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MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS

ANÁLISIS: Ejercicios de OPTIMIZACIÓN

Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”

Optimización de funciones

Pasos para la resoluc ión de problema:

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Se plantea una ecuación que relacione las dist intas variables del

problema , en e l caso de que haya más de una var iab le .

3. Se despeja una variable de la ecuación y se susti tuye en la función de

modo que nos quede una sola variable .

4. Se deriva la función y se iguala a cero , para ha l lar los ext remos

loca les.

5. Se real iza la 2ª derivada para comprobar e l resul tado obtenido.

E jemplo: De todos los tr iángulos isósceles de 12 m de per ímetro, hal lar los

lados del que tome área máxima.

*La func ión que tenemos que max imizar es e l á rea de l t r iángu lo:

*Re lac ionamos las var iab les: 2 x + 2 y = 12 ; x = 6 − y

*Sust i tu imos en la func ión:

*Der ivamos, igua lamos a cero y ca lcu lamos las ra íces .

*Rea l i zamos la 2ª der ivada y sus t i tu imos por 2 , ya que la so luc ión y=0 la descar tamos porque no hay un t r iángu lo cuyo lado sea 0.

Por lo que queda probado que en y=2 hay un máx imo. La base (2y) mide 4m y los lados obl icuos (x) también miden 4 m , por lo que e l t r iangu lo de á rea máxima ser ía un t r iangu lo equ i lá tero .




PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

1. -Obtener e l t r iángu lo i sósce les de á rea máx ima inscr i to en un c í rcu lo de rad io 12 cm.

2 . -Un t r iángu lo i sósce les de per ímetro 30 cm, g i ra a l rededor de su a l tura

engendrando un cono. ¿Qué va lor debe darse a la base para que e l vo lumen de l cono sea máx imo?

3 . -Se pretende fabr ica r una la ta de conserva c i l índr i ca (con tapa) de 1 l i t ro de capac idad. ¿Cuá les deben ser sus d imens iones para que se u t i l i c e e l m ín imo pos ib le de meta l?

4 . -Descomponer e l número 44 en dos sumandos ta les que e l qu ín tup lo de l cuadrado de l pr imero más e l séxtup lo de l cuadrado de l segundo sea un mín imo.

5 . -Se t iene un a lambre de 1 m de long i tud y se desea d iv id i r lo en dos t rozos para formar con uno de e l los un c í rcu lo y con e l o t ro un cuadrado. Determinar la long i tud que se ha de dar a cada uno de los t rozos para que la suma de las á reas de l c í rcu lo y de l cuadrado sea mín ima.

6 . -Ha l la r las d imens iones de l mayor rec tángu lo inscr i to en un t r iángu lo i sósce les que t iene por base 10 cm y por a l tura 15 cm.

7 . -Ha l la r las d imens iones que hacen mín imo e l cos te de un contenedor que t iene forma de para le lep ípedo rec tangu la r s ab iendo que su vo lumen ha de ser 9 m 3 , su a l tura 1 m y e l cos te de su const rucc ión por m 2 es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared la tera l .

8 . -Recor tando conven ientemente en cada esqu ina de una lámina de car tón de d imens iones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y dob lando conven ientemente (véase f igura) , se const ruye una ca ja . Ca lcu la r x para que vo lumen de d icha ca ja sea máx imo.

9 . -Una hoja de pape l debe tener 18 cm 2 de texto impreso, márgenes super ior e in fer io r de 2 cm de a l tura y márgenes la tera les de 1 cm de anchura . Obtener

razonadamente las d imens iones que min imizan la super f i c ie de l pape l .

10. -E l benef i c io neto mensua l , en mi l lones de euros , de una empresa q ue fabr ica autobuses v iene dado por la func ión: B(x)= 1.2x − (0 .1x)3 donde x es e l número de autobuses fabr icados en un mes.

1 . Ca lcu la la producc ión mensua l que hacen máx imo e l benef i c io .

2 . E l benef i c io máx imo correspond iente a d i cha producc ión .

11. -Una huerta t iene ac tua lmente 25 árbo les , que producen 600 f ru tos cada uno. Se ca lcu la que por cada árbo l ad ic iona l p lantado, la producc ión de cada árbo l d isminuye en 15 f ru tos . Ca lcu la r:

1 . La producc ión ac tua l de la huerta .

2 . La producc ión que se obtendr í a de cada árbo l s i se p lantan x árbo les más.

3 . La producc ión a la que ascender ía e l to ta l de la huerta s i se p lantan x á rbo les

más.

4 . ¿Cuá l debe ser e l número to ta l de á rbo les que debe tener la huerta para qué la producc ión sea máx ima?

12. -Un sec tor c i r cu la r t iene un per ímetro de 10 m. Ca lcu la r E l rad io y la ampl i tud de l sec tor de mayor á rea .




