x ≤ −6− 12
4x ≤ −18
x ≤ −9
2
12 + 4x ≥ 6
4x ≥ 6− 12
4x ≥ −6
x ≥ −3
2
Solucion:
(−∞,−9
2
]∪[−3
2,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que
12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6
12 + 4x ≤ −6
4x ≤ −6− 12
4x ≤ −18
x ≤ −9
2
12 + 4x ≥ 6
4x ≥ 6− 12
4x ≥ −6
x ≥ −3
2
Solucion:
(−∞,−9
2
]∪[−3
2,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que
12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6
12 + 4x ≤ −6
4x ≤ −6− 12
4x ≤ −18
x ≤ −9
2
12 + 4x ≥ 6
4x ≥ 6− 12
4x ≥ −6
x ≥ −3
2
Solucion:
(−∞,−9
2
]∪[−3
2,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que
12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6
12 + 4x ≤ −6
4x ≤ −6− 12
4x ≤ −18
x ≤ −9
2
12 + 4x ≥ 6
4x ≥ 6− 12
4x ≥ −6
x ≥ −3
2
Solucion:
(−∞,−9
2
]∪[−3
2,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que
12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6
12 + 4x ≤ −6
4x ≤ −6− 12
4x ≤ −18
x ≤ −9
2
12 + 4x ≥ 6
4x ≥ 6− 12
4x ≥ −6
x ≥ −3
2
Solucion:
(−∞,−9
2
]∪[−3
2,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que
12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6
12 + 4x ≤ −6
4x ≤ −6− 12
4x ≤ −18
x ≤ −9
2
12 + 4x ≥ 6
4x ≥ 6− 12
4x ≥ −6
x ≥ −3
2
Solucion:
(−∞,−9
2
]∪[−3
2,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que
12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6
12 + 4x ≤ −6
4x ≤ −6− 12
4x ≤ −18
x ≤ −9
2
12 + 4x ≥ 6
4x ≥ 6− 12
4x ≥ −6
x ≥ −3
2
Solucion:
(−∞,−9
2
]∪[−3
2,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que
12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6
12 + 4x ≤ −6
4x ≤ −6− 12
4x ≤ −18
x ≤ −9
2
12 + 4x ≥ 6
4x ≥ 6− 12
4x ≥ −6
x ≥ −3
2
Solucion:
(−∞,−9
2
]∪[−3
2,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,
25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8
25− 7x ≤ −8
− 7x ≤ −8− 25
− 7x ≤ −33
x ≥ 33
7
25− 7x ≥ 8
− 7x ≥ 8− 25
− 7x ≥ −17
x ≤ 17
7
Solucion:
(−∞, 17
7
]∪[
33
7,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,
25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8
25− 7x ≤ −8
− 7x ≤ −8− 25
− 7x ≤ −33
x ≥ 33
7
25− 7x ≥ 8
− 7x ≥ 8− 25
− 7x ≥ −17
x ≤ 17
7
Solucion:
(−∞, 17
7
]∪[
33
7,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,
25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8
25− 7x ≤ −8
− 7x ≤ −8− 25
− 7x ≤ −33
x ≥ 33
7
25− 7x ≥ 8
− 7x ≥ 8− 25
− 7x ≥ −17
x ≤ 17
7
Solucion:
(−∞, 17
7
]∪[
33
7,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,
25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8
25− 7x ≤ −8
− 7x ≤ −8− 25
− 7x ≤ −33
x ≥ 33
7
25− 7x ≥ 8
− 7x ≥ 8− 25
− 7x ≥ −17
x ≤ 17
7
Solucion:
(−∞, 17
7
]∪[
33
7,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,
25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8
25− 7x ≤ −8
− 7x ≤ −8− 25
− 7x ≤ −33
x ≥ 33
7
25− 7x ≥ 8
− 7x ≥ 8− 25
− 7x ≥ −17
x ≤ 17
7
Solucion:
(−∞, 17
7
]∪[
33
7,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,
25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8
25− 7x ≤ −8
− 7x ≤ −8− 25
− 7x ≤ −33
x ≥ 33
7
25− 7x ≥ 8
− 7x ≥ 8− 25
− 7x ≥ −17
x ≤ 17
7
Solucion:
(−∞, 17
7
]∪[
33
7,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,
25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8
25− 7x ≤ −8
− 7x ≤ −8− 25
− 7x ≤ −33
x ≥ 33
7
25− 7x ≥ 8
− 7x ≥ 8− 25
− 7x ≥ −17
x ≤ 17
7
Solucion:
(−∞, 17
7
]∪[
33
7,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,
25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8
25− 7x ≤ −8
− 7x ≤ −8− 25
− 7x ≤ −33
x ≥ 33
7
25− 7x ≥ 8
− 7x ≥ 8− 25
− 7x ≥ −17
x ≤ 17
7
Solucion:
(−∞, 17
7
]∪[
33
7,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,
25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8
25− 7x ≤ −8
− 7x ≤ −8− 25
− 7x ≤ −33
x ≥ 33
7
25− 7x ≥ 8
− 7x ≥ 8− 25
− 7x ≥ −17
x ≤ 17
7
Solucion:
(−∞, 17
7
]∪[
33
7,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,
25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8
25− 7x ≤ −8
− 7x ≤ −8− 25
− 7x ≤ −33
x ≥ 33
7
25− 7x ≥ 8
− 7x ≥ 8− 25
− 7x ≥ −17
x ≤ 17
7
Solucion:
(−∞, 17
7
]∪[
33
7,∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Para resolver |x + 2| − |x − 1| > 2 usamos la definicion,
|x + 2| =
{x + 2 si x + 2 ≥ 0−(x + 2) si x + 2 < 0
=
{x + 2 si x ≥ −2−x − 2 si x < −2
|x − 1| =
{x − 1 si x − 1 ≥ 0−(x − 1) si x − 1 < 0
=
{x − 1 si x ≥ 1−x + 1 si x < 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 60 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Para resolver |x + 2| − |x − 1| > 2 usamos la definicion,
|x + 2| =
{x + 2 si x + 2 ≥ 0−(x + 2) si x + 2 < 0
=
{x + 2 si x ≥ −2−x − 2 si x < −2
|x − 1| =
{x − 1 si x − 1 ≥ 0−(x − 1) si x − 1 < 0
=
{x − 1 si x ≥ 1−x + 1 si x < 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 60 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Para resolver |x + 2| − |x − 1| > 2 usamos la definicion,
|x + 2| =
{x + 2 si x + 2 ≥ 0−(x + 2) si x + 2 < 0
=
{x + 2 si x ≥ −2−x − 2 si x < −2
|x − 1| =
{x − 1 si x − 1 ≥ 0−(x − 1) si x − 1 < 0
=
