Matematicas Acc. Uni. Vol2

7/22/2019 Matematicas Acc. Uni. Vol2

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lndiceGeneralSielalumnostudiaeestamanerabtendfáu econrtr 'nrirrl lsbandol abulosomundo e osnúmeros,lálgebra,ageometríael análllr l l ir i l lornático-asise-guroquedisfrutará e sus nuevas abilidadesmaleflráli0r$ {)ritrará n contactoconuna ormade pensamiento¡guroso a la vezcreat¡vo. prel¡minares, úmeros eares

Losautores emos labofado l exto onestas deas n nr|rl() v con a esoeranza P-1R EI conjunto e osnúmeroseales1

de quesea úlilpara os estudianlesel cursode acceso r a tl¡rversdada losque P-2Subconjuntose R 5damos a bienvenidá lásMalemáticas p-3 Ecuación inecuaciónorinómica

Enestesegundo olumen e n troduciránasherramientaselC¿llculo iferencial P4 Ecuación inecuaciónacional 8Integral ueson mprescindbles arael desarrollo e muchas amas elsaber ien- p-5 Ecuacionesxponencialeslogarítmicas2tifico, xperimentalde a Economía. s mposible n conocim nio eórico empí-ncosrndom¡narosconceptose der¡vada ¡ntegral ues orñanpadedel e¡guaje Tema ' Funciones lementalesl)

en elquese expresanmuchas e as eyes e estasdisciplnas. 1-1Concepto e unción 9

Et ¡bro,ndepend¡entementee estarescr¡to araetcursode AccesoDirecto, ue-1-2Gráfica e une unción 3

de serutilizadoorotraspersonas uedeseenniroducirsen estasmaterias. 1-3Función onstante6

LosAutores1¿ Funciónineal 6'l 5 Función fín37

1-6Función uadrática11-7Propiedadese as unciones 7

1-8Funcionesolinómicas,acionales irracionales0'1-9Funcionesefnidas trozos71

1-10Operacioneson unciones 3

1-11Conceptoslave 0

1-12 utoevaluación2

Tsma2. Func¡oneslemenlalesl l)

2-1La unción otencia 7 '

2 2Funciónogarmoneperiano32.1J .¿rlnlción xponencialatufal 6

2. 4Olfos uncknresoflarltmicas,xponencialespolenci¡

2 5l(rrxl(rl(Jl rrorxntrólric¡s0: l

l / { i l | |rf |rrr ' l l(f nn)| lr 'r l¡r r$ rrvrtf lr l¡t' l ,



húíce Generaln ce ene

5-3 VIáximosminimos elativos24

54 Concavidad convexidad38

5-5Asíntotas 47

5-6 Esquemaeneral arael análisis e unciones 57

5-7 Conceptos lave 72

5-8Autoevaluación73

Tema6. La ntegral6-1 Primitivase una unción 77

6-2 ntegralndefnida 79

6-3 Linealidade a ntegralndefinida80

64 Integralesnmediatas81

6-5 ntegraciónorsustitución cambio e vaÍable284

6-6 ntegraciónof partes 89

6-7 PÍmitivas e as uncionesacionales92

6-8 Primilivas e algunasuncionesigonométricas97

6-9Método e exhauciónarael cálculo e áreas2996-10 a ntegralde iemann04

6-11Areadel ecintoimitado oruna unción n [a, b] 310

6-'12 feadel ecintoimitado or asgráficas e dos unciones 14

6-13Conceptoslave 16

6-14Autoevaluación17

í¡dicede simbolos 21

indice de términos 323

2-7Conceptoslave119

2- BAutoevaluación19

Tema3. LÍmitesde funciones.Continuidad

3- 1Límite e una unción 23

3 2 Cálculoe ímites 28

3-3 Límitesnfinitos límites n el nfinito 33

3-4Tratamientoe as ndete.minaciones453- 5Continuidad57

3 6 Operacioneson unciones ontinuasl60

3-7Teoremasundamentalesobreas unciones ontinuas 67

3- 8Continuidade a unciónnversa 70

3-gConceptos lave171

3'10Autoevaluación72

Tema4. Func¡ones erivables

4- 1Tasa evariación edia e una uñción 75

4 2 Tasade variaciónnstaniánea176

4-3 Derivada e una unción n unpunto177

4-4 nterpretacióneométricae a derivada 85

4-5 Función erivada. efivadas ucesivas86

4 6 Derivadas e asoperacioneson unciones 88

4-7 Derivadase as unciones lementales94

4-8 nterpreiaciónísica e a derivada 00

4'9 Aplicacionese asdefivadas l cálculo e ímites 02

4-loTeoremas e Rolle del ValorN,,ledio'l14 11Conceptos¡ave 13

4-12 Auioev luación214

Tema5. Estudioy representación e func¡ones

5'1 Váxi¡nosminimos'17

5- 2Crecimientodecrecimionkrlr¡ rrxlrrnción21



Preliminares.úmeroseales

l.ll (lcfiricjó¡ y Ia olma deexpresarn númeroeálse niroduce n ospreliminar€selprirrcl volumen., demás, e tratan as operacionese números cales l¿s estructurairlschr cas deorden elconjunto e osnúmeroseales. epresentanaspropiedadesuevo lic¡n asoperacionessedefinen otencias.

I l conuntode os números ealesestá onstituidopor a uniónde os números acionalesk¡r núme¡osnacionales. n este ema seFesentan lgunas uestionesopológicas elf,'riLrnro e o' número' eales se¿mplran inrerpretanlgunos bjeto'de ripo¿lgebr¿ic

üün'r, I laecuaciónl¿ necuacróneoúmeroseaes .

P-l R. El conjuntode os números ealesI u rcprcscnlaciónmáscomúnd€ R hacever al conjuntocomouna inea ectadelplano.El

Inincipul roblema eesta epreseütaciónssab€r l puntode a recta üe e coresponde

l. \ r ' íkl $ignar lpunlo orrerpondienrelnumero.Basralegir npunrou¿lquierauel l¡ lnNn"spunlo) Srunaúmeroe¿l saposiu\o. 0.se e¿' ig¡a npunro aderechrlnlprnto ,y siesnegativo,< 0,unoa a zquierda el0.

l rru¡ L/clcCidonseSTenroecfl l ineoelpla¡o. omo egmenloarón. i unextremrh.l'cg r(nro"c sirLrr.obre entoncessuderecba.o a rccl¿R. queda elerminadolpunlo,rrr li clrrcs¡onde l nume¡o . Al reperir sleproce'ocon el punlo I en ugardel 0. re

¡,hi(1r(.l ¡ ,rnro one'pondrenrel núme¡o . Analog¿menlee obl ienenos pu¡losr ,ms¡.rrhiruc. o. numeros. 4. 5. . ..Si en ga r e aderechae l igea zquierda.e¡r l t iencDrsDUntosorrespondientesos úm€ros ,2,-3,. . . .

, .3 2 1

FiguraP.I

lrl rcstl) lenúnrcroscales eben onesponde.onpuntos eesa ecta e orma uesi dosri¡rrer)r rc|llcs, y b, vc|illca quea < b, entoncesl puntodel número está it uado atlflcclxr lclpl|rlodcl Dúmcro. Adcmás. i lamamosy b a esos untos e a rectal ntonce



=

q.mpto 1

ffi'i,llfiliiil,,,ltjll;;:,áltji::ññ",;T"1T;X;::", ," "",,,*"*,1ii',ll.ii",i,itllÍ; ,il"ll?"'il*1",1,

"XflJ,f¿'jXlj:saberxactanrc¡rrcné,,,,Dados ospunro\ e ¿ ecraeat b al segnrenrob .e te cpresenuf or x. hl

EJemplo2

-*1T¿:',Xlli::.ol.ülil;?,T:1i#,'.T,'..,i,.ilTtJ:ar sesmenrosparróDl.2._l]yt_t.01.

2subsesmenrosdivisoresn opartesgures),fi , ,4f,f-f. ,f .

5 subsegmentosdiviso¡esen100paftesguales),

rffi,-ffii.rffi.-,ffir.,#.ffi.rfi,_ffir,rfi ;; subseemenlosdivisoresen1000 a¡tesguales,

tffi ffi 'r fiffirrffi ffirLa ongituddelsegmentoonstruido l unta¡ os l2 segmentosnteriores s:

2. +2.ro1+s.r ih+3.f t, :s: ,Asl ues,lsegmeúosolarsa0 = ta,ol= t-2,2s3 Ol

E emplo3

r-?a mterelm¡a e punto onespon4ientetnú¡u u''r du<run,aresmenr.'0,""",*",..*,

"il, i '" '.T,'"14

- 4 r21212 queesrac"r

4 sggee¡tospahn,3 süblegmentoselpelrónobtgnidps ordivisióne4 0 sggmeatocuales,2 subsesrnenlo,e parónobrendos ord \ s,ón ! I , ,.r."".1r r"1..,3Dubsegmenlosetpefónobteaidospordivisió¡elt g00seg¡Dentogualcs,2sr¡bsegme¡rosdetauónobrenjdospordivi5ione¡l**r.*. , .1r"", . . ,J Subsegmenroset atrón btenidoso.división nTOOOOOeg,nentoguatc,,

R Ll con|unktdcb,\ nútnqn t

'Í*::f jii'.ryitffir:,it**üTfi:x?:tr1$i?i",t"":::ítrÍ,.":"ri:j"", ]J,";:;".*,*"$ffii""l:",::I,#fl;:u:ir,::;;,.#.,:r.:.;n:so¡ qe_ .c.aD D_r.

tt[x:T.frfl¿"ffh*Tr;-L]li]rfufiUil:u,{ir$i"::...-:r,ijt;

o0.'",,,"","*, ,n*.j,;::;.:;,:r,i =o,o,! =o,s.

, ,,j, iii,'?'i,,,i.,;-*_".."_"""".ffJilx"á.".:rühád,#il.ti",:d:;*iffii¡ffi;iTir,lgijttit,*tf,,,}

;...l'i:,.:Til:":i|:il;ffTJ,;:T ',entoncesosegmen,osb,e¡idosor

if#Fj,,l;nfffr:*:i#n:,3$í#;Ti.",:"::"",:T$1,:iH::?;ü:il:.',üf:fitil"];,i::i,".i,.:.J"i:Í,::^,ijil{;",Tj1,,:i.ffJ:"1:"ffljl"llil,iil;j,;:i2

4/5



rcolasin ningúnproblemas.Además,cabe observarqueesa amilia sin fin(livisoresorma¡ un seemento e ongitud

fi.

m narcs. neros rcal*

sin embarso,omo ,323232...-433;4 :

ff , ""t" p,,"a"urtgnarnpunro t€a P-2 Subconjuntos e R

Est¿ ección epresentanos conjünlos ontenidos nR quemásseutilizan enesteibro.

Definición.Dadosdosnúmeros e¿les , b talesquea< b, sedefine:Intenaloceffado. a,b] : {x€R,t¡lqueasx<b}.

- ntenalo bieúo. (a,b) = {x €R a<x<b}.

la ,b) = {x€Ra<x<b} y (a,bl = {xeRa<x<b}.

FiguraP.:l

' l ¡doslosinlerválos(a,b),(a,bl,ta,b)yta,blt ieneell¡ ismopunloDrcdid!r ' t ,

. Un número ealquees ffacionalposeeunaexpresión ecimalsin fin queno esDeriódica.l1,rddsrgnar l numerorracion¿l npuDro e la recra eal,no procedemosomoer to:¡r¡leriores jemplos, uesnopodemos

onsrruirel segmenrooral aljuntar

üna amilia sin ñn(icsegmentosdivisores.

Elemplo4

El número rr¡cional 7¡= 3, 14159265 surgecomoel cocienteentre a longitudde unacircunferencia su diámetro.EI número rracionalJ1 = t,+tlZtZSSZ... apxece al,'rrgrtude la hipore¡u.a e un rriá¡gulo

'eclángulouyoccdrelosmiden a unidad. in

ünbargo rocedemose und oma queescomún cualquier úmero rraciondt tam¿mo5t

'nbiénr alpuntode a ¡ectaconespondientel número . Como:

:l < n < 4, entonces está nel segmento3,4], r € [3, 4].

,. tr- r.2.eDronces,rslá.r,.s"*r" Iij #r.lT. rf ft r

r.14n<3, s,entoncesestáenelegmentoffi, ffit, ^ . fffi, ffil

, . 4r.r. . 42.enroncesnesLaener..v"*r"tf f i .i#, ^. ' i#i f f i

y ¿rsi sucesiv¿mente. odos los segmentosconrienena n y poseen extremos quecorlrspondena números ¿cionales , por tanro,son áciles de representar n a recta eat.( llbc observar ue as ongitudes e os sucesivos €gmenroehacen ada ezmáspequetus.li l tunto n al cual e conespondelnúmeron esel pun¿o omún todos ossegmentos

.lixislepuesunaideniificacióndelconjuntodelosnúLrne¡osrealesoonlarectareal.Doreorlcsdoslemom€nto o osdiferenciaremos.

Defrniciún Dis¡ancíaeúre dos úúmercs:Dadosdosnilmeros ealesa y b,se lamadistanciaentreellosa la ongituddel segmento uyosexrremos on

El nte alo [a, b] se dentificaconel €gmenroa,b], mientrasquel nre alo(a. b) sidenlificacon el segmento a,b] al qüe se le quitan los exrremos. s dccii(a,b) : ta,bl { a, b . La ongitud edichosnte¡valos,s b al.

También, eempleanos nteñalosabiefosporun adoy cenados orel otro como:

a+b b al a+ b

2 ^

=---

! ln{orno entr .dodc un puntoa. Dado nnúmeroreal > 0,sc l lLrnr¡ :

tiltonlo ab¡erk) cnh'a¿o.Dayde radio 3 al int€rvalo (r ij. n r ¡).

- I)ndnn) (rd¿¡) | ntftkl¡, cn y dc ftdr) ¡ .rl nrtcrvalo ¡¡ ¡. l iil.

1) thr tút r \ tht .hh, r ' r l t tuh, ct \ | y (l c rr( ln) i i ¡ l i r fcN¡ l t )(¡ r i i . r lL , l rn i i )

D€linic¡ón,Dadosdosnúmeros eales¿,b talesquea < b , sedefine:- Sen¡rect8 cerada'

Ia ,+ó) = {xeRa<x} y (- - ,b l - {x e Rlxsb}.

- Senitecta abiertas.

(a ,+@): {x€Ra<x} y (- ,b) :

{x€Rx<b}.

distancia¿,b) = lb a

| \ t i l , , lL r , r , , l , l , r , ' t .' , qq , t ! { r r ,a , I I n , l ' f , f ,



t L kt i nut¿t N i¡tLnt rulcl

(a - 6, 4+ 3) = {xeqI lx-al<E} '

[a 3'a+E] :1x€Rl lx al<6] '

y$¡joe; oniuntolepu¡to¡xqueestándistanciselpunto me¡or menor gual)que5

Elorclclg 5' ' -'isteunentomoabi€rtocentadoen c queestá

l\ua cü3lqüie!punroc del ntervalo(a' b exl

, ontenidondichonJervalo

-,'""ii.!t

". i". tl , .ntonces< c< b se iene uem = minc a'b c > 0' por

t¡nto, lisiendo=!, ""

i"""q" 1" a'"

+ó)c (¿'b)'

-rffi;+'_FiguraP 4

. No¡ar ,apropied¿d elant€riorejercicioaverificanotrosconjufiosde 3 recta eal

.N,/¡¡'osco,,irn'os¡,'i"",rrL'::1[,i:,]:ir,,I:liil,iiii;l'l'i:);:)j.:;l;l;;;li:':I"i:iil;llilrl'i'li"'';iJi';.1"'.''ii;i. , ,,','n\" l r '" '

r r .r ¡ . r l r rrr er i r "r r rotb i r r ro\ crr . t 'do 'L¡ (r f ' r ¡ ' r '

l )L l (orrurrrdelo.c.n- .rnrosah'e¡ ! ' 'deR'e 'Lcer lue ' 'r r ' i r ¡ " /r t t r r l r r ' : ' l i 'r " ' l'

"'. i " " .1 '" ¿ .,

' tq , . . ,*pterrla ' roDicddds iguierrr '

Topologí¡ dc R Los co¡juntosabiertos e R verifican aspr)|ri(il¡'h'i

l" ¿ yR son o¡juntos brertos'

2'La unión econjuntosbieltos sunconjunto bierto3'La intersecciónini1a econjuntosbiedos sunconjunLt'rltr' "

Por€ o,sediceque orman^ topolagíasualdeR

OtrosconjuntosmpoÍantesenel restode emas o¡:

ElemBlggEl onjú¡to Rtambiéos!o c"njunto biert¡)

El conjunro aciq,P , esuncoquntoaDleno'pues¿1 o enerpuntosvedipa ladefinición

Unasemirrecta bie¡laesunconjunto ore4q Pamcualquiejx € (4' +-) (q x e (-"!' b) )

bastaronar=f t' a = fl

(ualouierunióndeinrer\dlosaDrero'esun¡hienopue'toluecudlquiertrrneroxque

:;[","":Trli,+h."n*{'ll:;i:;1";lll,l;xx'fi"l; i'l*il:j:':"'":];T'i'.::conjunto6onabieÍosl

( -ú, :3) 'J( 2, - l )u(1,4)L] (10,+ó) I tn '"+ l l ' L/ - (n ' ,n+l)NE N \E Z

Lq ntersección e dos nteNalos¿bigtoso 9sur interv¿loabiefo oesel 'áclo' asípuese!

nconju¡lo bier¡o

6

EiemploTEl;oniunlovacioU esunconjurto enado uesto ueeselcomplemcntarn'lc t (lrr''

"" "."i"'li" "¡i"'top.' l" mismo,R esun conju¡tocerr¿do

una semllaectaenada sunconjunto erradoues-'al:

R-(a' 'r ) v ('r' I / rLr'

unconjunto biefo Análosamente'a, +o) = R (-Ó' a) v (-ú' a) esaorcrlo

Un ntervalocerrado sun conjuntocerrado uestoque

ta .b l : R- i( 4'a)u(b'+Ó)i '

y launióndeconjuntossbiertos sun conjunroabierto' -i^

r¡¿r ¿" ¿* ¡t"*alos cerrados sxn conjunto erradoSi los intervakrscnr!l','!

, i .*"'" i ."*.¡"

no dci¡ enronce'kun:ón'l ; lo'rnrenaro'cencdo'e'"r¡r 'rL' 'iJ"iá",1 p" ' l.

'* .* ,n conrunroeffado ,pue'roa c b d eo'once'

ta,bl \,

tc'dl = t3' dl

Sila nienección s acia. supuestoue3< b< c< d' entonces

la, bl u tc, dl : R - l(-a' a)u (b' c) u (d' +Ú) '

Unconjüntoünitario conunsóloelenento)esunconjuntoceffado'püesioque

{al=R {(Ó'¿)u(a'+@)}l

Ademd..nconiunroonuú numeroinrro celerenrocr unconi! 'nroenddo ¡ Ll

.". ' ;ü:, ; ; ;" ' ; ; ; ; , ;üninnrra I¿e o'e^ato'auieno' semüe''d'

ab'erns

il i'Á*"ió" ¿" a* intervaloserradossunconjurto enado ia<c<b<d'cnlü]c(\

ta,bl ñ Ic, dl = tc' bl.

Definic¡ón. n conlunro es nn'duultu 'P'dd' dL l{ 'r f f

."" l ip'. '""* i i l ¿." 'i

." 'uunro bieno s decú r e¡tsre dbicrto l ' l ¡

C= R A.

i i i .-

- ,q."1."""¿ 0 ralque\ '6 \ 5r ' A



si{. b<c<d,entonceslaintersecciónesvacla.ib=c.entonces

ta.bl^

lb. dl : {bl .

Sistem¡ de con¡untos cenados de R Los conjuntos cerrados de Rv€rifi c¿n aspropiedades:

1'Z y R son onjuntoserrados.2" La unió¡ finita d€conjuntos erados esun conjuntoce¡rado.3" -a ntersección econjuntos en¿dos sun conjuntocerrado.

Engeneralnoes ácil haceruna epr€sentaciónráficasobre a recfa eal de os conjuntosrbiertos de osconjuntosenados. lgunas eces, eun conjunto ólo enecesitaaber uecstá ontenido n algrín ntervaloabi€noo enunasemirrecta bierta.

inl¡rio|menle. Dacotanl¡fl(n cs L81coojunto e osnúmeros nlcros o esun conjuntoscot¿do,i ¡cotüdonl¡ri¡,IrfIlf

Cualquierntewalo bieto(a, b) o cenadoa, bl esun conjunto cotador'csl{) r( .!rriconte¡ido nel ntervaloa 1, b + l).

l tlL lconjunro jx .Rlr -; . n \ les¿cor¿do.rl0ecun¿cordinl(t i ,rt.h " ' t , , '

t ')todos os números uepefenecen A sonpositivos. nacotasuperior s 2 t¡r.!1,, ,r l

n>t"oton."rl<1.

P-3 Ecuac¡ón ¡necuación ol¡nómicaEn esta ección eejenplifica a formade esolveranioecu¡cion€somo necu¡(r(rx

que oseennaexpresiónpolinómjcanünaincógnit¿.Seentiendeor ncóg¡ita uúa etra uehace lpap€l eün úneroqueesdesconocdo.

P-3.1Ecuac¡ón eprimergradoAl resolveruna ecuación eprimer gradoseaplica:

Toda ecución dep¡imer gado en la incógnita x sepuedeescibir comoax+b=o,doDde a+ 0. Susoiucrónes=-j.

El valor de a ncógnita,o solución,deunaecuació¡deprimer gr¡doesun único número.

Ejercic io9Determine l número alquesu riple excede n 12unid¿des l doblede su ercio.

Solución. At llamar x al númerodesconocido, l erunciadoseescribe ono 3x = 2: + I 2 .

A1 agrupar odos os érminosdonde a ncógnitaestápresente n un ado de a iguald¿dlos é¡minosen osqueno aparece l otro 1ado, e iene:

12 J J6l \ 2¡ - 12.esdec,r . l ri l \ 12-i \ tr-x +-;

P-3.2 necuac¡ón éprimergradoLa fo¡ma de resolveruna ¡ecuación deprimer gado es como seprocedeen el ejercicio

Delinición,

- A-

R es un conjunto acotado supeio nente sl y sólo si existe uraseminecta ú, bl que o contiene; c (-a, bl. Del númerc sedicequees Da, Id'al¿, o. de A

- AcR es un conjunto acorado nfetiomente si y sólo si existe unaseni[ecta [a, +ó) que o contienej c Ia, +@). Del número sedicewe esúla cota n1¿riofdeA.

Es claroquesi b es na cotasuperiordel conjuntoA, entonces ualquiernúmeroc tal queb < c tambiénesuna cotasuperiordeA. Análogamente,i a esunacota nfe¡io¡ del conjüntoA. entonces ualquiernúmeroc tal quec <¿ tambiénesunacota nfe¡ior deA.

Conjunto cotado

.,1\cota nferior -/' \ \\ cota superior

1 // t \ --"--* :

Figula P.5. Nrraj Cuando un conjunto A es acotado nferiorment€ y superiormente a la vez, entoncesse

d ceque el conjunto A es un conjunto ¿cotado.

D€frnición. A c R esú conju ra acokldo si. sólo si existeun intervalo(a, b) queo contiene.Esdecir,A c (a, b) .

EjemploSEl conJunto de nrlmerosaturaleso es conjunto acotado en R, pero si es acotado



Ir solucioncsara as necuacioneseprimer rado o a ncógnit¿, con

;).

-b_;i

_fi. Esdectu,-:, +ú).

- Pnra r + b < 0, susoluciónes<l

- P¡ra x+ b s 0, susoluci¿nes<- !

- Para x+ b > 0, susoluciónes>l

- Para x+ b > 0,susoluci¿nes>

. Es decir, ( 4,

. Es deci¡, ( ó,

. Esdecir, -:,

r lBlrlc| l(c

| 0so uc óndeuna necuación e primer gradoes,por anto,uDa emiffecta-

EJorclc¡o0ljl doble de un ntu¡e.o al quese e ha disnhuido e¡ tres unidadeses mayorclue as res

eu0rtas artes eesenúmeroalquese e ha aumentado n¿unidad.LDequénú'nenj se ata?

Solución. l llamar a ese úmero, l enunciadoeescribeomo

2(x3)>i(x+r)" x o>J,(+1.

^lagn¡DJr odo, loc retminordonde d Dcog¡rra sra re:enreeo Jn ladode ta rguatd¿d

l ,+ ¡rmi loren osqueDoapareceenl ot ro ado, ,eUe¡e:

2@-3) ' l r -*r t7A

FiguraP.5

P-3.3Ecuaclón o segundogrado

A rcsolvef na cuaciónesegundorado e¿plica:

El discdminante s 62 4u.=1-5;¿-,t t ( 12)=7l>0,

Si existe oluciónealdeunaecllación esegundorado, ntoncesxisten ossolucionaunque ueden erelmismonúmero.

Ejercic¡o l

¿Exist€u¡ nrímero al quesutriple mas 12 es gual al productodel númeropof é1nlcnodos?Solnción. Al llamar x al nrimerod€sconocido,esultaqueelenunciado eescribe omo

3x + 12 = x(x 2) o 3x+ 12 )r2 2x

Alag r pa¡ odosos erminos nun adode a gualdad e iene 0 = *2- 5* 12.7

t

cualquier únerode a seminecta?, +@)verifica l enunciado.

lueso existendosnúmeros ueveriñcanel enunciado:

s-^n3\l : --i-

2-

v x2= ---r- .

I 5 Ji l l l - . s + Jisl!^ 2 , \ ' - 2 l

1

Todaecuaciónesegundorado n a ncóg¡itarsepu€describir onr(r

u"2*b**" = 0,dondea*0.

su resoluciónepende€lvalordeldisc minante 2 4ac

-Sib2 4ac < 0, entoncesoexiste úmeroealque erifiquc¡ ccrrr tirr

- Si b2 4ac > 0, entoncesxisten os oluciones,l y x2,dc nccurcil'¡rl

y x2 =2a 2a

Ademas,la cuaciónepuedescribicomoa(x - xrxx x, - 0.

-Sl b2-+ac : 0,entoncesexislenunasolucióndoble,xt,delaecua

bxt =

za '

Ademas,la cuaciónepuede scnorrcomo1r- x, )2 = 0.

10



P.3.4 necuación e segundo radoA resolver na necuación esegu¡dogmdoseaplica:

Supuestoueaxz+bx+c = 0 tiene os oluoorcs, l <x2,enronces

-Pamax2+bx+c<o:

si a > 0, solución l <x < x2. Esdecir, xt, x2),

si a < 0, solución-ó, x1)u (x2,+ó).

-Pamax 2 bx +c < 0:si a > 0, solución t < x < x2. Esdecir, xt, x2]

si a< 0, solución-ó , xtl u [x2,+ó ) .

-Pa.a.ax2+bx+c>0,

si a > 0, solución @, l) u (x2,+@),

si a< 0, soluciór t <x < x2.Es ecir"xt , x2),

-Pamax2+bt+c>or

sia>0,soiución( , xl l u [x2,+@),

si a < 0, soluciónt < x <xz.Esdecir,xl , x2].

En el c¿so equex1 = x2, €rtoncesx1,xr] = {xr }. La solución eun¿ necuacióndesegundoado esunauniónde semirrectas esün ntervalo.

Ejercicio l2

¿Que úmeros umplenqu€sL¡uadrado smenoro igüalquesu riplemenos os?

Solüción. l llamarxaese úmero, l enunciadoeesc¡ibeomo x2<3x 2_

AI agruparodos os términosa un lado de la desigualdad,e ri€ne x2 3x + 2 < 0.rcsuelvea ecuaciónsociadaestanecuación'-3r*2:0.

El discriminantes: U'z +ac=¡ 3)2,+ r.z=t>0,luogo xisten os olucionese aecuación:

Parasabersi2 3x+2 es osirivoocC ivocs adasemrr€claonetinrervato.ocligünpunlo eestos sedetemina lv¡brde lacxpres,ón.

Como0e(4,1)y02 3.0+2 = 2>0,entoncesx2 x+2>0 entodo ó, t )

como] r r . : r ¡ 1 ' , . i - , . | -0. .n,on. . ,^ , . i ¡ ) 0enrod, , ( r .2,

Como € (2,+ó) y 32 3. 3 + Z = 2 > 0,entonces2 3x+2 >0 entodo2, , )

Asípueslasolucióndelainecuación/-3x + 2 < 0 eselinre¡val ocenadolt,1. .

P'3.5Ecuación e ercergñdo y degñdo super¡ora res

^.Ld.ecuacióne rerc€¡ ¡¿do e resue¡ve edranleécnicastgebraicasri l /¿ndoa

rormuac e ¡ rcla o- ret¿, Iasdecuarlo radomedianreas órmuJaseCardano. mb¡,fólmülas xcedeneli!el de;ste ibro

Paragradosupeior a cuatro no existen órmulaspara esolver ¿s ecuaciones. ha sidodemosúadouenopueden xrsri¡ se jpode ó¡mutaa.qtpues. ótoquedaa uriiiracró¡, 1máodos eapro{imaciónucesi\a lascotr¡cioneseeslaiecuaciones.i unaecuac,on1,gmdonposee olución,entonces l nrímerodesolucionesealeses:

Algúnnúmeropardel nte¡valo [0, n] , si n esun númeropar.

Alsun núrnerornpardel nrervalo 0, n] , si n es npar.Las ecüacionesegradompar ienenalmenos na solución eal.D€stacamosn casopalticularde ecuacionesegradosuperiorados; as ecuacioneson

Las_únicas osiblessolucionesmcionalesde una €cuaciónpolinónica decoeficientes nteros, on coeficiente rincipal I ,

xt-ao ,xn -ao ,rol - . . . tarrz t-a,r ao 0.

son os divisorcsentero¡ Rositivoso negativos)del ré¡mino ndependie¡te

E¡erc¡cio 3

Det€rmine osnumeros a€ los cualesel valor numéricode a expresiónx3+ 4x2 2

Se

l t : : --- l - : : L y rr =3+u/ i

f <3\-2

Aslpues,l¿recta¡ealsedivideenvariaspartes(-ú,1)u{1}u(1,2)u{2}u(2,+ó).

13



SolÍ c ótr. E enunciado eescribe ono

r . / ^ ' 2 ^ ^ 2' ' r2r¡)>r. l* l l r r : ' ' : , ' * : '

Losdivisores nteros €l érminond€pendiente, , sonsólo 1, l, -3 y 3. Al aplicarar,B l (l c {uf f ini on + 1 se onpruebaue l esto s ero. demás,e iene Si t2xr 32x2+2sx.-6:0, enronces. Ntr: l-zer*rz)

lr . l}¡ f r , , , , r

t3*4*2 3: (x+l)(x2+3x 3) . ¡ lguno e os tos actoresebe ercel- .

si *r+4x2 3 - 0, entoncesx+1xx2+3x 3) = 0. Por anto, lguno elosdo s I I u¿esuoonert2^' ] ox+t. l r) . ! . ,1. f , rt ¡etües ebe er ero.

r^ J/ v' rur rcru' dsunuu.rur uur Dcsüponerxi

= 0,set ienexi2"

sisuponemosqu€(x+1):o'seobt ienelasoluciónxr 1.

_.26

^/ i l¡b2

.. -26+^/100 l

Sisuponemosquex2+3x - 0, se bt ienenas oluciones "t - u 3 ]' l 24 l

,. _ j-v/l.i _. ,. -3+,0j por t¿nto.hay tresnúnercs realesque veifican la igualdad e 1asexpLcsirt' ,1|^r 2 r .,

) enunci¿do.Asipu€s' xisten¡es rrmeroseales ue erifican lenunciado n

"-3.6Inecuación e ercerg adoy degradosuper¡or res

. Otrocaso aticülaf de ecuaciones egradosuperiora dos: Al resolve¡una necüación egradocu¿lquiera eprocede:

Las únjcas osiblesolucionesacionaleseuna ecuación e coeficientes

¡ r- l n-2 2 -an r +an_1i +nn,:x +,,,+a2x +alx+a0 = U,

son oscoci€ntesormadosorundivisorentercpositivos negativos)eltérmino ndependiente0, paÍido por un di visof entercpositivodelcoelicientepdncip¿lañ

Ejercicio 14

¿Puedenener lmjsmo alor aserprtsiores12x3y 32x2 2|l;r+6'lSolución. l enunciadoeescribe omo

tz\3 : 32x2 25x+ 6 o l2x3-32x2+25x 6 = 0.

Losdivisores ¡teros el é¡minondependiente , , son 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6 y 6, y losdivisores nteros ositivos el coeficienterincipal, 2,sor i , 2, 3, 1, 6y 12.Así pues,osposiblescocientesdist intosson1, ,-2,2,-3.3, 4,4,-6,6, 12,12y

Para csolv€runa necuación egradon

unro+u,, ,*nI +u o rt "

2+.. . +ur.2+a,x+a,,10,

se rocedeiguiendoospasosiguientes:l'Se re$elv e a ecuaciónsociada ainecüación

uo"o+un ,t "l+un

,* n2+.--*ur* '*ut**uo:0.

2'L3s solucioneseleminan as artes n asque edividea ecta eal:

( €, xo )u {x0}u (x0, r) U .. . u (x . r ,x,)u{x"}u(x. .+-).

3" Encsda nte aloo seúinecta eelige npunto sedete|mina l alor,endichopunto,de a expresión

untn uo t*n- l+un ,x o2+.. .+arx2+atx+ao.

La solucióneráa uniónde nte alos, emireclasconjuntosnipuntu¿les

para1os uales l valor de a expresión smenoro igualquec€ro

Seprocedee gual oma paraos esranteslnbolos edesigualüd> . > y <.

1l 3 3 I r 22 11 3 3 l1 I It '1 1 t r 'J r ' i 4 '1 ' 4 ' i ' ( , o r) l )

r Eje¡cicio 15AI aplicar a reglade Rufiini con r i, secomeruebaueel resto scero.Además, e ¿eucnúneros umplen ue llcubo sm¿yorogualque udoblemenos ucuadrado?

14 1



Soluclón. l llamar a ese úmero, l e¡runciadoeescribeomo x'> 2x x".

AI agruparodos os énninos un adode ¿ ¡lesigu¿ldade rieoe t 12 :', O. S.

rcsuelvea ecuaciónsociadaestarccuación, 3+ x2 2x = 0 .

De*3+*2 2* = 0,set ienequex2+ x 2)x - 0.Luego,x:0Deestaúltima ecuacjón esegundo radosecalcü]ael discriminante

b2 4a" = 12 4.r .(-2) = 9>0,y lasdossoluciorcsde a €cuación:

yx2 - r+ J9

La rect3 real se diüde en

( @, 2\w {-2\ w ( 2, 0)u {0 } u(0, 1)u {1 } u(1, +m).

Para abersi x3+ *2 2 x espositivoo negativoen cad¿ emi¡recta en cada nreryalo,secligenu¡ püntode cada no d€ellosy sedetelminael valor de a explesión.

como-3€( *,2)y( 3)3+(-3\2-2(-3)<0,x3+x2 2x<0 enrodo(ó, 2) .

Coño 1e( 2,0)y( l)3+(-1) ' -2( l)>0, x3+ x2 2x > 0 en odo 2,0).

comoe 0.)y (N'r0' r0.0, x3+x2-2x<0 entodo(0, ) .

Como e (1 ,+@ )y z3*22 2.12¡rO, *t+*'-2"t0enrodo(1,+@).

La solución e ¡l 1 ¡2 2x>0 es 2,0] u tl, +ú). Por o anro, odos osnúmerosecseconjuntoverifican el enünciado.

P-3.7Sistemas e necuacionesolinómicasSi sedeben erificara a vez varias neoraciones, ntonces edicequese ieneun sistema

do necuaciones.a fomra de exFesar el sistemaes análogoa la de expresar isremas e

La solución de un sistema de inecüacioneses la int€rsecciónde lassoluciones ecada necuación el sisiel¡a.

Elerc¡cio 6f lcuddradoeunnúmerosmenorogualque.Jr iplemeno" os. eldoble elnümerc

ulque e e hadirminuido nnesunidade. . mayor ue a, rres uanajpanes eese umeÍolll quese e ha aumentado na unidad¿Cuáles on odos los númerosque cumplen estascondiciones?

16

ot '** 2 = ¡.

Soluclón.Sea ese úneroi 0prirncr¡l u 1o clorurciodovéase l ejercicio 2) secscrib

x2s3x 2ytasegundaivéascclcjeroi0iol0)seescribe2(x-3)>;(x+l) .Elnfrm

verifica mbas esigualdades,sdecir, eriñca l sist€mae necuaciones:

[ 1., , .-t

lz6 :¡ 'J t ' * r it

La solución e a primeranecuacións11, l (véasel ejercicio 2), la solucióD c I l

s€sunda¡ecuación ¡{, +-¡ 1'e"* a "¡ercicio 0). como 1r,21^¿+,+ú) t"1resultaqueel sistema e necuaciones oposee olución.Es deci¡,no existenúmero c l qu.

1- ló"t z '- .

verifiqueel enurciado.

E¡emplo 7

La cadenae d€sig¡aldades<x2! x+2 esuna orma¿le scribir l sistema

1"2 x+zI x->1

La p¡imeú necüacióneescribe 2+x-2<0. Su €cuación sociada'**-2 : 0t 1á t. lor ieneas ol conei . - ' - r"- - , \ \- f L Además.como

para-3€ (-@, 2) set iene 3)2+ . (-3)-2 : 4 >0,

para0€( 2, )set iene02+1.0 2= 2<0,

para e (1 , +ú ) set iene2+ I .3 2 = 10>0,

entoncesa soluciónle a necuación2+x-2 < 0 esel ntervalo eúado 2, 1].

La seguda necüacióniene omo olución lconjunto €, 1) u (1, +ó).

{-----------

Figüra .7

1



L0 solücióndel sistenad€ necuacioneses

. ( ¡ . ) r l .ó 'J , l 2. l IL L.

P- 4Ecuac¡ón ¡necuaciónacionalsi cn unaecuación parecen_expresionesueson raccionesepolinomios.ntoncese

Ejerc¡cio 18

¿Qué úmero e¡ifica ue doble esu nverso lcede n ]esunidadeslnúmero?solución.Al llamar al número, l en ¡ciado eescnbe omo

^ 2 ^2

)\(oc.L¡JrqJc\'0.pue.: roLreDe'enrido i r 0 .A. iprre . .e l rur . ]eroquever i f ique

lr ccuaciónstá n lconjunto {0 } =( ú,0)u(0,+ó).

Alserx+0,podemosmultipl icarlaigualdadporx,quedandox2+3x-2:0,quetiene

r " [n3rn') 2

Estos úmerosracioDaleson osque erifican a ondición elenunciado.

P-4.'1 cuaciónracionalA coniinuacióneneüliz¿mosl nétodode esolucióneunaecuacióna.ion¿l.

Toda ecuación racional se puede cscrjbir cono una ftacción de dospolinomiosgualadacero. sdecir,

I r? 2an ,¡ \

WLas solxciones de esla ecuació¡ son las soluci ones de la ecuaciónpolhómica formada on el nunerador

r) 2 ^a- )\ . . . 'a lx *¿ x ¿o u.

descafandode éstas, qüéllas xe seansoluciones e a ecuación ornada

+b ñ 2x n2+.. .+b2x2+btx+bo

- 0.l

on x +o n lx

Ej€rc¡cio 9?^

t tc* 'ctva aecuación lx ' :0.x- - l

Solución.La liacció n no tiene sentido araaquellos úmerosque anulan | (lcrri irlrr¡,l, fl

¡cci f . para os qu€ cumplenx2 1 = 0, qu e so n xd l : -1 y x¿ 2 - I A\ l t ,Lr ' ' ll

solución e a ecuación el enunciado stá onl€nida n el conjunto

R { 1.1} : ( -4, l )u( 1, 1)u(1,+d,)Para que la fr¿cción se anule, sólo debe ocllnn que el nune¡ad{n $ LL,l, \ 'l

( lc¡omin¿dorno.sípues, *2+x 2:0, cuyas olucioneson

| ¡E ^ l -. ,6\r l

) ) t' ')

Lasolución e a ecuaciónacional s 2,únicamenie.

. lvo¡d:Si la fiacciónpolinómica o esá igualad¿ cero, a ecuación smás iic | (1rcsolver, uessepuedera¡sformarenunapolinómicádirectamente.

Eiemplo02^

P¿-a e\ol\er laecuación :------ l--- : r .seob-crvaquelafraccióoDo' iene'rr 'J,,t ' , ' r ' lxl

aquellosúmerosue umplen 2 1 : 0 , esdecir, d1 - I y xd2:1.

La soluciónde a ecuación el enunciado stá ontenid¿ nel conjunto

R { 1, } = ( ú, l ) t ] ( 1 , 1)u(1 ,+4).

comopara ada lemento dees€ onjunto e iene ue x' 1 + 0, resulta ue epuctl

multiplicar a ecuación or x2- 1 quedandoa gualdad

)- )i \ 2 \ l - \ | 0 . r Lnúmero ueno pertenecel conjxnto onde stánas soluciones.uego, o existe úmcrrealque €rifi ueesaecuaciónncional.

Ejemplo2l

. x2 r lPár¡ csol\era e.uacior

-

-- : - - - i 'e ob:c^¿qu e a primeraracción o

' i . - ¡se¡tidoparax: I y la segundaracción o icne entidopa¡a = l.

La solución e á ecuaciónelenunciadostácontenidanelconjunto

18 1

r i nxqn ., . r , t1 |\tt||tt\



R { 1, 1} = (-6, l)\ ,( t , t)u(l ,r@).

. i . , : , ]h,{: . ' ,ü9acleTenloeese onlunroe ene ue | : r , | . resutraue epuederürl l r t ' l ( (i c a orma iguiente

( r lxx r l )=(x- lxx 3)-+x2-x 2: x2 4x+3+3x = t-r- =:.

I rrcuohúnicasoluciónesI.

P4.2 Inocuac¡ónracional

,\r .1,urrr neclación.¿parecen\presronei ue on fracciooesepot inomio

,r fc r tr ' r \ una necuac¡onacronal_

Elorclclo22, (.).rú úmero erificaqueet dobte e u inverso s mr)or o jguatqueet exceso n rres,,r i (hr( lc\elnúme¡o?

solr rlón. Al llanarx al rúmero, l enunciadoeescribeomo

"¡- ? o \,1 ¿- o o '{ ' l "-: .0

L inecuación o tienesenrido i x : 0 . Asípues,el nrimeroquevedfique a necuación¡rrúcnelconjuntoR-{0}: ( @,0) -r 0,+6).

l¡rraqüeuncocienteeamenor gual ue ero. ¿benótamenteosposibilidades:

s,={ ' ' . r ' , 2: o o s,- ] \2 -r \ 2 n.I x>0 - t x<0

l : lso lucionesdeJ\ 2-0sonr. - ,r f i r "r - ,) f

I r sotr¡cióne r? r Jr 2: 0 e" el ,nrerI /r

'/F

úalo [,--:----j!-. " -v'']. por ranroel

,irrcmae necuacionesr tienelasoluc;on0, -11@1.

l- asoluciónex?+3x 2> 0 esel conju¡ro-,-3

-Jv,ur-ztJi ,

rlnto rsistemae necuaciones2rieneasolución *, ,-fr,.

I-asolución e a necuación¡cional sel conjwto

¡_-, rfrluro, ,*añ1.

t0

+@), po ¡

'A{,oI l inU|c(nrgcncr¡ l iz¡nrosclIr¿t( 'dodcfct i 'Lució¡deun¡ i¡ccu¡c¡ht¡ctrr¡¡1.

l'rr¿r csolvcruna necuacón racionalcomo

0r , ?x .. . ¡ \ ¿t \ a, ,,. f f i 'b,, \ '"

sc csuelvenlpardesistemase necuacionesolinómicas:

| . n 1 ñ-2 2lx +a m 2x +.. .+42¡ iatx

'I

r , ' ' - u" ,. ' b, . : 'n h.r L , , r

l2. la . \ án r\ ' . . . ¿2x arx a I'ó1=1

- | n ¡ l

Ib,\ ' b, r \ ' b, - \ ' - . . . b.\- b \ bu 0

La solución e a necuacióncionales axniónde assolucionese osdos

Ejemplo 3

.2 . , tP¿ra esol\erd necJdcion-_', - , pf inreroede,cana¡oi p., f lo. , , , : , .-

cualesa fracción o ienesertjdo; ospuntos ue¿nulaú l denominador.n este ¡so. ¡

solución e a necuaciónacional stá€n l conjunto ú, 3) u (3. +-). Aconlinuacióo,

Seprocedee gual ormapara os €slantesímbolos edesigualdad .:' y <. si brc|ernibianossignos n1os istemas.

Casosencillos onaquellos ondeosdosmiembrosc a gualdad ondistintos cccfoIistos e o¡respondenon osejemplosigl¡ient€s-

J,, '=u,**o* ' - o.paraodo . R.

x 3<0 > x<3,

(-ú,3)-

( ú, 3) (3, +ó).

r l+3r 2 l .+o.^

"]

= '

2



I ' rn t ¡ I r r r . l ( . l r { r l rn r '1 , | | |L r t l r r r ( . ( r i r | , , i , ,1 | | , r ¡ , r r r l1 | | tc rv,, ( / . .1 )

F¡írl,b 14

l i , r , , r fa, l \ , , l , j' i . . "0. ,^"q.e '¿pr imerar ,¿ccior ¡ , r iener I \ ' lr r l ¡ , l , t rLr¡ r \ r l i r rcg ¡( l ¡ l l . ¡cciónnor icnesen¡ idopara¡ t.

Lr i , , l r r ¡ , r (1. | i | ( f I l f i ( i cs l i r ontcnidanelconjunro

R I t . t |= ( 4. l ) ! ( 1, l )u(1,+ó) .

| , ,1, , , / , , . 1,1.r r( t , .Lt . { r ' . , , t \ .J orra. iJLienre.. :

' l ) : '_ j^. ' \ 2)r r l , { \ t r , \ Jr_n_ r l l o | \ | \ I \ | r \ t ) , \ t , -

",I

r ' r r i rLtL( ' ( )c ic lcscaJn yor o igualacero.numcrador denominadoreben ener trr , f r t ' ¡ | l ' l l , , sr ucs.h¡ y do sposib i l idades:

^ f3x 5<0- f3x 5>0

rr=l , o 5,=l rlx- t<0 - lx ' t>0

I l l ñ , ' l Icón cl s istena e necuacionesr es

5(ú, i l / ¡ ( r , t ) : ( l , t ) .I r sr )Lució cls istemadenecuaciones2es

I , - rt ¡- l ' r l ' ' r l -- ; ' r '

Aslruos, la olución e a ¡ecuaciónacionalcs

s{ r , )u t ; ,+€)

. vr , , Fr e cd.odeinecuacione,no(.1\ ieuen,ut l ip l ic¿rcncn¡, , ,puc. loquepLcdeque\ ' . i , (nr¡ l , ip l ic¿xdop.r rL¡númnonesaf i \o.)esoha..e iret ,ac. igüat¡"a*;b ie.

P-5 Ecuaciones xponenciales logarítmicasScdcfinió apotencia e exponenle nterod€ unnúmero eal,a' con a * 0 -cor¡o

a: L ya :

sicDdonu¡númeronaturaly0'0.Tambiénapotenciadeexponenteracional

I-

co n > 0 cn cl caso c. lucn sc¡ ur núnrcro l t f Asi pt lcs, ucd¡L|r r tuf |o l( r r { Lrr '1r rr l

cxpo¡enlc c¡ l" qu e no l lamamos otencia il o qu esc dcnonr intrx lorrcrr f l r lY |nr | l ' n '1

deiinidapara > 0. Para ualquier úmcro ealn scdeline I^ = I

D€finición. ¿'r"o¿s,¿rd¿Sca a un nírmero ealposilivo (a > 0 ) disrrrrlo lr

uno (a+ 1 ). Paracualquiernúnero real v > 0 exlsrenn núnrcñ) c l t lrrL

Además,sip¿rat>0s az = t,entoncesy' l

La expresióna' se denominae*presránexporcntial del número rc¡l 'l' v $i|.i I fri(

sentido i a> 0. Ademása" > 0.

Definición.¿og¿rfmo. Seana> 0 y az = t . Alnúmero z se e reprcsenlr

mediante log at . quese e e lagdrítno en b^e a del n¿iu¿rc t Ademas.

loga(Y t) = loeay+ logat

Laexpresiónog,t sólotie¡esentidosia>0,a+l,vparaYaloresdetposit i los(t

Eiemplo 25

El valorde a exponencial- es ácil de obtener uando esun número ¡tero p¡lr

! : 3 vale8). Six esun númeroacional ' puede er n númeroüacional par¡x - 0 5

valc^E ). Resultamuydificilens¿renlvalorque omacuandoesun¡úm€roracn a|

De 2n podemosaber¡ue8 < 2¡ < 16,puesto ue3 < ¡ < 4

Ejemplo26

A1¿plicar irectamcntea definición e ieneque ogr00.001 3, logr00,01 : 2

1ogto0,1 1, logto10: l , logr0 100:2,1og101000= 3'1ogro10000 '1

Análogamente,ue1og2 ,125 3, 1og20,25: 2, log20,5: l, log22 = I

log24:2,1og28 = 3,log2 16:4 .

I

",

22

. l r ¡l a r l:t |r1htt,. \ ütn't!¡rrltllr t' k,ktltltttk\t!



l rrrr l , i i l rñ(.lr f l r .( tnc lo80.r l0(10 .t ! t( ' l l r ,r x I

. ll l i , r j | l l1 ( ) ( lc I úrr rc( )es u¡ nújnero.uya paíc eureramdicaet ofdende nayorlr r l f r r l ( l( .1í hxs. quc cs nrcnofqu c eL nxmefo.Es decjr .s i 0<x< 1, 1ogt0x<0, si| \ 10. l r . l , )8 | l rx< | .s i t0<x<100, I<iogtox<2,yasísxcesivamenle.

l\'0lir(l¡dcs dr expon€nci¡l€s

, " ryl

Propiedadese ogaritmos

logal=0yloraa:1

log¡ (a^) = x

log! (y. t ) : logay+ loga

rog"(I) rog"y-rog"t

( ¡ ' ) ' = ar ' - conn€N loga(y"): n. tosa conn€N

I1oc"(15): I loeuy oo.N

1a' ¡P: aP " conpen losa y¡) = p log¡yconp€R

]. ! , { , ¡ . Ur r erp e.rúr ono 2 nor¡ene enridootno .,renct¿.re,toouca.t \^ i l . l ( \ terpr(rrc ione.ee5ta \pre.iónon,l i . t inr¿s

dos

r2( ) | 2 2 b4 ) 2' - 2- .5 t2 .

trmpocoiene entido nexponenciales.ayqueesc.iO;. z*¡2 o 2(*')

Eletcicio27lisconocidana proximacióne os úmerosogto2 = 0,301030,oglo3 0,4i7121

k's 05 0,698970.eie¡mi¡elvalor e os úmerosogto45, togt0144, ogr0 ,24.

24

logl045 = loglo 32 5) = 2 1ogt0 + logt05: 1,653212

log,o144: iogro(22 32) = 2.logr02+2 1og103:1.556102.

^1 .logr0u.24 lou. ,

, lf tog-, : l loÉlo1 2' o.blq 8q

'" l0_

' lr'¿ld.Aunque adabaseefine n ogaritmo istinto eun misno número . sesLrclemplear eferentementeos iposde ogaritmos,os de b¿s€ 0 y los de basc l númcrirracional (número eEuler, 2.7182818284590s23536028't113521 ).Eslosepucdcomprobarmiündo el ecladode unacalcuiadora ientiñca.

Existe nFoblema on anotaoiónara efe¡irse estos os ogarihos.La notació¡ su¡parael ogar¡tmodecinal es a utilizada en este ibro logIox , si embargo n as c¿lcuador¡

está a ecla og pamcalculares¡e ogaritmo.

La notaciór parael /ogd¡ítmoneperiano enbasee), esmas disparpuesexistendistint¡se¡presiones dra epresentarlos:og x geÍer¿lnenteen a ite¡aiuranatemálica, Ln x y l¡ x

en ibros de erito.Las calcüladorasisponen e a ecla n paraesle ogaritmo.

Cambio de logaritmo,De la igualdadutotJ: r, ul tomar ogaflhosneperianos,e ien€ ogat.ln a = ln t, esdecir

NotashiBtórlcasLos ogafirmosuercnntroduc¡dosor el natenáttuo scocés. Napier 155416I7)Etl unasnotasde sus rineros trabajos aparccea tabla

E etla, k^ númens ensralía rcmdno cprcsentanel losatitmo en b^e 2 del núnc )arábisocatespondiente. n 1615el matenáticoH. Briggs 1561-1631)ug¡r¡óNapierqueülara la base 0 para sus logarituos" pue.sto ue el sí.srd1alec¡nal erel queseusabaentonces. apier em?leó 5 dñosen completaruna dbÍa¿e ogariha!en base10. Tobk qüefue¡nmediataúente tilízadacono herranientapor lo! .^tróh.,

solución.omo45 = 9 5=3- 5 .1 .1 ,1r¿ r j . ¡

r ' 2 .r -y0.24- i ; ; - ; .

I II llt IV VI

2 8 18 32

r n .r , nr t r t r r r r



mos, tales cono D.T. Brahe y G.J. Kepler, acostumbrcdos a tntttu ron kx arantlcsdneros de Ia! ¿ist4ncia, interestelares.

P.5.1 Ecuacioñesoxponencialesy logar¡tm cas( n¡ ecudcion n que¿parece ra e\ponencia l e ld incógn a .e .ucle lamarecudcion

f¡ r \ 'nencia l .De fb-na ¡ná og a i ao¿rece n logar iuno e ld incógn a ,e l l¿m¡ecdJciónl , r r . , r ¡ rn ica n ge¡eral anro ¿. ecuacione. rponencia 'esomo as ogdr irmr. soloso nnh,! r l ¡b le. mediantemetodosnumer icos e aoro\ i¿cion. 50lo u¡ DequenoiD o defr , . r . ,o, )e.

-' n 'e.o luble"or merodu\ lsebraicos.qLret t¿.ate.qL edt pt i ¡ar dtsuir¿. l (

l¡rspropied¿dessiguientes sepueden ansfirmar en uná ecuaciónpol'inómici.

Propiedades€ exponenci¡les

(a¡) i = (ar) i conneN

4 = :) ' ( t ' )^ =+ conn€N

^'F:c^ni- t"'f = ")"

Elemplo23

En a ecuación *-2.3x+2+8I = 0 , observamosue esencialm€nre"óloaparece

unaexponencial3x,puestoq, ' .e'=: '?¡*: (¡*) ' ,y: '* ' : :2. : ' : q.3".

Entonces,' 2.3*t2+81 = 0-(3')2 t¡ . : '+8t = 0-T2 l8T+81 :0 ,

¡rlhacera sustitución^ = T . Al resolveraecuación e segxndorado ¡ T se iene naúnica olucióncpetida os eces

* le "0 -|=---._: | '=

Port¡nto, 3' = T>3' : 9.r3'

rpArccc n ogar i t rnoog t, ,x. pt 'cstoqucog' , ,x' - 3 lo gL0 Portrn lo.

log, , ,x l 2 log, , ,x+2:0>3 logt0x 2 logt0 x + 2 : 0 > lo glr ) I2

logtox+2 0+log'ox: zet: ro '?= fr .