1. Obtener e l t r iángu lo i sósce les de á rea máx ima inscr i to en un c í rcu lo de rad io 12 cm.

2 . Un t r iángu lo i sósce les de per ímetro 30 cm, g i ra a l rededor de su a l tura engendrando

un cono. ¿Qué va lor debe darse a la base para que e l vo lumen de l cono sea máx imo?

;

;




3. Se pretende fabr ica r una la ta de conserva c i l índr i ca (con tapa) de 1 l i t ro de capac idad. ¿Cuá les deben ser sus d imens iones para que se u t i l i ce e l mín imo pos ib le de meta l?

;

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4 . Descomponer e l número 44 en dos sumandos ta les que e l qu ín tup lo de l cuadrado de l pr imero más e l séxtup lo de l cuadrado de l segundo sea un mín imo.

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5 . Se t iene un a lambre de 1 m de long i tud y se desea d iv id i r l o en dos t rozos para formar con uno de e l l os un c í rcu lo y con e l o t ro un cuadrado. Determinar la long i tud que se ha de dar a cada uno de los t rozos para que la suma de las á reas de l c í rcu lo y de l cuadrado sea mín ima.

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6. Ha l la r las d imens iones de l mayor rec tángu lo inscr i to en un t r iángu lo i sósce les que

t iene por base 10 cm y por a l tura 15 cm.

; A l tener dos tr iángulos semejantes se cumple que:

;

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7 . Ha l la r las d imens iones que hacen mín imo e l cos te de un contenedor que t iene forma

de para le lep ípedo rec tangu la r sab iendo que su vo lumen ha de se r 9 m 3 , su a l tura 1 m

y e l cos te de su const rucc ión por m 2 es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40

para cada pared la tera l .

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http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_3.html




8. Recor tando conven ientemente en cada esqu ina de una l ámina de car tón de d imens iones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y dob lando conven ientemente (véase f igura ) , se const ruye una ca ja . Ca lcu la r x para que vo lumen de d icha ca ja sea máx imo.

9 . Una hoja de pape l debe tener 18 cm 2 de texto impreso, márgenes super ior e in fer io r de 2 cm de a l tura y márgenes la tera les de 1 c m de anchura . Obtener razonadamente las d imens iones que min imizan la super f i c i e de l pape l .

;

10. E l benef i c io neto mensua l , en mi l lones de euros , de una empresa que fabr ica autobuses v iene dado por la func ión: B(x)= 1.2x − (0.1x) 3 ; donde x es e l número de autobuses fabr icados en un mes.

1. Ca lcu la l a p roducc ión mensua l que hacen máx imo e l bene f i c io .

2. E l benef i c io máx imo correspond iente a d i cha producc ión .




11. Una huerta t iene ac tua lmente 25 árbo le s , que producen 600 f ru tos cada uno. Se ca lcu la que por cada árbo l ad ic iona l p lantado, la producc ión de cada árbo l d isminuye en 15 f ru tos . Ca lcu la r:

1. La p roducc ión ac tua l de l a huer ta .

P roducc ión ac tua l : 25 · 600 = 15 .000 f ru tos .

2. La p roducc ión que se ob tendr ía de cada árbo l s i se p lantan x á rbo les más .

S i se p lantan x á rbo les más , l a p roducc ión de cada árbo l se rá: 600 − 15 x .

3. La p roducc ión a l a que ascender ía e l to ta l de l a huer ta s i se p lantan x árbo les más .

P(x ) = (25 +x) · (600 − 15x) = − 15 x 2 + 225 x + 1500

4. ¿Cuá l debe ser e l número to ta l de á rbo les que debe tener l a huer ta para qué l a p roducc ión sea máx ima?

P′ (x ) = − 30 x + 225 − 30 x + 225 = 0 x = 7 . 5

P′ ′ (x ) = − 30 < 0

La producción será máxima s i la huerta t iene 25 + 7 = 32 ó 25 + 8 = 33 árboles

12. Un sec tor c i rcu la r t iene un per ímetro de 10 m. Ca lcu la r E l rad io y la ampl i tud de l sec tor de mayor á rea .

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PROBLEMAS PROPUESTOS

1.-Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo. (Sol: x=y=5)

2.-Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo?

3.- De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r

de ecuación 12

yx

(ver figura), determina el que tiene mayor área.

4.-Se quiere construir un depósito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidad de 500 m3. ¿Qué dimensiones ha de tener el depósito para que su superficie sea mínima?

5.-Un alambre de longitud 1 m se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos

sea mínima. (Sol: 4

4+𝜋,

𝜋

4+𝜋).

6.-Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie

total de 200 cm2. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máximo.

