Matemáticas AdministrativasUNIDAD 2: Límites y continuidad

Propósitos

En esta unidad:

Identificarás los elementos del álgebra de límites y teórico práctico de la continuidad de una

función.

Aplicarás los elementos del álgebra de límites para determinar el alcance de un proceso

desde el punto de vista económico-administrativo.

Calcularás la continuidad de una función en relación a los puntos en los que el proceso de

producción presenta una tendencia diferente de costos.

Competencia específica

Determina el comportamiento de una función de acuerdo a los límites de la misma para

conocer su impacto en los procesos económico-administrativos, mediante la aplicación de

los teoremas de límites de una función y su relación con funciones continuas y

discontinuas.

Introducción

En la unidad anterior vimos el concepto de función y algunos de los diferentes tipos de

funciones, así como su aplicación para describir el comportamiento de las diversas

situaciones que se presentan dentro del área económico-administrativa, tales como

ingresos, costos, utilidades y punto de equilibrio.

En la presente unidad estudiaremos el concepto de límite y cómo describe precisamente el

comportamiento de una función cuando los valores de la variable independiente están

muy próximos, aunque nunca igual, a un valor constante y su utilidad en los procesos

económico- administrativos, como rendimiento y producción máxima. Asimismo,

determinaremos cuando una función es continua y revisaremos su aplicación en

procesos productivos y su impacto en los

costos de producción.

2.1 Álgebra de límites

Conceptos básicos:

El límite de una función describe el comportamiento de una función f(x) conforme la

variable independiente se aproxima a un valor constante.

Ejemplo: Se tiene la función y se requiere determinar su comportamiento

cuando los valores de x tienden o se acercan a 1.

Solución: Podemos observar que la función no está definida en x = 1, es decir, que cuando

x toma el valor de 1 la función tiende al infinito:

Ya que cualquier número dividió entre cero es igual a infinito.

Sin embargo, si se podemos determinar el comportamiento o valores que va tomando la

función cuando x → 1 (x tiende a 1), ya sea con valores más pequeños a uno o, bien, más grandes

a uno: 1 > x > 1.

Así tenemos que:

X Gráfica

-0.5 0.1666670.5 0.5000000.6 -0.2000000.7 -1.5666670.8 -4.6000000.9 -14.300000

0.95 -34.1500000.98 -94.060000

0.999 -1994.00300.9999 -19994.0003

1 ∞1.0001 20006.0003

1.001 2006.003

1.01 206.03

1.1 26.3

1.5 11.5

Se puede observar que conforme x se acerca a 1 la función es igual a ± 20000,

dependiendo de si se va acercando por la derecha o por la izquierda a 1, es decir:

En conclusión, tenemos que:

Cuando f(x) se acerca cada vez más a un número límite (C), conforme x se aproxima a un valor

constante “a” por cualquier lado, entonces C será el límite de la función y se escribe:

Algebra de límites: A continuación se muestran la fórmula y las operaciones que se realizan para

determinar los límites de una función:

Sean dos funciones cuya variable independiente tiene a un valor a:

y

Entonces:

1.

2.

3.

4.

5.

2.1.1 Límite de una función y sus propiedades

1. Límite de una función constante: Si se tiene una función constante f(x) = C, el límite de la

función cuando x tienda a un valor “a”, será siempre C. Esto es:

Ejemplo: Determina el límite de la función: f(x) = 10, cuando x → 8.

Solución: Siguiendo el razonamiento de la fórmula general anterior, se tiene que:

2. Límite de una función idéntica: Si se considera la función idéntica f(x) = x, cuando x tiende

a un valor “a”, su límite será siempre el valor constante “a”, es decir:

Ejemplo: Determina el límite de la función: f(x) = x, cuando x → 3.

Solución: Siguiendo el razonamiento de la fórmula general anterior, se tiene que:

3. Límites infinitos: Cuando se tiene una función racional en la que q(x) se hace

cero cuando x tiende a un valor constante “a”, entonces, f(x) = ∞, es decir:

Ejemplo: Determina el límite de la función: cuando x → 1.

Solución: Sustituyendo el valor de x, en la función se tiene que:

4. Límite de cualquier función: Para cualquier función f(x), se tiene que el límite de la

función cuando x → a. El límite es el número constante que resulta de sustituir el valor de

“a” en la función.

Ejemplo: Determina el límite de la función: f(x) = , cuando x → 0 y cuando x →

5. Solución: Sustituyendo el valor de x, en la función para cada caso se tiene que:

Y

Ejemplo: Determina el límite de la función: cuando x → 0 y cuando x → 2.

Solución: Sustituyendo el valor de x, en la función para cada caso se tiene que:

Y

2.1.2 Límites de una función cuando la variable tiende al infinito

Cuando x → ∞, el valor de la función puede crecer o decrecer indefinidamente. Sin

embargo, existen casos en los que la función adquiere valores reales. A continuación veremos

ejemplo para el cálculo de límite de una función cuando la variable independiente tiende al

infinito.

Ejemplo. ¿Cuál será el límite de f(x) = 7x4 – 2x3 + x2 +100, cuando x →∞?

Solución: Al aplicar el límite infinito en la función, se tiene que:

NOTA: Es suficiente observar que el coeficiente con mayor potencia tendrá como resultado un

valor infinito, al sustituir el límite en la función.

Ejemplo: En una fábrica de electrodomésticos, se tienen costos fijos de producción de

$1’000,000.00 anuales y sus costos específicos son del orden de $430.00 por electrodoméstico.

¿Hasta qué punto puede reducir los costos promedio de producción al aumentar la producción

indefinidamente?