Ejemplo30En Ia ecuación 1og'ox log¡¡(x2+x) :0 observanosue htry l( N rr lr lr lr rr

d srintos nose uedeeducir uno. ntentamosstáblecerna gualdad c os¡ 11r('s

3 Jog,ux logro(x2+x):0>log'nx3 log,uix2+x1 = rt'

=log,o*3: logrolx2+x¡>x3 = *2+.=*l *2-t :0.

y, por anto, lproblemauedaeducido esolv€rnaecuaciónoli¡ólnica:

x= 0

" t^ t.Abo¡a ien, i x = O n; * : I

,f. o son olucionese a ecuaciónnicialpues() lu

pame,o.número'ooe'r¿def inido<llos¿rirmouegoa'olucróns - + "

* l * t -r = o>ri tz x 11 o-r .,6

2

lr, i i2

2

Elemplo29

En la ecuación ogro - 2 logl l , + 2 :

2i

observamosque "esencialmcnte"



Tema .Funciones lementalesl)

Lsteema.e edrcalconceptoe u-ncrónundamenralenalem;l ica') n as(reoci¿

npiii¿"J. i!-'iiü J i'iu¡lro de ra' ñ¡¡ciones remeoLnl€s'e rasque anarrzsremo'rs

caracterhticasrepreseotacLon-rarca

l-l Conceptodefunc¡ón

E¡isteunaciertadependenciantrecantidadesadablesquedescribenenómenoslsicos'

:l*r:r;*kfu i,*l'*xrn:l"l'J,x'tri:ii".l'n:.:,:'ió"nli"¿ i r" *¡1.'"¡lico

v l¿ emperarumelcable-, i l ' ", .r . i "" ' , t ' ".o.uácanridadrariablevdependendelosvaloresdeolra\aria

. iii,"J,"lá" .l*. ¿i.¡a' vatia¡les sconociila é orma lamsehabla eu¡a rer¿cr

funcionalentrex eY.

De modo ormalsepuededefiniruna uncióncomoslgue:

",:"ynzu;:"1:n,:,"!:''T*:Xfi: :ljJ'ü;!ff:i,:íru:iíilil;i!,;;ñ;";-i.üi, ¿i

"'ig""n.-,ada remento'A unúDico

i lemenrobeB.;zage¡de¡.quel lamaremosla ) serepresent¿:

f :A+Ba+ (a)=b.

," :"?iTt$l:T:i'ffl,ld,:;fl?l;lT:i:i,l:i:;ilt''T:fli:fly=f(x)=60 x

,*:,;;;2*::"ff"::"w

:Jiffi*;*tr"i:i"xlfribk ndepndknte

"'v"'se't

Una unciónpuede€xpresarseambiéndeotras órmasi

2



.l )\4cdiae un rc\ro. I n¡ de,c1p. ión erh¡ t qu e JerJ. .d , : . t i r . , r JT(nte cor . ! j \L

r" l ( t r "n.r r á\ dos ¿f ables. ' r ,MLdialre raf ica. : a I r t , , rmacróre da ncuis¡reLrnaep e.eruciónen unsrc. . . rn¿eL

' ! r rh l l rc¿sco n descata decLrad¿os ¿tores c dr anabtes

Llomplo1

.l ) r ,1. , .JtümontdLReDRdef inrd¿pdt( \ | \ .e.L¡bendeir idaporq

. | .1 ' , t I I . ' i r ic id l . donr .nro . e lconj ! ¡nron¿tR) ta rgtaq.Leade.err inalasocrararr :a

Nlriü1) ¡ear su cuadrado.obsérvese que f(R) = {f(x). x € R} es e1 conjunto de los, , ,Lr . r ,s redl !_\ osrr \ , ¡ . .co¡ ct cero.cr o e. R ,t 0 q e. Lrro \e ob.ena es Ll1' - i ' I tur rooet conJr to nJt .

l ' í ¡ derenl i ¡arcomple.anref len¿ f i ,c ió¡ c. et coniunro-nr( id l' { , r ¡ . romd \,r ,orec ¿ \ar iabte ndepeidienre. conjunroLnat aorde .om¡ \ator* tavrLr ' r :U. oeperdrenle t¿ eCld ue permir(a\ocia a caddetcmen,o Jt conj nrr i i rc aJ uL{ ( \ t lon ' i rentemaaen D l inal .

,\1.1{ unrodr ospo^.rb le.atorc\oue l¡cJeonar arar iao,erndependen,e.e, lenomina

¡rxr fu o cJmpo e0ennrcrone ¿ uncrón . .anrpoce\ is.en( i¿, ced(notdDo rDomlD.

^ lúr , ru1rode oa¿. s imá;enesc re ana ,cco; ,d" ,, ¡ r ,g, , ¿. '1" r " , " iá, , , 'v ü."ü.

¡ r { r ) .

\¿otas istóricast,apatdhl.lfüNiót|1 e ntro.luc¡.ta l69lpotG. t:t¡. eibn¡z t61tt7t6) parc ¿leno_tdr und cant¡.ldd asocídda a una cu]-va.Atrc.tector .te I 7 I, J. Bernoüitti (t 667 I 718)cons deñ Ia unción como una e\pres óh atgebraícaJo,tnad" po" con"t^tes y po, u,avdr¡able. Ld! ecuaciotles o fórnutas con onsranks y wridbtes apatecieron (tespuésen L. Euler Q707- 178r. En et trabajo rcatizd.lohacia t 734por Eutery A. Cldiruu¡(1713 1765) se encuentrd tanbía ta notatíó,tf(:e) que tadarid seusa enta actudtida.l.Se a sidera que Agustin Lauis C.tuch!, natenátí.o Ílanc¿s nacj.ja en parí! en t789,proJesoren taplestiqiosa Escueld Potit¿cnica de paris,fue el que senró to\ fun.tdüen-tas rigurolas del Cálculo tjlodemo. Cduch), y sus cantempoláneos .fueron quienescamenzafon a tfalar con rLgor conceptos c.,mo e] de itk.ión r tinfte de una litnc¡¿)nque hasta et nometlto habían sido utilizadas lin un sentido totatmente preciso porndteüáticosqnter¡ores. .C.L.Dir¡chtet(1A05-1t59)es abtecióund.lbrn;tacíónmájrísurosa .le las cance?ras .Ie wliabte, linción y colrespolldenc¡a entrc td wriabte¡n.lepend¡enrex r I.t .lepend¡ente! cu.rn¡lo = f(,). Lt eltu.lio .je Dirichtet .lesttlcó Iaretación entre dos .anjunbs ¿e núneros Con et desanotb de td r@/ía de .onjuntosdurante los sislos xIX y XX, se esrabteció ta senerutjzú¿ión .je fundón coüo ;n poespecc! .le ap cationes.

t ln cor¡ ! rn loM dc núnrcn)s r i lcr t ,s lc l l r r ( lopi¡ M

fser i l ) i r¡Drbi¿nom o 'gue:l\ € Z. \ !\ fJ , i , s( ¡Lt,l .

M - lx€Z xcsPaf l .

lo uucse eerM cs el conjuntodetodos os x pertenecien¡esZ ¡dl¿s ,¿ x esp'tf Eslosc hr'¡

i.r gorcral pamconjuotoi delinidospor ünapropiedádP(x)

lil conjüntoC : l(n, n':) n e N) ¡ieline1a unciónque¿sisnaa cadaüúmeronrrurrl, rr'

sucurrhado, (n) : n2.

Iln este elnase estudi¿n lgunasünciones, eiinidase¡ subconjuntos e R con ¡lor'\

'rlfl,que ll¿mamosr".i¿,¡¿.! ealesáe wr¡able leal

Alguas veces a dcpendencia

dichasariables, bien como

Yvdrbbledepencliente:

: f(x), donde x"vendrá descrii.tpor una ecuacron nes la valiable i depenlíente e "y" ld

Ejemplo

x2 4, correspondea Lrnción:R + R, f(x) : x2 I

Eiemplo

La unció¡ (x) : +^,&¿sociaaa¡lanúnerocal ositivou aíz uadradaositiva ¡que, alvoque e indique 0confarioo lo dctemineel contexto e a situaciónlantead

úa¡¿r, 'emo'ie.pre lobre " ' rurrero'eales l Jorn,nroec'ra tu¡ció¡e'á lorn¿'

.olaienre or o' oumerc.eare' ! , )¿'ar lc.udÍadr \ isle c' decir .o' nurnero\( r l( '

positivos el cero. ortanto:Dom(0 = R-!, 101

Para odo subconjürtoC cont€¡ido en el dominio de rura unción se define su imagc

Detinició¡.Dadoel co¡iunroC g Don(1) sedeñne u mag€n(C) comoeI

conjunto:(C) : {fc),x É C} , queobviamentestácontenidon mfJemplo2l-d ünción. : Z + Z, f(x)

0

Detinición.Sedenoninaunción eatde variableeal a toda unción de rrrsubconiunroo vacloA de R, d€nomi¡ado ¿r,¡r;o de la tunción,en L'n

conjuflo B s R , d€nominadaoniunto frnal de la función Par¿ eprese¡trfuna unción tilizaremosanotación:

l lA+Bx+ (x).

:2x asocia cadanúmero nlcroun númeroenlcropar. E

4



l.mplo 5Sfr I hr unciónue cada umeroeal e asociaucuadrado.srudiaremosA) pa¡aos

UrrrcrlcsubconiuntosdeR:

( i, rno N rr lt rgc¡lc rr r irn¡cio( ol)r icrr .l rrLsli lr lr r1r crptcsl(1rr1x

lorr¡ po r icho únrcR).c ic|c:

f ( 3):2( r) ' ] I t9. f ( l ) l ( l) r l-1.

y.¿nálosanlente,(0 ) : t ; r(2):9: l1s) - 51 v l( !4¡) = 13'

Luego, (, \ ) : {1,3,9,19,31.51}

l r ' l lL l

)A { r,0,23} b)A: t 2,21

| ll cxpresión lsebraica e es: f(x) = x'?.

n)si^:

{ I, 0, 2 3} , entonces

c) A : ( 3,2).

-l 2 3

(, 1 0 9

l' r , f tanto,(A ) : {1,0,4,e} : {0,1,4,e\ .h)siA : [ 2, 2] como lcuadradoe odonúmero sposirivo c€ro,

f(A)= {l]x e t 2,2l } = to, l.

()Análosament€,i A : (-3, 2) entonces(A) = {x'?l* € ( 3, 2)} = t0, 9)

orcicio6

I 0ll¿t ldoninio e a mción ue cada úm€roeal easociau nveno .

'lüción.l unico úmeroeal ue o ienenveNoselcero, or anto s ambiénl único

c no iene masenmediantestaunción, sdecir Dom(i) = R- {0} .

Olra orma de verlo, seríaconsi¡lerara erpresiónde a ftnciOn: f¡4 = 1

k)r0,en aexprcsióne resulta l cociente +e no iene entido.

EjemploSLl¡ lorn in io e cualaüicrunción olroomicr .lncione culde\prc\róne' r rnpol i" { " r '

qL ce' rudiarcrnosá. iarde. ' e l cónjur tode o ' nurnero ' e¿lc ' Para l caso e : l r ' " I

rlx) = x2 + 1 , el conjunto Im(t) está b¡mado por todos os númercs ealesm¡yofcs ('

iguales I , ya queel valor de *2 pam x un número eal essienpremavoro gualquc cerrr:

* '>o =*t*1>l-

f l t ) > l .

'l-2 Gráficade una unción

Dada na unción xpresadaedia¡te naecuaciónel ipov : f(x ) ' la gráfica cd ch:

función selconjunto epuntos

elplano,

{(x,y) l y: f (x), x é R} = l(x' f (x)) l x€Rl

Cadd ar eesre oniunroeDrcLenrdnpunro en el plano árte' iano'" r

lr \ : i rl 'indeoenoienrceneleied\.jeaeaUs.s, ' ' adependienreenelejeOYrJdeo-l"r ' r ' ry a cada alor sólo c conespondenúnicopunto.

Figura .l

\i a lora con.r ,1<ramo.l coDjunro e Lodo' os pJnto ' ob enidosde

obrenemososubcoDjunrodcllanoqLcla iúaremJ.r¿t i . o qtutade :

Al sustituir l

orc¡cio7

Sca f:R-)R que asociaa cada número eal el doble de su cuadrado:LcrmíneseA) pamelsubconjunto = { 3, 1,0,2,5,,v4ó} deR.

lución.La exFesión eesta unción s: (x) = 2x2 + LScdeñneel corjunto (A) de a orma sigüienre:

v=(tP1=(xr, f (r ir))

f(A) : {f(a)la A} : {f( 3), (_1), (0), (2),(5), "4ó)

3



.li,liili3l;,?Ílilii,*,,"'' r{ ,R.c ,,¡,.,,¡¡lr.¡ r. ,r -¡". , , , , . p ,@.. usnJIU0üctr \ igu ie l ( . t r r rr :

I tx .yte R' : ] =(x),r€Ri

Ejompto

,,,1,''ttid*"n.* u u*ión f: R+ R, r1x): Jx r ; 1á ráñcaeestaunciónasa or os

-2 -l 0 2 3r(x) 7 -4 -¡ 2 5 8

Elerclcio 0Dib!¡ar ld grálicade la li,mción uc r cadanúmcrt rcLrl c asocisel mis¡ú númcr1) lls sL

Solución. -ista unción pucdeexpresarsc naliticamenteomo ¿ funciónque a cad¡ 1rúnr'rt

rc¡ l r lehacecorr€sponderf ix) ,dondef(x) : x2+x si damos lgunos alorcs a va i r ¡ c

x. cnlonces alculamosos correspondie ntesalores e (x), obtenieDdoa siguientcab ¡:

-3 2 -l 0 I 2 l

2 0 2 ó l2

Esta abla enúmerosepuedenterpretarotno n co¡junto epares rdenadol

(-3,6), 2,2),(-r,0),0,0),(1,2),(2,6),(3,2),

o.ree dibuiJn nel Dlanoom o u¡Loseesle l¿no o\ p.rnlor c '¿ dbla'n:r ' odo' "¡ io,r lte. aie. enumero:e a orma . n rr dibljadoc nel pl5 odeeje'O\ ) o) 'l

rlugarala ráfr ad€ atunción.ilif*fr":ft

'"',:*''*,"tfii+ü.;*il::*É}?:,i'i{ffi

i

Fi g ra 1. 2

n ¡, e iempto ¡rer iord lraf ica,r " " , . . - - . . -ti ciones,¡ue,mo. coí.i;.r;; ;#:;::i::,T,;:iI; ierubffpon', n¿)ondde

Es más ácil tnbajarcon tuncjones recordar uspropiedad€s caracleristicas'conoce u epresentaciónráfic4.

Acontinuación,epresentanasgráficas ealgunas¿ncio selenentales

3

Pr (1,2)

Po= (0, t)



1.3 Funciónonstanté

EJomplol

Lrssrállc¿selastunciones(ri) : I ,

I n srn Innción, cualquierúmeroeal e conespondea mism¿magen,. Sugráfica s||rll lncu ccla orizonlal, ue ora al ejeOY enel punto 0, k.)

g(x):2yh(x.) : ]2

Fieura .5

Si b = 0, entoncesa tunciónafin es ineal Si a =

función coDstánte ue toma el valor b er todo punto x

1.4 Func¡ónineal

L-asfuncioneslinealestienenporecuacióny=ax,cona+0.serepfesentame¡l iantel l l l ¡r cc uen.la ueel.(oefic ienre .e l l¿ma en¿i¿rteeta rccra.orqueonJicionadIrürnacronee\ra. s ecrf. rdea octrn¿crónedrcha.cclason espcrloleje .

l-5 Función fín

Las ünciones ñnesienen or ecuación = ax+b,con a+0 y b+0 Se epresemediante na ectaque iene as siguimt€scaracteislcas:

a) El coefici€ntea" se lañape .liente e a rccta, orque ondicionaa nclinacióne1la, sdecir,mide a nclinación¿on especlo lejeX

b) Al valor "b" se e denomlÍ| ofttenadaenel ofigen,ya que elpuntode cort€con el eje Y

es 0,b) .

Delinición. Las/rr¿¡o'¿s ¿lt¿s son las de la forma I R + R tal que:

f(x) : ax+b, donde y b son númeroseales uese 11amaaen¡lienre

oftlenadaen et ofigen, respectivamente.

0 entoncEsa tuncjón afin esde R y su g¡áfica es una rect

c) corta al ejex enelpuntoll,

o) y pasa oretp'nto (t, a+t).

Esfánclinadahaciaa derechai ¿ > 0, e nclin¿dahacialazquierdai a < 0S a = 0 la ecta shorizontal correspondea gráfica e a unciónnuta.¡logeneral.asgrálicase a unciónineali

-CortaalejeXenelpumo0,0. ) pasaporelpunro(1.a).

- Estánclinadahaciaaderechai a > 0, e nclin¿daaciaa zqüjerdai a < 0

Itafinición. Las uncíonescorsldr¡a son as ñmciones ealesde variable €alcon expresión lgebEica (x) = k, siendo un número eat cüalquiera.'l nrbién eexpresanoÍro y = k

36



EJemplo3

Las unciones(x) = 2x+1yg(x) =;x+2

sonafin€s , por a¡to,sus ráficason

Ll,roasectas. ara ibujarlasólohayquedisponer edospuntos:0,b) y (1 .a+ b). Esdecir

l r l inción pasa or 0, ) y (1.3). nálog¡lnenlc,a irnoiónpor10.2) r . l

Figura .8Eremplo2

si l gráfica e1a unción ineal (x) = 3x se asla& \,erticalmenteosunidadesaciar ihtlscobtienelagálicadelafunciónafing(x):3x+2.Porantotrasladarhaciaanibafs surrar nnún€ropositivo a unciónx)y hacia bajo s umar nnúmero egarivo. Ejercicio 4

ReFesentar assiguienlesirncio¡es

a) (x.)= -x+ I

OhC) ,x- i

b)gG)=3.

d) ( \ ) = :x +;z5Solución.

a) Es una unciónafín conpendiente : -1 , por tantosu gráficaes üna inea ecl

inclinadaa la izqüierda.Como suordenada n el origenes b = 1 coÍa al ejeY en el punl

(0, I ) . Con estos&ros basta onobtener tropunto: I ,0) La figura 1 I muestraag¡áficad

. .2bt | ¿pendien,er a

!.no r nto.ucrafica nnd ineaecra¡cl inada aJereLha

ordena¡lanel origen sb : I . cora al ejeY enel punto 0, r )y pasa or (1 . l)1.

figura I .9muesrraambién3gráficade a tuncióng.

c)Esun3ñrnciónli¡ealconpendiente¿:2,sug¡áfic¿esunallnea¡ectai¡c l i

izquierda.omo suorde,ra& n el origenesb :], -* "r "¡

v *"l

**" (0 ,i)

comoh( 1) :i r t r ( t ) = ..

í ,resul¡al¿snif icadelafigural.9.

f(x) : 4x+lf(x i:4x+1

Figura1.6

3



rlt b - j , por antoorra l ejeY enelpunroft, ) . er *' r" r",ai*t" "=

3,.,

srirlcn suna ectarclinada aderecha.on osp,... (r, fl t fr, fl , * n*a"r!,nplotür agntfica e a uncióni:

Elercicio 5Sabiendoue a ecuación araobteneros grados ahre¡leit, ,y',,a pafir degrados

ec,)tigrddos.x'i.esy :;x

+ 12

a) Indica 1a enperatura en gradoscentígradosde New York un dia en el que sulcmpemtura ngradosFabrenheit sde68.

b) Representasta uncióngráficamente.Soluciór.

a) Sustituyendo l valor de la variable dependientegladosFahre¡leit), y : ó8, e¡ Ia

tL¡nc,ó¡.esulraaecudcioneprimer .ado: a!'

r t: . n.,ot ' i .ndoesraecu¿ción.e

s,<r¡ lr ''briene. '* - - .20 Porunro.latemperaruraengmdoscenrigradoserde20.

b)Porlaelpt€sión,sabemosqueesunallnearecta,quecoíaálejeYenelpunto(0,32)yq

.tueestí nclinada la derecha; upendiente,<, espositiva.Con esros ¿ros, el punto

(5, 41 ,reFesentamosa unción:

1.6 FuncióncuadráticaLas unciooe\e'egundorado ñucione' udd-ráricaton qu€llas€oas ue a ariab

- ".É;1.;;¡;"i .*d;d". e; decú,aquerlase¡nrdas or Lrn olinomio e egurdogrdd"

Definiciótr. Se lama/&r¿ón cuadrática^qu.ella

lte ie¡e comoecuacron;

"

= ¿a2+¡a + c, tlonde ,b y cson úmeroseal€s,ona * 0

Empezaremoson as mássencillas:as del ipo y = ax2 cona unnúrneroeal' a + 0

La 6áfica de este ipo de funcioneses una parábola, cuyo vértice es el or¡gen de

coordJnartas.Cua¡doa > 0 , laparábola stáorientaü haciaaniba(sedicequeesconvexa)

! si a - 0.lapanibolasr;orienradaacia bdjo' 'e ce ue s órrcaval

Elemplo l6| '

;1".¡ 'z^2Y htxr - 4x ? en Lod¿' lrCoosideremos¡s tuncionesl\) :¡\ . I

¿ > 0 . Elaboramosna abladevaloresde as es y obtenemosusgráficas'

Figur¿ i0

Figüra1.9

40 41



Sime!r iaespccroalejeYMá sadelantecrc lnos uca ¡s unc ioncsrr crcrrcrc . rapropied¿de e' larn¿u c 'ones afcs

CuaDdoa>0:

Inagen: osreales ositivos el cero.

- Alcanzan€l valormenor mínimo' enel puntoV : (0,0), lamadov¡d iec'lr

lÍparábola.

Cuandoa<0:

-lm¿gen:os ealer egdr ' \ i

)elcero

Alcanzanel valor mayor máximo' €nel puntoV - (0,0),llamado ¡rrr' I tlt ll

Parábola.

Ejemplo T

Losvalores e as unciones(x)

n <-0, seobrienen ultiplicandoos

Figura .1

= lf 'uo,='"

valo¡es de l¿ tabla dF1

: 4x2, en asqu e

anleno¡ po¡ L Sus

Ejemplo8

La ordenadae a unción (ri) =

f(x) : x'?, pof lo que a g¡áñcade

unidadesagráficad€ f(x) = x'?

\ -3 sepuede brener.urando d laJc d rr t rr{r

sr\ ) \' I .e obriene á' laddDdo ¿cia 1\ | ''z y l(^)

.¿da un ¿ eel las . . imerr icd erpecrotejcX de agr d ica ue iene.u nirmo. ef icrenre

iJlls'#f:,::*ü::.iil:+'mprore rrrsónime*rü;iüuriii":irii,,p"iil;i:j:.i:

. L¿s ca¡acterlsticasenerates e ias fi¡nciones = u*2, pu.u cuatquier ¡tor del

Figura1 13

. La parábola : t2+k ,e obrienensladando eficalmente unidadesa parÍbol

y = *t . s i k t 0 un"rlacións acia iba,ysik<0,haciaabajo lvértic€e anucparábolaeráV=(0,k) y suejedesimetiaelejeY.

42

- Domir io:el conjunro e odoso. numero. edl . ".

l tt t t t rrrh\ t,thúLr

l



Elomplo'19

| | srúficadea unción (x) : (x + 2)2 seobtiene esplazandounidades a zquierda

|lr l! L' lunción : x2 y l¿ ¡le g(4 = (* r)' kasladándolaunidad 1¿ erecha. npcoertl|.i hacenos n a ünción (x)€l cambio evariable + (x + a), éste or€spondeü n r s aciónd€ ¿gráficade(x) "a" unidades 1¿zquierda.

Figüra .14

. Lapa¡ábolay: (x h)2 seobtienerasladandoorizontalmenreunidadesaparábola

y"2.

Si h t 0, lu t urlación sa la derecha, si h< 0, a la úquier¡l¿. l véfice de anLrcvapaníbolasV = (h,0)y suejedesinetría s1a ecta : h.

. I'or írliimo epresentaremosa funcióngeneral e segundo rado:y : ax2+br+c,tscndoa, by c números eales a distintode cero.

Para epres€ntarsta unción senecesita onocer uv&lice queseencuentra n elpuntode/h L

trh.cFa, I ; I . Un a ezconseeuid¿adb.c,.a elpunLo.u.rirulendon a rlnción.2

sc obtien* ordenada el vérticequees:yv :+

Esta unción tiene comográficaxna parábolacuyo eje de sjmetríaesparaleloal eje deordenadas,jeY, y está rientadaacia ffiba i a > 0 y hacia bajo i a< 0.

. Las DroDiedades e as funciones flrádníticas son as siguientes:

- Dom(O R.

Lospurtos uyas bscisason assolucionese a ecoaciónx2+ bx + c - 0

'o n orpunrosecore on leje ' Lcrospuedenerdos núoningunó,egur ls igno eldiscrimindnteedicha cuaciol

- Cortá l ejeY enelpunto 0, c).

t-tssimelric¿re'pecro¡leldrecrar, -

l .norLanrosrb0.lz

funciónessimétrica especto l ejeY, esdecir,espar.

- Si a> 0 se erifica ue m(0 - tyv, +@),alcanz3uvalormenornel

vérricexv, yv).

-Sia<0 se erif icaue m( o - (-@,yvl,alcanzasuvalormavorene

v&tice x,, yJ.

Ejemplo20Vanosa epresentara unción uadrática = 2x2+ 8x+4

Sedebehallarprimero as coodenadas el vérticev = (xv, vv) |

b8"\ 2a 2(2)

Yv = f(-2) = 2( 2) 2+t¿( 2r+4 : 4

Considerandoue a patábola ssimétricaespecto e a rectax : - 2,

44

I cnn l l l | I | 11,||' \ | In | l|,k]||' \ | 1 r r! r t" ' +,



Ilrln con valoresmayores ue 2 (valores a derecba e 2) :

I 0 1

2 1

l\¡fsimetriaseobtie¡e los valoresa a zqtrierda:

-3 4 -5

v -2 4 14

Itct)rcsenlandostos untos n osejes artesianosreniendo n cuentaa formade a

'ftdl)ola,esult¡ agl:áficaiguienle,n aque epu€denbservariaspropiedadesnunciadas

oficnr¡dl h ci,r rritrr: licnc LrnníniN) cl] ( 2.

- lil coclicicntc de grado cer¡ c - l. nos drceque la

(0, ).

t onro r Jr\cr i rninanrcb' 4r . ) e' : (4 '4l l ) l l l

- Es imétricacspectoe arecta = -2

b) Comoa unción es a opuestae (g(x) : f(x)) 'parc(lcsrrs 'xr' r ' rr1rr ' ¡!trr

justanenteasconlrariase :- El v&ticeestá nelPunto:

b 'l - Y' =-( 2) 2 4( 2) l I 2cD= -' '

- Tiene nnáximoen(-2, 1

- La curva orta l ejeY enelpunto 0, 3)

- Comoel discriminanteigue jendo: +¡t - +¡ t¡1 li :'1. mavor ueccR). r) rr l

ejeX cn dospuntos.

| .. irnér-icaespecroJed ecLa 2

Flemoi orrDrobadoue as Lncrone' ienen nd'ef ie

de propiedade' omu r ' |' ( rr "

queno5 ¿ci l , r ;n.uconócimienro orel lo anre'de eguir co n rl estudio f . l ¡- t rr r ' r ' '

é lementale' .nel igure¡,e p¿{ádo ro 'ocJparemorc¿lguna'dc \a s0roprca¡JL'

'l 7 ProDiedadese as unc¡ones

En esta ección l¿sificaremosas unciones tendiendoaigunas ropiedadesolrl)lc!Así ntroduciremos,ntreotras, asciases e uncionesositivas n€gatrvas,recrcrrlcdecr€cientes.pares mpa¡es.

En c¿oitulos osterioresstudiafemososclases uy npodantes e uncionescnlii (lt¡surrciirnesreies. ue on asuncionesontinuasvlasuncioneserivables.

1-7.1Función ositiva negat¡va

Definición.

- Se dicequeuna unción ; R + R espori¡lrd cuandof(x) 0 'para odo

x€Dom(o.

- Sediceqüe es ¿s¡¡1.¡d'xnte osittua cvando(\) > 0 ,para odox € Dom(D'

. NolarLa grálica euna ünciórposjtiva ueda i€mpreor encima elejeOx deabscis¡

curvacod¿rr l ¡c Y rrr (l l r I r l ' ,

: 4 ! mayor uccf r l ' . . (rrrr rr li

Figwa1.16

:lercicio21llstudiarinh¿cera ráfica,lasaracteristicase asunciones:

a) (x) = x'?+4x + 3 b) s(x) = x': 4x 3i0lüción.

n) La tuncióq f estádefinidapor un poliromio de segundo rado.por ranto sugráficáesIn¡r arábola.lós oeficieDtesosproporcionana siguientenlomacióndeetla: -

- Er vérriceestáen el pu¡ro: de abcisax" =*= ,h:

2 y de ordenada

t,=(-2)2+4(2)+3:-1 .

- El coeficiente el émino de segundo ndo a = I > 0, nos ndicaque a cu a €stá

t6 4

crr l l¡rmadoemiplmo uperior.



Detinición.

- Se lamanuncionesnegarlr¿r a aquellas unciones queverifican f(x) s 0,para ada eDon(o.

- Sedice que es ¿rtrcrdl, enrenegattuacnando(x) < 0 ,para odo x ÉDom(t.

Elemplo22

| ¡r J igum l' . qe re\enranna uncionue \posiu\¿.er o o .rric¡amenreosirira.v ¡ ' r i r uncron ueesesÍrcfaneoteegat iva.

EJeñplo 23

¡) f(x) : x'?es na unción ositiva.

b) f(x) : - I xa esun¿ imción negativa,dehecho,esestricramenteegativa.

c) f(x) : 3x noeslripositiva inegaliva.

| -7.2Monotonade una unción:crecim ento decrecim6ntoI IJ tuncion R-+R5ediceque<:monóron¿c'ecieoresi,cuandoetvato,deta\ariable

\.r(ce.enronce,el\alordea imcióni )Lambienrece nrenninosm.ácprecisoj:

Ejemplo 24

La función (x) = 2x 1 es estdctameniercciente la tuncióne(x)

estrictamenteeff eciente:

Figura .18

Ejercicio25Estudiar i 1assiguientes¡ncionesson monótoDas recienteso decr€cientes n st

Definición.

- Una función teal f es nanótondctec¡ente t p^tz xttxz,

f(x, < f lxr).

- Se djce qu€ f es estrict¿mente onótona reciente i crtando

entonces (x1) < tlxr).

De manera náloga:

- Una función real I es nonótona de.rcciette si pda xt3 x2 sc

f(xr) > (xr)

- Diremos que f es ¿sr¡t¿lanente monótona .lecreciez¡¿ cuando dc x I

deduce u€ f(xr) > f(x2).

l8

t n x r r r | t r^twn '



r ' ) t (x) = x+l

Sol ( lón.

b) l ' r ( \ ) =-=- c)lr(x)=xrr l

¡r) . lunción r esestrictamenrereciente.a quepa¡acualque¡ arde núneros tesüilorrr iolal€squext<x2,severif icaqxenr+l<x2+t,esdeci¡ ,1(xr)<fr(xr) .(ver la

!rLir l.nn a igura .19).

l ') | . , unci, ,n2 e. c.B-icramenteecrccien¡e

,¡n . ¿ esigua,dadema'.iene),., ,^, L:;:l;1:3;iTlllljl',]il]j5

A(lcnrás.a inlci()n¡ clenkrrnoclpunlo 0.0) se equc oes rccienleidccfccrcr

vr uuccncualquicr nlorno imétrico edichopunro,a unción sestricta¡]cnleccrcqcrrlirsu zquicrdacslrictamentcrecieniesuderechá

1.7.3Extr€mos elativos:máx¡mos m¡nimos

Una unción alcanza nrnáximo elalivo,especlivament€ínimo clativo' ncl purrll

(lc bscisa cüando lrededordestepunto,sdeci¡, nun nrervaloa h, a+ h) con h:'0 'losv¿loresuealcanzaa unción on enores.espectivam€nteavores, ue (a

Définición,- Un¿ tnción f alc¿¡zaunm¡jlrimo elatbo en el pnntode abscisa si existeu¡

entomoreduci¡lode a, de fonna que flx) < f(a) para odos os puntos n de

dicho ntomoeducido.U¡a tunción alca¡zaün

"rnino rclativo eí el .ntiro deabscisa si existeun

entornoeducido eb, de olmaque (x) > f(b.) para odosos puntos{ de

dichoentomo educido.

||||l|'|() úmero,la esigualdademaüriene.)xi - 1 < 5x2

.r,r \ + nr, ,os e tr Ltr im¿ e. igualdade obriene uel,( x,) < f ;(xr) . Verlagráf icaenlaf igu|a1. l9.

r ( s) = 26>2: f3(1).

üs múgeneseiene3( )

No es ¡¡onórona decfeciente ya que 1

= 2<J: f3(2) .

l el nultipticar or]

atos

5x r I 5x,- I-3- >

l- ' es decir'

< 2, y sin emba¡go,on

r) l-! linción fj no esmonóronarecienrea quc!por ejempro,J < I y, sin embargo,

Fi$ü l . l9

I'studiandoa gráfica e a unción13 del ejercicio nre¡io¡,3(x) : x2 + I , sepuedeIcciarqueesesr'icr¿ial€úféecrecjenten el intervaro 6, 0) y estriclamenrerccierteenInleñ¡alo0,+ú).

I

Definición.t-)nentono red¿¿tdo e a esun ntervaLoa- b,á+ h) con h > 0

que ehemos uiiado lpunto : a!o seá a h, a) u (a, a+ h).

Figwa1.20

Soluclón.



rrclclo 26i,( ¡ólcs onosexlremoselarivose asiguienteunción?

I igura1.21

lr0lón.Lagráfica eestaünciónndica ue oseeres xtremoselatrvos:Alcanza ínimoselat ivosn ospunros0.5,1)y(1.5,1).

' Alcanzaunmáximoelarivo n 0.5,2).

tmplo2TI I limción = ri + I . rcpreseftad¿n asiguienteráfica:

a) La 1l¡nciónno licne ni múximos i mínimos el¿tivos ueslo uees nnr lirrción.strictamentereciententodoR-

b) Estudiandoagfáfica e a unció¡gseobservaue atunción s nonótoÍa reciertc n

€l intervalo ó, 0) y monótona ecrecient€n(Lr,+ ó) .

E¡ cualquier ntomo educido el punto xo = 0 losvalores ue oma a tunciónson

m€nor€sue g(0) = -1. Por anto,en el punto 0, -l) la tuncióng alcanza n máximJ

c) La tunciónh esmonótona ecrecienten elntervalo(-ó, l)

vmonÓtona recrentc rr

(- l, +@).

En cualquierentomo educidodel punto xo - I los valoresque oma a función snr

mayoresueh( l): 4. Por anto, nel pünto -1, 4)lafirnciónhalcanz¿ünminim

La figula siguientemu€sta a gráficade as unciones, g y h:

1-?.4Paridad eunalunción

Definición.Diremos ueuna uDción R ) R esp¿l cuando( x - fl rr'para odo e Domffl.

Segunnuesfa definición,1¿ azón deesta eminologia esque as funcionespotencialc

f(x) - x', conmeN, son uncionesares i,y sólo i,m espa¡

. rvo¿aiNo todas as tncionesp¿res onde est¿oma

Figura1.22\o t¡en€ xtremoselativos.

rclcio 28h lar oseritrenoselativose as unciones

b) g(i) : 2x'?- I

Fisura .23

)r(x):3x 2 c) h(x) : 3x 2+ 6x I

53

lrl t tut , ¿ l . ltn¡tlt t

l-7.5 Acotác¡ón



\crrI nuesrr¿efinición.asñr¡ciones orenciate\r x, _it '¡ l , ru$i. ysOlo r.m es mpar.

Elomplo29l.r luncróne ¡aproporcronatidadnversau<

11r) = : ,esuna unciónmpa¡en udominio €

Olra de aspropiedadesnteresantesn el estudio e as u¡cionesessüa.o¡d.njr. osdcf tsi susgráficas u€dan or debajoo por encimade algun¿ ectapanlelaal ejede abscslrs.

Obviamente, i K esuna cota superiorde , cualqujerotronúmero eal M mayorqucK cslambién na ota uperior e a imción. or anto, iüna unción siá cotadauperionnc¡..tendrá nfinitas cot¿s uperiores..Nol¿rEl símbolo se ee existe' el símboloV selee'palatodo'.

llaman firnciones jr?parespaütodox € Dom(f).

aquellastunciones f rales que

xn, conm€N, son unciones

a cadanrlme¡o eal le asociasu inverso,

R - {0} y sugníficaes:

E¡emplo3'l

L¿ unción (x) = x2+2x 3 está cotadauperiormenteor K : 2 . En efeclo, ¡yque omprobarue f(x) < 2 , Vx € Dom(f) , siendo om(0 = Rl

*2+2x 3 < 2 =>"2

+ 2x 5 < 0 é (x l)2 4s0.

Esta elación € umple ara odonúmeroeal ,yaque (x - l)'?< 0, Vx € R.Luego está cotadauperiomenteor K = 2 y' por anto,K = 2 esuna ota upcri(!

de :.-¡r'oa:Al ser K = 2 ün¿cota superiorde , sepodiahaber ealizadoel estudioaDtcri(¡ ( r I

cualquierotro númeroQ > 2 , y seobtendría lmismo esultado.

Grá{icamente,una función es¿í acotada superio¡mente i se puede trazar unx rc.lrlhorizontalde ¿l ormaque agnificade a tunciónquede iempre ordebajodeésta.

E ercicio 30

coD€nostra¡que aúnica unción queespare inpa¡ a la vezes a funciónconsu¡temente

sol$ión. S€a : R + R una u¡ció¡ pare mpara a vez.Entonces, aracualquierx € R sev(r iñca ue.

|l -x, - ft \ r. porser pai-.

f( x) = f(x) ,porse¡ irnpar.

.Po r anto, (x ) = f( x) = f(x),paratodox€R,dedonderesultaque2f(x):0 y

11 ) = 0 para odox € R. Luego es afunciónconstanre€valorcero_

D€finición. Una tunción se djcequeestáa¿¿¡¿¿ldupet¡omente si ex;stcvlnúmero eal K tal que a imagen e cualqui€r untox del dominiodc I cssiempremenoro güalqueesevalo¡, esdecn,

fes¡i acotadasuperiormenteiysólo si ! K e R f(x) < K, Vx € Dom( ')

Figum1.24

Figura .25

5455

r l n . n n uu t

horizonL¡l . lc .r l ¡rnur quc h gri l icr (l c ¡ l i rrrel i in rrcdc icnrprc )1)r ¡crrnr (l c n¡



Iis decir, i et supremo de una unción es imagen e algúnx0 € Dom(1), K esel

llliil'i::$:'iJ:rf.';:ortanto,

i una uncion,ene n má\imo bsoruto,ste iemp¡e

" "i,,i''lTttli:JT.'iLTl :T:,,1:"'':1.;;,:.J::.:#llr,t:,¿ji',:,n:í.:rtiro*j:,il*::rir';#sj:r"j*:-1,*i,*ml"t';*':li,,,iJíÍ;"li,i"j,ilÍ*- "rienradasaci¿bajo,< 0, ermáximobsorutooincideon a

Obliamente.si L es una cota nteriorde i cu

llllllyÍl;iigul,ir,l,:t;?,;:il:,:;"lT ,,t;:,lf.liflT:x)ff :tsJ";:

Definición,Sea una tunción cotadanferioment€. la náyor de odtrs rr\cotas nferiores e e l1ama'?lDode I y se expresa olno n(l). Si c\isrfxo e Dom(f) tal qüe (xo) : L, siendo = inf(f), sediceque ticnc ,,,,

mininoabsoluroy steminimo bsolütos .

Esdecir, i el nfimoL deuna unción es magen ealgun o € Dom(f), L cs l ¡Lr labsolutoe Por anto, i una tmcióniene nmínnno bsolxto, ste iemprc oi¡.tr|( of,

En el ejemplo ¡ terior,al observar e nuevo a gáfica, sepuedcádvenir lu( i drinferior ás ande e (x)esL = 2;luegoenesiecasoinf(f) :2 ConoL l, l ¡(

al ser (1.) = 2 tenemosxeL = 2 eselmínimo bsolutoe a unción-

Gráficamente,i al raz ar aínea odzontal el nfimo.és1aoca ag!áfica e a lnüúrl'algúnpunto,ntoncesatunciónrieneun ínimo bsoluto.. Nol¿:En ¿sparábola riefladasacia niba a > 0) el¡rinino coincide on ¡ oidlrr

Delinición. Una función se dice que está¿¿o¡d¿la uando esrí acoiada i¡l¡ú)

mente y superiorment€-2 2" + 3 > 2 =. , 2_2 x + 5 >0., (x - l)2+4>0.Ilsta elaciónsecumpiepara odonúme¡oeatx, ya que(x I )2 > 0, Vx € R _

..ücgofestáacotadainferiormentepo¡L: y,porra¡to,L: 2 esunacotanferior e

,r1ll

^1:". i= -2_una cola nferiorde sepodlahaber eaiizadoel estu¿oante¡io,cf¡u rqurer rronumercR <_2 . y seobtendria lmismo esulrado.

Graficamenre.na unción sr a corddanferiormenF,i e pucde rd,,a" na cc ui6

E emplo 32

La unción (x) = xry qu€€omprobar ue

2-2x+3está cotaduofe¡iorm€nteor L = 2

f(x) > -2 , vx € Dom(0.siendo orn(f)= k:. Efectivamente,

Ejemplo 33

Estudiamosa acotacióne afünción x) = sen(x), Vx € R.

La tunción asocia c¿d¿ mero reals seno- n el ema del volunen sc corrrpriique, ara ada úmeroeal . I < sen(x)< 1.

Gráficanente ueuna unciónestéacotada quivale poderdibujarsu gráfica r

5l

Pll"i:.9"-: *" tq" F"cionacorad¿uperiorme¡re.rameno, e od¿sL¡":or¿j l,::T:-s :e

h rlamarpr,zo de . y ,eerpresaomo up1il.i eriü"q:'3ó;i;;;;fñ="i:,::..;:;{":"J.i;i"ó,Tl:;fl,l,i"i'*úxino absoluto esb méD(imobsoluro sK.

Figura -26

DrfinjcióÍ.,Una umión se dicequeesrá , ¿/add nJpnomen!?i exi.Gunümero,ear lar qu e a magen ecuatqüierün,o de tdominio e ei'empreayoro

'gualque

se ator. sdeci¡:t está cotadan€edormenreiy sólo i f L É R f(x) > L, Vx € Dom(f).

F]

llliiljifJ,T:t"f,Í::.1"",""""""y"i"?-;':'l:':*.,ónucoscupasa ¿ndas a



r y,p_,."t".'r_'r,..,"i,"il;;^::iii;iffli."l"iili.Jiil"#i,iiJ| | lc l . : i es lminimo bsoturoe

^n¡iogamente,epuedeomprobarueK = I eselmáximo bsolutoe

1-7.6Périodic¡dadte nafunción

;r,l rriil"l:,:lllüi.;,"i.:'Ér::H:::i#:,:1riili::#;,:i #:il:ffiii:1aLIr nunapta)¿ tol¿rgode ndracxatqxiera.

F jgul¿ 27

,fii:"::;"J,1i"',*ütJ;l#":T:fi".#"i:#*f:r unaarel¡eeepi,e

Cambiandoporx + p acondicióndeeriodicidadeescribe:

r( x+ 2p ) = f(x + p) .Itepiriendolproceso:

fG) = f(x+p) = i(x+2p) =. . . : f (x+¡p),

r I rcuanente, eafirma l¡e i es!ídefinida nx tarnbiéno está nx + n;--"'- -- ' a--

Aúlogamenie, ambiado porx_p en acon¡ticiónepedodicidad,e ienei(x_p) = fG ) y f(x ¡p) = f(x ) .

t

Ejemplo 34

Pa¡¿ ada E R sea x] la 2"rr¡' f,/¡lr, (lc r. cs (lc.lt, cl lrrayor umcro rrlcR) 're

mcnorogualque: [x] :k<rk€7,ykrx!k l .

Lafunción1x ) = x [x] es nal¡nciónctiódicadeeriodopuesx + | | l ' I

f (x+l ) :x+l [x+] l :x+1 txl r :x txl =f(x),pantodoxcn

Lagráfica eestaunción snos¡rada n a i$ra 1.28i

Figura1.28

Pat¿ ibuj resta ráfica €mos ocedido si:e¡ el ntenalo 0, ), [x] = 0 y f(x) ri

en el intervalol ,2) , txl = I y f(x ) : x l ; en el inte alo 12,3). xl = 2 !

f (x ) = x-2;etcétera. nel ntervalo-1,0), tx] = 1 yf(t: x+1;enel inrcrv¡t 2,-1), tx l : -2 y f(x) = x+2,etcétem Y porúltimohemos ibujadoagrátlcr l o?¿ o,/ o sin embarao.smas encil lo mucho i. coro dibujaragrif ic¿ n l i r r r ( r ' "10, )) ' repelir"el¿ibujorrasladándolodderech¿et,/quierdaencad¡Lrodel[1,2), 2,3),erc. 1,0), -2, l ) ,e rc .

Gráica de afuncií)ník)

Ejércicio 5Dibuj r asráficáe a uncióneriódic¿e eriodo definida,am ada € [ 1. ). po

2

solución.Sedibui¡Dnmero,a f t j f ic¿ nel n lenalo - l . l ) , de 'pué' e r¿Jad¿ ld ib r- oderecha izquier , l i n os suce' i \o<nrendlos e onsirLd 'gualal pe- i .do: . Jr ' l ' ''

e tc. , [ -3, -1), I s, 3) ,etc.

tt .29

'3-2 -1 0Figlra

1.8 Func¡onesolinóm¡cas,acionales rracionales

I tr nr I \ thr4r t '1 t \



(ioncralizandolos conceptos e ñ¡nción lineal. affn y cuadrátjcaEr¡rdo seobtienen asuncionespolinómicas:

parau¡ poljnomio de

Definición,Las/¿,rcjo,¿rp¿lrrlr?j.dr son asde aformai

f(x) = a"xn a. ,xn-r+...*a,x*¿0,

oonoea¡, an t,_..,a0 son númeroscalesque se la¡nan nelicienteselpot¡nonioy n esel gra¿odetpotinoni.,.

- Si x E (-ú, 0), la snnerría os r ( l icr .qu ccl crcci¡ r iento s usl¡melr lc l conlr¡r i ' . cs

decir, a funcióD sestrictamentc reciente ¡ crc intervalo.

Conoenx:01atunciónpasadecrecienleadecrecicnle,present¿un¡ráxrnrorclr l

eD(0, 1). Además eel lo esul ta ue m(f) = (-{, l) .

Con esta nformacióD sepuede razar sü representacióngáfica:

l ( r t) .

1..t0

b) h(x) = xa l

,,:..Nll11l * vez vista a derinición e fünciones olinómicas,odemos ecirouelliil:i:?,:tT::?jH,r:""

ncionesorinónicase l,<r" , a"i,i.ari" i 1."áo-y

. | . rs. imcrer isr ica.rmcipatesdeesteipode uncioneson

- Don(l = R.

- Cofanal ejeY enelpunto 0, a(J

- CotanalejeXen,alo s mo!npunros,uyas bcisason assolucionese a

anxn+ao ," ot+. , ,+u,r+uo

- g.- No sonpefiódicas.alvoatunción (x) : 0, vx e R.- SLgralcdsepuede ibujar in te\¿rLaretjpi,, letpapet. sde(ir,como

\ eremosnet em a. so n i,¡c ione5oit inua..

EJemplo 6

lifudiamos a unción(x) = ]{o IDom(o = R.

- Cortes on ose_jesrlaunción orta lejey en (0, 1)

paü buscaroscoÍesconel ejeX,(solvemosaecuación:xo*1 = 0 = xr = ry x2 : t. porranto.corra l ejeX en

l.0) y ( 1,0).

- Pres€ntainetríap¿r,u€ s( x) = -(-x)a+l = -ix¡a+r = 11¡..lilloDos ermire studiarascamcteristicase a uncióDrabajandonicamenteon os'i'rycs osi¡i'ose yaqüearaos esarivosepued¡;¿";üii,i,"rir'if.,i,i"p"jiJii

I-a uncións st¡ictamenteecrccienlen 0,+@) aquesi <x0 <xl ,entonces,

t0

Iaslas

Eiercicio 7Representarlassiguienteslinciones:

i lxo): x; r l : .x i I

a)s(x)= x I

Solución.a) Yaque añlnción del ejemplo 6es a oppestaeg,esdecir:

g(x) -xa-t= ( x4+1)= f(x),

ambasunciones o¡ simétricas Dtre lrespecto l ej€X

Entonces,launción v€rifica:Dom(0=

R; coÍa al ejeY eneipxnto 0' 1)

;co'14

eje X en ospuntos -1,0) y (1, 0); €suna unción ar; es esldctameDteecreciente

( @, .) y estdctamenier€cierte n (0, +ú) ; presenta n mlnimo elativoen el punt

(0, 1) ; I rn( l ) : ( l ,+ú)

Utilizandoestosdatos epresentamosa función g, cuya grálica s€ muestraen a figur1.31.

b)Obseflamosque:h( t : g(x) 2.

Porloque, ara epresenlara unción , basta on raslad¿ragráfica e1a imción do

6

urkhdcs on espectol eje , ensenridoegativo,sdecrr, aciaabajo. xl :2 .x i .1 .



2-

f(x): L-I=

- Dominio:osnúme¡oseales xc€ptoassolucionese a ecuación2_ I = 0;xr=-1 ,x2=1.

l i ldominioesR-{ l , l} .- Corte onel ejeY: f(0) = -6;pünro (0,_6).

-Clorteonel ejeX: buscamosassolucionese aecuación2 5x+ 6 = 0:

5us aractedsticason:

- Dominio:odososnúmerosealesxcepto quellosueanxlarel

;:Til1?Xl"il:':,?:J:1""'lt¿bastauconeso,ver,acuación(x)=0

- Corre onel ejeyr elpunto 0, (0)).

- Cort€ onelejeX:seresuelvea ecuacabscisasdeospuntosso¡"".jfl'",:|tl;,?::::J.€.Dom(t Las

ompto38

Iistudiamosa unciónacionat:

Defirición.-as¿r.Dres ¡acjordl¿r onaqxeltasuya xprcsiónlgebraicasL,n ocienteedospoli¡omios,x) =

ffi,con O(x)+ 0.

Puntosdecorter2,0) Y (3,0)

Ejercicio 39

Estüdiara monotoniae afunción(x) = Ii] ensuaominio.

Solución. ordefinición,esmonótonarecienteipara t < x, ' es (x, ) < f(x2)

La función no esmonótonarecienteaque,porej€mp1o,alaxr = I y x) 0 cl 0 ).s'nembargo. l, -0 I f lOl

Pordefinición,es monótonaecrecienteipara r < xr, entonces(x') > f(xr)

Tampocoa función es ñonótonadecreciente¿ que' para xl = I y x2 - 2

-1<2 yf(-1) = 0<3: f( 2 ;nocumplié¡dose(xL)> f1x2).

Elercic¡o 0

-2!1Dete¡ninarsilatunciónf(x): ^;

' esparoimpff

Solución.sla unciónesradef inidaeDR-t0tesimp¿r.)dque

r(x)= r xl2- l- r lrzr) l \' l \' I f(x), vx € R

Figun 1.32

. rvo¡drSeha vislo en el ejerclcloantenorqueel cocientedeuna unciónpar (x2 + I ) y u

impar x) €s una tunción mpar'Considerandoas funciones ares omoposilivas I

rrrr l ,nt.f\¡,,r ' r¡ ' .r 'LF,,tr\. , \ .ht,.,rr l i , , ls.f,(tI . , i ,1.,.t .t ,ñ \ r l r , , r . f ,r t ( ( , r . ,p . , r )por r ,prrl$¡ i r r r r t r ' ¡ r . I t r r ) f rú (' r ' rfrrrt(\ t , , l | ) .e rr .



. l r r r f ,F , , t , .1r,U.,rd(t,I(,,nesr¿.io tc..or r.J(trrpur -L.¿on¿"¡r,.onG a) "

¡[||r.'!s rellcs. kr0. y n es un nú¡nero ¿rural. stas uncionesie¡e las siguientes

- Sin espary k > 0: Eldominio sR {a ; el econido on os ealesositivos;escrcciente ¿rax < a y decreciente arax > a ;€suna unción,imérrica .pectodc¿ ecra . a.

- Sin csparyk < 0: El dominio sR-{a} ;etrcconido on os eales egarivos;esdec cieneFrd a )crecrenepam .i;e.unatuncionsinéirica espectoe arccta : a.

- Si n es npary k > 0: Eldominio on odosos eales enos y elrecoridoson os ealesnenosel cero;deüecient€ ¡ todosudoninio; sinétricarespectolpunto a,0).

- Sin es mpar k < 0: Eldominio on odosos eales enos y el econidoson os ealesmenos l cero;creciente n rodosudominio;simetricarespecto l punto a,0).

- En odososcasos ohaycoIte onei e.jeXynoson uncionescotadasi

Elomplo42

Para epresentar(x) =

Ipar:r( ](l = ----- =

( X,J

I- -

I2

bastaráe3lizara g¡áfica arax > 0, poes sun' llrtrcrór

fG)

EJemplo4'l

Representanosa unción(x) Ix2

Figura1.34

Ejerclc¡o43

Estüdiara acotación n a tunción: ({) = I'( ' -2)2

solución.ono l <0 y1x-2)2>0vxeR'laftnción(x )= -J t """-o'u'

menorquecero,Vx € R Por antoestrácotada uperiormenteorK = 0

Porolro ado.para alore'de { cercanos x0 - 2 el denominadorx 2rz esun oln'

oróximoa 0 v la funciór tomavaloresnegativosangrand€s omoqueral¡osy! por tanto'ro

iiü ucáu¿" nr"'lo.rnent" v, enconsecuencia,oestáacotáda

E¡ercicio¡14

ReFesentartaunción(x) = --Z--(x- 1) -

Solución.studamo" rimerour aracreri'Úcas'

- Dom(1) R {1} e lm(f) = (0, +ó).

Sugráñc¡es:

64

Figura1.33

6l

.Nocortaalejedeabscisasycotaalejedeordenadasen0,2) .

' Estáacotad¿nferiorm€nte or y : 0 y noFesentani simerría arni impar. Elradicando+2 esposit ivoonulopara>-2,portanto,Dom(O = [-2'+@)



- [s estrictamente¡eciente n (-ó, I ) y eshictameDteecreciente r¡ 1.+@), . Lagráficade atunciónvienedadapor:

Oho tipo de firnciones €lement¿lesson lás inacional€s,lnd€pendientestábajoel signodeun radical:

en las que la variable

Defrnició'¡.Lasllntciores inacionales son aqttellas uy¿exp.esión¿lgebraicapresmta ¡ mdical: ix) - qrGtx).donde {rles una r¡nción olinómica

Lascaracteristicas enerales eestas unciones on:

- Si el ndice del radicalespar,el dominioson os valores ara osqueelradicando spositivoo nulo.

- Si el índicedel adicales mpar,et dominioes odoR.

-La image¡ s0,

+ó).