7.-Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la estructura de la empresa, sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de

tipo B, además afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas del tipo A y el cuadrado del número de alarmas del tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo debe instalar para maximizar la seguridad? 8.-De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1,2) encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo. (Sol: y+2x=4; A=4 u2)

9.-De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm., determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. (Sol: Cuadrado de lado a=2 cm) 10.-Determina las dimensiones de una puerta formada por un rectángulo y un

semicírculo (como en la figura), sabiendo que es la que tiene perímetro mínimo entre las que tiene área igual a 2 m2.

11.-Se desea construir una caja abierta de base cuadrada y de 108 litros de capacidad. Elegir las dimensiones, con objeto de que sea mínima la superficie empleada.

12.-De entre todos los rectángulos cuya área mide 16 cm2, determina las dimensiones del que tiene

diagonal de menor longitud. (Sol: cuadrado de lado a=4 cm)

13.- Hallar las dimensiones del rectángulo de área mayor inscrito en una circunferencia de radio 3.




14.-En agosto de 1584 el matemático Ludovico Ferrari le propuso a su colega Niccola Fontana, apodado

Tartaglia, el siguiente problema: “Halla dos números reales no negativos cuya suma sea 8, de

manera que su producto multiplicado por su diferencia sea máximo”. ¡¡Ayuda a Tartaglia!!, obtén

las soluciones de este problema con dos decimales de aproximación.

15.- Sobre un terreno en forma de triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 100 m y 200m se quiere construir un edificio de planta rectangular, como se muestra en la figura. Hallar las dimensiones que debe tener dicha planta para que su superficie sea máxima.

100m

200 m

16.- Una ventana tiene forma de trapecio rectangular. La base menor mide 20 cm y el lado oblicuo 40 cm. Hallar la base mayor así como el ángulo que debe formar el lado oblicuo con la base mayor para

que el área de la ventana sea máxima. ¿Cuál será esta área? Nota: Un trapecio rectangular es un cuadrilátero con dos lados paralelos y en el que uno de los otros dos lados es perpendicular a estos dos lados paralelos.

17.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/m2 y para la base otro material, un 50% más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo.

18.-En un terreno con forma de semicírculo de radio √𝟓𝟎 m, se dibuja un rectángulo como indica la

figura, la distancia entre los vértices que están sobre el diámetro es x y la altura y. Hallar las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.

19.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 9 cm. Si se hace girar alrededor de uno de los catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas tendrán los catetos para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (V=r2h).

y

x 20.- Dadas la parábola y=x2 y la recta y=9. Hallar las dimensiones y el área del rectángulo de área

máxima que tiene su lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola. f(x)=(1/3)x^2

f(x)=9

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2

2

4

6

8

10

x

y

21.-La vela mayor de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Sabiendo que la hipotenusa debe medir 6 metros, calcular sus dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima.

22.-Se dibuja un rectángulo cuyos vértices inferiores se encuentran en el eje OX y cuyos vértices superiores se encuentran en la curva y = sen x, siendo 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋.




a) Escriba una expresión para el área del rectángulo b) Halle el área máxima del rectángulo. (Sol: x=0’710246)

23.-Dos líneas férreas se cortan perpendicularmente. Por cada línea avanza una locomotora, una a 60

km/h y la otra a 120 km/h. Ambas se dirigen hacia el punto de corte y han salido al mismo tiempo desde dos estaciones situadas respectivamente a 40 km y 30 km del punto de intersección.

a) Halla la distancia a la que se encuentran las locomotoras, en función del tiempo transcurrido desde el inicio del recorrido.

b) Halla el mínimo de esta distancia. (Sol: 𝑡 = √13⁄ )

24.-De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el

objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el

volumen de la caja sea máximo. (Sol: a=5/3) 25.-Un pastor dispone de 1.000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya existente. ¿Podrías indicarle las dimensiones para que el corral sea lo mayor posible? (Sol: a=250, b=500).

26.- ¿Cuál es el número que sumado con 25 veces su inverso da un valor mínimo? (Sol: x=5) 27.- ¿Qué medidas tiene el triángulo rectángulo de máxima área entre todos los que tienen 10 cm de

hipotenusa? (Sol: 𝑥 = √50).

28.- Dos números no negativos son tales que sumando el primero al cuadrado del segundo resulte 9. Halle estos números de manera que su suma sea tan grande como sea posible. (Sol: a=1/2, b=35/4). 29.- Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica con una capacidad de 160 litros. Halla las dimensiones del cilindro para que la cantidad de chapa empleada en su construcción

sea mínima. (Sol: R=√80𝜋⁄

3

; 𝐻 = 2 · √80𝜋⁄

3

).