Solución: Se observa que la función de costo tendrá la forma C(x)=430x + 1’000,000, en

donde x representa la cantidad de electrodomésticos producidos. Para determinar el costo

promedio de producción, se tendrá que dividir la función de costo entre el número de artículos a

producir, x:

Y si lo que se desea conocer es el costo promedio de producción cuando el nivel de

producción se eleve indefinidamente se tiene que:

Por tanto, el costo promedio de producción será de $430.00 cuando el nivel de fabricación

de productos electrodomésticos crezca indefinidamente.

NOTA: Es importante notar que cuando se divide un número cualquiera entre ∞, el resultado

siempre será cero, ya que el valor del divisor siempre será mucho más grande que el valor

del número que se quiere dividir.

Ejemplo. El nivel de satisfacción (%) de clientes en un autoservicio, de acuerdo al número

de artículos comprados, fue medido mediante la siguiente función:

En donde x representa el número de artículos comprados. Determina ¿cuál será el nivel de

satisfacción del cliente (%) conforme aumentan sus compras?

Solución: Si se considera que el cliente comprará un número infinito de artículos

podremos observar cuál será el comportamiento del nivel de satisfacción del cliente en el punto

más alto de sus compras:

Con el fin de eliminar la indeterminación, en el caso de una función racional es

conveniente dividir cada uno de los factores de la función entre la variable independiente con la

potencia más alta, así se tiene que, para este caso en particular, se tiene que:

Por lo que el nivel de satisfacción del cliente será del 83.33% y nunca podrá ser mayor a este.

Actividad 1. Maximización de costo promedio

Resuelve el ejercicio 1. “Maximización de costo promedio” que se encuentra en el Cuadernillo de

ejercicios: Los límites y aplicación en funciones.

Guarda el documento y envíalo a la sección de Tareas.

Actividad 2. Foro Maximización de costo promedio

Responde a la siguiente pregunta:

¿Qué elementos consideraste para resolver el problema de “Maximización de costo promedio”?

Tema 2.2 Funciones continuas y discontinuas

2.2.1 Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en una función

Según se pudo observar, al realizar el cálculo de límites de una función, no siempre el

límite coincide con el valor de la función en el punto hacia el cual se aproxima la variable

independiente. Esto es fácil de detectar al graficar la función en los valores cercanos al límite, ya

que la gráfica de la función se puede cortar o tener una interrupción en algún punto cercano al

límite.

Por ejemplo, se tiene la siguiente función: en la que se dice que x → 1. Al graficar las coordenadas que van acercándose al límite, se tiene la siguiente gráfica:

En donde se observa que hay un punto exactamente cuando x = 1, en el que la gráfica de

la línea ya no continúa con el resto de los valores, es decir, que hay un ruptura en la gráfica.

De esta forma, podemos definir que una función es continua cuando no se presenta un

corte en la línea que representa su gráfica, y una función es discontinua cuando se presentan

cortes en la línea que representa la gráfica de la función.

Existen tres condiciones que nos permiten descubrir si una función es continua o

discontinua:

1. Una función será continua si f(x) está definida en x = a, es decir, si sus valores son reales.

2. Una función será continua si el límite de la función f(x) cuando x → a existe.3. Una función será continua si:

Si una de las condiciones anteriores no se cumple la función será discontinua.

Operaciones con funciones continuas

1. Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en un punto a, entonces las funciones podrán

sumarse, multiplicarse o dividirse (para g(x) ≠ 0 en el caso de división).

2. Toda función polinomial es continua.

2.2.2 Aplicación de funciones continuas y discontinuas

EJEMPLO: Oferta y demanda. Un vendedor de aceites orgánicos en frascos de 250 ml,

vende aceite de uva a $90.00 cada frasco, pero si le compran más de 5 frascos, el precio por frasco

es de $68.00. ¿Qué se le podría recomendar al vendedor para que pueda conservar su escala de

precios de mayoreo sin que se le presenten problemas económicos con su promoción?

Solución: Si definimos como p(x) a la función de precio de x frascos de aceite de uva, se

tiene la siguiente función:

El modelo gráfico que representa esta función de oferta versus demanda es:

Con esto se observa que el precio de 10 frascos es de $900.00, y de 11 frascos es de

$935.00, por lo que para evitar contradicciones, el precio de 11 frascos debe ser superior al de 10.

Si decimos que p es el precio de cada frasco de aceite cuando se compran más de 10 frascos, se

debe cumplir que 11p > 900. Es decir, p > 900/11 = $81.81. Por tanto, el vendedor debe asignar un

precio superior a $81.81 para cada frasco cuando le compren más de 10 frascos de aceite de uva.

Actividad 3. Costo total

Resuelve el ejercicio 2. “Costo total” que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios: Los límites y

aplicación en funciones.

Guarda el documento y envíalo a la sección de Tareas.

Actividad 4. Autoevaluación

Resuelve el cuestionario Autoevaluación, de cinco preguntas y elige la respuesta correcta.

Evidencia de aprendizaje. Álgebra de límites y continuidad

Resuelve los ejercicios del archivo Álgebra de límites y continuidad:

1. “Cálculo de límites”, que consiste en relacionar columnas, para saber la respuesta

se deben elaborar cálculos necesarios.

2. “Rentabilidad con límites al infinito”.

Guarda el documento y consulta la escala de

evaluación. Envíalo al Portafolio de evidencias.

Consideraciones específicas de la unidad

En esta unidad se resolverán ejercicios para practicar el uso de las fórmulas y la

aplicación de límites.

La evidencia con la que se evaluará la unidad 2 será la solución de problemas de límites

y continuidad de una función para determinar su impacto en los procesos

económico- administrativos y una vez terminada de revisar la unidad tendrás que ir a tu

cuadernillo de ejercicios y resolver los ejercicios correspondientes a ésta.