Eomplo45

L¿fmción fG) =^Áll. Pa¡a ep¡esenra¡la,amosa esru¿liaru dominio y construir

unaabladevalores:

66

Figua 1.35

-z I 0 ). ,7 t4

0 I rt 2 3

Figua 1.36

Eiemplo46

Estudiemosa tunción(x) = 3^f,2+ ¿. ¡t r"r"t

in¿ice el adic¿lmpa¡,Dom(0El radicandosunpolinomio onexponent€sa¡es,s m¿uncióü ar:

0 2 JE 5

',174 U4 2 11ñ 3 3JE

=R

c) h(x.) = d) i(x) = xl + ix 2 4xx2+ 2r, Il



*

Solución.a) La expresiónde la tunción (x) c¿recede sentidocomo númeroreal' cualdo cl

denóminadoi e a ftacciónseanulao si etradicando sun númemnegativo,esdecirp ru os

x € R talquer = 0 otalque::-:=<0

De x2 = 0 seobtienex = 0,ycomo x2¿0 pantodo x € R, setiene ue Jj rr

si x + 2 < 0,esdecir,para<- 2El dominio edefinición e (x)es 2,0) u (0, +ó).

b) La tuncióne(x) no estará efinida arac¿dax € R tal que 2x+3 = 0 o úl qrr'

fi- r10. n,.. '.,,t,u,nadi!

isiónporcero una aíT uadr¡d¿eunnumero esari\"

1De2x'3 0 seob¡ene - - ; .

Paraesolvera necuación.e esuelveae'udcrú

x 2 : 0, cuyasolución sx = 2, y seestudia l signodel adicandoncada nodc ossigui€ntesnt€Nalos:

l< .- t .1- i '2J ) (2. @)

\- 2 2x+32x,+3

' . t - ,_'

xel . ; ,2)

x € (2, +ó)

/ r \1-Ll dominio edefinic iónegtrtes l \ -. t f2 . ó) . Fn

iel

'n lenalorgr

abierto,puesenestepuntoel de4ominador eanulay por t¿nto a variablex nopuedeoma

este alor.En 2 apareceelfado,ya q!¡ex : 2 €sunvalorqueanul¿el numemdotpor antoe

cocieoteii vale ero ra a¿ exrste.

c) La tunciónh(x) no está¿lefinidaaracadax€R lal que x3+3x2 4x<0 Par

6

EJ€rclcio 7

l)ibujar agáficade a unción:(x) = ,/i+2+3.

lolución.La gÍíficade est¡ unciónes a mismaque a del ejenplo44, g(x)f¡$ladada erticalmenre unidades aciaaffiba:

Élorc¡cio¡t8l{aliá¡ el dominiode definiciónde assiguientesuncionesealesale a¡iable eat:

=^E+2, r,

t8

Figura .18

a) f(, = rJb)s{x¡=

J2x+ -

r(¡¡orvcfsl anecuacióne esuelveni€ialmenreaecuación:r+3x2 4x:0.



xr+3x2 4x = x(x2+3x 4) -0>(x2+31-4 = 6¡5" =

ricg|rdarncnteeestudiael igno ex(x + 4Xx - t ),puestoque

x3+3rz-o* = x(x+4Xx- l ) ,. | ' k) sntcrvalos ( @, 4) (_ 4, 0) (0 ,1)y(r ,+{) .

{ )hscrvamosque(x) =^,&G+4nx_ D

xt x2x(x+a)(x r)(x+4)(x-2)

x(x

x€ ( 4,0)

xe(0,1)

x € (1 ,2) + + +

x € (2,+ó)

l)l)

1;

l-9 Func¡ones ef¡nidas trozosAl trabaiarcon funcionesen aplicaciones oncretas, vecesa funciónno se ajust i rr

tiDo exaúó de hs familias hastt aqul tratadas,sino que tienen distintas brmas scsÚrre

iite¡valo enqueseanalicea ftnciónaesteeselcaso e as tnciones deñnidas rozos:

Defirictón. U¡a ññción defrnida d r/ozor €s aquella cuyo dominio esládividido en ntervalosdisjuntos,de ormaqueen cada ¡tervalo la tunciónviencdadaDorexDresionesatemáticasistintas

o tal qüe

Para ibuiar ds ñtncionesefiDidas troTos ndremos ue €presem¿r¿da rr 'n l¡oane.de aí queesLá ompueshenrendon cue¡ta.además ue

"óloiene clid\'/ f r

'i¡tervaLo nelqueesdndefi idas

Eldominio €definiciónde(x) es 0, 1] u (2, +ó)

Elemplo49

Dibujamosa$áfica de a tuncióndeñnidaenel ntervalo [0' 7] de a siguienteoma:

Ilos¡ 0 \ ' '

- 3si2sx 4' '" ' ] o . i *=r.o

lo" ia<*srLa función toma únicamenteuatro alores.Si 0<x<2, entoncesx) vale 0,

2 < x < 4 , entoncesx) vale3, si 4 < x < 6, entonces(x) vale 4v si 6 s x s 7 entonces(x

llldoniniodedefinición eh(x)es 4, 0l u t r, rar.

d) La ftnción i(x) no esri defmidapara x€R tal que x2+2¡ 8 = 6xl 3x2-4x ^x, I 2x-8| osvalores ueanulanaldenominadoron:

í'x¿+2x-8 = 0-x =L

tporranro! 2+2x B: (x+axx_2).

t -Paraesolvera ¡ecuaciónen€mos,elanterior pa¡tado,ue

x3+3x2_4x= x(x+axx_ l) .

seesrudraersienodetradicandodeá u¡ciónrr,. r", -up -

,.

7

^1 x(x+axx-l)"{Gl?n-ir¡

^€(4.0)

x€(u,1)

f0

vllc0. pu€deomar ualquieralorporgrande u€ ca Por anto a unc¡ón oestó cotado

como f(x) > 0 v f(0) = 0, sedene u€L = 0 esel mínimo bsolutoe l



Elomplo50Lafunciónvalorabsotu!o.).1 - t\1. sigúacadaúmeroeatétmjsmosiesposirrvo,

Fu puesrores e8ari!o.uexpresrón¡alirjcaomoiúción fozoss:

Y sugláficaes:

{x)={xsix>ot -x s i x<0

ilorcic¡o 5lEstudia¡laacotación la existencia eexrrernos bsolutos n atunción: f(x) = lxl .

iolución.Hemos isloenel ejemplo nterior ueesta unción ssiempremavoro ieualar.ro. orran¡o rraacotadanrenonnenre.inembargo.o esrá coradaluperiórmenrápues

t2

1-10 Operac¡oneson unciones

Dadas os uncioneseales efinidasen€1mismoconjuntoA, A c R :

f:A-t&xJ(x),

g:A-+Rx+s(x),

Delinición.- SeóeñnelaÍunciól|sma + g: A r R, como quélla ue oúa eno{rdrrrrtrl('

xÉAelvalor: f+ sxx) = f(x)+g(x).

- Se deñnelal ncióndífercncta g : A -+ R, comoaquéllaque omacn o¡rdrt

punto éA elvalor: f-gxx) : f(x) g(x).

- Se defii\elafutlciónroducro g:A + R, comoaquélla ue omaencadu

punto€Aelvalor: f gxx) = f(x) g(x)

- se deñnelatunciótlcocíen¡",¡-

n-"¿i*t" (N ¡x¡ = p, paraodo

x ÉA,siendo(x) + 0.

Elercrcro ¿

Dadasas tuncioneseales e van¿blecal fiG) = 2x2-3x v f2(x) = 2x

calculara exFesión €cad¿ nade assiguientesuncioneselvalorqueoman nx= I

b) (fr ftG)

¡f . ro f " lc)¡2 -

Solución.Se ustituyeadaunción orsuexpleslónseopela

a)(fr+frxx) = fr(x)+ f2(x)= (2x '? 3x)+(2x 1):2x2 x-1

(fr + f2xl) = 0, elvalorde a tunción uma nx = I s€obtiene lsustituir n

a) (fr + fr)G)

c) (f r fr(x)

expresióna x Por .

b)( f r f r ) (x ) = fr( ) t ) - f2 (x .)= (2x' : 3x)-(2x l)

( f1 f2)(1) : -2.

= 2x2 5{+ 1

c)( f r . f2 )( ! ) : f r (x ) ' f r (x ) = (2x2-3x) (2x-1) = 4x3-8x2+3x

( f r ' f2)(1) = - l .

reru onw con nc o a

x< 0f - ' t - ' ' l



,'r(t)r.r=l3

=++,*"",,e,esiónnoesváridaparax:,,2

( l ) r ' i= '

observamosqueeldominr"."l)o, *.{} }

EJorclcio3Dadasas irnciones:

t ", ,1*)l"*

t . lt '

Calcular:

4 ¡f, + f2)G)

* to"

i , r* r=f ' *x>o

lx1

c) (fr . fr)(x)

Solución. orser l y f2 funcionesefinidas l'ozos,oprineroquehacemoss raccionar

:l$',*U'i"#,'*"**iones de amismamanera.sdecir, eescribiras irncionese a

- f " , - r s i r o 12* si \_or r rx) 1 \ s i 0. \ - ¡ ¡ f . , , r r - ] 2r s i 0-r I

|-

s i lsx l ; r - r si r<x

,"*::'Í"l:TJ::rif::J,:""fff:::ffi.:HifJil',fffitr'erior,encadazonaderdominio

si x< l

si x> I

b) (fr fr)(r)

d) (3fr 2frxx)

f r ,*2 r , :*¡ . ,a)

f - f2)t rr f , rxr f rrrr - . l x_2\L x+ (x 1) s i

f^r+z**r " i x<oAsipues. f r f2r(x,- 1 lx si 0-\ - l

t 2x I si r1x

x<0

1<x

t1

O (fi .fz)(") : fr(x) fr(x) =

d) (3fr 2ft(x) =

b) (f r f2)(x) f r (x ) l ) (x ) =

lsx

x< 0

l<x

3 si x< 0

si 0<x<lsi l<x

1-10.1 uncióncompuestaAdemásde as operacionesueacabainose deñnir se iene a composición e tocioncs

quese conocede ñ teoria de oniuntos, y que uega un papel mportanteen la teorl¡ d1i¡ncionesevariabte e¿l.sepuededeñnirde a sig¡ri€ntemanera:

Sean, con dominioA, y g tuncio¡estalesqueel recoffido d€ , (A)' se encuentra nc

dominio eg,B.f

A ---> l ( { r B

\\

\ tcg"f\ J

\R

Figur¿ .41

Definición. edefinea con?ort¿lá¿e cong,como a unción of, que oma

en ospuntos eldominio e el valor:g.f(x) : g(f(x))

1xl rs i2x 3+ 2x si

. f : ' ,

+*+

xr=JI x+z

3fr(x) 2f 2

Ejemplo 4

Latunciónh(r):+,!&+- que stá efinidanA

tal que x +"/x+3,

€s la composicióne

= {x€ Bx > 3},esd€cir,:A-+R

las ñrnciones: , f: A _r R:

x -+ x+3

7

g:Rt -+ n ,dondeR+ = { x € & x > 0 . Esdecir, = g.f.

x + +^[

I , , . r rl n l r t ,nkut , t ( t )

Elorcic¡o55

I

r ¡ l



I)adas as funcionesealesde vaiiable ea l f ( r ) =12+1, g(y)=y+1 ylr z - 3z - 2 , detelminarasexpresionese assiguientesuncionesi

l r lg , l i ¡ ' g r f t \ ) ) g -- l | ' tJ .¡ - '

cuyodominio sR-10] puesto ue no está efinida arax = 0 v flx) lrunú l|lc¡rrrrr'1

vülor I que€sdonde oestá efinidag

- ) ') x 2c) gohr\l g rh( \ ) l C{\ ll

; - - t_ I * I.

cuyodorninioesR-11)puestoquesnoestádefinidaparax:1vh(x)dlc¡¡r¡( lvn

_! )

d)h"g, \ r hrg(x,r hl -- : -

-

' t r

cuyo ominio sR- l- 1 puesto uegno está efrnidaamx = -1.

e) roh(\) (h( \ l ) n\ 2¡ ---L(x r l '

cuyodomido esR {2} puesto ue no está efinid¿ arax = 0 v h(¡) alcanTal v¡lor 0

para\:2.

I I 2Y 2r )h.( \ ) h l (x)r ' ht , l - 5-2--- - .

cuyodoninio esR- l0] puestoque no estádeñnidaparax = 0

s) os"h(x)f(e(h(x)))(8(n-2)){

-

) =rx+

=*+

\ , i l

cu\odomrnioesR-tl.2lpueiroqueP.noesrádefinrdaparax-lbrxralcan/rclrr l{ |paiar-1.¡ Inoesrádefinidaparal)erb{xJl¡lcarTael\alor0para\ obs¡r\ ' \( rr ' (laerpresrónbrenidanrcamenreo iene"enrido

ara'- 2

f , i l , ,hlhosofix)- hrgrf i ) , ) l r - hig{

-

J) t ] i n, -

' = . t - ' 2)t,"uyodominioesRlOJpuestoquefnoertadefinid¡

I+x¿ l+xr

x = 0 y (x) nunca lcanza l valor l queesdonde o estt defiridag- obseNese uc hexpresión btenida xist€paracualqui€rnúmero éalx

Fr') fog

d) h. fb) foh

e.l gohc) g.f

0 h.cg) fosoh

Solución.

3) f"g(x) = f(C(x)) f(x+l) = (x+t)2+1 - x2+2x+2.b) foh(x)= f(h(x)) = f(3x 2) = (3x-2)2+l = 9x2-t2n+5.c) eof(x)= g(f (x )) = s(x2+ ) = x2+ 1+ I = x2+2.

d) h.f(x) : h(f(x)) = h(x2+ ) : 3(x2+ ) 2 : 3x2+ .e) soh(x) g(h(x)) = s(3x 2) = 3x_2+1 :3x t.0 h.c(x) = h(e(x))= h(x+ 1) - 3(x+ t)_2 - 3x + l .s) ftgoh(x)= f(g(h(x))) : f(g(3x 2) ) = f(3x_2+1) = f(jx_t) =

: (3x l)2+l:9x2 6x+2.

Ejercicio 6Dadasas tnciones

R

I

c) gon

0 h.f

f: R {0} )

a) ftg

d) h.s

g) ftgot'Solüción.

, gr R i - l l +

x_+

b) g.f

e) foh

h) h.s"f.

R

x+ I

h: R -) R

¡ ) f"g,r r f tsr \ ) , (*) -; l\*+r , l

cuyodominioesR l-1, 0) puesroque g no esrádefinidaen I y, g(x) seanulaúnicament€para x = 0 y f no esiá definidapara x: 0. Obsérvese ue la expresión brenidaún canentenoestádefinidaen x = 0 y sin embargo l dominio le a comp;siciónesor¡o.

76

x2' ,

7

I lnau ,r . r tta\

51 4x

Il$n|lhlón,IntcrcamtrunroscY . s r(x)=



LInIn¡rr.rnos./i,r.nj,¡rlc/¡/¡¿¿,¿a tr flnción : R_+R, x+ l(x)=x.f)¡rilrüllf lu¡cnhr o¡t ¿iremos ue ¡iene a función r¿¡¡a f I cuando

tr ' f fr " t

t.

. / tx- l )5-2\_\3)

l+x- l = x.

= ; r11+ 45 x-¡ = (1+V3x 2 1)--2

:3x+2; x(y 3) :Y+2

¡ ' ix) =5.

d) Escribimos=

t+5r6i+z '

despejamosx,y l)5 = 3x+2; * = (Y-D5 2,

rnrercambLamosxe). l l * l= (* l -)5 2

c) Escribimos =

despejamosx, x Y

iúercambiamoseY,

3x+2*t'

Elomplo 7

t.r i¡¡rci(t¡¡vcrsacllx) = x I viene arla or -r : 3^,&.

E orclclo58(hlcolar l¡s lnncionesnversas e assjguienres lrncrones

¡ ¡ l iR -+ Rx J 3x+2

h:R-{ l }

c l ho h = IR {:1 ; h-r .h = Io ,, ,l) io i - r = IR; i - ro i = tR .

fiohrción.Unañrnciónselama i¡nciónnv€rsa e a unción, sedenota or .r , si ve¡ificaq c l-r((x)) = x para uaiquier del dominio e y f( f 1(x)) = x para uatqui€r deltl,rniniode -r . Para oder etermrnara lpre¡n )poruna ue! ariabte ruru.d. d.sp.j,,

^.,flrd;

¡¡)Sustituimosx) por Iavariabley, y = 3x + 2 , despejamos en unciónde a variabley. x = y

r2.

Seguiaamente,nrercambiamosasvanablesxy para brene¡aexpresióne

h |L,nciónnvers¡, itGl) :+ .

b)Escribimos: -l ,despe¡mosx,

78

Ejercicio59Dere¡minarl dominio edefinicióne assiguientesuncionesealesevariableeal:

l x +2b)n(x) =

-----:--i

---r_o: \¿+ l tx b

soluc iót r ,seorocedeaesrudrare ldominiovrendodóodenoec!ádef inrdalañ;]it];;"doi.;;ril. p¿raoscuales:u rpresionnar'trcaareceesenLido or:e' {'

+R{3}

. 3x+2- lr

s:R {41

.. i: R -+

+ R- {0}.5

R

t +s,"4x+z

5x

5¡ 3-

5x:----i

5r I

q io i ' (x) = (rr(x)

= r+5, [ - r ¡ =

i ro(x) = i- '( i(x))

= (tJ3\+2) '-2

3

_3+5

Yx4Y=5'" :+,

7

l0l dor olr)¡r LLn¡ unoión ra{ion¿.I €nsmo¡ qu€ ver psa qÉ núm€rosse anu{a eldottoIrhxdu.

5 z

- Funciohes|inev (x') - ¡tx t o0

=



¡, xr 5x ñ n paraosvakFes- 'F-r r

- : . \ . - l

Llogo. r cxprcción o ien€ G¡ti do ara = 2 o x = 3, €sdscí, el do¡l}i¡rioeg(x)esI l:1, lo rxprcs0doa tra orma @,2) (2,3)u (3 ,+ó )

lrl l'¡tl ¡csolv€' r ecuación xl-6x2+1lx-6 = 0 d€s€ilnpone¡nosl pdnlomioenf¡r tot¡¡ p¡ n o¡rt ¡ro ello. apl cenosh ¡egla ds Rrfñ6.i

I

-5 -3

l)ck)cuol csullaue xl-6x2+llx-6 = (x lxx-2xx 3) y, por o anro, ldcrrrnrl i00do¡snulo ise nula lgunoe os res¡ctorespa m = 10x:2 ox = 3) .l . Ist¡o,ci ominrodeh(r)es I l.2.l l o { @. r . ( t. 2),r(2.. l lL r l . -ór.

l.l I Conc€ptos laye

lrunclón.Esuna elaciónen a cuala cada€lemento el rtominio ecorrespondeunoy sóloun elemento e a imagen.Süeledenotanepor eÍas minúsc! ás ,g,h,... , tambiénpor = f(x).Fünclón erl de rari¡ble real Aquellas ¡ lasqxe tos eteme¡tos ue sefetacronanntre tson úmerosreal€s.Dominio de una función, El conjuntode números eates,x e R, para toscual€siene entido(x) € R.lmlgen de una fünción. | conjunro e vatores üe Lomatr) cuandopertenecel dominiodeGráficsde n¡ rDclón. IconJu¡rodeuDrosdetptanox. l \),.Funcionespoltnómic¿s.Sonde a o¡ma:

ftrt a,rn ao ,r n | , .. . a,: ' -ao.dondean.an1.....a0 R.

Casos aficulares:

-Funcíonesonstantes,(t<): ao.

-Funcíonesineales:(x, = a¡.

l t5 6

6v

80

- es estrictameDteonólonarecienteipara 1< xr, es (xt) < f(x2)

- Funcionesuaúáticas"(x¡ arx2+arx+ao

P/r \Füncionesacionale!.r l -

f f i .conOt r t dis l inrodelpolinomionulo

Funcionesrr¡cion¡les. (x) = 'GG) ,donde (x)es olinómica raciona

Función definida a trozos. Aquella que viere-dada por expr€sioncs

matemáticasistintasdependiendoel ntervalodesu dominio'

Operaciones on unciones.Sean' g: R _) R:

-Función una:(f+ s$x) : f(x) + g(x).

-Función tilerenciatf - exx) = f(r) - g(x)

- Fun, nprcducto:t E)lxI - ftx ' gr$

-Fu,1ciónocteúe:)$r =ffi ,eG) o.

-Funcióú ompuestat"f(x) = g(f(x))

Funciónd€trdd¡d. (x) = x.

Fünciónnversa.-l ycumpletf ' f l trTt - t i

Fünciór positiv¡.

- fes positivacuando (x) > 0 , Vx e Dom(f)

- fes positivaestrictaúente uando(x) > 0'

Vx e D on(1)

: I(x) = x.

Función neg¡tiva.

- f esnegativacuando(x) < 0' Vx € Dom(1)'

- fes neg¿tiva strict¿ment€uando (x) < 0, Vx € Dorn(O

Funciónpar.(x) = f( x),Vx€Dom(f)

Funciónmpár. tx) - - f t ¡, - v\ ( Dom(

Funciotreslmétr¡crs.- fes simétricaespecto l eje OY si fes par'

- f€s simérica especloorigen fes l¡rpar'

Furciónperiódic¡deperiodo . f(x + p) = f(x) , Vx e Dom(O

Funcióúmonótona.

- fes monótonarecienteipara t < x2, es (xr) s f(x2)

- fes monóronaecrecienteiparaxt < x2 eDronces(xl) > f(x2). Probloma



- fes estrictamenre onótona ecrecienteiparaxl < x2, es f(x I ) > f(x2)FuÍción rcotad¡.

- fes acotad¿uperiolmenrei existeK€R tal que ( x) < K , Vx € Dom(f) .- fes acotadanferiomente i exisre € Rtal qüe (x) > L, Vx € Dom(0.

Supremo e una ümión ¡coi¡da süperiormen(e. s a menor e rodas uscotas uDefiores.

l]|Hm

rfe una función acot¡d¿ irfe¡ionr¡ent€. Es amayorde od¿s uscotas

Máximo relativo. Es unputrtoxo tal que f(x) < f(x¡) para o<losospuntosxdeu¡ entomoeducidode0.

Mínimo relativo- Esünpuntoxo tal quef(x) > f(xo) para odos ospuntosxdeunentomo educidode x0 .

Móximo bsoluto, iexis le 0c Dom(Í) ralqueftrol- \uptf, _ K,rediceque tiene uú miximo absoluto estemrüimoabsotuto sK.Mínimo absolulo. fieDeun minjmo bsotuto es¡emi¡imoabsotulo sL, siexis¡,eu ( Dom(0 ralquet\0) - L.siendo - in{l-).

l-12 Autoevaluación

Problema

_Seala firción deñnida or f(x) =[lrrmacrones scorecta?

A) f(A) = (e,4) B) f(A)

2 y A el intervalo ( 3, 2). ¿Cuálde assiguientes

le,4l c) t0 , )

Problema2

El dominio edefinición e atunciónealdevariableeat:h(x) =

es :

. 1-?f

3x+2F=;t+ rr. 6

82

A) R { 1,2,3} B) c) f \ ,2 ,31

Dadasas unciones

Irz+l

r t ( r r=1 -.L^

A) (fr f2)(x) =

(3fr 2fr)(x)

(tr + f2)G) =

vf"lx)

x<s i 0<

sl l

si

2s i

si

x<00<x<1

'1<x

x<00<x

si x< 0

si x> 0

l*, 2. si

Izlz*' q*

- ] , - .| *+

1x22r+

[2xl

I12 x si=1

l * - '0

Sx

scvenrcfl (l(rcx>1

f ( t ) = t2+1,c(Y)

Y+

B)

Probléma,l

Dadas las funciones reales devariable real

h(z) = 32 2 , se erilica ue:

A) h.f(x) = 9x2- l2x+ 5

B) s.h(x) = 3x - r.

c) hog(x)= 3x - 1.

ProblemaSea h tunciónefinidaorg:R tal r R- {0}.

. __l=

¿Cuálde as siguientes firmaciones sverdadera?

A) gno esuna unción nvedible

B) s es nvertible g'(x) =¡a1'Vx€R {a}

| 5+4aC) gesinverl ib le) ' l \ l - : - - - : - . vx ¿0

rtoblama¿Cuálde as siguientes firmaciones sverdadera?

Problema'10I

vr' 2 verifi a:



l) f1*¡ = *2""*'u*ciónnegariva.

D) f(x) = - 1-xa esuna unción egativa.

C) f(x) = 3x esunanmciónpositiva.

,foblomaT

¿,Cuál€ ¿ssiguientes fimacionesesve¡dademJ

A) f(x) = x2+ 1 esuna i¡úciónmonótona €üeciente nR.

B) f l\ ) :- + es na lmció¡monóronarecie¡ree¡ - l l t .

C) f(r) - - -I esutra lmc¡ó¡monólooaecrecientem .

lfqbloma I

Seen las tunciones reáles de

r(x) = 3x- + 6x- 1.Cuálde assiguientes fimacionesesverdadda?

A) f no ierc ni¡griLn xtfemo.D) gtieneun mlnimorelativoeq(0,- 1).C) h tieneun máximo elativo en(- 1,-4).

ttoblemag

Sea la turción e¿ldevariable ealdefinida o¡ (x)lguiemesfrmaciooess erdádera?

A) Esun¿ unción ar9n odosudominio.B) ts u¡atu¡c¡óornpar r ¡ 0.C) No esuna tnción simétrica.

va¡iable eal: f lx) - lx-2. g{x¡ = 2\ ' - | y

=

-j

' vx + 0 ¿Cüálde las

ta

La unción defi idapor t x ) - - ----:-.(x - 2\ -

A) Estáacotada.B) Estáacotada¡feriomente.C) Estáacotada upefio¡mente.

Solucion6del €st

12345678910CABB CBCAB C

t l -t - rt f



I Tema2. Funciones lementalesll)

Isre remdse inic iaco r ld tuncion otencia.ambien lamdda orencial e erponenl

enle|ovfaciona|'A:|. . termil |¿e|eS|Ld.ode1a' fuociore.e|emenlJ|e"algebraoL,cl la i n as qu e as operacionesue hd ) qu eelecluat oo d \dnable ndepenorenreon

; i ; ; ; ; i . , ;¡ '¿ i¡", r" ' , ;ccióo, muir ip c;c 'ón oi\ i ion porenciacióDr¿dicación

A comiruac'on, el e'tudjo de ,4. funcionel no algebraicas llamaJ¿

rr¿'cendenre..e enud'aptimero a tunciór og¿ri lnoneperiano''r l l¿n'ada n honoroe r

naremáricoe"coce.lohn\eper(|<50-lb l- I lnafunciónIienetuncronn\er(a ldruncro

fr,oánincialnaur"l. l¿ qdeiná' tunciore ' e\ponenciale ' osairmica' ) otmt runcione

noiencia'e

defiren¿ D¿rrrde a tuncione' oga' irmo eperrano exponenc rn¿rur¿r su 5fropiedades ededucen e asde estas ltimas.

Por último. 'e ac¿ba l tema rtrod!,ciendo ó tuociore'lrigonomelricas Ha'ü ahora'eha maneiado d, ra,,one, rigonomérncasde drslinlo' ingülo' ) 'e ha probado alguna

iJ.niiouáf'neono.,¿,¡.ac

in este ema'ee'rudia l¿' tuncio e'

"enocoseno t¿nsenre

asi corro sus ecíprocas: secaúe, cosecanle y cotangente S€ tennina con las funciones

inversas:arco seno.arco cosenoy a¡co ¡angefie

2-1 La unciónPotenc¡a

Se llama un, ón porcn. d ú poteartul a cualquiet Llc ón de la lolm¿ lr x r \' srend

" ' un nnmero eal iro.Ll dom,nio, a gr;f ica v ló camcrerisr icase ura tuncron olenc

dependen,ngranmanera, el núnero "a" que iguraen el exponenteTenemospxesi

Definición.Dado n númeroatulaln,la unción :R + R defi¡ida or

fG) = i '= x 'x x . . . x (n veces) '

paracadax € R , se lama unciónpotencia¿ee:rpoentenatural'

. No/dr Una uncjón oliDónica sunacombinacióninealde uncionesotenciasebas

8

l rñ l'

c\t l(nrenLearur¿1.n

5*7 3ra + zr, - +, . r i I r p, ' lr] .Jrnioornado o' sumds difere¡cra(eescataresutripticado{or urciones



IrrcrrLrr. ee\ponele aturat,ambiénlamado, onomros.

. Nr)/r/r estaquemosuexu : I , por o que a unción onsrante(x) = c esel producto(1.,. ofc lmonomioderado .

Delinición.Dadounnúmero arulaln=1,2,...,1a unción :R) R definida

1l

-

- \ ' \ .4 . . . rrn lece\r '

pa€ cada x € R- {0}, se llama unción porencia le exponente ntero

' Noto, ' =;f

=;J;, *"*

""ád€ñnidanelpunro = 0.

En la figüm 2.1 apa¡ecen eFesentadas8

- Sin es mpar sdel ipo

q

2tas tuncrones I( \) : \ , g( * ) = xl

21.1 Propiedadesdelcátcutoconpotenctasl

Propiedsdes.

1. (x.y)' = x'y ' , cualesquieraqueea n ,y € R {0},2€2.

2 .- \ / . \P rr / -P , \ -- 'o.con\.R iot y , , .p ,z

3.- (x ' )P=x" P,conx€Ri0) y z,p€2.

4.- fl c¿rox - 0 habrá ueesrudiartopane uesNOSFpt I DFdividirporU. srelexponenres eg¿rivoas uncioDesoeslánefir idásndicbo unLo

¿"1,2 ráfica e a unciónpotenc¡a e expononte ntero osiÍvoS el exponentespositivo, sdecir, i esu¡ número ahfaln 1 2,3, .. sugiíñcaes:- Si nesparesd€l ipo ,parábola":

l8

En la figura 2.2 aparecen cpr€sentadasas tuncion€s f(x): x3, g(x): x5 v

h(x) = x? .

. A la vistade a grtfica se iene...

- Si 0<x<y entonces <*'.y" t-a unción es,por tanto' un¿ ünción estrictamen

creciente en el inrervalo (0, + ú )

- L¿ tunción no está acotadasuperiormente, s decir, dado cüalquiernturcro real

siempreexistex tal que x' > K .

8f

,,,,l,,,liliü:iT.*tuu"u.ida nRy,comoeren)osús ,¡ctllnro,sunui,ncióno,rtinuan



l l.mplo'll,[ $iguienteiguramuesta a gráfica

f lr tr¡ f l r l rlx ) = x, g(x) = x'?, (x) = x3

de varias tunciones poteniiates de exponente

2.1.3Gráfica e a unc¡ón otencia eexponente nieronegalivoSugráficaesde a forma:

- S nesparesdel ipo

. rrgur¿ .+

En a igura2.4 ehan epresenradoa. uncronesr)- Si nes mpa¡ sdeltipo:

:x-vs(x)=

Figura .3

Figura .4

90 91

Enlafigura2.s e an epr€sentadoas iúclones (x) =*-r v g1*1 *?

. A lavista de agráficase iene..

- Si 0<x<y entonces > xz> yz. La u¡ciónes,por anto, na unción sl clanrcrnt

decrecieDten el nteNalo (0, +@ .

- La uncjón stá cotad¿nferio¡nenre n(0, +ú) pofL = 0'

- La firnciónno estáacbtadauperiormenten dicho ntervalo

- La tunciór no€sLidefinid¿enelpunto x : 0

Ejemplo2'La;iguiente gura .6nuestraagntfica evariasuncionesotencialeseexponenlo

entero€gativo:(x) = *-ryg(*) : . 2.

Dcfinición.Se¿ un número ealpositivo r : P un número acional on

,l| 64 1/ t6 t /9 | /4 rt :l



q

,t,0 ) E iÍeducible ¡ fun ción ue d caddDumero.eaj '(r lc haceq

corresponderr, tomando ara odox la raizpositiva ncaso equeq sea ar,se lamaÍunc¡ón otenciade eryonente acional.

. I.AS resprimeraspropie¿¿des e laspotencias on exponente nterose puedenda para

tr¡cncias¡acionales:

Propied¡desdel cálculo con potenci¡s.Consideramosue z y p son

l .- ( \ ' ) ) \ ' ) .cualerquieraqueiean.) eR - {0} .

2. - x \ ' . -x- ' .conx -R-{0} .'x !

l. - ( \-) : \ - ' . con . € R l0l .

4.- El casox = 0 habniqueestudiarloaparte uesNO SE PUÉDEdividir

por0, y si el exponentesnegativoas unciones o están efinidas ndicho

Laspotenciaseexponenteacional ositivo onestriciamenrerecientesn (0,+6)nicntras ue asdee¡ponenteacional eg¿tivoonestrictamenteeüecient€sn 0, +6) .

- las potenci¿seexponenteacional,antoposiiivo omonegarivo, o estrín coradas

- Laspotenciase exponenteacional,antopositivoconroneg¿tivo, stán cotadasillcrio|mente n(0,+a) porser osirivas.

2-2 Función ogar¡tmo eper¡ano

Definición. Se lanrar"ciót1 logaritño nepefianov se designapor lnx a la

firnción definidaen R-! con valorcs en R, qüe tiene las siguientcsp.opiedades:

1. -Cualesquiemue ean , y € R-.sevedfica: n({ v) = ln).+ lnv'

2.- cualesquieraqueean , y € R+, se erifica:n( I ) = hx lnv

3. lne = I . (Véaseanota iguiente)

4.- nl = 0.

s.- nx = lny implican - y

6. lnx esconlinua.Eneltema igoientevercmosl significadoe unción

En el sisuiente spafado s€ inicia el estudiotrascendente¡. nalizairdoen primer lugar la tunciónhonoraNeper.

de las fünciones no algebraicasologaritno neperi¿no,lamadaasi cn

EJemploVamosa representar cdmprobaras

! su entesuncion€sotenci¿les:(x) - xConsnuimosna abla evalores:

propiedadesenunciádasánkrhnrente de 1ast /2 1/2

vstx):x

r(") I /8 I 1 1/3 t /2 \t5 ,,5

^/:.t,(x) 8 l 2 lLBz

Figxra2.7

929

. ry , , td l . , , t ropiedadJl .a.eapareleLniú'r lerurn, . ) \ t rL.Ht . . . t nLL.roe:e. ron, , ( ,unr. r ln ix , . ) . rq, re. omo everá n or t (¡r¿, I ) 4. pre\ \ r ' r ' ( t ( c : u\ t h Lrnc iónuc . , . r .c r¡h. r ' \ ,1. r á: rn( i l a enÚe al¡el 'asJe enen ¿roÚas rcn proo.cdadc. .ue ani¡rer

"c .¿nllrrrr'¡r'¡cs )garítmicas.

.

a) 1132

c) (16)

b) ^,6)

n, lg)' ,81/



\ ! ¡ i . r h Jrr lnic ión. la ¿nrble ndependien, , so.o o-na atorese¿te. o. i r o. . \ aoLer ' l , r ' r , '1h^runrero.ncgari !osnof ienentogari rrnoreat .ponro,etdominiodee.r"tunc ion

fk ll (0. 'ó).

1.0 frlllcade a unción ogaritÍro i€ne a siguiente oma:

soluc ion. P¿ra dl lar . ras magene. .o tunc ion e as rmagenese ) 2 cs converrtn

dcs.omponero. valore'de a ari¿ble en porencia' e 2 ) l ) . po' teno- 'nerte prhl r 'Épropied; ¡ le ' lemenr¿le'e a u¡c ion og¿nmonepera¡o:

a) i ¡32 : In(25) : 5ln2 : 3,4655.

t)1n(,,G):'1or/ '?¡:no: j r ' ¡z :¡ = trnz*tn: l :o 'sess

c) n36 = 1n(2'? 2) = l¡(2 '?) ln(3'z) 2ln2+ 2l¡3 = 3' 5835

d) 1n(8,/81) 1n 8 ln81 l¡(2r) - l¡(31) : 3ln2-41n3 = -2'3151

E¡ercicioResolverossiguientesistemaseecuacionesogarínnicas:

f lny+ n2 = 31nx+21n2 fn1*1* tz ¡ = ztnv.1, .1a) j Dr l

I 2hry:21n2+slnx I lny = ln(x+3)

Solución.a) A1aplicaraspropiedadese os ogaritmos,eescribimosste istemaomo:

I n(2) , h1'r r ¡ ' ) f : r 4x¡I1-1I nlyz¡ t"¡+*s¡ ly ' : +* '

Al despejsr en aprinela ecuación sustituiren a segunda eobtiene:

l4x5=o lx=o4x6-4x5 o >*is(x-r) =o +l

-1lx- l :0 [* : I

Lassolucioneselsistemaeecuacionesolinómicasonx¡ :0,Yt :0 Y x2: 1,Y2:2.

La primera olución €l sistemaolinómico o essolución elsistemaogariünico ue

h0 náes nnúmeroeal.Por anto, asolución elsistemaropuestosx : I'v :2

b) Si sustituimosl iny de a scgundacuación¡ ]aprimera cü5ción ultiplicadaor2

obrenenos:n(x 'z+ 2) - 21n(x 3)

Figura .8

. A k v sta e a gráfica e iene...

' lhra todox > 0 y par¿odon € N secunple, envinud de apropied¿d que:

ln(x-' ) nl¡x.- La unciónn(¡) esesfictament€ecien¡e.- La u¡ción ln(ri) no estáacotada xp€¡iormenie i inferiormente.

{otas h¡stóricasl,¡i paldba logaritño.fue wentadapar elmatenátiu ingtésJohtl Neper(j 5 50- 6I7).:omo nayariac¡ón.íel émino dLgoritno, onbre quedio Muhanned bn Musa,tndtenáticoárubedeprincipiosdel iglo IX, al conjunrodesímbatosrprccedin¡enrosde os cálculo:tnatenári@s. Neperue un al¡ttócturd que, ,a en t591, dio ta teoñdfun lanent4l de os logaritnos. Su obra sobreestandteria pue.leconsideru$econouno cle os ibrcs de üoyor itúluenciaenel cálculoañtuérico trigl)nonétñco.Sebdden a corrcspondencia ntrcunap¡.ogresíó aritnéticay otrugeométrica.

: lerc¡c¡o4Seaf(x): lnx.Tomandocomof(2):0,6931f(3) = l, 0986calcular:

,4 9:

I 'otol lognlitnurrlcrrnupotci I h r(r r l . l ) | |r((r .t)r),dcdonde:

xrr12 (x 3)2 á6x I 0 )x: Propied¡de$.aspropredadesrincrpalele a función ¡ponencial' 'e



¡l r ;,surituycndoenasegundacuación,btenemos= x+ 3 =

t1| ll ! ,üfl 'nr r( r rn(|n¡ od¿armrcost

. t ,

. /v,,/, lrl lirncfi logadtmo eperianoermite €finirunanueva unción,, ;nyersa, ¡ e\

n'||lr(loic trc

acomposicióneambas s a unciónd€nridad.

I.3 LE unciónexponencial atural

slrgúrr sto, asexpresionesxp(x)= e' : y, lny = x son equivatentes.on orasührlflrs,unpunto x,y) p€rtenece agráñca eexpsiy sólo i (y, x) pertenece agniñca

I $lo ignifica ue asgáñcasde expy de n son imétdcasespecroe a ecta =x

- La variable ndependie¡te puede onaf cualquierv¿lor, por ranto et dorniniode est¿ilrc ión s odoR.

- Lavadsble ependiente, = exp x : e^ sólo oma alo¡eseales osirivosaqueel

únrero espositivo. ortanto,l¿magen eesr¿unción sR-.

t6

11

l)ofinición. a unciónexp(x)= h r(x) : e', definida e R a R", inversa(lc 0 irnciónogaritmo eperiano,e enominar¿ió n exponenciatdrurat.

y: exp(x)= e^

deducene asp'opiedadesdea uncionog arlm nepeñ¿o:

t . -""*Y: . ."rt . " . " = i

:._... = ") ' ¿.- -=rye*

5. - "0 = 1 ; "l = e 6.- e": ev implicaque :y .7.- e^ esconti¡ua.En el sigüienteemaestudiarcmosste oncepto'

2.4 Otrasfuncionesogarítmicas, xponencialesy otenciales

2-4.'1 unc¡ónogáritmo n basea

Definicióo. e lama¿,¿ ón ogaritñoenbase > ry sedesignaor oga(x)

a la tuncióndefinidaen R*, con valoresen R, que iene as sigui€ntespropiedades:

1 - Cualesquierauesean os números , y e R- , sevedfical

logs(x Y) = logax+ ogay.

2.- Cual€squienüe eanosnúmeros, v e R-'severifica:

los. ' : I los.(-los,)

l .- los^a= I

4.- loga1 0.

5.- logax= logay mplica ri = Y.

6.- logax escontinüa.Enel capítulosiguiente eremosa continuiüd)

'¡r'o¡d: Se necesitamponer as condicjones:

que seauna función. Obsé¡r'eseambiénque

a> 0 pala ue xistaogJr), Y a+ I Pala ñlnción ogaritmo €perianos a fünció

9i

l (rU[¡ i l rnocbase lnúmero,

Propledrd.Si y = logax entonc€s = a' y tomandoogaritmoseperianos

l\ru,rLrc l , ,uHriU)'r , lLirrnulu rrr úm,i |¡ trrncnr(n 2 rrr) ir l , rd(s.uy IrL rrrr lrr l r l l rt j i ' ;h! i inrcro o- r n0 .Ccncruh/¡nd,,.0rr¡ nr b¿hcuulqrrrcru.' , i r l i r rr 'r l l ipl i f rrrnr r l( ,r ¡ rdft , . , lc abr.( dcl oÉar i r rno.tu(( Lorrs 'd(r

2-4.2 La fu nclón exponenc¡alde báse a



scriene: l¡x = ln(a,) = ylna _ log¿x.lna,

. lnxdrloquesededuce: log¡\ - ¡--.( . ,- l )

L¡r l gura2. 10 muestra agláficade as unciones ogaritmosen distintasbases" araa< ly[>l:

Notacionessualesei ogaritmo.

ln + logaritmo eperiano.

log e logaritmod€cimalo ogarid¡o enbase 0.

loga > logaritmo nbasea.

EJorcic¡ooLQUé ayquehacerl€a un númeropam quesü ogaritño en base10, es decir. su oeadtmodccimal,aumenten2 unidades?Solución. y esel número ¿do, es el núm€ro a ransfoÍnado,ntoDces:

logx = logi+2 5 logx logy:2-)

logl:2,'vy 8l lr ansformar, plicando a definiciónde logaritmo, a ecuac ión r una ecuacióncxponencial,eobtiene

logl =:-

Lo2: I-

{ : too y

Figúa2.10

s8 99

Deffnición. ea > 0 un númeroealpositivoLa funci(jn re rr rr([r rlrrrrulrl

r€alx e asocia xroga eder'omirÉfunciónxp.)z¿,cürl.¿J,/jt' ,v if tlf{lHrrr

por exp"(x) : a..

Propied¡des: aspropiedadesincipales e a unción xponcrrtrr rr^

t.- u'*Y : uo aY 2. - a* r = 9- - : .- a' '" in' l '

:4;

E¡emplo

Dada a firncióneriponencial

imágenese , -2 Y 3,/4.

f ( r \=2:2;

^/ 3l ^.-31

escontinua.Enel siguienteemaestudiarcmossteconceplo.

I,0 . e.- a ' : a.

de basedos, (x) : expr(t : 2" , c¡ lcul¡r¡r¡rrll ¡

| /4 ;

: r ' ', f f : 4. Nol¿r ObséNeseue sen€cesitanponer a condición >0 p¿raque exlsla oSrl

ObséNeseambiénque a exponencial alurales a unciónexponenciale base

. A la horadeestudia¡as uncionesxponenciales,ayqü€distiryuirdos asos.ü i|l e órr¡tel alordea,ya queexisle nadiferenciauy clara ntreas uncionesebasemavor uc 1

unidad,> l ,yaquél las n asqueabases enor ue no, < l.

. Lasgáficasmu€stranuncionesxponencialesn asque eobservanaspropi€d¿dcsLrsedetallan coniinuación:

' l,n lnción exponenci¿llx) = a", dc b¡tsc > | . eH íttict mcnte recie¡t€,mientras

qllc g( ) r ^ . conbase < I , esestrictam€nteccrccicntc.

" Noesló cotadauperiormenreyi 1() stánferiormenrepor = 0.

^p¡rnir eestos lor(sv lus 'ropi('d¡rdcsu Ds ¡ncioncq x¡o cr)ci¡rlcs tr rrÑ rt l

rc Du¡de ibuiar onbastantcrccisiónagrálicn e a unciónix). Anúl('g"rtr orrlcrt{ t(x)'



.

qcmploo

Virllor,rcstudiafasgráficase as unciones:

l ix

J¡(r)

f(x) s* y s(x)= (r/4x

ElomplogI{eprcsentamoslíñcamente as unciones xponenciaiesiguienteslo)f(x): exp2l3(r) y g(x) = exp3/2(x)

Para acer a rcpresentación áfica, seconstruyea siguienteabladevalor€s:

3-)

I1 2 3

t /125 | 25 1/5 I 5 25 t25 625

8 2 1 1/ 2 1/ 4 t/ 8 r / t6

3 1 -1 0 2 3 1

r(x) 2',78 9/ 4 3/2 2/ 3 4/ 9 8 2',7 16/8 1

g(x, 8/27 4/9 3/ 2 9/4 21/8 81/16

100 10

Lasgráficas el€jemplo nterior onsimétricason especto l ejeY lir I¡crr(rrrl lrh

tunciones* y (1/a)* sonsimétricasespectol ejeY. A partirde a gúfictrd! trrrrri! fllnh

esposibleobtenera8nificade a otra.En asigui€nteigula2.13, e ueden ompara¡asgráficas e as uncioncsxporcrrfirrl(!

segúnos valorcsdea.

Ejercicio 0Enun íocrece nalga ue, ebido la contaminac;ónünica,se epmducerrlrn

exponencial.ehaestudiadol crecimientoeunamuesha e I dmz y sehaobscNado c

a1 abo eunmes uárea sde I, 2 dm2 De seguir se itmodecrecimienroxponcncia

a)Escribir aexpresión lgebraica e a unción iempo-área representarla

Figura .12

ñlc a, uta onat anan a e ,

h) ,QIó rc¡rocuprró l cubo e año?

l0krolór.

| | ) Ss¡r cl ctccimienloensual,ntonces= 1,2 I = 0, 2I esdecir,un 20%.

(x) = s(h(x))'SrJ 0,cnronce\frrr | Paralodo\

- Si a > 0,entoncesesc¡eciente



l lulr ion lr lrc0 I cl l iempo úmeses,rcsxlta:I

l l lpr i l rcrmcs.r( l) = l r I i

( ' .N(' . f"rzr

(r .) .(r .1).

|

=

<,r , . f ' . ( , . ] ) ' .1=.1) ' ( ' -N

=(,. i) '

= '.i)'y ,,sr ucesivamenre,aran€ses e btien€:(t) = (t.N': (9' - *o¡n

-202l 'igura2 11

l ') i l ( 2l : erp6(12):8.c l61dm-

5

2-4.3Funclónotencla

eexponenleeal

Definición. Dado un númerorcal a¡bitrario a, la tunción f: (0' +6) J R

definidapor f(x) = xa:"ub',

pu*"uda

númeroÉal x>0, se llama

lunciónporencia. F$ci6n potenciadeexponente )

lisl¡r irnción es la tu¡ció¡ compuesta e

10 2

c(*) : €' y h(x) = alnx. Es decit

10

-Si ¿ < 0 ,entoncesesdecreciente

. En a sigüienieigura epuede¡ or¡pararasgáficasd€estasuncioncslrrrrr¡r llhlirr(rrl

Los valor€s e a razónrigo¡ométricaeno e epiten ada n radianes'or anto'drcll

2-5 Func¡onesrigonométricasFn r enader orumen.sef3, "l'llg."":fiéi?í""x'ii'.t::",s'"'l:1;"t

ánsulos sehaprobado lgunasd€ntrdaoesrg

r'-*:hxlhl""'"1¿t*;'-l:n:';.:n:$9:""1rus:::26.1 Fuñción enoYfunción oseño

Vamos considerarhoraas úncroneseno cose¡o' sdecjr'lasu¡cio¡es rre trl(kr.¡.i" r"i .1"""'

""""sponder,respectivamente'osnúmeroscalessen(x) v cos x)

0<a<l

lemü2, rtttit'kt,1!\enenk (r(ll)

lh$el(,n s Dcriódic¿rc periodo t! BAstrú. )ucli. libui r lLr8rúllcacn un inlcrvalode

Iorrglturl2r,porejcrnploel0,2n)yexbndc ! dcünrésrl i l iT do aperiodicidaddch grálic0 coblicnc orpcriodicdod.



¡,1.2 Clrcunforonclsunldadyrazonestr¡gonométricas

F;güa2 io

P1P= sencr, Pr = cosoYPo Q= tgü

Una olma eficazde entender ómo¿clua a tunciónsen(x)eshacieDdoecorrerelpuntoP

h circunferencia;omoPtP = sen(o) entoncesbseNamosue, uando = ci : 0, la

lürgitud delcaretoPIP es0; conformeOP avanza n sentidocontrarioa as agujasde1 eloj,

c l caleroPP aümenr¿drra lega a Ien"

j -oo" ' s i ' igue alanrando o

x = n: 180"vu€lve ser0;si aúngiramás a ongitud elcatetofeceenvalorabsoluto

fcrocon:ig¡o egati \oues sra or ebajoeleJe X ) laordenadaelpuoLoesegarivasr.uce.i \ rnentebrmemos¿grál lcae á ¡ncrón

"e¡o.Paraa ñrnció¡cosenoepuede acero mismo on a abscisa elpuntoPr , seriamuv

instructivoqu€el ecrorsededicara ealizarexplicitamente slas onstruccion€s

Yaconocemosambiénosvalores xactos esen(x)paladieciséispuntosdel ¡tervalo

|0,2 ) (ver volunen 1, ema3). Los pares rdenadosx, sen(x)) co¡respondjenreson

óstos:

ro.o, ,i ' r i . f),

,¡ ^/J. ,f , . ,zñ Jr

rt. ,* rt, , tn2 "1 2 2'

) . ),

rtt

1''25n

(?4'

" f,,or,f.-), if,7rT .r . l l r I.

Represe¡tandostos untos n un sistenade ejes oordemdos uniendoloson razo

continuo, ospodemos aceruna deadel aspecto e a gáfica de f(x) = sen(!) en el

intcrvalo0,2n) . En caphulos osterioreseveráque a unción eno scontinuaEl resto

104

1)" ),

. D€ las propiedades e a azón rigonométdca eno, si cornode su gráfica'sc <lcdttttqtte

en el inlerv¿lo correspondientea u¡ periodo [ 0' 2 r ) , la tunción verifica:

- Don(f) = R e 'n(1) t-1,11.

E---- i - - r --" i r r : l ( r ¡1 )" ,- " ' "^- -' \ ' ' 2 / - 2 ' - '

. /r lnl- Esdecrec,enten\t. tl

.

- Suvalormáximo s , qüe ealcanzaalax =

- Suvalorminimos I,quesealcanzaparax

- Esuna unción mpar.

EjercicioltConsiderandoa función eno ¡ lodosos Dúmeroseales, enquépuntos lc¡ /

má\imos?Solución. lcanzsmáximos n odosaquellosuntosalesquesu magen s guala l'

decir,queverifican a gualdads€n(x) : I . Son ospu¡tos obtenidos l suma¡ o reslarJ

unmúltiplo e2ir:

' . . , 1Í/2, 3T 2,1t/2'5Í/2'91t/2'

a'3n

-'

Figura .17

1

lirrgcncral,e rata e ospuntos e a orma: =I

+ Zi.n,".n

r.unn,iln".o"nr"r". - Su alormlnimo s 1. qu c colcrnzaar a

- Es ¡nafunciónar.



Defrfició¡. La funcíón coseno,y : cos(x), es aquella que asociaa cada

Sugráfica s:

. Esta unciónverifica enel inlervaloconespondienreun

perlodo[0, 2 n)

- Dom(t) = R eln(f) = | 1,11.

- Escrecieite n(r,2,r).

- Esdeoecienlen(0, n).

- Suvalormárdmo s1,que ealca¡za ara = 0.

106

Figua 2.18

Figura .I9

Ejerc¡cio 12

Compara as ]áfic¿s € as uncion€s*) ='"(x) v g(x) = sen(2x) v co¡rrcsrr

¿,Cuáls€lperiodo e atunción en(2x)?

Solución, econstruye na ablade valores e a funciónsen(2¡) v se epresenrrrr!r!

resultadosnelPlanocartesmno

0 1t/2 3n/4 5n/4 3r/2

s€n(2x) 0 -l

, I

Figura .20

Comparandombas áficas se obsewaque agtáficade a tunción sen(2x)

partir de la g|áfica de sen(x) medianteuna contracciónde ésta a la mitad'

periodo e (x) = sen(2x) es?= i¡.

Ej6rciclo3Considerandoatunción osenontodosos eales' €n ué untos ofa alejeX?

Solnción.Coltaal eje entodos quellosuntos ue erificanaigualdad os(x) : 0 sot

lospuntosobtenidos lsumaro restar)a;

unmúltiplode 7¡

ffi10

I I Scr( r l .ceüaradelo5pu¡.o\oela 'oma:

5n'a ' '

3n ÍÍ3r 21\t ,T

. t_ !scrát jcrsdc y : scñ(kx) e y =

ni t icas e

cos(kx), co n 0<k< I. sorr l l . r r l r t r i l r r | r r r l l

senl r) e \ = tus(\) . \ \ r l ' ( r j ¡ r r ' r t ll



EJorclc¡o 4

l{cprcsenlaa gráfica e f(x) : cos(x+ r.}. ¡;Qué araderisticasisrinras ta unciónÍ(\ ) cos(x) iene sta uevaunción?Solüti¿,o. araepresenrara unción, prevj¿mentee onsrruye¡a abla evalorcs:

Figun 2.21

Comparandostagráficacon a de a tuncióncoseno, e obse a que ¿li'nción (x) = cos(x+n) seobtiene partirde agráficade (x) = cos(x)traslaciónorizontal aciaa zquierda unidades.. V,,J. A prn i r de la5 uncionc, en o ) coseno,mcdja e ndstdcio les.onrrdccione.

, l i ¡ raciooes.epücder breoeras r¿f ic¿. eo-ras urciones

¡ i l ¡hción hor izonl l ldeas v -

sráficade a

. l ,asgráf ic¡scle y: sen(x)+k e y = cos(x)+k se obt ieoennsl i ¡ l r r r l " I r r r | r ! l ' '

h¡c iaardba, i k > 0 ohaciaabaio,s ik<0, lasgráf icasdev= se (x) ' \ ' ! ' ¡ r \ r

. La sgráf icas. le - sen(x+k) ey : cos(r+k) seobt ier lcn1r¡s l r r | l r r iL l ¡'' " l í ' l '

I

l ¡ defecha,si < 0,o ala izquierda,si > 0 ' las gráf icasde : ser i ( I' \ I L' 1 |

2-5.3Funcióntangenteyfunc¡óncotangenteAnálo{¡amente.edefi enas tncionesrMgentecotangede:

Deli tr ición.as íu¿.nn?, naeentr v \a¿neentc qu e \e JJ rtr |r lrerpecrrvamenrepor/g),8 \.naquellasdefinidd\po'

- f r , . , - rs{\r . '-eN,pa¡a*" kn I.conlunnimeroenrtro- cos(x)

- f(x' - corsrx) !9! l I- .1, ar a "kn.conkunoúmeroenre-o sentxl

Las uncionesg y ctgsorl eriódicaseperiodo ¡.