30.- A un placa de vidrio rectangular de 15 cm de largo y 10 cm de ancho se le ha roto en una esquina un pedazo triangular de tal modo que la longitud ha disminuido en 5 cm y la anchura en 3cm. Queremos aprovechar el vidrio de manera que forme una nueva placa rectangular. ¿Cómo debemos hacer los cortes si queremos que tenga la mayor superficie posible? (Sol: x=2, y=5/3).

31.-Determina un punto de la curva de ecuación 𝒚 = 𝒙 · 𝒆−𝒙𝟐 en el que la pendiente de la recta

tangente sea máxima. [Sol: P(0,0)]. 32.-Determina los puntos de la parábola de ecuación y=5-x2 que están más próximos al origen de

coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenadas. [Sol:𝑃 (±3√2

2,

1

2)].

33.-De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12800 m2 dividido en tres parcelas iguales

como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas, determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. (Sol: largo 160 m., ancho 80 m.)

34.-Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m2. Determina el

radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.

35.-Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una

zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100




euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuáles son las

dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros?

36.-Un alambre de 100 cm de longitud se divide en dos partes, que van a servir de base a dos

rectángulos. En uno de los rectángulos, su altura es el doble de la base y, en el otro, su altura

es el triple de la base. Determina el punto de división de modo que la suma de sus áreas sea

mínima. (Sol: 1º) 60 cm, 2º) 40

37.-Se desea construir un jardín limitado en dos de sus lados por un río que forma un codo de

135º y en los otros dos por una valla ABC de 1,2 km de longitud tal como se observa en la

figura. Halla las dimensiones del jardín de área máxima. (Sol: AB=0,8 km; BC=0,4 km).

38.-En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50

años, los ingresos vienen dados por la fórmula –x2+70x, mientras que para edades iguales o

superiores a 50 años los ingresos están determinados por la expresión: 𝟒𝟎𝟎𝒙

𝒙−𝟑𝟎 . Calcula cuál es

el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.

39.-En el 1er cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el

origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola y=-x2+3. Determina las

dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.

40.-Sea f: [1,+] la función definida por 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 . Determina el punto P de la gráfica

que se encuentra a menor distancia del punto A (2,0). ¿Cuál es la distancia?

41.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y determina en el 1er cuadrante

con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área.

42.- Se desea construir un campo rectangular con vértices A, B, C y D de manera que:

-Los vértices A y B sean puntos del arco de la parábola y = 4 – x2, − 2 ≤ x ≤ 2 y el segmento

de extremos A y B es horizontal

-Los vértices C y D sean puntos del arco de la parábola y = x2– 16, − 4 ≤ x ≤ 4 y el segmento

de extremos A y B es también horizontal

-Los puntos A y C deben de tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo x

-Los puntos B y D deben de tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real negativo -x

Se pide obtener razonadamente:

a) La expresión S(x) del área del campo rectangular en función del número real positivo x.

b) El número real positivo x para que el área sea máxima.

c) El valor del área máxima.




43.- Se desea construir un depósito cilíndrico de 100 m3 de capacidad, abierto por la parte

superior.

Su base es un círculo en posición horizontal de radio x y la pared vertical del depósito es una

superficie cilíndrica perpendicular a su base. El precio del material de la base del depósito es 4

euros/m2.El precio del material de la pared vertical es 2 euros/m2.

Obtener razonadamente:

a) El área de la base y de la pared vertical del cilindro en función de su radio x.

b) La función C(x) que da el coste del depósito.

c) El valor x del radio de la base para el que el coste del depósito es mínimo y el valor

de dicho coste mínimo.

44.-En una circunferencia de radio 10 cm se divide en dos partes

su diámetro, que a su vez se toma como un diámetro de dos

circunferencias tangentes interiores a ella. ¿Qué longitudes deben

tener cada una de las partes del diámetro para que sea máxima

el área limitada por las tres circunferencias (región sombreada)?

45.-El perímetro de una cara lateral de un prisma recto de base

cuadrada es de 60 cm (efectúa un croquis de la figura). Calcule

sus dimensiones de forma que su volumen sea máximo.

46.- Calcular las dimensiones de tres campos cuadrados que no tienen ningún lado común y que satisfacen que el perímetro de uno de ellos es triple que el de otro y, además, se necesitan 1248 metros de valla para vallar completamente los tres campos, de manera que la suma de las áreas es la mínima posible.

47.-Descomponer el número “e” en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma. 48.-Con 60 cm. de alambre se construyen 2 triángulos equiláteros cuyo lado miden x e y respectivamente. ¿Qué valores de x e y hacen que la suma de sus áreas sea mínima?

49.-Se quiere vallar una finca rectangular que está junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta 125 euros el metro, y la de los otros tres lados cuesta 25 euros el metro. Hallar el área del terreno de mayor superficie que podemos vallar con 3000 euros. 50.- De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm2, determinar las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

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