{x − 1 si x ≥ 1−x + 1 si x < 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 60 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Para resolver |x + 2| − |x − 1| > 2 usamos la definicion,
|x + 2| =
{x + 2 si x + 2 ≥ 0−(x + 2) si x + 2 < 0
=
{x + 2 si x ≥ −2−x − 2 si x < −2
|x − 1| =
{x − 1 si x − 1 ≥ 0−(x − 1) si x − 1 < 0
=
{x − 1 si x ≥ 1−x + 1 si x < 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 60 / 1
Desigualdades con valor absoluto
La recta real se divide en tres sub-intervalos
• • •−2 0 1
(−∞,−2) [−2, 1) [1,+∞)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 61 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En (−∞,−2)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(−x − 2)− (−x + 1) > 2
− 3 > 2 Falso
S1 = ∅
En [−2, 1)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (−x + 1) > 2
2x + 1 > 2
x > 1/2
S2 =
(1
2,∞)∩ [−2, 1)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En (−∞,−2)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(−x − 2)− (−x + 1) > 2
− 3 > 2 Falso
S1 = ∅
En [−2, 1)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (−x + 1) > 2
2x + 1 > 2
x > 1/2
S2 =
(1
2,∞)∩ [−2, 1)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En (−∞,−2)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(−x − 2)− (−x + 1) > 2
− 3 > 2 Falso
S1 = ∅
En [−2, 1)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (−x + 1) > 2
2x + 1 > 2
x > 1/2
S2 =
(1
2,∞)∩ [−2, 1)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En (−∞,−2)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(−x − 2)− (−x + 1) > 2
− 3 > 2 Falso
S1 = ∅
En [−2, 1)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (−x + 1) > 2
2x + 1 > 2
x > 1/2
S2 =
(1
2,∞)∩ [−2, 1)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En (−∞,−2)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(−x − 2)− (−x + 1) > 2
− 3 > 2 Falso
S1 = ∅
En [−2, 1)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (−x + 1) > 2
2x + 1 > 2
x > 1/2
S2 =
(1
2,∞)∩ [−2, 1)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En (−∞,−2)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(−x − 2)− (−x + 1) > 2
− 3 > 2 Falso
S1 = ∅
En [−2, 1)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (−x + 1) > 2
2x + 1 > 2
x > 1/2
S2 =
(1
2,∞)∩ [−2, 1)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En (−∞,−2)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(−x − 2)− (−x + 1) > 2
− 3 > 2 Falso
S1 = ∅
En [−2, 1)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (−x + 1) > 2
2x + 1 > 2
x > 1/2
S2 =
(1
2,∞)∩ [−2, 1)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En (−∞,−2)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(−x − 2)− (−x + 1) > 2
− 3 > 2 Falso
S1 = ∅
En [−2, 1)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (−x + 1) > 2
2x + 1 > 2
x > 1/2
S2 =
(1
2,∞)∩ [−2, 1)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En (−∞,−2)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(−x − 2)− (−x + 1) > 2
− 3 > 2 Falso
S1 = ∅
En [−2, 1)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (−x + 1) > 2
2x + 1 > 2
x > 1/2
S2 =
(1
2,∞)∩ [−2, 1)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En [1,∞)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (x − 1) > 2
3 > 2
S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)
Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3
S =
(1
2, 1
)∪ [1,+∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En [1,∞)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (x − 1) > 2
3 > 2
S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)
Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3
S =
(1
2, 1
)∪ [1,+∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En [1,∞)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (x − 1) > 2
3 > 2
S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)
Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3
S =
(1
2, 1
)∪ [1,+∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En [1,∞)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (x − 1) > 2
3 > 2
S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)
Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3
S =
(1
2, 1
)∪ [1,+∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En [1,∞)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (x − 1) > 2
3 > 2
S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)
Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3
S =
(1
2, 1
)∪ [1,+∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1
Desigualdades con valor absoluto
En [1,∞)
|x + 2| − |x − 1| > 2
(x + 2)− (x − 1) > 2
3 > 2
S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)
Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3
S =
(1
2, 1
)∪ [1,+∞).
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1
Desigualdades con valor absoluto
Ejercicio
Encuentre el conjunto solucion de las siguientes desigualdades
1
∣∣2−5x3x
∣∣ ≥ 4
2 |12x − 8| > 7
3 4|3x−2| ≥ 6
4 1 < |2x − 5| < 8
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 64 / 1