Pamcomprobar sro, asraenerencuenta ue:

senG+n) = sen(x)cos(n)+cos(x)sen(n): se(x) '

Ejemplo 5

. Lasgráñcase y : se¡(kx) e y :conlracciónhorizonlal de las gníñcas de

10 8

cos(kx). con k> l ,

Y=sen(x)ey=

son el resxltado e unacos(x), y su períodoes

senG)

Fig\ttz2.22

(t - cos(n+x)

1

cos(x n. )= cos(x)cos(n)sen(x)scn(n) cos(x)l1rlr cprcsenta¡a unciónangenteamos utitizar sraabla evatores:

n/ 3 lf/2 211/3

Ejercic io 6

RepreseDiar(x) : ts(3x) ¿,Cuálssupe odo?¿Pa¡a uévalores o cstti lclirri(lrlr l



-15

51t /6

Jts ,5 0

Fi&ra2.23

::^T:11*:lr, r.:r:, oe a tnción angente.alcon1ohicimoson aderseno, asta onose¡var r catetop.e en la circu¡te¡encia niara a" ru tgu.u Z.rO;;";#;;";firncióndelángo.

. En a gráfica e a tnción ange¡te epuedenbserva¡as iguienresropiedades:- Esuna unción eriódica eperíodo¡ tg(xl : tg(x+ kn),paratodokenero.. l-sundtunc,,rnquenoe.,a¡lerrnidapararor\at.re,r. j

k,r.pararoaolenre,o.

f -srdominioe( l j r:r. ¡aau:ao enrero],,,,_*-.,o

- n a i"t"-"r" (i ,f) , cor.espon¡rient€unpenodo,a inción tangenres recienre.

No estáacotada,i iercmáxinoni mínimo.- Tienesimetríaespecto e1 rigendecoord€nadas.

Solución.Se onstruyenatabladevalores€esraunción;

0 n/ 12 51r/18 1t 3

tg(3x) 0 I 0 .l1t:.1\er¡¡ll ll l

l lt ll lItc(3"1,e(3.1 I

III

III

El estudioie€siagráficandicaqueesuna unción eriódica eperíodo

tunc,onq. ,enoen¿der ' iapardro"\aroresrit] n*" '"4"1* ' ' ""

Análogamente,agráñca e ¿ unción otangentes:

3

vII

q! l

110 11

lir ltrgrfljel dc la iDoión coraogenteepl¡cdcn t)scrvNrrs siguicnlcs ropicdadcs:l isunrl inc i f i rperiódicadeperjodor:cotg(x)-corg(xrkr).paralodokcnrero.

lsrnl f i rnc iónnodei inidapamlosvalorcs = kr ¡ . para odo entero.

Sr(loñinn)es {kr. paraod o entero} süimagenesR.

0 Í /3 r./2 )n/l 5x/6

) 2

l ) l r '1rc I rcscn(xr lainrc iór ()sc(ur1. e.ons lruycrn¡r¡bl r¿cv lorcs

I



li|l cl inlerlalo (0,n), conespondiente un p€íodo. la tunción cotangentes

Nocsliacolada,i ienemáximo i mínilnc.I icne melrh espectoelorigen ecoordenadas.

Elercic¡o7

l l l l lar las aíces e aecLrac ióne(x) cotg(x) = 0.

soh¡r ión. n ld ecuacioo pare(c¡do. rarone, Lr igonom(r, rcasrsr inra\ e un l r i \mo.'rür lo . por (r'o. se rrau Je escribir a ecudciónde .ormaque ran óto aparelc¿r ra,,ones

, I r \ { ¡mernL¿\ tsu¿le, e e.c ünicoa¡guto.S, aprrca ¿ uuatdnd otg(\ ) :-

y se

fcoscribe a ecuación omo: tg'?1.¡ t = 0. Resolviendo staecuaciónde segundo rado,cuya ncógnitaes tg(x), se obtiene,como únicas aíces, g(xr) = I y tg(x2) = I , o, lo

(tU(e, ^Ti .mo. \ r - : .x;.

Las ot ¡ i , . ,neroD ¿,corresDondi<nrest rnrer\aro

i r ) , . )I a.,olücione,decs,aecJdcionat aoaoR.e,;an:,,

i ! ."" ," .a"r *" .. .

2-5.4Función ecante funcióncosecantelgualnente,edefinenas uncionesecantecosecante:

Definición.Las/rr¿l¿Jussecante cosecante, rJ,eedesignan orrecy ¿o.r¿¿,respectivamente,onaquellasefinidasor,

t .- l(r ) . sec(\ l - .o.(V.

ptra- k,r- _. con unnumernenrero

lrr) co\ectu L,para r-tr,conLunnuneÍoenrerosenLx

I a. uncione..eccosec.onenódica\.eperiodo¡

112 11

t:

i

Figura .26

. En ag¡áfica e a uncióncosecanteepuedenobservaras igrli€ntesropiedadcs:

Esuna unción etiódica eperíodo n radianes:osec(x) = cosec(x+ 2kn) |ün

- Esunstunciónquenoestádefinidapanlosvaloresx:¡ .para odok cntero

- Sudominio€s {kn, paraodo entero,y su magens a, l l . ' ] l l , 'r )/" \ /1,\

I n cada no e o. n,cn l* l ; ty.

;. la unciónote.anre' crecien'e

/ r \ / l i \Lncada nodelos ntervalos

10. : | ) ;2n ld imciónco'cc¿r 'ee'dec"ecr" .

- No esá acotada, in embargo iene extremos elativos:máximo rel¿tilo en el l)trnl(,

- l r - .;. I r ) mhimo rc lar i \oen, ; . | , . r( rr+pondreo e a Jr Pedúdo).

- Tienesimetrí¿especto l origende coodenadas.- No cortaa os ejes.

La gráficade a secantea dibujaremos n el intervalo (0, 2r¡) extendiéndolaaml,i¡rl l,orperiodicidad:

rr r ru u ¡ rw x | "\

scnr(x cos( ) cos(x)l l cos(x)l I sc¡-(x)scn(x l I cos(x)l

sen'?(x)cos(x) cos(x)+ cos2(x) cos2(x)



F gwa2.2,7

. lh Iagráfi ade a unción ecanreepuedenbseñar¿s igujenresrcpiedades:' Es naoncjónperiódicaep eodo2r: sec(x.) sec(x+2k¡),paratodokenterc.

' Esuna unción uenoestá efi¡ida an 1os atores :I

+ kr ,paraodo enrero.

f- l- sudoninio sR l++k,!, paraod o en t l

12. . .,. , ,croJ summcenes 4,-l lut l ,+.).

Enc¿daunodelosnterva."n,9 , (1,") ,r"r**io" *"-,"***i".,".

En a¡ranoie osnterva.,G, 9 , (f, z,') r" *io, *"-te es ecrecienre.

_Noesláacotada,in embargoieneextemos €lalivos:má,rimo elativo n el puntol) y mlnimo elativo n(0, 1). Coffespondie¡teünperíodo)Tienesi¡retría especro tejeOy.\oconaalejeO\yconaaJetcO\ r r0. Jl .

EJercicio8

lls¡ablecefi asiguienlexprcsións nounadentidad:senlt lcostr

I co.[f 'otgttt - Lo'eclrr 'enr\ l

solüción.Se ustiruyeorg(x) y cosec(x)porsus especrivasxpresioüesquivalentes:sen(x)cos(x) cos(x) r -: sen(x)I cos(x) sen(x) sen(x)

11 4

sen(\tr cos(x) l

^nalizandoel numeradorelprnnermienbrode a ecuacióo,esacarcL(ir o rilrri rrr

- ios(\rr\en (\l co' \ \ , .1¡\ \ l( r , r ' I¿ r¿ xprerrolc1 1.

'-

-a"1"

)l | * . r r l l-

' ."*

Sustituyendoa expresi¿nen' ](x)-t po ,

"o" ' i .)

v, nuevamentc.:(rrr! lr rLr" l

común os'?(x) ncl nunerador e a zquierda,csulta:

cosz(),) l l rús(\) l .ott(*)se,,(

")t lcos(It sentx

S mplificandoa expresiónnterior,e oncluyeue € r¿ta euna dcntidad.

2-6 Func¡onestr¡gonométricasnversas

IarturcionesrriÉonométricasinte' 'as.ooimporanre'ynece'¿ia'parJ-ec.,neJ , deun -iá¡puloparirdeL mediciore Lr ' adoiAJ'arecenon re' cncra r r: 'solucloneseecuacroDesrrerencr¿les

Las res uncionesrigonométricasnversas ás omúnmentesadason:arco e¡o. ru'

cosenoyarcoúngee.

2-5.1Función rcoseno

larun.roof: l; ;

,f , l ldefin,daporft\r senrr) e' e ' r icramelrccJrJ ' r '

esconti¡ua transformatichontervalo ne1 1,1]. Tiene, or anto, nañnción nlci\r

f' r quese<lesignaor arcsen y se lama uncióndrct r¿¡¿:

Dennición.Definimosa unción = arcsen(x)comoaq!¡ella n a que es

er arorer nculoarco)"-n*"aa" *t .

I i, i].*r" ** * a .t'-*"

Esto ignificao siguiente:ecir ue es larco eno e equivaledectque cselscndev:

y = atcsen(x)é x: sen(Y).

{ ¡

11

EJompto9

f t1l*f#:."Tilf"ii iili ti,J, :. ,..;.\u',,

u rur r'!4.tnuut

¡

I in lnrcntc.cprcscnlcrnosr l r r r ( ¡ r r r r r r , 'rrnBc¡rlc

2'8.3 Función rco angente

l., runci^n : 4"r"" ,t" '* l t , r , tg , r , c ' . lecienrc l rnrn t t t r r r ' t ' rn



"1: ! I -n

reotada.u unciónnversa -r sedesign¿porrctg se lama uDción rco ¿'?s¿'l''i

Así pues,a tunción icts está efinida n odoR y toma alores n ( 1, 1),t(l*,i'

arcte(x) y siysólosirg(y)= x.

Porserh(x) = tg(x) continua ffeciente fi, i),*n*^"

t'-r(x) = arcts(x)c

también ontinua crecient€ n R.

Las sáficasde h(x) = tg(x) y de hr(x)

- arcts(x) sonsimétricasespecto c l¡

l;:tii;i,fi:,]:J1J#:J:H;::::il:ffi"H:ffjffiu",a idenridad:

rigura .2 82-6,2Función rcocoseno

l. r i tncrons: t0 . r l+ t I . I Idef in idañ^, .I r ' ' , r , l , ' a) . ¡ r .e rer0r i r : ' " - , : . : " ": ' i ' - ,

. , ¡ , (o \ y.ei lar¡a u¡c,ó¡, . " : . i ; ; ; , ' , ' , , "

-y = a¡ccos(x) <+

susgráficasson imét¡icasespecto a ecra

;"::;itl.ffYil:::.¿T;::il:

cos(y).

Eierc¡cio20

Demostrarue a unción rctg(x)

Solución. Hay que demosfarqxe

equivale ts(y) = -x, se ie¡equ€:

Figura .30

prcsenta imetría especto elorigendecoordenada

arctg(-x) = -arctg(x). Ya qu€ arctg( x) : ),g() \ . o lo que s o mismopo r er a ur . o

Definición. efinimosa unción = afctg(x) como quellaenaque escl

valor del ángulo arco)comprendi¡lo* (-

;, ,, cuva tansente s cl

Derinición.efinimo,a uncionl . ,;f:-- - -

er aro¡dernsu,ora¡co,d.i;;,";;,;,; ' ; ;":::::omo aquerran a ue e.to. t cxyocoseooi.rffiHi^:

cos(!

116

Fie]llla .29

11

H[¡entc¡np¡rcg( y) = x.ll¡docir, rctg(x)= -y , oquempticaue,arcrg(-x)= -arctg(x).

llr.clclo2l

2.7 Conc€ptos lave

Funclón otenci¡.(x ) = xuconx>0yaeR.

Función xporcnci¡t. (x) = a" cona> 0 v a+ I



( lcu ar el valorexactod€cadaexpresión, nel int€rvalo 0, 2 ! :

a) arcts(-'5)

c) arcts(cosr)

íol"clón.

r)y = arcts(rtt o -rt =l ))y - a¡ccoslcos(7,!, /4) l)

c) y = arctg(cosn)<> ts(y)

d) y = tglarcsen(1,/2)l y1

b) arccoslcos(77r,/4)l

d) tglarcse.n(1,/2)l

tC(y) = yr = 2n/3,y2= 5Í/3.

cos(y) cos(7,r, /4) :>'y1 = 71t/1,y2= n/4.

= cosn>tg(y) : -) . .>yr = 31f/4,y2 = 7n/4.

= ts(,t/6)= ,lttz,y, = tsls"ts¡ = J1tz. n

Ej.rclclo22Crlcular l valorexacto ecada xFesión, nel nte.valo 0, 27¡ :

a) costarcts(1) l

Soluclón.

o) y : coslarcte(1) l +

D) y =

"*.["-*.(r]l3Í\

Yt : cosl-4J Y, = cosl-4-,_rt2

=rt2

. ' '=*"(T)=-4

.*["-*"(l=

' =*" l I )=4

118

A) 14,4dn'? B) s,gldrn' C¡ 3,4dmz

11 9

Función xponencirl atur¡l' f(x) = e^

Funciónogarftnica.(! ) = log"(x)co n >0' a>0 va + l '

Iunciónloga tmo neperi{no. (x) = ln(x) conx > 0.

Funcion€srigonométric¡s'

- Funcióneno,(x )= sen(x),paratodoxeR

- un, óhú,eno. cos{xl.pararodor R

' seol\)- Fúncrcnonsenrctx ) - rgr\) -

ff iWo*+tn'¡ l '* "

' costx',Pam\ ' kT lkÉz funLiohuIangente{x ) colg(xr - -x l

- -L,p¿¡¿x+t : r+ lykez.costx, Funciónse1nte (x, = sec(x) =

l- lun<ión,oseLane(¡ r cosect\r sei l*). lata

x'kn vkeZ

Futrcionesrigonométric$ nvers¡s'

- Funciónrco eno (x): a¡csen(x) € x=sen(v) '

- Funciónarcocoseno(x) = arccos(x) <+ ! : cos(v)

- Fu ciónarco ansente (x) = arctg(x) <1 x = tg(v).

2-8 Autoevaluación

ProblemaEn ün río cleceun algaque,debidoa Laconta.I¡inación ulmica, sereproducc¿ n$rro

exponencial.Seha estudiado l crecimientode u¡a muestra e I dm- y seha observado rrc

al cabo eunmes u uea sde ,2 dm'. De segujr se itmodecrecimientoxponenci cláreaou€ocuDarál cabode añoserá:

Problema2

Tomando omo n2 =

A) 0,8958

0,6931y ln 3 = 1,0986, t\ralorden(^.G) s:

B) 11,'7911 C) ero

Problema/clrálde as iguientesñrmacionessvedadcra

A) Lagráfica ey : sen(kx), con kl > I , esel resuhadoeuna ontraccióno /orrlrrl

u ¡rgráf icade= sen(x).



Problema

Dadasasg¡áficase as uncionesorencialesa:

A) En a tunción el exponerte,a, esmenorque1B) En a tunciór h etexponente,, esmenorque1C) En a unción etexponente,, esmayor que0.

Problema4Considerandoañmcióncose¡oen odos osnúmeroseales, ortaal ejeX en os punros:a) x =

¡+ ; k¡úneroentero.

B) n/6 + 2kn, k núnero€nrero.C) .. . . l r 2. J¡ 2.Jr 2.J^ 2. s,r i . . . .

120

It ) IJfuncrón) - senrkxr.conl l ' | . es ¡a uncioneriodicaepenoao fr

C) Lagrálicade - sen(kx),conlk > I ,esel esultadoeunadilatacióne ica|dclrl

¿{rf l icade: sen(x).

Problema

¿Cuáld€ as si6rienresafirmacionesespecto e a tunción angente sverd¿dera?

A) Esuna unciónperiódicadeWriodo ,I.

B) Esuna unción lisconiinua ara os valorcs:x =I

+ kr ,paraodok ent€ro

' - o,. 'o r ., i.re.n.sn.) sudoninioesR j; + kn, par¿odok €- t ' -

Problema¿Cu de assiguientesfmaciones s erdadem

. . senlx lcoslx)A I aexpresión"irosr \-:r-: :r i

or r r - cosecr, - cen(' es nr denrda d

B)Lae\pre"ión, 'e,nlx)cq"(¡rorgr\) - cosec(\r-senrxr oesun¿rdent 'ddd.r cost\ l

c) Laerp,e, ion.j11-l l9!!^' .o,g¡r1 co:ec(\r sen,x' e( erdadera'ólopJ ,'L cost\ lciertos aloresdex.

ProblemaSSealaecuació¡:g(x) cotg(x)=0 ¿Cuáldeassiguientesfirmacioness €rdadera

A) No tienesolución.

Br | ¿"olucione"dee.raecuac,onenRson:'i $.**.-r"úmercenlero

12 1

(l) L,0s o ucioneseesla cuaciónn tson x $, vr.z

ProblomaTema3. Límitesde funciones.



Itr cl nrervalo0, 2n 1os osiblesalor€s e aexp*"io' *["**,(N] *tl,

cl .Áy '6tl ñnr f r !$ ir l

Probléma0lhclintervalo0,2n1 os osiblesalorese aexpresiónoslarctg(-t)lson:

5nJ- T C)

^) ÍB) vt

2,5T

J2rt2'2

Soluciones el te¡t

123456789t0BABCACABB C

12212

Gontinuidad

tn e, le enla.e srudianos onceprose rmi te contúüidad ¿ra uncio¡r( ' Jn lct'l f ' r l r r lvar iable eal .De maneraniu i l i !a una unción - l iene or rm' le-L-enn punr"

Duede Droximarse L lantocomo se quiera i se el rge \u l rcrenlementc

bi remoi qu e a i rc ión fesconr i ¡uaen¡cüandoel l rmr leL-en-a 'precFrrrn!.nr(r tr I c\

decif. cuandoal aDroxrmarsea variable al punroa eolonces a tunLron r | (: rfr'{'lrr¡'nn

fla)-

3.'l Limitede unafunción

tnlodo oque.isüeonsrderaremoslncionesealese ariablee¿ lesdecir 'rrrr(n'rr

delnida.e¡ unsubcóniunloeR ) que ománaloresenR

Ejemplo

Co¡rsideremosnicialrnentea fonción {x) = rz cuya gráficaes una pxrrh"hr,'ri

(orr1r(lcl,]üiosalores ex próxinosa 2, observamosqucos torcs c 11x) eaproximan4.lirrcl¡oto.nos proximamosrimero or a zquierda tenenos:

\ - t . t . ' l . l .qq t,qgq, .. . .f(x) : l, 3,6 3,96, 3,996 ... .

csdc! i r . ncs(c .No r¡ umcúr crpror im pofl ¡dcrcchrr lv¡k)r l .

l i r cstccicnrp lo i remos uc a l ¡nción ionc imi lc la lcr¿ l or l izquic( l | isur l I f . r r !l {nr i lca lcra lporaderechagual¿uno qu e alunción ol icnc imi le n I 0 .

Sia y L son númerosreales f esuna uncióD. a expr€sión



I i:(nrlinuaciónosaproximamosof aderechaobrenemosneste aso:

\ l . 2.t . ' .0t . 2.00t .fa\) - q. 4. 4 4.04 4,004 ... .

Observamosue, nanbos asos,osvalores e a unción eaproximanl mismo alor., t .r 'rs4 tsro sigue cürriendoi noc pro\ imamos2 a !ra!e,¿e alores rfe,enresta .

\u.c<ronesnrenore\.neste ¡.odrremosue riste l :mite e i I cuando r iende2 )¡tU( lc l¡mttes .

l jm f(x) : L

* leet el tínite cuando r t¡ende hacia d de Í6) es L, o rambiénf(x) tiend¿ ttu(tn t'thúnh' \

{r :>0

cntonces,rnosaploximamosx : 0 porlaúquierda, orejemplo

EJemplo

Considerenosho¡aa unción(x)

x : l , 0, 1, 0,001 0,0001

{x)-0,0, 0 , 0

cs decir la función se aproriima por La zquierdarprorimdrosa -0por l¿ erecba.br nemos

"j'LI

(,

Figura .3

Esto ignifica ue lx) puede acerseanpróximo L comoquenmos, iemprc ucelija ufi ientementeróximo ea;conmás lecislón:

Definición. Se dice qüe üM flnción f tiende hacia L, o qte tiene par línitc Lcuando x tiende hrcia ay se esüibe

l im f lx) = L,

cuando ¿m cadanúmero eal e>0 eriste un número eal 6>0 iál quc

lf(x) Ll< c, sienpreque0< x al<6.

precisa la proxjúidad deseadaentre f(x) y L. '.lsla proximidad que ha de existir entre x y a para qrc s,l v¿tof 0 y si a co¡tinuación os . La desicualdad (x) - L < ¿desisuald¿des< x al<¡ fij¿n

cünpla (x) L <6 1

(x )r ,0 , I ,0,001 0,0001. ..1,1, I , 1

Figura .2

124 12 5

li mr1x) L l inr l (xiysólosisecumpleni t1 , ( ) : L Y t .

El inite deuna unción enun punto existe es guallosdos ímitesatenles e en ay son guales L.



Paúcad¿€>0existeun6>0talquelf(x) l< s siempreue < x- a <5

Fisura .4

Deffnición. Sedice queuna. uÍció¡:, riendehacia L cüandox riendehaciaapor Ia izquieftla y seesqibe

lim f(x) = L,

cuando aracada€>0 existeun 6>0 tal que f(x) - Ll < e siempre ue0<a x<6.

, Sedice que u¡a f..r.ci'n I trcnd?ha,n I cu¿ndo rieDde racia

^

por ]a

f(x) - Ll < €, siempre ue

lnn f(x) = L,

cuando aracada€>0 existe n 6>0 tal que0<x-a<6.

Deorromodo. riende acia por d ,,quie.da erpefli\ menre.or aderecbacuaDdo\c ¡pro\rmaracid n1a¡reDrendoseenor(re\pecúvamenle,ayor) uea.

. Los ímitespor la izquierday por a derecha e en a se lamar, ím es ateftrles le e a.I

(omo \-a ' - ] " ' 'l\ -a . lacondición0 la-x i .6quefiguraeDl¿defin'cion

I x-¿ 5i x>a

dc ímite quivalequ e e umplaunadeas os ondiciones<a-x<6 , 0<x a<3.Por onsiguiente,e edñca

126

EJemploLn a s ieurenter¿f ica.e bse^aqu e uando trende (. e\ i ' ten n\ rnrrrJ( r h,h rr . d

1 +7 1 ¡o i ra zqurerda- )) . perono coinc idenP' unro. ¿ ln' ión r t n' t {cL l rr ' r ' f"

x = 5.

v(* )

2(,

Ejemplo4

¡) Sea la tunciórconstanteelinida or f(x) = 2, pamcadax € R Enlonccs. rrcualquiernúmeroa, se iene

l imf(x):2,

pues ar scada É>0, se cünple l(x) -2 1 = l2-2 = 0<e, p¿ra odo x€ R v l

condicióne a definición e ilnitese atisfac€oncualquier > 0 que eelijaAsípues.

porejemplo. - l .el igiendoen ¿nicura-'

j. no, lnamo"om¿r ualquier¿lor' l ' r \

digamos = l.(Véasefigura3.ó)

12

tlutemática.

Propiedad€sri lim f(x) = L y

l. - l in (k.f(x)) = k l im f(x)

li m g(x) = M, entonccs,

= k.L,paratodoke R.



l,) La uncióndentidad,(x)

Figu€ 3.6= x , paracsdax € R, verifica i¡n f(x) : a, pd¿ rooo

6 > 0, ta lque r(x) al = lx al < E,siernpreue

si x<0, no ieneímjte uando dende cero

y hnf(x) : l im l= 1

l ir efecro,ar a ád a€>0.exist€unlr r <6.(Bastalomar6 ¿) .

I r-a uncitn aefinidapor (x) ={

Ducs,(

-11

lim f(x) = lin1 (-r) = I

y, sf ,el imite e cu¿ndoriendecero oex ire porq.¡eor imite" areralese en 0 son

d) Sea laf i¡nciónefinidapor(x ) =. 1 1si x<1L x si x> I

ti m f(x)= l irn i= 1 yx+ l r+ l

,"1,t(*)

lü n f(x) = t i¡ lx=tx+ l r+t '

=l

3'2 Cálcutode ímites

tT',,*f.::];#i:;:*i;it'il#,:.f"J9i,l#tr*ff""TilHfi""d""Jf;¿Sif",i"1

rüi#,#ns?:r*i$r;;"3g!jlirii¡xi;*"1d.lFl*":¡¡;!i+#;H12 8

2.- im f+s)(x) - L+M.

3. - il n f-g)(x) = L- M.

4.- n¡ (f . g)(x)= L . M.

s r'-{f t" i=ft,**a"v*o6.- lim (f(x))i : ( lim f(x))" = Lr,psraiodon É N- {0}

z l im'Vrl ') = .fm(t = ![ ,paraodo e N {0}, ys ine s rr .

entonces ebeocuüir quef(x) > 0 en unentomodelpuntoa

8.- lim"oocb(t) = logb(,lim G)) = logb(L), paú todo b e R'. con

b + I , supuesto ue (x) > 0 enun entomod€lpunto

a.tin írlq. - tim b¡rtr -- b ' - bL paraodob e R* .

_ . lin e(x)10." lin (f(x)s(¡) = ( lim f(x))^-" : LM,

"opoestou"

un entomodelpuntoa.

Ejemplo5

a)Sif(x) = x2,utilizandoapropiedaddeducimosin x2 = 22 = 4

A¡álogamente,tomando(x) = x3, obtenemos im x3 = 23 = 8

Er general e ieneque.para odo númeronatu¡aln, secumph*lim2x'

: 2'

b) cuandose rata deun valot a,engeneral e iene lim x' = a"

f(¡) > 0 en

1

c) Como l lmitedeuna onslantcs gu¡rl cs¡r om$hDrccl lmitedeunproducto selpr(xlucto e os lmites, e cumple im (cxh) = car1, uat€squierauesear os números

ro lcs cy paraodonúmeroaruraln.

. f.sro ospermitealculat l ínik deunajtndóa pol¿rdrrr.¿ rnmás ue ener ncuentaqr¡( l lmfedeun a uma s aqumadeos ímires:

o nuloqucpodenos nconlürmenor igualquex Dc fbrma rcoiso,$tc útrrororühltrlonuloE(x) estádefiidopor:

E(x) = 0 paratodox€[0,]) ; E(x) = I pa¡atodox€ l '2)r

8(x) = 2 paratodox€t2,3),. . .

y. en eneral,(x ) = n si n<x<n+1,siendoñ = 0 o rc=N



l im cn ' c x . .*¿-.. , . ."t1 - co rc.a+c2a2 ,, .Fc.an,

. El linite de una tukciók acional cocielrede dos frucio¡espoliDómica.Je oblienellicando el becho e que€l límirede un cocienkeset coc,enle e tos trnire!, ua¡doelllmi(e eidenominadoresistinro ecero:

a0+alx+a2x2+...+qx¡ ao*ata t-¿za2*,, ,+aoao

bo+brx+b:x2+... + bnxn . bo+ bra+ b2a2 .. .+ búanllm

psfatqdo € R, con bo+ b1 a ...+b-aú+0.

. A veces l cálculode un llmiterequiere tguoasmanipulacionestgebraicas.ct por(jempro. rse fata ecalculaf

. x2 5xl6\+ 2 \z 3x+2'

nopodemos ustituirx por2 en el numemdor en el d€nominador, üesambos eanula¡ parax 2 ) nosquedarla¡a nderermnacióDe a orma!. sin embago. ara * z secumpte

lx l) lx-2) x lx2 3x+2 (x-2)(x 1) x I

vnorranLo.*r,¡r,$j*,I-j 'T,,¡j il -

E ercic¡o6Hallar, i existe, l ímirede as unciones

iguientes:a) Iim E(x)

E)^b) l im /1-- .

Sol ción.Paa esolver sr problemaendremosncuenrauesi una unc ónDoseemileslateralesn un punlo esroson guales. bnces a función oseeimrieen eiepu¡tov suvalores l nlismo ueel!aiorde os imi(esarerates.

a) Lap¿rteentera e un númeropositivorealx, nos ndicacu.4l sel mavornúmeron¡tuml

13 0

1Entonces,ixtiende t:

1-Dor aderecha.ar a alores : 1,5 s€r ie ' reque

- por la izquierda, par¿ valorcs de x cercanos ali m E(x) = 3.

x) 11/2J

y<uvalores (vó¡sc ¡¡ iFurr | /)

b) Si x tiendea 2 tomando aloresmayores ue2, (x) tiendea 0, esdecir,

r imrrxr ,- F- p_o'; i

. ,' ;"J

x | "l l

En cambio, i xtomavalores ercanos2, percpo¡ a zquierda'alores con x<2's

tienequeetmrmerador, 2- 4 , esneg¡tivo,mientras ueel denominador, I ,esposil !(Así p;es, el cocientees negativoy su r5íz no es un ¡úmem Éat, por 1l) cual, no cxi

l im f(x).

Por anto,al no existir uno de os límites ateralesse deduce ue a función (x) nopos

1

l inr l i ( r ) l,

3, 5 co x- t, ¡ hr

Esdecir,existeel ímite de a fmción E(x)€n x =72

límite en2.

q.rclcloT

., liillr¡diurieJ(isle, no,el tímire uando tiende 0, y el imitecuando tiende I, de anrtekl|l l R+R definida, macada € R, por

| *.- l si x<0fG)=J*^ t si o<x<l

Ejorclc¡oHallar,iexisten,os imitcs n I y2dc tr lncióni R-tR definidaol

x< I



Lxr+l si x> l

Sohrclón. a expresión e f(x) cuando esrápróximaa 0 por la izquierda e 0 esl lx) x2- l , lueso l im f(x) : l jm (x2 t) : -l .

x+ 0-

Análog¿mente,a exp¡esió¡re cuando riende 0 por ta derechas f(x) = x_ l,

li m f(x) : l im,(x l) = _1¡+ 0

Clor¡olosínites arer¿lesoinciden.nro¡cesxlin^t(x)

: I .

,..l¡ando x_ oma valorescercanosa 1 y menorcs que I la función estádefinida por

r1x)= x I ,portanto, l im f(x) = l im (x-t) = 0,\, t UI

yuladerechad€x= I ,para alo¡es que iende¡ 1con x > 1 , se iene

l irn f(x): li m (xr+l):2.¡f I ' x+1,

En x = 1 exist€n os límites at€ral€s e a tunción, p€rono coincidenensu valor luegonoexrste l írnite e x) (véasea igura .8).

132

1<x<2

x> 2

sifG) =

Solución.nx I se iene ue:li m f(x) = li n 4I- l= rt y l im f(x) - l im x= I

r+ l_ x+ t r+-l ' {+ l -

asípues,enx= I ,noexiste l lmitede a unción, uesos ímitesat€ralesocoinc (i( l

En x = 2 el imite de a unción es2(véasea figura3 9) En efecto'

,Y ,(4 :

xlim-x: 2'

l r imf{x, - , 'T,-_, I ! r* :+ ' r , ' ":

3-¡ Llmites nfinitos límltes n6l ¡nfinlloMFdiB¡te l siguie¡lte onjunto € gráficas e htroduceel signifiaado e a exfrcs

lim f(x) = I, , en os caso6 nquea o L o 4lrlbos60r ¡rfi¡itos

1

^ I¡r v¡sta de la figura 3.10 se observaqucl l t¡ l lx) = -@ ; li m f(x) = +ó .

i )l xe 3-

li m i lx) = 0; l im f(x) = 0;



l in ¡a igura .1 1

l in l , f1x) +6 .

Figura .10

puede erse ue lin f(x) = 0;

v

lim f(x) : +@;

li m {x ) = +ó ;

liln f(x) = 0;

Figura .11

l im f(x) = 0; l im f(x) = 0;n a figlrla 3.12 s€observaque

I in f (x) : ó.

13 4 1

Figura .12

La figwa 3.13

lim f(x) = +ó

muesrm ue l im fixr - 0r l im flx) - 0:

; l im f(x) = ó: li m (x) = +.o.x+ l xf l

l im l ix)

La figura 3.14

lim f(x) = @

li n f(x) = r ''

Figura 13

muestra ue lim f(x) = 1; lim f(x) = l;

; l i fn f(x) = -ó; l im_f(x)= +ó .xr l x+ l

l ' ' l

--)"



Fig!¡a 3.14

Doculrimos jempto\ ¡tesdepasar lasdeñnicionesorndtes e esrosimires on o.uorespondienre<a" igwas3.j ) 3. ben as ue :

li m f(x) = +ó ; l i rn f ix) = -or: l im f(x) : a; l im,(x) = +@ ;

l i fn f(x) = o; l in f(x) = +a .

Fisüra .1s

l im f(x) = 0; li m (x) :0 i

li m f(n) : @; li m f(x) = -€ .rr 4 ¡ ,- ¡¿ '

lin f(x) li m f(n) = +@ ;

13 6

Fig!ú 3 16

Damosa continuaciónasdefiniciones ormalesde imites nfinitosy lim rlcsc ! | irr l l li

t¿l que (x) < r

5> 0 ta lqu € (x) >'

ElomploI

a) se a la imcrónefinidapor\ I - : .para '0

Entonces im f(x) = -ó y lim f(x) : +- ,por anto, oexisr€ l inr ix )



Figura .17. Los limites ale¡ales e una fr¡ncióne¡ un pu¡to a q R puedensef infiniLos.

continuación edefinenos c!¡atro asos osibles:

Defrdciones.

1. lim f(x) = -ó cuando aracada € R

siempreque0<a-x<31

2. lim f(x) = +.o cuándo amcada e R

siempreque0<a <3 .

r. rrm t{ } } = 4 flrandoparacada € R

siemprequ€ <x a<6.

4. luD.r{ x ) = +6 cua¡do paracada e R

6> 0

3> 0

6> 0

3> 0

slempfeque0<x-a<6.

Se verifical

lim f(x) :

lifl f(x) =

.ó s,,<olosi l im ft \ '- .@- tim (xlx+ t

+o siysólosi l im f(x) = +ú = ti m f(x).x+¿.

13 8

b) Sea a unción efini¡la or e x) = -l,parax+ r '(x l) -

Entonces im g(x) = +o = li1¡-c(x),

po¡tanto,xlimrg(x)

= r'

xJ t a+ l

3¡.'t Propiedades ara fmites nfinitos enel nfnito

S€ana, , M€ R\, { @} .r {+ó} y suponsarnosuexlin

f(t : Lvxlin.s(x) M'

Ias DroDiedadessrudiad?sn J..Z eexriendenara imiresnfinitos para rrrrir'\ tl

infinito:Uiiljzando na olacrón imbóLca ¿ modode re'rordalonoos

(r{).b=-ú,sib<0

(-ó).b-+d,sib<0

a- = 0,sia>1 a* : o,si0<a<1

ExDresionésnrl¿t¿rmin;d¡s.

3,3'á(a+o); o ' ' ; - - ' i 1' ; oo;*

. ¡y'or¿r ¡ ocasiones,scribiremos €n ugarde+@ porbrevedad

Expresamos contiÍuación,de nanera omal, laspmpiedades e os ímitescuandoMe R\r { e} ! , {+@}:

k. li m f(x)

: L+ M.

b/ l im ( l ( ¡ ) -hrx,r '@.pucs'6 - 0 - -@ .

c) l im (g(x) h(x)) = 0,pues( 1) 0 = 0.



= L M.

f(x) > 0

,:r*Al::H3:fi:'queestas ropiedadeseveriñcan iempre ueestén¿efinidosos

Ejemplo0)lisa¡r( lr - x g{x) _ t. i } hfx)

lilü f(x) =+@, lim s(x) = I,

l ^-- oelat rormaque

lil¡ h(x) = 0.

Setie¡e:

a) l im (f(x). g(x))

140

= ó,pues+ó.(- l) : -@ .

Ejemplo 1

Si enel cálculo el lmite lim (x2 x) seesludianepamdamenteos llrril.r

l im x2 ; l imr,

entoncese legaa unaexpresión e a forma +ó) (ra), es decir.u( cilnnrrlrx r rindeterminació; Sin embario,siprocederDosel sig¡ientemodo:

Ln (x 2 x) = li n (x(x- 1)), ycomo l im x : li m (x l) - r" i .

obtenemosrim (x2 x) = (+-) Oú): +€.

Ejemplo l2¡

s) Sea la unción efinida or x) : --, paÉx+0.

Entoncesim f(x):+@, puesparaadar R eri istel l 6>0talque(x)>r sicr l

que 0< xl< 6: si < 0,para ualquier > 0 sesatisfacesta ondición, si r > 0, basta(n

b) lim x : +ó, porque ara ada € R existe € R tal que > r siempre rrc

bastatomars=r.

De aFopiedad sededuce lim x': +@,yengeneml,palan N arbitmrio

lim xl' = +o

li m I = 0.oaratodoneN.

porquepamcada É R existes € R t¿l quex < r, sjeúpre quc t

1

c) l i rn x=<

Ef generarseen e

l)ruI (xlonúmero atural .

ln . .2 tr lx :+ ú y l rnr \

1^

lim

hm

'l)( onsiderenosna unción olinónica

:\ j I 2 32x2,3 xl xr x xl

3x 3 ?x-l 3xr 7x I . 1 I

lll numeradore esta ltina lracción iendea 0 cuando -r a y crrndodcnominadoriende 3 cua¡dox + 4 y cuando ) +ú. Porconsiguentc.

\'1 ,

|l



c¡>0ósi

¡ll lx l- cnx cn_t\ -. . . -c0concn+rr.

I t \) \ ' lc- -: : r---- - i l :

ru¡Irdo x + +ó, €1 .imerfactor iendea+ó y elsegundoactor iendea c¡, lüego

.gJr {Cuando + @ el pdmer factor tiende a +ó

Hcgundoactoriende c¡ , uegosi n esiarya 6 si n es mpar, el

h- (e: [email protected] ¡

vv

n es npar y

nes par y

e) Los imites ena y en +@deuna tnción mcional

fG) = an x + an tt ( + .. .+an

sedeterminanácilmentedividiendoel numerador el denominadororxp siendop el mayordc os númercs y m, comoveremos n os siguient€s asos orcretos,

EJemplo3

2\2 3a) Sea tr) - --:i:------: : conel hn deque osdenomrnadore.eandisrinros ecero

por anto,pam que as fracciones sténbien definidas,considera¡emosaloresde x para osqre x sea uficientementeande.Entonces, e iene

142 14

2ycl

b) Parax Isüficientemenierande,eiene

. '7 1

ixr-7¡z+l4x3+x+3 , , 1, 3

a----

Cuando tiendea a o a +6, el ndmerador e estaúltima racción icrltl.denominadoriende 4.PorcoÍsiguiente,

. . l ¡ ' 7x2 l L. l r l - - : ' ' I__",¿,1_"_t 4 *,-4xl_r l

c) Para x suficientementeande,se iene

2x4 I

)"4 r

,414-x4

3x2 3 3_ 37¡ ' . ' *4

Cuando x tiende a @ o a +a, el nümerador de esta última fiacción tiendc ¡denominadoriend€a 0. Porconsiguiente,

2x4-1 =+@= um-)+ó3x¿-3

Eierc¡cio4Hallaros lmit€sateralese a ñúciónsiguiente,r ospuntosndicados:

-5xl r^ I

t tr t l7l enxo-,rr.en(r -5 yen \. u.

Solüción.

a) El numerador x 1,de (x), tiende 5^,[ I cüando tiendea ^f , tantoprr,

* > "E comopara x < ", , nientras queel deüorninador e (x), x2 2 , tie¡de ¿ 0 si x

lin

t¡slllo {D . Ahorabien, sie enomiüadorsposhivo i x > J2 onunentorno etpunto,¡l 0(|mcmdoresañbjénpositivo,luego,(x) esuna unción osiliva aderechae ^,0,enllr crrtornoedicho unto.Asipues,

, ,1, ' ;n- , -_

l i ; -- @.endonde,ehasus,, , , ." t f , rJ*,- .

= ri' ----L-x , i i (x j r 2x)r ¿ ^

li m (r 2)l i ¡¡ ({r 'r-2x)" '

-Lo

0 ,. ) r2 'r 3z ' t, - I_o.rm h(r) : Lrm-

I =\] lr , ,ó 6r--4 r l"

' ^. 2 Á 2r



Anflogament€,el denominador snegativosi x < ^,4 er un entomodelpunto,mienrrasql|ecl numeradorspositivo,luego,x) esuna tnciónneg¿tjva a zquierd¿e !0, enuncllonrodedicho unto. sípues,

r,n) rx ) ¡¡"..5; I -. . * a.ndee asusr¡ui¡o4--l

po r-' - ' " [ , -r t x ' ¿

¡ nelcaso elpunto I : L5

resultaque os lmites arerales oinciden valencero.

lin f(x)

' - iEnelcaso2 = 0 setiene:

:0 , l in fG)=

"' j)' o' ,t im frr¡ = ll -1 =1

2

=l2

Elercic¡o 5Calcülarl imiteen+o

a) flr) =

de as unciones:

(xr + 2x)' 2

o r(^)= {2" : ' ] - ) ' : -6t '4

lo.ll-!¡ón:Seaplica¡ ar prop¡edadese os nrlresdirecramente.uesrouenoseproduce

Inoeermrnacrontgüna.a) t im tirr li m {r, 2\, . 2 ti m rxr. )^l .Ll ' '

)'

-. . -b) l im s(x) = l im (x3+2x)-r+2: In (x3+2x) G-2) =

141

b) e(x) : (x3+2x) '+2

ar r^r: (-$:r )"

d, l im i ( \ ,' i i ¡ [^Lr i - : - - ] -1 "

r_ +ú l r .+\_J

34 Tratamiento e as ¡ndeterminacionesEn este apartadose estudia medianteejemplos a forma dc rc!rlvrr rrllrr ¡r{

. ó 0 a,,nderermil1aciones.oesuinAenniaos. i. i ra - 0,.0 ó. o " \ I

3-4.1 ndetermnac¡ones el ¡po=

Los casosmás sencillosaparecen l calcular imites de cocientes e liurciolnpolinómicas.

Ejemplo6

. .. x3 3x+1a)rnn-_. _. x4+x2+l

Al aplicar aspropiedades lgebraicas e os í¡nitesen a)y b) ocuneque,si sustiru'mos

por @.aparecea ndetelminacrónqu e e e'uel\e. n ád ¿un ode o' c¿so'. L |

a) At ser üIá ftacción polinórnica con et nümerador un polinomio de gr¿do3 v el

denominadortlo polinomio e grado2, dividimos umerador denominado¡or x'. l¡mayorpotencladex:

x2 xl

b) Analogamente,omo lgr¿do elnumeradors4 y el deldenominadors2, dilidin)s

numerador denominadot orxa:

, . " ' -_r '7l _ ,. |n . tl^ ' -

, tm ¡ . '1-| -

\ - 6-x 2x 2\ r ' \¿-2\

¿= ,,2

14

Elorclclo 7

-----;---:-

-4--¿

.t l

. -1. r 2¡¡

E¡emplo 8

a) li'n ^la7;4- 33x l

lx2+4x- |- , f f-rJ5\L\I5

a) En este aso parecea nd"too¡ttu"¡6o , perono esuncociente epoliturril't.



. , , , . .^ 211+ 312+ 5x+ 2" ' .1 ' ; .5.4 + r"r 4"15

. , . 3xs+4x2+5c, rr m-++ a xo-3x+2

b) lnn -5x3+2x 44x z+ 5x +2

S{,luclón.¡t) A1 aplicar a propiedades lgebmicas e os limites de funciones, i sustituimos porr, , ¿parecea in¿letermimción= y al ser uncocientedepolinomios, alesqueelgradodel

r¡nrerado¡ elgradodeldeüominador s4, dividimosnumerador denominadororxa.

2x4+3x2+5x+22x 4 3x 2 5x 2x4 x4 x4 x4

liln5xa+2x3 4x + 5 .-4 1-l / .- .

x4 x4 x,l x,1

2 lim

b) l i - -513+2'- ,4: l i -x++ú 4xr+5x+2

lx 5 +4x2+5c, iLm -= ll m

x++o xo : lx + 2

. Engeneralestasndeteminaciones e csuelven ividie¡do numerador de¡ominado¡Dorlamáüim¡ orenciae o. polinomrosue iguran ¡ etnumeradorynetd'enomLnador.

5x3 2x 4

17 s-)xl ! l \ l

-=----7-,_

146 14

embargo, odemos tilizar combinadameüteasFopied¿des e os imites.

.Á' . t .4--3

E-' lar3¡l

x- I

lim

3x ¡

: lim

3x2+4x I

",iñ ---------:--\:+- 3Ji;Lr +s

I

_-3 1, , ¡ im ll

= lim

Y b) Iim -i-

3x 1

r:---- -'^ t

-6 "ú -6

b) Seprocede e ormaanáloga l apafado a),

. . lx2 +4x- I. r.. 3{t7- x+5

. Engeneralestasnd€terminacionese csuelven iüdi€ndo numerador denominador d

x" , donde eselnlá,ximo ntreelgmdodel numerador elgradodeldenominador'

Sin>m, el ímitees nfinito

Si n: m, el í¡¡itees atr/ m

Si n < m, el ímiteesc€ro

n r-1.

. . an x + a¡ 1x +.. .+ aOx- +

- 6_;F+ 6._,x ' '+. . .+ bo

3.4.2 ndete.minacionesel po3

Cuando Darecest? ndeterminaciónl calcularel limirede cocientes e fun (i rr('Dolinómica.,slas e esuelvenaflorirandoospoÜ¡omios umendor)denomir¿dor"r 1

;esla deRüfiini (verVolumen , Tema ).

E¡emplo9

Calculamosos ínites:

5x 2+4x- 3

^mbosinires or de a o..u OQno. *to a"U",no, ¡c(oriz y hrego implificar.

, ' ) t im + = l im (x-1Xx'?+x+l)r+ l xr I x+ r (x+1)(x l)

n3#=.,r, {## ti¡n =i2

Elemplo 1

Veamos¡es ituacionesencillase initesde a orma3

y una u0rrr osibilirlntl'l l

daráug¿r l estudiole as ndeterminacionesel ipo3

cona+ 0



EJemplo20

Calcuamosos mites. ar tim \\ -o I a4 l

s) lim

ri'---* - rim -$- ,,n.'\ ,) rx- rI \ . !t \ .) t) ; ,* 'r( \ I 2t \ .2

11(x+2) 4 -

. /r'¿¡d; La indeterminaciónde la forlt1a I tanoren pueae aparecercon ftncionesirtucionahsmdicatesr.n esroeasoe.asrao; mutrrptrcaryr!;dir por aeypresrónadicalconJugada. cooti¡uacióo eremos n eiem.l¡rcqüiirema'p,rarraÁpr;'¿ii- i".¿."ii. i1iir1il,d;ae"rece' 'a ndelermjnac'ónse

y b) lim]JT 2

lx--8

I(x-+2x+4)

t¡^,ñ

=

- ri mrj l I

Jlxr

_ , ,. xr - ./ l -r ¡ _x u ( l - Jl - \)( l - Jl - \ l \ -0 I ll r)

-, 1 'li -- . .- ,

.- tr m4: t_t_1-_l1 _ I im (t_vl-x,_2.rJ 0

b)r+ 2 r I-:

lim

I

(2-+2.2+4)ll

71 2

148

lT., =."T"i: o

JT. : l't. : "rm {: r im ]=+-.xr o x ' xr o x-

lim : = lim ! . Esteímitenoestá efinido ues ependecsi rrosrtcff rr txt o xz x+0 x

valor 0por a derecha por a zquierd¿.Esuna rdeterminacióndel ipoü

con ¡ / {)

3.4.3 ndeteminac¡ón eltlpoñ

La indeterminaciónf;,

con a+0, no suel€ e¡ dificil de elininar. sicncl¡r rrlllrt

estudiaros imites aterales e os cocientes e imcionesque osgen€ran

a)

b)

c)

d)

Ejemplo22

Estudiamosos ímites: a)*limo

1

¡) A1calcularlmites de a forma¡limo

Iy b) nm^

-.: es recuente ometer l siguielrte rror:

m !:-.

v "€stooes ierto"xJ o ¡

Es necesario studiaros ímites aterales ara csolverlo:r

to l irn l=-' Alacercamos0 por a /quierda. 0.portar

r, o \

¡;,n I = +.- Al acercamos0por a derecha, > 0,portmtx+0* ¡

Porserxlim_

*,rir1.I ,oo

",,;.t.rimt"

"no.b) jstudiamosos ímjresarerales

' Alacercamos0por a zquierda, > 0,portarro

"g 11= _.

A

li m

5x 1512

5(x 3)f4 ^

- lr n

^/ x -3

: li m : l r lni - -

3.4.5 Indéisrm¡nacióñdel t¡po @ oo

3--



- acercarnos0por ade¡echa,,> 0, porranloxrim. i

= ._

Po' ' .a, , roc\afulc iónr ienet ln ireen0: , t im

i, , l ;

E ercicio23

Calcular a) Iim :---:

Solución.parecea ndererminaciónf;, cona* o,vseesí¡dianos imires¿terales:

Ai acercamos2pof aizquieraa,] ^13

0,portan..,*,fi

= :

Al acercamos0por aderecha,

{!

> 0,portanto,,S.

*=.*

Porser 1im.,1-r.i,**a""11ímireenx2.

3-4.4 ndeterminaciónet ipo 0. co

Este ipode ndererminacjóne e$€lve ¡ansfo¡mándolanunadet ipo3 o unadei ipo

x+ 2

0d

Ejemplo24EJlímite im 5 . ," .,. - : I I - ' " '

una¡det€.minaciónel iDo .

150

esde a fo¡ma 0 . @.Se ealizael producroy aparcce

lT,r= r lT+# ,T - i

1

Al aDafecer sla ndetermioación,n lJ ma)or ia de lor ca.os.baslaL 'r L lLr l ' r Í r I{ l

ooeraciónesndicadas. n la" e\presiooetdonde aparecen unciones rrrr r"r r r ¡ l ¡ r , {

i ide lerminacióne esuel !emulr ip l icandol oumerado' e l denominadot"{ L' r \ lnrq l ' r r

radical oniusad¿.Recordemo: u¡ la e\presón conj.¡gadd e a - b) es J hl

Ejemplo25

,) t im Jx¿ 2r ^,/ \ '+a)

-lr

b, lim :--- --:- lrr l x I x¿ I

. . rx2 4 x2 2r l\' ' " '1". \x+2 x+ 1 /

a) Aparecea ndeterminación €, quese esuelve ultiplicando dividiendo or

expresiónonjugada xr -2r + Jr¿ + 4

rim1'/xz 2*- ¡!++¡ = ri - tJy2_2\ Jr2+4) (Jx2 2r+J\ rr 4)

{ '¡. ' lx+\ lx-++

t+t

b) Aparecea indeterminaciónó - @ En prilrler lugat sereduce a tunción dad! ¡ Lrfracción:

ri-(")-fl-L-dfL.l - Lin. : 2"-4=

\ '- /x¡-2\ / \2.4 r- . . , r :r r 2r Jr- +

= lim

2*!

P r" P3r l¡z ¡: {r 2 x2

' , , ,1, ' , : : ;** '0""*" 'n¡ración; 'q

csc'| tsuervcxccrt¡ i ' | ¡(k'¡scxIpo,Ia¡jerccbavpo,ra

^r¡ccrcarnosporrazquierda

]{ <0,portan.",1i 3j

: _

^race,camos1por a erecha]{ >o, porranto,,,*.

3j= . _



"'*"9 3i."g. $],"""*i"t""rrr-i,"enxr.n,9"(-{# *'g-) :"g¡t -lt+:l G.i-

,l¡-¿)==rr,¡n

(x 2)_(x 3) ) = l

, fi ::li: J"tfl-x;]i::ff"ii"l'ffi ';J*",\, nde,en'nacione.el,."

3.4.6EtnúmeroeEInúrmero"e',esunnúmerorracionalcuyovatorap¡oximado s

e= 2,7 B2B 8284 9045 3536O2aT :r,5266249./757247093.Sedefinecomoet imite. cuando riendea nfiniro,de añnción

rr,,r r 1)".os decu,€t valo¡ de esta unctónparavalorescadavez más grandesde x seap.oxima

(r ) =0. l) ' =2;t(2)(rnr1) 'u,zs,x:r t* !) ' =z.ztoz:t(t l= t* ) ' =2,4883;(r0)(r fr 'o= ,se:: ,r( t t = (t**) 'o = 2,6er5.. . ; i I200)

0.#),r ' = 2,7164.. . ;

Se demuestra n cursos sr¡periores e M¡iemáticasqu€ existe el límrlcx | ó. Fsre mirerecibelnombredeúmeroe

Deñniclón. El límite de la tunción (x) :

"=.9-(,

( ' .1)^.i).

f ( loooor fr*-L ) '00'o'

, , - .t0000,/

( looooo, f l - I 'unoon -,- .00000./

La tunción¡(x) €sc¡eciente acotada.Seobsrse ümpreue2 < f(x) < 3 G ;;;;3";;**"que an cuarquieraror > I , siempre

152

3.4.7 ñdsteminacion$ det ipo 1@Este ipo de ndet€m inacionese esuelveonvirliendoa expresióne a unciúrcD 'lr1

donde nte €ngael número

"= ri - r*1) '

Ejemplo26Calcülamosos iguientesímitesl

a) l im l+- : J

xr L.. ¡*2 -¡ 2 t1 1¡ r L

b) lrm [---------J

Son ímitesdel ipo I @,quese esüelvenecordandoa definicióndelnúmeroe

, 1 ,5r¡ ) hm ll+j | : L-,queesrndeterminado

Figura .18

15

r i,n r *1)5" = 1;,nL)'" I . \ t r jl l+: | = r im t+l l ' =er5.1 :] \_41 \ |' 1/ \ a)

b) Eneste aso. rimeramenteümamos ¡qucpen¡ r¿apl carü defi^"j¿;;"l ;¿;#J 'estamos' para r obtenendo nae\ presion

xz + I

am c o e a, aa rn r a

' I- l { l '^r- l r '81\)I ( ) i i l - l I r ' , r rr , r ' ¡ r¡)

l im frxrsr ' r r i . lJr ---- | I - d- '' t)

I f (x) I'



r i ," L- 'a:- l ,H -- , ,-¡ ,-" ,- .2" - , ,* .,2 '

. . !- l Y¿,l

. \ r ,m{r , r -g;_r : r ) ' - ' , r , , , ( ri1 l - _, i4J , r- 2\ r r¿+lr_ | l r" -r ;r

- l " l '- ; - i - r r imlr ,2 ,,i , I )xt--i'

(l \ ¡' : ,2\ ' \¿+l_ r¡ . l l r , I l2; l l l , ;T

,-- x ' j I' tifl( \ i, )2x3+x'+2r+l

- ri' ' l,-r,

I ' i ' l: *;- _ - il, lt'-li!, _.) i x. - \, t I -'

';:l El cálculod€ ímitesdel ipo I @seconsigue onerprocedimiento iguiente:

Supongamosquexh fG) = I yxtim

gG) = @.

r(x)s(r)=l+(r(x)-r,,*uf,*+- )" . '=I c; l

(, , ln#r "r ' 'r ' e'"

f , ,ñ i ,1" '" ' "o' '

I I | ' ----- i- |\ (;t-1/ l\ Gtr¡,, )

15415

Elorciclo 7Calcxlaros lmitessigüientes:

a3a) lim -+-

x3+Ó xl+l

rx + I )12\a l\ ll 'Dr,1"1"------ \+4

*2* t

¿¡ ¡¡* fr1-l "O rim (^,f,'-x- ,6x'?+l

solución.

r) Al sustituir por+ó en a expr€sión,esultaa indet€rminació¡, que esolven"'

dividiendoumeradordenominadororx3,a mayor otenciaex en oda a expresión

x3

-. rrn -ll = lim--+

=-.-+6 x¿+ l

xlxxJ

puesroque y + deDden0 cuando tiende ó

b) Análogamenre.parecea indremunació¡1. puesel numeradoriende ó ) cl

alenominaalorambién.Al considerar ¿ xpresión e (x) comoproductode dos actores'

eq?l;!l]1! = Gj-l) (2xa3x+ )3,

y aplicarqueel límitedeunprodustoes gualalProdücto

e os lmitesde os actores,

, , 'n r l) rzxa.Jx l r ' _ l ¡ , ! l lm {2r" 3x t) r

-; ;"x{4 rr ú\r4 x--a

Como li m (2xa 3x+1)3 = ó

lim ---:-

iirn{

r , .L- -:1 = Ir*1

-¿

x+l 2,;r" *_,*(,' i).1e y

*' , l

=l

Lr.g"""".1r,."tq*

^l,t-i+)c ' rorrces,

" In-(x+l )(2i4-3x+rt = t .@ = @.



-x2_ x_ I., --r-xm :._i< -,++- ¡"2_*¡ ,J2p¡7--_;t-

= Iirn,1 1

3-5 cont¡nuidadDemanen ntuitiva, na unción scontinua nun ntervalo uando rr r il¡ r. '1r |r ||"

rntervalo, uede ibujanesin evantar l ápiz delpapel

(onmás¡rreci ' ron.u¡afuncionf lxlesconlinuaenunpunroacuand"r l lr rrrrl' r r ' "r ' 'üoinc¡ded el valor e tx )enel punto . o qu enos ic€ üe o. \alo| l. ''h l ' ' fr 1"" ' rpróximos lpunto seaproxinana (a)

Una unción escontinuaen un nt€rvalocuandoo escadaunode suspuntos

D¿dos n número ealay una unción , no siempre ecumpleque

lim f(x) = fla).

Puede cunir que a i$ción fno estédefinidaen elpuntoa' en cuyocasono ex sto l¡ )y l'liguald¿d nteriorno ienesentido.

Tanbién puedeocur¡ir queno exista lim f(x) , en cuyo caso ampoco iene scnl lio ll

Finalmente,unquexistan iú (x) y f(a), puede curirquesean istintos-

D€finición. Sedicequeun lútcióí f escontinuaen ut puntoa arar'do

lim f(x) : f(a)

. Con a erminologia¿pston-delraladefrniclóÍ'de continuid¿d sde a siguient€orma

Delinición. Una tunciónf es contínüaen unpunto a cuandopar¿cada €> 0 .existeun 6 > 0,tal que f(x) f(a)i < ¿ siemprcque x al< 6 .

Eiemplo2El

a) La tunción definida ü (x) = I , si x * 0, no escontinua n0' porqueDocsl

deñnidaen 0. Sin enbargo. escontinuaencualquierotro pu o a' puesp¿ra odo a + {)' sverifica

xmlrx +1

t-. T,= ¡rm l l+: I I

\, I

j:ffi :[kiH::l#J,ffi:llffi"*i,ff."¿irfi;xrmoly'x¿

x^/2\r+t)

=

, , : ,"-,r i . .F.n-,,= l:- ( Vr ' ) \) ' - t- l )"2+t,z

rin s4::r:_!_++ " Jx2_x+ txziEn esteúltimo limile se pr€senta a i¡dercmmacron

numeradordenominadororx2:

-r2 x_J'_: ---.- =

' .-" Jxr r + /2\ .2+ r

= lim

x2x1

rj:",#i,tt#*.1f;:ü$ixr*"i,irx::#x.üiffi:i*"ilffi:,:¿3:i*fl;:,, t I

ü'n '* l) ' =

-, que r€solvemos iüdi€ndo

15 6

' i )

15

llm r) - llm1 = f(a).



ypamtodob>0,

= f(b)

,noesco¡tnuaen0,po¡que

+ 1 = f(0).

..

b) ra umióndeñnido.. r('

-- {,r ;; ;; ! ^

*"",r"uaen porqueo xisre

lim tx). sin emba¡so.scoDtinua ;;;;;;n o_,. oues am ,odo a. 0, severifica

*lim"fG) - ,tin Gl) = -l = f(a)

l i rn (x ) = I iml = Ix+l '

c)Lañrnciónfdefmidapor{x) = lx- si x*0[t si x= o

lin f(x) = lirDx2 = 0x+ 0 x+(]

Figum3. 9

15 8

Figura .20

Sin embargo, scontinuáen cualquierotlo puntoa!puespa|a odoa + 0, scvcrlli(¡r

lim f(x) = lin x2 = u2= r1u¡.

',Vo¡ar Sesúnvimosal comie¡zode este ena, lasfuncionespolinómic¿s ienen fmilc ttodo Fmt; y las funciones racionales ienen Límite en todo punto que no anulc

. Es eviilente oueuna función I escontirua enun punxoa si y sólo si es continuapor

izquieda y por ú derecha nelpuntoa.

3-6 Operacloneson unc¡ones ont¡nuas Ih l l . r r l ( l ) . r12). l i , r 11\) , l i | l r l (x)ycstudi ¡ f l ¡conl i ¡ü id ddclcn( l i ! l ¡ ,str , , i r , ¡ ,

Solüción. os valorcs lo c ornr h l i r ¡ rc ión n x: 3 y x:2 son (.1) 5 yi ( .r l

Paravaloresde x cercanos 3 (lanto mayorescomo menorcsquc :l). lx c\lr, t¡'lr'

-2 ^f l rncione' t¡ ¡ ='

- - .enronce'e l l i r ¡ r redelatunciónfen

:" :fy

id: 'tu*.": : :onrinuaqD n unroa.nroncesasuncione._ s.. g ) I g so n ambiéo oot inuas n a. Sr además . g(xl . O, p"ra roáo

x € Dom(g) , entoncesa ñ¡nció¡ i también€scontinuaena.



(f+ g.¡(x¡= ¡3 +-J-.2+l '

tanbienescontinuaen odo püntoa € R .

b) Las tunciones (x) : x y e(x) = x4 + 1 son continuasen todo pu¡to a; ademáss( \ ) 0. paraodo unto . R. tueeoa uncionf ,", _ -_I_ es ambiénonrinuantodopunüodeR. ' x I

Elemplo29

a) Las unciones(x) =

ti¡nción

x3 y c(x) =| soncontimras n odo puntoa,por tanto a

li m t\ ) = l i fn i- : : 5r- l x I

{ndlog¿menre.l p¿rrcul¿r izarn r 2. apareced indeLemirafr ' , r,;

límite er dicho punto, como 2 es una míz tanto del numeradorcom) (l( ,1,,,1,r,,simplificar¡osl

r \ - 2r(\ 2rl im ft \r - li m " = lr m -

i, r- .¡ r 2 r,.2 \ 2

Por ¿nto, nx:3la tunción scontinuaues oinciden l valordel í¡ilc y ¡t |r lirrf(3): s: l im f(x) en ambio,nx = 2latunciónpresentaunadjscontiD

limite elvalorde a unción o coinciden, in f(x) = a+6 : f(2).¡+ 2

Figura 3.21

. Como consecuencia e las propiedadesde los lít¡ites refercntcs a lrs ot)er¡laritméticas de a defi¡ición de conrinuidad nun intervalo, everifica quc 1¡ sunrr.h r.el productode unciones ontinuas n un intervaloes üna unció¡ contin ua n csc rileiviel cociente ambién o es,salvo €n os puntosque anulcnal dc ominador.Dc cro sL lque as funciones polinómicas son continuas en otu R.

Ejemplo30

Las unciones(x) =

tantoa unciónso0(x)

3t^- '-y

x-+ I

=f-r^ I ls' x-+ l '

Ejercicio3l

Se onsideraa unció¡ f(x) =

g(x) = x5 soncontinuasen rodo punto a,por

escontinuaen odo pu¡to deR. tr

x2 4 si

si

16 0

EJorcic¡o2llrlJ¡f ospuntosn osqüeas uncioncsiguie¡¡esresenra,isco¡tinLridades:

a) l lx) : r3+=2x2 x 22x z 10 x+ 8 b) s(x) F-4

solüción. 'amqLrclscuc, ' r ( i r t r i rerrr ldcl )ccrr¡r l l i tsc l .rcon(t ic i ( i r r .

Como f( l ) : c.ca lNl ¡nos l rrnr i (x) .

,l I

l'l'('):''-l'il aplicar as propied¿¡tes lgebrarcas, parcce na ind*erminación rlc h l'rrrri

rr

l( l ) l r l ¡ l( \ l

soltrción.



-resolvemos esconponiendo umeúdory denominador ot Ruffini

^ xl I l r+l ) ( \ llTIX): _

xJ I (\ r)(\ '+) '+r)

\|l ' . f rrr- li m " '1" - l i.\ ' r \ ,r( \ l )( \ ¡ r l ) \- x \

Luego a constánle debe aler] nara+ue x) sea ontinua

Ejercicio34Sea unsubconjünroe& estudiaracontinuiddde as unciones: D 4 R (lcllrrit

lllili;{jrF:;yi!1flt¿i:.#u,*i,::".iirh: .

"ll":i

".l;-,ilil; l.il.Xl,"'iilll;ij,l

,nen,omoeduco,e(",*,".o.i

Hl',tr#t'::H:}":flr,"+",;*"";{:k1,.*l*::".g*:iTi.:fli;H:r:x2 4<o>x2<+> 2<x<2.

;lf,,,{",ti}fr:iHi"il"i:J;;ffi;"i,;i;ii";,i;;"",iJifi ".:

' l iJx+ si \ ' (

b) f l} . ) : I

-

si

si

0<x<2

x> 2

Ejerc¡cio 3

Hallar tvalor e aconstantepara ue a unción

seacontinüaenx1.

,6 2

Solución. ara studiara co¡tinuidadeuna irnción efinida ntenalos edcbc sr rd i Icontinuidad ncad¿ntervaloy la continuidaden ospunrosdonde ambiadecrpreskt¡

a) Estudiamosrinero a continuidade a ñrnción naquellosnten'alosbicúos lt¡restádefinidaporunaúnicaexFesión

En (-4,0), la expres;óne es f(x) = x2+2x;como es una uncióo ol i i r¡rr

entoncesscontinuaen dicho nte¡r'alo.

tn {0.2,. la e\presióne I es f t \) ;. qu <es ambrónol inomic¿ucl" r" fcontinuanel nlervalo 0, 2)

tn12. úr. lae\pres'óndeIeslr\ | -- : , . cornoa función ' un coLierr ' ' ' l

polinonios,sólo es discontinua n los puntosdondese anuleel deDominadof tfr

x - I = 0 solamenteaü x = I y este unto o€slá n(2, r'@),entoncesesconlin!¡'{r

Figura .22

1

,,,.,i;*,',:',*:'i::l.i,,,":ij,*t¿:;#jli¿t*1$i":HjT"i*,"o,Jo:;j;x.r¿,,,_..,""

\ lxnf l r ¡ - \ t im.{x2.2\, .- 0 y

-r rmix) . ti m + .0 j

lo srm;te(at rale.oi¡cide¡.uegoetJímiteat=,h¡

t"*"tu'"s continuan = 0'pues

li n l(x)

li m f(x) +-r

= li m^/x+

I = Jt =

= lj m ,L = l imr + 0r x'+ x xr0'

I,

x : ¡¡¡¡



.rr¡,r1') fG) = ,,, ="oo.

Enx = 2,

I'm f(\) = rim I =\+2- x_t_ 2luegoa unción oes ontjnua nx =

.l jm i),)= li m {r).

r y tiln f(x) = tim _j_ =¡J2f r+ 2" X- I

2 ,puesnoexisreimire,d€bidoaque

Esdeci¡,latunciónesconrinuaen _ { 2} (ve¡lafig¡ra3.23).

b)A¡árogamente,srudiam",u"o',rro"o ,'otJli,i,i;**i"..".,

fn ( ó. 0, . tae{prcsiondefesRxr._,f-

*f"f it;:,.jo"t*.":"-";'- '' I 'ffi:".:y.$:il:i?i:."i1ffil:iEn (0, +6),

taexpresiónde es flx) = _l_ri ,"onr;,a.n ro"p,oo"q;;; ; ; ; . ."*; -e

ai 'eruncoc'e¡ 'e eporinom'|osse¡á

,o*.-,,.+e oene'nel;;;il;;.'Ji;'l;TTi;;,nn:Íi.H::ii::X,;;.':En x = 0 setienequef(o)r,

164

16

Figüa3.24

Como os lmites coincid€n son guales,entonces xhte el lfinire, quees gual¿

tunciónesconthua enx : 0 (ver a figum 3 24)

Lalunciónfesontinuaen1,0) u i0] L. ,0,+@ )= [-1,+ó)

x>l

110).¡

r, )

E¡erc¡cio35Estudiara continuidade as uncioneseales ari¿bleeal , g y g. ' donde

[o ' ix<o [ , . * r s i

( ' )= j v e(*) 1 .11 si x>0 lr

Sotüción.La tunción es co¡stanteen( @,0) y en(0, +@) lue8oescontinüaen( @

en(0, +ú) ,pero

l im f(x)= l in0=0 y l im f(x): l im I = 1,x+0' x+or

poflrhto, noosontinuaen

=0 (ver a igura .25).

T$'pnat,n ddnchlalesohrearfünclo\$ conllnuasnh,ttorwk,t



r ig"L:. :s ' fLa uncióne(x)espolinóhicae¡ 6, l) ve

( I, +@) Además,nx = l setiene (1) =-, i jt',*') 't""t"

"" "ontinuan {, 1) ven

^¡tm-grx,-

xt im( \, J , - - | rl

- 2 y irm_grxr t im x2.. l2 t.luego noesconrinuaen

- ¡f, .r l rngrrr l .UOir -l

Lañrnción . f e$ádefinida or g.f(x) = g(f(x)) = 1 puesto ue-si x< 0, enroncesof(x) = e(f(x, = g(o) = 0 + I =

-six>0,enronces.f(x) = g(f(x, = C(l) = t. ¿= l,y escontiauaenR porse¡una ¡nción constanúever a figura3.27).

t ,

16 6

E-=::-------É

187

Figura .27Luego,launciónescontinuan R-{0}, latuncióngescontinuaen-{l} ylir

función ompu€sta," , es ontinua ¡ R.

3-7 Teoremas uñdamentales obre las funcionescontinuassnintervalos

Las funcionesquesonconxinuas n un intervalo ien€npropiedadesmportantes, uescenuncian continuación.

T€orema. Sealr un intetualoy f: I -' R u¡a función continua. Entonces lconjunto(I) = {f(x):x€R} esbi€n n nteÍalo obienunpunto.

T€orema d€ osvalores nt€rmedlos. Sea una fimcióncontinusen ¡, b]. Si cesun ¡úrnero real comprendido ntre a) y flb), existeal menosun x e[a,b] talque (x) = c (v€rlañsura3.28).

Figura .2 8

ij,r efecro. ongamos - l¿. bL por ta proposiciónnterior. t)c i 'n lrenedla ) ) a f¡br. tr¡egocontreneumbiénac.esdecü,e\isrer . I ta lq ue(x ) : c.

|¡ t t t t l l t¡ llllltlll re latl x r or c us. l n rcx n<r .lnrnr

conxinuan odoRy cooro i {) ) l<{) y(l)=2>0,porcl tcorcnrdc }tr larr

existealmenosun€ (0,1) lquc (x) = 0 que s oque uerlamoscmostrnr'

Otrapropiedadmportante e as unciones ontinuas s a sigüiente:

Teorema eWeierstr¡ss. i es continua n a,b], entoncestieneunmáxinr)y un nínimo en 4,b], esdecir,existen untoscy d de a,bl talesque



," lx'jt,tl::Tt#íi.Tj.l"i:t;H.tr":':ilTrjiiT'i:I1llit;:"1,:",.,uondistintosecero, e (a, b).

Elemplo36

"*"fJ:#:ffi;1"1:*:Tifod;B;l'aoo

a-os orarqu€ rporinomioxr+x r

La fu¡ción potinónica f(r)

16 8

' Figura3.30

= 2xr + x + I escon¡inua nel ntervalo 0,

(c)> (x) y (d) < f(x)

para odo x € [a,b] (ver a igura3.3 ).

. rvolarEste €sultadoo ndica ónde €encuentranl má'dmo el mínimo. ólo rlittrr[ l

Eierc¡c¡o 7Probarque a ecuación a+ 2x3- 9 = 0 ti€neal menos nasoluciónen [0, 2]

solución. La tunciónpolinórnicaf(x) = x4+ 2x3 9 es continuaen €l inte alo 10,2

además,(0) = 9<0 v f(2) = 23>0 La tunción verifica ashipótesis elTeorc

deBolzano, uegoexisteal menos n x0 e (0, 2) talque (xo) = 0

Luego, lpürtox0 € (0, 2) esu¡asolucióndeaecuación4+ 2x3 9 : 0.

Ejercicio3S

Demostraruea i¡nció¡ (x) =

Solución.Por ser(x) una unción

1+ x3- x5 tieneal menos na aíz e¿l.

polinómica,es continua en R; además, (0) : I

ll . deheclo, s

1

(,1) - ) t5, h¡Bo vórlt jc 0s iBtrcsistc tt.

,,n,,.,.,.u"""*""J;;;J**:,,il':l::j'lí:^;i::;'f:T:,i;i"_ Elomplo 9

a) L¿ función : [0, +€)+R, definida or f(x) = x

[0, +@) Además,como(0) = 0 Y, es crccrcrrtcy fltfrrrrl¡r L'rl

lim f(x)

por tanto, todo número real k>0 existe un número ref l l xt ll , l r l r f l , '



3-8 Cont¡nuidad e ta unción nversaR^ecordemosas ieuienredeñnicionesinrroducdas net emaL

*il::'::f l:i3;l'J;:jl:fTji::ffii:.il,":,ite¿.'e.¡?,len'cua¡dopar¿cadapar

,,,,;.'."";:":[.T,?iijilÍll1l;ig1,;1,".:{";;;.,n-"

,*-* o-,."*- u¡a1unc¡ón onótonaen 'l nrenalo esuna irnción recrenredecrecrenten

;#:ii#ttr*T'$:l.continuidad de a u¡ciónnversaequierea ntroducciónrerUna irnciónes ,¡J,¿criraj f(x) = f(y),conx,y€Domf :+ x = y.

. Toda tnción monótonacreciente dec¡ecienre)enun ntervalo es rl¿cria €nL por

:::]::"il¡:l:-,ñ..r9g invena f-r. si ¿demás es conünua ¡ t. entonces(¡, es unitf ,.11J"lii,:ff:i.i,ifl:i#,;x1.,*il"1._,J,.i:,¡;;;;;;;":,ñffi" l1.::

- Sea una fi¡ncióncontinua creciente, nun ntervalo . Entonces (I) esunintervaloylatuncióninversaf I

estambiéncontinuayc¡eciente,en (I).- Sea una ñnción continuay decreciente,nu¡ nrervalo l. Entonces (I) esun ntervaloy la firnción nversa r es ambién ont¡nua de€¡ecient€,n (I) .

17 0 17 1

Para

f(0)<k<f(x1) y,por€lteoremadelosvaloresintermedios,exislex>l)Í l i I | ¡ i l \ ) l '

Por consiguiente, l dominio d€ defiI¡ición de la funciri. i¡rvcr¡¡r tr u¡

f(t0,+ó)): [0,+ó) y dicha unciónnveN¿ s también rceierr l( t"rrrrrrrr¡rrl

[0, +ú) . PaIadeterminar sta unción nversa ondremos : f(x) x' , (Ir1 lo rlrr

r lv) = *: .[. eortanto, r:[0, +o) +R es a un ción efinida or

r lx ) = .A . paraad a > 0.

3.9 ConceotosClave

Lfmite de ur¡ función f(x) €n un punto "¡". Es el valor al que i€ndecuando tiendea"a".Limites l¡ter¡l$ enx = a. SoÍ losvaloresa que iende a funcióncuandonos

11m

Límite3 determinadN.+o+b=+ó +ó+(+ @)=+ooa+(@)=-6 (+ó).b=+@,sib>0(+ú)(+@)=+ó (á).b=-@,sib>0

(-ó). ({ ) -+ ó (+ó).(.ó)=-co

a = co , sl a> I a

¿ : u.sra>lLímites indeterminados.@0

; i 0 r d(a-urr

f ix!=L I l in f ix) = M

(+ó).b=-@,sib<0(-ó). b =+@, ib < 0

a^

= 0,si0<a<1

Co¡ltlnufd[ddoüno ünctón.Un" un"j6n t"-lorr¡, uaenunpunto cuando

lim f(x) = fta)

i{üllJllil,iJu:}:'."J.i:tr"í.fi:i*##f,".,*,li.o,i*#;i1,,-lmltes^en.etnt¡niro.H timi¡edeuna uoción n mfiniroesb cua¡do.Darauo¡cs ur,crenremenesrandes e a . tos atoreq . r , n i,.li,i..ñi"",.rji,?i

B) No €xiste fmitlJ ¡fcrulpor hdcrecha.

Escontinua.

Prcblema 5

La unción (x), arte ntemde , enx : n, conn unnúmero atural' eri ie¡l

lmite latemlpor a derecha.



3.10Autoevaluación

Probloma

l.f l Lrnción(x ) = -- f , ,*apunto*: , ,*". ,(x - l) -

A) Límitesateralesinitos guates.ll) Limites arerales¡finitos iguates.C) Lirnites aterates esisuates.

Problema

La unción(x) =

A) Linite infi¡ito

x2-l si x< 0x 1 si O<x<tx2+l si x> l

B) Llmi@ iniro C) Notiene lmire

, enelpuüto = 1,

troblema 3

Lañ¡nción(x)

roblema

La irnción I(x) =

= x2", conn e N, cua¡doxtien¿le -@,tiendea:B) -. C) No tiene imire

1

x< 0,enx = 0, verif ica.

t2

Existenos lmires ¿rerales,eronoson guales.

1

A) No existeB) Es continua.C) Existen os lmites ¿terales erono son guales

Problema

Latunción(x) = xl + I, entre Y3:A) Tiene na aiz.B) Toma l v¿lor7.C) Tomaosdos alorcs y7.

ProblemaS

Jx+ I siLaf rmciónix) I

L x-+x

Problema 7

Seanlastuncionescontinuas(x) = x2+ t y cC) =l,

sonR y R - { 0} r€sp€ctivamente.ntoncesa fi¡ncióng' f(x)A) ErtodoR.B) En odo R, exc€pto DelPünto0.C) EntodoR,exc€pto nelpunto I

cuyos oniniosdedcfirici

- l <x< 0

A) Escontinuaen x:

0 .B) Noescontinuaenx= 0, peroienelmites ateralesneste unto.

C) No tiene ímite latenl por a derecha.

Ffobloma| 'L | \2

Scs a uncióntx ) - l : j - I renronces.ere n¡ca:

A) (x) tiende infinito cuando tiendea nfiniro_8) (x) tiende nfi¡ito cuando riendea -ó .

C) (x) tiendea I cuando tiendea-ó .

Tema . Funciones erivables



Problema10

Latunción (x)=

1+ x3 x5 tieneA) Ninguna a iz real.B) Al menos ¡a raíz eal.C) Una aíz ealen (2, +@)

Solüciones el test

t23456789t0BCAACBAAC B

17417

En esteemaseestudia l conc€pto e derivada euna unción enunpuntoy sccÍl l!l${ r'rlasDrimeraseslas e a d€ri!ación.Mie¡nasqueel conceptoeconlinuida,lc\p¡rr(ll¡r ltidJ ioruiriva équepod,amosibujaragñiñc;sin evanl¿r l ápir delp¿pcl.0 (\r\r(rn indederi\adásein¡;rpr¡ucomoquedichaS¡áficaessuave.esdecirha)ausenc

4-l Tasadevariaciónmed¡ade una unciónLa rasa evariación e una imciónda una dea e a rapide/,conuecrece dcLrc(c

tunciónen un intervalo. Supongamosue a tunción f(x) = 3x' mide el espacio ccofl drporun cocheenun iempo x, entonces, arahacemos na deade a velocidadconquccnc rllpodemosonsidera¡if€r€ntesnt€rvalos,orejemploos ntervalosl , 2l , [3, 5 . 1 . 1(ll

y observamosl espacioecofridoporel oocheeneslos ¡tervalos,et l ,2 l = f (2)- f (1) = t2 3 = e,

e[3,5] = f(5) l(3) = '7s 27 = 48 ,

e[6, 0] = 300- 108 = 192.

Llamaremos asa de variaciónmedia de la función en cada uno de estos nlcNulos ¡resDacioecomdoD l inLervaloi\ d¡dopora ongi rudel inÉrvalo.sro s po 'clr icrnemDleadon ecorrereslesDacio blenernocD lcaso aflicular e os nle^alos lc8trl'anil5a

- e[ ' 2l - ' .

rr 1\r

- - - - - - _ ¿r .

. r " . . " r _ 48 .'¡t6.ol ---

De forma precisadefinimos ta tasa de variación m€dia d€ una función medianlc ltdefiniciónsiguiente:

D0tlnlcfón.Se l¿ma as¿dewrnc¡ón nedn deU fitnción x) en et nrervatofx, , . n I hl atnúmerormeñnidoporrn

f lxo- hr f{ \o)

L.r,¡usoevariación edia uedeerpo<iri\ . negaritalnuta. epenaienaoel¡r lordel\n +il- f (xot.

ilxo-l'h)

f(xo)



Deffnición,Se.llama a,r¿de yat¡ación ínstantanead€ la función f(x) en el

:::j::1"1']':,f ,r:,:: "sase ariación€dian ", .t"","r;;i,;; ;l;.cuandoaampritudde ",""l;ffi;;J:il; ;'ilH:jll.i:i,:}

. ,. t - lro hr . f t ro)

"-,1T"- o -

La tasa evarjaciónnsranráneaambjen uededepeodiendoe os , roÁ;; ; ; ' ; i" ü; '

*' eosrü\ nesdrivanura'

4.2 Tasadevariación nstantánea

:,1liT}fffil'i:ili:':ffi:?"':."i#T;fTtiit;fi"::Til:jiffi''"*fifi::or a velocidadnun nstanteado o para espo*"."

*,"r".r,on *U"-"""",*ifjir crvalosdeaformax0,xo+h] deamplitudcada ezmás equeñaestudiarl lmire

liJ;,llii'1"J#ffJ#:|;;¡Ti:sn'ffilarosuandoiendecero.e sraormae esa

761

4-3 Der¡vada e una unciónen un punto

Íl conceotode ü'a de variacion oslanLined parece ¡ la oaturulc/aLrt r(l¡"ir ""d i fe_eDtesmagni ludes)endiferentessi tuacione' .no\olamenleenrelacioncon| ' \Jde uD ocbe. I nombre ue e e daa esle onceDtoe ormagenerálesl0 eoerrn !r ' l

Defrnición.Se dic€queuna f]dJr'ciónesdettuableen unpuntoa ct) Ído exisfeel ímite

. . f tat h) (a )

h, o n

En estecaso, dicho límite se desig¡a por f'(a) y se laü^

detiliada delen o.

Por consiguiente,na unción esderivabieen a siy sólo si os ímites aterales

-. f ra-hr ia' , . f ta'h) l(a)r ' ió ' ¡ r 'n h

existeny son guales.Estos ímites se laman d€dvadasat€rales,por la izqüierdav por lderechaespectivamenie,e €n a

Asípues,a derivadadeuna unción en unpuntoa es,pordefinición,

,. _ (a I h) - l ld), ,, , _o,,lo__¡

.

cuando stelmite exista.A veces eescribe| / . \ (4t ral - l rm '" '

10cualno suponemásqueel cambiod€notaciónx : a+ h , obsérveseuecuando tiendc0" ( iendehaciaay recíprocamente.

. Existendiferente otaciones aú expresara derivada euna unciónen unpuntoa:

f 'C)= H(4 = Drr(a)t y,(a).

Presentamosademosr¡ació¡ el resulrado ¡rerior.(Diúgidoa ectoresnre¡esados).Demosrr¡ciótr.n electo. orserderi\able oae^rcle

Düh'aú .tuumlitñ(htk(n t n t

n) Sea la unción efi id0 or 11x) l5 pAmtodox R. Entonces

f' la): li m(a + h) r la) = t; ' ' ' '1sa15 = limo= 0- '- ' r ' -o h hJ o h hr o

y, portanto,atunción (x) = 15 esderivableentodopunt ov'(a) = 0 paratodo¡

b) Seala tuncióndefi¡idapor(x) = x para adax€ R Entonces



f'(a)= rirn I):g!.' x+ a x a 'y como, parax r a, es

r¡*¡ r¡"¡={9:-(")¡,-4,

[¡cgo

csdecir, escontinuaena.

,d:ffi""¿'dtriJ:,I'i :i':ll:":: :;#s r.:: :doo s,eno¡ejemproosocxisrenuncioñesquesonc"",¡il;Iiti"".piji,lll,i,ii,:"%.#;ffi:::i;Í$il"

'"".". Hay unciones ontinuas uenosonderivables.

;i|H.,Há'i"li":L?:,*É""*,tl#i,?,i:'f#:: **"" es erivablenpu€s,i,o

Elemplo'l

""::::::l'-*'""''u=,'

, l im"(f(x)-(O)= f,(a).0 = 0,

¡lim(x) = f(a),

Eemplo2Aplicamosa d€finiciónde deriv¡da

17 8

sr x<0

",,, , o

no esoertrablen0 puego uenoe,

E

pala obtener a de¡ivadade alguhas uncion€.

r' (ar t im f ia ht - fta) -'i '

1-lJ t im | - |h ,o h F .o h b o

y, por anto,la unción (x) = x esderivable n odopunto f'(a) = I paratodotr'

c) Seala tunción deñnidapor f(x) = x2 paracada € R. Entonces

r ru,-r i .oB--*&- Jg"3f i -r imo(2a, 2,

y, por anto, a tunción (x) = x2 esderivableen odopüntov f '(a) : 2a para odo a-

d) Engenerala derivadae atunción (x) = xi es '(x) = n*o-r ."on

o t N

Porejemploaderivadade(x) = x5 será '(x) = 5xa

e) con la definición de derivadademostmmosüe a tunción fdefinida pof f(x) = lxl

paracada e R no esderivableen a = 0 Yaque

f(h) f(0) hlhh

.. ftht f l0)yportanto

'.T| , r ,

: -, .

.. f(h) f(0)tuegonoexrsre

,,T"--- ¡., -

-Jt . th.oI l s ih>0

.. fth) f(0)

f) S€a 1a uncióndeñnidapor f(x) = 4x2 pamc¿da € R Entonces

f(a+h) - 4(a+h)2 = 41u2 2u¡* h2¡ : 4a2+ 8ah+ 4h2 ; f(a) : 4a'?

f( a rh)- f ta l - 4a2-Sub 4h¿ +u2 - 8u h lh 2 - o- ,uhh

r',u) l irno!3-+:!4 .fl imor8a

h) 8a

y, por tanto, a lunción f(x) = 4x'? es derivableen toilo puntoy f'(a) = 8a paratod

a € R.

17

EJsrclcto

fu-Aplicarla definición de de¡ivadapara calcular en ei punto x = 2, ta derivadade las

a) f(x) = x2 oi ef,)=*c) p(x) =

^Asoruc¡¡n.a e¡ivada t

er a a a no, nc on

. . . ot .¿ h,-Dr2r , "D' i l ta

r*gontifno!!-+:]lj.'l

-Jl=1#

,se resentandetermirrnrir\rri t

= ,,^tJz*- rt>tJTl'+t¡ : i^ -1:h'-2:- =h+ o h(12+h+12) h+0h(J2+h+r/2)

l im+-- ! ,es¿.. ' ,Pi: r - - l +. -oJ2+h J2 2J2 212



eunurun"ioo* onp..tou,""l,r"IJ";"iÍ;.?"-f'(a) = ü¡ fG+hl:¡O.

s)Calculamos:

.2 \=22=4 y f(z+h) = (2+h)2 = 4+4h+h2.f (2 +ht f (2) = 4+4h+h2- 4 = th+h2.f (2+hr- f t2) 4h+Á2--¡- =

f , =+*¡

tuego l;,¡ l2+h)-t(.zl- ¡ :n h- ; 'T. ,"

h) . .1.e.deci ¡.f r2r - 4.b) Calculamos:

E@=+=is(2+h)_e(2)

s(2+h_)e(2)= _@

Y g(2+b)= -=f.- = --t-¿t¿+h) 4+2h

I | , - r r r l ,¡.rb -¿ = =E=;i-!=

#Añh

::":: ;T.""t?* =;r,CFr-; =- j,esaecir,,(:) !c.)Análogamenre,

p(2)=rt yp( 2+ h) _p(2)

p( 2+ h) = jZ ¡ h.=^EÁ-Jt

180

tft+.t¿ = E+¡-t

18

d) A¡álogamente,

q(2\= 3.22 (2.2)+r = 9.

q(2+h) = 3(2+h)2 2(2+h)+r :3h2+ 10h+9.

q(2+h) q(2) 3h2+ 0h.

q{2 hr qr2r- Jhr loh 3h ru.

l* *o,*off

=hl im(3h+10)

= lo,esdecir,'(2)= 10 .

Másadelantee erá ueasuma e uncioneserivabtessuna uación erivable:

. Las unciorcsolinómicas(x) = aoxi+ a, ,xo1+...+aoson erivables.

Ejercicio4

Estudiar a co¡tinuidady derivabilidad e a tunción f:R -+ R definidapor

(l r \ s i x : l

f( \) I3x I s i x>l

I

Solución. ncada node os ntervalos-ó,1) y (1,+ó) la ñmción tieneunaexpresipolinómica,portanto,e¡ continua. eamossi fes continuae¡ x = I

l i ln f (x ) = f i i i 2x=2 l im,f (x ) = l im (3x l )=2 y t(r \=2xJl xr l x+l-

como lifn f(x) = lin,f(x): f(1), entoncestambien s ontinua€n = 1xe l

Comoencada node os ntervalos ó, 1) y (1,+@) la unción tieneunaexpresi

Dolinómica.entonceses derivable.En x = 1 la ft[ción f seni derivable si las derivadaiatelalesen 1 existen son guales.

, ' lXtt+t-,"1?t+u ',: i#=,, i1.41+{ =

hrim.t3(r+h)l-2=,g,# -,

Por ernh

{rt+4*.g.(]1+=4r,h tunciónnoes erivabren

Porser ¡m (x) * l im (x),entoncesafunciónnoescontinuaen= 0.



Portanto,launción s ontinua nR y de.ivablenR_ {t } .

Ele¡cicio5

Estudiaracontinuidadderivabilidade a i¡ncrón.:R+ R definida o¡

Solüción. or re¡er u¡aexpresiónolinómca

v { r.' o r. €oroncesesc."ir* ";;;;;"" ;.T:adaunode oi inrefta

05 6. 0r. (0. | )Veamosue cun€ nx = 0y x = 1.6o*=0setiene,

. l itU =

** "= o,, '$. t( t =,r, .^,(x+) = I y r(0) l.

1821

En x = I sehene,

üm (x) = l im (x + l) = 2 , li n f (x ) = li m (x2+l) =2 t f (1) :2 .xJ l -

Cono lim f(x) = lifl f(x) = f(l) = 2 , ento¡ceses continua nx = l.x+ t x+l '

Por tener f una expresiónpolinómicaen cadauno de los intewalos (4, 0) , (0. I )( 1,+ó ) , entonceses derivableencada no dedichosnte¡valos

En x = 0, la funciónno escontinua,uego o puede erd€rivable enx : I s€ ienc.

,y, t'F- =,Tilri= =,.y,| =''

, la ñmción no es derivable

Portanto,launción s ontinuanR- {0} y deriv¿blenR- {0,1}.

EiercicioDeterminarasconstantesybp¿ra ue ea edvablenx : 0 la unc;ón

.. f +hr-fr l ) , {1+b)2+l 2 - li m (2 b) 2ürt+h[+1*nhr t*

. . f {1+h)- f l l ) . .Por ser llm _-É I'lrl

hJ lo h-1+

f ( l +h) f (1)

IfG) =] * ' si x<o

lax,bs; r ,0

Solu-c¡ón.i ta u¡ciótr es derivabtenx = 0\ eri f i aqu e\r irn,-{; ; . -"

i l f i ; ' ' ; ;. uenroncese' coDLinuan ' 0. er dec,,. ,e

Co¡no f(0) = 0, lirn f(x) = lim x2resultaque= 0.

=o Y,l im.f(x)

=. l im-,(ax+b) = b,

n q r. x av tr n



",i"'"'i,t*:1i":",'rtJ""*'le enx = 0' enroncesus erivadasareüresxisrencoinciden.

,y, rel*4 =hüm.r(o+hf(o)como

orinf+-.!! =,,$,9+& _nl"l,n 0.

: . '!.{ea?{=,\1.t1!+r,,ll.f=",

Luego,pa¡aque seadedvabteenx = 0 debe eniicarsea = b = 0.

Ejerc¡c¡oEstudiaracontinuidadderivabilidade añmción(x) = lx_31

Solución. a unciónes puedexp¡esa¡e¿ o¡ma*, :_;r x< 3

si x>3

Jñ::*T:i:;'-:' 'entoncesx-3J= -(x-3) = 3 x, v six >3+ x- 3>0.

"*llilll"H:,TT:1"il1il,ffi.1::Jjff:::,1,I;,il1.;;¿--*",".- '*- ( t

=

-"1-(3-t

: 0,,- - tG) =, lq.G-3) = o, ,u, = o,

' ,g-t(4=,9.(') = r(3) = 0, esurtauees onrinuan = 3.

1U

rr:-) nr5ei+ll :,T Uaai- -

"y,* r,

f ,(3+): l i rn f(3:f \)- f(3) = 1¡ ¡((3+h) 3) 0

' ' ¡ ,0* h nr0* ¡

Porser '(3 ) * f'(3+),latunciónfnoesderivableen. :

4-4 Interpretación eoméfrica e a derivada

Sea un¿firnción deivable en un punto5 y consideremosa gráficade f, es dccir, el

coniunto le untos eR2 de a orma x, (x)) donde recorre ldorninio e . Dospurros l(

h e;áficade deterninan un rectasecante dicbag¡áfica.La ecuación e a secantc rre nNpo;eipunto a, a)) y porotropuntoarbitrario a + h, (a + h)),h * 0, de a gráficadc ct

y-r,ut- Ía-I):J14,^ u,

.. h=nTn¡= ' '

3.

La tangente a la gniflca de fen el punto (a, f(a)) es a r¿¿¡d ítt¡ile de las rectas secanLcslrk

f(a+h) t(a)

18

i r l rcrrr r l t r '¡ r . t ¡ l l y l r t r1,r ru u l , , . rú i trJr( , . l

iii,:l;:i.:l;;:i.i,,i;Jl;:,,,,..;,;;i;.i;:;ll',:,,t,l,.tl".1ili'i:,;.i:;fl;5;1i:i.ll"i;;;;l:l (a + h) fra)-;-

I c¡dea f'( a) . Asípues, or deñnicjón,ataneenre taeftifca de en (a, a)) es d tectay_ f(a) : f ,(a) . (x al .

dennidauando

Delinición.ca :R + R una u¡cióD erivable¡ sudonrinro)orrr()) s(

f ' :R ) R

\ ,f(x) ri T1i x hr i lx)

k



,1,, , , :s"i : , : :T",: . . : ,a e¡;t : ;;,: - ,iü,'. ¿ecbueása",,"'i'il;i'll:'i,:;..::il.::Jl*;:.il."j1

Ejempto8

l"a angenre asráfica e a unción (x) : r3 enetpunto t, J esy I = f,( l)(x l)

A¡oracalculamosade.ivadae (r) y obrenemos,(x ) = 3x2 enefecro

#_r|hr . \

-r { 'h Jxhr h''' n --_-h _-

11"¡=nr,ln

1'*hP =¡1303;t#jrl = 3;,

esdecirf'(l) = 3 luego onctuimosue a ansenreuscadas a ectay I = 3( x l) .

4-5 Funciónderivada.De¡¡vadas uceslvas

,"h#:,:il;:t::fftr::H"1,.J._í.lffiá*il:ü:r.:ir#il"::x., raoa

L¡natuncion. ta funcró¡queacadáx. l

; e^ da'r, . . " ;i;;;;:;;;:i;:1,ff J;,",f ::i:$fi,:;p"JJ;:

A estaunciónse e denomin^futlciónderiwla de función.l

Ei dominiode a derivabitjd¿de está onnado or odos os'lfrr!

rrr" l''L

dominio e eD oscuslesesderivable.

4-5.'1Derivaclasl¡cesivas

P^nlr1'osel^ unción.leira¿iapdmem) e v desig¡adaor ' por '" ol¡f l)ll | |

tunción f')', esd€cir.la unción erivadate ', se lar¡aderiladd esutlld'le

r ! ¡t t't

po, t" o po. 12) ,e.oatogament€,a unción f")' ' derivadae f" ' sc lama¿ tittkt t' t' tt 't

de y s€desigla or t"' oPo.13).

Así, sedefinenas¿¿l¡rddas r.¿slv¿¡.seuna u¡ción f:

l ') = ', ") =(l ' '))'con €1 indeunificar¿s otacioneseesc¡teaveces0) = t

E¡emplo

a)Lasderivadasucesivase a unción (x) : x' son

f(x) : 3x'?, "(x) = 6x,f" '(x) = a' , l ' )1*¡ = 0 paran>:l

b) Seanun número aturaly onsideremosa tmción

I(^ J - -; - {\ a) \' ¡

t\ -a l

Entonces,Parax+4,

f'(1) = -m(x a) - - ''vistoenel ejemplo paran € N

lm 2lf Lr ) ml m l) lr al

l" ' t \ ) - mr m lrrm 2'rr ar ' '

Deestas ómulas sepuede nferir a ¡terivada -ésima e :18 6

18

4'6.2 Derivada elDroductode n número ealpor uná unc¡ón

(¡ ' t ' (a) : x f ' (a).La ¿erit acLl delpro.lucto de un nrlnero ftol par una función es Sudl dl nú"k tt )rcal pot la detiwda de la unciót.

t r"r(x)= (-t)nm(m+ l) (n 2). . . ( ln+n t.¡1*_u¡ _ "

4-6 Derivadas e asoperaciones on unc¡ones....lll..lllg!*" etcdlúuroera den\ dade''''''¡ ¡u..

'r'l ic<\ponenprocc.o, ede¡i\acjon'¡d tuncjon

'e denonit'¿L1c,i .¡on

4.6.1Derivada,e asumao diferenc¡a eclos unc¡ones

t t t r t l ,n^ tr t ¡ \ t \ t I \ , l r

Sea " u n número€aly unafunciónderivablena entonces l es ambión

si ryssonderivabresenaentoncest;;r



(f+ gxa + hl _ (f+ gxa) f(a + h) + s(a+ l.) (f(a)+ e(a)) =

= (a + ¡f:E) +cG+hl - s(a),for¡o t yg sonderjvables na,

i 'Tr!-*& r"',r ) , ¡m0s]i-! l-g!11sra,

l*tu&l*{@ = ,(a)e,(a).

^ná ogamenree ¡ueba ue - I es anbién erilaore nay

(f_e) '(a) = f ,(a) s,(a).

Elemplo 0

") Laderivadae a unción(x) _ xa + : x , recoroandoiEjenpto2,seÍí¡ ( \ ) = 4x '+ l

b)A¡álogamenteaderivadae a unción(x) = x2 j será ,(x.) = 2x.

Dc¡nostración.Dirigido ectoresnteresadot-Parah+0sc1ien€

(¡".1)(a+h) (¡ . f )(a) ¡"t f (a+h) f(a) lhh

como €s derivable n3,

,'y.e:|.P : t'r"r,

lmI lf t¿ .1'r f t¿r] /. t rníah) 'r ld) , , (dl

r ' -o h h- n n

x3 es f'(x) = 3x2, por tanto evaluadaen el punl,

luego

Ejemp¡olLa derivad¿e a función (x) =

x=1esf ' (1):3.

De1 enunciado emostradorriba concLurnos ue para g1x¡ = 2x3 sc

g' (x) 6x'zy e'(1) 2 3=6.

4-6.3Derivada el Droducto edos uñciones

Si y gsoninciones erivablesna.enronces g esambién erivablenav

(f s)'(a)= f ' (a) s(a)+ (a ) s'(a).La deriútla delproducrode dos uncioneses guald lo detivada.le a prinerafunció por la sesúndas¡n deirar m¿s a prineru lünción sin detirat por taderiwda de a sesunda.

Demostración.Dirigido edoresnleresados).

;;;;;énderr;r€sen;(r +e) ' (a)= f,(a) c'(a) y (f g)(a) = f,(a)_s,(a).

\uno (resta) de do, fin.int itt¿rd'dcp,td\lLtt¿a4 td \una /rc:ta' rie ld'

l)rmoir¡ación. (Dirjgjdo a ectoresnreresados).|r r ¡ rh70se t ienLr

18 818

--"_.-.

9!"+=isx,r - rlalh)s(n.r_rr)l )s{r)

rlá+hl f( a g( a+ h + l ¿ sta+ h_.1_-g1!

^hornbren. y g so¡ denvables ¡ a ).por ta¡¡o,

G+hf rG) r'(4 y

(a+h)s(a+h) f(a)g(a1h)+f(a)s({+h)_(a)s(a)

,

b) L dcrivadac r i lnción 1x ) = 3x 2 'x+l es ' (r i) = 6x+ 1'

c) Una unción olinómica1i ) = c0+crx+c2x2+ .+coxo es derivablen tot|

punlo.

lln e ecro: essumade a unción onstanle, por anto, erivable,o(x) = c0 v dc rrs

lirncionesk(x) ="o*u,

k : i,2, n, que ambién on¿lerivablesor serprodtrerol

l!nciones erivables.



^cnrá,. es o¡rinuan por,erde¡i\bte.ue8o

htTog(a h)= sl¡limo(¿+ )] = s(a).

hli'" ür,-^cGa+ggl s,(")

JT.cr*+tlQfo = '(a)s(a)(a)g\a),csdecir . g esderivablenay

(r.s),(a) = f,(a). s(a)+ f(a). e,(a).

Ejerñpto 2

Laderivadae (x)

c(x) = x

y resulta ¡'(x) = I

Ejemplo 13al Como emos isLo net Fjer¡pto . ¿. uDc¡ones

f¡(x ) = xo = 1 , f,(x)=xl , t2(x)=x2,lienen €.ivadas

= x(x - I )2 seobtienederivando o¡noel p¡oductode as uncio¡esy h(x) = (x - l ),

(x-l) '?+x.t2(x i) l = 3x 2 ¿x+1.

f3G)= *

1¡ '(x) 0, f ' ,G) = 1, f : ,G) = :* , f , (x) = 3x2, . . . .cs €cirsin(x)= x¡,sesiguetaregtafn,(x):nx.-r.

Pr¡esien ro rerutraercienoa,, oao ume.oaruratr.

1901

Además,ar a ad a € R seti€neo'(a)= 0, fk ' (a)= kcoa* ', k: 1,2. .rr,r ' t .r

t ¡rnlo'(a) = ct + 2c1a+ .. +ncna¡I

.

4.6.4 Derivadadé un cocient€ de funcion€3

si fy g sonderivables n ay g(a)+ 0, entonces es ambiénderivableen a v

(f 'c)= lorel4++c1'g)

Ld derívada de un cocíente deluncíones es igal a la denvada áel numetudoliii ii ¿*r.'*¿-

'na"rivar nenos etnumirador ri denvatpottadeti\odo

'detdenon inador. y todo ello dhidido por el denondadot \in Je varctPúrdo

Demostración, Diigido a ectoresnteresados)

f ! ) r"*nr I I ) t "r f ia+b)- f la)-grah.l ra)U4#+ffi ' '

f(a+h)e(a) f(a)g(a) f(a)s(a) f(a)s(a+h.)hs(a+h)g(a)

:e("+)s(alrt'*fi

'et"r rtoelt{-::1o]'

hlünos(ahl : f A, ;*q*@

= r'¡u¡¡om

9Q19_914 : c'{o)

b- 0 hconlormequeríamosdemostrar.

Eiempto 4

_ 1"(a) g(a) (3 ) .8'(a)(e(a)),

Eremplo16

oompuest¿óf,donde

h'( , : s ' ( f (x)) l ' (x) 31*t*** l ¡ t1z** l ;

t^.lrutktf klt ol ru

(a

Jl. o ( j ) ro

,

lllil,"r[r:¡,{#,,*..:tJH:?.,xn,Jil*:i.t"xl#iltufi"",::.¿:x,1tr: La función d€finida or r ' t¡ =

^,f , '*. : i" '**¡" ' , co nx > 0 es 0 l i rr¡r"r



Ejempfo5

f(x) = x'?+x y C(x) =x

y.porlaregladea cadena

l2

x", paracadax , lt, e

;fJl esde vabte n odo

xt

para ta

r€gla de la2

¿)La ünció¡ R + R defini¡ia a¡a ada € Rpo¡ f(x) =J)unb ,porserunaunció¡racional,y sera2 I + 0_ demás,

f t¿ ) = | la'+_l - ( i .2ar _ a2+ 1 (ar+l)_(

," ",ii"T"ll i"l;ili

+Rden¡ida'araada€R {, ,por(x)

h'(x): g'( f(x)). f '(x) = (

I

=I t tx '

+ r l ' ( )x+ i) :

l r1/2Xr(x)) '

2x + I

f ' ,¿, r2a s¡,d.rr !4:rL_gr l .a2.)¿.1¿. )¡ ," tF4{.5.Der¡vacta.de

ta unción ompuesta.Reol

".i*nJ :mtlÍ;nx.ffifu;_l11::;::1:"n,..nes.unc,en,cs

zkl4-5.6Dorlvada e a unción ñversa

Sea una funciónmonótona continuaen un inteflalo Si fes derivable€n u

püntoa interiora dicho ntervaloy f'(a) + 0 , €ntonces u tunción nversar

esderivableen = f(a) y

.! lll f \ ' /h\=-=-, , ,", _

f, n ,,(, . (bD

La dethada eb funciónnwrcaes atuversa e a deri ada

Ejemplo l7

S€an un númeronaturatmpar.La función definida por f1x) =

creciente continuaen (-ó, +a). Su unción nve$aes

La derivadade lacade¡a, obseñ/a¡do

192

tunció¡ (r ) = ("2+*+ t) 3que h(x) - e.¡(x) donde

pued€ calcuia¡se o¡g(x) = x3 y f(x)

la

f-t(*) : , f ' . - xr lú,paracadaxe&y segín elresultado nierior,para x + 0, se iene

l| | f l \ l-

. - - - - - -

" "' t , t f l ( \r , nt f t \¡rn nt\ lr)n-l"" '

I "

Sit""A-iurUf"-"@

(c"f),(a) c,(f(a))r,(a).La derivada .te ta fuh.;Á.) ;::;:i: i:,':{X::::,";J|:;:i,1:J:lT i:n:: l. ",,,,.,óe. ,.,a

19

4.7 Da¡lvadtrdr lr8funcioneselementates

gg'i$'"g$tr-"f;H;$*';;a,ñ$[*j"ffi*'ffi Fancün constanteJ)fufición idenridadDlcte]= 0 y Dtxl = 1

runciórsimple

D[se$(x)]= cos(x)

lrunciónsimpleDloos(x)l sen(x)

Dtsen(f(x)) l= f '(x) cos(1(x))

Dtcos(f(x)) l = -f '(x) sen(f(x))



. FuttciónpotencialFuncjón imple

Dtx''l= n xú -

. Fun ió,t tuhcaadtu¿qFunción imple

DÍ^,&r -L

Función ratzn-esihttFunciónsimple

oru&r --]- "iFr. Fu,'ción ¿xporrenctut

Función impte

Dtel = e-

D[a"] = a '. l¡ a

. Frúcün toguttnicaFunciónsimple

¡tr¡xl =

Dlloe-xl= -L. ' x . lna

194

Furción compuestaDtr(x)"] n. r(x)l '-r.r,(x)

Funcióncompuesta

or.fi*l: =_--..1-2lf(x)

Función ompuestá

'f '(x)

Drx,fitt +=-n, f ¡ r ix;1"r

Funcióncompúesta

Dte{*¡ = erc).f'(x)

Dtat( ' \ = arG).ha .f,(x)

Funcióncompuesta¡flrrf-)lff i

Dtros,f3, = ;!.fl-L(xr . ¡na

' f ' (x)

F'n€iónsimple

D[ts(x)] = 1+te (x )

lDtta(x) l :

-cos xl

. Ftncíón úco seno

Función impleI

ularcseo(xl l --,V1 (x)-

. Futtcíónatco cos¿no

Funciónsimple

Dlarccos(x)l -l

Dttg(f(x)) l = (l * tgt(t(*))) t ' t* I

Dtts(f(x))l -qql-cos-(f(x))

Drarcsen(r(x))r=,ffi

. Funcün arco tangenle

Funcióncompuesta

Dtarcsen(f(x))l=-r'(]()

^/ l - ( f(x))-

6¡ "1*¡ = -I - $ x; e I

d) k(r t = --l-

s, x '0

Funciónsimpte

Dlarcts(x)l = Dtarcts((x)) lf ' lx) -

I + (f(x))-I +(x)2

Eiemplo8Calculamosaderivad¿ecada nade assiguient€sunciones'

a) (x ) : x2+x+1

c) h(x) = x1/2+xr /3 s x>0

c) p(x) = x^/4+ x, Dq(x)=J# si r<x<rAp¡icamosas eglasde derivación aradetemina¡ a unciónderivada.

. r) Aplicanos aderivada eunasuma la derivada¿le napore¡cia:f ,(x) = 2x + 1

lt) Aplicamosaderivada euncociente:

t . (x_t)_t .x r(x+t)2 (x+t)2 '

derivadasegunda.- r( l +x)- l( l -x)

,1'" '2r¡ f rxr- ---11} l l - - -¡ l -x l-J2r l {r r)

" l r -x"^/1* ' .

t ' r9 l t t ¡ l 5 2( l xJ | 2 - l t ' ," . ¡ ' ,' ^ t '

t¿¿

Al sustituirpor0 en stasunciones€ iene: '(0) = 1v f"(0) = I



c)Aplicamos a derivada eunasuma ladeunapor€ncra:

,1. , , t_,hi \ , +x2 - l " i - ' - .1, , r .z '1, , r ¡ - r- , I2 t z^A ¡,Fd) Aplicamosa de¡ivada eun cociente de a raizcua¿bada:

k ' (x) =l . (1+^,4)-x.+ r+^A1"&

(l + ",4)2

- " 2=""= 2+,q,i + Jxt¿ 2 + Jr)2

e)Aplicamos a derivada eunproducro taderivada euna atz:

p(x l - l .4 /1, r¿ rr ,__:- J l _*¡+ r '

2^/ l I x' 2 r l ti

t Aplicamos a de¡iv¿da euncociente la derivada euna aíz:

1 ."¡t

x. x. ____:j_)1 1

-2 r\, = ----------:i:_:_____ =(11- x2)'

EJercicio9Calcularnx = 0 laderivadadmera tadedvadaegundae ¡ssiguientesuncioi¡es:

, r q4= pb) sG) = xl6-

c)h(x):3{tr+t+2 O f.fxl fffi

i;:;#¡{{"""-tn{':l"#$:,f."}**#**rn$#f*xl*¡."r;:g'i'}*;;19 6

9 2\ 2b) pix) - t .J9-x \ - j . : . ': .- 2Je. *' Je- ,

. rr-¿*,óJ,-tlffi l_g,*,=------ff i-Portanto,' (0) = 3 Y g"(0)= 0.

c)Antesde derivar, eescribimosa exFesiónde a tuDción omounapotencia

nlx¡ : 3,17+ z* z = ¡a2+ 2x + 2) t 3 .

h(x) J(x'+2x+2)t3(2x+\ .

r "r - r j f j r , , : -zr ,2r- ' r (2x2r2-r \ ' 2r r2r ' ]3 2]

Portanto'(0) '{"

n' t =t $

9x2+2x+ 15x(x lxx 2)-r lx¿ 5)t (x-2, (¡ l ) l

t(" ut^ '" r

2xt 2'7>t(o '^",''

d) k (x)

k ' (x)

(x, r)2(x 2),

:C18x+2)G-1fG 2)'?C eI11?11-1!)-t-2ÍxXx 2)'?+2G-2)G r)']1

18x3 6x2 90r+ 94 Po¡tanto,'(0)=

f;v t'{o)

¡x-t1r1x : . ¡r

47

Eiercicio 0¿Enquepuntode

f(x) : x2 ?x+3la gráfica sevedñca que a r€cta angente

esparalelaal¿rectax + Y- 3 = 0?

a ia grafica e a tun(i¡

19

Sohr( ló| l . ¡, i ,mr¡de .5ot \ (rcsr, r¡ , \ l ( r I

,,"1i:il;Í5.'":;1iil'rTi";ü1lll:li::,c,pu,,(oh.sc,ú,,cnlonces,aecuacióny (a2-j^+3\ = (2a-7)(x a) ,(2 a ])x y-a(2a-1\+(a2 7a.+3)= 0.

.,""-,:,::::1$3:T:;',",;,,i:lilTli.,ltlT:3ilÍ13i";,íJ,J:l.rdeprineracoordenadaelAniíloganente,nvecrorrle irección e a ccta x+ y _ 3 = 0 es t, 5).

l | r I I I tu\ot,t

b)ADálos¡mcnLcsctrf, l ie¡hdcrivrdrdcunapoLcnciry larcgltrdclrrcr!( ldr

g' (x) = l (I rcos'z(x)) '?(Icos'?(x)) '= ( I cos2(x))r2eos(x)(fo{(\

= 3( l +cos2(x)) '?2cos(x)(-sen(x))=sen(x)cos(x)(1 osr(r))l

c) Análoga'nent€eaplicaa €gla e ¿cadena,

rr ' (x)= ( sen(cos(x))Xcos(x)) 'ren(cos(x))sen(x)

d) Si enemosncuenta ueu( x) = (rg(2x))r/3,entonces



,'';:;":';i1:l"i:H:l"J:,f:iffi"":",1ilil::";;::#:'ffiff?

i '= ' .lz"-:= s. '

desoluciónm= 1Y a=l'

Sia: l ,enlonces(l i = 3 y eipünrouscaoos 1 ,_j).. Otra orma e esolver sre roblema:

,,,ilf'J"o''l"0,""1,":'"':l.t.o"o,.o.t:,"'iff"iii.o_.dl"oo:;ff1"",",".,.,,"0..,r*o'.",. ",*.,"ü"; ;,;;"il"':

l;:x#:a¡,i,1;tii:'iiti,i::,::"lil::'ffi:l.i:t: ili;.:,;.Ti;:l:Si as

ectasonparaielas,¡toncesus endienreson uales.Asípues,esuita ue2a 7= 5=>2a =2+a= t,

y, pof o anto, ( 1) = 3 . El punto edido s I , _J) .

| .. | 2 Jtl rg2r)r),1r\ r -J i le(2rrr

| lrgl.Z\))l lLgl2¡), , , ,. ,

e) Derivamoscomounproducto,

' ' t ' r- t ' / i iur.,g,* t. "^rarcrgrxrt ,|u ' ..e," ' ', . ' .

arcts(x . "A--f_.

2J x I +x '

2x

r) w'G) ¡ . / l 9_ _2. t t xt _ x fJr (r *u J*2 /x2(t _xr) Jl x,

Eiemplo22s)Para alcularaderivadae (x) = arctgsen(x) ,utilizarnosa egla

Ejercic¡o21Hallara inción¡terjvadae assiguientesunciones:

a) f(x) = sen3(4x)

c) h(x) = costcos(x)l

e) v(x) =

^A .

arcrs(x)

lt +cosr(x)13

u'",eo¡a/iJ¡senl(4x) seaplicaa de¡ivadaeünapotencia ra egla e acadena se

f' (x) = 3 sen2(4x).se¡(4x)), = 12.sen2(4x).cos(4x).

(arcts(u))'= con u = sen(x). Entonces '= cos(x) y

cos lx l

I + (sen)¿(x)

b) La derivada € (x) es(r)+ co(t secalcula tilizandoa resla e")'- e"= sen(x) cos(x).Entonces' = cos(x)-sen(x) y

f ' (x) = (cos(¡) sen(x))e'" ' (¡) 'd n .

1+u2

b) c(x) =

d) u(x) =

i)w(x)

:Solüción.

a) Pa¡a (x) =

I (1 x2)

19 8

1

l¡.rclqlo 23

l)crivsr: a ' frxr - senlrrt Ir rg ru{-i l l

Soh¡clón.

) ¡)crivamos omoun productode uncio¡es.

b) c(x) = ^/il *'

" .." |', /

f ' lxr- Ssen2rr)-r cosrx) t.2x.rgrf i - i ¡ ,

t terytrctq1rn ltft\tq c. .. sr¡ . -

qomplo 4

Supongamosueel espacioeconido or apaficulaen €l tiempo €s (x) = x- x 'cnloncesa velocidad n el instante = 2 venúá dadapor el valor de la dcrivrrdl

l ' (x):2x+l en x = 2 e s €cir,

v:f ' (2)=4+l=5

y laacelerációnn estejnstantesemelvalord€laderivadade2x+1qüeesigü¿la2'



- l ; tg1,421¡:=d] f : r ] - ] -Jt zr cos:rJt 2x t

+se¡rrxr-1.^L _- =

cos.f t 2x ) 2J l -2).= 6xsen2(x2 ¡ . cos1x2

b) Derivamosomo ncoci€nte,

- =!=.""'(;)̂ {-¿G*u()(_,*())i)' (x)=

-".(;J-'*"11

r' 3 t - - /x \--__+rvr x.sen(r l^ /r x '

*c{ ;,

4-8 Interpretaciónís¡cade aderivada

.-\pongamos queuna.paniculaem!¡eve n íneaefla queetespdcroecorrido orellaalaoo eu¡r,empo es lr). La etocidad edia edi.r,upáni.uru,nun nü^;ü ¡;ñ;";l"';x"il,il^l',""1;'.iJ:ifl:.1::H::":",n[.1],.'*xi:juyl;i:i$;{a+h) f(a)

hLa wlocídadnstmtáneae apartículanel nslanrees, ord€tinición,l ímite

Lú fIa + q) f(a)h+o I

esdecr¡,€sfr( a) , derivada elespacioespecto l tiempoenelpunto a.La derivada eeunda ,,(a) se|amaaceteracündetapartícuta nel nstante .

200

Elercicio25

El espacio (t), nedido en metros, ecorridoporüra partículasobreuna ectaal c¡l)(' (lf Isegundosienedado or f(t) = 100+5t 0,001t3Hallar a velocidad la aceleracúrr l'

dicha aflcula€n os ¡stanies = l yt = l0

Solución.La tunción¡lerivaü de a tunciónespacio, (t) , es a finción velocidad,

v(t):f ' (t) = 5-0,003t'?

La ñmciónderivada e a irnciónvelocidad,v(t) , es a tunciónaceleración,

a(t) = v'(t) =f"(t) = 0,0061

Asl pues, nlos nstantes = I y t:10 setienen'

v(l)=

5-0,003= 4,997; a(1) = 0,006,

v(10) = s 0,3=4,7; a(10)=-0,06.

NotashistódcasA inalesdetsiglo,yI tos robtemas e norinie ro eran el rema nncipal de a Fís¡cu

La gan canndadde obsenacíones cunuladas npulsa d la cienciahacia a inwst¡'

gación cuantifaftua de los o,mas de novimie to v los i cíones'cona in'igen?s

abstractasde losptxcesos de noriwie fov dependenci¡t'omiewana ser objeto¡tt

cálcuto.Losúeiosprobkmas de lefetmínaciónde range tes,áreas rolúnenescot''

¡r¡buyercn ambiénengran ne¿ ]a a inpulsar losprocedimienros ecálculo'

Con Newtu y Leibnirz(sielo

^vID

aparecenos conceptos e ínife v detiwda Si

embargo,hasra a segunda itad del sigloxIX no se?amprendi¿ íen el signl¡carlode ta continuidad sepetlsabaque rotla unció connnuadebíaserderiwble en cds

todo! lospuntosy ni siquierahabíaacueño e te lasmatemáticosobrc el concep

de tlció\l). Cauchydio tasprinetas dertnicíones oft¿ta: de ímite de unció|1can

tinxay de deri'¡aday Botzanohizoelpr¡ner e!tudio rigutoso de as unciones con

20

fl;fl04¿tt.""tonese tasderivadasl cálculode limites,Reglade

r,,r:[,*,,:Í:::]."",i:,j:1Í;:deruncionesraradon er tema3 se veia aexistenciae

: ,3 ' ; '0.ó ;ú ó ; r - ;oo .0.

, ,xjljllijol.l"e;i3"._"d€ esorversrasndereminacionesnercaso e raranee

4-9.1Regta eL'Hópital

Elemplo 6

ac"r-r^.*,r'3'o {!,cnclquc parecea ndere'min¡ciórrt'

Jr,*!: JT,eeP'.3

tt;f5,

*"l

que aparecea indetenninación0

volrelrrr I (l¡lr' rrr i t'!'



, .siJrs fu¡croneserirablesjenen ¡. ¡rn¡r..",,,,i"'j.r"".,ii.'i,1;'J::::t:l#,i::,:':f,Hi:iil:li'ru:x.,[:.J:,:..":.,i*xll

R€gla eL'H6pit¡L C¡so09.

S"- ty g ao" uo"ioo"s onrinuasue eriñcanlassiguientesipótesisL li m t(x) = lr mg(x) : 0.

2. -Fnun ier lo nromoreducjdode¡sgr ) ¿ r .3.-Exisren'(x) y g ' (x),quenisorceroniinfinitoalavez,e¡unentomodea.

4.-Existeelímite limf-Q.

x+ ¡ g (x)Entonces:

r'rn .q¡..1 rilnrl!!l\ -sc tx r \_ag ' ( ) . )

Re-gla e-L,H6pital gen€ratiz¡da,Si en ascondiciones nterior€s, deuráseüene que cuando. +a se anulan x), g(x) y sus cspecrivaserivadas

l l l l l l :l l l i l" ; I *i.' .n /" ',,., y er"rr", .q, e , on e¡o i nnni,oaez , nune¡tomodea.

Entonces:

I;,,' (') =',-

l't'l._" g1x) ,+, , in \ r ( )

. ¡r'r¡drEl resulrado svalido para odonúmerc eata e (_@,+@)

202

'n¡orarEl resultado svalidopala odonúmero eal a € ( ó, +@)

]g.

dc L'Hopital generalizad¿hastaobt€neru¡ tesultado distinto dcll

r ' " "+ ' ' " . 'o**- t ry"#i I ; i . ,

RegladeL'H6pital.C{so3 Seany gdos uncionesominuasucvcrill rn

las siguientes ipótesis:

l . - l im f (x) = l im e(x) : ó.

2.-En un ciertoentomo etucidodeaesg(x) + 0

3.-Existetr' (x) y g'(x),quenisonceroniinfinitoalavez,enunenlonc '

f r l r \4.- Existeel imite lim ----r-:r'

r+¿ g xl

Entonces:

ri- !:.l = Li. ri!rr a g(x) x .b grxl

Reglade L'Hóp¡tálgenertliz¡da.Si en a\ condic¡ooesnlerioresderlá"r

uene ue cuando a se anulan ir l . g(x) ) su5 e"pecri\a 'err\"Jr

primera,sesunda,...,yexi" t"o")1' ¡ v g(' )1 ' ¡,quenisonceroniinfini loavez,€nunentornodeaEntonces:

f lx ! . . f ' ( ) , )tr m

-:lt m --- i -

r- ¡ gtx) \+ a o' " , r r I

g.mplo270)C0lculamosim | .enetqu e parece¿ nderermrn¿ción

lim :- = liñ 1x+ ú rn x x+ - I

i^)

b) tim l---l lim 4 - l,ma - u.t .ú 2e'^ rr { 4ez{

La lbrms dcresolverlos es matldo logrtrihot neperianosl

L - l inr f f txr ls ' 'r > rnr = rn I l im ff,x) lg(^\)

y por aspropiedadese os ogaritmos,

l lL l in ln([f t{) ]8", l im I grxr ln{l i {r ' l r l

Por anto,porh deñniciónde ogaritmo,

. . li m c(x) l ¡ ( t f (x) l ) lL = li m lf(x)ler*r: e'-"



4.0.2Reducción e a nctetermÍnactón.@Este caso se ¡esuelve po¡ la rcgla de L,Hdpital una vez rransformadoel limite

correspondierrenunodet ioo1o 9'ó 0

En oscasos n osque lirn f(x) = 0 y tim g(x) = oo, a ndeteminación.a sepuederansfo¡mar n algunade a sigü€nre orma:

-, lg, lf (^) et^,¡ -

"l im,

qiI anarecena etLilo .

f(x)

f , / t \:; y apareceradetrlooY¡u

ilE4,9,3Reducción e a ncteterminactóno co

La indeterminacióne ransforman u¡a deI tipo; . siDmásquedividú numerador

denominadoror (x). g(r) :

l f " l sg) r_l- l im f lx)-Crr) ) - Lm rrx' srxl

1 i- . 0t rx) s(x) {x) e(x)

4-9.4Tratámiento e as ndetermtnacionest ; 00 ; o0Estas ndeterminacionesparecennelcálculode ímitesde a orma:

L = l im tf(x)le(x).

- l im (f(x).s(x)) = l i ln

204

J*i tJFiz{x 2 *Fi

205

Ejercicio2SAplicara regla eL H6pit¿1aúcalcularossiguientesimites:

_*-tx l 12 x+I

"tx- t+,tF tb) lir¡

Solución.

a) Este imite prcsenta na ndeterminación el tipoé

En estecasosepuedeaplic¡rt r

regladeL'Hópital (sólopara

unciones erivablety resultaque

-. x2-.2r, I 21 2llm --!------.----- -

r ' l x"-x ' I I \ 'l Jx _ z\- |

En est€último llmite vuelveaquedar a misma üdeterrninación3. Estásesalva plic0n(io

nuevamentea egla eL'Hópilal .

Í^ ?* 2 : h" =2-=?= ._; !*/ 2".1 , ;róx 2 4 2

b)EnesrelrmitetambiénaparecetainderermindciónS.quesesahaaplica

L'H6pital, pü€ssehata de tncionesderivables result¿ ue

c) lirn

^,/i, t +'E:l

q@:

,,/i+'",'i=

ll

. . 2"8 2"1\-rLrm-=

[mxjr+ -__::L x' r+

lm

^/x '- t tJx+t"/x- l. l . - 2J r t .F7

xJ I .

.Á,- L r -lim ;n

c) lgulme¡te seFesenraa anteriorndere.minación proc€demosleanálogao¡ma:

lim--:--]- - tim I ,\ ¡u . / r \ Jt_\ \ .^ I I

;l=;-;¡=

. l l rJr¡ ' f )po rdelinic iónI+x)" = e "v comoa función xponunc¡rl$eorfrn0x'

por€lapartado)de€ste jemplol

1 1i,,1 lh(r *- 1

l im(l 'x) e -e e

. Este rltimorcsultado e¡mitecalcularácilmente ualquierimite dc ¡r i)r'rrrl



EJomplo29

¡r) linr !t-! = I .

B¡sta plicara regla eL'Hópitat: lim h(l * t) = t;l¡xJ o x xj o

b) l im !1 :6

iBastapticara esta € ,H6pital: im !I = ,,rn ! = n

x++- Ic) l im xtnx = 0.

Haciendolcambiodeariabte1 .L."run¿o,, O' resutlaque) + ó

ti m \tnx ,,ol . l l" t .L j _. ¡;rn _b . ¡\- 0 Y | úJ Y J t ú )

envitud del esultado elaparlado nterior.

I;-:;

I

d) l im xx = l.

Po¡definición, r

lim xr

1€) l im11 x)" =

206

exp(xlnx) y comoaexponencials onti¡ua

scl, t 'm. , , tnx1= exp{0) l/. 2

l , ,n , (¡)rs ' yrecompruebaque' . t Fi l

2l

lin tf(x)leG) '

donde ú<a<+ó y fy g son uncionesales ue (x)+1 para (xlo '

li m g(¡) = +a o -ó, paralasue xista im t(f(x)-1).g(x)l

Enefecto,poniendo(x) = f(x) l seriene

'

Il ¡ l \ lg/\ l

, ,* ,e, , , .l1r t r t^1", . ,l ' ' I

ycomoy = h(x) tiende cero uando tiende acia ,

r -L¡ !

I i rn ( l+h(x))hG)l= l i fn ( l+Y)Y=

e'xJsL . l v+t'

Además, h(x)e(x) = (f(x) l)s(x)'

y oomoa tunciónexponencial scontinualin [(f(x) 1) e(x)l

lim (f(x))sG) : e--"

l r r 1( \ t\

Eiemplo30

/Yr l \r 'a) tim1-l

Esie ímite esde ¿ orma : L l'

", ll:;;J;Jr,,-'.' +,)* es¿erarorma,

( ,\ lnr

rco. t \ , j . ,g, ,e

¡¡ h rcsr^r ' ' \ 's r¡ '

.H6pirai am

,por a¡tonoexistendeteminacióny

".'i'q*#-.o,

rc$olvcmosccscritrcndo¡ lirrr!iórrtle rsiSuicnlcbrrn¿:l l l (o ' r r r | ( ' \ ( r )

\cn l \ r lÉ( \ ) rcn(\ ) senl{r

P€ro si volvemosa sustituiren esta últjn¿ expresión por 0' oblcncnr)s"lrrlo

indeiermin¿ción,sta ez del tipoi, Cue esotvemosplicandouevánentc ¡ fc8lrr l(

L'Hópiral:

r, m.corr\,

¡ ;_ ltl) t ! ,1 ¡."; o

.en(\) ocos{x) I



^plica¡nos calcujar

y c(nnoxlim.cos(x)= t,

",*..::ft+

.T.

#glr m (cos({ l l (rc¡\ ) - -0_ ,

r,') riln :lc{!

d) Al sustituir(por , nos esuitaa ndetermin¿ciór Ó, se ansforma rr{fr¡ 'tl Irl' '

lOu"noa.rr. 'or' .r.onraresladeLHópiral ae\presiondeunción¿d a¡ '* ' r ' r ' 'de a sjguienteorma:

"r"1.t",

rr "r*.ii')(t -*)te[r:!=

Ejerc¡cío fAplicarta.€giadeL Hópiatpamc¡tcuiartos igulen¡esímiresi

a) fi¡n 1-a¡csen(x)x+ox+arctg(x)

'Jl,(**f¡ ¿;

Luego:

t im r t -x ltefIx)

sen\tx, + t1

rr "r*.(j')

1

Solución.(; '

124;* ' ( ; ,,'i'sTffl::":',:#:::'.:ff::":#;..T;:,:T."Tffi::l:

vit"¡taaplicamosa cgtadeL,Hó pital,

-,.6qd, queenetaparradoanrerjo.apiicamosla II cosr/"r

:egladeL'Hópital sücesivamenrere,;P.rJr.*i#+;i$,--"-i_u=ffi,,=;: .il-^.'ii*;;, -*".,.,---,r-o ""j:T+**S{ l

)si sustitujinost por 0 en ta"rp.""*o, n

'" -'""t^r-xsen(¡) j'sutra a inderemi¡ació¡ ó_o, que

llm

I x _a¡csen(x)-x+0x+ardg(x) 0

a

i

d) ri m t - rrtsl!)'\ 2. /

j"."(;i

Ejercicio 2Caicul¿rossigr¡ientesímit€s;

, . (2 x,e\-x 2u) ,,'lo-J - - ., . rx2 2x+lr"

bl l lml-l' -* 'xr

4\+2

a) En este íI¡ite aparecea inaeterm;naciOn| , euesaLv¿mosl aplicar eiteradamenl

reglade L'H6pital, pues antonumeradoromodenominadoron ünciones erivables'

208

2

tor mus ¿l oll .y al rllol ll

l r )" o '- ¡ . '1.¡^. ,im l+ -:----- l ' ]r

Ll, * .L l x¿ 4r+2) j

\r 2r__ ,

Teoremas e Rolley delValorMedio

="^rl'll,-;-

i ; - ,.1

4t0

Teor€m¡deRolle'seafun¿ unción ontinuaena'b] vderivrr¡l('$rrn l') 'tal que f(a) = f(b). Entonces xiste al menosun c (¡r'h) Inl

'|rr

lm-1--il:=__l-__/ ,,_

-e\ - (2 x)e\- ¡\, o rl " ' l '^ --_:_i- -

=,i5lo-e -̂á;('z^le'=ly,# =

Jy,-*#q = ¿

,,il#J::'tr""'f.:ili:i1,1;;;?ffil1,:: seeduce,,ímitee naxpr€siónD,a

Di\rd iendoambospotinomo.resular--2r r | 2. \- |x. 4\ _)



'f ' (c) = 0.

Tangentehorizontal

El Teorcma € Rolle afifma a existencia e uno o variospuntos,sobreel inlerva o ( l'

en oscuale! a gráficade a funciónpresent¿angenle orizontal'esdecir,p¿ralela ||r rc

deteminadaor ospuntosa,f(a)) y (b,f(b)).

E¡emplo33

La tunción :t-l, 1l -+ R deñnida or f(x) = x2, continua ¡ierivable or scr I

poliDomio, eriñca (-1) = (1) = 1' por antopor el Teorcma e RolledebehabcrI

punto en -l, l ) tal que '(x) = 0. Efectiva¡nente(x) = 2x vportanto '(0) = 0

(¡)=0

r ' (c) :o

Ad€más,x '?-2x+l) r\x¿ 4x+2)

lüegoiml{ :

2r l r ' -r,-r, , )\ | , \ . . L t \\ '@xz 4r z i i_" f .¿"- : , T- i '

" . . ,^ l=--- l. ,, - x2 4r, . 2

¿\ |

-,! -

2\ - |_ .entoncescü¿¡doxr iendediqf i Í i rorambré¡ lohácer.y

I t { . -4\+2l iml t . . I l - - i - - _ t imrr" l , ". -4x+21 t_;_\ - i /

l. I lY . ¿ l ' :1--= | I +---- j - l 2x- l I

.\ 4x_21 |2x_1 '

luego,aplica¡do asFopieda.les e os ímites,deducirnosue

r im*:I--t l ' - , , - l , -

rl :3Ji-+^;\ - ¡ x 4x_2 ".;( F4" , ] i

2x_t ,

210

quelrcr !-Il-Lf.l -

|-i2)

-I =

IBusquemoslvalorcdelenunciadoel eoremaDerivamosa unción l

f ' (x)=3r2+2x-1 + f ' (c) = 3¡2+2s-1

Resolvemosaecüaciónc2+2 " 1:1 =+ 3c2+2c 2 = o'

consotuciones:c,' i f , r . , - ' ,tr .a*a. ;c, . 2 -

| 2 lr



Figura4. 8

_.-ElTeoremaetVatormedio uepreseoramosco",jnuu.ión ."eu- qr..",o ocrr_,€.n

ffi,ir:;"1':,:i:*, necesarioue a ecraetermrnaaaoresrosunrosea oüonrar

Recta angente ependiente '(c)

c, 4)

(b, b)

Rectasecantedependiente

(b) - (a)

b- a

¡ ¡gura .9

Ejemplo34

La fir¡ción ix)) = xl+x2-x en et inrern',n-l;*¡';::m;li:1..fr,':lffi:ii,r:¿.Jr,yil;t21 2

I

Figura .10

2

4-ll conceptos lave

Slgni l icado.geom"érricoe tá der¡rada n un punro. s tapendrcnree taecÉ a¡geore a irnción ndicbopünr,o.

: :T: lón:el{ e,¡raáÍeetrrerr}en __f. f ra ¡. ¡ , . , . , , .

;ll;l:'Í11;,:,1xil: "" inrerr¡robierro.querrdue s e.i\ bren adaFunción erl tada. a tuncrónue áce orre.pondercada unro t ator e¿deri \ da e a uncrónndjcho unro. edenáraor 1r1.D€rivadasrcesivas.' ;¡" = r\, .

B) En odoPuniomcnosnx=

IC) En odoPunto enoseü = 0 Yx : I

PrcblemaDeterminaruáldeassigüi€ntesfirmacionesscoffecra:

A) Todañlnció¡ continuaesderiv¿ble'

B) Erdstentncionesderivables uenosonconúnuas'

C) No existenunciones erivables uenosoñcolr¡nuas'



(f ' ) , ; f ' , ,= ( f ) , ; . ; ld : (1 "Regl¡ deL'H6pit!|l.

Derivadase ¡soperaclonesonünciones.eafygderivablesnx = a:- ( f+ e),(a) f,(a)+ s'(a) y (f-exa) = f,(a)_g,(a).- () " f) ' (a)= ¡_ ,(a).- (f .exa) =f(a).s(a)+f(a)

si(a).

, lN (¿)= -ljf_gi -rrar_€!f

-^" ,, "' -- [-¡

-conetat*o'

- (e"O'(a) = e'( (a)) .f,(a) , cons derivabien a).Teor€m¡ deRolte y d€I v¿tor medio.Sea una ñmcióncontim¡aen [a, b] yderivablen (a,b)

- T. Ro e: S1 f(a) = f(b) :- existe at ri ' (c) = 0.

lenosun c € (a'b) ' tal qu e

- T.yalormedía:Existelmenosnc € (a,b), atquer¡"1 = l$p

4-12Autoevaluación

Problema

La unción(x) :

A) En odo unto.

21 4

----:.

esoefl\,abr€:

Problema

t ' .I-a iDción flx) definidaporf(x) =

i x + 1

l * 'z+tA) Elpuntor = 0 B) El punto)( = I

Probloma4

c)- . t *1

c) ""

c) e*cos(e*)

La derivadale a unción C) =^/F;

*'

Problema5

L¿ deriva¡la e a funciónf(x) = e- es:

e¡e' e' B)e e-

Problema

Laderiva¡lac a unción(x) : sen(e') es:

A) cosG') B) -escdr)

si x<0si 0<x<1 , es erivablen:

C) El conjuDto -{0'1 1

lrobloma 7

-,..1:ll"11- ¡ I e5 afatetaaa ansenre¿ rañcae ae\ponenciat\l

lltln o cor¡espondlente:

^)x=lB)x=0 C) Ningun alo¡dex

Probloma

Ln eri\adae ¡ incior t, r - r *2 I r .1 - t e,,

Tema5' Estudioy representacióne

funciones



^)lx2 2x .

rD (2x+1)(x2- l)+(x2+t¡12)(r¡ .

C) 4x3.

Probloma

l-apendi€nree arangenrela gráfica e añnción

A) Mayor queuno B) Menor qüeuno C) Igualauno

f(x) - arctg(x)2

C) arcsen(tg(x,

Probléma0L¡ fi'nción(x) = ards(seD(x)) s a nve¡sae:

A) sen(ts(x)) B) rsGen(x))

Soluciones€l est

1234567a9rcACCBACBCB C

t16

ffig,*u*g$n*- Pu¡toscdtlcos,

- mátimos Y lnimos rclatrvos'

- concavialad convexitl¿d'

,"fr#ij"$:ili#ffi8:'g::li:,";:.r,*i"tlxfw eea'irürsrudioeos

5-l MáximosYm¡nimos

".liii i'i#*;!r'¿:s::l'x;r's*:"#:"''iT:"r';ff:'::áifere¡resmagnrrude..por..Jttp': ._^^.n€quénümero.serralasielprodudode

.r;"D,,'"j.:in:Hff''il:::'Jffi "- calcular a mínimadistanciadesdeel punto (S' 1) a ta grifica de la tunciÓn

Y = 1+x" - 'x

-Dibujarlag¡aficadeafimcrÓn=

--

-'

*i*i?nH"Hil5üiñ".:"fiXi:";*',**ng*tt'*m"#ff'H*T21 7

ll|rtrór, octuc ermitiráepr€sentarla.

tJ o d0 os esultadose ndole eneraluenospermitiránesolversteiDo eorobl€m¿s$¡cl(( l or idorcorcmadebrdoKarl heodor i lhelm eiels'mss8 5 t897r:

'l'corcm¡.Si una u¡ción es continua nun nrervatoenadoa,b], entoncestic¡c ln \^lot náxino absolutoy w \alor mínino úósohroen a, bj, esdecir,cxistcnuntoscyddea, ]t¿lesue

- f(c) > f(x) paraodo e ta,bl .

- (d) < f(x) paratodo e [a,b].

v c¡,nrosnejemplo eaplicaciónedicho eorerna

mlnimosnelinlervalo-5 , 5l



E emplo I

¡,u ¡nción (x) =

¡rbsolr¡ lon c = 1,

Vórseigura5.l .

el intewalo 3, 3], presentan valorminimo

) un \a lormayimo bsoluron d - l. ( t) -I,'

Figura .1

Esrospunroscjdnor ieoenporque5erü¡ icos.Etv¿torm, imodetaI imcionconr inuafen a.bl se uedelcanzarn arios unro, e a.b]y Iomismo cune on t ajormrnimo.Porejemplo,el máximoy el mínino deuna mción constanre(x) - k en a,bl son suatesa k y sealcanzan ncualquierpunrode a,b].

La eráfica e (x) : 2sen(x)+cos 2x) , véaseigura5.2,presentaariosmáximos

218

f, cortnua n

I2

NosDroDonemosenel lasecc¡óDdeÉrmioarlos!aloresmá{¡mo)mrnimodeutul i r

"..i;;;í;

';i;^;l".enadoasi como os punros e dicno nrenalo en o' que ra ruh rr r

toma esos alores. Pam ello, empe/aremo' coD un resulladoque dqa er proorcrnJ'J\l

Eiémplo

La tu¡cióny =

punto a derivada, '

f(x) = l-xa (véase

= - 4x3 ,vale ce¡o

figura5.3) ieneün máximoenx = 0. en dich

Figua5.3

21

. lJrt¡|f i¡nciónlpuedetenerunft ix imoouümtnimoenuüpuntoasinqueseaf,(a)= 0.

lromplo

,,"Jl,'i::'ist:I;i.l#á i,? fi y,,-'''"' no s'(0) 0puestoueno s

Delrcsohadontcriorse educ€nmétodoara etcminar l máx rno elmfnirnodo rflr

lirncióo ontinua nun nteNalo €rrado.

Teorema. ea ünatunción onlinua nun ntervaloerradoa,b]. Lospunlosde a,b] en osque alcanza umáximoy sumínimoperten€cen algunode os¡€s conjunlos lgurentes

- A={x€(a,b):r ' (x) = 0},

_ B= {a,b},

- C= {x e (a, ): ro es erivablen }



' Puede er '(a) : Osinque renga li máximoni mfirimoena.Ur ejemplosencillonos oDrcporcionaa tunción (x) = x3 (véase eu

iffiki;:#jfr;.":,"#"fi

,"trtr"ff;.'"T.1$l;ñ1":'rr"T:

220 22

. Se$lL¡ rt e esul lado.ar a elen¡i rarelme\ imo elminimodeuna uncion "rrr ' rrrd '1 '

u¡ iniervalocenado ta, bl basladelemiDar fia). nbr. Ios valores Y) para o lr'rrr'' \ 'r '(¿ .b) lalesque Lr ) - 0 ) paralospuDro<x(a .b)en osque noseaderivablc : l rrr ' r \ ' !

de odotello" será l máL\imo e fen La.bl) el meoorsera l minimo

. Paraobtener as regionesde crecimientoo d€crecimientode una función puedese

convenienteeguirossiguientesasos:

Ejemplo4Determinemososvalorcsmáximoy mínimo de1¿ mción

(x) = x3 9x2+ 24x - I en el ntervalo 0, 3]

I-á tunció¡ fes deivabl€ en odopuntoy

f' (x)=3x2 18x+24,

adenásf (x)=

0 cuandox=y flrando = 4,

vcomo

f(0)=-1, (2 ) = le, f(3)=17,

elmáximo e en [0, 3] es19y sealc¿nzaen = 2' el mínimoesl y sealcanzanx = 0

(Obsérveseuebemosdescatadoelpuntox = 4 en el cual f'(x) = 0 perodichopunto no

peteneceal nte alo(0, 3

5.2 Crec¡miento decrecimiento e una unción

tl crecimienro decrecrmieoroe u¡a funciónnos puedeorientarsobredóndeq

encuenra¡os ¿loresmárimosminimosdeamrsmalelrgro e aden\aoaosa)' !oarJ

estudiar l carácter e a variación

Teorem¡. Seauna ftnción derivableenun Dtervalo biefo I' Si f'(x) > 0 en odopuntox de , €nfonceses creci€nte n .

- Si f'(x) < 0 en odopuntox de , entonceses decreciente r I

L Derivar a unción obt€nerospüntos ond€ €arulr h dofivada, sdecir ospunrosdondc'lx) = 0

. 2. Sc orman. condn!¡arión-ntenalos bieños on osceroso mices, e a deri\¿dak,N r¡ntosed sconri¡üdadsi osbay).

3. Se om¿unpuntodecada ntervalo y sehallael sig¡o que iene a derivadapdmeraen(licho unto. i€¡ dicho unto '(x) > 0,lafunción€s recient€nesentervalo.i f,tx) < 0

Elomplo5

Estudiamosstos r€spasosen a tunción f(x)= . cuyodominio edefinicion s.x2+ I

J

l

2

I



lr {0 } = (-oo,0)u(0,+{).

_,2 1| Suderivadas '(n) :

= , h cual e ace ero a¡ a 2 t =0 > x=tl .

2. Tiene unadiscontinuidad n x : 0 y los cerosde a d€rivad¿ on x = I y x = _1 .l;ormamosos nte¡valosbiertos-ó, 1 , (-1, 0), (0, t ), (1,+co).

J. Tomamos¡ pu¡todecádaoodeosancrioresnÉrvalos)ba amos lciA¡oqueen el¡ den\adanmerandicbo unto.büeniendoa abla iguieote:

rG)=? G+1xl-1)

r'(x) fG)

x€( @, 1)

x€ ( 1,0)

x€(0, l) + +

x € (1,+€ ) + +

222

Luego,füeceen( ó, -l) \-r 0, 1) vdecreceen 1,0) u (l' +Ó) (véaseigura 7)

Figura .6

En a figura5.6 aparecenibujadaÁasgráficasde v de ''

Ejércicio6

Estudiarl c¡ecimientodecrecimientoea unción f(x) = - x4+2x'?-

Soluciór.Porseruna unción erivablenR, calculamos' yestudiaÍrosusrgno'

f ' (x) = 4x3+4x= ax(x2-1) : ax(x+l) (x-1) '

Entonces,'(x) = 0parax = -1,x = 0vx = I -Estudiamoslsigno e '(x)

4 xl x+ 1 r'(x) r(x)

x € (-@, -1.)

x e (-1,0) +

x€(0, l)+ +

x € (1 , +@ ) + +



Figuú 5.7

6.3 Máximos mínimos elativos

;ilffi{fi:#rr}j'J;"hrr;frffi'ri{:HT{::iffi{i##;:ffiri:" iitr";1|jfi}:l,i"XTra 5.8,esentaunmáximoabsorutoena,nmrnimoabsor,¡to

Definición.Seauna firncióndefinidaenunsubconjüntoA c R :

"i,:::","i !":'.,"*,"¡¡,o en uo pu¡ro c € A cuando \jsreun inrenaroabierto , r = (c - 6, c + 6), queco;tiene"

; ; ;;;;("; ] ;¡;'#;1:

-,f üene,ürninino rctatlroen u¡ pu¡rod e A cuando xi$e un i¡rewaloabretol. t- (d - 5. d | 6 que on ren e d ¡atqL¡e a,.- l r*r p_r' rJ.xe L

24 22

Figun5. 8

. rvolarEl reclproco lel rcsültadoanteriornosiempre ecumple,esdecir'una unciónpucd

cumplir f'(c) : 0 paraalciuú unto c desu doninio, v sinemba€o' f noFesentarexlremo

A lospuntosa endonde a deriva¡lade a tunciónsea¡ula se esdenominaambiénp!'hl

La mavona e a' frmcionesueaparecennesreibroso nderi\¡ble 'co nderitd ' i

¿i.'i"r"i" . enudomioio;\ce¡toT":HilJT;'".S.HJl::,ilj;:,'"];i:inaulares.sdecrr untos oode¡oexistea deliliá'ii"..-r,il." i"il,los enÍe dichos unros xi'tén asderiradas no 'on cero por "

i.n6;;'ái"ú¡ intervalosas tunciones'son ieÍ crecientes bi€n decrecientes'om

i,.iiJ"":.il'Jiñ¿ ti*" * ¡ichos punros'para os cüales a tutrciónpasadel crecinienlo ¡

d;;ñ;"'i;-á;i Jic¡ecirniénto ai irecimiento) un máximo relativo (o un míni'n

relativo).Dicho esultado epueale trunciar e asiguienteolms:

Comoseha visroen a sección .1,üna otmanipidav práctica eobteneros puros

donde na1únción esenlaexÍemos eraüvos osvjen'':dadoor el siguienteesultado

Teorem¿.Si una unción deñnidaen uD ntervaloabierto ieneun ma-{mo o

*"Ál"i-o'"t"ti'o

*'n

pullto a de djcho intervalov f es derivabl€en a'

entonces'(a) = 0

Teorem¡. Sea una u¡ción continuaenun ntervalo y sea'n ,b' cpuntosde '

tales uea< c < b y c unpunlo rítico e , esdecir, '(c) = 0 o bienun rntosingularde, esdecn '(c) noexisteEntonces:

- Si f ' (x)>0 paraod o unto € (a,c) v f ' (x)<0 paraod ox € (c'b)

entonces (c) esunmriximo elativo.

- Si f ' (x)<0 pa¡aod o unto € (4c) v f ' (x)>0 pa É od o € (c,b)

€ntonces(c) esunmínimo elativo.

Si f ' (x)>0 p3ra od o unto € (a,c) y l ' (x) >0

prraodo e (c,b)u"l(nrces(c) noesun náxünorelativo.

' Si f ' (x)<0 p¿raodo u-nto€ (a,c) y f ' (x)<0 para od ox e (c,b)cIt()rces(c) noesunmínimo elativo.

l!,t¡¡ ll l (corema nteriorpuede €r ecordado e a siguienteorma:

,,*l],,ilj[i]J:*** * posiriva nesariva,nronces,rpunro ¡irico orr€spondeun

,.t,,,*',,uo'*du O*u d" negativapositiva, l pünro rírico o¡¡espondeun mínimo i Nil,



:Jomplo

l.¡r(icrivadadeatunciónf(')='3:*""

f '(x):3x'?-3.Estaderivadaseanutapar¿I ypalax = l.Parax< 1 esf ' (x)>0,pam 1<x<l es ,(x)< 0 pa¡a > I

r | (x) > 0. Porconsiguiente,tien€ u¡ máximo elativo n x - I yxn mínimo elativot. tr

lomploS(hlculenos los valoresmáximosy mínimos elativosy absolutos e la fünción

l¡ | - 4x ' r- enel nteRalo ./6,J6 l .

l.aderivadadelix). f ' (x)=x(x2 z) hego os untosf it icos o¡: 4x(x2 2):0,0 , * :

^,é n = !D . Los valorescoffespondientes e Ia tunción son: 1(0) = 0 ,| rt) = 1. f( aD) : 4. Losvalores e en osexbemos e nt€rvalo on:f(-,6) - 12,

lñF,\ = 12. Ahor a se puede onstruir na rablacon el signo le a derivada n loslbintervalos:..^,6, t¡,t ,D,o¡,O, t,trt, .G); ¿i"t'u abla os ndicaniosfc¡valos de crecimientoy dec¡ecimienro e la tunción. Luegoen los puntos-16 y ^,6lcnnzaa turción un valor mlnimo absoluto,en el punto0 un valor minimo rel¿tivoy en os

\bs rt y Ja alcarizala unción un valornáximo absoluto.

\ "6, t) ert,0) (0,a) t.rt,"G¡f 'G) +

(x)

Ejemplo9Calculámosos valoresmár.imos mínimos elativosv absolutos e la lir|'cki

f (x) = x - x2lr , enel ntef falo 1,21.

Sedetemina rimero l valorde a derivad¿e x) v la gualamoscero amobLcntr(

r" lt r , l ^punro\cr ir icosr\r '1- 0dedonde\ i

r lpunro { 0 Ls'r ' t rr ' ' r '

él noesrá ef in,daaderi\a& Fn el punro r¡ ico-

jt'r "r" '

*""ond:cr ' rr 'r "

tunciónes;8/27)=-4127, el valorde a unción nelpunto ingular : 0'es: f(0) (

Por último, os valores e la tunciónen los extemos del intervalo on: f( l) - l

f (2) :2 22/3

Ahorasepued€ onsrruiruna ablacon el signode a derivad¿ n ossubinteNalos:

( | o) , 0, 8 2' t ) ' (8 21'2)

( 1.0) (0,8 27 (8 2',7,2)

r'(x)

r(x)

¡

Véasea Figura5.9.

26

-Figura .9

2

l\x t¡ufo,cn x = -L la unción lcnn/¡urrnrlrrinrobsotLr({r.¡ x = 0 tiene ¡ máximo

réllLlvo. n r = 8,/27 un nínino relalivo en x = 2 un ná\imo absolurovéase igura¡ lr)).



E orcic¡o 0

Ilallar¿,b y c paraque a gráfica e a tunción (x) = ax2+bx+c pase orel puntol ' = (8,0) y ftensa nnrnimo nQ = (6, 12).

Solución. Que1agráñcap¿sepor lospunrosP y Q signiñcaque ascoordenadas etpuúro

vcrificana exFesión e a unción, sdecir, ue ( 8)=

0 yf(6)=

12,a.82+b.8+c = 0 t a.62+b.6+c : -12.

A1 er derivable tener Ilmínino enQ" esulta ue ,(x) seanulae¡x : ó,

f ' (x) = 2ax+b > f ' (6) = 2.6.a+b = 0.

Luego, enemos n sistema e resecuaciones on res ncógnitas:

64a+8b+ c = 0l36a+6b+c = -12

f,consolución,á3, b = 36 yc = 96 .

t2a+b = 0l

Por anto,lafüncións f(x):3x2 36x+96 (véasefigura5.11).

Figura .10

228 22

Figua5.1l

Eierc¡cio 1-'-o"l*^".' * **u\o' 'uma¡

o0 ¿Dequeoúmeros'errara iel producroe unr"lf

elLosoreL uadradoelotroesmáxrmo¡

solución.sean os núrmeros, y, se ieneque x+y = 90 y x2y es mráximo'ucg

y=90-xcon0<x<90

se define la tunciónp(x) = x2(90-x) = 90x2-x3' con p(0) = p(90) = 0 v

pf*ito"i

o.'.s0. sJes b tunciónque ienequealcanzar n máximopues s cl

oroductoexl e) Deri\andotr r se ie¡ep'{x l - 180\ 3x 2 l¡(Ó0 \r-( ' ,1\l ' rirnpticaqu e _0 or'ó0 Entoncesl márimo curecuando _ ou ri ocer

x=60ey=30.

. Una uDción Puedeenerunmáximoo unmínimo el¿tivoenunpuntoasin serderivab

* iiú" *t".

i"lrrul¿" puecle erque '(a) = 0 sin que tenga i máximo i mínim

;;i;;;;;.;"*"" ejemplos aáosen 5 l demuestranstas ñrmaciol¡es'

La existencia¿le &sdedvadasseg¡¡nd¿se¡mite establecer n criterio simplepera l

clasiflcaciónde ospuDtos ttcos:

Teorem¡, Sea unafiúción dosvecesdedvabl€en un puntoay supongamosqu e '(a) = 0.

- Si f "(a)> 0entonc€stieneunmlnimoreletivoena'

- Si f"(a) < 0 entoncestiene unmáximo eladvoen a'

,,,1,i,i,,Tl:!x::,1',1"i:lliilt"*.,ii::ilH,:i!ll,liiillilxilJii.llii'i:l'j;:,t:üi",':ffi":lrut ** jl*üxi:Hi:H",i,,:"1;;,:Íil,ilffJ::iff:ff]lf il:l ,0s ¡nciones¡' ¡ =

^t,r¡ '¡ : *0, f1*.¡= -x a veri f ican,(0) =f,,(0) = 0;la

Inrrcrlr no je¡eni máximo i mínimo n x = 0 , la segundaiene ¡ mínimo la ercerá n

(x)= *4

scuundavalef. ' , (0)=0'luegonopodemosvalorarestepuntocrít icococlc| i to

¿"i t"¿" ".t*¿i. . t**" qu e ara <o es '(x)<O vpara0<x<4cs l"(x)){} lr t t

¿"".*"ri"-"" t ó,0) v crecienten(0'4) v' por anto' ien€ Dminimo clarivo n I (r

ou e dem,j ' . ab$lulo Para l orro unto e iene t4 r o'1e ' l l r)2 tuLP"

Lienenualormarimoel¿trvom 4 (\éasefigum5lJ)



.Lr cstos€asos,osmáximosy mlnimosse determinan studiando tsigno de a d€rjvada

Elomplo 2

Sea (x)= x5- 2x4+ xl. Entonces.

f'(x) = 5x4- 8x3+3x2 ; f"(x)=20x3 - 24x2 6x

¡yr,\)- upaÉr 0.earáx.;)palax_ t.

Comof"(3/5)=18/25 0, t iene nmtdmo etarivonx=3/5.Como,,(1) = 2>0,f tieneun minimor€l¿tivoenx = 1

._El c¡itedo de la derivadasegunda o p¡oporcionani¡rgua informaciónen x = 0 pues

l"(0) : 0. Comopam <0 €s ,(x)>0 ypara0<x<3/5es f,(x) > O, escrecien; n(-@,0) y en(0,3/5) , por anto, o ienem¡áximoi ninimo enx = 0.

Ejemplo 3

. La tunción f(x) = xae-x rien€comodominiodedefiniciónroda a rccra eal.Vaüos abuscar uspuntos ríricosy a clasificarlos.Catculamosaderivada rimeray seg*á ¿" ," -

f ,(x) = (x 4)x3e-" ; f \x) = (x-2)(r_ 6)x2e .

La de¡ivadaprimera omaei v¡lo¡ ceroen x = 0 y x = 4. En el puntox = 0 la derivada

230

Figx¡a .13

E erc¡cio 4'D.,"r. iot el \alor máximo bsoluh el lalor minimo bsoluloe las sigu¡l ' l

fiúciones n os ntenalosqueemdrcan'a) f(x) = x2-5x + 6 en 0, 4]

b) e(x) = x3+3x 7 en -1 , l] '

o h(x):-L

en 0.2l

soruciótr.r aror¿rimo.absoru'oe fTf il ffixliilT::i,xl"TT',;"'::iexiste or l teoremae Íeierstrass)e¿lca

LiiiáiJ' i.iI'i"^"l" q'alosamenreon o' valores rnimosbsoluLoq-

"ii"i"r"iu.t 0". "".,-Ánción

polinónica' s ontinuavadaseces erivablerr r

*{:**m*,tr*r'ITi:iti:¿*:Ji:Í""1':*:"il:"*ifil"J:"llr'(x) = 2x 5 f'(x) = 0 > 2x 5 =o >x = l ' euenertenecel nteNalo0 4l

Ademrás,omo "(x) = 2> 0 , enroncesaunciónieneünmínimo elativo nx

l2 l4i6?

rI0) = 6 y elvalormínimobsoturos (, = j (véaseisu¡a .la).

c)La unciónestá clnnhr.u sto ucx2 - + 0 poraodo úmeroe¡lx es or)lirludcrivableen0,21

' . tx2- l ) - \ ( ) \ ) . - \z Ihi \ ' -

( ¡Lt -- r ¡ ' ] ¡

l i

Buscamososvalorcs ueanulan apdmera erivada'

¡ ¡ ¡ ¡ ¡5-J l l -^-0- ' \7 1-0-( \r + r) '

= pertenecel ntervalo .Estudiamos lvalor de asegunda etivL'(l[



,Jll1"T;,':,1,:ñ:"Jtinuavvafiaseceserjvabren[-1. 1] . Estudiemososmáximos

g'(x) = 3x2+3_ g,(x)>3>0 pa¡a¿odox€t-1, I j ,luego a funcio¡g es crecie¡te n f-l.lt v ,

;;In::;. J]: ;l ;",in",t:tr'il:it.Til:'ffi1;

.i1 ¡igüra5-14

232

Figura .16

pero ólo 1 0,2]

conloh"(1) =;

< 0, la unción ieneunmáximoelativo nx : 1

Los valoresmídmo y mínimoabsolutosde h se alcanzanen el conjunto { 0' I '2 |

h(0)= 0, h(1)= jvniz)=! lLreeolvator er imobsolutosh(1)= iv '

valormínimo bsolutos h(0) = 0 (véaseñguras6) '

0.5

0.¡

0. 2

0l

x

EJerclcio S,nf.l¿llar

las dirnensionesel recránguloeárea áxima nscrito n unácircunferencia€

solur¡ón.Consideraos. ecr mgxo. r\é¿se iguÉ 5.t7) de tadospamtetos ¡os eie5t¡¡rc¿menre_uesl prcbremao pierdeseneral i¿a¿.e¿un *"*"g,1".; i iq, i .* .ñ"ir.(rosmidm 2¡. tos ados arateloat eje¡e tas . ] 2b. r.. r,a". p"?ir.r", J1¡. <i"i"{i.fhtonces, or €l t€orcma € Pitágoras,ver la figura5.17) a2+b2 = 32 v r€sulta ueh2 - o -u.:. ; .oooa e 10. l l .esdeci r .01a L



¡rgura5.t7

El árca €dicho ectángulos S(a) = 2a 2b = 4ab.

Comoel áreaesun nlimeropositivo,entonces staesmáxina siy sólosi sucuadrado 0es,esdecir, S(a))'z= l6a2b2es náxima. atemás,t susriruir 2 porsu valorobtenido n

funciónde a2 tenemos:

(s(a)) '? l6a2(9 a2).

Esra tunción es deri\able en Ia variabtea y podemorapticar los resutradosconespondienresmárimos mínimosetarivos arairnirones erir'abtes,"* d;e;i;e l ¿loro aiores e que acen á-\ imas(ar)2

S€a a ftnción f(a) = 16a2(9-^2) = U4a2_16a4 (véaseigüa 5.18)definida n€linter,/alo0,31.

234 23

Figura .18

-288a-64a3= a(288-6442) o +'(a) = 0

ysólo os\alores 0yz +esrin omendos n

0]l

.J¿

Calcularnosl valord€ a derivad¿egunda," (a) = 288 192a2'parac¿dautodce

f"(0)= 288>0 + f poseenmínimoclat ivona = 0'

r'(j) = *s . o + f posee nmáximoelativo n a

Luego,lnÁxlnroedidoe¿lcanzaar¿ =i "

, =FW

El ectánguloeárea áximaerá ncüa¡lBdoe ado,' j=

3 t "'

Determinamosos valoresdonde eanutaa tunciónderivada '(a) = 2884 Ó4 1

E¡ercicio 6Estudiarosmáximosmínimosclativos € as unciones:

.2889-642

:l

J23

"12

3

,J2

3

,1,

u) f lx)- x]-6x2_ l5x+20

b) f(x) = x5-5x3+ lox

rylliifr,*"'lH:*:::?:*,Ji3i::,T¿?:Ji"l;tlfiTfsT.:..o"0"",'.,"""",,,11,H:Tiltl:tilH,i1lf

ra unciónlcanzanmáximomrnimoerarivoeincana

f { \r .J\ . /- t2\- t5-0> lxz t2\ , r -o- l^-

- '

Itfudia¡¡os tsignoe ,(x) paüavengua¡i a *",ón ,u*" _Ujr.="t r,.. *(= -l yx = s.

b) Buscamosospuntosondc canula {¡nción eriv¡da '(x)5x 4 l lx ' I

haciendo= xz,entonces

ll l i

+aD

,1+l,l

A¡om,calculamos"(x) ; f"(x) = 20xr 30x v estudiamosl signolf r' | \ ) rlr l''

puntosondee nula'(x :x ,= rt ,x2- -r t '* t= 1vx4 = - l '

sx 4 r5x2+ro= o=si2 lsr+lo - t=t=

{ :



Obsérveseque,(x)= :fr+ r¡r-s¡.

x+l r'(*) fG)

x€ ( l ,J) +

x € (5, +a) + +

rfi.Tl"*";'$X*5i,*",1;T" :'"""*",araderechaeoeci€nre,¡roncesa

,J'"fi;i:#Hi:iff"1ñ;:;,,' : ro:"*""*"' a aderecharecienr€,núoncesa,,,?,iifl-!;l'il;?.,J;:;i1,,*T";i.*iltxilXl:even, un.

236

Figura .20

23

t"r¿¡= nr t 30rt= rc"A'o > existe¡lnimoelat ivon r : 'J:

t1 rt¡: nrt+zort: rcrt.0 > €xislemáximoeiativon , ' Jl '

f"(1) = -10<0 + €xistemáximorelativonx3 : I

f"( 1) = l0>0 > existemínir¡o elativo n x4 = -1

Resulta:

-e¡(rt,\rtD = (.¿,a¿) hay nmlninoelativo'

-en( I, f(- l )) = (-1, 6) otro,

-enerpuntort,r( rt, = ( ¿,-a¿) h¿v nnáximoclalivo

-en (1, (l)) = (1,6) oÍo (véaseigura 20)

v

C4 Concavidad convexidad

tg'rxl quc a primeraderivadaorrece nformaüróIsobreet compoÍamienrode dna uncionsu gmtrc¡. asr ocwre con la segundadenrada. trl¡ nos ofoDorcion¿|nro nrcron sobre a conc¡lidad lcrecimienrode Ia pendienÉ de ta fr¡Fcióni o 1ob.e suf¡n' !c , l ¡daddecrec imientoe apendienree a i ¡nc ión).esumrendo

()bséNeseue €scóncavanI siy sólo i (_0 es onvexanL

. rtcs

Delinición. €auna unción e¡ivablenu¡ intervalo bieno.- Si f' escreciente n €ntonceses convexa n .- S f' €sdecrecienteú enronceses cóncavanL

5-4.1Puntosdo nfloxlón

LosDuntos enosqueuna unción ontinuapasadecóoc¿vaconvexa

"'iccvcr$lllffianbunbs de nlleri¿n de (véaseñguras 22).

Figura 5.22 Ejemplosde ipos depuntosde nflexión



^

de seguiradela¡te,vamosa darujra nterpretación eométrica e aconvexidad.Si lna funciónes convexaenün intervaioabierto entonces, ualesquierauesean os

I'UIr,'\ ) b de . la9dficade 'qued.aordebájo elseg¡nenLoecrilineoueu¡l tosDuDios(,,, l¡,)) lb. rlbrrde agráfica e u pára na i¡ncicjnó"*,"

*r.. t..á"rr.iá"*"ñg*"

(b,(b) G,(a))

(a, f(a)) (b, (b)

Figura .21

crite¡io sobr€ a convexidado concavidaddeu¡ul siguient€ esultadop€mite dar urllnción qu€admitesegunda edvada:

Teoreme.

;",jj¿:":l:*l*::*' defivadaesundaosiriva nun ¡rervaro bierto,

;",:;"::.rx:*lT

*. derivada esundaesarivanuü nte¡valo bi€rro,

. Fs onsecuencianmedialaetresulladonreriorpuesrcue i ',es o\ir i \a nelinlervatolenroncest' 'esnecienreent. ls it<negarrvan 'en.o*.., . .¿.i [ i i i" r. *i . - --

238 23

. Si x esunpunto¿le¡fle{ión y ené1 xistea deivada segunda' ntonces"(x) = 0'

. Si x esun punto donde a derivad¿ eg¡rndaeanulay la deriv¿daercemes distintade

cero, sdeci¡ "(x) : 0y f"'(x) + 0,entoncessunpuntonfl€xión'

E¡emplo'17

Dada a tunción (x) = determinamosos intervalos de concavid¿dy. :-,

Puestoue x - I )2= 0-

x = l,eldominiodedefinic ióndelatunciónesR-11)

Lasderivadason: f'(x) = : f"lx) = ----:--,

estasderjvadas eanula¡ parax = 0 (véase icur¿ 5 23) El siguientepasoesconstruirun¡

tábla con tos subi ervalos definidos por el pünto cdtico, x = 0, v el punto d

discontinuidad,= r:

(-.0)

(0,1) (0 ,-)

r"(x)

(x)

3 ^2

(. j



Elomplo l8

Estudiamosos puntosde nflexiónde a tncion: y = f(x)La primemy segünda eriv¿da on:

Ii= (x- l ) "

2- t trx l=i( \ - I )

5

y ¡G) = 2(x- )- .

L¿denvadaegu¡da oseanuLanninqúnD!vutorde1t , es={.

mto) noexrsleen - I obséneseqüeel

Si x < 1, f "(x)> 0, añrción es onvexa;i x > l, 1,,(x) 0, a unció¡es óncava.Por o r¿ntohayün punrode nflexiónen 1 0) (véaseieura5.24).

Figura .23

240 2

Elercicio l9

Estudiara concavidad conveidad de as unoiones:

a) f(x) - 3x5 20n4+30x3+ 3 b)I

c) ¡(x) = Lx':- lSolución.

ar Como sla uncjón sderi\ableucesit¿mmten od oR. aplicamosl crirerioderiiada egünda.omeüamos orcalcülarasderi!adas.

f ' (x) = 15xa 80xl+90x2 y f"(x) = 60x3 240x2+l80x

Buscamosospuntosqueanulana a segunda erivads,

f"(x) = 0 '-60x3 240x2 180x 0 > 60x(x lxx-3) = 0'

cuyasmlces onx : 0 , x = 1,x = 3

A coDtiouaciónnatizanosts g o do t." x p¿rruerdonde€scóncavaconvexa.

xl r"(x) f( x)

x€( @,0)

x€(0, 1) +

x € (1,3) +

x € (3, +a) +

Luego es óncava|r1']. 2) y eorrvcxrcn-2, +ó) (véasefigum20



,t*,,|','.rstfu"ión

"t "óncavan -Ó'0) -, 1'3) y co¡v€xa n (0, 1)u (3, +@)

Figura .25

, l] : : ':* :":resrádefin¡dáen l'2r.puesel denomin¿dore ae\presiónue

::li::,:il'Ji:j'i:#ii,11;t,'.;il",I,ij:',"H:1[Ti#JJ,:T':ff:il:.:

liiil*3,:e@'1)v (2'+@'' studiando;1

'*"¡" h;;;;1;ñ;.;;

lrx¡ - - ---J-.- r rlxr -- 2

f rr 2) r t , : ; lLatunción ',(x) €n ({, 2) noseanula nningun unto verifica ue ,,(x) < 0 pa¡aLodoxe( ó, 2) luego e rara euna unción óncavan o, 2).

8n ( 2, +€) la tnción f"(x) rampoco eanula nningún unro f,,(x) > 0 para odor e ( 2, +@) luegoer estenteryalo a funciónesconvexa.

242

i?

.ú

.t0

Figura .26

c) Pdmemmenteeescribimosa fimciónd€ olma quenoseutilice el valorabsoiuto;par

ello,utilizamosa d€ñniciónde éste

Comox2-9 = 0 parax 3 yparax = 3'entonces

l "zs six<3 l*-"s ix<-3

kr-s l =J-(*r ,st

s i -3<x<3 ;fG) =.1 G,-e) si 3<x<3

[*nsi 3sx l* ,n

si 3<x

La unciónes coniinü¿nR y derivabl€ucesivamentenR - { 3,3},portanto'

lz ' , , i * . , f2 si x ' lf t r l ' l : " s i 3¿\ . r ) f " l ¡ ) i 2 si -3 x"3

I zx si :<x I z , i : '*Luego,escóncavan ( 3,3) vconvexa n ( ó' 3)\-r(3,+Ó) (véaseigüa 5 27)

2

Porser " '(0)+0, f ' ( -J l)*0 y r" '( {6)+0, los puntos0. i i { r )) ({) '0} '

(-^,6,(-^,6))C¡,-f) v (^ñ'(,'6)) (^,4,$ *" *"* .rcnrrcxió'rc

(véaseigura .28).



EJorcic io20Determinarospun|os e n¡lerion e as unciones:

a) (t =; . b) f(x) = (x 2)5 c) f(x) = (x+ 1)4

Solución.¡)Como es funcjó¡ acio¡ály sude¡omi¡a(

cn,odoR: pore o. buscam",,r",.. q,.-,t."'n":.T,:,:]:la

resterivabreuce.i\ meol.

calculamos '(r, - tx 2 l-r r2x xr x2 |rx2 t¡2 , , , l l

Y

¡1,.¡= C2x G'?+)')-JIrL_l).:x. ( x: + r) ) = 2" 3 - 6*(x2 + 1)3'

y estudiamosos valo¡es t¿lesque ,'(x) = 0,

), I -Á -

üIüo+2: 'r ox-or2x,x-r , o.

luegox o, ,:^ ls v

* =^/j,am¡lanar,,..Si elvalorde f','(x) _ nesros untos sdistinooece¡o,entoncesodemossegumrueosms untoson untos enflexiónde ,

f -(x) = ((6x, 6). (x2+1)3). 3(xr_+l)2.2x.(2xr-6x))_ _6x1+36,: u(x2 l )o Gt* r l '

244

Figua 5 28

b) La tunción es derivablesucesivamenten odo R- Calcularnos

r' (x) = 5(x-2)4, f"(x) = 20(x-2)3 v f" ' (x) : 60(x-2)'? '

y vemosquévaloresanulan1¿segunda erivada.Se ieneque f"(x) = 0 únicamente ar

Alser f"'(2) = 0, nopo.lemos seguar u€x = 2 sea npuntode nflexión € ' po

tanto,aplicamosa definición-de untode nflexión, esdecir,vemossi en x = 2 la funcióp¿sa e cóncava convexao vlceversa:

x-2 ( { -2t f"(x) fG)

xe ( ó,2)

x € (2,+ó)

Por anto, l PuÍo (2, (2))figura5.29).

= (2,0) es un punto de nflexión de a tunción f (vé¡s

24

Solurl¿rn, omosc mt{ dc 0nu irnción uccsivamcntceriv¡lblc c it c qrc Hi a clllll !

qLrradedvadaegund¿sposit ivdporaod o € R, entolc€sesconvcr¡rcnl (\ l l ( l l lnlnrlosdcrivadasl

f ' (x) : 4xl+ l2x2+2mx+3 ; f"(x) = 12x2+24xr'2m

Qu e12x2+24x+2m se amayor ue ero,mplic¿ uem>-6x(xr 2) , prr l ¡rkr \

l'¿r¿ ue e erifique,ara odo , hadeserm > 6. Convieneueel ecror ibLrie¡ u'lrlrf tl

la u¡ción (x ) = 6x(x+2) ycompruebequem>6Por anto, ara sos rr l¡ 'r f¡ .dl

5-5 AsíntotasA veces.asnifica euna unción r¿ndo ealeja elorig€n ecoordcn¡(hs' I l'r I rr'r

una ecta.Estai ectasiendena confundirse on agrálicas€ lamandsí¡rtd r



c) La firnción f€s derivablesucesivamenre,¡E)_=,i2G+,r'(x)24G,) ,o;;a1:d;1,""i.1$triilil=,i$,l,lil;unrconúmercrealxqueessotució¡def,'(x) = 0,yéstenúmeroes = lí.

Como "t - l ) = 0 y f"(xt = f2(x+J)2>,anronone¡epunrcsdeinnex,ón(véasefieuras.;;result"ue es s'|empreon\e\a po ¡

Ejercicio l

^,Hallaros atoresem¡ates ueañ¡nciónV

216

= x4+4xl +mx2+3x-2 es onvexa

24

5-5,1Asintotas erticales

Delinición.

- Larectax = a esnÍa asíntotawrtical de a la izquierdadez crt^ndo

lirn f(x) = +ú

- I-árecta = a es'rrA síntotaertical ef aladercchaüacúa$no

lim f(x) = +ó

Eiemplo2La r€€iax = I esasintota ertical,por a zquierda por a de¡echa' e afunción

\2(r =, i

puestoue l im f(x) = -@ y l im,f(x) = +@ .r+l - x+ l

Estos alores osdanuna dea ecómo s ae¡áfica e a uncjón€n ospuntos róxirrr

a I (véas€ sura5.3 ).

yrI

.l

L¿ obtencióndc est¿rso$ rsl!rl(,trr$o$

quese eflejaen afigur 5..l2.

frrpor. iúnr a nl ianrr(r 'rr'hr( l| rBai lr 'rr , [



,l

I

Figura .31

1.5,2Asíntotasorlzontalss

Definición. La fectay = b eswa aslntotahorizonbl de cu'aÍdo

üm f (x)=b o l im f (x) = b

EJomplo23

La recta y = 2 es asíntota orizo¡tal de la tunción f(x) =,4, p*"to q*

lim f(x) = 2. Paradeteminar aposiciónde a gn{ñcarespecto e estaasíntota eestudia

c signode a diferencia

2x ^ 2x2x6 o\ rl - x-i r l

queesositivapara <-3 y negativa arax > 3.Estonosdicequelagáficadefestáporcn€ima e a asíntotanel nte¡r'alo4, 3) y po¡debajo eellaen 3,+@).

ftta ltnción también ierc la asíntota ertical x = 3 pues

lim f(x) = +ó y lilll f(x) = -a .

248 24

Figwa5.32

5€.3 Asíntotas blicuas

Definiciór. La re€tay =

l im [ f (x) ax-b]

ax+ b (cona+ 0) es¿¿tírrorüblicuadef ando

= 0 o cua¡rdo liln [f(x) ax b] : 0

Loscoeficientesyb de a asintotaedeterminan€ a mislna o¡ma ncualquicfrrlc

dos asos. eámoslo,porejemplo,nelcaso lin [f(x) ax-b] = 0

.. r f l i \ ) bl ^lm x. . . : . : -a - =ux-+{ L x \. 1

\ como rm ! - o,¡uur¿¡".. , i . ' l ! l . ] " l --^- '-- ' ; .

x x++- t x l

y esta ómula nosdael valor dea.Conocidoaelvalordea el cálculo eb es:

lnn [f(x) ax] = b

=0.1""c",.1r1-?"

Eneste aso,

fG); b = ljn [f(x) ax]

Elemplo 4Volvalnosconsiderara inción €l jernplo2: (x) =

,. _ 1

I

, *r im-(r(x)_4:g"(; ¡ ihr ccL¿r = x + 1 esasínrotabljcua e :

-: - = l.

Comopam¡'r . .r ¡ ' ; -41- ] . . .iene| ' { \ | -0p]mx-0)PUr. | \' (x L) '

f'(x) es posiriva f crcciente n ( 6,0) ven (2,+6) v l'(x) es negaliv{v I ri

decrecienten (0, 1) y en (1,2). Además tieneu¡ máximo clativoen x {l v rrrr

mínimorelativoen : 2.Tmbién, f(0) - 0 v f(2) : a

Po rot mparte, om o ara t l es f"(x)=--¿-, se iene "(x)<0 para <l !(x l )'

f"(x) > 0 para > 1, lu€go es óncavan 6,1)vconvexaen(1,+6)

Con odos stos latosodemos ibujar a gnífica véase gura5 34) de f con b{rrrrr¡

precisión.



4

d.P¿¡a¡€termiüara posiciónde a gláfica rcspectode estaasíntota eestudiael signode a

rG)-(x+r)$-o*,, =*ni f =*

H'ff :i:lli::T,';:.'"ffi:::'ü";'' *' tanto''a

sráncaeesráor ebajoe

",átf:;#:i"'#l?"'l::",fiffJ 1Tl"fJ,?iil::1s"iüI#ffr::ót:henosEstudjando l crecimienro laconvexidad e a func;tn i¡x¡ = _Il , .on101.,u..¡no"

",razadodesugráfica.

250

y6

3

I

Figua 5.34

E¡ercicio 5Estu¡lia¡a existencjae cctas síntotasaraassiguientesunciones:

b) G) = ;5*

. ".\2+3x+4

etr(x,: -) f(x) =

Solución,

2x3- 4x2

a) Paú estu¿liaras asintotas orizont¡lesseestudia l valotde os lmites:

xrrn-rG).g-H =: , ,r im.r(x)

. l t - t ;# =,,

25

lL'To11eot.y = 3 es na si¡toraoizoftal e a1¡nciónpo¡ambosados.*js"L:d'1"""ió"d" l" g'áficade a tunciónesp€co aasínroraedelemi¡ra studiandol

r r : , r r \ l I - l \ '2 J\ -1 2 _ 14\ 4 x4

Si x + +@,enroncesG) 3 > 0 , uegoa i-lncronueda orencinade aasintota.Six .) -@, entoncesG) 3 < 0 , uegoa unción uedaordebajo e a asínrota.Er1 os pünros ondeexjstenectas sintora¡i!,con ueenne,aun;;";; J;":l;l:iX-.;;',."Xf;1:i"1:"X$::"'I_.T

*,

lim f(x) : lirn 3i:x+ 4 xja- x 4

= -o rim r" r = t;r¡ ltl = *.-\-4+ I- 4

[¡ego =

rr*r-o= ¡-

o=

--L,'4x '4

f(x)-0>0 si x+ +ó , uego,agnif icauedaor ¡cima chasinlolr '

f(x) 0 < 0 si x -+ -@ uego,agúficaqueda ordebajo e a asínl(frl

Los posibies uúos donde uede xistirasintotaseticalesso¡ aquellos uc rrlrlrrrl

denominador.Erestecasox 2 y x = 2.l

l im fix) Ii m + 6 l im n\ r l inr ,2 \- l \ 4 '- 2

lüego,en x : 2 hayun3 ectaasíntota erticaldee¿uaciónx 2 = 0

jL

5x



x 4 esL¡naectaasínrotaeÍical.

"rr:xT:,;::'siñxf!.ljnfotashorizontaresor os osados,nroncesoexistensintotas

Figura .35b)Paraestudiaraexistencia e ectasaslntotas onzonral€satculamosos ímites

l, m flxr = tj m lL = 0r -ax.4

luegoa recráy = 0 esunaasíntota orüontalde a üción f.

signE;Td"to"lu

"ituuciónde a gráficade a tunción¡especloa ta asínrora ete¡minando t

252

l im rrxr lirn - -@, ti m (\) lim +.\¿ 2 r ¡-2 {/ .{ \ 2 r "- ¿ \ +

luego,eliste una¿síntota edical en x = 2 cuvaecuación s x + 2 = 0'

No existe ecta síntotablicua, ues ay eclas síntotasorizonlalesor os dos ¡(|r(véaseigur¿ .3 ).

c) No hayasíntota orizontalpuestoque

-l\2+r, I i - t t ' t :^ f . j i *

=*- y lim f(x) = li m-:

2

lil denominadore se anulaen = 3 y

lim (x) : lim :3x?*+_l x+ I ¿r+o = +ó , 1n ¡ f(x) = li mx + 3- ¡+-3-

l,uego, 3yunaasín¡otaerrical eecuación + 3 = 0.( naasíntota blicuapor aderecha x-+ +.o) dene aecuación :

u unr 1l r r,m }' - x . ¡¡- \-r . rt2r 6) , - . . : r .o

r :.,ri-('r'r-(,.)) ,1r"(##.ii

_3



, _ l \2 r . ] \ ' .9r . . | | r r2\ b , j , ;2\,r, ".

?rrrcSoarecta =

ix + 5 esasintotablicua e por laderecha.¡álogamente,

.y-('o, i!)=,.lL¡cso,lareciay -j'nS

""urintotu uicuade porra zquie.dax + --{o).

$isÍ:láiianos

la situaciónde la sráficade la runciónrespecto raasintota,estudiandol

(,.)-F;,..';i;;'.;'.-' 2x+6'

rf-l (-jlr.s) . o si x -+ +ó , ueso,asárica uedaordebajoe1a síntota.

,f , l f l-.r) 'o six+ ó, tueso,lasníf icauedaporncimae aasí¡tota(véase

llgu¡a5.37).

":*g-?= 1,o'=

30

254

d) Prccedemose gual orma

.. ¡l_2\2_\+2 l.llm (xl = lÚn ---:---

-

;'\ __ ú l\ ' 4\ -

,. \ t 2r2 x+ 2 _ Ili m (x ) : rü n _--- - ;.

\ -+ ú lx'- 4\ -

luegolarefla j e 'unaa' tntoulonzonraldel¿unciónDorarboslado'

Estudiamosa siiuaciónde ¿ ñmción especto a ¿sintota,

f , , , , I - * ' -2| t * , 2-1 -=t- ' ] , - lx 2)' ' ' 2 2\ 1 4\ ' t 2 \' 4x ! l\ .Z) 2\ '

t_rr x r j - o' i r' @. agráf ica e a urc ion uedapordebajo' ledo' i rrrr '

1,f rxr j O 'i r ' - ú. ld sráf ica uedá o' debajodeaaslnrord

Fldeoomroador\ean! , laenr- 0)enr- 2 pues 2x ' 4\7- 2\ ' ( \ ' l r '

En x=

0 hayasíntota erticaldeecuación : 0,pu€stoqüe

."r '

2¡ l - \ 2 -^llrú l(\) lm ---:--- ,rJ t r 1 .0 l \ - 4x -

' x' 2\ - \- 2l inr | ( \ ) lr m --.

-- -

r -0 \ -0+ lx ' 4\ '

2

""''(4=,r"¡.('-tf;:+= =_h,,,G-,+_ul;.i'" ir,t = l\+2- 8

, '^^.: : l . , , há ]unadisco¡r inurdadern,A,-r

,',li !\;'* *"'"'"0,'*,'o';.:;;"-:l:;l:illr""o,.,0"."^n..0",,,.,..

l jstt|diAmossi en x = 2 hay ecra sintot¡vc¡1ic¿t:

Ii.u¡uLrnt /¡t'* Int l rn¡¿l¡r¡t¡u lltnúnEr I on nr¿út ¿( | Rr.tl¡t1

Porranto,arecta = jx r I cs sinrotaobricuae por aderecha.

" , , I_T' j r u ,rm..rn,,, , , ,

portanto,a ecia :;x

+ I esasíntotablicua e por a zquierda.

"¡ffiiumot

lu tituaciOne agráfica e a funciónespecrol¿asintola,slu(ti¡rxtol

fc)-$.,_ ;:; ; ,_r_, ;i .



(O (]" * r) t o .i' -

+6,la $áficaqu€¡la orencima e aasinld¡.

i¡,i- (]- * r). o"i '

* ó,la sráfica ueda ordebajo e aasíntotr

(véaseigura5.39).

x+ l

5

3

. I igura .J 8r¡ \o e\l tenashro¡a.ori /ontaJc..üestoüel, m firt : t ; ,- x'+lx+.1

\- ' ,- i l- ó ] ri m ft\r r ;- \2rr\ .4Fldenominadorde a ru¡ción --^.. . , " f ' .*2F2- .

, \ 'n,o'a\en'c¿rdeecuacio", .. ; ; l ; ; , :"": ^-

r. \eamo.queen\ I havr¡ñ.rr n ft \ , r i - 12. r¡ . 4

sromrsmox I o

,: ' , - l i - l - .q r t tn frxr. l, - r2.. ]r ¿l srud;arnosJ¡ex srencid. u* *r,rr *,"r '

- ' \' . 'i - f i -)- €

u , ,r9' . r i . { :¡* a'"" '" ' ' -

'' ar b porambo'rado'

, : : ; ; r i ; , - j .

-l

.1

¡

Figura .39

i6

2x+4¿x+2

construcciónde

es suficienle con l¡

5-6_Esquema eneralparael anál¡s¡s e funcionesy6Ugraflca

, Par¿cl in l ls¡s y repre,entar ióne una tunüon. generarnenre!oerenrrn l ( 'r ! tr || s sr{r¡ rcnt* tcmentosl

257

l.l)o in odod€fini,rióne a unción.2, S ¡let¡las e a unción.

:1, u tos edisconrinuidade a unción.. 4. ¡nXervalosecrecimientodec¡ecimiennre afimción.

,t" ifiil""ff:t'* r.r,imos ¡€lativossl omoos arorcsáximosmínimosbsoluros6. Losdominios econcavidadconvexidade ag?áfica lospuntos e nflexión.7.Lasasíntotase a unción.

'Rccordamosqu€siparacadaxseveri f icaquef(_x)=f(x),entoncesfessimérricaL$pccto l ej €deo¡de¡ádasej ey {fes parr. i f r _,,r . f ,", . ."*; ; . ; ; ;"#;; ;cr¡tcctotorigen ecoordenadasfimparr.

t-x'r 2( xlr l x,: -- -+

(-xr +5

: -(*.r



EJomplo26Vamosa veralgunos jehptosdecomobuscarassimetrías. eanas unciones:

a) f(x) = x4-2x2

d) f(x) = l2x5la) fes siméticarespecto l ejey (véaseigura5.40),pu€sro ue

f(-x) = (-x)a-2(-x)2 = xa-2x2 = f(x).

b) fes simétrica especto lo¡igendecoordenadasvéaseigura5.4 ),puestoque

258

c) Esta imciónno esniparni impar (véaseigwa 5.42),pues

". .(-\)3 J _ rlFS ¡t ¡"" ' F

--")

-Lqueesdisrinrode (x) y de - f(x).

255

d) fessimáricaespecrolejey (véaseigura.43)puestoue

f( x)=

12 ( )s l= | zxsj lzxsl 4¡ 1

la fuDción ueda ordch¡r.¡)c h u$lnlottlD +oo' puesto ue f(x) 2<0 si x_+ !d'] y

quedaor ncimae ¡ rslntolun '¡ ,puestoque(x) 2>0 six+ Ó' Puntosde cor!€con los ejescoordenados:l únicopuntode cofe con los cjc

coordenadossel (0,0).

lntenrlo. enecimienlodeclecimrento:aderitada'' *'

- -J-, no"e anur I

f'(x) > 0 para odox, lueeo x) esüeciente.

Como tr ) - - i-- - 0. paraod o penenecreoresu ampo edeñDic ions c(r(r + r) '

para odox + 3 ,entoncesa ñnción f€s clecrente'

-Máximosy mlnimos elativos:No tiene'pues a funciónderivada oseanul¡'



l.mplo27

Dlbujamosagráficae ¿ iguienrernció¡:(x) = 4.

^itesde epesentaragláfica¿lerealizamosnestudrote stai¡nción.. Campoedefi¡ición: a unción stá efinida

nR_

{_ 3 .- Continuidadpu¡ os edjsconrjuid¡d: ólo,^,".,; uil;;;;il il"il"l';iff:":,;,1,1,,'il,l,Ti"lilllHli,1li;Tii-rDerivabilid¿diFunció¡ derivableenR _ {_ 3 , porserücionat condenominador ueno- S met¡las:No essimétrica i r€specro lejedeordenadasi respecto lodgen..Asintotas:Enx= _3 hayaslntotaeficaldeecuacrón+ 3 = 0 ya que

. r€ctay = 2 esu¡a asíntota orizontalporambosados aque

v rim ll = +. .x+- l ÁT r

=2 y ¡¡A=rx+{ x+ 3 -'

¡a 4=.x+-3+ x + 3

¡- JLoituaciónle a fi¡nciótr especto aasintoia:

q* ) 2 = 2,*=-2 - 2x-2r 6

x+J x+l

- hlervalosdeconcattdadcon\exidad:om o "l \ r - -- ] l- t t* lruqut '(x + l)r

s ix< 3 + (x+3)l<0 +f"(x)>0 + fe sconvexan Ó'-3) '

Six> 3-

(x+ 3)3>0 > f"(x)<0 > fescóncav¿n -3 ,+@ )'

-Puntosd€ ¡flexión: Notiene,ya que " no seanulanunca'

El consecuencia,a gnificade a tunción véas€ igüa 5 44)es

E¡erc¡cio 8Dibujaras ¡áicas e a'sigüieDresunciones:

2

ót10f

I ,

I]_1

a) ti),) = ..: b) (x) =

"/iG

+ D

Itoltclón.r ) - Campo edefinición: estádefinidaenR yaqueel {tenominador o seanula.

, { , r inurd¿dpunrosedrscontúuidad:o exrste isco¡trnuidadteüna.U< se ataIr . nn rrcron onlrnuaenpor erracionaton enominadorqueosea;uh.. I)crivabilidad:ución de¡ivabie,orserracionalondenominadorüenoseanula.- S metrias: ssimétricaespectol origen aque

( x): --r- = -5: rG).I +(-x)2 I +x2

A sintoas:No hay asínrotaserticales uesa tunción€scontinuae¡r odoR.I r rectay = ¡ 6s u urlntotaho¡izontalpor ambosados, aque

l ¡ l , urtttttru ,tttlt .

- I \rntos c nl lc){ i( i rr :l rrs!rrrüos)Lrn losuc nulcn adcrivad¿rcgund¡' '

x=O;x-^,6

Calcularnoslvalor e "'(x) 6x4+ 36x2 6



t im -I . . tm _I_-\ -+ú r+\¿ \ -

-l+r2

Vc¿r¡osa situacióne a unciónrespectoaasinrota:

f (* )0: .+ . .Si x -+ +ó, f(x) - 0 > 0, ta curvaqueda or encinade

x ) -ó , 1a u¡vaqueda ordebaj d€ aasínrora.- Punro.de cone con lor ejescoordenado,: l u¡ico

( i 'rde ¿doss l (0.0).

- Máximos mínimoselarivos: '(x) = (1 +x'?)--x(2x)(l + x2)2Buscamososvalores ueanulen Iade¡ivada:'(x) = 0 t .

r, ,(x)= 2x( l+x 'z) '? ( l x : ) (2. ( r+x2) .2x) _ 2x(x2-3)(1+ xz)+ ( l +x2)3

¡t l):

0 y t ,( lr; .0.

Porranro. r l . f t t r , - ' t . , esu¡ma\ imoretar i lo)tpunro r.r, r , , I I .N

rs unmínimorelativo.- lnterr'alos e crecimienro decrecimiento:n ( l,1) ta fr]ncjónes crecienreues

l '(x)>0,pamlodox€(-1, 1) .En ( 4, t ) ta unción s eüecienreue s s '1x¡< Ora todo x€( ó, 1) y en (1,+ó) decreceambiénpues f,(x)< 0, para rodo

262

la asíntota;y f (x) 0<0 si

punlo cle colt€ con los ejes

(1 + x2)2

parax: lypamx:

(^,6,'a )= ,,e,) ' c^,n,-^,arrf^,4'sonpuntosde nflexión-

- lntervaloseconcavidadconvexidad:n (^,6,

o), f"""onu"*

pu"t hayun nrínlfr

eDese¡tervalo; en (0, ^,6) , fes cóncava ueshavuDn'txino En (-@"f ) 'res có'"'rv"

pues la derechaex =^F h tunción sconvexa éste sun puntode nflerión'v c

¡,"6, +o) , f esconvexa oranálosaazón

Luego,escóncavan -- ''61u10,^6¡v"onuexaen( '6'o)u("6'+*) '

Larepresentaciónráficade a unciónv süderivada epuede ere¡ la figura5 45

'/1\f

l;.^

_/. i\j=-<

Figura .45

b) Análogamente,- Canpoie deñn;cion: -a tunciónesiádefinidapara os x talesqueel mdicandoes I

^13\ (0,f(0))= 10 . )r

2

u. rn nm.r

flógrtivo. sludiirmosl signo e x(x+ 1) .

x(r + l )

xe({ , 1)

x € (-1,0)

(0,+ó) +

l-uego, lcampo edefinició¡ e es ( ó, _ I I u t0, +@ .- Continuidad puorosde discontinüdad:No existedisconti¡üdad al$ná, puesse rara

Iisqt!,htB tt't ll I\t tt¡¿l¡! b ¿r.li h tt,,t t)&u\tflt(hrt ¿( Ntkt tllh\

_, f l___¡__t¡ , ( i * ¡ r r_ - IC,/*:+**t l 2 (,6r***") 2

Entonces(ri) lx+t<0 si x -+ +6,Ia tunciónquedapordebajoe aasínior

Además. -\ ; es tra sinrorab icua.aqu e

. . f {xr . . " , ! r+"

.- 11 . r : l- r im ¡- Imúir . - Lx i-¡ - /x2 x+ xz



ili,J;i",1*t* continuan ( €.-rluro,+@), porser omposicln" r"""i".|,

,,,;,ff::T:i,if1,:'."'ónderivabren €, r ) u (0,+ó) por er omposicióne

- S metrías:o iene.

,",i,f"llil'fi;tilTilli"J",,Tiiiiii"i.,1Tl"llJi',iisunatnciónontinuan u ampoe

"9-(4=,li.*,ec*D = +- y

,li¡n-f(x),rim-,,ri lx+¡= +-

t-a ectaV = x+j esunaasíntorablicua, aque

¡. {.! = ¡, "&Gl¡ - l im / : - ; : l im /l+l = i.r + +,41 \¿ \J+4ry

.. l l i_(rG)-(l.t) = li m("{ax+D 4 =

_ ,, ¡ . ,Frr- l r x¡r f i i l - "r_I. m \(¡ . , l j x. _

"4r¡ , - l r r , : " ' . r ! ( , i l , \-

I im:- r im:-- l"_, .Jr / "r x _. ._. / , | 2.

. , rr-rr,V x

Veamos la siruaciónde la función respectoa a asintora y : x + ; :

264

(, (--N="eG+¡-(,+, ^tr* o- =

26

l im {f t \ r - t - l } \ ) - l ;m t, ,& r: . r l

t:ax+ aJx2+x+Jx2

t ' , - lr--* ir :+x x+ ó / , L

{* 2 ¡i x

veamos¿.iruacióne a$áfic¿re<pecroaaa.ínrota - ' ,- j

f txr l . r t -Jxrx t t -r-r- t / r2 xtrr t ,

- ({:lr__rI-!r___rd - I - ^ .L(6, +x-x) 2 Gl?*" *¡ z

t ' , , r 2x+1 ¡ / \ , :n . .' ' ' '^ / )

Entonces,(x) [ rt<0si

x -+ -6 , a unción ued¿ ordebajo e a asirlorl

- Puntos e cote co¡ 1osejesde coordenadasros puntosde cortecon los cicscoordenadasonel (0,0) yel ( 1,0),puestoque

f(x) = 0 > ^/&(x+D = 0 > x(x+1) = 0-

x - 0 y x I- Máximosy mínimos elativos Buscamosos valorcsqueanulana a derivada:

' ] -o-)r I u-r ' l .

2Jx'? x 2'' r , . \ ' \ r \ . \ , . r 'npelcneceatcampodedet r l r . róndef .Lrepotadd\ rdJDr imeran, .i f . , ., , ,n ' fncrc lnr fo0e0etrcrordet . ). |or tanr . ,.nopo,eenir ¡ ¡ \i rno.n irn inr ro,retar. "rrq r lfirr (lc ¡nafunciónerivabten( ó. 1) u (0, +ú).

lr lLrvr los¿ccrecimientoydecrecimienro:s ludiamosls ie¡ode,(x) :Si x€( ó,-1)>f ' (x)<0 y fesdecreciente.

Si x € (0, +ó) +f,(x) > 0 y fes üeciente.l,oIli)sdc nflexión: uscamososvatores ueanuian aijerivadaegunda.

¿,/* '*.kz**rt .z_ltL l

Ejerc¡cio 29Esrudiar represeniaratunción (x) = sen(x)+cos(x)

Solución.Eldominiodedefinición e alilnciónfesR.Además,esu¡aftncióncontinuaderivable n odo& ya quees a suma e as uncionesen(x) cos(x) ueestán efinid¡para odonúm€ro eaLysóncontinuás derivables nsüdoninio dedefinición.

Ld unriono es rmérr icai especroele je ni ¡e.pecroelor iren e oordendda'r "t-r)- ten ' \ r co"r-r ' - qenir r' co5(\ ' )e.drsr inrodenrr ¡de r )

La tunciónesperiódica epefiodo 7¡por ser a suma e dos unciones eiódic¡s(l(periodo2r. Por ello, estudiaremosnicamenrea funciónen el ntervalo 0,2n)

Ll punro ecoreconel e je er el punro0. 1'. ) co nel e ie son o ' punro' + n)'



r ' "(*): ' 2 /x2+x/4(x'? x)

_l-.; - / , .pa{arodo\- t o. t l ' r0. 61.

4l\ '+ r \) ! ¡ \ '+ \

( i 'D, ' l ' " noseanulaen( ó, l)u(0,+6), entoncesno t ienepuntos e nf lexiónr(,s c ' ¡la deuna uncióndeivabte en (-4, 1 u (0, +a) )

¡¡rtcNalosde concavidad convexidad:Como en ei campode definiciónde f sienprerx¿0.entonces f"(x) < 0 , para od o x € ( @,_l)u(0,+{) . Luego es cóncava¡r odox € (-ó. l) ! , (0,+-) .

¡ eonsecüencia, a gráfica de la furción está epresenradaen ta figura 5.46.

(?.')f (x):0 > 0: sen(x)+cos(x)> sen(x)= cos(x) >

Secompruebaácilmentequeesta unció¡ no iene ectas sintotas.A continü¿ción studiamos l crecimienlo,decrecimiento,mriximosy mfuimos el¿tivos

concavidad convexidade a tunción. ara llo,aplicamosos esultadosonocidosa¡funcionesdrivablesue e eñeren condicionesuñcientes

Derivamosres ecesa unción:

f ' (x) = cos(x) sen(x) f"(x): se¡G) cosG) y f" ' (x): cos(x)+sen(x)

Como '(x) = 0 para r

r(fl ="a.o

J f alca¡zanmálimo"l"ti'" * elp""t" (4!,,'r)

: rtrO ..> f alcanzaunminimoelativo nelpunto

Además, es decr€ciente n el iDtcrvalo

y la tunción es continua.La tunción cs

como "(x)= o p-" * -f; r

{:

,(?)

n5r=: ! ! ' :_ v4'

¡n 5n l\4 '4)

pues epasa eun máximo unminim

* ro ,Íl y * t?,2ir) por nálo

f; v, "a".as,'(1t)=n*o

26

r(f)= -,a'. o, .,ces rposeeospunrosenr"."" (+, r), (?, r)L¿runción esconvexana *"-,r" (f;, f)

puesrou€enunpunro eélposeen

Ir|)imo elarivola uncións ontinua.a tnciónfes óncavan fo,fiv*tf;,:j¡)Por natogaszones.

'fodos os ros obrenidose a u¡ciónpermitenibuja¡agláficadeésta.

f " (* ) =nl( lnr '1 ¡ ( lnx - I 2( lnx) l

- (r'-f-ln*_:! i io*_.r n,r_,n*,: ' -G; '=;(r"-r '

yparax = € es f"(e) = ! Aslpues' l signo e f"(e) dependeelsigno en

Port¿nto, lafunción¿lcanzaenelpunto(e,ne)unmáximosjnesnegativon espositivo,Pu es(e)= ¡ee¡' =rc'

¡ t t4ut l t l ¡ t l l t l tF lx ft tr ' '- '" '

La segunda envrth cs



Ejercic¡o30

Determinartos,I.iximosninimosde atunción f(x) = lnxenx con neR.Solución. nici¿lmenteuscamosna e)'presionle ta fr¡ncion n l¿ cual no ¿oare,/calrogarrrmooDase: para o. aptrcamosadefinición e ogarirmose rene ue

f(x) = irxe¡r-

xr{x) = enx,y al tom¿l ogaritmos eperianos

f ( \ , ln\"^ - t , , , rf r .quese ratade una tnción defi¡idaen (0, 1) u (1, +@) pues l denominadoreanula nx = I , continua derivablesucesivamente¡ dichoconjunto.

A continuación, uscamosos valoresdex queanulana a ¿leriva¿la

ntnx nx l_ x nt¡x ¡r

G;t- - (rnxtr'0r nl ln\ l ) 0-¡nr-trr ,.

r '(x)

f ' (x) = 0 >nlnx n=

Fi9]ul¿.47

268

A continuaciónstudianoslsisno e "(x) '

tt ]( C-, I entonces"(x)< 0,pues"( 1) = €-33(2 3) =

esuna unción ontinuauesóloseanula"" '

= - I L*g"' fi¡

*"j*t .si . . (- ],**) entoDces"(x) > 0,tuego x) esconvexa

Ejercicio 3l

Estudiaraconcavidad convexidad e a tunción f(x) = xe3*

soluc¡¿n."n,n. i¿n.sadeñnidaenRve:deri \able:uce'i !amenleendichoco\

iiill"pr"'i"; i;";¡i¿¡os era,i\o' ;derivadáegünda

f ' (x) = 6:xa3t"3* = e3*1t :x¡;

f '(x) = e3'3(1+ x) + 3e¡" = e:*:(2 + 3x ),

f"(x) = 0 > e3*3(2+3x)=0 =,2+3x:0,cuvasolució¡esx: 3

lrarclclo 2l lNlrr l iurycprcsentargráf icamenrea unción 1x ) = ln(l +x2).

r", , , l iJ ' l ) |" 'd"ddi"i" i¿'odominio:LarmciónesrádefinidaenR,yaqüerrx2essiempre

,(intinuidad y puntos ediscontjnuidad:a tunció¡escontjnua n odopunro, uesI r ' > | paraodo .

l)cr ivabi l idad:Lal inciónesderjvabteenrodoprnto,puesI +x2> I pararodox.

- S nictríasLa unción s i¡nétricaespectol e.Jy pues

f(x) : rn(l +xr) = htt +(_x)r l = fI x) .

t , , ' (x)-"

r:> l"(0) = 2>0,

( l ix-).

luego,en)(:0exisreunmininorelat ivo,vcomof(0)=0,entoncesenclfurr lo({)l) 'r ' l r l

dichomínimo elarvo.

- lnteNalos ecrecimientodecreciniento: i x e (',0)

entoncesf'(x)<0 1rrrlrr)\l

esdecreciente,si x € (0, +ú) entonces'(x) > 0,luego x) escrecientc

Puntosle nflexión: uscanososvalores ueanulan

r" (x):(l + j\ )2

1- 2,1

;f ( \ l 0 r --: :-- : U ' 2\ / 2 u(r+x'1" - i ,

¿,1,I ) '



. . . . : . : ' l l . '1.,\o , hJ ) ¿sinrora,enic¿re. !¡esa unc¡oD. co n nua. ampoLo r¡re,rsrnro¡¿son/untátesUe s

rt im.irr_ ó ) Jr m r\ r - ó

Nohayaslnro¡ablicuasorladerechapues

2xt in. }1: , , ,n n( l+) . ¡ )

lm i+\?r

^-' l

donde ehaaplicadoa egla eL.Hópital.

y tampocoor a zquierdaoranálosaazón uesx im-1l! : 0.

-Puntosdecorteconiosejes:LaftncióncortaalejeXen

f(x)=0 >ln(1+r2)=0 :> e0 = l+x2 = I = l+x2 =,x=0,luego,agláfica orta ose.jesn 0 ,0).

- Má\imosy minimos elarivosiBuscamososvaloresqueanulana a de¡ivada,

r ' ' ri ' : - ¡

:r ' ( \ , . .0 _;;_,, j r .o _ \ _0.

En x = 0 existemáxino o mínimodepetutien¡loel signode ta derivada egunda;

estudiamos¡ronceslsignode,,(x) : ?.(1lP,*)(=0,

= 1¡. -?L=nx+ r 1+x2

270 27

\e.tudidmoselr.r lorde f (\ I l: : - - : : - (ne'tos\alore' '( l+\ ' f

f ' ( l ) = 1+ 0 v f"(-1) = 1t 0

porúnto,hay puntos e ¡iexión. Como f(1) = )n2 v f( 1) = ln2,entonccs

!1 . n2 , y r I. In2r 'on o'punro'denne\ión.

- ntervalos econcavidadconvexidad:nel ntervalo- I ' l) hayunmínn¡o uego n'| |ll

f i rncións onvexa.n ú,-1)latunciónescóncavapuesenx=-lhavpunlodei¡r l l

y a la derecha e este unto a tunciónesconvexa en (1,+ó) iambién s cóncav¡ )ofanálogaazón.

Unavez estudiadaa tunciónsedibuja ag¡áficad€ a tunción

Esguéma

obte¡idade la

Crecrmiento) decrecimienro

Concavid¡dconvtrkl¡rt l . c¡ rdct iv0bl€€n4,b)

- Si f' es recicnl¡.jI {o, b) cntoDceses conv€xan(a. b)

- Si f' esdecrc€i€nleo(4, b) entonc€sescóncavaena.b).

Crit€úo de a segunda erivada.Sea una función os veces odvrrblotl(a ,b) :

- Si c É (a ,b) es alque '(c) = 0 y f"(c) > 0 r f t ieDeu

-S ; c€(a,b) es al qu e '(c): 0 yf"(c)< 0 > ft ieneuD

-Sif"(x)> 0e n a,b) > fesconvexan a,b)

-Sif"(x)<0en (4 ,b) + fescóncavaen4,b)

Puntos de intl€xión, Aqüellos en los que una tuncióIr conlinua f Pas (lca convexa vlceversa



5-7 Conceplos lave

Maximos mínimos bsolutos.eauna unción ontinuan a,bl.- El punto c € [a,b] es liláximo absoturo i para rodo x € [a,b]f(c)> f(x).

- El punto d € [a, b] es mínimo absoturosi para rodo x € [4 b]f(d) < f(x).

Máxlmos y mínimosrelativos.Seauna funcióndefinid¿en A c R .. - f r ietre n l i \ imo rctarivonet punrc .si f i¿resma)or iguat uermagene ospunrosró\imos lpuntóa.. - fr ie¡eun mi¡imo elalr\o net punro .si rb r es menor igual uermageneLos unros róximostpuntó .

la

la

PüÍto crítico.El punto del dominio e que veriñca: ,(c) = 0 o f,(c) noes¡ádefinida.Criterio d€ la primera d€rivada.Sea continua n ta,bl y derivable n(a ,b) :

- Siparatodo€ (a,b) esf '(x)>0 + fesoecienren a,b].-Siparatodox€(a,b)esf,(x)<0

+ fesdesecienren a,b] .

272 2

cóncavaCriterio de ¡ tercer¡ derivad¡.Sea una ünción resveces erivahlc rl(a ,b):

-S i c e (a,b) estalqüef"(c): 0 yf" '(c)*O > fi i€neun punlo cinfleión e¡ c.Aslntotas.Recfas as cualesa función seva apro¡jm¿ndo

-Larectax= ¿€sunaaslntotaefical de alaizquieda (respectivamenlcltl

derecha)e cuando im f(x) - +ó (r€spectivamenteim.f(x) = +ó)

- La rectay = b esunaasíntota o¡izonlal de cuando

l im f(x) =b o l im f(x.):b

- La recfay = ax + b (cona + 0) esasíntota blicuade cuando

ti m [f(x) ax-b] = 0 o l im tf(x) 3x-bl = 0

En el segundoaso e ienel

a = ri n $) y b : ti n i(x) axl.

5-8 Auloevaluación

Problema

Dada a finción t¡*¡ = * - t2l3 , en el intervalopuntosFesentaunmaximoabsolülo?

[-1,2], ¿en uá lde os sig icrr

A) x= 2 B) x: 2 C) x=-l

Probloma

¿( rfldc os iguientesD¡toss tdenflexióne a unción= (x)= (x l)r/1,¡

^)( J,0) B) (0, 1) c) (r ,1)

Problema

i.l I ¡ r á d€ ossiguienresntervalosa unción x) = -l es órcava?

(x 1) -

. . 6 6

t | ) 1. Ja

Prcblema I

).Cuáles e os v¡lores de a' b v c hacenque)a unción (x)

puntoP= (8,0) y tenga nmlnimo nQ= (6, i2)?

l\ l a=2, b= 30 , c=90

B) a= 1, b= 35 , c=94.

C) a= 3, b= -16, c=96.

: a\2+bx+L nt \ ( t r t r ¡



^)({1.@) B) (0.1) c) ( 4 ,0)

Problerña

i,( ¡álde as iguientesectassünasinrotaorjzontale a unc iónf(x) 2,t ^x+ 3

^)y: r B) y= 2 c) y=2

Probl6ma

¿llncuálde os

^)x=1

sisuientesurtosalcanzaa tunciónh(.) =¡i

en [0,2], un

B) x=-1 C) x=0

Problema6

.i,Encuálde os siguientesuntos lcanzaa fimción (x) = xs 5x3+ 10x un mlnjmo

N^=rt D x=Ja c) x=l

Problema¿Cuálese assiguientes edidase1osados eun recrángutoroduce eaIná{ima isuponemosueel cctánguloeencuent¡a¡scriroenu*

"¡*ni".eniiu¿euAo

"_i--"-"^

274

Problerña

-3tl

Decirsi asigui€nteunción x) :=

presentalguna e assiguientesrmclrr¡

nopfesenta mguna:A) Respecto el eje Y.

B) Respecto l origendecoordenadas

C) NoesParDi mpar'

Problemal0¿Encuáleos iguientesonjuntosatunción(x) = x2 9l es onvexa?

A) ( ó, 3) .

B) ( 3,+ó)

c) (-3,3).

Solucionesel est

t23456', I89r0BACCABACCA

FFFF'-

Tema6. La ntegral



Los dos problemasirndamen¡atcsetCálcufo nfinire,imat onet c.;tcuto e raneenlesquere.uelveelcdlcutodit 'erenciatconraderi\ada)¿c¡i lculodetue¿squi; i , t i .Jir i i i " i iüroregr . A e{revamo,a dedrc¡r l pre<enre¡pirulo.Sondos o. concéDrosundamematesqüeinrroducrmos.La.pnmr(¡\a\deun¿ñmciónyIaimegratdeunatuncióoenunnenato.

\,lienrras ueel cdlcuto ederi!adas sunprocesoeocio, et cátcuto eDriniriras o oes.por roqueet erlordebe staratenrotospa<osüe a d¿¡do, no ava¡zár i no e ouedacrdro o anrnor. \o espere nconrrarn máodounirers¿t ara e.otrercuatquierniesratporqueoe\rsre..rnosotorerlastécoicasparaesolveratgu¡asnregrales., tl concepto e áre¿esüecbamenteigado¿t de primitivamedja¡te ierros eoremasoenomrn¿ooseoremasFu¡dañentale,del Cálculo. que son polenres eramienra,

6-1 Pr¡mitivas euna unciónCalcularunapdmitiva de un¿ unción f(x) eshallaruna unciónd€rivableFax) ral aue

F'G) . (\ , .Obsen ráel ector uea eces enomin¿mosa unciónl \r o n ) esqueeD eatidada\an¿ble e.muda e.decirquenormpona\i latram¿mos\.r.s.etc_

Eicmplo lSitomamos(x) : cos x) , enronces x) = sen(x) puesrou€e¡ latablade erivadas

se lene ue (x ) : (sen(x)) '= cos(x).

s;4¡ = -J . entoncesF(x): ts(x), (mre ta ablade erivadas)(cos(x))-

F(x):(rs(xr '= ' i .(cos(x))-

277

Elomplo

rrfosson asos eprimi¡ivasáciles eobtene¡.l.i, rnnción {x) = se¡(x) tiene una f

| ( i ,s(x)) : se¡(x).u¡crÓnpdmit iva F(x) = -cos(x) pues

l r,,i, rimiriva e a inción rC) =i

esnG) _ rnlxi( )lrL'so esulta¡an imples ecalcülar.

\r l l \ ) -cenrnnce\unapnmil i \ae.t-(\) . ,e,"r, .2'S-1!, 'S]!rco.( \r )"

lil'nr¡lice¡nos uesadefinición eprimitiva euna unción.

Definición.Sedicequeuna unciónF(x)rlx)

es una prinitiva de otra fincjón

Ejemplo 5

Si buscamosnaprimitivd lc a tunción x) = 2cos(2x) cuvov¡lot cri

renemosue asprimitiv¿s e (ri) sonde a o rmaF(!) : sen(2x) k

cono Flt = 3 entonces

l l i l - 'enlz l l I J .errr k I-

I

Por ¿nto,apimi¡ivabuscadasF(x) - sen(2x)+ 3.

6-2 Integral ndef¡n¡da

Si F(x) esunapdnitiva de a tunción (x), hemosisto que ambién

11",,



en u¡ inrervalo a,bl cuandoF(x)F (x) = f(x) endichonrerv¿lo.

es derivable en [a,b] y adenás

.I)¡da una función (x) se quierehaUar na funciónF(x) con la condjción e que

ilil;i$"!;:ilJ*::,:ii,flJfJ"it;:"t;*"";#,i?*ii''""'"'"-,,",'""'","'"J"" ,H'¿3i::?#:',?.;i'i:"1i:'dfJ;trilH:""ilTÉ

"''"ion'r5",""n.i-i'"nr*r

EJemplo

,l '(x): sen(x.) sp¡imir ivale (x ) = cos(x), ambiéno es c(x) = F(x)+3, es

l i l i;;:Í;¿;¿1111.,,H(x) sen(x)000. ncrüso(x ) ,;,(D;;, ;; ;

' I s decü. ara er un poco iguro,os. :una urrurrcunconjurrodepriür",^''n'",",0""¿.ti,",i"rÍi)#:,::fre'r' ' 'r'"r.' ',."'""..'

E emplo4

A buscarnaprinitiva F(x)de a unció¡ (x) : 2x + 1 cuyovato¡en x : 2 sea , es(lccr,F(2.) 7,se ie¡eque asprimitivas e (x) sondetafonna (x) = x2+x+k.

DeF(2)=7 > ;r2+x+k = 7 .. , 2-.2+2+k = 7 > k=t.Por anto,ap¡imitiva uscadasF(x¡ = x2,r+ r

278

funciónde a forna F(ri) + tr , siendo unaconst¿nte,ues:

(FG)+k)'=F'(x): i(x).

Detinición. l conjunto e odasaspdmitivas osible s euna unción 1x sc

dercmina nresral wlefnida de f(x) . Seee"integl¿lde f(x) difereDc¿' dc x

jti,.ta'.

Además, iF x) esunaprimitiva

e aünción (x.) €ntonces

I f (x)dx F(¡)+k.

. ,V¿¡d: Si F(x) y G(x.) son primitivas de (x) en un intewalo. sc rLeri'

(F(!) c(x)) ' :F'(x) c'(1): fG ) f(x) = 0,porloqueF(x): GG)+k dond' 'esunaconstante.uegobasta onhallarunaprimitivaF de una irnción )a qtrcsi r l' Isumamosualquie¡constantebtenemos trapnmltrva

El número sedenomi¡a nstantede ntegdción;la unciónquesedesea¡rcHir i'

denominanregranrto.ll simbotoJ va aconpañadoe a expresión,,h".qLrc rtlit | |r

variable, , respecto a cuál se ntegra.Al proceso e obtenerasprimitivas e una unción e e denomina,r¡¿g¡d¡tl il{ Ll

rün.,óntlpuedceccribrrsedcd,qio.a'fo-ma'.Jn' ' 'ar 'Jnrrdr.Jtr¡ 'o¡.p,. ' ' , ' ¡nt

variablede ntegración s muda"Así.calculara ntegralndefinid¿dees elprocesonverso e aderivación

27 9

.'ryrrrrLa unción x) y cualquier¡ imir i l r ,r(x) r ielc cl nrisnroomirio, a que,

l( \ , . , i rr .A.rrveá.eetejempto2)tapnirr\r r \, t l\ Jf t i r) _ L no;,,a

i; : i : ' ; : :", , ,_: l , l : ' 'niode Irx' , I( \ , debc'< r (r,a,quiern,enar¡,onrer.don

:dr,l,ífqild:'r:er:,,1*.,1i"1.,*f""".irii;'*",i,ii,ffti:t$,?¿'¿$,::",*"d:lll lilll I."fi:Hí;"1Íi"::::::l;:"ll**"*itti " i' .'p"" -'';ñ;;;:

lin slc ema eexponenosde osméto¡tosecálculo eprimi¡ivas:

,lI dcncgrc.¡on par rarr¿, que e bas¿ n J¿ egj¿ eder;\acrón e unprodücro e

- Iildesr¡¡rr¿ü, quesebasa n a eglade a cadena ara a ¡terivacióne unciones

8.3 Linealidad e a ntegral ndefin¡qa

rJ(x)¡x r, iP({tr i

;,",:l,i.lá"i:?"TJllltl':]X1:'l.liüti:'"l'tfl:que'NoislY/'ir'r'(P'rr'l

tl's¿,€¡drJf(x)s(x)dx r Jrt*la* Jst.la. en'r'tittlt\'

EjemploT' ' -1

f* ' :a ' . ' r .p.* f^* l to ' ' l i ¡J

j"'?a"+'a-

j,.a.

Jio11"i ,, ur ' r ra* j ru rt"rr ' r*' j t t ' ut*t t ( l*



l , rs propiedadese tas nte$atesndef in idai'i,.r,(didc\de¿5deri\ad*. p*;,a. ru, onn'url'.'iiJ:T:Xlil,:"'

reracionada(on as

(F(x)+c(x)) = F(x)+c,(x) ; (F(x) c(x)),= F,(x)c,(x)y (aF(x)' aFlx),

o*,( lc(r. la enradae na.sumae uncioness a um de as env¿das.aderiv¡dae oa

il,,":H::i,$,lj[.;,iJ.,{f:r'rii.T]fr'Tii"'Ál"n""l:":;,ixl;,::"Jr*rfuiPropiedad d€ lin€alid¡d

Jtrc*ic{*ita,' Jr1,,¡a.Jsr,ta,.

Jrrr*t-er'ila,Jr('t)d}ieG)d..

J.r¡'ia*:

"Jrt" a. ,naraodonúmeroeal.

EJemplo6

Jr"-:oa" ,.¿a*-J:*a'J,':a*J..a,,x- 3x -l2- '

. Laütilización ombinadaeinlegrales notrasmássencill¿s

280

lasFopiedadesde ineaiidadpermitedescomponerlgunas

281

6-4 lntegralesnmediatas

Dada na unción eivableF(x)' esurta ueF(x)esuna unción rimiiivadc tr rrri'r' rl

derivadaF (x) , esdecü

Jli'¡a,, ni ¡

No siempre sposibleencontrar imitivas que seanexpresables cdia¡lc irnfi(rr(s

La función f(x) = e*': no tieneprimitiv¿sexpÉsablesmedianie uncioneselcnrcnrirles

L¿ ¡lemostración de esteh€cho escomphcada'

. T¡bh de la s in iegr¡ les ¡ trmed¡¡ las La ' lónDuldspara l¿ ' ' igxienre 'rr f ) ' t r r "

l "¿ l ¡" 'L*"^ lr ' ¿. l " -"b la de der i \¿das scr i rA eor a fon¡a:esro e'umrrueht rr l I r!

quederirar o' segundo'mrembrotde cada gr'r¿rnao:

. Funeün poteñcíal cor^+ |

¡" '¿r . I . , ," ' r

o"n"t.¡O* L * tuncrón /ea#/¿/ es una unción uepuede rpte'dr'( 'r'áil;'ü-;;.. re"t2s. uhipricacionesllll:Tl-:- ::11',::l:i:ll,:':iiilri"il'lil"áitl"'.li'i;";#liili;; ;Ñ""*'"icasn\e''¿''oga.un

t'\t,tc tn eqron¿ cial, a > 0

' l ur(ión logaritniú

J..a.J**

= e^+k

Jl¿* r"' l *t

J"o"1*)a*:en1.)+.

. Funciónarcotane¿nt(

l ,--:ú\ rets(r) k

EjercicioSCalcula¡ las siguientes nt€grales

indefinida:

u¡ Ji.5+z'3 ^A)a"

. , ¡x l+x2+r-lo,.' J x+l

i¡mediatas sandoas propiedadese la inrcfr1

b) l lx+r++ldr\

, l r f ( {2l)( ' (

+ 2ldx-!2x



. Fahciónra gente

. Funcióncotung¿te

. Fanción arco s¿ o

. F nción arco coseno

Js"rlr¡a^ -cos(x)+k

Jt r*,eti*))a* ts{') r

[ - fa*: ,g1*¡r t

J"".'¡'.¡a'tg1.¡ t

[--f-dx: cots(x)+k

Jit*"otetl '))a* = -cors(x)+k

J** :arcsenrx)+k

282

J¡;* : arccos(x)+k

2

Soluc ión,Apl icamosas propiedadese las ntegales ndef inrdat la lablade rnrepi ' l

iomediat¡'p;ra rerol\er losap¿nados e esleprohlema

a) Por laspmpiedades de inealidad se iene:

J{xs zx3 ^.&)ax: xsax+Jzx:ax-Jx'/'?ax

!r ,

* ,++ r- f j - r , ' - - - f+ ,,

para odo Dúmero€alko,¡1^, I , l )a^ f^a. ' a ' [ " - ' :a ' -* , r*

^ l* ,=

! * rnl* l- i , * t =;+hl¡ l+2"&+k-1

c) Iniciahnente e eescribe l ntegrando on el in de obtener na ntegralmássencilla

PaIa llo,efectuamosadivisióndeospolinomiosvéase olumen -tema )'dedond

{ .# l=*,+r*,

J**i'*.,'o- J(-'-t#J* :

=J',a*,.Jra-J*o^ : t '** ,r, '¡ '*t¡*t.

rl )Sc ccscribcl rregrandoe olma nálogaa |]tegraanredor.

(xr- t )(x+2),x3+2x2 x 2 =, . :+u* t-?.

Ji" !ql?d*: r l1- '*,- i-.o-=

. v,/./ fqnecesarioconocermutbieolalablddeprimitr\¡s inmediató.porqueatolarqodett" ,\(so oe nregracronnatgunmomeDrouede ue.e enaaueurit i iar. nun Dri ic iDrotrr(r(.rc(urr¿reoro.o.er o on a rácrican(eguidae Drerden.

6-5 Integración orsuslitucióno cambiodevariable

jJ(-,.:* )a-=

=l(! ." , * zr.-r) . r .

a on a crmirroloBirr(l( i1¡rrrr lscl icehtroiondolca¡rbio cvrrirt) lc"

Paso Sesun:rLryJrrr l ' { unJ\ariablenue\a

P¿so2:Se ustituye'(x)dx Pordt

Paso ; Se eescribea ¡tegral seoalculaf , . , l^. . ,

I I 'c ' ) ,c I ,d\ J tar l , l r rrr l I

Paso :Se eshacelcambioF(t)+k : F(g(x))+k

. SiG(x) esunapdmiriva de g(x) v consideramosa composicjónG"f(x) : (i(Li\ rr

tieneque G(f(x))' = G'(f(x)) f'(x). Veamos a tabla d€ as ntegrales¡nedittlrts )rrrrl

derivación de f-onciones ompuestas:

ll



| ¡r Rcglade h Cade¡dde a derivada ermite,.,,n ,t;.io , ,.,,,,"¡itiiiii; )i";;;,:l;i"fli'r"i"": 'i:fl::XX11:;'-'.::lTiiiillll""n#iiii"":H'::XfJ"llennaintesrarqueinicialn*t"'""ii*'iaiit"""il"i'i"itá

Elemplo

t:alculamosa ntegralJ2xcos(x2)ór.

Si ob,encmo. a lablade úrerrate. nmedrara5,e(ornpuesfaet Lpo eno.

Enefecto,sif(x) *'-

t '1"¡ = 2x,porranto,

tmta de una tunción primiriva

J:xcos¡x'?¡a*J*"1r(91r(,.¡,1" s€n(r(x))+k sen(x2)+k.a

Supongamosueconocemos napnmidvaF deuna unción enroncese ieneque

Jr¡gq*¡¡91¡a,.F(c(x))+k.

Orientamosa demostració¡ret esultado nterior. Dirigido a ecroresnreresados)Denostracién.nefecto, orhipó1esis = f y, por aRegl¡de aCadena,

284

tF(c(x)) kl ' = F'(s(x)). '(x)= f(g(x)).c(x,

2

. Fnncün potencíttl, con a + |

f i f , r r l ' r ' r r rd: . [ t l - uJ' ' a' l

. F ñdónerponencí^> o

J"tt.t.r,i*¡a' e'L'r t

¡"u ' , . ¡ , "¡¿*{ l * t

fj = rt^r¿.. t¡ (\) +k

J* ' ir¡r)1 '6¡a*= sen(f(x))+k

J* r ¡t1*¡.r14a*= cos(f(x))k

Jt t*,s'{i{*))) 't*)a* ts(r(!)) k

It ] ( - ) *- ts(r(x))+k

'cos-(f(x))

. Funcíóñ ocatftt ica

. Ftlr1ciónta gente

js ( r (t(\) l | l \ )d\ - r r ( r i \ ) r k

l- *¡^ : cots(f t \)) k- sen-(f(x)

J(l cors-í f t \ j , ) . f 'r \ 'd\ (orsrri\),

Jff i*=arcsen(r(x))+k

tu t l ¡ r't t \ r ' \ t t t t t t r(t t

J:*" ' ' i * ' i . l * : Jcos(t)dt

scn(r)k.

y deshaciendolcamlrio. sdccir. ustituyendo= *2 , resultauc

Jz*co"i*'?¡a*sen1x2¡+t<.

Ejemplo l2

La rntegml-j-d¡ .e puedeonsrderarom o'nmediar¿l mulr ipl i rar'I r '1" ' I

(véaseunciónogarltmica)lanamos - x-+l.entoncesdt 2xd¡ Por'(¡r!r frr !rr '

.Iitt,cióncotungente

. I ixttión arco seno

. I.\rn(:íóñ arco @sena



Ejemplo 3

cdlcul¿mosas prim,ri !ó de l¿ tuncion i {,( ,{ , ;

ur i l i¿ndo l c rr ' l ' ¡ ' f

ObseNanosque el numeradof s casj la derivadade dentrodel paréntcsisle

denominador. eescribimosa tuncióncomo (xl = L ' -J1-=' 2 ¡xz + ¡t

Aholapodemos acerelcambio = x2+ I , dt : zxdri :

l . j - -o' +t+-*- lJ i* i ' - 'a, t - 2rkJ(Kr+ t) ' t r (x '+ tY z¿r '

I'' -

2(x- + l)

T¿mbién se pueden calcular obsereando la tabla de integmles inmediatas conn) crr rl

Igd': arccos(r(n))+kt l - l | (x) l '

' l¿unción orco ta gente

If (x)

;d x = ar"ts(f(x))+k' l + [f(x)] '

EJemplo0

Ilallemosañrnciónrimitivae (x.)=;i"

.O**¡n* *"..trar un¿inciónF(x)cuya erivad¿ea (x).

hfi¡nción F(x) : arcts(x) es na unción riÍricvaaeg(x) :"].

.

Simiranos ue lx.) : c"l'f.l =#. l,"on

h(x) = 2x , de a abla ededüce u€

J#¡r'= ljAf-" = u,",g¡:*¡*r.o

Ejemplo f

Calculamosa ntesralJ2xcos(x'?)dxore1mérodotet ambioevariabl€.ara o,

hacemos€lcambio-,, ', , l t = 2*,t*,

286

E¡erc¡cio 4

Calcule; a) J(5x ?)adx b) J(1q')5d*Solución.Las¿los ntegrales epueden ransformaren una ntegral ¡mediatatipo potcrr'i

28

Jrt i, l"rr* la,:T++k

¡r ) { (,rno no apareceen el integmndo a expresión '(n). es decir, 5, reatizanos

J{s, )aa, lJts. :r+a,- *J(5"7y '5d*l ! <' 1r\5

, ' - '=- : t _'_r5r -r' |'

¡¡ l r ' r 'h)J i ' d\ .Jr ro\ ,5. 'd\ - j fnrr t5r '( \ 'd\ , " i t u , r- ,

Elorclc¡o'15

J*"u*1"rr,r*J," ' ' , , ,,= '""¡1*r j"""1-:1,

0 Me¡iiantel cambb xr t,-21dx=dt:

I , . / l l -or j j , i ia, j1, 'a' j |_, ' r . { ' ' ' ' " ra

6-6 Integración or partes

La fómula de derivación el producto e dos funciones roporcronan n¡Úr(¡l'linteg¡ación uesecotocecomo ntegración or pa¡1€s. n efecto, a guald¡d

((x) e(x)) ' = f '(x) g(x)+f(x) g'(x) '

f( t e 'G) = (f(x) e(1)) ' f ' (x) e(x).aspropiedades e inealidad



( rlcularlasiguientes¡tegralesor ambioe adable:Al int€grarenambosmiembms aplicar

j11'¡g'¡*¡a*Jrrt.let'll'a.Jlt*ler*l¿*y*-" j trf*iet*l l 'a* r(x)g(¡),setiene

Jr6¡g1¡a* rG)gG)F'e)eG)dx,qÉ eslaFómula de tegracíón ar patles

' Aplicara a nteCralJh(x)drelmétodo e ntegraciónor pafesconsiste ncxprcsrr

integrandoh(x) como producto de dos tunciones f(x) s'(x). v apiicar La órmrrh (l

integraciónorpafesa Jf(x)g'(x)dx.

' Regla emotécnict.Sitlañamos

] ( ') : ' + f '(x)dx : du

I g'(x)dx dv + g(x)=v

entoncesa f&nula de htegraciónpor partes eescnbe

J,'a' * -j'a,.

. Las ntegralese a ormaJ,'s*1'¡a* oJ"*"¡')dx ,se acenorpares

"- 2d) l-- l-dx

, rcos{arctclx)).o, l- io\

er J cos(r ' )d \

o J""ns¡'¡co"1,,¡a*

J.,/i-a,.Solución.

r) Medianteel cambioel cambio ¡ x : r, 9I = or :

r dx rdtJ-- J: '- lD' k rn n¡ ' l k

tr ) 4ediárrelcdnbio rc,*r I ,. - ! l - ¿,,

rcoslarctsxi- d\ _ tc¡ \ / l ) r i r .senl t ) k sen(arctgr \ r ) k.r l+xr J

c) Mediante l cambio en(x) 1,co(x) d¡ = dt:

, . ¡6

Jsenxrcos{r )dr- Jr 'd ' ¡

k - :cenúrr r k.

d) Mediante lca¡¡bio 3: 1. x2dx dt :r r' l f dr I IJ1 ¡o' :J¡; Jdrcrsrr) -arcrgrr ')k

e)Medianteel canbiox2= t, 2x ¡lx= dt:

288 2

Ucmplo 6( lcLrlcnrosJxsen(x)dx.

ISirccl igcnuydvdelaforma] > dx:du

I sen(x)dx: dv = cosc)=vr¡flrll¡rql|c cobti€¡e nanuevanreglalmás ácilque a nicial

J\senr\rd\ xco.rx)-JcoslUdx

_ \cosrr) senr\r k .

I *< o =. :+ cos(x)d{:dusl uy lv e l igendelaforma z

I xax=

ov >r$Iltr qrc seobtiene na Dregralmás dificil quelainicial

Ejemplo8Enelcálculoe a otegralJx'?exdxeaplicadosvecesconseculivrrsl0ir

I ,_} 2 \OI CJ

ffrmem vez.forueDoo f

i " "a ' :a '=y aplicando a ómula de a ntegmción or partes, e ieneque

J*,"'d": lc J2""-d'.Segundaez.Para alcular sta ltima iniegr¿i e vuelvea aplicar l mé(xk)rrrrl'rr



-2 2Jrcen(\,dr| , ." r" , J! _,r , , ra,

lucgo cs import¡nteelegir bien qué es u y qué es dv (u : x" y(l v . cos(x) .

I] -= "

> ox:ou

e'dx = dv > e^:vt

dv = sen(x) o

EJemploT

Para alcularJarcsen(x)¿lx onvieneonsicterarue a tuncjón (x) = I esun actor(lcr)tfodel ntegr¿ndo arapoderaplicar a ntegmciónpor parres.

Iscer,seydvdea orma - #

d,It l dx = dv

-x= v

y scobtieneuna nregral ipopotencia:

larcsenlx)d\ \ arcsen(\) l- 9 rarcsenrr¡ Jr 12.t- 'J l x2

lt

p,'*.q""J'$: lJr-, ' ,.,¡-a-:l lrr-,.,rt: / i-

' Las integrales e la formaJx'a'dx se ¡ealizan o¡ pafes: u = xn ; dv : axdx

A gunasntegáles eqüie¡en plicarvariasveces onsecuriv¿sa ntegración orpartes.

290

J*-a.=*'- j..a"Porconsiguente

J- .-r^ \2e\ ) \e\ ' 2e\ l

. Las nt€sales e a o.maJa-senG)dxo ja'cosG)dx serealizanporpaÍesclisic

Ejemplo 9

CarculamosJex en(x)dx aplicandoos ecesa nteg¡aciónorpafes

IPrimeraez. oniendo

I sen(x)dr:dv >

I

Ie'dr = dLr

J. '*"r*ra*: . t .o51¡+Je'cosrxtdx.

2

Éltr¡l(h vcz.Volvicndo aplicafelméro¡lo h ir)rc8r'tJcrü)s(r)¡tx

I I> edx=dlr

Lcos(x)dx- d! > sen(x) = v

lr l l i | lmrlcgr¡ lnosda

J"-*.r'x-= e,sen(x)Jcsen(x)dx.

J""""¡*¡a" exGen(x),¡";¡ - J+*,¡9a..l¡rrnlriohora lprimermiembroaúltimanteg¡¿le btiene,

zj"- '*¡ '1a. = er(sen(x)cos(x,,,

cocientealrcslodou l i ! i$i(nrc )(x)pofQ(x),el iene (x ) = p(x) Q(x) l t{x).v|]ol

Ptxr l t { r )Qt* l

= Pt " ' - '-'

y €l sradodeR(x)esnenor queelgradodeQ(x).Porconsiguente,

l9 ' ,"1¿.ior ' r¿*l!¿' .r Q(\ ) J- JVrx '

La ntec¡alJp(x)d{es ¡mediatapuesi p(x) = ao+atx+a2x2+ +anxr.

xJxnr,Jp( \ 'd\ aoxIat ¿.i 'u"- I -k



Jexse(tdx=

;(senc) cosG)).

(lxr cstohemos btenidon¿primiri$de eisen(x).Anadiéndolena¡rrcnrosa bmagenemle odasas rimitivas.

lil nróxodo e in¡egmción po¡ panes es aplicablee¡r el cálculo de inregralesd€ los

- JP(r t a d\ . \ re¡doP¡\ iunpo' inomio. tuPt \ ' i :d \ _ a 'dr I

Ier,, ' .e"rx 'ar . o ipr r r co. r r rd. r . . iendop( \ )u¡pot inomio

(u : P(x) ;d v : sen(x)dx dv = cos(x)dx).

frJ¡ senr¡ ( )d\ o Ja

.co\ r \ )d\ .

(u : sen(x)ou : cos(x);dv = axdx).

I Primit¡vas e as unc¡ones acionales

t Jna unciónmcionalesuna unciónde a fo¡mar,,r !! !

Q(x)rdcP(x) Q(¡)son uncionesolinómicas,Q(x) 0.ii el sado de P(x) es mayor o igual queel gradode e(x) y ltamamosp(x) y R(x) at

2

El problena se educea calculara nte$5I

l1(')o*JQ(x) '

en aqueel gradodeR(x) esmenorqueel gradodeQ(x),€sdecir, racción neducible

E<rasrresr¿le.e e<uel\ene.componiendoa Aacciónnlesra¡doH

e|r-' "

' "

fiaccionesimples el ipo:

a Bxl9--conneN.v ¡2 c o

I- t '* "" '^ )

I t ' : ¡* ' r"Luego odo elproblema e educea calcularas htegales

. A I B\ -Ct-ox t t . - -u,J( \ -a)n ' r rxr 2b{-c in

Estas lacciorcs simDles ependen lea descomposiciónel d€nominadorQ(x) En csrtexto sólo ratamosactóres eerado1 esdecirn= 1

A la esperaalequ€ en cürsosposteriorcsse den todos os métodosd€ inte$3ción dn'o"lán"" iu"ionat"i.

"osuamosa'reducira aquellasen cuva descomposiciónn racciono

sinples os sumandosueaparczcaneaD:

.A. Tipol: la?erute.d"ttip,

J--1,_"at.

*" I*.-"le< inmediarasdepo/¿Sdrtao:

I A ¿'-¡ f - - ] -¿" - Aln lx a-[J(\ -a) r lx-ar

29

. 'l'ltút lt ttttu,xnls¿(t ¡. I-l- ¿* .

".

i*"B,nrcs Irc(tll|r0$ ic ipod coktlsente:

'(x. + t)

[ - l-0. I [- -a', A J,c,u'r ] r .' ( r- l) '(* '*t)

Elrmplo 0I Í'r Inlct¡nrlcs iguientesondel ipo I:

r )J( \ - - ' , |^ = ln 6+k.

| | I l. I

" 'Jr ,* u,u* J¡ ' , . : ,d ' jJr-¿d'f8¡ lt rJ,n,

3-o,clr ¿, o,e ' lJü--Eo\ -

j r '1, ,z1*.

2lnlx 9l+k.

Ejeñplo 22La nreg¡al-- Ld x csde ipo I' pues lpol inoInio2 2'+5 nol icrrcrrrkcN

'x ' 2x+5

Podemoso¡npletar uadradose asiguient€o!Ía:

'22^'s-\ 2\ |a (x l,-4-¿1.!t ll

. I l r I ,' ,

ll - -¿* - i l-- ü i l l_ r, : -" .r '_2r5 "( !) ' r - r : i I ,

pero ¿es ácticamentennediata,ues s e a orm"f ={i!*= arcrg(rl I l'

" (f(¡))- + I



"

EJomplo2l

l [ lnregraJ f ¿¡"s

de ipoI, aunqueequierena equeña¡ansformación.' (x-+2)

N,' podemosplca' la formuta irecumenreue\ apdrece¡ 2 en tuqarde u¡ L pamc{ru'rrrraa nrenoÍ.rvrdmo, umerador)enominadorpor)

[-J-* 1t--r-o^ f---1-*..x-r2r "rr 2, " l f ' ) ' ' )2 'J2

llsta estantegralyaesprácticam€¡renmediata, uesesde a forma

fJ9-* - arcrsrf( \)r 'k .' ( f (x))- + I

Enefecto,

1

i lu=i-u,*:f,.5*" J2'

"r t '

: {u, . rg{ -I)+ .

tc4 29

i=;;*=1lX=6*=¡(d, ' . ' )

I, a' = j-"'e(-l) r

Ejercic¡o 3

"-2!-r1Calcule:_--dxJx . 5X+O

Solución.Comoel gradodel nuúerador o esmenorque el gtadodel deDomin¡dor.cefectuaa división

x2+x+1 - 1.(x, 5x+6)+(6x,5).

- ),2+\+l 6x 5__'""

,2_5r+6 x2 5x+6y descompoüiendon racciones inpies a úldm¿ racció¡r,csulta, eniendo ncuent¡q rc

x2-sx+6 = (x-2Xx 3),

6x 5 - A * B =A(x 3)+B(x: 2)

x2jx+6 x 2 x- 3 (x-2)(x 3)

de olución -'7 yB= 13.Sededucequ€

-{ ,^-:

óx 5 7 tJxr 5x+6 x 2 x 3

llre ,rrrr{lrrccnr¡LcgraleseltipoL Po¡consigrient e,

f xzf rt I

'l*",' Ja ' -J"r.a" rJ--La*x Thlx-21+13lnlx 3 +k .

ilerclclo24. "1 , I

r ¡ l ( , r l , I l - : : : - -dr .Jxr_ l_5x+6

¡r,In(.|ótr.lomo el numerador sdemayor gradoqueel detdenominador, ividimos

rr+ |

- - :_ f r s) I . . - ,\r ,5x 6 \ r 5\ 'b-

i t u t t t t t t t t t t. t r. lt t t orn rl | l

lsualandoumc|r ldotcs,xrr 5x- i = A(x-l)(x+2)+Bx(x+2) Cx{x

obtienen iste,nacecuacionese olución:1 , s =z v c = I

Asipues,J?+:-d.ijl*.,J,f* lJ** =

l ) . $r

=lrol*¡* ro¡.1l-lh x+2l+ .

6.8 Primitivasde algunas unciones rigonométr¡casLstudiamos nresrale"cü\o ioteqrando onliene ólo tunciones igoron'¡r I

Comenzano.ien¿ó,leunosa.o. cuya esoluciónesulL¡nrnediar¿in ma c l' e ' r ' ' r ' '

tabla de inteer¿les¡metiatas. A continuacións€ orientarános cambiosde variablos rrrr

indicados egrlnaparidadde a fmción integrando.



" " l+ rr , , . l' ^

r ' ,¿. l ' " " s i¿ ' , f . !o" l d, ."x,frr o Jx lr 6

. lSr + 1l( nrüutemoiJ:: :---. : : :d\. de.componrendon mcciones.impter.esulra.eniendo

lutrcntaqüer -5 \ o rr 2lr\ .J)

ln"r- ] | - 4 -1 - A,Y ]-B(r . 2 ,-

'

\ -5\ 6 \1 2 x I l \ F2, lx Jr -

L

A+ B = 19

3,{+28 = 3lisoluciónA: '7 yB=26

I l9x l l l t -1 ¡)A

^\rrues.- ]-dx - J, ,d-.J,=d, _ 'tnrx 2r 2ótnl\ J l .

.

"

L) .-r2o( oncrurmosque.l , ,dr-; 5r- t¡ ,1 1= rk .z tr _ )l

lorc¡cio25

carcüre+l+ldr

)lución.Descomponemosn iaccjonesimples:x3+x2 2x = x(rir+x 2) : x(x txx+2),

, i ' * tJ , t = 4*4_* c. A( x I )( x+ 2)+ Bx(x+2)+ Cx(x 1)xr+x: 2x x x 1 x+ 2 x( x tX ; +-t-

)6

E¡emplo26Resolvemos¿s iguientesntegüles, innásquemirar a abla e ntegntesnmediatas:

¡ ¡ f !9! !¿, - [ - -L.s¡ ,1 ' ;¿1 lD.ei( { ) t kr sent\ l J sentx,

Hemosplicador ?u i,/¡ tó¿olüúni, a !+') t rxrdr - In rrxrl I

3, .

b) Jsen'?(x).osG)dx-sen¡txr+k.

Hemos plicado l &¿-,l ciónporencidllrí)]" f'(x)d\

"r f-fa, ]f , * Isf ') - r.'cos- t7x) ' 'cos-(h)

Hemos plicado|¡¡pot, ciónangentel:gLex -" cos-(f(x))

rs(f(x)) k.

o, ffio" J.o"r*r'"nrr'a^ -+-fl t *1,, L,

: r r r i l , " '+r

' i * ; *"o"1, . ¡ = t-

Hemosplicadol ",r&¡c'á,por¿"craJt{x)1". (x)d*

O J*"36'ld'.:

J*"i-¡. * '1'¡a" ,yaplicandoen

Jcos31,.¡a"J( r sen'?G))cos(,)dxJ*"¡*1a" J'""'1-r *'1*ia* =

297

. sen- ix) ,=se¡ l \ |__- i -+k

.0 Jrg,1*¡a,Jf ,crt*t*r1)dx:J(rcr(x)+1)¡rxa": tg1.¡ +r .ll(rnos plicadoelrpofu, ión ansente

J{t*tc'{'))a, = ts{r) * k. Er

. lil lntegruñdo .s unapoterrcis ínpar erl s¿n(x),es decir, cambiade sig¡o al cambia¡ñrr'(x por seD(x).El camblo evariablendicados

cos(x)= t, sen(x)dx=dt.

EJcmplo27

( ¡r lculamosa ¡regral"t"r ' , t '¿r., cos-tr

-

Solución, {ccsct ib i rnos! l i r fcSr l rndoul r l randol r igurklat lcn2(x) cu 'r ( r ) |

2.-

sc n l\ l I cos \\r ,

J*"si*¡a. j*"1*;**1*¡a' :Jsen(xxsen'?(x))'dx

=J "'t. l i

t - "";t*ll '?dx=

Jse(t(1 2cos'?(x)+cosa(x))(lx

=J'*¡ '.¡o*z j'*¡.¡os'?(x)¿x Jsentx)cosa(x)¿x

= *"1.¡*l*,,1*¡*, '1.¡*r..

Ejercicio 0carcurarJsen3(x¡cos3(x)ax.



S¡j Lrala e una ñtnció¡ impa ren sen(x), aplicamos l cambiode variable nteriorr"r(x) = t, sen(x)dx dt .

l * " " - l¿^ f * i f^)"^-fd l l , t -- l - ' r . Lo(-i r I Jcos'f \) l r ' 3co. '(\)

. I integrando es una potencia ímpsr en coslr, es decir, cambiael signo alc0s(x)po r cos(x).El cambioe ariabl€s sen(x)=r , cos(x)dx dr .

EJomplo2Sc,t""t".r' J"".:¡*¡ax aplicandoel cambio de variable sen(x)= t,

oos(x)dx = dt :

Jco"31*¡a'Jcosz¡*¡"o'¡.¡a*Jf r *.rt.)i*,f*ia* =

=J{r , ' )a t Jt :+t=senqx)* ' ,1¡* t

. Utiliza do algana dentíd¡rrl igononAtuap a calcrla¡ a nregralen cuesrión.

EJerc¡cio9c¿lcularJsen5(x)dx.

258

Figua 6.1

29

Solución.La rtegul sepuedee€scdbir omo

Jsen(x)sen'?(x)cos3(x)d*J*"¡*¡t - *;¡*¡)cosr(x)dx =

: J*'1¡*,'1*.¡a' J*'i4*"5¡'¡a" l"o.ai'¡ |"o*6i'; t .

6-9 Métodode exhauciónparael cálculode áreas

Pafimosdeque odos €nemos na dea ntuiiiva de oqueesunárca:

El áreadeun rectángulo s adopo¡ ado,base oraltur3.El áreadeün riánguloesbase oraltua divididopordos

El área euncirculo e adioR esnRz

Ln t iemDo, e los t ieqos.e de\aÍol loun mélodol¡madomélodo e c\hxu(¡ótempleadojara alculaielre ade rec'ntoslano' rmirado'orcun¿\ qu e ols¡r( rlaprbrrmarlo'pordenrro¡portueü'redia¡le'egionecreclang:ul¿rescada\e/al reciDto ncuestión:

I l l t ¡ lel tn!r r ¡ t l l l l f r ¡ i i l i ( l ¡ !doscl cf lc!1odc pr i l l r i l ivLrss [' posib i l id¡d c calcul¡ f lLn h ¡,1!r l¡rai) | l l l I r los I c l pln¡o.qu cno son vidcntcs.

r|r\¡lo f

l r r , l i l l | | lüol l l r i ) r r I , se quiere onocer l áreadcl recinro el imitado or la

rrúr l l \ ). f l e ie OXylasfecl¿sv€ icales :0 yx = 2. Tol nalnos oligonos, ue

'rlllür v fir.ur¡s.ribr¡ dicho recinto, constjtuidos or rectángulos su á¡€a €s fácil de

, lnr lilrlrer scconoccrá on nrayorexactitud uantomenorsea a base e os rectángulos

lü||{.rros cn primer ugar ect¡íngülosnscritosen el recinto.La sumade as áreas e oslllE l¡rN s nlcnorqueeláreadel reci¡to. Seaproximanmása suvalor según e omenmás

lirr¡l|lor (lc nenorbase, ease igura 6.2



S consideramoshora ectángulos uecircunsoibanal recinto.esevidenteque a sumadeúrcas e dichos cctángulos s mayorque€l ár€aqueencie ¿ a tunción,peroa medida

c vamos omando ectángulos uyasbases ean nenores, uestraaproximación eránás

t0

fodoelloponedemaniñesroqJe¿ldividirelnrenalof02lenun numero ¡fin'rarrrLr

erunde'deniena.o' guales. lárea ordelecrocoinc'deonelarea ore\ce\o t anrDrc!¡

élareadelrecntoque seesta alcutando

5i sólo oos it¿mo. en los lado. superio'es e Io' recLángulos slot son d g-ráflca e 'rrr'frmcioDe.calondda. s decir, es una limcióo con.l¿ntea $o,7oc L\le trp-o e '¿\udana dd' el Da\omlre el mérodo e e\baucion la ' in legrale: ehordr\de cuarqrrr

d¡nción enun intérvalo: las tunciones escaionadas

Ejemplo 2

Latuncións:,4l + Rdefinidapor(x) =

2 si l<x<21 si x=2

1 si 3<x<4

esescalonadan 1 4]. (Véasea figura 6.4)

Seobsenaqueen ospuntos 2 v 3 la exFesiónde a tunción cambia'pu¡tos 1,2, 3, 4

}son napaficióndel ntervalo1,4] .

30

I h ,r r ,r r Izrndsol Nonocptoepar ic ión

l)(,lirlLlór. Unapd¡li¿tá¡reunnrbrvatoa, bl csunconjünroinitodepüntosl' I x0 .xt, x2, x3... . nl talesquea-x0< t < x2 <... .< n=b.

I ( ssn ) nlcrv¿losbiertose a,b] que elelminaapariciónp,

(xo, 1). xr, r). . . . . ,\-r , xú )

'rf(lclxnnnan &ótrr¿lra1ore apañíciónP.

l ) { . l lD lc i ln .Una uncións:¿.b, . R esp\ , a/or¿Jd ua do epuede oconrarhI | t , r f l | \ ón P dcl inren¿lo a.b l rá l que < es consDrre o ¿dda no de toc{,r l ' rnrcrv., losbienos e apaÍ icrónP.

lí ' rL t ' r , l de xna funcióneccatoDada.¡ ta que soto uedmos a ideade;re¿ de uor i l r r r tLr ! . . decrrbdsc or a l tura. s ¿ oue no5¿segura ue os ¡esuh¡dos ue vamo\ a

stfa dea dbrtuatderea.

^,hrsr , r l r f l ¡ r (\ 2) . ] 3 ,

A3 - bascr' l l t rmr (4 l) l = |

Asípues,lárea s

A = A1+A2+A3: (2' l ) .2+(3 2),3 + (4 3),1:6

Generalizamosa definición deárcapata unciones scalonadas

cl en (xo, t)

c2 en (xr,x2 )

Defitrición d€ áre¿. Sea s: [a,b] ) R una función escalonada onstanre n= =



N,r\rr' ñrúp,lriroes a.ociard un conju¡to un numero quedjchonumeroseacohercnre, f r t , r \ ! r ' ¡b rur tque lanos lareade ü4 coniunro.

Fisura .4l. paficiónasociada la tunción (x), p = {1, 2, 3, 4}, indica ue s(x) tona u¡l valor

((nrsl¡nte n cada node o s subintervalos1 2) , (2, 3) y (3,4) . Esdeci, est1 afición(lcilnc res ecintos.cctangularesebasesos ntervalost, 21, t2,31 y [3,4] y alturas ,l, | rcspectivame¡te.

EJemplo 3Determiüamosl áreade a región

delimita&por

a ftnción escatonadael ejenplo 32, es(lccir. l ár€a es(x.) edesco.nponenel área €hes ectángülos t, A2, A. debasesos¡0tc'\ralos1, 2], [2, 3] y [3,4] yalrür¿s ,3, respectivamenre:

302

Ar = baser.¡ l turar (2 t).2:2,

30

. No/¿i No se €xige nineuna condicióna los valoresquetoma s en os pünrosdc 1, I osubinteftalosbiertos e apaficiónP sondisjuntososa dos la unión edichosnterv¡hydePes a, ].

.lr'dla: Los valores i que oma a función scaionadaueden erpositivos ncgdriv('s

cada node ossubint€Nalose apaÍiciónP {a=xo<xr < x2< .-.< . b} yque omael valor ci enel subintervalo \- l, xr, entonces,

Area= xr xo)lcr+ (x, - xr lc2] .. .+ (x n x¡ r)]cn.

Deliriciótr de l¡ integral definid¡ de una función escalon¡d¡.Se¿s:[4 b] + R una unción escalonada onstante n cadauno de os subinler"valosde ¿paÍición

P: {a = o<x1< 2<... .<¡n=b}

y que oma el valor ci en el subintervalo xi_1, J, entonces e lama r¡egl¿rlde|inida de a uncün s(x) ¿, Ia,bl al número eal

ct xl xd + c2(x2 xt.)+-.+ l \ \r )

b

y se cpresenlaorJ s(r\ ox

s(x)dx=c r

(x r xd+c2(x, rr ) +.. . .+ n(x¡- ¡_r).J

hr,\r,r, t , , \ ( {, , | l ), , nepar,!o\ en,,r.rcc.q,LJ (

|., , r, r , . , , , ; . rre.

b",,,,,,'.,,,,,,",,,.,r."":f ",-ro-**n""ll,oro"l'

Lt Ihttr | r l¿r RIr ¡t o

Para u¿lqüier nor(i¡ rcotad rix ) hay unciorressc¿knradas(r)

cumplen (x) < f(x) < 1(x). porejernplo,l¿suncionesonstantes(x)Además, or acuarapropiedadnrerior,e iene uu:

nb .b

l (x)<l(x) .

D(finición. Una rución acohda : la. bl- R se drcequees ,¡¿slaó^ e|llá.blcu¿¡do \\ le u¡ ún¡co úmeroe¿l r¿lque

nb .b

l (x)<i<lt(x)

paraod o ¿r e imcrone.scalonadd,\, ) (r ) r¿lesurs(r) t() \ , rr J I Le.re aso. chonúmeroeal \e lürta akgrytde en á. bj ) sedesign¿ol

o tamtienorJb . fG)dx

. En el restodecasos o.

ls (x) l¿x.

defi¡ idaenel ejemplo32anteriores

r (4-3) 0.

y 1(x)cn Lr¡, l , |r

:myt(x) M

rlompto 34| l | r tcgrrtcnt.4ldelafunción€scalonadatr r

.1

J s{rrd\ 2, r, ,J,( l 2 l

ii:'nili"il,*i*l:iffiJ,i3::"x*';H",ffi:1:f,'ji?i,,19";JÍ1,



Enestadeñniciónparec€lint€rvaloa,b], porranto < b.

Ex¡endemosl convenio otu"ion¡ f"rf*l: 'o A

'b-J" G)'YJ,(x) o

. Es mportanteocontundirasexpresionesJf(x¡ar y f r1x¡ax, uestoue aprim.r

de.ignanconJUnroe uncione\conru¡roeprimiU\¡\) ientra,ue l sesundu..,,número cal. Pdr¿ i:lingüiresro: jmbotor e ¿enominanepratndetini¡laát ol-Lttt, t

i4^ Bral.l.J¡nt.d¿l egundo. lnql¡emucbasece, euritiza trÁnnino énerico;nregrr|..,roeígn¿r,rmbosonceptos.tendotconte\rooqu e etermina,i(eata eu¡,r otm.

lae\pre.ló¡ ['ftx,d\ se teekkarct¿¿s¡tc ha'r¿ .dc tr). .t\et¿n. or re .

Destacamosos esultsdosmpotantesde a ntegal de Riemann

-h hLJJrsrr)+rf^)rJ .r*,*J-, , , , .

2.J¡ks(x) kj,s( t .

Ls,á-c<b- [or,*, :

4.Si s(x)< (x),para odox €

x)+ls(x) .

> J"sG)J, r.= J" (n) 0.

f"r

la,bl

s.Sis(x) 0,pararodoe ta , l

Convenionot{cional.

{ 'o ,= I s(x)= 0.

-1 0 La ntegrat eRiemann

. i.iT,."Jí::il:Í:"':Jif:fi,::J;i"il'*i:'.::'r'""id¡'c 'ien¡ii'unc,onesá5;i:.,;r'iliil:'T1.';li"i.iiff"rili:irff.,ijiixiír.;::tríi:04

-J,'o,, Toda uncióncontinua€nun ntervalo a,b] es nregableen dicho nterwalo.

Condición de integrabilidadRiemann, Una tunción fa.bt ) R €sintegrable n a,b] siy sólo siparacada€> 0 exisren os uncioieséscalonadassy

t talesque

s(x) <(x) s r(x) paraodo x € Ia, bl y

l (x) l( t<e.

30

m , n

;i,lliil:ffi:3iff"Í:"iilltesrarpar¡asuncion€ssc.,r(n,0dasonáridasaraan,esrar

Propiedad€se a integral.Dadas os uncionesntegr¿bles(x), g(x)|¡, b y k unnúmero ealaüitrario seve¡ifican asslgurenresropiedades:

"b hLJa(f lx)+rl ¡) J rr*r*fur, , r .

.b -62 J. ('l = ti,i6¡.

3.sia<c<bJ'( , .)f<o.1'rro

a.si lx)< s(x),pa¡atodoe ta,bt + ,fO =1'rtO Primer teorema fundamental del cfculo. Sea una firnción integrablecn



f

s. i (x)>0,paratodou Iu , l- JofG)>0.

",,,iJ:lJl#3:.iH:H:i.iln.Ti:'J?i:¿H,1ff":Terárc'I¡ro"itlegrar.n,canente

,I re resulradoeomerricanenreosdicequeet area et ecinroimiL¿door ¿gmfica er. , unción.teje x ) tas ecras a ¡ , , : b es guarat re a .,

".*"ó,". ,ñ1".. . . loneitud (b - a) y cuyaallD¡aes la ordenada offespondie"""

* ,"r"."

l"r.j"."tltcrvalo a,b]. Al valor c) se e amavalo¡medioo alruramediade a función en €lintcrvaloa,b].

Figura .6aX

la,bl y seaF la tunción definida,pamcada € Ia,bl, por

JF(x) = | f(Ddt

Si es continu¿ nunpuntox e[a,b] entonces €sderivableenx,y además

F'(x)= f1x).

Teoremadel v¡lor m€dio. Si funa firncióncontinuaen el intervalocerradola,bl, entonces xisreun c € (a, b) tatque:

3063

lJ.mplo35

l¡r.l¡, func'ón { . - Jl-

-!0,

.o*" ."*,ar (r,{ } procedemosomo rgue.' r 1+T '

,,,,ll|1i,1:,i"";0":,*,t"*"ooesuna irnción ontinuanR y c esuna tnciónconrpuestae

e(,)=,, y nt, .)=J '*d,

¡isdccir, plic¿ndolaresladelacaden4c(x) = (h"gxx) = h(g(x)),

c,(x) = h,(e(x))s'(x)= _J_" ,- = :l_.

t+(x') - 1+x-

. De los ]'eorcnlas in(lnro||lfills sc dcduccn as bmulas dc in(cgrrc rl p(n |lNlL.ii rl€ambiodevariables 0rLrnLcgmlos clinidas,

Fórmul¡ de integr¡ciónpor pates. Si f y g son funcioncs on

f ' (x)8(x)dx.

c

{

derivada ontinuaentonces

.b rJ,fG)c'G)d.rtfG)cG)l;

Ejemplo 7

Caiculemosrxe*dx.

Hacie"do = d':d',.",uuu

I exdx = dv > ex=vie_gqndoeorem¡ utrd¡meDret et cflcuto Regtade Barrora).Sea ullauncron *-



,,,"l"ui""Jiiil?Lir*,!i" merodoecálculoenregralesefinid¿sue oexieealar

. unanoraciónsual araeplesenrara diferencia(b) s(a) es ec)ll

"¡g¡)(¡¡1.

l)¡ estaotación,a guatdadelS€gundoeoremaundamentalelCálculoeescribe.bj ,n \)dx s(x¡tD " J i r^ ,a,* ¡gr" ,1!. t r

E émplo 6

, .1 ' . t¿" Ll '= ! lr r Ll l r I J

-t l xd x ¡ - ;r |

z. l: = l r l+r¿ l ='o J l + x' 2

3.Jo en(x)dx t cosc)lü

N8

=Z3

= cos¡ + coso = I + I = 2 .

J.* t '= r, .*1¿j" 'a .=" ¡" .3¡e (e r)=r.

Teor€ma del cambio de vari¡ble. Sean una funcióncontinü¿ g una -unci6r

conprim€raerivadaconti"*..t**" f <cG))s *¡a* =f(o)rtOat

Eiemplo 38¿.

Calculemos 2xex-dx ,

mediantel canbio x2= t, 2xdx= dt, six = 0 + t=0, six:2 > t:4, pof anto

f..4¿| 2xe"dx I erdL te' l ; - ea r-0 -0

Ejercic¡o39

Calcular 3x+l ldx.

Sotución. Aplicamos a definición de valor absolutopara modificar la expresión¿cl

onnouaen¿.b] y seag na rinririv¿e ;n [", Uf e",á"J...^-

Jbrtoa*sol ei").

3

ünolónomosigr¡ei

Ar¿a ¿ t¿ltrtólnltqdo oruna¿nclónt ta,Vl

f (x) = l3 x+ tl

{

3x -I

si

¡

,- I^ =- j



Ej€mplo40

Calculenoselár€a del r€cinto imitadopor lagráficade a tunción f(x) = r' * 4* , lu,rectas = 0, x = 4 yelejeox.

L¿ gráficade la función estápor encimadel eje OX en [0,4], es decir, setratade u0ütunciónno negativa, sípues f(x)l = f(x) par¿odo x e t0, al :

Por anto, e€scribimosa ntggraldescomponiénalolan dos:

"r -1I l ix+r ldx=rr 3x r¡¿x+f ' | .

tr ' l3r- l¡dx -

t

l1 Areadel ecintoimitado oruna unción n a,.b]I'ledianüea ¡re$al sepuedenalcul¡r ar áreas emucbosecintos taros imirados or

.1.:1l.fi:ll :l y: !*.ión conrjnua.eco¡sid.raa esióDerpta¡oerimiradaoral,c¿dela únción elejeOX y ¡as ecrasenicales _"y.('

U. enao..,---'" ."

= *-!l".G*.'t11,,,+

El árcaqued€bemos¡lcular es

A.4.e | lctr t lar | ( -Y'-4xr& -

'0 '0

f x- ^ 2lLJIO

311

l l lül:". ,rener ncuenraü¡ndo e átcut¡ táre{ümit¡da orun ¡

| .- l{cprcs€nlaragráficade a tunción.2. De im tar elrecintocuyaá¡eaqueremosalcutar..l.' Estudiarlsigno e a unciónen el nreryalooresponaliente.4.- Uti¡izarenelcaso equeexisra,la imerda e añrncjón.

Ejorclcio41l)ctcrmineel áreade ta r€gióndel plaDodelinitadapor

la gráficade la funciónrlx) . x- 3x+2 yeleieOX.sohrclón,L¿ unciónes conrinua orseruna i¡¡ciónpolinómica.ospunros ecorre on

. t l t ' t'n1t '11t r t '

x xx x n I

Ejercicio42C¿lcule láreadea cg(nrdclplano elimita.laor agráfica ic A ¡ne(nr lr)

yel€jeOX.Solución.La unciónes continuaporerüna unción olinómica.-osPunr(is. f i rf

el eieOX veri f icana ecuación3 x = 0,dedonde = l.x=0yr l ,rrpunros e corte.Lag'áfica de a tunciór es

0. 6



clcicoX so nosqu e erif icanaecuació¡2-3x + 2 = 0,dedondex= 2 yx : I son

-12-3x+2>0 si

x2 3x+2 < 0 s i

x2 3x+2>0 si

l<x<2

2<x

Portanto,el árcapedidavieÍe dadapor:

3 .,

] unida<lese área.

Ejercicio43

Calculareláreadeirecintol ini tadoporlagníf icadelatunciónf(x):en(x).. lcly las ectasde€cuaciores = n y :r = 21r

Solución.Al reprcsentaragniñcade afunción(x) = senx, seobtiene

¡1x)dx | (x

b "lA=l l f lx)dx: l f rx idx: | ( \"I -- l

/T/ l ,r I2rto T/ l a I2\ lr \

: \L\¡- ' l l , L\4x . r lJ

Lafuncióü es negativaentle ospuntosx

).A: J,rr ' i \+2)d\=L-(¡ ,; .

= 2, portanto,

=] *iaua""a"a."u.

= l yx

' .t-)l:

Figura -11

31 2

| [ rB()! l l rcn usr¡dcs .

^ ^. ^) r J _s.r,rrrar'*, , , , r , r" _"", ] \ ra, ,f 'o

|ü)s(r)t!,- icosG)l; -.G)li. = (r + r.)- _ _ t) + r +t) = 6 unidades

6.12 Areadelrecinto im¡tado ortasgráficasdedos uncionesl rr ¡¡ú I 'oJen), ¡̂ tcutart jre¿ ir¡ iradaordos u^as.

, . . . \cr l, l rs urrcionesla .bl -Rlg: ta.bt

,, R^ u¡crone(onrinuas.e considemai '" ':l i' ,

*l 'lf;1il::la por s r¿ncase asincionesr ev r^,.;,i

"";i"ár.i

x2 = x, cuyas ri ccs onx o y x - t. l .et icrrcr).¡ .p¡r:r l"J"\ ' l {r . l l l ' rc)

= | (x r '?)dx= T/x2 x3\ tt I

L\2 r '10 6

: f ieto rt ' r ta '



EJemplo44

::::_::1i*r,. i|..:

*r ,r-cin¡oimir¿door asi¡ncionesrI r2 y s(\)

.xLospunro\ econedeasgráficasdeas o( uncione.secalculaneroh en¿Jl¿ cuac¿n

Eiercicio45Hallarel áreade o s recintosimitados or as unciones adas n os ntervalos 'L(

indican:l

at f{\} = xj y el,() : senl) ') en t0 .tl .

b) f(x) = cos(x)y s(x) = sen(x) en I0,;1.

c) f(x) : cos'z(x) y g(x) : 2 en 10,2rl .

Solución.¡) Observemosl recintoS imitadopor as unciones y g

Para ada € t0, ;lseve¡ificaque ¡) <c(ri),asípues,el áreade s es

f r,""i.r-',ra.¡(*"t'r lli"

.J f(x)-e(x)ldx.

b) Obseñemos l recinto S imitadopor as unciones y e.

Para ad¿ . 10,Tl se erifi aquegtrr : (rl. asipues. l área es e\:

Ifatcosrrr 'e¡trrrdr - trsenrrrrcosrxrr l j

a

/1\ I 6r t\: -cos\t a-r-L)=

a.,,-Ll

31 4 3

= *. .+c" ' ; (seno+coso) ¿_1.

c)^

nllogamenre, bseryemosl ¡€cintoS imitadopor as unciones y g.l,0r'rc0da e [0,2jT]severificaque x) g(x),

(a ,b € R).



8-13 ConceptosClave

< asípues, l área eS es

6-14 Autoevaluación

Problema'l

Dadasasguald¿desJsen(x)¿,( cos(x)+kv J*"a'=u *'-rn t'

A) Uü escielta otraes alsa.B) I¿s dos on iert¿s.C) Lasdos onalsas.

ll

Probt.mr2

La unción_--l- es ¡naprimirivadel

.3B) -:x ;

1 x-

Probloma

s,crtcutamos[*¿_.**r,",-x - 3\+2.. 2x-l .) ) |

^' -tJ_=--k B)

ros{lx-ill

Ix -rr+2) )x_21,

.3

(l -x')-

o ror( l*r11*¡' l \ - 2v

B)

c)

e-r(scn(r) cos(x))- -

2e-'(sen(x) cos(x))

-act+"*Gt)--l .l -4x"

Problema

A)

B)

. r "2+ t" lLt valorde = t-.:ox esl

r xr + x¿-2x

] rn1*¡*r. r l - ;h lx+2l+ .

| r"¡¡ zr.¡- r¡ ihtx+21+k.

2ln lx 1l+i ln lx+2 +k.



Probtema

lvtedi¿nrelc¡mbiodevariable = x4

'rl Jffiat ¡) Jre(t)¡t

,lainres¡atJ4x3tg(x4)¿xssual :

c¡ J¡,g1t¡¡rat

Problema

. ^tg(xLa n¡€8nl;i;dx es sual satr consta¡res):

A) ts(x)e¿cc) B) !acos(x) c) e'c(xl

Problcma

UnaprilnitivaJe-xcos x) dx es:

l¡ e-"(sen(x)+

"o.,rr.

;hlxl+

ProblemaEl área el conjuntoimitadopor a gráfica e a tunción en(x), l eje OXv las co

x=0yx=2nes:

A) La ntesalf' se(x)dx y vale2.

B) La nteeralf¡ sen(x)ldx y val€ .

"¡."t *rat 1"*"1*)d.\

y vale .

Problemag

Laderi\adadelatuncióD(¡ , - | (i l )dr es :

3

J

31 8

A) 2x nr f+* c) x2 +

frobbm¡o

, l l fcrunrl l rnciónintegrabtedefinid¡enfa,bl.eláreadetconju¡rot imit¿doportagráñcafi f , . l doOX,y a!rect¿sx=ay= bes:

A) J'l(x)ldx nl fto¿. c)

Solucionesel est

t234s6789t0ACCBCBABCA

l l fG) l"dx

Ia¡](a,b)

Ac R

logt0x

l ¡x

R-

f:A+BDom(DIrn 0l

I'

I t rDtf(x)lf'

{t¡

t] )

J

jtt*lu'

J*t*)a*

55

8

2323

25

30

3l3131

18 6

18 6

18 7

18 7

18 7

187

18 7

187

279

279

303



tm32

txlc. fI

¡1

exp(x,

6lifl f(x)

lim f(x)

lim f(x)

to

f(a)

cG)l;

le(x)lls9

78

78

87

9696125

r25t2s

126

126

308

308

r76t7617 7

Área, 303Asintotahorizont¡rl,4ll

oblicua,249vertical a derecha, 47

vertical a la izquierda,247

Cambiode ogari¡no, 25

de variable, 284

composiciónde ftnciones, 75

Conjuntoabi€rto, 6

acotado nferiormente,8

aootado up€riomente,8

Constante e nteg¡ación,279

reducido,Exponencial,3Expresio¡esdeteminadas,139

indeteminadas,139

Fórmulade ntegraciónpor partes,289

Funciónacotad¿,57

acot¿¿lanferiormente,56

acotada uperioment€,55

arco oseno, 16

arcoseno,115arco ang€nte, 117

cóncava,238constante,36continuaenun ntervaloabi€rto,



Derivadade a tunción compuest4 192

de a tunción nversa, 193

de a sumao diferenciade dos

tunciones, 88

deun cocientede uncion€s, 191

deuna unción enünpunto, 177

delproductode dos irnciones,189del p.oductode un núm€ro ealPor

una unción, 189

Derivadasuc€sivas,87

DistanciaentrodosnrÍmeros,4

Dominio,31

Ecüacióndepdme¡ g¡ado, 9

deseguldo ¡ado, l

de erc€rglado, 13

racional, 18Ecuaciones egr¿dosuperio¡B res, 13

exponenpialeslogarltmic¿s,6

Entomo abierto, 5

de unpunto, T

15 9continuaen un intervalocerado,

159continuaen unPunto, 157

continuapor la derecha n unpunto, 157

continuapor ¡ izquierdaenunpunto,157convexat 38

cosecante,12coseno, 06cotangente,109

üeciente,170cuadnfica,4ldecrecie¡te, 170

defmid¿atroz$,7l

deriv¡bleen un ntervalo abiefo,l? 8

derivableenunpunto6, 177

derivada, 87diferencia 7J

elemental,281

32

cs0rl ' ! r i ¡hr,02csrrelIrncnle onóto¡a recienrc,

49csrrictamenteonóronaecre_

cienre, 9csrricrarnenteegativa, 8oslrictanenteositiva,4?cxponenciatnbase , 99cxponenciaiarural, 6idcnridad, Simpar,54inregrablen a,b], 305rnvcrsa,8

inyectiva, 70logarjrrno¡ base , 87rogarltmoepe.ia¡o, 3

rrr¡cr(nr¡ lcs,66l iDcales,6

polinómicas, 0üctonales, 2

Grafo, 33

rmagen, I

lndeterminación, 145

né,

11 7

: t49

4 @, l5 l

Limile eun¡ i l rei( ir n n punto, 25

Limites nel nl lni lo,13 7

infinitos, 137lateralesde una unción enun

punto, 126Logaritmo. 23Máximoabsoluto, 6

relativo 5lMétodode exhaución, 299

desustitución, 84Mlnimoabsoluto, 7

relativo,5l

Núrnero , 152

ordenadaen el origen, 37

dc -' l l i )pirr l , oldc L'lla)pitdl cncr.rlizr(ltl. 01

Segurdoeorema'u¡danrcDt¡lcl

cálcü1ó, 08

Semilaectasbiefas.5

Sis¡emasdein€cü¿cionespolinómic¡s.ló

Solución € a necuación ci()ral. '

deun sistem¿e necuacioncs.r'

Subinte alosde a partición , 102

SuFemo d€una unción, 56

Tabla ededvadas, 94

de as ntegales Dmediatas.81



monótona, 70monótona reciente, 9

'nonótona ecrecienre, 9negativa,48par, 53pateentera, 9periódicadeperiodop, 8

porencra eexponent€ nreronega-rivo, 88

potenciadeexponenle atural, 87pote¡ciade exponent€ cional, 92potenci¿eexponenreeal, tO2potencra potenciat, 7producio, 3realdevariableeal, 3tsecanie! 12seDo,103

surna 73rangente, 09valorabsoluto, 2

|unciones lementales,5t4

1* , 15 3

0.ú,201

oo zo¿

*a, zoqInecuación eprimerg¡ado, 9

desegundorado,12de e¡cergr¿doy de$ado supe¡ior

a res, 15racional, 0

Í¡fimo deuna xnción, 57Integraciónde una unción, 2?9Integral eRiemann, 05

deuna unción n a,b] , 305definida,305definidadeu¡a tu¡ción, 303indeñnida, 79

Integralesnmediatas,28Integra¡do, 279Int€rvaloabie¡to, 5

Particióneun ntervalo4,b], 302

Pendient€,36Pdm€r eorema undamental el

cálculo,307Primitiva de una unción, 277

Prcpiedadese expon€nciales, 4

de a función xponencial,7de a integral, 304de a inealidad, 80

de ogaritmos, 24delcálculo epotencias, 2pa¡a ínites infinitos y en el infi-

nito, 140Puntode nfiexión, 239

sinsular, 225Puntos rlticos,225

Recorrido, 1Rectaeal, 2Reglade Balaow, 308

de acadena.192

Tangentela g¡áfica euna unción t

unpunto,186Tasa evariación¡stantáne¿, 76

devariaciónmedia, 176

Teoien¿deBolzano,168de osvator€sntermedios, 67

deRolle, 211

deweierstrass, 69del canbiodevariable, 09del valormedio,211

Topologla €R, 7

Variabledependiente,9independiente,29

325

Matematicas Acc. Uni. Vol2

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